Методика за изучаване на алгебричен материал в началния курс по математика. Елементи на алгебрата в началното училище

9.3.1. Методика за въвеждане на понятието „моном“ и развиване на способността за намиране на числената му стойност.

Базовите знания включват понятията алгебричен израз, произведение на алгебрични изрази, множител (числов и буквен); към умения - записване на алгебричен израз по елементите му, открояване на елементите на даден алгебричен израз.

Знанията се актуализират чрез упражнения.

1. От този набор изберете алгебрични изрази, които са продукти на няколко фактора: а) 5 а 2 б; б) (7 аб 2 + от 2):(5m 2 n); на 8; г) 5 a 6 bb 4 a; д) ; е) ж)

Посоченото условие се изпълнява от алгебричните изрази: 5 а 2 б; 8; 5a 6 bb 4 a; ; Най-вероятно учениците няма да назоват 8 сред задължителните алгебрични изрази; ; въпреки че някои може да познаят какво може да бъде представено като s. След като сте взели няколко алгебрични израза, трябва да се упражнявате да изолирате техния числов фактор, буквени фактори и да пишете нови изрази въз основа на тези алгебрични изрази.

2. Създайте нов алгебричен израз, като използвате изрази 3 а 2 бИ А. Възможни отговори на учениците: 3 а 2 б+ А; 3а 2 б– А; 3а 2 б А; 3а 2 б: А.

3. Кои от следните изрази са мономи: а) 5 a 3 bсab 4; б) А; в) г) 3 4 д) 7 аб 2:н; д) – 5 а 6 b с 2; д) – а 3; ж) з) – mnx. Назовете числовите и азбучните множители на мономите.

4. Запишете няколко алгебрични израза, които са мономи.

5. Запишете няколко монома, които се различават само по числения си коефициент.

6. Попълнете празните места: а) 12 a 3 b 4= 2А… б 2; б) – 24 m 2 b 7 p 6= 24bp …

7. Вместо словесна формулировка, запишете алгебрични изрази: а) двойно произведение на числа АИ b;б) утроете произведението на квадрата на число Аи числа b.

8. Обяснете изразите: а) 2 А b; б) А 5b.

Например изразът А 5bможе да се обясни като: 1) произведение на числа А, 5 и b;2) произведение на числата Аи 5 b;3) площ на правоъгълник със страни Аи 5 b.

Упражненията от типове 7 и 8 също допринасят за овладяването на метода за решаване на текстови задачи с помощта на уравнения, тъй като преводът на словесни формулировки на езика на цифрите и буквите и словесната интерпретация на алгебрични изрази са важни компоненти на метода за решаване на задачи с помощта на уравнения.

9. Намерете числената стойност на монома: 1) 5 mnxпри m= 3, n= ; х=8; 2) (– 0,25)А bпри А=12; b=8. При извършване на такива упражнения на специалните ученици трябва да се посочи необходимостта от използване на свойствата и законите на аритметичните операции за рационализиране на изчисленията.

Организацията на упражненията може да бъде различна: решението е на дъската, независимо решение, коментирано решение, едновременно изпълнение на упражнения на дъската с участието на слаби ученици и самостоятелна работа на силни ученици и др.

За домашна работаМожете да използвате упражнения за записване на числа в стандартна форма, което ще послужи като мотив за въвеждане на концепцията за стандартната форма на моном в следващия урок.

9.3.2. Обобщаване и систематизиране на знанията по темата: „Прогресии”.

Възпроизвеждането и корекцията на основните знания може да стане чрез упражнения за попълване на таблицата, последвани от обсъждане на резултатите.

Следователно имайте предвид, че аритметичните и геометричните прогресии предоставят пример за учебен материал в подобни ситуации важно мястоПри систематизиране на знанията за прогресиите трябва да се използват методи на противопоставяне и сравнение. Обсъждането на ключови въпроси се основава на идентифициране на причините за разликите и общите черти в прогресиите.

Въпроси за обсъждане.

А). Назовете общите и различните структури на дефинициите на аритметична и геометрична прогресия.

Б). Дефинирайте безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

IN). Как се нарича сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия? Запишете формулата му.

Ж). Как да докажем, че дадена редица е аритметична (геометрична) прогресия?

Д). С помощта на стрелки покажете връзките между посочените дефиниции и формули (фиг. 7):

а	a n = a n -1 + d		А 1 , А 2 , … …		a n = a l +d(n–1)
			а н, д
	a n = (a n -1 + a n +1)		Знак за аритметична прогресия		S n = (a 1 + a 2) n

3. Запишете всички определения и формули по темата „Геометрична прогресия” и посочете зависимостите между тях.

Упражнения 2 и 3 могат да бъдат помолени да бъдат изпълнени от учениците самостоятелно, последвано от обсъждане на резултатите от всички ученици в класа. Можете да изпълните упражнение 2 колективно и да предложите упражнение 3 като самостоятелна работа.

Следващите етапи на обобщаващия урок се реализират чрез упражнения, чието изпълнение изисква анализ и използване на основни факти, водещи до нови връзки и отношения между изучаваните понятия и теореми.

4. Поставете положително число между числата 4 и 9, така че да получите три последователни члена на геометричната прогресия. Формулирайте и решете подобна задача във връзка с аритметична прогресия.

5. Определете числата 1, 2, 3И а 4, Ако 1, 2, 3са последователни членове на геометрична прогресия и 1, 3И а 4– аритметична прогресия и а 1 + а 4= 14, а 2 + а 3 = 12.

7. Могат ли три положителни числа едновременно да бъдат три последователни члена на аритметична и геометрична прогресия?

8. Може ли да се каже, че аритметичната и геометричната прогресия са функции? Ако е така, какви типове функции са те?

9. Известно е, че a n = 2н+1 – аритметична прогресия. Какви са приликите и разликите между графиките на тази прогресия и линейната функция? f(х) = 2х+1?

10. Възможно ли е да се посочат последователности, които са
както аритметика, така и геометрична прогресия?

Формите на изпълнение на упражненията могат да бъдат различни: изпълнение на упражнения на дъската, коментирани решения и др. Някои от дадените упражнения могат да се изпълняват от учениците самостоятелно, а изпълнението им може да се извърши в зависимост от възможностите на учениците с помощта на карти с липсващи редове или инструкции за тяхното изпълнение. Очевидно е, че колкото по-ниски са възможностите на ученика, толкова по-обширен трябва да бъде наборът от препоръки (инструкции за изпълнение) за него.

9.3.3. Проверка, оценка и коригиране на знания, умения и способности по темата: „Умножение и деление на рационални числа”.

Проверката на знанията на студентите по фактическия материал и способността им да обясняват същността на основните понятия се извършва по време на разговор, последван от упражнения.

Въпроси за разговор

1. Формулирайте правило за умножение на две числа с еднакви знаци. Дай примери.

2. Формулирайте правило за умножение на две числа с различни знаци. Дай примери.

3. Колко е произведението на няколко числа, ако едно от тях е нула? При какви условия а b = 0?

4. На какво е равно произведението? А(-1)? Дай примери.

5. Как ще се промени произведението при промяна на знака на един от факторите?

6. Формулирайте комутативния закон на умножението.

7. Как се формулира асоциативният закон на умножението?

8. Запишете с букви комутативните и асоциативните закони на умножението.

9. Как се намира произведението на три и четири рационални числа?

10. Ученик, изпълнявайки упражнение за намиране на продукта 0,25 15 15 (–4), използва следната последователност от действия: (0,25 (–4)) 15 15 = (–1) 15 15 = –15 15. Какви закони използвал ли е?

11. Кой фактор от алгебричен израз се нарича коефициент?

12. Как да намерим коефициента на продукт, който има няколко буквени и цифрови фактора?

13. Какъв е коефициентът на израза: а; – а; ab; – аб?

14. Формулирайте разпределителния закон на умножението. Запишете го с букви.

15. Какви са условията? алгебрична суманаречени подобни?

16. Обяснете какво означава да приведете подобни условия.

17. Обяснете с помощта на какви закони се извършва намаляването на подобни членове в израз 5.2 y – 8а – 4,8y – 2А.

18. Какво е правилото за деление на рационални числа с еднакви знаци?

19. Какво е правилото за деление на рационални числа с различни знаци?

20. В кой случай частното на две рационални числа е равно на нула?

21. В какъв ред се извършват съвместни операции с рационални числа?

Някои проблеми могат да бъдат предмет на колективна дискусия, други - листове за взаимен контрол на учениците, възможно е провеждането на математическа диктовка по някои въпроси и др.

Следващата серия от упражнения е насочена към наблюдение, оценка и коригиране на уменията на учениците. Възможни са различни форми на изпълнение на упражненията: самостоятелно решение, придружено от самоконтрол на учениците, коментирано решение, изпълнение на упражнения на дъската, устно запитване и др. Тази поредица обхваща две групи упражнения. Първата група не изисква реконструктивен характер на умствената дейност за изпълнение; изпълнението на втората група включва реконструкция на знания и умения по изучаваната тема.

1. Кои от следните равенства са верни:

1) (–9) (–8) = –72; 2) (–1,4) 0,5 = – 0,7;

3) 12 (–0,2) = –0,24; 4) (–3,2) (–2,1) = 6,72?

Изберете верният отговор.

Отговор: 1); 2); 3); 4); няма истински равенства.

2. Без да извършвате изчисления, определете кой продукт е положителен:

1) 0,26 (–17) (–52) (–34); 2) (–1) (–8) 0,4 (–3,4);

3) (–16) (–0,87) (– ) (–5); 4) 5 (–3,2) 0 (0,7).

Отговор: 1); 2); 3); 4).

3. Посочете изрази с равни коефициенти:

1) 9аки 3 х(4г); 2) (–3) (–8cb) и 4 х 6y;

3) абви 2.75 xy; 4) 3,15абви 0,001 абв.

4. Кой от изразите съдържа подобни термини:

1) 7А– 12аб+ 14; 2) – 0,5xy + 2,7кх – 0,5;

3) 3с – 2,7хус – ;4) 72аб – ab + 241?

Моля, посочете верния отговор.

Отговор: 1); 2); 4); Няма изрази, съдържащи подобни термини.

5. Посочете правилните равенства: : (–18.2

3. Изберете най-голямото и най-малкото число от числата
А,А 2 ,А 3 ,А 4 , А 5 , А 6 , А 7 при А = – 5, А = 3.

4. Опростете израза:

1) – х(y – 4) – 2(xy– 3) – 3Х; 2) а(b+ 3) – 3(2 – ab) + a.

Даденият набор от задачи и тяхната последователност обхващат всички нива на усвояване на знанията. Изпълнението на целия набор от задачи отговаря на качествено усвояване на знанията и уменията и може да бъде оценено с „отличен“. Усвояването на знания и умения на нивото на тяхното приложение в ситуации, които не изискват реконструкция на знания и умения, съответства на упражненията от първата група. Правилните отговори на въпросите характеризират усвояването на знания на ниво възпроизвеждане. Оценка „задоволително” може да получи студент, който е изпълнил голяма част от упражненията от първа група. Оценката „добър“ съответства на правилно изпълнени повечето упражнения от първа и втора група.

Задачи

1. Изберете конкретна тема за коригиращ и развиващ курс по алгебра в средното училище. Проучете съответните раздели от програмата и учебника. Определете методическите характеристики на изучаването на темата. Разработете фрагменти от методи на обучение по темата. Подгответе набор от карти за коригиране на знанията на учениците.

2. Посетете няколко урока по алгебра в една от специалните (поправителни) институции от тип VII във вашия регион. Направете анализ на един урок от гледна точка на неговата образователна, коригираща и развиваща, образователна и практическа ориентация.

3. Една от целите на обучението по математика е формирането на математическа култура. Компютърната култура е един от компонентите на математическата култура. Предложете вашата интерпретация на понятието „компютърна култура“. На какви етапи от обучението по математика на специалните ученици, при преподаването на какво съдържание е възможно и подходящо да се постави целта „формиране на компютърна култура“? Донеси конкретен примерсъс съответната система от задачи. Направете списък с литература за развитието на концепцията за числото за извънкласно четене за специални ученици. Посочете в кои класове може да се използва.

ГЛАВА 10. ИЗБРАНИ ВЪПРОСИ В МЕТОДИКАТА ЗА КОРЕКТИВНО И РАЗВИВАЩО ОБУЧЕНИЕ ПО ГЕОМЕТРИЯ в началното училище.

(8 часа)

план:

1. Целите на изучаването на алгебричен материал в начално училище.

2. Свойства на аритметичните действия, изучавани в началното училище.

3. Разучаване на числови изрази и правила за реда на действията:

Една поръчка без скоби;

Същият ред със скоби;

Изрази без скоби, включващи 4 аритметични операции, със скоби.

4. Анализ на изучаваните в начален клас числени равенства и неравенства (сравнение на две числа, число и числов израз, два числови израза).

5. Въвеждане на буквени символи с променлива.

6. Методика за изучаване на уравнения:

а) дайте дефиниция на уравнение (от лекции по математика и от учебник по математика за начално училище),

б) подчертават обхвата и съдържанието на концепцията,

в) какъв метод (абстрактно-дедуктивен или конкретно-индуктивен) ще въведете това понятие? Опишете основните стъпки при работа върху уравнение.

Изпълнете задачите:

1. Обяснете целесъобразността на използването на неравенства с променлива в началните класове.

2. Подгответе съобщение за урока за възможността за развитие на функционална пропедевтика при учениците (чрез игра, чрез изучаване на неравенства).

3. Подберете задачи, с които учениците да попълнят съществените и несъществените свойства на понятието „уравнение“.

1. Абрамова О.А., Моро М.И.Решаване на уравнения // Начално училище. – 1983. - №3. – с. 78-79.

2. Йманбекова П.Средства за визуализация при формирането на концепцията за „равенство“ и „неравенство“ // Начално училище. – 1978. – № 11. – С. 38-40.

3. Щадрова И.В.За реда на действията в аритметичен израз // Начално училище. – 2000. - № 2. – с. 105-107.

4. Шихалиев Х.Ш.Единен подход за решаване на уравнения и неравенства // Начално училище. – 1989. - № 8. – с. 83-86.

5. Назарова I.N.Запознаване с функционалната зависимост в обучението за решаване на проблеми // Начално училище. – 1989. - No1. – с. 42-46.

6. Кузнецова V.I.За някои типични грешкиученици, свързани с проблемите на алгебричната пропедевтика // Начално училище. – 1974. - № 2. – С. 31.

Обща характеристика на методологията на изследването

алгебричен материал

Въвеждането на алгебричен материал в началния курс по математика ни позволява да подготвим учениците за изучаване на основните понятия на съвременната математика, например като „променлива“, „уравнение“, „неравенство“ и т.н., и допринася за развитието на функционалното мислене при децата.

Основните понятия на темата са „израз“, „равенство“, „неравенство“, „уравнение“.

Терминът „уравнение“ се въвежда при изучаване на темата „Хиляда“, но подготвителната работа за запознаване на учениците с уравнения започва в 1 клас. Термините „израз“, „смисъл на израза“, „равнопоставеност“, „неравенство“ са включени в речника на учениците от 2 клас. Понятието „решаване на неравенство“ не се въвежда в началното училище.

Числови изрази

В математиката изразът се разбира като последователност, която е постоянна според определени правила математически символи, обозначаващи числата и операциите върху тях. Примерни изрази: 7; 5 + 4; 5 (3 + V); 40: 5 + 6 и т.н.

Изрази от вида 7; 5 + 4; 10: 5 + 6; (5 + 3) 10 се наричат ​​числови изрази, за разлика от изразите от формата 8 – А; (3 + V); 50: Да се, наречени буквални или променливи изрази.

Цели на изучаване на темата

2. Да запознае учениците с правилата за реда за извършване на операции с числа и в съответствие с тях да развие способността за намиране числови стойностиизрази.

3. Запознайте учениците с идентични преобразувания на изрази, базирани на аритметични действия.

В метода на запознаване младши ученициС концепцията за числов израз могат да се разграничат три етапа, включващи запознаване с изрази, съдържащи:

Едно аритметично действие (I етап);

Две или повече аритметични операции на един етап (етап II);

Две или повече аритметични операции от различни нива (етап III).

Учениците се запознават с най-простите изрази – сбор и разлика – в 1 клас (при изучаване на събиране и изваждане в рамките на 10); с произведение и частно на две числа - във II клас.

Още при изучаването на темата „Десет“ в речника на учениците се въвеждат имената на аритметичните операции, термините „събиране“, „сума“, „умалено“, „изваждане“, „разлика“. В допълнение към терминологията, те трябва да научат и някои елементи на математическата символика, по-специално знаци за действие (плюс, минус); трябва да се научат да четат и пишат прости математически изрази от вида 5 + 4 (сумата на числата „пет” и „четири”); 7 – 2 (разликата между числата „седем” и „две”).

