3. tüübi ratsionaalsete murdude integreerimine. Näited ratsionaalsete funktsioonide (murrud) integreerimisest

Probleemi leidmine määramatu integraal murdarvuliselt ratsionaalne funktsioon taandatakse lihtmurdude integreerimisele. Seetõttu soovitame teil esmalt tutvuda murdude kõige lihtsama lagunemise teooria osaga.

Näide.

Leidke määramatu integraal.

Lahendus.

Kuna integrandi lugeja aste on võrdne nimetaja astmega, valime kõigepealt kogu osa, jagades polünoomi polünoomiga veeruga:

Sellepärast, .

Saadud õige ratsionaalse murru lagunemisel lihtsamateks murdudeks on vorm . Seega

Saadud integraal on kolmanda tüübi kõige lihtsama murru integraal. Pisut tulevikku vaadates märgime, et saate selle võtta diferentsiaalmärgi alla.

Sest , See . Sellepärast

Seega

Nüüd jätkame kõigi nelja tüübi lihtmurdude integreerimise meetodite kirjeldamisega.

Esimese tüübi lihtmurdude integreerimine

Otsese integratsiooni meetod sobib ideaalselt selle probleemi lahendamiseks:

Näide.

Leia funktsiooni antiderivaatide hulk

Lahendus.

Leiame määramata integraali, kasutades antituletise omadusi, antiderivatiivide tabelit ja integreerimisreeglit.

Lehe ülaosa

Teist tüüpi lihtmurdude integreerimine

Selle probleemi lahendamiseks sobib ka otseintegratsiooni meetod:

Näide.

Lahendus.

Lehe ülaosa

Kolmanda tüübi lihtmurdude integreerimine

Kõigepealt esitame määramata integraali summana:

Võtame esimese integraali, liites selle diferentsiaalmärgi alla:

Sellepärast,

Teisendame saadud integraali nimetaja:

Seega

Kolmanda tüübi lihtmurdude integreerimise valem on järgmine:

Näide.

Leidke määramatu integraal .

Lahendus.

Kasutame saadud valemit:

Kui meil seda valemit poleks, mida me teeksime:

Lehe ülaosa

Neljanda tüübi lihtmurdude integreerimine

Esimene samm on panna see diferentsiaalmärgi alla:

Teine samm on leida vormi integraal . Seda tüüpi integraalid leitakse kordusvalemite abil. (Vt lõiku kordusvalemite abil integreerimise kohta.) Meie juhtumi jaoks sobib järgmine korduv valem:

Näide.

Leidke määramatu integraal

Lahendus.

Seda tüüpi integrandi jaoks kasutame asendusmeetodit. Tutvustame uut muutujat (vt irratsionaalsete funktsioonide integreerimise peatükki):

Pärast asendamist on meil:

Jõudsime neljanda tüübi murdosa integraali leidmiseni. Meie puhul on meil koefitsiendid M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 Ja n = 3. Kasutame korduvat valemit:

Pärast pöördvahetamist saame tulemuse:

Integratsioon trigonomeetrilised funktsioonid

1. Vormi integraalid arvutatakse trigonomeetriliste funktsioonide korrutise teisendamisel summaks, kasutades valemeid: Näiteks 2. Vormi integraalid , Kus m või n– paaritu positiivne arv, mis arvutatakse liites selle diferentsiaalmärgi alla. Näiteks, 3. Vormi integraalid , Kus m Ja n– isegi positiivsed arvud arvutatakse astme vähendamise valemite abil: Näiteks 4. Integraalid kus arvutatakse muutuja muutmisega: või Näiteks 5. Vormi integraalid taandatakse integraalideks ratsionaalsed murded kasutades universaalset trigonomeetrilist asendust (alates =[pärast lugeja ja nimetaja jagamist ]= ; Näiteks, Tuleb märkida, et universaalse asendamise kasutamine põhjustab sageli tülikaid arvutusi.

