Matemaattisen mallin käsite. Matemaattisen mallinnuksen vaiheet

Luento nro 1

Johdanto. Matemaattisten mallien ja menetelmien käsite

Osa 1. Johdanto

2. Matemaattisten mallien konstruointimenetelmät. Käsite järjestelmällinen lähestymistapa. 1

3. Talousjärjestelmien matemaattisen mallintamisen peruskäsitteet. 4

4. Analyyttiset, simulointi- ja täysimittaisen mallinnuksen menetelmät. 5

Testikysymykset... 6

1. Tieteen "Mallinnusmenetelmät" sisältö, tavoitteet ja tavoitteet

Tämä tieteenala on omistettu mallinnusmenetelmien ja käytännön sovellus hankittua tietoa. Tieteen tarkoituksena on kouluttaa opiskelijat yleisiin mallinnusteorian kysymyksiin, matemaattisten mallien konstruointimenetelmiin ja prosessien ja objektien muodollisiin kuvauksiin, matemaattisten mallien käyttöön laskennallisten kokeiden suorittamisessa ja optimointiongelmien ratkaisemisessa nykyaikaisilla laskentatyökaluilla.

Kurssin tavoitteita ovat mm.

Tutustua matemaattisen mallinnuksen teorian, systeemiteorian, samankaltaisuusteorian, kokeellisen suunnittelun teorian ja matemaattisten mallien rakentamiseen käytettävien kokeellisten tietojen käsittelyn peruskäsitteisiin,

Antaa opiskelijoille valmiuksia mallinnusongelmien asettamiseen, esineiden/prosessien/ matemaattisiin kuvauksiin, numeerisiin menetelmiin matemaattisten mallien toteuttamiseen tietokoneella ja optimointiongelmien ratkaisemiseen.

Tieteen opiskelun tuloksena opiskelija hallitsee prosessien ja objektien matemaattisen mallintamisen menetelmät ongelman muotoilusta matemaattisten mallien toteuttamiseen tietokoneella ja mallitutkimuksen tulosten esittämiseen.

Kurssi koostuu 12 luennosta ja 12 käytännön työstä. Tieteen opiskelun tuloksena opiskelijan tulee hallita matemaattisen mallintamisen menetelmiä ongelman muotoilusta matemaattisten mallien toteuttamiseen tietokoneella

2. Matemaattisten mallien konstruointimenetelmät. Systeemilähestymistavan käsite

5. Ongelman ratkaiseminen.

Toiminnantutkimusmenetelmien johdonmukainen käyttö ja niiden käyttöönotto nykyaikaisessa tieto- ja laskentatekniikassa mahdollistaa subjektiivisuuden voittamisen ja niin sanottujen tahdonvoimaisten päätösten eliminoinnin, jotka eivät perustu objektiivisten olosuhteiden tiukkaan ja tarkaan selvitykseen, vaan satunnaisiin tunteisiin ja esimiesten henkilökohtaiseen kiinnostukseen. eri tasoilla, jotka sitä paitsi eivät voi koordinoida näitä tahdonvoimaisia ​​päätöksiä.

Järjestelmäanalyysin avulla voidaan ottaa huomioon ja käyttää hallinnassa kaikkea saatavilla olevaa tietoa hallitusta kohteesta, koordinoida päätöksiä objektiivisen, ei subjektiivisen tehokkuuskriteerin näkökulmasta. Säästäminen laskelmissa ohjauksessa on sama kuin säästäminen tähtäyksessä ammuttaessa. Tietokone ei kuitenkaan vain mahdollista ottaa huomioon kaikkea tietoa, vaan myös vapauttaa johtajan tarpeettomasta tiedosta ja ohittaa kaiken tarvittavan tiedon ohittaen henkilön ja esittelee hänelle vain yleisimmän tiedon, kvintessenssin. Taloustieteen systeemilähestymistapa on sinänsä tehokas, ilman tietokonetta, tutkimusmenetelmänä, eikä se muuta aiemmin löydettyjä talouslakeja, vaan vain opettaa niitä parhaiten käyttämään.

4. Analyyttiset, simulointi- ja täysimittaisen mallinnuksen menetelmät

Simulointi on tehokas menetelmä tieteellinen tietämys, kun sitä käytetään, tutkittava kohde korvataan yksinkertaisemmalla objektilla, jota kutsutaan malliksi. Mallintamisprosessin päätyyppejä voidaan pitää kahta tyyppiä - matemaattista ja fyysistä mallintamista. Fyysisessä (täysmittakaavaisessa) mallintamisessa tutkittava järjestelmä korvataan toisella sitä vastaavalla materiaalijärjestelmällä, joka toistaa tutkittavan järjestelmän ominaisuudet säilyttäen samalla niiden fyysisen luonteen. Esimerkki tällaisesta mallintamisesta on pilottiverkko, jonka avulla tutkitaan perustavanlaatuista mahdollisuutta rakentaa tiettyihin tietokoneisiin, viestintälaitteisiin, käyttöjärjestelmiin ja sovelluksiin perustuva verkko.

Fyysiset mallinnusmahdollisuudet ovat melko rajalliset. Sen avulla voit ratkaista yksittäisiä ongelmia, kun määrität pienen määrän tutkittavien järjestelmäparametrien yhdistelmiä. Itse asiassa tietokoneverkon täyden mittakaavan mallintamisessa on lähes mahdotonta tarkistaa sen toimintaa erilaisten viestintälaitteiden - reitittimien, kytkimien jne. - vaihtoehtojen osalta. Käytännössä noin kymmenien erityyppisten reitittimien testaus liittyy paitsi suuria vaivaa ja aikakustannuksia, mutta myös huomattavia materiaalikustannuksia.

Mutta jopa niissä tapauksissa, joissa verkon optimoinnin aikana laitteiden ja käyttöjärjestelmien tyypit eivät muutu, vaan vain niiden parametrit, suorittamalla kokeita reaaliajassa suuri määrä kaikki mahdolliset näiden parametrien yhdistelmät ovat käytännössä mahdottomia ennakoitavissa olevassa ajassa. Jopa pelkkä enimmäispakettikoon muuttaminen missä tahansa protokollassa edellyttää käyttöjärjestelmän uudelleenmäärittelyä satoihin verkon tietokoneisiin, mikä vaatii paljon työtä verkonvalvojalta.

Siksi verkkoja optimoitaessa on monissa tapauksissa edullista käyttää matemaattista mallintamista. Matemaattinen malli on joukko suhteita (kaavoja, yhtälöitä, epäyhtälöitä, loogisia ehtoja), jotka määrittävät järjestelmän tilan muutosprosessin riippuen sen parametreista, tulosignaaleista, alkuehdoista ja ajasta.

Erityinen matemaattisten mallien luokka ovat simulaatiomallit. Tällaisia ​​malleja ovat tietokoneohjelmat, jotka askel askeleelta toistavat todellisessa järjestelmässä tapahtuvia tapahtumia. Suhteessa tietokoneverkkoihin niiden simulaatiomallit toistavat sovellusten viestien generointiprosesseja, viestien jakamista tiettyjen protokollien paketeiksi ja kehyksiksi, käyttöjärjestelmän viestien, pakettien ja kehysten käsittelyyn liittyviä viiveitä, prosessia, jossa tietokone saa pääsyn jaettu verkkoympäristö, saapuvien pakettien käsittely reitittimellä jne. Verkkoa simuloitaessa ei tarvitse ostaa kalliita laitteita - sen toimintaa simuloidaan ohjelmilla, jotka toistavat melko tarkasti tällaisten laitteiden kaikki pääominaisuudet ja parametrit.

Simulaatiomallien etuna on kyky korvata tapahtumien muutosprosessi tutkittavassa järjestelmässä reaaliajassa nopeutetulla tapahtumien muutosprosessilla ohjelman tahdissa. Tämän seurauksena muutamassa minuutissa on mahdollista toistaa verkon toiminta useiden päivien ajan, mikä mahdollistaa verkon toiminnan arvioinnin monilla vaihtelevilla parametreilla.

Simulaatiomallin tuloksena on käynnissä olevien tapahtumien havainnoinnin aikana kerätty tilastotieto verkon tärkeimmistä ominaisuuksista: vasteajat, kanavien ja solmujen käyttöasteet, pakettien katoamisen todennäköisyys jne.

On olemassa erityisiä simulointikieliä, jotka tekevät ohjelmamallin luomisesta helpompaa kuin yleiskäyttöisten ohjelmointikielten käyttäminen. Esimerkkejä simulointikielistä ovat kielet, kuten SIMULA, GPSS, SIMDIS.

On myös simulaatiomallinnusjärjestelmiä, jotka keskittyvät kapeaan tutkittavien järjestelmien luokkaan ja mahdollistavat mallien rakentamisen ilman ohjelmointia.

Kontrollikysymykset

LUENTO 4

Matemaattisen mallinnuksen määritelmä ja tarkoitus

Alla malli(latinan kielen moduulista - mitta, näyte, normi) ymmärrämme sellaisen aineellisesti tai henkisesti esitettävän esineen, joka kognitioprosessissa (tutkimuksessa) korvaa alkuperäisen esineen, säilyttäen osan sen tyypillisistä piirteistä, jotka ovat tärkeitä tämän tutkimuksen kannalta. Mallin rakentamis- ja käyttöprosessia kutsutaan mallintamiseksi.

ydin matemaattinen mallinnus (MM) koostuu tutkittavan kohteen (prosessin) korvaamisesta riittävällä matemaattisella mallilla ja tämän mallin ominaisuuksien myöhemmästä tutkimuksesta joko analyyttisin menetelmin tai laskennallisin kokein.

Joskus on hyödyllisempää tiukkojen määritelmien antamisen sijaan kuvata tiettyä käsitettä tietyllä esimerkillä. Siksi kuvaamme yllä olevia MM:n määritelmiä käyttämällä esimerkkiä ominaisimpulssin laskentaongelmasta. 60-luvun alussa tutkijoiden tehtävänä oli kehittää rakettipolttoainetta, jolla on suurin ominaisimpulssi. Raketin käyttövoiman periaate on seuraava: nestemäinen polttoaine ja hapetin rakettisäiliöistä syötetään moottoriin, jossa ne poltetaan ja palamistuotteet vapautuvat ilmakehään. Liikemäärän säilymisen laista seuraa, että tässä tapauksessa raketti liikkuu nopeudella.

Polttoaineen ominaisimpulssi on vastaanotettu impulssi jaettuna polttoaineen massalla. Kokeiden tekeminen oli erittäin kallista ja johti järjestelmällisiin laitteiden vaurioitumiseen. Kävi ilmi, että oli helpompaa ja halvempaa laskea ihanteellisten kaasujen termodynaamiset funktiot laskemalla niiden avulla ulos poistuvien kaasujen koostumus ja plasman lämpötila ja sitten ominaisimpulssi. Eli polttoaineen palamisprosessin MM:n suorittamiseksi.

Matemaattisen mallinnuksen (MM) käsite on nykyään yksi yleisimmistä tieteellisessä kirjallisuudessa. Valtaosa nykyaikaisista diplomi- ja väitöstöistä liittyy sopivien matemaattisten mallien kehittämiseen ja käyttöön. Tietokone MM tänään on olennainen osa monilla ihmisen toiminnan aloilla (tiede, teknologia, taloustiede, sosiologia jne.). Tämä on yksi syy tämän päivän tietotekniikan asiantuntijoiden pulaan.

Matemaattisen mallinnuksen nopea kasvu johtuu tietotekniikan nopeasta kehittymisestä. Jos 20 vuotta sitten vain pieni määrä ohjelmoijia osallistui numeerisiin laskelmiin, niin nyt nykyaikaisten tietokoneiden muistikapasiteetti ja nopeus mahdollistavat kaikkien asiantuntijoiden, myös yliopisto-opiskelijoiden, saatavilla olevien matemaattisten mallinnusongelmien ratkaisemisen.

