Jõujooned ja potentsiaaliühtluspinnad.

Leiame pinge seose elektrostaatiline väli, mis on tema toitefunktsioon, ja potentsiaal - väljale iseloomulik energia. Kolimistööd vallaline täpselt määrata positiivne laengühest välja punktist teise piki telge X eeldusel, et punktid on üksteisele lõpmatult lähedal ja x 1 – x 2 = dx , võrdub E x dx . Sama töö on võrdne j 1 -j 2 = dj . Võrdsustades mõlemad väljendid, saame kirjutada

kus osatuletise sümbol rõhutab, et eristatakse ainult suhtes X. Sarnase mõttekäigu kordamine y- ja z-telgede kohta , leiame vektori E:

kus i, j, k - koordinaattelgede x, y, z ühikvektorid.

Gradiendi (12,4) ja (12,6) definitsioonist. järgib seda

st väljatugevus E võrdub miinusmärgiga potentsiaalse gradiendiga. Miinusmärgi määrab asjaolu, et väljatugevuse vektor E on suunatud allapoole suunatud suund potentsiaal.

Sest graafiline pilt elektrostaatilise välja potentsiaali jaotused, nagu gravitatsioonivälja puhul (vt § 25), kasutavad ekvipotentsiaalipindu - pindu, mille kõigis punktides on potentsiaal j sama väärtusega.

Kui väli luuakse punktlaengu abil, siis selle potentsiaal vastavalt (84.5)

Seega on ekvipotentsiaalpinnad antud juhul kontsentrilised sfäärid. Teisest küljest on punktlaengu korral pingejooned radiaalsed sirged. Seetõttu pingejooned punktlaengu korral risti ekvipotentsiaalpinnad.

Pingutusjooned alati normaalne potentsiaaliühtlustuspindadele. Tõepoolest, kõigil ekvipotentsiaalpinna punktidel on sama potentsiaal, seega on laengu liigutamine mööda seda pinda null, st laengule mõjuvad elektrostaatilised jõud, alati suunatud piki normaale ekvipotentsiaalpindadele. Seetõttu vektor E on alati normaalne potentsiaaliühtlustuspindade suhtes, ja seetõttu on vektori E sirged nende pindade suhtes ortogonaalsed.

Iga laengu ja iga laengusüsteemi ümber on lõpmatu arv ekvipotentsiaalipindu. Kuid need viiakse tavaliselt läbi nii, et potentsiaalide erinevused mis tahes kahe külgneva potentsiaalivõrdsuspinna vahel on samad. Siis iseloomustab ekvipotentsiaalpindade tihedus selgelt väljatugevust in erinevad punktid. Kui need pinnad on tihedamad, on väljatugevus suurem.

Seega, teades elektrostaatiliste väljatugevusjoonte asukohta, on võimalik konstrueerida ekvipotentsiaalpindu ja vastupidi, teadaolevast ekvipotentsiaalpindade asukohast on võimalik määrata väljatugevuse moodul ja suund igas punktis. valdkonnas. Joonisel fig. 133 on näiteks vaade positiivse punktlaengu (a) väljade pingejoontele (katkendjooned) ja potentsiaaliühtlustusele (pidevad jooned) ning laetud metallsilindrile, mille ühes otsas on eend ja teises süvend. (b).

Väljade visuaalsemaks graafiliseks kujutamiseks kasutatakse lisaks pingejoontele võrdse potentsiaaliga või ekvipotentsiaalipindu. Nagu nimigi ütleb, on ekvipotentsiaalne pind selline, mille kõigil punktidel on sama potentsiaal. Kui potentsiaal on antud funktsioonina x, y, z, siis ekvipotentsiaalipinna võrrand on:

Väljatugevuse jooned on potentsiaaliühtlustuspindadega risti.

Tõestame seda väidet.

Laske sirgel ja jõujoonel moodustada mingi nurk (joonis 1.5).

