Kuinka kertoa tavalliset murtoluvut luonnollisella luvulla. Murtolukujen kertominen ja jako

Kokonaisluvun kertominen murtoluvulla ei ole vaikea tehtävä. Mutta on hienouksia, jotka luultavasti ymmärsit koulussa, mutta olet sittemmin unohtanut.

Kuinka kertoa kokonaisluku murtoluvulla - muutama termi

Jos muistat, mitä osoittaja ja nimittäjä ovat ja miten oikea murto-osa eroaa väärästä murtoluvusta, ohita tämä kappale. Se on tarkoitettu niille, jotka ovat unohtaneet teorian kokonaan.

Osoittaja on murto-osan yläosa - se, jonka jaamme. Nimittäjä on pienempi. Tällä me jaamme.
Oikea murtoluku on sellainen, jonka osoittaja on pienempi kuin sen nimittäjä. Virheellinen murtoluku on sellainen, jonka osoittaja on suurempi tai yhtä suuri kuin sen nimittäjä.

Kuinka kertoa kokonaisluku murtoluvulla

Sääntö kokonaisluvun kertomisesta murtoluvulla on hyvin yksinkertainen - kerromme osoittajan kokonaisluvulla, mutta emme kosketa nimittäjää. Esimerkiksi: kaksi kerrottuna viidesosalla - saamme kaksi viidesosaa. Neljä kerrottuna kolmella kuudestoistaosalla on yhtä kuin kaksitoista kuudestoistaosaa.

Vähentäminen

Toisessa esimerkissä tuloksena olevaa fraktiota voidaan pienentää.
Mitä se tarkoittaa? Huomaa, että tämän murtoluvun osoittaja ja nimittäjä ovat jaettavissa neljällä. Jaa molemmat luvut yhteinen jakaja ja sitä kutsutaan murto-osan pienentämiseksi. Saamme kolme neljäsosaa.

Väärät murtoluvut

Mutta oletetaan, että kerromme neljä kahdella viidesosalla. Siitä tuli kahdeksan viidesosaa. Tämä on väärä murto-osa.
Hänet on ehdottomasti tuotava oikeanlaista. Tätä varten sinun on valittava siitä kokonainen osa.
Tässä sinun on käytettävä jakoa jäännöksen kanssa. Jäljelle jää yksi ja kolme.
Yksi kokonaisuus ja kolme viidesosaa on oikea murto-osamme.

Kolmenkymmenenviiden kahdeksasosan saaminen oikeaan muotoon on hieman vaikeampaa. Lähin kahdeksalla jaollinen luku kolmekymmentäseitsemän on kolmekymmentäkaksi. Jaettuna saamme neljä. Vähennä kolmekymmentäkaksi kolmekymmentäviisi ja saamme kolme. Tulos: neljä kokonaista ja kolme kahdeksasosaa.

Osoittajan ja nimittäjän yhtäläisyys. Ja täällä kaikki on hyvin yksinkertaista ja kaunista. Jos osoittaja ja nimittäjä ovat samat, tulos on yksinkertaisesti yksi.

Murtolukujen kertominen ja jako.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat erittäin "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Tämä operaatio on paljon mukavampi kuin yhteen- ja vähennyslasku! Koska se on helpompaa. Muistutuksena, jos haluat kertoa murto-osan murtoluvulla, sinun on kerrottava osoittajat (tämä on tuloksen osoittaja) ja nimittäjät (tämä on nimittäjä). Tuo on:

Esimerkiksi:

Kaikki on erittäin yksinkertaista. Ja älä etsi yhteistä nimittäjää! Ei häntä täällä tarvita...

Jos haluat jakaa murto-osan murtoluvulla, sinun on käännettävä toinen(tämä on tärkeää!) murtoluku ja kerro ne, eli:

Esimerkiksi:

Jos törmäät kerto- tai jakolaskuihin kokonaisluvuilla ja murtoluvuilla, se on okei. Kuten yhteenlaskussa, teemme murto-osan kokonaisluvusta, jonka nimittäjässä on yksi - ja jatka eteenpäin! Esimerkiksi:

Lukiossa joutuu usein käsittelemään kolmikerroksisia (tai jopa nelikerroksisia!) murto-osia. Esimerkiksi:

Miten saan tämän jakeen näyttämään kunnolliselta? Kyllä, hyvin yksinkertaista! Käytä kahden pisteen jakoa:

Mutta älä unohda jakojärjestystä! Toisin kuin kertolasku, tämä on erittäin tärkeää tässä! Emme tietenkään sekoita 4:2 tai 2:4. Mutta kolmikerroksisessa murto-osassa on helppo tehdä virhe. Huomaa esimerkiksi:

Ensimmäisessä tapauksessa (lauseke vasemmalla):

Toisessa (lauseke oikealla):

Tunnetko eron? 4 ja 1/9!

Mikä määrittää jakojärjestyksen? Joko suluilla tai (kuten tässä) vaakaviivojen pituudella. Kehitä silmääsi. Ja jos ei ole sulkeita tai viivoja, kuten:

sitten jaa ja kerro järjestyksessä, vasemmalta oikealle!

Ja toinen hyvin yksinkertainen ja tärkeä tekniikka. Tutkintotoimissa se on sinulle niin hyödyllistä! Jaetaan yksi millä tahansa murtoluvulla, esimerkiksi luvulla 13/15:

Laukaus on kääntynyt! Ja tätä tapahtuu aina. Kun jaetaan 1 millä tahansa murtoluvulla, tulos on sama murto-osa, vain ylösalaisin.

Siinä se operaatioille murtolukujen kanssa. Asia on melko yksinkertainen, mutta se antaa enemmän kuin tarpeeksi virheitä. Ota käytännön neuvot huomioon, niin niitä (virheitä) tulee vähemmän!

Käytännön vinkkejä:

1. Murtolausekkeiden kanssa työskennellessä tärkeintä on tarkkuus ja tarkkaavaisuus! Nämä eivät ole yleisiä sanoja, eivät hyviä toiveita! Tämä on kipeä välttämättömyys! Tee kaikki Unified State Exam -kokeen laskelmat täysimittaisena tehtävänä, keskittyneenä ja selkeänä. On parempi kirjoittaa luonnoksiin kaksi ylimääräistä riviä kuin sotkea mielenlaskuja.

2. Esimerkeissä kanssa eri tyyppejä murtoluvut - siirry tavallisiin murtolukuihin.

3. Vähennämme kaikkia murtolukuja, kunnes ne pysähtyvät.

4. Pelistämme monitasoiset murtolausekkeet tavallisiksi käyttämällä kahden pisteen jakoa (noudatamme jakojärjestystä!).

5. Jaa yksikkö päässäsi olevalla murto-osalla yksinkertaisesti kääntämällä murto-osa ympäri.

Tässä on tehtävät, jotka sinun on ehdottomasti suoritettava. Vastaukset annetaan kaikkien tehtävien jälkeen. Käytä tätä aihetta käsitteleviä materiaaleja ja käytännön vinkkejä. Arvioi kuinka monta esimerkkiä pystyit ratkaisemaan oikein. Ensimmäinen kerta! Ilman laskinta! Ja tee oikeat johtopäätökset...

Muista - oikea vastaus on toisesta (etenkin kolmannesta) kerrasta saatuja ei lasketa! Sellaista se ankara elämä on.

Niin, ratkaista koetilassa ! Tämä on muuten jo valmistautumista Unified State -kokeeseen. Ratkaisemme esimerkin, tarkistamme sen, ratkaisemme seuraavan. Päätimme kaiken - tarkistimme uudelleen ensimmäisestä viimeiseen. Mutta vain Sitten katso vastauksia.

Laskea:

Oletko päättänyt?

Etsimme vastauksia, jotka vastaavat sinun vastauksiasi. Kirjoitin ne tarkoituksella ylös sekaisin, niin sanoakseni pois kiusauksesta... Tässä ne ovat, puolipisteillä kirjoitetut vastaukset.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Nyt tehdään johtopäätökset. Jos kaikki sujui, olen iloinen puolestasi! Peruslaskelmat murtoluvuilla eivät ole sinun ongelmasi! Voit tehdä vakavampia asioita. Jos ei...

Sinulla on siis toinen kahdesta ongelmasta. Tai molemmat kerralla.) Tiedon puute ja (tai) välinpitämättömyys. Mutta tämä ratkaistavissa Ongelmia.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Tässä artikkelissa tarkastelemme kertomalla sekaluvut. Ensin hahmotellaan sekalukujen kertomista koskeva sääntö ja pohditaan tämän säännön soveltamista esimerkkejä ratkaistaessa. Seuraavaksi puhumme sekaluvun ja luonnollisen luvun kertomisesta. Lopuksi opimme kertomaan sekaluvun ja yhteisen murtoluvun.

Sivulla navigointi.

Sekalukujen kertominen.

Sekalukujen kertominen voidaan pelkistää kertomalla tavalliset murtoluvut. Tätä varten riittää, kun muunnetaan sekaluvut vääriksi murtoluvuiksi.