Millä tahansa tieteenalalla ilmiöille annetaan ensin kvalitatiivinen kuvaus. Ja sitten - kvantitatiivinen, muotoiltu lakien muodossa, jotka muodostavat yhteydet eri suureiden (kentänvoimakkuus, sirontaintensiteetti, elektronin varaus, ...) välille matemaattisten yhtälöiden muodossa. Siksi voimme sanoa, että jokaisella tieteenalalla on yhtä paljon tiedettä kuin siinä on matematiikkaa, ja tämä tosiasia mahdollistaa monien ongelmien ratkaisemisen menestyksekkäästi matemaattisten mallintamismenetelmien avulla.

Kurssi on tarkoitettu sovelletun matematiikan opiskelijoille, jotka valmistuvat eri alojen johtavien tutkijoiden valvonnassa. Siksi tämä kurssi on tarpeen paitsi koulutusmateriaalia, mutta myös opinnäytetyön valmisteluna. Opiskelua varten Tämä kurssi Tarvitsemme seuraavat matematiikan osat:

1. Matemaattisen fysiikan yhtälöt (kallistusmekaniikka, kaasu ja hydrodynamiikka)

2. Lineaarinen algebra (elastisuusteoria)

3. Skalaari ja vektori kentät(kenttäteoria)

4. Todennäköisyysteoria ( kvanttimekaniikka, tilastollinen fysiikka, fysikaalinen kinetiikka)

5. Erikoistoiminnot.

6. Tensorianalyysi (elastisuusteoria)

7. Matemaattinen analyysi

MM luonnontieteissä, tekniikassa ja taloudessa

Tarkastellaanpa ensin luonnontieteen, tekniikan ja talouden eri osa-alueita, joissa käytetään matemaattisia malleja.

Luonnontiede

Fysiikka, joka vahvistaa luonnontieteen peruslait, on pitkään jaettu teoreettiseen ja kokeelliseen. Johdattamalla yhtälöt kuvaavat fyysisiä ilmiöitä, käsittelee teoreettista fysiikkaa. Näin ollen myös teoreettista fysiikkaa voidaan pitää yhtenä matemaattisen mallinnuksen osa-alueista. (Muista, että ensimmäisen fysiikan kirjan otsikko - I. Newtonin "The Mathematical Principles of Natural Philosophy" - voidaan kääntää modernia kieltä"Luonnontieteen matemaattisina malleina.") Saatujen lakien perusteella tehdään teknisiä laskelmia, joita tehdään eri laitoksissa, yrityksissä, suunnittelutoimistoissa. Nämä organisaatiot kehittävät teknologioita nykyaikaisten tietointensiivisten tuotteiden valmistukseen, joten tiedeintensiivisten teknologioiden käsitteeseen sisältyy laskelmia sopivilla matemaattisilla malleilla.

Yksi fysiikan laajimmista aloista on klassinen mekaniikka(joskus tätä osaa kutsutaan teoreettiseksi tai analyyttiseksi mekaniikaksi). Tämä teoreettisen fysiikan osa tutkii kappaleiden liikettä ja vuorovaikutusta. Teoreettisen mekaniikan kaavoja käyttäviä laskelmia tarvitaan tutkittaessa kappaleiden pyörimistä (hitausmomenttien laskenta, gyrostaatit - laitteet, jotka pitävät pyörimisakselin liikkumattomana), analysoitaessa kappaleen liikettä ilmattomassa tilassa jne. Yksi osa Teoreettista mekaniikkaa kutsutaan vakauden teoriaksi, ja se on monien lentokoneiden, laivojen ja ohjusten liikettä kuvaavien matemaattisten mallien taustalla. Käytännön mekaniikan osia - kursseja "Koneiden ja mekanismien teoria", "Koneen osat" opiskelevat melkein kaikkien teknisten yliopistojen opiskelijat (mukaan lukien Moskovan valtionyliopisto).

Elastisuusteoria– osa jaksoa jatkumomekaniikka, joka olettaa, että elastisen kappaleen materiaali on homogeeninen ja jatkuvasti jakautunut rungon koko tilavuuteen siten, että pienimmällä kappaleesta leikatulla elementillä on samat fysikaaliset ominaisuudet kuin koko keholla. Elastisuusteorian soveltaminen - kurssi "materiaalien lujuus" opiskelee kaikkien teknisten yliopistojen (mukaan lukien Moskovan valtionyliopisto) opiskelijat. Tämä osio vaaditaan kaikissa lujuuslaskelmissa. Tämä sisältää laivojen, lentokoneiden, rakettien runkojen lujuuden laskemisen, rakennusten teräs- ja teräsbetonirakenteiden lujuuden laskemisen ja paljon muuta.

Kaasu ja hydrodynamiikka, kuten elastisuusteoria, on osa leikkausta jatkumomekaniikka, tutkii nesteiden ja kaasujen liikelakeja. Kaasun ja hydrodynamiikan yhtälöt ovat välttämättömiä analysoitaessa ruumiiden liikettä nestemäisessä ja kaasumaisessa ympäristössä (satelliitit, sukellusveneet, ohjukset, ammukset, autot), laskettaessa kaasun ulosvirtausta rakettien ja lentokoneiden moottoreiden suuttimista. Hydrodynamiikan käytännön sovellus - hydrauliikka (jarru, ohjauspyörä,...)

Aiemmat mekaniikan osat käsittelivät kappaleiden liikettä makrokosmuksessa, ja makrokosmoksen fysikaaliset lait eivät sovellu mikrokosmukseen, jossa aineen hiukkaset liikkuvat - protonit, neutronit, elektronit. Tässä pätevät täysin erilaiset periaatteet, ja mikromaailman kuvaamiseksi se on välttämätöntä kvanttimekaniikka. Mikrohiukkasten käyttäytymistä kuvaava perusyhtälö on Schrödingerin yhtälö: . Tässä on Hamiltonin operaattori (Hamiltonin). Yksiulotteinen hiukkasten liikkeen yhtälö https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-potentiaalienergia. Ratkaisu tähän yhtälö on joukko ominaisarvot energia ja ominaisfunktiot..gif" width="55" height="24 src=">– todennäköisyystiheys. Kvanttimekaanisia laskelmia tarvitaan uusien materiaalien (mikropiirien) kehittämiseen, laserien luomiseen, spektrianalyysimenetelmien kehittämiseen , jne.

Ratkaise suuri määrä ongelmia kinetiikka, joka kuvaa hiukkasten liikettä ja vuorovaikutusta. Tässä on diffuusio, lämmönsiirto ja plasman teoria - aineen neljäs tila.

Tilastollinen fysiikka ottaa huomioon hiukkasten ryhmiä, antaa meille mahdollisuuden sanoa ryhmän parametreista yksittäisten hiukkasten ominaisuuksien perusteella. Jos kokonaisuus koostuu kaasumolekyyleistä, niin tilastollisen fysiikan menetelmillä johdetut yhdistelmän ominaisuudet ovat lukiosta tutut kaasutilan yhtälöt: https://pandia.ru/text/78/009/images/ image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17"> on kaasun molekyylipaino. K – Rydbergin vakio. Myös metallien liuosten, kiteiden ja elektronien ominaisuudet lasketaan tilastollisin menetelmin. Tilastollisen fysiikan MM - teoreettinen perusta termodynamiikka, joka on moottoreiden, lämpöverkkojen ja asemien laskennan taustalla.

Kenttäteoria kuvaa MM-menetelmillä aineen yhtä päämuotoa – kenttää. Tässä tapauksessa tärkein kiinnostus on sähkömagneettiset kentät. Yhtälöt elektromagneettinen kenttä(elektrodynamiikka) johti Maxwell: , , . Täällä ja https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - varaustiheys, - virrantiheys. Sähködynamiikan yhtälöt ovat etenemislaskelmien taustalla elektromagneettiset aallot tarvitaan kuvaamaan radioaaltojen etenemistä (radio, televisio, matkapuhelinviestintä) ja selittämään tutka-asemien toimintaa.

Kemia voidaan esittää kahdella tavalla, korostaen kuvaavaa kemiaa - kemiallisten tekijöiden löytämistä ja niiden kuvausta - ja teoreettista kemiaa - teorioiden kehittämistä, joiden avulla voidaan yleistää vakiintuneita tekijöitä ja esittää ne tietyn järjestelmän muodossa (L. Pauling ). Teoreettista kemiaa kutsutaan myös fysikaaliseksi kemiaksi ja se on pohjimmiltaan fysiikan haara, joka tutkii aineita ja niiden vuorovaikutuksia. Siksi kaikki, mitä on sanottu fysiikasta, pätee täysin kemiaan. Fysikaalisen kemian alat ovat termokemia, joka tutkii reaktioiden lämpövaikutuksia, kemiallista kinetiikkaa (reaktionopeudet), kvanttikemiaa (molekyylien rakennetta). Samaan aikaan kemialliset ongelmat voivat olla erittäin monimutkaisia. Esimerkiksi kvanttikemian – atomien ja molekyylien rakennetieteen – ongelmien ratkaisemiseen käytetään ohjelmia, jotka ovat laajuudeltaan verrattavissa maan ilmapuolustusohjelmiin. Esimerkiksi, jotta voit kuvata UCl4-molekyyliä, joka koostuu 5 atomiytimestä ja +17 * 4) elektronista, sinun on kirjoitettava liikeyhtälö - osittaiset differentiaaliyhtälöt.

Biologia

Matematiikka todella tuli biologiaan vasta 1900-luvun jälkipuoliskolla. Ensimmäiset yritykset kuvaavat matemaattisesti populaatiodynamiikan malleihin liittyviä biologisia prosesseja. Populaatio on saman lajin yksilöiden yhteisö, joka miehittää tietyn avaruusalueen maan päällä. Tämä matemaattisen biologian alue, joka tutkii populaation koon muutoksia eri olosuhteissa (kilpailevien lajien läsnäolo, saalistajat, taudit jne.), toimi myöhemmin matemaattisena testausalustana, jolla "testattiin" matemaattisia malleja biologian eri alueilla. ” Sisältää malleja evoluutiosta, mikrobiologiasta, immunologiasta ja muista solupopulaatioihin liittyvistä alueista.
Aivan ensimmäinen kuuluisa malli, joka on muotoiltu biologiseen muotoon, on kuuluisa Fibonacci-sarja (jokainen seuraava luku on kahden edellisen summa), jonka Leonardo Pisalainen mainitsi työssään 1200-luvulla. Tämä on numerosarja, joka kuvaa kuukausittain syntyvien kaniparien määrää, jos kanit alkavat lisääntyä toisesta kuukaudesta lähtien ja tuottavat kaniinin joka kuukausi. Rivi edustaa numerosarjaa: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

8, 13, …

Toinen esimerkki on ionien transmembraanisten kuljetusprosessien tutkimus keinotekoisella kaksikerroksisella kalvolla. Tässä, jotta voidaan tutkia huokosten muodostumislakeja, joiden kautta ioni kulkee kalvon läpi soluun, on tarpeen luoda mallijärjestelmä, jota voidaan tutkia kokeellisesti ja jolle voidaan tieteen hyvin kehittämä fysikaalinen kuvaus. käyttää.

Klassinen esimerkki MM:stä on myös Drosophila-populaatio. Vielä kätevämpi malli on virukset, joita voidaan lisätä in vitro. Biologian mallinnusmenetelmät ovat dynaamisen systeemiteorian menetelmiä ja välineitä differentiaali- ja differentiaaliyhtälöt, differentiaaliyhtälöiden kvalitatiivisen teorian menetelmiä, simulointi.
Biologian mallintamisen tavoitteet:
3. Järjestelmäelementtien välisten vuorovaikutusmekanismien selventäminen
4. Mallin parametrien tunnistaminen ja todentaminen kokeellisen datan avulla.
5. Järjestelmän (mallin) vakauden arviointi.