Учениците първо се запознават с термина „сума“ в смисъла на число, получено от операцията събиране, а след това в смисъла на израз. Техника за изваждане на вида 10 – 7, 9 – 6 и т.н. се основава на знания за връзката между събиране и изваждане. Ето защо е необходимо да научите децата да представят число (умалено) като сбор от два термина (10 е сумата от числата 7 и 3; 9 е сумата от числата 6 и 3).

Децата се запознават с изрази, съдържащи две или повече аритметични действия през първата година от обучението, когато овладеят изчислителни техники ± 2, ± 3, ± 1. Решават примери от формата 3 + 1 + 1, 6 – 1 – 1 , 2 + 2 + 2 и т.н. Изчислявайки, например, стойността на първия израз, ученикът обяснява: „Добавете едно към три, получавате четири, добавете едно към четири, получавате пет.“ По подобен начин се обяснява решението на примери от вида 6 - 1 - 1 и т. н. Така първокласниците постепенно се подготвят да изведат правилото за реда на изпълнение на действията в изрази, съдържащи действия от едно ниво, което е генерализиран във II степен.

В I клас децата практически ще усвоят още едно правило за реда на извършване на действията, а именно извършване на действия в изрази от вида 8 - (4 + 2); (6 - 2) + 3 и т.н.

Обобщават се знанията на учениците за правилата за реда на извършване на действия и се въвежда друго правило за реда на действията в изрази, които нямат скоби и съдържат аритметични действия от различни нива: събиране, изваждане, умножение и деление.

Когато се запознавате с новото правило за реда на действията, работата може да се организира по различни начини. Можете да поканите децата да прочетат правилото от учебника и да го приложат при изчисляване на стойностите на съответните изрази. Можете също така да помолите учениците да изчислят например стойността на израза 40 – 10: 2. Отговорите могат да бъдат различни: за някои стойността на израза ще бъде равна на 15, за други ще бъде 35.

След това учителят обяснява: „За да намерите стойността на израз, който няма скоби и съдържа действията събиране, изваждане, умножение и деление, трябва да извършите по ред (отляво надясно) първо операциите умножение и деление и след това (също отляво надясно) събиране и изваждане. В този израз първо трябва да разделите 10 на 2 и след това да извадите получения резултат 5 от 40. Стойността на израза е 35.“

Учениците от началното училище всъщност се запознават с идентични трансформации на изрази.

Тъждественото преобразуване на изрази е замяната на даден израз с друг, чиято стойност е равна на дадената стойност (терминът и определението не се дават на учениците от началното училище).

С преобразуването на изрази учениците се срещат от 1. клас във връзка с изучаването на свойствата на аритметичните действия. Например, когато решавате примери от формата 10 + (50 + 3) по удобен начиндецата разсъждават така: „По-удобно е да добавите десетки с десетки и да добавите 3 единици към получения резултат от 60. Ще го запиша: 10 (50 + 3) = (10 + 50) + 3 = 63.“

При изпълнение на задача, в която трябва да допишат: (10 + 7) · 3 = 10 · 3 + 7 · 3 ..., децата обясняват: „Отляво се умножава сборът на числата 10 и 7. с числото 3, отдясно, първият член 10 от тази сума се умножава по числото 3; За да се запази знакът за равенство, вторият член 7 също трябва да се умножи по числото 3 и получените произведения да се добавят. Ще го запиша така: (10 + 7) 3 = 10 3 + 7 3.“

Когато преобразуват изрази, учениците понякога допускат грешки от вида (10 + 4) · 3 = - 10 · 3 + 4. Причината за тези видове грешки е свързана с неправилното използване на предварително придобити знания (в този случай използването на правило за добавяне на число към сумата при решаване на пример, в който сумата трябва да се умножи по число). За да предотвратите подобни грешки, можете да предложите на учениците следните задачи:

а) Сравнете изразите, записани от лявата страна на равенствата. По какво си приличат и по какво се различават? Обяснете как сте изчислили техните стойности:

(10 + 4) + 3 = 10 + (4 + 3) = 10 + 7 = 17

(10 + 4) 3 = 10 3 + 4 3 = 30 + 12 = 42

б) Попълнете празните места и намерете резултата:

(20 + 3) + 5 = 20 + (3 + ð); (20 + 3) 5 = 20 ð + 3 ð.

в) Сравнете изразите и поставете знак > между тях,< или =:

(30 + 4) + 2 … 30 + (4 + 2); (30 + 4) + 2 … 30 2 + 4 2.

г) Проверете чрез изчисление дали са верни следните равенства:

8 3 + 7 3 = (8 + 7) 3; 30 + (5 + 7) = 30 + 7.

Буквални изрази

В началните класове се предвижда в тясна връзка с изучаването на номерирането и аритметичните действия да се проведе подготвителна работа за разкриване на значението на променливата. За тази цел учебниците по математика включват упражнения, в които дадена променлива е обозначена с „прозорец“. Например, ð< 3, 6 < ð, ð + 2 = 5 и др.

Тук е важно да насърчите учениците да се опитат да заменят не едно, а няколко числа на свой ред в „прозореца“, като проверяват всеки път дали въведеното е правилно.

И така, в случая р< 3 в «окошко» можно подставить числа 0, 1, 2,; в случае 6 < ð - числа 7, 8, 9, 10, 20 и др.; в случае ð + 2 = 5 можно подставить только число 3.

За да се опрости програмата по математика за началните класове и да се осигури нейната достъпност, буквените символи не се използват като средство за обобщаване на знанията по аритметика. Всички буквени обозначения се заменят със словесни формулировки.

Например вместо задачата

Задачата се предлага в следната форма: „Увеличете числото 3 с 4 пъти; 5 пъти; 6 пъти; ..."

Равенства и неравенства

Запознаването на учениците от началното училище с равенствата и неравенствата включва решаване на следните проблеми:

Научете как да установите връзката „повече от“, „по-малко от“ или „равно на“ между изрази и запишете резултатите от сравнението с помощта на знак;

Методологията за развитие на идеи за числови равенства и неравенства сред по-младите ученици включва следните етапи на работа.

На етап I, преди всичко учебната седмица, първокласниците изпълняват упражнения за сравняване на набори от предмети. Тук е най-препоръчително да използвате техниката за установяване на кореспонденция едно към едно. На този етап резултатите от сравнението все още не са написани с помощта на подходящите знаци за връзка.

На етап II учениците сравняват числата, като първо разчитат на обективната яснота, а след това на свойството на числата в естествения ред, според което от две различни числа по-голямото число се нарича по-късно при броене, а по-малкото се нарича по-рано. Децата записват установените по този начин взаимоотношения с помощта на подходящи знаци. Например 3 > 2, 2< 3. В дальнейшем при изучении нумерации (в концентрах «Сотня», «Тысяча», «Многозначные числа») для сравнения чисел полезно применять два способа, а именно устанавливать отношения между числами: 1) по месту их расположения в натуральном ряду; 2) на основе сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высших разрядов. Например, 826 < 829, так как сотен и десятков в этих числах поровну, а единиц в первом числе меньше, чем во втором.

Можете също да сравните стойностите: 4 dm 5 cm > 4 dm 3 cm, тъй като има повече дециметри, отколкото във втория. В допълнение, стойностите могат първо да бъдат изразени в единици за едно измерване и едва след това да бъдат сравнени: 45 cm > 43 cm.

Подобни упражнения се въвеждат вече при изучаване на събиране и изваждане в рамките на 10. Полезно е да ги изпълнявате въз основа на яснота, например: учениците поставят четири кръга на бюрата си отляво и четири триъгълника отдясно. Оказва се, че има равен брой фигури - по четири. Запишете равенството: 4 = 4. След това децата добавят по едно кръгче към цифрите отляво и записват сбора 4 + 1. Отляво има повече цифри, отколкото отдясно, което означава 4 + 1 > 4.

Използвайки техниката на уравнението, учениците преминават от неравенство към равенство. Например върху наборно платно са поставени 3 гъби и 4 катерици. За да имате равен брой гъби и катерици, можете: 1) да добавите една гъба (тогава ще има 3 гъби и 3 катерици).

Върху наборното платно има 5 коли и 5 камиона. За да имате повече коли от другите, можете: 1) да премахнете една (две, три) коли (кола или камион) или 2) да добавите една (две, три) коли.

Постепенно, когато сравняват изрази, децата преминават от разчитане на визуализация към сравняване на техните значения. Този метод е основен в началното училище. При сравняване на изрази учениците могат да разчитат и на знания за: а) връзката между компонентите и резултата от аритметично действие: 20 + 5 * 20 + 6 (сумата на числата 20 и 5 е записана вляво, сбор от числата 20 и 6 отдясно. Първите членове на тези сборове са еднакви, вторият член от сбора отляво е по-малък от втория член от сбора отдясно, което означава сборът отляво е по-малко от сбора вдясно: 20 + 5< 20 + 6); б) отношение между результатами и компонентами арифметических действий: 15 + 2 * 15 (слева и справа сначала было поровну – по 15. Затем к 15 прибавили 2, стало больше, чем 15); в) смысла действия умножения: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 * 5 · 3 (слева число 5 взяли слагаемым 5 раз, справа число 5 взяли слагаемым 3 раза, значит, сумма слева будет больше, чем справа: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 >5 + 5 + 5); г) свойства на аритметичните операции: (5 + 2) · 3 * 5 · 3 + 2 · 3 (вляво сумата от числата 5 и 2 се умножава по числото 3, вдясно продуктите на всяко се намират и събират събираемо с числото 3. Това означава, че вместо звездичка можете да поставите знака за равенство: (5 + 2) 3 = 5 3 + 2 3).

В тези случаи се използват изчисления на стойностите на израза, за да се провери правилността на знака. За записване на неравенства с променлива в началните класове се използва „прозорец“: 2 > ð, ð = 5, ð > 3.

Полезно е да изпълнявате първите упражнения от този тип въз основа на числова серия, обръщайки се към която учениците забелязват, че числото 2 е по-голямо от едно и нула, следователно в „прозореца“ (2 > ð) можете да замените числата 0 и 1 (2 > 0, 2 > 1).

Други упражнения с прозорец се изпълняват по подобен начин.

Основният метод при разглеждане на неравенства с променлива е методът на подбор.

За да се опростят стойностите на променливата в неравенствата, се предлага да ги изберете от определена серия от числа. Например, можете да предложите да запишете онези от дадените числа от сериите 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, за които записът ð - 7 е правилен< 5.

Когато изпълнява тази задача, ученикът може да разсъждава по следния начин: „Нека заместим числото 7 в „прозореца“: 7 минус 7 ще бъде 0, 0 е по-малко от 5, което означава, че числото 7 е подходящо. Нека поставим числото 8:8 минус 7 в "прозореца" и получаваме 1, 1 е по-малко от 5, което означава, че числото 8 също е подходящо... Нека поставим числото 12 в "прозореца": 12 минус 7 получава 5, 5 е по-малко от 5 - неправилно, което означава, че числото 12 не е подходящо. Да напиша ð - 7< 5 была верной, в «окошко» можно подставить любое из чисел 7, 8, 9, 10, 11».

Уравнения

В края на 3 клас децата се запознават с най-простите уравнения от вида: х+8 =15; 5+х=12; х–9 =4; 13–х=6; х·7 =42; 4· х=12; х:8 =7; 72:х=12.

Детето трябва да може да решава уравнения по два начина:

1) метод на подбор (в най-простите случаи); 2) по начин, основан на прилагането на правила за намиране на неизвестни компоненти на аритметични операции. Ето пример за запис на решение на уравнение заедно с проверка и разсъжденията на детето при решаването му:

„В уравнението х– 9 = 4 x стои на мястото на умаляваното. За да намерите неизвестното умалявано, трябва да добавите изваждаемото към разликата ( х=4+9.) Да проверим: извадете 9 от 13, получаваме 4. Правилното равенство е 4 = 4, което означава, че уравнението е решено правилно.“

В 4 клас едно дете може да бъде запознато с решението прости задачиначин за съставяне на уравнение.

Въведение................................................. ......................................................... ............. 2

Глава I. Общи теоретични аспекти на изучаването на алгебричен материал в началното училище...................................... ............... ................................. ................... .... 7

1.1 Опит от въвеждане на елементи от алгебрата в началното училище.................................. 7

1.2 Психологически основи за въвеждане на алгебрични понятия

в началното училище..................................................... ................................ 12

1.3 Проблемът за произхода на алгебричните понятия и неговото значение

за конструиране на образователен предмет............................................. ............ 20

2.1 Обучение в началното училище от гледна точка на нуждите

гимназия................................................ ......................................... 33

2.1 Сравнение (контраст) на понятия в уроците по математика.... 38

2.3 Съвместно изучаване на събиране и изваждане, умножение и деление 48

Глава III. Практика на изучаване на алгебричен материал в часовете по математика в началните класове на средно училище № 4 в Рилск.................................. ................... ...55

3.1 Обосновка за употреба иновативни технологии(технологии

консолидиране на дидактически единици)................................................. ......... 55

3.2 За опита от запознаване с алгебрични понятия в I клас.... 61

3.3 Обучение за решаване на задачи, свързани с движението на телата.................................. 72

Заключение..................................................... ................................................. ...... 76

Библиография.......................................................................... 79

По всяко модерна системаобщообразователната математика е една от централни места, което несъмнено показва уникалността на тази област на знанието.

Какво е съвременната математика? Защо е необходимо? Тези и подобни въпроси често задават децата на учителите. И всеки път отговорът ще бъде различен в зависимост от нивото на развитие на детето и неговото образователни потребности.

Често се казва, че математиката е езикът на съвременната наука. Изглежда обаче, че има значителен недостатък в това твърдение. Езикът на математиката е толкова широко разпространен и толкова често ефективен точно защото математиката не може да бъде сведена до него.

Изключителният руски математик А.Н. Колмогоров пише: "Математиката не е само един от езиците. Математиката е език плюс разсъждение, тя е като език и логика заедно. Математиката е инструмент за мислене. Тя концентрира резултатите от точното мислене на много хора. Използвайки математиката, можете свържете едно разсъждение с друго ... Очевидната сложност на природата с нейните странни закони и правила, всяко от които позволява отделно много подробно обяснение, всъщност са тясно свързани. Ако обаче не искате да използвате математика, тогава в това огромно разнообразие от факти няма да видите, че логиката ви позволява да преминавате от един към друг” (стр. 44).

Така математиката ни позволява да формираме определени формимислене, необходимо за изучаване на света около нас.

В момента диспропорцията между степента на нашето познаване на природата и нашето разбиране за човека, неговата психика и мисловни процеси става все по-забележима. W. W. Sawyer в книгата „Прелюдия към математиката“ (стр. 7) отбелязва: „Можем да научим учениците да решават много видове проблеми, но истинското удовлетворение ще дойде само когато сме в състояние да предадем на нашите ученици не само знания, но и гъвкавост на ума“, което би им дало възможност в бъдеще не само да решават самостоятелно, но и да си поставят нови задачи.

Разбира се, тук има определени граници, които не трябва да се забравят: много се определя от вродените способности и талант. Въпреки това можем да отбележим цял набор от фактори в зависимост от образованието и възпитанието. Това прави изключително важно правилното оценяване на огромните неизползвани възможности на образованието като цяло и математическо образованиев частност.

През последните години се наблюдава устойчива тенденция математическите методи да проникнат в такива науки като история, филология, да не говорим за лингвистика и психология. Следователно кръгът от хора, които в последващите си професионална дейностМоже би ще прилагат математика, разширявайки се.

Нашата образователна система е проектирана по такъв начин, че за мнозина училището предоставя единствената възможност в живота да се присъединят към математическата култура и да овладеят ценностите, съдържащи се в математиката.

Какво е влиянието на математиката като цяло и училищна математикапо-специално за образованието творческа личност? Преподаването на изкуството за решаване на задачи в уроците по математика ни предоставя изключително благоприятна възможност за развитие на определено мислене у учениците. Необходимост изследователска дейностразвива интерес към моделите, учи да вижда красотата и хармонията на човешката мисъл. Всичко това е според нас най-важният елементобща култура. Важно влияние върху формирането има курсът по математика различни формимислене: логическо, пространствено-геометрично, алгоритмично. Всякакви творчески процесзапочва с формулиране на хипотеза. Математиката, с подходяща организация на обучението, като добра школа за конструиране и тестване на хипотези, ви учи да сравнявате различни хипотези, да намирате най-добрия вариант, да поставяте нови проблеми и да търсите начини за тяхното решаване. Освен всичко друго, тя развива и навика за методична работа, без която не е мислим творчески процес. Максимизирайки възможностите на човешкото мислене, математиката е най-високото му постижение. Помага на човек да разбере себе си и да формира своя характер.

