Katkaistu kartio on kappale, joka saadaan pyörittämällä. Suora pyöreä kartio

Katkaistu kartio saadaan, jos kartiosta leikataan pienempi kartio pohjan suuntaisella tasolla (kuva 8.10). Katkaistulla kartiolla on kaksi kantaa: "alempi" - alkuperäisen kartion pohja - ja "ylempi" - leikatun kartion kanta. Kartion poikkileikkauksen lauseen mukaan katkaistun kartion pohjat ovat samanlaisia .

Katkaistun kartion korkeus on kohtisuora, joka on pudonnut yhden kannan pisteestä toisen tasoon. Kaikki tällaiset kohtisuorat ovat yhtä suuret (katso kohta 3.5). Korkeutta kutsutaan myös niiden pituudeksi, eli tukien tasojen väliseksi etäisyydeksi.

Katkaistu kierroskartio saadaan kierroskartiosta (kuva 8.11). Siksi sen kantat ja kaikki sen kanssa yhdensuuntaiset osat ovat ympyröitä, joiden keskipisteet ovat yhdellä suoralla - akselilla. Katkaistu kierroskartio saadaan pyörittämällä suorakaiteen muotoinen trapetsi hänen kylkensä ympärillä kohtisuoraan pohjaan nähden tai kierto

tasakylkinen puolisuunnikkaan symmetria-akselin ympäri (kuva 8.12).

Katkaistun kierroskartion sivupinta

Tämä on siihen kuuluvan pyörimiskartion sivupinnan osa, josta se saadaan. Katkaistun pyörimiskartion pinta (tai sen koko pinta) koostuu sen pohjasta ja sivupinnasta.

8.5 Kuvia vallankumouksen kartioista ja vallankumouksen typistetyistä kartioista.

Suoraan pyöreä kartio piirtää näin. Ensin piirretään ellipsi, joka edustaa pohjan kehää (kuva 8.13). Sitten he löytävät pohjan keskipisteen - pisteen O ja piirtävät pystysuoraan segmentin RO, joka kuvaa kartion korkeutta. Pisteestä P piirretään tangentti- (viite)suorat ellipsiin (käytännössä tämä tehdään silmällä viivaimen avulla) ja näiden viivojen segmentit RA ja PB valitaan pisteestä P kosketuspisteisiin A ja B. Huomaa, että segmentti AB ei ole kantakartion halkaisija, eikä kolmio ARV ole kartion aksiaalinen leikkaus. Kartion aksiaalinen leikkaus on kolmio APC: jana AC kulkee pisteen O läpi. Näkymättömät viivat piirretään vedoilla; segmenttiä OP ei useinkaan piirretä, vaan se piirretään vain mielessään, jotta kartion P yläosa voidaan kuvata suoraan pohjan - pisteen O - keskikohdan yläpuolella.

Katkaistua pyörimiskartiota kuvattaessa on kätevää piirtää ensin kartio, josta katkaistu kartio saadaan (kuva 8.14).

8.6. Kartioprofiilit. Olemme jo sanoneet sen sivupinta kierrossylinterin taso leikkaa ellipsiä pitkin (kohta 6.4). Myös kiertokartion sivupinnan leikkaus tason, joka ei leikkaa sen kantaa, on ellipsi (kuva 8.15). Siksi ellipsiä kutsutaan kartioleikkaukseksi.

Kartioleikkaukset sisältävät myös muita tunnettuja käyriä - hyperboleja ja paraabeleja. Tarkastellaan rajoittamatonta kartiota, joka on saatu pidentämällä kierroskartion sivupintaa (kuva 8.16). Leikkaa se tason a kanssa, joka ei kulje kärjen läpi. Jos a leikkaa kaikki kartion generaattorit, niin leikkauksessa, kuten jo mainittiin, saadaan ellipsi (kuva 8.15).

