Lainefunktsioon ja selle statistiline tähendus. Lainefunktsiooni normaliseerimise tingimus

Teatavasti on klassikalise mehaanika põhiülesanne makroobjekti asukoha määramine igal ajahetkel. Selleks koostatakse võrrandisüsteem, mille lahendamine võimaldab välja selgitada raadiusvektori sõltuvuse ajast t. Klassikalises mehaanikas annavad osakese oleku tema liikumisel igal hetkel kaks suurust: raadiuse vektor ja impulss. Seega kehtib osakese liikumise klassikaline kirjeldus, kui see toimub piirkonnas, mille iseloomulik suurus on palju suurem kui de Broglie lainepikkus. Muidu (näiteks aatomi tuuma läheduses) tuleks arvestada mikroosakeste laineomadustega. Laineomadustega mikroobjektide klassikalise kirjelduse piiratud kasutatavust näitavad määramatuse seosed.

Võttes arvesse mikroosakese laineomadusi, määratakse selle olek kvantmehaanikas teatud koordinaatide ja aja funktsiooni abil (x, y, z, t) , helistas Laine või - funktsiooni . Kvantfüüsikas tutvustatakse keeruline funktsioon kirjeldades objekti puhast olekut, mida nimetatakse lainefunktsiooniks. Kõige tavalisemas tõlgenduses on see funktsioon seotud tõenäosusega leida objekt ühes puhtas olekus (lainefunktsiooni mooduli ruut on tõenäosustihedus).

Olles loobunud osakese liikumise kirjeldamisest dünaamikaseadustest saadud trajektooride abil ja määranud selle asemel lainefunktsiooni, on vaja võtta arvesse võrrand, mis on samaväärne Newtoni seadustega ja annab retsepti lahenduste leidmine konkreetsetele füüsilistele probleemidele. Selline võrrand on Schrödingeri võrrand.

Teooriat, mis kirjeldab väikeste osakeste liikumist, võttes arvesse nende laineomadusi, nimetatakse kvant , või lainemehaanika. Paljud selle teooria sätted tunduvad klassikalise füüsika uurimisel arenenud ideede seisukohalt kummalised ja ebatavalised. Alati tuleb meeles pidada, et teooria õigsuse kriteeriumiks, kui kummaline see ka esialgu ei tunduks, on selle tagajärgede kokkulangevus katseandmetega. Kvantmehaanika oma valdkonnas (aatomite, molekulide ja osaliselt aatomituumade struktuur ja omadused) on kogemustega suurepäraselt kinnitatud.

Lainefunktsioon kirjeldab osakese olekut kõigis ruumipunktides ja mis tahes ajahetkel. Lainefunktsiooni füüsikalise tähenduse mõistmiseks pöördume elektronide difraktsiooni katsete poole. (Thomsoni ja Tartakovski katsed elektronide ülekandmisel läbi õhukese metallfooliumi). Selgub, et selged difraktsioonimustrid tuvastatakse ka siis, kui sihtmärgile on suunatud üksikud elektronid, s.t. kui iga järgnev elektron emiteeritakse pärast eelmise ekraanile jõudmist. Pärast piisavalt pikka pommitamist vastab ekraanil olev pilt täpselt sellele, mis saadakse, kui sihtmärgile suunatakse korraga suur hulk elektrone.

Sellest võime järeldada, et iga mikroosakese liikumine eraldi, kaasa arvatud selle tuvastamise koht, järgib statistilisi (tõenäosuslikke) mustreid ja kui üks elektron on suunatud sihtmärgile, on punkt ekraanil, kus see fikseeritakse, 100 % ette.Kindlalt ennustada on võimatu.

Thomsoni difraktsioonikatsetes tekkis fotoplaadil tumedate kontsentriliste rõngaste süsteem. Võib kindlalt väita, et iga emiteeritud elektroni tuvastamise (löömise) tõenäosus erinevaid kohti fotoplaadid pole samad. Tumedate kontsentriliste rõngaste piirkonnas on see tõenäosus suurem kui ülejäänud ekraanil. Elektronide jaotus kogu ekraani ulatuses osutub intensiivsuse jaotusega samaks elektromagnetlaine sarnases difraktsioonikatses: kus röntgenlaine intensiivsus on suur, registreeritakse Thomsoni katses palju osakesi ja kus intensiivsus on madal, siis osakesi peaaegu ei ilmugi.

Laine seisukohalt tähendab maksimaalse arvu elektronide olemasolu mõnes suunas, et need suunad vastavad de Broglie laine suurimale intensiivsusele. See oli aluseks de Broglie laine statistilisele (tõenäosuslikule) tõlgendamisele. Lainefunktsioon on lihtsalt matemaatiline avaldis, mis võimaldab kirjeldada mis tahes laine levimist ruumis. Eelkõige on osakese leidmise tõenäosus antud ruumipiirkonnas võrdeline osakesega seotud laine amplituudi ruuduga.

Ühemõõtmeliseks liikumiseks (näiteks telje suunas Ox) tõenäosus dP osakeste tuvastamine punktide vahel x ja x + dx sellel ajal t on võrdne

dP = , (6.1)

kus | (x,t)| 2 = (x,t) *(x,t) on lainefunktsiooni mooduli ruut (tähis * tähistab komplekskonjugatsiooni).

