Logaritmide lisaomadused. Logaritmi definitsioon, logaritmi põhiidentiteet

Selle artikli keskmes on logaritm. Siin anname logaritmi definitsiooni, näitame aktsepteeritud tähistust, toome logaritmide näiteid ning räägime naturaal- ja kümnendlogaritmidest. Pärast seda kaaluge põhilist logaritmilist identiteeti.

Leheküljel navigeerimine.

Logaritmi definitsioon

Logaritmi mõiste tekib ülesande lahendamisel teatud mõttes pöördvõrdeliselt, kui on vaja leida astendaja teadaolev väärtus aste ja teadaolev alus.

Aga piisavalt preambulist, on aeg vastata küsimusele "mis on logaritm"? Anname sobiva määratluse.

Definitsioon.

Logaritm b alusesse a, kus a>0, a≠1 ja b>0 on eksponent, milleni peate arvu a suurendama, et saada b tulemuseks.

Selles etapis märgime, et öeldud sõna "logaritm" peaks kohe tekitama kaks järgnevat küsimust: "milline arv" ja "mille alusel". Teisisõnu, logaritmi lihtsalt pole, vaid mingis baasis on ainult arvu logaritm.

Kohe tutvustame logaritmi tähistus: arvu b logaritmi aluse a suhtes tähistatakse tavaliselt kui log a b . Arvu b logaritmil aluse e ja 10 logaritmil on vastavalt oma eritähised lnb ja lgb, see tähendab, et nad ei kirjuta mitte log e b , vaid lnb , ja mitte log 10 b , vaid lgb .

Nüüd saad kaasa võtta:.
Ja plaadid pole mõtet, kuna esimeses neist on logaritmi märgi all negatiivne arv, teises - negatiivne arv aluses ja kolmandas - nii negatiivne arv logaritmi märgi all kui ka üksus baasis.

Nüüd räägime sellest logaritmide lugemise reeglid. Sisestuslogi a b loetakse kui "b logaritm baasile a". Näiteks logaritm 2 3 on logaritm kolmest aluse 2 suhtes ja on kahe punkti logaritm kaks kolmandikku baasist Ruutjuur viiest. Nimetatakse logaritm aluse e juurde naturaallogaritm, ja tähistust lnb loetakse "b naturaalseks logaritmiks". Näiteks ln7 on seitsme naturaalne logaritm ja me loeme seda pi naturaallogaritmiks. 10. aluse logaritmil on ka eriline nimi - kümnendlogaritm ja tähistus lgb loetakse kui "kümnendlogaritm b". Näiteks lg1 on ühe kümnendlogaritm ja lg2.75 on kahe koma seitsmekümne viie sajandiku kümnendlogaritm.

Eraldi tasub peatuda tingimustel a>0, a≠1 ja b>0, mille puhul on antud logaritmi definitsioon. Selgitame, kust need piirangud tulevad. Selleks aitab meid vormi võrdsus nimega , mis tuleneb otseselt ülaltoodud logaritmi definitsioonist.

Alustame a≠1-ga. Kuna üks on võrdne ühega mis tahes astmega, võib võrdus olla tõene ainult b=1 korral, kuid log 1 1 võib olla mis tahes reaalarv. Selle ebaselguse vältimiseks aktsepteeritakse a≠1.

Põhjendagem tingimuse a>0 otstarbekust. Kui a=0 saaksime logaritmi definitsiooni järgi võrdsuse , mis on võimalik ainult siis, kui b=0 . Kuid siis võib log 0 0 olla mis tahes nullist erinev reaalarv, kuna nullist mis tahes nullist erineva astmeni on null. Seda ebaselgust saab vältida tingimusega a≠0 . Ja a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Lõpuks tuleneb ebavõrdsusest a>0 tingimus b>0, kuna , ja positiivse alusega a astme väärtus on alati positiivne.

Selle lõigu kokkuvõtteks ütleme, et logaritmi hääleline määratlus võimaldab teil kohe näidata logaritmi väärtust, kui logaritmi märgi all olev arv on teatud baasi aste. Tõepoolest, logaritmi definitsioon võimaldab väita, et kui b=a p , siis arvu b logaritm alusele a on võrdne p . See tähendab, et võrduslogi a a p =p on tõene. Näiteks teame, et 2 3 =8 , siis log 2 8=3 . Sellest räägime artiklis lähemalt.