Kääntämällä käyttöjärjestelmätasoa voidaan varmistaa, että se leikkaa kartion K kaikki generaattorit yhtä lukuun ottamatta (jonka käyttöjärjestelmä on yhdensuuntainen). Sitten osaan saadaan paraabeli (kuva 8.17). Lopuksi OS-tasoa edelleen kiertämällä siirrämme sen sellaiseen asentoon, että a, ylittäen osan kartion K generaattoreista, ei leikkaa loputonta määrää sen muita generaattoreita ja on yhdensuuntainen niistä kahden kanssa (kuva 8.18). . Sitten kartion K leikkaukseen tasossa a saadaan käyrä, jota kutsutaan hyperboliksi (tarkemmin sanottuna yksi sen "haaroista"). Joten hyperbola, joka on funktion kuvaaja erikoistapaus hyperbolit ovat tasakylkisiä hyperboleja, aivan kuten ympyrä on ellipsin erikoistapaus.

Mikä tahansa hyperbola voidaan saada tasakylkistä projektiolla, aivan kuten ellipsi saadaan ympyrän rinnakkaisprojektiolla.

Hyperbolan molempien haarojen saamiseksi on otettava kartion leikkaus, jossa on kaksi "onteloa", toisin sanoen kartio, joka ei muodostu säteistä, vaan suorista viivoista, jotka sisältävät pyörimiskartion sivupinnan generatriiseja (kuva 1). 8.19).

Muinaiset kreikkalaiset geometriat tutkivat kartioleikkauksia, ja niiden teoria oli yksi antiikin geometrian huipuista. Suurin osa koko tutkimus kartioleikkaukset muinaisina aikoina suoritti Apollonius Pergalainen (III vuosisata eKr.).

On olemassa useita tärkeitä ominaisuuksia, jotka yhdistävät ellipsit, hyperbelit ja paraabelit yhteen luokkaan. Ne esimerkiksi tyhjentävät "ei-degeneroituneita", eli niitä ei voida pelkistää pisteeseen, suoraksi tai suorien viivojen pariksi, käyriä, jotka on määritelty tasossa Suorakulmaiset koordinaatit muodon yhtälöt

Kartioleikkauksilla on tärkeä rooli luonnossa: kappaleet liikkuvat elliptisiä, parabolisia ja hyperbolisia kiertoradalla gravitaatiokentässä (muistakaa Keplerin lait). Kartioleikkausten merkittäviä ominaisuuksia käytetään usein tieteessä ja tekniikassa, esimerkiksi joidenkin optisten instrumenttien tai valonheittimien valmistuksessa (valoheittimen peilin pinta saadaan kiertämällä paraabelin kaarta paraabelin akselin ympäri ). Pyöreiden lampunvarjostimien varjon rajoilla voidaan havaita kartiomaisia ​​leikkeitä (kuva 8.20).

Saatu kaikkien yhdestä pisteestä lähtevien säteiden yhdistämisellä ( huiput kartio) ja kulkee tasaisen pinnan läpi. Joskus kartiota kutsutaan sellaisen kappaleen osaksi, joka saadaan yhdistämällä kaikki segmentit, jotka yhdistävät tasaisen pinnan kärjen ja pisteitä (jälkimmäistä tässä tapauksessa kutsutaan ns. perusta kartioita, ja kartiota kutsutaan perustuu tältä pohjalta). Tätä tapausta tarkastellaan alla, ellei toisin mainita. Jos kartion kanta on monikulmio, kartiosta tulee pyramidi.

