Lineaariyhtälöjärjestelmät. karsintoja

Olkoon lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Tuntemattomien kertoimet muodostavat suorakaiteen muotoisen pinnan

nimeltään järjestelmän matriisi. Kertoimen ensimmäinen indeksi aij tarkoittaa yhtälön numeroa, toinen on tuntemattoman numero, jossa tämä kerroin on. Kertoimet b, , b gp kutsutaan systeemiyhtälöiden vapaat ehdot. Jos vapaat termit ovat yhtä kuin nolla, niin järjestelmää kutsutaan homogeeninen, muuten - heterogeeninen. Matriisi

nimeltään laajennettu matriisijärjestelmä (2.1).

Järjestelmän (2.1) ratkaisu on mikä tahansa järjestetty joukko (helvetti, X2 , ? ??, x p) alkaen P numeroita, kun ne korvataan järjestelmän yhtälöihin vastaavien tuntemattomien sijaan, järjestelmän jokainen yhtälö muuttuu identiteetiksi. Järjestelmää, jolla ei ole ratkaisua, kutsutaan ei-nivel, tai kiistanalainen. Järjestelmää, jolla on vähintään yksi ratkaisu, kutsutaan liitos.

Liitosjärjestelmät on jaettu varma, jolla on ainutlaatuinen ratkaisu, ja epävarma, omistava suuri numero päätökset. Homogeeninen järjestelmä on aina johdonmukainen, koska sillä on vähintään nollaratkaisu x - X2 - ... = x n = 0.

Tuntemattomia sisältävät lausekkeet (kaavat). x, x 2, ..., x n ja tietty joukko mielivaltaisia ​​vakioita, joista mielivaltaisten vakioiden arvot sopivalla valinnalla voidaan saada mikä tahansa järjestelmän tietty ratkaisu, kutsutaan yleistä järjestelmäratkaisu, ja mikä tahansa järjestelmän erityinen ratkaisu on sen yksityinen ratkaisu. Kaksi järjestelmää, joissa on samat tuntemattomat vastaava (vastaava), jos jommankumman ratkaisu on toisen ratkaisu tai molemmat järjestelmät ovat epäjohdonmukaisia.

Seuraavat yhtälöt on yleensä suoritettava järjestelmän yhtälöille: alkeismuunnokset:

• 1) kerrotaan minkä tahansa yhtälön molemmat puolet muulla kuin nollalla;
• 2) yhden yhtälön lisääminen (vähentäminen) toisella kerrottuna tietyllä luvulla;
• 3) yhtälöiden uudelleenjärjestely;
• 4) 0-tyypin yhtälöiden yliviivaus X + 0 X2 + + 0 x n= 0, ts. identiteetit 0 = 0;
• 5) tuntemattomien uudelleenjärjestely yhtälöjärjestelmässä.

Alkuainemuunnosten seurauksena järjestelmä muuttuu vastaavaksi. Yleinen menetelmä Ratkaisujen etsiminen perustuu yleensä peräkkäiseen siirtymiseen käyttämällä alkeismuunnoksia tietystä järjestelmästä vastaavaan järjestelmään, jolle ratkaisu on helppo löytää. Yksi tällainen tapa on Menetelmä tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin(Gaussin menetelmä). Tämän menetelmän algoritmi on seuraava.

Oletetaan, että järjestelmän (2.1) kerroin ac on eri kuin nolla. Tämä voidaan aina saavuttaa järjestämällä tarvittaessa uudelleen järjestelmän yhtälöitä tai siinä olevia tuntemattomia ja muuttamalla tuntemattomien numerointia. Kerrotaan ensimmäinen yhtälö A2 /ac ja vähennä toisesta yhtälöstä, sitten arvolla a^/ac ja vähennä kolmannesta yhtälöstä jne. Lopuksi kerrotaan ensimmäinen yhtälö a m ja ja vähennä viimeisestä yhtälöstä. Tämän seurauksena tuntematon X suljetaan pois kaikista yhtälöistä paitsi ensimmäistä, ja järjestelmä saa muotonsa:

Järjestelmästä (2.2) muotoa 0 olevat yhtälöt tulee poistaa x + 0 X2 + ...+ +0 x n= 0, jos sellainen ilmestyi. Tämä päättää Gaussin menetelmän ensimmäisen vaiheen. Elementtiä DC kutsutaan johtava elementti tämä vaihe.

Gaussin menetelmän eteenpäin etenemisen seuraavat vaiheet suoritetaan samalla tavalla. Joten toisessa vaiheessa kun a 22^ 0 kerrotaan peräkkäin toinen yhtälö a" 32 /a 22 , A! A2/a! 22, ..., a" m2 fa 22 ja vähennä se 3., 4., ..., m:nnestä yhtälöstä. Tämän seurauksena tuntematon X2 jätetään pois kaikista yhtälöistä paitsi 1. ja 2. Kolmas askel on tuntematon Minä en tiedä jätetään pois kaikista yhtälöistä paitsi kolmesta ensimmäisestä jne.

On mahdollista, että jossain vaiheessa Gaussin menetelmän eteenpäin etenemistä kohtaa yhtälö, jonka muoto on

Tällöin tarkasteltava järjestelmä on epäjohdonmukainen ja sen jatkoratkaisu lakkaa. Jos suoritettaessa Gaussin menetelmän eteenpäinviivaa ei kohtaa muotoa (2.3) olevia yhtälöitä, niin tarkasteltava järjestelmä muunnetaan enintään m eteenpäin suuntautuvan iskun jälkeen vastaavaksi muotoiseksi järjestelmäksi.

