Ratsionaalarvu saab esitada järgmiselt: Numbrid

Selles artiklis hakkame uurima ratsionaalsed arvud. Siin anname ratsionaalarvude definitsioonid, anname vajalikud selgitused ja toome näiteid ratsionaalarvude kohta. Pärast seda keskendume sellele, kuidas teha kindlaks, kas antud arv on ratsionaalne või mitte.

Leheküljel navigeerimine.

Ratsionaalarvude definitsioon ja näited

Selles osas anname mitu ratsionaalarvude definitsiooni. Sõnastuse erinevustest hoolimata on kõigil neil määratlustel sama tähendus: ratsionaalarvud ühendavad täisarve ja murde, nii nagu täisarvud naturaalarve, nende vastandeid ja arvu nulli. Teisisõnu, ratsionaalsed arvud üldistavad täis- ja murdarve.

Alustame sellest ratsionaalarvude määratlused, mida tajutakse kõige loomulikumalt.

Esitatud määratlusest järeldub, et ratsionaalne arv on:

• Suvaline naturaalarv n. Tõepoolest, võite esitada mis tahes naturaalarvu tavalise murdena, näiteks 3=3/1.
• Mis tahes täisarv, eriti arv null. Tegelikult saab iga täisarvu kirjutada kas positiivseks, negatiivseks murruks või nulliks. Näiteks 26=26/1, .
• Mis tahes harilik murd (positiivne või negatiivne). Seda kinnitab otseselt ratsionaalarvude antud definitsioon.
• Iga seganumber. Tõepoolest, alati võib ette kujutada seganumber valemurruna. Näiteks ja.
• Mis tahes lõplik kümnendmurd või lõpmatu perioodiline murd. Selle põhjuseks on asjaolu, et näidatud kümnendmurrud teisendatakse tavalisteks murdudeks. Näiteks , ja 0, (3)=1/3.

Samuti on selge, et iga lõpmatu mitteperioodiline kümnend EI ole ratsionaalne arv, sest seda ei saa esitada murdarvuna.

Nüüd saame lihtsalt anda ratsionaalarvude näited. Arvud 4, 903, 100 321 on ratsionaalarvud, kuna need on naturaalarvud. Täisarvud 58, −72, 0, −833,333,333 on samuti ratsionaalarvude näited. Ratsionaalarvude näited on ka harilikud murrud 4/9, 99/3. Ratsionaalarvud on ka arvud.

Ülaltoodud näidetest on selge, et on olemas nii positiivsed kui ka negatiivsed ratsionaalarvud ning ratsionaalarv null ei ole positiivne ega negatiivne.

Ülaltoodud ratsionaalarvude definitsiooni saab sõnastada kokkuvõtlikumal kujul.

Definitsioon.

Ratsionaalarvud on arvud, mida saab kirjutada murdarvuna z/n, kus z on täisarv ja n on naturaalarv.

Tõestame, et see ratsionaalarvude definitsioon on samaväärne eelmise definitsiooniga. Teame, et jagamise märgiks võime lugeda murdosa sirget, siis jagavate täisarvude omadustest ja täisarvude jagamise reeglitest järgneb järgnevate võrduste kehtivus ja. Seega on see tõestus.

Toome näiteid ratsionaalsete arvude kohta, mille põhjal see määratlus. Arvud −5, 0, 3 ja on ratsionaalarvud, kuna neid saab kirjutada murdudena, millel on vastavalt täisarvuline lugeja ja vormi loomulik nimetaja.

Ratsionaalarvude definitsiooni saab anda järgmises sõnastuses.

Definitsioon.

Ratsionaalarvud on arvud, mida saab kirjutada lõpliku või lõpmatu perioodilise kümnendmurruna.

See definitsioon on samaväärne ka esimese definitsiooniga, kuna iga harilik murd vastab lõplikule või perioodilisele kümnendmurrule ja vastupidi ning iga täisarvu saab seostada kümnendmurruga, mille pärast koma on nullid.

Näiteks arvud 5, 0, −13 on ratsionaalarvude näited, kuna neid saab kirjutada järgmiste kümnendmurdudena 5.0, 0.0, −13.0, 0.8 ja −7, (18).

Lõpetame selle punkti teooria järgmiste väidetega:

• täisarvud ja murrud (positiivsed ja negatiivsed) moodustavad ratsionaalarvude hulga;
• iga ratsionaalarvu saab esitada murruna täisarvulise lugeja ja loomuliku nimetajaga ning iga selline murd esindab teatud ratsionaalarvu;
• iga ratsionaalarvu saab esitada lõpliku või lõpmatu perioodilise kümnendmurruna ja iga selline murd esindab ratsionaalarvu.

Kas see arv on ratsionaalne?

Eelmises lõigus saime teada, et iga naturaalarv, täisarv, tavamurd, segaarv, lõplik kümnendmurd, samuti iga perioodiline kümnendmurd on ratsionaalne arv. Need teadmised võimaldavad meil "ära tunda" ratsionaalseid arve kirjutatud arvude hulgast.