Liigume mööda katselaengu joont punktist 1 punkti 2. Sel juhul teevad välijõud tööd:

. (1.5)

See tähendab, et katselaengu liigutamine piki potentsiaaliühtlustuspinda on null. Sama tööd saab defineerida ka teisiti - laengu korrutisena katselaengule mõjuva väljatugevuse mooduli, nihke suuruse ning vektori ja nihkevektori vahelise nurga koosinusega, s.o. nurga koosinus (vt joonis 1.5):

Töö väärtus ei sõltu selle arvutamise meetodist, vastavalt (1.5) võrdub see nulliga. See tähendab, et ja vastavalt , mida tuli tõestada.

Potentsiaaliekvivalentsipinna saab tõmmata läbi mis tahes punkti väljal. Seetõttu saab selliseid pindu konstrueerida lõpmatu arv. Leppisime aga kokku, et juhime pinnad nii, et kahe naaberpinna potentsiaalide erinevus oleks igal pool sama. Seejärel saab ekvipotentsiaalpindade tiheduse järgi hinnata väljatugevuse suurust. Tõepoolest, mida tihedamad on ekvipotentsiaalpinnad, seda kiiremini muutuvad potentsiaalid, liikudes piki normaalset pinnale.

Joonisel 1.6,a on kujutatud punktlaengu välja jaoks ekvipotentsiaalpinnad (täpsemalt nende lõikumine joonise tasapinnaga). Vastavalt muutuse olemusele muutuvad ekvipotentsiaalpinnad laengule lähenedes tihedamaks. Joonisel 1.6b on näidatud dipoolvälja ekvipotentsiaalpinnad ja pingejooned. Jooniselt 1.6 on näha, et potentsiaaliühtlustuspindade ja pingejoonte samaaegsel kasutamisel on väljapilt eriti selge.

Ühtlase välja korral kujutavad ekvipotentsiaalpinnad ilmselgelt võrdsete tasandite süsteemi, mis on risti väljatugevuse suunaga.

1.8. Väljatugevuse ja potentsiaali seos

(potentsiaalne gradient)

Olgu suvaline elektrostaatiline väli. Sellel väljal joonistame kaks ekvipotentsiaalipinda nii, et need erinevad üksteisest potentsiaali väärtuse võrra dφ(Joonis 1.7)

Pingevektor on suunatud piki normaalset pinnale. Normaali suund on sama mis x-telje suund. Telg x punktist 1 tõmmatud lõikub pinnaga punktis 2.

Joonelõik dx tähistab lühimat vahemaad punktide 1 ja 2 vahel. Töö, mis tehakse siis, kui laeng liigub mööda seda lõiku:

Teisest küljest võib sama töö kirjutada järgmiselt:

Võrdsustades need kaks väljendit, saame:

kus osatuletise sümbol rõhutab, et diferentseerimine toimub ainult seoses x. Sarnaste arutluste kordamine telgede kohta y ja z, leiame vektori:

, (1.7)

kus on koordinaattelgede ühikvektorid x, y, z.

Avaldisega (1.7) määratletud vektorit nimetatakse skalaargradiendiks φ . Selle jaoks kasutatakse koos tähistusega ka tähist. ("nabla") tähendab sümboolset vektorit, mida nimetatakse Hamiltoni operaatoriks

Väljade graafilist esitust saab koostada mitte ainult pingejoonte, vaid ka potentsiaalse erinevuse abil. Kui kombineerida elektriväli võrdse potentsiaaliga punktid, siis saame võrdse potentsiaaliga pinnad ehk nagu neid nimetatakse ka ekvipotentsiaalpindadeks. Joonise tasapinnaga ristumiskohas annavad potentsiaaliühtluspinnad potentsiaaliühtlustusjooned. Kujutades potentsiaaliühtlustusjooni, mis vastavad erinevad tähendused potentsiaal, saame selge pildi, mis peegeldab seda, kuidas konkreetse valdkonna potentsiaal muutub. Liikumine mööda laengu ekvipotentsiaalpinda ei nõua tööd, kuna kõik välja punktid piki sellist pinda on võrdse potentsiaaliga ja laengule mõjuv jõud on alati liikumisega risti.

Seetõttu on pingejooned alati risti võrdse potentsiaaliga pindadega.