Merkintäjärjestelmän (2.4) yksinkertaistamiseksi kertoimien yläpuolella olevat alkuluvut jätetään pois. Siinä ei ole enempää T yhtälöt, ts. r ^ m, koska jotkut yhtälöt on saatettu pelkistää muotoon 0 = 0 ja yliviivattu, ja on myös ilmeistä, että r ^ P.

klo r = n järjestelmä (2.4) on kolmion muotoinen:

ja Gaussin menetelmä on helppo kääntää. Tätä varten tämän järjestelmän viimeisestä yhtälöstä löydämme tuntemattoman arvon x s. Korvaamalla sen toiseksi viimeiseen yhtälöön, löydämme arvon.x n _i. Jatkamalla näin, määritämme yksiselitteisesti kaikki tuntemattomat x, x2 , ..., x s. Näin ollen, jos järjestelmä (2.1) Gaussin menetelmän eteenpäin etenevänä pelkistetään kolmiomuotoiseksi järjestelmäksi, niin tällainen järjestelmä on määrätty, ts. on ainutlaatuinen ratkaisu.

klo g-järjestelmä (2.4) on puolisuunnikkaan muotoinen. Siinä on tuntemattomia X, X2 , ..., x g pidetään tärkeimpinä ja tuntemattomina x+, x g+ 2 , ..., x n- ilmaisille. Vapaat tuntemattomat voivat saada mitä tahansa kiinteää arvoa. uskoa x r+= 7 r +i, Xg+2 = b-+2 , , x n= 7 p, missä 7r+i, 7r+2? , 7п ovat mielivaltaisia ​​vakioita, ja kääntämällä Gaussin menetelmää järjestelmässä, saadaan kaavat:

jotka muodostavat järjestelmän (2.1) yleisen ratkaisun. Yleisestä ratkaisusta (2.C) tietyille arvoille 7r +i, 7r+2, , 7n saadaan järjestelmän (2.1) erityiset ratkaisut. Koska jokainen vapaa tuntematon voi saada äärettömän määrän arvoja, järjestelmä (2.1) kanssa g eli siinä tapauksessa, että se pelkistetään puolisuunnikkaan muotoon, sillä on ääretön määrä ratkaisuja. Tämä on totta yhteiset järjestelmät joissa on vähemmän yhtälöitä kuin tuntemattomia, ja erityisesti homogeenisille, joissa on vähemmän yhtälöitä kuin tuntemattomia.

Käytännössä Gaussin menetelmä toteutetaan yleensä matriisimuodossa. Tätä varten kirjoita järjestelmän laajennettu matriisi, jossa mukavuussyistä vapaiden termien sarake erotetaan pystypalkilla ja muunnokset suoritetaan tässä matriisissa, sitten tuloksena olevassa matriisissa jne. Tässä tapauksessa ekvivalenttien järjestelmien matriiseja pidetään myös vastaavina.

Esimerkki 2.1. Ratkaise yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä

Ratkaisu. Jätetään järjestelmän laajennettu matriisi

ensimmäinen rivi muuttamatta ja vähentämättä kolminkertaista ensimmäinen rivi toisesta, kaksinkertaista ensimmäinen rivi kolmannesta ja neljännestä, päästään vastaavaan matriisiin

Vähentämällä toinen rivi tämän matriisin kolmannesta ja jättämällä muut rivit ennalleen, saadaan matriisi

Ylittämällä kolmannen rivin tästä päästään matriisiin

joka vastaa järjestelmää

Täältä löydät Gaussin menetelmän päinvastaiseksi

Esimerkki 2.2. Ratkaise yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä

Ratkaisu. Jos järjestelmän laajennetussa matriisissa

jätä ensimmäinen rivi ennalleen, vähennä kaksinkertainen ensimmäinen rivi toisesta, kolminkertaista ensimmäinen rivi kolmannesta, saadaan matriisi

Suora (0 0 0 | - 5) vastaa yhtälöä 0 X + 0 x 2 + 0 Minä en tiedä= -5. Tällaisen yhtälön olemassaolo osoittaa tarkasteltavan järjestelmän yhteensopimattomuuden. ?

Esimerkki 2.3. Ratkaise yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä

Ratkaisu. Gaussin menetelmän alkeismuunnokset järjestelmän laajennetun matriisin riveillä antavat seuraavan ekvivalenttimatriisien ketjun:

Tämän ketjun viimeinen matriisi vastaa järjestelmää

Täällä uskotaan Minä en tiedä= 73 (77 on mielivaltainen vakio) ja kääntämällä Gaussin menetelmä, saadaan yleinen ratkaisu:

Gaussin menetelmän tehokkuuden ja stabiilisuuden lisäämiseksi sitä muutetaan eri tavoilla. Usein käytetään esimerkiksi kaaviota, jossa jokaisessa eteenpäinliikkeen vaiheessa johtava kerroin valitaan absoluuttisesti suurimmaksi tuntemattomien kertoimien joukossa valitussa yhtälössä tai käsiteltävässä alijärjestelmässä. tässä vaiheessa.

