Potentsiaaliekvivalentsipinnad ja elektrostaatilised jõujooned. Ekvipotentsiaalpinnad

Ekvipotentsiaalpinnad need on pinnad, igal punktil, millel on sama potentsiaal. See tähendab, et ekvipotentsiaalpinnal on elektripotentsiaal konstantse väärtusega. Selline pind on juhtide pind, kuna nende potentsiaal on sama.

Kujutage ette sellist pinda, mille kahe punkti potentsiaalide erinevus on võrdne nulliga. See on potentsiaaliühtlustuspind. Sest sellel on sama potentsiaal. Kui arvestame potentsiaaliühtlustuspinda kahemõõtmelises ruumis, oletame joonisel, siis on sellel joone kuju. Jõude töö elektriväli elektrilaengu liikumisel piki seda joont võrdub nulliga.

Potentsiaalpindade üks omadusi on see, et need on alati väljajoontega risti. Seda omadust saab sõnastada ja vastupidi. Igasugust pinda, mis on kõigis punktides risti elektrivälja jõujoontega, nimetatakse ekvipotentsiaalpinnaks.

Samuti ei ristu sellised pinnad kunagi üksteisega. Kuna see tähendaks sama pinna piires potentsiaali erinevust, mis on definitsiooniga vastuolus. Samuti on need alati suletud. Võrdse potentsiaaliga pinnad ei saa alata ja minna lõpmatuseni ilma selgete piirideta.

Reeglina ei pea joonised kujutama kogu pinda. Kujutage sagedamini potentsiaaliühtlustuspindadega risti olevat lõiget. Seega degenereeruvad nad joonteks. See osutub selle välja leviku hindamiseks täiesti piisavaks. Graafiliselt kujutades asetsevad pinnad sama intervalliga. See tähendab, et kahe külgneva pinna vahel täheldatakse sama sammu, oletame, et üks volt. Seejärel saab ekvipotentsiaalpindade lõikest moodustatud joonte tiheduse järgi hinnata elektrivälja tugevust.

Mõelgem näiteks punktelektrilaengu tekitatud väljale. Sellise välja jõujooned on radiaalsed. See tähendab, et nad algavad laengu keskpunktist ja lähevad lõpmatuseni, kui laeng on positiivne. Või suunatud laengule, kui see on negatiivne. Sellise välja ekvipotentsiaalipinnad on laengu keskmes ja sellest lahknevate kerade kujul. Kui kujutame kahemõõtmelist lõiku, siis on potentsiaalivõrdsusjooned kontsentriliste ringidena, mille keskpunkt asub samuti laengus.

Joonis 1 - punktlaengu ekvipotentsiaalijooned

Ühtse välja puhul, nagu näiteks elektrikondensaatori plaatide vaheline väli, on võrdse potentsiaaliga pinnad tasapinnalised. Need tasapinnad on üksteisega paralleelsed samal kaugusel. Tõsi, plaatide servades jääb väljamuster servaefekti tõttu moonutatud. Kuid me kujutame ette, et taldrikud on lõpmata pikad.

Joonis 2 - ekvipotentsiaaliliinid homogeenne väli

Kahe suuruselt võrdse ja märgiliselt vastandliku laengu tekitatud välja ekvipotentsiaalijoonte kujutamiseks ei piisa superpositsiooni põhimõtte rakendamisest. Kuna sel juhul, kui kaks punktlaengute kujutist on üksteise peale asetatud, on väljajoonte lõikepunktid. Aga see ei saa olla, sest välja ei saa korraga kahes erinevas suunas suunata. Sel juhul tuleb probleem lahendada analüütiliselt.

Joonis 3 – pilt kahe elektrilaengu väljast

> Ekvipotentsiaalliinid

Omadused ja omadused ekvipotentsiaali pinnajooned: välja elektripotentsiaali olek, staatiline tasakaal, punktlaengu valem.

Ekvipotentsiaalliinid väljad on ühemõõtmelised piirkonnad, kus elektripotentsiaal jääb muutumatuks.

Õppeülesanne

• Iseloomustage potentsiaaliühtlustusjoonte kuju mitme laengukonfiguratsiooni jaoks.