Arvu e põhjal: ln x = log e x.

Naturaallogaritmi kasutatakse matemaatikas laialdaselt, kuna selle tuletisel on kõige lihtsam vorm: (ln x)′ = 1/x.

Põhineb määratlused, naturaallogaritmi baas on arv e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Funktsiooni y = graafik ln x.

Naturaallogaritmi graafik (funktsioonid y = ln x) saadakse astendaja graafikult peegelpeegelduse teel sirgjoonelt y = x .

Naturaallogaritm on defineeritud juures positiivsed väärtused muutuja x . See suureneb monotoonselt oma määratlusvaldkonnas.

Nagu x → 0 naturaallogaritmi piir on miinus lõpmatus ( - ∞ ).

Nagu x → + ∞, on naturaallogaritmi piir pluss lõpmatus ( + ∞ ). Suure x korral suureneb logaritm üsna aeglaselt. Ükskõik milline toitefunktsioon x a positiivse astendajaga a kasvab kiiremini kui logaritm.

Naturaallogaritmi omadused

Määratluspiirkond, väärtuste kogum, äärmused, suurenemine, vähenemine

Naturaallogaritm on monotoonselt kasvav funktsioon, mistõttu sellel pole äärmusi. Naturaallogaritmi peamised omadused on toodud tabelis.

ln x väärtused

log 1 = 0

Naturaallogaritmide põhivalemid

Pöördfunktsiooni definitsioonist tulenevad valemid:

Logaritmide põhiomadus ja selle tagajärjed

Aluse asendamise valem

Mis tahes logaritmi saab väljendada naturaallogaritmides, kasutades baasmuutuse valemit:

Nende valemite tõendid on esitatud jaotises "Logaritm".

Pöördfunktsioon

Naturaallogaritmi pöördväärtus on eksponent.

Kui siis

Kui siis .

Tuletis ln x

Naturaallogaritmi tuletis:
.
Mooduli x naturaallogaritmi tuletis:
.
N-nda järgu tuletis:
.
Valemite tuletamine >>>

Integraalne

Integraal arvutatakse osade kaupa integreerimise teel:
.
Niisiis,

Avaldised kompleksarvude kujul

Vaatleme kompleksmuutuja z funktsiooni:
.
Avaldame kompleksmuutujat z mooduli kaudu r ja argument φ :
.
Kasutades logaritmi omadusi, saame:
.
Või
.
Argument φ ei ​​ole üheselt määratletud. Kui paneme
, kus n on täisarv,
siis on see erinevate n-de jaoks sama arv.

Seetõttu ei ole naturaallogaritm kompleksmuutuja funktsioonina ühe väärtusega funktsioon.

Jõuseeria laiendamine

Laiendus toimub:

Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Matemaatika käsiraamat inseneridele ja kõrgkoolide üliõpilastele, Lan, 2009.

Logaritme, nagu iga arvu, saab igal võimalikul viisil liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid ei ole täpselt tavalised numbrid, siin on reeglid, mida nimetatakse põhiomadused.

Neid reegleid tuleb teada – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmilist ülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.

Logaritmide liitmine ja lahutamine

Vaatleme kahte sama alusega logaritmi: log a x ja logi a y. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:

1. logi a x+logi a y= log a (x · y);
2. logi a x−logi a y= log a (x : y).

Seega on logaritmide summa võrdne korrutise logaritmiga ja erinevus on jagatise logaritm. Märge: võtmehetk siin - samadel alustel. Kui alused on erinevad, siis need reeglid ei tööta!

Need valemid aitavad teil arvutada logaritmi avaldise isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi "Mis on logaritm"). Vaadake näiteid ja vaadake:

log 6 4 + palk 6 9.

Kuna logaritmide alused on samad, kasutame summa valemit:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 2 48 − log 2 3.

Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log 2 48 – log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 3 135 − log 3 5.

Jällegi on alused samad, seega on meil:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei käsitleta. Kuid pärast teisendusi ilmnevad üsna tavalised numbrid. Selle fakti põhjal paljud proovipaberid. Jah, kontroll – sarnaseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord – praktiliselt ilma muudatusteta) pakutakse eksamil.

Astendaja eemaldamine logaritmist

Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Mis siis, kui logaritmi baasis või argumendis on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:

Seda on lihtne näha viimane reegel järgneb kahele esimesele. Kuid parem on see ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.