Ratkaistaessa järjestelmiä "manuaalisesti" Gaussin menetelmällä, monimutkaisten laskelmien välttämiseksi, joskus Gaussin menetelmän eteenpäin etenemisen vaiheiden välissä tai ennen sen alkamista, on suositeltavaa suorittaa ylimääräisiä alkeismuunnoksia joillekin yhtälöille. järjestelmä. Esimerkiksi kun järjestelmää ratkaistaan ​​"manuaalisesti".

On suositeltavaa vähentää ensin kaksinkertainen kolmasosa järjestelmän ensimmäisestä yhtälöstä ja jättää loput ennalleen. Sitten hankimme järjestelmän

jossa Gaussin menetelmä on jo helppo toteuttaa. Matriiseille suoritetaan myös lisämuunnoksia.

Lopuksi toteamme, että Gaussin menetelmä ja sen muunnelmat löytyvät eniten laaja sovellus laskentakäytännössä. Sen toteuttamiseksi tietokoneella voit käyttää tavallisia ohjelmia, jotka sisältyvät melkein mihin tahansa ohjelmistopakettiin matemaattisten ongelmien ratkaisemiseksi.

Gaussin menetelmä on helppo! Miksi? Kuuluisa saksalainen matemaatikko Johann Carl Friedrich Gauss sai tunnustusta elämänsä aikana suurin matemaatikko kaikkien aikojen nero ja jopa lempinimeltään "matematiikan kuningas". Ja kaikki nerokas on yksinkertaista! Muuten, Gaussin muotokuva oli 10 Saksan markan setelissä (ennen euron käyttöönottoa), ja Gauss hymyilee edelleen mystisesti saksalaisille tavallisista postimerkeistä.

Gaussin menetelmä on yksinkertainen siinä mielessä, että VIIDESLUOKKAAN OPPILAIDEN TIEDOT RIITTÄVÄT sen hallitsemiseen. Voit unohtaa alaikäiset ja algebralliset lisäykset hetkeksi! Sinun täytyy osata lisätä ja kertoa! Ei ole sattumaa, että opettajat harkitsevat usein tuntemattomien peräkkäistä poissulkemista koulun matematiikan valinnaisissa aineissa.

Se on paradoksi, mutta opiskelijat pitävät Gaussin menetelmää vaikeimpana. Ei mitään yllättävää - kyse on metodologiasta, ja yritämme puhua menetelmän algoritmista saavutettavassa muodossa.

Aluksi systematisoidaan vähän tietoa lineaarisista yhtälöjärjestelmistä. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä voi:

1) Hanki ainutlaatuinen ratkaisu.

2) On äärettömän monta ratkaisua.

3) Ei ratkaisuja (ol ei-nivel).

Gaussin menetelmä on tehokkain ja yleisin työkalu ratkaisun löytämiseen minkä tahansa lineaariset yhtälöt. Kuten muistamme, Cramerin sääntö ja matriisimenetelmä eivät sovellu tapauksissa, joissa järjestelmässä on äärettömän monta ratkaisua tai se on epäjohdonmukainen. Ja menetelmä tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin Joka tapauksessa johdattaa meidät vastaukseen! Päällä tämä oppitunti tarkastelemme jälleen Gaussin menetelmää tapaukseen nro 1 (ainoa ratkaisu järjestelmään), artikkeli Yhteensopimattomat järjestelmät ja järjestelmät yleisellä ratkaisulla on omistettu kohtien 2-3 tilanteille. Huomaa, että itse menetelmän algoritmi toimii samalla tavalla kaikissa kolmessa tapauksessa.

Palataan yksinkertaisimpaan järjestelmään

Ja ratkaistaan ​​se Gaussin menetelmällä.

Ensimmäisessä vaiheessa kirjoitamme ns laajennettu järjestelmämatriisi:

Uskomme jokaisen näkevän, millä periaatteella kertoimet kirjoitetaan.

Huomautus: Järjestelmän laajennettu matriisi saadaan alkuperäisestä "rivi/sarake-kasvatusoperaatiolla". Tässä tapauksessa matriisia laajennettiin alkuperäisen yhtälöjärjestelmän vapaiden termien sarakkeen vuoksi.

Huomautus: Aiemmin lueteltujen 6 matriiseilla varustetun algebrallisen operaation ja "lisäysoperaation" lisäksi on olemassa myös "rivin/sarakkeen hylkäämistoiminto". Käyttämällä "rivin/sarakkeen hylkäämisoperaatiota" esimerkiksi muodostetaan alimatriiseja, joiden determinantit ovat matriisielementtien sivumerkit.

Matriisin sisällä olevalla pystyviivalla ei ole matemaattista merkitystä - se on vain korostusviiva suunnittelun helpottamiseksi.

Määritelmä: Järjestelmämatriisi on matriisi, joka koostuu vain lineaarisen yhtälöjärjestelmän tuntemattomien muuttujien kertoimista.

Määritelmä: Laajennettu järjestelmämatriisi on järjestelmän matriisi, jota on laajennettu oikealle vapaiden termien sarakkeella.

Tässä esimerkissä . on järjestelmän matriisi, ja- tämä on järjestelmän laajennettu matriisi . Lyhyyden vuoksi mitä tahansa niistä voidaan yksinkertaisesti kutsua matriisiksi.

