Ekvipotentsiaali asukoha määramine ja elektrivälja jõujoonte konstrueerimine. Ekvipotentsiaalpinnad

Väljade visuaalsemaks graafiliseks kujutamiseks kasutage lisaks pingejoontele võrdse potentsiaaliga pindu või ekvipotentsiaalpinnad. Nagu nimigi ütleb, on ekvipotentsiaalne pind selline, mille kõigil punktidel on sama potentsiaal. Kui potentsiaal on antud funktsioonina x, y, z, siis ekvipotentsiaalipinna võrrand on:

Väljatugevuse jooned on potentsiaaliühtlustuspindadega risti.

Tõestame seda väidet.

Laske sirgel ja jõujoonel moodustada mingi nurk (joonis 1.5).

Liigume mööda katselaengu joont punktist 1 punkti 2. Sel juhul teevad välijõud tööd:

. (1.5)

See tähendab, et katselaengu liigutamine piki potentsiaaliühtlustuspinda on null. Sama tööd saab defineerida ka teisiti - laengu korrutisena katselaengule mõjuva väljatugevuse mooduli, nihke suuruse ning vektori ja nihkevektori vahelise nurga koosinuse järgi, s.o. nurga koosinus (vt joonis 1.5):

.

Töö väärtus ei sõltu selle arvutamise meetodist, vastavalt (1.5) võrdub see nulliga. See tähendab, et ja vastavalt , mida tuli tõestada.

Potentsiaaliekvivalentsipinna saab tõmmata läbi mis tahes punkti väljal. Seetõttu saab selliseid pindu konstrueerida lõpmatu arv. Leppisime aga kokku, et juhime pinnad nii, et kahe naaberpinna potentsiaalide erinevus oleks igal pool sama. Seejärel saab ekvipotentsiaalpindade tiheduse järgi hinnata väljatugevuse suurust. Tõepoolest, mida tihedamad on ekvipotentsiaalpinnad, seda kiiremini muutuvad potentsiaalid, liikudes piki normaalset pinnale.

Joonisel 1.6,a on kujutatud punktlaengu välja jaoks ekvipotentsiaalpinnad (täpsemalt nende lõikumine joonise tasapinnaga). Vastavalt muutuse olemusele muutuvad ekvipotentsiaalpinnad laengule lähenedes tihedamaks. Joonisel 1.6b on näidatud dipoolvälja ekvipotentsiaalpinnad ja pingejooned. Jooniselt 1.6 on näha, et potentsiaaliühtlustuspindade ja pingejoonte samaaegsel kasutamisel on väljapilt eriti selge.

Ühtlase välja korral kujutavad ekvipotentsiaalpinnad ilmselgelt võrdsete tasandite süsteemi, mis on risti väljatugevuse suunaga.

1.8. Väljatugevuse ja potentsiaali seos

(potentsiaalne gradient)

Olgu suvaline elektrostaatiline väli. Sellel väljal joonistame kaks ekvipotentsiaalipinda nii, et need erinevad üksteisest potentsiaali väärtuse võrra dφ(Joonis 1.7)

Pingevektor on suunatud piki normaalset pinnale. Normaali suund on sama mis x-telje suund. Telg x punktist 1 tõmmatud lõikub pinnaga punktis 2.

Joonelõik dx tähistab lühimat vahemaad punktide 1 ja 2 vahel. Töö, mis tehakse siis, kui laeng liigub mööda seda lõiku:

Teisest küljest võib sama töö kirjutada järgmiselt:

Võrdsustades need kaks väljendit, saame:

kus osatuletise sümbol rõhutab, et diferentseerimine toimub ainult seoses x. Sarnaste arutluste kordamine telgede kohta y ja z, leiame vektori:

, (1.7)

kus on koordinaattelgede ühikvektorid x, y, z.

