Как да се научим да решаваме прости и сложни уравнения. Примери за решаване на уравнения

Има моменти в живота, когато пред вас се появява привидно безнадеждна ситуация или проблем, чието разрешаване обещава да не е във ваша полза. Не бързайте да се отказвате от осъществяването на мечтите си, постигането на целите си или изпадайте в паника. Един древен мъдрец е казал: "Изберете време за размисъл - това е източник на сила." Е, трудно е да не се съглася с него, защото умът е такъв мощно оръжие. Дори и най-сложният проблем има десетки решения и не се вижда само защото хората са свикнали да мислят в определени рамки. За да разрешите сложен проблем, трябва да координирате работата на съзнанието и подсъзнанието - това ще разшири хоризонтите ви и ще ви позволи да видите нови възможности.

Техника "100 идеи".

За да овладеете техниката „100 идеи“, ще ви трябват само 1-2 часа свободно време, удобен личен кът, където никой няма да ви безпокои, както и хартия и молив. Помолете вашите близки и познати предварително да не ви разсейват по време на „медитация“, изключете телефона си и просто се отпуснете. В горната част на лист формулирайте и запишете вашия въпрос или дилема. Номерирайте списъка от едно до 100 и започнете да генерирате идеи.

Отначало идеите идват една след друга, въпреки че те, уви, не са нови - ще опишете всичките си „козове“, включително умения, познанства, връзки, финансови ресурси, време, което можете да посветите на решаването на проблема. Тогава все още ще изглежда невъзможно да намерите сто отговора и ако се спънете в 20-30-та точка, ще се почувствате празни. Очаква ви леко засичане, което естествено се получава, когато съзнанието, въртейки се в омагьосан кръг, е изчерпало наличните му възможности и е преминало през всичко, което вече е срещало в личния си опит.

Втората фаза от вашето пътуване до вашето подсъзнание е още 40 точки, където все още използвате съзнанието си, но вашият скрити силите започват да се събуждат и получават втори вятър. На този етап се появява вашият начин на мислене. Ще забележите, че идеите ви започват да се повтарят и съдържат всякакви клишета и нагласи. Вашата цел не е да ги загърбите, а внимателно да ги запишете на хартия и ето защо: тези печати са рамките, отвъд които не можете да отидете и да се огледате. Може да бъде обществено мнение, неудовлетвореност от началниците, липса на самочувствие и всякакви други “неравности” в психиката ви. В същото време можете да откриете своя скрити проблемиили страхове, които ви пречат да продължите напред. Този етап ще изисква от вас най-голяма издръжливост - в края на краищата не е лесно да отхвърлите първите тридесет точки, които очевидно са във вашата зона на комфорт, и да поемете нови, непознати и следователно понякога плашещи идеи - това е нормално , основното е да не се отказвате. Освен това тази вътрешна борба само помага да се премине към третата фаза на пътуването.

Именно последните 30 точки ще отворят кутията на Пандора пред вас, защото числото 100 не е избрано случайно. Това е, което позволява на вашата интуиция да се отвори напълно и да изненадате себе си с неочаквани „прозрения отгоре“ - импровизирани изрази на вашето пробуждащо се подсъзнание, откъдето идеите се появяват без никаква обработка или филтриране от ума. В търсенето си вече сте изоставили логиката, забелязвайки колко квадратна е тя в действителност, и разбирате, че начинът ви на мислене е само в една равнина - и светът, оказва се, е триизмерен (без да се брои времето). Сега, когато умът спре да ви диктува какво е „възможно“ и какво „не е позволено“, вратата към подсъзнанието се отваря. Лесно можете да измислите нещо необичайно и на пръв поглед напълно абсурдно. Може дори да ви се струва, че не трябва да записвате идея, която е очевидно неподходяща за вас, идея, която внезапно се е появила в главата ви. Въпреки това странни, понякога глупави фрази могат да се окажат необработени диаманти. Спомнете си как хората смятаха Земята за плоска и се страхуваха да не паднат от ръба й и как някога идеята, че планетата е кръгла и се върти, беше наречена ерес. Налудните идеи може да не са ви ясни в началото, но ще усетите, че има нещо в тях – това ще ви послужи като капка, която ще ви насочи в правилната посока.

Може също така да се случи, че след като сте изложили толкова много идеи, изведнъж осъзнаете, че това изобщо не е проблем - или сте видели само върха на айсберга, така че трябва да направите нов списък, за да отговорите на съвсем различен въпрос.

