Mitme muutuja skalaarfunktsiooni suundtuletis. Suunatuletis

1) Kahe muutuja funktsiooni juhtum. Suuna annab vektor. Valime ühikvektor, mis määrab tasapinna suuna: . See vektor moodustab nurga OX-telje positiivse suunaga. Kahe muutuja funktsiooni tuletist suuna suhtes nimetatakse tavaliselt avaldisteks .

2) Kolme muutuja funktsiooni juhtum. Olgu antud ühikvektor, mis moodustab nurgad vastavalt telgedega OX, OY ja OZ. Kui tähistame vektori koordinaate , siis kahe vektori vahelise nurga koosinuse valemit kasutades saame . Samamoodi,. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, ühikvektoril, mis moodustab telgedega OX, OY ja OZ, on koordinaadid . Kolme muutuja funktsiooni tuletist suuna suhtes nimetatakse tavaliselt avaldiseks

.

Definitsioon.Gradient funktsioone nimetatakse tavaliselt vektoriteks . Sel põhjusel saab valemi abil arvutada funktsiooni tuletise ühikvektoriga määratud suunas , kus valemis paremal on skalaarkorrutis funktsiooni ja ühiku suunavektori gradient.

Gradiendi põhiomadus: kõigi võimalike suundade seas on suunatuletisel suurim ja positiivne väärtus gradiendi suunas. See omadus tuleneb skalaarkorrutise definitsioonist. Kuna tuletise positiivsus tähendab funktsiooni kasvu, gradiendi suund punktis - ϶ᴛᴏ funktsiooni suurima kasvu suund.

Kõrgemat järku osatuletised.

Muutujate funktsiooni mis tahes osatuletis ise on samuti muutujate funktsioon. Tavaliselt nimetatakse mitme muutuja funktsiooni osatuletise osatuletist teist järku osatuletis funktsioonid Veelgi enam, kui muutujad, mille suhtes tuletisi võetakse esmalt funktsioonist ja seejärel funktsioonist, ei lange kokku, nimetatakse sellist osatuletist tavaliselt segatuks. Teise järgu osaline tuletismärk: . Juhul kui - pidevad funktsioonid teatud punkti läheduses, selles punktis.

Mis tahes järjestust osatuletisi tutvustatakse sarnaselt.

NÄIDE
Postitatud aadressil ref.rf
Otsi funktsioonist. Meil on
.

Sama tuletise arvutamiseks MAXIM-i abil kasutame käsku diff(log(x+3*y),x,2,y,1).

Kõrgema järgu diferentsiaalid.

Analoogiliselt tuletistega tuuakse sisse kõrgema järgu diferentsiaalid, st diferentsiaalid diferentsiaalidest. Vaatleme kolme muutuja funktsiooni. Selle funktsiooni diferentsiaal on avaldis . Pange tähele, et viimases avaldises sisalduvad tuletised on funktsioonid ja muutujate diferentsiaalid ei sõltu . Sel põhjusel on segatuletiste järjepidevuse tingimusel teist järku diferentsiaal kujul

Viimases valemis kasutasime ära segatuletiste võrdsuse omadust. On lihtne näha, et teist järku diferentsiaalvalem sarnaneb kolme liikme summa teist järku valemiga. Kahe muutuja funktsiooni teist ja kolmandat järku diferentsiaalide loendamine pole keeruline: ,

Harjutus. Otsi funktsiooni jaoks punktis (1,1).

Taylori valem mitme muutuja funktsiooni jaoks.

Nagu ühe muutuja funktsioonide puhul, annab Taylori valem paljude muutujate funktsioonide puhul seose funktsiooni punktis suurenemise ja selle samas punktis olevate diferentsiaalide vahel:

Kus .

Täpsemalt on meil kahe muutuja funktsiooni jaoks:

Siin .

Suunatuletis. - mõiste ja liigid. Kategooria "Suunatuletis" klassifikatsioon ja omadused. 2017, 2018.

Vaatleme funktsiooni u(x, y, z) punktis M(x, y, z) ja punktis M 1 (x + Dx, y + Dy, z + Dz).

Joonistame punktide M ja M kaudu 1 vektori. Selle vektori kaldenurki koordinaattelgede x, y, z suuna suhtes tähistatakse vastavalt a, b, g. Nende nurkade koosinusteks nimetatakse suunakoosinused vektor

Tähistame vektori punktide M ja M 1 vahelist kaugust kui DS.

kus suurused e 1 , e 2 , e 3 on lõpmatult väikesed .