6. Järjestelmän käyttäytymisen ennustaminen erilaisten ulkoisten vaikutusten alaisena, eri tavoin hallinta jne.
7. Järjestelmän optimaalinen ohjaus valitun optimaalisuuskriteerin mukaisesti.

Tekniikka

Teknologian kehittämisessä on mukana suuri joukko asiantuntijoita, jotka luottavat työssään tieteellisen tutkimuksen tuloksiin. Siksi MM tekniikassa on sama kuin luonnontieteiden MM, josta keskusteltiin edellä.

Talous ja sosiaaliset prosessit

On yleisesti hyväksyttyä, että matemaattista mallintamista makrotaloudellisten prosessien analysointimenetelmänä käytti ensimmäisenä kuningas Ludvig XV:n lääkäri, Dr. Francois Quesnay, joka julkaisi vuonna 1758 teoksen "Taloudellinen taulukko". Tämä työ teki ensimmäisen yrityksen kvantitatiivisesti kuvata kansantaloutta. Ja vuonna 1838 kirjassa O. Cournot"Opiskelu matemaattisia periaatteita varallisuusteoria" kvantitatiivisia menetelmiä käytettiin ensin analysoimaan kilpailua tuotemarkkinoilla erilaisissa markkinatilanteissa.

Yleisesti tunnetaan myös Malthuksen väestöteoria, jossa hän esitti ajatuksen: väestönkasvu ei ole aina toivottavaa, ja tämä kasvu on nopeampaa kuin kasvava kyky tarjota väestölle ruokaa. Tällaisen prosessin matemaattinen malli on melko yksinkertainen: Olkoon väestönkasvu https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> ja - kertoimet ottaen huomioon hedelmällisyyden ja kuolleisuuden (hlöä/vuosi).

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Instrumentaaliset ja matemaattiset menetelmät " href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="bookmark">matemaattiset analyysimenetelmät (esim viime vuosikymmeninä ilmestyi humanistisilla tieteillä matemaattisia teorioita Rakennettiin ja tutkittiin kulttuurin kehitystä, mobilisaation matemaattisia malleja, sosiokulttuuristen prosessien syklistä kehitystä, kansan ja hallituksen välisen vuorovaikutuksen mallia, kilpavarustelun mallia jne.

Useimmissa yleinen hahmotelma Sosioekonomisten prosessien MM-prosessi voidaan jakaa neljään vaiheeseen:

hypoteesijärjestelmän muotoilu ja käsitteellisen mallin kehittäminen; matemaattisen mallin kehittäminen; mallilaskelmien tulosten analysointi, johon kuuluu niiden vertailu käytäntöön; uusien hypoteesien muotoilu ja mallin tarkentaminen, jos laskentatulosten ja käytännön tietojen välillä on ristiriita.

Huomaa, että matemaattisen mallintamisen prosessi on pääsääntöisesti syklinen, koska jopa suhteellisen tutkimalla yksinkertaisia ​​prosesseja Harvoin on mahdollista rakentaa riittävä matemaattinen malli ja valita sen tarkat parametrit ensimmäisestä vaiheesta lähtien.

Tällä hetkellä taloutta pidetään monimutkaisena kehittyvänä järjestelmänä, jonka kvantitatiiviseen kuvaamiseen käytetään vaihtelevan monimutkaisuuden dynaamisia matemaattisia malleja. Yksi makrotalouden dynamiikan tutkimusalueista liittyy suhteellisen yksinkertaisten epälineaaristen simulaatiomallien rakentamiseen ja analysointiin, jotka heijastavat eri osajärjestelmien - työmarkkinoiden, tavaramarkkinoiden, rahoitusjärjestelmän, luonnonympäristön jne. - vuorovaikutusta.

Katastrofiteoria kehittyy menestyksekkäästi. Tämä teoria tarkastelee kysymystä olosuhteista, joissa epälineaarisen järjestelmän parametrien muutos saa järjestelmän tilaa kuvaavan pisteen vaiheavaruudessa siirtymään vetovoimaalueelta alkuperäiseen tasapainoasemaan vetovoiman alueelle. toiseen tasapainoasentoon. Jälkimmäinen on erittäin tärkeä paitsi teknisten järjestelmien analysoinnin, myös sosioekonomisten prosessien kestävyyden ymmärtämisen kannalta. Tältä osin havainnot kiinnostavat epälineaaristen mallien tutkimisen tärkeydestä johtamisessa. Vuonna 1990 julkaistussa kirjassa "Katastrofien teoria" hän kirjoittaa erityisesti: "... nykyinen perestroika selittyy suurelta osin sillä, että ainakin jotkut palautemekanismit ovat alkaneet toimia (henkilökohtaisen tuhon pelko). ”

(mallin parametrit)

Kun rakennetaan malleja todellisista esineistä ja ilmiöistä, joutuu usein käsittelemään tiedon puutetta. Tutkittavan kohteen ominaisuuksien jakauma, vaikutusparametrit ja alkutila tunnetaan vaihtelevalla epävarmuudella. Mallia rakennettaessa seuraavat vaihtoehdot epävarmojen parametrien kuvaamiseen ovat mahdollisia:

Matemaattisten mallien luokittelu

(toteutusmenetelmät)

Menetelmät MM:n toteuttamiseksi voidaan luokitella alla olevan taulukon mukaan.

Matemaattinen mallintaminen sanan suppeassa merkityksessä ymmärretään todellisten fysikaalisten, kemiallisten, teknologisten, biologisten, taloudellisten ja muiden prosessien yhtälöiden ja eriarvoisuuksien kuvaukseksi. Jotta matemaattisia menetelmiä voidaan käyttää eri prosessien analysointiin ja synteesiin, on välttämätöntä osata kuvata nämä prosessit matematiikan kielellä, eli kuvata ne yhtälö- ja epäyhtälöjärjestelmänä.

Matemaattiset menetelmät toimivat keinona saada uutta tietoa kohteesta. Tämä ei koske vain järjestelmiä. Taaksepäin katsottuna tieteen historiaan tutkija näkee, että koko tieteen dynamiikkaa voidaan pitää jatkuvana uusien, edistyneempien ja tehokkaampien mallien rakentamisena. On juurtunut ajatus, että "kaikki tieto on mallintamista" (N. Amosov). Yleisen järjestelmäteorian vaikutuksen alaisena tapahtui myös klassisten ideoiden uudelleenajattelu ja uudelleenarvostus. Matemaattisen mallinnuksen käsitettä alettiin tulkita niin laajasti, että se sisälsi tiedon koko formalisoinnin ja matematisoinnin. " Matemaattinen malli on vain erityinen kuvausmenetelmä, jonka avulla voidaan käyttää matematiikan muodollista loogista laitteistoa analysointiin."(Moiseev N.N., 1973).

Mutta monimutkaisten ja suurten järjestelmien mallit ovat periaatteessa jotain erilaista, laadullisesti. Analyyttinen, formaali-looginen laitteisto ei enää riitä tähän. Tämän työn puitteissa matemaattisella mallilla tarkoitetaan mitä tahansa matemaattista konstruktiota, joka on suuri ja/tai monimutkainen dynaaminen järjestelmä ja jolla on rakenteellisen ja toiminnallisen isomorfismin ominaisuus suhteessa tutkittavaan järjestelmään (alkuperäiseen järjestelmään).

Mallinnuksella ja matemaattisilla menetelmillä kvantitatiivisen tai laadullisen tuloksen saamisen välillä on syvällinen ero. Matematiikan käyttö tulee mahdolliseksi, kun selviää mitä ja mihin tarkoitukseen matemaattisilla menetelmillä määritetään, arvioidaan, mitataan, mitä ja miten käsitellään. Malli ei palvele näitä tarkoituksia. Matemaattinen mallintaminen ei ole matemaattisen työkalun soveltamista esineeseen eikä tiettyjen ongelmien ratkaisemista matemaattisten keinojen avulla. Tämä on tutkittavaan kohteeseen nähden isofunktionaalisen abstraktin objektin rakentamista muodollisin menetelmin ja keinoin kvantitatiivisen ja kvalitatiivisen analyysin matemaattisten menetelmien myöhempää soveltamista varten. Samalla matematiikan käyttö kielenä (metateoria) mallintamisessa antaa saaduille johtopäätöksille havainnollistavaa voimaa. Mallien rakentamistoiminta ei kuulu matematiikkaan, ja sitä (pitäisi) suorittaa eivät matemaatikot, vaan tietyn tiedon alan asiantuntijat.

Järjestelmämallin rakentamiseksi tarvitsemme niitä merkityksellisiä empiirisiä ideoita, niitä kuvailevia tieteitä, jotka edeltävät formalisoitujen tieteiden syntyä. Nämä kuvaukset eivät sisälly formalisoidun tieteen komponentteina, vaan ne vain helpottavat formalisointiprosessia ja rikastavat formalisoinnin heuristisia mahdollisuuksia. Malli ei vaadi alustavaa kuvausta mallinnetusta objektista, koska se on itsessään kuvausmuoto.

Mallin ja todellisuuden suhde on erilainen kuin todellisuuden ja matemaattisen kaavan suhde. Kaava on hieroglyfi, todellisuuden merkki. Malli on itse todellisuus. Voidaan väittää, että fyysikon tai matemaatikolla on hyvä dynamiikkataju, todelliset suhteet, jotka ovat piilossa kaavan takana, eivät näe sitä hieroglyfinä, ja lisäksi moderni matematiikka on kaukana yksinkertaisesta eikä vain kaavasta. . Ja silti tiedemies ei voi ajatella kaavoilla. Malli on toinen juttu. Hänellä on dynamiikkaa, hän elää (ei vain kuvaannollisesti, joskus myös sisällä kirjaimellisesti sanat). Tutkija osaa ajatella malleissa, hän saa mahdollisuuden ajatella mielikuvituksellisesti. Mallimaailmassa taiteellinen ja looginen todellisuudentaju sulautuvat yhteen.

Matemaattinen mallintaminen ei sulje pois klassisen matematiikan käyttöä, vaan osana mallia matematiikka saa sen tunkeutumisen voiman ja universaalisuuden, joka siltä riistettiin klassisella aikakaudella.

Jos tarkastelemme kohdetta kokonaisuutena, sen ulkoisten ominaisuuksien määrittelemänä, voimme tehokkaasti käyttää analyyttisiä kuvausmenetelmiä tämän kokonaisuuden ulkopuolella tapahtuville prosesseille. Mutta kannattaa asettaa tehtävä sisäinen kuvaus suuri ja/tai monimutkainen järjestelmä, joka kuvaa osien, elementtien ja osajärjestelmien välisiä vuorovaikutuksia klassisilla matematiikan menetelmillä, koska kohtaamme välittömästi ylitsepääsemättömiä vaikeuksia.

Toisaalta yritys kuvata tiettyä järjestelmää proseduurimenetelmillä yleensä tunkeutumatta sen sisäiseen rakenteeseen, sen rakenteeseen ja elementtien toimintoihin ei yleensä johda merkittävään tulokseen. Jokaisella menetelmällä on paikkansa.

Analyyttisten rakenteiden matematiikassa meidän on ensin ymmärrettävä ja sitten kuvattava. Mallinnuksessa, algoritmisten prosessien matematiikassa, itse kuvaamisprosessista, jota ei vielä ymmärretä, tulee usein ymmärtämisen väline.