Kirjoitetaan se ylös sekalukujen kertolasku sääntö:

Ensinnäkin kerrottavat sekaluvut on korvattava väärillä murtoluvuilla;
Toiseksi sinun on käytettävä sääntöä murtolukujen kertomiseen.

Katsotaanpa esimerkkejä tämän säännön soveltamisesta, kun sekaluku kerrotaan sekaluvulla.

Suorita sekalukujen kertolasku ja .

Esitetään ensin sekaluvut, jotka kerrotaan muodossa vääriä murtolukuja: Ja . Nyt voidaan korvata sekalukujen kertolasku tavallisten murtolukujen kertolaskulla: . Soveltamalla murtolukujen kertomissääntöä saamme . Tuloksena oleva murto-osa on pelkistymätön (katso pelkistymätön ja pelkistymätön murto), mutta se on väärä (katso oikea ja väärä murtoluku), joten lopullisen vastauksen saamiseksi on vielä eristettävä koko osa väärästä murto-osasta: .

Kirjoitetaan koko ratkaisu yhdelle riville: .

Voit vahvistaa sekalukujen kertomistaitoja harkitsemalla toisen esimerkin ratkaisemista.

Tee kertolasku.

Hauskat luvut ja vastaavat murtolukuja 13/5 ja 10/9. Sitten . Tässä vaiheessa on aika muistaa murto-osan vähentäminen: korvaa kaikki murtoluvut niiden hajotuksilla alkutekijöiksi ja suorita identtisten kertoimien pelkistys.

Sekaluvun ja luonnollisen luvun kertominen

Sekanumeron vaihtamisen jälkeen ei oikea murto-osa, kerrotaan sekaluku ja luonnollinen luku johtaa tavallisen murtoluvun ja luonnollisen luvun kertolaskuun.

Kerro sekaluku ja luonnollinen luku 45.

Sekaluku on siis yhtä suuri kuin murto-osa . Korvataan tuloksena olevan murtoluvun luvut niiden jaotteluilla alkutekijöiksi, suoritetaan pelkistys ja valitaan sitten koko osa: .

Sekaluvun ja luonnollisen luvun kertominen suoritetaan joskus kätevästi käyttämällä kertolaskuominaisuutta suhteessa yhteenlaskuun. Tässä tapauksessa sekaluvun ja luonnollisen luvun tulo on yhtä suuri kuin annetun kokonaisluvun tulojen summa luonnollinen luku ja murto-osa tietylle luonnolliselle luvulle, eli .

Laske tuote.

Korvataan sekaluku kokonaisluvun ja murto-osien summalla, minkä jälkeen sovelletaan kertolaskuominaisuutta: .

Sekalukujen ja murtolukujen kertominen On kätevintä pelkistää se tavallisten murtolukujen kertolaskuksi esittämällä kerrottava sekaluku vääränä murtolukuna.

Kerro sekaluku yhteisellä murtoluvulla 4/15.

Korvaamalla sekaluvun murtoluvulla saamme .

www.cleverstudents.ru

Murtolukujen kertominen

§ 140. Määritelmät. 1) Murtoluvun kertominen kokonaisluvulla määritellään samalla tavalla kuin kokonaislukujen kertominen, nimittäin: luvun (kerroin) kertominen kokonaisluvulla (kerroin) tarkoittaa identtisten termien summan muodostamista, jossa jokainen termi on yhtä suuri kuin kertoja ja termien määrä on yhtä suuri kuin kertoja.

Joten kertominen viidellä tarkoittaa summan löytämistä:
2) Luvun (kerroin) kertominen murtoluvulla (kertoimella) tarkoittaa kertojan tämän murto-osan löytämistä.

Siksi kutsumme nyt annetusta luvusta murto-osan löytämistä, jota tarkastelimme aiemmin, kertolaskuksi murtoluvulla.

3) Luvun (kertoimen) kertominen sekaluvulla (kertoimella) tarkoittaa kertojan kertomista ensin kertoimen kokonaisluvulla, sitten kertoimen murto-osalla ja näiden kahden kertolaskujen tulosten laskemista yhteen.

Esimerkiksi:

Kaikissa näissä tapauksissa kertolaskulla saatua lukua kutsutaan tehdä työtä, eli sama kuin kerrottaessa kokonaislukuja.

Näistä määritelmistä käy selvästi ilmi, että murtolukujen kertominen on aina mahdollista ja aina yksiselitteistä toimintaa.

§ 141. Näiden määritelmien tarkoituksenmukaisuus. Ymmärtääksemme kahden viimeisen kertolaskumääritelmän sisällyttämisen aritmetiikkaan, otetaan seuraava ongelma:

Tehtävä. Tasaisesti liikkuva juna kulkee 40 km tunnissa; kuinka saada selville kuinka monta kilometriä tämä juna kulkee tietyssä tunnissa?

Jos pysyisimme yhdellä kertolaskumääritelmällä, joka ilmaistaan kokonaislukuaritmetiikassa (yhtäsuuruisten termien yhteenlasku), ongelmallamme olisi kolme erilaista ratkaisua, nimittäin:

Jos annettu tuntimäärä on kokonaisluku (esimerkiksi 5 tuntia), ongelman ratkaisemiseksi sinun on kerrottava 40 km tällä tuntimäärällä.

Jos tietty tuntimäärä ilmaistaan murto-osana (esimerkiksi tunti), sinun on löydettävä tämän murto-osan arvo 40 km:stä.

Lopuksi, jos annettu tuntimäärä on sekoitettu (esimerkiksi tunteja), 40 km on kerrottava sekaluvun sisältämällä kokonaisluvulla ja tulokseen lisätään toinen 40 km:n murto-osa, joka on sekaluvussa. määrä.

Antamiemme määritelmien avulla voimme antaa yhden yleisen vastauksen kaikkiin näihin mahdollisiin tapauksiin:

sinun on kerrottava 40 km tietyllä tuntimäärällä, mikä se sitten on.

Siten, jos ongelma on edustettuna yleisnäkymä Niin:

Tasaisesti liikkuva juna kulkee v km tunnissa. Kuinka monta kilometriä juna kulkee t tunnissa?

Sitten, riippumatta siitä, mitkä luvut v ja t ovat, voimme antaa yhden vastauksen: haluttu luku ilmaistaan kaavalla v · t.

Huomautus. Tietyn luvun murto-osan löytäminen tarkoittaa määritelmämme mukaan samaa kuin tietyn luvun kertominen tällä murtoluvulla; siksi esimerkiksi 5 %:n (eli viiden sadasosan) löytäminen tietystä luvusta tarkoittaa samaa kuin tietyn luvun kertominen luvulla tai luvulla ; 125 %:n löytäminen tietystä luvusta tarkoittaa samaa kuin tämän luvun kertominen luvulla tai luvulla jne.

§ 142. Huomautus siitä, milloin luku kasvaa ja milloin se pienenee kertolaskusta.

Kertominen oikealla murtoluvulla pienentää lukua ja kertominen väärällä murtoluvulla lisää lukua, jos tämä virheellinen murtoluku on suurempi kuin yksi, ja pysyy muuttumattomana, jos se on yhtä suuri kuin yksi.
Kommentti. Kun kerrotaan murtolukuja sekä kokonaislukuja, tuloksi otetaan nolla, jos jokin tekijöistä on nolla, joten .

§ 143. Kertolaskusääntöjen johtaminen.

1) Murtoluvun kertominen kokonaisluvulla. Kerrotaan murtoluku 5:llä. Tämä tarkoittaa 5-kertaista. Murtoluvun suurentamiseksi 5-kertaiseksi riittää, että sen osoittajaa suurennetaan tai nimittäjä pienennetään viisinkertaiseksi (127 §).

Siksi:
Sääntö 1. Jos haluat kertoa murto-osan kokonaisluvulla, sinun on kerrottava osoittaja tällä kokonaisluvulla, mutta jätä nimittäjä ennalleen; sen sijaan voit myös jakaa murto-osan nimittäjän annetulla kokonaisluvulla (jos mahdollista) ja jättää osoittajan ennalleen.

Kommentti. Murtoluvun ja sen nimittäjän tulo on yhtä suuri kuin sen osoittaja.

Niin:
Sääntö 2. Jos haluat kertoa kokonaisluvun murtoluvulla, sinun on kerrottava kokonaisluku murto-osan osoittajalla ja tehtävä tästä tuotteesta osoittaja ja allekirjoitettava tämän murtoluvun nimittäjä nimittäjäksi.
Sääntö 3. Jos haluat kertoa murto-osan murtoluvulla, sinun on kerrottava osoittaja osoittajalla ja nimittäjä nimittäjällä, ja ensimmäisestä tuotteesta on tehtävä osoittaja ja toisesta tuotteen nimittäjä.

Kommentti. Tätä sääntöä voidaan soveltaa myös murtoluvun kertomiseen kokonaisluvulla ja kokonaisluvun kertomiseen murtoluvulla, jos vain tarkastellaan kokonaislukua murtolukuna, jonka nimittäjä on yksi. Niin:

Näin ollen kolme nyt hahmoteltua sääntöä sisältyvät yhteen, joka voidaan yleisesti ilmaista seuraavasti:
4) Sekalukujen kertolasku.