Aga mis siis, kui arv on antud kujul mingi , või kui jne, kuidas vastata küsimusele, kas see arv on ratsionaalne? Paljudel juhtudel on sellele väga raske vastata. Toome välja mõned mõttesuunad.

Kui arv on antud arvavaldisena, mis sisaldab ainult ratsionaalarve ja aritmeetilisi märke (+, −, · ja:), siis on selle avaldise väärtuseks ratsionaalarv. See tuleneb sellest, kuidas defineeritakse tehteid ratsionaalarvudega. Näiteks pärast kõigi avaldises olevate toimingute sooritamist saame ratsionaalarvu 18.

Mõnikord pärast väljendite lihtsustamist ja palju muud kompleksne tüüp, on võimalik kindlaks teha, kas antud arv on ratsionaalne.

Lähme edasi. Arv 2 on ratsionaalne arv, kuna iga naturaalarv on ratsionaalne. Aga number? Kas see on ratsionaalne? Selgub, et ei, see ei ole ratsionaalne arv, see on irratsionaalne arv (selle fakti tõestus vastuoluga on toodud 8. klassi algebraõpikus, mis on loetletud allpool kirjanduse loetelus). Seda on ka tõestatud Ruutjuur naturaalarvu on ratsionaalne arv ainult neil juhtudel, kui juur sisaldab arvu, mis on mõne naturaalarvu täiuslik ruut. Näiteks ja on ratsionaalarvud, kuna 81 = 9 2 ja 1 024 = 32 2 ning arvud ja ei ole ratsionaalsed, kuna numbrid 7 ja 199 ei ole täiuslikud ruudud naturaalarvud.

Kas arv on ratsionaalne või mitte? Sel juhul on lihtne märgata, et seetõttu on see arv ratsionaalne. Kas arv on ratsionaalne? On tõestatud, et täisarvu k-s juur on ratsionaalne arv ainult siis, kui juuremärgi all olev arv on mõne täisarvu k-s astmes. Seetõttu pole see ratsionaalne arv, kuna pole täisarvu, mille viies aste oleks 121.

Vastuolu meetod võimaldab tõestada, et mõne arvu logaritmid ei ole mingil põhjusel ratsionaalsed arvud. Näiteks tõestame, et - ei ole ratsionaalne arv.

Oletame vastupidist, st oletame, et see on ratsionaalne arv ja selle saab kirjutada hariliku murruna m/n. Seejärel anname järgmised võrdsused: . Viimane võrdsus on võimatu, kuna vasakul pool on paaritu number 5 n ja paremal pool on paarisarv 2 m. Seetõttu on meie eeldus vale, seega mitte ratsionaalne arv.

Kokkuvõttes tasub eriti tähele panna, et arvude ratsionaalsuse või irratsionaalsuse määramisel tuleks hoiduda järskude järelduste tegemisest.

Näiteks ei tohiks te kohe väita, et irratsionaalarvude π ja e korrutis on irratsionaalarv; see on "näiliselt ilmne", kuid pole tõestatud. See tõstatab küsimuse: "Miks peaks toode olema ratsionaalne arv?" Ja miks mitte, sest võite tuua näite irratsionaalarvudest, mille korrutis annab ratsionaalarvu: .

Samuti pole teada, kas arvud ja paljud teised arvud on ratsionaalsed või mitte. Näiteks on irratsionaalarvud, mille irratsionaalne võimsus on ratsionaalarv. Illustreerimiseks esitame vormi astme, selle astme alus ja astendaja ei ole ratsionaalarvud, vaid , ja 3 on ratsionaalarv.

Bibliograafia.

• Matemaatika. 6. klass: hariv. üldhariduse jaoks institutsioonid / [N. Ya. Vilenkin ja teised]. - 22. väljaanne, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lk.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra:õpik 8. klassi jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M.: Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (juhend tehnikutesse astujatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.

) on arvud, millel on positiivne või negatiivne märk(täisarvud ja murrud) ja null. Ratsionaalarvude täpsem kontseptsioon kõlab järgmiselt:

Ratsionaalarv- number, mis on esindatud harilik murd m/n, kus lugeja m on täisarvud ja nimetaja n- täisarvud, näiteks 2/3.

Ratsionaalarvude hulka EI kuulu lõpmatu arv mitteperioodilisi murde.

a/b, Kus a∈ Z (a kuulub täisarvude hulka), b∈ N (b kuulub naturaalarvude hulka).

Ratsionaalarvude kasutamine päriselus.

IN päris elu ratsionaalarvude komplekti kasutatakse mõne täisarvuga jagatava objekti osade loendamiseks, Näiteks, koogid või muud toidud, mis enne tarbimist tükkideks lõigatakse või laiendatud objektide ruumiliste suhete ligikaudseks hindamiseks.

Ratsionaalarvude omadused.

Ratsionaalarvude põhiomadused.

