Mida nimetatakse geomeetriliseks vektoriks. Mannekeenide vektorid

Vektor on eukleidilise ruumi sirge suunatud lõik, mille üht otsa (punkti A) nimetatakse vektori alguseks ja teist otsa (punkti B) vektori lõpuks (joonis 1). Vektorid on tähistatud:

Kui vektori algus ja lõpp langevad kokku, siis kutsutakse vektorit nullvektor ja on määratud 0 .

Näide. Olgu vektori alguses kahemõõtmelises ruumis koordinaadid A(12.6) , ja vektori lõpp on koordinaadid B(12.6). Siis on vektor nullvektor.

Sektsiooni pikkus AB helistas moodul (pikkus, norm) vektor ja seda tähistatakse | a|. Nimetatakse vektorit, mille pikkus on võrdne ühega ühikvektor. Lisaks moodulile iseloomustab vektorit suund: vektoril on suund alates A To B. Vektorit nimetatakse vektoriks, vastupidine vektor.

Neid kahte vektorit nimetatakse kollineaarne, kui need asuvad samal joonel või paralleelsetel joontel. Pildil Joon. 3 punast vektorit on kollineaarsed, sest nad asuvad samal sirgel ja sinised vektorid on kollineaarsed, sest nad asuvad paralleelsetel joontel. Nimetatakse kahte kollineaarset vektorit võrdselt suunatud, kui nende otsad asuvad nende algusi ühendava sirge samal küljel. Nimetatakse kahte kollineaarset vektorit vastupidiselt suunatud, kui nende otsad asuvad nende algusi ühendava sirge vastaskülgedel. Kui kaks kollineaarset vektorit asuvad samal sirgel, siis nimetatakse neid identselt suunatud, kui üks ühe vektori moodustatud kiirtest sisaldab täielikult teise vektori moodustatud kiirt. Vastasel juhul öeldakse, et vektorid on vastupidise suunaga. Joonisel 3 on sinised vektorid võrdselt suunatud ja punased vastassuunalised.

Neid kahte vektorit nimetatakse võrdne kui neil on võrdsed moodulid ja samad suunad. Joonisel 2 on vektorid võrdsed, sest nende moodulid on võrdsed ja sama suunaga.

Vektoreid nimetatakse koplanaarne, kui need asuvad samal tasapinnal või paralleelsetel tasapindadel.

IN n Dimensioonilises vektorruumis vaatleme kõigi vektorite hulka, mille alguspunkt langeb kokku koordinaatide alguspunktiga. Seejärel saab vektori kirjutada järgmisel kujul:

Kus x 1 , x 2 , ..., x n vektori lõpp-punkti koordinaadid x.

Kutsutakse vektorit, mis on kirjutatud kujul (1). rea vektor, ja vormile kirjutatud vektor

helistas veeru vektor.

Number n helistas dimensioon (korras) vektor. Kui siis kutsutakse vektorit nullvektor(alates vektori alguspunktist ). Kaks vektorit x Ja y on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende vastavad elemendid on võrdsed.

Vektor on matemaatiline objekt, mida iseloomustavad suund ja suurus. Vektoriks nimetatakse geomeetrias sirgjoonelist lõiku tasapinnal või ruumis, millel on oma kindel suund ja pikkus.

Vektortähistus

Vektori tähistamiseks kasutatakse kas ühte väiketähte või kahte suurtähte, mis vastavad vektori algusele ja lõpule, tähtede kohal on aga kujutatud horisontaalset kriipsu. Esimene täht tähistab vektori algust, teine ​​lõppu (vt joonis 1). Peal graafiline ekraan vektorit tähistab nool, mis näitab selle suunda.

Millised on vektori koordinaadid tasapinnal ja ruumis?

Vektori koordinaadid on valitud koordinaatsüsteemis ainsa võimaliku baasvektorite lineaarse kombinatsiooni koefitsiendid. See kõlab keeruliselt, kuid tegelikult on see üsna lihtne. Vaatame seda näitega.

Oletame, et peame leidma vektori a koordinaadid. Asetame selle kolmemõõtmelisse koordinaatsüsteemi (vt joonis 2) ja teostame igale teljele vektorprojektsioonid. Vektor a kirjutatakse sel juhul järgmiselt: a= a x i+ a y j+ a z k, kus i, j, k on baasvektorid, a x, a y, a z on koefitsiendid, mis määravad vektori a koordinaadid. Avaldist ennast nimetatakse lineaarseks kombinatsiooniks. Tasapinnal (ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis) koosneb lineaarne kombinatsioon kahest alusest ja koefitsiendist.

Vektorsuhted

Vektoriteoorias on selline termin nagu vektorite suhe. See mõiste määratleb vektorite asukoha üksteise suhtes tasapinnal ja ruumis. Kõige kuulsamad vektorsuhete erijuhud:

• kollineaarsus;
• kaasjuhtimine;
• koplanaarsus;
• võrdsus.

