Yksinkertaista trigonometrinen lauseke verkossa yksityiskohtaisella ratkaisulla. Oppitunti "Trigonometristen lausekkeiden yksinkertaistaminen"

Osat: Matematiikka

Luokka: 11

Oppitunti 1

Aihe: 11. luokka (valmistautuminen yhtenäiseen valtionkokeeseen)

Trigonometristen lausekkeiden yksinkertaistaminen.

Yksinkertaisin ratkaisu trigonometriset yhtälöt. (2 tuntia)

Tavoitteet:

• Systematoida, yleistää, laajentaa opiskelijoiden tietoja ja taitoja, jotka liittyvät trigonometriakaavojen käyttöön ja yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

Varusteet tunnille:

Oppitunnin rakenne:

1. Organisatorinen hetki
2. Testaus kannettavissa tietokoneissa. Keskustelu tuloksista.
3. Trigonometristen lausekkeiden yksinkertaistaminen
4. Yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen
5. Itsenäinen työ.
6. Oppitunnin yhteenveto. Kotitehtävän selitys.

1. Organisatorinen hetki. (2 minuuttia.)

Opettaja tervehtii yleisöä, ilmoittaa oppitunnin aiheen, muistuttaa, että heille oli aiemmin annettu tehtävä toistaa trigonometriakaavoja, ja valmistelee oppilaita testaukseen.

2. Testaus. (15 min + 3 min keskustelua)

Tavoitteena on testata trigonometristen kaavojen tuntemusta ja kykyä soveltaa niitä. Jokaisella opiskelijalla on pöydällä kannettava tietokone, jossa on versio kokeesta.

Vaihtoehtoja voi olla useita, annan esimerkin yhdestä:

I vaihtoehto.

Yksinkertaista ilmaisuja:

a) trigonometriset perusidentiteetit

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) summauskaavat

3. sin5x - sin3x;

c) tuotteen muuntaminen summaksi

6. 2sin8y cos3y;

d) kaksoiskulmakaavat

7. 2sin5x cos5x;

e) puolikulmien kaavat

f) kolmoiskulmakaavat

g) universaali korvaaminen

h) asteen vähentäminen

16. cos 2 (3x/7);

Oppilaat näkevät vastauksensa kannettavalla tietokoneella jokaisen kaavan vieressä.

Työ tarkistetaan välittömästi tietokoneella. Tulokset näytetään suuri näyttö kaikkien nähtäväksi.

Lisäksi työn valmistuttua oikeat vastaukset näkyvät opiskelijoiden kannettavissa tietokoneissa. Jokainen oppilas näkee, missä virhe on tehty ja mitä kaavoja hänen on toistettava.

3. Trigonometristen lausekkeiden yksinkertaistaminen. (25 min.)

Tavoitteena on toistaa, harjoitella ja vahvistaa trigonometrian peruskaavojen käyttöä. Tehtävien B7 ratkaiseminen yhtenäisestä valtionkokeesta.

Tässä vaiheessa on suositeltavaa jakaa luokka vahvojen opiskelijoiden ryhmiin (työskentelevät itsenäisesti ja myöhemmin testaamalla) ja heikkoihin opiskelijoihin, jotka työskentelevät opettajan kanssa.

Tehtävä vahvoille opiskelijoille (valmistettu etukäteen painettuna). Pääpaino on vähennyksen ja kaksoiskulman kaavoissa Unified State Exam 2011 -testin mukaan.

Yksinkertaista ilmaisuja (vahville opiskelijoille):

Samaan aikaan opettaja työskentelee heikkojen oppilaiden kanssa, keskustelee ja ratkaisee tehtäviä ruudulla oppilaiden sanelussa.

Laskea:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

6)

Yksinkertaistaa:

Oli aika keskustella vahvan ryhmän työn tuloksista.

Vastaukset ilmestyvät näytölle, ja myös videokameralla näytetään 5 eri opiskelijan työtä (yksi tehtävä kullekin).

Heikko ryhmä näkee tilanteen ja ratkaisutavan. Keskustelu ja analysointi ovat käynnissä. Käyttämällä teknisiä keinoja se tapahtuu nopeasti.

4. Yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen. (30 min.)

Tavoitteena on toistaa, systematisoida ja yleistää yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisut ja kirjoittaa ylös niiden juuret. Ongelman B3 ratkaisu.

Mikä tahansa trigonometrinen yhtälö, riippumatta siitä, kuinka sen ratkaisemme, johtaa yksinkertaisimpaan.

Tehtävää suorittaessaan opiskelijan tulee kiinnittää huomiota erityistapausten yhtälöiden juurten kirjoittamiseen ja yleisnäkymä ja juurien valinnasta viimeisessä yhtälössä.

Ratkaise yhtälöt:

Kirjoita vastaukseksi pienin positiivinen juuri.

5. Itsenäinen työskentely (10 min.)

Tavoitteena on testata hankittuja taitoja, tunnistaa ongelmat, virheet ja keinot niiden poistamiseksi.

Monitasoista työtä tarjotaan opiskelijan valinnan mukaan.

Vaihtoehto "3"

1) Etsi lausekkeen arvo

2) Yksinkertaista lauseke 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Ratkaise yhtälö

Vaihtoehto "4"

1) Etsi lausekkeen arvo

2) Ratkaise yhtälö Kirjoita vastauksesi pienin positiivinen juuri.

Vaihtoehto "5"

1) Etsi tanα jos

2) Etsi yhtälön juuri Kirjoita vastaukseksi pienin positiivinen juuri.

6. Oppitunnin yhteenveto (5 min)

Opettaja tiivistää, että tunnilla toistettiin ja vahvistettiin trigonometrisiä kaavoja ja ratkottiin yksinkertaisimpia trigonometrisiä yhtälöitä.

Aseta kotitehtävät(valmistellaan painettuna etukäteen) pistokokein seuraavalla oppitunnilla.

Ratkaise yhtälöt:

9)

10) Merkitse vastauksessasi pienin positiivinen juuri.

Oppitunti 2

Aihe: 11. luokka (valmistautuminen yhtenäiseen valtionkokeeseen)

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät. Juuren valinta. (2 tuntia)

Tavoitteet:

• Yleistää ja systematisoida tietoa erilaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta.
• Edistää opiskelijoiden matemaattisen ajattelun kehittymistä, havainnointi-, vertailu-, yleistys- ja luokittelukykyä.
• Kannusta oppilaita voittamaan vaikeudet henkisen toiminnan prosessissa, hallitsemaan itseään ja tarkastelemaan toimintaansa.

Varusteet tunnille: KRMu, kannettavat tietokoneet jokaiselle opiskelijalle.

Oppitunnin rakenne:

1. Organisatorinen hetki
2. Keskustelu d/z:stä ja itsestään. työ viimeiseltä oppitunnilta
3. Trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmien katsaus.
4. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen
5. Juurien valinta trigonometrisissa yhtälöissä.
6. Itsenäinen työ.
7. Oppitunnin yhteenveto. Kotitehtävät.

1. Organisaatiohetki (2 min.)

Opettaja tervehtii yleisöä, ilmoittaa oppitunnin aiheen ja työsuunnitelman.

2. a) Kotitehtävien analyysi (5 min.)

Tavoitteena on tarkistaa toteutus. Yksi teos näytetään näytöllä videokameralla, loput kerätään valikoivasti opettajan tarkastettavaksi.

b) Itsenäisen työn analyysi (3 min.)

