Diferentsiaalvõrrandite üldlahenduse tüübid. Diferentsiaalvõrrandite põhimõisted ja definitsioonid

diferentsiaalvõrrand nimetatakse võrrandit, mis seob sõltumatut muutujat x, soovitud funktsiooni y=f(x) ja selle tuletisi y",y",\ldots,y^((n)), st vormi võrrand

F(x,y,y",y"",\ldots,y^((n)))=0.

Kui soovitud funktsioon y \u003d y (x) on ühe sõltumatu muutuja x funktsioon, nimetatakse diferentsiaalvõrrandit tavaliseks; Näiteks,

\mathsf(1))~\frac(dy)(dx)+xy=0, \quad \mathsf(2))~y""+y"+x=\cos(x), \quad \mathsf(3))~(x^2-y^2)\,dx-(x+y)\,dy=0.

Kui soovitud funktsioon y on kahe või enama sõltumatu muutuja funktsioon, näiteks kui y=y(x,t) , siis võrrand kujul

F\!\left(x,t,y,\frac(\partial(y))(\partial(x)),\frac(\partial(y))(\partial(t)),\ldots,\frac(\partial^m(y))(\partial(x^k)\partial(t^l))\right)=0

nimetatakse osaliseks diferentsiaalvõrrandiks. Siin on k,l mittenegatiivsed täisarvud, nii et k+l=m ; Näiteks

\frac(\partial(y))(\partial(t))-\frac(\partial(y))(\partial(x))=0, \quad \frac(\partial(y))(\partial(t))=\frac(\partial^2y)(\partial(x^2)).

Diferentsiaalvõrrandi järjekord on võrrandi kõrgeima tuletise järjekord. Näiteks diferentsiaalvõrrand y"+xy=e^x on esimest järku võrrand, diferentsiaalvõrrand y""+p(x)y=0, kus p(x) on teadaolev funktsioon, on teist järku võrrand; diferentsiaalvõrrand y^((9))-xy""=x ^2 või.

Diferentsiaalvõrrandi lahendamisega n-ndat järku intervallil (a,b) on funktsioon y=\varphi(x), mis on defineeritud intervallis (a,b) koos selle tuletistega kuni n-ndat järku (kaasa arvatud) ja nii, et funktsiooni y=\varphi(x) asendamine diferentsiaalvõrrandiga muudab viimase identiteediks punktis x (a,b) . Näiteks funktsioon y=\sin(x)+\cos(x) on võrrandi y""+y=0 lahend intervallil (-\infty,+\infty). Tõepoolest, eristame funktsiooni kaks korda

y"=\cos(x)-\sin(x), \quad y""=-\sin(x)-\cos(x).

Asendades avaldised y"" ja y diferentsiaalvõrrandis, saame identiteedi

-\sin(x)-\cos(x)+\sin(x)+\cos(x)\equiv0

Diferentsiaalvõrrandi lahendamise graafikut nimetatakse integraalkõver see võrrand.

Esimest järku võrrandi üldvaade

F(x,y,y")=0.

Kui võrrandit (1) saab lahendada y" suhtes, siis saame tuletise suhtes lahendatud esimest järku võrrand.

y"=f(x,y).

Cauchy ülesanne on ülesanne leida võrrandile y"=f(x,y) lahendus y=y(x), mis rahuldaks algtingimust y(x_0)=y_0 (teine märge y|_(x=x_0)=y_0 ).

Geomeetriliselt tähendab see, et me otsime antud läbivat integraalkõverat
xOy tasapinna punkt M_0(x_0,y_0) (joonis 1).

Olemasolu ja kordumatuse teoreem Cauchy ülesande lahendamiseks

Olgu antud diferentsiaalvõrrand y"=f(x,y) , kus funktsioon f(x,y) on defineeritud xOy tasandi mingis piirkonnas D, mis sisaldab punkti (x_0,y_0) . Kui funktsioon f(x,y) vastab tingimustele

a) f(x,y) on kahe muutuja x ja y pidev funktsioon piirkonnas D ;

b) f(x,y) omab osatuletist, mis on piiratud piirkonnas D , siis on olemas intervall (x_0-h,x_0+h), millel on selle võrrandi unikaalne lahend y=\varphi(x), mis rahuldab tingimust y(x_0)=y_0 .

Teoreem annab piisavad tingimused Cauchy ülesande ainulaadse lahenduse olemasoluks võrrandi y"=f(x,y) jaoks, kuid need tingimused ei ole vajalik. Nimelt võib olla võrrandi y"=f(x,y) unikaalne lahend, mis rahuldab tingimust y(x_0)=y_0 , kuigi punktis (x_0,y_0) ei ole tingimused a) või b) või mõlemad täidetud.

Kaaluge näiteid.

1. y"=\frac(1)(y^2) . Siin f(x,y)=\frac(1)(y^2),~\frac(\partial(f))(\partial(y))=-\frac(2)(y^3). Ox-telje punktides (x_0,0) ei ole tingimused a) ja b) täidetud (funktsioon f(x,y) ja selle osaline tuletis \frac(\partial(f))(\partial(y)) on Ox-teljel katkendlikud ja y\to0 korral piiramata), kuid üks integraalkõver läbib Ox-telje iga punkti y=\sqrt(3(x-x_0))(Joonis 2).

2. y"=xy+e^(-y) . Võrrandi f(x,y)=xy+e^(-y) parem pool ja selle osatuletis \frac(\partial(f))(\partial(y))=x-e^(-y) on pidevad x ja y tasandi kõigis punktides xOy . Olemasolu ja kordumatuse teoreemi alusel on piirkond, milles antud võrrandil on kordumatu lahendus
on kogu tasapind xOy .