Има още няколко правила, които трябва да се спазват при работа с тази техника. На първо място, списъкът трябва да бъде съставен наведнъж, без прекъсвания - в противен случай вашите дремещи гениални идеи ще останат дремещи под тежестта на ежедневното мислене. Докато работите, не трябва да препрочитате списъка и да оценявате колко вече е направено и колко неща остават - това ще ви разсее и ще попречи на мислите ви да се повторят естествено - и следователно няма да ви позволи да видите собствените си спънки . Пригответе се веднага: ще оцените и критикувате идеите си, след като съберете всичките сто точки - и докато процесът протича, трябва да запишете всякакви мисли (не е нужно да показвате този документ на никого, ако не не искам). Ако работата е в разгара си, съкратете думите, най-важното е, че след това можете да прочетете какво имате предвид. Можете, разбира се, да използвате лаптоп вместо молив и хартия, но помнете: източник електромагнитни вълни, поне на теория, пречи на вашия мозък, аура и, ако искате, чакри да се свържат с универсалния ум - и като цяло да функционират здравословно. Но това е по лична преценка.

„Вкусните“ бонуси на техниката „100 идеи“ са не само във възможността за задълбочен самоанализ и намиране на оригинални решения на трудни ситуации, но и във факта, че с нея можете да се развивате разнообразно и да планирате бъдещето си, да намерите нови стимули. за саморазвитие и израстване над себе си. За да направите това, в свободното си време помислете върху отговорите на темите по-долу (или някоя от вашите собствени):

• Как да се образовате
• Как да подобрим взаимоотношенията
• Как да подобрите живота си
• Как да печелите пари
• Как да подобрите бизнеса си
• Как да помогнем на хората
• Как да увеличим личната ефективност
• Как да станем по-здрави
• Неща, които все отлагам за утре
• Нещата, които правя най-добре
• Неща, които ме демотивират
• Качества, които искам да развия в себе си
• Въпроси, на които имам нужда от отговори
• Ценности, в които вярвам
• Нещата, които ценя в живота
• Професии, в които искам да се пробвам
• Неща (хора), които ме забавят в постигането на целта ми
• Неща, които ме ободряват
• Изводи, на които животът ме е научил
• Неща, от които можете да се отървете
• Места, които бих искал да посетя
• Грешки, за които прощавам на себе си (на другите)
• Начини да мислим по-креативно

Как да се научим да решаваме прости и сложни уравнения

Скъпи родители!

Без основно математическо обучение образованието е невъзможно модерен човек. В училище математиката служи като помощен предмет за много свързани дисциплини. В живота след училище това се превръща в истинска необходимост продължаващо обучение, което изисква основно общообразователно обучение, включително математика.

IN начално училищене само се полагат знания по основните теми, но и се развива логично мислене, въображение и пространствени представи, както и формиране на интерес към този предмет.

Спазвайки принципа на непрекъснатостта, ще се съсредоточим върху най-важната тема, а именно „Връзката между компонентите на действията при решаване на съставни уравнения“.

Като се използва този урокможете лесно да се научите да решавате сложни уравнения. В този урок ще научите подробно за инструкции стъпка по стъпкарешаване на сложни уравнения.

Много родители са объркани от въпроса как да накарат децата си да се научат да решават прости и сложни уравнения. Ако уравненията са прости, това е половината от проблема, но има и сложни - например интегрални. Между другото, за информация, има и уравнения, които хората се затрудняват да решат най-добрите умовенашата планета и за решаването на които се дават много значителни парични награди. Например, ако си спомнятеПерелмани непотърсен паричен бонус от няколко милиона.

Нека обаче първо се върнем към простите математически уравнения и повторим типовете уравнения и имената на компонентите. Малко загряване:

_________________________________________________________________________

ЗАГРЯВКА

Намерете допълнителното число във всяка колона:

2) Коя дума липсва във всяка колона?

3) Свържете думите от първата колона с думите от втората колона.

"Уравнение" "Равенство"

4) Как обяснявате какво е „равенство“?

5) Какво ще кажете за „уравнението“? Това равенство ли е? Какво му е специалното?

сборен термин

минус разлика

субтрактивен продукт

факторравенство

дивидент

уравнението

Заключение: Уравнението е равенство с променлива, чиято стойност трябва да се намери.

_______________________________________________________________________

Каня всяка група да напише уравнения на лист хартия с флумастер: (на дъската)

Един от групата трябва да прочете тяхното уравнение на математически език и да коментира решението им, т.е. да изрече операцията, която се извършва с известните компоненти на действията (алгоритъм).