Võtmepunktid

• Konkreetse isoleeritud punktlaengu puhul põhineb potentsiaal radiaalsel kaugusel. Seetõttu on potentsiaaliühtlustusjooned ümarad.
• Kui kokkupuutes on mitu diskreetset laengut, siis nende väljad ristuvad ja näitavad potentsiaali. Selle tulemusena on potentsiaaliühtlustusjooned viltu.
• Kui laengud jaotuvad staatilises tasakaalus kahe juhtiva plaadi vahel, on potentsiaaliühtlustusjooned peaaegu sirged.

Tingimused

• Ekvipotentsiaal - lõik, kus igal punktil on üks potentsiaal.
• Staatiline tasakaal - füüsiline seisund, kus kõik komponendid on puhkeasendis ja netojõud on võrdne nulliga.

Ekvipotentsiaalijooned näitavad ühemõõtmelisi alasid, kus elektripotentsiaal jääb muutumatuks. See tähendab, et sellise laengu jaoks (ükskõik, kus see potentsiaaliühtlustusjoonel on) ei ole vaja teha tööd, et liikuda ühest punktist teise konkreetse joone sees.

Potentsiaaliühtlustuspinna jooned võivad olla sirged, kõverad või ebakorrapärased. Kõik see põhineb tasude jaotusel. Need paiknevad radiaalselt ümber laetud keha, seega jäävad nad elektrivälja joontega risti.

ühe punkti tasu

Ühepunktilise laengu potentsiaalne valem on järgmine:

Siin täheldatakse radiaalset sõltuvust, see tähendab, et sõltumata punktlaengu kaugusest jääb potentsiaal muutumatuks. Seetõttu võtavad ekvipotentsiaaliliinid ümara kujuga punktlaenguga keskel.

Eraldatud punktlaeng elektrivälja joontega (sinine) ja potentsiaaliühtlustusjoontega (roheline)

Mitu tasu

Kui mitu diskreetset laengut puutuvad kokku, siis näeme, kuidas nende väljad kattuvad. See kattumine põhjustab potentsiaali kombineerimist ja potentsiaaliühtlustusjoonte viltu.

Kui esineb mitu laengut, moodustuvad potentsiaaliühtlustusjooned ebakorrapäraselt. Laengutevahelises punktis suudab juhtseade tajuda mõlema laengu mõju.

pidev laadimine

Kui laengud paiknevad kahel juhtival plaadil staatilises tasakaalus, kus laengud ei katke ja on sirgel, siis potentsiaaliühtlustusjooned sirgendatakse. Fakt on see, et laengute järjepidevus põhjustab igal hetkel pidevaid toiminguid.

Kui laengud on tõmmatud joonele ja neil puuduvad katkestused, lähevad potentsiaaliühtlustusjooned otse nende ette. Erandina võime meenutada vaid painutust juhtivate plaatide servade lähedal

Järjepidevus katkeb plaatide otstele lähemale, mille tõttu nendes piirkondades tekib kumerus - servaefekt.

Vektorväljade visuaalseks kujutamiseks kasutatakse jõujoonte mustrit. Jõujoon on kujuteldav matemaatiline kõver ruumis, mille puutuja suund igas punkt, mida see läbib, langeb kokku vektori suunaga väljad samas kohas(Joon. 1.17).
Riis. 1.17:
Vektori E → ja puutuja paralleelsuse tingimuse saab kirjutada võrdseks nulliga vektorprodukt E → ja kaareelement d r → väljajoon:

Ekvipotentsiaal on pind mis on elektripotentsiaali konstantne väärtusφ . Punktlaengu väljal, nagu on näidatud joonisel fig. , sfäärilised pinnad, mille keskpunktid on laengu asukohas, on ekvipotentsiaalsed; seda võib näha võrrandist ϕ = q ∕ r = const .

Elektriliste jõujoonte ja potentsiaalivõrdsuspindade geomeetriat analüüsides saab määrata jada ühised omadused elektrostaatilise välja geomeetria.

Esiteks algavad jõujooned laengutest. Need lähevad kas lõpmatuseni või satuvad muudele laengutele, nagu joonisel fig. .

Teiseks ei saa potentsiaaliväljas jõujooni sulgeda. Vastasel juhul oleks võimalik näidata nii suletud ahelat, et elektrivälja töö laengu liigutamisel mööda seda ahelat ei võrdu nulliga.