Kun järjestelmän laajennettu matriisi on kirjoitettu, on suoritettava uusia algebrallisia operaatioita, joita Gaussin kevyellä kädellä kutsutaan myös ns. alkeismatriisimuunnokset. Muunnoksia kutsutaan perus, koska on osoitettu (pitäämme tätä määritelmänä), että

Määritelmä: Jokaisen jälkeen alkeellinen muunnos laajennettu matriisi, saadaan täysin erilainen matriisi, mutta ratkaisuja tälle uudelle lineaariyhtälöjärjestelmälle pysyvät samoina kuin alkuperäisessä matriisissa.

Seuraavat perusmuunnokset ovat olemassa:

1) jouset matriiseja voidaan järjestää uudelleen joissakin paikoissa. Esimerkiksi tarkasteltavana olevassa matriisissa voit järjestää ensimmäisen ja toisen rivin kivuttomasti uudelleen:

2) Jos matriisilla on (tai on esiintynyt) suhteellinen (kuten erikoistapaus– identtiset rivit, niin se seuraa poistaa matriisista kaikki nämä rivit yhtä lukuun ottamatta.

Harkitse esimerkiksi matriisia . Tässä matriisissa kolme viimeistä riviä ovat verrannollisia, joten riittää, että jätät vain yhden niistä:

.

3) Jos matriisissa esiintyy nollarivi muunnosten aikana, niin sen pitäisi myös olla poistaa. Emme tietenkään vedä, nollaviiva on se viiva, jossa kaikki nollat.

4) Matriisirivi voi olla kertoa (jakaa) mihin tahansa numeroon nollasta poikkeava. Harkitse esimerkiksi matriisia . Tässä on suositeltavaa jakaa ensimmäinen rivi -3:lla ja kertoa toinen rivi 2:lla: . Tämä toiminto on erittäin hyödyllinen, koska se yksinkertaistaa matriisin lisämuunnoksia.

5) Tämä muunnos aiheuttaa eniten vaikeuksia, mutta todellisuudessa ei myöskään ole mitään monimutkaista. Matriisin riville voit lisää toinen merkkijono kerrottuna numerolla, eroaa nollasta.

Katsotaanpa matriisiamme käytännön esimerkistä: . Ensin kuvataan muutosta yksityiskohtaisesti.

Kerro ensimmäinen rivi (-2): , Edelleen lisää ensimmäinen rivi toiselle riville jättäen ensimmäisen ennalleen: . Nyt ensimmäinen rivi voidaan jakaa "takaisin" arvolla (–2): .

Kuten näet, rivi, joka on LISÄTTY LI – ei ole muuttunut. Aina rivi, MIHIN LISÄTTY, muuttuu UT.

Käytännössä he eivät tietenkään kirjoita sitä niin yksityiskohtaisesti, mutta kirjoittavat sen lyhyesti:

Vielä kerran: toiselle riville lisäsi ensimmäisen rivin kerrottuna (–2). Rivi kerrotaan yleensä suullisesti tai luonnoksessa, ja mentaalinen laskentaprosessi menee suunnilleen näin:

"Kirjoitan matriisin uudelleen ja kirjoitan ensimmäisen rivin uudelleen: »

"Ensimmäinen sarake. Alareunaan minun täytyy saada nolla. Siksi kerron ylhäällä olevan -2:lla ja lisään ensimmäisen toiselle riville: 2 + (-2) = 0.

Kirjoitan tuloksen toiselle riville: »

"Nyt toinen sarake. Ylhäällä kerron -1:llä -2:( -1∙(-2) = 2 ). Lisään ensimmäisen toiselle riville: 1 + 2 = 3. Kirjoitan tuloksen toiselle riville:

»

"Ja kolmas sarake. Ylhäällä kerron -5:llä -2:( -5∙(-2) = 10 ). Lisään ensimmäisen toiselle riville:( –7 + 10 = 3 ). Kirjoitan tuloksen toiselle riville:

»

Ymmärrä tämä esimerkki huolellisesti ja ymmärrä peräkkäisen laskenta-algoritmi, jos ymmärrät tämän, niin Gaussin menetelmä on käytännössä taskussasi. Mutta tietysti jatkamme edelleen tätä muutosta.

Toistamme: "Elementaariset muunnokset eivät muuta järjestelmän ratkaisua"

HUOMIO!: harkittuja manipulaatioita n ei voida käyttää, jos sinulle tarjotaan tehtävää, jossa matriisit annetaan "itsensä". Esimerkiksi sanalla "klassinen" operaatiot matriiseillaÄlä missään tapauksessa saa järjestää mitään uudelleen matriisien sisällä!

Palataan järjestelmäämme. Se on melkein ratkaistu.

Mitä Gauss kysyy? Hän sanoo: ”Kirjoita muistiin järjestelmän laajennettu matriisi ja tuo se alkeismuunnoksilla porrastettu näkymä».

Tässä tapauksessa tätä varten

(1) Lisää toiselle riville ensimmäinen rivi kerrottuna -2:lla. Muuten, miksi kerromme ensimmäisen rivin -2:lla? Saadakseen nollan alareunaan, mikä tarkoittaa eroon yhdestä muuttujasta toisella rivillä.

(2) Jaa toinen rivi kolmella. Miksi? Niin, että toinen rivi antaa heti toisen muuttujan arvon.

Alkeismuunnosten tarkoitus– pienennä matriisi vaiheittain:

Tehtävälomakkeessa se on selvästi mainittu yksinkertaisella kynällä"portaat" ja ympyröi myös "portailla" olevat numerot. Termi "porrastettu näkymä" itsessään ei ole täysin teoreettinen, tieteellisessä ja opetuskirjallisuutta sitä usein kutsutaan puolisuunnikkaan muotoinen näkymä tai kolmion muotoinen näkymä.

