Фрактални елементи. Фрактали в прости числа

фрактал

Фрактал (лат. фрактус- смачкан, счупен, счупен) е геометрична фигура, която има свойството на самоподобие, тоест съставена от няколко части, всяка от които е подобна на цялата фигура.В математиката фракталите се разбират като набори от точки в евклид пространство, което има дробно метрично измерение (по смисъла на Минковски или Хаусдорф), или метрично измерение, различно от топологичното. Фрактизмът е независима точна наука за изучаване и композиране на фрактали.

С други думи, фракталите са геометрични обекти с дробно измерение. Например размерът на линия е 1, площта е 2, а обемът е 3. За фрактал стойността на измерението може да бъде между 1 и 2 или между 2 и 3. Например фракталното измерение на смачкан хартиената топка е приблизително 2,5. В математиката има специална сложна формула за изчисляване на размерността на фракталите. Клоните на трахеалните тръби, листата на дърветата, вените на ръцете, реката - това са фрактали. С прости думи, фракталът е геометрична фигура, определена част от която се повтаря отново и отново, променяйки се по размер - това е принципът на самоподобието. Фракталите са подобни на себе си, те са подобни на себе си на всички нива (т.е. във всеки мащаб). Има много различни видове фрактали. По принцип може да се твърди, че всичко, което съществува в реалния свят, е фрактал, било то облак или кислородна молекула.

Думата „хаос“ ни кара да мислим за нещо непредвидимо, но всъщност хаосът е доста подреден и се подчинява на определени закони. Целта на изучаването на хаоса и фракталите е да се предвидят модели, които на пръв поглед може да изглеждат непредвидими и напълно хаотични.

Пионерът в тази област на знанието е френско-американският математик, професор Беноа Б. Манделброт. В средата на 60-те години той разработва фрактална геометрия, чиято цел е да анализира счупени, набръчкани и размити форми. Наборът на Манделброт (показан на фигурата) е първата асоциация, която възниква у човек, когато чуе думата „фрактал“. Между другото, Манделброт определи, че фракталната размерност на английската брегова линия е 1,25.

Фракталите се използват все повече в науката. Те описват реалния свят дори по-добре от традиционната физика или математика. Брауновото движение е например случайното и хаотично движение на прахови частици, суспендирани във вода. Този тип движение е може би аспектът на фракталната геометрия, който има най-практическа употреба. Случайното брауново движение има честотна характеристика, която може да се използва за прогнозиране на явления, включващи големи количества данни и статистика. Например Манделброт прогнозира промените в цените на вълната, използвайки Брауновото движение.

Думата "фрактал" може да се използва не само като математически термин. В пресата и научно-популярната литература фрактал може да се нарече фигура, която има някое от следните свойства:

Той има нетривиална структура във всички мащаби. Това е в контраст с правилните фигури (като кръг, елипса, графика на гладка функция): ако разгледаме малък фрагмент от правилна фигура в много голям мащаб, той ще изглежда като фрагмент от права линия. За фрактал увеличаването на мащаба не води до опростяване на структурата; във всички мащаби ще видим еднакво сложна картина.

Е самоподобен или приблизително себеподобен.

Има дробно метрично измерение или метрично измерение, което надвишава топологичното.

Най-полезната употреба на фракталите в компютърните технологии е фракталното компресиране на данни. В същото време изображенията се компресират много по-добре, отколкото се прави с конвенционалните методи - до 600:1. Друго предимство на фракталната компресия е, че при уголемяване няма ефект на пикселизация, което драстично влошава изображението. Освен това, фрактално компресирано изображение често изглежда дори по-добре след уголемяване, отколкото преди. Компютърните учени знаят също, че фрактали с безкрайна сложност и красота могат да бъдат генерирани чрез прости формули. Филмовата индустрия широко използва технологията на фракталната графика за създаване на реалистични пейзажни елементи (облаци, скали и сенки).

Изследването на турбулентността в потоците се адаптира много добре към фракталите. Това ни позволява да разберем по-добре динамиката на сложните потоци. С помощта на фрактали можете също да симулирате пламъци. Порестите материали са добре представени във фрактална форма поради факта, че имат много сложна геометрия. За предаване на данни на разстояние се използват антени с фрактални форми, което значително намалява техния размер и тегло. Фракталите се използват за описание на кривината на повърхностите. Неравната повърхност се характеризира с комбинация от два различни фрактала.

Много обекти в природата имат фрактални свойства, например брегове, облаци, корони на дървета, снежинки, кръвоносната система и алвеоларната система на хора или животни.

Фракталите, особено в равнина, са популярни поради комбинацията от красота с лекотата на изграждане с помощта на компютър.

Първите примери за самоподобни множества с необичайни свойства се появяват през 19 век (например функцията на Болцано, функцията на Вайерщрас, множеството на Кантор). Терминът "фрактал" е въведен от Беноа Манделброт през 1975 г. и придобива широка популярност с публикуването на книгата му "Фрактална геометрия на природата" през 1977 г.

Картината вляво показва прост пример за фрактала на Дарер Пентагон, който изглежда като куп петоъгълници, смачкани заедно. Всъщност се формира чрез използване на петоъгълник като инициатор и равнобедрени триъгълници, съотношението на по-голямата страна към по-малката страна, в което е точно равно на така нареченото златно сечение (1,618033989 или 1/(2cos72°)) като генератор. Тези триъгълници се изрязват от средата на всеки петоъгълник, което води до форма, която изглежда като 5 малки петоъгълника, залепени към един голям.

Теорията на хаоса казва, че сложните нелинейни системи са наследствено непредвидими, но в същото време твърди, че начинът за изразяване на такива непредвидими системи се оказва правилен не в точни равенства, а в представяния на поведението на системата - в графики на странни атрактори, които имат формата на фрактали. Така теорията на хаоса, която мнозина смятат за непредсказуемост, се оказва наука за предвидимостта дори в най-нестабилните системи. Изследването на динамични системи показва, че простите уравнения могат да доведат до хаотично поведение, при което системата никога не се връща към стабилно състояние и не се появява модел. Често такива системи се държат съвсем нормално до определена стойност на ключов параметър, след което преминават през преход, при който има две възможности за по-нататъшно развитие, след това четири и накрая хаотичен набор от възможности.

Схемите на процесите, протичащи в технически обекти, имат ясно изразена фрактална структура. Минимална структура техническа система(ТС) предполага протичането в рамките на ТС на два вида процеси - основни и спомагателни, като това деление е условно и относително. Всеки процес може да бъде основен по отношение на поддържащите процеси и всеки от поддържащите процеси може да се счита за основен по отношение на „неговите“ поддържащи процеси. Кръговете в диаграмата показват физически ефекти, които осигуряват възникването на онези процеси, за които не е необходимо специално да създавате „свои собствени“ превозни средства. Тези процеси са резултат от взаимодействия между вещества, полета, вещества и полета. За да бъдем точни, физическият ефект е превозно средство, чийто принцип на действие не можем да повлияем и не искаме или нямаме възможност да се намесваме в неговия дизайн.

Потокът на основния процес, показан на диаграмата, се осигурява от наличието на три поддържащи процеса, които са основните за генериращите ги ТС. За да бъдем честни, отбелязваме, че за функционирането дори на минимален TS три процеса очевидно не са достатъчни, т.е. Схемата е много, много преувеличена.

Всичко далеч не е толкова просто, колкото е показано на диаграмата. Процес, който е полезен (необходим на човек) не може да се извърши със стопроцентова ефективност. Разсеяната енергия се изразходва за създаване на вредни процеси - нагряване, вибрации и др. В резултат на това успоредно с полезния процес възникват вредни. Не винаги е възможно да се замени „лош“ процес с „добър“, така че е необходимо да се организират нови процеси, насочени към компенсиране на вредни за системата последствия. Типичен пример е необходимостта от борба с триенето, което принуждава човек да организира гениални схеми за смазване, да използва скъпи антифрикционни материали или да отделя време за смазване на компоненти и части или периодична подмяна.

Поради неизбежното влияние на променлива среда може да се наложи да се управлява полезен процес. Контролът може да се извършва както с помощта на автоматични устройства, така и директно от лице. Диаграмата на процеса всъщност е набор от специални команди, т.е. алгоритъм. Същността (описанието) на всяка команда е съвкупността от един полезен процес, съпътстващите го вредни процеси и набор от необходими процеси за управление. В такъв алгоритъм наборът от поддържащи процеси е редовна подпрограма - и тук също откриваме фрактал. Създаден преди четвърт век, методът на R. Koller дава възможност да се създават системи с доста ограничен набор от само 12 двойки функции (процеси).

Самоподобни множества с необичайни свойства в математиката

От края на 19 век в математиката се появяват примери за самоподобни обекти със свойства, които са патологични от гледна точка на класическия анализ. Те включват следното:

Наборът на Кантор е никъде плътно несметно перфектно множество. Чрез модифициране на процедурата може също да се получи никъде плътен набор с положителна дължина.

триъгълникът на Серпински („покривка“) и килимът на Серпински са аналози на комплекта на Кантор в самолета.

Гъбата на Менгер е аналог на Канторовия комплект в триизмерното пространство;

примери за Weierstrass и Van der Waerden никъде не могат да бъдат разграничени непрекъсната функция.

Кривата на Кох е несамосичаща се непрекъсната крива с безкрайна дължина, която няма допирателна в нито една точка;

Кривата на Пеано е непрекъсната крива, минаваща през всички точки на квадрата.

траекторията на браунова частица също никъде не може да се диференцира с вероятност 1. Неговото измерение на Хаусдорф е две

Рекурсивна процедура за получаване на фрактални криви

Построяване на кривата на Кох

Има проста рекурсивна процедура за получаване на фрактални криви на равнина. Нека дефинираме произволна начупена линия с краен брой връзки, наречена генератор. След това нека заменим всеки сегмент в него с генератор (по-точно прекъсната линия, подобна на генератор). В получената прекъсната линия отново заместваме всеки сегмент с генератор. Продължавайки до безкрайност, в границата получаваме фрактална крива. Фигурата вдясно показва първите четири стъпки от тази процедура за кривата на Кох.

Примери за такива криви са:

драконова крива,

Крива на Кох (снежинка на Кох),

крива на Леви,

крива на Минковски,

крива на Хилберт,

Счупена (крива) на дракон (фрактал Хартър-Хейтуей),

Пеанова крива.

С помощта на подобна процедура се получава дървото на Питагор.

Фракталите като фиксирани точки на преобразувания на компресия

Свойството самоподобие може да се изрази математически строго по следния начин. Позволявам да бъдат свиващи преобразувания на равнината. Разгледайте следното картографиране върху множеството от всички компактни (затворени и ограничени) подмножества на равнината:

Може да се покаже, че картографирането е свиващо картографиране върху множеството от компакти с метриката на Хаусдорф. Следователно, по теоремата на Банах, това преобразуване има уникална фиксирана точка. Тази фиксирана точка ще бъде нашият фрактал.