Väljast saab kõige illustreerivama pildi, kui potentsiaaliühtlustusjooned on kujutatud võrdsete potentsiaalimuutustega, näiteks 10 V, 20 V, 30 V jne. Sel juhul on potentsiaali muutumise kiirus pöördvõrdeline külgnevate ekvipotentsiaaljoonte vahelise kaugusega. See tähendab, et ekvipotentsiaaljoonte tihedus on võrdeline väljatugevusega (mida suurem on väljatugevus, seda lähemale jooned tõmmatakse). Teades ekvipotentsiaalijooni, on võimalik konstrueerida vaadeldava välja intensiivsuse jooned ja vastupidi.

Seetõttu on väljade kujutised potentsiaaliühtlustusjoonte ja pingejoonte abil samaväärsed.

Potentsiaaljoonte numeratsioon joonisel

Üsna sageli on joonisel potentsiaaliühtlustusjooned nummerdatud. Potentsiaalide erinevuse näitamiseks joonisel on suvaline joon tähistatud numbriga 0, numbrid 1,2,3 jne paigutatakse kõigi teiste joonte lähedusse. Need numbrid näitavad potentsiaalset erinevust voltides valitud ekvipotentsiaaliliini ja nulliks valitud liini vahel. Samal ajal märgime, et valik null rida pole oluline, sest füüsiline tähendus on ainult kahe pinna potentsiaalide erinevus ja see ei sõltu nulli valikust.

Positiivse laenguga punktlaengu väli

Vaatleme näitena punktlaengu välja, millel on positiivne laeng. Punktlaengu välja jooned on radiaalsed sirged, seetõttu on ekvipotentsiaalpinnad kontsentriliste sfääride süsteem. Väljajooned on igas välja punktis kerade pindadega risti. Ekvipotentsiaalijooned on kontsentrilised ringid. Positiivse laengu korral on joonisel 1 kujutatud potentsiaaliühtlustusjooni. Negatiivse laengu korral on joonisel 2 kujutatud potentsiaaliühtlustusjooni.

Mis ilmneb valemist, mis määrab punktlaengu välja potentsiaali, kui potentsiaal on normaliseeritud lõpmatuseni ($\varphi \left(\infty \right)=0$):

\[\varphi =\frac(1)(4\pi \varepsilon (\varepsilon )_0)\frac(q)(r)\left(1\right).\]

Paralleelsete tasandite süsteem, mis on üksteisest võrdsel kaugusel, on homogeense pinna ekvipotentsiaalpinnad. elektriväli.

Näide 1

Ülesanne: Laengute süsteemi poolt loodud väljapotentsiaal on kujul:

\[\varphi =a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,\]

kus $a,b$ on nullist suuremad konstandid. Millise kujuga on potentsiaaliühtlustuspinnad?

Ekvipotentsiaalpinnad, nagu me teame, on pinnad, mille potentsiaalid on mis tahes punktis võrdsed. Teades ülaltoodut, uurime võrrandit, mis on ülesande tingimustes välja pakutud. Jagage võrrandi $=a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,$ parem ja vasak pool $\varphi $-ga, saame:

\[(\frac(a)(\varphi )x)^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2+\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \left( 1.1\paremal).\]

Kirjutame võrrandi (1.1) kanoonilisel kujul:

\[\frac(x^2)((\left(\sqrt(\frac(\varphi)(a))\right))^2)+\frac(y^2)((\left(\sqrt( \frac(\varphi )(a))\right))^2)+\frac(z^2)((\left(\sqrt(\frac(\varphi )(b))\right))^2) =1\ (1,2)\]

Võrrand $(1.2)\ $ näitab, et antud joonis on pöördeellipsoid. Selle telje võllid

\[\sqrt(\frac(\varphi)(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(b)).\]

Vastus: antud välja ekvipotentsiaalipind on pooltelgedega pöördeellipsoid ($\sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt (\frac( \varphi )(b))$).

Näide 2

Ülesanne: väljapotentsiaal on järgmisel kujul:

\[\varphi =a\left(x^2+y^2\right)-bz^2,\]

kus $a,b$ -- $const$ on suurem kui null. Mis on ekvipotentsiaalpinnad?

