Exemples d'équations plus complexes. Schéma de résolution d'équations linéaires simples

Comment apprendre à résoudre des équations simples et complexes

Chers parents!

Sans formation mathématique de base, l’éducation est impossible l'homme moderne. À l’école, les mathématiques servent de matière complémentaire à de nombreuses disciplines connexes. Dans la vie post-scolaire, cela devient une vraie nécessité formation continue, qui nécessite une formation scolaire générale de base, notamment en mathématiques.

DANS école primaire non seulement des connaissances sur les sujets principaux sont acquises, mais elles se développent également pensée logique, l'imagination et les représentations spatiales, ainsi que la formation de l'intérêt pour ce sujet.

En observant le principe de continuité, nous nous concentrerons sur le sujet le plus important, à savoir « La relation entre les composants des actions dans la résolution d'équations composées ».

En utilisant Cette leçon vous pouvez facilement apprendre à résoudre des équations complexes. Dans cette leçon, vous apprendrez en détail instructions étape par étape résoudre des équations compliquées.

De nombreux parents sont perplexes quant à la question de savoir comment amener leurs enfants à apprendre à résoudre des équations simples et complexes. Si les équations sont simples, cela représente la moitié du problème, mais il en existe aussi des complexes, par exemple des équations intégrales. D’ailleurs, pour information, il y a aussi des équations que les gens ont du mal à résoudre les meilleurs esprits notre planète et pour la solution duquel des prix en espèces très importants sont attribués. Par exemple, si vous vous souvenezPerelmanet un bonus en espèces non réclamé de plusieurs millions.

Cependant, revenons d’abord aux équations mathématiques simples et répétons les types d’équations et les noms des composants. Un petit échauffement :

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RÉCHAUFFER

Trouvez le numéro supplémentaire dans chaque colonne :

2) Quel mot manque dans chaque colonne ?

3) Reliez les mots de la première colonne avec les mots de la 2ème colonne.

"Équation" "Égalité"

4) Comment expliquez-vous ce qu’est « l’égalité » ?

5) Qu’en est-il de « l’équation » ? Est-ce une égalité ? Quelle est sa particularité ?

terme de somme

différence de fin de semaine

produit soustractif

facteurégalité

dividende

l'équation

Conclusion : Une équation est une égalité avec une variable dont il faut trouver la valeur.

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J'invite chaque groupe à écrire des équations sur une feuille de papier avec un feutre : (au tableau)

L'un des membres du groupe doit lire son équation en langage mathématique et commenter sa solution, c'est-à-dire exprimer l'opération en cours avec les composants connus des actions (algorithme).

Conclusion : Nous pouvons résoudre des équations simples de tous types à l'aide d'un algorithme, lire et écrire des expressions littérales.

Je propose de résoudre un problème dans lequel un nouveau type d'équation apparaît.

Conclusion : Nous nous sommes familiarisés avec la solution d'équations dont l'une des parties contient une expression numérique dont il faut trouver la valeur et obtenir une équation simple.

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Considérons une autre version de l'équation dont la solution se réduit à résoudre la chaîne équations simples. Voici une introduction aux équations composées.

Je suggère à chacun d'écrire une phrase en langage mathématique :

Le produit de la différence entre les nombres x et 4 et le nombre 3 est 15.

CONCLUSION : l'émergence situation problématique motive la fixation de l'objectif de la leçon : apprendre à résoudre des équations dans lesquelles la composante inconnue est une expression. De telles équations sont des équations composées.

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Ou peut-être que les types d’équations que nous avons déjà étudiés nous aideront ? (algorithmes)

À laquelle des célèbres équations notre équation est-elle similaire ? X * a = b

QUESTION TRÈS IMPORTANTE: Quelle est l'expression du côté gauche - somme, différence, produit ou quotient ?

