Kuidas leida kolmnurga pindala, kui siinus on teada. Kolmnurga pindala

Lihtsamalt öeldes on need köögiviljad, mis on keedetud vees vastavalt eriline retsept. Arvestan kahte algkomponenti (juurviljasalat ja vesi) ning lõpptulemuseks - borši. Geomeetriliselt võib seda kujutada ristkülikuna, mille üks külg tähistab salatit ja teine külg vett. Nende kahe külje summa näitab borši. Sellise "borši" ristküliku diagonaal ja pindala on puhtad matemaatilised mõisted ja neid ei kasutata kunagi borši retseptides.

Kuidas muutuvad salat ja vesi matemaatilisest vaatenurgast boršiks? Kuidas saab kahe sirglõigu summast saada trigonomeetria? Selle mõistmiseks vajame lineaarseid nurkfunktsioone.

Matemaatikaõpikutest ei leia midagi lineaarsete nurkfunktsioonide kohta. Kuid ilma nendeta ei saa olla matemaatikat. Matemaatikaseadused, nagu ka loodusseadused, toimivad sõltumata sellest, kas me teame nende olemasolust või mitte.

Lineaarsed nurkfunktsioonid on liitmisseadused. Vaadake, kuidas algebra muutub geomeetriaks ja geomeetria trigonomeetriaks.

Kas on võimalik teha ilma lineaarsete nurkfunktsioonideta? See on võimalik, sest matemaatikud saavad ikkagi ilma nendeta hakkama. Matemaatikute nipp seisneb selles, et nad räägivad meile alati ainult nendest probleemidest, mida nad ise oskavad lahendada, ega räägi kunagi nendest probleemidest, mida nad lahendada ei suuda. Vaata. Kui teame liitmise ja ühe liikme tulemust, kasutame teise liikme leidmiseks lahutamist. Kõik. Me ei tea muid probleeme ja me ei tea, kuidas neid lahendada. Mida peaksime tegema, kui teame ainult liitmise tulemust ja ei tea mõlemat terminit? Sel juhul tuleb liitmise tulemus lineaarsete nurkfunktsioonide abil jagada kaheks liikmeks. Järgmiseks valime ise, milline võib olla üks liige ja lineaarsed nurkfunktsioonid näitavad, milline peaks olema teine liige, et liitmise tulemus oleks täpselt see, mida vajame. Selliseid terminipaare võib olla lõpmatult palju. IN Igapäevane elu Saame suurepäraselt hakkama ilma summat lagundamata; meie jaoks piisab lahutamisest. Aga kui teaduslikud uuringud loodusseaduste järgi võib summa jaotamine selle komponentideks olla väga kasulik.

Veel üks liitmise seadus, millest matemaatikud rääkida ei armasta (teine nende trikk), nõuab, et terminitel oleks samad mõõtühikud. Salati, vee ja borši puhul võivad need olla kaalu-, mahu-, väärtuse- või mõõtühikud.

Joonisel on kujutatud matemaatilise erinevuse kaks taset. Esimene tase on numbrite välja erinevused, mis on näidatud a, b, c. Seda teevad matemaatikud. Teine tasand on erinevused mõõtühikute väljas, mis on näidatud nurksulgudes ja tähistatud tähega U. Seda teevad füüsikud. Me saame aru kolmandast tasemest - kirjeldatavate objektide pindala erinevustest. Erinevatel objektidel võib olla sama arv identseid mõõtühikuid. Kui oluline see on, näeme borši trigonomeetria näitel. Kui lisada erinevate objektide samale mõõtühikute tähistusele alaindeksid, saame täpselt öelda, millised matemaatiline suurus kirjeldab konkreetset objekti ja seda, kuidas see aja jooksul või meie tegevuse tõttu muutub. Kiri W Ma tähistan vett tähega S Ma tähistan salatit kirjaga B- borš. Sellised näevad välja borši lineaarsed nurkfunktsioonid.