1. Korralikkus a Ja b on olemas reegel, mis võimaldab teil üheselt tuvastada 1 ja ainult üks kolmest nendevahelisest seosest: "<», «>" või "=". See reegel on - tellimise reegel ja sõnastage see järgmiselt:

• 2 positiivset numbrit a=m a /n a Ja b=mb/nb on seotud sama seosega kui 2 täisarvu m a⋅ n b Ja m b⋅ n a;
• 2 negatiivset arvu a Ja b on seotud sama suhtega kui 2 positiivset arvu |b| Ja |a|;
• Millal a positiivne ja b- negatiivne siis a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Lisamise operatsioon. Kõigi ratsionaalsete arvude jaoks a Ja b Seal on summeerimisreegel, mis määrab neile teatud ratsionaalse arvu c. Pealegi number ise c- See summa numbrid a Ja b ja seda tähistatakse kui (a+b) summeerimine.

Summeerimise reegel näeb välja selline:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n a)/(n a⋅ n b).

∀ a,b∈ K∃ !(a+b)∈ K

3. Korrutamise operatsioon. Kõigi ratsionaalsete arvude jaoks a Ja b Seal on korrutamisreegel, seob need teatud ratsionaalarvuga c. Kutsutakse numbrit c tööd numbrid a Ja b ja tähistada (a⋅b) ja kutsutakse selle numbri leidmise protsess korrutamine.

Korrutamisreegel näeb välja selline: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Tellimussuhte transitiivsus. Mis tahes kolme ratsionaalarvu jaoks a, b Ja c Kui a vähem b Ja b vähem c, See a vähem c, ja kui a võrdub b Ja b võrdub c, See a võrdub c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Liitmise kommutatiivsus. Ratsionaalsete terminite kohtade muutmine ei muuda summat.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Liitumise assotsiatiivsus. 3 ratsionaalarvu lisamise järjekord tulemust ei mõjuta.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Nulli olemasolu. On olemas ratsionaalarv 0, see säilitab lisamisel iga teise ratsionaalarvu.

∃ 0 ∈ K∀ a∈ Q a+0=a

8. Vastandarvude olemasolu. Igal ratsionaalarvul on vastupidine ratsionaalarv ja nende liitmisel on tulemuseks 0.

∀ a∈ K∃ (-a)∈ Q a+(−a)=0

9. Korrutamise kommutatiivsus. Ratsionaalsete tegurite kohtade muutmine ei muuda toodet.

∀ a,b∈ K a⋅ b=b⋅ a

10. Korrutamise assotsiatiivsus. 3 ratsionaalarvu korrutamise järjekord ei mõjuta tulemust.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Üksuse saadavus. On olemas ratsionaalarv 1, see säilitab korrutamise käigus kõik teised ratsionaalarvud.

∃ 1 ∈ K∀ a∈ K a⋅ 1=a

12. Vastastikuste arvude olemasolu. Igal ratsionaalarvul peale nulli on pöördratsionaalarv, mille korrutamisel saame 1 .

∀ a∈ K∃ a-1∈ K a⋅ a−1=1

13. Korrutamise jaotus liitmise suhtes. Korrutustehe on seotud liitmisega jaotusseaduse abil:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Tellimuse seose ja liitmise operatsiooni vaheline seos. Sama ratsionaalarv lisatakse ratsionaalse ebavõrdsuse vasakule ja paremale poolele.

∀ a,b,c∈ K a ⇒ a+c

15. Järjerelatsiooni ja korrutustehte vaheline seos. Ratsionaalse ebavõrdsuse vasaku ja parema külje saab korrutada sama mittenegatiivse ratsionaalarvuga.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Archimedese aksioom. Ükskõik milline ratsionaalne arv a, on lihtne võtta nii palju ühikuid, et nende summa oleks suurem a.

Selles õppetükis õpime tundma paljusid ratsionaalseid numbreid. Analüüsime ratsionaalarvude põhiomadusi, õpime teisendama kümnendmurde tavalisteks murdudeks ja vastupidi.

Naturaal- ja täisarvude komplektidest oleme juba rääkinud. Naturaalarvude hulk on täisarvude alamhulk.

Nüüd oleme õppinud, mis on murrud, ja õppinud nendega töötama. Näiteks murd ei ole täisarv. See tähendab, et peame kirjeldama uut arvude komplekti, mis sisaldab kõiki murde, ning see komplekt vajab nime, selget määratlust ja tähistust.

Alustame nimega. Ladina sõna suhe tõlgitakse vene keelde kui suhe, murdosa. Uue komplekti nimi "ratsionaalarvud" pärineb sellest sõnast. See tähendab, et "ratsionaalarvud" võib tõlkida kui "murdarvud".