3. y"=\frac(3)(2)\sqrt(y^2). Võrrandi parem pool f(x,y)=\frac(3)(2)\sqrt(y^2) on määratletud ja pidev kõigis xOy tasandi punktides. Osaline tuletis \frac(\partial(f))(\partial(y))=\frac(1)(\sqrt(y)) läheb lõpmatuseni y=0 juures, st. teljel Ox, nii et olemasolu ja kordumatuse teoreemi tingimus b) on rikutud y=0 korral. Järelikult saab härja telje punktides unikaalsust rikkuda. Lihtne on kontrollida, kas funktsioon on antud võrrandi lahend. Lisaks on võrrandil ilmne lahend y\equiv0 . Seega läbib härja telje iga punkti vähemalt kaks integraaljoont ja järelikult on selle telje punktides unikaalsus tõepoolest rikutud (joonis 3).

Selle võrrandi integraaljooned on ka sirged, mis koosnevad kuupparaboolide tükkidest y=\frac((x+c)^3)(8) ja härja telje segmendid, näiteks ABOC_1, ABB_2C_2, A_2B_2x jne, nii et lõpmatu hulk integraaljooni läbib iga Hrja telje punkti.

Lipschitzi seisund

Kommenteeri. Piiratud tuletistingimus \partial(f)/\partial(y), esinedes Cauchy ülesande lahenduse olemasolu ja kordumatuse teoreemis, võib mõnevõrra nõrgendada ja asendada nn. Lipschitzi seisund.

Öeldakse, et mingis domeenis D defineeritud funktsioon f(x,y) vastab Lipschitzi tingimusele y-s D-s, kui on olemas selline konstant L ( Lipschitzi konstant), et mis tahes y_1, y_2 jaoks D-st ja mis tahes x-st D-st on ebavõrdsus

|f(x,y_2)-f(x,y_1)| \leqslant L|y_2-y_1|.

Piiratud tuletise domeenis D olemasolu \frac(\partial(f))(\partial(y)) on piisav, et funktsioon f(x, y) täidaks Lipschitzi tingimust D-s. Vastupidi, Lipschitzi tingimus ei tähenda piiratuse tingimust \frac(\partial(f))(\partial(y)); viimast ei pruugi isegi olemas olla. Näiteks võrrandi y"=2|y|\cos(x) funktsioon f(x,y)=2|y|\cos(x) ei ole punktis y suhtes diferentseeruv (x_0,0),x_0\ne\frac(\pi)(2)+k\pi,k\in\mathbb(Z), kuid Lipschitzi tingimus on selle punkti läheduses täidetud. Tõepoolest,

(|f(x,y_2)-f(x,y_1)|=L|2|y_2|\cos(x)-2|y_1|\cos(x)|=2|\cos(x)|\,||y_2|-|y_1||\leqslant2|y_2-y_1|.)

sest |\cos(x)|\leqslant1, A ||y_2|-|y_1||\leqslant|y_2-y_1|. Seega on Lipschitzi tingimus konstandiga L=2 rahuldatud.

Teoreem. Kui funktsioon f(x,y) on pidev ja rahuldab Lipschitzi tingimust y-s domeenis D , siis Cauchy ülesanne

\frac(dy)(dx)=f(x,y), \quad y|_(x=x_0)=y_0, \quad (x_0,y_0)\in(D).

on ainulaadne lahendus.

Lipschitzi tingimus on Cauchy probleemi lahenduse unikaalsuse jaoks hädavajalik. Vaatleme näiteks võrrandit

\frac(dy)(dx)=\begin(cases)\dfrac(4x^3y)(x^4+y^4),&x^2+y^2>0,\\0,&x=y=0.\end(juhtumid)

On lihtne näha, et funktsioon f(x, y) on pidev; teisel pool,

f(x,Y)-f(x,y)=\frac(4x^3(x^4+yY))((x^4+y^2)(x^4+Y^2))(Y-y).

Kui y=\alpha x^2,~Y=\beta x^2, See

|f(x,Y)-f(x,y)|=\frac(4)(|x|)\frac(1-\alpha\beta)((1+\alpha^2)(1+\beta^2))|Y-y|,

ja Lipschitzi tingimus ei ole täidetud üheski piirkonnas, mis sisaldab alguspunkti O(0,0), kuna tegur |Y-y| osutub x\to0 jaoks piiramatuks.

See diferentsiaalvõrrand võimaldab lahendust y=C^2-\sqrt(x^4+C^4), kus C on suvaline konstant. See näitab, et on olemas lõpmatu hulk lahendusi, mis rahuldavad algtingimust y(0)=0.

Üldine lahendus diferentsiaalvõrrandit (2) nimetatakse funktsiooniks

y=\varphi(x,C),

sõltuvalt ühest suvalisest konstandist C , ja selline, et

1) see vastab võrrandile (2) konstandi C mis tahes lubatud väärtuste korral;

2) olenemata algtingimusest

\Bigl.(y)\Bigr|_(x=x_0)=y_0,

konstandile C saab valida sellise väärtuse C_0, et lahendus y=\varphi(x,C_0) täidaks antud algtingimust (4). Eeldatakse, et punkt (x_0,y_0) kuulub piirkonda, kus on täidetud lahenduse olemasolu ja kordumatuse tingimused.

Eraldi otsus diferentsiaalvõrrandit (2) nimetatakse lahendiks, mis saadakse ühine lahendus(3) suvalise konstandi C mõne konkreetse väärtuse korral.

Näide 1. Kontrollige, et funktsioon y=x+C on diferentsiaalvõrrandi y"=1 üldlahend ja leidke konkreetne lahendus, mis rahuldab algtingimust y|_(x=0)=0. Andke tulemuse geomeetriline tõlgendus.

Lahendus. Funktsioon y=x+C rahuldab selle võrrandi suvalise konstandi C mis tahes väärtuste korral. Tõepoolest, y"=(x+C)"=1.