§5. Lihtsamate irratsionaalsuste integreerimine

Vaatleme meetodeid kõige lihtsamate irratsionaalsuse tüüpide integreerimiseks. 1. Seda tüüpi funktsioonid integreeritakse samamoodi nagu 3. tüübi lihtsaimad ratsionaalsed murrud: nimetajas eraldatakse ruuttrinomiaalist terviklik ruut ja sisestatakse uus muutuja. Näide. 2. (integraalimärgi all – argumentide ratsionaalne funktsioon). Seda tüüpi integraalid arvutatakse asenduste abil. Eelkõige selle vormi integraalides, mida tähistame . Kui integrand sisaldab erineva astme juuri: , seejärel märkige koht n– arvude vähim ühiskordne m,k. Näide 1. Näide 2. -vale ratsionaalne murd, valige kogu osa: – – – 3. Vormi integraalid arvutatakse trigonomeetriliste asenduste abil:

44

45 Kindel integraal

Kindel integraal- aditiivne monotoonne normaliseeritud funktsioon, mis on defineeritud paaride kogumil, mille esimene komponent on integreeritav funktsioon või funktsionaal ja teine ​​on domeen selle funktsiooni määramise komplektis (funktsionaalne).

Definitsioon

Olgu see määratletud . Jagame selle mitme suvalise punktiga osadeks. Seejärel öeldakse, et segment on jaotatud. Järgmiseks vali suvaline punkt , ,

Funktsiooni kindel integraal intervallil on integraalsummade piir, kuna partitsiooni auaste kipub olema null, kui see eksisteerib jaotusest ja punktide valikust sõltumatult, st.

Kui määratud piir on olemas, siis öeldakse, et funktsioon on Riemanni integreeritav.

Nimetused

· - madalam limiit.

· - ülempiir.

· - integrandi funktsioon.

· - osalise segmendi pikkus.

· - vastava partitsiooni funktsiooni integraalsumma.

· - osalise segmendi maksimaalne pikkus.

Omadused

Kui funktsioon on Riemanni integreeritav , siis on see sellega piiratud.

Geomeetriline tähendus

Määratud integraal kui kujundi pindala

Määratud integraal numbriliselt võrdne pindalaga joonis, mis on piiratud x-telje, sirgete ja funktsiooni graafikuga.

Newtoni-Leibnizi teoreem

[redigeeri]

(ümber suunatud "Newton-Leibnizi valemist")

Newtoni-Leibnizi valem või analüüsi põhiteoreem annab seose kahe tehte vahel: kindla integraali võtmine ja antiderivaadi arvutamine.

Tõestus

Olgu intervallile antud integreeritav funktsioon. Alustuseks märkame seda

see tähendab, et pole vahet, milline täht (või) on märgi all lõigu kohal olevas kindlas integraalis.

Määrame suvalise väärtuse ja defineerime uue funktsiooni . See on defineeritud kõigi väärtuste jaoks, sest me teame, et kui on integraal sisse , siis on olemas ka integraal sisse , kus . Tuletagem meelde, et me käsitleme definitsiooni järgi

(1)

Märka seda

Näitame, et see on intervallil pidev. Tegelikult lase ; Siis

ja kui, siis

Seega on see pidev sõltumata sellest, kas tal on katkestusi või mitte; on oluline, et see oleks integreeritav .

Joonisel on kujutatud graafik. Muutuva kujundi pindala on . Selle juurdekasv on võrdne joonise pindalaga , mis oma piirituse tõttu kaldub ilmselgelt nulli, olenemata sellest, kas tegemist on järjepidevuse või katkestuspunktiga, näiteks punktiga.

Olgu nüüd funktsioon mitte ainult integreeritav, vaid ka pidev punktis. Tõestame, et siis tuletis selles punktis on võrdne

(2)

Tegelikult märgitud punkti jaoks

(1) , (3)

Panime , ja kuna see on ,TO suhtes konstantne . Lisaks, kuna järjepidevus punktis, saab iga jaoks määrata nii, et .

mis tõestab, et selle ebavõrdsuse vasak pool on o(1) .

Piirile üleminek punktis (3) at näitab punktis tuletise olemasolu ja võrdsuse (2) kehtivust. Kui me räägime siin vastavalt parem- ja vasakpoolsetest tuletistest.

Kui funktsioon on pidev, siis ülaltoodu põhjal vastav funktsioon

(4)

on tuletis võrdne . Seetõttu on funktsioon jaoks antiderivaat.