Mõelgem välja, millistest numbritest see komplekt koosneb. Võime eeldada, et see koosneb kõigist murdudest. Näiteks selline - . Kuid selline määratlus poleks täiesti õige. Murd ei ole arv ise, vaid arvu kirjutamise vorm. Allolevas näites kaks erinevad fraktsioonid esindavad sama numbrit:

Siis oleks õigem öelda, et ratsionaalarvud on need arvud, mida saab esitada murdarvuna. Ja see on tegelikult peaaegu sama määratlus, mida kasutatakse matemaatikas.

See komplekt on tähistatud tähega . Kuidas on loomulike ja täisarvude hulgad seotud uue ratsionaalarvude hulgaga? Naturaalarvu saab kirjutada murdosana lõpmatul hulgal viisidel. Ja kuna seda saab esitada murdena, siis on see ka ratsionaalne.

Sarnane on olukord negatiivsete täisarvudega. Ükskõik milline tervik negatiivne arv saab esitada murdarvuna . Kas arvu nulli on võimalik esitada murdarvuna? Muidugi saate, ka lõpmatul hulgal viisil .

Seega on kõik naturaalarvud ja kõik täisarvud ka ratsionaalarvud. Naturaalarvude ja täisarvude hulgad on ratsionaalarvude hulga alamhulgad ().

Hulkade suletus aritmeetiliste tehete suhtes

Uute arvude – täisarvude, seejärel ratsionaalarvude – kasutuselevõtu vajadust ei saa seletada mitte ainult reaalse elu probleemidega. Aritmeetilised tehted ise ütlevad meile seda. Liidame kaks naturaalarvu: . Saame jälle naturaalarvu.

Nad ütlevad, et naturaalarvude hulk on liitmise operatsiooni korral suletud (liitmise korral suletud). Mõelge ise, kas naturaalarvude hulk on korrutamisel suletud.

Niipea, kui püüame arvust lahutada midagi võrdset või suuremat, jäävad meil naturaalarvud puudu. Null- ja negatiivsete täisarvude sisestamine parandab olukorra:

Täisarvude hulk on lahutamisel suletud. Saame liita ja lahutada mis tahes täisarvu, kartmata, et meil pole arvu, millega tulemust kirjutada (liitmine ja lahutamine on suletud).

Kas täisarvude hulk on korrutamisel suletud? Jah, mis tahes kahe täisarvu korrutis annab täisarvu (suletud liitmise, lahutamise ja korrutamise all).

Jäänud on veel üks tegevus – jagamine. Kas täisarvude hulk on jagamisel suletud? Vastus on ilmne: ei. Jagame sellega. Täisarvude hulgas pole sellist arvu, mille abil vastust kirja panna: .

Aga abiga murdarv peaaegu alati saame ühe täisarvu teisega jagamise tulemuse kirja panna. Miks peaaegu? Pidagem meeles, et definitsiooni järgi ei saa nulliga jagada.

Seega pretendeerib ratsionaalarvude hulk (mis tekib murdude sisestamisel) kõigi nelja aritmeetilise tehte korral suletud hulgana.

Kontrollime.

See tähendab, et ratsionaalarvude hulk on liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise korral suletud, välja arvatud nulliga jagamine. Selles mõttes võime öelda, et ratsionaalarvude hulk on struktureeritud "paremini" kui eelmised naturaal- ja täisarvude komplektid. Kas see tähendab, et ratsionaalarvud on viimane arvude hulk, mida uurime? Ei. Seejärel on meil muid numbreid, mida ei saa murdudena kirjutada, näiteks irratsionaalseid.

Numbrid kui tööriist

Numbrid on tööriist, mille inimene lõi vastavalt vajadusele.

Riis. 1. Naturaalarvude kasutamine

Hiljem, kui oli vaja teha rahalisi arvutusi, hakati numbri ette panema pluss- või miinusmärke, mis näitasid, kas esialgset väärtust tuleks suurendada või vähendada. Nii tekkisid negatiivsed ja positiivsed numbrid. Uut komplekti nimetati täisarvude hulgaks ().

Riis. 2. Murdude kasutamine

Seetõttu ilmneb uus tööriist, uued arvud on murrud. Kirjutame need erinevatel samaväärsetel viisidel: tavalised ja kümnendmurrud ( ).

Kõik arvud - "vana" (täisarv) ja "uued" (murrud) - ühendati üheks komplektiks ja nimetati seda ratsionaalarvude komplektiks (- ratsionaalarvud)

Seega on ratsionaalarv arv, mida saab esitada hariliku murruna. Kuid seda matemaatika määratlust täpsustatakse veelgi. Mis tahes ratsionaalarvu saab esitada murdosana, millel on positiivne nimetaja, st täisarvu ja naturaalarvu suhe: .

Siis saame definitsiooni: arvu nimetatakse ratsionaalseks, kui seda saab esitada murruna täisarvulise lugeja ja loomuliku nimetajaga ( ).

Välja arvatud tavalised murrud, kasutame ka kümnendkohti. Vaatame, kuidas need on seotud ratsionaalarvude hulgaga.

Kümnendkohti on kolme tüüpi: lõplikud, perioodilised ja mitteperioodilised.