Tavoitteena on analysoida virheet ja osoittaa keinoja niiden voittamiseksi.

Vastaukset ja ratkaisut ovat ruudulla, opiskelijoille jaetaan työnsä etukäteen. Analyysi etenee nopeasti.

3. Trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmien katsaus (5 min.)

Tavoitteena on palauttaa mieleen menetelmiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Kysy oppilailta, mitä menetelmiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi he tietävät. Korosta, että on olemassa niin sanottuja (usein käytettyjä) perusmenetelmiä:

• muuttuva vaihto,
• faktorointi,
• homogeeniset yhtälöt,

ja käytössä on menetelmiä:

• käyttämällä kaavoja summan muuttamiseksi tuotteeksi ja tuotteen summaksi,
• asteen vähentämiskaavojen mukaan,
• universaali trigonometrinen substituutio
• apukulman käyttöönotto,
• kertominen jollakin trigonometrisellä funktiolla.

On myös muistettava, että yksi yhtälö voidaan ratkaista eri tavoin.

4. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen (30 min.)

Tavoitteena on yleistää ja lujittaa tietoja ja taitoja tästä aiheesta, valmistautua C1-ratkaisuun Unified State Exaista.

Mielestäni on suositeltavaa ratkaista kunkin menetelmän yhtälöt yhdessä opiskelijoiden kanssa.

Opiskelija sanelee ratkaisun, opettaja kirjoittaa sen tabletille ja koko prosessi näkyy näytöllä. Näin voit nopeasti ja tehokkaasti palauttaa muistissasi aiemmin käsiteltyä materiaalia.

Ratkaise yhtälöt:

1) korvataan muuttuja 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) kerroin 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogeeniset yhtälöt sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) muunnetaan summa tuloksi cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) muunnetaan tulo summaksi 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) asteen sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5 pienennys

7) universaali trigonometrinen substituutio sinx + 5cosx + 5 = 0.

Tätä yhtälöä ratkaistaessa on huomattava, että käyttämällä tätä menetelmää johtaa määritelmäalueen kaventumiseen, koska sini ja kosini korvataan tg(x/2). Siksi ennen kuin kirjoitat vastauksen, sinun on tarkistettava, ovatko joukon π + 2πn, n Z numerot tämän yhtälön hevosia.

8) apukulman käyttöönotto √3sinx + cosx - √2 = 0

9) kertominen jollakin trigonometrisellä funktiolla cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Trigonometristen yhtälöiden juurien valinta (20 min.)

Koska kovan kilpailun olosuhteissa yliopistoihin tullessa kokeen ensimmäisen osan ratkaiseminen ei yksin riitä, useimpien opiskelijoiden tulisi kiinnittää huomiota toisen osan (C1, C2, C3) tehtäviin.

Siksi tämän oppitunnin vaiheen tavoitteena on muistaa aiemmin opiskeltu materiaali ja valmistautua ratkaisemaan tehtävä C1 Unified State Exam 2011 -kokeesta.

On olemassa trigonometrisiä yhtälöitä, joissa sinun on valittava juuret kirjoittaessasi vastausta. Tämä johtuu joistakin rajoituksista, esimerkiksi: murtoluvun nimittäjä ei ole nolla, parillisen juuren alla oleva lauseke on ei-negatiivinen, logaritmimerkin alla oleva lauseke on positiivinen jne.

Tällaisia ​​yhtälöitä pidetään monimutkaisempina yhtälöinä versio yhtenäisestä valtionkokeesta ovat toisessa osassa, nimittäin C1.

Ratkaise yhtälö:

Murto-osa on yhtä suuri kuin nolla, jos silloin yksikköympyrän avulla valitsemme juuret (katso kuva 1)

Kuva 1.

saamme x = π + 2πn, n Z

Vastaus: π + 2πn, n Z

Ruudulla juurien valinta näkyy ympyrässä värikuvassa.

Tulo on nolla, kun ainakin yksi tekijöistä on yhtä suuri kuin nolla, eikä kaari menetä merkitystään. Sitten

Yksikköympyrän avulla valitsemme juuret (katso kuva 2)

Osat: Matematiikka

Luokka: 11

Oppitunti 1

Aihe: 11. luokka (valmistautuminen yhtenäiseen valtionkokeeseen)

Trigonometristen lausekkeiden yksinkertaistaminen.

Yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen. (2 tuntia)

Tavoitteet:

• Systematoida, yleistää, laajentaa opiskelijoiden tietoja ja taitoja, jotka liittyvät trigonometriakaavojen käyttöön ja yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

Varusteet tunnille:

Oppitunnin rakenne:

1. Organisatorinen hetki
2. Testaus kannettavissa tietokoneissa. Keskustelu tuloksista.
3. Trigonometristen lausekkeiden yksinkertaistaminen
4. Yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen
5. Itsenäinen työ.
6. Oppitunnin yhteenveto. Kotitehtävän selitys.

1. Organisatorinen hetki. (2 minuuttia.)

Opettaja tervehtii yleisöä, ilmoittaa oppitunnin aiheen, muistuttaa, että heille oli aiemmin annettu tehtävä toistaa trigonometriakaavoja, ja valmistelee oppilaita testaukseen.

2. Testaus. (15 min + 3 min keskustelua)

Tavoitteena on testata trigonometristen kaavojen tuntemusta ja kykyä soveltaa niitä. Jokaisella opiskelijalla on pöydällä kannettava tietokone, jossa on versio kokeesta.

Vaihtoehtoja voi olla useita, annan esimerkin yhdestä:

I vaihtoehto.

Yksinkertaista ilmaisuja:

a) trigonometriset perusidentiteetit

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) summauskaavat

3. sin5x - sin3x;

c) tuotteen muuntaminen summaksi

6. 2sin8y cos3y;

d) kaksoiskulmakaavat

7. 2sin5x cos5x;

e) puolikulmien kaavat

f) kolmoiskulmakaavat

g) universaali korvaaminen

h) asteen vähentäminen

16. cos 2 (3x/7);

Oppilaat näkevät vastauksensa kannettavalla tietokoneella jokaisen kaavan vieressä.

Työ tarkistetaan välittömästi tietokoneella. Tulokset näkyvät suurella näytöllä kaikkien nähtäville.

Lisäksi työn valmistuttua oikeat vastaukset näkyvät opiskelijoiden kannettavissa tietokoneissa. Jokainen oppilas näkee, missä virhe on tehty ja mitä kaavoja hänen on toistettava.

3. Trigonometristen lausekkeiden yksinkertaistaminen. (25 min.)

Tavoitteena on toistaa, harjoitella ja vahvistaa trigonometrian peruskaavojen käyttöä. Tehtävien B7 ratkaiseminen yhtenäisestä valtionkokeesta.

Tässä vaiheessa on suositeltavaa jakaa luokka vahvojen opiskelijoiden ryhmiin (työskentelevät itsenäisesti ja myöhemmin testaamalla) ja heikkoihin opiskelijoihin, jotka työskentelevät opettajan kanssa.

Tehtävä vahvoille opiskelijoille (valmistettu etukäteen painettuna). Pääpaino on vähennyksen ja kaksoiskulman kaavoissa Unified State Exam 2011 -testin mukaan.

Yksinkertaista ilmaisuja (vahville opiskelijoille):

Samaan aikaan opettaja työskentelee heikkojen oppilaiden kanssa, keskustelee ja ratkaisee tehtäviä ruudulla oppilaiden sanelussa.

