Mida nimetatakse prisma aluse külgpinna servaks. Kuidas näeb välja ristkülikukujuline prisma?

Definitsioon.

See on kuusnurk, mille alused on kaks võrdset ruutu ja külgpinnad on võrdsed ristkülikud

Külgribi- on kahe külgneva külgpinna ühine külg

Prisma kõrgus- see on segment, mis on risti prisma alustega

Prisma diagonaal- segment, mis ühendab kahte aluste tippu, mis ei kuulu samasse tahku

Diagonaaltasand- tasapind, mis läbib prisma diagonaali ja selle külgservi

Diagonaalne lõige- prisma ja diagonaaltasandi ristumiskoha piirid. Korrapärase nelinurkse prisma diagonaalristlõige on ristkülik

Ristlõige (ristlõige)- see on prisma ja selle külgmiste servadega risti tõmmatud tasapinna ristumiskoht

Korrapärase nelinurkse prisma elemendid

Joonisel on kaks tavalist nelinurkset prismat, mis on tähistatud vastavate tähtedega:

• Alused ABCD ja A 1 B 1 C 1 D 1 on üksteisega võrdsed ja paralleelsed
• Külgpinnad AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C ja CC 1 D 1 D, millest igaüks on ristkülik
• Külgpind – prisma kõigi külgpindade pindalade summa
• Kogupind - kõigi aluste ja külgpindade pindalade summa (külgpinna ja aluste pindalade summa)
• Külgmised ribid AA 1, BB 1, CC 1 ja DD 1.
• Diagonaal B 1 D
• Aluse diagonaal BD
• Diagonaallõige BB 1 D 1 D
• Ristlõige A 2 B 2 C 2 D 2.

Korrapärase nelinurkse prisma omadused

• Aluseks on kaks võrdset ruutu
• Alused on üksteisega paralleelsed
• Külgpinnad on ristkülikud
• Külgmised servad on üksteisega võrdsed
• Külgpinnad on alustega risti
• Külgmised ribid on üksteisega paralleelsed ja võrdsed
• Ristlõige risti kõigi külgribidega ja paralleelne alustega
• Ristlõike nurgad - sirged
• Korrapärase nelinurkse prisma diagonaalristlõige on ristkülik
• Alustega paralleelne risti (ristlõige).

Tavalise nelinurkse prisma valemid

Juhised probleemide lahendamiseks

Õige prisma- prisma, mille põhjas asetseb korrapärane hulknurk ja külgservad on risti aluse tasanditega. See tähendab, et tavaline nelinurkne prisma asub oma põhjas ruut. (vt tavalise nelinurkse prisma omadusi ülalt) Märge. See on osa geomeetriaprobleemidega tunnist (lõike stereomeetria – prisma). Siin on probleemid, mida on raske lahendada. Kui teil on vaja lahendada geomeetria ülesanne, mida siin pole, kirjutage sellest foorumisse. Allalaadimise toimingu näitamiseks ruutjuur sümbolit kasutatakse ülesannete lahendamisel√ .

Ülesanne.

Korrapärase prisma diagonaal moodustub koos aluse diagonaali ja prisma kõrgusega täisnurkne kolmnurk. Vastavalt Pythagorase teoreemile on antud korrapärase nelinurkse prisma diagonaal võrdne:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Vastus: 22 cm

Ülesanne

Lahendus.
Kuna tavalise nelinurkse prisma alus on ruut, leiame Pythagorase teoreemi abil aluse külje (tähistatud kui a):

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Külgpinna kõrgus (tähistatud kui h) on siis võrdne:

H2 + 12,5 = 42
h 2 + 12,5 = 16
h2 = 3,5
h = √3,5

Kogupindala on võrdne külgpinna ja kahekordse põhipinna summaga

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Vastus: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Loeng: Prisma, selle alused, külgribid, kõrgus, külgpind; sirge prisma; õige prisma

Prisma

Kui sa õppisid koos meiega lamedad figuurid eelmiste küsimuste põhjal tähendab see, et olete täiesti valmis kolmemõõtmelisi kujundeid uurima. Esimene tahke aine, mille me õpime, on prisma.

Prisma on mahuline keha, millel on suur hulk näod.

Selle kujundi põhjas on kaks hulknurka, mis asetsevad paralleelsetes tasapindades ja kõik külgpinnad on rööpküliku kujulised.

Niisiis, mõtleme välja, millest prisma koosneb. Selleks pöörake tähelepanu joonisele 1

Nagu varem mainitud, on prismal kaks alust, mis on üksteisega paralleelsed – need on viisnurgad ABCEF ja GMNJK. Pealegi on need hulknurgad üksteisega võrdsed.