(x - 4) * 3 = 15 (Produit)

Pourquoi? (puisque la dernière action est la multiplication)

Conclusion:De telles équations n'ont pas encore été considérées. Mais nous pouvons le résoudre si l'expressionx-4mettez une carte (y - igrek) et vous obtenez une équation qui peut être facilement résolue à l'aide d'un algorithme simple pour trouver le composant inconnu.

Lors de la résolution d'équations composées, il est nécessaire à chaque étape de sélectionner une action à un niveau automatisé, en commentant et en nommant les composants de l'action.

(o - 5) * 4 = 28
y - 5 = 28: 4
oui - 5 = 7
y = 5 +7
y = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (je)

Conclusion:Dans des classes aux parcours différents, ce travail peut être organisé différemment. Dans des classes plus préparées, même pour la consolidation primaire, des expressions peuvent être utilisées dans lesquelles non pas deux, mais trois actions ou plus, mais leur solution nécessite plusétapes, chaque étape simplifiant l’équation jusqu’à ce que vous obteniez une équation simple. Et à chaque fois, vous pouvez observer comment la composante inconnue des actions change.

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CONCLUSION:

Quand nous parlons de quelque chose de très simple et compréhensible, nous disons souvent : « C’est aussi clair que deux et deux font quatre ! »

Mais avant de comprendre que deux et deux font quatre, les gens ont dû étudier pendant des milliers d’années.

De nombreuses règles tirées des manuels scolaires d'arithmétique et de géométrie étaient connues des Grecs de l'Antiquité il y a plus de deux mille ans.

Partout où vous avez besoin de compter, de mesurer, de comparer quelque chose, vous ne pouvez pas vous passer des mathématiques.

Il est difficile d’imaginer comment les gens vivraient s’ils ne savaient pas compter, mesurer et comparer. Les mathématiques enseignent cela.

Aujourd'hui, vous vous êtes plongés dans la vie scolaire, avez joué le rôle d'élèves, et je vous invite, chers parents, à évaluer vos compétences sur une échelle.

Vous êtes assis dans un restaurant et feuilletez le menu. Tous les plats ont l'air si délicieux qu'on ne sait pas quoi choisir. Peut-être les commander tous ?

Vous avez sûrement rencontré de tels problèmes. Si ce n’est pas dans la nourriture, alors dans autre chose. Nous dépensons grande quantité du temps et de l’énergie pour choisir entre des options tout aussi attrayantes. Mais d’un autre côté, les options ne peuvent pas être les mêmes, car chacune d’elles est attractive à sa manière.

Après avoir fait un choix, vous êtes confronté à un nouveau choix. Il s’agit d’une série infinie de décisions importantes, qui implique également la peur de faire le mauvais choix. Ces trois méthodes vous aideront à prendre de meilleures décisions à tous les niveaux de votre vie.

Créer des habitudes pour éviter les décisions quotidiennes

L'idée est que si vous prenez l'habitude de manger de la salade au déjeuner, vous n'aurez pas à décider quoi commander dans un café.

En développant des habitudes adaptées à ces tâches quotidiennes simples, vous économisez de l’énergie pour prendre des décisions plus complexes et plus importantes. De plus, si vous prenez l’habitude de prendre une salade au petit-déjeuner, vous n’aurez pas à gaspiller votre volonté en essayant d’éviter de manger quelque chose de gras et de frit au lieu d’une salade.

Mais cela s’applique aux questions prévisibles. Qu’en est-il des décisions inattendues ?

"Si-alors" : une méthode pour des décisions imprévisibles

Par exemple, quelqu'un interrompt constamment votre discours et vous ne savez pas comment réagir ou si vous devriez réagir du tout. Selon la méthode « si-alors », vous décidez : s'il vous interrompt encore deux fois, alors vous lui ferez une réprimande polie, et si cela ne fonctionne pas, alors sous une forme plus grossière.

Ces deux méthodes aident à accepter la plupart décisions auxquelles nous sommes confrontés chaque jour. Mais quand il s'agit de questions planification stratégique, par exemple, comment répondre à la menace des concurrents, dans quels produits investir davantage, où réduire le budget, ils sont impuissants.