Muidugi on kõik need reeglid mõttekad, kui järgitakse ODZ logaritmi: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Ja veel üks asi: õppige rakendama kõiki valemeid mitte ainult vasakult paremale, vaid ka vastupidi, s.t. logaritmi endasse saab sisestada arvud enne logaritmi märki. See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 7 49 6 .

Vabaneme argumendi astmest esimese valemi järgi:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

[Joonise pealkiri]

Pange tähele, et nimetaja on logaritm, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Meil on:

Ma arvan, et viimane näide vajab selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga. Nad esitasid seal seisva logaritmi aluse ja argumendi kraadidena ning võtsid välja indikaatorid - nad said “kolmekorruselise” murru.

Vaatame nüüd põhifraktsiooni. Lugejal ja nimetajal on sama arv: log 2 7. Kuna log 2 7 ≠ 0, saame murdosa vähendada - 2/4 jääb nimetajasse. Aritmeetika reeglite järgi saab nelja üle kanda lugejasse, mis ka tehti. Tulemuseks on vastus: 2.

Üleminek uuele vundamendile

Rääkides logaritmide liitmise ja lahutamise reeglitest, rõhutasin konkreetselt, et need töötavad ainult samade alustega. Mis siis, kui alused on erinevad? Mis siis, kui need ei ole sama arvu täpsed astmed?

Appi tulevad valemid uuele baasile üleminekuks. Sõnastame need teoreemi kujul:

Laske logaritmil logida a x. Siis suvalise numbri jaoks c selline, et c> 0 ja c≠ 1, võrdsus on tõene:

[Joonise pealkiri]

Eelkõige, kui paneme c = x, saame:

[Joonise pealkiri]

Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti on võimalik omavahel vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm on nimetajas.

Neid valemeid leidub tavalistes arvavaldistes harva. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata alles otsustamisel logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsused.

Siiski on ülesandeid, mida ei saa üldse lahendada, välja arvatud uuele sihtasutusele kolimine. Vaatleme paari neist:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 5 16 log 2 25.

Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid on täpsed eksponendid. Võtame välja näitajad: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Nüüd pöörame teise logaritmi ümber:

Kuna korrutis tegurite permutatsioonist ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning siis mõtlesime välja logaritmid.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 9 100 lg 3.

Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme näitajatest:

Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:

Põhiline logaritmiline identiteet

Sageli on lahendamise käigus vaja esitada arv antud baasi logaritmina. Sel juhul aitavad meid valemid:

Esimesel juhul number n muutub argumendi eksponendiks. Number n võib olla absoluutselt ükskõik, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.

Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse põhilogaritmiliseks identiteediks.

Tõepoolest, mis saab siis, kui number b tõsta võimule nii et b sel määral annab numbri a? See on õige: see on sama number a. Lugege see lõik uuesti hoolikalt läbi - paljud inimesed ripuvad selle küljes.

Nagu uued baasteisendusvalemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

[Joonise pealkiri]

Pange tähele, et log 25 64 = log 5 8 - lihtsalt võttis ruudu baasist välja ja logaritmi argumendi. Arvestades sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:

Kui keegi pole kursis, siis eksamilt oli see päris ülesanne :)

Logaritmiline ühik ja logaritmiline null

Kokkuvõtteks annan kaks identiteeti, mida on raske omadusteks nimetada – pigem on need logaritmi definitsioonist tulenevad tagajärjed. Neid leitakse pidevalt probleemidest ja üllataval kombel tekitavad nad probleeme isegi "edasijõudnud" õpilastele.

1. logi a a= 1 on logaritmiline ühik. Pidage üks kord meeles: logaritm mis tahes baasile a sellest alusest ise on võrdne ühega.
2. logi a 1 = 0 on logaritmiline null. Alus a võib olla ükskõik, kuid kui argument on üks, on logaritm null! sest a 0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.

See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige tunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.

\(a^(b)=c\) \(\Leftparemnool\) \(\log_(a)(c)=b\)

Selgitame seda lihtsamalt. Näiteks \(\log_(2)(8)\) on võrdne võimsusega \(2\), mida tuleb \(8\) saamiseks suurendada. Sellest on selge, et \(\log_(2)(8)=3\).