Laskea:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

6)

Yksinkertaistaa:

Oli aika keskustella vahvan ryhmän työn tuloksista.

Vastaukset ilmestyvät näytölle, ja myös videokameralla näytetään 5 eri opiskelijan työtä (yksi tehtävä kullekin).

Heikko ryhmä näkee tilanteen ja ratkaisutavan. Keskustelu ja analysointi ovat käynnissä. Teknisiä keinoja käyttämällä tämä tapahtuu nopeasti.

4. Yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen. (30 min.)

Tavoitteena on toistaa, systematisoida ja yleistää yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisut ja kirjoittaa ylös niiden juuret. Ongelman B3 ratkaisu.

Mikä tahansa trigonometrinen yhtälö, riippumatta siitä, kuinka sen ratkaisemme, johtaa yksinkertaisimpaan.

Tehtävää suoritettaessa tulee kiinnittää huomiota erikoistapausten ja yleisen muodon yhtälöiden juurien kirjoittamiseen ja juurien valintaan viimeisessä yhtälössä.

Ratkaise yhtälöt:

Kirjoita vastaukseksi pienin positiivinen juuri.

5. Itsenäinen työskentely (10 min.)

Tavoitteena on testata hankittuja taitoja, tunnistaa ongelmat, virheet ja keinot niiden poistamiseksi.

Monitasoista työtä tarjotaan opiskelijan valinnan mukaan.

Vaihtoehto "3"

1) Etsi lausekkeen arvo

2) Yksinkertaista lauseke 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Ratkaise yhtälö

Vaihtoehto "4"

1) Etsi lausekkeen arvo

2) Ratkaise yhtälö Kirjoita vastauksesi pienin positiivinen juuri.

Vaihtoehto "5"

1) Etsi tanα jos

2) Etsi yhtälön juuri Kirjoita vastaukseksi pienin positiivinen juuri.

6. Oppitunnin yhteenveto (5 min)

Opettaja tiivistää, että tunnilla toistettiin ja vahvistettiin trigonometrisiä kaavoja ja ratkottiin yksinkertaisimpia trigonometrisiä yhtälöitä.

Kotitehtävät annetaan (valmistellaan painettuna etukäteen) satunnaisella tarkistuksella seuraavalla oppitunnilla.

Ratkaise yhtälöt:

9)

10) Merkitse vastauksessasi pienin positiivinen juuri.

Oppitunti 2

Aihe: 11. luokka (valmistautuminen yhtenäiseen valtionkokeeseen)

Trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät. Juuren valinta. (2 tuntia)

Tavoitteet:

• Yleistää ja systematisoida tietoa erilaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta.
• Edistää opiskelijoiden matemaattisen ajattelun kehittymistä, havainnointi-, vertailu-, yleistys- ja luokittelukykyä.
• Kannusta oppilaita voittamaan vaikeudet henkisen toiminnan prosessissa, hallitsemaan itseään ja tarkastelemaan toimintaansa.

Varusteet tunnille: KRMu, kannettavat tietokoneet jokaiselle opiskelijalle.

Oppitunnin rakenne:

1. Organisatorinen hetki
2. Keskustelu d/z:stä ja itsestään. työ viimeiseltä oppitunnilta
3. Trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmien katsaus.
4. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen
5. Juurien valinta trigonometrisissa yhtälöissä.
6. Itsenäinen työ.
7. Oppitunnin yhteenveto. Kotitehtävät.

1. Organisaatiohetki (2 min.)

Opettaja tervehtii yleisöä, ilmoittaa oppitunnin aiheen ja työsuunnitelman.

2. a) Kotitehtävien analyysi (5 min.)

Tavoitteena on tarkistaa toteutus. Yksi teos näytetään näytöllä videokameralla, loput kerätään valikoivasti opettajan tarkastettavaksi.

b) Itsenäisen työn analyysi (3 min.)

Tavoitteena on analysoida virheet ja osoittaa keinoja niiden voittamiseksi.

Vastaukset ja ratkaisut ovat ruudulla, opiskelijoille jaetaan työnsä etukäteen. Analyysi etenee nopeasti.

3. Trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmien katsaus (5 min.)

Tavoitteena on palauttaa mieleen menetelmiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Kysy oppilailta, mitä menetelmiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi he tietävät. Korosta, että on olemassa niin sanottuja (usein käytettyjä) perusmenetelmiä:

• muuttuva vaihto,
• faktorointi,
• homogeeniset yhtälöt,

ja käytössä on menetelmiä:

• käyttämällä kaavoja summan muuttamiseksi tuotteeksi ja tuotteen summaksi,
• asteen vähentämiskaavojen mukaan,
• universaali trigonometrinen substituutio
• apukulman käyttöönotto,
• kertominen jollakin trigonometrisellä funktiolla.

On myös muistettava, että yksi yhtälö voidaan ratkaista eri tavoin.

4. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen (30 min.)

Tavoitteena on yleistää ja lujittaa tietoja ja taitoja tästä aiheesta, valmistautua C1-ratkaisuun Unified State Exaista.

Mielestäni on suositeltavaa ratkaista kunkin menetelmän yhtälöt yhdessä opiskelijoiden kanssa.

Opiskelija sanelee ratkaisun, opettaja kirjoittaa sen tabletille ja koko prosessi näkyy näytöllä. Näin voit nopeasti ja tehokkaasti palauttaa muistissasi aiemmin käsiteltyä materiaalia.

Ratkaise yhtälöt:

1) korvataan muuttuja 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) kerroin 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogeeniset yhtälöt sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) muunnetaan summa tuloksi cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) muunnetaan tulo summaksi 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) asteen sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5 pienennys

7) universaali trigonometrinen substituutio sinx + 5cosx + 5 = 0.

Tätä yhtälöä ratkaistaessa on huomioitava, että tämän menetelmän käyttö johtaa määritelmäalueen kaventumiseen, koska sini ja kosini korvataan tg(x/2). Siksi ennen kuin kirjoitat vastauksen, sinun on tarkistettava, ovatko joukon π + 2πn, n Z numerot tämän yhtälön hevosia.

8) apukulman käyttöönotto √3sinx + cosx - √2 = 0

9) kertominen jollakin trigonometrisellä funktiolla cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Trigonometristen yhtälöiden juurien valinta (20 min.)

Koska kovan kilpailun olosuhteissa yliopistoihin tullessa kokeen ensimmäisen osan ratkaiseminen ei yksin riitä, useimpien opiskelijoiden tulisi kiinnittää huomiota toisen osan (C1, C2, C3) tehtäviin.

Siksi tämän oppitunnin vaiheen tavoitteena on muistaa aiemmin opiskeltu materiaali ja valmistautua ratkaisemaan tehtävä C1 Unified State Exam 2011 -kokeesta.

On olemassa trigonometrisiä yhtälöitä, joissa sinun on valittava juuret kirjoittaessasi vastausta. Tämä johtuu joistakin rajoituksista, esimerkiksi: murtoluvun nimittäjä ei ole nolla, parillisen juuren alla oleva lauseke on ei-negatiivinen, logaritmimerkin alla oleva lauseke on positiivinen jne.

Tällaisia ​​yhtälöitä pidetään monimutkaisempina yhtälöinä ja Unified State Exam -versiossa ne löytyvät toisesta osasta, nimittäin C1.