Sääntö 4. Jos haluat kertoa sekaluvut, sinun on muutettava ne vääriksi murtoluvuiksi ja kerrottava sitten murtolukujen kertomissääntöjen mukaisesti. Esimerkiksi:
§ 144. Vähentäminen kertolaskussa. Murtolukuja kerrottaessa, mikäli mahdollista, on tarpeen tehdä alustava vähennys, kuten seuraavista esimerkeistä voidaan nähdä:

Tällainen vähennys voidaan tehdä, koska murto-osan arvo ei muutu, jos sen osoittajaa ja nimittäjää pienennetään saman verran.

§ 145. Tuotteen vaihtaminen muuttuvilla tekijöillä. Kun tekijät muuttuvat, murtolukujen tulo muuttuu täsmälleen samalla tavalla kuin kokonaislukujen tulo (§ 53), nimittäin: jos lisäät (tai vähennät) mitä tahansa tekijää useita kertoja, niin tulo kasvaa (tai pienenee) samalla määrällä.

Eli jos esimerkissä:
Jos haluat kertoa useita murtolukuja, sinun on kerrottava niiden osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään ja tehtävä ensimmäisestä tulosta tuotteen osoittaja ja toisesta tuotteen nimittäjä.

Kommentti. Tätä sääntöä voidaan soveltaa myös sellaisiin tuloihin, joissa osa luvun tekijöistä on kokonaislukuja tai sekalukuja, jos vain tarkastellaan kokonaislukua murtolukuna, jonka nimittäjä on yksi, ja muutetaan sekaluvut vääriksi murtoluvuiksi. Esimerkiksi:
§ 147. Kertomisen perusominaisuudet. Ne kertolaskuominaisuudet, jotka osoitimme kokonaisluvuille (§ 56, 57, 59), pätevät myös murtolukujen kertomiseen. Osoittakaamme nämä ominaisuudet.

1) Tuote ei muutu, kun tekijöitä muutetaan.

Esimerkiksi:

Todellakin, edellisen kappaleen säännön mukaan ensimmäinen tulo on yhtä suuri kuin murto-osa ja toinen on yhtä suuri kuin murto-osa. Mutta nämä murtoluvut ovat samoja, koska niiden termit eroavat vain kokonaislukutekijöiden järjestyksessä, eikä kokonaislukujen tulo muutu, kun tekijöiden paikkoja muutetaan.

2) Tuote ei muutu, jos jokin tekijäryhmä korvataan heidän tuotteellaan.

Esimerkiksi:

Tulokset ovat samat.

Tästä kertolaskuominaisuudesta voidaan tehdä seuraava johtopäätös:

kertoaksesi luvun tuotteella, voit kertoa tämän luvun ensimmäisellä kertoimella, kertoa tuloksena olevan luvun toisella jne.

Esimerkiksi:
3) Kertolaiki (suhteessa yhteenlaskuun). Jos haluat kertoa summan luvulla, voit kertoa kunkin termin erikseen kyseisellä luvulla ja lisätä tulokset.

Selitimme tämän lain (§ 59) kokonaislukuihin sovellettuina. Se pysyy totta ilman muutoksia murtolukuihin.

Osoittakaamme itse asiassa, että tasa-arvo

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(kertoimen jakautumislaki suhteessa yhteenlaskuun) pysyy totta, vaikka kirjaimet tarkoittavat murtolukuja. Tarkastellaan kolmea tapausta.

1) Oletetaan ensin, että tekijä m on kokonaisluku, esimerkiksi m = 3 (a, b, c – mitkä tahansa luvut). Kokonaisluvulla kertomisen määritelmän mukaan voimme kirjoittaa (rajoittuen kolmeen termiin yksinkertaisuuden vuoksi):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Assosiatiivisen summauslain perusteella voimme jättää pois kaikki oikealla puolella olevat sulut; Soveltamalla kommutatiivista yhteenlaskulakia ja sitten taas assosiaatiolakia voimme luonnollisesti kirjoittaa oikean puolen uudelleen seuraavasti:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Tämä tarkoittaa, että jakelulaki vahvistetaan tässä tapauksessa.

Murtolukujen kertominen ja jako

Viime kerralla opimme lisäämään ja vähentämään murtolukuja (katso oppitunti "Murtolukujen lisääminen ja vähentäminen"). Vaikein osa noista toimista oli murto-osien tuominen yhteiselle nimittäjälle.

Nyt on aika käsitellä kerto- ja jakolaskua. Hyviä uutisia on, että nämä operaatiot ovat jopa yksinkertaisempia kuin yhteen- ja vähennyslasku. Tarkastellaan ensin yksinkertaisinta tapausta, jossa on kaksi positiivista murtolukua ilman erotettua kokonaislukuosaa.

Jos haluat kertoa kaksi murtolukua, sinun on kerrottava niiden osoittajat ja nimittäjät erikseen. Ensimmäinen numero on uuden murtoluvun osoittaja ja toinen on nimittäjä.

Kahden murto-osan jakamiseksi sinun on kerrottava ensimmäinen murto-osa "käänteisellä" toisella murto-luvulla.

Määritelmästä seuraa, että murtolukujen jakaminen pelkistyy kertolaskuksi. Jos haluat "kääntää" murto-osan, vaihda osoittaja ja nimittäjä. Siksi koko oppitunnin ajan käsittelemme pääasiassa kertolaskua.

Kertomisen seurauksena voi syntyä (ja usein syntyy) pienennettävä murto-osa - sitä on tietysti vähennettävä. Jos kaikkien vähennysten jälkeen murto-osa osoittautuu vääräksi, koko osa tulee korostaa. Mutta mitä ei varmasti tapahdu kertolaskussa, on pelkistys yhteiseen nimittäjään: ei ristikkäisiä menetelmiä, suurimmat tekijät ja vähiten yhteiset kerrannaiset.

Määritelmän mukaan meillä on:

Murtolukujen kertominen kokonaisilla osilla ja negatiivisilla murtoluvuilla

Jos murtoluvut sisältävät kokonaislukuosan, ne on muutettava virheellisiksi - ja vasta sitten kerrottava edellä esitettyjen kaavioiden mukaisesti.

Jos murtoluvun osoittajassa, nimittäjässä tai sen edessä on miinus, se voidaan ottaa pois kertolaskusta tai poistaa kokonaan seuraavien sääntöjen mukaisesti:

Plus miinuksella antaa miinuksen;
Kaksi negatiivista tekee myöntävän.

Tähän asti näitä sääntöjä on kohdattu vain negatiivisia murtolukuja lisättäessä ja vähennettäessä, kun koko osasta oli päästävä eroon. Teoksen osalta ne voidaan yleistää useiden haittojen "polttamiseksi" kerralla:

Yliviivaamme negatiivit pareittain, kunnes ne katoavat kokonaan. Äärimmäisissä tapauksissa yksi miinus voi selviytyä - se, jolle ei ollut kumppania;
Jos miinuksia ei ole jäljellä, toimenpide on valmis - voit aloittaa kertomisen. Jos viimeistä miinusta ei ole yliviivattu, koska sillä ei ollut paria, jätämme sen kertolaskurajojen ulkopuolelle. Tuloksena on negatiivinen murto-osa.

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

Muunnamme kaikki murtoluvut vääriksi ja poistamme kertolaskusta miinukset. Kerromme sen, mikä on jäljellä tavallisten sääntöjen mukaisesti. Saamme:

Muistutan vielä kerran, että miinusmerkki, joka näkyy ennen murtolukua korostettuna koko osa, viittaa erityisesti koko murto-osaan, ei vain sen koko osaan (tämä koskee kahta viimeistä esimerkkiä).

Huomaa myös negatiivisia lukuja: Kun kerrotaan, ne on suljettu suluissa. Tämä tehdään miinusten erottamiseksi kertomerkeistä ja koko merkinnän tarkentamiseksi.

Murtolukujen vähentäminen lennossa

Kertominen on erittäin työvoimavaltainen toimenpide. Tässä olevat luvut osoittautuvat melko suuriksi, ja ongelman yksinkertaistamiseksi voit yrittää pienentää murto-osaa edelleen ennen kertolaskua. Todellakin, pohjimmiltaan murtolukujen osoittajat ja nimittäjät ovat tavallisia tekijöitä, ja siksi niitä voidaan pienentää murtoluvun perusominaisuutta käyttämällä. Katso esimerkkejä:

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

Määritelmän mukaan meillä on:

Kaikissa esimerkeissä vähennetyt numerot ja niistä jääneet on merkitty punaisella.

Huomaa: ensimmäisessä tapauksessa kertoimia pienennettiin kokonaan. Niiden tilalle jää yksiköitä, joita ei yleisesti ottaen tarvitse kirjoittaa. Toisessa esimerkissä ei ollut mahdollista saavuttaa täydellistä vähennystä, mutta laskelmien kokonaismäärä kuitenkin pieneni.