Заключение: Можем да решаваме прости уравнения от всякакъв тип с помощта на алгоритъм, да четем и записваме буквални изрази.

Предлагам да реша задача, в която се появява нов тип уравнение.

Заключение: Запознахме се с решението на уравнения, една от частите на които съдържа числен израз, чиято стойност трябва да се намери и да се получи просто уравнение.

________________________________________________________________________

Нека разгледаме друга версия на уравнението, чието решение се свежда до решаване на верига от прости уравнения. Ето едно въведение в съставните уравнения.

Предлагам на всеки да напише изречение на математически език:

Произведението от разликата между числата x и 4 и числото 3 е 15.

ИЗВОД: Нововъзникващите проблемна ситуациямотивира поставянето на целта на урока: да се научи да решава уравнения, в които неизвестният компонент е израз. Такива уравнения са съставни уравнения.

__________________________________________________________________________

Или може би видовете уравнения, които вече сме изучавали, ще ни помогнат? (алгоритми)

На кое от известните уравнения е подобно нашето уравнение? X * a = b

МНОГО ВАЖЕН ВЪПРОС: Какъв е изразът от лявата страна - сбор, разлика, произведение или частно?

(x - 4) * 3 = 15 (Продукт)

Защо? (тъй като последното действие е умножение)

Заключение:Такива уравнения все още не са разглеждани. Но можем да го решим, ако изразътх - 4поставете карта (y - igrek) и ще получите уравнение, което може лесно да бъде решено с помощта на прост алгоритъм за намиране на неизвестния компонент.

При решаване на съставни уравнения е необходимо на всяка стъпка да се избира действие на автоматизирано ниво, като се коментират и назовават компонентите на действието.

(y - 5) * 4 = 28
y - 5 = 28: 4
y - 5 = 7
y = 5 +7
y = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (i)

Заключение:В класове с различна подготовка тази работа може да бъде организирана по различен начин. В по-подготвени класове, дори за първично затвърдяване, могат да се използват изрази, в които не две, а три или повече действия, но тяхното решаване изисква Повече ▼стъпки, като всяка стъпка опростява уравнението, докато получите просто уравнение. И всеки път можете да наблюдавате как се променя неизвестният компонент на действията.

_____________________________________________________________________________

ЗАКЛЮЧЕНИЕ:

Когато говорим за нещо много просто и разбираемо, често казваме: „Работата е толкова ясна, колкото две и две са четири!“

Но преди да разберат, че две и две е равно на четири, хората трябваше да учат много, много хиляди години.

Много правила от училищните учебници по аритметика и геометрия са били известни на древните гърци преди повече от две хиляди години.

Където трябва да броите, измервате, сравнявате нещо, не можете без математика.

Трудно е да си представим как биха живели хората, ако не знаеха как да броят, измерват и сравняват. Математиката учи това.

Днес се потопихте в училищния живот, изиграхте ролята на ученици и ви каня, скъпи родители, да оцените уменията си по скала.

В това видео ще анализираме цял набор от линейни уравнения, които се решават с помощта на същия алгоритъм - затова се наричат ​​най-простите.

Първо, нека дефинираме: какво е линейно уравнение и кое се нарича най-простото?

Линейно уравнение е това, в което има само една променлива и то само на първа степен.

Най-простото уравнение означава конструкцията:

Всички други линейни уравнения се свеждат до най-простите с помощта на алгоритъма:

1. Разгънете скобите, ако има такива;
2. Преместете термини, съдържащи променлива от едната страна на знака за равенство, и термини без променлива от другата;
3. Дайте подобни термини отляво и отдясно на знака за равенство;
4. Разделете полученото уравнение на коефициента на променливата $x$.

Разбира се, този алгоритъм не винаги помага. Факт е, че понякога след всички тези машинации коефициентът на променливата $x$ се оказва равен на нула. В този случай са възможни два варианта:

1. Уравнението изобщо няма решения. Например, когато се получи нещо като $0\cdot x=8$, т.е. отляво е нула, а отдясно е число, различно от нула. Във видеото по-долу ще разгледаме няколко причини, поради които тази ситуация е възможна.
2. Решението е всички числа. Единственият случай, когато това е възможно, уравнението се свежда до конструкцията $0\cdot x=0$. Съвсем логично е, че каквито и $x$ да заместим, пак ще се получи „нула е равна на нула“, т.е. правилно числово равенство.

Сега нека видим как работи всичко това, използвайки примери от реалния живот.