Ce sont des décisions qui peuvent être retardées d'une semaine, d'un mois, voire d'un an, ralentissant le développement de l'entreprise. Ils ne peuvent pas être traités par l'habitude, et la méthode « si-alors » ne fonctionnera pas ici non plus. En règle générale, il n’existe pas de réponse claire et correcte à ces questions.

La direction tarde souvent à prendre de telles décisions. Il collecte des informations, pèse le pour et le contre, continue d'attendre et d'observer la situation, en espérant que quelque chose apparaîtra qui indiquera la bonne décision.

Et si nous supposons qu’il n’y a pas de bonne réponse, cela nous aidera-t-il à prendre une décision rapidement ?

Imaginez que vous deviez prendre une décision dans les 15 prochaines minutes. Ni demain, ni la semaine prochaine, lorsque vous aurez collecté suffisamment d'informations, ni dans un mois, lorsque vous parlerez à toutes les personnes liées au problème.

Vous disposez d'un quart d'heure pour prendre une décision. Passer à l'action.

C'est la troisième voie qui aide à accepter solutions complexes concernant la planification à long terme.

Utiliser le temps

Si vous avez étudié un problème et réalisé que les options pour le résoudre sont tout aussi attrayantes, acceptez qu'il n'y ait pas de bonne réponse, fixez-vous une limite de temps et choisissez simplement n'importe quelle option. Si la vérification d'une des solutions nécessite investissement minimum, sélectionnez-le et vérifiez-le. Mais si cela n’est pas possible, choisissez-en un et le plus tôt possible : le temps que vous passez à réfléchir inutilement peut être mieux utilisé.

Bien sûr, vous pouvez être en désaccord : « Si j’attends, la bonne réponse peut apparaître. » Peut-être, mais premièrement, vous perdez un temps précieux à attendre que la situation s’éclaircisse. Deuxièmement, attendre amène à tergiverser et à reporter d'autres décisions qui s'y rapportent, réduit la productivité et ralentit la croissance de l'entreprise.

Essayez-le maintenant. Si vous avez une question que vous avez reportée à plus tard, accordez-vous trois minutes et faites-la. Si vous en avez trop, rédigez une liste et fixez une heure pour chaque solution.

Tu verras, avec tout le monde par décision vous vous sentirez un peu mieux, votre anxiété diminuera et vous aurez l’impression d’avancer.

Alors, vous choisissez une salade légère. Était-ce le bon choix ? Qui sait... Au moins, vous avez mangé et vous n'êtes pas assis affamé devant le menu avec les plats.

Les scientifiques ont étudié les rythmes de l’activité cérébrale et identifié celui qui convient le mieux à la perspicacité et à la recherche créatives. idées utiles

Les scientifiques ont étudié les rythmes de l'activité cérébrale et identifié celui qui convient le mieux à la créativité et à la recherche d'idées utiles.

Manger. Dormir. Résoudre des problèmes. Répéter. Il y a de fortes chances qu'en plus de dormir la nuit, vous passiez la plupart de votre temps à résoudre divers problèmes, notamment au travail.

Non pas que ce soit une mauvaise chose. Un grand nombre de meilleurs entrepreneurs de Sarah Blakely à Richard Branson, doivent leur succès à leur capacité à identifier les problèmes (en l'occurrence, les besoins non satisfaits des consommateurs) et à apporter des solutions.

Mais peu importe partie importante nos vies n’ont pas été axées sur la résolution de problèmes, c’est du stress après tout, et certaines personnes semblent mieux y faire face que d’autres.

Par conséquent, pour ceux qui veulent avoir plus de succès dans ce jeu, vous pouvez essayer quelque chose de nouveau : chercher des solutions dans un rêve. Littéralement. On l'appelle "attrapez votre rythme thêta". Non, nous ne parlons pas d’autohypnose ou de méditation : c’est de la science pure et ça marche.