Ratkaise yhtälö:

Murto-osa on yhtä suuri kuin nolla, jos silloin yksikköympyrän avulla valitsemme juuret (katso kuva 1)

Kuva 1.

saamme x = π + 2πn, n Z

Vastaus: π + 2πn, n Z

Ruudulla juurien valinta näkyy ympyrässä värikuvassa.

Tulo on nolla, kun ainakin yksi tekijöistä on yhtä suuri kuin nolla, eikä kaari menetä merkitystään. Sitten

Yksikköympyrän avulla valitsemme juuret (katso kuva 2)

Kuva 2.

5)

Siirrytään järjestelmään:

Järjestelmän ensimmäisessä yhtälössä teemme korvaavan log 2 (sinx) = y, saamme sitten yhtälön , palataan järjestelmään

yksikköympyrän avulla valitsemme juuret (katso kuva 5),

Kuva 5.

6. Itsenäinen työskentely (15 min.)

Tavoitteena on koota ja tarkistaa aineiston assimilaatio, tunnistaa virheet ja hahmotella tapoja niiden korjaamiseksi.

Teosta tarjotaan kolmessa versiossa, jotka on valmistettu etukäteen painettuna ja joista opiskelijat voivat valita.

Voit ratkaista yhtälöitä millä tahansa tavalla.

Vaihtoehto "3"

Ratkaise yhtälöt:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Vaihtoehto "4"

Ratkaise yhtälöt:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Vaihtoehto "5"

Ratkaise yhtälöt:

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. Oppitunnin yhteenveto, läksyt (5 min.)

Opettaja tekee yhteenvedon oppitunnista ja kiinnittää jälleen huomion siihen, että trigonometrinen yhtälö voidaan ratkaista monella tavalla. Suurin osa Paras tapa nopean tuloksen saavuttamiseksi tietty opiskelija oppii parhaiten sen.

Kun valmistaudut tenttiin, sinun on systemaattisesti toistettava kaavoja ja menetelmiä yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Kotitehtävät (ennakolta painettuna) jaetaan ja joidenkin yhtälöiden ratkaisumenetelmiä kommentoida.

Ratkaise yhtälöt:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2 x + sin2x = 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8)cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8)cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

SISÄÄN identiteetin muunnoksia trigonometriset lausekkeet Seuraavia algebrallisia tekniikoita voidaan käyttää: identtisten termien lisääminen ja vähentäminen; yhteisen tekijän jättäminen pois suluista; kertominen ja jako samalla suurella; lyhennettyjen kertolaskujen soveltaminen; täydellisen neliön valitseminen; toisen asteen trinomin faktorointi; uusien muuttujien käyttöönotto muunnosten yksinkertaistamiseksi.

Kun muunnat murtolukuja sisältäviä trigonometrisiä lausekkeita, voit käyttää suhteellisuuden, murtolukujen pienentämisen tai murtolukujen vähentämisen ominaisuuksia yhteiseksi nimittäjäksi. Lisäksi voit käyttää murto-osan koko osan valintaa kertomalla murto-osan osoittaja ja nimittäjä samalla määrällä, ja myös mahdollisuuksien mukaan ottaa huomioon osoittajan tai nimittäjän homogeenisuus. Tarvittaessa voit esittää murto-osan useiden yksinkertaisempien murtolukujen summana tai erotuksena.

Lisäksi, kun käytetään kaikkia tarvittavia menetelmiä trigonometristen lausekkeiden muuntamiseen, on jatkuvasti otettava huomioon muunnettavien lausekkeiden sallittujen arvojen alue.

Katsotaanpa muutamia esimerkkejä.

Esimerkki 1.

Laske A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+ sin (3π/2 – x) sin (2x –5π/2)) 2

Ratkaisu.

Vähennyskaavoista seuraa:

sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.

Mistä saamme argumenttien lisäyskaavojen ja trigonometrisen pääidentiteetin avulla

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Vastaus: 1.

Esimerkki 2.

Muunna lauseke M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ tuloksi.

Ratkaisu.

Kaavoista argumenttien lisäämiseen ja kaavoihin summien muuntamiseen trigonometriset funktiot tuotteeseen asianmukaisen ryhmittelyn jälkeen

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

Vastaus: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

Esimerkki 3.

Osoita, että lauseke A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) ottaa yhden kaikelle x:lle R:stä ja sama merkitys. Etsi tämä arvo.

Ratkaisu.

Tässä on kaksi tapaa ratkaista tämä ongelma. Ensimmäistä menetelmää käyttämällä, eristämällä täydellinen neliö ja käyttämällä vastaavia trigonometrisiä peruskaavoja, saadaan

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Kun ongelma ratkaistaan ​​toisella tavalla, katso A:n x:n funktiona R:stä ja laske sen derivaatta. Muutosten jälkeen saamme

А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x) + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =

Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Tästä syystä intervalliin differentioituvan funktion pysyvyyskriteerin vuoksi päätämme, että

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Vastaus: A = 3/4 x € R.

Tärkeimmät tekniikat trigonometristen henkilöllisyyksien todistamiseksi ovat:

A) identiteetin vasemman puolen vähentäminen oikealle asianmukaisilla muunnoksilla;
b) identiteetin oikean puolen pienentäminen vasemmalle;
V) identiteetin oikean ja vasemman puolen pienentäminen samaan muotoon;
G) pienennetään nollaan todistettavan identiteetin vasemman ja oikean puolen välinen ero.

Esimerkki 4.

Tarkista, että cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Ratkaisu.

Muuntamalla tämän identiteetin oikea puoli vastaavien trigonometristen kaavojen avulla, meillä on

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Identiteetin oikea puoli pienennetään vasemmalle.

Esimerkki 5.

Todista, että sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, jos α, β, γ ovat jonkin kolmion sisäkulmia.

Ratkaisu.

Ottaen huomioon, että α, β, γ ovat jonkin kolmion sisäkulmat, saadaan, että

α + β + γ = π ja siksi γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Alkuperäinen tasa-arvo on todistettu.

Esimerkki 6.

Osoita, että jotta yksi kolmion kulmista α, β, γ olisi yhtä suuri kuin 60°, on välttämätöntä ja riittävää, että sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Ratkaisu.

Tämän ongelman ehtona on sekä tarpeellisuuden että riittävyyden osoittaminen.

Ensin todistetaan välttämättömyys.

Sen voi osoittaa

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Näin ollen, kun otetaan huomioon, että cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, saadaan, että jos yksi kulmista α, β tai γ on yhtä suuri kuin 60°, niin

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 ja siksi sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Todistetaan nyt riittävyyttä määritetty ehto.

Jos sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, niin cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, ja siksi

joko cos (3α/2) = 0 tai cos (3β/2) = 0 tai cos (3γ/2) = 0.

Siten,

tai 3a/2 = π/2 + πk, so. α = π/3 + 2πk/3,

tai 3β/2 = π/2 + πk, so. β = π/3 + 2πk/3,

tai 3γ/2 = π/2 + πk,

nuo. γ = π/3 + 2πk/3, missä k ϵ Z.

Siitä tosiasiasta, että α, β, γ ovat kolmion kulmia, meillä on

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Siksi, jos α = π/3 + 2πk/3 tai β = π/3 + 2πk/3 tai

γ = π/3 + 2πk/3 kaikista kϵZ:istä vain k = 0 on sopiva.

Tästä seuraa, että joko α = π/3 = 60° tai β = π/3 = 60° tai γ = π/3 = 60°.