Argument ja logaritmi alus

Igal logaritmil on järgmine "anatoomia":

Logaritmi argument kirjutatakse tavaliselt selle tasemel ja alus kirjutatakse alamindeksiga, mis on lähemal logaritmi märgile. Ja seda kirjet loetakse järgmiselt: "kahekümne viie logaritm viie baasini."

Kuidas logaritmi arvutada?

Logaritmi arvutamiseks peate vastama küsimusele: mil määral tuleks argumendi saamiseks baasi tõsta?

Näiteks, arvuta logaritm: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Millise astmeni tuleb \(4\) tõsta, et saada \(16\)? Ilmselgelt teine. Sellepärast:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Millise astmeni tuleb \(\sqrt(5)\) tõsta, et saada \(1\)? Ja mis aste teeb igast arvust ühiku? Null, muidugi!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Millise astmeni tuleb \(\sqrt(7)\) suurendada, et saada \(\sqrt(7)\)? Esimeses - mis tahes arv esimeses astmes võrdub iseendaga.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Millise astmeni tuleb \(3\) tõsta, et saada \(\sqrt(3)\)? Me teame, et see on murdarv ja seetõttu on ruutjuur astme \(\frac(1)(2)\) aste.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Näide : Arvutage logaritm \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Lahendus :

Vastus : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Miks leiutati logaritm?

Selle mõistmiseks lahendame võrrandi: \(3^(x)=9\). Võrdõiguslikkuse toimimiseks tehke lihtsalt vaste \(x\). Muidugi \(x=2\).

Nüüd lahendage võrrand: \(3^(x)=8\. Millega x võrdub? See on asja mõte.

Kõige geniaalsem ütleb: "X on natuke vähem kui kaks." Kuidas see number täpselt kirjutada tuleb? Sellele küsimusele vastamiseks mõtlesid nad välja logaritmi. Tänu temale saab siin vastuse kirjutada kujul \(x=\log_(3)(8)\).

Tahan rõhutada, et \(\log_(3)(8)\), samuti iga logaritm on vaid arv. Jah, see tundub ebatavaline, kuid on lühike. Sest kui me tahtsime seda vormis kirjutada kümnendmurd, siis näeks see välja selline: \(1.892789260714.....\)

Näide : lahendage võrrand \(4^(5x-4)=10\)

Lahendus :

Vastus : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Kümnend- ja naturaallogaritmid

Nagu on öeldud logaritmi definitsioonis, võib selle alus olla mis tahes positiivne arv, välja arvatud üks \((a>0, a\neq1)\). Ja kõigi võimalike aluste hulgas on kaks, mis esinevad nii sageli, et nendega koos olevate logaritmide jaoks leiutati spetsiaalne lühike tähistus:

Naturaalne logaritm: logaritm, mille alus on Euleri arv \(e\) (võrdub ligikaudu \(2,7182818…\)) ja logaritm on kirjutatud kujul \(\ln(a)\).

See on, \(\ln(a)\) on sama mis \(\log_(e)(a)\)

Kümnendlogaritm: Logaritm, mille alus on 10, kirjutatakse \(\lg(a)\).

See on, \(\lg(a)\) on sama mis \(\log_(10)(a)\), kus \(a\) on mingi arv.

Põhiline logaritmiline identiteet

Logaritmidel on palju omadusi. Ühte neist nimetatakse "logaritmiliseks põhiidentiteediks" ja see näeb välja järgmine:

See omadus tuleneb otseselt määratlusest. Vaatame, kuidas see valem täpselt ilmus.

Tuletage meelde logaritmi lühike definitsioon:

kui \(a^(b)=c\), siis \(\log_(a)(c)=b\)

See tähendab, et \(b\) on sama mis \(\log_(a)(c)\). Siis saame valemis \(a^(b)=c\) \(b\) asemel kirjutada \(\log_(a)(c)\) . Selgus \(a^(\log_(a)(c))=c\) - peamine logaritmiline identiteet.

Ülejäänud logaritmide omadused leiate. Nende abiga saate lihtsustada ja arvutada avaldiste väärtusi logaritmidega, mida on raske otse arvutada.

Näide : leidke avaldise \(36^(\log_(6)(5))\) väärtus

Lahendus :

Vastus : \(25\)

Kuidas kirjutada arv logaritmina?