"== Aiheeseen liittyvät määritelmät ==

• Janaa, joka yhdistää kärjen ja kannan rajan, kutsutaan kartion generatrix.
• Kartion generaattoreiden liittoa kutsutaan generatrix(tai puolella) kartiomainen pinta. Kartion generatrix on kartiomainen pinta.
• Jana, joka on pudonnut kohtisuoraan kärjestä kannan tasoon (ja myös sellaisen janan pituuteen) on ns. kartion korkeus.
• Jos kartion pohjalla on symmetriakeskipiste (esimerkiksi se on ympyrä tai ellipsi) ja kartion kärjen ortogonaalinen projektio kannan tasoon osuu tämän keskipisteen kanssa, niin kartio on ns. suoraan. Suoraa, joka yhdistää kärjen ja pohjan keskustan, kutsutaan kartioakseli.
• vino (taipuvainen) kartio - kartio, jossa kärjen ortogonaalinen projektio kantaan ei ole sama kuin sen symmetriakeskus.
• pyöreä kartio Kartio, jonka kanta on ympyrä.
• Suora pyöreä kartio(kutsutaan usein yksinkertaisesti kartioksi) voidaan saada kiertämällä suorakulmaista kolmiota jalan sisältävän viivan ympäri (tämä viiva edustaa kartion akselia).
• Kartiota, joka perustuu ellipsiin, paraabeliin tai hyperbeliin, kutsutaan vastaavasti elliptinen, parabolinen ja hyperbolinen kartio(kahdella viimeisellä on ääretön äänenvoimakkuus).
• Kartion osaa, joka sijaitsee kannan ja kannan suuntaisen tason välissä sekä kärjen ja pohjan välissä, kutsutaan katkaistu kartio.

Ominaisuudet

• Jos pohjan pinta-ala on äärellinen, niin kartion tilavuus on myös äärellinen ja on yhtä kuin kolmasosa pohjan korkeuden ja pinta-alan tulosta. Siten kaikilla kartioilla, jotka lepäävät tietyllä pohjalla ja joiden kärki sijaitsee tietyllä pohjan suuntaisella tasolla, on sama tilavuus, koska niiden korkeudet ovat yhtä suuret.
• Minkä tahansa tilavuudeltaan rajallisen kartion painopiste sijaitsee neljänneksellä korkeudesta alustasta.
• Suoran pyöreän kartion kärjessä oleva avaruuskulma on yhtä suuri kuin

• Tällaisen kartion sivupinta-ala on yhtä suuri

• Pyöreän kartion tilavuus on

• Tason leikkauspiste suoran ympyräkartion kanssa on yksi kartioleikkauksista (ei-degeneroituneissa tapauksissa ellipsi, paraabeli tai hyperbola, sekanttitason sijainnista riippuen).

Yleistykset

Algebrallisessa geometriassa kartio on mielivaltainen osajoukko vektoriavaruudesta kentän yli, jolle tahansa

Katso myös

• Kartio (topologia)

Wikimedia Foundation. 2010 .

Katso, mitä "suora pyöreä kartio" tarkoittaa muissa sanakirjoissa:

Suora pyöreä kartio. Suora ja ... Wikipedia

Oikea pyöreä kartio Kartio on kappale, joka saadaan yhdistämällä kaikki säteet, jotka lähtevät yhdestä pisteestä (kartion kärjestä) ja kulkevat tasaisen pinnan läpi. Joskus kartiota kutsutaan osaksi tällaista runkoa, joka saadaan yhdistämällä kaikki segmentit, jotka yhdistävät ... Wikipedia

Kartio- Suora pyöreä kartio. CONE (latinasta conus, kreikan sanasta konos cone), geometrinen runko, rajoitettu pyöreä kartiomainen pinta ja taso, joka ei kulje kartiomaisen pinnan kärjen läpi. Jos kärki sijaitsee ... ... Kuvitettu tietosanakirja

- (latinalainen conus; kreikka konos). Kappale, jota rajoittaa suoran linjan käänteisestä muodostuva pinta, jonka toinen pää on kiinteä (kartion kärki) ja toinen liikkuu annetun käyrän kehää pitkin; näyttää sokerileipältä. Sanakirja vieraita sanoja,… … Venäjän kielen vieraiden sanojen sanakirja

KARTIO- (1) alkeisgeometriassa geometrinen kappale, jota rajoittaa pinta, joka muodostuu suoran linjan (kartion generatrix) liikkeestä kiinteän pisteen (kartion kärjen) läpi ohjainta (kartion kantaa) pitkin. Muodostunut pinta, joka on suljettu väliin... Suuri ammattikorkeakoulun tietosanakirja