Това е малко от голям списъкпричини, поради които математическите знания трябва да станат неразделна част от общата култура и задължителен елемент от възпитанието и обучението на детето.

Курсът по математика (без геометрия) в нашето 10-годишно училище всъщност е разделен на три основни части: аритметика (I - V клас), алгебра (VI - VIII клас) и елементи на анализа (IX - X клас). Каква е основата за такова разделение?

Разбира се, всяка от тези части има своя собствена специална „технология“. Така в аритметиката се свързва например с изчисления, извършвани върху многоцифрени числа, в алгебрата - с идентични трансформации, логаритмиране, в анализа - с диференциране и т.н. Но какви са по-дълбоките причини, свързани с концептуалното съдържание на всяка част?

Следващият въпрос се отнася до основата за разграничаване на училищната аритметика и алгебра (т.е. първата и втората част на курса). Аритметиката включва изучаването на естествени числа (цели положителни числа) и дроби (прости и десетични). Специален анализ обаче показва, че комбинирането на тези видове числа в един учебен предмет е незаконно.

Факт е, че тези числа имат различни функции: първите са свързани с сметкаобекти, вторият -с измерване на количества. Това обстоятелство е много важно за разбирането на факта, че дробните (рационални) числа са само частен случай на реалните числа.

От гледна точка на измерването на количествата, както отбелязва A.N. Колмогоров, "няма толкова дълбока разлика между рационални и ирационални реални числа. По педагогически причини те се задържат дълго време върху рационални числа, тъй като са лесни за записване под формата на дроби; обаче, използването, което се дава на те от самото начало трябва веднага да доведат до реални числа в тяхната цялост" (), стр. 9).

А.Н. Колмогоров счита за оправдано както от гледна точка на историята на развитието на математиката, така и по същество предложението на А. Лебег да се премине в обучението след естествените числа директно към произхода и логическата природа на реалните числа. В същото време, както отбелязва A.N. Колмогоров, "подходът към конструирането на рационални и реални числа от гледна точка на измерване на количества е не по-малко научен от, например, въвеждането на рационални числа под формата на" двойки ". За училището има несъмнено предимство” (стр. 10).

По този начин съществува реална възможност на базата на естествени (цели) числа веднага да се формира „най-общото понятие за число“ (по терминологията на А. Лебег), понятието за реално число. Но от гледна точка на изграждането на програмата това не означава нищо повече или по-малко от елиминирането на дробната аритметика в нейната училищна интерпретация. Преходът от цели числа към реални числа е преход от аритметика към „алгебра“, към създаване на основа за анализ.

Тези идеи, изказани преди повече от 20 години, са актуални и днес. Възможно ли е да се промени структурата на обучението по математика в началното училище в тази посока? Какви са предимствата и недостатъците на „алгебраизирането“ на началното преподаване на математика? Целта на тази работа е да се опита да даде отговори на поставените въпроси.

Реализацията на тази цел изисква решаването на следните задачи:

Разглеждане на общите теоретични аспекти на въвеждането на алгебрични понятия за величина и число в началното училище. Тази задача е поставена в първата глава на работата;

Изучаване на специфични методи за преподаване на тези понятия в началното училище. Тук по-специално се предвижда да се разгледа така наречената теория за разширяване на дидактическите единици (UDE), която ще бъде разгледана по-долу;

Покажете практическата приложимост на разглежданите разпоредби училищни уроциматематика в началното училище (уроците са преподавани от автора в гимназия№ 4 Рилск). Третата глава от работата е посветена на това.

Във връзка с библиографията, посветена на този проблем, може да се отбележи следното. Въпреки факта, че наскоро обща сумапубликувани методическа литературапо математика е изключително незначителен, нямаше недостиг на информация при писане на работата. Наистина, от 1960 г. (времето, когато е поставен проблемът) до 1990 г. В нашата страна е публикувано огромно количество образователна, научна и методическа литература, в една или друга степен засягаща проблема с въвеждането на алгебрични понятия в курсовете по математика за началните училища. Освен това тези въпроси редовно се отразяват в специализирани периодични издания. По този начин при писането на работата до голяма степен са използвани публикации в списанията „Педагогика“, „Преподаване на математика в училище“ и „Начално училище“.

1.1. Общи въпроси на методите за изучаване на алгебричен материал.

1.2. Методи за изучаване на числови изрази.

1.3. Учене на буквени изрази.

1.4. Изучаване на числени равенства и неравенства.

1.5. Методи за изучаване на уравнения.

1.6. Решаване на прости аритметични задачи чрез писане на уравнения.

1.1. Общи въпроси на методиката на изучаване на алгебричен материал

Въвеждането на алгебричен материал в началния курс по математика дава възможност да се подготвят учениците за изучаване на основните понятия на съвременната математика (променливи, уравнения, равенства, неравенства и др.), Допринася за обобщаването на аритметичните знания и формиране на функционално мислене при децата.

Учениците от началното училище трябва да придобият първоначални познания за математически изрази, числови равенства и неравенства, да се научат да решават базирани на учебната програма уравнения и прости аритметични задачи чрез съставяне на уравнение ( теоретична основаизбор на аритметично действие, при което връзката между компонентите и резултата от съответното аритметично действие0.

Изучаването на алгебричния материал се извършва в тясна връзка с аритметичния материал.

1.2. Методика за изучаване на числови изрази

В математиката изразът се разбира като конструиран с помощта на определени правилапоредица от математически символи, представящи числа и операции върху тях.

Изрази като: 6; 3+2; 8:4+(7-3) - числови изрази; вид: 8-а; 30:с; 5+(3+c) - буквени изрази (изрази с променлива).

Цели на изучаване на темата

2) Запознаване на учениците с правилата за реда на извършване на аритметични действия.

3) Научете се да намирате числени стойности на изрази.

4) Въведете идентични трансформации на изрази въз основа на свойствата на аритметичните операции.

Решаването на поставените задачи се извършва през всички години на обучение в началното училище, като се започне от първите дни на престоя на детето в училище.

Методиката за работа с числови изрази включва три етапа: на първи етап - формиране на представи за най-простите изрази (сума, разлика, произведение, частно на две числа); на втория етап - за изрази, съдържащи две или повече аритметични операции от едно ниво; на третия етап - за изрази, съдържащи две или повече аритметични операции от различни нива.

Учениците се запознават с най-простите изрази - сбор и разлика - в първи клас (по програма 1-4) с произведението и частното във втори клас (с понятието „произведение” във 2 клас, с понятието частно) в трети клас).

Нека разгледаме методологията за изучаване на числови изрази.

Когато извършват операции върху множества, децата на първо място научават специфичното значение на събирането и изваждането, следователно в записите от формата 3 + 2, 7-1 знаците на действията се разпознават от тях като кратко обозначение на думи „събиране“, „изваждане“ (добавете 2 към 3). В бъдеще понятията за действия се задълбочават: учениците научават, че чрез добавяне (изваждане) на няколко единици увеличаваме (намаляваме) числото със същия брой единици (четене: 3 се увеличава с 2), след което децата научават името на знаци за действие "плюс" (четене: 3 плюс 2), "минус".

В темата „Събиране и изваждане в рамките на 20“ децата се запознават с понятията „сума“ и „разлика“ като имена на математически изрази и като име на резултата от аритметичните операции събиране и изваждане.

Нека да разгледаме фрагмент от урока (2 клас).

Прикрепете 4 червени и 3 жълти кръга към дъската с помощта на вода:

ООО ООО

Колко червени кръгчета? (Запишете числото 4.)

Колко жълти кръгчета? (Запишете числото 3.)

Какво действие трябва да се извърши върху написаните числа 3 и 4, за да се установи колко червени и колко жълти кръгчета има заедно? (показва се записът: 4+3).

Кажете ми, без да броите, колко са кръговете?

Такъв израз в математиката, когато има знак "+" между числата, се нарича сума (Да кажем заедно: сума) и се чете така: сумата от четири и три.

Сега нека разберем на какво е равен сборът на числата 4 и 3 (даваме пълния отговор).

По същия начин за разликата.

При изучаване на събиране и изваждане в рамките на 10 се включват изрази, състоящи се от 3 или повече числа, свързани с еднакви и различни знаци на аритметични действия: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3 и др. Разкривайки значението на такива изрази, учителят показва как да ги чете. Изчислявайки стойностите на тези изрази, децата практически усвояват правилото за реда на аритметичните действия в изрази без скоби, въпреки че не го формулират: 10-3+2=7+2=9. Такива записи са първата стъпка в извършването на трансформации на самоличността.

Методът за запознаване с изрази със скоби може да бъде различен (Опишете фрагмент от урока в тетрадката си, подгответе се за практически уроци).

Способността за съставяне и намиране на значението на израз се използва от децата при решаване на аритметични задачи; в същото време тук се случва по-нататъшно овладяване на понятието „израз“ и се придобива специфичното значение на изразите в записите за решаване на проблеми .

Интерес представлява типът работа, предложен от латвийския методолог J.Ya. Менсис.

Даден е например такъв текст: „Момчето имаше 24 рубли, тортата струва 6 рубли, бонбоните струват 2 рубли“, се предлага:

а) съставете всички видове изрази въз основа на този текст и обяснете какво показват;

б) обяснете какво показват изразите:

2 класа 3 степени

24-2 24-(6+2) 24:6 24-6 3

В 3 клас, наред с разгледаните по-рано изрази, те включват изрази, състоящи се от два прости израза (37+6)-(42+1), както и такива, състоящи се от число и произведението или частното на две числа. Например: 75-50:25+2. Когато редът, в който се извършват действията, не съвпада с реда, в който са написани, се използват скоби: 16-6:(8-5). Децата трябва да се научат да четат и пишат правилно тези изрази и да намерят техните значения.

Понятията „израз” и „стойност на израза” се въвеждат без дефиниции. За да улеснят децата да четат и да намерят значението на сложни изрази, методистите препоръчват използването на диаграма, която се съставя колективно и се използва при четене на изрази:

1) Ще определя кое действие се извършва последно.

2) Ще помисля как се наричат ​​числата, когато извършвам това действие.

3) Ще прочета как се изразяват тези числа.

Правилата за реда за извършване на действията в сложни изрази се изучават в 3. клас, но децата практически използват някои от тях в първи и втори клас.

Първо трябва да се вземе предвид правилото за реда на действията в изрази без скоби, когато числата са или само събиране и изваждане, или умножение и деление (3. клас). Целта на работата на този етап е да се разчита на практическите умения на учениците, придобити по-рано, да се обърне внимание на реда на извършване на действия в такива изрази и да се формулира правило.

Насочването на децата към формулирането на правилото и тяхното осъзнаване може да бъде различно. Основното разчитане е на съществуващия опит, възможно най-голяма независимост, създаване на ситуация на търсене и откриване, доказателства.

Можете да използвате методическата техника на Sh.A. Амонашвили „грешка на учителя“.

Например. Учителят съобщава, че при намирането на значението на следните изрази е получил отговори, за които е уверен, че са верни (отговорите са затворени).

36:2 6=6 и т.н.

Кани децата да намерят сами изразни значенияи след това сравнете отговорите с отговорите, получени от учителя (в този момент се разкриват резултатите от аритметичните операции). Децата доказват, че учителят е направил грешки и въз основа на изучаването на конкретни факти формулират правило (вижте учебника по математика, 3 клас).

По същия начин можете да въведете останалите правила за реда на действията: когато изрази без скоби съдържат действия от 1-ви и 2-ри етап, в изрази със скоби. Важно е децата да осъзнаят, че промяната на реда на извършване на аритметични операции води до промяна в резултата и затова математиците решиха да се споразумеят и формулираха правила, които трябва да се спазват стриктно.

Преобразуването на израз е замяна на даден израз с друг със същата числена стойност.Учениците извършват такива преобразувания на изрази, разчитайки на свойствата на аритметичните действия и следствията от тях (с. 249-250).

Когато изучават всяко свойство, учениците се убеждават, че в изрази от определен тип действията могат да се извършват по различни начини, но значението на израза е не се променя. В бъдеще учениците използват знанията за свойствата на действията, за да трансформират дадени изрази идентични изрази. Например задачи като: продължете записа, така че знакът „=“ да се запази:

76-(20 + 4) =76-20... (10 + 7) -5= 10-5...

60: (2 10) =60:10...

При изпълнение на първата задача учениците разсъждават така: вляво от 76 извадете сбора на числата 20 и 4 , отдясно извадете 20 от 76; за да получите същата сума отдясно като отляво, трябва също да извадите отдясно 4. Други изрази се трансформират по подобен начин, т.е., след като прочете израза, ученикът си спомня съответното правило. И, извършвайки действия според правилото, получава трансформиран израз. За да се уверят, че преобразуването е правилно, децата изчисляват стойностите на дадените и преобразуваните изрази и ги сравняват.

Използвайки знанията за свойствата на действията за обосноваване на техники за изчисление, учениците от I-IV клас извършват трансформации на изрази от формата:

72:3= (60+12):3 = 60:3+12:3 = 24 1830= 18(310) = (183) 10=540

Тук също е необходимо учениците не само да обяснят на каква база извеждат всеки следващ израз, но и да разберат, че всички тези изрази са свързани със знака „=“, тъй като имат еднакви значения. За да направите това, от време на време децата трябва да бъдат помолени да изчисляват значенията на изразите и да ги сравняват. Това предотвратява грешки във формуляра: 75 - 30 = 70 - 30 = 40+5 = 45, 24 12= (10 + 2) = 24 10+24 2 = 288.

Учениците от II-IV клас трансформират изрази не само въз основа на свойствата на действието, но и въз основа на тяхното конкретно значение. Например сумата от еднакви членове се заменя с произведението: (6 + 6 + 6 = 6 3 и обратно: 9 4 = = 9 + 9 + 9 + 9). Също така въз основа на значението на действието умножение се трансформират по-сложни изрази: 8 4 + 8 = 8 5, 7 6-7 = 7 5.

Въз основа на изчисления и анализ на специално подбрани изрази учениците от четвърти клас стигат до извода, че ако в изразите със скоби скобите не влияят на реда на действията, то те могат да бъдат пропуснати. Впоследствие, използвайки изучените свойства на действията и правилата за реда на действията, учениците се упражняват да трансформират изрази със скоби в идентични изрази без скоби. Например, предлага се да напишете тези изрази без скоби, така че техните стойности да не се променят:

(65 + 30)-20 (20 + 4) 3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Така децата заменят първия от дадените изрази с изразите: 65 + 30-20, 65-20 + 30, като обясняват реда на извършване на действията в тях. По този начин учениците се убеждават, че значението на израза не се променя при промяна на реда на действията само ако се прилагат свойствата на действията.

Въведение................................................. ......................................................... ............. 2

Глава I. Общи теоретични аспекти на изучаването на алгебричен материал в началното училище...................................... ............... ................................. ......................... 7

1.1 Опит от въвеждане на елементи от алгебрата в началното училище.................................. 7

1.2 Психологически основи за въвеждане на алгебрични понятия

в началното училище..................................................... ................................ 12

1.3 Проблемът за произхода на алгебричните понятия и неговото значение

за конструиране на образователен предмет............................................. ............ 20

2.1 Обучение в началното училище от гледна точка на нуждите

гимназия................................................ ......................................... 33

2.1 Сравнение (контраст) на понятия в уроците по математика.... 38

2.3 Съвместно изучаване на събиране и изваждане, умножение и деление 48

Глава III. Практика на изучаване на алгебричен материал в часовете по математика в началните класове на средно училище № 4 в Рилск.................................. ................... ...55

3.1 Обосновка за използването на иновативни технологии (технологии

консолидиране на дидактически единици)................................................. ......... 55

3.2 За опита от запознаване с алгебрични понятия в I клас.... 61

3.3 Обучение за решаване на задачи, свързани с движението на телата.................................. 72

Заключение..................................................... ................................................. ...... 76

Библиография................................................. ................. 79

Във всяка съвременна система за общо образование математиката заема едно от централните места, което несъмнено говори за уникалността на тази област на знанието.

Какво е съвременната математика? Защо е необходимо? Тези и подобни въпроси често задават децата на учителите. И всеки път отговорът ще бъде различен в зависимост от нивото на развитие на детето и неговите образователни потребности.

Често се казва, че математиката е езикът на съвременната наука. Изглежда обаче, че има значителен недостатък в това твърдение. Езикът на математиката е толкова широко разпространен и толкова често ефективен точно защото математиката не може да бъде сведена до него.