Kõiki teisi prisma tahke nimetatakse külgpindadeks – need koosnevad rööpkülikutest. Näiteks BMNC, AGKF, FKJE jne.

Kõigi külgpindade kogupinda nimetatakse külgmine pind.

Igal külgneva näo paaril on ühine külg. Seda ühist külge nimetatakse servaks. Näiteks MV, SE, AB jne.

Kui prisma ülemine ja alumine alus on ühendatud risti, nimetatakse seda prisma kõrguseks. Joonisel on kõrgus märgitud sirgjoonena OO 1.

Prismasid on kahte peamist tüüpi: kaldus ja sirge.

Kui prisma külgservad ei ole alustega risti, siis sellist prismat nimetatakse kaldu.

Kui prisma kõik servad on alustega risti, siis sellist prismat nimetatakse otse.

Kui prisma alused sisaldavad korrapäraseid hulknurki (need, mille küljed on võrdsed), siis sellist prismat nimetatakse õige.

Kui prisma alused ei ole üksteisega paralleelsed, siis kutsutakse sellist prismat kärbitud.

Näete seda joonisel 2

Valemid prisma ruumala ja pindala leidmiseks

Helitugevuse leidmiseks on kolm põhivalemit. Need erinevad üksteisest rakenduse poolest:

Sarnased valemid prisma pindala leidmiseks:

Definitsioon 1. Prismaatiline pind
Teoreem 1. Prismaatilise pinna paralleellõigetel
Definitsioon 2. Prismaatilise pinna ristilõige
Definitsioon 3. Prisma
Definitsioon 4. Prisma kõrgus
Definitsioon 5. Paremprisma
Teoreem 2. Prisma külgpinna pindala

Parallelepiped:
Definitsioon 6. Parallelepped
Teoreem 3. Rööptahuka diagonaalide lõikepunktist
Definitsioon 7. Parempoolne rööptahukas
Definitsioon 8. Ristkülikukujuline rööptahukas
Definitsioon 9. Rööptahuka mõõtmised
Definitsioon 10. Kuubik
Definitsioon 11. Romboeeder
Teoreem 4. Ristkülikukujulise rööptahuka diagonaalidel
Teoreem 5. Prisma ruumala
Teoreem 6. Sirge prisma ruumala
Teoreem 7. Ristkülikukujulise rööptahuka ruumala

Prisma on hulktahukas, mille kaks tahku (põhja) asetsevad paralleelsetes tasapindades ja servad, mis nendel tahkudel ei asu, on üksteisega paralleelsed.
Muid nägusid peale aluste nimetatakse külgmine.
Külgpindade ja aluste külgi nimetatakse prisma ribid, nimetatakse servade otsad prisma tipud. Külgmised ribid nimetatakse servi, mis ei kuulu aluste hulka. Külgpindade liitu nimetatakse prisma külgpind, ja kõigi nägude liitu nimetatakse prisma täispind. Prisma kõrgus nimetatakse risti, mis on langetatud ülemise aluse punktist alumise aluse tasapinnale või selle risti pikkusele. Otsene prisma nimetatakse prismaks, mille külgmised ribid on risti aluste tasanditega. Õige nimetatakse sirgeks prismaks (joon. 3), mille põhjas asub korrapärane hulknurk.

Nimetused:
l - külgribi;
P - baasi ümbermõõt;
S o - baaspindala;
H - kõrgus;
P^ - risti lõigu ümbermõõt;
S b - külgpindala;
V - maht;
S p on prisma kogupinna pindala.

2. definitsioon . Prismaatilise pinna ristilõige on selle pinna läbilõige selle servadega risti oleva tasapinnaga. Eelneva teoreemi alusel on sama prismaatilise pinna kõik risti olevad lõigud võrdsed hulknurgad.

3. definitsioon . Prisma on hulktahukas, mida piirab prismaatiline pind ja kaks üksteisega paralleelset tasandit (kuid mitte paralleelsed prismaatilise pinna servadega).
Nendes viimastes tasapindades lebavaid nägusid nimetatakse prisma alused; prismaatilisele pinnale kuuluvad näod - külgmised näod; prismaatilise pinna servad - prisma külgmised ribid. Eelmise teoreemi kohaselt on prisma alus võrdsed hulknurgad. Prisma kõik külgmised pinnad - rööpkülikuid; kõik külgmised ribid on üksteisega võrdsed.
Ilmselgelt kui on antud prisma ABCDE alus ja üks servadest AA" suuruselt ja suunast, siis on võimalik prisma konstrueerida, tõmmates servad BB", CC", ... võrdsed ja paralleelsed servaga AA" .