Примери за решаване на уравнения

Днес се занимаваме с линейни уравнения и то само с най-простите. Най-общо линейно уравнение означава всяко равенство, което съдържа точно една променлива и то само на първа степен.

Такива конструкции се решават приблизително по същия начин:

1. На първо място, трябва да разширите скобите, ако има такива (както в последния ни пример);
2. След това комбинирайте подобни
3. Накрая изолирайте променливата, т.е. преместете всичко, свързано с променливата - термините, в които се съдържа - от едната страна и преместете всичко, което остава без нея, от другата страна.

След това, като правило, трябва да донесете подобни от всяка страна на полученото равенство и след това всичко, което остава, е да разделим на коефициента на „x“ и ще получим окончателния отговор.

На теория това изглежда красиво и просто, но на практика дори опитни гимназисти могат да направят обидни грешки в доста прости линейни уравнения. Обикновено се допускат грешки или при отваряне на скоби, или при изчисляване на „плюсовете“ и „минусите“.

Освен това се случва линейното уравнение изобщо да няма решения или решението да е цялата числова линия, т.е. произволен брой. Ще разгледаме тези тънкости в днешния урок. Но ние ще започнем, както вече разбрахте, със самото прости задачи.

Схема за решаване на прости линейни уравнения

Първо, позволете ми още веднъж да напиша цялата схема за решаване на най-простите линейни уравнения:

1. Разгънете скобите, ако има такива.
2. Ние изолираме променливите, т.е. Преместваме всичко, което съдържа „X“ от едната страна, а всичко без „X“ от другата.
3. Представяме подобни условия.
4. Разделяме всичко на коефициента „х“.

Разбира се, тази схема не винаги работи, в нея има някои тънкости и трикове и сега ще се запознаем с тях.

Решаване на реални примери на прости линейни уравнения

Задача No1

Първата стъпка изисква да отворим скобите. Но те не са в този пример, така че пропускаме тази стъпка. Във втората стъпка трябва да изолираме променливите. Моля, обърнете внимание: говорим само за индивидуални условия. Нека го запишем:

Представяме подобни термини отляво и отдясно, но това вече е направено тук. Затова преминаваме към четвъртата стъпка: разделете на коефициента:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Така че получихме отговора.

Задача No2

Можем да видим скобите в този проблем, така че нека ги разширим:

И отляво, и отдясно виждаме приблизително същия дизайн, но нека действаме според алгоритъма, т.е. разделяне на променливите:

Ето някои подобни:

В какви корени работи това? Отговор: за всякакви. Следователно можем да напишем, че $x$ е произволно число.

Задача No3

Третото линейно уравнение е по-интересно:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тук има няколко скоби, но те не се умножават по нищо, а просто се предхождат от различни знаци. Нека ги разделим:

Извършваме втората стъпка, която вече ни е известна:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Нека направим сметката:

Извършваме последната стъпка - разделяме всичко на коефициента на “x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Неща, които трябва да запомните, когато решавате линейни уравнения

Ако пренебрегнем твърде простите задачи, бих искал да кажа следното:

• Както казах по-горе, не всяко линейно уравнение има решение - понякога просто няма корени;
• Дори да има корени, сред тях може да има нула - в това няма нищо лошо.

Нулата е същото число като останалите; не трябва да го дискриминирате по никакъв начин или да приемате, че ако получите нула, значи сте направили нещо нередно.

Друга особеност е свързана с отварянето на скоби. Моля, обърнете внимание: когато има „минус“ пред тях, ние го премахваме, но в скоби променяме знаците на противоположност. И тогава можем да го отворим с помощта на стандартни алгоритми: ще получим това, което видяхме в изчисленията по-горе.

Разбирайки това прост фактще ви позволи да избегнете глупави и обидни грешки в гимназията, когато извършването на такива действия се приема за даденост.

Решаване на сложни линейни уравнения

Нека да преминем към по-сложни уравнения. Сега конструкциите ще станат по-сложни и при извършване на различни трансформации ще се появи квадратична функция. Но не трябва да се страхуваме от това, защото ако, според плана на автора, решаваме линейно уравнение, тогава по време на процеса на трансформация всички мономи, съдържащи квадратична функция, със сигурност ще се отменят.

Пример №1

Очевидно първата стъпка е отварянето на скобите. Нека направим това много внимателно:

Сега нека да разгледаме поверителността:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Ето някои подобни:

Очевидно това уравнение няма решения, така че ще напишем това в отговора:

\[\varnothing\]

или няма корени.

