Peamine maatriks. Maatriksi kontseptsioon

Punktid ruumis, toode Rv annab teise vektori, mis määrab punkti asukoha pärast pööramist. Kui v on reavektor, saab sama teisenduse saada kasutades vR T, kus R T - üle võetud R maatriks.

Entsüklopeediline YouTube

1 / 5

C# – konsool – olümpiaad – ruutspiraal

Maatriks: määratlus ja põhimõisted

Kust saada jõudu ja inspiratsiooni 4-ruudulise maatriksi laadimine

Maatriksite summa ja vahe, maatriksi korrutamine arvuga

Transponeeritud maatriks / Transponeeritud maatriks

Subtiitrid

Peadiagonaal

Elemendid a ii (i = 1, ..., n) moodustavad ruutmaatriksi põhidiagonaali. Need elemendid asuvad kujuteldaval sirgel, mis kulgeb maatriksi vasakust ülanurgast alumisse paremasse nurka. Näiteks joonisel oleva 4x4 maatriksi põhidiagonaal sisaldab elemente a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10.

Ruutmaatriksi diagonaali, mis läbib alumist vasakut ja ülemist paremat nurka, nimetatakse pool.

Eritüübid

Diagonaal- ja kolmnurkmaatriksid

Kui kõik põhidiagonaalist välja jäävad elemendid on nullid, A nimetatakse diagonaaliks. Kui kõik põhidiagonaali kohal (all) olevad elemendid on nullid, A nimetatakse alumiseks (ülemiseks) kolmnurkmaatriksiks.

Identiteedi maatriks

aktsepteerib ainult positiivsed väärtused(vastavalt, negatiivsed väärtused või mõlemad). Kui ruutvorm võtab ainult mittenegatiivseid (vastavalt ainult mittepositiivseid) väärtusi, sümmeetrilist maatriksit nimetatakse positiivselt pooldefiniitseks (vastavalt negatiivseks pooldefiniitseks). Maatriks on määramatu, kui see ei ole positiivne ega negatiivne poolmääratletud.

Sümmeetriline maatriks on positiivne siis ja ainult siis, kui kogu tema omaväärtused on positiivsed. Parempoolses tabelis on kaks võimalikku juhtumit 2x2 maatriksite jaoks.

Kui kasutame kahte erinevat vektorit, saame bilineaarse vormi, mis on seotud A:

Ortogonaalne maatriks

Ortogonaalne maatriks on reaalelementidega ruutmaatriks, mille veerud ja read on ortogonaalsed ühikvektorid (st ortonormaalsed). Ortogonaalmaatriksi saate määratleda ka maatriksina, mille pöördväärtus on võrdne selle transponeerimisega:

kust see tuleb

Ortogonaalne maatriks A alati pöörduv ( A −1 = A T), ühtne ( A −1 = A*) ja tavaline ( A*A = A.A.*). Iga ortonormaalse maatriksi determinant on kas +1 või –1. Lineaarse kaardistusena on iga determinandiga +1 ortonormaalne maatriks lihtne pöörlemine, samas kui iga determinandiga −1 ortonormaalne maatriks on kas lihtne peegeldus või peegelduse ja pöörlemise kompositsioon.

Operatsioonid

Rada

Determinant det( A) või | A| ruutmaatriks A on arv, mis määrab maatriksi mõned omadused. Maatriks on pööratav siis ja ainult siis, kui selle determinant on nullist erinev.

Maatriks suurus m ? n on ristkülikukujuline arvude tabel, mis sisaldab m rida ja n veergu. Maatriksi moodustavaid numbreid nimetatakse elemendid maatriksid.

Maatriksid on tähistatud suurtähtedega Ladina tähestik (A, B, C...) ja maatriksielementide tähistamiseks kasutatakse topeltindekseerimisega väiketähti:

Kus i- rea number, j- veeru number.

Näiteks maatriks

Või lühendatult A=(); i=1,2…, m; j = 1,2, …, n.

Kasutatakse ka muid maatriksmärke, näiteks: , ? ?.

Kaks maatriksit A Ja IN nimetatakse sama suurusega võrdne, kui need elemendi kaupa kattuvad, s.t. = , kus i= 1, 2, 3, …, m, A j= 1, 2, 3, …, n.