Väite on todistettu.

Onko sinulla vielä kysyttävää? Etkö ole varma, kuinka trigonometrisiä lausekkeita yksinkertaistetaan?
Jos haluat apua ohjaajalta, rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

verkkosivuilla, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Videotunti ”Trigonometristen lausekkeiden yksinkertaistaminen” on suunniteltu kehittämään opiskelijoiden taitoja ratkaista trigonometrisiä tehtäviä käyttämällä trigonometrisiä perusidentiteettejä. Videotunnilla käsitellään trigonometristen identiteettien tyyppejä ja esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta niiden avulla. Visuaalisia apuvälineitä käyttämällä opettajan on helpompi saavuttaa oppitunnin tavoitteet. Materiaalin elävä esitys edistää ulkoa oppimista tärkeitä kohtia. Animaatiotehosteiden ja selostuksen avulla voit korvata opettajan kokonaan materiaalin selittämisvaiheessa. Siten käyttämällä tätä visuaalista apuvälinettä matematiikan tunneilla opettaja voi lisätä opetuksen tehokkuutta.

Videotunnin alussa sen aihe ilmoitetaan. Sitten muistetaan aiemmin tutkitut trigonometriset identiteetit. Näytöllä näkyy yhtälöt sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, missä t≠π/2+πk kϵZ:lle, ctg t=cos t/sin t, oikein t≠πk, missä kϵZ, tg t· ctg t=1, kun t≠πk/2, missä kϵZ, joita kutsutaan trigonometrisiksi perusidentiteeteiksi. On huomattava, että näitä identiteettejä käytetään usein ratkaistaessa ongelmia, joissa on tarpeen osoittaa tasa-arvo tai yksinkertaistaa ilmaisua.

Alla tarkastellaan esimerkkejä näiden identiteettien soveltamisesta ongelmien ratkaisemiseen. Ensinnäkin ehdotetaan, että pohditaan lausekkeiden yksinkertaistamisongelmien ratkaisemista. Esimerkissä 1 on tarpeen yksinkertaistaa lauseketta cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Esimerkin ratkaisemiseksi otetaan ensin yhteinen kerroin cos 2 t suluista. Tämän suluissa olevan muunnoksen tuloksena saadaan lauseke 1- cos 2 t, jonka arvo trigonometrian pääidentiteetistä on yhtä suuri kuin sin 2 t. Lausekkeen muuntamisen jälkeen on selvää, että yksi yhteinen tekijä sin 2 t voidaan ottaa pois suluista, jonka jälkeen lauseke saa muotoa sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Samasta perusidentiteetistä johdetaan suluissa olevan lausekkeen arvo, joka on yhtä suuri kuin 1. Yksinkertaistamisen tuloksena saadaan cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

Esimerkissä 2 lauseke kustannus/(1- sint)+ kustannus/(1+ sint) on yksinkertaistettava. Koska molempien murtolukujen osoittajat sisältävät lausekekustannusten, se voidaan ottaa pois suluista yhteisenä tekijänä. Sitten suluissa olevat murtoluvut vähennetään yhteiseksi nimittäjäksi kertomalla (1- sint)(1+ sint). Vastaavien termien tuomisen jälkeen osoittajaksi jää 2 ja nimittäjäksi 1 - sin 2 t. Näytön oikealla puolella haetaan perustrigonometristä identiteettiä sin 2 t+cos 2 t=1. Sen avulla löydämme osion cos 2 t nimittäjä. Murtoluvun pienentämisen jälkeen saadaan yksinkertaistettu muoto lausekkeelle kustannus/(1- sint)+ kustannus/(1+ sint)=2/kustannus.

Seuraavaksi tarkastellaan esimerkkejä identiteetin todisteista, jotka käyttävät hankittua tietoa trigonometrian perusidentiteeteistä. Esimerkissä 3 on tarpeen todistaa identiteetti (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Näytön oikealla puolella näkyy kolme identiteettiä, joita tarvitaan todistuksessa - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t ja tg t=sin t/cost t rajoituksin. Identiteetin todistamiseksi sulut avataan ensin, minkä jälkeen muodostetaan tulo, joka heijastaa trigonometrisen pääidentiteetin ilmaisua tg t·ctg t=1. Sitten kotangentin määritelmän identiteetin mukaan ctg 2 t muunnetaan. Muutosten tuloksena saadaan lauseke 1-cos 2 t. Pääidentiteetin avulla löydämme ilmaisun merkityksen. Siten on todistettu, että (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

Esimerkissä 4 sinun on löydettävä lausekkeen tg 2 t+ctg 2 t arvo, jos tg t+ctg t=6. Lausekkeen laskemiseksi neliöi ensin yhtälön oikea ja vasen puoli (tg t+ctg t) 2 =6 2. Lyhennetty kertolasku tulee näkyviin näytön oikeaan reunaan. Kun olet avannut lausekkeen vasemmalla puolella olevat sulut, muodostuu summa tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, jonka muuntamiseen voit käyttää jotakin trigonometrisista identiteeteistä tg t·ctg t=1 , jonka muoto näkyy näytön oikealla puolella. Muunnoksen jälkeen saadaan yhtälö tg 2 t+ctg 2 t=34. Tasa-arvon vasen puoli osuu yhteen tehtävän ehdon kanssa, joten vastaus on 34. Tehtävä on ratkaistu.

Videotuntia "Trigonometristen lausekkeiden yksinkertaistaminen" suositellaan käytettäväksi perinteisessä koulun oppitunti matematiikka. Materiaalista on hyötyä myös toteuttajalle etäopiskelu. Trigonometristen ongelmien ratkaisemisen taitojen kehittämiseksi.

TEKSTIN DEKOODAUS:

"Trigonometristen lausekkeiden yksinkertaistaminen."

Tasa-arvot

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinineliö te plus kosinineliö te on yhtä)

2)tgt =, jos t ≠ + πk, kϵZ (tangentti te on yhtä kuin sinin te:n ja kosinin te suhde, kun te ei ole yhtä kuin pi kahdella plus pi ka, ka kuuluu zet:hen)

3)ctgt = , kun t ≠ πk, kϵZ (kotangentti te on yhtä suuri kuin kosinin te ja sini te suhde, te ei ole yhtä suuri kuin pi ka, ka kuuluu zet:hen).

4) tgt ∙ ctgt = 1 kun t ≠ , kϵZ (tangentin te tulo kotangentilla te on yksi, kun te ei ole yhtä suuri kuin huippu ka, jaettuna kahdella, ka kuuluu zet:hen)

kutsutaan trigonometrisiksi perusidentiteeteiksi.

Niitä käytetään usein trigonometristen lausekkeiden yksinkertaistamiseen ja todistamiseen.

Katsotaanpa esimerkkejä näiden kaavojen käyttämisestä trigonometristen lausekkeiden yksinkertaistamiseen.

ESIMERKKI 1. Yksinkertaista lauseke: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (lauseke kosinin neliö te miinus neljännen asteen kosini te plus neljännen asteen sini te).

Ratkaisu. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1 = sin 2 t

(Otamme pois yhteistekijän kosinin neliö te, suluissa saamme erotuksen yksikön ja neliön kosinin te välillä, joka on yhtä suuri kuin ensimmäisen identiteetin neliösini te. Saamme neljännen potenssisinin te summan tulo kosinineliö te ja sinineliö te. Poistetaan yhteinen kerroin sinineliö te sulujen ulkopuolelta, suluissa saadaan kosinin ja sinin neliöiden summa, joka trigonometrisen perusidentiteetin mukaan on 1 Tuloksena saadaan sini te).