Пример №2

Извършваме същите действия. Първа стъпка:

Нека преместим всичко с променлива наляво, а без нея - надясно:

Ето някои подобни:

Очевидно това линейно уравнение няма решение, така че ще го запишем по следния начин:

\[\varnothing\],

или няма корени.

Нюанси на решението

И двете уравнения са напълно решени. Използвайки тези два израза като пример, ние отново се убедихме, че дори в най-простите линейни уравнения всичко може да не е толкова просто: може да има или един, или нито един, или безкрайно много корени. В нашия случай разгледахме две уравнения, като и двете просто нямат корени.

Но бих искал да обърна внимание на друг факт: как да работите със скоби и как да ги отворите, ако пред тях има знак минус. Помислете за този израз:

Преди да отворите, трябва да умножите всичко по „X“. Моля, обърнете внимание: умножава се всеки отделен термин. Вътре има два термина - съответно два термина и умножени.

И едва след като тези на пръв поглед елементарни, но много важни и опасни трансформации са завършени, можете да отворите скобата от гледна точка на това, че след нея има знак минус. Да, да: едва сега, когато трансформациите са завършени, ние си спомняме, че има знак минус пред скобите, което означава, че всичко по-долу просто променя знаците. В същото време самите скоби изчезват и, най-важното, предният „минус“ също изчезва.

Правим същото с второто уравнение:

Не случайно обръщам внимание на тези дребни, на пръв поглед незначителни факти. Тъй като решаването на уравнения винаги е последователност от елементарни трансформации, където невъзможността за ясно и компетентно извършване на прости действия води до факта, че учениците от гимназията идват при мен и отново се учат да решават такива прости уравнения.

Разбира се, ще дойде ден, когато ще усъвършенствате тези умения до степен на автоматизм. Вече няма да се налага да извършвате толкова много трансформации всеки път; ще пишете всичко на един ред. Но докато просто учите, трябва да напишете всяко действие отделно.

Решаване на още по-сложни линейни уравнения

Това, което ще решим сега, трудно може да се нарече най-простата задача, но смисълът остава същият.

Задача No1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Нека умножим всички елементи от първата част:

Нека направим малко поверителност:

Ето някои подобни:

Нека завършим последната стъпка:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ето нашия окончателен отговор. И въпреки факта, че в процеса на решаване имахме коефициенти с квадратична функция, те взаимно се компенсират, което прави уравнението линейно, а не квадратно.

Задача No2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Нека внимателно изпълним първата стъпка: умножете всеки елемент от първата скоба по всеки елемент от втората. След трансформациите трябва да има общо четири нови термина:

Сега нека внимателно извършим умножението във всеки член:

Нека преместим термините с "X" наляво, а тези без - надясно:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ето подобни термини:

За пореден път получихме окончателния отговор.

Нюанси на решението

Най-важната бележка за тези две уравнения е следната: веднага щом започнем да умножаваме скоби, които съдържат повече от един член, това се прави съгласно следното правило: вземаме първия член от първия и умножаваме с всеки елемент от секундата; след това вземаме втория елемент от първия и по подобен начин умножаваме с всеки елемент от втория. В резултат на това ще имаме четири мандата.

За алгебричната сума

С този последен пример бих искал да напомня на учениците какво е алгебрична сума. В класическата математика под $1-7$ имаме предвид проста конструкция: извадете седем от едно. В алгебрата под това разбираме следното: към числото „едно“ добавяме друго число, а именно „минус седем“. Ето как алгебричната сума се различава от обикновената аритметична сума.

Веднага щом при извършване на всички трансформации, всяко събиране и умножение започнете да виждате конструкции, подобни на описаните по-горе, просто няма да имате проблеми в алгебрата, когато работите с полиноми и уравнения.

И накрая, нека да разгледаме още няколко примера, които ще бъдат още по-сложни от тези, които току-що разгледахме, и за да ги разрешим, ще трябва леко да разширим нашия стандартен алгоритъм.

Решаване на уравнения с дроби

За да решим такива задачи, ще трябва да добавим още една стъпка към нашия алгоритъм. Но първо, нека ви напомня за нашия алгоритъм:

1. Отворете скобите.
2. Отделни променливи.
3. Донесете подобни.
4. Разделете на съотношението.

Уви, този прекрасен алгоритъм, въпреки цялата си ефективност, се оказва не съвсем подходящ, когато имаме дроби пред нас. И в това, което ще видим по-долу, имаме дроб както отляво, така и отдясно и в двете уравнения.