Kolmandaks, jõujooned lõikuvad mis tahes ekvipotentsiaali piki selle normaalset. Tõesti, elektriväli kõikjal on suunatud potentsiaali kiireima kahanemise suunas ja ekvipotentsiaalpinnal on potentsiaal definitsiooni järgi konstantne (joonis ).
Riis. 1.20 :
Ja lõpuks, jõujooned ei lõiku kuskil, välja arvatud punktid, kus E → = 0 . Väljajoonte ristumiskoht tähendab, et lõikepunktis olev väli on koordinaatide mitmetähenduslik funktsioon ja vektoril E → puudub kindel suund. Ainus vektor, millel on see omadus, on nullvektor. Nullpunkti lähedase elektrivälja struktuuri analüüsitakse ülesannetes ?? .

Jõujoonte meetod on loomulikult rakendatav mis tahes vektorväljade graafilisel kujutamisel. Niisiis, peatükis me kohtume magnetiliste jõujoonte mõistega. Siiski geomeetria magnetväli täiesti erinev elektrivälja geomeetriast.

Riis. 1.21:
Jõujoonte mõiste on tihedalt seotud jõutoru mõistega. Võtame suvalise suletud ahela L ja tõmbame selle iga punkti läbi elektrilise jõujoone (joonis ). Need jooned moodustavad jõutoru. Vaatleme suvalist toru lõiku pinna S poolt. Joonistame positiivse normaaljoone samas suunas, kuhu jõujooned on suunatud. Olgu N vektori E → voog läbi lõigu S . On hästi näha, et kui toru sees ei ole elektrilaenguid, siis voog N jääb kogu toru pikkuses samaks. Selle tõestamiseks peame võtma veel ühe ristlõike S ′. Gaussi teoreemi kohaselt on elektrivälja vool läbi suletud pinna, mida piirab toru külgpind ja lõigud S , S ′ võrdne nulliga, kuna jõutoru sees ei ole elektrilaenguid. läbi voolata külgpind on null, kuna vektor E → puudutab seda pinda. Seetõttu on läbilõike S ′ läbiv vool arvuliselt võrdne N , kuid märgilt vastupidine. Selle lõigu suletud pinna välimine normaal on suunatud vastassuunas n → . Kui suuname normaalse samas suunas, siis kattuvad voolud läbi lõikude S ja S ′ nii suuruselt kui ka märgiliselt. Eelkõige juhul, kui toru on lõpmata õhuke ja lõigud S ja S′ on selle suhtes normaalsed, siis

E S = E′ S′ .

Selgub täielik analoogia kokkusurumatu vedeliku vooluga. Seal, kus toru on õhem, on väli E → tugevam. Nendes kohtades, kus see on laiem, on väli E → tugevam. Seetõttu saab elektrivälja tugevust hinnata jõujoonte tiheduse järgi.

Enne arvutite leiutamist võeti väljajoonte eksperimentaalseks reprodutseerimiseks lameda põhjaga klaasnõu ja valati sinna mittejuhtiv vedelik, näiteks kastoorõli või glütseriin. Vedelikusse segati ühtlaselt kipsi, asbesti või muude piklike osakeste pulbrilised kristallid. Metallelektroodid sukeldati vedelikku. Elektriallikatega ühendatuna ergastasid elektroodid elektrivälja. Selles väljas on osakesed elektrifitseeritud ja, olles üksteise külge tõmbunud vastandlike elektrifitseeritud otstega, on paigutatud ahelate kujul piki jõujooni. Väljajoonte pilti moonutavad ebahomogeenses elektriväljas sellele mõjuvad jõud tekitatud vedelikuvoolud.

Tuleb veel teha
Riis. 1.22:
Parimad tulemused saadakse Robert W. Pohli (1884-1976) kasutatud meetodil. Teraselektroodid liimitakse klaasplaadile, mille vahele tekib elektripinge. Seejärel valatakse plaadile piklikud osakesed, näiteks kipsikristallid, kergelt koputades. Need asuvad piki seda jõujoont mööda. Joonisel fig. ?? kujutatakse sel viisil saadud väljajoonte pilti kahe vastandliku laenguga staniooli ringi vahel.

▸ Ülesanne 9.1

Kirjutage väljajoonte võrrand suvalises ortogonaalis koordinaadid.

▸ Ülesanne 9.2

Kirjutage üles jõujoonte võrrand sfäärilistes koordinaatides.

Elektrostaatilist välja saab iseloomustada jõu- ja potentsiaaliühtlustusjoonte kombinatsiooniga.

jõujoon - see on väljale mõtteliselt tõmmatud joon, mis algab positiivselt laetud kehal ja lõpeb negatiivselt laetud kehal, tõmmatud nii, et selle puutuja mis tahes välja punktis annab pinge suuna selles punktis.