Üldjuhul, kui osake liigub kolmemõõtmelises ruumis, siis tõenäosus dP osakese tuvastamine punktis koordinaatidega (x, y, z) lõpmata väikese mahu piires dV on antud sarnase võrrandiga :dp=|(x,y,z,t)|2dV. Lainefunktsiooni esimese tõenäosusliku tõlgenduse andis Born 1926. aastal.

Osakese leidmise tõenäosus kogu lõpmatus ruumis on võrdne ühega. See tähendab lainefunktsiooni normaliseerimistingimust:

. (6.2)

Väärtus on tõenäosustihedus , või, mis on sama, osakeste koordinaatide tihedusjaotus. Lihtsamal juhul osakese ühemõõtmelisel liikumisel piki telge HÄRG selle koordinaadi keskmine väärtus arvutatakse järgmise seosega:

<x(t)>= . (6.3)

Selleks, et lainefunktsioon oleks mikroosakese oleku objektiivne tunnus, peab see vastama mitmetele piiravatele tingimustele. Funktsioon Ψ, mis iseloomustab mikroosakese tuvastamise tõenäosust mahuelemendis, peab olema lõplik (tõenäosus ei saa olla suurem kui üks), ühetähenduslik (tõenäosus ei saa olla mitmetähenduslik väärtus), pidev (tõenäosus ei saa järsult muutuda) ja sile (ilma murdudeta) kogu ruumi ulatuses .

Lainefunktsioon rahuldab superpositsiooni printsiipi: kui süsteem võib olla erinevates olekutes, mida kirjeldavad lainefunktsioonid Ψ1, Ψ2, Ψ n, siis võib see olla olekus, mida kirjeldab nende funktsioonide lineaarne kombinatsioon:

, (6.4)

kus Cn(n= 1, 2, 3) on üldiselt suvalised kompleksarvud.

Lainefunktsioonide liitmine (lainefunktsioonide moodulite ruutudega määratud tõenäosusamplituudid) eristab põhimõtteliselt kvantteooriat klassikalisest statistikateooriast, milles sõltumatute sündmuste puhul kehtib tõenäosuse liitmise teoreem.

Lainefunktsioon Ψ on mikroobjektide oleku põhitunnus.

Näiteks keskmine vahemaa<r> elektron tuumast arvutatakse järgmise valemiga:

kus arvutused tehakse nagu juhtumil (6.3). Seega on difraktsioonikatsetes võimatu täpselt ennustada, millisesse kohta ekraanil see või teine elektron fikseeritakse, isegi kui selle lainefunktsioon on ette teada. Ainult teatud tõenäosusega saab eeldada, et elektron fikseeritakse teatud kohas. See on erinevus kvantobjektide ja klassikaliste objektide käitumise vahel. Klassikalises mehaanikas teadsime makrokehade liikumist kirjeldades 100% tõenäosusega ette, kus ruumis asub materiaalne punkt(näiteks, kosmosejaam) igal ajal.

De Broglie kasutas faasilainete (aine lained või de Broglie lained) mõistet elektroni orbiitide kvantimise reegli visuaalseks tõlgendamiseks aatomis Bohri järgi üheelektronilise aatomi puhul. Ta käsitles faasilainet, mis liigub ümber tuuma elektroni ringikujulisel orbiidil. Kui täisarv neid laineid mahub orbiidi pikkusesse, siis laine ümber tuuma liikudes naaseb iga kord sama faasi ja amplituudiga alguspunkti. Sellisel juhul jääb orbiit paigale ja kiirgust ei teki. De Broglie kirjutas orbiidi statsionaarsuse tingimuse või kvantimisreegli kujul:

kus R on ringikujulise orbiidi raadius, P- täisarv (peamine kvantarv). Siia panemine ja seda arvestades L = RP on elektroni nurkimpulss, saame:

mis langeb kokku Bohri järgi vesinikuaatomis olevate elektronide orbiitide kvantimisreegliga.

Hiljem üldistati tingimus (6.5) ka elliptiliste orbiitide puhul, mil lainepikkus varieerub mööda elektronide trajektoori. Kuid de Broglie arutluses eeldati, et laine ei levi ruumis, vaid mööda joont – mööda elektroni statsionaarset orbiiti. Seda lähendust saab kasutada piirjuhul, kui lainepikkus on elektroni orbiidi raadiusega võrreldes tühiselt väike.