Как да работим в този случай? Да, много е просто! За да направите това, трябва да добавите още една стъпка към алгоритъма, която може да се направи както преди, така и след първото действие, а именно да се отървете от дроби. Така че алгоритъмът ще бъде както следва:

1. Отървете се от дробите.
2. Отворете скобите.
3. Отделни променливи.
4. Донесете подобни.
5. Разделете на съотношението.

Какво означава „да се отървете от дроби“? И защо това може да се направи както след, така и преди първата стандартна стъпка? Всъщност в нашия случай всички дроби са числени в знаменателя си, т.е. Навсякъде знаменателят е просто число. Следователно, ако умножим двете страни на уравнението по това число, ще се отървем от дроби.

Пример №1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Нека се отървем от дробите в това уравнение:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Моля, обърнете внимание: всичко се умножава по „четири“ веднъж, т.е. това, че имате две скоби, не означава, че трябва да умножите всяка една по "четири". Нека запишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Сега нека разширим:

Изключваме променливата:

Извършваме намаляване на подобни условия:

\[-4x=-1\наляво| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Получихме окончателното решение, нека преминем към второто уравнение.

Пример №2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тук извършваме всички същите действия:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Проблемът е решен.

Това всъщност е всичко, което исках да ви кажа днес.

Ключови точки

Основните констатации са:

• Познаване на алгоритъма за решаване на линейни уравнения.
• Възможност за отваряне на скоби.
• Не се притеснявайте, ако видите квадратични функции, най-вероятно в процеса на по-нататъшни трансформации те ще намалеят.
• Има три вида корени в линейните уравнения, дори и най-простите: един единствен корен, цялата числова линия е корен и никакви корени.

Надявам се, че този урок ще ви помогне да овладеете проста, но много важна тема за по-нататъшно разбиране на цялата математика. Ако нещо не е ясно, отидете на сайта и решете представените там примери. Очаквайте още много интересни неща!

52. | Повече ▼ сложни примериуравнения.
Пример 1.

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)

Общият знаменател е x 2 – 1, тъй като x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Нека умножим двете страни на това уравнение по x 2 – 1. Получаваме:

или след намаляване,

5(x + 1) – 3(x – 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

2x = 7 и x = 3½

Нека разгледаме друго уравнение:

5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)

Решавайки както по-горе, получаваме:

5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 или 2x = 2 и x = 1.

Нека видим дали нашите равенства са оправдани, ако заместим x във всяко от разглежданите уравнения с намереното число.

За първия пример получаваме:

Виждаме, че няма място за никакви съмнения: намерихме число за x такова, че изискваното равенство е оправдано.

За втория пример получаваме:

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) или 5/0 – 3/2 = 15/0

Тук възникват съмнения: изправени сме пред деление на нула, което е невъзможно. Ако в бъдеще успеем да придадем определен, макар и косвен, смисъл на това разделение, тогава можем да се съгласим, че намереното решение x – 1 удовлетворява нашето уравнение. Дотогава трябва да признаем, че нашето уравнение няма решение, което да има пряк смисъл.

Подобни случаи могат да възникнат, когато неизвестното по някакъв начин е включено в знаменателите на дробите, присъстващи в уравнението, и някои от тези знаменатели, когато се намери решението, се превръщат в нула.

Пример 2.

Веднага можете да видите, че това уравнение има формата на пропорция: отношението на числото x + 3 към числото x – 1 е равно на отношението на числото 2x + 3 към числото 2x – 2. Нека някой, в предвид това обстоятелство, решите да приложите тук, за да освободите уравнението от дроби, основното свойство на пропорцията (произведението на крайните членове е равно на произведението на средните членове). Тогава той ще получи:

(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)

2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.

Тук опасенията, че няма да се справим с това уравнение, могат да бъдат породени от факта, че уравнението включва членове с x 2. Въпреки това можем да извадим 2x 2 от двете страни на уравнението - това няма да наруши уравнението; тогава членовете с x 2 се унищожават и получаваме:

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

Нека преместим неизвестните членове вляво, а известните вдясно - получаваме:

3x = 3 или x = 1

Спомняйки си това уравнение

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

Веднага ще забележим, че намерената стойност за x (x = 1) прави знаменателите на всяка дроб нулеви; Трябва да изоставим такова решение, докато не разгледаме въпроса за делението на нула.

Ако отбележим също, че прилагането на свойството на пропорцията е усложнило въпроса и че може да се получи по-просто уравнение чрез умножаване на двете страни на даденото по общ знаменател, а именно 2(x – 1) – в крайна сметка 2x – 2 = 2 (x – 1) , тогава получаваме:

2(x + 3) = 2x – 3 или 2x + 6 = 2x – 3 или 6 = –3,

което е невъзможно.