Vaatame peamisi maatriksitüüpe:

1. Olgu m = n, siis maatriks A - ruutmaatriks, mille järjestus on n:

Elemendid moodustavad põhidiagonaali, elemendid sekundaarse diagonaali.

Ruutmaatriksit nimetatakse diagonaal, kui kõik selle elemendid, välja arvatud ehk põhidiagonaali elemendid, on võrdsed nulliga:

Nimetatakse diagonaalseks ja seega ka ruudukujuliseks maatriksiks vallaline, kui kõik põhidiagonaali elemendid on võrdsed 1-ga:

Pange tähele, et identiteedimaatriks on reaalarvude komplekti ühe maatriksi analoog ja rõhutame ka, et identiteedimaatriks on määratletud ainult ruutmaatriksite jaoks.

Siin on identiteedimaatriksite näited:

Ruutmaatriksid

nimetatakse vastavalt ülemiseks ja alumiseks kolmnurkseks.

• 2. Lase m= 1, siis maatriks A- reamaatriks, mis näeb välja selline:
• 3. Lase n=1, siis maatriks A- veeru maatriks, mis näeb välja selline:

4. Nullmaatriks on mn järku maatriks, mille kõik elemendid on võrdsed 0-ga:

Pange tähele, et nullmaatriks võib olla ruutmaatriks, reamaatriks või veerumaatriks. Nullmaatriks on reaalarvude hulga nulli maatriksianaloog.

5. Maatriksit nimetatakse maatriksiks transponeerituks ja seda tähistatakse, kui selle veerud on arvult vastavad maatriksi read.

Näide. Lase

Pange tähele, et kui maatriks A on kord mn, siis on transponeeritud maatriksil järjekord nm.

6. Maatriksit A ​​nimetatakse sümmeetriliseks, kui A =, ja kaldsümmeetriliseks, kui A =.

Näide. Uurige maatriksi sümmeetriat A Ja IN.

seega maatriks A- sümmeetriline, sest A =.

seega maatriks IN- viltu-sümmeetriline, kuna B = -.

Pange tähele, et sümmeetrilised ja kaldsümmeetrilised maatriksid on alati ruudukujulised. Sümmeetrilise maatriksi põhidiagonaalil võivad asuda kõik elemendid ja identsed elemendid peavad paiknema sümmeetriliselt põhidiagonaali suhtes, see tähendab, et kaldsümmeetrilise maatriksi põhidiagonaal sisaldab alati nulle ja sümmeetriliselt põhidiagonaali suhtes.

maatriks-ruudu laplase tühistamine

Maatriksid matemaatikas on üks olulisemaid praktilise tähtsusega objekte. Sageli algab ekskursioon maatriksiteooriasse sõnadega: "Maatriks on ristkülikukujuline tabel ...". Alustame seda ekskursiooni veidi teisest suunast.

Igas suuruses ja mis tahes hulga abonendiandmetega telefoniraamatud pole midagi muud kui maatriksid. Sellised maatriksid näevad välja umbes sellised:

On selge, et me kõik kasutame selliseid maatrikseid peaaegu iga päev. Nendel maatriksitel on erinev arv ridu (need varieeruvad nagu telefonifirma välja antud kataloog, milles võib olla tuhandeid, sadu tuhandeid ja isegi miljoneid ridu ja uus, mille just alustasite Märkmik, milles on vähem kui kümme rida) ja veerge (kataloog ametnikud mingi organisatsioon, kus võivad olla veerud nagu ametikoha ja kontori number ja teie sama aadressiraamat, kus ei pruugi olla andmeid peale nime ja seega on selles ainult kaks veergu - nimi ja telefoninumber).

Kõikvõimalikke maatrikseid saab liita ja korrutada, samuti nendega muid toiminguid teha, aga telefonikatalooge pole vaja liita ja korrutada, sellest pole kasu ja pealegi saab mõistust kasutada.

Kuid paljusid maatrikseid saab ja tuleks liita ja korrutada ning seeläbi lahendada erinevaid pakilisi probleeme. Allpool on selliste maatriksite näited.