Bohri postulaadid

Aatomi planetaarmudel võimaldas seletada aine alfaosakeste hajumise katsete tulemusi, kuid põhimõttelised raskused tekkisid aatomite stabiilsuse põhjendamisel.
Esimese katse ehitada kvalitatiivselt uus – kvantteooria aatomist tegi 1913. aastal Niels Bohr. Ta seadis eesmärgiks siduda ühtseks tervikuks joonspektrite empiirilised seaduspärasused, Rutherfordi aatomi tuumamudel ning valguse emissiooni ja neeldumise kvantloomus. Bohr rajas oma teooria Rutherfordi tuumamudelile. Ta pakkus välja, et elektronid liiguvad ümber tuuma ringikujulistel orbiitidel. Ringliikumisel, isegi konstantsel kiirusel, on kiirendus. Selline kiirendatud laengu liikumine on samaväärne vahelduvvoolu, mis loob ruumis vahelduva elektromagnetvälja. Selle välja loomiseks kulub energiat. Väljaenergia võib tekkida tänu elektroni ja tuuma Coulombi interaktsiooni energiale. Selle tulemusena peab elektron liikuma spiraalselt ja langema tuumale. Kogemus näitab aga, et aatomid on väga stabiilsed moodustised. Sellest järeldub, et klassikalise elektrodünaamika tulemused, mis põhinevad Maxwelli võrranditel, ei ole rakendatavad aatomisiseste protsesside puhul. Tuleb leida uusi mustreid. Bohr rajas oma aatomiteooria järgmistele postulaatidele.
Bohri esimene postulaat (statsionaarsete olekute postulaat): aatomis on statsionaarsed (ajas muutumata) olekud, milles ta ei kiirga energiat. Aatomi statsionaarsed seisundid vastavad statsionaarsetele orbiitidele, mida mööda liiguvad elektronid. Elektronide liikumisega statsionaarsetel orbiitidel ei kaasne elektromagnetlainete kiirgamist.
See postulaat on vastuolus klassikaline teooria. Aatomi statsionaarses olekus peavad mööda ringorbiiti liikuval elektronil olema nurkimpulsi diskreetsed kvantväärtused.
Bohri teine postulaat (sagedusreegel): kui elektron liigub ühelt statsionaarselt orbiidilt teisele, kiirgab (neeldub) üks energiaga footon

võrdne vastavate statsionaarsete olekute energiavahega (En ja Em on vastavalt aatomi statsionaarsete olekute energiad enne ja pärast emissiooni/absorptsiooni).
Elektroni üleminek statsionaarselt orbiidiarvult m statsionaarsele orbiidiarvule n vastab aatomi üleminekule energiaga olekust Em olekusse energiaga En (joon. 4.1).

Riis. 4.1. Bohri postulaatide seletuse juurde

Kui En > Em eraldub footon (aatomi üleminek kõrgema energiaga olekust madalama energiaga olekusse, s.t. elektroni üleminek tuumast kaugemal asuvalt orbiidilt lähemale) , aadressil En< Еm – его поглощение (переход атома в состояние с большей энергией, т. е, переход электрона на более удаленную от ядра орбиту). Набор возможных дискретных частот

kvantsiirdeid ja määrab aatomi joonspektri.
Bohri teooria selgitas suurepäraselt eksperimentaalselt vaadeldud vesiniku joonspektrit.
Edusammud vesinikuaatomi teoorias saavutati klassikalise mehaanika aluspõhimõtetest loobumise hinnaga, mis on jäänud tingimusteta kehtima üle 200 aasta. Sellepärast suur tähtsus omas otsest eksperimentaalset tõestust Bohri postulaatide, eriti esimese – statsionaarsete olekute olemasolu kohta. Teist postulaati võib pidada energia jäävuse seaduse ja footonite olemasolu hüpoteesi tagajärjeks.
Saksa füüsikud D. Frank ja G. Hertz, uurides elektronide kokkupõrget gaasiaatomitega potentsiaali aeglustamise meetodil (1913), kinnitasid eksperimentaalselt statsionaarsete olekute olemasolu ja aatomite energiaväärtuste diskreetsust.
Vaatamata Bohri kontseptsiooni kahtlemata edule seoses vesinikuaatomiga, mille jaoks osutus võimalikuks konstrueerida kvantitatiivne spektriteooria, ei õnnestunud vesinikule järgneva heeliumi aatomi kohta sarnast teooriat luua. Bohri ideid. Heeliumi aatomi ja keerukamate aatomite osas võimaldas Bohri teooria teha ainult kvalitatiivseid (kuigi väga olulisi) järeldusi. Idee teatud orbiitidest, mida mööda elektron Bohri aatomis liigub, osutus väga meelevaldseks. Tegelikult on elektronide liikumisel aatomis vähe ühist planeetide liikumisega orbiitidel.
Hetkel kasutusel kvantmehaanika on võimalik vastata paljudele küsimustele mis tahes elementide aatomite ehituse ja omaduste kohta.

5. kvantmehaanika põhisätted:

Lainefunktsioon ja selle füüsiline tähendus.

Kahe eelmise lõigu sisust järeldub, et laineprotsess on seotud mikroosakesega, mis vastab selle liikumisele, seetõttu kirjeldatakse osakese olekut kvantmehaanikas. lainefunktsioon, mis sõltub koordinaatidest ja ajast y(x,y,z,t). spetsiifiline liik y-funktsiooni määrab osakese olek, sellele mõjuvate jõudude iseloom. Kui osakesele mõjuv jõuväli on statsionaarne, s.o. siis ajast sõltumatu y-funktsiooni saab esitada kahe teguri korrutisena, millest üks sõltub ajast ja teine koordinaatidest:

Järgnevalt käsitleme ainult seda statsionaarsed olekud. y-funktsioon on osakese oleku tõenäosustunnus. Selle selgitamiseks eraldame mõttes piisavalt väikese mahu, mille piires y-funktsiooni väärtusi peetakse samaks. Siis leidmise tõenäosus dW osake antud ruumalas on sellega võrdeline ja sõltub y-funktsiooni mooduli ruudust (de Broglie lainete amplituudi mooduli ruut):

See tähendab lainefunktsiooni füüsilist tähendust:

Lainefunktsiooni mooduli ruudul on tõenäosustiheduse tähendus, s.o. määrab koordinaatidega punkti naabruses oleva osakese leidmise tõenäosuse ruumalaühikus x, y, z.