4. definitsioon . Prisma kõrgus on selle aluste tasandite vaheline kaugus (HH").

Definitsioon 5 . Prismat nimetatakse sirgeks, kui selle alused on prismapinna risti lõigud. Sel juhul on prisma kõrgus loomulikult selle külgribi; külgmised servad saavad olema ristkülikud.
Prismasid saab klassifitseerida külgpindade arvu järgi, mis on võrdne selle aluseks oleva hulknurga külgede arvuga. Seega võivad prismad olla kolmnurksed, nelinurksed, viisnurksed jne.

2. teoreem . Prisma külgpind on võrdne tootega külgmine ribi ristlõike perimeetrini.
Olgu ABCDEA"B"C"D"E" antud prisma ja abcde selle ristilõige, nii et lõigud ab, bc, .. on risti selle külgmiste servadega. Tahk ABA"B" on rööpkülik, selle pindala on võrdne aluse AA korrutisega kõrgusele, mis langeb kokku ab-ga; näo pindala ВСВ "С" on võrdne aluse ВВ korrutisega kõrgusega bc jne. Järelikult on külgpind (st külgpindade pindalade summa) võrdne korrutisega külgserva, teisisõnu lõikude AA", ВВ", .. kogupikkus summa ab+bc+cd+de+ea korral.

Polühedra

Stereomeetria peamine uurimisobjekt on ruumilised kehad. Keha kujutab teatud pinnaga piiratud ruumi osa.

Polüheder on keha, mille pind koosneb lõplikust arvust tasapinnalistest hulknurkadest. Hulktahukat nimetatakse kumeraks, kui see asub oma pinnal oleva iga tasapinnalise hulknurga tasapinna ühel küljel. Sellise tasandi ja hulktahuka pinna ühisosa nimetatakse serv. Kumera hulktahuka tahud on lamedad kumerad hulknurgad. Nägude külgi nimetatakse hulktahuka servad, ja tipud on hulktahuka tipud.

Näiteks kuubik koosneb kuuest ruudust, mis on selle tahud. Sellel on 12 serva (ruutude küljed) ja 8 tippu (ruutude tipud).

Lihtsamad hulktahukad on prismad ja püramiidid, mida uurime edasi.

Prisma

Prisma definitsioon ja omadused

Prisma on hulktahukas, mis koosneb kahest lamedast hulknurgast, mis asuvad paralleelsetes tasandites, mis on kombineeritud paralleelse translatsiooniga, ja kõigist nende hulknurkade vastavaid punkte ühendavatest lõikudest. Hulknurki nimetatakse prisma alused, ja hulknurkade vastavaid tippe ühendavad segmendid on prisma külgmised servad.

Prisma kõrgus nimetatakse kauguseks selle aluste tasapindade vahel (). Nimetatakse lõiku, mis ühendab prisma kahte tippu, mis ei kuulu samasse tahku prisma diagonaal(). Prismat nimetatakse n-süsinik, kui selle alus sisaldab n-nurka.

Igal prismal on järgmised omadused, mis tulenevad asjaolust, et prisma alused ühendatakse paralleeltõlke abil:

1. Prisma alused on võrdsed.

2. Prisma külgmised servad on paralleelsed ja võrdsed.

Prisma pind koosneb alustest ja külgmine pind. Prisma külgpind koosneb rööpkülikutest (see tuleneb prisma omadustest). Prisma külgpinna pindala on külgpindade pindalade summa.

Sirge prisma

Prismat nimetatakse otse, kui selle külgmised servad on alustega risti. Muidu nimetatakse prismat kaldu.

Parempoolse prisma küljed on ristkülikud. Sirge prisma kõrgus on võrdne selle külgpindadega.

Täisprisma pind nimetatakse külgpinna ja aluste pindalade summaks.

Õige prismaga mida nimetatakse sirgeks prismaks korrapärane hulknurk baasis.

Teoreem 13.1. Sirge prisma külgpinna pindala on võrdne prisma perimeetri ja kõrguse korrutisega (või, mis on sama, külgserva võrra).

Tõestus. Parempoolse prisma külgmised tahud on ristkülikud, mille alusteks on prisma alustel olevate hulknurkade küljed ja kõrgusteks prisma külgmised servad. Siis definitsiooni järgi on külgpindala:

,

kus on sirge prisma aluse ümbermõõt.