Maatriksid, milles veerud näitavad teatud tüüpi toote ühikute tootmist ja read on aastad, mil selle toote tootmine registreeritakse:

Tööstusharu kokkuvõtlike andmete saamiseks saate lisada seda tüüpi maatrikseid, mis võtavad arvesse erinevate ettevõtete sarnaste toodete toodangut.

Või maatriksid, mis koosnevad näiteks ühest veerust, milles read on teatud tüüpi toote keskmised maksumused:

Kaht viimast tüüpi maatriksit saab korrutada ja tulemuseks on reamaatriks, mis sisaldab igat tüüpi toodete maksumust aastate lõikes.

Maatriksid, põhimääratlused

Ristkülikukujuline tabel, mis koosneb sisse paigutatud numbritest m read ja n veerge nimetatakse mn-maatriks (või lihtsalt maatriks ) ja see on kirjutatud järgmiselt:

(1)

Maatriksis (1) nimetatakse numbreid selle elemendid (nagu determinandis, esimene indeks tähistab rea numbrit, teine ​​- veergu, mille ristumiskohas element asub; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Maatriksit nimetatakse ristkülikukujuline , Kui.

Kui m = n, siis nimetatakse maatriksit ruut , ja arv n on selle korras .

Ruutmaatriksi A determinant on determinant, mille elemendid on maatriksi elemendid A. Seda tähistab sümbol | A|.

Ruutmaatriksit nimetatakse pole eriline (või mitte-mandunud , mitteainsuses ), kui selle determinant ei ole null, ja eriline (või degenereerunud , ainsus ), kui selle determinant on null.

Maatriksiid nimetatakse võrdne , kui neil on sama arv ridu ja veerge ning kõik vastavad elemendid sobivad.

Maatriksit nimetatakse null , kui kõik selle elemendid on võrdsed nulliga. Nullmaatriksit tähistame sümboliga 0 või .

Näiteks,

Maatriks-rida (või väiketähtedega ) nimetatakse 1 n-maatriks ja maatriks-veerg (või sammaskujuline ) – m 1-maatriks.

Maatriks A", mis saadakse maatriksist A ridade ja veergude vahetamist selles nimetatakse üle võetud maatriksi suhtes A. Seega on maatriksi (1) jaoks transponeeritud maatriks

Maatriksi ülemineku operatsioon A" maatriksi suhtes üle võetud A, nimetatakse maatrikstranspositsiooniks A. Sest mn-maatriks transponeeritud on nm-maatriks.

Maatriksi suhtes transponeeritud maatriks on A, see on

(A")" = A .

Näide 1. Leia maatriks A", maatriksi suhtes üle võetud

ja selgitada välja, kas algse ja transponeeritud maatriksi determinandid on võrdsed.

Peadiagonaal Ruutmaatriks on selle elemente ühendav kujuteldav joon, mille mõlemad indeksid on samad. Neid elemente nimetatakse diagonaal .

Nimetatakse ruutmaatriks, milles kõik põhidiagonaalist väljapoole jäävad elemendid on võrdsed nulliga diagonaal . Mitte kõik diagonaalmaatriksi diagonaalelemendid pole tingimata nullist erinevad. Nende hulgas võib olla null.

Ruutmaatriksit, mille põhidiagonaalil olevad elemendid on võrdsed nullist erineva arvuga ja kõik ülejäänud on võrdsed nulliga, nimetatakse skalaarmaatriks .

Identiteedi maatriks nimetatakse diagonaalmaatriksiks, mille kõik diagonaalelemendid on võrdsed ühega. Näiteks kolmandat järku identiteedimaatriks on maatriks

Näide 2. Antud maatriksid:

Lahendus. Arvutame nende maatriksite determinandid. Kolmnurga reeglit kasutades leiame

Maatriksdeterminant B arvutame valemi abil

Saame selle kergesti kätte

Seetõttu maatriksid A ja on mitteainsuse (mitte-mandunud, mitteainsuse) ja maatriks B– eriline (mandunud, ainsus).

Mis tahes järku identsusmaatriksi determinant on ilmselgelt võrdne ühega.