ESIMERKKI 2. Yksinkertaista lauseke: + .

(lauseke be on kahden murtoluvun summa ensimmäisen kosinin te osoittajassa nimittäjässä yksi miinus sini te, toisen kosinin te osoittajassa toisen nimittäjässä plus sini te).

(Otetaan yhteinen tekijä kosini te pois suluista ja suluissa tuodaan se yhteiseen nimittäjään, joka on yhden miinus sini te:n tulo plus sini te:llä.

Osoittimessa saamme: yksi plus sini te plus yksi miinus sini te, annamme samanlaisia, osoittaja on kaksi samankaltaisten tuomisen jälkeen.

Nimittäjässä voit soveltaa lyhennettyä kertolaskukaavaa (neliöiden erotus) ja saada erotuksen yksikön ja sinin te neliön välillä, joka trigonometrisen perusidentiteetin mukaan

yhtä suuri kuin kosinin te neliö. Kun vähennetään kosini te:llä, saadaan lopullinen vastaus: kaksi jaettuna kosinilla te).

Katsotaanpa esimerkkejä näiden kaavojen käytöstä trigonometristen lausekkeiden todistamisessa.

ESIMERKKI 3. Todista identtisyys (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (tangentin te ja sini te neliöiden eron tulo kotangentin te neliöllä on yhtä suuri kuin sin te).

Todiste.

Muunnetaan tasa-arvon vasen puoli:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ = 1 - 2 t = sin 2 t

(Avataan sulut; aiemmin saadusta suhteesta tiedetään, että tangentin te neliöiden tulo kotangentilla te on yhtä. Muistetaan, että kotangentti te on yhtä suuri kuin kosinin te ja sini te suhde, joka tarkoittaa, että kotangentin neliö on kosinin te neliön suhde sinin te neliöön.

Sinineliön te:n vähentämisen jälkeen saadaan ykseyden ja kosinineliön te erotus, joka on yhtä suuri kuin sinineliö te). Q.E.D.

ESIMERKKI 4. Etsi lausekkeen tg 2 t + ctg 2 t arvo, jos tgt + ctgt = 6.

(tangentin te ja kotangentin te neliöiden summa, jos tangentin ja kotangentin summa on kuusi).

Ratkaisu. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Neliötetään alkuperäisen yhtälön molemmat puolet:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (tangentin te ja kotangentin te summan neliö on yhtä suuri kuin kuusi neliötä). Muistetaan lyhennetyn kertolaskukaava: Kahden suuren summan neliö on yhtä suuri kuin ensimmäisen neliö plus kaksi kertaa ensimmäisen tulo toisella plus toisen suuren neliö. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Saamme tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (tangentin neliö te plus tangentin te tulo kotangentilla te plus kotangentin neliö te on yhtä suuri kolmekymmentäkuusi) .

Koska tangentin te ja kotangentin te tulo on yksi, niin tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (tangentin te ja kotangentin te ja kahden neliöiden summa on kolmekymmentäkuusi),

Voronkova Olga Ivanovna

MBOU "Secondary school"

nro 18"

Engels, Saratovin alue.

Matematiikan opettaja.

"Trigonometriset lausekkeet ja niiden muunnokset"

Johdanto…………………………………………………………………………………………………………

Luku 1 Trigonometristen lausekkeiden muunnosten käyttöä koskevien tehtävien luokittelu …………………………….………………………5

1.1. Laskentatehtävät trigonometristen lausekkeiden arvot……….5

1.2.Tehtäviä trigonometristen lausekkeiden yksinkertaistamiseksi.... 7

1.3. Tehtävät numeeristen trigonometristen lausekkeiden muuntamiseen.....7

1.4 Sekatyyppiset tehtävät………………………………………………………………………

Luku 2. Aiheen ”Trigonometristen lausekkeiden muunnos” viimeisen toiston järjestämisen metodologiset näkökohdat……………………………11

2.1 Temaattinen toisto 10. luokalla……………………………………………………………11

Koe 1……………………………………………………………………………………..12

Koe 2……………………………………………………………………………………..13

Koe 3……………………………………………………………………………………..14

2.2 Lopullinen toisto 11. luokalla……………………………………………………………15

Koe 1……………………………………………………………………………………..17

Testi 2……………………………………………………………………………………..17

Koe 3…………………………………………………………………………………..18

Johtopäätös…………………………………………………………………………………………………….

Lista viitteistä……………………………………………………………..…….20

Johdanto.

Tämän päivän olosuhteissa tärkein kysymys on: "Kuinka voimme auttaa poistamaan joitakin aukkoja opiskelijoiden tiedoissa ja varoittamaan heitä mahdollisista virheistä yhtenäistetyssä valtionkokeessa?" Tämän ongelman ratkaisemiseksi on varmistettava, että opiskelijat eivät muodollisesti hallitse ohjelmamateriaalia, vaan sen syvä ja tietoinen ymmärrys, suullisten laskelmien ja muunnosten nopeuden kehittäminen sekä taitojen kehittäminen yksinkertaisten ongelmien ratkaisemisessa "mielessä". Opiskelijat on saatava vakuuttuneiksi siitä, että he voivat luottaa todelliseen menestykseen vain aktiivisessa asemassa matematiikkaa opiskellessaan, mikäli he hankkivat käytännön taitoja ja kykyjä sekä niiden käyttöä. On tarpeen käyttää kaikki tilaisuus valmistautua yhtenäiseen valtionkokeeseen, mukaan lukien valinnaiset aineet luokilla 10-11, ja suorittaa säännöllisiä tarkastuksia vaikeita tehtäviä opiskelijoiden kanssa valitsemalla järkevin tapa ratkaista ongelmia tunneilla ja lisäluokilla.Positiivinen tulosratkaisualueet tyypillisiä tehtäviä voidaan saavuttaa, jos matematiikan opettajat, luomallahyvä peruskoulutus opiskelijat, etsi uusia tapoja ratkaista meille avautuneita ongelmia, kokeile aktiivisesti, soveltaa modernia koulutusteknologiat, menetelmiä, tekniikoita, jotka luovat suotuisat olosuhteet opiskelijoiden tehokkaalle itsensä toteuttamiselle ja itsemääräämiselle uusissa sosiaalisissa olosuhteissa.

Trigonometria - komponentti koulun matematiikan kurssi. Hyvät tiedot ja vahvat trigonometriataidot ovat todisteita riittävä taso matemaattinen kulttuuri, välttämätön edellytys matematiikan, fysiikan ja useiden teknisten asioiden menestyksekkäälle opiskelulle tieteenaloilla.