Määrame suvalise algtingimuse y|_(x=x_0)=y_0 . Kui panna x=x_0 ja y=y_0 võrrandisse y=x+C , leiame, et C=y_0-x_0 . Asendades selle C väärtuse selle funktsiooniga, saame y=x+y_0-x_0 . See funktsioon rahuldab antud algtingimust: pannes x=x_0 , saame y=x_0+y_0-x_0=y_0. Seega on funktsioon y=x+C selle võrrandi üldlahendus.

Täpsemalt, seades x_0=0 ja y_0=0 saame konkreetse lahenduse y=x .

Selle võrrandi üldlahend, s.o. funktsioon y=x+C , defineerib xOy tasapinnal paralleelsirgete perekonna kaldega k=1 . Üks integraaljoon y=x+y_0-x_0 läbib xOy tasandi iga punkti M_0(x_0,y_0). Konkreetne lahendus y=x määrab ühe integraalkõvera, nimelt alguspunkti läbiva sirge (joonis 4).

Näide 2. Kontrollige, kas funktsioon y=Ce^x on võrrandi y"-y=0 üldlahend ja leidke konkreetne lahendus, mis rahuldab algtingimust y|_(x=1)=-1. .

Lahendus. Meil on y=Ce^x,~y"=Ce^x. Asendades selles võrrandis avaldised y ja y", saame Ce^x-Ce^x\equiv0, st funktsioon y=Ce^x rahuldab selle võrrandi konstandi C mis tahes väärtuste korral.

Määrame suvalise algtingimuse y|_(x=x_0)=y_0 . Asendades funktsioonis y=Ce^x x ja y asemel x_0 ja y_0, saame y_0=Ce^(x_0) , kust C=y_0e^(-x_0) . Funktsioon y=y_0e^(x-x_0) vastab algtingimusele. Tõepoolest, eeldades, et x=x_0 , saame y=y_0e^(x_0-x_0)=y_0. Funktsioon y=Ce^x on selle võrrandi üldlahend.

Kui x_0=1 ja y_0=-1 saame konkreetse lahenduse y=-e^(x-1) .

Geomeetrilisest vaatenurgast defineerib üldlahendus integraalkõverate perekonna, mis on eksponentsiaalfunktsioonide graafikud; konkreetne lahendus on integraalkõver, mis läbib punkti M_0(1;-1) (joonis 5).

Nimetatakse seost kujul \Phi(x,y,C)=0 , mis kaudselt määrab üldlahenduse ühine integraal esimest järku diferentsiaalvõrrand.

Nimetatakse seost, mis saadakse üldintegraalist konstandi C teatud väärtusel privaatne integraal diferentsiaalvõrrand.

Diferentsiaalvõrrandi lahendamise või integreerimise ülesanne on leida antud diferentsiaalvõrrandi üldlahendus või üldintegraal. Kui lisatingimus on antud, siis tuleb valida konkreetne lahendus või integraal, mis antud lähtetingimust rahuldab.

Kuna geomeetrilisest vaatepunktist on x- ja y-koordinaadid koos võrrandiga võrdsed \frac(dx)(dy)=f(x,y) vaatleme võrrandit \frac(dx)(dy)=\frac(1)(f(x,y)).

I. Tavalised diferentsiaalvõrrandid

1.1. Põhimõisted ja määratlused

Diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis seob sõltumatu muutuja x, soovitud funktsioon y ja selle tuletised või diferentsiaalid.

Sümboolselt kirjutatakse diferentsiaalvõrrand järgmiselt:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0

Diferentsiaalvõrrandit nimetatakse tavaliseks, kui soovitud funktsioon sõltub ühest sõltumatust muutujast.

Diferentsiaalvõrrandi lahendamisega nimetatakse selliseks funktsiooniks, mis muudab selle võrrandi identiteediks.

Diferentsiaalvõrrandi järjekord on selle võrrandi kõrgeima tuletise järjekord

Näited.

1. Vaatleme esimest järku diferentsiaalvõrrandit

Selle võrrandi lahenduseks on funktsioon y = 5 ln x. Tõepoolest, asendades y" võrrandisse, saame - identiteedi.

Ja see tähendab, et funktsioon y = 5 ln x– on selle diferentsiaalvõrrandi lahendus.

2. Vaatleme teist järku diferentsiaalvõrrandit y" - 5a" + 6y = 0. Funktsioon on selle võrrandi lahendus.

Tõesti,.

Asendades need avaldised võrrandisse, saame: , - identiteedi.

Ja see tähendab, et funktsioon on selle diferentsiaalvõrrandi lahendus.

Diferentsiaalvõrrandite integreerimine nimetatakse lahenduste otsimise protsessiks diferentsiaalvõrrandid.

Diferentsiaalvõrrandi üldlahend nimetatakse vormi funktsiooniks , mis sisaldab sama palju sõltumatuid suvalisi konstante kui võrrandi järjekord.

Diferentsiaalvõrrandi osalahend nimetatakse lahenduseks, mis saadakse suvaliste konstantide erinevate arvväärtuste üldlahendusest. Suvaliste konstantide väärtused leitakse argumendi ja funktsiooni teatud algväärtuste juures.

Diferentsiaalvõrrandi konkreetse lahendi graafikut nimetatakse integraalkõver.

Näited

1. Leidke esimest järku diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus

xdx + ydy = 0, Kui y= 4 kl x = 3.

Lahendus. Integreerides võrrandi mõlemad pooled, saame

Kommenteeri. Integreerimise tulemusena saadud suvalist konstanti C saab esitada mis tahes kujul, mis sobib edasiste teisenduste jaoks. Sel juhul, võttes arvesse ringi kanoonilist võrrandit, on mugav esitada suvaline konstant С kujul .

on diferentsiaalvõrrandi üldlahend.