Lõpmatud mitteperioodilised murrud: ka sellistel murdudel on lõpmatu arv kümnendkohti, kuid punkti pole. Näiteks on PI kümnendmärk:

Iga lõplik kümnendmurd on definitsiooni järgi tavaline murd, millel on nimetaja jne.

Loeme kümnendmurru ette ja kirjutame tavalisel kujul: , .

Murruna kümnendmurruna kirjutamiselt tagasi pöördudes võite saada lõplikud kümnendmurrud või lõpmatud perioodilised murrud.

Murru teisendamine kümnendkohaks

Lihtsaim juhtum on see, kui murdosa nimetaja on kümne aste: jne. Seejärel kasutame kümnendmurru määratlust:

On murde, mille nimetaja saab hõlpsasti taandada järgmisele kujule: . Sellise tähise juurde on võimalik minna, kui nimetaja laienduses on ainult kahed ja viied.

Nimetaja koosneb kolmest kahest ja ühest viiest. Igaüks neist moodustab kümne. See tähendab, et meil on kaks puudu. Korrutage nii lugeja kui ka nimetajaga:

Oleks võinud teha teisiti. Jagage veeruga (vt joonis 1).

Riis. 2. Kolonnide jaotus

Koos puhul ei saa nimetajat muuta või muuks numbriks, kuna selle laiendus sisaldab kolmikut. Jääb vaid üks võimalus – jagada veergu (vt joon. 2).

Selline jagamine igal sammul annab jäägi ja jagatise. See protsess on lõputu. See tähendab, et saime punktiga lõpmatu perioodilise murdosa

Harjutame. Teisendame tavalised murrud kümnendkohtadeks.

Kõigis nendes näidetes saime lõpuks kümnendmurru, kuna nimetaja laiendus hõlmas ainult kahesid ja viite.

(kontrollime ennast tabelisse jagades – vt joon. 3).

Riis. 3. Pikk jaotus

Riis. 4. Sambajaotus

(vt joonis 4)

Nimetaja laiendus sisaldab kolmikut, mis tähendab nimetaja viimist vormile jne. ei tööta. Jagage veerguks. Olukord kordub. Tulemusrekordisse jääb lõpmatu arv kolmikuid. Seega,.

(vt joonis 5)

Riis. 5. Tulbajaotus

Seega võib mis tahes ratsionaalarvu esitada tavalise murdena. See on tema määratlus.

Ja mis tahes harilikku murru saab esitada lõpliku või lõpmatu perioodilise kümnendmurruna.

Murdude salvestamise tüübid:

kümnendmurru registreerimine hariliku murru kujul: ; ;

hariliku murru kirjutamine kümnendkohana: (lõpumurd); (lõpmatu perioodiline).

See tähendab, et iga ratsionaalarvu saab kirjutada lõpliku või perioodilise kümnendmurruna. Sel juhul võib lõppmurdu lugeda ka perioodiliseks perioodiga null.

Mõnikord antakse ratsionaalarvule täpselt selline definitsioon: ratsionaalarv on arv, mille saab kirjutada perioodilise kümnendmurruna.

Perioodiline murdosa teisendamine

Vaatleme esmalt murdu, mille periood koosneb ühest numbrist ja millel puudub eelperiood. Tähistame seda numbrit tähega . Meetod on saada teine ​​​​number sama perioodiga:

Seda saab teha, korrutades algse numbri arvuga. Seega on numbril sama periood. Lahutage arvust endast:

Veendumaks, et oleme kõik õigesti teinud, teeme nüüd ülemineku tagakülg, meile juba teadaoleval viisil - jagades veeruks poolt (vt joon. 1).

Tegelikult saame arvu algsel kujul koos punktiga.

Vaatleme eelperioodi ja pikema perioodiga arvu: . Meetod jääb täpselt samaks, mis eelmises näites. Peame saama uue numbri sama perioodiga ja sama pikkusega eelperioodiga. Selleks on vaja, et koma liiguks perioodi pikkuse võrra paremale, s.t. kahe tegelase poolt. Korrutage algne arv arvuga:

Lahutame saadud avaldisest algse avaldise:

Niisiis, mis on tõlkealgoritm? Perioodiline murd tuleb korrutada vormi vms arvuga, milles on nii palju nulle, kui palju on kümnendmurru perioodis numbreid. Saame uue perioodilise. Näiteks:

Ühest perioodilisest murrust lahutades teise, saame lõpliku kümnendmurru:

Jääb üle väljendada algne perioodiline murd hariliku murru kujul.

Harjutamiseks kirjutage ise paar perioodilist murdu üles. Seda algoritmi kasutades taandage need tavaliseks murruks. Kalkulaatori kontrollimiseks jagage lugeja nimetajaga. Kui kõik on õige, saate algse perioodilise murru

Seega võime kirjutada mis tahes lõpliku või lõpmatu perioodilise murru tavamurruna, naturaalarvu ja täisarvu suhtena. Need. kõik sellised murrud on ratsionaalarvud.