Seda järeldust nimetatakse mõnikord muutuja ülemise piiri integraali teoreemiks või Barrow teoreemiks.

Oleme tõestanud, et suvalisel intervallil pideval funktsioonil on sellel intervallil antiderivatiiv, mis on määratletud võrdsusega (4). See tõestab antiderivaadi olemasolu mis tahes intervallil pideva funktsiooni jaoks.

Olgu nüüd olemas suvaline antituletis funktsioonist . Me teame, et kus on mingi konstant. Eeldades seda võrdsust ja seda arvesse võttes saame .

Seega,. Aga

Vale integraal

[redigeeri]

Materjal Wikipediast – vabast entsüklopeediast

Kindel integraal helistas mitte sinu oma, kui on täidetud vähemalt üks järgmistest tingimustest:

· Limit a või b (või mõlemad piirid) on lõpmatud;

· Funktsioonil f(x) on lõigu sees üks või mitu murdepunkti.

[redigeeri]Esimest tüüpi sobimatud integraalid

. Seejärel:

1. Kui ja integraali nimetatakse . Sel juhul nimetatakse koonduvaks.

või lihtsalt lahknev.

Laskma olema määratletud ja pidev hulgal alates ja . Seejärel:

1. Kui , siis kasutatakse tähistust ja integraali nimetatakse esimest tüüpi vale Riemanni integraal. Sel juhul nimetatakse koonduvaks.

2. Kui lõplikku pole ( või ), siis öeldakse, et integraal lahkneb või lihtsalt lahknev.

Kui funktsioon on defineeritud ja pidev kogu arvujoonel, võib sellel funktsioonil olla vale integraal kahe lõpmatu integratsioonipiiranguga, mis on määratletud valemiga:

, kus c on suvaline arv.

[redigeeri] Esimest tüüpi sobimatu integraali geomeetriline tähendus

Vale integraal väljendab lõpmatult pikka ala kaarjas trapets.

[redigeeri] Näited

[redigeeri] Teist tüüpi sobimatud integraalid

Olgu see määratletud , Kannavad lõpmatu katkestuse punktis x=a ja . Seejärel:

1. Kui , siis kasutatakse tähistust ja integraali nimetatakse

nimetatakse lahknevaks või lihtsalt lahknev.

Olgu see määratletud , kannatab lõpmatu katkestuse juures x=b ja . Seejärel:

1. Kui , siis kasutatakse tähistust ja integraali nimetatakse vale teist tüüpi Riemanni integraal. Sel juhul nimetatakse integraali koonduvaks.

2. Kui või , siis tähistus jääb samaks ja nimetatakse lahknevaks või lihtsalt lahknev.

Kui funktsioonil esineb katkestus segmendi sisepunktis, määratakse teist tüüpi ebaõige integraal valemiga:

[redigeeri] Geomeetriline tähendus valed integraalid II tüüp

Vale integraal väljendab lõpmata kõrge kõvera trapetsi pindala

[redigeeri] Näide

[redigeeri] Üksikjuhtum

Olgu funktsioon defineeritud tervel arvujoonel ja sellel on punktides katkestus.

Siis leiame vale integraali

[redigeeri] Cauchy kriteerium

1. Olgu see defineeritud hulgal alates ja .

Siis koondub

2. Laskma määratleda ja .

Siis koondub

[redigeeri] Absoluutne lähenemine

Integraalne helistas absoluutselt konvergentne, Kui koondub.
Kui integraal koondub absoluutselt, siis ta koondub.

[redigeeri]Tingimuslik lähenemine

Integraali nimetatakse tinglikult koonduvad, kui see läheneb, kuid lahkneb.

48 12. Valed integraalid.

Kindlate integraalide kaalumisel eeldasime, et integratsioonipiirkond on piiratud (täpsemalt on see segment [ a ,b ]); Kindla integraali olemasoluks peab integrand olema piiratud [ a ,b ]. Nimetame kindlaid integraale, mille puhul on täidetud mõlemad tingimused (nii integratsiooni valdkonna kui ka integrandi piirid) oma; integraalid, mille puhul neid nõudeid rikutakse (st kas integrand või integratsiooni domeen on piiramatu või mõlemad) mitte sinu oma. Selles jaotises uurime valesid integraale.