Integreerides avaldise (3.2) üle ruumala, määrame statsionaarse välja tingimustes selles mahus osakese leidmise tõenäosuse:

Kui osake on teadaolevalt mahu piires V, siis avaldise (3.4) integraal, mis võetakse üle mahust V, peaks olema võrdne ühega:

– y-funktsiooni normaliseerimistingimus.

Et lainefunktsioon oleks mikroosakeste oleku objektiivne tunnus, peab see olema lõplik, üheselt mõistetav, pidev, kuna tõenäosus ei saa olla suurem kui üks, ei saa olla mitmetähenduslik väärtus ega muutu hüpetel. Seega määrab mikroosakese oleku täielikult lainefunktsioon. Osakese võib leida igast ruumipunktist, kus lainefunktsioon on nullist erinev.

Kvantjälgitav lainefunktsioon· Kvantsuperpositsioon · Kvantpõimumine · Segaolek · Mõõtmine · Määramatus · Pauli printsiip · Dualism · Dekoherents · Ehrenfesti teoreem · Tunneliefekt

Eksperimendid
Davisson-Germeri eksperiment Popperi eksperiment Stern-Gerlachi eksperiment Youngi katse Belli ebavõrdsuse kontrollimine Fotoelektriline efekt Comptoni efekt

Sõnastus
Schrödingeri esitus Heisenbergi esitus Interaktsiooni esitus Maatriksi kvantmehaanika Tee integraalid Feynmani diagrammid

Võrrandid
Schrödingeri võrrand Pauli võrrand Kleini-Gordoni võrrand Diraci võrrand Schwingeri-Tomonaga võrrand Von Neumanni võrrand Blochi võrrand Lindbladi võrrand Heisenbergi võrrand

Tõlgendused
Kopenhaageni varjatud muutujate teooria Paljude maailmade De Broglie-Bohmi teooria

Teooria arendamine
Kvantväljateooria Kvantelektrodünaamika Glashow-Weinberg-Salami teooria Kvantkromodünaamika Standardmudel Kvantgravitatsioon

Märkimisväärsed teadlased
Planck Einstein Schrödinger Heisenberg Jordan Bohr Pauli Dirac Fock Sündis Broglie Landau Feynman Bohm Everett

Vaata ka: Portaal: Füüsika

lainefunktsioon, või psi funktsioon $\psi$ on kompleksväärtusega funktsioon, mida kasutatakse kvantmehaanikas süsteemi puhta oleku kirjeldamiseks. See on olekuvektori laienduskoefitsient aluse (tavaliselt koordinaat) osas:

$\left|\psi(t)\right\rangle=\int \Psi(x,t)\left|x\right\rangle dx$

kus $\left|x\right\rangle = \left|x_1, x_2, \ldots , x_n\right\rangle$ on koordinaatide baasvektor ja $\Psi(x,t)= \langle x\left|\psi(t)\right\rangle$ - lainefunktsioon koordinaatide esituses .

Lainefunktsiooni normaliseerimine

lainefunktsioon $\psi$ selle tähenduses peab vastama nn normaliseerimistingimusele, näiteks koordinaatide esituses kujul:

$(\int\limits_(V)(\Psi^\ast\Psi)dV)=1$

See tingimus väljendab tõsiasja, et antud lainefunktsiooniga osakese leidmise tõenäosus kõikjal ruumis on üks. Üldjuhul tuleks integreerimine läbi viia kõigi muutujate üle, millest sõltub antud esituse lainefunktsioon.

Kvantolekute superpositsiooni põhimõte

Lainefunktsioonide puhul kehtib superpositsiooniprintsiip, mis seisneb selles, et kui süsteem võib olla lainefunktsioonidega kirjeldatud olekutes $\Psi_1$ ja $\Psi_2$ , siis võib see olla ka lainefunktsiooniga kirjeldatud olekus

$\Psi_\Sigma = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2$ mis tahes kompleksi jaoks $c_1$ ja $c_2$ .

Ilmselgelt saame rääkida ka suvalise arvu kvantolekute superpositsioonist (ülekattest) ehk süsteemi kvantoleku olemasolust, mida kirjeldab lainefunktsioon $\Psi_\Sigma = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2 + \ldots + (c)_N(\Psi)_N=\sum_(n=1)^(N) (c)_n(\Psi)_n$ .

Selles olekus koefitsiendi mooduli ruut $(c)_n$ määrab tõenäosuse, et mõõtmise ajal leitakse süsteem lainefunktsiooniga kirjeldatud olekus $(\Psi)_n$ .

Seetõttu normaliseeritud lainefunktsioonide jaoks $\sum_(n=1)^(N)\left|c_(n)\right|^2=1$ .

Lainefunktsiooni regulaarsuse tingimused

Lainefunktsiooni tõenäosuslik tähendus seab kvantmehaanika ülesannetes lainefunktsioonidele teatud piirangud või tingimused. Need standardtingimused sageli helistada lainefunktsiooni regulaarsuse tingimused.