Рекурсивната процедура за получаване на фрактални криви, описана по-горе, е частен случай на тази конструкция. Всички преобразувания в него са преобразувания на подобие и - броят на генераторните връзки.

За триъгълника на Сиерпински и картата , , са хомотетии с центрове във върховете на правилен триъгълник и коефициент 1/2. Лесно се вижда, че триъгълникът на Серпински се трансформира в себе си, когато се показва.

В случая, когато преобразуванията са трансформации на подобие с коефициенти, размерността на фрактала (при някои допълнителни технически условия) може да бъде изчислена като решение на уравнението. Така за триъгълника на Серпински получаваме .

Със същата теорема на Банах, започвайки с всяко компактно множество и прилагайки итерации на картата към него, получаваме последователност от компактни множества, сходни (в смисъла на метриката на Хаусдорф) към нашия фрактал.

Фрактали в сложна динамика

Джулия комплект

Още един комплект на Джулия

Фракталите възникват естествено при изучаване на нелинейни динамични системи. Най-изследваният случай е, когато динамична система е специфицирана чрез итерации на полином или холоморфна функция на комплексна променлива в равнината. Първите проучвания в тази област датират от началото на 20 век и се свързват с имената на Фату и Юлия.

Позволявам Е(z) - полином, z 0 е комплексно число. Помислете за следната последователност: z 0 , z 1 =Е(z 0), z 2 =Е(Е(z 0)) = Е(z 1),z 3 =Е(Е(Е(z 0)))=Е(z 2), …

Ние се интересуваме от поведението на тази последователност, както клони ндо безкрайност. Тази последователност може:

стремеж към безкрая,

стремете се към крайната граница

показват циклично поведение в границата, например: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

да се държат хаотично, тоест да не демонстрират нито един от трите споменати типа поведение.

Набори от стойности z 0, за които последователността проявява един конкретен тип поведение, както и множество бифуркационни точки между различни типове, често имат фрактални свойства.

По този начин множеството на Джулия е множеството от бифуркационни точки за полинома Е(z)=z 2 +° С(или друга подобна функция), тоест тези стойности z 0, за която поведението на последователността ( z н) може да се промени драматично с произволно малки промени z 0 .

Друга възможност за получаване на фрактални множества е въвеждането на параметър в полинома Е(z) и разглеждане на набора от тези стойности на параметрите, за които последователността ( z н) проявява определено поведение при фиксирана z 0 . По този начин множеството на Манделброт е множеството от всички , за които ( z н) За Е(z)=z 2 +° СИ z 0 не отива до безкрайност.

Друг известен пример от този вид са басейните на Нютон.

Популярно е да се създават красиви графични изображения на базата на сложна динамика чрез оцветяване на равнинни точки в зависимост от поведението на съответните динамични системи. Например, за да завършите набора на Манделброт, можете да оцветите точките в зависимост от скоростта на аспирация ( z н) до безкрайност (дефинирано, да речем, като най-малкото число н, при което | z н| ще надхвърли фиксирана голяма стойност А.

Биоморфите са фрактали, изградени на базата на сложна динамика и напомнящи живи организми.

Стохастични фрактали

Рандомизиран фрактал, базиран на набор от Julia

Природните обекти често имат фрактална форма. За моделирането им могат да се използват стохастични (случайни) фрактали. Примери за стохастични фрактали:

траектория на брауновото движение в равнината и пространството;

граница на траекторията на брауновото движение в равнина. През 2001 г. Лоулър, Шрам и Вернер доказаха хипотезата на Манделброт, че нейното измерение е 4/3.

Еволюциите на Schramm-Löwner са конформно инвариантни фрактални криви, които възникват в критични двумерни модели на статистическата механика, например в модела на Ising и перколацията.

различни видове рандомизирани фрактали, т.е. фрактали, получени с помощта на рекурсивна процедура, в която се въвежда случаен параметър на всяка стъпка. Плазмата е пример за използването на такъв фрактал в компютърната графика.

В природата

Изглед отпред на трахеята и бронхите

Бронхиално дърво

Мрежа от кръвоносни съдове

Приложение

Естествени науки

Във физиката фракталите естествено възникват при моделиране на нелинейни процеси, като турбулентен флуиден поток, сложни процеси на дифузия-адсорбция, пламъци, облаци и др. Фракталите се използват при моделиране на порести материали, например в нефтохимията. В биологията те се използват за моделиране на популации и за описание на системи от вътрешни органи (системата на кръвоносните съдове).

Радиотехника

Фрактални антени

Използването на фрактална геометрия при проектирането на антенни устройства е използвано за първи път от американския инженер Нейтън Коен, който тогава е живял в центъра на Бостън, където е забранено инсталирането на външни антени върху сгради. Нейтън изряза форма на крива на Кох от алуминиево фолио и я залепи върху лист хартия, след което я прикрепи към приемника. Коен основава собствена компания и започва серийното им производство.

Информатика

Компресия на изображението

Основна статия: Алгоритъм за фрактална компресия

Фрактално дърво

Има алгоритми за компресиране на изображения, използващи фрактали. Те се основават на идеята, че вместо самото изображение, може да се съхранява карта на компресия, за която това изображение (или някое близко) е фиксирана точка. Използван е един от вариантите на този алгоритъм [ източникът не е посочен 895 дни] от Microsoft при публикуването на своята енциклопедия, но тези алгоритми не бяха широко използвани.

Компютърна графика

Още едно фрактално дърво

Фракталите се използват широко в компютърната графика за изграждане на изображения на природни обекти, като дървета, храсти, планински пейзажи, морски повърхности и т.н. Има много програми, използвани за генериране на фрактални изображения, вижте Fractal Generator (програма).

Децентрализирани мрежи

Системата за присвояване на IP адреси в мрежата Netsukuku използва принципа на фрактално компресиране на информация за компактно съхраняване на информация за мрежовите възли. Всеки възел в мрежата Netsukuku съхранява само 4 KB информация за състоянието на съседните възли, докато всеки нов възел се свързва към общата мрежа без необходимост от централно регулиране на разпределението на IP адресите, което например е типично за Интернет. По този начин принципът на фракталното компресиране на информация гарантира напълно децентрализирана и следователно най-стабилна работа на цялата мрежа.

Какво е общото между едно дърво, морски бряг, облак или кръвоносните съдове в ръката ни? На пръв поглед може да изглежда, че всички тези обекти нямат нищо общо. Но всъщност има едно свойство на структурата, което е присъщо на всички изброени обекти: те са самоподобни. От клон, както от ствол на дърво, се простират по-малки издънки, от тях още по-малки и т.н., тоест клонът е подобен на цялото дърво. Подреден е по подобен начин кръвоносна система: артериолите се отклоняват от артериите, а от тях - най-малките капиляри, през които кислородът навлиза в органите и тъканите. Да разгледаме сателитните снимки на морския бряг: ще видим заливи и полуострови; Да го погледнем, но от птичи поглед: ще видим заливи и носове; Сега си представете, че стоим на плажа и гледаме краката си: винаги ще има камъчета, които стърчат по-навътре във водата от останалите. Тоест бреговата линия, когато се увеличи, остава подобна на себе си. Американският математик (макар и израснал във Франция) Беноа Манделброт нарече това свойство на обектите фракталност, а самите такива обекти - фрактали (от лат. fractus - начупен).

Това понятие няма строго определение. Следователно думата "фрактал" не е математически термин. Обикновено се нарича фрактал геометрична фигура, който отговаря на едно или повече от следните свойства: Има сложна структура при всяко увеличение на мащаба (за разлика например от права линия, всяка част от която е най-простата геометрична фигура - сегмент). Е (приблизително) себеподобен. Има дробна хаусдорфова (фрактална) размерност, която е по-голяма от топологичната. Може да се конструира с помощта на рекурсивни процедури.

Геометрия и алгебра

Изучаване на фрактали началото на 19 веки XX век е по-скоро епизодичен, отколкото систематичен, тъй като преди това математиците са изучавали главно „добри“ обекти, които могат да бъдат изследвани с помощта на общи методи и теории. През 1872 г. немският математик Карл Вайерщрас конструира пример за непрекъсната функция, която никъде не може да бъде диференцирана. Конструкцията му обаче беше напълно абстрактна и трудна за разбиране. Затова през 1904 г. шведът Хелге фон Кох излезе с непрекъсната крива, която няма никъде допирателна и е доста лесна за начертаване. Оказа се, че има свойствата на фрактал. Един вариант на тази крива се нарича "снежинка на Кох".

Идеите за самоподобие на фигурите бяха възприети от французина Пол Пиер Леви, бъдещият наставник на Беноа Манделброт. През 1938 г. е публикувана неговата статия „Равнинни и пространствени криви и повърхности, състоящи се от части, подобни на цялото“, която описва друг фрактал - C-кривата на Леви. Всички тези фрактали, изброени по-горе, могат условно да бъдат класифицирани като един клас конструктивни (геометрични) фрактали.

Друг клас са динамичните (алгебрични) фрактали, които включват множеството на Манделброт. Първите изследвания в тази насока започват в началото на 20 век и се свързват с имената на френските математици Гастон Жюли и Пиер Фату. През 1918 г. Джулия публикува мемоари от почти двеста страници за итерации на сложни рационални функции, които описват множествата на Джулия, цяло семейство фрактали, тясно свързани с множеството на Манделброт. Тази работа беше наградена с награда от Френската академия, но не съдържаше нито една илюстрация, така че беше невъзможно да се оцени красотата на откритите обекти. Въпреки факта, че тази работа направи Джулия известна сред математиците от онова време, тя бързо беше забравена. Вниманието отново се насочи към него едва половин век по-късно с появата на компютрите: именно те направиха видимо богатството и красотата на света на фракталите.

Фрактални измерения

Както знаете, измерението (броят измерения) на геометрична фигура е броят на координатите, необходими за определяне на позицията на точка, разположена върху тази фигура.
Например позицията на точка върху крива се определя от една координата, върху повърхност (не непременно равнина) от две координати, а в тримерното пространство от три координати.
От по-обща математическа гледна точка може да се дефинира измерението по следния начин: увеличаване на линейните размери, да речем, с коефициент две, за едномерни (от топологична гледна точка) обекти (сегмент) води до увеличение на размера (дължината) с коефициент два, за двумерните (квадрат) същото увеличение на линейните размери води до увеличаване на размера (площта) с 4 пъти, за триизмерните (куб) - с 8 пъти. Тоест, „реалното“ (т.нар. Хаусдорфово) измерение може да се изчисли като съотношението на логаритъма на увеличението на „размера“ на даден обект към логаритъма на увеличението на неговия линеен размер. Тоест, за сегмент D=log (2)/log (2)=1, за равнина D=log (4)/log (2)=2, за обем D=log (8)/log (2 )=3.
Нека сега изчислим размерността на кривата на Кох, за да конструираме, че единичен сегмент се разделя на три равни части и средният интервал се заменя с равностранен триъгълник без този сегмент. Когато линейните размери на минималния сегмент се увеличат три пъти, дължината на кривата на Кох се увеличава с log (4)/log (3) ~ 1,26. Тоест, размерността на кривата на Кох е дробна!