• 12.1. Valed integraalid piiramata intervallil (esimest tüüpi ebaõiged integraalid).
• 12.1.1. Lõpmatu intervalli ebaõige integraali definitsioon. Näited.
• 12.1.2. Newtoni-Leibnizi valem vale integraali jaoks.
• 12.1.3. Mittenegatiivsete funktsioonide võrdluskriteeriumid.
• 12.1.3.1. Võrdluse märk.
• 12.1.3.2. Võrdlusmärk selle äärmuslikul kujul.
• 12.1.4. Ebaõigete integraalide absoluutne lähenemine lõpmatu intervalli jooksul.
• 12.1.5. Abeli ​​ja Dirichleti konvergentsi testid.
• 12.2. Piiramata funktsioonide sobimatud integraalid (teise tüübi sobimatud integraalid).
• 12.2.1. Piiramatu funktsiooni ebaõige integraali definitsioon.
• 12.2.1.1. Singulaarsus on integreerimisintervalli vasakus otsas.
• 12.2.1.2. Newtoni-Leibnizi valemi rakendamine.
• 12.2.1.3. Singulaarsus integreerimisintervalli paremas otsas.
• 12.2.1.4. Singulaarsus integreerimisintervalli sisepunktis.
• 12.2.1.5. Mitmed integreerimisintervalli funktsioonid.
• 12.2.2. Mittenegatiivsete funktsioonide võrdluskriteeriumid.
• 12.2.2.1. Võrdluse märk.
• 12.2.2.2. Võrdlusmärk selle äärmuslikul kujul.
• 12.2.3. Katkendavate funktsioonide ebaõigete integraalide absoluutne ja tingimuslik lähenemine.
• 12.2.4. Abeli ​​ja Dirichleti konvergentsi testid.

12.1. Valed integraalid piiramata intervallil

(esimest tüüpi valed integraalid).

12.1.1. Lõpmatu intervalli ebaõige integraali definitsioon. Laske funktsioonil f (x ) on määratletud poolteljel ja on integreeritav mis tahes intervalliga [ alates, mis tähendab kõigil neil juhtudel vastavate piiride olemasolu ja lõplikkust. Nüüd näivad näidete lahendused lihtsamad: .

12.1.3. Mittenegatiivsete funktsioonide võrdluskriteeriumid. Selles jaotises eeldame, et kõik integrandid on mittenegatiivsed kogu määratlusvaldkonnas. Seni oleme integraali konvergentsi määranud selle arvutamise teel: kui antituletisel on vastava tendentsiga ( või ) lõplik piir, siis integraal koondub, vastasel juhul lahkneb. Praktiliste ülesannete lahendamisel on aga oluline esmalt tuvastada konvergentsi fakt ise ja alles seejärel arvutada integraal (pealegi ei väljendata antiderivatiivi sageli elementaarfunktsioonides). Sõnastame ja tõestame mitmeid teoreeme, mis võimaldavad tuvastada mittenegatiivsete funktsioonide ebaõigete integraalide konvergentsi ja lahknemist ilma neid arvutamata.
12.1.3.1. Võrdlusmärk. Las funktsioonid f (x ) Ja g (x ) integraal

Kõik eelnev eelmistes lõikudes võimaldab sõnastada ratsionaalsete murdude integreerimise põhireeglid.

1. Kui ratsionaalne murd on vale, siis esitatakse see polünoomi ja õige ratsionaalmurru summana (vt lõik 2).

See taandab ebaõige ratsionaalse murru integreerimise polünoomi ja õige ratsionaalse murru integreerimiseks.

2. Dekomponeeri nimetaja õige murdosa kordajate järgi.

3. Õige ratsionaalne murd laguneb lihtmurdude summaks. See vähendab õige ratsionaalse murru integreerimist lihtmurdude integreerimisele.

Vaatame näiteid.

Näide 1. Otsi .

Lahendus. Integraali all on vale ratsionaalne murd. Valides kogu osa, saame

Seega

Võttes arvesse, et laiendame õiget ratsionaalset murdu

lihtmurdudeks:

(vt valemit (18)). Sellepärast

Seega oleme lõpuks saanud

Näide 2. Leia

Lahendus. Integraali all on korralik ratsionaalne murd.