Avaldisega (1.7) määratletud vektorit nimetatakse skalaargradiendiks φ . Selle jaoks kasutatakse koos tähistusega ka tähist. ("nabla") tähendab sümboolset vektorit, mida nimetatakse Hamiltoni operaatoriks

Elektrostaatilist välja saab iseloomustada jõu- ja potentsiaalivõrdsusjoonte kombinatsiooniga.

jõujoon - see on väljale mõtteliselt tõmmatud joon, mis algab positiivselt laetud kehal ja lõpeb negatiivselt laetud kehal, tõmmatud nii, et selle puutuja mis tahes välja punktis annab pinge suuna selles punktis.

jõujooned sulguvad positiivsete ja negatiivsete laengutega ega suuda endasse sulguda.

Under ekvipotentsiaalne pind mõista välja punktide komplekti, millel on sama potentsiaal ().

Kui elektrostaatiline väli lõigatakse lõiketasapinnaga, siis on lõigus nähtavad tasandi ja potentsiaalivõrdsuspindade ristumisjäljed. Neid jälgi nimetatakse potentsiaaliühtlustusjoonteks.

Potentsiaalide võrdsusliinid on enda jaoks suletud.

elektriliinid ja ekvipotentsiaaliliinid lõikuvad täisnurga all.

R
Mõelge ekvipotentsiaalpinnale:

(kuna punktid asuvad ekvipotentsiaalipinnal).

- skalaarkorrutis

Elektrostaatilise väljatugevuse jooned läbivad potentsiaaliühtlustuspinda 90 0 nurga all, seejärel vektorite vahelise nurga all.
on 90 kraadi ja nende punktkorrutis on 0.

Potentsiaaljoone võrrand

Mõelge jõujoonele:

H
elektrostaatilise välja tugevus on suunatud jõujoonele tangentsiaalselt (vt jõujoone definitsiooni), samuti on suunatud teeelement , seega on nende kahe vektori vaheline nurk null.

või

Väljajoone võrrand

Gradiendi läbilaskevõime

Gradiendi läbilaskevõime on potentsiaalse kasvu kiirus lühimas suunas kahe punkti vahel.

Kahe punkti vahel on potentsiaalne erinevus. Kui see erinevus jagada võetud punktide vahelise lühema vahemaaga, iseloomustab saadud väärtus potentsiaalsete muutuste kiirust punktide vahelise lühima vahemaa suunas.

Potentsiaaligradient näitab potentsiaali suurima kasvu suunda, on arvuliselt võrdne intensiivsusmooduliga ja on selle suhtes negatiivselt suunatud.

Gradiendi määratlemisel on olulised kaks punkti:

Kahe lähedalasuva punkti võtmise suund peaks olema selline, et muutuse kiirus oleks maksimaalne.

Suund on selline skalaarfunktsioon suureneb selles suunas.

Descartes'i koordinaatsüsteemi jaoks:

Potentsiaali muutumise kiirus X-, Y-, Z-telje suunas:

;
;

Kaks vektorit on võrdsed ainult siis, kui nende projektsioonid on üksteisega võrdsed. Pingevektori projektsioon teljel X võrdub potentsiaalse muutuse kiiruse projektsiooniga piki telge X võetud vastupidise märgiga. Samamoodi telgede puhul Y ja Z.

;
;
.

Silindrilises koordinaatsüsteemis on potentsiaalse gradiendi avaldis järgmine vorm.

Suund väljajoon(pingejooned) langeb igas punktis kokku suunaga. Sellest järeldub pinge on võrdne potentsiaalse erinevusega U väljajoone pikkuseühiku kohta .

Piki jõujoont toimub potentsiaali maksimaalne muutus. Seetõttu on alati võimalik mõõtmise teel määrata kahe punkti vahel U nende vahel ja mida täpsem, seda lähemal on punktid. Ühtlases elektriväljas on jõujooned sirged. Seetõttu on siin kõige lihtsam määratleda:

Väljajoonte ja potentsiaaliühtlustuspindade graafiline kujutis on näidatud joonisel 3.4.

Seda pinda mööda liikudes d l potentsiaal ei muutu.

Sellest järeldub, et vektori projektsioon kuni d l null , see on Seetõttu on see igas punktis suunatud piki normaalset potentsiaaliühtlustuspinnale.