Älä kuitenkaan koskaan käytä tätä tekniikkaa, kun lisäät ja vähennät murtolukuja! Kyllä, joskus on samanlaisia lukuja, joita haluat vain vähentää. Tässä, katso:

Et voi tehdä sitä!

Virhe johtuu siitä, että kun lasketaan yhteen, murtoluvun osoittaja tuottaa summan, ei lukujen tuloa. Näin ollen on mahdotonta soveltaa murtoluvun perusominaisuutta, koska tämä ominaisuus koskee nimenomaan lukujen kertomista.

Murtolukujen vähentämiseen ei yksinkertaisesti ole muita syitä, joten oikea ratkaisu edelliseen ongelmaan näyttää tältä:

Kuten näette, oikea vastaus ei osoittautunut niin kauniiksi. Yleisesti ottaen ole varovainen.

Murtolukujen kertominen.

Jotta voit kertoa murto-osan oikein murtoluvulla tai murto-osan numerolla, sinun on tiedettävä yksinkertaiset säännöt. Analysoimme nyt näitä sääntöjä yksityiskohtaisesti.

Yhteisen murtoluvun kertominen murtoluvulla.

Jos haluat kertoa murto-osan murtoluvulla, sinun on laskettava näiden murto-osien osoittajien tulo ja nimittäjien tulo.

Katsotaanpa esimerkkiä:
Kerrotaan ensimmäisen murto-osan osoittaja toisen murto-osan osoittajalla ja kerrotaan myös ensimmäisen murto-osan nimittäjä toisen murto-osan nimittäjällä.

Murtoluvun kertominen luvulla.

Ensin muistellaan sääntöä, mikä tahansa luku voidaan esittää murtolukuna \(\bf n = \frac \) .

Käytetään tätä sääntöä kertottaessa.

Virheellinen murtoluku \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) muutettiin muotoon sekoitettu fraktio.

Toisin sanoen, Kun kerromme luvun murtoluvulla, kerromme luvun osoittajalla ja jätämme nimittäjän ennalleen. Esimerkki:

Sekaosien kertominen.

Jos haluat kertoa sekamurtoluvut, sinun on ensin esitettävä jokainen sekoitettu murtoluku vääränä murtolukuna ja käytettävä sitten kertolaskua. Kerromme osoittajan osoittajalla ja kerromme nimittäjän nimittäjällä.

Käänteismurtolukujen ja lukujen kertominen.

Aiheeseen liittyviä kysymyksiä:
Kuinka kertoa murto-osa murtoluvulla?
Vastaus: Tavallisten murtolukujen tulo on osoittajan kertolasku osoittajalla, nimittäjä nimittäjällä. Sekaosien tuotteen saamiseksi sinun on muutettava ne vääräksi jakeeksi ja kerrottava sääntöjen mukaisesti.

Kuinka kertoa murtoluvut eri nimittäjillä?
Vastaus: sillä ei ole väliä, ovatko ne samat vai eri nimittäjiä Murtoluvuille kertolasku tapahtuu säännön mukaan, jossa etsitään osoittajan tulo osoittajalla ja nimittäjä nimittäjällä.

Kuinka kertoa sekafraktiot?
Vastaus: ensinnäkin sinun on muutettava sekoitettu murto vääräksi murtoluvuksi ja löydettävä sitten tulo kertolaskusääntöjen avulla.

Kuinka kertoa luku murtoluvulla?
Vastaus: kerromme luvun osoittajalla, mutta jätämme nimittäjän ennalleen.

Esimerkki 1:
Laske tulo: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)

Esimerkki 2:
Laske luvun ja murtoluvun tulot: a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)

Esimerkki #3:
Kirjoita murtoluvun \(\frac \) käänteisluku?
Vastaus: \(\frac = 3\)

Esimerkki #4:
Laske kahden keskenään käänteisen murtoluvun tulo: a) \(\frac \times \frac \)

Esimerkki #5:
Voivatko käänteismurtoluvut olla:
a) samanaikaisesti oikeiden jakeiden kanssa;
b) samanaikaisesti väärät jakeet;
c) samanaikaisesti luonnollisia lukuja?

Ratkaisu:
a) Vastataksesi ensimmäiseen kysymykseen, annetaan esimerkki. Murtoluku \(\frac \) on oikea, sen käänteinen murtoluku on yhtä suuri kuin \(\frac \) - väärä murtoluku. Vastaus: ei.

b) Lähes kaikissa murtolukuluetteloissa tämä ehto ei täyty, mutta on joitain lukuja, jotka täyttävät ehdon olla samanaikaisesti väärä murtoluku. Esimerkiksi väärä murtoluku on \(\frac \) , sen käänteinen murtoluku on yhtä suuri kuin \(\frac \). Saamme kaksi väärää murtolukua. Vastaus: ei aina tietyissä olosuhteissa, kun osoittaja ja nimittäjä ovat samat.

c) luonnolliset luvut ovat lukuja, joita käytämme laskettaessa, esimerkiksi 1, 2, 3, …. Jos otamme luvun \(3 = \frac \), sen käänteinen murtoluku on \(\frac \). Murtoluku \(\frac \) ei ole luonnollinen luku. Jos käymme läpi kaikki luvut, luvun käänteisluku on aina murtoluku, paitsi 1. Jos otamme luvun 1, niin sen käänteismurtoluku on \(\frac = \frac = 1\). Numero 1 on luonnollinen luku. Vastaus: ne voivat olla samanaikaisesti luonnollisia lukuja vain yhdessä tapauksessa, jos tämä on numero 1.

Esimerkki #6:
Tee sekamurtolukujen tulo: a) \(4 \kertaa 2\frac \) b) \(1\frac \kertaa 3\frac \)

Ratkaisu:
a) \(4 \kertaa 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)

Esimerkki #7:
Voivatko kaksi käänteislukua olla sekoitettuja lukuja samanaikaisesti?

Katsotaanpa esimerkkiä. Otetaan sekamurto \(1\frac \), etsitään sen käänteinen murtoluku, tätä varten muunnetaan se vääräksi murtoluvuksi \(1\frac = \frac \) . Sen käänteinen murtoluku on yhtä suuri kuin \(\frac \) . Murtoluku \(\frac\) on oikea murtoluku. Vastaus: Kaksi keskenään käänteistä murto-osaa ei voi olla sekoitettuja lukuja samanaikaisesti.

Desimaaliluvun kertominen luonnollisella luvulla

Esitys oppitunnille

Huomio! Diojen esikatselut ovat vain tiedoksi, eivätkä ne välttämättä edusta kaikkia esityksen ominaisuuksia. Jos olet kiinnostunut Tämä työ, lataa täysversio.

Esittele opiskelijoille hauskalla tavalla sääntö desimaaliluvun kertomisesta luonnollisella luvulla, paikkaarvon yksiköllä ja sääntö desimaalimurtoluvun ilmaisemisesta prosentteina. Kehitä kykyä soveltaa hankittua tietoa esimerkkejä ja ongelmia ratkaistaessa.
Kehitä ja aktivoi looginen ajattelu opiskelijat, kyky tunnistaa malleja ja yleistää niitä, vahvistaa muistia, kykyä yhteistyöhön, avustaa, arvioida omaa ja toistensa työtä.
Kasvata kiinnostusta matematiikkaa, aktiivisuutta, liikkuvuutta ja viestintätaitoja kohtaan.

Laitteet: interaktiivinen taulu, juliste, jossa on salakirjoitus, julisteet, joissa on matemaatikoiden lausuntoja.

Ajan järjestäminen.
Suullinen aritmetiikka – aiemmin opitun materiaalin yleistäminen, valmistautuminen uuden materiaalin opiskeluun.
Uuden materiaalin selitys.
Kotitehtävä.
Matemaattinen liikuntakasvatus.
Hankitun tiedon yleistäminen ja systematisointi pelin muoto käyttää tietokonetta.
Arvostelu.

2. Kaverit, tänään meidän oppituntimme on hieman epätavallinen, koska en opeta sitä yksin, vaan ystäväni kanssa. Ja ystäväni on myös epätavallinen, näet hänet nyt. (Näyttöön tulee sarjakuvatietokone.) Ystävälläni on nimi ja hän osaa puhua. Mikä sinun nimesi on, kaveri? Komposha vastaa: "Nimeni on Komposha." Oletko valmis auttamaan minua tänään? JOO! No niin, aloitetaan oppitunti.