Võrrandi konkreetne lahendus, mis vastab algtingimustele y = 4 kl x = 3 leitakse üldisest, asendades üldlahendiga algtingimused: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Asendades üldlahendisse C=5, saame x2+y2 = 5 2 .

See on üldlahendist saadud diferentsiaalvõrrandi erilahendus antud algtingimustes.

2. Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend

Selle võrrandi lahendus on mis tahes funktsioon kujul , kus C on suvaline konstant. Tõepoolest, asendades võrrandid, saame: , .

Seetõttu on sellel diferentsiaalvõrrandil lõpmatu arv lahendusi, kuna konstandi C erinevate väärtuste korral määrab võrdus võrrandi erinevad lahendid.

Näiteks otsese asendamise abil saab kontrollida, kas funktsioonid toimivad on võrrandi lahendid.

Probleem, mille puhul on vaja leida võrrandile konkreetne lahendus y" = f(x, y) esialgset tingimust rahuldama y(x0) = y0, nimetatakse Cauchy probleemiks.

Võrrandi lahendus y" = f(x, y), mis rahuldab esialgset tingimust, y(x0) = y0, nimetatakse Cauchy probleemi lahenduseks.

Cauchy ülesande lahendusel on lihtne geomeetriline tähendus. Tõepoolest, nende määratluste kohaselt Cauchy probleemi lahendamiseks y" = f(x, y) arvestades seda y(x0) = y0, tähendab võrrandi integraalkõvera leidmist y" = f(x, y) mis läbib antud punkt M0 (x0,y 0).

II. Esimest järku diferentsiaalvõrrandid

2.1. Põhimõisted

Esimest järku diferentsiaalvõrrand on vormi võrrand F(x,y,y") = 0.

Esimest järku diferentsiaalvõrrand sisaldab esimest tuletist ja ei hõlma kõrgemat järku tuletisi.

Võrrand y" = f(x, y) nimetatakse esimest järku võrrandiks, mis on lahendatud tuletise suhtes.

Esimest järku diferentsiaalvõrrandi üldlahendus on vormi funktsioon, mis sisaldab ühte suvalist konstanti.

Näide. Mõelge esimest järku diferentsiaalvõrrandile.

Selle võrrandi lahendus on funktsioon .

Tõepoolest, asendades selles võrrandis selle väärtusega, saame

see on 3x = 3x

Seetõttu on funktsioon mis tahes konstandi C võrrandi üldlahend.

Leidke sellele võrrandile konkreetne lahendus, mis rahuldab algtingimust y(1)=1 Algtingimuste asendamine x = 1, y = 1 võrrandi üldlahendisse , saame kust C=0.

Seega saame konkreetse lahenduse üldisest, asendades selle võrrandiga saadud väärtuse C=0 on isiklik otsus.

2.2. Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandid

Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrand on järgmise kujuga võrrand: y"=f(x)g(y) või diferentsiaalide kaudu, kus f(x) Ja g(y) neile on antud funktsioone.

Nende jaoks y, mille jaoks võrrand y"=f(x)g(y) on võrdne võrrandiga milles muutuja y esineb ainult vasakul küljel ja muutuja x on ainult paremal küljel. Nad ütlevad: "võrrandis y"=f(x)g(y muutujate eraldamine.

Tüüpvõrrand nimetatakse eraldatud muutuja võrrandiks.

Pärast võrrandi mõlema osa integreerimist Kõrval x, saame G(y) = F(x) + C on võrrandi üldlahend, kus G(y) Ja F(x) on mõned antiderivaadid vastavalt funktsioonide ja f(x), C suvaline konstant.

Algoritm eraldatavate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks

Näide 1

lahendage võrrand y" = xy

Lahendus. Funktsiooni tuletis y" asendada

eraldame muutujad

Integreerime mõlemad võrdsuse osad:

Näide 2

2yy" = 1-3x2, Kui y 0 = 3 juures x0 = 1

See on eraldatud muutuja võrrand. Esitame seda diferentsiaalides. Selleks kirjutame selle võrrandi ümber kujul Siit

Integreerides viimase võrdsuse mõlemad osad, leiame

Algväärtuste asendamine x 0 = 1, y 0 = 3 leida KOOS 9=1-1+C, st. C = 9.

Seetõttu on soovitud osaline integraal või

Näide 3

Kirjutage võrrand punkti läbiva kõvera jaoks M(2;-3) ja millel on puutuja kaldega

Lahendus. Vastavalt seisundile

See on eraldatav muutuja võrrand. Jagades muutujad, saame:

Integreerides võrrandi mõlemad osad, saame:

Kasutades algtingimusi, x=2 Ja y=-3 leida C:

Seetõttu on soovitud võrrandil vorm

2.3. Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

Esimest järku lineaarne diferentsiaalvõrrand on vormi võrrand y" = f(x)y + g(x)

Kus f(x) Ja g(x)- mõned antud funktsioonid.

Kui g(x)=0 siis nimetatakse lineaarset diferentsiaalvõrrandit homogeenseks ja selle kuju on: y" = f(x)y

Kui siis võrrand y" = f(x)y + g(x) nimetatakse heterogeenseks.

Lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahendus y" = f(x)y antud valemiga: kus KOOS on suvaline konstant.

Eelkõige siis, kui C \u003d 0, siis on lahendus y=0 Kui lineaarne homogeenne võrrand on vorm y" = ky Kus k on mingi konstant, siis on selle üldlahend kujul: .

Lineaarse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahendus y" = f(x)y + g(x) antud valemiga ,

need. on võrdne vastava lineaarse homogeense võrrandi üldlahendi ja selle võrrandi konkreetse lahendi summaga.

Vormi lineaarse mittehomogeense võrrandi jaoks y" = kx + b,

Kus k Ja b- mõned arvud ja konkreetne lahendus on konstantne funktsioon . Seetõttu on üldlahendusel vorm .