Alkuainemuunnosten tuloksena saatiin yhtälöjärjestelmä, vastaava alkuperäinen lineaarinen yhtälöjärjestelmä, joka sai muodon:

Nyt järjestelmä on "vapautettava" vastakkaiseen suuntaan - alhaalta ylös, tätä prosessia kutsutaan Gaussin menetelmän käänteinen.

Alemmassa yhtälössä meillä on jo valmis tulos: . Tarkastellaan järjestelmän ensimmäistä yhtälöä ja korvataan se jo tunnettu arvo"Y":

Vastaus:

Tarkastellaan yleisintä tilannetta, jolloin Gaussin menetelmä edellyttää kolmen lineaarisen yhtälön järjestelmän ratkaisemista kolmella tuntemattomalla.

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä:

Kirjoitetaan järjestelmän laajennettu matriisi:

Nyt piirrämme heti tuloksen, johon pääsemme ratkaisun aikana:

.

Toistakaamme, että tavoitteemme on saattaa matriisi vaiheittaiseen muotoon käyttämällä alkeismuunnoksia. Mistä aloittaa?

Katso ensin vasemmassa yläkulmassa olevaa numeroa:

.

Pitäisi olla melkein aina täällä yksikkö. Yleisesti ottaen (–1) on hyvä, ja joskus muutkin luvut ovat hyviä, mutta jotenkin perinteisesti on käynyt niin, että yksi yleensä sijoitetaan sinne. Kuinka organisoida yksikkö? Katsomme ensimmäistä saraketta - meillä on valmis yksikkö! Muunnos yksi: vaihda ensimmäinen ja kolmas rivi:

Nyt ensimmäinen rivi pysyy muuttumattomana ratkaisun loppuun asti. Nyt hyvin.

Vasemmassa yläkulmassa oleva yksikkö on järjestetty. Nyt sinun on saatava nollia näissä paikoissa:

Saamme nollia "vaikealla" muunnolla. Ensin käsitellään toista riviä (2, -1, 3, 13). Mitä pitää tehdä nollan saamiseksi ensimmäiselle sijalle? Tarvitsee co lisää toinen rivi ensimmäiseen riviin kerrottuna -2:lla. Kerro ensimmäinen rivi henkisesti tai luonnoksessa -2:lla: (-2, -4, 2, -18).

Ja suoritamme johdonmukaisesti (taas henkisesti tai luonnoksessa) lisäystä, ts. toiselle riville lisäämme ensimmäisen rivin, joka on jo kerrottu -2:lla:

Kirjoitamme tuloksen toiselle riville:

Käsittelemme kolmatta riviä samalla tavalla (3, 2, –5, –1). Saadaksesi nollan ensimmäiseen kohtaan, sinun on lisää kolmannelle riville ensimmäinen rivi kerrottuna -3:lla.

Kerro ensimmäinen rivi henkisesti tai luonnoksessa -3:lla: (-3, -6, 3, -27). JA kolmanteen riviin lisätään ensimmäinen rivi kerrottuna -3:lla:

Kirjoitamme tuloksen kolmannelle riville:

Käytännössä nämä toimet suoritetaan yleensä suullisesti ja kirjataan ylös yhdessä vaiheessa:

Kaikkea ei tarvitse laskea kerralla ja samaan aikaan. Laskelmien järjestys ja tulosten "kirjoittaminen". johdonmukainen ja yleensä se on näin: kirjoitamme ensin ensimmäisen rivin uudelleen ja puhaltelemme hitaasti itsellemme - JOHDONMUKAISESTI ja HUOMAA:

.

Ja olemme jo keskustelleet itse laskelmien henkisestä prosessista yllä.

Tässä esimerkissä tämä on helppo tehdä: jaamme toisen rivin –5:llä (koska kaikki siellä olevat luvut ovat jaollisia 5:llä ilman jäännöstä). Samanaikaisesti jaamme kolmannen rivin -2:lla, koska mitä pienempi numero, nuo yksinkertaisempi ratkaisu:

Alkeismuunnosten viimeisessä vaiheessa sinun on saatava toinen nolla täältä:

Tätä varten kolmanteen riviin lisätään toinen rivi kerrottuna -2:lla:

Yritä keksiä tämä toiminto itse - kerro toinen rivi mielessään (–2) ja suorita yhteenlasku. Viimeinen suoritettu toiminto on tuloksen kampaus; tehdäksesi tämän, jaa kolmas rivi 3:lla.

Alkuainemuunnosten tuloksena saadaan alkuperäistä lineaariyhtälöjärjestelmää vastaava järjestelmä:

Nyt Gaussin menetelmän "käänteinen liike" tulee peliin. Yhtälöt "purkautuvat" alhaalta ylös.

Kolmannessa yhtälössä meillä on jo valmis tulos:

Katsotaanpa toista yhtälöä: . Sanan "zet" merkitys on jo tiedossa, joten:

Esimerkki 3

Kirjataan muistiin järjestelmän laajennettu matriisi ja saatetaan se alkeismuunnoksilla vaiheittaiseen muotoon:

Katsomme vasemman yläkulman "askelta". Meillä pitäisi olla yksi siellä. Ongelmana on, että ensimmäisessä sarakkeessa ei ole yksiköitä ollenkaan, joten rivien uudelleenjärjestely ei ratkaise mitään. Tällaisissa tapauksissa yksikkö on organisoitava alkeismuunnolla. Tämä voidaan yleensä tehdä useilla tavoilla.