Laiendades selle lihtmurdudeks (vt valemit (16)), saame

Murdu nimetatakse õige, kui lugeja kõrgeim aste on väiksem kui nimetaja kõrgeim aste. Õige ratsionaalse murru integraalil on vorm:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Ratsionaalmurdude integreerimise valem sõltub nimetajas oleva polünoomi juurtest. Kui polünoomil $ ax^2+bx+c $ on:

1. Ainult kompleksjuured, siis on vaja sellest eraldada terve ruut: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 14:00 ^2) $$
2. Erinevad reaaljuured $ x_1 $ ja $ x_2 $, siis tuleb integraali laiendada ja leida määramatud koefitsiendid $ A $ ja $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Üks mitmekordne juur $ x_1 $, siis laiendame integraali ja leiame määramatud koefitsiendid $ A $ ja $ B $ järgmise valemi jaoks: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Kui murdosa on vale, see tähendab, et lugeja kõrgeim aste on suurem või võrdne nimetaja kõrgeima astmega, siis tuleb see kõigepealt taandada õige vormi, jagades lugejast pärineva polünoomi nimetaja polünoomiga. Sel juhul on ratsionaalse murru integreerimise valem järgmine:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Näited lahendustest

Tuletame teile seda meelde murdosa-ratsionaalne nimetatakse funktsioonideks kujul $$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)), $$ on üldjuhul kahe polünoomi %%P_n(x)%% ja % suhe. %Q_m(x)% %.

Kui %%m > n \geq 0%%, siis kutsutakse ratsionaalne murd õige, muidu - vale. Kasutades polünoomide jagamise reeglit, saab ebaõiget ratsionaalset murdu esitada polünoomi %%P_(n - m)%% astmest %%n - m%% ja mõne korraliku murru summana, st. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ kus kraad %%l%% polünoomist %%P_l(x)%% on väiksem kui polünoomi %%Q_n(x)%% aste %%n%%.

Seega saab ratsionaalfunktsiooni määramatut integraali esitada polünoomi ja õige ratsionaalmurru määramatute integraalide summana.

Integraalid lihtratsionaalmurdudest

Õigete ratsionaalsete murdude hulgas on neli tüüpi, mida liigitatakse järgmiselt lihtsad ratsionaalsed murrud:

1. %%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
2. %%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
3. %%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
4. %%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,

kus %%k > 1%% on täisarv ja %%p^2 – 4q< 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.

Kahe esimese tüübi murdude määramatute integraalide arvutamine

Kahe esimese tüübi murdude määramatute integraalide arvutamine ei tekita raskusi: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac (\mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a )^(k-1)) + C. \end(massiiv) $$

Kolmanda tüübi murdude määramatute integraalide arvutamine

Esmalt teisendame kolmandat tüüpi murdu, tõstes nimetajas esile täiusliku ruudu: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/2 )^2 + q - p^2/4), $$ alates %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, mida tähistame kui %%a^2%%. Asendades ka %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%%, teisendame nimetaja ja kirjutame kolmandat tüüpi murru integraali kujul $$ \begin(massiiv )(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d)t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(massiiv) $$

Kasutades määramatu integraali lineaarsust, esitame viimase integraali kahe summana ja esimeses sisestame diferentsiaalmärgi alla %%t%%: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (At + (B - A p /2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ 2) + \left(B - \frac(pA)(2)\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\right))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \left| t^2 + a^2\paremale| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(massiivi) $$

Naastes algse muutuja %%x%% juurde, saame kolmanda tüübi murdosa jaoks $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x = \frac(A)( 2) \ln \left| x^2 + px + q\right| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ kus %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.

4. tüüpi integraali arvutamine on keeruline ja seetõttu seda käesolevas kursuses ei käsitleta.

Murd-ratsionaalfunktsiooni integreerimine.
Ebakindla koefitsiendi meetod

Jätkame tööd murdude integreerimisega. Oleme õppetunnis juba vaadanud mõnda tüüpi murdude integraale ja seda õppetundi võib teatud mõttes pidada jätkuks. Materjali edukaks mõistmiseks on vaja elementaarseid integreerimisoskusi, nii et kui olete just integraalide õppimist alustanud, st olete algaja, peate alustama artiklist Määramatu integraal. Näited lahendustest.