Näide. lahendage võrrand y" + 2a +3 = 0

Lahendus. Esitame võrrandit kujul y" = -2y - 3 Kus k = -2, b = -3Üldlahendus on antud valemiga .

Seetõttu kus C on suvaline konstant.

2.4. Esimest järku lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendamine Bernoulli meetodil

Üldise lahenduse leidmine esimest järku lineaarsele diferentsiaalvõrrandile y" = f(x)y + g(x) taandub kahe eraldatud muutujatega diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks, kasutades asendust y=uv, Kus u Ja v- Mitte tuntud omadused alates x. Seda lahendusmeetodit nimetatakse Bernoulli meetodiks.

Algoritm esimest järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks

y" = f(x)y + g(x)

1. Sisestage asendus y=uv.

2. Eristage seda võrdsust y"=u"v + uv"

3. Asendus y Ja y" sellesse võrrandisse: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) või u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Rühmitage võrrandi liikmed nii, et u võtke see sulgudest välja:

5. Leia funktsioon sulust, võrdsustades selle nulliga

See on eraldatav võrrand:

Jagage muutujad ja saage:

Kus . .

6. Asendage saadud väärtus v võrrandisse (punktist 4):

ja leidke funktsioon See on eraldatav võrrand:

7. Kirjutage üldlahendus kujul: , st. .

Näide 1

Leidke võrrandile konkreetne lahendus y" = -2y +3 = 0 Kui y=1 juures x=0

Lahendus. Lahendame selle asendamisega y=uv,.y"=u"v + uv"

Asendamine y Ja y" sellesse võrrandisse saame

Rühmitades võrrandi vasakule küljele teise ja kolmanda liikme, võtame välja ühisteguri u sulgudest välja

Võrdsustame sulgudes oleva avaldise nulliga ja pärast saadud võrrandi lahendamist leiame funktsiooni v = v(x)

Saime eraldatud muutujatega võrrandi. Integreerime selle võrrandi mõlemad osad: Leia funktsioon v:

Asendage saadud väärtus v võrrandisse saame:

See on eraldatud muutuja võrrand. Integreerime võrrandi mõlemad osad: Leiame funktsiooni u = u(x,c) Leiame üldise lahenduse: Leiame võrrandi konkreetse lahendi, mis vastab algtingimustele y=1 juures x=0:

III. Kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandid

3.1. Põhimõisted ja määratlused

Teist järku diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis sisaldab tuletisi, mis ei ületa teist järku. Üldjuhul kirjutatakse teist järku diferentsiaalvõrrand järgmiselt: F(x,y,y,y") = 0

Teist järku diferentsiaalvõrrandi üldlahend on funktsioon vormist , mis sisaldab kahte suvalist konstanti C1 Ja C2.

Teist järku diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus on mõne suvaliste konstantide väärtuste üldlahendusest saadud lahendus C1 Ja C2.

3.2. Teist järku lineaarsed homogeensed diferentsiaalvõrrandid koos püsivad suhted.

Teist järku lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand konstantsete koefitsientidega nimetatakse vormi võrrandiks y" + py" + qy = 0, Kus lk Ja q on konstantsed väärtused.

Algoritm konstantsete koefitsientidega teist järku homogeensete diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks

1. Kirjutage diferentsiaalvõrrand kujul: y" + py" + qy = 0.

2. Koosta selle tunnusvõrrand, tähistades y" läbi r2, y" läbi r, y 1-s: r2 + pr +q = 0

Nimetatakse võrrandeid, mis seostavad sõltumatut muutujat, soovitud funktsiooni ja selle tuletisi diferentsiaal .

Diferentsiaalvõrrandite üldvorm: F (x, y, y’, y’’.. y’’’) = 0

Otsus diferentsiaalvõrrand on funktsioon, mis võrrandisse asendamisel muudab selle identiteediks.

Kutsutakse DE-sse siseneva tuletise kõrgeimat järku korras see võrrand.

DE-le lahenduse leidmise protsessi nimetatakse selleks integratsiooni .

Esimest järku diferentsiaalvõrrandid

Esimest järku tavaline diferentsiaalvõrrand nimetatakse vormi võrrandiks F(x, y, y")=0, kus F on kolme muutuja tuntud funktsioon, x- sõltumatu muutuja, y(x) on soovitud funktsioon, y"(x) on selle tuletis. Kui võrrand F(x, y, y")=0 saab suhteliselt lahendada y", siis on see vormis kirjutatud y"=f(x, y)

Võrrand y"=f(x, y) loob seose punkti koordinaatide vahel ( x, y)ja kalley" puutuja seda punkti läbivale integraalkõverale.

Tuletise suhtes lahendatud esimest järku diferentsiaalvõrrandit saab kirjutada järgmiselt diferentsiaalne vorm :

P(x; y) dx+ K(x; y) dy=0,

Kus P(x; y) Ja K(x; y) on tuntud funktsioonid. Võrrand P(x; y) dx+ K(x; y) dy=0 mugav, kuna selles olevad muutujad on võrdsed, st. üht neist võib pidada teise funktsiooniks.

Kui esimest järku diferentsiaalvõrrand y"=f(x, y), millel on lahendus, siis üldiselt on sellel lõpmatult palju lahendeid ja need lahendused saab kirjutada kujul y=φ(x,C), Kus C on suvaline konstant.

Funktsioony=φ(x,C) kutsutakse ühine lahendus 1. järku diferentsiaalvõrrand. See sisaldab ühte suvalist konstanti ja vastab järgmistele tingimustele:

Funktsioony=φ(x,C) on DE lahendus iga fikseeritud väärtuse jaoks KOOS.