Teoksen relevanssi. Merkittävä osa valmistuneista osoittaa vuodesta toiseen erittäin huonoa valmistautumista tällä tärkeällä matematiikan osa-alueella, mistä on osoituksena menneiden vuosien tulokset (valmistumisprosentti 2011 - 48,41%, 2012 - 51,05 %) läpäisyanalyysin jälkeen. yhtenäinen valtiokoe osoitti, että opiskelijat tekevät paljon virheitä suorittaessaan tehtäviä tässä osiossa tai eivät ota sellaisia ​​tehtäviä ollenkaan. Yhdessä Valtionkokeessa trigonometriakysymyksiä löytyy lähes kolmen tyyppisestä tehtävästä. Tämä sisältää yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisun tehtävässä B5 ja työskentelyn trigonometristen lausekkeiden kanssa tehtävässä B7 sekä trigonometristen funktioiden tutkimisen tehtävässä B14 sekä tehtävät B12, joissa on kuvaavia kaavoja. fyysisiä ilmiöitä ja sisältää trigonometrisiä funktioita. Ja tämä on vain osa tehtävistä B! Mutta on myös suosikkitrigonometrisiä yhtälöitä, joissa on valittu juurit C1, ja "ei niin suosikki" geometrisia tehtäviä C2 ja C4.

Työn tavoite. Analysoida Yhtenäisen valtiontutkinnon materiaali tehtävät B7, jotka on omistettu trigonometristen lausekkeiden muunnoksille ja luokittelevat tehtäviä niiden esitysmuodon mukaan testeissä.

Työ koostuu kahdesta luvusta, johdannosta ja lopusta. Johdannossa korostetaan työn relevanssia. Ensimmäinen luku sisältää tehtävien luokituksen trigonometristen lausekkeiden muunnosten käytöstä testissä Yhtenäiset valtionkoetehtävät(2012).

Toisessa luvussa käsitellään aiheen "Trigonometristen lausekkeiden muuntaminen" toiston organisointia luokilla 10 ja 11 ja tästä aiheesta kehitetään testejä.

Lähdeluettelossa on 17 lähdettä.

Luku 1. Tehtävien luokittelu trigonometristen lausekkeiden muunnoksilla.

Toisen asteen (täydellinen) koulutusstandardin ja opiskelijoiden valmistautumistasovaatimusten mukaisesti vaatimuskoodikirja sisältää tehtäviä trigonometrian perusteiden tuntemisesta.

Trigonometrian perusteiden oppiminen on tehokkainta, kun:

Opiskelijoille tarjotaan positiivista motivaatiota toistaa aiemmin opittua materiaalia;

V koulutusprosessi henkilökeskeinen lähestymistapa otetaan käyttöön;

käytetään tehtäväjärjestelmää, joka auttaa laajentamaan, syventämään ja systematisoimaan opiskelijoiden tietoja;

Edistyneitä pedagogisia tekniikoita käytetään.

Analysoituamme Unified State Exam -kokeeseen valmistautumisen kirjallisuutta ja Internet-resursseja, olemme ehdottaneet yhtä mahdollisista tehtävien luokitteluista B7 (KIM Unified State Exam 2012-trigonometria): laskentatehtävättrigonometristen lausekkeiden arvot; toimeksiantoja vartennumeeristen trigonometristen lausekkeiden muuntaminen; tehtävät kirjaimellisten trigonometristen lausekkeiden muuntamiseen; sekatyyppisiä tehtäviä.

1.1. Laskentatehtävät trigonometristen lausekkeiden merkitykset.

Yksi yleisimmistä yksinkertaisista trigonometriaongelmista on trigonometristen funktioiden arvojen laskeminen yhden niistä arvosta:

a) Trigonometrisen perusidentiteetin käyttö ja sen seuraukset.

Esimerkki 1 . Etsi jos
Ja
.

Ratkaisu.
,
,

Koska , Tuo
.

Vastaus.

Esimerkki 2 . löytö
, Jos
Ja .

Ratkaisu.
,
,
.

Koska , Tuo
.

Vastaus. .

b) Käyttämällä kaksoiskulmakaavoja.

Esimerkki 3 . löytö
, Jos
.

Ratkaisu. , .

Vastaus.
.

Esimerkki 4 . Etsi ilmaisun merkitys
.

Ratkaisu. .

Vastaus.
.

, Jos
Ja
. Vastaus. -0.2

2. löytö , Jos
Ja
. Vastaus. 0.4

, Jos. Vastaus. -12.88

löytö

, Jos
. Vastaus. -0,84

. Vastaus. 6

1.2.Tehtävät trigonometristen lausekkeiden yksinkertaistamiseksi. Opiskelijoiden tulee ymmärtää pelkistyskaavat hyvin, koska ne löytävät lisäsovellusta geometriassa, fysiikassa ja muilla asiaan liittyvillä tieteenaloilla.

Esimerkki 5 . Yksinkertaista ilmaisuja
.

Ratkaisu. .

Vastaus.
.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:

Yksinkertaista ilmaisu
.

löytö
, Jos
Ja

Etsi ilmaisun merkitys
, Jos
.

1.3. Tehtävät numeeristen trigonometristen lausekkeiden muuntamiseen.

Kun harjoittelet numeeristen trigonometristen lausekkeiden muuntamisen tehtävien taitoja, sinun tulee kiinnittää huomiota trigonometristen funktioiden arvotaulukon tuntemiseen, pariteetin ominaisuuksiin ja trigonometristen funktioiden jaksoittaisuuteen.

a) Trigonometristen funktioiden tarkkojen arvojen käyttäminen joillekin kulmille.

Esimerkki 6 . Laskea
.

Ratkaisu.
.

Vastaus.
.

b) Pariteettiominaisuuksien käyttäminen trigonometriset funktiot.

Esimerkki 7 . Laskea
.

Ratkaisu. .

Vastaus.

V) Jaksoisuusominaisuuksien käyttötrigonometriset funktiot.

Esimerkki 8 . Etsi ilmaisun merkitys
.

Ratkaisu. .

Vastaus.
.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:

Etsi ilmaisun merkitys
.

2. Selvitä lausekkeen merkitys
.

3. Etsi ilmaisun merkitys
. Vastaus. 6

.

1.4 Sekatyyppiset tehtävät.

Sertifiointikokeessa on erittäin merkittäviä ominaisuuksia, joten on tärkeää kiinnittää huomiota useiden trigonometristen kaavojen käyttöön liittyviin tehtäviin samanaikaisesti.

Esimerkki 9. löytö
, Jos
.

Ratkaisu.
.

Vastaus.
.

Esimerkki 10 . löytö
, Jos
Ja
.

Ratkaisu. .

Koska , Tuo
.

Vastaus.
.

Esimerkki 11. löytö
, Jos.

Ratkaisu. , ,
,
,
,
,
.

Vastaus.

Esimerkki 12. Laskea
.

Ratkaisu. .

Vastaus.
.

Esimerkki 13. Etsi ilmaisun merkitys
, Jos
.

Ratkaisu. .

Vastaus.
.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:

löytö
, Jos
.

löytö
, Jos
.

3. Etsi
, Jos.

4. Selvitä lausekkeen merkitys
, Jos
.

5. Selvitä lausekkeen merkitys
, Jos
.

Luku 2. Aiheen "Trigonometristen lausekkeiden muunnos" viimeisen toiston järjestämisen metodologiset näkökohdat.

Yksi tärkeimmistä kysymyksistä, joka edistää akateemisen suorituskyvyn edelleen parantamista ja syvän ja kestävän tiedon saavuttamista opiskelijoiden keskuudessa, on aiemmin käsitellyn materiaalin toistaminen. Käytäntö osoittaa, että 10. luokalla on tarkoituksenmukaisempaa järjestää temaattinen toisto; 11. luokalla - viimeinen toisto.

2.1. Teematarkistus 10. luokalla.

Varsinkin matemaattisen materiaalin parissa hyvin tärkeä oppii toistamaan jokaista suoritettua aihetta tai koko kurssin osaa.