Matemaattinen mallinnus yhdistää tutkimusmetodologiana kokemusta luonnon- ja yhteiskuntatieteiden eri aloilta, soveltavasta matematiikasta, tietojenkäsittelytieteestä ja järjestelmäohjelmoinnista perusongelmien ratkaisemiseksi. Monimutkaisten objektien matemaattinen mallinnus – yksi päästä päähän -kehitysjakso perustutkimus laitoksen tehokkuusindikaattoreiden erityisiin numeerisiin laskelmiin liittyviä ongelmia. Kehityksen tuloksena on matemaattisten mallien järjestelmä, joka kuvaa objektin laadullisesti heterogeenisia toimintamalleja ja sen kehitystä kokonaisuutena monimutkaisena järjestelmänä eri olosuhteissa. Laskennalliset kokeet matemaattisilla malleilla tarjoavat lähtötietoa kohteen suoritusindikaattoreiden arvioimiseksi. Siksi matemaattinen mallintaminen metodologiana suurten ongelmien tieteellisen tarkastelun järjestämiseen on välttämätön kansantaloudellisia ratkaisuja kehitettäessä. (Ensinnäkin tämä koskee taloudellisten järjestelmien mallintamista). Matemaattinen mallintaminen on pohjimmiltaan menetelmä uusien monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseksi, joten matemaattisen mallintamisen tutkimuksen tulee olla aktiivista. Uusia menetelmiä tulee kehittää etukäteen ja kouluttaa henkilöstöä, joka osaa soveltaa näitä menetelmiä pätevästi uusien käytännön ongelmien ratkaisemiseen. Matemaattinen malli voi syntyä kolmella tavalla:1. Varsinaisen prosessin suoran tutkimuksen tuloksena. Tällaisia ​​malleja kutsutaan fenomenologiseksi.2. Vähennysprosessin seurauksena. Uusi malli on jonkin yleisen mallin erikoistapaus. Tällaisia ​​malleja kutsutaan asymptoottisiksi.3. Induktioprosessin seurauksena. Uusi malli on yleistys perusmalleista. Tällaisia ​​malleja kutsutaan ensemble-malleiksi. Mallinnusprosessi alkaa mallintamalla yksinkertaistettu prosessi, joka toisaalta heijastaa tärkeimpiä laadullisia ilmiöitä, toisaalta mahdollistaa melko yksinkertaisen matemaattisen kuvauksen. Tutkimuksen syventyessä rakennetaan uusia malleja, jotka kuvaavat ilmiötä tarkemmin. Tässä vaiheessa vähäisiksi katsotut tekijät hylätään. Tutkimuksen seuraavissa vaiheissa mallin monimutkaistuessa ne voidaan kuitenkin ottaa huomioon. Tutkimuksen tarkoituksesta riippuen samaa tekijää voidaan pitää ensisijaisena tai toissijaisena Matemaattinen malli ja todellinen prosessi eivät ole identtisiä keskenään. Matemaattinen malli rakennetaan yleensä yksinkertaistaen ja idealisoimalla. Se kuvastaa vain likimääräisesti todellista tutkimuskohdetta, ja todellisen kohteen matemaattisilla menetelmillä tutkimisen tulokset ovat likimääräisiä. Tutkimuksen tarkkuus riippuu mallin ja kohteen riittävyysasteesta sekä sovellettujen laskennallisen matematiikan menetelmien tarkkuudesta. Kaava matemaattisten mallien rakentamiseksi on seuraava:1. Tutkittavan parametrin tai funktion tunnistaminen.2. Tähän määrään sovellettavan lain valinta.3. Valitse alue, jolla haluat tutkia tätä ilmiötä.

Teoreettisesta kurinalaisuudesta tulee tarkka tiede kun se toimii määrällisillä ominaisuuksilla. Mallin kvalitatiivista kuvausta seuraa abstraktion toinen vaihe - mallin kvantitatiivinen kuvaus. Galileo Galilei sanoi myös, että luonnonkirja on kirjoitettu matematiikan kielellä. Immanuel Kant julisti, että "jokaisessa tieteessä on yhtä paljon totuutta kuin siinä on matematiikkaa". Ja David Hilbert kirjoitti sanat: "Matematiikka − kaiken tarkan luonnontieteen perusta."

Matemaattinen mallintaminen on kognitiivisen ja luovan toiminnan teoreettinen ja kokeellinen menetelmä, se on ilmiöiden, prosessien ja järjestelmien (alkuperäisten objektien) tutkimus- ja selitysmenetelmä, joka perustuu uusien objektien - matemaattisten mallien - luomiseen.

Matemaattinen malli ymmärretään yleensä joukkona suhteita (yhtälöt, epäyhtälöt, loogiset ehdot, operaattorit jne.), jotka määrittävät mallinnusobjektin tilojen ominaisuudet ja niiden kautta lähtöarvot - reaktiot, riippuen alkuperäisen kohteen parametrit, syöttövaikutukset , alku- ja reunaehdot sekä aika.

Matemaattinen malli ottaa pääsääntöisesti huomioon vain ne alkuperäisen kohteen ominaisuudet (attribuutit), jotka heijastavat, määrittelevät ja kiinnostavat tietyn tutkimuksen päämääriä ja tavoitteita. Näin ollen mallinnuksen tavoitteista riippuen, kun tarkastellaan samaa alkuperäistä objektia eri näkökulmista ja eri näkökulmista, jälkimmäisillä voi olla erilaisia ​​matemaattisia kuvauksia ja sen seurauksena ne voidaan esittää erilaisilla matemaattisilla malleilla.

Ottaen huomioon edellä mainitut, annamme yleisimmän, mutta samalla tiukan rakentavan määritelmän P.J.:n muotoilemasta matemaattisesta mallista. Cohen.

Määritelmä 4.1. Matemaattinen malli on muodollinen järjestelmä, joka on äärellinen kokoelma symboleja ja täysin tiukat säännöt operaatio näiden symbolien kanssa yhdessä tietyn kohteen ominaisuuksien tulkinnan kanssa tiettyjen suhteiden, symbolien tai vakioiden avulla.

Kuten yllä olevasta määritelmästä seuraa, rajallinen kokoelma symboleja (aakkoset) ja täysin tiukat säännöt näiden symbolien käyttämiselle ("kielioppi" ja "matemaattisten lausekkeiden syntaksi") johtavat abstraktien matemaattisten objektien (AMO) muodostumiseen. Vain tulkinta tekee tästä abstraktista objektista matemaattisen mallin.

Matemaattinen malli on abstraktien ideoiden kvantitatiivinen formalisointi tutkittavasta ilmiöstä tai objektista.

Matemaattisia malleja voidaan esittää useilla matemaattisilla tavoilla:

· todellisia tai monimutkaisia ​​määriä;

· vektorit, matriisit;

· geometriset kuvat;

· epätasa-arvo;

· toiminnot ja toiminnallisuus;

· sarjaa, erilaisia ​​yhtälöitä;

· todennäköisyysjakaumafunktiot, tilastot jne.

"Fysiikan tieteessä − kirjoitti Thompson, − mitä tahansa objektia tutkiessa ensimmäinen ja olennaisin askel on löytää numeerisen arvioinnin periaatteet ja käytännölliset menetelmät jonkin kyseiselle esineelle ominaisen suuren mittaamiseksi."

Siirtymä abstraktion ensimmäisestä vaiheesta toiseen, ts. fysikaalisesta mallista matemaattiseen malliin usein vapauttaa mallin tietyn tutkittavan ilmiön tai objektin ominaispiirteistä. Monet matemaattiset mallit, menettessään fyysisen tai teknisen kuorensa, saavat universaalisuuden, ts. kyky kuvata kvantitatiivisesti prosesseja, jotka eroavat fyysiseltä luonteeltaan tai esineiden tekniseltä tarkoitukselta. Tämä paljastaa yhden tutkimuksen kohteen matemaattisen formalisoinnin tärkeimmistä ominaisuuksista, jonka vuoksi sovellettavia ongelmia muotoiltaessa ja ratkaistaessa ei useimmissa tapauksissa tarvitse luoda uutta matemaattista laitteistoa, vaan voidaan käyttää olemassa olevaa. , jossa on tietyssä tilanteessa tarvittavat parannukset ja tulkinnat. Näin ollen yhtä matemaattista mallia voidaan käyttää useiden erityisten, spesifisten ongelmien ratkaisemiseen, ja tässä mielessä se ilmaisee teorian yhtä tärkeimmistä käytännön tavoitteista.

Tietenkin fyysisen mallin rakentaminen liittyy usein erottamattomasti matemaattisen mallin rakentamiseen, ja molemmat prosessit edustavat yhden abstraktioprosessin kahta puolta.

Meitä ympäröi monimutkainen ihmisen luomat tekniset esineet (tekniset järjestelmät).. Uutta teknistä järjestelmää suunniteltaessa tai olemassa olevaa teknistä järjestelmää päivitettäessä ratkaistaan ​​parametrien laskentaan ja prosessien tutkimiseen liittyvät ongelmat tässä järjestelmässä. Monimuuttujalaskelmia suoritettaessa todellinen järjestelmä korvataan mallilla. Laajassa mielessä malli määritellään heijastukseksi eniten olennaiset ominaisuudet esine.

Määritelmä 4.2 . Teknisen kohteen matemaattinen malli on joukko matemaattisia objekteja ja niiden välisiä suhteita, joka heijastaa riittävästi tutkittavan kohteen tutkijaa (insinööriä) kiinnostavia ominaisuuksia.

Mallia voidaan esittää monella eri tavalla.

Malliesitysmuodot

· invariantti - mallisuhteiden tallennus perinteisellä matemaattisella kielellä riippumatta malliyhtälöiden ratkaisumenetelmästä;

· analyyttinen – mallin tallentaminen mallin alkuyhtälöiden analyyttisen ratkaisun tuloksena;

· algoritminen – mallin ja valitun numeerisen ratkaisumenetelmän välisten suhteiden tallentaminen algoritmin muodossa;

· kaavamainen (graafinen) – mallin esitys jollain graafisella kielellä (esim. graafikieli, vastaavat piirit, kaaviot jne.);

· fyysinen;

· analoginen;

Matemaattinen mallintaminen on yleisin prosessien kuvaus.

Matemaattisen mallintamisen käsite sisältää joskus ongelman ratkaisuprosessin tietokoneella (mikä ei periaatteessa ole täysin oikein, koska ongelman ratkaisemiseen tietokoneella kuuluu muun muassa algoritmi- ja ohjelmistomallin luominen, joka toteuttaa laskelma matemaattisen mallin mukaisesti).

Määritelmä 4.3.MM on kuva tutkittavasta kohteesta, joka on luotu tutkittavan mielessä käyttämällä tiettyjä muodollisia (matemaattisia) järjestelmiä tämän kohteen tiettyjen ominaisuuksien tutkimiseksi (arvioimiseksi).

Anna jonkun vastustaa K jolla on meitä kiinnostavaa omaisuutta C 0 .

Tätä ominaisuutta kuvaavan matemaattisen mallin saamiseksi on välttämätöntä:

1. Määritä tämän ominaisuuden indikaattori(nuo. määrittää ominaisuuden mitta jossain mittausjärjestelmässä).

2. Aseta luettelo ominaisuuksista C 1 , ..., m:llä, jolla omaisuusKANSSA 0 joita yhdistää tietyt suhteet (nämä voivat olla kohteen sisäisiä ominaisuuksia ja ominaisuuksia ulkoinen ympäristö, jotka vaikuttavat kohteeseen).

3. Kuvaa valitussa muotojärjestelmässä ulkoisen ympäristön ominaisuudet ulkoisina tekijöinä x 1 , ..., x n, jotka vaikuttavat haluttuun indikaattoriinY,objektin sisäiset ominaisuudet, kuten z-parametrit 1 , ..., z r , ja huomioimattomat kiinteistöt luokitellaan huomioimattomiksi tekijöiksi.

4. Ota selvää säännöllisistä suhteista, jos mahdollistaYja kaikki huomioon otetut tekijät ja parametrit ja luo matemaattinen kuvaus(malli).

Todelliselle esineelle on ominaista seuraava toiminnallinen suhde sen ominaisuuksien indikaattoreiden välillä:

Malli näyttää kuitenkin vain ne alkuperäisen kohteen tekijät ja parametrit, jotka ovat olennaisia ​​tutkittavan ongelman ratkaisemiseksi. Lisäksi olennaisten tekijöiden ja parametrien mittaukset sisältävät lähes aina virheitä, jotka johtuvat mittauslaitteiden epätarkkuudesta ja tiettyjen tekijöiden tietämättömyydestä. Tästä johtuen MM on vain likimääräinen kuvaus tutkittavan kohteen ominaisuuksista.