Наука и изкуство

През 1982 г. излиза книгата на Манделброт „Фракталната геометрия на природата“, в която авторът събира и систематизира почти цялата налична по онова време информация за фракталите и я представя по лесен и достъпен начин. Манделброт поставя основния акцент в изложението си не върху тежките формули и математически конструкции, а върху геометричната интуиция на читателите. Благодарение на илюстрациите, получени с помощта на компютър и исторически истории, с които авторът умело разрежда научния компонент на монографията, книгата се превърна в бестселър, а фракталите станаха известни на широката публика. Техният успех сред нематематиците до голяма степен се дължи на факта, че с помощта на много прости конструкции и формули, които дори гимназист може да разбере, се получават изображения с удивителна сложност и красота. Когато персоналните компютри станаха достатъчно мощни, се появи дори цяла посока в изкуството - фрактална живопис, и почти всеки собственик на компютър можеше да го направи. Сега в интернет можете лесно да намерите много сайтове, посветени на тази тема.

Схема за получаване на кривата на Кох

Война и мир

Както беше отбелязано по-горе, един от природните обекти, които имат фрактални свойства, е бреговата линия. Има едно нещо, свързано с него, или по-точно с опита да се измери дължината му. интересна история, които са в основата научна статияМанделброт и е описано и в книгата му „Фрактална геометрия на природата“. Говорим за експеримент, извършен от Луис Ричардсън, много талантлив и ексцентричен математик, физик и метеоролог. Една от посоките на неговите изследвания беше опитът да се намери математическо описание на причините и вероятността от въоръжен конфликт между две държави. Сред параметрите, които той взе предвид, е дължината на общата граница на двете враждуващи страни. Когато събира данни за числени експерименти, той открива, че данните за общата граница на Испания и Португалия се различават значително от различни източници. Това го доведе до следното откритие: дължината на границите на една държава зависи от линийката, с която ги измерваме. Колкото по-малък е мащабът, толкова по-дълга е границата. Това се дължи на факта, че с по-голямо увеличение става възможно да се вземат предвид все повече и повече нови завои на брега, които преди това бяха игнорирани поради грубостта на измерванията. И ако с всяко увеличаване на мащаба се разкриват неотчетени преди това завои на линии, тогава се оказва, че дължината на границите е безкрайна! Вярно е, че това всъщност не се случва - точността на нашите измервания има крайна граница. Този парадокс се нарича ефект на Ричардсън.

Конструктивни (геометрични) фрактали

Алгоритъмът за конструиране на конструктивен фрактал в общия случай е следният. На първо място, имаме нужда от две подходящи геометрични фигури, нека ги наречем основа и фрагмент. На първия етап се изобразява основата на бъдещия фрактал. След това някои от неговите части се заменят с фрагмент, взет в подходящ мащаб - това е първата итерация на конструкцията. След това получената фигура отново променя някои части на фигури, подобни на фрагмента и т.н. Ако продължим този процес ad infinitum, тогава в границата ще получим фрактал.

Нека да разгледаме този процес, използвайки кривата на Кох като пример (вижте страничната лента на предишната страница). Всяка крива може да се вземе като основа за кривата на Кох (за „снежинката на Кох“ това е триъгълник). Но ние ще се ограничим до най-простия случай - сегмент. Фрагментът е прекъсната линия, показана в горната част на фигурата. След първата итерация на алгоритъма, в този случай оригиналният сегмент ще съвпадне с фрагмента, след което всеки от неговите съставни сегменти сам ще бъде заменен от прекъсната линия, подобна на фрагмента и т.н. Фигурата показва първите четири стъпки от това процес.

На езика на математиката: динамични (алгебрични) фрактали

Фрактали от този тип възникват при изучаване на нелинейни динамични системи (оттук и името). Поведението на такава система може да се опише чрез сложна нелинейна функция (полином) f (z). Нека вземем някаква начална точка z0 на комплексната равнина (вижте страничната лента). Сега разгледайте такава безкрайна последователност от числа на комплексната равнина, всяко следващо от които се получава от предишното: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn ). В зависимост от началната точка z0, такава последователност може да се държи различно: да клони към безкрайност като n -> ∞; сближават се до някаква крайна точка; циклично приемат поредица от фиксирани стойности; Възможни са и по-сложни варианти.

Комплексни числа

Комплексно число е число, състоящо се от две части - реална и имагинерна, тоест формалната сума x + iy (тук x и y са реални числа). аз съм т.нар имагинерна единица, т.е. число, което удовлетворява уравнението i^ 2 = -1. Основните числа са дефинирани върху комплексни числа. математически операции— събиране, умножение, деление, изваждане (само операцията за сравнение не е дефинирана). За показване на комплексни числа често се използва геометрично представяне - на равнината (нарича се комплексно), реалната част се нанася по абсцисната ос, а имагинерната част се нанася по ординатната ос, а точката с ще съответства на комплексното число Декартови координати x и y.

Така всяка точка z от комплексната равнина има собствено поведение по време на итерации на функцията f (z) и цялата равнина е разделена на части. Освен това точките, лежащи на границите на тези части, имат следното свойство: при произволно малко изместване естеството на тяхното поведение се променя рязко (такива точки се наричат ​​точки на бифуркация). И така, оказва се, че набори от точки, които имат един специфичен тип поведение, както и набори от бифуркационни точки, често имат фрактални свойства. Това са множествата на Джулия за функцията f (z).

Драконово семейство

Чрез промяна на основата и фрагмента можете да получите зашеметяващо разнообразие от конструктивни фрактали.
Освен това подобни операции могат да се извършват в триизмерно пространство. Примери за обемни фрактали включват „гъбата на Менгер“, „пирамидата на Серпински“ и други.
Драконовото семейство също се счита за конструктивен фрактал. Понякога те се наричат ​​​​на името на откривателите си "дракони Хеви-Хартър" (по своята форма те приличат на китайски дракони). Има няколко начина за изграждане на тази крива. Най-простият и визуален от тях е следният: трябва да вземете доста дълга лента хартия (колкото по-тънка е хартията, толкова по-добре) и да я огънете наполовина. След това го огънете отново наполовина в същата посока, както първия път. След няколко повторения (обикновено след пет или шест сгъвания лентата става твърде дебела, за да бъде леко огъната по-нататък), трябва да огънете лентата назад и да се опитате да създадете 90˚ ъгли в гънките. Тогава в профил ще получите извивката на дракон. Разбира се, това ще бъде само приблизително, както всички наши опити да изобразим фрактални обекти. Компютърът позволява да се изобразят още много стъпки от този процес, а резултатът е много красива фигура.

Наборът на Манделброт е конструиран малко по-различно. Да разгледаме функцията fc (z) = z 2 +c, където c е комплексно число. Нека построим последователност от тази функция с z0=0; в зависимост от параметъра c тя може да се отклони до безкрайност или да остане ограничена. Освен това всички стойности на c, за които тази последователност е ограничена, образуват множеството на Манделброт. Той е проучен подробно от самия Манделброт и други математици, които откриват много интересни свойства на това множество.

Може да се види, че дефинициите на множествата на Джулия и Манделброт са подобни една на друга. Всъщност тези два набора са тясно свързани. А именно, множеството на Манделброт е всички стойности на комплексния параметър c, за които множеството на Джулия fc (z) е свързано (множество се нарича свързано, ако не може да бъде разделено на две несвързани части, с някои допълнителни условия).

Фрактали и живот

В наши дни теорията за фракталите открива широко приложениев различни области на човешката дейност. В допълнение към чисто научен обект за изследване и вече споменатото фрактално рисуване, фракталите се използват в теорията на информацията за компресиране на графични данни (тук се използва главно свойството на фракталите за самоподобие - в крайна сметка, за да запомните малък фрагмент от картина и трансформациите, с които можете да получите останалите части, изискват много по-малко памет, отколкото за съхраняване на целия файл). Чрез добавяне на произволни смущения към формулите, които определят фрактала, можете да получите стохастични фрактали, които много правдоподобно предават някои реални обекти - релефни елементи, повърхността на резервоари, някои растения, което се използва успешно във физиката, географията и компютърната графика за постигане на по-големи сходство на симулирани обекти с реални. В радиоелектрониката последното десетилетиезапочва да произвежда антени с фрактална форма. Заемайки малко място, те осигуряват висококачествено приемане на сигнала. Икономистите използват фрактали, за да опишат кривите на валутните колебания (това свойство е открито от Манделброт преди повече от 30 години). Това завършва тази кратка екскурзия в удивително красивия и разнообразен свят на фракталите.

Концепциите за фрактал и фрактална геометрия, които се появиха в края на 70-те години, се наложиха твърдо сред математиците и програмистите от средата на 80-те години. Думата фрактал произлиза от латинското fractus и означава състоящ се от фрагменти. Предложено е от Беноа Манделброт през 1975 г., за да се отнася до неправилните, но самоподобни структури, с които той се занимава. Раждането на фракталната геометрия обикновено се свързва с публикуването на книгата на Манделброт „Фракталната геометрия на природата” през 1977 г. В неговите трудове са използвани научните резултати на други учени, работили в периода 1875-1925 г. в същата област (Поанкаре, Фату, Джулия, Кантор, Хаусдорф Но едва в наше време е възможно да се комбинира тяхната работа в една система.
Ролята на фракталите в компютърната графика днес е доста голяма. Те идват на помощ, например, когато е необходимо, като се използват няколко коефициента, да се определят линии и повърхности с много сложни форми. От гледна точка на компютърната графика, фракталната геометрия е незаменима при генерирането на изкуствени облаци, планини и морски повърхности. Всъщност е намерен начин за лесно представяне на сложни неевклидови обекти, чиито изображения са много подобни на естествените.
Едно от основните свойства на фракталите е самоподобието. В най-простия случай малка част от фрактал съдържа информация за целия фрактал. Дефиницията на Манделброт за фрактал е: „Фракталът е структура, състояща се от части, които в известен смисъл са подобни на цялото“.