Temaattisella toistolla opiskelijoiden tietämys aiheesta systematisoidaan sen valmistumisen loppuvaiheessa tai tietyn tauon jälkeen.

Temaattiselle toistolle on varattu erityistunteja, joissa yhden tietyn aiheen materiaali keskitetään ja yleistetään.

Toistaminen oppitunnilla tapahtuu keskustelun kautta, jossa oppilaat ovat laajasti mukana tässä keskustelussa. Tämän jälkeen opiskelijat saavat tehtävän toistaa tietty aihe ja varoitetaan koetyöstä.

Aiheeseen liittyvän testin tulee sisältää kaikki sen tärkeimmät kysymykset. Kun työ on valmis, suoritetaan analyysi tyypillisiä virheitä ja toisto järjestetään niiden poistamiseksi.

Temaattisille toistotunneille tarjoamme kehitettyjä arviointityö testien muodossa aiheesta "Trigonometristen lausekkeiden muuntaminen".

Testi nro 1

Testi nro 2

Testi nro 3

Vastaustaulukko

Testata

2.2. Loppuarviointi 11. luokalla.

Lopullinen toisto suoritetaan matematiikan kurssin pääasioiden opiskelun loppuvaiheessa ja se suoritetaan loogisessa yhteydessä opiskeluun koulutusmateriaalia tälle jaksolle tai koko kurssille.

Oppimateriaalin viimeisellä toistolla on seuraavat tavoitteet:

1. Koko materiaalin aktivointi harjoituskurssi selventää sen loogista rakennetta ja rakentaa järjestelmää subjektien ja oppiaineiden välisissä yhteyksissä.

2. Opiskelijoiden tietämyksen syventäminen ja mahdollisuuksien mukaan laajentaminen kurssin pääkysymyksistä toistoprosessissa.

Kaikkien valmistuneiden pakollisen matematiikan kokeen läpäisemisen yhteydessä yhtenäisen valtionkokeen asteittainen käyttöönotto pakottaa opettajat ottamaan uuden lähestymistavan oppituntien valmisteluun ja johtamiseen ottaen huomioon tarve varmistaa, että kaikki koululaiset hallitsevat koulutuksen. materiaalia päälle perustaso, sekä motivoituneille opiskelijoille, jotka ovat kiinnostuneita korkeakouluopintoihin pääsystä, mahdollisuus edetä dynaamisesti materiaalin hallitsemisessa edistyneellä ja korkealla tasolla.

Viimeisten tarkistustuntien aikana voit harkita seuraavia tehtäviä:

Ratkaisu. =
= =
=
=
=
=0,5.

Määritä suurin kokonaislukuarvo, jonka lauseke voi hyväksyä
.

Ratkaisu. Koska
voi ottaa minkä tahansa segmenttiin kuuluvan arvon [–1; 1], sitten
ottaa minkä tahansa segmentin arvon [–0,4; 0,4], siis . Lausekkeella on yksi kokonaislukuarvo – numero 4.

Yksinkertaista ilmaisu
.

Ratkaisu: Käytetään kaavaa kuutioiden summan laskemiseen: . Meillä on

Meillä on:
.

Vastaus: 1

Esimerkki 4. Laskea
.

Ratkaisu. .

Vastaus: 0,28

Viimeisille tarkistustunteille tarjoamme kehitettyjä testejä aiheesta "Trigonometristen lausekkeiden muuntaminen".

Syötä suurin kokonaisluku, joka on enintään 1

Johtopäätös.

Käytyään läpi sopiva metodologinen kirjallisuus tästä aiheesta voimme päätellä, että kyky ja taidot ratkaista liittyviä ongelmia trigonometriset muunnokset V koulun kurssi matematiikka on erittäin tärkeää.

Työn aikana tehtiin tehtävien luokittelu B7. Tarkastellaan vuonna 2012 CMM:issä useimmin käytetyt trigonometriset kaavat. Esimerkkejä tehtävistä ratkaisuineen annetaan. Eriytettyjä kokeita on kehitetty järjestämään toistoa ja systematisoimaan tietoa valmisteltaessa yhtenäistä valtionkoetta.

Aloitettua työtä kannattaa jatkaa harkiten yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen tehtävässä B5, trigonometristen funktioiden tutkiminen tehtävässä B14, tehtävät B12, jotka sisältävät fysikaalisia ilmiöitä kuvaavia kaavoja ja sisältävät trigonometrisiä funktioita.

Lopuksi haluaisin huomauttaa, että yhtenäisen valtionkokeen läpäisyn tehokkuus määräytyy suurelta osin sen perusteella, kuinka tehokkaasti valmisteluprosessi on järjestetty kaikilla koulutustasoilla, kaikilla opiskelijaryhmillä. Ja jos pystymme juurruttamaan opiskelijoihin itsenäisyyttä, vastuullisuutta ja valmiutta jatkaa oppimista koko heidän elämänsä ajan, niin emme vain täytä valtion ja yhteiskunnan järjestystä, vaan lisäämme myös omaa itsetuntoamme.

Oppimateriaalin toistaminen vaatii opettajaa luovaa työtä. Hänen on tarjottava selkeä yhteys toistotyyppien välillä ja toteutettava syvästi harkittu toistojärjestelmä. Toiston järjestämisen taidon hallinta on opettajan tehtävä. Opiskelijoiden tiedon vahvuus riippuu pitkälti sen ratkaisusta.

Kirjallisuus.

Vygodsky Ya.Ya., Perusmatematiikan käsikirja. -M.: Nauka, 1970.

Algebran ja perusanalyysin vaikeusongelmat: Oppikirja luokille 10-11 lukio/ B.M. Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn, S.I. Schwartzburd. – M.: Koulutus, 1990.

Trigonometristen peruskaavojen soveltaminen lausekkeiden muuntamiseen (10. luokka) // Pedagogisten ideoiden festivaali. 2012-2013.

Koryanov A.G. , Prokofjev A.A. Valmistamme hyviä ja erinomaisia ​​opiskelijoita yhtenäiseen valtionkokeeseen. -M.: Pedagoginen yliopisto"Syyskuun ensimmäinen", 2012.- 103 s.

Kuznetsova E.N. Trigonometristen lausekkeiden yksinkertaistaminen. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen erilaisia ​​menetelmiä(valmistelu Unified State -kokeeseen). 11. luokka. 2012-2013.

Kulanin E.D. 3000 matematiikan kilpailutehtävää. 4. painos, oikein. ja ylimääräisiä – M.: Rolf, 2000.

Mordkovich A.G. Trigonometrian opiskelun metodologiset ongelmat lukioissa // Matematiikka koulussa. 2002. Nro 6.

Pichurin L.F. Trigonometriasta eikä vain siitä: -M. Enlightment, 1985

Reshetnikov N.N. Trigonometria koulussa: -M. : Pedagoginen yliopisto "Syyskuun ensimmäinen", 2006, lx 1.

Shabunin M.I., Prokofjev A.A. Matematiikka. Algebra. Matemaattisen analyysin alkua Profiilitaso: oppikirja luokalle 10 - M.: BINOM. Tietolaboratorio, 2007.

Koulutusportaali yhtenäiseen valtionkokeeseen valmistautumiseen.

Valmistautuminen matematiikan yhtenäiseen valtionkokeeseen ”Voi tätä trigonometriaa! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Projekti "Math? Helppoa!!!" http://www.resolventa.ru/