Kuidas on lood mitteperioodiliste murdudega? Selgub, et mitteperioodilisi murde ei saa esitada tavaliste murdudena (me aktsepteerime seda fakti ilma tõestuseta). See tähendab, et need ei ole ratsionaalsed arvud. Neid nimetatakse irratsionaalseteks.

Lõpmatu arv mitteperioodilisi murde

Nagu me juba ütlesime, ratsionaalne arv sisse kümnendmärk- see on lõplik või perioodiline murd. See tähendab, et kui suudame konstrueerida lõpmatu mitteperioodilise murdu, saame mitteratsionaalse ehk irratsionaalse arvu.

Siin on üks viis selle konstrueerimiseks: selle arvu murdosa koosneb ainult nullidest ja ühtedest. Nullide arv ühtede vahel suureneb võrra. Korduvat osa on siin võimatu esile tõsta. See tähendab, et murdosa ei ole perioodiline.

Harjutage iseseisvalt mitteperioodiliste kümnendmurdude, st irratsionaalarvude konstrueerimist

Tuttav näide irratsionaalarvust on pi ( ). Selles kirjes ei ole punkti. Kuid peale pii on lõpmatult palju muid irratsionaalseid arve. Irratsionaalsetest arvudest räägime pikemalt hiljem.

1. Matemaatika 5. klass. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I., 31. väljaanne, kustutatud. - M: Mnemosyne, 2013.
2. Matemaatika 5. klass. Erina T.M. Töövihik Vilenkin N.Ya., M. õpikule: Eksam, 2013.
3. Matemaatika 5. klass. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S., M.: Ventana - Graf, 2013.

1. Math-prosto.ru ().
2. Cleverstudents.ru ().
3. Mathematics-repetition.com ().

Kodutöö

Ratsionaalarvud

Kvartalid

1. Korralikkus. a Ja b on olemas reegel, mis võimaldab teil unikaalselt tuvastada ühe ja ainult ühe kolmest nendevahelisest seosest: "< », « >" või " = ". Seda reeglit nimetatakse tellimise reegel ja on sõnastatud järgmiselt: kaks mittenegatiivset arvu ja on seotud sama seosega nagu kaks täisarvu ja ; kaks mittepositiivset numbrit a Ja b on seotud sama seosega kui kaks mittenegatiivset arvu ja ; kui äkki a mittenegatiivne, aga b- negatiivne siis a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Murdude lisamine

2. Lisamise operatsioon. Mis tahes ratsionaalsete arvude jaoks a Ja b on olemas nn summeerimisreegel c. Pealegi number ise c helistas summa numbrid a Ja b ja seda tähistatakse , ning sellise arvu leidmise protsessi kutsutakse summeerimine. Summeerimisreeglil on järgmine vorm: .
3. Korrutamise operatsioon. Mis tahes ratsionaalsete arvude jaoks a Ja b on olemas nn korrutamisreegel, mis määrab neile mingi ratsionaalse numbri c. Pealegi number ise c helistas tööd numbrid a Ja b ja seda tähistatakse , ning sellise arvu leidmise protsessi nimetatakse ka korrutamine. Korrutamisreegel näeb välja selline: .
4. Tellimussuhte transitiivsus. Ratsionaalarvude mis tahes kolmiku korral a , b Ja c Kui a vähem b Ja b vähem c, See a vähem c, ja kui a võrdub b Ja b võrdub c, See a võrdub c. 6435">Liimise kommutatiivsus. Ratsionaalsete terminite kohtade muutmine ei muuda summat.
5. Lisamise assotsiatiivsus. Kolme ratsionaalarvu liitmise järjekord tulemust ei mõjuta.
6. Nulli olemasolu. On olemas ratsionaalarv 0, mis lisamisel säilitab kõik teised ratsionaalarvud.
7. Vastandarvude olemasolu. Igal ratsionaalarvul on vastupidine ratsionaalarv, mis lisamisel annab 0.
8. Korrutamise kommutatiivsus. Ratsionaalsete tegurite kohtade muutmine ei muuda toodet.
9. Korrutamise assotsiatiivsus. Kolme ratsionaalarvu korrutamise järjekord ei mõjuta tulemust.
10. Üksuse saadavus. On olemas ratsionaalarv 1, mis korrutatuna säilitab kõik teised ratsionaalarvud.
11. Vastastikuste arvude olemasolu. Igal ratsionaalarvul on pöördratsionaalarv, mis korrutatuna annab 1.
12. Korrutamise jaotus liitmise suhtes. Korrutustehte koordineeritakse liitmistehtega jaotusseaduse kaudu:
13. Tellimussuhte seos liitmise operatsiooniga. Sama ratsionaalarvu saab lisada ratsionaalse ebavõrdsuse vasakule ja paremale poolele. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Archimedese aksioom.Ükskõik milline ratsionaalne arv a, võite võtta nii palju ühikuid, et nende summa ületab a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Täiendavad omadused