Изключителният руски математик А.Н. Колмогоров пише: "Математиката не е само един от езиците. Математиката е език плюс разсъждение, тя е като език и логика заедно. Математиката е инструмент за мислене. Тя концентрира резултатите от точното мислене на много хора. Използвайки математиката, можете свържете едно разсъждение с друго ... Привидната сложност на природата с нейните странни закони и правила, всяко от които допуска отделно много подробно обяснение, всъщност са тясно свързани. Въпреки това, ако не желаете да използвате математика, тогава в това огромно разнообразие от факти, които няма да видите, че логиката ви позволява да преминете от един към друг” (стр. 44).

По този начин математиката ни позволява да формираме определени форми на мислене, необходими за изучаване на света около нас.

В момента диспропорцията между степента на нашето познаване на природата и нашето разбиране за човека, неговата психика и мисловни процеси става все по-забележима. W. W. Sawyer в книгата „Прелюдия към математиката“ (стр. 7) отбелязва: „Можем да научим учениците да решават много видове проблеми, но истинското удовлетворение ще дойде само когато сме в състояние да предадем на нашите ученици не само знания, но и гъвкавост на ума“, което би им дало възможност в бъдеще не само да решават самостоятелно, но и да си поставят нови задачи.

Разбира се, тук има определени граници, които не трябва да се забравят: много се определя от вродените способности и талант. Въпреки това можем да отбележим цял набор от фактори в зависимост от образованието и възпитанието. Това прави изключително важно да се оцени правилно огромният неизползван потенциал на образованието като цяло и в частност на математическото образование.

През последните години се наблюдава устойчива тенденция математическите методи да проникнат в такива науки като история, филология, да не говорим за лингвистика и психология. Следователно кръгът от хора, които могат да използват математиката в бъдещата си професионална дейност, се разширява.

Нашата образователна система е проектирана по такъв начин, че за мнозина училището предоставя единствената възможност в живота да се присъединят към математическата култура и да овладеят ценностите, съдържащи се в математиката.

Какво е влиянието на математиката като цяло и в частност на училищната математика върху възпитанието на творческа личност? Преподаването на изкуството за решаване на задачи в уроците по математика ни предоставя изключително благоприятна възможност за развитие на определено мислене у учениците. Необходимостта от изследователска дейност развива интерес към моделите и ни учи да виждаме красотата и хармонията на човешката мисъл. Всичко това според нас е най-важният елемент от общата култура. Курсът по математика има важно влияние върху формирането на различни форми на мислене: логическо, пространствено-геометрично, алгоритмично. Всеки творчески процес започва с формулирането на хипотеза. Математиката, с подходяща организация на обучението, като добра школа за конструиране и тестване на хипотези, ви учи да сравнявате различни хипотези, да намирате най-добрия вариант, да поставяте нови проблеми и да търсите начини за тяхното решаване. Освен всичко друго, тя развива и навика за методична работа, без която не е мислим творчески процес. Максимизирайки възможностите на човешкото мислене, математиката е най-високото му постижение. Помага на човек да разбере себе си и да формира своя характер.

Това е малък списък от причини, поради които математическите знания трябва да станат неразделна част от общата култура и задължителен елемент в отглеждането и обучението на детето.

Курсът по математика (без геометрия) в нашето 10-годишно училище всъщност е разделен на три основни части: аритметика (I - V клас), алгебра (VI - VIII клас) и елементи на анализа (IX - X клас). Каква е основата за такова разделение?

Разбира се, всяка от тези части има своя собствена специална „технология“. Така в аритметиката се свързва например с изчисления, извършвани върху многоцифрени числа, в алгебрата - с идентични трансформации, логаритмиране, в анализа - с диференциране и т.н. Но какви са по-дълбоките причини, свързани с концептуалното съдържание на всяка част?

Следващият въпрос се отнася до основата за разграничаване на училищната аритметика и алгебра (т.е. първата и втората част на курса). Аритметиката включва изучаването на естествени числа (цели положителни числа) и дроби (прости и десетични). Специален анализ обаче показва, че комбинирането на тези видове числа в един учебен предмет е незаконно.

Факт е, че тези числа имат различни функции: първите са свързани с преброяване на обекти, вторите с измерване на количества. Това обстоятелство е много важно за разбирането на факта, че дробните (рационални) числа са само частен случай на реалните числа.

От гледна точка на измерването на количествата, както отбелязва A.N. Колмогоров, "няма толкова дълбока разлика между рационални и ирационални реални числа. По педагогически причини те се задържат дълго време върху рационални числа, тъй като са лесни за записване под формата на дроби; обаче, използването, което се дава на те от самото начало трябва веднага да доведат до реални числа в тяхната цялост" (), стр. 9).

А.Н. Колмогоров счита за оправдано както от гледна точка на историята на развитието на математиката, така и по същество предложението на А. Лебег да се премине в обучението след естествените числа директно към произхода и логическата природа на реалните числа. В същото време, както отбелязва A.N. Колмогоров, "подходът към конструирането на рационални и реални числа от гледна точка на измерване на количества е не по-малко научен от, например, въвеждането на рационални числа под формата на" двойки ". За училището има несъмнено предимство” (стр. 10).

По този начин съществува реална възможност на базата на естествени (цели) числа веднага да се формира „най-общото понятие за число“ (по терминологията на А. Лебег), понятието за реално число. Но от гледна точка на изграждането на програмата това не означава нищо повече или по-малко от елиминирането на дробната аритметика в нейната училищна интерпретация. Преходът от цели числа към реални числа е преход от аритметика към „алгебра“, към създаване на основа за анализ.

Тези идеи, изказани преди повече от 20 години, са актуални и днес. Възможно ли е да се промени структурата на обучението по математика в началното училище в тази посока? Какви са предимствата и недостатъците на „алгебраизирането“ на началното преподаване на математика? Целта на тази работа е да се опита да даде отговори на поставените въпроси.

Реализацията на тази цел изисква решаването на следните задачи:

Разглеждане на общите теоретични аспекти на въвеждането на алгебрични понятия за величина и число в началното училище. Тази задача е поставена в първата глава на работата;

Изучаване на специфични методи за преподаване на тези понятия в началното училище. Тук по-специално се предвижда да се разгледа така наречената теория за разширяване на дидактическите единици (UDE), която ще бъде разгледана по-долу;

Покажете практическата приложимост на разглежданите разпоредби в уроците по математика в началното училище (уроците са преподавани от автора в средно училище № 4 в Рилск). Третата глава от работата е посветена на това.

По отношение на библиографията, посветена на този проблем, може да се отбележи следното. Въпреки факта, че напоследък общото количество публикувана методическа литература по математика е изключително малко, при писането на работата нямаше недостиг на информация. Наистина, от 1960 г. (времето, когато е поставен проблемът) до 1990 г. В нашата страна е публикувано огромно количество образователна, научна и методическа литература, в една или друга степен засягаща проблема с въвеждането на алгебрични понятия в курсовете по математика за началните училища. Освен това тези въпроси редовно се отразяват в специализирани периодични издания. По този начин при писането на работата до голяма степен са използвани публикации в списанията „Педагогика“, „Преподаване на математика в училище“ и „Начално училище“.

Съдържанието на учебния предмет, както е известно, зависи от много фактори - от изискванията на живота към знанията на учениците, от нивото на съответните науки, от умствените и физически възрастови възможности на децата и др. Правилното отчитане на тези фактори е съществено условие за повечето ефективно обучениеученици, разширяване на познавателните им възможности. Но понякога това условие не е изпълнено по една или друга причина. В този случай обучението не дава желания ефект както по отношение на усвояването на набор от необходими знания от децата, така и по отношение на развитието на тяхната интелигентност.

Изглежда, че в момента учебните програми за някои академични предмети, по-специално математика, не отговарят на новите изисквания на живота и нивото на развитие съвременните науки(например математика) и нови данни психология на развитиетои логика. Това обстоятелство налага необходимостта от цялостна теоретична и експериментална проверка на възможни проекти за ново съдържание на учебните предмети.

Фондация математически знаниязапочва в началното училище. Но, за съжаление, както самите математици, така и методистите и психолозите обръщат много малко внимание на съдържанието на елементарната математика. Достатъчно е да се каже, че програмата по математика в началното училище (I - IV клас) в основните си характеристики е формирана преди 50 - 60 години и естествено отразява системата от математически, методически и психологически идеи от онова време.

Нека помислим характеристикидържавен стандарт по математика в началното училище. Основното му съдържание са цели числа и операции върху тях, изучавани в определена последователност. Първо се изучават четири операции в лимит от 10 и 20, след това - устни изчисления в лимит от 100, устни и писмени изчисления в лимит от 1000 и накрая в лимит на милиони и милиарди. В IV клас се изучават някои връзки между данни и резултати от аритметични действия, както и прости дроби. Наред с това програмата включва изучаване на метрични мерки и мерки за време, овладяване на способността да се използват за измерване, познаване на някои елементи от визуалната геометрия - чертане на правоъгълник и квадрат, измерване на отсечки, площи на правоъгълник и квадрат, пресмятане обеми.

Студентите трябва да прилагат придобитите знания и умения при решаване на задачи и извършване на прости изчисления. По време на курса решаването на проблеми се извършва успоредно с изучаването на числата и операциите - за това се отделя половината от подходящото време. Решаването на задачи помага на учениците да разберат специфичния смисъл на действията, да разберат различни случаи на тяхното приложение, да установят връзки между количествата и да придобият основни умения за анализ и синтез. От I до IV клас децата решават следните основни видове задачи (прости и съставни): намиране на сбор и остатък, произведение и частно, увеличаване и умаляване на дадени числа, разлика и кратно сравнение, просто тройно правило, пропорционално деление, намиране на неизвестно по две разлики, изчисляване на средно аритметично и някои други видове задачи.

Децата се сблъскват с различни видове количествени зависимости при решаване на задачи. Но е много типично, че учениците започват проблеми след и докато изучават числата; основното нещо, което се изисква при решаването, е да се намери числен отговор. Децата имат големи трудности при идентифицирането на свойствата на количествените отношения в специфични, конкретни ситуации, които обикновено се считат за аритметични задачи. Практиката показва, че манипулирането на числа често замества действителния анализ на условията на проблема от гледна точка на зависимостите на реалните величини. Освен това проблемите, въведени в учебниците, не представляват система, в която по-„сложните“ ситуации биха били свързани с „по-дълбоки“ слоеве на количествени отношения. Задачи с еднаква трудност се намират както в началото, така и в края на учебника. Те варират от раздел на раздел и от клас на клас по отношение на сложността на сюжета (броят на действията се увеличава), ранга на числата (от десет до милиард), сложността на физическите зависимости (от проблеми с разпределението до движение проблеми) и други параметри. Само един параметър - задълбочаването в самата система от математически закони - се проявява в тях слабо и неясно. Следователно е много трудно да се установи критерий за математическата трудност на определен проблем. Защо задачите за намиране на неизвестно по две разлики и намиране на средно аритметично (III клас) са по-трудни от задачите за разлика и кратно сравнение (II клас)? Методиката не дава убедителен и логичен отговор на този въпрос.

По този начин учениците от началното училище не получават адекватни, пълноценни знания за зависимостите на количествата и общите свойства на количеството нито когато изучават елементите на теорията на числата, тъй като в училищния курс те са свързани предимно с изчислителни техники, нито когато решават проблеми, тъй като последните нямат подходяща форма и нямат необходимата система. Опитите на методистите да подобрят методите на обучение, въпреки че водят до частични успехи, не променят общото състояние на нещата, тъй като те са предварително ограничени от рамката на приетото съдържание.

Изглежда, че критичният анализ на възприетата аритметична програма трябва да се основава на следните разпоредби:

Понятието за число не е идентично с понятието за количествените характеристики на обектите;

Числото не е първоначалната форма за изразяване на количествени отношения.

Нека предоставим обосновката за тези разпоредби.

Добре известно е, че съвременната математика (по-специално алгебрата) изучава аспекти на количествените отношения, които нямат числена обвивка. Също така е добре известно, че някои количествени отношения са доста изразими без числа и преди числа, например в сегменти, обеми и т.н. (отношение „повече“, „по-малко“, „равно“). Представянето на оригиналните общи математически понятия в съвременните ръководства се извършва в такава символика, която не предполага непременно изразяване на обекти чрез числа. И така, в книгата на E.G. В „Теоретична аритметика” на Гонин основните математически обекти са обозначени от самото начало с букви и специални знаци (, стр. 12 – 15). Характерно е, че определени видове числа и числени зависимости се дават само като примери, илюстрации на свойствата на множествата, а не като техни единствено възможни и уникални. съществуваща формаизрази. Освен това трябва да се отбележи, че много илюстрации на отделни математически определения са дадени в графична форма, чрез съотношението на сегменти и области (, стр. 14-19). Всички основни свойства на множествата и количествата могат да бъдат изведени и обосновани без използване на числови системи; Освен това самите последните получават обосновка на базата на общи математически понятия.

На свой ред многобройни наблюдения на психолози и учители показват, че количествените идеи възникват у децата много преди да придобият знания за числата и как да работят с тях. Вярно е, че съществува тенденция тези идеи да се класифицират като „предматематически образувания“ (което е съвсем естествено за традиционните методи, които идентифицират количествените характеристики на даден обект с число), но това не променя основната им функция в общото детско мислене. ориентация в свойствата на нещата. И понякога се случва дълбочината на тези уж „предматематически образувания“ да е по-важна за развитието на собственото математическо мислене на детето, отколкото познаването на тънкостите компютърна технологияи способността за намиране на чисто числови зависимости. Прави впечатление, че академик А.Н. Колмогоров, характеризирайки характеристиките на математическото творчество, специално отбелязва следното обстоятелство: „В основата на повечето математически открития е някаква проста идея: визуална геометрична конструкция, ново елементарно неравенство и т.н. Необходимо е само правилно да се приложи тази проста идея към решението на проблема, който на пръв поглед изглежда недостъпен" (, стр. 17).

Понастоящем са подходящи различни идеи относно структурата и начините за изграждане на нова програма. В работата по изграждането му е необходимо да се включат математици, психолози, логици и методисти. Но във всичките му специфични варианти изглежда трябва да отговаря на следните основни изисквания:

Преодоляване на съществуващата разлика между учебното съдържание по математика в основното и средното училище;

Да осигури система от знания за основните закони на количествените отношения на обективния свят; в този случай свойствата на числата, като специална форма за изразяване на количество, трябва да станат специален, но не основен раздел на програмата;

Внушавайте на децата методите на математическото мислене, а не само уменията за изчисление: това включва изграждане на система от проблеми, основана на задълбочаване в сферата на зависимостите на реалните количества (връзката на математиката с физиката, химията, биологията и други науки, които изучават специфични количества);

Решително опростете всички техники за изчисление, минимизирайки работата, която не може да бъде извършена без подходящи таблици, справочници и други спомагателни (по-специално електронни) средства.

Смисълът на тези изисквания е ясен: в началното училище е напълно възможно да се преподава математика като наука за закономерностите на количествените отношения, за зависимостите на величините; изчислителните техники и елементите на теорията на числата трябва да станат специален и частен раздел от програмата.

Опитът от изграждането на нова програма по математика и нейното експериментално тестване, извършено от края на 60-те години на миналия век, ни позволява да говорим за възможността за въвеждане на систематичен курс по математика в училище, като се започне от първи клас, предоставяйки знания за количествените връзки и зависимости на величини в алгебрична форма.

1.2 Психологически основи за въвеждане на алгебрични понятия в началното училище

Напоследък при модернизирането на програмите се отдава особено значение на поставянето на теоретико-множествена основа на училищния курс (тази тенденция се проявява ясно както у нас, така и в чужбина). Прилагането на тази тенденция в обучението (особено в началните класове, както се наблюдава например в американско училище) неизбежно ще повдигне редица трудни въпроси за детската и педагогическата психология и за дидактиката, тъй като сега почти няма изследвания, разкриващи особеностите на усвояването от детето на значението на понятието множество (за разлика от усвояването на броене и число , който е проучен много изчерпателно).

Логическите и психологическите изследвания през последните години (особено работата на J. Piaget) разкриха връзката между някои „механизми“ на детското мислене и общите математически понятия. По-долу обсъждаме специално характеристиките на тази връзка и тяхното значение за изграждането на математиката като учебен предмет (ще говорим за теоретичната страна на въпроса, а не за конкретна версия на програмата).

Естественото число е фундаментално понятие в математиката през цялата й история; той играе много важна роля във всички области на производството, технологията, Ежедневието. Това позволява на теоретичните математици да му дадат специално място сред другите концепции на математиката. IN различни формисе правят твърдения, че концепцията за естествено число е началният етап на математическата абстракция, че е основата за конструиране на мнозинството математически дисциплини.

Изборът на началните елементи на математиката като предмет по същество ги реализира общи разпоредби. Предполага се, че докато се запознава с числата, детето едновременно открива за себе си първоначалните характеристики на количествените отношения. Броенето и числото са в основата на цялото последващо изучаване на математика в училище.