Saate joonistada nii palju potentsiaaliühtlustusi kui soovite. Ekvipotentsiaalpindade tiheduse järgi saab hinnata väärtust , eeldatakse, et potentsiaalide erinevus kahe kõrvuti asetseva potentsiaaliühtluspinna vahel on võrdne konstantse väärtusega.

Valem väljendab potentsiaali suhet pingega ja võimaldab seda teha teadaolevad väärtusedφ leidke väljatugevus igas punktis. Samuti on võimalik lahendada pöördülesanne, s.t. teadaolevate väärtuste järgi igas välja punktis leidke potentsiaalne erinevus välja kahe suvalise punkti vahel. Selleks kasutame seda, et välja poolt tehtud töö mõjub laengule q selle liigutamisel punktist 1 punkti 2 saab arvutada järgmiselt:

Teisest küljest võib teost kujutada järgmiselt:

, siis

Integraali võib võtta piki suvalist punkti 1 ja punkti 2 ühendavat sirget, sest väljajõudude töö ei sõltu teekonnast. Suletud ahela möödaviigu jaoks saame:

need. jõudis tuntud teoreemini intensiivsusvektori ringluse kohta: elektrostaatilise väljatugevuse vektori tsirkulatsioon piki mis tahes suletud ahelat on võrdne nulliga.

Sellise omadusega välja nimetatakse potentsiaaliks.

Vektori tsirkulatsiooni kadumisest järeldub, et elektrostaatilise välja jooni ei saa sulgeda: need algavad positiivsetest laengutest (allikatest) ja edasi. negatiivsed laengud lõpp (vajub) või minna lõpmatusse(joonis 3.4).

See seos kehtib ainult elektrostaatilise välja puhul. Seejärel saame teada, et liikuvate laengute väli ei ole potentsiaalne ja see seos ei ole selle jaoks rahuldatud.

Potentsiaalide võrdsuspind ekvipotentsiaalne pind

pind, mille kõigil punktidel on sama potentsiaal. Potentsiaalide ekvipotentsiaalpind on väljajoonte suhtes ortogonaalne. Elektrostaatikas oleva juhi pind on potentsiaaliühtluspind.

ekvipotentsiaalpind, pind, mille kõigis punktides on potentsiaal (cm. POTENTSIAAL (füüsikas)) elektrivälja väärtus on sama j= konst. Tasapinnal on need pinnad ekvipotentsiaalivälja jooned. Kasutatakse potentsiaalse jaotuse graafiliseks kuvamiseks.
Potentsiaaliühtlustuspinnad on suletud ega ristu. Potentsiaalpindade kujutis viiakse läbi nii, et külgnevate potentsiaalivõrdsuspindade potentsiaalide erinevused on samad. Sel juhul on väljatugevus suurem nendes piirkondades, kus ekvipotentsiaalpindade jooned on tihedamad.
Ekvipotentsiaalpinna mis tahes kahe punkti vahel on potentsiaalide erinevus null. See tähendab, et jõuvektor laengu trajektoori mis tahes punktis piki ekvipotentsiaalpinda on kiirusvektoriga risti. Seetõttu pingeliinid (cm. ELEKTRIVÄLJA TUGEVUS) elektrostaatilised väljad on potentsiaaliühtlustuspinnaga risti. Teisisõnu: ekvipotentsiaalne pind on jõujoontega ortogonaalne (cm. ELEKTRILIINID) välja ning elektrivälja tugevuse vektor E on alati risti potentsiaaliühtlustuspindadega ja on alati suunatud potentsiaali vähenemise suunas. Elektrivälja jõudude töö laengu mis tahes liikumisel piki potentsiaaliühtlustuspinda on null, kuna?j = 0.
Punktelektrilaengu välja ekvipotentsiaalpinnad on sfäärid, mille keskel laeng paikneb. Ühtlase elektrivälja ekvipotentsiaalpinnad on pingejoontega risti asetsevad tasapinnad. Elektrostaatilises väljas oleva juhi pind on ekvipotentsiaalne pind.

entsüklopeediline sõnaraamat. 2009 .