Parallelepiped

Kui rööpkülikud asuvad prisma alustel, siis nimetatakse seda rööptahukas. Rööptahuka kõik tahud on rööpkülikukujulised. Sel juhul on rööptahuka vastasküljed paralleelsed ja võrdsed.

Teoreem 13.2. Rööptahuka diagonaalid lõikuvad ühes punktis ja jagatakse lõikepunktiga pooleks.

Tõestus. Mõelge näiteks kahele suvalisele diagonaalile ja . Sest rööptahuka tahud on rööpkülikukujulised, siis ja , mis tähendab, et vastavalt To on kaks sirget paralleelselt kolmandaga. Lisaks tähendab see, et sirgjooned ja asuvad samal tasapinnal (tasapinnal). See tasapind lõikab paralleelseid tasapindu ja mööda paralleelseid jooni ja . Seega on nelinurk rööpkülik ja rööpküliku omaduse järgi lõikuvad selle diagonaalid ja jagatakse pooleks lõikepunktiga, mida oli vaja tõestada.

Nimetatakse parempoolset rööptahukat, mille alus on ristkülik ristkülikukujuline rööptahukas. Ristkülikukujulise rööptahuka kõik tahud on ristkülikud. Ristkülikukujulise rööptahuka mitteparalleelsete servade pikkusi nimetatakse selle lineaarseteks mõõtmeteks (mõõtmeteks). Selliseid suurusi on kolm (laius, kõrgus, pikkus).

Teoreem 13.3. Ristkülikukujulise rööptahuka puhul on iga diagonaali ruut võrdne selle kolme mõõtme ruutude summaga (tõestatud Pythagorase T kahekordse rakendamisega).

Nimetatakse ristkülikukujulist rööptahukat, mille kõik servad on võrdsed kuubik.

Ülesanded

13.1 Mitu diagonaali sellel on? n- süsinikuprisma

13.2 Kaldkujulises kolmnurkprismas on külgservade vahelised kaugused 37, 13 ja 40. Leia kaugus suurema külgserva ja vastaskülje serva vahel.

13.3 Õige alumise aluse külje kaudu kolmnurkne prisma tasapind on koostatud ristuvad külgpinnad piki segmente, mille vaheline nurk on . Leidke selle tasandi kaldenurk prisma aluse suhtes.

IN kooli õppekava Stereomeetria kursusel alustatakse kolmemõõtmeliste kujundite uurimist tavaliselt lihtsa geomeetrilise kehaga - prisma hulktahukast. Selle aluste rolli täidavad 2 võrdset hulknurka, mis asuvad paralleelsel tasapinnal. Erijuhtum on tavaline nelinurkne prisma. Selle alused on 2 identset korrapärast nelinurka, mille küljed on risti ja millel on rööpküliku kuju (või ristkülikukujuline, kui prisma ei ole kaldu).

Kuidas prisma välja näeb?

Tavaline nelinurkne prisma on kuusnurk, mille alused on 2 ruutu ja külgpinnad on kujutatud ristkülikutega. Teine nimi sellele geomeetriline kujund- sirge rööptahukas.

Allpool on näidatud nelinurkse prisma joonis.

Pildil ka näha olulised elemendid, millest see koosneb geomeetriline keha . Need sisaldavad:

Mõnikord võib geomeetriaülesannetes kohata lõigu mõistet. Määratlus kõlab järgmiselt: lõik on kõik lõiketasandisse kuuluvad mahulise keha punktid. Lõige võib olla risti (lõikub joonise servadega 90 kraadise nurga all). Ristkülikukujulise prisma puhul arvestatakse ka diagonaallõiget (maksimaalne konstrueeritavate sektsioonide arv on 2), mis läbib 2 serva ja aluse diagonaale.

Kui lõige on joonistatud nii, et lõiketasand ei ole paralleelne ei aluste ega külgpindadega, on tulemuseks kärbitud prisma.

Redutseeritud prismaelementide leidmiseks kasutatakse erinevaid seoseid ja valemeid. Mõned neist on teada planimeetria kursusest (näiteks prisma aluse pindala leidmiseks piisab, kui meenutada ruudu pindala valemit).

Pindala ja maht

Prisma ruumala määramiseks valemi abil peate teadma selle aluse pindala ja kõrgust:

V = Sbas h

Kuna tavalise tetraeedrilise prisma alus on küljega ruut a, Valemi saate kirjutada täpsemal kujul:

V = a²·h

Kui me räägime kuubist - tavaline prisma koos võrdse pikkusega, laius ja kõrgus, arvutatakse maht järgmiselt:

Prisma külgpinna leidmise mõistmiseks peate ette kujutama selle arengut.