Tehdään tämä:

(1) Ensimmäiselle riville lisäämme toisen rivin kerrottuna (-1). Toisin sanoen kerroimme henkisesti toisen rivin (–1) ja lisäsimme ensimmäisen ja toisen rivin, kun taas toinen rivi ei muuttunut.

Nyt vasemmassa yläkulmassa (–1), mikä sopii meille varsin hyvin. Jokainen, joka haluaa saada (+1), voi suorittaa lisäeleen: kerro ensimmäinen rivi (-1) vaihtamalla sen merkkiä. Sitten algoritmi toimii uurretun raidan mukaan:

.

(2) Ensimmäinen rivi kerrottuna 5:llä lisättiin toiselle riville. Ensimmäinen rivi kerrottuna 3:lla lisättiin kolmanteen riviin.

(3) Ensimmäinen rivi kerrottiin (–1). Periaatteessa se on kauneuden vuoksi. Myös kolmannen rivin merkki muutettiin ja se siirrettiin toiselle sijalle, jolloin toisessa ”askelessa” meillä oli tarvittava yksikkö.

(4) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna kahdella.

(5) Kolmas rivi jaettiin kolmella.

Veloitamme päinvastoin, esimerkkien suunnittelussa he eivät usein kirjoita itse järjestelmää uudelleen, vaan yhtälöt "otetaan suoraan annetusta matriisista". Muistutan sinua, että käänteinen veto toimii alhaalta ylös. Kyllä, tässä on lahja:

Vastaus: .

Esimerkki 4

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä

Tämä on esimerkki itsenäinen päätös, se on hieman monimutkaisempi. Ei haittaa, jos joku on hämmentynyt. Koko ratkaisu ja mallisuunnittelu oppitunnin lopussa. Ratkaisusi voi poiketa meidän ratkaisustamme.

The online-laskin löytää ratkaisun lineaariseen yhtälöjärjestelmään (SLE) Gaussin menetelmällä. Annettu yksityiskohtainen ratkaisu. Laskemista varten valitse muuttujien lukumäärä ja yhtälöiden lukumäärä. Syötä sitten tiedot soluihin ja napsauta "Laske" -painiketta.

Numeron esitys:

Paikkojen lukumäärä desimaalierottimen jälkeen

×

Varoitus

Tyhjennä kaikki solut?

Sulje Tyhjennä

Tietojen syöttöohjeet. Numerot syötetään kokonaislukuina (esimerkit: 487, 5, -7623 jne.), desimaalilukuina (esim. 67., 102,54 jne.) tai murtolukuina. Murtoluku tulee syöttää muodossa a/b, jossa a ja b (b>0) ovat kokonaislukuja tai desimaalilukuja. Esimerkit 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 jne.

Gaussin menetelmä

Gaussin menetelmä on menetelmä, jolla siirrytään alkuperäisestä lineaariyhtälöjärjestelmästä (käyttäen vastaavia muunnoksia) järjestelmään, joka on helpompi ratkaista kuin alkuperäinen järjestelmä.

Lineaarisen yhtälöjärjestelmän vastaavat muunnokset ovat:

• vaihtamalla kaksi yhtälöä järjestelmässä,
• kerrotaan mikä tahansa järjestelmän yhtälö nollasta poikkeavalla reaaliluvulla,
• lisäämällä yhteen yhtälöön toinen yhtälö kerrottuna mielivaltaisella luvulla.

Harkitse lineaarista yhtälöjärjestelmää:

Kirjoitetaan järjestelmä (1) matriisimuodossa:

(3)

A- kutsutaan järjestelmän kerroinmatriisiksi, b– rajoitusten oikea puoli, x− löydettävien muuttujien vektori. Anna ranking( A)=s.

Ekvivalentit muunnokset eivät muuta kerroinmatriisin ja järjestelmän laajennetun matriisin järjestystä. Myöskään järjestelmän ratkaisujoukko ei muutu vastaavien muunnosten yhteydessä. Gaussin menetelmän ydin on kertoimien matriisin pienentäminen A diagonaaliseen tai porrastettuun.

Rakennetaan laajennettu matriisi järjestelmästä:

Seuraavassa vaiheessa nollaamme kaikki elementin alapuolella olevan sarakkeen 2 elementit. Jos tämä elementti on nolla, tämä rivi vaihdetaan riviin, joka on tämän rivin alapuolella ja jonka toisessa sarakkeessa on nollasta poikkeava elementti. Nollaa seuraavaksi kaikki sarakkeen 2 elementit johtavan elementin alapuolella a 22. Voit tehdä tämän lisäämällä rivit 3, ... m merkkijonolla 2 kerrottuna − a 32 /a 22 , ..., −a m2/ a 22, vastaavasti. Jatkamalla menettelyä, saamme diagonaalisen tai porrastetun matriisin. Olkoon tuloksena olevan laajennetun matriisin muoto:

Koska soiA = soi(A|b), niin ratkaisujoukko (7) on ( n-p)− lajike. Siten n-p tuntemattomat voidaan valita mielivaltaisesti. Jäljelle jäävät tuntemattomat järjestelmästä (7) lasketaan seuraavasti. Viimeisestä yhtälöstä ilmaisemme x p läpi loput muuttujat ja lisää edellisiin lausekkeisiin. Seuraavaksi ilmaisemme toiseksi viimeisestä yhtälöstä x p−1 loput muuttujat läpi ja lisää edellisiin lausekkeisiin jne. Tarkastellaan Gaussin menetelmää erityisillä esimerkeillä.