- (oikea pyöreä) geometrinen kappale, joka muodostuu yhden jalan lähellä olevan suorakulmaisen kolmion kiertämisestä. Hypotenuusaa kutsutaan generatrixiksi; kiinteä jalkojen korkeus; ympyrä, jota kuvaa pyörivä jalkapohja. Sivupinta K. ...... Brockhausin ja Efronin tietosanakirja

- (oikea pyöreä K.) geometrinen kappale, joka muodostuu pyörittämällä suorakulmaista kolmiota yhden jalan ympäri. Hypotenuusaa kutsutaan generatrixiksi; kiinteä jalkojen korkeus; ympyrä, jota kuvaa pyörivä jalkapohja. Sivupinta…

- (oikea pyöreä) geometrinen kappale, joka on muodostettu pyörittämällä suorakulmaista kolmiota yhden jalan ympäri. Hypotenuusaa kutsutaan generatrixiksi; kiinteä jalkojen korkeus; ympyrä, jota kuvaa pyörivä jalkapohja. Sivupinta K... tietosanakirja F. Brockhaus ja I.A. Efron

- (lat. conus, kreikasta konos) (matematiikka), 1) K. eli kartiomainen pinta, avaruuden viivojen (generaattorien) geometrinen paikka, joka yhdistää tietyn suoran (ohjaimen) kaikki pisteet tiettyyn pisteeseen (vertex) ) tilaa..... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

Kartio (kreikan sanasta "konos")- Männynkäpy. Kartio on ollut ihmisille tuttu muinaisista ajoista lähtien. Vuonna 1906 löydettiin Archimedesin (287-212 eKr.) kirjoittama kirja "Menetelystä", tässä kirjassa annetaan ratkaisu leikkaavien sylinterien yhteisen osan tilavuuden ongelmaan. Arkhimedes sanoo, että tämä löytö kuuluu antiikin kreikkalaiselle filosofille Demokritukselle (470-380 eKr.), joka tätä periaatetta sai kaavat pyramidin ja kartion tilavuuden laskemiseksi.

Kartio (pyöreä kartio) - kappale, joka koostuu ympyrästä - kartion pohja, piste, joka ei kuulu tämän ympyrän tasoon - kartion yläosa ja kaikki segmentit, jotka yhdistävät kartion yläosan ja pohjan ympyrän pisteitä. Segmenttejä, jotka yhdistävät kartion yläosan pohjan ympyrän pisteisiin, kutsutaan kartion generaattoreiksi. Kartion pinta koostuu pohja- ja sivupinnasta.

Kartiota kutsutaan suoraksi, jos viiva, joka yhdistää kartion kärjen pohjan keskipisteeseen, on kohtisuorassa kannan tasoon nähden. Suoraa pyöreää kartiota voidaan pitää kappaleena, joka saadaan kiertämällä suorakulmaista kolmiota sen jalan ympäri akselina.

Kartion korkeus on kohtisuora, joka on vedetty sen yläosasta pohjan tasoon. Oikealla kartiolla korkeuden pohja on sama kuin pohjan keskusta. Oikean kartion akseli on suora viiva, joka sisältää sen korkeuden.

Kartion poikkileikkausta kartion generatriisin kautta kulkevan tason kautta, joka on kohtisuorassa tämän generaattorin läpi vedetyn aksiaalileikkauksen kanssa, kutsutaan kartion tangenttitasoksi.

Kartion akseliin nähden kohtisuorassa oleva taso leikkaa kartion ympyrässä ja sivupinnan ympyrässä, jonka keskipiste on kartion akseli.

Kartion akseliin nähden kohtisuorassa oleva taso katkaisee siitä pienemmän kartion. Loput kutsutaan katkaistuksi kartioksi.