Ükskõik milline algseisund y(x 0 )= y 0 , võib leida sellise konstandi väärtuse C=C 0 , Mida funktsiooniy=φ(x,C 0 ) vastab antud algtingimusele.

Eraldi otsus Esimest järku DE on mis tahes funktsioon y=φ(x,C 0 ) saadud üldlahendusest y=φ(x,C) konstandi konkreetse väärtuse jaoks C=C 0 .

Esimese järgu DE-le lahenduse leidmise probleem P(x; y) dx+ K(x; y) dy=0 , mis vastab antud algtingimusele y(x 0 )= y 0 , kutsutakse Cauchy probleem .

Teoreem (Cauchy ülesande lahenduse olemasolu ja kordumatus).

Kui võrrandis y"=f(x, y) funktsioon f(x, y) ja selle osaline tuletis f" y (x, y) on mõnes domeenis pidevad D, sisaldavad punkti (x 0 ; y 0 ), siis on ainult üks lahendus y=φ(x)sellest võrrandist, mis vastab algtingimuseley(x 0 )= y 0 . (tõestust pole)

Eraldatavad muutujavõrrandid

Lihtsaim esimest järku DE on vormi võrrand

P(x) dx+ K(y) dy=0.

Selles sõltub üks termin ainult sellest x, ja teine alates y. Mõnikord nimetatakse selliseid DE-sid võrranditeks eraldatud muutujad . Integreerides selle võrrandi termini kaupa, saame:

∫ P(x) dx+ ∫ K(y) dy= koos - selle üldine integraal.

Üldisemat juhtumit kirjeldavad eraldatavate muutujatega võrrandid, mille kuju on:

P 1 (x) . K 1 (y) . dx+P 2 (x) . K 2 (y) . dy=0.

Selle võrrandi eripära on see, et koefitsiendid on kahe funktsiooni korrutised, millest üks sõltub ainult X teine on ainult y.

Võrrand P 1 (x) . K 1 (y) . dx+ P 2 (x) . K 2 (y) . dy=0 kergesti taandada võrrandiks P(x) dx+ K(y) dy=0. jagades selle termini kaupa K 1 (y) . P 2 (x)≠0. Me saame.

Tavaline diferentsiaalvõrrand nimetatakse võrrandiks, mis ühendab sõltumatu muutuja, selle muutuja tundmatu funktsiooni ja selle erinevat järku tuletisi (või diferentsiaale).

Diferentsiaalvõrrandi järjekord on selles sisalduva tuletise kõrgeima järg.

Lisaks tavalistele uuritakse ka osadiferentsiaalvõrrandeid. Need on sõltumatute muutujate võrrandid, nende muutujate tundmatu funktsioon ja selle osalised tuletised samade muutujate suhtes. Kuid me kaalume ainult tavalised diferentsiaalvõrrandid ja seetõttu jätame lühiduse mõttes sõna "tavaline".

Diferentsiaalvõrrandite näited:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Võrrand (1) on neljandat järku, võrrand (2) on kolmandat järku, võrrandid (3) ja (4) on teist järku, võrrand (5) on esimest järku.

Diferentsiaalvõrrand n järjestus ei pea selgesõnaliselt sisaldama funktsiooni, kõik selle tuletised algusest kuni n järk ja sõltumatu muutuja. See ei pruugi selgesõnaliselt sisaldada mõne järgu tuletisi, funktsiooni, sõltumatut muutujat.

Näiteks võrrandis (1) puuduvad selgelt kolmanda ja teise järgu tuletised, samuti funktsioonid; võrrandis (2) - teist järku tuletis ja funktsioon; võrrandis (4) - sõltumatu muutuja; võrrandis (5) - funktsioonid. Ainult võrrand (3) sisaldab selgesõnaliselt kõiki tuletisi, funktsiooni ja sõltumatut muutujat.

Diferentsiaalvõrrandi lahendamisega kutsutakse mis tahes funktsiooni y = f(x), asendades selle võrrandiga, muutub see identiteediks.

Diferentsiaalvõrrandi lahenduse leidmise protsessi nimetatakse selle protsessiks integratsiooni.

Näide 1 Leia diferentsiaalvõrrandi lahendus.

Lahendus. Kirjutame selle võrrandi kujul . Lahendus on leida funktsioon selle tuletise järgi. Algfunktsioon, nagu on teada integraalarvutusest, on antiderivaat jaoks, s.o.

Seda see on antud diferentsiaalvõrrandi lahendus . muutumas selles C, saame erinevaid lahendusi. Saime teada, et esimest järku diferentsiaalvõrrandil on lõpmatu arv lahendusi.

Diferentsiaalvõrrandi üldlahend n järjekord on selle lahendus, mis on sõnaselgelt väljendatud tundmatu funktsiooni suhtes ja sisaldab n sõltumatud suvalised konstandid, st.

Diferentsiaalvõrrandi lahendus näites 1 on üldine.

Diferentsiaalvõrrandi osalahend nimetatakse selle lahendust, milles suvalistele konstantidele määratakse konkreetsed arvväärtused.

Näide 2 Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahendus ja konkreetne lahendus .

Lahendus. Integreerime võrrandi mõlemad osad nii palju kordi, et diferentsiaalvõrrandi järjekord on võrdne.

Selle tulemusena saime üldise lahenduse -

antud kolmandat järku diferentsiaalvõrrand.

Nüüd leiame konkreetse lahenduse kindlaksmääratud tingimustel. Selleks asendame suvaliste koefitsientide asemel nende väärtused ja saame

Kui lisaks diferentsiaalvõrrandile on algtingimus antud kujul , siis sellist ülesannet nn. Cauchy probleem . Väärtused ja asendatakse võrrandi üldlahendusega ja leitakse suvalise konstandi väärtus C, ja seejärel leitud väärtuse võrrandi konkreetne lahendus C. See on Cauchy probleemi lahendus.