Има голям брой математически обекти, наречени фрактали (триъгълник на Серпински, снежинка на Кох, крива на Пеано, множество на Манделброт и атрактори на Лоренц). Фракталите са описани с голяма точност от много хора физични явленияи образование реалния свят: планини, облаци, турбулентни (вихрови) течения, корени, клони и листа на дървета, кръвоносни съдове, което далеч не отговаря на прости геометрични фигури. За първи път Беноа Манделброт говори за фракталната природа на нашия свят в своя основен труд „Фрактална геометрия на природата“.
Терминът фрактал е въведен от Беноа Манделброт през 1977 г. в неговия фундаментален труд Фрактали, форма, хаос и измерение. Според Манделброт думата фрактал произлиза от латинските думи fractus - дробен и frangere - разбивам, което отразява същността на фрактала като "начупено", неправилно множество.

Класификация на фракталите.

За да се представи цялото разнообразие от фрактали, е удобно да се прибегне до тяхната общоприета класификация. Има три класа фрактали.

1. Геометрични фрактали.

Фракталите от този клас са най-визуалните. В двуизмерния случай те се получават с помощта на прекъсната линия (или повърхност в триизмерния случай), наречена генератор. В една стъпка от алгоритъма, всеки от сегментите, които съставят полилинията, се заменя с генераторна полилиния в съответния мащаб. В резултат на безкрайно повтаряне на тази процедура се получава геометричен фрактал.

Нека разгледаме пример за един от тези фрактални обекти - триадичната крива на Кох.

Построяване на триадичната крива на Кох.

Нека вземем прав сегмент с дължина 1. Нека го наречем семе. Нека разделим семето на три равни части с дължина 1/3, изхвърлете средната част и я заменете с прекъсната линия от две връзки с дължина 1/3.

Ще получим начупена линия, състояща се от 4 звена с обща дължина 4/3 - т.нар. първо поколение.

За да се премине към следващото поколение на кривата на Кох, е необходимо да се отхвърли и замени средната част на всяка връзка. Съответно дължината на второто поколение ще бъде 16/9, третото - 64/27. ако продължим този процес ad infinitum, резултатът е триадична крива на Кох.

Нека сега разгледаме свойствата на триадичната крива на Кох и да разберем защо фракталите са наречени „чудовища“.

Първо, тази крива няма дължина - както видяхме, с броя на поколенията нейната дължина клони към безкрайност.

Второ, невъзможно е да се построи допирателна към тази крива - всяка нейна точка е инфлексна точка, в която производната не съществува - тази крива не е гладка.

Дължината и гладкостта са основните свойства на кривите, които се изучават както от евклидовата геометрия, така и от геометрията на Лобачевски и Риман. Традиционните методи за геометричен анализ се оказаха неприложими към триадичната крива на Кох, така че кривата на Кох се оказа чудовище - „чудовище“ сред гладките обитатели на традиционните геометрии.

Конструкция на "дракона" Harter-Haithaway.

За да получите друг фрактален обект, трябва да промените правилата за изграждане. Нека образуващият елемент е два равни сегмента, свързани под прав ъгъл. В нулевото поколение заместваме единичния сегмент с този генериращ елемент, така че ъгълът да е отгоре. Можем да кажем, че при такава подмяна има изместване на средата на връзката. При изграждането на следващите поколения се спазва правилото: първата връзка отляво се заменя с оформящ елемент, така че средата на връзката да се измества вляво от посоката на движение, а при смяна на следващите връзки посоките на изместването на средите на сегментите трябва да се редува. Фигурата показва първите няколко поколения и 11-то поколение на кривата, изградена съгласно описания по-горе принцип. Крива с n, клоняща към безкрайност, се нарича дракон на Хартър-Хейтауей.
В компютърната графика използването на геометрични фрактали е необходимо при получаване на изображения на дървета и храсти. Двуизмерните геометрични фрактали се използват за създаване на триизмерни текстури (модели върху повърхността на обект).

2. Алгебрични фрактали

Това е най-голямата група фрактали. Те се получават с помощта на нелинейни процеси в n-мерни пространства. Най-изследвани са двумерните процеси. Когато се интерпретира нелинеен итеративен процес като дискретна динамична система, може да се използва терминологията на теорията на тези системи: фазов портрет, процес в стационарно състояние, атрактор и др.
Известно е, че нелинейните динамични системи имат няколко стабилни състояния. Състоянието, в което се намира динамичната система след определен брой итерации зависи от нейното първоначално състояние. Следователно всяко стабилно състояние (или, както се казва, атрактор) има определена област от начални състояния, от които системата задължително ще попадне в крайните разглеждани състояния. По този начин фазовото пространство на системата е разделено на области на привличане на атрактори. Ако фазовото пространство е двуизмерно пространство, тогава чрез оцветяване на зоните на привличане с различни цветове може да се получи цветен фазов портрет на тази система (итеративен процес). Чрез промяна на алгоритъма за избор на цвят можете да получите сложни фрактални модели с причудливи многоцветни модели. Изненада за математиците беше способността да генерират много сложни нетривиални структури, използвайки примитивни алгоритми.

Комплект Манделброт.

Като пример, разгледайте множеството на Манделброт. Алгоритъмът за изграждането му е доста прост и се основава на прост итеративен израз: Z = Z[i] * Z[i] + C, Където ЗиИ ° С- комплексни променливи. Итерациите се извършват за всяка начална точка от правоъгълна или квадратна област - подмножество на комплексната равнина. Итеративният процес продължава, докато Z[i]няма да излезе извън окръжността с радиус 2, чийто център е в точката (0,0), (това означава, че атракторът на динамичната система е в безкрайност), или след достатъчно голям брой итерации (напр. , 200-500) Z[i]ще се съберат в някаква точка на кръга. В зависимост от броя на итерациите, по време на които Z[i]остана вътре в кръга, можете да зададете цвета на точката ° С(Ако Z[i]остава вътре в кръга за достатъчно голям брой итерации, процесът на итерация спира и тази растерна точка се боядисва в черно).

3. Стохастични фрактали

Друг добре известен клас фрактали са стохастичните фрактали, които се получават, ако някои от параметрите му се променят произволно в итеративен процес. В този случай получените обекти са много подобни на естествените - асиметрични дървета, насечени брегове и др. Двумерните стохастични фрактали се използват при моделиране на терен и морски повърхности.
Съществуват и други класификации на фракталите, например разделяне на фрактали на детерминирани (алгебрични и геометрични) и недетерминирани (стохастични).

За използването на фрактали

На първо място, фракталите са област на невероятно математическо изкуство, когато с помощта на най-простите формули и алгоритми се получават картини с изключителна красота и сложност! В контурите на изградените изображения често се виждат листа, дървета и цветя.

Някои от най-мощните приложения на фракталите се намират в компютърната графика. Първо, това е фрактална компресия на изображения, и второ, изграждане на пейзажи, дървета, растения и генериране на фрактални текстури. Съвременната физика и механика тепърва започват да изучават поведението на фракталните обекти. И, разбира се, фракталите се използват директно в самата математика.
Предимствата на алгоритмите за фрактално компресиране на изображения са много малкият размер на пакетирания файл и краткото време за възстановяване на изображението. Фрактално пакетираните изображения могат да бъдат мащабирани, без да причиняват пикселизация. Но процесът на компресиране отнема много време и понякога продължава с часове. Алгоритъмът за фрактално пакетиране със загуби ви позволява да зададете нивото на компресия, подобно на jpeg формата. Алгоритъмът се основава на търсене на големи части от изображението, които са подобни на някои малки части. И само кое парче е подобно на кое се записва в изходния файл. При компресиране обикновено се използва квадратна решетка (парчетата са квадрати), което води до лека ъгловатост при възстановяване на изображението; шестоъгълната решетка няма този недостатък.
Iterated разработи нов формат на изображението, "Sting", който съчетава фрактална и "вълнова" (като jpeg) компресия без загуби. Новият формат ви позволява да създавате изображения с възможност за последващо висококачествено мащабиране, а обемът на графичните файлове е 15-20% от обема на некомпресираните изображения.
Тенденцията на фракталите да приличат на планини, цветя и дървета се използва от някои графични редактори, например фрактални облаци от 3D студио MAX, фрактални планини в World Builder. Фракталните дървета, планини и цели пейзажи се определят с прости формули, лесни са за програмиране и не се разпадат на отделни триъгълници и кубове, когато се приближат.
Не може да се пренебрегне използването на фрактали в самата математика. В теорията на множествата множеството на Кантор доказва съществуването на перфектни никъде плътни множества; в теорията на мярката самоафинната функция „стълбата на Кантор“ е добър пример за функция на разпределение на единична мярка.
В механиката и физиката фракталите се използват поради уникален имотповторете очертанията на много природни обекти. Фракталите ви позволяват да апроксимирате дървета, планински повърхности и пукнатини с по-висока точност от приближенията, използващи набори от сегменти или многоъгълници (със същото количество съхранени данни). Фракталните модели, подобно на природните обекти, имат „грапавост“ и това свойство се запазва независимо от начина голямо увеличениемодели. Наличието на единна мярка на фракталите позволява да се прилага интеграция, теория на потенциала и да се използват вместо стандартни обекти във вече изучени уравнения.
С фрактален подход хаосът престава да бъде син безпорядък и придобива фина структура. Фракталната наука е все още много млада и има голямо бъдеще пред себе си. Красотата на фракталите далеч не е изчерпана и тепърва ще ни дава много шедьоври – и такива, които радват окото, и такива, които носят истинска наслада на ума.

Относно конструирането на фрактали

Метод на последователно приближение

Гледайки тази картина, не е трудно да разберете как можете да изградите самоподобен фрактал (в този случай пирамидата на Серпински). Трябва да вземем правилна пирамида (тетраедър), след това да изрежем нейната среда (октаедър), което води до четири малки пирамиди. С всеки от тях извършваме една и съща операция и т.н. Това е малко наивно, но ясно обяснение.

Нека разгледаме по-стриктно същността на метода. Нека има някаква IFS система, т.е. система за картографиране на компресията С=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (например, за нашата пирамида съпоставянията имат формата S i (x)=1/2*x+o i , където o i са върховете на тетраедъра, i=1,..,4). След това избираме някакъв компактен набор A 1 в R n (в нашия случай избираме тетраедър). И ние дефинираме чрез индукция последователността от множества A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Известно е, че множествата A k с увеличаване на k апроксимират все по-добре желания атрактор на системата С.

Имайте предвид, че всяка от тези итерации е атрактор повтаряща се система от итерирани функции(английски термин Диграф IFS, RIFSи също Графично насочен IFS) и следователно те са лесни за изграждане с помощта на нашата програма.