Това обстоятелство показва, че това уравнение няма решения, които имат пряк смисъл, който не би превърнал знаменателите на това уравнение в нула.
Нека сега решим уравнението:

(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

Нека умножим двете страни на уравнението 2(x – 1), т.е. по общ знаменател, получаваме:

6x + 10 = 2x + 18

Намереното решение не води до изчезване на знаменателя и има пряко значение:

или 11 = 11

Ако някой, вместо да умножи двете части по 2(x – 1), използва свойството пропорция, ще получи:

(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) или
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.

Тук членовете с x 2 няма да бъдат унищожени. Премествайки всички неизвестни членове в лявата страна и известните вдясно, ще получим

4x 2 – 12x = –8

x 2 – 3x = –2

Сега няма да можем да решим това уравнение. В бъдеще ще научим как да решаваме такива уравнения и ще намерим две решения за тях: 1) можете да вземете x = 2 и 2) можете да вземете x = 1. Лесно е да проверите и двете решения:

1) 2 2 – 3 2 = –2 и 2) 1 2 – 3 1 = –2

Ако си спомним първоначалното уравнение

(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),

тогава ще видим, че сега получаваме и двете му решения: 1) x = 2 е решението, което има пряко значение и не превръща знаменателя в нула, 2) x = 1 е решението, което превръща знаменателя в нула и няма пряко значение.

Пример 3.

Нека намерим общия знаменател на дробите, включени в това уравнение, като разложим всеки от знаменателите на множители:

1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),

2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),

3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

Общият знаменател е (x – 3)(x – 2)(x + 1).

Нека умножим двете страни на това уравнение (и сега можем да го пренапишем като:

с общ знаменател (x – 3) (x – 2) (x + 1). След това, след намаляване на всяка фракция, получаваме:

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) или
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.

От тук получаваме:

–x = –13 и x = 13.

Това решение има пряко значение: то не прави нито един от знаменателите изчезващ.

Ако вземем уравнението:

тогава, правейки точно същото като по-горе, ще получим

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

откъде ще го вземеш?

което е невъзможно. Това обстоятелство показва, че е невъзможно да се намери решение за последното уравнение, което има пряк смисъл.

Учените са изследвали ритмите на мозъчната дейност и са идентифицирали този, който е най-подходящ за творческо прозрение и търсене. полезни идеи

Учените са изследвали ритмите на мозъчната дейност и са идентифицирали този, който е най-подходящ за творческо прозрение и търсене на полезни идеи.

Яжте. сън. Решавам проблеми. Повторете.Най-вероятно, без да броим нощен сън, прекарвате повечетоот времето си за решаване на различни проблеми – особено на работа.

Не че е нещо лошо. Много от най-добрите предприемачиот Сара Блейкли до Ричард Брансън, дължат успеха си на способността си да идентифицират проблеми (в този случай неудовлетворени нужди на потребителите) и да предоставят решения.

Но каквото и да е важна частживотът ни не е свързан с решаване на проблеми, все пак това е стрес и някои хора изглежда се справят с него по-добре от други.

Ето защо, за тези, които искат да станат по-успешни в тази игра, можете да опитате нещо ново: търсете решения насън. Буквално. Нарича се „хвани своя тета ритъм“. Не, не говорим за самохипноза или медитация: това е чиста наука и работи.

Но нека първо го разберем:

Какво представляват мозъчните ритми?

Както обяснява учителят Нед Херман, това ритми, управляващи електрическата активност на мозъка. В зависимост от вашето ниво на активност Могат да се разграничат четири различни ритъма. Ние ги изброяваме в низходящ ред на вълновата честота.

• По време на периоди на максимална активност (например по време на важно интервю) мозъкът ви работи бета ритъм.
• Когато сте отпуснати, например когато току-що сте приключили голям проекти най-накрая можете да издишате, - мозъкът превключва на алфа ритъм.
• Сега да преминем напред: четвъртият ритъм е обозначен с буквата "делта"и се записва, когато сте в дълбок сън.

Пропуснахме третия етап, тета ритъма, защото той е най-подходящият за решаване на проблеми.Херман казва:

„Хората, които прекарват много време в шофиране, често им хрумват добри идеи през тези периоди, когато са в тета ритъм... Това може да се случи под душа или ваната и дори докато се бръснат или сресват косата си. Това е състояние, при което решаването на проблем става толкова автоматично, че можете мислено да се абстрахирате от него. При тета ритъма често изглежда, че потокът от мисли не е ограничен от нищо – нито от вътрешна цензура, нито от чувство за вина.”