Jõujooned sulguvad positiivsetel ja negatiivsetel laengutel ega saa sulguda ise.

Under ekvipotentsiaalne pind mõista välja punktide komplekti, millel on sama potentsiaal ().

Kui elektrostaatiline väli lõigatakse lõiketasapinnaga, siis on lõigus nähtavad tasandi ja potentsiaalivõrdsuspindade ristumisjäljed. Neid jälgi nimetatakse potentsiaaliühtlustusjoonteks.

Potentsiaalide võrdsusliinid on enda jaoks suletud.

Jõu- ja potentsiaaliühtlustusjooned ristuvad täisnurga all.

R
Mõelge ekvipotentsiaalpinnale:

(kuna punktid asuvad ekvipotentsiaalipinnal).

- skalaarkorrutis

Elektrostaatilise väljatugevuse jooned läbivad potentsiaaliühtlustuspinda 90 0 nurga all, seejärel vektorite vahelise nurga all.
on 90 kraadi ja nende punktkorrutis on 0.

Potentsiaaljoone võrrand

Mõelge jõujoonele:

H
elektrostaatilise välja tugevus on suunatud tangentsiaalselt jõujoonele (vt väljajoone definitsiooni), samuti on suunatud teeelement , seega on nende kahe vektori vaheline nurk null.

või

Väljajoone võrrand

Gradiendi läbilaskevõime

Gradiendi läbilaskevõime on potentsiaalse kasvu kiirus lühimas suunas kahe punkti vahel.

Kahe punkti vahel on teatav potentsiaalne erinevus. Kui see erinevus jagada võetud punktide vahelise lühema vahemaaga, siis saadud väärtus iseloomustab potentsiaali muutumise kiirust punktide vahelise lühima vahemaa suunas.

Potentsiaaligradient näitab potentsiaali suurima kasvu suunda, on arvuliselt võrdne intensiivsusmooduliga ja on selle suhtes negatiivselt suunatud.

Gradiendi määratlemisel on olulised kaks punkti:

Kahe lähedalasuva punkti võtmise suund peaks olema selline, et muutuse kiirus oleks maksimaalne.

Suund on selline skalaarfunktsioon suureneb selles suunas.

Descartes'i koordinaatsüsteemi jaoks:

Potentsiaali muutumise kiirus X-, Y-, Z-telje suunas:

;
;

Kaks vektorit on võrdsed ainult siis, kui nende projektsioonid on üksteisega võrdsed. Pingevektori projektsioon teljel X võrdub potentsiaalse muutuse kiiruse projektsiooniga piki telge X võetud vastupidise märgiga. Samamoodi telgede puhul Y ja Z.

;
;
.

Silindrilises koordinaatsüsteemis on potentsiaalse gradiendi avaldis järgmine vorm.

Pinge ja potentsiaali seos.

Potentsiaalse välja jaoks potentsiaalse (konservatiivse) jõu ja vahel potentsiaalne energia seos on olemas

kus ("nabla") on Hamiltoni operaator.

Kuna siis

Miinusmärk näitab, et vektor E on suunatud potentsiaali vähenemise suunas.

Sest graafiline pilt potentsiaalijaotusi kasutatakse ekvipotentsiaalpinnad - pinnad, mille kõikides punktides on potentsiaal sama väärtusega.

Potentsiaaliekvivalentsi pinnad teostatakse tavaliselt nii, et kahe külgneva potentsiaalivõrdsuspinna potentsiaalide erinevused on samad. Siis iseloomustab ekvipotentsiaalpindade tihedus selgelt väljatugevust in erinevad punktid. Kui need pinnad on tihedamad, on väljatugevus suurem. Punktiirjoon joonisel näitab jõujooni, pidevad jooned näitavad ekvipotentsiaalpindade lõike: positiivne punktlaeng (a), dipool (b), kaks samalaadset laengut (c), laetud metalljuht keeruline konfiguratsioon(G).

Punkti eest potentsiaali seetõttu on ekvipotentsiaalpinnad kontsentrilised sfäärid. Teisest küljest on pingejooned radiaalsed sirgjooned. Seetõttu on pingejooned potentsiaalivõrdsuspindadega risti.

Saab näidata, et kõigil juhtudel on vektor E risti potentsiaaliühtlustuspindadega ja on alati suunatud potentsiaali vähenemise suunas.