Точка по точка или вероятностен метод

Това е най-лесният метод за прилагане на компютър. За простота разглеждаме случая на плоско самоафинно множество. Нека

) - някаква система от афинни съкращения. Дисплей S

представлява се като: S

Фиксиран размер на матрицата 2x2 и o

Двумерна векторна колона.

• Нека вземем фиксираната точка на първото картографиране S 1 като начална точка:
  x:= o1;
  Тук се възползваме от факта, че всички фиксирани точки на компресия S 1,..,S m принадлежат на фрактала. Можете да изберете произволна точка като начална точка и последователността от точки, генерирани от нея, ще бъде начертана до фрактал, но след това на екрана ще се появят няколко допълнителни точки.
• Нека маркираме текущата точка x=(x 1 ,x 2) на екрана:
  putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
• Нека произволно изберем число j от 1 до m и преизчислим координатите на точка x:
  j:=Случаен(m)+1;
  x:=S j (x);
• Преминаваме към стъпка 2 или, ако сме направили достатъчно голям брой итерации, спираме.

Забележка.Ако коефициентите на компресия на преобразуванията S i са различни, тогава фракталът ще бъде запълнен с точки неравномерно. Ако преобразуванията S i са подобни, това може да се избегне чрез леко усложняване на алгоритъма. За да направите това, на 3-та стъпка на алгоритъма, числото j от 1 до m трябва да бъде избрано с вероятности p 1 =r 1 s,..,p m =r m s, където r i означават коефициентите на компресия на преобразуванията Si, и числото s (наречено измерение на подобие) се намира от уравнението r 1 s +...+r m s =1. Решението на това уравнение може да се намери например по метода на Нютон.

За фракталите и техните алгоритми

Фрактал идва от латинското прилагателно "fractus", и в превод означава състоящ се от фрагменти, а съответният латински глагол "frangere" означава разбивам, тоест създавам неправилни фрагменти. Концепциите за фрактал и фрактална геометрия, които се появиха в края на 70-те години, се наложиха твърдо сред математиците и програмистите от средата на 80-те години. Терминът е въведен от Беноа Манделброт през 1975 г., за да се отнася до неправилните, но самоподобни структури, с които той се занимава. Раждането на фракталната геометрия обикновено се свързва с публикуването на книгата на Манделброт „Фракталната геометрия на природата“ през 1977 г. В трудовете му са използвани научните резултати на други учени, работили в периода 1875-1925 г. в същата област (Поанкаре, Фату, Юлия, Кантор, Хаусдорф).

Корекции

Позволете ми да направя някои корекции в алгоритмите, предложени в книгата на H.-O. Peitgen и P.H. Richter „Красотата на фракталите“ M. 1993 чисто за премахване на печатни грешки и улесняване на разбирането на процесите, тъй като след изучаването им много останаха загадка за мен. За съжаление, тези „разбираеми“ и „прости“ алгоритми водят разтърсващ начин на живот.

Конструирането на фрактали се основава на определена нелинейна функция на сложен процес с обратна връзка z => z 2 +c тъй като z и c са комплексни числа, тогава z = x + iy, c = p + iq е необходимо да се разложи в x и y, за да отидете в по-реалистично за Хайде де човексамолет:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Равнина, състояща се от всички двойки (x,y), може да се разглежда като за фиксирани стойности p и q, и с динамичните. В първия случай, като преминете през всички точки (x, y) на равнината според закона и ги оцветите в зависимост от броя на повторенията на функцията, необходими за излизане от итеративния процес или не ги оцветите (черен цвят), когато допустимият максимум от повторения е надвишен, ще получим показване на набора Julia. Ако, напротив, определим първоначалната двойка стойности (x,y) и проследим нейната колористична съдба с динамично променящи се стойности на параметрите p и q, тогава получаваме изображения, наречени набори на Манделброт.

По въпроса за алгоритмите за оцветяване на фрактали.

Обикновено тялото на комплекта е представено като черно поле, въпреки че е очевидно, че черният цвят може да бъде заменен с всеки друг, но това също е малко интересен резултат. Получаването на изображение на набор, оцветен във всички цветове, е задача, която не може да бъде решена с помощта на циклични операции, защото броят на повторенията на комплектите, образуващи тялото, е равен на максимално възможния и винаги е един и същ. Възможно е да оцветите набор в различни цветове, като използвате резултата от проверката на условието за изход от цикъла (z_magnitude) или нещо подобно, но с други математически операции, като номер на цвят.

Приложение на "фрактален микроскоп"

за демонстриране на гранични явления.

Атракторите са центрове, водещи борбата за надмощие в равнината. Между атракторите се появява граница, представляваща цветен модел. Чрез увеличаване на мащаба на разглеждане в границите на набора могат да се получат нетривиални модели, които отразяват състоянието на детерминистичен хаос - често срещано явление в естествения свят.

Изследваните от географите обекти образуват система с много сложно организирани граници, поради което тяхното идентифициране се превръща в непроста практическа задача. Природни комплексиимат ядра на типичност, които действат като атрактори, които губят влиянието си върху територията, когато тя се отдалечава.

Използвайки фрактален микроскоп за множествата на Манделброт и Джулия, може да се създаде представа за гранични процеси и явления, които са еднакво сложни независимо от мащаба на разглеждане и по този начин да подготви възприятието на специалиста за среща с динамичен и привидно хаотичен природен обект в пространството и времето, за разбиране на природата на фракталната геометрия. Многоцветните цветове и фракталната музика определено ще оставят дълбок отпечатък в съзнанието на учениците.

Хиляди публикации и огромни интернет ресурси са посветени на фракталите, но за много специалисти, далеч от компютърните науки, този термин изглежда напълно нов. Фракталите, като обекти на интерес за специалисти в различни области на знанието, трябва да получат подобаващо място в курсовете по компютърни науки.

Примери

SIEPINSKI GRID

Това е един от фракталите, с които Манделброт експериментира, когато разработва концепциите за фрактални измерения и итерации. Триъгълници, образувани чрез свързване на средните точки на по-голям триъгълник, се изрязват от основния триъгълник, образувайки триъгълник с повече дупки. В този случай инициаторът е големият триъгълник, а шаблонът е операцията по изрязване на триъгълници, подобни на по-големия. Можете също така да получите триизмерна версия на триъгълник, като използвате обикновен тетраедър и изрежете малки тетраедри. Размерът на такъв фрактал е ln3/ln2 = 1,584962501. Придобивам Килим Сиерпински, вземете квадрат, разделете го на девет квадрата и изрежете средния. Ще направим същото и с останалите, по-малки квадрати. В крайна сметка се образува плоска фрактална мрежа, която няма площ, но с безкрайни връзки. В своята пространствена форма гъбата на Сиерпински се трансформира в система от форми от край до край, в която всеки елемент от край до край непрекъснато се заменя със свой вид. Тази структура е много подобна на разрез костна тъкан. Някой ден такива повтарящи се структури ще станат елемент на строителни конструкции. Тяхната статика и динамика, според Манделброт, заслужават внимателно проучване.

КРИВА НА КОХ

Кривата на Кох е един от най-типичните детерминирани фрактали. Изобретен е през деветнадесети век от немски математик на име Хелге фон Кох, който, докато изучавал работата на Георг Контор и Карл Вайерщрасе, се натъкнал на описания на някои странни криви с необичайно поведение. Инициаторът е права линия. Генераторът е равностранен триъгълник, чиито страни са равни на една трета от дължината на по-големия сегмент. Тези триъгълници се добавят към средата на всеки сегмент отново и отново. В своите изследвания Манделброт експериментира широко с кривите на Кох и създава фигури като острови на Кох, кръстове на Кох, снежинки на Кох и дори триизмерни изображения на кривата на Кох, като използва тетраедър и добавя по-малки тетраедри към всяко от лицата му. Кривата на Кох има размерност ln4/ln3 = 1.261859507.

ФРАКТАЛ НА МАНДЕЛБРОТ

Това НЕ е комплектът на Манделброт, който виждате доста често. Наборът на Манделброт се основава на нелинейни уравнения и е сложен фрактал. Това също е вариант на кривата на Кох, въпреки че този обект не е подобен на нея. Инициаторът и генераторът също са различни от тези, използвани за създаване на фрактали на базата на принципа на кривата на Кох, но идеята остава същата. Вместо да свързват равностранни триъгълници с крива сегмент, квадратите се свързват с квадрат. Поради факта, че този фрактал заема точно половината от определеното пространство при всяка итерация, той има просто фрактално измерение от 3/2 = 1,5.

Сложни фрактали

Всъщност, ако увеличите малка област от всеки сложен фрактал и след това направите същото с малка област от тази област, двете увеличения ще бъдат значително различни едно от друго. Двете изображения ще си приличат много в детайли, но няма да са напълно идентични.

Фигура 1. Апроксимация на множеството на Манделброт

Сравнете, например, снимките на набора на Манделброт, показани тук, едната от които е получена чрез уголемяване на определена област от другата. Както можете да видите, те абсолютно не са идентични, въпреки че и на двете виждаме черен кръг, от който пламтящи пипала се простират в различни посоки. Тези елементи се повтарят безкрайно в набора на Манделброт в намаляващи пропорции.

Детерминистичните фрактали са линейни, докато сложните фрактали не са. Тъй като са нелинейни, тези фрактали се генерират от това, което Манделброт нарече нелинейно алгебрични уравнения. Добър примере процесът Zn+1=ZnІ + C, което е уравнението, използвано за конструиране на множеството на Манделброт и Юлия от втора степен. Решаването на тези математически уравнения включва комплексни и въображаеми числа. Когато уравнението се интерпретира графично в комплексната равнина, резултатът е странна фигура, в която правите линии се превръщат в криви и се появяват ефекти на самоподобие, макар и не без деформации, на различни мащабни нива. В същото време цялата картина като цяло е непредсказуема и много хаотична.

Както можете да видите, като разгледате снимките, сложните фрактали наистина са много сложни и не могат да бъдат създадени без помощта на компютър. За да получите цветни резултати, този компютър трябва да има мощен математически копроцесор и монитор с с висока резолюция. За разлика от детерминистичните фрактали, сложните фрактали не се изчисляват в 5-10 итерации. Почти всяка точка на екрана на компютъра е като отделен фрактал. По време на математическата обработка всяка точка се третира като отделен чертеж. Всяка точка отговаря на определена стойност. Уравнението е вградено за всяка точка и се изпълнява, например, 1000 итерации. За да се получи относително неизкривено изображение за период от време, приемлив за домашни компютри, е възможно да се извършат 250 итерации за една точка.