Lainefunktsiooni lõplikkuse tingimus. Lainefunktsioon ei saa võtta lõpmatuid väärtusi, nii et integraal $(1)$ muutub lahknevaks. Seetõttu nõuab see tingimus, et lainefunktsioon oleks ruudukujuline integreeritav funktsioon, st kuuluks Hilberti ruumi $L^2$ . Eelkõige peab normaliseeritud lainefunktsiooniga seotud probleemide korral lainefunktsiooni ruutmoodul lõpmatuses kalduma nulli.
Lainefunktsiooni kordumatuse tingimus. Lainefunktsioon peab olema koordinaatide ja aja üheselt mõistetav funktsioon, kuna osakeste tuvastamise tõenäosuse tihedus peab olema igas ülesandes üheselt määratud. Silindrilise või sfäärilise koordinaatsüsteemi kasutamise ülesannete korral toob kordumatuse tingimus kaasa lainefunktsioonide perioodilisuse nurkmuutujates.
Lainefunktsiooni järjepidevuse tingimus. Igal ajahetkel peab lainefunktsioon olema pidev funktsioon ruumilised koordinaadid. Lisaks peavad lainefunktsiooni osatuletised olema ka pidevad $\frac(\partial \Psi)(\partial x)$ , $\frac(\partial \Psi)(\partial y)$ , $\frac(\partial \Psi)(\partial z)$ . Need funktsioonide osalised tuletised on vaid harvadel juhtudel, kui idealiseerimisega on probleeme jõuväljad talub pausi nendes ruumipunktides, kus potentsiaalne energia, mis kirjeldab jõuvälja, milles osake liigub, kogeb teist tüüpi katkestusi.

Lainefunktsioon erinevates esitustes

Koordinaatide komplekt, mis toimib funktsiooni argumentidena, on terviklik pendeldamise vaadeldavate andmete süsteem. Kvantmehaanikas on võimalik valida mitu vaadeldava terviklikku komplekti, seega saab sama oleku lainefunktsiooni kirjutada erinevatest argumentidest. Määrab lainefunktsiooni salvestamiseks valitud suuruste täielik komplekt lainefunktsiooni esitus. Seega on võimalik koordinaatide esitus, impulsi esitus, kvantväljateoorias kasutatakse teist kvantiseerimist ja okupatsiooninumbrite esitust või Focki esitust jne.

Kui koordinaatide esituses on antud näiteks elektroni lainefunktsioon aatomis, siis lainefunktsiooni mooduli ruut on elektroni leidmise tõenäosustihedus teatud ruumipunktis. Kui impulsi esituses on antud sama lainefunktsioon, siis selle mooduli ruut on ühe või teise impulsi tuvastamise tõenäosustihedus.

Maatriks- ja vektorkoostised

Sama oleku lainefunktsioon erinevates esitustes – vastab sama vektori avaldisele in erinevad süsteemid koordinaadid. Ka teistel lainefunktsioonidega operatsioonidel on vektorite keeles analooge. Lainemehaanikas kasutatakse esitust, kus on psi-funktsiooni argumendid täielik süsteem pidev pendeldades vaadeldavaid andmeid, samas kui maatriks kasutab esitust, kus psi-funktsiooni argumendid on kogu süsteem diskreetne pendelrände jälgitavad andmed. Seetõttu on funktsionaalsed (laine-) ja maatrikskoostised matemaatiliselt ilmselgelt samaväärsed.

Lainefunktsiooni filosoofiline tähendus

Lainefunktsioon on meetod kvantmehaanilise süsteemi puhta oleku kirjeldamiseks. Segakvantolekuid (kvantstatistikas) tuleks kirjeldada tihedusmaatriksi tüüpi operaatoriga. See tähendab, et kahe argumendi teatud üldistatud funktsioon peaks kirjeldama korrelatsiooni osakese leidmisel kahes punktis.

Tuleb mõista, et probleem, mille kvantmehaanika lahendab, on maailma tundmise teadusliku meetodi olemuse probleem.

Vaata ka

Kirjutage ülevaade artiklist "Lainefunktsioon"

Kirjandus

Füüsiline entsüklopeediline sõnaraamat/ Ch. toim. A. M. Prohhorov. Ed. loendama D. M. Aleksejev, A. M. Bonch-Bruevitš, A. S. Borovik-Romanov ja teised - M .: Sov. Entsüklopeedia, 1984. - 944 lk.

Lingid

Kvantmehaanika- artikkel Suurest Nõukogude Entsüklopeediast.