Kartion tilavuus on yhtä kuin kolmasosa pohjan korkeuden ja pinta-alan tulosta. Siten kaikilla kartioilla, jotka lepäävät tietyllä pohjalla ja joiden kärki sijaitsee tietyllä pohjan suuntaisella tasolla, on sama tilavuus, koska niiden korkeudet ovat yhtä suuret.

Kartion sivupinta-ala saadaan kaavalla:

S-puoli \u003d πRl,

Kartion kokonaispinta-ala saadaan kaavasta:

S con \u003d πRl + πR 2,

missä R on kannan säde, l on generatriisin pituus.

Pyöreän kartion tilavuus on

V = 1/3 πR 2 H,

missä R on kannan säde, H on kartion korkeus

Katkaistun kartion sivupinnan pinta-ala löytyy kaavasta:

S-puoli = π(R + r)l,

Katkaistun kartion kokonaispinta-ala saadaan kaavalla:

S con \u003d πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

missä R on alemman kannan säde, r on ylemmän kannan säde, l on generatrixin pituus.

Äänenvoimakkuus katkaistu kartio löytyy näin:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),

missä R on alemman kannan säde, r on ylemmän kannan säde, H on kartion korkeus.

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Saatu kaikkien yhdestä pisteestä lähtevien säteiden yhdistämisellä ( huiput kartio) ja kulkee tasaisen pinnan läpi. Joskus kartiota kutsutaan sellaisen kappaleen osaksi, joka saadaan yhdistämällä kaikki segmentit, jotka yhdistävät tasaisen pinnan kärjen ja pisteitä (jälkimmäistä tässä tapauksessa kutsutaan ns. perusta kartioita, ja kartiota kutsutaan perustuu tältä pohjalta). Tätä tapausta tarkastellaan alla, ellei toisin mainita. Jos kartion kanta on monikulmio, kartiosta tulee pyramidi.

"== Aiheeseen liittyvät määritelmät ==

• Janaa, joka yhdistää kärjen ja kannan rajan, kutsutaan kartion generatrix.
• Kartion generaattoreiden liittoa kutsutaan generatrix(tai puolella) kartiomainen pinta. Kartion generatrix on kartiomainen pinta.
• Jana, joka on pudonnut kohtisuoraan kärjestä kannan tasoon (ja myös sellaisen janan pituuteen) on ns. kartion korkeus.
• Jos kartion pohjalla on symmetriakeskipiste (esimerkiksi se on ympyrä tai ellipsi) ja kartion kärjen ortogonaalinen projektio kannan tasoon osuu tämän keskipisteen kanssa, niin kartio on ns. suoraan. Suoraa, joka yhdistää kärjen ja pohjan keskustan, kutsutaan kartioakseli.
• vino (taipuvainen) kartio - kartio, jossa kärjen ortogonaalinen projektio kantaan ei ole sama kuin sen symmetriakeskus.
• pyöreä kartio Kartio, jonka kanta on ympyrä.
• Suora pyöreä kartio(kutsutaan usein yksinkertaisesti kartioksi) voidaan saada kiertämällä suorakulmaista kolmiota jalan sisältävän viivan ympäri (tämä viiva edustaa kartion akselia).
• Kartiota, joka perustuu ellipsiin, paraabeliin tai hyperbeliin, kutsutaan vastaavasti elliptinen, parabolinen ja hyperbolinen kartio(kahdella viimeisellä on ääretön äänenvoimakkuus).
• Kartion osaa, joka sijaitsee kannan ja kannan suuntaisen tason välissä sekä kärjen ja pohjan välissä, kutsutaan katkaistu kartio.