Tänään sain, kaverit, salatun salakirjoituksen, joka meidän on ratkaistava ja tulkittava yhdessä. (Juliste, jossa sanallinen laskenta desimaalilukujen yhteen- ja vähennyslaskussa, jonka seurauksena lapset saavat seuraavan koodin 523914687. )

Komposha auttaa tulkitsemaan vastaanotetun koodin. Dekoodauksen tulos on sana MULTIPLICATION. Kertominen on tämän päivän oppitunnin aiheen avainsana. Oppitunnin aihe näkyy näytöllä: "Desimaaliluvun kertominen luonnollisella luvulla"

Kaverit, me osaamme kertoa luonnolliset luvut. Tänään tarkastellaan desimaalilukujen kertomista luonnollisella luvulla. Desimaaliluvun kertomista luonnollisella luvulla voidaan pitää termien summana, joista jokainen on yhtä suuri kuin tämä desimaaliluku, ja termien lukumäärä on yhtä suuri kuin tämä luonnollinen luku. Esimerkiksi: 5,21 · 3 = 5,21 + 5,21 + 5,21 = 15,63 Joten, 5,21 · 3 = 15,63. Esittämällä 5.21 luonnollisen luvun yhteisenä murtolukuna saamme

Ja tässä tapauksessa saimme saman tuloksen: 15,63. Nyt huomioimatta pilkku, luvun 5.21 sijasta, ota luku 521 ja kerro se tällä luonnollisella luvulla. Tässä on muistettava, että yhdessä tekijässä pilkkua on siirretty kaksi paikkaa oikealle. Kun luvut 5, 21 ja 3 kerrotaan, saadaan tulo, joka on 15,63. Nyt tässä esimerkissä siirretään pilkku kahteen kohtaan vasemmalle. Näin ollen kuinka monta kertaa yksi tekijä kasvoi, kuinka monta kertaa tuote pieneni. Näiden menetelmien samankaltaisuuksien perusteella teemme johtopäätöksen.

moninkertaistaa desimaali luonnolliselle luvulle tarvitset:
1) huomioimatta pilkkua, kerro luonnolliset luvut;
2) erottele tuloksena olevasta tulosta pilkulla niin monta numeroa kuin on desimaalimurtoluvussa.

Seuraavat esimerkit näkyvät näytöllä, joita analysoimme yhdessä Komposhan ja kaverien kanssa: 5.21 ·3 = 15.63 ja 7.624 ·15 = 114.34. Tämän jälkeen näytän kertolaskulla pyöreä numero 12,6 · 50 = 630. Seuraavaksi siirryn kertomaan desimaalimurto paikkaarvon yksiköllä. Näytän seuraavat esimerkit: 7.423 · 100 = 742.3 ja 5.2 · 1000 = 5200. Esitän siis säännön desimaaliluvun kertomiseksi numeroyksiköllä:

Jos haluat kertoa desimaaliluvun numeroyksiköillä 10, 100, 1000 jne., sinun on siirrettävä tämän murtoluvun desimaalipistettä oikealle niin monta paikkaa kuin numeroyksikössä on nollia.

Lopetan selitykseni ilmaisemalla desimaalimurto prosentteina. Esitän säännön:

Jos haluat ilmaista desimaaliluvun prosentteina, sinun on kerrottava se 100:lla ja lisättävä prosenttimerkki.

Annan esimerkin tietokoneella: 0,5 100 = 50 tai 0,5 = 50%.

4. Selityksen lopussa annan pojille kotitehtävät, joka näkyy myös tietokoneen näytössä: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Jotta pojat saisivat vähän levätä, teemme yhdessä Komposhan kanssa matemaattisen liikuntatunnin aiheen lujittamiseksi. Kaikki nousevat seisomaan, näyttävät ratkaistuja esimerkkejä luokalle, ja heidän on vastattava, oliko esimerkki ratkaistu oikein vai väärin. Jos esimerkki on ratkaistu oikein, he nostavat kätensä päänsä yläpuolelle ja taputtavat kämmentään. Jos esimerkkiä ei ratkaista oikein, kaverit ojentavat kätensä sivuille ja venyttävät sormiaan.

6. Ja nyt olet levännyt vähän, voit ratkaista tehtävät. Avaa oppikirjasi sivulle 205, № 1029. Tässä tehtävässä sinun on laskettava lausekkeiden arvot:

Tehtävät näkyvät tietokoneessa. Kun ne on ratkaistu, näkyviin tulee kuva veneen kuvalla, joka täydellinen kokoonpano kelluu pois.

Ratkaisemalla tämän tehtävän tietokoneella raketti taittuu vähitellen ylös; viimeisen esimerkin ratkaisemisen jälkeen raketti lentää pois. Opettaja antaa opiskelijoille vähän tietoa: ”Joka vuosi Kazakstanin maaperästä Baikonurin kosmodromista nousevat tähtiin. avaruusaluksia. Kazakstan rakentaa uutta Baiterek-kosmodromia Baikonurin lähelle.

Kuinka pitkän matkan henkilöauto kulkee 4 tunnissa, jos nopeus matkustaja-auto 74,8 km/h.

Lahjakortti Etkö tiedä mitä antaa läheisellesi, ystävillesi, työntekijöillesi, sukulaisillesi? Hyödynnä erikoistarjouksemme: "Lahjakortti Blue Sedge Country Hoteliin." Sertifikaatti antaa […]

Kaasumittarin vaihto: hinta- ja vaihtosäännöt, käyttöikä, asiakirjaluettelo Jokainen kiinteistönomistaja on kiinnostunut kaasumittarin laadukkaasta toiminnasta. Jos et vaihda sitä ajoissa, [...]

Lapsilisät Krasnodarissa ja Krasnodarin alue vuonna 2018 Lämpimän (verrattuna moniin muihin Venäjän alueisiin) Kubanin väkiluku kasvaa jatkuvasti muuttoliikkeen ja syntyvyyden nousun vuoksi. Kuitenkin aiheen viranomaiset […]

Varusmiesten työkyvyttömyyseläke vuonna 2018 Varusmiespalvelus on toimintaa, jolla on erityinen riski hyvän terveyden puolesta. Koska lainsäädännössä Venäjän federaatio Vammaisten henkilöiden säilöönottoa varten säädetään erityisolosuhteista, [...]

Lapsilisät Samarassa ja Samaran alue Vuonna 2018 alaikäisten edut Samaran alueella on tarkoitettu esikoululaisia ja opiskelijoita kasvattaville kansalaisille. Varoja kohdentaessa ei ainoastaan [...]

Eläketurva Krasnodarin asukkaille ja Krasnodarin alue Vuonna 2018 laissa sellaisiksi tunnustetut henkilöt saavat taloudellista tukea valtiolta. Hae budjettivaroja [...]

Tšeljabinskin ja Tšeljabinskin alueen asukkaiden eläketurva vuonna 2018 Kansalaiset saavat oikeuden eläketurvaan laissa määritellyssä iässä. Se voi olla erilainen ja tapaamisehdot vaihtelevat. Esim, […]

Lapsilisät Moskovan alueella vuonna 2018 Moskovan alueen sosiaalipolitiikan tavoitteena on tunnistaa valtiovarainministeriön lisätukea tarvitsevat perheet. Liittovaltion tukitoimenpiteet lapsiperheille vuonna 2018 […]

Toinen toiminto, joka voidaan suorittaa tavallisilla murtoluvuilla, on kertolasku. Yritämme selittää sen perussäännöt tehtäviä ratkaistaessa, näyttää kuinka tavallinen murtoluku kerrotaan luonnollisella luvulla ja kuinka kolme tai enemmän tavallista murtolukua kerrotaan oikein.

Kirjataan ensin ylös perussääntö:

Määritelmä 1

Jos kerromme yhden tavallisen murto-osan, tuloksena olevan murtoluvun osoittaja on yhtä suuri kuin alkuperäisten murtolukujen osoittajien tulo ja nimittäjä on yhtä suuri kuin niiden nimittäjien tulo. Kirjaimellisessa muodossa kahdelle murtoluvulle a / b ja c / d tämä voidaan ilmaista seuraavasti: a b · c d = a · c b · d.

Katsotaanpa esimerkkiä tämän säännön oikeasta soveltamisesta. Oletetaan, että meillä on neliö, jonka sivu on yhtä suuri kuin yksi numeerinen yksikkö. Sitten hahmon pinta-ala on 1 neliö. yksikkö. Jos jaamme neliön yhtäläisiksi suorakulmioiksi, joiden sivut ovat yhtä suuret kuin 1 4 ja 1 8 numeerista yksikköä, saadaan, että se koostuu nyt 32 suorakulmiosta (koska 8 4 = 32). Vastaavasti kunkin niistä pinta-ala on 1 32 koko kuvion pinta-alasta, ts. 132 neliötä yksiköitä.

Meillä on varjostettu fragmentti, jonka sivut ovat 5 8 numeroyksikköä ja 3 4 numeroyksikköä. Vastaavasti laskeaksesi sen pinta-alan, sinun on kerrottava ensimmäinen murto-osa toisella. Se on yhtä suuri kuin 5 8 · 3 4 neliömetriä. yksiköitä. Mutta voimme yksinkertaisesti laskea kuinka monta suorakulmiota fragmenttiin sisältyy: niitä on 15, mikä tarkoittaa kokonaisalue on 15 32 neliöyksikköä.

Koska 5 3 = 15 ja 8 4 = 32, voimme kirjoittaa seuraavan yhtälön:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

Se vahvistaa säännön, jonka laatimme tavallisten murtolukujen kertomiselle, joka ilmaistaan muodossa a b · c d = a · c b · d. Se toimii samoin sekä oikeille että väärille jakeille; Sillä voidaan kertoa murto-osia, joilla on sekä erilaiset että samat nimittäjät.