Nagu eespool mainitud, on iga logaritm vaid arv. Tõsi on ka vastupidi: logaritmina saab kirjutada mis tahes arvu. Näiteks teame, et \(\log_(2)(4)\) on võrdne kahega. Siis saab kahe asemel kirjutada \(\log_(2)(4)\).

Kuid \(\log_(3)(9)\) on samuti võrdne \(2\), nii et võite kirjutada ka \(2=\log_(3) (9)\) . Samamoodi \(\log_(5)(25)\) ja \(\log_(9)(81)\) jne. See tähendab, et selgub

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Seega, kui meil on vaja, võime need kaks kirjutada logaritmina mis tahes alusega kõikjal (isegi võrrandisse, isegi avaldisesse, isegi ebavõrdsusse) - me lihtsalt kirjutame ruudukujulise aluse argumendina.

Sama on kolmikuga – selle saab kirjutada \(\log_(2)(8)\) või \(\log_(3)(27)\) või \(\log_(4)( 64) \) ... Siin kirjutame argumendina kuubi aluse:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Ja neljaga:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Ja miinus ühega:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\)\(...\)

Ja ühe kolmandikuga:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Mis tahes arvu \(a\) saab esitada logaritmina alusega \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Näide : avaldise väärtuse leidmine \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Lahendus :

Vastus : \(1\)

Päris hea, eks? Samal ajal kui matemaatikud otsivad sõnu, et anda teile pikk ja keerukas määratlus, vaatame seda lihtsat ja selget definitsiooni lähemalt.

Number e tähendab kasvu

Arv e tähendab pidevat kasvu. Nagu nägime eelmises näites, võimaldab näide meil intressi ja aja siduda: 3 aastat 100% kasvuga on sama, mis 1 aasta 300% juures, tingimusel et "liitintress".

Saate asendada mis tahes protsendi- ja ajaväärtused (50% 4 aasta jooksul), kuid mugavuse huvides on parem määrata protsendiks 100% (selgub, et 2 aasta jooksul on see 100%). 100% juurde liikudes saame keskenduda ainult ajakomponendile:

e x = e protsent * aeg = e 1,0 * aeg = e aeg

Ilmselt tähendab e x:

• kui palju kasvab minu panus x ajaühikuga (eeldades 100% pidevat kasvu).
• näiteks 3 ajaintervalli järel saan e 3 = 20,08 korda rohkem "asju".

e x on skaleerimistegur, mis näitab, millisele tasemele me x ajaperioodi jooksul kasvame.

Naturaalne logaritm tähendab aega

Naturaalne logaritm on e pöördväärtus, selline väljamõeldud termin vastupidise kohta. veidrustest rääkides; ladina keeles nimetatakse seda logarithmus naturali, sellest ka lühend ln.

Ja mida see inversioon või vastupidine tähendab?

• e x võimaldab meil aja sisse lülitada ja kasvu saada.
• Ln(x) võimaldab meil võtta kasvu või sissetuleku ja välja selgitada selle saamiseks kuluva aja.

Näiteks:

• e 3 võrdub 20,08. Kolme aja jooksul on meil 20,08 korda rohkem, kui alustasime.
• ln(20.08) on umbes 3. Kui olete huvitatud 20,08-kordsest kasvust, vajate 3 korda (taaskord, eeldades 100% pidevat kasvu).

Kas sa ikka loed? Naturaallogaritm näitab aega, mis kulub soovitud taseme saavutamiseks.

See mittestandardne logaritmiline loendus

Läbisite logaritmid – see on kummalised olendid. Kuidas neil õnnestus korrutamine liitmiseks muuta? Aga lahutamiseks jagamine? Vaatame.

Millega on ln(1) võrdne? Intuitiivselt on küsimus: kui kaua ma pean ootama, et saada 1 korda rohkem, kui mul on?

Null. Null. Üldse mitte. Sul on see üks kord juba olemas. 1. tasemelt 1. tasemele kasvamine ei võta aega.

• log(1) = 0

Okei, aga murdosa väärtus? Kui kaua läheb aega, et meil oleks 1/2 sellest, mis meil alles on? Teame, et 100% pideva kasvu korral tähendab ln(2) aega, mis kulub kahekordistumiseks. Kui me aega tagasi keerama(st ootame negatiivselt aega), siis saame poole sellest, mis meil on.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Loogiline, eks? Kui läheme tagasi (aega tagasi) 0,693 sekundi võrra, leiame poole olemasolevast summast. Üldiselt võite murdosa ümber pöörata ja võtta negatiivne tähendus: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. See tähendab, et kui minna ajas tagasi 1,09 korda, siis leiame vaid kolmandiku praegusest arvust.