Mõelge juhtumile, kui $\varphi >0$. Toome ülesande tingimustes antud võrrandi kanoonilisele kujule, selleks jagame mõlemad võrrandi osad $\varphi ,$-ga saame:

\[\frac(a)(\varphi )x^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2-\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \left(2.1\ õige).\]

\[\frac(x^2)(\frac(\varphi )(a))+\frac(y^2)(\frac(\varphi)(a))-\frac(z^2)(\frac (\varphi )(b))=1\ \left(2,2\right).\]

Punktis (2.2) oleme saanud ühelehelise hüperboloidi kanoonilise võrrandi. Selle poolteljed on ($\sqrt(\frac(\varphi )(a))\left(real\ semiaxis\right),\ \sqrt(\frac(\varphi )(a))\left(real\ semiaxis\right ),\ \sqrt(\frac(\varphi )(b))(imaginary\ semiaxis)$).

Mõelge juhtumile, kus $\varphi

Esitame $\varphi =-\left|\varphi \right|$ Taandame ülesande tingimustes antud võrrandi kanooniliseks vormiks, selleks jagame mõlemad võrrandi osad miinus mooduliga $\varphi ,$ saame:

Kirjutame võrrandi (1.1) ümber järgmisel kujul:

Oleme saanud kahelehelise hüperboloidi kanoonilise võrrandi, selle pooltelje:

Mõelge juhtumile, kui $\varphi =0.$ Siis on väljavõrrandil järgmine vorm:

Kirjutame võrrandi (2.5) ümber järgmisel kujul:

\[\frac(x^2)((\left(\frac(1)(\sqrt(a))\right))^2)+\frac(y^2)((\left(\frac(1) )(\sqrt(a))\right))^2)-\frac(z^2)((\left(\frac(1)(\sqrt(b))\right))^2)=0\ vasak(2,6\parem).\]

Saime parempoolse ringkoonuse kanoonilise võrrandi, mis põhineb pooltelgedega $(\frac(\sqrt(b))(\sqrt(a))$;$\ \frac(\sqrt(b))(\ sqrt(a ))$).

Vastus: Antud potentsiaalvõrrandi ekvipotentsiaalpindadena saime: $\varphi >0$ jaoks - üheleheline hüperboloid, $\varphi jaoks

Potentsiaalide võrdsuspind ekvipotentsiaalne pind

pind, mille kõigil punktidel on sama potentsiaal. Potentsiaalide ekvipotentsiaalpind on väljajoonte suhtes ortogonaalne. Elektrostaatikas oleva juhi pind on potentsiaaliühtluspind.

ekvipotentsiaalne pind

ekvipotentsiaalpind, pind, mille kõigis punktides on potentsiaal (cm. POTENTSIAAL (füüsikas)) elektriväljal on sama väärtus j= const. Tasapinnal on need pinnad ekvipotentsiaalivälja jooned. Kasutatakse potentsiaalse jaotuse graafiliseks kuvamiseks.
Potentsiaaliühtlustuspinnad on suletud ega ristu. Potentsiaalpindade kujutis viiakse läbi nii, et külgnevate potentsiaalivõrdsuspindade potentsiaalide erinevused on samad. Sel juhul on väljatugevus suurem nendes piirkondades, kus ekvipotentsiaalpindade jooned on tihedamad.
Ekvipotentsiaalpinna mis tahes kahe punkti vahel on potentsiaalide erinevus null. See tähendab, et jõuvektor laengu trajektoori mis tahes punktis piki ekvipotentsiaalpinda on kiirusvektoriga risti. Seetõttu pingeliinid (cm. ELEKTRIVÄLJA TUGEVUS) elektrostaatilised väljad on potentsiaaliühtlustuspinnaga risti. Teisisõnu: ekvipotentsiaalne pind on jõujoontega ortogonaalne (cm. ELEKTRILIINID) välja ning elektrivälja tugevuse vektor E on alati risti potentsiaaliühtlustuspindadega ja on alati suunatud potentsiaali vähenemise suunas. Elektrivälja jõudude töö laengu mis tahes liikumisel piki potentsiaaliühtlustuspinda on null, kuna?j = 0.
Punktelektrilaengu välja ekvipotentsiaalpinnad on sfäärid, mille keskel laeng paikneb. Ühtlase elektrivälja ekvipotentsiaalpinnad on pingejoontega risti asetsevad tasapinnad. Elektrostaatilises väljas oleva juhi pind on ekvipotentsiaalne pind.

entsüklopeediline sõnaraamat. 2009 .