Kõiki teisi ratsionaalarvudele omaseid omadusi põhilistena ei eristata, sest üldiselt ei põhine need enam otseselt täisarvude omadustel, vaid on tõestatavad antud põhiomaduste põhjal või otse mõne matemaatilise objekti definitsiooniga. . Sellised täiendavad omadused nii palju. Siin on mõttekas loetleda neist vaid mõned.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Komplekti loendatavus

Ratsionaalarvude nummerdamine

Ratsionaalarvude arvu hindamiseks peate leidma nende hulga kardinaalsuse. Seda, et ratsionaalarvude hulk on loendatav, on lihtne tõestada. Selleks piisab, kui anda algoritm, mis loetleb ratsionaalarvud, s.t. loob bijektsiooni ratsionaal- ja naturaalarvude hulkade vahel.

Lihtsaim neist algoritmidest näeb välja selline. Igaühe kohta koostatakse lõputu tavaliste murdude tabel i- igas rida j veerg, mille murd asub. Kindluse huvides eeldatakse, et selle tabeli read ja veerud on nummerdatud alates ühest. Tabeli lahtreid tähistatakse , kus i- tabelirea number, milles lahter asub, ja j- veeru number.

Saadud tabel läbitakse "madu" abil vastavalt järgmisele formaalsele algoritmile.

Neid reegleid otsitakse ülalt alla ja järgmine positsioon valitakse esimese vaste põhjal.

Sellise läbimise käigus seostatakse iga uus ratsionaalne arv teise naturaalarvuga. See tähendab, et murd 1/1 omistatakse numbrile 1, murd 2/1 numbrile 2 jne. Tuleb märkida, et nummerdatakse ainult taandamatuid murde. Taastamatuse formaalne märk on see, et murru lugeja ja nimetaja suurim ühisjagaja on võrdne ühega.

Seda algoritmi järgides saame loetleda kõik positiivsed ratsionaalarvud. See tähendab, et positiivsete ratsionaalarvude hulk on loendatav. Positiivsete ja negatiivsete ratsionaalarvude hulkade vahel on lihtne määrata bijektsioon, määrates igale ratsionaalarvule lihtsalt selle vastandi. See. ka negatiivsete ratsionaalarvude hulk on loendatav. Nende liit on loendatav ka loendatavate hulkade omaduse järgi. Ratsionaalarvude hulk on loendatav ka loendatava hulga ja lõpliku hulga ühendusena.

Väide ratsionaalarvude hulga loendavuse kohta võib tekitada segadust, kuna esmapilgul tundub, et see on palju ulatuslikum kui naturaalarvude hulk. Tegelikult see nii ei ole ja naturaalarvusid on piisavalt, et loetleda kõik ratsionaalsed arvud.

Ratsionaalarvude puudumine

Sellise kolmnurga hüpotenuusi ei saa väljendada ühegi ratsionaalarvuga

Ratsionaalarvud kujul 1 / nüldiselt n mõõta suvaliselt väikseid koguseid. See asjaolu loob eksitava mulje, et ratsionaalseid numbreid saab kasutada mis tahes geomeetriliste vahemaade mõõtmiseks. On lihtne näidata, et see pole tõsi.

Märkmed

Kirjandus

• I. Kushnir. Matemaatika käsiraamat koolilastele. - Kiiev: ASTARTA, 1998. - 520 lk.
• P. S. Aleksandrov. Sissejuhatus hulgateooriasse ja üldisesse topoloogiasse. - M.: peatükk. toim. füüsika ja matemaatika valgustatud. toim. "Teadus", 1977
• I. L. Hmelnitski. Sissejuhatus algebraliste süsteemide teooriasse

Lingid

Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.

Vanemad kooliõpilased ja üliõpilased matemaatika erialad, vastab sellele küsimusele tõenäoliselt kergesti. Kuid neil, kes on elukutselt sellest kaugel, on see keerulisem. Mis see tegelikult on?

Olemus ja tähistus

Ratsionaalarvud on need, mida saab esitada hariliku murdena. Sellesse komplekti kuuluvad ka positiivsed, negatiivsed ja nullid. Murru lugeja peab olema täisarv ja nimetaja peab olema

Seda komplekti matemaatikas tähistatakse kui Q ja seda nimetatakse "ratsionaalarvude väljaks". See sisaldab kõiki täis- ja naturaalarve, mida tähistatakse vastavalt kui Z ja N. Hulk Q ise sisaldub komplektis R. Just see täht tähistab nn reaal- või naturaalarve.

Esitus

Nagu juba mainitud, on ratsionaalarvud hulk, mis sisaldab kõiki täis- ja murdarvusid. Neid saab esitada erinevad vormid. Esiteks hariliku murru kujul: 5/7, 1/5, 11/15 jne. Muidugi saab täisarve kirjutada ka sarnasel kujul: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 jne. Teiseks on teist tüüpi esitusviisiks kümnendmurd, millel on viimane murdosa: 0,01, -15,001006 jne. See on võib-olla üks levinumaid vorme.