Kui võtame osa veest ja osa salatist, saab neist kokku üks ports borši. Siinkohal soovitan teil boršist veidi pausi teha ja meenutada oma kauget lapsepõlve. Mäletate, kuidas meid õpetati jänkusid ja parte kokku panema? Oli vaja leida, kui palju loomi tuleb. Mida meid siis tegema õpetati? Meile õpetati mõõtühikuid arvudest eraldama ja arve liitma. Jah, ühe numbri saab lisada mis tahes teisele numbrile. See on otsene tee moodsa matemaatika autismi juurde – me teeme seda arusaamatult, mis, arusaamatult miks ja väga halvasti mõistame, kuidas see reaalsusega seostub, sest kolme erinevuse taseme tõttu opereerivad matemaatikud ainult ühega. Õigem oleks õppida, kuidas ühelt mõõtühikult teisele liikuda.

Jäneseid, parte ja väikseid loomi saab lugeda tükkideks. Üks ühine mõõtühik erinevate objektide jaoks võimaldab meil need kokku liita. See laste versioonülesandeid. Vaatame sarnast probleemi täiskasvanutele. Mida saate, kui lisate jänesed ja raha? Siin on kaks võimalikku lahendust.

Esimene variant. Määrame jänkude turuväärtuse ja lisame selle olemasolevale rahasummale. Saime oma rikkuse koguväärtuse rahas.

Teine variant. Meil olevate rahatähtede arvule saate lisada jänkude arvu. Vallasvara summa saame kätte tükkidena.

Nagu näete, võimaldab sama liitmisseadus saada erinevaid tulemusi. Kõik sõltub sellest, mida me täpselt teada tahame.

Aga tuleme tagasi oma borši juurde. Nüüd saame näha, mis millal saab erinevad tähendused lineaarsete nurkfunktsioonide nurk.

Nurk on null. Meil on salat, aga vett pole. Me ei saa borši keeta. Ka borši kogus on null. See ei tähenda sugugi, et nullborš võrdub null veega. Nullisalatiga võib olla nullborš (täisnurk).

Minu jaoks isiklikult on see peamine matemaatiline tõend selle kohta, et . Null lisamisel numbrit ei muuda. See juhtub seetõttu, et liitmine iseenesest on võimatu, kui on ainult üks liige ja teine liige puudub. Võite sellesse suhtuda, kuidas soovite, kuid pidage meeles – kõike matemaatilised tehted matemaatikud ise tulid nulliga välja, nii et visake oma loogika minema ja topige rumalalt matemaatikute väljamõeldud definitsioone: "nulliga jagamine on võimatu", "mis tahes arv, mis on korrutatud nulliga, võrdub nulliga", "punkti punktsioonist kaugemale on null" ja muud jama. Piisab, kui meenutada üks kord, et null ei ole arv ja sul ei teki enam kunagi küsimust, kas null on naturaalarv või mitte, sest selline küsimus kaotab igasuguse tähenduse: kuidas saab arvuks pidada midagi, mis pole arv ? See on nagu küsimine, millise värvi alla tuleks nähtamatu värv liigitada. Nulli lisamine numbrile on sama, mis maalida värviga, mida seal pole. Viipasime kuiva pintsliga ja ütlesime kõigile, et "me maalisime". Aga ma kaldun veidi kõrvale.

Nurk on suurem kui null, kuid väiksem kui nelikümmend viis kraadi. Meil on palju salatit, aga vett vähe. Selle tulemusena saame paksu borši.

Nurk on nelikümmend viis kraadi. Vett ja salatit on meil võrdsetes kogustes. See on ideaalne borš (andke andeks, kokad, see on lihtsalt matemaatika).

Nurk on suurem kui nelikümmend viis kraadi, kuid väiksem kui üheksakümmend kraadi. Meil on palju vett ja vähe salatit. Saad vedelat borši.