Geomeetrilistest kaalutlustest on ilmne:

Seega saab ülaltoodud võrdusi esitada järgmiselt:

Pange tähele, et suurus s on skalaarne. See määrab ainult vektori suuna.

Sellest võrrandist tuleneb järgmine määratlus:

Limiit nimetatakse funktsiooni u(x, y, z) tuletis vektori suunas punktis koordinaatidega (x, y, z).

Selgitame näite abil ülaltoodud võrduste tähendust.

Näide 9.1. Arvutage funktsiooni z = x 2 + y 2 x tuletis punktis A(1, 2) vektori suunas. B (3, 0).

Lahendus. Kõigepealt on vaja määrata vektori koordinaadid.

Leiame funktsiooni z osatuletised in üldine vaade:

Nende suuruste väärtused punktis A:

Vektori suunakoosinuste leidmiseks teostame järgmised teisendused:

=

Mööda suunatud suvaline vektor antud vektor, st. diferentseerumise suuna määramine.

Siit saame vektori suunakoosinuste väärtused:

cosa = ; cosb = -

Lõpuks saame: - tuletisväärtus antud funktsioon vektori suunas.

Kui mingis domeenis D on antud funktsioon u = u(x, y, z) ja mingi vektor, mille projektsioonid koordinaattelgedele on võrdsed funktsiooni u väärtustega vastavas punktis

,

siis seda vektorit nimetatakse gradient funktsioonid u.

Sel juhul öeldakse, et piirkonnas D on määratud gradientide väli.

Teoreem: Olgu antud funktsioon u = u(x, y, z) ja gradientväli

.

Siis on tuletis mõne vektori suuna suhtes võrdne vektori gradu projektsiooniga vektorile .

Tõestus: Vaatleme ühikvektorit ja mõnda funktsiooni u = u(x, y, z) ning leidke vektorite skalaarkorrutis ja lõpetaja.

Selle võrrandi paremal küljel olev avaldis on funktsiooni u tuletis s-i suunas.

Need. . Kui vektorite vaheline nurk lõpetaja ja tähistatakse j-ga, siis saab skalaarkorrutise kirjutada nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisena. Võttes arvesse asjaolu, et vektor on ühik, s.o. selle moodul on võrdne ühega, võime kirjutada:

Selle võrrandi paremal küljel olev avaldis on vektori projektsioon grad u vektorile.

Teoreem on tõestatud.

Et illustreerida geomeetrilist ja füüsiline tähendus gradient, oletame, et gradient on vektor, mis näitab mõne skalaarvälja u kiireima muutumise suunda mingil hetkel. Füüsikas on sellised mõisted nagu temperatuurigradient, rõhugradient jne. Need. gradiendi suund on funktsiooni kiireima kasvu suund.

Geomeetrilise esituse vaatepunktist on gradient funktsiooni taseme pinnaga risti.

Skalaarväli kutsutakse ruumiosa (või kogu ruumi), iga punkti, millele vastab mõne skalaarsuuruse arvväärtus.

Näited

Keha, mille igas punktis on teatud temperatuuriväärtus, on skalaarväli.

Ebahomogeenne keha, mille igale punktile vastab teatud tihedus – skalaartiheduse väli.

Kõigil neil juhtudel ei sõltu skalaarsuurus U ajast, vaid sõltub punkti M asukohast (koordinaatidest) ruumis ehk on kolme muutuja funktsioon, nn. välja funktsioon. Ja vastupidi, iga kolme muutuja funktsioon u=f(x, y, z) määrab mõne skalaarvälja.

Lame skalaarvälja funktsioon sõltub kahest muutujast z=f(x, y).

Mõelge skalaarväljale u=f(x, y, z).

Vektor, mille koordinaadid on arvutatud funktsiooni osatuletised antud punkt, kutsus gradient funktsioon selles punktis või skalaarvälja gradient.

Vaatleme vektorit ja kahte punkti sellel M 0 (x 0, y 0, z 0) Ja . Leiame funktsiooni juurdekasvu suunas:

Suunatuletis kui see on olemas, kutsutakse välja järgmine limiit:

kus on vektori suunakoosinused; α, β, γ on nurgad, mille vektor moodustab koordinaattelgedega, kui .