Katsotaanpa ratkaisuja useisiin ongelmiin, jotka liittyvät tavallisten murtolukujen kertomiseen.

Esimerkki 1

Kerro 7 11 luvulla 9 8.

Ratkaisu

Lasketaan ensin ilmoitettujen murtolukujen osoittajien tulo kertomalla 7 luvulla 9. Meillä on 63. Sitten lasketaan nimittäjien tulo ja saadaan: 11 · 8 = 88. Laaditaan kaksi numeroa ja vastaus on: 63 88.

Koko ratkaisu voidaan kirjoittaa näin:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

Vastaus: 7 11 · 9 8 = 63 88.

Jos saamme vastauksessamme pienennettävän murto-osan, meidän on suoritettava laskelma ja suoritettava sen vähennys. Jos saamme väärän murtoluvun, meidän on erotettava siitä koko osa.

Esimerkki 2

Laske murto-osien tulo 4 15 ja 55 6 .

Ratkaisu

Yllä tutkitun säännön mukaan meidän on kerrottava osoittaja osoittajalla ja nimittäjä nimittäjällä. Ratkaisutietue näyttää tältä:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

Saimme pienennettävän murto-osan, ts. joka on jaollinen 10:llä.

Pienennetään murto-osaa: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Tuloksena saimme väärän murtoluvun, josta valitsemme koko osan ja saamme sekaluvun: 22 9 = 2 4 9.

Vastaus: 4 15 55 6 = 2 4 9.

Laskennan helpottamiseksi voimme myös pienentää alkuperäisiä murtolukuja ennen kertolaskuoperaation suorittamista, jota varten meidän on vähennettävä murto-osa muotoon a · c b · d. Jaetaan muuttujien arvot yksinkertaisiksi tekijöiksi ja vähennetään samoja.

Selitetään, miltä tämä näyttää käyttämällä tietystä tehtävästä saatuja tietoja.

Esimerkki 3

Laske tuote 4 15 55 6.

Ratkaisu

Kirjataan ylös kertolasään perustuvat laskelmat. Me tulemme saamaan:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

Koska 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 ja 6 = 2 3, niin 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Vastaus: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Numeerisella lausekkeella, jossa tavalliset murtoluvut kerrotaan, on kommutatiivinen ominaisuus, eli voimme tarvittaessa muuttaa tekijöiden järjestystä:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Kuinka kertoa murto-osa luonnollisella luvulla

Kirjataan perussääntö heti ylös ja yritetään sitten selittää se käytännössä.

Määritelmä 2

Jos haluat kertoa yhteisen murtoluvun luonnollisella luvulla, sinun on kerrottava murtoluvun osoittaja tällä luvulla. Tässä tapauksessa lopullisen murto-osan nimittäjä on yhtä suuri kuin alkuperäisen tavallisen murto-osan nimittäjä. Tietyn murtoluvun a b kertominen luonnollisella luvulla n voidaan kirjoittaa kaavalla a b · n = a · n b.

Tämä kaava on helppo ymmärtää, jos muistat, että mikä tahansa luonnollinen luku voidaan esittää tavallisena murtolukuna, jonka nimittäjä on yksi, eli:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Selitämme ideamme konkreettisilla esimerkeillä.

Esimerkki 4

Laske tuote 2 27 kertaa 5.

Ratkaisu

Kun alkuperäisen murtoluvun osoittaja kerrotaan toisella kertoimella, saadaan 10. Yllä mainitun säännön mukaisesti saamme tulokseksi 10 27. Koko ratkaisu on tässä postauksessa:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

Vastaus: 2 27 5 = 10 27

Kun kerromme luonnollisen luvun murtoluvulla, joudumme usein lyhentämään tulosta tai esittämään sen sekalukuna.

Esimerkki 5

Kunto: laske tulo 8 x 5 12.

Ratkaisu

Yllä olevan säännön mukaan kerromme luonnollisen luvun osoittajalla. Tuloksena saamme, että 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Viimeisellä murto-osalla on merkkejä kahdella jaosta, joten meidän on vähennettävä sitä:

LCM (40, 12) = 4, joten 40 12 = 40:4 12:4 = 10 3

Nyt meidän tarvitsee vain valita koko osa ja kirjoittaa valmis vastaus muistiin: 10 3 = 3 1 3.

Tässä merkinnässä näet koko ratkaisun: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

Voisimme myös pienentää murto-osaa laskemalla osoittaja ja nimittäjä alkutekijöiksi, jolloin tulos olisi täsmälleen sama.

Vastaus: 5 12 8 = 3 1 3.

Numeerisella lausekkeella, jossa luonnollinen luku kerrotaan murtoluvulla, on myös siirtymäominaisuus, eli tekijöiden järjestys ei vaikuta tulokseen:

a b · n = n · a b = a · n b

Kolmen tai useamman yleisen murtoluvun kertominen

Voimme laajentaa tavallisten murtolukujen kertomiseen samat ominaisuudet, jotka ovat ominaisia luonnollisten lukujen kertomiselle. Tämä seuraa näiden käsitteiden määritelmästä.

Yhdistelmä- ja kommutatiivisten ominaisuuksien tuntemuksen ansiosta voit kertoa kolme tai useampia tavallisia murtolukuja. On hyväksyttävää järjestää tekijät uudelleen mukavuuden lisäämiseksi tai järjestää sulut tavalla, joka helpottaa laskemista.

Näytämme esimerkillä, kuinka tämä tehdään.

Esimerkki 6

Kerro neljä yhteistä murtolukua 1 20, 12 5, 3 7 ja 5 8.

Ratkaisu: Nauhoitetaan ensin työ. Saamme 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Meidän on kerrottava kaikki osoittajat ja kaikki nimittäjät yhteen: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Ennen kuin aloitamme kertomisen, voimme tehdä asioista hieman helpompaa itsellemme ja laskea joitain lukuja alkutekijöiksi lisävähentämiseksi. Tämä on helpompaa kuin jo valmiin osuuden pienentäminen.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280

Vastaus: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9 280.

Esimerkki 7

Kerro 5 numeroa 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

Ratkaisu

Mukavuuden vuoksi voimme ryhmitellä murto-osan 7 8 numeroon 8 ja luvun 12 murto-osaan 5 36, koska tulevat lyhenteet ovat meille ilmeisiä. Tuloksena saamme:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 = 5 31 6 3 2 3

Vastaus: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

PÄÄ JO YLI NÄISTÄ RAKEISTA! 🙂

Murtolukujen kertominen ja jako.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat erittäin "ei kovin. »
Ja niille, jotka "erittäin. ")

Tämä operaatio on paljon miellyttävämpi kuin yhteen- ja vähennyslasku! Koska se on helpompaa. Muistutuksena, jos haluat kertoa murto-osan murtoluvulla, sinun on kerrottava osoittajat (tämä on tuloksen osoittaja) ja nimittäjät (tämä on nimittäjä). Tuo on:

Kaikki on erittäin yksinkertaista. Ja älä etsi yhteistä nimittäjää! Ei häntä täällä tarvita...

Jos haluat jakaa murto-osan murtoluvulla, sinun on käännettävä toinen(tämä on tärkeää!) murtoluku ja kerro ne, eli:

Lukiossa joutuu usein käsittelemään kolmikerroksisia (tai jopa nelikerroksisia!) murto-osia. Esimerkiksi:

Miten saan tämän jakeen näyttämään kunnolliselta? Kyllä, hyvin yksinkertaista! Käytä kahden pisteen jakoa:

Ensimmäisessä tapauksessa (lauseke vasemmalla):

Toisessa (lauseke oikealla):

Tunnetko eron? 4 ja 1/9!

Mikä määrittää jakojärjestyksen? Joko suluilla tai (kuten tässä) vaakaviivojen pituudella. Kehitä silmääsi. Ja jos ei ole sulkeita tai viivoja, kuten:

sitten jaa ja kerro järjestyksessä, vasemmalta oikealle!

Ja toinen hyvin yksinkertainen ja tärkeä tekniikka. Tutkintotoimissa se on sinulle niin hyödyllistä! Jaetaan yksi millä tahansa murtoluvulla, esimerkiksi luvulla 13/15:

Laukaus on kääntynyt! Ja tätä tapahtuu aina. Kun jaetaan 1 millä tahansa murtoluvulla, tulos on sama murto-osa, vain ylösalaisin.

2. Esimerkeissä, joissa on erityyppisiä murtolukuja, siirrytään tavallisiin murtolukuihin.

3. Vähennämme kaikkia murtolukuja, kunnes ne pysähtyvät.

4. Pelistämme monitasoiset murtolausekkeet tavallisiksi käyttämällä kahden pisteen jakoa (noudatamme jakojärjestystä!).

Muista - oikea vastaus on toisesta (etenkin kolmannesta) kerrasta saatuja ei lasketa! Sellaista se ankara elämä on.