Kummalisel kombel hakkame nüüd tegelema mitte niivõrd integraalide leidmisega, vaid... süsteemide lahendamisega lineaarvõrrandid. Sellega seoses kiiresti Soovitan tunnis osaleda, nimelt pead olema hästi kursis asendusmeetoditega (“kool” meetod ja süsteemivõrrandite terminipõhise liitmise (lahutamise) meetod).

Mis on murdosaline ratsionaalne funktsioon? Lihtsate sõnadega, murdratsionaalfunktsioon on murd, mille lugeja ja nimetaja sisaldavad polünoome või polünoomide korrutisi. Pealegi on fraktsioonid keerukamad kui artiklis käsitletud Mõnede murdude integreerimine.

Õige murd-ratsionaalfunktsiooni integreerimine

Kohe näide ja tüüpiline algoritm murd-ratsionaalfunktsiooni integraali lahendamiseks.

Näide 1

Samm 1. Esimene asi, mida me ALATI teeme murdosalise ratsionaalse funktsiooni integraali lahendamisel, on selgitada järgmine küsimus: kas murd on õige? See samm sooritatakse suuliselt ja nüüd selgitan, kuidas:

Kõigepealt vaatame lugejat ja saame teada vanem kraad polünoom:

Lugeja juhtjõud on kaks.

Nüüd vaatame nimetajat ja saame teada vanem kraad nimetaja. Ilmselge viis on avada sulud ja tuua sarnased terminid, kuid saate seda teha ka lihtsamalt iga leida sulgudes kõrgeim kraad

ja mõtteliselt korrutada: - seega on nimetaja kõrgeim aste võrdne kolmega. On üsna ilmne, et kui me sulud reaalselt avame, ei saa me kraadi võrra suuremat kui kolm.

Järeldus: Lugeja peakraad RANGELT on väiksem kui nimetaja suurim võimsus, mis tähendab, et murd on õige.

Kui selles näites sisaldaks lugeja polünoomi 3, 4, 5 jne. kraadi, siis oleks murdosa vale.

Nüüd käsitleme ainult õigeid murdosalisi ratsionaalseid funktsioone. Juhtumit, mil lugeja aste on nimetaja astmest suurem või sellega võrdne, arutatakse tunni lõpus.

2. samm. Faktoriseerime nimetaja. Vaatame oma nimetajat:

Üldiselt on see juba tegurite tulemus, kuid sellegipoolest küsime endalt: kas on võimalik midagi muud laiendada? Piinamise objektiks on kahtlemata ruudukujuline kolmik. Ruutvõrrandi lahendamine:

Diskriminant on suurem kui null, mis tähendab, et trinoomi saab tõesti faktoriseerida:

Üldreegel: KÕIK, mida VÕIB nimetajas arvesse võtta – me arvestame selle

Alustame lahenduse sõnastamist:

3. samm. Kasutades määramatute koefitsientide meetodit, laiendame integrandi liht(elementaar)murdude summaks. Nüüd saab asi selgemaks.

Vaatame meie integrandi funktsiooni:

Ja teate, millegipärast tekib intuitiivne mõte, et oleks tore muuta meie suur murd mitmeks väikeseks. Näiteks nii:

Tekib küsimus, kas seda on üldse võimalik teha? Hingame kergendatult, vastav teoreem matemaatiline analüüs kinnitab – SEE ON VÕIMALIK. Selline lagunemine on olemas ja ainulaadne.

On ainult üks saak, tõenäosus on selline Hüvasti Me ei tea, sellest ka nimi – määramatute koefitsientide meetod.

Nagu arvasite, on järgnevad kehaliigutused sellised, ärge naerge! eesmärk on lihtsalt neid TUNNISTADA – et teada saada, millega nad on võrdsed.

Olge ettevaatlik, ma selgitan üksikasjalikult ainult üks kord!