Kahe muutuja funktsiooni jaoks on need valemid järgmisel kujul:

või ,

sest .

Gradiendi ja suunatuletise vahel on seos samas punktis.

Teoreem. Funktsiooni gradiendi ja mingi suuna vektori skalaarkorrutis on võrdne selle funktsiooni tuletisega selle vektori suunas:

.

Tagajärg. Suunatuletis on kõrgeim väärtus, kui see suund langeb kokku gradiendi suunaga (põhjendage seda ise, kasutades skalaarkorrutise definitsiooni ja eeldades, et ).

Järeldused:

1. Gradient on vektor, mis näitab funktsiooni suurima kasvu suunda antud punktis ja millel on arvuliselt moodul võrdne kiirusega sellest kasvust:

.

2. Suunatuletis on funktsiooni muutumise kiirus suunas: kui , siis sellesuunaline funktsioon suureneb, kui , siis funktsioon väheneb.

3. Kui vektor langeb kokku ühega vektoritest, siis tuletis selle vektori suuna suhtes ühtib vastava osatuletisega.

Näiteks kui , siis .

Näide

Funktsioon antud , punkt A(1, 2) ja vektor.

Leia: 1) ;

Lahendus

1) Leidke funktsiooni osatuletised ja arvutage need punktis A.

, .

Siis .

2) Leidke vektori suunakoosinused:

Vastus: ; .

Kirjandus [ 1,2]

Enesetesti küsimused:

1. Mida nimetatakse kahe muutuja funktsiooniks, selle määratluspiirkonda?

2. Kuidas määratakse osatuletised?

3. Mis see on? geomeetriline tähendus osatuletised?

4. Mida nimetatakse skalaarvälja gradiendiks antud punktis?

5. Kuidas nimetatakse suunatuletist?

6. Sõnasta reeglid kahe muutuja funktsiooni äärmuste leidmiseks.

valik 1

Ülesanne nr 1

A) ; b) ;

V) ; G) .

Ülesanne nr 2 Uurige funktsiooni pidevust: leidke funktsiooni katkestuspunktid ja määrake nende tüüp. Koostage funktsiooni skemaatiline graafik.

Ülesanne nr. Antud kompleksarv Z. Nõutav: kirjutada arv Z algebralises ja trigonomeetrilises vormis. .

Ülesanne nr 4.

1) y = 3x 5 – sinx, 2) y = tgx, 3) y = , 4) .

Ülesanne nr 5. Uurige funktsiooni diferentsiaalarvutuse meetoditega ja koostage uuringu tulemusi kasutades graafik. .

Ülesanne nr 6. Funktsioon z=f(x,y) on antud. Kontrollige, kas identiteet F≡0 kehtib?

Ülesanne nr 7 Antud funktsioon Z=x 2 +xy+y 2, punkt ja vektor. Leia:

1) grad z punktis A;

2) tuletis punktis A vektori suunas .

2. variant

Ülesanne nr 1 Arvutage funktsioonide piirid ilma L'Hopitali reeglit kasutamata.

A) ; b) ;

V) ; G) .

Ülesanne nr 2 Uurige funktsiooni pidevust: leidke funktsiooni katkestuspunktid ja määrake nende tüüp. Koostage funktsiooni skemaatiline graafik.

Ülesanne nr 3 Antud kompleksarv Z. Nõutav: kirjutada arv Z algebralises ja trigonomeetrilises vormis.

Ülesanne nr 4. Leidke nende funktsioonide esimest järku tuletised.

Suunatuletis.

Laske lennukisse XOY punkt asub M 0 (x 0 ,y 0 ). Määrame suvalise nurga a ja vaatleme sama tasapinna punktide hulka, mille koordinaadid määratakse valemite järgi

x = x 0 + t cos a, y = y 0 + t patt a. (1)

Siin t- parameeter, mis võib olla võrdne mis tahes arvuga. Valemitest (1) järeldub:

(y - y 0)/(x - x 0) = tg a

See tähendab, et kõik punktid M(x,y), mille koordinaadid rahuldavad võrdusi (1), asetsevad punkti läbival sirgel M 0 (x 0 ,y 0) ja nurga komponent a teljega HÄRG. Iga väärtus t vastab ühele punktile M(x,y), lamades sellel sirgel ja valemi (1) kohaselt punktidevahelisest kaugusest M 0 (x 0 ,y 0) ja M(x,y) võrdub t. Seda sirget võime vaadelda kui arvtelge, mille positiivne suund on määratud parameetri suurenemisega t. Tähistame selle telje positiivset suunda sümboliga l.