Mais commençons par comprendre :

Quels sont les rythmes cérébraux ?

Comme l'explique le professeur Ned Herrmann, cela rythmes régissant l'activité électrique du cerveau. En fonction de votre niveau d'activité Quatre rythmes différents peuvent être distingués. Nous les classons par ordre décroissant de fréquence d’onde.

• Pendant les périodes d'activité maximale (par exemple lors d'un entretien important), votre cerveau fonctionne de manière rythme bêta.
• Lorsque vous êtes détendu, par exemple lorsque vous venez de terminer grand projet et tu peux enfin expirer, - le cerveau passe à rythme alpha.
• Passons maintenant à l'action : le quatrième rythme est indiqué par la lettre "delta" et est enregistré lorsque vous dormez profondément.

Nous avons sauté la troisième étape, le rythme thêta, car c'est celle qui est la mieux adaptée pour résoudre des problèmes. Hermann dit :

« Les gens qui passent beaucoup de temps à conduire ont souvent de bonnes idées pendant ces périodes où ils sont en rythme thêta... Cela peut se produire sous la douche ou dans le bain, et même en se rasant ou en se coiffant. Il s’agit d’un état dans lequel la résolution d’un problème devient si automatique que vous pouvez mentalement vous en abstraire. Avec le rythme thêta, il semble souvent que le flux des pensées n'est limité par rien - ni par une censure interne, ni par un sentiment de culpabilité.

Le cerveau entre dans cet état, y compris lors de l’endormissement ou du réveil, lorsque vous oscillez entre l’éveil et le sommeil profond. Hermann explique :

« Au réveil, le cerveau peut maintenir le rythme thêta pendant une période prolongée, disons de 5 à 15 minutes, et ce temps peut être utilisé pour réfléchir librement aux événements de la veille ou à ce qui nous attend dans la nouvelle journée. Cette période peut être très productive et apporter de nombreuses idées significatives et créatives.

Existe-t-il des preuves réelles que cela fonctionne ?

Saisissez le moment où votre cerveau est prêt à vous donner meilleures idées, - une technique qui Les gens prospères sont suivis depuis des centaines d’années.

Les artistes, les écrivains et les grands penseurs ont remarqué depuis longtemps que ces moments où l'on « s'assoupit » - c'est-à-dire précisément lorsque le rythme thêta prédomine dans le cerveau - meilleur temps pour éveiller la créativité.

Albert Einstein et Thomas Edison avaient l'habitude de résoudre des problèmes complexes à moitié endormis. Un esprit rapide et créatif est construit pour résoudre des problèmes, c'est pourquoi même une brève réflexion sur les défis de la journée tôt le matin alors que vous êtes encore dans cet état (ou même la nuit lorsque vous commencez à vous endormir) peut produire des résultats étonnants. résultats. Ce qui a fonctionné pour Einstein peut fonctionner pour vous, même si nous ne promettons pas que vous deviendrez auteur. nouvelle théorie relativité.

Comment utiliser votre rythme thêta ?

Cela prendra du temps. Mais si vous faites cette pratique régulièrement, vous aurez bonne habitude ce qui augmentera votre productivité en nouveau niveau. Voici ce dont vous avez besoin pour cela :

1. Sélectionnez une tâche

Le matin, lorsque vous avez déjà commencé à vous réveiller, mais que vos yeux sont encore fermés et que votre cerveau est encore à moitié endormi, pensez au problème ou à la tâche la plus urgente à laquelle vous serez confronté aujourd'hui. Il s’agira peut-être d’une conversation délicate, d’une négociation importante avec un client, de la rédaction d’un rapport ou du développement d’une nouvelle campagne marketing. Mais peu importe le nombre de tâches qui vous viennent à l’esprit, vous devez en choisir une – et laisser votre cerveau y travailler.

N'essayez pas de diriger ou de limiter vos pensées d'une manière ou d'une autre, assurez-vous simplement qu'elles ne s'éloignent pas trop de sujet donné. Très probablement, votre cerveau commencera inconsciemment à sélectionner une solution.