Esimerkkejä lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemisesta Gaussin menetelmällä

Esimerkki 1. Etsi yleinen ratkaisu lineaariyhtälöjärjestelmälle Gaussin menetelmällä:

Merkitään a ij elementtejä i- rivi ja j sarake.

Jätetään pois elementin alapuolella olevan matriisin 1. sarakkeen alkiot a yksitoista. Voit tehdä tämän lisäämällä rivit 2,3 rivillä 1 kerrottuna -2/3, -1/2:

Jaamme jokaisen matriisin rivin vastaavalla alkuelementillä (jos johtava elementti on olemassa):

Korvaamalla ylemmät lausekkeet alemmilla, saamme ratkaisun.

Tänään aiomme ymmärtää Gaussin menetelmää lineaaristen järjestelmien ratkaisemiseksi algebralliset yhtälöt. Voit lukea siitä, mitä nämä järjestelmät ovat, edellisestä artikkelista, joka on omistettu samojen SLAE-ratkaisujen ratkaisemiseen Cramer-menetelmällä. Gaussin menetelmä ei vaadi erityistä tietoa, tarvitset vain tarkkaavaisuutta ja johdonmukaisuutta. Huolimatta siitä, että matematiikan näkökulmasta sen soveltaminen riittää koulun valmistautuminen, opiskelijoiden on usein vaikea hallita tätä menetelmää. Tässä artikkelissa yritämme vähentää ne tyhjäksi!

Gaussin menetelmä

M Gaussin menetelmä– yleisin tapa ratkaista SLAE (lukuun ottamatta erittäin suuria järjestelmiä). Toisin kuin aiemmin käsiteltiin, se ei sovellu vain järjestelmiin, joissa on yksi ratkaisu, vaan myös järjestelmiin, joissa on ääretön määrä ratkaisuja. Tässä on kolme mahdollista vaihtoehtoa.

1. Järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu (järjestelmän päämatriisin determinantti ei ole nolla);
2. Järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja;
3. Ratkaisuja ei ole, järjestelmä on yhteensopimaton.

Joten meillä on järjestelmä (olkoon sillä yksi ratkaisu) ja aiomme ratkaista sen Gaussin menetelmällä. Kuinka se toimii?

Gaussin menetelmä koostuu kahdesta vaiheesta - eteenpäin ja käänteisestä.

Gaussin menetelmän suora isku

Ensin kirjoitetaan muistiin järjestelmän laajennettu matriisi. Tätä tarkoitusta varten sisään päämatriisi lisää ilmaisten jäsenten sarake.

Gaussin menetelmän koko olemus on saattaa tämä matriisi porrastettuun (tai kuten myös sanotaan kolmiomaiseen) muotoon alkeismuunnoksilla. Tässä muodossa matriisin päädiagonaalin alla (tai sen yläpuolella) pitäisi olla vain nollia.

Mitä voit tehdä:

1. Voit järjestää matriisin rivit uudelleen;
2. Jos matriisissa on yhtä suuria (tai suhteellisia) rivejä, voit poistaa ne kaikki yhtä lukuun ottamatta.
3. Voit kertoa tai jakaa merkkijonon millä tahansa luvulla (paitsi nollalla);
4. Nollarivit poistetaan;
5. Voit liittää merkkijonoon merkkijonon, joka on kerrottu muulla kuin nollalla.

Käänteinen Gaussin menetelmä

Kun olemme muuttaneet järjestelmän tällä tavalla, yksi tuntematon Xn tulee tunnetuksi, ja voit löytää kaikki jäljellä olevat tuntemattomat käänteisessä järjestyksessä korvaamalla jo tunnetut x:t järjestelmän yhtälöihin ensimmäiseen saakka.

Kun Internet on aina käsillä, voit ratkaista yhtälöjärjestelmän Gaussin menetelmällä verkossa. Sinun tarvitsee vain syöttää kertoimet online-laskimeen. Mutta täytyy myöntää, että on paljon miellyttävämpää huomata, että esimerkkiä ei ole ratkaistu tietokoneohjelma, mutta omilla aivoillasi.

Esimerkki yhtälöjärjestelmän ratkaisemisesta Gaussin menetelmällä

Ja nyt - esimerkki, jotta kaikki tulee selväksi ja ymmärrettäväksi. Olkoon lineaarinen yhtälöjärjestelmä, ja sinun on ratkaistava se Gaussin menetelmällä:

Ensin kirjoitetaan laajennettu matriisi:

Tehdään nyt muunnokset. Muistamme, että meidän on saavutettava matriisin kolmion muotoinen ulkonäkö. Kerrotaan ensimmäinen rivi (3). Kerro toinen rivi arvolla (-1). Lisää toinen rivi ensimmäiseen ja saat:

Kerro sitten kolmas rivi (-1). Lisätään 3. rivi toiseen:

Kerrotaan ensimmäinen rivi (6). Kerrotaan toinen rivi (13). Lisätään 2. rivi ensimmäiseen:

Voila - järjestelmä on alennettu sopiva tyyppi. Vielä on löydettävä tuntemattomat:

Tämän esimerkin järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu. Käsittelemme erillisessä artikkelissa järjestelmien ratkaisemista, joissa on ääretön määrä ratkaisuja. Ehkä aluksi et tiedä mistä aloittaa matriisin muuntaminen, mutta asianmukaisen harjoittelun jälkeen ymmärrät sen ja murtat SLAE:itä Gaussin menetelmällä kuin pähkinöitä. Ja jos kohtaat yhtäkkiä SLA:n, joka osoittautuu liian kovaksi pähkinäksi, ota yhteyttä tekijöihimme! voit jättää pyynnön kirjetoimistoon. Yhdessä ratkaisemme kaikki ongelmat!

Luku 3. Numeeriset menetelmät yhtälöiden ratkaisemiseksi

Erilaisia matemaattisia malleja(yhtälöt) sähköpiirien teoriassa

1. - lineaariset algebralliset yhtälöt -

lineaariset vakio- ja sinimuotoiset vaihtopiirit ( monimutkainen menetelmä) virta.

2 . - epälineaaristen algebrallisten tai

transsendentaaliset yhtälöt – epälineaariset tasa- tai sinivirran piirit.

3. . – epälineaariset differentiaalijärjestelmät

ensimmäisen asteen yhtälöt tavallisissa derivaatoissa – transienttiprosessit epälineaarisissa piireissä.

Tässä F Ja ψ – vektorifunktiot, ts. vastaa kirjoittamista:

f 1 (X, b 1) = 0

f 2 (X, b 2) = 0

…………

fn (X,bn) = 0

A - merkinnät:

ψ 1 (dX/dt,X,b1,t) = 0

ψ 2 (dX/dt,X,b2,t) = 0

…………………..

ψ n (dX/dt,X,bn,t) = 0

Mietitäänpä eniten tehokkaita menetelmiä ratkaisuja näihin yhtälöihin.

Numeeriset menetelmät lineaaristen algebrallisten yhtälöiden (LAE) ratkaisemiseksi

Gaussin menetelmä (tuntemattomien eliminointi)

LEA:iden ratkaisemiseen on olemassa menetelmiä tärkeä, koska niitä käytetään (iteratiivisesti) monimutkaisempien yhtälöiden ratkaisemiseen.

Olkoon LAU-järjestelmä muodossa:

,

Missä - neliömatriisi n– ensimmäinen kertaluokka nollasta poikkeavilla diagonaalielementeillä; - tuntemattomien vektori; - oikeiden osien vektori.

Gaussin menetelmän algoritmi koostuu suoraan Ja käänteinen edistystä. Eteenpäin suuntautuvan iskun aikana tuntemattomat eliminoidaan peräkkäin. Järjestelmä on muodoltaan:

Kertoimet lasketaan uudelleen kaavalla:

, Missä i, j = k+1, …n poikkeuksella k- tuntematon.

Tässä tapauksessa on kätevää pitää oikeanpuoleisen sarakkeena n+1 kerroinmatriisin sarake, ts. j = k+1, …n+1.

Päinvastainen on määrittää tuntemattomat, alkaen viimeisestä yhtälöstä, jossa yksi tuntematon jää jäljelle x n. Vastaanotettu arvo x n korvataan edelliseen yhtälöön ja määritetään x n -1 jne.

Mielivaltaiseksi x k saadaan seuraava kaava:

Missä k = n, n-1,…1.

Gaussin menetelmän monimutkaisuus arvioidaan suoritettujen aritmeettisten operaatioiden lukumäärällä:

.

Kuutioriippuvuus ongelman laajuudesta rajoittaa merkittävästi analysoitavien piirien monimutkaisuutta. Kuitenkin, jos jotkut kertoimet a ik matriisissa on nolla, ts. hän sattuu olemaan harva, silloin on mahdollista vähentää työvoimaintensiteettiä.

Harvamatriisimenetelmän pääideana on ottaa huomioon vain nollasta poikkeavat matriisielementit laskelmissa ja varastoinnissa. Matriisin harvalukuisuusasteelle on ominaista täyttökerroin:

Missä n nne– nollasta poikkeavien elementtien lukumäärä.

On kerroinmatriiseja erityinen tyyppi: nauha, kun nollasta poikkeavat elementit sijaitsevat päälävistäjällä; ja lohko-diagonaali, kun nollasta poikkeavat lohkot sijaitsevat päälävistäjällä. On myös lohko-diagonaalisia, joissa on reunukset.

Esimerkki nauhamatriisista Esimerkki lohkodiagonaalimatriisista

Esimerkki lohko-diagonaalimatriisista reunuksella

Niitä varten on kehitetty erityisiä tehokkaita ratkaisumenetelmiä. Diagonaaliselle menetelmälle juoksee. Lohkoyhtälö on jaettu erillisiin yhtälöryhmiin lohkoissa, jotka ratkaistaan ​​Gaussin menetelmällä. Reunuksella varustetuille lohkojen lävistäjälle on olemassa diakoptisia ratkaisumenetelmiä.

Diakoptika– lähestymistapa monimutkaisten järjestelmien tutkimiseen, jossa järjestelmä jaetaan osiin ja analysoidaan osa kerrallaan ottaen huomioon kaikki yhteydet valittujen osien välillä.