Повечето от фракталите, които виждаме днес, са красиво оцветени. Може би фракталните изображения придобиват такова голямо естетическо значение именно поради цветовите си схеми. След като уравнението е изчислено, компютърът анализира резултатите. Ако резултатите останат стабилни или се колебаят около определена стойност, точката обикновено става черна. Ако стойността на една или друга стъпка клони към безкрайност, точката се оцветява в различен цвят, може би син или червен. По време на този процес компютърът присвоява цветове на всички скорости на движение.

Обикновено бързо движещите се точки са оцветени в червено, докато по-бавните са оцветени в жълто и т.н. Тъмните петна са може би най-стабилните.

Комплексните фрактали се различават от детерминистичните фрактали в смисъл, че са безкрайно сложни, но въпреки това могат да бъдат генерирани по много проста формула. Детерминистичните фрактали не изискват формули или уравнения. Просто вземете малко хартия за рисуване и можете да изградите сито на Sierpinski до 3 или 4 итерации без никакви затруднения. Опитайте това с много Джулия! По-лесно е да отидете да измерите дължината на бреговата линия на Англия!

КОМПЛЕКТ МАНДЕЛБРОТ

Фигура 2. Набор на Манделброт

Наборите на Манделброт и Джулия са може би двете най-често срещани сред сложните фрактали. Те могат да бъдат намерени в много научни списания, корици на книги, пощенски картички и компютърни скрийнсейвъри. Наборът на Манделброт, който е конструиран от Беноа Манделброт, вероятно е първата асоциация, която хората имат, когато чуят думата фрактал. Този фрактал, който прилича на машина за кардиране с горящи дървовидни и кръгли области, прикрепени към него, се генерира от простата формула Zn+1=Zna+C, където Z и C са комплексни числа, а a е положително число.

Наборът на Манделброт, който най-често може да се види, е наборът на Манделброт от 2-ра степен, тоест a = 2. Фактът, че множеството на Манделброт е не само Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, индикаторът във формулата на който може да бъде всяко положително число, подведе мнозина. На тази страница виждате пример за комплекта на Манделброт за различни значенияиндикатор а.
Фигура 3. Появата на мехурчета при a=3.5

Процесът Z=Z*tg(Z+C) също е популярен. Чрез включването на функцията тангенс резултатът е набор на Манделброт, заобиколен от област, наподобяваща ябълка. При използване на функцията косинус се получават ефекти на въздушни мехурчета. Накратко, има безкраен брой начини за конфигуриране на комплекта Mandelbrot за създаване на различни красиви картини.

МНОГО ДЖУЛИЯ

Изненадващо, множествата на Юлия се формират по същата формула като множеството на Манделброт. Наборът Julia е изобретен от френския математик Гастон Julia, на когото е кръстен наборът. Първият въпрос, който възниква след визуално запознаване с множествата на Манделброт и Джулия, е „ако и двата фрактала са генерирани по една и съща формула, защо са толкова различни?“ Първо разгледайте снимките на комплекта Julia. Колкото и да е странно, има различни видове комплекти Julia. Когато чертаете фрактал, като използвате различни начални точки (за да започнете процеса на итерация), се генерират различни изображения. Това важи само за комплект Джулия.

Фигура 4. Комплект Джулия

Въпреки че не може да се види на снимката, фракталът на Манделброт всъщност е много фрактали на Юлия, свързани заедно. Всяка точка (или координата) от множеството на Манделброт съответства на фрактал на Юлия. Наборите Джулия могат да бъдат генерирани с помощта на тези точки като начални стойности в уравнението Z=ZI+C. Но това не означава, че ако изберете точка от фрактала на Манделброт и я увеличите, можете да получите фрактала на Юлия. Тези две точки са идентични, но само в математически смисъл. Ако вземете тази точка и я изчислите с помощта на тази формула, можете да получите фрактал на Юлия, съответстващ на определена точка от фрактала на Манделброт.

Най-гениалните открития в науката могат коренно да променят човешкия живот. Изобретената ваксина може да спаси милиони хора, а създаването на оръжия, напротив, отнема тези животи. Съвсем наскоро (в мащаба на човешката еволюция) се научихме да „опитомяваме“ електричеството - и сега не можем да си представим живота без всички тези удобни устройства, които използват електричество. Но има и открития, на които малко хора придават значение, въпреки че те също оказват голямо влияние върху живота ни.

Едно от тези „незабележими“ открития са фракталите. Вероятно вече сте чували тази закачлива дума, но знаете ли какво означава и колко интересна информация се крие в този термин?

Всеки човек има естествено любопитство, желание да разбере света около себе си. И в това начинание човек се опитва да се придържа към логиката в преценките. Анализирайки процесите, протичащи около него, той се опитва да намери логиката на случващото се и да извлече някакъв модел. Най-големите умове на планетата са заети с тази задача. Грубо казано, учените търсят модел там, където не трябва да има такъв. Въпреки това дори в хаоса е възможно да се намерят връзки между събитията. И тази връзка е фрактал.

Нашата малка дъщеричка, на четири години и половина, вече е в онази прекрасна възраст, когато броят на въпросите „Защо?” многократно надхвърля броя на отговорите, които възрастните успяват да дадат. Неотдавна, докато разглеждах клон, повдигнат от земята, дъщеря ми внезапно забеляза, че този клон, с клонките и клоните, сам по себе си прилича на дърво. И, разбира се, последва обичайният въпрос „Защо?“, на който родителите трябваше да потърсят простичко, разбираемо за детето обяснение.

Откритото от дете сходство на един клон с цяло дърво е много точно наблюдение, което още веднъж свидетелства за принципа на рекурсивното самоподобие в природата. Много органични и неорганични форми в природата се образуват по подобен начин. Облаци, морски раковини, „къща“ на охлюв, кората и короната на дърветата, кръвоносната система и така нататък – произволните форми на всички тези обекти могат да бъдат описани с фрактален алгоритъм.

⇡ Беноа Манделброт: баща на фракталната геометрия

Самата дума "фрактал" се появи благодарение на брилянтния учен Беноа Б. Манделброт.

Самият той измисля термина през 70-те години на миналия век, като заема думата fractus от латински, където буквално означава „счупен“ или „смачкан“. Какво е? Днес думата "фрактал" най-често означава графично изображениеструктури, които са подобни на себе си в по-голям мащаб.

Математическата основа за възникването на теорията за фракталите е положена много години преди раждането на Беноа Манделброт, но тя може да се развие едва с появата на изчислителните устройства. В началото на своята научна дейностБеноа е работил в изследователски центъркомпания IBM. По това време служителите на центъра работят по предаване на данни на разстояние. По време на изследването учените се сблъскаха с проблема с големите загуби, произтичащи от шумови смущения. Беноа се изправи пред трудно и много важна задача— да разбере как да предвиди появата на шумови смущения в електронните схеми, когато статистическият метод се окаже неефективен.

Преглеждайки резултатите от измерванията на шума, Манделброт забеляза един странен модел - шумовите графики в различни мащаби изглеждаха еднакви. Наблюдава се идентичен модел, независимо дали е шумова графика за един ден, седмица или час. Беше необходимо да се промени мащабът на графиката и картината се повтаряше всеки път.

През живота си Беноа Манделброт многократно е казвал, че не е изучавал формули, а просто си е играл с картинки. Този човек мислеше много образно и преведе всяка алгебрична задача в областта на геометрията, където според него верният отговор винаги е очевиден.

Не е изненадващо, че именно човек с толкова богато пространствено въображение стана бащата на фракталната геометрия. В края на краищата, осъзнаването на същността на фракталите идва точно когато започнете да изучавате рисунките и да мислите за значението на странните вихрови модели.

Фракталният модел няма идентични елементи, но е подобен във всеки мащаб. Изградете такъв образ с висока степенръчното детайлизиране преди беше просто невъзможно; изискваше огромно количество изчисления. Например френският математик Пиер Жозеф Луи Фату описва този набор повече от седемдесет години преди откритието на Беноа Манделброт. Ако говорим за принципите на самоподобието, те са споменати в произведенията на Лайбниц и Георг Кантор.

Една от първите фрактални рисунки беше графична интерпретация на набора на Манделброт, която се роди благодарение на изследванията на Гастон Морис Юлия.

Гастон Джулия (винаги с маска - нараняване от Първата световна война)

Този френски математик се чудеше как би изглеждал набор, ако беше изграден от проста формула, повторена през цикъл обратна връзка. Ако го обясните „на пръсти“, това означава, че за конкретно числоНамираме нова стойност с помощта на формулата, след което я заместваме отново във формулата и получаваме друга стойност. Резултатът е голяма последователност от числа.

За да получите пълна картина на такъв набор, трябва да направите огромен брой изчисления - стотици, хиляди, милиони. Просто беше невъзможно да се направи това ръчно. Но когато мощните изчислителни устройства станаха достъпни за математиците, те успяха да хвърлят нов поглед върху формулите и изразите, които отдавна представляват интерес. Манделброт е първият, който използва компютър за изчисляване на класически фрактал. След като обработи последователност, състояща се от голям брой стойности, Беноа начерта резултатите върху графика. Това е, което той получи.

Впоследствие това изображение е оцветено (например един от методите за оцветяване е чрез брой итерации) и се превръща в едно от най-популярните изображения, създавани някога от човека.

Както казва древната поговорка, приписвана на Хераклит от Ефес, „Не можете да влезете в една и съща река два пъти“. Той е идеално подходящ за интерпретиране на геометрията на фракталите. Без значение колко подробно разглеждаме фракталното изображение, винаги ще виждаме подобен модел.

Тези, които желаят да видят как би изглеждало изображение на пространството на Манделброт, когато се увеличи многократно, могат да го направят, като изтеглят анимирания GIF.

⇡ Лорън Карпентър: изкуство, създадено от природата

Теорията на фракталите скоро намери практическо приложение. Тъй като е тясно свързано с визуализацията на самоподобни изображения, не е изненадващо, че първите, които възприемат алгоритми и принципи на конструиране необичайни форми, имаше артисти.

Бъдещият съосновател на легендарното студио Pixar, Лорен С. Карпентър, започва работа през 1967 г. в Boeing Computer Services, което е едно от подразделенията на известната корпорация, разработваща нови самолети.

През 1977 г. създава презентации с прототипи на летящи модели. Отговорностите на Лорен включват разработване на изображения на проектирания самолет. Той трябваше да създаде снимки на нови модели, показващи бъдещи самолети от различни ъгли. В един момент бъдещият основател на Pixar Animation Studios излезе с творческата идея да използва изображение на планини като фон. Днес всеки ученик може да реши такъв проблем, но в края на седемдесетте години на миналия век компютрите не можеха да се справят с толкова сложни изчисления - нямаше графични редактори, да не говорим за приложения за 3D графика. През 1978 г. Лорън случайно вижда в магазин книгата на Беноа Манделброт „Фрактали: форма, шанс и измерение“. В тази книга вниманието му беше привлечено от факта, че Беноа даде много примери за фрактални форми в Истински животи твърди, че те могат да бъдат описани с математически израз.