Niisiis, alustame tantsimist:

Vasakul pool taandame avaldise ühiseks nimetajaks:

Nüüd saame nimetajatest ohutult lahti saada (kuna need on samad):

Vasakul küljel avame sulud, kuid ärge puudutage praegu tundmatuid koefitsiente:

Samal ajal kordame kooli reegel polünoomide korrutamine. Kui olin õpetaja, õppisin seda reeglit sirge näoga hääldama: Polünoomi polünoomiga korrutamiseks peate korrutama ühe polünoomi iga liikme teise polünoomi iga liikmega.

Selge selgituse seisukohalt on parem panna koefitsiendid sulgudesse (kuigi ma isiklikult ei tee seda kunagi aja säästmiseks):

Koostame lineaarvõrrandisüsteemi.
Kõigepealt otsime kõrgemaid kraade:

Ja me kirjutame vastavad koefitsiendid süsteemi esimesse võrrandisse:

Jäta hästi meelde järgmine punkt. Mis juhtuks, kui paremal pool s-d üldse poleks? Ütleme, kas see näitaks lihtsalt ilma ruuduta? Sel juhul oleks süsteemi võrrandis vaja paremale panna null: . Miks null? Aga sellepärast, et paremal pool saab alati määrata selle sama ruudu nulliga: Kui paremal pool pole muutujaid ja/või vaba liiget, siis paneme süsteemi vastavate võrrandite paremale küljele nullid.

Kirjutame vastavad koefitsiendid süsteemi teise võrrandisse:

Ja lõpuks, mineraalvesi, valime vabaliikmed.

Ee...ma tegin nalja. Nali naljaks – matemaatika on tõsine teadus. Meie instituudirühmas ei naernud keegi, kui abiprofessor ütles, et ta ajab terminid mööda arvurida laiali ja valib neist suurimad. Olgem tõsised. Kuigi... kes selle tunni lõpuni elab, naeratab ikka vaikselt.

Süsteem on valmis:

Lahendame süsteemi:

(1) Esimesest võrrandist väljendame ja asendame selle süsteemi 2. ja 3. võrrandiga. Tegelikult oli võimalik väljendada (või mõnda muud tähte) teisest võrrandist, kuid sel juhul on kasulik seda väljendada 1. võrrandist, kuna väikseim koefitsient.

(2) Esitame sarnased terminid 2. ja 3. võrrandis.

(3) Liidame 2. ja 3. võrrandi liikme kaupa, saades võrdsuse , millest järeldub, et

(4) Asendame teise (või kolmanda) võrrandiga, kust me selle leiame

(5) Asendage ja esimesse võrrandisse, saades .

Kui teil on raskusi süsteemi lahendamise meetoditega, harjutage neid tunnis. Kuidas lahendada lineaarvõrrandisüsteemi?

Pärast süsteemi lahendamist on alati kasulik kontrollida - asendada leitud väärtused iga süsteemi võrrandit, mille tulemusena peaks kõik "koonduma".

Peaaegu kohal. Leiti koefitsiendid ja:

Valmis töö peaks välja nägema umbes selline:

Nagu näha, oli ülesande peamiseks raskuseks lineaarvõrrandisüsteemi koostamine (õigesti!) ja (õigesti!) lahendamine. Ja viimases etapis pole kõik nii keeruline: kasutame määramatu integraali lineaarsusomadusi ja integreerime. Pange tähele, et kõigi kolme integraali all on meil "tasuta" keeruline funktsioon, Rääkisin selle klassis integreerimise funktsioonidest Muutuja muutmise meetod määramata integraalis.

Kontrollige: eristage vastust:

Saadud on algne integrandi funktsioon, mis tähendab, et integraal on leitud õigesti.
Kontrollimise käigus pidime avaldise taandada ühisele nimetajale ja see pole juhuslik. Määramatute koefitsientide meetod ja avaldise taandamine ühiseks nimetajaks on vastastikku pöördtoimingud.

Näide 2

Leidke määramatu integraal.

Tuleme tagasi esimese näite murdosa juurde: . Lihtne on märgata, et nimetajas on kõik tegurid ERINEVAD. Tekib küsimus, mida teha, kui on antud näiteks järgmine murd: ? Siin on nimetajas kraadid ehk matemaatiliselt mitmekordsed. Lisaks on ruuttrinoom, mida ei saa faktoriseerida (lihtne on kontrollida, et võrrandi diskriminant on negatiivne, seega ei saa trinoomi faktoriseerida). Mida teha? Laiendus elementaarmurdude summaks näeb välja umbes selline mille tipus on tundmatud koefitsiendid või midagi muud?