Vaadake, mis on "ekvipotentsiaalpind" teistes sõnaraamatutes:

Pind, mille kõigil punktidel on sama potentsiaal. Potentsiaalide ekvipotentsiaalpind on väljajoonte suhtes ortogonaalne. Juhi pind elektrostaatilises on potentsiaalivõrdus... Suur entsüklopeediline sõnaraamat

Pind, kõigil sülemi punktidel on sama potentsiaal. Näiteks juhi pind elektrostaatikas E. lk Füüsikaline entsüklopeediline sõnaraamat. Moskva: Nõukogude entsüklopeedia. Peatoimetaja A. M. Prohhorov. 1983... Füüsiline entsüklopeedia

ekvipotentsiaalne pind- - [Ja.N. Luginski, M.S. Fezi Žilinskaja, Ju.S. Kabirov. English Russian Dictionary of Electrical Engineering and Energy Engineering, Moskva, 1999] Elektrotehnika teemad, põhimõisted EN võrdse potentsiaali pind võrdse energia pinnaekvipotentsiaal ... ... Tehnilise tõlkija käsiraamat

Elektridipooli ekvipotentsiaalpinnad (pimedas on nende lõiked joonise tasapinnal; värv näitab potentsiaali väärtust erinevad punktid suurimad väärtused on lilla ja punane, n ... Wikipedia

ekvipotentsiaalne pind- vienodo potencialo paviršius statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. ekvipotentsiaalpinna vok. Äquipotentialfläche, f rus. ekvipotentsiaalipind, fpranc. pinna depotentsiaalikonstant, f; pind d'égal potentiel, f; pind… … Fizikos terminų žodynas

Võrdse potentsiaaliga pind, mille kõigil punktidel on sama potentsiaal. Näiteks juhi pind elektrostaatikas E. p. Jõuväljas on jõujooned normaalsed (risti) E. p ... Suur nõukogude entsüklopeedia

- (lat. aequus võrdne ja potentsiaalne) geom. punktide koht väljal, silmale vastab samale potentsiaali väärtusele. E. p. on jõujoontega risti. Ekvipotentsiaal on näiteks juhi pind elektrostaatilises ... ... Suur entsüklopeediline polütehniline sõnaraamat

Vektorväljade visuaalseks kujutamiseks kasutatakse jõujoonte mustrit. Jõujoon on kujuteldav matemaatiline kõver ruumis, mille puutuja suund igas punkt, mida see läbib, langeb kokku vektori suunaga väljad samas kohas(Joon. 1.17).
Riis. 1.17:
Vektori E → ja puutuja paralleelsuse tingimuse saab kirjutada võrdseks nulliga vektorprodukt E → ja kaareelement d r → väljajoon:

Ekvipotentsiaal on pind mis on elektripotentsiaali konstantne väärtusφ . Punktlaengu väljal, nagu on näidatud joonisel fig. , sfäärilised pinnad, mille keskpunktid on laengu asukohas, on ekvipotentsiaalsed; seda saab näha võrrandist ϕ = q ∕ r = const .

Elektriliste jõujoonte ja potentsiaalivõrdsuspindade geomeetriat analüüsides saab määrata jada ühised omadused elektrostaatilise välja geomeetria.

Esiteks algavad jõujooned laengutest. Nad lähevad kas lõpmatuseni või satuvad muudele laengutele, nagu joonisel fig. .

Teiseks ei saa potentsiaaliväljas jõujooni sulgeda. Vastasel juhul oleks võimalik näidata nii suletud ahelat, et elektrivälja töö laengu liigutamisel mööda seda ahelat ei võrdu nulliga.