Näited olulisemate sümmeetriliste elektrostaatiliste väljade arvutamisest vaakumis.

1. Elektrilise dipooli elektrostaatiline väli vaakumis.

Elektridipool (või topeltelektripoolus) on süsteem kahest absoluutväärtuselt võrdsest vastassuunalisest punktlaengust (+q, -q), mille vaheline kaugus l on palju väiksem kui kaugus vaadeldavate välja punktideni (l).<< r).

Dipoolõlg l on vektor, mis on suunatud piki dipooli telge negatiivsest laengust positiivsele ja võrdub nendevahelise kaugusega.

Dipooli elektrimoment re on vektor, mis ühtib suunaliselt dipooli haruga ja võrdub laengumooduli korrutisega |q| õlg I:

Olgu r kaugus punktini A dipooltelje keskpunktist. Siis, arvestades seda

2) Väljatugevus punktis B risti dipooli telje suhtes taastatud selle keskpunktist

Punkt B on dipooli laengutest +q ja -q võrdsel kaugusel, seega on väljapotentsiaal punktis B null. Vektor Yb on suunatud vektori l vastassuunas.

3) Välises elektriväljas mõjub dipooli otstele jõupaar, mis kipub dipooli pöörama nii, et dipooli elektrimoment pöördub piki välja E suunda (joon (a). )).

Välises ühtlases väljas on jõupaari moment võrdne M = qElsin a või Välises ebahomogeenses väljas (joonis (c)) ei ole dipooli otstele mõjuvad jõud samad ja nende resultant kaldub nihutama dipooli suurema intensiivsusega välja piirkonda - dipool tõmmatakse tugevama välja piirkonda.

2. Ühtlaselt laetud lõpmatu tasandi väli.

Konstantse pinnatihedusega laetud lõpmatu tasand Pingutusjooned on vaadeldava tasandiga risti ja suunatud sellelt mõlemas suunas.

Gaussi pinnana võtame silindri pinna, mille generaatorid on laetud tasapinnaga risti ning alused on paralleelsed laetud tasandiga ja asuvad selle vastaskülgedel võrdsel kaugusel.

Kuna silindri generaatorid on paralleelsed tõmbejoontega, on pingevektori vool läbi silindri külgpinna võrdne nulliga ja silindrit läbiv koguvool on võrdne selle aluste voolude summaga. 2ES. Silindri sees olev laeng on . Gaussi teoreemi järgi kus:

E ei sõltu silindri pikkusest, st. väljatugevus igal kaugusel on absoluutväärtuses sama. Sellist välja nimetatakse homogeenseks.

Tasapinnast x1 ja x2 kaugusel asuvate punktide potentsiaalide erinevus on võrdne

3. Kahe lõpmatu paralleelse vastaslaenguga tasandi väli, mille absoluutväärtuses on võrdsed pinnalaengutihedused σ>0 ja - σ.

Eelmisest näitest järeldub, et esimese ja teise tasandi intensiivsusvektorid E 1 ja E 2 on absoluutväärtuselt võrdsed ja suunatud kõikjale tasanditega risti. Seetõttu kompenseerivad need tasanditest väljaspool asuvas ruumis üksteist ja tasanditevahelises ruumis kogu pinge . Seega lennukite vahel

(dielektrilises.).

Tasapindadevaheline väli on ühtlane. Võimalik erinevus lennukite vahel.
(dielektrilises ).

4. Ühtlaselt laetud sfäärilise pinna väli.

Sfääriline pind raadiusega R kogulaenguga q on ühtlaselt laetud pinnatihedusega

Kuna laengute süsteem ja sellest tulenevalt ka väli ise on sfääri keskpunkti suhtes tsentraalselt sümmeetriline, on pingejooned suunatud radiaalselt.

Gaussi pinnaks valime raadiusega r sfääri, millel on ühine kese laetud sfääriga. Kui r>R, siis kogu laeng q satub pinna sisse. Gaussi teoreemi järgi, kust

Sest r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Potentsiaalne erinevus kahe punkti vahel, mis asuvad sfääri keskpunktist kaugustel r 1 ja r 2

(r1 >R,r2 >R), on võrdne

Väljaspool laetud sfääri on väli sama, mis kera keskpunktis paikneva punktlaengu q väljaga. Laetud sfääri sees ei ole välja, seega on potentsiaal igal pool sama ja sama, mis pinnal