Okei, aga negatiivse arvu logaritm? Kui kaua kulub bakterikoloonia "kasvatamiseks" 1 kuni -3?

See on võimatu! Te ei saa negatiivset bakterite arvu, eks? Võite saada maksimaalse (ah... miinimumi) nulli, kuid te ei saa kuidagi saada negatiivset arvu nendest väikestest olenditest. AT negatiivne arv bakteritel pole lihtsalt mõtet.

• ln(negatiivne arv) = määramata

"Määratlemata" tähendab, et negatiivse väärtuse saamiseks ei pea kaua ootama.

Logaritmiline korrutamine on lihtsalt naljakas

Kui kaua kulub kasvu neljakordistumiseks? Muidugi võite lihtsalt võtta ln(4). Aga see on liiga lihtne, me läheme teist teed.

Võite mõelda neljakordistamisele kui kahekordistamisele (nõuab ln(2) ajaühikut) ja seejärel uuesti kahekordistamist (vaja on veel ln(2) ajaühikut):

• Aeg 4x kasvuni = ln(4) = aeg kahekordistada ja siis uuesti kahekordistada = ln(2) + ln(2)

Huvitav. Mis tahes kasvumäära, näiteks 20, võib kohe pärast 10-kordset suurenemist kahekordistada. Või kasv 4 korda ja siis 5 korda. Või kolmekordistamine ja seejärel 6,666-kordne tõus. Kas näete mustrit?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

A korda B logaritm on log(A) + log(B). See suhe on kohe mõttekas, kui tegutsete kasvu mõttes.

Kui olete huvitatud 30-kordsest kasvust, võite oodata ln(30) ühe korraga või oodata, kuni ln(3) kolmekordistub, ja seejärel veel üks ln(10), mis korrutab kümnega. Lõpptulemus on sama, nii et loomulikult peab aeg jääma konstantseks (ja jääb).

Aga jagunemine? Täpsemalt tähendab ln(5/3): kui kaua võtab aega, et kasvada 5 korda ja siis saada 1/3 sellest?

Suurepärane, tegur 5 on ln(5). 1/3 korda kasvatamiseks kulub -ln(3) ajaühikut. Niisiis,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

See tähendab: lase tal kasvada 5 korda ja siis "mine ajas tagasi" sinnamaani, kus sellest kogusest jääb alles vaid kolmandik, nii saad 5/3 kasvu. Üldiselt selgub

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Loodan, et logaritmide veider aritmeetika hakkab teile aru saama: kasvumäärade korrutamine muutub kasvuajaühikute liitmiseks ja jagamine ajaühikute lahutamiseks. Ärge jätke reegleid pähe, proovige neid mõista.

Loodusliku logaritmi kasutamine meelevaldseks kasvuks

Noh, muidugi, – ütlete – on kõik hea, kui kasv on 100%, aga kuidas on lood selle 5%-ga, mille ma saan?

Pole probleemi. "Aeg", mille me ln() abil arvutame, on tegelikult intressimäära ja aja kombinatsioon, sama X võrrandist e x. Otsustasime lihtsalt lihtsuse huvides protsendimäära 100%, kuid võime vabalt kasutada mis tahes arvu.

Oletame, et tahame saavutada 30-kordset kasvu: võtame ln(30) ja saame 3,4 See tähendab:

• e x = kõrgus
• e 3,4 = 30

Ilmselt tähendab see võrrand "100% tootlus 3,4 aasta jooksul annab 30-kordse kasvu." Selle võrrandi saame kirjutada järgmiselt:

• e x = e kiirus*aeg
• e 100% * 3,4 aastat = 30

Saame muuta "kiiruse" ja "aja" väärtusi seni, kuni kiirus * aeg jääb 3,4. Näiteks kui oleme huvitatud 30-kordsest kasvust, siis kui kaua peame ootama 5% intressimääraga?