Jooniselt on näha, et külgpind koosneb 4 võrdsest ristkülikust. Selle pindala arvutatakse aluse perimeetri ja joonise kõrguse korrutisena:

Sside = Posn h

Võttes arvesse, et ruudu ümbermõõt on võrdne P = 4a, valem on järgmisel kujul:

Sside = 4a h

Kuubiku jaoks:

Sside = 4a²

Prisma kogupinna arvutamiseks peate külgpinnale lisama 2 aluspinda:

Täis = Sside + 2Smain

Nelinurkse korrapärase prisma suhtes näeb valem välja järgmine:

Kokku = 4a h + 2a²

Kuubi pindala jaoks:

Täis = 6a²

Teades ruumala või pindala, saate arvutada geomeetrilise keha üksikud elemendid.

Prisma elementide leidmine

Sageli on probleeme, mille puhul on antud maht või teada külgpinna väärtus, kus on vaja määrata aluse külje pikkus või kõrgus. Sellistel juhtudel saab valemeid tuletada:

• põhja külje pikkus: a = Sside / 4h = √(V / h);
• kõrgus või külgribi pikkus: h = külg / 4a = V / a²;
• baaspindala: Sbas = V/h;
• külgne näopiirkond: Külg gr = külg / 4.

Et määrata, kui suur pindala on diagonaalil, peate teadma diagonaali pikkust ja joonise kõrgust. Ruudu jaoks d = a√2. Seetõttu:

Sdiag = ah√2

Prisma diagonaali arvutamiseks kasutage valemit:

dprize = √(2a² + h²)

Et mõista, kuidas antud seoseid rakendada, saab harjutada ja lahendada mitmeid lihtsaid ülesandeid.

Näited probleemidest koos lahendustega

Siin on mõned matemaatika riigilõpueksamite ülesanded.

1. harjutus.

Liiv valatakse tavalise nelinurkse prisma kujuga kasti. Selle nivoo kõrgus on 10 cm Milliseks kujuneb liivatase, kui viia see sama kujuga, kuid kaks korda pikema põhjaga anumasse?

Seda tuleks põhjendada järgmiselt. Liiva kogus esimeses ja teises konteineris ei muutunud, st selle maht neis on sama. Aluse pikkust saab tähistada tähisega a. Sel juhul on esimese kasti aine maht:

V₁ = ha² = 10a²

Teise kasti puhul on aluse pikkus 2a, kuid liivataseme kõrgus pole teada:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Kuna V1 = V2, saame võrdsustada väljendeid:

10a² = 4ha²

Pärast võrrandi mõlema poole vähendamist a² võrra saame:

Tulemusena uus tase liiva tuleb h = 10/4 = 2,5 cm.

2. ülesanne.

ABCDA₁B₁C₁D₁ on õige prisma. On teada, et BD = AB₁ = 6√2. Leidke keha kogupindala.

Et oleks lihtsam mõista, millised elemendid on teada, võite joonistada joonise.

Kuna me räägime tavalisest prismast, siis võime järeldada, et põhjas on ruut diagonaaliga 6√2. Külgkülje diagonaal on sama suur, seetõttu on ka külgpind alusega võrdne ruudu kuju. Selgub, et kõik kolm mõõdet – pikkus, laius ja kõrgus – on võrdsed. Võime järeldada, et ABCDA₁B₁C₁D₁ on kuubik.

Mis tahes serva pikkus määratakse teadaoleva diagonaali kaudu:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Kogupindala leitakse kuubi valemi abil:

Täis = 6a² = 6 6² = 216

3. ülesanne.

Ruum on renoveerimisel. On teada, et selle põrand on ruudu kujuga, mille pindala on 9 m². Ruumi kõrgus on 2,5 m Mis on madalaim hind ruumi tapetseerimiseks, kui 1 m² maksab 50 rubla?

Kuna põrand ja lagi on ruudukujulised ehk korrapärased nelinurgad ning selle seinad on horisontaalsete pindadega risti, siis võib järeldada, et tegemist on korrapärase prismaga. On vaja kindlaks määrata selle külgpinna pindala.

Ruumi pikkus on a = √9 = 3 m.

Ala kaetakse tapeediga Külg = 4 3 2,5 = 30 m².

Selle ruumi tapeedi maksumus on madalaim 50·30 = 1500 rubla

Seega piisab ristkülikukujulise prismaga seotud ülesannete lahendamiseks ruudu ja ristküliku pindala ja ümbermõõdu arvutamise oskusest, samuti ruumala ja pindala leidmise valemite tundmisest.

Kuidas leida kuubi pindala