Vaadake, mis on "ekvipotentsiaalpind" teistes sõnaraamatutes:

Pind, mille kõigil punktidel on sama potentsiaal. Potentsiaalide ekvipotentsiaalpind on väljajoonte suhtes ortogonaalne. Juhi pind elektrostaatilises on potentsiaalivõrdus... Suur entsüklopeediline sõnaraamat

Pind, kõigil sülemi punktidel on sama potentsiaal. Näiteks juhi pind elektrostaatikas E. lk Füüsikaline entsüklopeediline sõnaraamat. Moskva: Nõukogude entsüklopeedia. Peatoimetaja A. M. Prohhorov. 1983... Füüsiline entsüklopeedia

ekvipotentsiaalne pind- - [Ja.N. Luginski, M.S. Fezi Žilinskaja, Ju.S. Kabirov. English Russian Dictionary of Electrical Engineering and Power Engineering, Moskva, 1999] Elektrotehnika teemad, põhimõisted EN võrdse potentsiaali pind võrdse energia pinnaekvipotentsiaal ... ... Tehnilise tõlkija käsiraamat

Elektrilise dipooli ekvipotentsiaalpinnad (pimedas on nende ristlõiked joonise tasapinnal; värv annab tinglikult edasi potentsiaali väärtust erinevates punktides, suurimad väärtused on lilla ja punane, n ... Vikipeedia

ekvipotentsiaalne pind- vienodo potencialo paviršius statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. ekvipotentsiaalpinna vok. Äquipotentialfläche, f rus. ekvipotentsiaalpind, fpranc. pinna depotentsiaalkonstant, f; pind d'égal potentiel, f; pind… … Fizikos terminų žodynas

Võrdse potentsiaaliga pind, mille kõigil punktidel on sama potentsiaal. Näiteks juhi pind elektrostaatikas E. p. Jõuväljas on jõujooned normaalsed (risti) E. p ... Suur nõukogude entsüklopeedia

- (lat. aequus võrdne ja potentsiaalne) geom. punktide koht väljal, silmale vastab samale potentsiaali väärtusele. E. p. on jõujoontega risti. Ekvipotentsiaal on näiteks juhi pind elektrostaatilises ... ... Suur entsüklopeediline polütehniline sõnaraamat

TÖÖ TEOREETILISED ALUSED.

Elektrilise osa tugevuse ja elektripotentsiaali vahel on lahutamatu ja diferentsiaalne seos:

j 1 - j 2 = ∫ E dl (1)

E=-grad j (2)

Graafiliselt saab elektrivälja kujutada kahel viisil, teineteist täiendades: kasutades potentsiaaliühtlustuspindu ja pingejooni (jõujooni).

Pinda, mille kõigil punktidel on sama potentsiaal, nimetatakse ekvipotentsiaalpinnaks. Selle lõikumisjoont joonise tasapinnaga nimetatakse ekvipotentsiaaliks. Jõujooned - sirged, puutujad, mille igas punktis langevad kokku vektori suunaga E . Joonisel 1 näitavad punktiirjooned ekvipotentsiaale, pidevad jooned elektrivälja jõujooni.

Joonis 1

Punktide 1 ja 2 potentsiaalide erinevus on 0, kuna need on samal ekvipotentsiaalil. Sel juhul alates (1):

∫E dl = 0 või ∫E dlcos ( Edl ) = 0 (3)

Kuna E ja dl avaldises (3) ei ole 0, siis cos ( Edl ) = 0 . Seetõttu on nurk ekvipotentsiaali ja väljajoone vahel p/2.