Vous obtiendrez souvent quelques idées utiles. Parfois, c’est même une idée brillante. Très probablement, au début, vous oublierez d'utiliser cette méthode tous les jours, mais avec le temps, cela deviendra une autre habitude, faisant partie de vos rituels matinaux.

2. Prenez des notes

La partie la plus frustrante de la résolution des problèmes thêta est peut-être pour vous que vous oublierez ces idées inspirées dès que votre tête quittera l’oreiller. Vous allez vous creuser la tête sous la douche, en essayant d'extraire ce brillant plan en trois points que vous venez d'esquisser mentalement. C'est pourquoi vous devez noter vos résolutions dès que vous êtes suffisamment réveillé pour ouvrir les yeux.

Prenez votre smartphone (il se recharge toujours à la tête du lit, n'est-ce pas ?) et enregistrez immédiatement vos pensées - sous forme de texte ou sur un enregistreur vocal. Ne perdez pas de temps. Limitez-vous aux mots-clés, descriptions et expressions qui vous rafraîchiront la mémoire plus tard, lorsque vous serez prêt à utiliser les informations.

Un avantage supplémentaire : la lumière bleue de l'écran de votre téléphone vous aidera à vous réveiller. Et si vous souhaitez recourir à la même méthode le soir, en vous endormant, il est préférable d'utiliser un stylo et du papier - ainsi la lumière artificielle ne perturbera pas votre sommeil.

3. Analyser l'expérience

Tenez un journal de vos « pensées thêta » – au fil du temps, cela vous aidera à trouver solutions typiques et les domaines de leur application. Vous constaterez peut-être que cette méthode est la plus efficace pour résoudre des problèmes créatifs, ou remarquerez qu'elle vous donne un avantage dans la communication avec les gens ou dans la planification. Cela vous aidera à comprendre quels problèmes devront être résolus en utilisant le rythme thêta à l'avenir.

L’inspiration peut venir de n’importe où.

Mais il en va de même pour les obstacles.

Theta Thinking utilise la capacité universelle de résolution de problèmes du cerveau afin que vous puissiez mémoriser ces solutions et les utiliser. Cela peut souvent vous aider à contourner le prochain obstacle sur votre chemin ou à combler le fossé entre une idée à moitié cuite et une solution vraiment utile, et pourquoi ne pas en profiter ? Vous n'avez même pas besoin de sortir du lit pour faire ça ! publié

Il y a des moments dans la vie où une situation apparemment désespérée apparaît devant vous, ou un problème dont toute résolution promet de ne pas être en votre faveur. Ne vous précipitez pas pour renoncer à la réalisation de vos rêves, à la réalisation de vos objectifs ou à la panique. Un ancien sage a dit : « Choisissez le temps pour réfléchir – c’est une source de force. » Eh bien, il est difficile d'être en désaccord avec lui, car l'esprit est arme puissante. Même le problème le plus complexe a des dizaines de solutions, et il n’est invisible que parce que les gens sont habitués à penser dans certains cadres. Pour résoudre un problème complexe, vous devez coordonner le travail du conscient et du subconscient - cela élargira vos horizons et vous permettra de voir de nouvelles possibilités.

Technique des « 100 idées »

Pour maîtriser la technique des « 100 idées », vous n'aurez besoin que d'1 à 2 heures de temps libre, d'un coin personnel confortable où personne ne vous dérangera, ainsi que de papier et de crayons. Demandez à l'avance à vos proches et connaissances de ne pas vous distraire pendant la « méditation », éteignez votre téléphone et détendez-vous. En haut d’une feuille de papier, formulez et notez votre question ou votre dilemme. Numérotez la liste de un à 100 et commencez à générer des idées.