Въпреки това има основание да се смята, че тези разпоредби, докато правилно подчертават специалното и основно значение на числото, в същото време неадекватно изразяват връзката му с други математически понятия и неточно оценяват мястото и ролята на числото в процеса на овладяване на математиката. . Именно поради това обстоятелство възникват някои съществени недостатъци на възприетите програми, методи и учебници по математика. Необходимо е специално да се разгледа действителната връзка на понятието число с други понятия.

Много общи математически понятия, и по-специално понятията за отношения на еквивалентност и ред, се разглеждат систематично в математиката, независимо от числовата форма. Тези понятия не губят своя независим характер, въз основа на тях е възможно да се опише и изучава конкретен предмет - различни числови системи, чиито понятия сами по себе си не покриват значението и значението на първоначалните определения. Освен това в историята на математическата наука общите понятия се развиват точно до степента, в която „алгебричните операции“ известен примеркоито осигуряват четирите аритметични операции, започва да се прилага към елементи от напълно нечислова природа.

Напоследък се правят опити да се разшири етапът на запознаване на детето с математиката в обучението. Тази тенденция намира израз в методическите ръководства, както и в някои експериментални учебници. Така в един американски учебник, предназначен за обучение на деца на 6-7 години (), на първите страници са въведени задачи и упражнения, които специално обучават децата в установяването на идентичността на предметните групи. На децата се показва техниката на свързване на множества и се въвежда съответната математическа символика. Работата с числа се основава на основни познания за множествата.

Съдържанието на конкретните опити за прилагане на тази тенденция може да се оцени по различен начин, но самото то според нас е съвсем легитимно и обещаващо.

На пръв поглед понятията „отношение“, „структура“, „закони на композиция“ и др., които имат сложни математически дефиниции, не могат да бъдат свързани с формирането на математически представи у малките деца. Разбира се, целият истински и абстрактен смисъл на тези понятия и тяхното място в аксиоматичната структура на математиката като наука е обект на усвояване от вече добре развита и „обучена“ в математиката глава. Въпреки това, някои свойства на нещата, фиксирани от тези понятия, по един или друг начин се появяват на детето сравнително рано: има конкретни психологически доказателства за това.

На първо място, трябва да се има предвид, че от момента на раждането до 7-10 години детето развива и развива сложни системи от общи представи за света около него и полага основите на смислено и обективно мислене. Освен това, въз основа на сравнително тесен емпиричен материал, децата идентифицират общи модели на ориентация в пространствено-времевите и причинно-следствените зависимости на нещата. Тези диаграми служат като вид рамка за „координатната система“, в рамките на която детето започва все повече да овладява различните свойства на разнообразния свят. Разбира се, тези общи схеми са малко осъзнати и в малка степен могат да бъдат изразени от самото дете под формата на абстрактно съждение. Те, образно казано, са интуитивна форма на организиране на поведението на детето (въпреки че, разбира се, те все повече се отразяват в преценките).

През последните десетилетия въпросите за формирането на интелекта на децата и възникването на техните общи представи за реалността, времето и пространството са изследвани особено интензивно от известния швейцарски психолог Ж. Пиаже и неговите колеги. Някои от неговите произведения са пряко свързани с проблемите на развитието на математическото мислене на детето и затова е важно да ги разглеждаме във връзка с проблемите на дизайна учебна програма.

В един от техните най-новите книги() J. Piaget предоставя експериментални данни за генезиса и формирането при деца (до 12 - 14 години) на такива елементарни логически структури като класификация и серия. Класификацията включва извършване на операция на включване (например A + A" = B) и нейната обратна операция (B - A" = A). Сериирането е подреждането на обекти в систематични редове (например пръчки с различна дължина могат да бъдат подредени в ред, всеки член на който е по-голям от всички предишни и по-малък от всички следващи).

Анализирайки формирането на класификацията, J. ​​Piaget показва как от първоначалната си форма, от създаването на „фигуративен агрегат“, основан само на пространствената близост на обектите, децата преминават към класификация, основана на връзката на сходство („не- образни съвкупности”), а след това и към самата класификация.комплексна форма – към включване на класове, обусловени от връзката между обема и съдържанието на понятието. Авторът разглежда специално въпроса за формирането на класификация не само по един, но и по два или три критерия, както и за развитието на способността на децата да променят основата на класификацията при добавяне на нови елементи. Авторите откриват сходни етапи в процеса на формиране на сериацията.

Тези проучвания бяха напълно конкретна цел- да се идентифицират моделите на формиране на операторни структури на ума и, на първо място, такова конститутивно свойство като обратимост, т.е. способността на ума да се движи напред и назад. Обратимостта възниква, когато „операциите и действията могат да се развиват в две посоки и разбирането на едната от тези посоки причинява ipso facto [по силата на самия факт] разбирането на другата” (, стр. 15).

Обратимостта, според J. Piaget, представлява основния закон на композицията, присъщ на ума. Той има две допълващи се и нередуцируеми форми: обръщане (инверсия или отрицание) и реципрочност. Обръщане възниква, например, в случай, че пространственото движение на обект от A към B може да бъде отменено чрез прехвърляне на обекта обратно от B към A, което в крайна сметка е еквивалентно на нулева трансформация (продуктът на операция и нейната обратна е идентична операция или нулева трансформация).

Реципрочността (или компенсацията) включва случая, когато например при преместване на обект от А в Б, обектът остава в Б, но самото дете се премества от А в Б и възпроизвежда първоначалната позиция, когато обектът е бил срещу тялото му . Движението на обекта тук не се отменя, но се компенсира с подходящо движение собствено тяло- и това е различна форма на трансформация от конверсията (, стр. 16).

В своите трудове J. Piaget показа, че тези трансформации се появяват първо под формата на сензомоторни вериги (от 10 до 12 месеца). Постепенната координация на сетивно-моторните вериги, функционалната символика и езиковият дисплей водят до факта, че през редица етапи циркулацията и реципрочността стават свойства на интелектуалните действия (операции) и се синтезират в една операторна структура (в периода от 7 до 11 и от 12 до 15 години). Сега детето може да координира всички движения в едно според две референтни системи наведнъж - едната мобилна, другата неподвижна.

J. Piaget вярва, че психологическото изследване на развитието на аритметичните и геометричните операции в съзнанието на детето (особено тези логически операции, които изпълняват предварителни условия в тях) прави възможно точното съотнасяне на операторните структури на мисленето с алгебричните структури, структурите на реда и топологичните единици (стр. 13). По този начин алгебричната структура („група“) съответства на операторните механизми на ума, подчинени на една от формите на обратимост - инверсия (отрицание). Групата има четири елементарни свойства: произведението на два елемента от група също дава елемент от групата; директна операция съответства на една и само една обратна операция; има операция за идентифициране; последователните композиции са асоциативни. На езика на интелектуалните действия това означава:

Координацията на две системи на действие е нова схема, приложени към предишните;

Операцията може да се развие в две посоки;

Когато се върнем към началната точка, ние я намираме непроменена;

До една и съща точка може да се стигне по различни начини, а самата точка остава непроменена.

Факти на „независимо“ детско развитие (т.е. развитие, независимо от пряко влияние училищно обучение) показват несъответствие между реда на етапите на геометрията и етапите на формиране на геометрични понятия при дете. Последните приближават реда на последователност на основните групи, където топологията е на първо място. Детето, според J. Piaget, първо развива топологична интуиция и след това се ориентира в посока на проективни и метрични структури. Ето защо, по-специално, както отбелязва Ж. Пиаже, по време на първите опити за рисуване детето не прави разлика между квадрати, кръгове, триъгълници и други метрични фигури, но отлично различава отворени и затворени фигури, позицията „отвън“ или „вътре ” по отношение на граница, разделяне и близост (без да се разграничават разстояния за момента) и др. (, стр. 23).

Нека разгледаме основните положения, формулирани от J. Piaget във връзка с въпросите на изграждането на учебна програма. На първо място, изследванията на Ж. Пиаже показват, че по време на предучилищната и училищно детствоДетето развива такива операторни структури на мислене, които му позволяват да оценява основните характеристики на класовете обекти и техните взаимоотношения. Освен това още на етапа на специфични операции (от 7 до 8 години) интелектът на детето придобива свойството на обратимост, което е изключително важно за разбирането на теоретичното съдържание на образователните предмети, по-специално математиката.

Тези данни показват, че традиционната психология и педагогика не са взели предвид достатъчно сложния и обемен характер на онези етапи от психическото развитие на детето, които са свързани с периода от 2 до 7 и от 7 до 11 години.

Разглеждането на резултатите, получени от J. Piaget, ни позволява да направим редица важни заключения във връзка с дизайна на учебната програма по математика. На първо място, фактическите данни за формирането на интелекта на детето от 2 до 11 години показват, че по това време не само свойствата на обектите, описани чрез математическите понятия „връзка - структура“, не са „чужди“ за него, но самите последните органично влизат в мисленето на детето.

Традиционните програми не отчитат това. Следователно те не осъзнават много от възможностите, скрити в процеса на интелектуалното развитие на детето.

Материалите, налични в съвременната детска психология, ни позволяват да оценим положително общата идея за изграждане на образователен предмет, който да се основава на концепциите за първоначални математически структури. Разбира се, по този път възникват големи трудности, тъй като все още няма опит в изграждането на такъв учебен предмет. По-конкретно, едно от тях е свързано с определянето на възрастовия „праг“, от който е възможно обучението по новата програма. Ако следваме логиката на J. Piaget, тогава очевидно тези програми могат да се преподават само когато децата вече имат напълно формирани операторски структури (от 14 до 15 години). Но ако приемем, че истинското математическо мислене на детето се формира именно в рамките на процеса, който е обозначен от J. Piaget като процес на сгъване на операторни структури, тогава тези програми могат да бъдат въведени много по-рано (например от 7 до 8 години) , когато децата започват да формират специфични операции с най-висока степен на обратимост. В „естествени“ условия, при обучение по традиционни програми, формалните операции могат да се оформят едва на 13-15-годишна възраст. Но не е ли възможно да се „ускори“ тяхното формиране чрез по-ранно въвеждане на такъв учебен материал, чието усвояване изисква директен анализ на математически структури?

Изглежда, че такива възможности съществуват. До 7-8-годишна възраст децата вече имат достатъчно развит план за умствени действия и чрез обучение по подходяща програма, в която свойствата на математическите структури са дадени „изрично“ и децата получават средствата за тяхното анализиране, то е възможно бързо да доведе децата до нивото на „формални“ операции, отколкото във времевата рамка, в която това се извършва по време на „независимото“ откриване на тези свойства.

Важно е да се вземе предвид следното обстоятелство. Има основание да се смята, че особеностите на мисленето на ниво специфични операции, датирани от J. Piaget на възраст 7-11 години, сами по себе си са неразривно свързани с формите на организация на обучението, характерни за традиционното начално училище. Това обучение (и у нас, и в чужбина) се провежда на основата на изключително емпирично съдържание, често изобщо несвързано с концептуално (теоретично) отношение към обекта. Такова обучение поддържа и укрепва у децата мисленето, което се основава на външно, пряко възприятие, осезаеми признаци на нещата.

Така че в момента има фактически данни, показващи тясна връзка между структурите на детското мислене и общите алгебрични структури, въпреки че „механизмът“ на тази връзка далеч не е ясен и почти неизследван. Наличието на тази връзка открива фундаментални възможности (засега само възможности!) за изграждането на образователен предмет, който се развива по схемата „от прости структури към техните сложни комбинации“. Едно от условията за реализиране на тези възможности е изучаването на прехода към опосредствано мислене и неговите възрастови стандарти. Този метод за конструиране на математиката като учебен предмет сам по себе си може да бъде мощен лост за развиване на такова мислене у децата, което се основава на доста силна концептуална основа.

1.3 Проблемът за произхода на алгебричните понятия и неговото значение за изграждането на учебен предмет

Раздяла училищен курсматематика за алгебра и аритметика, разбира се, условно. Преходът от един към друг става постепенно. В училищната практика смисълът на този преход е маскиран от факта, че изучаването на дроби всъщност се извършва без обширна подкрепа за измерване на количества - дробите се дават като съотношения на двойки числа (въпреки че формално значението на измерването на количества се признава в методическите ръководства ). Широкото въвеждане на дробни числа, базирано на измерване на количества, неизбежно води до концепцията за реално число. Но последното обикновено не се случва, тъй като учениците работят дълго време с рационални числа и по този начин преминаването им към „алгебра“ се забавя.

С други думи, училищната алгебра започва именно когато се създават условия за преход от цели числа към реални числа, към изразяване на резултата от измерване като дроб (проста и десетична - крайна, а след това безкрайна).

Освен това първоначалната стъпка може да бъде запознаване с операцията по измерване, получаване на финала десетични знации изучаване на действията върху тях. Ако учениците вече знаят тази форма на записване на резултата от измерване, тогава това служи като предпоставка за „изоставяне“ на идеята, че числото може да бъде изразено и като безкрайна дроб. И е препоръчително тази предпоставка да се създаде още в началното училище.

Ако концепцията за дробно (рационално) число бъде премахната от обхвата на училищната аритметика, тогава границата между нея и „алгебрата“ ще премине по линията на разликата между цели и реални числа. Именно това „разрязва” курса по математика на две части. Това не е проста разлика, а основен „дуализъм“ на източниците - броене и измерване.

Следвайки идеите на Лебег относно " обща концепциячисла", е възможно да се осигури пълно единство в обучението по математика, но само от момента и след като децата се запознаят с броенето и целите (естествени) числа. Разбира се, времето на това предварително запознаване може да бъде различно (в традиционните програмите за началните училища са очевидно забавени), в курса по елементарна аритметика можете дори да въведете елементи на практически измервания (което се провежда в програмата), - но всичко това не премахва разликите в основите на аритметиката и “ алгебра" като образователни предмети. разделите, свързани с измерването на количествата и прехода към реални дроби, "пуснаха корени". Авторите на програми и методистите се стремят да поддържат стабилността и "чистотата" на аритметиката като учебен предмет. Тази разлика в източниците е основната причина за преподаване на математика по схема - първо аритметика (цяло число), след това "алгебра" (реално число).

Тази схема изглежда съвсем естествена и непоклатима, освен това е оправдана от дългогодишната практика в обучението по математика. Но има обстоятелства, които от логическа и психологическа гледна точка изискват по-задълбочен анализ на законността на тази твърда схема на обучение.

Факт е, че въпреки всички разлики между тези видове числа, те се отнасят конкретно до числата, т.е. към специална форма за показване на количествени отношения. Фактът, че целите и реалните числа принадлежат към „числата“, служи като основа за предположението за генетичните производни на самите разлики между броенето и измерването: те имат специален и единствен източник, съответстващ на самата форма на числото. Познаването на характеристиките на тази единна основа за броене и измерване ще позволи по-ясно да си представим условията на техния произход, от една страна, и връзката, от друга.

Към какво трябва да се обърнем, за да намерим общия корен на разклоненото дърво на числата? Изглежда, че на първо място е необходимо да се анализира съдържанието на понятието количество. Вярно е, че този термин веднага се свързва с друг - измерение. Легитимността на такава връзка обаче не изключва известна независимост на значението на „величина“. Разглеждането на този аспект ни позволява да направим заключения, които обединяват, от една страна, измерването и броенето, а от друга страна, работата на числата с определени общи математически връзки и модели.

И така, какво е „количество“ и какъв е интересът към конструирането на началните раздели на училищната математика?

В обща употреба терминът „величина“ се свързва с понятията „равно“, „повече“, „по-малко“, които описват различни качества (дължина и плътност, температура и белота). V.F. Каган повдига въпроса какви общи свойства имат тези понятия. Това показва, че те се отнасят до агрегати - набори от хомогенни обекти, чието сравнение на елементи ни позволява да приложим термините "повече", "равно", "по-малко" (например към съвкупността от всички сегменти на права линия, тегла , скорости и т.н.).

Набор от обекти се трансформира в величина само когато се установят критерии, които позволяват да се установи, по отношение на всеки от неговите елементи A и B, дали A ще бъде равно на B, по-голямо от B или по-малко от B. Освен това, за всеки два елемента A и B, едно и само едно от отношенията: A=B, A>B, A<В.

Тези изречения представляват пълна дизюнкция (поне едно е валидно, но всяко изключва всички останали).

V.F. Каган идентифицира следните осем основни свойства на понятията „равно“, „повече“, „по-малко“: (, стр. 17-31).

1) Поне една от връзките е изпълнена: A=B, A>B, A<В.

2) Ако връзката A = B е в сила, то връзката A не е в сила<В.

3) Ако връзката A=B е в сила, то връзката A>B не е в сила.

4) Ако A=B и B=C, тогава A=C.