Matemaattinen malli voidaan määritellä myös nimellä abstraktio todellista elämää tutkitaan olemus.

Mallit eroavat yleensä alkuperäisistä sisäisten parametrien luonteen vuoksi. Samankaltaisuus piilee vastauksen riittävyydessä Y malli ja alkuperäinen ulkoisten tekijöiden muutoksille. Siksi yleisesti ottaen matemaattinen malli on funktio

missä ovat mallin sisäiset parametrit, jotka riittävät alkuperäisen parametrien kanssa.

Riippuen menetelmistä, joita käytetään tutkittavien objektien (ilmiöiden, prosessien) matemaattiseen kuvaamiseen, MM:t voivat olla analyyttisiä, loogisia, graafisia, automaattisia jne.

Matemaattisen mallinnuksen pääkysymys on kysymys siitä, kuinka tarkasti koottu MM heijastaa huomioon otettujen tekijöiden, parametrien ja indikaattorin välisiä suhteita. Y kiinteän esineen arvioitu omaisuus, ts. Kuinka tarkasti yhtälö (4.2) vastaa yhtälöä (4.1). Joskus yhtälö (4.2) voidaan saada välittömästi eksplisiittisessä muodossa, esimerkiksi differentiaaliyhtälöjärjestelmän muodossa tai muiden eksplisiittisten matemaattisten suhteiden muodossa.

Monimutkaisemmissa tapauksissa yhtälön (4.2) muoto on tuntematon ja tutkijan tehtävänä on ennen kaikkea löytää tämä yhtälö. Tässä tapauksessa vaihtelevat parametrit sisältävät kaikki huomioidut ulkoiset tekijät ja tutkittavan kohteen parametrit ja haetut parametrit sisältävät mallin sisäiset parametrit, jotka yhdistävät tekijät indikaattoriin. Y"todennäköisin suhde. Ratkaisu tähän ongelmaan on kokeen teoria. Tämän teorian ydin on, että parametrien ja indikaattorin arvojen valikoiviin mittauksiin perustuen Y", etsi parametrit, jolle funktio (4.2) heijastaa tarkimmin todellista kuviota (4.1).

Mallin ja simulaation käsite.

Malli laajassa mielessä- tämä on mikä tahansa kuva, mentaalinen analogi tai vakiintunut kuva, kuvaus, kaavio, piirros, kartta jne. mistä tahansa tilavuudesta, prosessista tai ilmiöstä, jota käytetään sen korvikkeena tai edustajana. Itse esinettä, prosessia tai ilmiötä kutsutaan tämän mallin alkuperäiseksi.

Mallintaminen - Tämä on minkä tahansa objektin tai esinejärjestelmän tutkimusta rakentamalla ja tutkimalla niiden malleja. Tämä on mallien käyttöä ominaisuuksien määrittämiseen tai selkeyttämiseen ja uusien objektien rakennusmenetelmien järkeistämiseen.

Kaikki tieteellisen tutkimuksen menetelmät perustuvat mallintamiseen, teoreettisissa menetelmissä käytetään erilaisia ​​symbolisia, abstrakteja malleja ja kokeellisissa menetelmissä aihemalleja.

Tutkimuksen aikana monimutkainen todellinen ilmiö korvataan jollain yksinkertaistetulla kopiolla tai kaaviolla, joskus sellainen kopio palvelee vain halutun ilmiön muistamista ja tunnistamista seuraavassa kokouksessa. Joskus rakennettu kaavio heijastaa joitain olennaisia ​​piirteitä, antaa mahdollisuuden ymmärtää ilmiön mekanismia ja mahdollistaa sen muutoksen ennustamisen. Sama ilmiö voi vastata erilaisia ​​malleja.

Tutkijan tehtävänä on ennustaa ilmiön luonne ja prosessin kulku.

Joskus käy niin, että esine on saatavilla, mutta sen kokeilut ovat kalliita tai aiheuttavat vakavia ympäristövaikutuksia. Tietoa tällaisista prosesseista saadaan mallien avulla.

Tärkeä seikka on, että tieteen luonteeseen ei liity yksittäisen ilmiön tutkimista, vaan laajan luokan siihen liittyviä ilmiöitä. Siinä oletetaan, että on tarpeen muotoilla joitain yleisiä kategorisia lausuntoja, joita kutsutaan laeiksi. Luonnollisesti tällaisessa muotoilussa monet yksityiskohdat jätetään huomiotta. Tunnistellakseen kuviota selvemmin he pyrkivät tietoisesti karkeuttamiseen, idealisoimiseen ja luonnostelemiseen, eli eivät tutki itse ilmiötä, vaan sen enemmän tai vähemmän tarkkaa kopiota tai mallia. Kaikki lait ovat malleja koskevia lakeja, ja siksi ei ole yllättävää, että ajan myötä jotkin tieteelliset teoriat tunnustetaan sopimattomiksi. Tämä ei johda tieteen romahtamiseen, koska yksi malli on korvattu toisella modernimpi.

Matemaattisilla malleilla on erityinen rooli tieteessä. rakennusmateriaali ja näiden mallien työkalut ovat matemaattisia käsitteitä. Ne kertyivät ja paranivat tuhansien vuosien aikana. Moderni matematiikka tarjoaa äärimmäisen tehokkaat ja yleismaailmalliset tutkimusvälineet. Lähes jokainen matematiikan käsite, jokainen matemaattinen objekti, alkaen numerokäsitteestä, on matemaattinen malli. Kun tutkittavasta esineestä tai ilmiöstä laaditaan matemaattinen malli, tunnistetaan ne sen ominaisuudet, piirteet ja yksityiskohdat, jotka toisaalta sisältävät enemmän tai vähemmän täydellistä tietoa kohteesta ja toisaalta mahdollistavat matemaattisen formalisoinnin. Matemaattinen formalisointi tarkoittaa, että kohteen ominaisuudet ja yksityiskohdat voidaan yhdistää sopivaan ja riittävään matemaattisia käsitteitä: numerot, funktiot, matriisit ja niin edelleen. Sitten tutkittavasta objektista löydetyt ja oletetut yhteydet ja suhteet sen yksittäisten osien ja komponenttien välillä voidaan kirjoittaa matemaattisten suhteiden avulla: yhtäläisyydet, epäyhtälöt, yhtälöt. Tuloksena on matemaattinen kuvaus tutkittavasta prosessista tai ilmiöstä, eli sen matemaattinen malli.

Matemaattisen mallin tutkiminen liittyy aina tiettyihin toimintasääntöihin tutkittavien kohteiden suhteen. Nämä säännöt kuvastavat syiden ja seurausten välistä suhdetta.

Matemaattisen mallin rakentaminen on minkä tahansa järjestelmän tutkimuksen tai suunnittelun keskeinen vaihe. Kaikki myöhemmät kohteen analyysit riippuvat mallin laadusta. Mallin rakentaminen ei ole muodollinen menettely. Se riippuu vahvasti tutkijasta, hänen kokemuksestaan ​​ja maustaan, ja perustuu aina tiettyyn kokeelliseen materiaaliin. Mallin tulee olla riittävän tarkka, riittävä ja kätevä käyttää.

Matemaattinen mallinnus.

Matemaattisten mallien luokittelu.

Matemaattiset mallit voivat olladeterministinen Ja stokastinen .

Päättäväinen malli ja ovat malleja, joissa objektia tai ilmiötä kuvaavien muuttujien välille muodostetaan yksi-yhteen vastaavuus.

Tämä lähestymistapa perustuu tietoon esineiden toimintamekanismista. Usein mallinnettava kohde on monimutkainen ja sen mekanismin purkaminen voi olla erittäin työlästä ja aikaa vievää. Tässä tapauksessa ne etenevät seuraavasti: he tekevät kokeita alkuperäisellä, käsittelevät saatuja tuloksia ja syventämättä mallinnetun kohteen mekanismiin ja teoriaan matemaattisen tilaston ja todennäköisyysteorian menetelmiä käyttäen muodostavat yhteyksiä kuvaavien muuttujien välille. objekti. Tässä tapauksessa saatstokastinen malli . SISÄÄN stokastinen Mallissa muuttujien välinen suhde on satunnainen, joskus se on perustavanlaatuinen. Valtavan määrän tekijöiden vaikutus, niiden yhdistelmä johtaa sattumanvaraiseen joukkoon muuttujia, jotka kuvaavat objektia tai ilmiötä. Moodin luonteen mukaan malli ontilastollinen Ja dynaaminen.

Tilastollinenmallisisältää kuvauksen mallinnetun kohteen päämuuttujien välisistä suhteista vakaassa tilassa ottamatta huomioon parametrien ajan kuluessa tapahtuneita muutoksia.

SISÄÄN dynaaminenmallitkuvataan mallinnetun kohteen päämuuttujien väliset suhteet siirtymisen aikana tilasta toiseen.

On malleja diskreetti Ja jatkuva, ja sekoitettu tyyppi. SISÄÄN jatkuva muuttujat ottavat arvot tietystä intervallista, indiskreettimuuttujat ottavat yksittäisiä arvoja.

Lineaariset mallit- kaikki mallia kuvaavat funktiot ja suhteet ovat lineaarisesti riippuvaisia ​​muuttujista jaei lineaarinenmuuten.

Matemaattinen mallinnus.

Vaatimukset ,p esitetty malleihin.

1. Monipuolisuus- luonnehtii todellisen kohteen tutkittujen ominaisuuksien malliesityksen täydellisyyttä.

1. Riittävyys on kyky heijastaa kohteen haluttuja ominaisuuksia virheellä, joka ei ole suurempi kuin annettu.
2. Tarkkuus arvioidaan todellisen kohteen ominaisuuksien arvojen ja näiden mallien avulla saatujen ominaisuuksien arvojen välisen yhteensopivuuden asteen mukaan.
3. Taloudellinen - määräytyy tietokoneen muistiresurssien ja sen toteuttamiseen ja toimintaan kuluvan ajan perusteella.

Matemaattinen mallinnus.

Mallintamisen päävaiheet.

1. Ongelman kuvaus.

Selvityksen tarkoituksen ja tavan määrittäminen ja yleisen lähestymistavan kehittäminen tutkittavaan ongelmaan. Tässä vaiheessa vaaditaan syvällistä ymmärrystä tehtävän olemuksesta. Joskus ongelman asettaminen oikein ei ole yhtä vaikeaa kuin sen ratkaiseminen. Lavastus ei ole muodollinen prosessi, yleiset säännöt Ei.

2. Teoreettisten perusteiden tutkiminen ja tiedon kerääminen alkuperäisestä esineestä.

Tässä vaiheessa valitaan tai kehitetään sopiva teoria. Jos sitä ei ole, objektia kuvaavien muuttujien välille muodostetaan syy-seuraussuhteet. Syöttö- ja lähtötiedot määritetään ja tehdään yksinkertaistavia oletuksia.

3. Formalisointi.

Se koostuu symbolijärjestelmän valitsemisesta ja niiden käyttämisestä objektin komponenttien välisten suhteiden kirjoittamiseen matemaattisten lausekkeiden muodossa. Määritetään ongelmaluokka, johon tuloksena oleva objektin matemaattinen malli voidaan luokitella. Joidenkin parametrien arvoja ei ehkä ole vielä määritetty tässä vaiheessa.

4. Ratkaisutavan valinta.

Tässä vaiheessa mallien lopulliset parametrit määritetään ottaen huomioon kohteen käyttöolosuhteet. Tuloksena olevalle matemaattiselle ongelmalle valitaan ratkaisumenetelmä tai kehitetään erityinen menetelmä. Menetelmää valittaessa otetaan huomioon käyttäjän tieto, hänen mieltymyksensä ja kehittäjän mieltymykset.