Тази аналогия не е избрана от математика случайно. Факт е, че веднага след като публикува изследването си, той трябваше да се сблъска с цял порой от критики. Основното нещо, за което колегите му го упрекнаха, беше безполезността на развиваната теория. „Да“, казаха те, „това е красиви снимки, но не повече. Теорията на фракталите няма практическа стойност. Имаше и такива, които като цяло вярваха, че фракталните модели са просто страничен продукт от работата на „дяволските машини“, които в края на седемдесетте изглеждаха на мнозина като нещо твърде сложно и неизследвано, за да му се вярва напълно. Манделброт се опита да намери очевидни приложения на теорията на фракталите, но в голямата схема на нещата не му трябваше. През следващите 25 години последователите на Беноа Манделброт доказаха огромните ползи от такова „математическо любопитство“, а Лорън Карпентър беше една от първите, които изпробваха фракталния метод на практика.

След като изучава книгата, бъдещият аниматор сериозно изучава принципите на фракталната геометрия и започва да търси начин да я приложи в компютърната графика. Само за три дни работа Лорън успя да направи реалистично изображение на планинската система на своя компютър. С други думи, той използва формули, за да нарисува напълно разпознаваем планински пейзаж.

Принципът, който Лорън използва, за да постигне целта си, беше много прост. Състоеше се от разделяне на по-голяма геометрична фигура на малки елементи, а те от своя страна бяха разделени на подобни фигури с по-малък размер.

Използвайки по-големи триъгълници, Карпентър ги разделя на четири по-малки и след това повтаря този процес отново и отново, докато получи реалистичен планински пейзаж. Така успява да стане първият художник, който използва фрактален алгоритъм за конструиране на изображения в компютърната графика. Веднага след като се разчу за работата, ентусиастите по целия свят подхванаха идеята и започнаха да използват фракталния алгоритъм за имитиране на реалистични природни форми.

Една от първите 3D визуализации, използващи фрактален алгоритъм

Само няколко години по-късно Лорън Карпентър успява да приложи своите разработки в много по-голям проект. От тях аниматорът създава двуминутно демо на Vol Libre, което е показано на Siggraph през 1980 г. Това видео шокира всички, които го видяха, а Лорън получи покана от Lucasfilm.

Анимацията беше изобразена на компютър VAX-11/780 от Digital Equipment Corporation с тактова честота от пет мегахерца и изобразяването на всеки кадър отне около половин час.

Работейки за Lucasfilm Limited, аниматорът създава 3D пейзажи, използвайки същата схема за втория пълнометражен филм от сагата Star Trek. В The Wrath of Khan Карпентър успя да създаде цяла планета, използвайки същия принцип на моделиране на фракталната повърхност.

В момента всички популярни приложения за създаване на 3D пейзажи използват подобен принцип за генериране на природни обекти. Terragen, Bryce, Vue и други 3D редактори разчитат на фрактален алгоритъм за моделиране на повърхности и текстури.

⇡ Фрактални антени: по-малкото е повече

През последния половин век животът бързо започна да се променя. Повечето от нас приемат постиженията модерни технологииза даденост. Много бързо свикваш с всичко, което прави живота по-комфортен. Рядко някой си задава въпроса "Откъде дойде това?" и „Как работи?“ Микровълнова печка затопля закуската - страхотно, смартфонът ви дава възможност да говорите с друг човек - страхотно. Това изглежда като очевидна възможност за нас.

Но животът можеше да бъде съвсем различен, ако човек не беше търсил обяснение за случващите се събития. Вземете например мобилните телефони. Помните ли прибиращите се антени на първите модели? Те пречеха, увеличаваха размера на устройството и в крайна сметка често се счупваха. Вярваме, че са потънали в забрава завинаги и част от причината за това са... фракталите.

Фракталните модели очароват със своите модели. Те определено приличат на изображения на космически обекти - мъглявини, галактически купове и т.н. Ето защо е съвсем естествено, че когато Манделброт изрази своята теория за фракталите, неговите изследвания предизвикаха повишен интерес сред тези, които изучават астрономия. Един от тези аматьори на име Нейтън Коен, след като присъства на лекция на Беноа Манделброт в Будапеща, схвана идеята практическо приложениепридобити знания. Вярно, той направи това интуитивно и случайността изигра важна роля в неговото откритие. Като радиолюбител Нейтън се стреми да създаде антена с възможно най-висока чувствителност.

Единственият начин да се подобрят параметрите на антената, която беше известна по това време, беше да се увеличат нейните геометрични размери. Собственикът на имота в центъра на Бостън, който Нейтън нае, обаче беше категорично против инсталирането на големи устройства на покрива. Тогава Нейтън започна да експериментира с различни формиантени, опитвайки се да получите максимален резултат с минимален размер. Вдъхновен от идеята за фракталните форми, Коен, както се казва, на случаен принцип направи един от най-известните фрактали от тел - „снежинката на Кох“. Шведският математик Хелге фон Кох измисли тази крива през 1904 г. Получава се чрез разделяне на отсечка на три части и замяна на средната отсечка с равностранен триъгълник без страна, съвпадаща с тази отсечка. Определението е малко трудно за разбиране, но на фигурата всичко е ясно и просто.

Има и други варианти на кривата на Кох, но приблизителната форма на кривата остава подобна

Когато Нейтън свърза антената към радиоприемника, той беше много изненадан - чувствителността се увеличи драстично. След поредица от експерименти бъдещ професорБостънският университет осъзна, че антена, направена с помощта на фрактален модел, има висока ефективност и покрива много по-широк честотен диапазон в сравнение с класическите решения. В допълнение, формата на антената под формата на фрактална крива позволява значително намаляване на геометричните размери. Нейтън Коен дори излезе с теорема, която доказва, че за да се създаде широколентова антена, е достатъчно да й се придаде формата на самоподобна фрактална крива.

Авторът патентова откритието си и основа компания за разработване и проектиране на фрактални антени Fractal Antenna Systems, с право вярвайки, че в бъдеще, благодарение на неговото откритие, мобилните телефони ще могат да се отърват от обемистите антени и да станат по-компактни.

По принцип така и стана. Вярно е, че до ден днешен Нейтън е ангажиран в съдебна битка с големи корпорации, които незаконно използват откритието му за производство на компактни комуникационни устройства. Някои известни производители на мобилни устройства, като Motorola, вече са постигнали приятелско споразумение с изобретателя на фракталната антена.

⇡ Фрактални измерения: не можете да го разберете с ума си

Беноа заимства този въпрос от известния американски учен Едуард Каснер.

Последният, подобно на много други известни математици, обичаше да общува с деца, да им задава въпроси и да получава неочаквани отговори. Понякога това водеше до изненадващи последици. Например, деветгодишният племенник на Едуард Каснър излезе с вече добре познатата дума „googol“, което означава единица, последвана от сто нули. Но да се върнем на фракталите. Американският математик обичал да задава въпроса колко е дълга бреговата линия на САЩ. След като изслуша мнението на своя събеседник, самият Едуард каза правилния отговор. Ако измервате дължината на карта с помощта на счупени сегменти, резултатът ще бъде неточен, тъй като бреговата линия има голям брой неравности. Какво се случва, ако измерваме възможно най-точно? Ще трябва да вземете под внимание дължината на всяка неравност - ще трябва да измерите всеки нос, всеки залив, скала, дължината на скален ръб, камък върху него, песъчинка, атом и т.н. Тъй като броят на нередностите клони към безкрайност, измерената дължина на бреговата линия ще се увеличава до безкрайност при измерване на всяка нова нередност.

Колкото по-малка е мярката при измерване, толкова по-голяма е измерената дължина

Интересното е, че следвайки указанията на Едуард, децата бяха много по-бързи от възрастните в казването на правилното решение, докато последните имаха проблеми с приемането на такъв невероятен отговор.

Използвайки този проблем като пример, Манделброт предложи да се използва нов подходкъм измерванията. Тъй като бреговата линия е близо до фрактална крива, това означава, че към нея може да се приложи характеризиращ параметър - така наречената фрактална размерност.

Какво е редовно измерение е ясно на всеки. Ако измерението е равно на едно, получаваме права линия, ако две - плоска фигура, тритомник. Това разбиране на измерението в математиката обаче не работи с фрактални криви, където този параметър има дробна стойност. Фракталното измерение в математиката може условно да се разглежда като „грапавост“. Колкото по-голяма е грапавостта на кривата, толкова по-голяма е нейната фрактална размерност. Крива, която според Манделброт има фрактална размерност, по-висока от нейната топологична размерност, има приблизителна дължина, която не зависи от броя на измеренията.

В момента учените намират все повече и повече области за прилагане на теорията на фракталите. Използвайки фрактали, можете да анализирате колебанията в борсовите цени, да изучавате всякакви естествени процеси, като например колебания в броя на видовете, или да симулирате динамиката на потоците. Фракталните алгоритми могат да се използват за компресиране на данни, като например компресиране на изображения. И между другото, за да получите красив фрактал на екрана на вашия компютър, не е нужно да имате докторска степен.

⇡ Фрактал в браузъра

Може би един от най прости начинивземете фрактален модел - използвайте онлайн векторния редактор от младия талантлив програмист Тоби Шахман. Инструментите на този прост графичен редактор се основават на същия принцип на самоподобие.

На ваше разположение има само две най-прости форми - четириъгълник и кръг. Можете да ги добавите към платното, да ги мащабирате (за да мащабирате по една от осите, задръжте натиснат клавиша Shift) и да ги завъртите. Припокривайки се според принципа на булевите операции на добавяне, тези най-прости елементи образуват нови, по-малко тривиални форми. След това тези нови форми могат да бъдат добавени към проекта и програмата ще повтаря генерирането на тези изображения ad infinitum. На всеки етап от работата върху фрактал можете да се върнете към всеки компонент от сложна форма и да редактирате неговата позиция и геометрия. Забавна дейност, особено като имате предвид, че единственият инструмент, който трябва да създадете, е браузър. Ако не разбирате принципа на работа с този рекурсивен векторен редактор, съветваме ви да гледате видеоклипа на официалния уебсайт на проекта, който показва подробно целия процес на създаване на фрактал.

⇡ XaoS: фрактали за всеки вкус

Много графични редактори имат вградени инструменти за създаване на фрактални модели. Тези инструменти обаче обикновено са вторични и не позволяват фина настройка на генерирания фрактален модел. В случаите, когато е необходимо да се изгради математически точен фрактал, кросплатформеният редактор XaoS ще дойде на помощ. Тази програма дава възможност не само за изграждане на самоподобно изображение, но и за извършване на различни манипулации с него. Например, в реално време можете да направите „разходка“ по фрактал, като промените неговия мащаб. Анимирано движение по фрактал може да бъде запазено като XAF файл и след това възпроизведено в самата програма.