• log(30) = 3,4
• määr * aeg = 3,4
• 0,05 * aeg = 3,4
• aeg = 3,4 / 0,05 = 68 aastat

Ma arvan nii: "ln(30) = 3,4, seega kuluks 100% kasvuks 3,4 aastat. Kui ma kasvutempo kahekordistaksin, väheneks kuluv aeg poole võrra."

• 100% 3,4 aastaga = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 200% 1,7 aastaga = 2,0 * 1,7 = 3,4
• 50% 6,8 aastaga = 0,5 * 6,8 = 3,4
• 5% üle 68 aasta = 0,05 * 68 = 3,4 .

See on suurepärane, eks? Naturaallogaritmi saab kasutada mis tahes intressimäära ja ajaga, kui nende korrutis jääb konstantseks. Muutujate väärtusi saate liigutada nii palju kui soovite.

Halb näide: seitsmekümne kahe reegel

Seitsmekümne kahe reegel on matemaatiline tehnika, mis võimaldab teil hinnata, kui kaua kulub teie raha kahekordistumiseks. Nüüd tuletame selle (jah!) Ja pealegi püüame mõista selle olemust.

Kui kaua kulub oma raha kahekordistumiseks 100% intressimääraga, mis kasvab igal aastal?

Op-pa. Pideva kasvu korral kasutasime naturaallogaritmi ja nüüd räägite iga-aastasest kogumisest? Kas see valem ei muutuks selliseks juhtumiks sobimatuks? Jah, see on nii, kuid selliste reaalsete intressimäärade puhul nagu 5%, 6% või isegi 15%, on erinevus iga-aastase intressimäära ja pidevalt kasvava vahel väike. Nii et umbkaudne hinnang töötab, uh, umbkaudu, nii et me teeskleme, et meil on täiesti pidev kogunemine.

Nüüd on küsimus lihtne: kui kiiresti saate 100% kasvuga kahekordistada? ln(2) = 0,693. Koguse kahekordistamiseks jätkuva 100% kasvuga kulub 0,693 ajaühikut (meie puhul aastaid).

Mis siis, kui intressimäär ei ole 100%, vaid oletame, et 5% või 10%?

Lihtsalt! Kuna määr * aeg = 0,693, kahekordistame summa:

• määr * aeg = 0,693
• aeg = 0,693 / määr

Nii et kui kasv on 10%, kulub kahekordistumiseks 0,693 / 0,10 = 6,93 aastat.

Arvutuste lihtsustamiseks korrutame mõlemad osad 100-ga, siis saame öelda "10", mitte "0,10":

• kahekordistamise aeg = 69,3 / panus, kus panust väljendatakse protsentides.

Nüüd on aeg kahekordistada 5%, 69,3 / 5 = 13,86 aastat. 69,3 pole aga just kõige mugavam dividend. Valime lähiarvu 72, mis jagub mugavalt 2, 3, 4, 6, 8 ja teiste arvudega.

• kahekordistamise aeg = 72 / panus

mis on seitsmekümne kahe reegel. Kõik on varjatud.

Kui teil on vaja leida aega kolmekordistamiseks, võite kasutada ln(3) ~ 109.8 ja saada

• kolmekordne aeg = 110 / panus

Mis on teine kasulik reegel. "Reegel 72" kehtib kasvu kohta intressimäärad, populatsiooni kasvu, bakterikultuure ja kõike, mis kasvab eksponentsiaalselt.

Mis järgmiseks?

Loodan, et naturaallogaritm on nüüd teie jaoks mõistlik – see näitab aega, mis kulub mis tahes arvu eksponentsiaalseks kasvamiseks. Ma arvan, et seda nimetatakse loomulikuks, kuna e on universaalne kasvumõõt, nii et seda saab arvestada universaalne viis määrata, kui kaua kulub kasvamiseks.

Iga kord, kui näete ln(x), pidage meeles "aeg, mis kulub x-kordseks kasvamiseks". Tulevas artiklis kirjeldan e-d ja ln-i koosmõjus, et õhku täidaks värske matemaatika aroom.

Komplement: e naturaalne logaritm

Kiire viktoriin: kui palju on ln(e)?

• matemaatikarobot ütleb: kuna need on defineeritud üksteise pöördväärtustena, on ilmne, et ln(e) = 1.
• mõistev inimene: ln(e) on e-kordseks kasvamise arv (umbes 2,718). Arv e ise on aga kasvu mõõt teguriga 1, seega ln(e) = 1.

Mõelge selgelt.