Ominaisuudet

• Jos pohjan pinta-ala on äärellinen, niin kartion tilavuus on myös äärellinen ja on yhtä kuin kolmasosa pohjan korkeuden ja pinta-alan tulosta. Siten kaikilla kartioilla, jotka lepäävät tietyllä pohjalla ja joiden kärki sijaitsee tietyllä pohjan suuntaisella tasolla, on sama tilavuus, koska niiden korkeudet ovat yhtä suuret.
• Minkä tahansa tilavuudeltaan rajallisen kartion painopiste sijaitsee neljänneksellä korkeudesta alustasta.
• Suoran pyöreän kartion kärjessä oleva avaruuskulma on yhtä suuri kuin

• Tällaisen kartion sivupinta-ala on yhtä suuri

• Pyöreän kartion tilavuus on

• Tason leikkauspiste suoran ympyräkartion kanssa on yksi kartioleikkauksista (ei-degeneroituneissa tapauksissa ellipsi, paraabeli tai hyperbola, sekanttitason sijainnista riippuen).

Yleistykset

Algebrallisessa geometriassa kartio on mielivaltainen osajoukko vektoriavaruudesta kentän yli, jolle tahansa

Katso myös

• Kartio (topologia)

Wikimedia Foundation. 2010 .

Katso, mitä "kartio (geometrinen kuva)" on muissa sanakirjoissa:

Cone: Matematiikassa Cone geometrinen kuvio. Kartio topologisen avaruuden päällä. Kartio (luokkateoria). Tekniikassa kartio on työkalumenetelmä työkalun ja karan yhdistämiseen työstökoneissa. Kartiolaitteen solmu ... ... Wikipedia

Geometria on matematiikan haara, joka liittyy läheisesti avaruuden käsitteeseen; riippuen tämän käsitteen kuvausmuodoista, on olemassa erilaisia geometria. Oletetaan, että lukijalla, joka alkaa lukea tätä artikkelia, on joitakin ... ... Collier Encyclopedia

Tietokuvan visualisointi näyttöruudulla (monitori). Toisin kuin kuvan kopioiminen paperille tai muulle materiaalille, näytölle luotu kuva voidaan pyyhkiä ja/tai korjata, kutistaa tai venyttää lähes välittömästi,… … tietosanakirja

Tieteen historia ... Wikipedia

Tieteen historia Aineittain Matematiikka Luonnontieteet... Wikipedia

- (kreikan geodaisia, sanoista ge Earth ja daio jaan, jaan), tiede objektien sijainnin määrittämisestä maanpinta, Maan ja muiden planeettojen koosta, muodosta ja gravitaatiokentästä. Tämä on soveltavan matematiikan haara, joka liittyy läheisesti geometriaan, ... ... Collier Encyclopedia

Luento: Kartio. Pohja, korkeus, sivupinta, generatrix, kehitys

Kartio- tämä on kappale, joka koostuu ympyrästä, joka sijaitsee pohjalla, pisteestä, joka on yhtä kaukana kaikista ympyrän pisteistä, sekä viivoista, jotka yhdistävät tämän pisteen (vertexin) kaikkiin ympyrässä oleviin pisteisiin.

Muutama kysymys aiemmin, katsoimme pyramidia. Kartio on siis erikoistapaus pyramidista, jonka pohjalla on ympyrä. Lähes kaikki pyramidin ominaisuudet sopivat myös kartiolle.

Miten saat kartion? Muista viimeinen kysymys ja kuinka saimme sylinterin. Ota nyt tasakylkinen kolmio ja kierrä sitä akselinsa ympäri - saat kartion.

Kartion generaattorit ovat janat, jotka ovat ympyrän pisteiden ja kartion kärjen välissä. Kartion generaattorit ovat keskenään samanarvoisia.

Generaattorin pituuden selvittämiseksi sinun tulee käyttää kaavaa:

Jos kaikki generaattorit on kytketty yhteen, voit saada kartion sivupinnan. Sen yleinen pinta koostuu sivupinnasta ja ympyrän muotoisesta pohjasta.

Kartiolla on korkeus. Sen saamiseksi riittää, että lasket kohtisuoran ylhäältä suoraan alustan keskelle.

Käytä kaavaa löytääksesi sivupinta-alan:

Käytä seuraavaa kaavaa löytääksesi kartion kokonaispinta-alan.