Seda kirja ei olnud suveräänile veel edastatud, kui Barclay teatas Bolkonskyle õhtusöögil, et suverään tahab isiklikult prints Andreid näha, et temalt Türgi kohta küsida, ja et prints Andrei peab ilmuma kell kuus Benigseni korterisse. õhtul.
Samal päeval saabus suverääni korterisse uudis Napoleoni uuest liikumisest, mis võib olla sõjaväele ohtlik – uudis, mis hiljem osutus ebaõiglaseks. Ja samal hommikul tõestas kolonel Michaud, kes sõitis koos suverääniga mööda Drisi kindlustusi, suveräänile, et see kindlustatud laager, mille korraldas Pfuel ja mida siiani peeti taktikate peakokaks d "?uvr", pidi Napoleoni hävitama - see on see laager on jama ja surm vene armee.
Prints Andrei saabus kindral Benigseni korterisse, kes asus jõe kaldal väikese maaomaniku maja. Bennigsenit ega suverääni polnud seal, kuid Tšernõšev, suverääni adjutanttiib, võttis Bolkonski vastu ja teatas talle, et suverään läks koos kindral Benigseni ja markii Pauluchiga veel sel päeval Drissa laagri kindlustustest mööda minema. milles hakati tugevalt kahtlema.
Tšernõšev istus, prantsuse romaani raamat, esimese toa akna ääres. See ruum oli ilmselt varem saal; selles oli veel orel, millele olid kuhjatud mingisugused vaibad ja ühes nurgas seisis adjutant Benigseni kokkupandav voodi. See adjutant oli siin. Ta, ilmselt pidusöögist või äritegevusest väsinud, istus kokkupandud voodil ja uinus. Esikust viis kaks ust: üks otse endisesse elutuppa, teine paremale kabinetti. Esimesest uksest kostis saksa ja aeg-ajalt prantsuse keelt kõnelevaid hääli. Sinna, endisesse elutuppa, ei kogunenud suverääni palvel mitte sõjaväenõukogu (suverään armastas ebakindlust), vaid mõned isikud, kelle arvamust eelseisvatest raskustest ta teada tahtis. See ei olnud sõjaline nõukogu, vaid justkui väljavalitute nõukogu, et teatud küsimusi suveräänile isiklikult selgitada. Sellele poolnõukogule olid kutsutud: Rootsi kindral Armfeld, kindraladjutant Wolzogen, Winzingerode, keda Napoleon nimetas põgenikeks Prantsuse alamaks, Michaud, Tol, kes polnud üldse sõjaväelane - krahv Stein ja lõpuks Pfuel ise, kes , nagu prints Andrei kuulis, oli la cheville ouvriere [alus] kogu ärile. Prints Andreil oli võimalus teda hästi uurida, kuna Pfuel saabus vahetult pärast teda ja läks elutuppa, peatudes minutiks Tšernõševiga vestlema.
Esmapilgul tundus Pfuel oma Vene kindrali halvasti õmmeldud vormiriietuses, mis istus kohmetult, otsekui riietatud, prints Andreile tuttav, kuigi ta polnud teda kunagi näinud. Sinna kuulusid Weyrother, Mack ja Schmidt ning paljud teised Saksa kindraliteoreetikud, keda prints Andreil õnnestus 1805. aastal näha; aga ta oli neist kõigist tüüpilisem. Prints Andrey polnud kunagi näinud sellist saksa teoreetikut, kes ühendas endas kõik, mis neis sakslastes oli.
Pful oli lühike, väga kõhn, kuid laia kondiga, jäme, terve kehaehitusega, laia vaagna ja luuste abaluudega. Tema nägu oli väga kortsus, sügavalt asetsevate silmadega. Tema juuksed ees oimukohtades olid ilmselgelt kiiruga pintsliga silutud, taga naiivselt torkasid tutid. Ta astus rahutult ja vihaselt ringi vaadates tuppa, justkui kardaks ta kõike selles suures ruumis, kuhu ta oli sisenenud. Ebamugava liigutusega mõõka hoides pöördus ta Tšernõševi poole, küsides saksa keeles, kus suverään on. Ilmselt tahtis ta võimalikult kiiresti toad läbi käia, kummardused ja tervitused lõpule viia ning kaardi ette tööle istuda, kus ta tundis end õiges kohas. Ta noogutas kiiruga pead Tšernõševi sõnade peale ja naeratas irooniliselt, kuulates tema sõnu, et suverään kontrollis kindlustusi, mille tema, Pfuel ise oli oma teooria kohaselt rajanud. Ta oli bassimees ja lahe, nagu enesekindlad sakslased ütlevad, pomises endamisi: Dummkopf ... või: zu Grunde die ganze Geschichte ... või: s "wird was gescheites d" raus werden ... [jaba ... kuradile kogu asi ... (saksa) ] Prints Andrei ei kuulnud ja tahtis mööda minna, kuid Tšernõšev tutvustas prints Andreid Pfulile, märkides, et prints Andrei oli tulnud Türgist, kus sõda oli nii õnnelikult lõppenud. Pfuel heitis peaaegu pilgu mitte niivõrd prints Andreile, kuivõrd tema kaudu ja ütles naerdes: "Da muss ein schoner taktischcr Krieg gewesen sein." ["See pidi olema õige taktikaline sõda." (saksa)] – Ja põlglikult naerdes läks ta tuppa, kust kostis hääli.
Ilmselt oli Pfuel, kes oli alati valmis irooniliseks ärrituseks, täna eriti ärevil asjaolu, et nad julgesid tema laagrit ilma temata üle vaadata ja tema üle kohut mõista. Sellest ühest lühikesest kohtumisest Pfueliga andis prints Andrei tänu oma mälestustele Austerlitzist selle mehe selge iseloomustuse. Pfuel oli üks neist lootusetult, alati kuni märtrisurmani, enesekindlatest inimestest, kes on ainult sakslased, ja just seetõttu, et ainult sakslased on enesekindlad abstraktse idee - teaduse, see tähendab kujuteldava teadmise põhjal. täiuslik tõde. Prantslane on enesekindel, sest peab ennast isiklikult nii vaimult kui kehalt vastupandamatult võluvaks nii meeste kui naiste jaoks. Inglane on enesekindel põhjusel, et ta on maailma kõige mugavama riigi kodanik ja seetõttu teab ta inglasena alati, mida ta peab tegema, ja teab, et kõik, mida ta inglasena teeb, on kahtlemata hea. Itaallane on enesekindel, sest ta on ärevil ning unustab kergesti ennast ja teisi. Venelane on enesekindel just seetõttu, et ta ei tea midagi ja ei taha teada, sest ta ei usu, et midagi on võimalik lõpuni teada. Sakslane on enesekindel halvem kui keegi teine ja kõvem kui kõik ja tõrjuvam kui kõik, sest ta kujutab ette, et teab tõde, teadust, mille ta ise välja mõtles, kuid mis tema jaoks on absoluutne tõde. Selline oli ilmselt Pfuel. Tal oli teadus – kaldus liikumise teooria, mille ta tuletas Frederick Suure sõdade ajaloost ja kõigest, millega ta kohtus. lähiajalugu Frederick Suure sõjad ja kõik, mida ta viimasel ajal kohtas sõjaajalugu, tundus talle jama, barbaarsus, inetu kokkupõrge, milles mõlemal poolel tehti nii palju vigu, et neid sõdu ei saanud sõdadeks nimetada: need ei sobinud teooriaga ega saanud olla teaduse subjektiks.
1806. aastal oli Pfuel üks Jenas ja Auerstetis lõppenud sõja plaani koostajaid; kuid selle sõja tulemuses ei näinud ta vähimatki tõendit oma teooria ebaõigest. Vastupidi, tema teooriast tehtud kõrvalekalded tema kontseptsioonide kohaselt olid ainus põhjus kogu ebaõnne ja ütles talle iseloomuliku rõõmsa irooniaga: "Ich sagte ja, daji die ganze Geschichte zum Teufel gehen wird." [Ma ju ütlesin, et kogu asi läheb põrgusse (saksa)] Pfuel oli üks neist teoreetikutest, kes armastavad oma teooriat nii väga, et unustavad teooria eesmärgi – selle rakendamise praktikas; teooriasse armunud, vihkas ta igasugust praktikat ega tahtnud seda teada. Ta isegi rõõmustas oma ebaõnnestumise üle, sest läbikukkumine, mis tulenes praktikas teooriast kõrvalekaldumisest, tõestas talle ainult tema teooria paikapidavust.
Ta rääkis prints Andrei ja Tšernõševiga paar sõna tõeline sõda mehe näoilmega, kes teab ette, et kõik läheb halvasti ja et ta pole isegi sellega rahul. Kukla otsas välja paistvad kammimata juuksetutid ja kiiruga silutud oimukohad kinnitasid seda erilise kõnepruugiga.
Ta läks teise tuppa ja sealt kostis kohe tema hääle bassi ja nurinat.