Täisnurk. Meil on vett. Salatist on jäänud vaid mälestused, kuna jätkame nurga mõõtmist joonelt, mis kunagi salatit tähistas. Me ei saa borši keeta. Borši kogus on null. Sel juhul hoidke kinni ja jooge vett, kuni see on käes)))

Siin. Midagi sellist. Ma võin siin rääkida muid lugusid, mis oleksid siinkohal enam kui kohased.

Kahel sõbral oli osalus ühises äris. Pärast ühe tapmist läks kõik teisele.

Matemaatika tekkimine meie planeedil.

Kõik need lood räägitakse matemaatika keeles, kasutades lineaarseid nurkfunktsioone. Mõni teine kord näitan teile nende funktsioonide tegelikku kohta matemaatika struktuuris. Vahepeal pöördume tagasi borši trigonomeetria juurde ja kaalume projektsioone.

Laupäeval, 26. oktoobril 2019

Vaatasin huvitavat videot Grundy sari Üks miinus üks pluss üks miinus üks – Numberphile. Matemaatikud valetavad. Nad ei teinud oma arutluse käigus võrdõiguslikkuse kontrolli.

See kordab minu mõtteid selle kohta.

Vaatame lähemalt märke, et matemaatikud meid petavad. Argumendi alguses ütlevad matemaatikud, et jada summa SÕLTUB sellest, kas selles on paarisarv elemente või mitte. See on OBJEKTIIVSELT KINNITATUD FAKT. Mis järgmisena juhtub?

Järgmiseks lahutavad matemaatikud jada ühtsusest. Milleni see viib? See toob kaasa jada elementide arvu muutumise – paarisarv muutub paarituks, paaritu arv paarisarvuks. Lisasime ju järjestusse ühe ühega võrdse elemendi. Hoolimata kogu välisest sarnasusest, ei ole teisenduseelne jada võrdne teisendusjärgse jadaga. Isegi kui me räägime lõpmatust jadast, peame meeles pidama, et paaritu arvu elementidega lõpmatu jada ei võrdu paaritu arvu elementidega lõpmatu jadaga.

Pannes kahe erineva elementide arvuga jada vahele võrdusmärgi, väidavad matemaatikud, et jada summa EI SÕLTU jada elementide arvust, mis on vastuolus OBJEKTIIVSELT KINNITATUD FAKTIGA. Edasine arutluskäik lõpmatu jada summa kohta on vale, kuna see põhineb valel võrdusel.

Kui näete, et matemaatikud panevad tõestamise käigus sulgusid, korraldavad ümber matemaatilise avaldise elemente, lisavad või eemaldavad midagi, olge väga ettevaatlik, tõenäoliselt üritavad nad teid petta. Nagu kaardivõlurid, kasutavad matemaatikud erinevaid manipulatsioone väljenditega, et teie tähelepanu hajutada, et teid lõpuks libistada. vale tulemus. Kui te ei saa kaarditrikki korrata ilma petmise saladust teadmata, siis matemaatikas on kõik palju lihtsam: pettuses ei kahtlusta isegi mitte midagi, kuid kõigi manipulatsioonide kordamine matemaatilise avaldisega võimaldab teil teisi veenda pettuse õigsuses. saadud tulemus, täpselt nagu siis, kui nad teid veensid.

Küsimus publikult: kas lõpmatus (kui elementide arv jadas S) on paaris või paaritu? Kuidas saate muuta millegi pariteeti, millel pole pariteeti?

Lõpmatus on matemaatikute jaoks, nagu taevariik preestritele - keegi pole seal kunagi käinud, kuid kõik teavad täpselt, kuidas seal kõik töötab))) Olen nõus, pärast surma on teil täiesti ükskõik, kas elasite paaris või paaritu arvuga päevadest, aga... Kui teie elu algusesse lisada vaid üks päev, saame hoopis teise inimese: tema perekonnanimi, eesnimi ja isanimi on täpselt samad, ainult sünnikuupäev on täiesti erinev - ta oli sündinud üks päev enne sind.