Lahendage maatriksiülesanne ise ja seejärel vaadake lahendust

Näide 3. Antud maatriksid

,

,

Määrake, millised neist on mitteainsused (mitte-mandunud, mitteainsused).

Maatriksite rakendamine matemaatilises ja majanduslikus modelleerimises

Konkreetse objekti struktureeritud andmed salvestatakse lihtsalt ja mugavalt maatriksite kujul. Maatriksmudelid luuakse mitte ainult nende struktureeritud andmete salvestamiseks, vaid ka lahendamiseks erinevaid ülesandeid nende lineaaralgebra vahenditega.

Seega on majanduse üldtuntud maatriksmudel sisend-väljundmudel, mille tutvustas Vene päritolu Ameerika majandusteadlane Vassili Leontjev. See mudel põhineb eeldusel, et kogu majanduse tootmissektor jaguneb n puhtad tööstused. Iga tööstus toodab ainult ühte tüüpi tooteid ja erinevad tööstusharud toodavad erinevaid tooteid. Sellisest tööstusharudevahelisest tööjaotusest tulenevalt tekivad tööstusharudevahelised seosed, mille tähendus seisneb selles, et osa iga majandusharu toodangust kantakse tootmisressursina üle teistele majandusharudele.

Toote maht i-ndat majandusharu (mõõdetuna konkreetse mõõtühikuga), mis on toodetud aruandeperioodil, tähistatakse ja seda nimetatakse täistoodanguks i-th tööstusharu. Probleemid saab mugavalt sisestada n-maatriksi komponentrida.

Ühikute arv i-tööstus, mida tuleb kulutada j- tootmisharu oma toodanguühiku tootmiseks on määratud ja seda nimetatakse otseseks kulukoefitsiendiks.

Selliste maatriksitega tehakse erinevaid tehteid: korrutatakse üksteisega, leitakse determinante jne. Maatriks - erijuhtum massiiv: kui massiivil võib olla suvaline arv mõõtmeid, siis maatriksiks nimetatakse ainult kahemõõtmelist massiivi.

Programmeerimisel nimetatakse maatriksit ka kahemõõtmeliseks massiiviks. Kõigil programmi massiividel on nimi, nagu oleks see üks muutuja. Selgitamaks, millist massiivi lahtrit mõeldakse, kasutatakse programmis mainitud lahtri numbrit koos muutujaga. Nii kahemõõtmeline maatriks kui ka n-mõõtmeline massiiv programmis võivad sisaldada mitte ainult numbrilist, vaid ka sümboolset, stringi, Boole'i ​​ja muud teavet, kuid kogu massiivi sees alati sama.

Maatriksid on tähistatud suurtähtedega A:MxN, kus A on maatriksi nimi, M on ridade arv maatriksis ja N on veergude arv. Elemendid on tähistatud vastavate väiketähtedega koos indeksitega, mis näitavad nende numbrit reas ja veerus a (m, n).

Kõige tavalisemad maatriksid on ristkülikukujulised, kuigi kauges minevikus pidasid matemaatikud ka kolmnurkseid. Kui maatriksi ridade ja veergude arv on sama, nimetatakse seda ruuduks. Sel juhul on M=N juba maatriksjärjestuse nimi. Maatriksit, millel on ainult üks rida, nimetatakse reaks. Maatriksit, millel on ainult üks veerg, nimetatakse veergude maatriksiks. Diagonaalmaatriks on ruutmaatriks, milles ainult piki diagonaali asuvad elemendid on nullist erinevad. Kui kõik elemendid on võrdsed ühega, nimetatakse maatriksit identiteediks, kui kõik elemendid on võrdsed nulliga.

Kui vahetate maatriksi ridu ja veerge, siis see transponeeritakse. Kui kõik elemendid asendada keerukate konjugaatidega, muutub see kompleksseks konjugaatiks. Lisaks on ka teist tüüpi maatrikseid, mis on määratud maatriksielementidele kehtestatud tingimustega. Kuid enamik neist tingimustest kehtib ainult ruudukujuliste kohta.