Kolmandaks, jõujooned lõikuvad mis tahes ekvipotentsiaali piki selle normaalset. Tõesti, elektriväli kõikjal on suunatud potentsiaali kiireima kahanemise suunas ja ekvipotentsiaalpinnal on potentsiaal definitsiooni järgi konstantne (joonis ).
Riis. 1.20 :
Ja lõpuks, jõujooned ei lõiku kuskil, välja arvatud punktid, kus E → = 0 . Väljajoonte ristumiskoht tähendab, et lõikepunktis olev väli on koordinaatide mitmetähenduslik funktsioon ja vektoril E → puudub kindel suund. Ainus vektor, millel on see omadus, on nullvektor. Nullpunkti lähedal asuva elektrivälja struktuuri analüüsitakse ülesannetes ?? .

Jõujoonte meetod on loomulikult rakendatav mis tahes vektorväljade graafilisel kujutamisel. Niisiis, peatükis me kohtume magnetiliste jõujoonte mõistega. Siiski geomeetria magnetväli täiesti erinev elektrivälja geomeetriast.

Riis. 1.21:
Jõujoonte mõiste on tihedalt seotud jõutoru mõistega. Võtame suvalise suletud ahela L ja tõmbame selle iga punkti läbi elektrilise jõujoone (joonis ). Need jooned moodustavad jõutoru. Vaatleme suvalist toru lõiku pinna S poolt. Positiivse normaaljoone joonistame samas suunas, kuhu jõujooned on suunatud. Olgu N vektori E → voog läbi lõigu S . On hästi näha, et kui toru sees ei ole elektrilaenguid, siis voog N jääb kogu toru pikkuses samaks. Selle tõestamiseks peame võtma veel ühe ristlõike S ′. Gaussi teoreemi kohaselt on elektrivälja vool läbi toru külgpinna ja lõikude S , S ′ poolt piiratud suletud pinna võrdne nulliga, kuna jõutoru sees ei ole elektrilaenguid. läbi voolata külgpind on null, kuna vektor E → puudutab seda pinda. Seetõttu on läbilõike S ′ läbiv vool arvuliselt võrdne N , kuid märgilt vastupidine. Selle lõigu suletud pinna välimine normaal on suunatud vastassuunas n → . Kui suuname normaalse samas suunas, siis kattuvad voolud läbi lõikude S ja S ′ nii suuruselt kui ka märgiliselt. Eelkõige juhul, kui toru on lõpmata õhuke ja lõigud S ja S' on selle suhtes normaalsed, siis

E S = E′ S′ .

Selgub täielik analoogia kokkusurumatu vedeliku vooluga. Seal, kus toru on õhem, on väli E → tugevam. Nendes kohtades, kus see on laiem, on väli E → tugevam. Seetõttu saab elektrivälja tugevust hinnata jõujoonte tiheduse järgi.

Enne arvutite leiutamist võeti väljajoonte eksperimentaalseks reprodutseerimiseks lameda põhjaga klaasnõu ja valati sinna mittejuhtiv vedelik, näiteks kastoorõli või glütseriin. Vedelikusse segati ühtlaselt kipsi, asbesti või muude piklike osakeste pulbrilised kristallid. Metallelektroodid sukeldati vedelikku. Elektriallikatega ühendamisel ergastasid elektroodid elektrivälja. Selles väljas on osakesed elektrifitseeritud ja, olles üksteise külge tõmbunud vastandlike elektrifitseeritud otstega, on paigutatud ahelate kujul piki jõujooni. Väljajoonte pilti moonutavad ebahomogeenses elektriväljas sellele mõjuvad jõud tekitatud vedelikuvoolud.

Tuleb veel teha
Riis. 1.22:
Parimad tulemused saadakse Robert W. Pohli (1884-1976) kasutatud meetodil. Teraselektroodid liimitakse klaasplaadile, mille vahele tekib elektripinge. Seejärel valatakse plaadile piklikud osakesed, näiteks kipsikristallid, kergelt koputades. Need asuvad piki seda jõujoont mööda. Joonisel fig. ?? kujutatakse sel viisil saadud jõujoonte pilti kahe vastassuunaliselt laetud kaadriringi vahel.

▸ Ülesanne 9.1

Kirjutage väljajoonte võrrand suvalises ortogonaalis koordinaadid.

▸ Ülesanne 9.2

Kirjutage üles jõujoonte võrrand sfäärilistes koordinaatides.