Etsimme vastauksia, jotka vastaavat sinun vastauksiasi. Kirjoitin ne tarkoituksella muistiin sekaisin, niin sanotusti poissa kiusauksesta. Tässä ne ovat, vastaukset erotettuina puolipisteillä.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Nyt tehdään johtopäätökset. Jos kaikki sujui, olen iloinen puolestasi! Peruslaskelmat murtoluvuilla eivät ole sinun ongelmasi! Voit tehdä vakavampia asioita. Jos ei.

Sinulla on siis toinen kahdesta ongelmasta. Tai molemmat kerralla.) Tiedon puute ja (tai) välinpitämättömyys. Mutta. Tämä ratkaistavissa Ongelmia.

Kaikkia näitä (ja muita!) esimerkkejä käsitellään erikoisluvussa 555 "Murtoluvut". Yksityiskohtaiset selitykset mitä, miksi ja miten. Tämä analyysi auttaa paljon tiedon ja taitojen puutteessa!

Kyllä, ja toisessa ongelmassa on jotain.) Aivan käytännön neuvoja, kuinka tulla huomaavaisemmaksi. Kyllä kyllä! Neuvoja, joita voidaan soveltaa joka.

Tiedon ja tarkkaavaisuuden lisäksi menestyminen vaatii tiettyä automaattisuutta. Mistä saan sen? Kuulen raskaan huokauksen... Kyllä, vain käytännössä, ei missään muualla.

Voit siirtyä koulutukseen verkkosivustolle 321start.ru. "Kokeile" -vaihtoehdossa on 10 esimerkkiä kaikille. Välittömällä vahvistuksella. Rekisteröityneille käyttäjille - 34 esimerkkiä yksinkertaisesta vakavaan. Tämä on vain murto-osia.

Jos pidät tästä sivustosta.

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Täällä voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Ja täällä voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Sääntö 1.

Jos haluat kertoa murtoluvun luonnollisella luvulla, sinun on kerrottava sen osoittaja tällä luvulla ja jätettävä nimittäjä ennalleen.

Sääntö 2.

Murtoluvun kertominen murtoluvulla:

1. Etsi näiden murtolukujen osoittajien tulo ja nimittäjien tulo

2. Kirjoita ensimmäinen tulo osoittajaksi ja toinen nimittäjäksi.

Sääntö 3.

Jotta voit kertoa sekaluvut, sinun on kirjoitettava ne virheellisinä murtolukuina ja käytettävä sitten sääntöä murtolukujen kertomiseen.

Sääntö 4.

Jos haluat jakaa yhden murtoluvun toisella, sinun on kerrottava osinko jakajan käänteisluvulla.

Esimerkki 1.

Laskea

Esimerkki 2.

Laskea

Esimerkki 3.

Laskea

Esimerkki 4.

Laskea

Matematiikka. Muut materiaalit

Lukujen nostaminen rationaaliseen potenssiin. (

Luvun nostaminen luonnolliseksi voimaksi. (

Yleistetty intervallimenetelmä algebrallisten epäyhtälöiden ratkaisemiseen (Kirjoittaja A.V. Kolchanov)

Menetelmä tekijöiden korvaamiseksi algebrallisten epäyhtälöiden ratkaisemisessa (Kirjoittaja Kolchanov A.V.)

Jakautuvuuden merkit (Lungu Alena)

Testaa itseäsi aiheesta "Tavallisten murtolukujen kertominen ja jako"

Murtolukujen kertominen

Harkitsemme tavallisten murtolukujen kertomista useissa mahdollisissa vaihtoehdoissa.

Yhteisen murtoluvun kertominen murtoluvulla

Tämä on yksinkertaisin tapaus, jossa sinun on käytettävä seuraavaa murtolukujen kertomista koskevat säännöt.

Vastaanottaja kerrotaan murto murto-osasta, tarpeen:

kerrotaan ensimmäisen murtoluvun osoittaja toisen murtoluvun osoittajalla ja kirjoitetaan heidän tulonsa uuden murtoluvun osoittajaan;

kerro ensimmäisen murto-osan nimittäjä toisen murto-osan nimittäjällä ja kirjoita heidän tulonsa uuden murto-osan nimittäjään;

Ennen kuin kerrot osoittajien ja nimittäjien, tarkista, voidaanko murtolukuja pienentää. Murtolukujen vähentäminen laskelmissa tekee laskelmistasi paljon helpompaa.

Murtoluvun kertominen luonnollisella luvulla

Muodostaa murto-osan kerrotaan luonnollisella luvulla Sinun on kerrottava murto-osan osoittaja tällä luvulla ja jätettävä murto-osan nimittäjä ennalleen.

Jos kertolaskutulos on väärä murtoluku, älä unohda muuttaa sitä sekaluvuksi, eli korosta koko osa.

Sekalukujen kertominen

Jos haluat kertoa sekaluvut, sinun on ensin muutettava ne vääriksi murtoluvuiksi ja kerrottava sitten tavallisten murtolukujen kertomissäännön mukaisesti.

Toinen tapa kertoa murto-osa luonnollisella luvulla

Joskus laskelmia tehtäessä on kätevämpää käyttää toista tapaa kertoa yhteinen murto luvulla.

Jos haluat kertoa murtoluvun luonnollisella luvulla, sinun on jaettava murto-osan nimittäjä tällä luvulla ja jätettävä osoittaja ennalleen.

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, tämä säännön versio on kätevämpi käyttää, jos murtoluvun nimittäjä on jaollinen luonnollisella luvulla ilman jäännöstä.

Murtoluvun jakaminen luvulla

Mikä on nopein tapa jakaa murto luvulla? Analysoidaan teoriaa, tehdään johtopäätös ja nähdään esimerkkien avulla, kuinka murtoluku voidaan jakaa luvulla uudella lyhyellä säännöllä.

Tyypillisesti murtoluvun jakaminen luvulla noudattaa murtolukujen jakamissääntöä. Kerromme ensimmäisen luvun (murto-osan) toisen käänteisluvulla. Koska toinen luku on kokonaisluku, sen käänteisluku on murto-osa, jonka osoittaja on yhtä suuri kuin yksi ja nimittäjä on yhtä suuri kuin annettu luku. Kaavamaisesti murto-osan jakaminen luonnollisella luvulla näyttää tältä:

Tästä päätämme:

Jos haluat jakaa murtoluvun luvulla, sinun on kerrottava nimittäjä tällä luvulla ja jätettävä osoittaja ennalleen. Sääntö voidaan muotoilla vielä lyhyemmin:

Kun murto-osa jaetaan luvulla, luku menee nimittäjään.

Jaa murtoluku luvulla:

Jos haluat jakaa murtoluvun luvulla, kirjoitamme osoittajan uudelleen muuttumattomana ja kerromme nimittäjän tällä numerolla. Vähennämme 6 ja 3 kolmella.

Kun jaetaan murtoluku luvulla, kirjoitamme osoittajan uudelleen ja kerromme nimittäjän tällä luvulla. Vähennämme 16 ja 24 8:lla.

Kun murtoluku jaetaan luvulla, luku menee nimittäjään, joten osoittaja jätetään ennalleen ja nimittäjä kerrotaan jakajalla. Vähennämme lukuja 21 ja 35 seitsemällä.

Murtolukujen kertominen ja jako

Nyt on aika käsitellä kerto- ja jakolaskua. Hyvä uutinen on, että nämä operaatiot ovat jopa yksinkertaisempia kuin yhteen- ja vähennyslasku. Tarkastellaan ensin yksinkertaisinta tapausta, jossa on kaksi positiivista murtolukua ilman erotettua kokonaislukuosaa.

Jos haluat kertoa kaksi murtolukua, sinun on kerrottava niiden osoittajat ja nimittäjät erikseen. Ensimmäinen numero on uuden murtoluvun osoittaja ja toinen on nimittäjä.

Kahden murto-osan jakamiseksi sinun on kerrottava ensimmäinen murto-osa "käänteisellä" toisella murto-luvulla.

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

Määritelmän mukaan meillä on:

Murtolukujen kertominen kokonaisilla osilla ja negatiivisilla murtoluvuilla

Jos murtoluvut sisältävät kokonaislukuosan, ne on muutettava virheellisiksi - ja vasta sitten kerrottava edellä esitettyjen kaavioiden mukaisesti.

Jos murtoluvun osoittajassa, nimittäjässä tai sen edessä on miinus, se voidaan ottaa pois kertolaskusta tai poistaa kokonaan seuraavien sääntöjen mukaisesti:

Plus miinuksella antaa miinuksen;
Kaksi negatiivista tekee myöntävän.

Yliviivaamme negatiivit pareittain, kunnes ne katoavat kokonaan. Äärimmäisissä tapauksissa yksi miinus voi selviytyä - se, jolle ei ollut kumppania;
Jos miinuksia ei ole jäljellä, toimenpide on valmis - voit aloittaa kertomisen. Jos viimeistä miinusta ei ole yliviivattu, koska sillä ei ollut paria, jätämme sen kertolaskurajojen ulkopuolelle. Tuloksena on negatiivinen murto-osa.