XaoS може да зарежда произволен набор от параметри, а също така да използва различни филтри за последваща обработка на изображения - добавяне на ефект на замъглено движение, изглаждане на резки преходи между фрактални точки, симулиране на 3D изображение и т.н.

⇡ Fractal Zoomer: компактен генератор на фрактали

В сравнение с други генератори на фрактални изображения, той има няколко предимства. Първо, той е много малък по размер и не изисква инсталация. На второ място, той реализира възможността за определяне на цветовата палитра на картината. Можете да изберете нюанси в цветни модели RGB, CMYK, HVS и HSL.

Също така е много удобно да използвате опцията за произволен избор цветови нюансии функция за обръщане на всички цветове в картината. За да регулирате цвета, има функция за цикличен избор на нюанси - когато включите съответния режим, програмата анимира изображението, като циклично променя цветовете върху него.

Fractal Zoomer може да визуализира 85 различни фрактални функции, а формулите са ясно показани в менюто на програмата. В програмата има филтри за последваща обработка на изображения, макар и в малки количества. Всеки зададен филтър може да бъде отменен по всяко време.

⇡ Mandelbulb3D: 3D фрактален редактор

Когато се използва терминът "фрактал", той най-често се отнася до плоско, двуизмерно изображение. Фракталната геометрия обаче надхвърля 2D измерението. В природата можете да намерите както примери за плоски фрактални форми, да речем, геометрията на светкавицата, така и триизмерни обемни фигури. Фракталните повърхности могат да бъдат триизмерни и една много ясна илюстрация на 3D фракталите в ежедневието е глава зеле. Може би най-добрият начин да видите фрактали е в сорта Романеско, хибрид на карфиол и броколи.

Можете също да ядете този фрактал

Създавайте 3D обекти с подобна формаПрограмата Mandelbulb3D може да направи това. За да се получи 3D повърхност с помощта на фрактален алгоритъм, авторите на това приложение, Даниел Уайт и Пол Найландер, преобразуваха набора на Манделброт в сферични координати. Създадената от тях програма Mandelbulb3D е истински триизмерен редактор, който моделира фрактални повърхности различни форми. Тъй като често наблюдаваме фрактални модели в природата, изкуствено създаден фрактален триизмерен обект изглежда невероятно реалистичен и дори „жив“.

Може да прилича на растение, може да прилича на странно животно, планета или нещо друго. Този ефект е подобрен от усъвършенстван алгоритъм за изобразяване, който прави възможно получаването на реалистични отражения, изчисляване на прозрачност и сенки, симулиране на ефекта на дълбочината на полето и т.н. Mandelbulb3D има огромен брой настройки и опции за изобразяване. Можете да контролирате нюансите на източниците на светлина, да изберете фона и нивото на детайлност на симулирания обект.

Редакторът на фрактали Incendia поддържа изглаждане на двойно изображение, съдържа библиотека от петдесет различни триизмерни фрактала и има отделен модул за редактиране на основни форми.

Приложението използва фрактален скрипт, с който можете независимо да описвате нови видове фрактален дизайн. Incendia разполага с редактори на текстури и материали, а механизмът за изобразяване ви позволява да използвате обемни ефекти на мъгла и различни шейдъри. Програмата реализира опцията за запазване на буфер по време на дългосрочно изобразяване и поддържа създаването на анимация.

Incendia ви позволява да експортирате фрактален модел в популярни 3D графични формати - OBJ и STL. Incendia включва малка помощна програма, наречена Geometrica, специален инструмент за настройка на експортирането на фрактална повърхност към 3D модел. С помощта на тази помощна програма можете да определите разделителната способност на 3D повърхност и да посочите броя на фракталните итерации. Експортираните модели могат да се използват в 3D проекти при работа с 3D редактори като Blender, 3ds max и други.

Напоследък работата по проекта Incendia се забави донякъде. На този моментавторът търси спонсори, които да му помогнат в развитието на програмата.

Ако нямате достатъчно въображение, за да нарисувате красив триизмерен фрактал в тази програма, няма значение. Използвайте библиотеката с параметри, която се намира в папката INCENDIA_EX\parameters. Използвайки PAR файлове, можете бързо да намерите най-необичайните фрактални форми, включително анимирани.

⇡ Аурал: как пеят фракталите

Обикновено не говорим за проекти, върху които току-що се работи, но в този случай трябва да направим изключение, тъй като това е много необичайно приложение. Проектът, наречен Aural, е измислен от същия човек, който създава Incendia. Този път обаче програмата не визуализира фракталния комплект, а го озвучава, превръщайки го в електронна музика. Идеята е много интересна, особено като се има предвид необичайни свойствафрактали. Aural е аудио редактор, който генерира мелодии с помощта на фрактални алгоритми, т.е. по същество това е аудио синтезатор-секвенсор.

Последователността от звуци, произведени от тази програма, е необичайна и... красива. Може да е полезно за писане на съвременни ритми и, както ни се струва, е особено подходящо за създаване аудио записикъм скрийнсейвъри на телевизионни и радио програми, както и „цикли“ на фонова музика към компютърни игри. Рамиро все още не е предоставил демонстрация на своята програма, но обещава, че когато го направи, за да работите с Aural, няма да е необходимо да изучавате фракталната теория - просто ще трябва да си поиграете с параметрите на алгоритъма за генериране на последователност от бележки. Чуйте как звучат фракталите и.

Фрактали: музикална пауза

Всъщност фракталите могат да ви помогнат да пишете музика дори без софтуер. Но това може да направи само някой, който наистина е проникнат от идеята за естествена хармония и който не се е превърнал в нещастен „маниак“. Има смисъл да вземем пример от музикант на име Джонатан Култън, който освен всичко друго пише композиции за списание Popular Science. И за разлика от други изпълнители, Колтън публикува всичките си произведения под лиценз Creative Commons Attribution-Noncommercial, който (когато се използва за некомерсиални цели) предоставя безплатно копиране, разпространение, прехвърляне на произведението на други, както и неговото модифициране ( създаване на производни произведения), така че да го адаптирате към вашите задачи.

Джонатан Колтън, разбира се, има песен за фракталите.

⇡ Заключение

Във всичко, което ни заобикаля, често виждаме хаос, но всъщност това не е случайност, а идеална форма, която фракталите ни помагат да различим. Природата е най-добрият архитект, идеалният строител и инженер. Тя е структурирана много логично и ако някъде не видим модел, това означава, че трябва да го търсим в различен мащаб. Хората разбират това все по-добре и по-добре, опитвайки се да имитират естествените форми по много начини. Инженерен дизайн Акустични системипод формата на черупка създават антени с геометрията на снежинки и т.н. Сигурни сме, че фракталите все още крият много тайни и много от тях все още не са открити от хората.

Фракталите са известни от почти век, добре са проучени и имат многобройни приложения в живота. Този феномен се основава на много проста идея: безкраен брой красиви и разнообразни форми могат да бъдат получени от сравнително прости дизайни, като се използват само две операции - копиране и мащабиране

Това понятие няма строго определение. Следователно думата "фрактал" не е математически термин. Обикновено това е името, дадено на геометрична фигура, която отговаря на едно или повече от следните свойства:

• има сложна структура при всяко увеличение;
• е (приблизително) себеподобен;
• има дробно хаусдорфово (фрактално) измерение, което е по-голямо от топологичното;
• могат да бъдат конструирани чрез рекурсивни процедури.

В началото на 19-ти и 20-ти век изследването на фракталите е по-скоро епизодично, отколкото систематично, тъй като преди това математиците са изучавали главно „добри“ обекти, които могат да бъдат изследвани с помощта на общи методи и теории. През 1872 г. немският математик Карл Вайерщрас конструира пример за непрекъсната функция, която никъде не може да бъде диференцирана. Конструкцията му обаче беше напълно абстрактна и трудна за разбиране. Затова през 1904 г. шведът Хелге фон Кох излезе с непрекъсната крива, която няма никъде допирателна и е доста лесна за начертаване. Оказа се, че има свойствата на фрактал. Един вариант на тази крива се нарича "снежинка на Кох".

Идеите за самоподобие на фигурите бяха възприети от французина Пол Пиер Леви, бъдещият наставник на Беноа Манделброт. През 1938 г. е публикувана неговата статия „Равнинни и пространствени криви и повърхности, състоящи се от части, подобни на цялото“, която описва друг фрактал - C-кривата на Леви. Всички тези фрактали, изброени по-горе, могат условно да бъдат класифицирани като един клас конструктивни (геометрични) фрактали.

Друг клас са динамичните (алгебрични) фрактали, които включват множеството на Манделброт. Първите изследвания в тази насока датират от началото на 20 век и се свързват с имената на френските математици Гастон Юлия и Пиер Фату. През 1918 г. Джулия публикува работа от почти двеста страници върху итерациите на сложни рационални функции, които описват множества на Джулия - цяло семейство фрактали, тясно свързани с множеството на Манделброт. Тази работа беше наградена с награда от Френската академия, но не съдържаше нито една илюстрация, така че беше невъзможно да се оцени красотата на откритите обекти. Въпреки факта, че тази работа направи Джулия известна сред математиците от онова време, тя бързо беше забравена.

Вниманието отново се обърна към работата на Джулия и Фату едва половин век по-късно, с появата на компютрите: именно те направиха видимо богатството и красотата на света на фракталите. В края на краищата, Фату никога не би могъл да разгледа изображенията, които сега познаваме като изображения на набора на Манделброт, защото необходимият брой изчисления не могат да бъдат направени на ръка. Първият човек, който използва компютър за това, е Беноа Манделброт.

През 1982 г. излиза книгата на Манделброт „Фракталната геометрия на природата“, в която авторът събира и систематизира почти цялата налична по онова време информация за фракталите и я представя по лесен и достъпен начин. Манделброт поставя основния акцент в изложението си не върху тежките формули и математически конструкции, а върху геометричната интуиция на читателите. Благодарение на илюстрациите, получени с помощта на компютър и исторически истории, с които авторът умело разрежда научния компонент на монографията, книгата се превърна в бестселър, а фракталите станаха известни на широката публика. Техният успех сред нематематиците до голяма степен се дължи на факта, че с помощта на много прости конструкции и формули, които дори гимназист може да разбере, се получават изображения с удивителна сложност и красота. Когато персоналните компютри станаха достатъчно мощни, се появи дори цяла посока в изкуството - фрактална живопис, и почти всеки собственик на компютър можеше да го направи. Сега в интернет можете лесно да намерите много сайтове, посветени на тази тема.