Kollineaarsed vektorid asuvad samal sirgel või on üksteisega paralleelsed, kaassuunalisi vektoreid iseloomustab sama suund, samatasandilised vektorid asuvad samal tasapinnal või paralleelsetes tasandites, võrdsed vektorid on sama suuna ja pikkusega.

MÄÄRATLUS

Vektor(alates lat. " vektor" - "kandmine") - sirgjoone suunatud segment ruumis või tasapinnal.

Graafiliselt kujutatakse vektorit teatud pikkusega suunatud sirgjoone segmendina. Vektorit, mille algus on punktis ja lõpp punktis, tähistatakse kui (joon. 1). Vektorit võib tähistada ka ühe väikese tähega, näiteks .

Kui koordinaatide süsteem on määratud ruumis, saab vektori üheselt määrata selle koordinaatide hulgaga. See tähendab, et vektorina mõistetakse objekti, millel on suurus (pikkus), suund ja rakenduspunkt (vektori algus).

Vektorarvutuse põhimõtted ilmusid saksa matemaatiku, mehaaniku, füüsiku, astronoomi ja geodeedi Johann Carl Friedrich Gaussi (1777-1855) töödes 1831. aastal. Iiri matemaatik, mehaanik ja teoreetiline füüsik Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) avaldas vektoritega tehteid käsitlevad tööd osana oma kvaterniooniarvutusest. Teadlane pakkus välja termini "vektor" ja kirjeldas mõningaid toiminguid vektoritega. Vektorarvutus on saanud oma tähtaja edasine areng tänu Briti füüsiku, matemaatiku ja mehaaniku James Clerk Maxwelli (1831-1879) elektromagnetismialasele tööle. 1880. aastatel ilmus Ameerika füüsiku, füüsikakeemiku, matemaatiku ja mehaaniku Josiah Willard Gibbsi (1839-1903) raamat “Elements of Vector Analysis”. Kaasaegne vektoranalüüs kirjeldati 1903. aastal iseõppinud inglise teadlase, inseneri, matemaatiku ja füüsiku Oliver Heaviside'i (1850-1925) töödes.

MÄÄRATLUS

Pikkus või vektormoodul on vektorit määratleva suunatud segmendi pikkus. Tähistatakse kui .

Peamised vektorite tüübid

Nullvektor nimetatakse vektoriks, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku. Nullvektori pikkus on null.

Nimetatakse vektoreid, mis on paralleelsed ühe sirgega või asuvad ühel sirgel kollineaarne(joonis 2).

kaasrežissöör, kui nende suunad ühtivad.

Joonisel 2 on need vektorid ja . Vektorite kaassuunalisus on näidatud järgmiselt: .

Nimetatakse kahte kollineaarset vektorit vastupidiselt suunatud, kui nende suunad on vastupidised.

Joonisel 3 on need vektorid ja . Määramine: .

Standardmääratlus: "Vektor on suunatud segment." See on tavaliselt koolilõpetaja teadmiste ulatus vektorite kohta. Kes vajab mingeid "suunalisi segmente"?

Aga tegelikult, mis on vektorid ja milleks need on?
Ilmateade. "Loodetuul, kiirus 18 meetrit sekundis." Nõus, nii tuule suund (kust see puhub) kui ka selle kiiruse suurus (st absoluutväärtus) on oluline.

Koguseid, millel pole suunda, nimetatakse skalaarideks. Missa, töö, elektrilaeng pole kuhugi suunatud. Neid iseloomustatakse ainult arvväärtus- "mitu kilogrammi" või "mitu džauli".

Füüsikalisi suurusi, millel on mitte ainult absoluutväärtus, vaid ka suund, nimetatakse vektorsuurusteks.

Kiirus, jõud, kiirendus – vektorid. Nende jaoks on oluline “kui palju” ja “kus” on oluline. Näiteks kiirendus vabalangus suunatud Maa pinnale ja selle magnituudiks on 9,8 m/s 2. Impulss, pinge elektriväli, induktsioon magnetväli- ka vektorkogused.

Kas mäletate seda füüsikalised kogused tähistatakse ladina või kreeka tähtedega. Tähe kohal olev nool näitab, et suurus on vektor:

Siin on veel üks näide.
Auto liigub punktist A punkti B. Lõpptulemus on selle liikumine punktist A punkti B, see tähendab liikumine vektori võrra.

Nüüd on selge, miks vektor on suunatud segment. Pange tähele, et vektori lõpp on seal, kus on nool. Vektori pikkus nimetatakse selle segmendi pikkuseks. Näidatud: või

Seni oleme töötanud skalaarsuurustega, aritmeetika ja elementaaralgebra reeglite järgi. Vektorid on uus kontseptsioon. See on veel üks matemaatiliste objektide klass. Neil on omad reeglid.