Video teemal

Antud Tööriistakomplekt aitab teil esinemist õppida tehted maatriksitega: maatriksi liitmine (lahutamine), maatriksi transpositsioon, maatriksi korrutamine, leidmine pöördmaatriks. Kogu materjal on esitatud lihtsas ja juurdepääsetavas vormis, tuuakse asjakohaseid näiteid, nii et isegi ettevalmistamata inimene saab õppida maatriksitega toiminguid tegema. Enesekontrolliks ja enesetestimiseks saate tasuta alla laadida maatrikskalkulaatori >>>.

Püüan minimeerida teoreetilisi arvutusi, kohati on võimalikud selgitused “näppude peal” ja mitteteaduslike terminite kasutamine. Soliidse teooria armastajad, palun ärge kritiseerige, meie ülesanne on õppida sooritama tehteid maatriksitega.

SUPER KIIREKS teemal ettevalmistuseks (kes on “tules”) on pdf-i intensiivkursus Maatriks, determinant ja test!

Maatriks on mõne ristkülikukujuline tabel elemendid. Nagu elemendid käsitleme numbreid, see tähendab arvmaatriksiid. Element on termin. Mõiste on soovitatav meeles pidada, see ilmub sageli, pole juhus, et kasutasin selle esiletõstmiseks paksu kirja.

Määramine: maatriksid on tavaliselt tähistatud suurte ladina tähtedega

Näide: Kaaluge kaks-kolm maatriksit:

See maatriks koosneb kuuest elemendid:

Kõik maatriksi sees olevad arvud (elemendid) eksisteerivad iseseisvalt, see tähendab, et lahutamisest pole juttugi:

See on lihtsalt numbrite tabel (komplekt)!

Lepime ka kokku ära korralda ümber numbrid, kui selgitustes ei ole märgitud teisiti. Igal numbril on oma asukoht ja seda ei saa segada!

Kõnealusel maatriksil on kaks rida:

ja kolm veergu:

STANDARD: kui rääkida maatriksi suurustest, siis Esiteks märkige ridade arv ja alles seejärel veergude arv. Oleme just jaotanud kaks-kolm maatriksi.

Kui maatriksi ridade ja veergude arv on sama, kutsutakse maatriksit ruut, Näiteks: – kolm korda kolm maatriksit.

Kui maatriksil on üks veerg või üks rida, siis nimetatakse ka selliseid maatrikseid vektorid.

Tegelikult oleme maatriksi mõistet tundnud juba kooliajast saadik, vaatleme näiteks punkti, mille koordinaadid on “x” ja “y”: . Põhimõtteliselt kirjutatakse punkti koordinaadid ükshaaval maatriksisse. Muide, siin on näide, miks numbrite järjekord on oluline: ja on kaks täielikult erinevad punktid lennuk.

Liigume nüüd edasi õppimise juurde tehted maatriksitega:

1) Esimene tegu. Maatriksist miinuse eemaldamine (miinuse sisestamine maatriksisse).

Tuleme tagasi oma maatriksi juurde . Nagu ilmselt märkasite, on selles maatriksis liiga palju negatiivseid numbreid. See on maatriksiga erinevate toimingute tegemise seisukohalt väga ebamugav, nii palju miinuseid on ebamugav kirjutada ja see näeb disainilt lihtsalt kole välja.

Liigutame miinuse maatriksist väljapoole, muutes maatriksi IGA elemendi märki:

Nulli juures, nagu te aru saate, on null ka Aafrikas null.

Vastupidine näide: . See näeb kole välja.

Sisestame maatriksisse miinuse, muutes maatriksi IGA elemendi märki:

No see tuli palju ilusam. Ja mis kõige tähtsam, maatriksiga on LIHTSAM teha mis tahes toiminguid. Sest on olemas selline matemaatika rahvamärk: kuidas rohkem miinuseid– seda rohkem segadust ja vigu.

2) Teine tegu. Maatriksi korrutamine arvuga.

Näide:

See on lihtne, maatriksi arvuga korrutamiseks on vaja iga maatriksi element, mis on korrutatud etteantud arvuga. Sel juhul - kolm.