Näide 3 Lahendage Cauchy ülesanne näite 1 diferentsiaalvõrrandi jaoks tingimusel .

Lahendus. Asendame üldlahendusse algtingimuse väärtused y = 3, x= 1. Saame

Kirjutame Cauchy ülesande lahenduse antud esimest järku diferentsiaalvõrrandile:

Diferentsiaalvõrrandite, ka kõige lihtsamate, lahendamine eeldab häid oskusi integreerida ja tuletisi võtta, sealhulgas keerulisi funktsioone. Seda võib näha järgmises näites.

Näide 4 Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend.

Lahendus. Võrrand on kirjutatud sellisel kujul, et mõlemad pooled saab kohe integreerida.

Rakendame integreerimise meetodit muutuja muutmisega (asendamine). Lase siis.

Kohustuslik võtta dx ja nüüd - tähelepanu - teeme seda kompleksfunktsiooni eristamise reeglite järgi, kuna x ja süüa keeruline funktsioon("õun" - ekstrakt ruutjuur või, mis on sama, tõstmine astmeni "üks sekund" ja "hakkliha" on juure all olev väljend):

Leiame integraali:

Tulles tagasi muutuja juurde x, saame:

See on selle esimese astme diferentsiaalvõrrandi üldlahendus.

Diferentsiaalvõrrandite lahendamisel pole vaja mitte ainult kõrgema matemaatika eelmiste osade oskusi, vaid ka alg- ehk koolimatemaatika oskusi. Nagu juba mainitud, ei pruugi mis tahes järku diferentsiaalvõrrandis olla sõltumatut muutujat, see tähendab muutujat x. Seda probleemi aitavad lahendada teadmised proportsioonide kohta, mis pole koolipingist ununenud (samas on kellelgi nii). See on järgmine näide.

Haridusasutus "Valgevene riik

Põllumajandusakadeemia"

Kõrgema matemaatika osakond

ESIMESE JÄRKU DIFERENTSIAALVÕRRADID

Loengu kokkuvõte raamatupidamise üliõpilastele

kirjavahetusõppe vorm (NISPO)

Gorki, 2013

Esimest järku diferentsiaalvõrrandid

Diferentsiaalvõrrandi mõiste. Üldised ja erilahendused

Erinevate nähtuste uurimisel ei ole sageli võimalik leida seadust, mis seostaks otseselt sõltumatut muutujat soovitud funktsiooniga, küll aga on võimalik luua seos soovitud funktsiooni ja selle tuletiste vahel.

Nimetatakse seost, mis ühendab sõltumatut muutujat, soovitud funktsiooni ja selle tuletisi diferentsiaalvõrrand :

Siin x on sõltumatu muutuja, y on soovitud funktsioon,
on soovitud funktsiooni tuletised. Sel juhul eeldab seos (1) vähemalt ühe tuletise olemasolu.

Diferentsiaalvõrrandi järjekord on võrrandi kõrgeima tuletise järjekord.

Mõelge diferentsiaalvõrrandile

. (2)

Kuna see võrrand sisaldab ainult esimest järku tuletist, siis seda nimetatakse on esimest järku diferentsiaalvõrrand.

Kui võrrandit (2) saab tuletise suhtes lahendada ja kirjutada kui

, (3)

siis nimetatakse sellist võrrandit normaalkujul esimest järku diferentsiaalvõrrandiks.

Paljudel juhtudel on otstarbekas kaaluda vormi võrrandit

mida nimetatakse esimest järku diferentsiaalvõrrand, mis on kirjutatud diferentsiaalkujul.

Sest
, siis võrrandi (3) saab kirjutada kujul
või
, kus saab lugeda
Ja
. See tähendab, et võrrand (3) on teisendatud võrrandiks (4).

Kirjutame võrrandi (4) vormile
. Siis
,
,
, kus saab lugeda
, st. saadakse võrrand kujul (3). Seega on võrrandid (3) ja (4) samaväärsed.

Diferentsiaalvõrrandi lahendamisega (2) või (3) kutsutakse välja mis tahes funktsioon
, mis selle võrrandiga (2) või (3) asendades muudab selle identiteediks:

või
.

Diferentsiaalvõrrandi kõigi lahendite leidmise protsessi nimetatakse selle protsessiks integratsiooni ja lahendusgraafik
nimetatakse diferentsiaalvõrrandiks integraalkõver see võrrand.

Kui diferentsiaalvõrrandi lahend saadakse kaudsel kujul
, siis nimetatakse seda lahutamatu antud diferentsiaalvõrrand.

Üldine lahendus esimest järku diferentsiaalvõrrand on vormi funktsioonide perekond
, olenevalt suvalisest konstandist KOOS, millest igaüks on antud diferentsiaalvõrrandi lahend suvalise konstandi mis tahes lubatud väärtuse jaoks KOOS. Seega on diferentsiaalvõrrandil lõpmatu arv lahendeid.

Eraldi otsus Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse lahendit, mis saadakse suvalise konstandi konkreetse väärtuse üldlahendusvalemist KOOS, kaasa arvatud
.

Cauchy probleem ja selle geomeetriline tõlgendus

Võrrandil (2) on lõpmatu arv lahendeid. Sellest komplektist ühe lahenduse väljatoomiseks, mida nimetatakse konkreetseks lahenduseks, tuleb täpsustada mõned lisatingimused.

Nimetatakse ülesannet leida võrrandile (2) antud tingimustel konkreetne lahendus Cauchy probleem . See probleem on diferentsiaalvõrrandite teoorias üks olulisemaid.

Cauchy probleem on sõnastatud järgmiselt: kõigi võrrandi (2) lahendite hulgast leida selline lahendus
, milles funktsioon
võtab etteantud arvväärtuse kui sõltumatu muutuja x võtab etteantud arvväärtuse , st.