Au début, les idées se succèdent, même si elles ne sont hélas pas nouvelles - vous décrirez tous vos « atouts », y compris les compétences, les connaissances, les relations, les ressources financières, le temps que vous pouvez consacrer à la résolution du problème. Il vous semblera alors encore impossible de trouver une centaine de réponses, et si vous butez sur le 20-30ème point, vous vous sentirez vide. Un léger accroc vous attend, qui se produit naturellement lorsque la conscience, marchant dans un cercle vicieux, a épuisé les options qui s'offrent à elle et a parcouru tout ce qu'elle a déjà rencontré dans son expérience personnelle.

La deuxième phase de votre voyage vers votre subconscient comprend 40 autres points où vous utilisez toujours votre esprit conscient, mais votre forces cachées ils commencent à se réveiller et à retrouver un second souffle. A ce stade, votre façon de penser émerge. Vous remarquerez que vos idées commencent à se répéter et contiennent toutes sortes de clichés et d'attitudes. Votre objectif n’est pas de les écarter, mais de les écrire soigneusement sur papier, et voici pourquoi : ces tampons sont les cadres au-delà desquels vous ne pouvez pas aller regarder autour de vous. Il pourrait être opinion publique, l'insatisfaction à l'égard de vos supérieurs, le manque de confiance en soi et toute autre « bavure » dans votre psychisme. En même temps, vous pourrez découvrir votre problèmes cachés ou des peurs qui vous empêchent d’avancer. Cette étape vous demandera la plus grande endurance - après tout, il n'est pas du tout facile d'écarter les trente premiers points, qui sont clairement dans votre zone de confort, et d'aborder des idées nouvelles, inconnues et donc parfois effrayantes - c'est normal , l'essentiel est de ne pas abandonner. De plus, cette lutte interne ne fait que contribuer à passer à la troisième phase du voyage.

Ce sont les 30 derniers points qui ouvriront la boîte de Pandore devant vous, car le nombre 100 n’a pas été choisi par hasard. C'est cela qui permet à votre intuition de s'ouvrir pleinement et de vous surprendre avec des « idées venues d'en haut » inattendues - des expressions impromptues de votre subconscient en éveil, d'où les idées apparaissent sans aucun traitement ni filtrage par l'esprit. Dans votre recherche, vous avez déjà abandonné la logique, remarquant à quel point elle est réellement carrée, et vous comprenez que votre façon de penser ne se situe que sur un seul plan - et il s'avère que le monde est tridimensionnel (sans compter le temps). Maintenant, lorsque l’esprit cesse de vous dicter ce qui est « possible » et ce qui n’est « pas autorisé », la porte du subconscient s’ouvre. On peut facilement inventer quelque chose qui sort de l’ordinaire et, à première vue, complètement absurde. Il peut même vous sembler que vous ne devriez pas écrire une idée qui ne vous convient manifestement pas, une idée qui vous est soudainement venue à l’esprit. Cependant, ce sont des phrases étranges, parfois stupides, qui peuvent se révéler être des diamants bruts. Rappelez-vous comment les gens considéraient la Terre comme plate et avaient peur de tomber de son bord, et comment l'idée que la planète était ronde et tournait était autrefois qualifiée d'hérésie. Les idées délirantes peuvent ne pas être claires pour vous au début, mais vous sentirez qu'il y a quelque chose en elles - cela servira de paille qui vous orientera dans la bonne direction.

Il peut également arriver qu'après avoir émis tant d'idées, vous réalisiez soudainement que ce n'était pas un problème du tout - ou que vous n'ayez vu que la pointe de l'iceberg, vous deviez donc dresser une nouvelle liste pour répondre à une question complètement différente.