5) Ако A>B и B>C, тогава A>C.

6) Ако А<В и В<С, то А<С.

7) Равенството е обратима връзка: от връзката A=B винаги следва връзката B=A.

8) Равенството е реципрочна връзка: какъвто и да е елементът A от разглежданото множество, A = A.

Първите три изречения характеризират дизюнкцията на основните отношения "=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых трех элементах А, В и С. Следующие предложения 7 - 8 характеризуют только равенство - его обратимость и возвратность (или рефлексивность). Эти восемь основных положений В.Ф.Каган называет поcтулатами сравнения, на базе которых можно вывести ряд других свойств величины.

Тези инференциални свойства на V.F. Каган описва под формата на осем теореми:

I. Съотношението A>B изключва съотношението B>A (A<В исключает В<А).

II. Ако A>B, тогава B<А (если А<В, то В>А).

III. Ако A>B е валидно, тогава A не е валидно.

IV. Ако A1=A2, A2=A3,.., An-1=A1, тогава A1=An.

V. Ако A1>A2, A2>A3,.., An-1>An, тогава A1>An.

VI. Ако A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Ако A=C и B=C, тогава A=B.

VIII. Ако има равенство или неравенство A=B, или A>B, или A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа:

ако A=B и A=C, тогава C=B;

ако A>B и A=C, тогава C>B и т.н.).

Сравнителните постулати и теореми, посочва V.F. Каган, „се изчерпват всички онези свойства на понятията „равно“, „повече“ и „по-малко“, които в математиката се свързват с тях и намират приложение независимо от индивидуалните свойства на множеството, към елементите на което ги прилагаме. различни специални случаи” (, страница 31).

Свойствата, посочени в постулати и теореми, могат да характеризират не само онези непосредствени характеристики на обектите, които сме свикнали да свързваме с „равно“, „повече“, „по-малко“, но и с много други характеристики (например те могат да характеризират връзката „предшественик - потомък“). Това ни позволява да заемем обща гледна точка, когато ги описваме и да разгледаме, например, от гледна точка на тези постулати и теореми всякакви три вида отношения „алфа“, „бета“, „гама“ (в този случай това е възможно да се установи дали тези отношения удовлетворяват постулатите и теоремите и при какви условия).

От тази гледна точка може например да се разглежда такова свойство на нещата като твърдост (по-твърдо, по-меко, еднаква твърдост), последователността на събитията във времето (следващи, предшестващи, едновременни) и др. Във всички тези случаи съотношенията „алфа“, „бета“, „гама“ получават своя специфична интерпретация. Задачата, свързана с избора на такъв набор от тела, които биха имали тези взаимоотношения, както и идентифицирането на знаци, чрез които може да се характеризира „алфа“, „бета“, „гама“ - това е задачата за определяне на критерии за сравнение в даден набор от тела (на практика в някои случаи не е лесно за решаване). „Чрез установяване на критерии за сравнение ние трансформираме множеството в величина“, пише V.F. Каган (, стр. 41).

Реалните обекти могат да се разглеждат от гледна точка на различни критерии. По този начин група от хора може да се разглежда според такъв критерий като последователността от моменти на раждане на всеки от нейните членове. Друг критерий е относителната позиция, която ще заемат главите на тези хора, ако са поставени една до друга в една и съща хоризонтална равнина. Във всеки случай групата ще се трансформира в величина, която има съответно име - възраст, ръст. На практика количеството обикновено не означава самото множество от елементи, а ново понятие, въведено за разграничаване на критериите за сравнение (името на количеството). Така възникват понятията „обем“, „тегло“, „електрическо напрежение“ и др. „В същото време за един математик стойността е напълно определена, когато са посочени много елементи и критерии за сравнение“, отбеляза V.F. Каган (, стр. 47).

Този автор разглежда естествената редица от числа като най-важния пример за математическо количество. От гледна точка на такъв критерий за сравнение като позицията, заета от числа в серия (те заемат едно и също място, следва ..., предшества), тази серия отговаря на постулатите и следователно представлява количество. Съгласно съответните критерии за сравнение набор от дроби също се преобразува в количество.

Това според V.F. Каган, съдържанието на теорията на количеството, която играе решаваща роля в основата на цялата математика.

Работейки с количества (препоръчително е да записвате индивидуалните им стойности с букви), можете да извършите сложна система от трансформации, установявайки зависимостите на техните свойства, преминавайки от равенство към неравенство, извършвайки събиране (и изваждане) и при добавяне можете да се ръководите от комутативни и асоциативни свойства. Така че, ако е дадено отношението A=B, тогава при „решаване” на проблеми можете да се ръководите от отношението B=A. В друг случай, ако има отношения A>B, B=C, можем да заключим, че A>C. Тъй като за a>b има c такова, че a=b+c, ​​​​тогава можем да намерим разликата между a и b (a-b=c) и т.н. Всички тези трансформации могат да бъдат направени на физически телаи други обекти, установяващи критерии за сравнение и съответствие на избраните отношения с постулатите на сравнението.

Горните материали ни позволяват да заключим, че както естествените, така и реалните числа са еднакво силно свързани с количествата и някои от техните съществени характеристики. Възможно ли е тези и други свойства да станат обект на специално изследване за детето още преди да бъде въведена числовата форма за описание на съотношението на количествата? Те могат да послужат като предпоставка за последващото подробно въвеждане на номера и неговите различни видове, по-специално за пропедевтика на дроби, понятия за координати, функции и други понятия още в младшите класове.

Какво може да бъде съдържанието на този начален раздел? Това е запознаване с физически обекти, критерии за тяхното сравнение, подчертаване на количеството като предмет на математическо разглеждане, запознаване с методите за сравнение и символични средства за записване на неговите резултати, с техники за анализ на общите свойства на количествата. Това съдържание трябва да се развие в относително подробна учебна програма и най-важното да се обвърже с онези действия на детето, чрез които то може да усвои това съдържание (разбира се, в подходяща форма). В същото време е необходимо експериментално да се установи дали 7-годишните деца могат да овладеят тази програма и каква е осъществимостта на нейното въвеждане за последващо обучение по математика в началните класове в посока на привеждане на аритметиката и елементарна алгебра.

Досега нашите разсъждения бяха теоретични по природа и насочени към изясняване на математическите предпоставки за конструиране на такъв начален раздел от курса, който би запознал децата с основните алгебрични понятия (преди специалното въвеждане на числата).

Основните свойства, характеризиращи количествата, бяха описани по-горе. Естествено, няма смисъл 7-годишни деца да изнасят „лекции“ за тези имоти. Трябваше да се намери такава форма на работа за деца с дидактически материал, чрез които те биха могли, от една страна, да идентифицират тези свойства в нещата около тях, от друга страна, те биха се научили да ги фиксират с определена символика и да извършват елементарни математически анализразпределени отношения.

В тази връзка програмата трябва да съдържа, първо, указание за онези свойства на предмета, които трябва да бъдат усвоени, второ, описание на дидактическите материали, трето - и това е основното от психологическа гледна точка - характеристиките на онези действия, чрез които детето идентифицира определени свойства на даден обект и ги овладява. Тези „компоненти“ формират учебната програма в правилния смисъл на думата.

Има смисъл да се представят специфичните характеристики на тази хипотетична програма и нейните „компоненти“, когато се описва самия процес на обучение и резултатите от него. Ето очертанията на тази програма и нейните ключови теми.

Тема I. Изравняване и комплектуване на обекти (по дължина, обем, тегло, състав на частите и други параметри).

Практически задачи по изравняване и усвояване. Идентифициране на характеристики (критерии), по които едни и същи обекти могат да бъдат изравнени или допълнени. Устно обозначение на тези характеристики („по дължина“, по тегло“ и т.н.).

Тези задачи се решават в процеса на работа с дидактически материали (щанги, тежести и др.) чрез:

Избирайки „същия“ артикул,

Възпроизвеждане (изграждане) на „същия” обект по избран (посочен) параметър.

Тема II. Сравняване на обекти и фиксиране на резултатите с помощта на формулата за равенство-неравенство.

1. Задачи за сравняване на обекти и символично обозначаване на резултатите от това действие.

2. Устно записване на резултатите от сравнението (термини „повече“, „по-малко“, „равно“). Писмени знаци ">", "<", "=".

3. Индикация на резултата от сравнението с чертеж („копиране” и след това „абстракт” - линии).

4. Обозначаване на сравнявани обекти с букви. Записване на резултата от сравнението по формулите: A=B; А<Б, А>б.

Буква като знак, който фиксира пряко дадена, определена стойност на обект според избран параметър (по тегло, по обем и т.н.).

5. Невъзможност за фиксиране на резултата от сравнението с помощта на различни формули. Избор на конкретна формула за даден резултат (пълна дизюнкция на отношенията по-голямо – по-малко – равно).

Тема III. Свойства на равенство и неравенство.

1. Обратимост и рефлексивност на равенството (ако A=B, то B=A; A=A).

2. Връзката между отношенията "повече" и "по-малко" в неравенствата по време на "пермутации" на сравняваните страни (ако A>B, тогава B<А и т.п.).

3. Транзитивността като свойство на равенството и неравенството:

ако A=B, ако A>B, ако A<Б,

a B=B, a B>B, a B<В,

тогава A=B; след това A>B; тогава<В.

4. Преход от работа с предметен дидактически материал към оценка на свойствата на равенството и неравенството при наличие само на буквени формули. Решаване на различни задачи, които изискват познаване на тези свойства (например решаване на задачи, свързани със връзката на релации от типа: при положение, че A>B, и B=C; установете връзката между A и C).

Тема IV. Операция събиране (изваждане).

1. Наблюдения на изменения в обекти по един или друг параметър (по обем, по тегло, по продължителност и др.). Илюстрация на нарастване и намаляване със знаци "+" и "-" (плюс и минус).

2. Нарушаване на предварително установено равенство със съответната промяна в една или друга от неговите страни. Преходът от равенство към неравенство. Писане на формули като:

ако A=B, ако A=B,

след това A+K>B; след това A-K<Б.

3. Методи за преход към ново равенство (неговото „възстановяване“ според принципа: добавянето на „равно“ към „равно“ дава „равно“).

Работа с формули като:

след това A+K>B,

но A+K=B+K.

4. Решаване на различни задачи, изискващи използване на събиране (изваждане) при преминаване от равенство към неравенство и обратно.

Тема V. Преход от неравенство тип А<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Задачи, изискващи такъв преход. Необходимостта да се определи стойността на количеството, с което сравняваните обекти се различават. Способността да се напише равенство, когато конкретната стойност на това количество е неизвестна. Метод за използване на x (x).

Писане на формули като:

ако<Б, если А>Б,

тогава A+x=B; тогава A-x=B.

2. Определяне на стойността на x. Заместване на тази стойност във формулата (въведение в скобите). Въведете формули

3. Решаване на задачи (включително „сюжетно-текстови“), които изискват извършване на посочените операции.

Тема Вл. Събиране-изваждане на равенства-неравенства. Заместване.

1. Събиране-изваждане на равенства-неравенства:

ако A=B, ако A>B, ако A>B

и M=D, и K>E, и B=G,

тогава A+M=B+D; след това A+K>B+E; тогава A+-B>C+-G.

2. Способността да се представи стойността на дадена величина като сума от няколко стойности. Тип заместване:

3. Решаване на различни проблеми, които изискват отчитане на свойствата на връзките, с които децата са се запознали в процеса на работа (много задачи изискват едновременно разглеждане на няколко свойства, интелигентност при оценката на значението на формулите; описанията на проблемите и решенията са дадени по-долу ).

Това е програма, предназначена за 3,5 - 4 месеца. първата половина на годината. Както показва опитът от експерименталното обучение, с правилно планиране на уроците, подобряване на методите на преподаване и успешен избор на дидактически помагала, целият материал, представен в програмата, може да бъде напълно усвоен от децата за по-кратък период от време (за 3 месеца) .

Как напредва програмата ни? На първо място, децата се запознават с метода за получаване на число, което изразява връзката на обект като цяло (същото количество, представено от непрекъснат или отделен обект) към неговата част. Самото съотношение и неговият специфичен смисъл се изобразява с формулата A/K = n, където n е всяко цяло число, най-често изразяващо съотношението до най-близката „единица“ (само със специален подбор на материал или чрез броене само „качествено“ отделни неща могат да се получат абсолютно точно цяло число). От самото начало децата са „принудени” да имат предвид, че при измерване или броене може да се получи остатък, чието наличие трябва да бъде специално уговорено. Това е първата стъпка към последваща работа с дроби.

С тази форма на получаване на число не е трудно да накарате децата да опишат обект с формула като A = 5k (ако съотношението е равно на „5“). Заедно с първата формула тя открива възможности за специално изследване на зависимостите между обекта, основата (мярката) и резултата от броенето (измерването), което също служи като пропедевтика за прехода към дробни числа (в частност , за разбиране на основното свойство на дроб).

Друга линия на развитие на програмата, реализирана още в първи клас, е прехвърлянето към числа (цели числа) на основните свойства на количеството (дизюнкция на равенство-неравенство, транзитивност, обратимост) и операцията на събиране (комутативност, асоциативност, монотонност, възможността за изваждане). По-конкретно, като работят върху числовата ос, децата могат бързо да преобразуват поредици от числа в величини (например, ясно да оценят тяхната транзитивност, като правят нотации от тип 3<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.).

Познаването на някои от така наречените „структурни“ характеристики на равенството позволява на децата да подходят по различен начин към връзката между събиране и изваждане. Така при преминаване от неравенство към равенство се извършват следните трансформации: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; намерете връзката между лявата и дясната страна на формулата за 8+1-4...6+3-2; в случай на неравенство, доведете този израз до равенство (първо трябва да поставите знак „по-малко от“ и след това да добавите „две“ към лявата страна).

По този начин третирането на редица от числа като количество ви позволява да развиете уменията за събиране и изваждане (и след това умножение и деление) по нов начин.

Както знаете, при изучаването на математика в 5. клас значителна част от времето се отделя за повтаряне на това, което децата трябва да са научили в началното училище. Това повторение в почти всички съществуващи учебници отнема 1,5 учебни тримесечия. Тази ситуация не възникна случайно. Причината е недоволството на учителите по математика от гимназията от подготовката на зрелостниците. Каква е причината за тази ситуация? За целта бяха анализирани петте най-известни днес учебника по математика за начално училище. Това са учебниците на М.И. Моро, И.И. Аргинская, Н.Б. Истомина, Л.Г. Питърсън и В.В. Давидова (, , , ,).

Анализът на тези учебници разкрива няколко негативни аспекта, присъстващи в по-голяма или по-малка степен във всеки един от тях и влияят негативно на по-нататъшното обучение. На първо място, усвояването на материала в тях до голяма степен се основава на запаметяване. Ярък пример за това е запомнянето на таблицата за умножение. В началното училище се отделят много усилия и време за запаметяването му. Но през лятната ваканция децата я забравят. Причината за такова бързо забравяне е ученето наизуст. Изследване на Л.С. Виготски показа, че смисленото запаметяване е много по-ефективно от механичното запаметяване, а последващите експерименти убедително доказват, че материалът влиза в дългосрочната памет само ако бъде запомнен в резултат на работа, съответстваща на този материал.

Метод за ефективно усвояване на таблицата за умножение е открит още през 50-те години. Състои се в организиране на определена система от упражнения, чрез изпълнението на които децата сами конструират таблица за умножение. Този метод обаче не е приложен в нито един от разгледаните учебници.

Друг негативен момент, който засяга по-нататъшното образование, е, че в много случаи представянето на материала в учебниците по математика в началното училище е структурирано по такъв начин, че в бъдеще децата ще трябва да бъдат преквалифицирани, а това, както знаем, е много по-трудно отколкото преподаване. Във връзка с изучаването на алгебричен материал, пример би бил решаването на уравнения в началното училище. Във всички учебници решаването на уравнения се основава на правилата за намиране на неизвестни компоненти на действия.

Това се прави малко по-различно само в учебника на L.G. Питърсън, където например решаването на уравнения за умножение и деление се основава на съпоставяне на компонентите на уравнението със страните и площта на правоъгълник и в крайна сметка също се свежда до правила, но това са правила за намиране на страната или площта на правоъгълник. Междувременно, като се започне от 6-ти клас, децата се учат на напълно различен принцип за решаване на уравнения, основан на използването на идентични трансформации. Тази нужда от повторно учене води до факта, че решаването на уравнения е доста трудна задача за повечето деца.