Kuid on ka kolmas – perioodiline murd. See tüüp ei ole väga levinud, kuid seda kasutatakse endiselt. Näiteks võib murdosa 10/3 kirjutada kui 3,33333... või 3,(3). Sel juhul loetakse erinevaid esitusi sarnasteks numbriteks. Murrud, mis on üksteisega võrdsed, nimetatakse ka samadeks, näiteks 3/5 ja 6/10. Tundub, et on selgeks saanud, mis on ratsionaalarvud. Aga miks seda konkreetset terminit neile viitamiseks kasutatakse?

nime päritolu

Sõnal "ratsionaalne" on tänapäeva vene keeles üldiselt veidi erinev tähendus. Pigem on see "mõistlik", "mõeldud". Kuid matemaatilised terminid on lähedal sõna otseses mõttes See Ladina keeles on "suhe" "suhe", "murd" või "jaotus". Seega kajastab nimi ratsionaalsete arvude olemust. Siiski, teine ​​tähendus

mitte kaugel tõest.

Tegevused nendega

Otsustades matemaatilisi probleeme Me puutume pidevalt kokku ratsionaalsete arvudega, ise teadmata. Ja nad on lähedal huvitavad omadused. Kõik need tulenevad kas hulga määratlusest või tegevustest.

Esiteks on ratsionaalarvudel järjekorra suhte omadus. See tähendab, et kahe arvu vahel saab olla ainult üks seos – need on kas üksteisega võrdsed või on üks suurem või väiksem kui teine. See on:

või a = b; või a > b, või a< b.

Lisaks tuleneb sellest omadusest ka seose transitiivsus. See tähendab, et kui a rohkem b, b rohkem c, See a rohkem c. Matemaatilises keeles näeb see välja järgmine:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

Teiseks on aritmeetilised tehted ratsionaalarvudega ehk liitmine, lahutamine, jagamine ja muidugi korrutamine. Samas saab transformatsioonide käigus tuvastada ka mitmeid omadusi.

• a + b = b + a (terminite kohavahetus, kommutatiivsus);
• 0 + a = a + 0;
• (a + b) + c = a + (b + c) (assotsiatiivsus);
• a + (-a) = 0;
• ab = ba;
• (ab)c = a(bc) (jaotus);
• a x 1 = 1 x a = a;
• a x (1 / a) = 1 (antud juhul a ei võrdu 0-ga);
• (a + b)c = ac + ab;
• (a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Kui me räägime tavalistest ja mitte täisarvudest, võib nendega töötamine tekitada teatud raskusi. Seega on liitmine ja lahutamine võimalik ainult siis, kui nimetajad on võrdsed. Kui need on algselt erinevad, peaksite leidma ühise, korrutades kogu murdosa teatud arvudega. Ka võrdlus on enamasti võimalik ainult siis, kui see tingimus on täidetud.

Harilike murdude jagamine ja korrutamine toimub vastavalt piisavale lihtsad reeglid. Ühisnimetajale taandamine ei ole vajalik. Lugejad ja nimetajad korrutatakse eraldi ning toimingu sooritamise käigus tuleks võimalusel murdu vähendada ja võimalikult palju lihtsustada.

Jagamise osas on see toiming väikese erinevusega sarnane esimesele. Teise murru jaoks peaksite leidma pöördväärtuse, see tähendab

"pööra" see ümber. Seega tuleb esimese murru lugeja korrutada teise nimetajaga ja vastupidi.

Lõpuks nimetatakse veel üht ratsionaalsetele arvudele omast omadust Archimedese aksioomiks. Tihti leidub kirjanduses ka nimetust “põhimõte”. See kehtib kogu reaalarvude komplekti kohta, kuid mitte kõikjal. Seega see põhimõte mõne populatsiooni puhul ei kehti. ratsionaalsed funktsioonid. Sisuliselt tähendab see aksioom, et arvestades kahe suuruse a ja b olemasolu, võite alati võtta piisavalt a, et ületada b.

Kasutusala

Nii et neile, kes on õppinud või mäletanud, mis on ratsionaalsed numbrid, saab selgeks, et neid kasutatakse kõikjal: raamatupidamises, majanduses, statistikas, füüsikas, keemias ja muudes teadustes. Loomulikult on neil oma koht ka matemaatikas. Teadmata alati, et meil on nendega tegemist, kasutame pidevalt ratsionaalseid numbreid. Isegi väikesed lapsed, kes õpivad esemeid loendama, õuna tükkideks lõikama või muid lihtsaid toiminguid sooritades, puutuvad nendega kokku. Nad sõna otseses mõttes ümbritsevad meid. Ja ometi ei piisa neist mõne probleemi lahendamiseks, eriti Pythagorase teoreemi näitel võib mõista kontseptsiooni tutvustamise vajadust.