5. Mallin toteutus.

Algoritmin kehittelyn jälkeen kirjoitetaan ohjelma, josta suoritetaan virheenkorjaus, testaus ja ratkaisu haluttuun ongelmaan.

6. Saatujen tietojen analyysi.

Saatuja ja odotettuja ratkaisuja verrataan ja mallinnusvirhettä seurataan.

7. Todellisen kohteen riittävyyden tarkistaminen.

Mallista saatuja tuloksia verrataanjoko kohteesta saatavilla olevilla tiedoilla tai suoritetaan koe ja sen tuloksia verrataan laskettuihin.

Mallinnusprosessi on iteratiivinen. Jos vaiheiden tulokset eivät ole tyydyttäviä 6. tai 7. Palataan johonkin aikaisemmista vaiheista, mikä olisi voinut johtaa epäonnistuneen mallin kehittämiseen. Tätä vaihetta ja kaikkia myöhempiä vaiheita jalostetaan, ja tällaista mallin jalostusta tapahtuu, kunnes saadaan hyväksyttäviä tuloksia.

Matemaattinen malli on likimääräinen kuvaus matematiikan kielellä mistä tahansa reaalimaailman ilmiöluokista tai esineistä. Mallintamisen päätarkoituksena on tutkia näitä kohteita ja ennustaa tulevien havaintojen tuloksia. Mallinnus on kuitenkin myös keino ymmärtää ympäröivää maailmaa ja mahdollistaa sen hallitsemisen.

Matemaattinen mallintaminen ja siihen liittyvä tietokonekoe ovat välttämättömiä tapauksissa, joissa täysimittaisen kokeen suorittaminen on syystä tai toisesta mahdotonta tai vaikeaa. Esimerkiksi historiassa on mahdotonta perustaa luonnollista koetta tarkistamaan "mitä olisi tapahtunut, jos..." On mahdotonta tarkistaa yhden tai toisen kosmologisen teorian oikeellisuutta. Periaatteessa on mahdollista, mutta tuskin järkevää, kokeilla taudin, kuten ruton, leviämistä tai suorittaa ydinräjähdys tutkia sen seurauksia. Kaikki tämä voidaan kuitenkin tehdä tietokoneella rakentamalla ensin matemaattiset mallit tutkittavista ilmiöistä.

1.1.2 2. Matemaattisen mallinnuksen päävaiheet

1) Mallinrakennus. Tässä vaiheessa määritellään jokin "ei-matemaattinen" kohde - luonnonilmiö, suunnittelu, taloussuunnitelma, valmistusprosessi jne. Tässä tapauksessa tilanteen selkeä kuvaus on yleensä vaikeaa. Ensin tunnistetaan ilmiön pääpiirteet ja niiden väliset laadulliset yhteydet. Sitten löydetyt laadulliset riippuvuudet muotoillaan matematiikan kielellä, eli rakennetaan matemaattinen malli. Tämä on mallintamisen vaikein vaihe.

2) Matemaattisen ongelman ratkaiseminen, johon malli johtaa. Tässä vaiheessa kiinnitetään paljon huomiota algoritmien ja numeeristen menetelmien kehittämiseen ongelman ratkaisemiseksi tietokoneella, joiden avulla tulos voidaan löytää vaaditulla tarkkuudella ja hyväksyttävässä ajassa.

3) Matemaattisen mallin tulosten tulkinta.Mallin matematiikan kielellä johdetut seuraukset tulkitaan alalla hyväksytyllä kielellä.

4) Mallin riittävyyden tarkistaminen.Tässä vaiheessa selvitetään, ovatko kokeelliset tulokset yhtenevät mallin teoreettisten seurausten kanssa tietyllä tarkkuudella.

5) Mallin muuttaminen.Tässä vaiheessa mallia joko monimutkaistaan ​​niin, että se vastaa paremmin todellisuutta, tai sitä yksinkertaistetaan käytännössä hyväksyttävän ratkaisun saavuttamiseksi.

1.1.3 3. Mallin luokitus

Mallit voidaan luokitella eri kriteerien mukaan. Esimerkiksi ratkaistavien ongelmien luonteen mukaan mallit voidaan jakaa toiminnallisiin ja rakenteellisiin. Ensimmäisessä tapauksessa kaikki ilmiötä tai kohdetta kuvaavat suureet ilmaistaan ​​kvantitatiivisesti. Lisäksi joitain niistä pidetään itsenäisinä muuttujina, kun taas toisia pidetään näiden suureiden funktioina. Matemaattinen malli on yleensä erityyppisten yhtälöiden (differentiaali-, algebrallinen jne.) järjestelmä, joka muodostaa kvantitatiivisia suhteita tarkasteltavien suureiden välille. Toisessa tapauksessa malli luonnehtii monimutkaisen objektin rakennetta, joka koostuu yksittäisistä osista, joiden välillä on tiettyjä yhteyksiä. Yleensä näitä yhteyksiä ei voida mitata. Tällaisten mallien rakentamiseen on kätevää käyttää graafiteoriaa. Graafi on matemaattinen objekti, joka edustaa tasossa tai avaruudessa olevien pisteiden (pisteiden) joukkoa, joista osa on yhdistetty viivoilla (reunat).

Ennustemallit voidaan jakaa lähtötietojen ja tulosten luonteen perusteella deterministisiin ja todennäköisyysstatistisiin. Ensimmäisen tyypin mallit tekevät tiettyjä, yksiselitteisiä ennusteita. Toisen tyypin mallit perustuvat tilastotietoon, ja niiden avulla saadut ennusteet ovat luonteeltaan todennäköisyyspohjaisia.

MATEMAATTINEN MALLINNUS JA YLEISET ATKETOIMENPITEET TAI SIMULATION MALLIT

Nyt, kun maassa tapahtuu lähes yleismaailmallista tietokoneistamista, kuulemme eri ammattien asiantuntijoiden lausuntoja: "Jos otamme käyttöön tietokoneen, kaikki ongelmat ratkeavat välittömästi." Tämä näkökulma on täysin virheellinen; tietokoneet itse ilman tiettyjen prosessien matemaattisia malleja eivät pysty tekemään mitään, ja universaalista tietokoneistamisesta voi vain haaveilla.

Yllä olevan tueksi yritämme perustella mallinnuksen, mukaan lukien matemaattisen mallintamisen, tarvetta, paljastamme sen edut ihmisen ulkomaailman kognitiossa ja muuttamisessa, tunnistamme olemassa olevia puutteita ja siirrymme... simulaatiomallinnukseen, eli mallinnus tietokoneella. Mutta kaikki on kunnossa.

Ensinnäkin vastataan kysymykseen: mikä on malli?

Malli on materiaalinen tai henkisesti esitetty esine, joka kognitioprosessissa (tutkimuksessa) korvaa alkuperäisen, säilyttäen joitain tyypillisiä tämän tutkimuksen kannalta tärkeitä ominaisuuksia.

Hyvin rakennettu malli on tutkimukseen paremmin saatavilla kuin todellinen esine. Esimerkiksi kokeilut maan talouden kanssa koulutustarkoituksiin, et tule toimeen ilman mallia täällä.

Yhteenvetona sanotusta voimme vastata kysymykseen: mitä varten mallit ovat? Jotta

• ymmärtää, miten esine toimii (sen rakenne, ominaisuudet, kehityslait, vuorovaikutus ulkomaailman kanssa).
• oppia hallitsemaan kohdetta (prosessia) ja määrittämään parhaita strategioita
• ennustaa iskun seurauksia esineeseen.

Mitä positiivista missä tahansa mallissa on? Sen avulla voit saada uutta tietoa kohteesta, mutta valitettavasti se on jossain määrin epätäydellinen.

Mallimatematiikan kielellä matemaattisilla menetelmillä muotoiltua kutsutaan matemaattiseksi malliksi.

Sen rakentamisen lähtökohtana on yleensä jokin ongelma, esimerkiksi taloudellinen. Sekä kuvaavat että optimointimatemaattiset ovat yleisiä, ja ne kuvaavat erilaisia taloudellisia prosesseja ja ilmiöt, esim.

• resurssien kohdentaminen
• järkevä leikkaus
• kuljetus
• yritysten konsolidointi
• verkon suunnittelu.

Miten matemaattinen malli rakennetaan?

• Ensin määritellään tutkimuksen tarkoitus ja aihe.
• Toiseksi näkyvin tärkeitä ominaisuuksia, joka vastaa tätä tavoitetta.
• Kolmanneksi mallin elementtien väliset suhteet kuvataan verbaalisesti.
• Seuraavaksi suhde virallistetaan.
• Ja laskelma tehdään matemaattisen mallin avulla ja tuloksena oleva ratkaisu analysoidaan.

Tämän algoritmin avulla voit ratkaista minkä tahansa optimointiongelman, mukaan lukien monikriteerit, ts. sellainen, jossa ei pyritä yhteen, vaan useisiin tavoitteisiin, myös ristiriitaisiin.

Otetaan esimerkki. Jonoteoria - jonotuksen ongelma. On tarpeen tasapainottaa kaksi tekijää - palvelulaitteiden ylläpitokustannukset ja jonossa pysymisen kustannukset. Mallin muodollisen kuvauksen luomisen jälkeen laskelmat tehdään analyyttisin ja laskennallisin menetelmin. Jos malli on hyvä, niin sen avulla löydetyt vastaukset sopivat mallinnusjärjestelmään, jos se on huono, sitä on parannettava ja korvattava. Riittävyyskriteeri on käytäntö.

Optimointimalleilla, myös monikriteerisillä malleilla on yhteinen ominaisuus - tiedetään tavoite (tai useita tavoitteita), jonka saavuttamiseksi on usein käsiteltävä monimutkaisia ​​järjestelmiä, joissa ei ole niinkään kyse optimointiongelmien ratkaisemisesta, vaan tutkimisesta ja ennustamisesta. valituista hallintastrategioista riippuen. Ja tässä kohtaamme edellisen suunnitelman toteuttamisen vaikeudet. Ne ovat seuraavat:

• monimutkainen järjestelmä sisältää monia yhteyksiä elementtien välillä
• todelliseen järjestelmään vaikuttavat satunnaiset tekijät, joiden huomioon ottaminen analyyttisesti on mahdotonta
• mahdollisuus verrata alkuperäistä malliin on olemassa vain matemaattisen laitteiston käytön alussa ja käytön jälkeen, koska välituloksilla ei välttämättä ole analogeja todellisessa järjestelmässä.

Listattujen monimutkaisten järjestelmien tutkimisessa ilmenevien vaikeuksien yhteydessä käytäntö vaati joustavampaa menetelmää, ja se ilmestyi - "Simulaatiomallinnus".

Tyypillisesti simulaatiomallilla tarkoitetaan tietokoneohjelmia, jotka kuvaavat yksittäisten järjestelmälohkojen toimintaa ja niiden välisen vuorovaikutuksen sääntöjä. Käyttö satunnaismuuttujia edellyttää toistuvien kokeiden suorittamista simulaatiojärjestelmällä (tietokoneella) ja sen jälkeen saatujen tulosten tilastollista analysointia. Hyvin yleinen esimerkki simulaatiomallien käytöstä on jonotusongelman ratkaiseminen MONTE CARLO -menetelmällä.

Simulaatiojärjestelmän kanssa työskentely on siis tietokoneella suoritettua koetta. Mitkä ovat edut?

– Suurempi läheisyys todelliseen järjestelmään kuin matemaattiset mallit;

– Lohkoperiaatteen avulla on mahdollista tarkistaa jokainen lohko ennen sen sisällyttämistä kokonaisjärjestelmään;

-Riippuvuuksien käyttö enemmän monimutkainen luonne, jota ei kuvata yksinkertaisilla matemaattisilla suhteilla.