Näide 3

Tutvustage funktsiooni

Samm 1. Kontrollime, kas meil on õige murd
Peamine lugeja: 2
Nimetaja kõrgeim aste: 8
, mis tähendab, et murd on õige.

2. samm. Kas nimetajas on võimalik midagi arvesse võtta? Ilmselgelt mitte, kõik on juba paika pandud. Ruuttrinoomi ei saa ülaltoodud põhjustel tooteks laiendada. Kapuuts. Vähem tööd.

3. samm. Kujutame ette murdosaline ratsionaalne funktsioon elementaarmurdude summana.
Sel juhul on laiendusel järgmine vorm:

Vaatame oma nimetajat:
Murd-ratsionaalfunktsiooni jagamisel elementaarmurdude summaks saab eristada kolme põhipunkti:

1) Kui nimetaja sisaldab "üksik" tegurit esimesele astmele (meie puhul), siis paneme ülaossa määramatu koefitsiendi (meie puhul). Näited nr 1, 2 koosnesid ainult sellistest “üksikutest” teguritest.

2) Kui nimetajal on mitmekordne kordaja, siis peate selle lagundama järgmiselt:
- see tähendab, et läbige järjestikku kõik "X" astmed esimesest n-nda astmeni. Meie näites on kaks mitut tegurit: ja , vaadake uuesti minu antud laiendust ja veenduge, et neid laiendatakse täpselt selle reegli järgi.

3) Kui nimetaja sisaldab teise astme lagunematut polünoomi (meie puhul), siis tuleb lugejas lagunemisel kirjutada lineaarne funktsioon ebakindlate koefitsientidega (meie puhul ebakindlate koefitsientidega ja ).

Tegelikult on veel üks neljas juhtum, kuid ma vaikin sellest, kuna praktikas on see äärmiselt haruldane.

Näide 4

Tutvustage funktsiooni tundmatute koefitsientidega elementaarmurdude summana.

See on näide sõltumatu otsus. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.
Järgige algoritmi rangelt!

Kui mõistate põhimõtteid, mille järgi peate murdosa-ratsionaalfunktsiooni summaks laiendama, saate läbi närida peaaegu iga vaadeldava tüübi integraali.

Näide 5

Leidke määramatu integraal.

Samm 1. Ilmselt on murd õige:

2. samm. Kas nimetajas on võimalik midagi arvesse võtta? Saab. Siin on kuubikute summa . Korrutage nimetaja lühendatud korrutamisvalemi abil

3. samm. Määramatute koefitsientide meetodit kasutades laiendame integrandi elementaarmurdude summaks:

Pange tähele, et polünoomi ei saa faktoriseerida (kontrollige, et diskriminant oleks negatiivne), nii et ülaossa paneme tundmatute koefitsientidega lineaarse funktsiooni, mitte ainult ühe tähe.

Toome murdosa ühise nimetaja juurde:

Koostame ja lahendame süsteemi:

(1) Avaldame esimesest võrrandist ja asendame selle süsteemi teise võrrandiga (see on kõige ratsionaalsem viis).

(2) Esitame sarnased terminid teises võrrandis.

(3) Liidame liikme kaupa süsteemi teise ja kolmanda võrrandi.

Kõik edasised arvutused tehakse põhimõtteliselt suuliselt, kuna süsteem on lihtne.

(1) Murdude summa kirjutame üles vastavalt leitud koefitsientidele.

(2) Kasutame määramatu integraali lineaarsusomadusi. Mis juhtus teises integraalis? Selle meetodiga saate tutvuda õppetunni viimases lõigus. Mõnede murdude integreerimine.

(3) Taaskord kasutame lineaarsuse omadusi. Kolmandas integraalis hakkame eraldama tervet ruutu (tunni eelviimane lõik Mõnede murdude integreerimine).

(4) Võtame teise integraali, kolmandas valime täisruudu.

(5) Võtke kolmas integraal. Valmis.