Анализирайки учебниците, се сблъскахме и с факта, че при представянето на материала в тях често има изкривяване на концепциите. Например, формулирането на много дефиниции е дадено под формата на импликации, докато от математическата логика е известно, че всяка дефиниция е еквивалентност. Като илюстрация можем да цитираме определението за умножение от учебника на И.И. Аргинская: „Ако всички членове в сумата са равни един на друг, тогава добавянето може да бъде заменено с друго действие - умножение.“ (Всички членове в сумата са равни помежду си. Следователно събирането може да бъде заменено с умножение.) Както можете да видите, това е импликация в чист вид. Тази формулировка е не само неграмотна от гледна точка на математиката, не само, че неправилно формира у децата представата за това какво е определение, но е и много вредна, защото в бъдеще, например, при конструиране таблица за умножение, авторите на учебниците използват замяната на произведението със сумата от еднакви членове, което представената формулировка не позволява. Такава неправилна работа с твърдения, написани под формата на импликация, формира неправилен стереотип у децата, който ще бъде преодолян с голяма трудност в уроците по геометрия, когато децата няма да усетят разликата между пряко и обратно твърдение, между знак на фигура и негова собственост. Грешката при използване на обратната теорема при решаване на задачи, докато е доказана само директната теорема, е много често срещана.

Друг пример за неправилно формиране на концепция е работата с буквалното отношение на равенство. Например правилата за умножаване на число по едно и число по нула във всички учебници са дадени в буквена форма: a x 1 = a, a x 0 = 0. Отношението на равенство, както е известно, е симетрично и следователно такова нотацията осигурява не само, че когато се умножи по 1, се получава същото число, но и че всяко число може да бъде представено като произведение на това число и единица. Но словесната формулировка, предложена в учебниците след буквения запис, говори само за първата възможност. Упражненията по тази тема също са насочени само към упражняване на замяна на произведението на число и едно с това число. Всичко това води не само до факта, че един много важен момент не става предмет на детското съзнание: всяко число може да бъде записано под формата на продукт, което в алгебрата ще предизвика съответни трудности при работа с полиноми, но и до Факт е, че децата по принцип не знаят как да работят правилно с отношението на равенството. Например, когато работят с формулата за разликата на квадратите, децата като правило се справят със задачата да разложат разликата на квадратите. Въпреки това, онези задачи, при които се изисква противоположно действие, създават трудности в много случаи. Друга поразителна илюстрация на тази идея е работата с разпределителния закон на умножението спрямо събирането. И тук, въпреки буквеното изписване на закона, както словесната му формулировка, така и системата от упражнения само тренират способността да се отварят скоби. В резултат на това извеждането на общия множител извън скоби ще доведе до значителни трудности в бъдеще.

Доста често в началното училище, дори когато дадено определение или правило е формулирано правилно, ученето се стимулира, като се разчита не на тях, а на нещо съвсем различно. Например, когато изучавате таблицата за умножение с 2, всички прегледани учебници показват как да я конструирате. В учебника M.I. Моро го направи така:

С този метод на работа децата много бързо ще забележат модела на получената редица от числа.

След 3-4 равенства те спират да добавят двойки и започват да записват резултата въз основа на наблюдавания модел. Така методът за конструиране на таблицата за умножение няма да стане предмет на тяхното съзнание, което ще доведе до крехкото му усвояване.

При изучаването на материала в началното училище се разчита на обективни действия и илюстративна яснота, което води до формиране на емпирично мислене. Разбира се, едва ли е възможно да се направи без такава видимост в началното училище. Но трябва да служи само като илюстрация на този или онзи факт, а не като основа за формирането на концепция. Използването на илюстративна яснота и действия по същество в учебниците често води до „замъгляване“ на самата концепция. Например в методиката по математика за 1–3 клас M.I. Моро казва, че децата трябва да правят разделяне, като подреждат предмети на купчини или правят рисунка за 30 урока. Такива действия губят същността на операцията деление като действие обратно на умножението. В резултат на това делението се научава с най-голяма трудност и е много по-лошо от другите аритметични операции.

При обучението по математика в началното училище не може да се говори за доказване на някакви твърдения. Междувременно, като си спомняте колко трудно ще бъде да преподавате доказателство в гимназията, трябва да започнете да се подготвяте за това още в началните класове. Освен това това може да се направи на материал, който е доста достъпен за учениците от началното училище. Такъв материал, например, могат да бъдат правилата за деление на число на 1, нула на число и число само по себе си. Децата са доста способни да ги докажат, използвайки определението за деление и съответните правила за умножение.

Материалът за начален етап дава възможност и за пропедевтика по алгебра - работа с букви и буквени изрази. Повечето учебници избягват използването на букви. В резултат на това децата работят почти изключително с числа в продължение на четири години, след което, разбира се, е много трудно да ги свикнете да работят с букви. Въпреки това е възможно да се осигури пропедевтика за такава работа, да се научат децата да заместват число вместо буква в буквен израз още в началното училище. Това беше направено например в учебника на L.G. Питърсън.

Говорейки за недостатъците на обучението по математика в началното училище, които пречат на по-нататъшното обучение, е необходимо специално да се подчертае фактът, че често материалът в учебниците се представя без поглед върху това как ще работи в бъдеще. Много ярък пример за това е организацията на обучението по умножение с 10, 100, 1000 и т.н. Във всички разгледани учебници, представянето на този материал е структурирано така, че неизбежно води до формиране в съзнанието на децата на правилото: „За да умножите число по 10, 100, 1000 и т.н., трябва да добавите толкова нули от дясната страна, колкото има в 10, 100, 1000 и т.н." Това правило е едно от онези, които се учат много добре в началното училище. И това води до голям брой грешки при умножаване на десетични дроби по цели цифри. Дори след като запомнят ново правило, децата често автоматично добавят нула отдясно на десетичната запетая, когато умножават по 10. Освен това трябва да се отбележи, че при умножаване на естествено число и при умножаване на десетична дроб по цели цифри се случва по същество едно и също нещо: всяка цифра от числото се измества надясно със съответния брой цифри. Следователно няма смисъл да учим децата на две отделни и напълно формални правила. Много по-полезно е да ги научите на общ начин на действие при решаване на подобни проблеми.

2.1 Сравнение (контраст) на понятията в уроците по математика

Настоящата програма предвижда изучаването в I клас само на две действия от първо ниво - събиране и изваждане. Ограничаването на първата година на обучение само до две операции е по същество отклонение от това, което вече беше постигнато в учебниците, предшестващи сегашните: нито един учител тогава не се е оплакал, че умножението и делението, да речем, в рамките на 20, са отвъд възможностите на първокласниците . Заслужава да се отбележи също, че в училищата в други страни, където обучението започва на 6-годишна възраст, първата учебна година включва първоначално запознаване с четирите аритметични операции. Математиката разчита основно на четири действия и колкото по-скоро те бъдат включени в мисловната практика на ученика, толкова по-стабилно и надеждно ще бъде последващото развитие на курса по математика.

За да бъдем честни, трябва да се отбележи, че в първите версии на учебниците на M.I. Moro за I клас бяха предоставени умножение и деление. Но нещастен случай предотврати това: авторите на новите програми упорито се придържаха към една „новост“ - обхващане в първи клас на всички случаи на събиране и изваждане в рамките на 100 (37+58 и 95-58 и т.н.). Но тъй като нямаше достатъчно време за изучаване на такова разширено количество информация, беше решено умножението и делението да се преместят напълно към следващата година на обучение.

И така, очарованието от линейността на програмата, т.е. чисто количествено разширяване на знанията (същите действия, но с по-големи числа), отне времето, което преди беше отделено за качествено задълбочаване на знанията (изучаване на всичките четири действия в рамките на две дузини). Изучаването на умножение и деление още в първи клас означава качествен скок в мисленето, тъй като ви позволява да овладеете сбитите мисловни процеси.

Според традицията изучаването на събирането и изваждането в рамките на 20 е било специална тема.Необходимостта от този подход при систематизиране на знанията е видима дори от логическия анализ на въпроса: факт е, че пълната таблица за събиране на едноцифрени числата се развива в рамките на две десетици (0+1= 1, ...,9+9=18). Така числата в рамките на 20 образуват цялостна система от отношения във вътрешните си връзки; следователно е ясна целесъобразността от запазване на „Двадесетте” като втора холистична тема (първата такава тема са действията в рамките на първата десетка).

Обсъжданият случай е именно такъв, при който концентричността (запазването на втората десетка като специална тема) се оказва по-полезна от линейността („разтварянето” на втората десетка в темата „Стоте”).

В учебника на М. И. Моро изучаването на първата десетка е разделено на два изолирани раздела: първо се изучава съставът на числата от първата десетица, а в следващата тема се разглеждат действията в рамките на 10. В експерименталния учебник от П.М. Ердниева, за разлика от това, проведе съвместно изследване на номерирането, състава на числата и операциите (събиране и изваждане) в рамките на 10 наведнъж в един раздел. При този подход се използва монографично изследване на числата, а именно: в рамките на разглежданото число (например 3) веднага се разбира цялата „парична математика“: 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 – 1 = 2; 3 – 2 = 1.

Ако според текущите програми за изучаване на първите десет бяха отделени 70 часа, тогава в случай на експериментално обучение целият този материал беше изучен за 50 часа (и в допълнение към програмата бяха разгледани някои допълнителни концепции, които не бяха в стабилния учебник, но са структурно свързани с основния материал).

Въпросът за класифицирането на задачите и наименованията на техните видове изисква специално внимание в методиката на началното обучение. Поколения методисти работиха за рационализиране на системата от училищни задачи, за създаване на техните ефективни видове и разновидности, чак до избора на успешни термини за имената на задачите, предназначени за изучаване в училище. Известно е, че най-малко половината от учебното време в часовете по математика е посветено на решаването им. Училищните задачи със сигурност се нуждаят от систематизиране и класификация. Какъв вид (вид) проблеми да изучавате, кога да изучавате, какъв тип проблеми да изучавате във връзка с преминаването на определен раздел - това е легитимен обект на изследване на методологията и централното съдържание на програмите. Значението на това обстоятелство е ясно от историята на методологията на математиката.

В авторските експериментални учебни помагала е отделено специално внимание на класификацията на задачите и разпределението на необходимите им видове и разновидности за обучението в конкретен клас. В момента класическите имена на типове задачи (за намиране на сбор, неизвестен член и т.н.) са изчезнали дори от съдържанието на стабилен учебник за първи клас. В пробния учебник П.М. Ердниев, тези имена „работят“: те са полезни като дидактически етапи не само за ученика, но и за учителя. Нека представим съдържанието на първата тема от пробния учебник по математика, която се характеризира с логическа завършеност на понятията.

Първи десет

Сравняване на понятията по-високо - по-ниско, ляво - дясно, между, по-късо - по-дълго, по-широко - по-тясно, по-дебело - по-тънко, по-старо - по-младо, по-далеч - по-близо, по-бавно - по-бързо, по-леко - по-тежко, малко - много.

Монографично изучаване на числата от първата десетка: име, обозначение, сравнение, поставяне на числа върху сметалото и обозначаване на числа на числовата линия; знаци: равно (=), неравно (¹), по-голямо от (>), по-малко от (<).

Прави и криви линии; кръг и овал.

Точка, права линия, отсечка, обозначаването им с букви; измерване на дължината на сегмент и полагане на сегменти с дадена дължина; обозначаване, именуване, конструиране, изрязване на равни триъгълници, равни многоъгълници. Елементи на многоъгълник: върхове, страни, диагонали (означени с букви).

Монографично изследване на числата в рамките на въпросното число:

състав на числата, събиране и изваждане.

Имената на компонентите на събиране и изваждане.

Четири примера за събиране и изваждане:

3 + 2 = 5, 5 - 2 = 3, 2 + 3 = 5, 5 - 3 = 2.

Деформирани примери (с липсващи числа и знаци):

X + 5 = 7; 6 – X = 4; 6 = 3A2.

Решаване на задачи за намиране на събираемо и събираемо, разлика, умаляемо и изваждаемо. Съставяне и решаване на взаимно обратни задачи.

Три задачи: увеличаване и намаляване на число с няколко единици и сравнение на разликите. Сравнение на сегменти по дължина.

Комутативен закон на събиране. Промяна в сбор в зависимост от промяна в един член. Условието, когато сумата не се променя. Най-простите буквени изрази: a + b = b + a, a + 0 = a, a – a = 0.

Съставяне и решаване на задачи с изрази.

В следващата презентация ще разгледаме основните въпроси на методологията за представяне на този начален раздел от училищната математика, като имаме предвид, че методологията за представяне на следващите раздели трябва да бъде в много отношения подобна на процеса на усвояване на материала от първата тема .

Още в първите уроци учителят трябва да си постави за цел да научи ученика да използва двойки понятия, чието съдържание се разкрива в процеса на съставяне на съответни изречения с тези думи. (Първо, ние овладяваме сравнението на качествено ниво, без да използваме числа.)

Ето примери за най-често срещаните двойки понятия, които трябва да се използват в уроците не само по математика, но и в развитието на речта:

Повече – по-малко, по-дълго – по-късо, по-високо – по-ниско, по-тежко – по-леко, по-широко – по-тясно, по-дебело – по-тънко, дясно – ляво, по-далече – по-близо, по-старо – по-младо, по-бързо – по-бавно и т.н.

Когато работите върху такива концептуални двойки, е важно да използвате не само илюстрациите в учебника, но и наблюденията на децата; така, например, от прозореца на класната стая те виждат, че има къща от другата страна на реката, и измислят фразите: „Реката е по-близо до училището, отколкото къщата, а къщата е по-далеч от училището, отколкото реката .”

Нека ученикът държи книга и тетрадка в ръката си последователно. Учителят пита: кое е по-тежко - книга или тетрадка? Какво по-лесно? „Книгата е по-тежка от тетрадка, а тетрадката е по-лека от книга.“

След като подредихме най-високия и най-ниския ученик в класа един до друг пред класа, веднага съставяме две фрази: „Миша е по-висок от Коля, а Коля е по-нисък от Миша.“

В тези упражнения е важно да се постигне граматически правилната замяна на едно съждение с двойно: „Каменната къща е по-висока от дървената, което означава, че дървената къща е по-ниска от каменната.“

Когато се запознавате с концепцията за „по-дълъг - по-къс“, можете да покажете сравнение на обекти по дължина, като наслагвате един върху друг (кое е по-дълго: химикалка или молив?).

В уроците по аритметика и развитие на речта е полезно да се решават логически задачи с цел преподаване на използването на противоположни понятия: „Кой е по-възрастен: баща или син? Кой е по-млад: баща или син? Кое се е родило първо? Кой е по-късно?

„Сравнете ширината на книга и куфарче. Какво е по-широко: книга или куфарче? Какво е вече книга или куфарче? Какво е по-тежко: книга или куфарче?

Преподаването на процеса на сравнение може да стане по-интересно чрез въвеждане на така наречените матрични (таблични) упражнения. На дъската е изградена таблица от четири клетки и е обяснено значението на понятията „колона” и „ред”. Въвеждаме понятията „лява колона“ и „дясна колона“, „горен ред“ и „долен ред“.

Заедно с учениците показваме (имитираме) семантичната интерпретация на тези понятия.

Покажете колоната (децата движат ръката си отгоре надолу).

Покажете лявата колона, дясната колона (децата размахват ръцете си два пъти отгоре надолу).

Покажете линията (завъртете ръката си отляво надясно).

Показване на горния ред, долния ред (две махания с ръце, показващи горния ред, долния ред).

Необходимо е да се гарантира, че учениците точно посочват позицията на клетката: „горна лява клетка“, „долна дясна клетка“ и т.н. Веднага се решава обратната задача, а именно: учителят посочва някоя клетка от таблицата (матрица) , студентът дава съответното име на тази клетка. Така че, ако се посочи клетка, която се намира в пресечната точка на горния ред и лявата колона, тогава ученикът трябва да назове: „Горна лява клетка“. Такива упражнения постепенно привикват децата към пространствена ориентация и са важни при последващото изучаване на координатния метод на математиката.

Работата върху числовите редове е от голямо значение за първите уроци по начална математика.

Удобно е да илюстрирате растежа на числова серия чрез добавяне едно по едно, като се движите надясно по числовата линия.

Ако знакът (+) е свързан с преместване по числова линия надясно с единица, тогава знакът (-) е свързан с движение назад наляво с единица и т.н. (Следователно показваме и двата знака едновременно в едно и също урок.)

При работата с числовата редица въвеждаме следните понятия: началото на числовата редица (числото нула) представлява левия край на лъча; Числото 1 съответства на единичен сегмент, който трябва да бъде изобразен отделно от числовата серия.

Накарайте учениците да работят върху числова ос в рамките на три.

Избираме произволни две съседни числа, например 2 и 3. Преминавайки от числото 2 към числото 3, децата разсъждават по следния начин: „Числото 2 е последвано от числото 3.“ Преминавайки от номер 3 към номер 2, те казват:

„Число 3 идва преди число 2“ или: „Число 2 идва преди число 3.“

Този метод ви позволява да определите мястото на дадено число спрямо предходните и следващите числа; Уместно е веднага да се обърне внимание на относителността на позицията на числото, например: числото 3 е едновременно следващо (зад числото 2) и предишно (преди числото 4).