l.Funktsiooni tuletis z = f(x,y) punktis M 0 (x 0 ,y 0)poole l helistatud number

Funktsiooni suunatuletisele saab anda geomeetrilise tõlgenduse. Kui otse kaudu l, määratud valemitega (1), joonestada vertikaaltasapind P(tegelikult defineerivad kolmemõõtmelises ruumis võrrandid (1) just selle tasapinna), siis see tasapind lõikub funktsiooni pinnagraafikuga z = f(x,y) kaasa

mingi ruumiline kõver L. Horisontaaltasandi ja selle kõvera puutuja vahelise nurga puutuja punktis M 0 (x 0 ,y 0) on võrdne funktsiooni tuletisega selles suunas l.

Igal kursusel matemaatiline analüüs on tõestatud, et valemiga (2) määratud suunatuletist saab esitada kujul

Pange tähele, et osaline tuletis x on ka suunatuletis. Selle suuna määravad võrdsused: cos a = 1; patt a = 0. Samamoodi osatuletis suhtes y on tuletis suuna suhtes, mida saab täpsustada tingimustega cos a = 0; patt a = 1.

Enne valemi (3) analüüsimist esitame mõned mõisted ja faktid vektoralgebra kursusest. Laske sisse koordinaatsüsteemiga tasapind XOY antud suunatud segment või (mis on sama asi) vektor ja punkt M 0 (x 0 ,y 0) on selle alguspunkt ja M 1 (x 1 ,y 1) - lõpp-punkt. Määrame vektori koordinaadi piki telge HÄRG arvuna, mis on võrdne x 1 ‑ x 0 ja koordinaat piki telge arvuna, mis on võrdne y 1 ‑ y 0 . Kui määrate mis tahes numbrite järjestatud paari a Ja b, siis võib neid arve pidada tasapinna mõne vektori koordinaatideks XOY, ja selle vektori pikkus määratakse valemiga

,

ja kaldenurga puutuja g vektor telje suhtes HÄRG määratakse valemist tg g = b/a(pange tähele, et teades tg väärtust g, samuti mis tahes numbri märk a Ja b, saame määrata nurga g täpsusega 2 lk).

Kirjutame vektori esituse selle koordinaatide paari kujul kujul . Sellel esindusel on üks iseloomulik tunnus: see ei määra vektori asukohta tasapinnal XOY. Selle määramiseks peate koos vektori koordinaatidega määrama näiteks selle alguspunkti koordinaadid või, nagu seda võib nimetada, vektori rakenduspunkti.

Kui on antud kaks vektorit: ja , siis skalaarkorrutis neist vektoritest nimetatakse arvuks ( j- vektorite vaheline nurk).

Igas vektoralgebra kursuses on tõestatud, et vektorite skalaarkorrutis on võrdne nende vektorite samade koordinaatide korrutistega:

= a 1 b 1 + a 2 b 2 . (4)

Laske mõnes piirkonnas G lennuk XOY määratud funktsioon z = f(x,y) , millel on mõlema argumendi suhtes pidevad osatuletised.

Gradient või gradiendi vektor funktsioonid f(x,y) punktis (x,y) О G on vektor, mis on antud valemiga

.

Funktsioon f määrab piirkonna iga punkti jaoks G sellest punktist lähtuv gradiendi vektor.

Pöördume nüüd tagasi valemi (3) juurde. Selle paremat külge võime pidada vektorite skalaarkorrutiseks. Esimene neist on funktsiooni gradiendvektor z = f(x,y) punktis M 0 (x 0 ,y 0):

.

Teine on vektor . See on vektor pikkusega 1 ja kaldenurgaga Ox telje suhtes a.

Nüüd võime järeldada, et funktsiooni tuletis z = f(x,y) nurgaga määratud suunas a kallutada telje suunas HÄRG, punktis M 0 (x 0 ,y 0) saab arvutada valemi abil

. (5)

Siin b- vektori ja vektori vaheline nurk, mis määrab suuna, mida mööda tuletis võetakse. Siin võetakse arvesse ka seda