Diferentsiaalseost (2) järeldub, et jõujooned on alati suunatud potentsiaali vähenemise suunas.

Elektrivälja tugevuse suuruse määrab jõujoonte "paksus". Mida paksemad on jõujooned, seda väiksem on kaugus ekvipotentsiaalide vahel, nii et jõu- ja ekvipotentsiaalijooned moodustavad "kõverjoonelisi ruute". Nendele põhimõtetele tuginedes on võimalik konstrueerida pilt jõujoontest, omades pilti ekvipotentsiaalidest ja vastupidi.

Välja ekvipotentsiaalide üsna täielik pilt võimaldab erinevates punktides arvutada tugevusvektori projektsiooni väärtust E valitud suunas X , mis on keskmistatud koordinaadi teatud intervalli kohta ∆х :

E vrd. ∆х = - ∆ j /∆х,

kus ∆х - koordinaatide juurdekasv ühelt ekvipotentsiaalilt teisele liikumisel,

∆ j - vastav potentsiaali suurenemine,

E vrd. ∆х - tähendab E x kahe potentsiaali vahel.

PAIGALDUS- JA MÕÕTMISTEHNIKA KIRJELDUS.

Elektrivälja modelleerimiseks on mugav kasutada analoogiat, mis eksisteerib laetud kehade tekitatud elektrivälja ja elektrivälja vahel alalisvool voolab läbi ühtlase juhtivusega juhtiva kile. Sel juhul osutub elektrivälja jõujoonte asukoht sarnaseks elektrivoolude joonte asukohaga.

Sama väide kehtib ka potentsiaalide kohta. Väljapotentsiaalide jaotus juhtivas kiles on sama, mis elektriväljas vaakumis.

Juhtiva kilena kasutatakse töös igas suunas ühesuguse juhtivusega elektrit juhtivat paberit.

Elektroodid asetatakse paberile nii, et iga elektroodi ja juhtiva paberi vahel oleks hea kontakt.

Paigalduse tööskeem on näidatud joonisel 2. Installatsioon koosneb moodulist II, kaugelemendist I, indikaatorist III, toiteallikast IV. Moodulit kasutatakse kõigi kasutatud seadmete ühendamiseks. Kaugelemendiks on dielektriline paneel 1, millele asetatakse valge paberileht 2, selle peale asetatakse süsinikpaberi leht 3, seejärel elektrit juhtiva paberi leht 4, millele on kinnitatud elektroodid 5. Pinge on toidetakse elektroodidele moodulist II, kasutades ühendusjuhtmeid. Indikaator III ja sondi 6 kasutatakse elektrit juhtiva paberi pinnal olevate punktide potentsiaalide määramiseks.

Sondina kasutatakse juhet, mille otsas on pistik. potentsiaal j sond on võrdne elektrit juhtiva paberi pinnal oleva punkti potentsiaaliga, mida see puudutab. Sama potentsiaaliga väljapunktide kogum on välja ekvipotentsiaali kujutis. Toiteplokki IV kasutatakse toiteallikana TES-42, mis ühendatakse mooduliga mooduli tagaseinal oleva pistikühenduse abil. Indikaatorina Ш kasutatakse voltmeetrit V7 - 38.

TÖÖDE TEOSTAMISE KORD.

1. Asetage paneelile 1 valge paberileht 2. Asetage sellele kopeerpaber 3 ja juhtiv paberileht 4 (joonis 2).

2. Paigaldage elektroodid 5 elektrit juhtivale paberile ja kinnitage mutritega.

3. Ühendage toiteplokk IV (TEC-42) mooduliga, kasutades mooduli tagaseinal olevat pistikühendust.

4. Ühendage kahe juhtme abil indikaator III (V7-38 voltmeeter) mooduli esipaneelil olevate "PV" pesadega. Alalispinge mõõtmiseks vajutage voltmeetril vastavat nuppu (joonis 2).

5. Kahe juhtme abil ühendage elektroodid 5 mooduliga P.

6. Ühendage sond (kahe pistikuga juhe) mooduli esipaneeli pistikupessa.

7. Ühendage alus 220 V võrku Lülitage aluse üldine toide sisse.