Мозъкът влиза в това състояние, включително при заспиване или събуждане, когато балансирате между бодърстване и дълбок сън. Херман обяснява:

„Когато се събуди, мозъкът може да поддържа тета ритъма за продължителен период от време, да речем от 5 до 15 минути, и това време може да се използва за свободно отразяване на вчерашните събития или това, което предстои през новия ден. Този период може да бъде много продуктивен и да донесе много смислени и креативни идеи.“

Има ли реални доказателства, че това работи?

Грабнете момента, когато мозъкът ви е готов да ви даде най-добрите идеи, - техника, която успешни хораса следвани от стотици години.

Художници, писатели и велики мислители отдавна са забелязали, че онези моменти, когато „кимаме“ - тоест точно когато тета ритъмът преобладава в мозъка - най-доброто времеда събуди креативността.

Алберт Айнщайн и Томас Едисън имали навика да решават сложни проблеми, докато са полузаспали. Бързият, креативен ум е изграден за решаване на проблеми, поради което дори краткото обмисляне на предизвикателствата на деня рано сутрин, докато все още сте в това състояние (или дори през нощта, когато започвате да заспивате), може да доведе до невероятни резултати резултати. Това, което е работило за Айнщайн, може да работи и за вас - въпреки че не обещаваме, че ще станете автор. нова теорияотносителност.

Как да използвате своя тета ритъм?

Ще отнеме известно време. Но ако правите тази практика редовно, ще имате добър навиккоето ще повиши продуктивността ви с ново ниво. Ето какво ви трябва за това:

1. Изберете задача

На сутринта, когато вече сте започнали да се събуждате, но очите ви са все още затворени и мозъкът ви все още е полузаспал, помислете за най-належащия проблем или задача, с която ще се сблъскате днес. Може би това ще бъде труден разговор, важен преговор с клиент, писане на доклад или разработване на нова маркетингова кампания. Но колкото и задачи да витаят в ума ви, трябва да изберете една - и да оставите мозъка си да работи върху нея.

Не се опитвайте по някакъв начин да насочвате или ограничавате мислите си, просто се уверете, че те не се отдалечават твърде много дадена тема. Най-вероятно мозъкът ви несъзнателно ще започне да избира решение.

Често ще стигнете до няколко полезни идеи. Понякога дори е брилянтно прозрение. Най-вероятно в началото ще забравите да използвате този метод всеки ден, но с времето той ще се превърне в друг навик, част от сутрешните ви ритуали.

2. Водете си бележки

Може би най-разочароващата част от решаването на тета проблема за вас е, че ще забравите тези вдъхновени идеи веднага щом главата ви напусне възглавницата. Ще натоварвате мозъка си под душа, опитвайки се да извлечете онзи брилянтен план от три точки, който току-що начертахте наум. Ето защо трябва да запишете решенията си веднага щом станете достатъчно будни, за да отворите очи.

Вземете своя смартфон (все още се зарежда в главата на леглото, нали?) и веднага запишете мислите си - в текст или на диктофон. Не губете време. Ограничете се до ключови думи, описания и фрази, които ще раздвижат паметта ви по-късно, когато сте готови да използвате информацията.

Допълнително предимство: синята светлина от екрана на телефона ви ще ви помогне да се събудите. А ако искате да прибегнете до същия метод вечер, докато заспивате, по-добре използвайте химикал и хартия – така изкуствената светлина няма да пречи на съня ви.

3. Анализирайте опита

Водете дневник на своите „тета мисли“ – след време това ще ви помогне да намерите типични решенияи областите на тяхното приложение. Може да откриете, че този метод е най-ефективен за вас при решаване на творчески проблеми или да забележите, че ви дава предимство при общуване с хора или планиране. Това ще ви помогне да разберете какви проблеми трябва да се решават с помощта на тета ритъма в бъдеще.

Вдъхновението може да дойде отвсякъде.

Но същото важи и за препятствията.

Theta Thinking използва универсалната способност на мозъка за решаване на проблеми, така че да можете да запомните тези решения и да ги използвате. Често може да ви помогне да заобиколите следващото препятствие по пътя си или да преодолеете празнината между полуизпечена идея и наистина полезно решение и защо да не се възползвате от това? Дори не е нужно да ставате от леглото, за да направите това!публикувани