Enne kui prints Andrei jõudis Pfueli pilguga järge ajada, sisenes krahv Benigsen kähku tuppa ja Bolkonskile peaga noogutades läks peatumata kabinetti, andes oma adjutandile mõned käsud. Suverään järgnes talle ja Bennigsen kiirustas ette, et midagi ette valmistada ja suverääniga õigel ajal kohtuda. Tšernõšev ja prints Andrei läksid verandale. Väsinud ilmega suverään astus hobuse seljast maha. Markii Pauluchi ütles suveräänile midagi. Suverään, langetanud pea vasakule, kuulas õnnetu pilguga Pauluccit, kes rääkis erilise innuga. Keiser liikus edasi, tahtes ilmselt vestlust lõpetada, kuid punetav, ärritunud itaallane, unustades sündsuse, järgnes talle, öeldes:
- Quant a celui qui a conseille ce camp, le camp de Drissa, [Mis puudutab Drissa laagrit nõustajat] - ütles Pauluchi, samal ajal kui suverään, astudes trepist sisse ja märgates prints Andreid, vaatas võõrale näkku.

Mikroosakeste laineomaduste avastamine näitas, et klassikaline mehaanika ei suuda anda õige kirjeldus selliste osakeste käitumine. Teooria, mis hõlmab kõiki omadusi elementaarosakesed, peavad arvestama mitte ainult nende korpuskulaarsete omadustega, vaid ka laineomadustega. Varem vaadeldud katsetest järeldub, et elementaarosakeste kiirel on osakeste kiiruse suunas leviva tasapinnalise laine omadused. Piki telge levimise korral saab seda laineprotsessi kirjeldada de Broglie lainevõrrandiga (7.43.5):

(7.44.1)

kus on osakese energia ja impulss. Suvalises suunas levides:

(7.44.2)

Nimetagem funktsiooni lainefunktsiooniks ja selgitame välja selle füüsikaline tähendus, võrreldes valguslainete ja mikroosakeste difraktsiooni.

Valguse olemust käsitlevate lainete ideede kohaselt on difraktsioonimustri intensiivsus võrdeline valguslaine amplituudi ruuduga. Vastavalt ideedele footoni teooria, määrab intensiivsuse difraktsioonimustri antud punkti langevate footonite arv. Järelikult on footonite arv difraktsioonimustri antud punktis antud valguslaine amplituudi ruuduga, samas kui üksiku footoni puhul määrab amplituudi ruut tõenäosuse, et footon tabab teatud punkti.

Mikroosakeste puhul täheldatud difraktsioonimustrit iseloomustab ka mikroosakeste voogude ebavõrdne jaotus. Maksimumite olemasolu difraktsioonimustris laineteooria seisukohalt tähendab, et need suunad vastavad de Broglie lainete suurimale intensiivsusele. Intensiivsus on suurem kus rohkem numbrit osakesed. Seega on mikroosakeste difraktsioonimuster statistilise seaduspärasuse ilming ja võib öelda, et teadmine de Broglie lainevormist, s.o. Ψ -funktsioonid, võimaldab hinnata ühe või teise võimaliku protsessi tõenäosust.