Muunnamme kaikki murtoluvut vääriksi ja poistamme kertolaskusta miinukset. Kerromme sen, mikä on jäljellä tavallisten sääntöjen mukaisesti. Saamme:

Muistutan vielä kerran, että miinus, joka näkyy korostetun kokonaisosan murto-osan edessä, viittaa nimenomaan koko murto-osaan, ei vain sen kokonaisuuteen (tämä koskee kahta viimeistä esimerkkiä).

Kiinnitä huomiota myös negatiivisiin lukuihin: kerrottaessa ne on suljettu sulkeisiin. Tämä tehdään miinusten erottamiseksi kertomerkeistä ja koko merkinnän tarkentamiseksi.

Murtolukujen vähentäminen lennossa

Kaikissa esimerkeissä vähennetyt numerot ja niistä jääneet on merkitty punaisella.

Älä kuitenkaan koskaan käytä tätä tekniikkaa, kun lisäät ja vähennät murtolukuja! Kyllä, joskus on samanlaisia lukuja, joita haluat vain vähentää. Tässä, katso:

Et voi tehdä sitä!

Murtolukujen vähentämiseen ei yksinkertaisesti ole muita syitä, joten oikea ratkaisu edelliseen ongelmaan näyttää tältä:

Kuten näette, oikea vastaus ei osoittautunut niin kauniiksi. Yleisesti ottaen ole varovainen.

Murtolukujen jakaminen.

Murtoluvun jakaminen luonnollisella luvulla.

Esimerkkejä murtoluvun jakamisesta luonnollisella luvulla

Luonnollisen luvun jakaminen murtoluvulla.

Esimerkkejä luonnollisen luvun jakamisesta murtoluvulla

Tavallisten jakeiden jako.

Esimerkkejä tavallisten murtolukujen jakamisesta

Sekalukujen jakaminen.

muuntaa sekafraktiot sopimattomiksi jakeiksi;
kerro ensimmäinen murto-osa toisen käänteisluvulla;
vähennä tuloksena olevaa fraktiota;
Jos saat väärän jakeen, muunna väärä jae sekamurto-osuudeksi.

Esimerkkejä sekalukujen jakamisesta

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

Kaikki säädyttömät kommentit poistetaan ja niiden kirjoittajat lisätään mustalle listalle!

Tervetuloa OnlineMSchooliin.
Nimeni on Dovzhik Mikhail Viktorovich. Olen tämän sivuston omistaja ja kirjoittaja, kirjoitin kaiken teoreettisen materiaalin ja kehitin myös verkkoharjoituksia ja laskimia, joilla voit opiskella matematiikkaa.

Murtoluvut. Murtolukujen kertominen ja jako.

Yhteisen murtoluvun kertominen murtoluvulla.

Tavallisten murtolukujen kertomiseksi sinun on kerrottava osoittaja osoittajalla (saamme tuotteen osoittajan) ja nimittäjä nimittäjällä (saamme tuotteen nimittäjän).

Murtolukujen kertomiskaava:

Ennen kuin aloitat osoittajien ja nimittäjien kertomisen, sinun on tarkistettava, voidaanko murtolukua pienentää. Jos voit pienentää murto-osaa, sinun on helpompi tehdä lisälaskelmia.

Huomautus! Tästä ei tarvitse etsiä yhteistä nimittäjää!!

Yhteisen murtoluvun jakaminen murtoluvulla.

Tavallisen murtoluvun jakaminen murtoluvulla tapahtuu näin: käännät toisen murto-osan (eli vaihdat osoittajaa ja nimittäjää) ja sen jälkeen murtoluvut kerrotaan.

Kaava tavallisten murtolukujen jakamiseksi:

Murtoluvun kertominen luonnollisella luvulla.

Huomautus! Kun murto-osa kerrotaan luonnollisella luvulla, murtoluvun osoittaja kerrotaan luonnollisella luvullamme ja murto-osan nimittäjä jätetään ennalleen. Jos tuotteen tulos on väärä jae, muista korostaa koko osa ja muuttaa väärä jae sekafraktioksi.

Luonnollisia lukuja sisältävien murtolukujen jako.

Se ei ole niin pelottavaa kuin miltä näyttää. Kuten yhteenlaskussa, muunnamme kokonaisluvun murto-osaksi, jonka nimittäjässä on yksi. Esimerkiksi:

Sekaosien kertominen.

Murtolukujen kertomista koskevat säännöt (sekoitetut):

muuntaa sekafraktiot sopimattomiksi jakeiksi;
kertomalla murtolukujen osoittajat ja nimittäjät;
vähennä fraktiota;
Jos saat väärän jakeen, muunnamme väärän jakeen sekamurtoluvuksi.

Huomautus! Jos haluat kertoa sekamurtoluvun toisella sekamurtoluvulla, sinun on ensin muutettava ne sopimattomien jakeiden muotoon ja kerrottava sitten tavallisten jakeiden kertomissäännön mukaisesti.

Toinen tapa kertoa murto-osa luonnollisella luvulla.

Voi olla kätevämpää käyttää toista tapaa kertoa yhteinen murto luvulla.

Huomautus! Jos haluat kertoa murtoluvun luonnollisella luvulla, sinun on jaettava murtoluvun nimittäjä tällä luvulla ja jätettävä osoittaja ennalleen.

Yllä olevasta esimerkistä käy selvästi ilmi, että tätä vaihtoehtoa on helpompi käyttää, kun murtoluvun nimittäjä jaetaan ilman jäännöstä luonnollisella luvulla.

Monikerroksiset murtoluvut.

Lukiossa kohdataan usein kolmikerroksisia (tai useampia) murto-osia. Esimerkki:

Jos haluat saada tällaisen murto-osan tavanomaiseen muotoonsa, käytä jakoa 2 pisteellä:

Huomautus! Murtolukuja jaettaessa jakojärjestys on erittäin tärkeä. Ole varovainen, täällä on helppo hämmentää.

Huomautus, Esimerkiksi:

Kun jaetaan yksi millä tahansa murtoluvulla, tulos on sama murto-osa, vain käänteisesti:

Käytännön vinkkejä murtolukujen kertomiseen ja jakamiseen:

1. Murtolausekkeiden kanssa työskennellessä tärkeintä on tarkkuus ja tarkkaavaisuus. Tee kaikki laskelmat huolellisesti ja tarkasti, keskittyneesti ja selkeästi. On parempi kirjoittaa luonnokseen muutama ylimääräinen rivi kuin eksyä mielenterveyden laskelmiin.

2. Tehtävissä, joissa on erityyppisiä murtolukuja, siirry tavallisten murtolukujen tyyppiin.

3. Vähennämme kaikkia murtolukuja, kunnes pelkistäminen ei ole enää mahdollista.

4. Muunnamme monitasoiset murtolausekkeet tavallisiksi käyttämällä 2 pisteen jakoa.

Under- ja under- Uudelleentyöstetty kappale "Spring Tango" (Aika tulee - linnut lentävät etelästä) - musiikki. Valeri Miljajev En kuullut tarpeeksi, en ymmärtänyt, en ymmärtänyt sitä siinä mielessä, että en arvannut, kirjoitin kaikki verbit erottamattomasti, en tiennyt etuliitteestä nedo. Se tapahtuu, […]
Sivua ei löydy Kolmannessa lopullisessa käsittelyssä hyväksyttiin paketti hallituksen asiakirjoja, joissa määrätään erityisten luomisesta hallintoalueet(SAR). Euroopan unionista eroamisen seurauksena Yhdistynyt kuningaskunta ei kuulu Euroopan arvonlisäveroalueeseen ja […]
Yhteinen tutkintakomitea ilmestyy syksyllä Yhteinen tutkintakomitea ilmestyy syksyllä Kaikkien lainvalvontaviranomaisten tutkinta saatetaan saman katon alle neljännellä yrityksellä Jo syksyllä 2014, Izvestian mukaan presidentti Vladimir Putin [ …]
Algoritmin patentti Miltä algoritmin patentti näyttää Miten algoritmin patentti valmistellaan Valmistelu tekniset kuvaukset signaalien ja/tai datan tallennus-, käsittely- ja siirtomenetelmät erityisesti patentointitarkoituksiin eivät yleensä aiheuta erityisiä vaikeuksia, ja […]
MITÄ ON TÄRKEÄÄ TIETÄÄ UUDESTA ELÄKELAITTEESTA 12. joulukuuta 1993 VENÄJÄN FEDERAATIO PERUSTUSLAITOS (ottaen huomioon Venäjän federaation 30. joulukuuta 2008 päivättyjen Venäjän federaation perustuslain muuttamisesta annettujen lakien muutokset N 6- FKZ, päivätty 30. joulukuuta 2008 N 7-FKZ, […]
Hauskoja juttuja naisen eläkkeestä päivän sankarille, miehet päivän sankarille, miehet - kuorossa päivän sankarille, naiset - omistautumista eläkeläisille, naiset, humoristisia. Eläkeläisten kilpailut ovat mielenkiintoisia. Esittäjä : rakkaat ystävät! Hetki vain! Tunne! Vain […]