Kunagi ei teadnud me numbritest midagi. Minu tutvus nendega sai alguse põhikoolis. Selgus, et numbreid saab omavahel võrrelda, liita, lahutada, korrutada ja jagada. Saime teada, et on olemas number üks ja number null.
Nüüd tutvustatakse meile vektoreid.

Vektorite jaoks ei eksisteeri mõisteid "rohkem" ja "vähem" - lõppude lõpuks võivad nende suunad olla erinevad. Võrrelda saab ainult vektorite pikkusi.

Kuid vektorite jaoks on olemas võrdsuse kontseptsioon.
Võrdne nimetatakse vektoreid, millel on sama pikkus ja suund. See tähendab, et vektori saab endaga paralleelselt üle kanda mis tahes punkti tasandis.
Vallaline on vektor, mille pikkus on 1. Null on vektor, mille pikkus on null, see tähendab, et selle algus langeb kokku lõpuga.

Kõige mugavam on töötada vektoritega ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis - samas, kus joonistame funktsioonide graafikud. Iga punkt koordinaatsüsteemis vastab kahele arvule – selle x- ja y-koordinaadid, abstsiss ja ordinaat.
Vektor määratakse ka kahe koordinaadiga:

Siin on sulgudesse kirjutatud vektori koordinaadid - x ja y.
Need leitakse lihtsalt: vektori lõpu koordinaat miinus selle alguse koordinaat.

Kui vektori koordinaadid on antud, leitakse selle pikkus valemiga

Vektori lisamine

Vektorite lisamiseks on kaks võimalust.

1 . Parallelogrammi reegel. Vektorite ja lisamiseks asetame mõlema lähtekohad samasse punkti. Ehitame üles rööpküliku ja samast punktist joonestame rööpküliku diagonaali. See on vektorite summa ja .

Kas mäletate muinasjutt luigest, vähist ja haugist? Nad püüdsid väga, kuid nad ei liigutanud kunagi käru. Lõppude lõpuks oli nende poolt vankrile rakendatud jõudude vektorsumma võrdne nulliga.

2. Teine viis vektorite lisamiseks on kolmnurga reegel. Võtame samad vektorid ja . Liidame teise alguse esimese vektori lõppu. Nüüd ühendame esimese alguse ja teise lõpu. See on vektorite ja .

Sama reeglit kasutades saate lisada mitu vektorit. Korraldame need üksteise järel ja ühendame seejärel esimese alguse viimase lõpuni.

Kujutage ette, et lähete punktist A punkti B, punktist B punkti C, punktist C punkti D, seejärel punkti E ja F. Nende toimingute lõpptulemus on liikumine punktist A punkti F.

Vektorite lisamisel saame:

Vektori lahutamine

Vektor on suunatud vektori vastassuunas. Vektorite ja pikkused on võrdsed.

Nüüd on selge, mis on vektorlahutamine. Vektorite erinevus ja on vektori ja vektori summa.

Vektori korrutamine arvuga

Kui vektorit korrutada arvuga k, saadakse vektor, mille pikkus erineb pikkusest k korda. See on vektoriga samasuunaline, kui k on suurem kui null, ja vastupidine, kui k on väiksem kui null.

Vektorite punktkorrutis

Vektoreid saab korrutada mitte ainult numbritega, vaid ka üksteisega.

Vektorite skalaarkorrutis on vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutis.

Pange tähele, et me korrutasime kaks vektorit ja tulemuseks oli skalaar, see tähendab arv. Näiteks füüsikas mehaaniline töö võrdne kahe vektori – jõu ja nihke – skalaarkorrutisega:

Kui vektorid on risti, siis nende skalaarkorrutis võrdub nulliga.
Ja nii väljendatakse skalaarkorrutist vektorite koordinaatide kaudu ja:

Skalaarkorrutise valemist leiate vektorite vahelise nurga:

See valem on eriti mugav stereomeetrias. Näiteks ülesandes 14 Profiili ühtne riigieksam matemaatikas tuleb leida nurk lõikuvate sirgete või sirge ja tasandi vahel. Ülesanne 14 lahendatakse vektormeetodil sageli mitu korda kiiremini kui klassikalise meetodi abil.

IN kooli õppekava matemaatikas uurivad nad ainult vektorite skalaarkorrutist.
Selgub, et lisaks skalaarile on olemas ka vektorprodukt, kui kahe vektori korrutamisel saadakse vektor. Igaüks, kes sooritab füüsika ühtse riigieksami, teab, mis on Lorentzi jõud ja Ampere jõud. Nende jõudude leidmise valemid hõlmavad vektorkorrutisi.

Vektorid on väga kasulik matemaatiline tööriist. Seda näete oma esimesel aastal.