Посочените преходи по редицата от числа трябва да бъдат свързани със съответните аритметични операции.

Например фразата „Число 2 е последвано от число 3“ е символично изобразено по следния начин: 2 + 1 = 3; психологически полезно обаче е веднага след него да се създаде противоположната връзка на мислите, а именно: изразът „Преди числото 3 идва числото 2“ се подкрепя от записа: 3 – 1 = 2.

За да разберете мястото на числото в редица от числа, трябва да задавате двойки въпроси:

1. Кое число е последвано от числото 3? (Числото 3 идва след числото 2.) Преди кое число стои числото 2? (Число 2 идва преди числото 3.)

2. Кое число идва след числото 2? (Числото 2 е последвано от числото 3.) Кое число идва преди числото 3? (Число 3 се предхожда от число 2.)

3. Между кои числа се намира числото 2? (Числото 2 е между числото 1 и числото 3.) Кое число е между числата 1 и 3? (Между числата 1 и 3 е числото 2.)

В тези упражнения математическата информация се съдържа във функционални думи: преди, зад, между.

Удобно е да комбинирате работата с числова серия със сравняване на числа по големина, както и сравняване на позицията на числата на числовата линия. Постепенно се развиват връзки на съждения от геометричен характер: числото 4 е на числовата линия вдясно от числото 3; това означава, че 4 е по-голямо от 3. И обратното: числото 3 е на числовата ос вляво от числото 4; това означава, че числото 3 е по-малко от числото 4. Така се установява връзка между двойки понятия: надясно - повече, наляво - по-малко.

От горното виждаме характерна черта на интегрираното усвояване на знания: целият набор от понятия, свързани със събирането и изваждането, се предлагат заедно, в техните непрекъснати преходи (прекодирания) един в друг.

Основното средство за усвояване на числовите връзки в нашия учебник са цветните ленти; Удобно е да ги сравнявате по дължина, като установявате колко клетки са по-големи или по-малки от тях в горната или долната лента. С други думи, ние не въвеждаме понятието „разликово сравнение на сегменти“ като специална тема, но учениците се запознават с него в самото начало на изучаването на числата от първите десет. В уроците, посветени на изучаването на първите десет, е удобно да се използват цветни ленти, които ви позволяват да извършвате пропедевтика на основните типове задачи за действията от първия етап.

Нека разгледаме един пример.

Нека две цветни ленти, разделени на клетки, се наслагват една върху друга:

в долната - 3 клетки, в горната - 2 клетки (виж фигурата).

Сравнявайки броя на клетките в горната и долната лента, учителят съставя два примера за взаимно обратни действия (2 + 1 = 3, 3 – 1 = 2), а решенията на тези примери се четат по двойки по всички възможни начини:

2 + 1 = 3 3 – 1 = 2

а) добавете 1 към 2 - получавате 3; а) извадете 1 от 3 - получавате 2;

б) увеличете 2 с 1 - получавате 3; б) намалете 3 с 1 - получавате 2;

в) 3 е повече от 2 по 1; в) 2 е по-малко от 3 по 1;

г) 2 да 1 ще бъде 3; г) 3 без 1 ще бъде 2;

д) съберете числото 2 с числото 1 - д) извадете числото 1 от числото 3 -

оказва се 3. оказва се 2.

Учител. Ако 2 се умножи по 1, колко ще бъде?

Студент. Ако увеличите 2 с 1, получавате 3.

Учител. Сега ми кажете какво трябва да се направи с числото 3, за да се получи 2?

Студент. Намалете 3 с 1, за да получите 2.

Нека тук да обърнем внимание на необходимостта в този диалог от методически компетентно осъществяване на операцията на противопоставянето. ,

Увереното овладяване от децата на значението на сдвоените понятия (добавяне - изваждане, увеличаване - намаляване, повече - по-малко, да - без, добавяне - изваждане) се постига чрез използването им в един урок, въз основа на една и съща тройка числа (например 2+1= =3, 3-1=2), въз основа на една демонстрация - сравняване на дължините на две ленти.

Това е фундаменталната разлика между методическата система за консолидиране на единици за асимилация и системата за отделно изучаване на тези основни понятия, при която контрастиращите понятия от математиката се въвеждат, като правило, отделно в речевата практика на учениците.

Учебният опит показва предимствата на едновременното въвеждане на двойки взаимно противоположни понятия, като се започне от първите уроци по аритметика.

Така, например, едновременното използване на три глагола: „добавяне“ (добавяне на 1 към 2), „добавяне“ (събиране на числото 2 с числото 1), „увеличаване“ (2 увеличаване на 1), които са изобразени символично същото (2+1= 3), помага на децата да научат сходството и близостта на тези думи по значение (подобно разсъждение може да се проведе по отношение на думите „изваждане“, „изваждане“, „намаляване“).

По същия начин същността на разликата в сравнението се научава чрез многократно използване на сравняващи двойки числа от самото начало на обучението, като във всяка част от диалога в урока се използват всички възможни вербални форми на интерпретация на решения пример: „Кое е по-голямо: 2 или 3? Колко повече е 3 от 2? Колко трябва да добавите към 2, за да получите 3? Промяната на граматичните форми и честото използване на въпросителни форми са от голямо значение за усвояване на смисъла на тези понятия.

Дългосрочните тестове показаха предимствата на монографичното изследване на първите десет числа. Всеки следващ номер се подлага на многостранен анализ, като се изброяват всички възможни варианти за формирането му; в рамките на това число се извършват всички възможни действия, повтаря се „цялата налична математика“, използват се всички приемливи граматически форми за изразяване на връзката между числата. Разбира се, с тази система на обучение, във връзка с покриването на следващите числа, се повтарят предварително изучени примери, т.е. разширяването на числовите серии се извършва с постоянно повторение на предварително разгледани комбинации от числа и разновидности на прости проблеми .

2.3 Съвместно изучаване на събиране и изваждане, умножение и деление

В методиката на елементарната математика упражненията върху тези две операции обикновено се разглеждат отделно. Междувременно изглежда, че едновременното изучаване на двойната операция „събиране - разлагане на термини“ е по-предпочитано.

Нека учениците решат проблема със събирането: „Добавете 1 пръчка към три пръчки - получавате 4 пръчки.“ След тази задача веднага трябва да се зададе въпросът: „От какви числа се състои числото 4?“ 4 пръчици се състоят от 3 пръчици (детето брои 3 пръчици) и 1 пръчица (отделя още 1 пръчица).

Първоначалното упражнение може да бъде разлагане на число. Учителят пита: „От какви числа се състои числото 5?“ (Числото 5 се състои от 3 и 2.) И веднага се задава въпрос за същите числа: „Колко ще получите, ако добавите 2 към 3?“ (Добавете 2 към 3 - получавате 5.)

За същата цел е полезно да упражнявате четене на примери в две посоки: 5+2=7. Добавете 2 към 5, получавате 7 (четете отляво надясно). 7 се състои от термини 2 и 5 (четени от дясно на ляво).

Полезно е словесната опозиция да се придружава с такива упражнения върху сметалото в класната стая, които ви позволяват да видите конкретното съдържание на съответните операции. Изчисленията на абакус са незаменими като средство за визуализиране на действия с числа, а размерът на числата в рамките на 10 тук се свързва с дължината на набор от кости, разположени на една жица (тази дължина се възприема визуално от ученика). Невъзможно е да се съгласим с такава „иновация“, когато настоящите учебници и програми напълно са изоставили използването на руски абак в уроците.

И така, при решаването на пример за събиране (5+2=7), ученикът първо преброи 5 камъка на сметалото, след това добави 2 към тях и след това обяви сбора: „Добавете 2 към 5 - получавате 7“ ( името на полученото число 7, ученикът установява чрез преизчисляване на новата съвкупност: „Едно - две - три - четири - пет - шест - седем“).

Студент. Добавете 2 към 5 и ще получите 7.

Учител. Сега покажете от какви членове се състои числото 7.

Ученик (първо разделя две кости вдясно, след това говори). Числото 7 е съставено от 2 и 5.

Когато изпълнявате тези упражнения, препоръчително е да използвате понятията „първи член“ (5), „втори член“ (2) и „сума“ от самото начало.

Предлагат се следните видове задачи: а) сборът от два члена е 7; намерете условията; б) от какви компоненти се състои числото 7?; в) разложи сбора 7 на 2 члена (на 3 члена). и т.н.

Овладяването на такава важна алгебрична концепция като комутативния закон за добавяне изисква различни упражнения, първоначално базирани на практически манипулации с обекти.

Учител. Вземете 3 пръчици в лявата си ръка и 2 в дясната.Колко пръчици има общо?

Студент. Има общо 5 пръчки.

Учител. Как мога да кажа повече за това?

Студент. Добавете 2 пръчки към 3 пръчки - ще има 5 пръчки.

Учител. Съставете този пример от изрязани числа. (Ученикът измисля пример: 3+2=5.)

Учител. Сега разменете клечките: прехвърлете клечките в лявата си ръка в дясната си и прехвърлете клечките от дясната си ръка в лявата. Колко пръчки има в двете ръце сега?

Студент. Общо имаше 5 пръчки в две ръце, а сега отново има 5 пръчки.

Учител. Защо се случи това?

Студент. Защото нищо не заделяхме и клечки не добавяхме, колкото имаше, толкова оставаше.

Учител. Съставете решени примери от изрязаните числа.

Ученик (заделя: 3+2=5, 2+3=5). Тук беше числото 3, а сега числото 2. И тук беше числото 2, а сега числото 3.

Учител. Разменихме числата 2 и 3, но резултатът остана същият:

5. (Примерът е направен от разделени числа: 3+2=2+3.)

Комутативният закон също се изучава в упражнения за разлагане на число на членове.

Кога да се въведе комутативният закон за събиране?

Основната цел на преподаването на събиране - още в рамките на първата десетка - е постоянно да се подчертава ролята на комутативния закон в упражненията.

Нека децата първо да преброят 6 пръчици; след това добавяме към тях три пръчки и чрез преизчисляване („седем - осем - девет“) установяваме сумата: 6 да 3 - ще бъде 9. Необходимо е незабавно да предложим нов пример: 3 + 6; новото количество първоначално може да се установи отново чрез преизчисляване (т.е. по най-примитивен начин), но постепенно и целенасочено трябва да се формулира метод на решение в по-висок код, т.е. логически, без преизчисляване.

Ако 6 и 3 ще бъдат 9 (отговорът се установява чрез преизчисляване), тогава 3 и 6 (без преизчисляване!) също ще бъдат 9!

Накратко, комутативното свойство на събирането трябва да се въведе от самото начало на упражненията за добавяне на различни членове, така че съставянето (произнасянето) на решения на четири примера да стане навик:

6 + 3 = 9, 9 - 3 = 6, 3 + 6 = 9, 9 – 6 = 3.

Съставянето на четири примера е средство за разширяване на знанията, достъпни за децата.

Виждаме, че такава важна характеристика на операцията на добавяне като нейната комутируемост не трябва да се появява спорадично, а трябва да се превърне в основното логическо средство за укрепване на правилните числови асоциации. Основното свойство на добавянето - комутативността на членовете - трябва постоянно да се разглежда във връзка с натрупването на нови таблични резултати в паметта.

Виждаме: връзката на по-сложни изчислителни или логически операции се основава на подобна връзка по двойки (близост) на елементарни операции, чрез които се извършва двойка „сложни“ операции. С други думи, явното противопоставяне на сложни понятия се основава на имплицитното (подсъзнателно) противопоставяне на по-прости понятия.

Препоръчително е първоначалното изучаване на умножение и деление да се извърши в следната последователност от три цикъла задачи (по три задачи във всеки цикъл):

I цикъл: а, б) умножение с постоянно множимо и деление по съдържание (заедно); в) разделяне на равни части.

Цикъл II: а, б) намаляване и увеличаване на броя няколко пъти (заедно); в) множествено сравнение.

III цикъл: а, б) намиране на една част от число и число по големината на една от частите му (заедно); в) решаване на проблема: „Каква част е едно число от друго?“

Методическата система за изучаване на тези проблеми е подобна на описаната по-горе за прости задачи от първия етап (събиране и изваждане).

Едновременно изучаване на умножение и деление по съдържание. В два или три урока (не повече!), посветени на умножението, се изяснява значението на понятието умножение като свито събиране на равни членове (действието деление все още не се обсъжда в тези уроци). Това време е достатъчно за изучаване на таблицата за умножение на числото 2 с едноцифрени числа.

Обикновено на учениците се показва запис на заместване на събирането с умножение: 2+2+2+2=8; 2*4=8. Тук връзката между събиране и умножение върви в посока събиране-умножение. Уместно е незабавно да предложите на учениците упражнение, предназначено да създаде обратна връзка от формата „умножение-събиране“ (равни членове): гледайки този запис, ученикът трябва да разбере, че числото 2 трябва да се повтаря като член толкова пъти, колкото множител в примера показва (2*4= 8).

Комбинацията от двата вида упражнения е едно от важните условия, което осигурява съзнателното усвояване на понятието „умножение“, което означава свито добавяне.

В трети урок (или четвърти, в зависимост от класа) за всеки от познатите случаи на умножение е даден съответен случай на деление. В бъдеще е полезно умножението и делението да се разглеждат само заедно в едни и същи уроци.

При въвеждането на понятието деление е необходимо да се припомнят съответните случаи на умножение, за да се започне от тях, за да се създаде понятието ново действие, обратно на умножението.

Следователно понятието „умножение“ придобива богато съдържание: то е не само резултат от добавянето на равни членове („обобщаване на събирането“), но и основата, началният момент на разделянето, което от своя страна представлява „свито изваждане“, заместващо последователното „изваждане с 2“:

Смисълът на умножението се разбира не толкова чрез самото умножение, а чрез постоянните преходи между умножение и деление, тъй като делението е завоалирано, „модифицирано“ умножение. Това обяснява защо е полезно впоследствие винаги да изучавате умножение и деление едновременно (както таблично, така и извънтаблично; както устно, така и писмено).

Първите уроци по едновременното изучаване на умножение и деление трябва да бъдат посветени на педантичната обработка на самите логически операции, подкрепени по всякакъв възможен начин от обширни практически дейности за събиране и разпределяне на различни предмети (кубчета, гъби, пръчици и др.), но последователността от подробни действия трябва да остане същата.

Резултатът от тази работа ще бъдат таблиците за умножение и деление, написани една до друга:

2*2=4, 4:2=2,

2*3=6, 6: 2=3,

2*4=8, 8: 2=4,

2*5 = 10, 10: 2 = 5 и т.н.

Така таблицата за умножение се изгражда с помощта на постоянен умножител, а таблицата за деление се изгражда с постоянен делител.

Също така е полезно да предложите на учениците, съчетани с тази задача, структурно противоположно упражнение за преход от деление към изваждане на равни изваждаеми.

В упражненията за повторение е полезно да се предлагат задачи от този тип: 14:2==.

Изучаване на разделяне на равни части. След като умножаването на числото 2 и деленето на 2 са били изучени или повторени заедно, в един от уроците се въвежда понятието „деление на равни части“ (третият тип задачи от първия цикъл).

Помислете за проблема: „Четирима ученици донесоха 2 тетрадки. Колко тетрадки донесе?"

Учителят обяснява: вземете 2 4 пъти - получавате 8. (Появява се записът: 2 * 4 = 8.) Кой ще напише обратната задача?

И обобщение на опита на учителите при провеждане на уроци по математика по тази тема. Курсовата работа се състои от въведение, две глави, заключение и списък с литература. Глава I. Методически характеристики на изучаването на областта на геометричните фигури и нейните мерни единици в уроците по математика в началното училище 1.1 Свързани с възрастта особености на развитието на по-младите ученици на етапа на формиране на геометрични понятия...

Все още не осветлява проблемите. Тъй като въпросът за методите на обучение за трансформиране на задачи е засегнат в най-малка степен, ще продължим да го изучаваме. Глава II. Методика за обучение по трансформация на проблеми. 2.1. Трансформационни задачи в часовете по математика в началното училище. Тъй като има много малко специализирана литература относно преобразуването на задачи, решихме да проведем анкета сред учителите...

Когато изучавате нов материал, се препоръчва да структурирате урока по такъв начин, че работата да започне с различни демонстрации, провеждани от учителя или ученика. Използването на визуални средства в уроците по математика при изучаване на геометричен материал позволява на децата твърдо и съзнателно да овладеят всички програмни въпроси. Езикът на математиката е език на символи, условни знаци, рисунки, геометрични...