Luetellut edut määrittelevät haitat

– simulaatiomallin rakentaminen kestää kauemmin, on vaikeampaa ja kalliimpaa;

– Simulaatiojärjestelmän kanssa työskentelyyn tarvitaan tunnille sopiva tietokone;

– käyttäjän ja simulaatiomallin (rajapinnan) välinen vuorovaikutus ei saa olla liian monimutkaista, kätevää ja hyvin tunnettua;

-simulaatiomallin rakentaminen vaatii todellisen prosessin syvempää tutkimista kuin matemaattista mallintamista.

Herää kysymys: voiko simulaatiomallinnus korvata optimointimenetelmät? Ei, mutta se täydentää niitä kätevästi. Simulaatiomalli on ohjelma, joka toteuttaa tietyn algoritmin, jonka ohjauksen optimoimiseksi ensin ratkaistaan ​​optimointitehtävä.

Joten ei tietokone, matemaattinen malli tai algoritmi sen tutkimiseen yksin pysty ratkaisemaan riittävän monimutkaista ongelmaa. Mutta yhdessä ne edustavat voimaa, jonka avulla voimme tietää maailma, hallitse sitä ihmisen etujen mukaisesti.

1.2 Mallin luokitus

Teknisen kohteen matemaattinen malli on joukko matemaattisia objekteja ja niiden välisiä suhteita, joka heijastaa riittävästi tutkittavan kohteen tutkijaa (insinööriä) kiinnostavia ominaisuuksia.

Mallia voidaan esittää monella eri tavalla.

Mallin esittelylomakkeet:

invariantti - mallisuhteiden tallennus perinteisellä matemaattisella kielellä riippumatta malliyhtälöiden ratkaisumenetelmästä;

analyyttinen - mallin tallentaminen mallin alkuyhtälöiden analyyttisen ratkaisun tuloksena;

Algorithmic - mallin ja valitun numeerisen ratkaisumenetelmän välisten suhteiden tallentaminen algoritmin muodossa.

kaavamainen (graafinen) - mallin esitys jollakin graafisella kielellä (esimerkiksi graafinen kieli, vastaavat piirit, kaaviot jne.);

fyysistä

analoginen

Yleisin on prosessien matemaattinen kuvaus - matemaattinen mallintaminen.

Matemaattisen mallinnuksen käsite sisältää myös ongelman ratkaisuprosessin tietokoneella.

Yleistetty matemaattinen malli

Matemaattinen malli kuvaa lähtötietojen ja haluttujen suureiden välistä suhdetta.

Yleistetyn matemaattisen mallin elementit ovat (kuva 1): joukko syötetietoja (muuttujia) X,Y;

X on joukko muuttujia; Y - riippumattomat muuttujat (vakiot);

matemaattinen operaattori L, joka määrittelee operaatiot tälle datalle; Tällä tarkoitetaan täydellistä järjestelmää matemaattisia operaatioita, joka kuvaa numeerisia tai loogisia suhteita tulo- ja lähtödatajoukkojen (muuttujien) välillä;

lähtötietojen joukko (muuttujia) G(X,Y); on joukko kriteerifunktioita, mukaan lukien (tarvittaessa) tavoitefunktio.

Matemaattinen malli on suunnitellun kohteen matemaattinen analogi. Sen sopivuus kohteeseen määräytyy suunnitteluongelman ratkaisujen muotoilun ja oikeellisuuden perusteella.

Vaihtelevien parametrien (muuttujien) joukko X muodostaa vaihtelevien parametrien Rx (hakuavaruuden) avaruuden, joka on metrinen, jonka ulottuvuus n on yhtä suuri kuin vaihtelevien parametrien lukumäärä.

Riippumattomien muuttujien joukko Y muodostaa metrisen syöttötietoavaruuden Ry. Siinä tapauksessa, että kukin avaruuden Ry komponentti määritetään mahdollisten arvojen alueella, riippumattomien muuttujien joukko kartoitetaan johonkin avaruuden Ry rajoitettuun aliavaruuteen.

Riippumattomien muuttujien joukko Y määrää objektin toimintaympäristön, ts. ulkoiset olosuhteet, joissa suunniteltu kohde toimii

Se voi olla:

• - tekniset tiedot esineet, jotka eivät muutu suunnitteluprosessin aikana;
• - ympäristön fyysiset häiriöt, jonka kanssa suunnittelukohde on vuorovaikutuksessa;
• - taktiset parametrit, jotka suunnittelukohteen on saavutettava.

Tarkasteltavana olevan yleisen mallin lähtötiedot muodostavat kriteeri-indikaattoreiden metriavaruuden RG.

Kaavio matemaattisen mallin käyttämisestä tietokoneavusteisessa suunnittelujärjestelmässä on esitetty kuvassa 2.

Matemaattisen mallin vaatimukset

Matemaattisten mallien päävaatimukset ovat riittävyyden, monipuolisuuden ja tehokkuuden vaatimukset.

Riittävyys. Mallin katsotaan olevan riittävä, jos se kuvastaa määritellyt ominaisuudet hyväksyttävällä tarkkuudella. Tarkkuus määritellään mallin ja kohteen lähtöparametrien arvojen yhteensopivuuden asteena.

Mallin tarkkuus vaihtelee riippuen erilaisia ​​ehtoja kohteen toimintaa. Näille olosuhteille on ominaista ulkoiset parametrit. Valitse ulkoisten parametrien alueella mallin riittävyyden alue, jossa virhe on pienempi kuin määritetty suurin sallittu virhe. Mallien riittävyysalueen määrittäminen on monimutkainen toimenpide, joka vaatii suuria laskentakustannuksia, jotka kasvavat nopeasti ulkoisten parametrien tilan kasvaessa. Tämä laajuusongelma voi huomattavasti ylittää itse mallin parametrisen optimoinnin ongelman, ja siksi sitä ei välttämättä ratkaista äskettäin suunnitelluille objekteille.

Yleisyys määräytyy pääasiassa mallissa huomioitujen ulkoisten ja lähtöparametrien lukumäärän ja koostumuksen perusteella.

Mallin kustannustehokkuudelle on ominaista sen toteuttamisen laskentaresurssien kustannukset - tietokoneen ajan ja muistin kustannukset.

Ristiriitaiset vaatimukset mallille laaja alue riittävyys, korkea monipuolisuus ja korkea hyötysuhde määräävät useiden mallien käytön samantyyppisille esineille.

Mallien hankintamenetelmät

Mallien hankkiminen on yleensä ei-muodollinen menettely. Tärkeimmät päätökset matemaattisten suhteiden tyypin valinnasta, käytettyjen muuttujien ja parametrien luonteesta tekee suunnittelija. Samalla toiminnot, kuten malliparametrien numeeristen arvojen laskeminen, riittävyysalueiden määrittäminen ja muut, algoritmisoidaan ja ratkaistaan ​​tietokoneella. Siksi suunnitellun järjestelmän elementtien mallintamisen tekevät yleensä tiettyjen teknisten alojen asiantuntijat perinteisiä kokeellisia tutkimuksia käyttäen.

Menetelmät elementtien toiminnallisten mallien saamiseksi jaetaan teoreettisiin ja kokeellisiin.

Teoreettiset menetelmät perustuvat objektissa tapahtuvien prosessien fysikaalisten lakien tutkimiseen, näitä lakeja vastaavan matemaattisen kuvauksen määrittämiseen, yksinkertaistavien oletusten perustelemiseen ja hyväksymiseen, tarvittavien laskelmien suorittamiseen ja tuloksen saamiseen malliesityksen hyväksyttyyn muotoon.

Koemenetelmät perustuvat kohteen ominaisuuksien ulkoisten ilmentymien käyttöön, jotka on tallennettu samantyyppisten kohteiden käytön aikana tai kohdistettujen kokeiden aikana.

Huolimatta monien toimintojen heuristisesta luonteesta, mallinnus sisältää useita säännöksiä ja tekniikoita, jotka ovat yleisiä eri objektien mallien saamiseksi. Tarpeeksi yleinen luonne omistaa

makromallinnustekniikka,

matemaattiset menetelmät kokeiden suunnitteluun,

algoritmit formalisoiduille operaatioille parametrien numeeristen arvojen laskemiseen ja riittävyysalueiden määrittämiseen.

Matemaattisten mallien käyttö

Nykyaikaisten tietokoneiden laskentateho yhdistettynä kaikkien järjestelmäresurssien tarjoamiseen käyttäjälle, vuorovaikutteisen tilan mahdollisuus ongelman ratkaisussa ja tulosten analysoinnissa mahdollistavat ongelman ratkaisemiseen tarvittavan ajan minimoimisen.

Matemaattista mallia laatiessaan tutkijan tulee:

tutkia tutkittavan kohteen ominaisuuksia;

kyky erottaa esineen pääominaisuudet toissijaisista;

arvioi tehtyjä oletuksia.

Malli kuvaa lähtötietojen ja haluttujen määrien välistä suhdetta. Toimintojen sarjaa, joka on suoritettava siirtyäkseen lähtötiedoista haluttuihin arvoihin, kutsutaan algoritmiksi.

Algoritmi ongelman ratkaisemiseksi tietokoneella liittyy numeerisen menetelmän valintaan. Matemaattisen mallin esitysmuodosta (algebrallinen tai differentiaalimuoto) riippuen käytetään erilaisia ​​numeerisia menetelmiä.

Taloudellisen ja matemaattisen mallinnuksen ydin on kuvata sosioekonomisia järjestelmiä ja prosesseja taloudellisten ja matemaattisten mallien muodossa.

Tarkastellaanpa taloudellisten ja matemaattisten menetelmien luokittelukysymyksiä. Nämä menetelmät, kuten edellä todettiin, edustavat taloudellisten ja matemaattisten tieteenalojen kompleksia, jotka ovat taloustieteen, matematiikan ja kybernetiikan seos.

Siksi taloudellisten ja matemaattisten menetelmien luokittelu perustuu niiden muodostavien tieteenalojen luokitteluun. Vaikka näiden tieteenalojen yleisesti hyväksyttyä luokitusta ei ole vielä kehitetty, voidaan tietyllä likiarvolla erottaa seuraavat osat osana taloudellisia ja matemaattisia menetelmiä:

• * Talouskybernetiikka: taloustieteen järjestelmäanalyysi, taloudellisen tiedon teoria ja ohjausjärjestelmien teoria;
• * matemaattiset tilastot: tämän tieteenalan taloudelliset sovellukset - otantamenetelmä, varianssianalyysi, korrelaatioanalyysi, regressioanalyysi, monimuuttujatilastoanalyysi, tekijäanalyysi, indeksiteoria jne.;
• * matemaattinen taloustiede ja ekonometria, joka tutkii samoja asioita määrälliseltä puolelta: talouskasvun teoria, tuotannon funktioiden teoria, panostaseet, kansantalouden tilinpito, kysynnän ja kulutuksen analyysi, alueellinen ja spatiaalinen analyysi, globaali mallinnus jne.;
• * menetelmät optimaalisten päätösten tekemiseen, mukaan lukien taloustieteen operaatioiden tutkiminen. Tämä on laajin osio, joka sisältää seuraavat tieteenalat ja menetelmät: optimaalinen (matemaattinen) ohjelmointi, mukaan lukien haara- ja sidotut menetelmät, verkkosuunnittelu- ja ohjausmenetelmät, ohjelmakohtaiset suunnittelu- ja ohjausmenetelmät, varastonhallinnan teoria ja menetelmät, jonotus teoria , peliteoria, teoria ja päätöksenteon menetelmät, aikatauluteoria. Optimaalinen (matemaattinen) ohjelmointi puolestaan ​​sisältää lineaarisen ohjelmoinnin, epälineaarisen ohjelmoinnin, dynaamisen ohjelmoinnin, diskreetin (kokonaisluku)ohjelmoinnin, lineaarisen murto-ohjelmoinnin, parametrisen ohjelmoinnin, erotettavan ohjelmoinnin, stokastisen ohjelmoinnin, geometrisen ohjelmoinnin;
• * sekä keskitetylle suunnitelmataloudelle että markkina- (kilpailu)taloudelle erikseen ominaiset menetelmät ja tieteenalat. Ensimmäiset sisältävät teorian talouden optimaalisesta toiminnasta, optimaalisesta suunnittelusta, optimaalisen hinnoittelun teoriasta, materiaalien ja teknisen tarjonnan mallit jne. Toiset sisältävät menetelmät, jotka mahdollistavat vapaan kilpailun mallien kehittämisen, kapitalistisen syklin mallit, monopolimallit, indikatiivisen suunnittelun mallit, yritysteorian mallit jne.