Il y a quelques règles supplémentaires qui doivent être respectées lorsque vous travaillez avec cette technique. Tout d'abord, la liste doit être dressée en une seule fois, sans interruption, sinon vos idées brillantes dormantes resteront en sommeil sous le poids de la réflexion quotidienne. Pendant que vous travaillez, vous ne devez pas relire la liste et évaluer combien a déjà été fait et combien d'éléments restent - cela vous distraira et empêchera vos pensées de se répéter naturellement - et ne vous permettra donc pas de voir vos propres pierres d'achoppement. . Préparez-vous tout de suite : vous évaluerez et critiquerez vos idées après avoir compilé les cent points - et pendant que le processus se déroule, vous devrez écrire vos pensées (vous n'êtes pas obligé de montrer ce document à qui que ce soit si vous le faites). je ne veux pas). Si le travail bat son plein, raccourcissez les mots, l'essentiel est que vous puissiez alors lire ce que vous vouliez dire. Vous pouvez bien sûr utiliser un ordinateur portable au lieu d'un crayon et d'un papier, mais n'oubliez pas : source ondes électromagnétiques, du moins en théorie, empêche votre cerveau, votre aura et, si vous voulez, vos chakras de se connecter à l'esprit universel – et de fonctionner généralement sainement. Mais c'est à votre discrétion personnelle.

Les bonus « délicieux » de la technique « 100 Idées » ne résident pas seulement dans la possibilité d'une introspection approfondie et de trouver des solutions originales à des situations difficiles, mais aussi dans le fait qu'avec elle, vous pouvez vous développer de manière diversifiée et planifier votre avenir, trouver de nouvelles incitations. pour le développement personnel et grandir au-dessus de vous-même. Pour ce faire, réfléchissez à votre guise aux réponses aux sujets ci-dessous (ou à l’un des vôtres) :

• Comment s'éduquer
• Comment améliorer les relations
• Comment améliorer votre vie
• Comment faire de l'argent
• Comment améliorer votre entreprise
• Comment aider les gens
• Comment augmenter l'efficacité personnelle
• Comment devenir en meilleure santé
• Des choses que je remets à demain
• Les choses que je fais le mieux
• Des choses qui me démotivent
• Qualités que je souhaite développer en moi
• Questions auxquelles j'ai besoin de réponses
• Des valeurs auxquelles je crois
• Les choses que j'apprécie dans la vie
• Professions dans lesquelles je veux m'essayer
• Des choses (des gens) qui me ralentissent dans la réalisation de mon objectif
• Des choses qui me remontent le moral
• Conclusions que la vie m'a apprises
• Des choses dont on peut se débarrasser
• Lieux que j'aimerais visiter
• Des erreurs pour lesquelles je me pardonne (aux autres)
• Façons de penser de manière plus créative

52. Plus exemples complexeséquations.
Exemple 1.

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)

Le dénominateur commun est x 2 – 1, puisque x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Multiplions les deux côtés de cette équation par x 2 – 1. Nous obtenons :

ou, après réduction,

5(x + 1) – 3(x – 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

2x = 7 et x = 3½

Considérons une autre équation :

5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x2 – 1)

En résolvant comme ci-dessus, on obtient :

5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 ou 2x = 2 et x = 1.

Voyons si nos égalités sont justifiées si nous remplaçons x dans chacune des équations considérées par le nombre trouvé.

Pour le premier exemple, nous obtenons :

On voit qu'il n'y a aucun doute : nous avons trouvé pour x un nombre tel que l'égalité recherchée est justifiée.

Pour le deuxième exemple, nous obtenons :

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) ou 5/0 – 3/2 = 15/0

Ici, des doutes surgissent : nous sommes confrontés à une division par zéro, ce qui est impossible. Si à l’avenir nous parvenons à donner un certain sens, quoique indirect, à cette division, alors nous pouvons convenir que la solution trouvée x – 1 satisfait notre équation. D’ici là, nous devons admettre que notre équation n’a pas de solution ayant un sens direct.

De tels cas peuvent se produire lorsque l'inconnue est d'une manière ou d'une autre incluse dans les dénominateurs des fractions présentes dans l'équation, et certains de ces dénominateurs, lorsque la solution est trouvée, se tournent vers zéro.

Exemple 2.