,
, (5)

Kus D on funktsiooni domeen
.

Tähendus helistas funktsiooni algväärtus , A – sõltumatu muutuja algväärtus . Nimetatakse tingimus (5). esialgne seisund või Kahjulik seisund .

Geomeetrilisest vaatenurgast saab Cauchy probleemi diferentsiaalvõrrandi (2) jaoks formuleerida järgmiselt: võrrandi (2) integraalkõverate hulgast vali see, mis läbib antud punkti
.

Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandid

Üks lihtsamaid diferentsiaalvõrrandi tüüpe on esimest järku diferentsiaalvõrrand, mis ei sisalda soovitud funktsiooni:

. (6)

Arvestades seda
, kirjutame võrrandi kujul
või
. Integreerides viimase võrrandi mõlemad pooled, saame:
või

. (7)

Seega (7) on võrrandi (6) üldlahend.

Näide 1 . Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend
.

Lahendus . Kirjutame võrrandi vormile
või
. Integreerime saadud võrrandi mõlemad osad:
,
. Paneme lõpuks kirja
.

Näide 2 . Leia võrrandile lahendus
arvestades seda
.

Lahendus . Leiame võrrandi üldlahenduse:
,
,
,
. Tingimuste järgi
,
. Asendage üldlahenduses:
või
. Asendame suvalise konstandi leitud väärtuse üldlahenduse valemis:
. See on diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus, mis vastab antud tingimusele.

Võrrand

(8)

helistas esimest järku diferentsiaalvõrrand, mis ei sisalda sõltumatut muutujat . Kirjutame selle vormi
või
. Integreerime viimase võrrandi mõlemad osad:
või
- võrrandi (8) üldlahend.

Näide . Leidke võrrandile üldine lahendus
.

Lahendus . Kirjutame selle võrrandi järgmisel kujul:
või
. Siis
,
,
,
. Seega
on selle võrrandi üldlahend.

Tüüpvõrrand

(9)

integreeritud, kasutades muutujate eraldamist. Selleks kirjutame võrrandi vormile
, ja siis, kasutades korrutamise ja jagamise tehteid, viime selle sellisele kujule, et üks osa sisaldab ainult funktsiooni X ja diferentsiaal dx, ja teises osas - funktsioon juures ja diferentsiaal dy. Selleks tuleb võrrandi mõlemad pooled korrutada dx ja jagaga
. Selle tulemusena saame võrrandi

, (10)

milles muutujad X Ja juures eraldatud. Integreerime võrrandi (10) mõlemad osad:
. Saadud seos on võrrandi (9) üldintegraal.

Näide 3 . Integreeri võrrand
.

Lahendus . Teisendage võrrand ja eraldage muutujad:
,
. Integreerime:
,
või on selle võrrandi üldine integraal.
.

Olgu võrrand antud kujul

Sellist võrrandit nimetatakse eraldatavate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrand sümmeetrilisel kujul.

Muutujate eraldamiseks tuleb võrrandi mõlemad pooled jagada
:

. (12)

Saadud võrrandit nimetatakse eraldatud diferentsiaalvõrrand . Integreerime võrrandi (12):

.(13)

Seos (13) on diferentsiaalvõrrandi (11) üldine integraal.

Näide 4 . Integreerige diferentsiaalvõrrand.

Lahendus . Kirjutame võrrandi vormile

ja jagage mõlemad osad
,
. Saadud võrrand:
on eraldatud muutuja võrrand. Integreerime selle:

,
,

,
. Viimane võrdus on antud diferentsiaalvõrrandi üldine integraal.

Näide 5 . Leia diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus
, mis vastab tingimusele
.

Lahendus . Arvestades seda
, kirjutame võrrandi kujul
või
. Eraldame muutujad:
. Integreerime selle võrrandi:
,
,
. Saadud seos on selle võrrandi üldine integraal. Tingimuste järgi
. Asendage üldintegraaliga ja leidke KOOS:
,KOOS=1. Siis väljend
on antud diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus, mis on kirjutatud konkreetse integraalina.

Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

Võrrand

(14)

helistas esimest järku lineaarne diferentsiaalvõrrand . tundmatu funktsioon
ja selle tuletis sisestavad sellesse võrrandisse lineaarselt ning funktsioonid
Ja
pidev.

Kui
, siis võrrand

(15)

helistas lineaarne homogeenne . Kui
, siis nimetatakse võrrandit (14). lineaarne ebahomogeenne .

Võrrandile (14) lahenduse leidmiseks kasutatakse tavaliselt asendusmeetod (Bernoulli) , mille olemus on järgmine.

Võrrandi (14) lahendust otsitakse kahe funktsiooni korrutise kujul

, (16)

Kus
Ja
- mõned pidevad funktsioonid. Asendaja
ja tuletis
võrrandisse (14):

Funktsioon v valitakse nii, et tingimus
. Siis
. Seega on võrrandile (14) lahenduse leidmiseks vaja lahendada diferentsiaalvõrrandi süsteem

Süsteemi esimene võrrand on lineaarne homogeenne võrrand ja seda saab lahendada muutujate eraldamise meetodil:
,
,
,
,
. Funktsioonina
võib võtta ühe homogeenvõrrandi konkreetsetest lahenditest, st. juures KOOS=1:
. Asendage süsteemi teise võrrandiga:
või
.Siis
. Seega on esimest järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldlahend kujul
.

Näide 6 . lahendage võrrand
.

Lahendus . Otsime võrrandi lahendust kujul
. Siis
. Asendage võrrand:

või
. Funktsioon v valida nii, et võrdsus
. Siis
. Esimese neist võrranditest lahendame muutujate eraldamise meetodil:
,
,
,
,. Funktsioon v Asendage teise võrrandiga:
,
,
,
. Selle võrrandi üldine lahendus on
.