Monet keskitetysti suunnitelmatalouksille kehitetyistä tekniikoista voivat olla hyödyllisiä myös taloustieteessä. matemaattinen mallinnus markkinataloudessa;

* taloudellisten ilmiöiden kokeellisen tutkimuksen menetelmät. Näitä ovat yleensä matemaattiset analyysi- ja taloudellisten kokeiden suunnittelumenetelmät, koneimitointimenetelmät (simulaatiomallinnus) ja bisnespelit. Tämä sisältää myös asiantuntija-arviointimenetelmät, jotka on kehitetty arvioimaan ilmiöitä, joita ei voida suoraan mitata.

Siirrytään nyt taloudellisten ja matemaattisten mallien luokittelukysymyksiin, toisin sanoen sosioekonomisten järjestelmien ja prosessien matemaattisiin malleihin.

Tällaisille malleille ei tällä hetkellä ole myöskään yhtenäistä luokitusjärjestelmää, mutta yleensä tunnistetaan yli kymmenen niiden luokituksen pääpiirrettä tai luokitusnimikettä. Katsotaanpa joitain näistä otsikoista.

Taloudelliset ja matemaattiset mallit jaetaan yleisen tarkoituksensa mukaan tutkimuksessa käytettyihin teoreettisiin ja analyyttisiin malleihin. yleiset ominaisuudet Taloudellisten prosessien mallit ja mallit sekä sovelletut prosessit, joita käytetään analyysin, ennustamisen ja hallinnan erityisten taloudellisten ongelmien ratkaisemisessa. Tässä oppikirjassa käsitellään erilaisia ​​sovellettavia taloudellisia ja matemaattisia malleja.

Mallinnusobjektien aggregaatioasteen perusteella mallit jaetaan makrotaloudellisiin ja mikrotaloudellisiin. Vaikka niiden välillä ei ole selkeää eroa, ensimmäisissä niistä on malleja, jotka kuvastavat koko talouden toimintaa, kun taas mikrotaloudelliset mallit liittyvät pääsääntöisesti sellaisiin talouden osiin kuin yritykset ja yritykset.

Erityisen tarkoituksen eli luomis- ja käyttötarkoituksen mukaan erotetaan tasapainomalleja, jotka ilmaisevat vaatimusta resurssien saatavuuden ja niiden käytön vastaavuudesta; trendimallit, joissa mallinnetun talousjärjestelmän kehitys heijastuu sen pääindikaattoreiden trendin (pitkän aikavälin trendin) kautta; optimointimallit, jotka on suunniteltu valitsemaan paras vaihtoehto tietyistä tuotanto-, jakelu- tai kulutusvaihtoehdoista; simulaatiomallit, jotka on tarkoitettu käytettäväksi tutkittavien järjestelmien tai prosessien konesimulaatioprosessissa jne.

Taloudellis-matemaattiset mallit jaetaan mallissa käytetyn tiedon tyypin mukaan analyyttisiin, a priori tietoon rakentuviin ja tunnistettaviin, jälkikäteen rakentuviin.

Aikatekijän perusteella mallit jaetaan staattisiin, joissa kaikki riippuvuudet liittyvät yhteen ajankohtaan, ja dynaamisiin, jotka kuvaavat kehitysvaiheessa olevia talousjärjestelmiä.

Epävarmuustekijän huomioon ottaen mallit jaetaan deterministisiin, jos niiden tulostulokset määräytyvät yksiselitteisesti ohjaustoiminnoilla, ja stokastisiin (todennäköisyyspohjaisiin), jos määritettäessä tiettyä arvojoukkoa mallin sisääntulossa voidaan saada erilaisia ​​tuloksia. saatu sen lähdössä satunnaistekijän vaikutuksesta riippuen.

Talousmatemaattiset mallit voidaan luokitella myös malliin sisältyvien matemaattisten objektien ominaisuuksien mukaan, toisin sanoen mallissa käytetyn matemaattisen laitteiston tyypin mukaan. Tähän ominaisuuteen perustuvat matriisimallit, lineaariset ja epälineaariset ohjelmointimallit, korrelaatio-regressiomallit,

Jonoteoriamallien matemaattisen mallintamisen peruskäsitteet, verkon suunnittelu- ja hallintamallit, peliteoriamallit jne.

Lopuksi tutkittavien sosioekonomisten järjestelmien lähestymistavan tyypin mukaan erotetaan kuvailevat ja normatiiviset mallit. Kuvailevalla lähestymistavalla saadaan malleja, joiden tarkoituksena on kuvata ja selittää todellisuudessa havaittuja ilmiöitä tai ennustaa näitä ilmiöitä; Esimerkkinä kuvailevista malleista voidaan mainita aiemmin mainitut tasapaino- ja trendimallit. Normatiivisella lähestymistavalla ei kiinnosta, miten järjestelmä rakentuu ja kehittyy. talousjärjestelmä, mutta miten se tulisi rakentaa ja miten sen tulisi toimia tiettyjen kriteerien mukaisesti. Erityisesti kaikki optimointimallit ovat normatiivisia; Toinen esimerkki on normatiiviset elintasomallit.

Tarkastellaanpa esimerkkinä panos-tuotostaseen (EMM IOB) taloudellis-matemaattista mallia. Yllä olevat luokitusotsikot huomioon ottaen tämä on sovellettu, makrotaloudellinen, analyyttinen, kuvaava, deterministinen, tase-, matriisimalli; on sekä staattisia että dynaamisia menetelmiä

Lineaarinen ohjelmointi on optimaalisen ohjelmoinnin erityinen haara. Optimaalinen (matemaattinen) ohjelmointi puolestaan ​​on soveltavan matematiikan haara, joka tutkii ehdollisia optimointiongelmia. Taloustieteessä tällaisia ​​ongelmia syntyy optimaalisuusperiaatteen käytännön toteutuksessa suunnittelussa ja johtamisessa.

Optimaalisen suunnittelun ja johtamisen (optimaalisuuden periaate) välttämätön edellytys on tuotanto- ja taloustilanteiden joustavuus ja vaihtoehtoisuus, joissa suunnittelu- ja johtamispäätöksiä on tehtävä. Juuri tällaiset tilanteet muodostavat pääsääntöisesti taloudellisen yksikön päivittäisen käytännön (valinta tuotantoohjelma, kiinnitys toimittajiin, reititys, materiaalien leikkaaminen, seosten valmistus jne.).

Optimaalisuusperiaatteen ydin on halu valita sellainen suunnittelu- ja johtamisratkaisu X = (xi, X2 xn), jossa Xy, (y = 1. i) ovat sen komponentteja, jotka ottavat parhaiten huomioon sisäiset ominaisuudet. ja taloudellisen yksikön tuotantotoiminnan ulkoiset olosuhteet .

Sanat "paras" tarkoittavat tässä jonkin optimaalisuuskriteerin valintaa, ts. jokin taloudellinen indikaattori, jonka avulla voit verrata tiettyjen suunnittelu- ja johtamispäätösten tehokkuutta. Perinteiset optimaalisuuskriteerit: "maksimi voitto", "minimikustannukset", "maksimi kannattavuus" jne. Sanat "ottaisivat huomioon tuotantotoiminnan sisäiset valmiudet ja ulkoiset olosuhteet" tarkoittavat, että suunnittelun valinnalle asetetaan useita ehtoja ja johdon päätös (käyttäytyminen), ts. X:n valinta suoritetaan tietystä mahdollisten (hyväksyttyjen) ratkaisujen D alueelta; tätä aluetta kutsutaan myös ongelmanmäärittelyalueeksi. optimaalisen (matemaattisen) ohjelmoinnin yleinen ongelma, muuten - optimaalisen ohjelmointiongelman matemaattinen malli, jonka rakentaminen (kehittäminen) perustuu optimaalisuuden ja johdonmukaisuuden periaatteisiin.

Vektoria X (joukko ohjausmuuttujia Xj, j = 1, n) kutsutaan optimaalisen ohjelmointiongelman hyväksyttäväksi ratkaisuksi tai suunnitelmaksi, jos se täyttää rajoitusjärjestelmän. Ja sitä suunnitelmaa X (hyväksyttävä ratkaisu), joka tuottaa tavoitefunktion f(xi, *2, ..., xn) maksimin tai minimin, kutsutaan optimaalisen ohjelmointiongelman optimaaliseksi suunnitelmaksi (optimaaliseksi käyttäytymiseksi tai yksinkertaisesti ratkaisuksi).

Siten optimaalisen johtamiskäyttäytymisen valinta tietyssä tuotantotilanteessa liittyy suoritukseen johdonmukaisuuden ja optimaalisuuden näkökulmasta. talous-matemaattinen optimaalisen ohjelmointiongelman mallintaminen ja ratkaiseminen. Optimaaliset ohjelmointiongelmat useimmiten yleisnäkymä luokitellaan seuraavien kriteerien mukaan.

• 1. Muuttujien välisen suhteen luonteen mukaan -
• a) lineaarinen,
• b) epälineaarinen.

Tapauksessa a) kaikki rajoitusjärjestelmän toiminnalliset yhteydet ja tavoitefunktio -- lineaariset funktiot; epälineaarisuuden esiintyminen ainakin yhdessä mainituista elementeistä johtaa tapaukseen b).

• 2. Muuttujien muutoksen luonteen mukaan --
• a) jatkuva,
• b) diskreetti.

Tapauksessa a) kunkin ohjausmuuttujan arvot voivat täyttää kokonaan tietyn reaalilukualueen; tapauksessa b) kaikki tai ainakin yksi muuttuja voi saada vain kokonaislukuja.

• 3. Ottaen huomioon aikatekijän --
• a) staattinen,
• b) dynaaminen.

Ongelmissa a) mallinnus ja päätöksenteko suoritetaan olettaen, että mallin elementit ovat ajasta riippumattomia sillä ajanjaksolla, jolle suunnittelu- ja johtamispäätös tehdään. Tapauksessa b) tällaista olettamusta ei voida hyväksyä riittävällä perustelulla ja on tarpeen ottaa huomioon aikatekijä.

• 4. Muuttujia koskevien tietojen saatavuuden perusteella --
• a) tehtävät täydellisen varmuuden olosuhteissa (deterministiset),
• b) tehtävät epätäydellisten tietojen olosuhteissa,
• c) tehtävät epävarmoissa olosuhteissa.

Tehtävissä b) yksittäiset alkiot ovat todennäköisyyssuureita, mutta niiden jakautumislait ovat tiedossa tai ne voidaan määrittää lisätilastollisilla tutkimuksilla. Tapauksessa c) on mahdollista tehdä oletus satunnaiselementtien mahdollisista tuloksista, mutta tulosten todennäköisyyksistä ei voi tehdä johtopäätöstä.

• 5. Vaihtoehtojen arviointikriteerien lukumäärän mukaan --
• a) yksinkertaiset, yhden kriteerin tehtävät,
• b) monimutkaiset, moniperusteiset tehtävät.

Ongelmissa a) on taloudellisesti hyväksyttävää käyttää yhtä optimaalisuuskriteeriä tai se voidaan saavuttaa erityisillä menetelmillä (esim. "punnitusprioriteetit")