On voit tout de suite que cette équation a la forme d'une proportion : le rapport du nombre x + 3 au nombre x – 1 est égal au rapport du nombre 2x + 3 au nombre 2x – 2. Que quelqu'un, dans Compte tenu de cette circonstance, décidons d'appliquer ici pour libérer l'équation des fractions, la propriété principale de la proportion (le produit des termes extrêmes est égal au produit des termes moyens). Il obtiendra alors :

(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)

2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.

Ici, la crainte que nous ne puissions pas résoudre cette équation peut être soulevée par le fait que l'équation inclut des termes avec x 2. Cependant, nous pouvons soustraire 2x 2 des deux côtés de l’équation – cela ne brisera pas l’équation ; alors les termes avec x 2 sont détruits et on obtient :

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

Déplaçons les termes inconnus vers la gauche et les termes connus vers la droite - nous obtenons :

3x = 3 ou x = 1

Se souvenir de cette équation

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

On remarquera immédiatement que la valeur trouvée pour x (x = 1) fait disparaître les dénominateurs de chaque fraction ; Il faudra abandonner une telle solution jusqu'à ce que l'on ait examiné la question de la division par zéro.

Si l’on note aussi que l’application de la propriété de proportion a compliqué les choses et qu’une équation plus simple pourrait être obtenue en multipliant les deux côtés de ce qui est donné par un dénominateur commun, à savoir 2(x – 1) – après tout, 2x – 2 = 2 (x – 1) , alors on obtient :

2(x + 3) = 2x – 3 ou 2x + 6 = 2x – 3 ou 6 = –3,

ce qui est impossible.

Cette circonstance indique que cette équation n'a pas de solutions ayant une signification directe qui ne ramènerait pas les dénominateurs de cette équation à zéro.
Résolvons maintenant l'équation :

(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

Multiplions les deux côtés de l'équation 2(x – 1), c'est-à-dire par un dénominateur commun, nous obtenons :

6x + 10 = 2x + 18

La solution trouvée ne fait pas disparaître le dénominateur et a une signification directe :

ou 11 = 11

Si quelqu’un, au lieu de multiplier les deux parties par 2(x – 1), utilisait la propriété de proportion, il obtiendrait :

(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) ou
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.

Ici les termes avec x 2 ne seraient pas détruits. En déplaçant tous les termes inconnus vers la gauche et les termes connus vers la droite, nous obtiendrions

4x 2 – 12x = –8

x2 – 3x = –2

Nous ne pourrons plus résoudre cette équation. À l’avenir, nous apprendrons comment résoudre de telles équations et trouver deux solutions : 1) vous pouvez prendre x = 2 et 2) vous pouvez prendre x = 1. Il est facile de vérifier les deux solutions :

1) 2 2 – 3 2 = –2 et 2) 1 2 – 3 1 = –2

Si l'on se souvient de l'équation initiale

(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),

alors nous verrons que maintenant nous obtenons ses deux solutions : 1) x = 2 est la solution qui a une signification directe et ne met pas le dénominateur à zéro, 2) x = 1 est la solution qui met le dénominateur à zéro et n'a pas de signification directe.

Exemple 3.

Trouvons le dénominateur commun des fractions incluses dans cette équation en factorisant chacun des dénominateurs :

1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),

2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),

3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

Le dénominateur commun est (x – 3)(x – 2)(x + 1).

Multiplions les deux côtés de cette équation (et nous pouvons maintenant la réécrire comme suit :

par un dénominateur commun (x – 3) (x – 2) (x + 1). Ensuite, après avoir réduit chaque fraction, nous obtenons :

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) ou
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.

De là, nous obtenons :

–x = –13 et x = 13.

Cette solution a un sens direct : elle ne fait disparaître aucun des dénominateurs.

Si on prenait l'équation :

alors, en faisant exactement la même chose que ci-dessus, nous obtiendrions

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

d'où tu le trouverais ?

ce qui est impossible. Cette circonstance montre qu'il est impossible de trouver une solution à la dernière équation qui a une signification directe.