Niisiis kirjeldatakse kvantmehaanikas mikroosakeste olekut põhimõtteliselt uuel viisil - lainefunktsiooni abil, mis on nende korpuskulaarsete ja laineomaduste peamine teabekandja. Osakese leidmise tõenäosus ruumalaelemendis on

(7.44.3)

Väärtus

(7.44.4)

omab tõenäosustiheduse tähendust, s.t. määrab naabruses ruumalaühikus osakese leidmise tõenäosuse antud punkt. Seega ei oma füüsilist tähendust mitte funktsioon ise, vaid selle mooduli ruut, mis määrab de Broglie lainete intensiivsuse. Osakese leidmise tõenäosus lõplikus ruumalas vastavalt tõenäosuse liitmise teoreemile on võrdne

(7.44.5)

Kuna osake on olemas, leitakse see tingimata kusagilt ruumist. Teatud sündmuse tõenäosus on siis võrdne ühega

. (7.44.6)

Avaldist (7.44.6) nimetatakse tõenäosuse normaliseerimise tingimuseks. Mikroosakese toime tuvastamise tõenäosust ruumalaelemendis iseloomustav lainefunktsioon peab olema lõplik (tõenäosus ei saa olla suurem kui üks), üheselt mõistetav (tõenäosus ei saa olla mitmetähenduslik väärtus) ja pidev (tõenäosus ei saa järsult muutuda).

lainefunktsioon, või psi funktsioon ψ (\displaystyle \psi ) on kompleksväärtusega funktsioon, mida kasutatakse kvantmehaanikas süsteemi puhta oleku kirjeldamiseks. See on olekuvektori laienduskoefitsient aluse (tavaliselt koordinaat) kujul:

| ψ (t) ⟩ = ∫ Ψ (x, t) | x ⟩ d x (\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\int \Psi (x,t)\left|x\right\rangle dx)

kus | x ⟩ = | x 1 , x 2 , … , x n ⟩ (\displaystyle \left|x\right\rangle =\left|x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)\right\rangle ) on koordinaatide baasvektor ja Ψ(x, t) = ⟨x | ψ (t) ⟩ (\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x\left|\psi (t)\right\rangle )- lainefunktsioon koordinaatide esituses.

Lainefunktsiooni normaliseerimine

lainefunktsioon Ψ (\displaystyle \psi ) selle tähenduses peab vastama nn normaliseerimistingimusele, näiteks koordinaatide esituses kujul:

∫ V Ψ ∗ Ψ d V = 1 (\displaystyle (\int \limits _(V)(\Psi ^(\ast )\Psi )dV)=1)

Kvantolekute superpositsiooni põhimõte

Lainefunktsioonide puhul kehtib superpositsiooniprintsiip, mis seisneb selles, et kui süsteem võib olla lainefunktsioonidega kirjeldatud olekutes Ψ 1 (\displaystyle \Psi _(1)) ja Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(2)), siis võib see olla ka lainefunktsiooniga kirjeldatud olekus

Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(\Sigma )=c_(1)\Psi _(1)+c_(2)\Psi _(2)) mis tahes kompleksi jaoks c 1 (\displaystyle c_(1)) ja c 2 (\displaystyle c_(2)).

Ilmselgelt saab rääkida ka suvalise arvu kvantolekute superpositsioonist (liitmisest) ehk süsteemi kvantoleku olemasolust, mida kirjeldab lainefunktsioon Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + … + c N Ψ N = ∑ n = 1 N c n Ψ n (\displaystyle \Psi _(\Sigma )=c_(1)\Psi _(1)+ c_(2)\Psi _(2)+\ldots +(c)_(N)(\Psi )_(N)=\summa _(n=1)^(N)(c)_(n)( \Psi )_(n)).

Selles olekus koefitsiendi mooduli ruut c n (\displaystyle (c)_(n)) määrab tõenäosuse, et mõõtmise ajal leitakse süsteem lainefunktsiooniga kirjeldatud olekus Ψ n (\displaystyle (\Psi )_(n)).

Seetõttu normaliseeritud lainefunktsioonide jaoks ∑ n = 1 N | c n | 2 = 1 (\displaystyle \sum _(n=1)^(N)\left|c_(n)\right|^(2)=1).

Lainefunktsiooni regulaarsuse tingimused

Lainefunktsiooni tõenäosuslik tähendus seab kvantmehaanika ülesannetes lainefunktsioonidele teatud piirangud või tingimused. Neid standardtingimusi nimetatakse sageli lainefunktsiooni regulaarsuse tingimused.

Lainefunktsioon erinevates esitustes kasutatud olekud erinevates esitustes – vastavad sama vektori väljendusele erinevates koordinaatsüsteemides. Ka teistel lainefunktsioonidega operatsioonidel on vektorite keeles analooge. Lainemehaanikas kasutatakse esitust, kus psi-funktsiooni argumendid on terviklik süsteem pidev pendeldades vaadeldavaid andmeid, samas kui maatriks kasutab esitust, kus psi-funktsiooni argumendid on kogu süsteem diskreetne pendelrände jälgitavad andmed. Seetõttu on funktsionaalsed (laine-) ja maatrikskoostised matemaatiliselt ilmselgelt samaväärsed.