Veel üks kasulik näide:

– maatriksi korrutamine murdosaga

Kõigepealt vaatame, mida teha POLE TARVIS:

POLE VAJA murda maatriksisse sisestada, esiteks muudab see maatriksiga edasised toimingud keeruliseks ja teiseks teeb see lahenduse kontrollimise õpetajale keeruliseks (eriti kui; – ülesande lõplik vastus).

Ja eriti, POLE TARVIS jagage maatriksi iga element miinus seitsmega:

Artiklist Mannekeenide matemaatika või kust alustada, me mäletame seda kümnendkohad kõrgemas matemaatikas püütakse neid igal võimalikul viisil vältida.

Ainuke asi on eelistatavalt Mida selles näites teha, on maatriksile miinuse lisamine:

Aga kui ainult KÕIK maatriksi elemendid jagati 7-ga jäljetult, siis oleks võimalik (ja vajalik!) jagada.

Näide:

Sel juhul saate VAJA korrutage kõik maatriksi elemendid arvuga, kuna kõik maatriksi numbrid jaguvad 2-ga jäljetult.

Märkus: kõrgkooli matemaatika teoorias puudub mõiste "jaotus". Selle asemel, et öelda "see jagatud sellega", võite alati öelda "see on korrutatud murdosaga". See tähendab, et jagamine on korrutamise erijuht.

3) Kolmas tegu. Maatriksi transponeerimine.

Maatriksi transponeerimiseks peate kirjutama selle read transponeeritud maatriksi veergudesse.

Näide:

Transponeeri maatriks

Siin on ainult üks rida ja reegli kohaselt tuleb see kirjutada veergu:

– transponeeritud maatriks.

Transponeeritud maatriksit tähistatakse tavaliselt ülaindeksi või algarvuga paremas ülanurgas.

Samm-sammult näide:

Transponeeri maatriks

Kõigepealt kirjutame esimese rea ümber esimesse veergu:

Seejärel kirjutame teise rea ümber teise veergu:

Ja lõpuks kirjutame kolmanda rea ​​ümber kolmandasse veergu:

Valmis. Jämedalt öeldes tähendab transponeerimine maatriksi külili pööramist.

4) Neljas vaatus. Maatriksite summa (vahe)..

Maatriksite summa on lihtne tehe.
KÕIKI MAATRIKSID EI SAA VOLTIDA. Maatriksite liitmise (lahutamise) tegemiseks on vajalik, et need oleksid SAMASUURUSED.

Näiteks kui on antud kaks korda kahe maatriks, siis saab selle lisada ainult kaks korda kahe maatriksiga ja mitte muuga!

Näide:

Lisage maatriksid Ja

Maatriksite lisamiseks tuleb lisada neile vastavad elemendid:

Maatriksite erinevuse jaoks on reegel sarnane, on vaja leida vastavate elementide erinevus.

Näide:

Leidke maatriksi erinevus ,

Kuidas seda näidet lihtsamini lahendada, et mitte segadusse sattuda? Selleks on soovitatav vabaneda tarbetutest miinustest, lisage maatriksile miinus:

Märkus: kõrgkooli matemaatika teoorias pole "lahutamise" mõistet. Selle asemel, et öelda "lahuta see sellest maha", võite alati öelda "lisa see sellele". negatiivne arv" See tähendab, et lahutamine on liitmise erijuht.

5) Viies tegu. Maatrikskorrutis.

Milliseid maatrikseid saab korrutada?

Maatriksi korrutamiseks maatriksiga on see vajalik nii et maatriksi veergude arv on võrdne maatriksi ridade arvuga.

Näide:
Kas maatriksit on võimalik maatriksiga korrutada?

See tähendab, et maatriksandmeid saab korrutada.

Kuid kui maatriksid ümber paigutada, pole sel juhul korrutamine enam võimalik!

Seetõttu pole korrutamine võimalik:

Ei ole nii harvad kohad ülesandeid nipiga, kui õpilasel palutakse korrutada maatrikseid, mille korrutamine on ilmselgelt võimatu.

Tuleb märkida, et mõnel juhul on maatriksite korrutamine võimalik mõlemal viisil.
Näiteks maatriksite puhul on võimalikud nii korrutamine kui ka korrutamine