Nüüd asume asja juurde))) Oletame, et paarsusega piiratud jada kaotab selle pariteedi lõpmatusse minnes. Siis peab lõpmatu jada iga lõplik segment kaotama paarsuse. Me ei näe seda. See, et me ei saa kindlalt öelda, kas lõpmatus jadas on paaris või paaritu arv elemente, ei tähenda, et paarsus on kadunud. Pariteedi olemasolu, kui see on olemas, ei saa kaduda jäljetult lõpmatusesse, nagu teravik varrukas. Selle juhtumi jaoks on väga hea analoogia.

Kas olete kunagi kellas istuvalt kägu käest küsinud, mis suunas kella osuti pöörleb? Tema jaoks pöörleb nool vastupidises suunas sellele, mida me nimetame päripäeva. Nii paradoksaalselt kui see ka ei kõla, sõltub pöörlemissuund ainult sellest, kummalt poolt me pöörlemist jälgime. Ja nii, meil on üks ratas, mis pöörleb. Me ei saa öelda, millises suunas pöörlemine toimub, kuna saame seda jälgida nii ühelt poolt kui ka teiselt poolt. Saame vaid tunnistada, et rotatsioon on olemas. Täielik analoogia lõpmatu jada paarsusega S.

Nüüd lisame teise pöörleva ratta, mille pöörlemistasand on paralleelne esimese pöörleva ratta pöörlemistasandiga. Me ei saa veel kindlalt öelda, millises suunas need rattad pöörlevad, kuid me saame kindlalt öelda, kas mõlemad rattad pöörlevad samas või vastassuunas. Kahe lõpmatu jada võrdlemine S Ja 1-S, näitasin matemaatika abil, et neil jadadel on erinevad paarsused ja nende vahele võrdusmärgi panemine on viga. Isiklikult ma usaldan matemaatikat, ma ei usalda matemaatikuid))) Muide, lõpmatute jadade teisenduste geomeetria täielikuks mõistmiseks on vaja seda mõistet tutvustada "samaaegsus". See tuleb joonistada.

Kolmapäeval, 7. augustil 2019

Lõpetades vestluse teemal, peame arvestama lõpmatu hulgaga. Asi on selles, et "lõpmatuse" mõiste mõjutab matemaatikuid nagu boa ahendaja küülikut. Lõpmatuse värisev õudus jätab matemaatikud ilma terve mõistus. Siin on näide:

Algallikas asub. Alfa tähistab reaalarvu. Võrdsusmärk ülaltoodud avaldistes näitab, et kui liita lõpmatusele arv või lõpmatus, ei muutu midagi, tulemuseks on sama lõpmatus. Kui võtame näitena lõpmatu hulga naturaalarvud, siis saab vaadeldavad näited esitada järgmiselt:

Et selgelt tõestada, et neil oli õigus, pakkusid matemaatikud välja palju erinevaid meetodeid. Mina isiklikult vaatan kõiki neid meetodeid kui šamaane, kes tantsivad parmupillidega. Sisuliselt taanduvad kõik sellele, et kas osa tube on asustamata ja sisse kolivad uued külalised või siis osa külastajaid visatakse koridori, et külalistele ruumi teha (väga inimlikult). Esitasin oma vaate sellistele otsustele Blondist rääkiva fantaasialoo vormis. Millel minu arutluskäik põhineb? Lõpmatu arvu külastajate ümberpaigutamine võtab lõpmatult palju aega. Pärast seda, kui oleme esimese toa külalisele vabastanud, kõnnib üks külastajatest alati aegade lõpuni mööda koridori oma toast järgmisse. Muidugi võib ajafaktorit rumalalt ignoreerida, kuid see kuulub kategooriasse "Lollidele pole seadust kirjutatud". Kõik sõltub sellest, mida me teeme: reaalsuse kohandamisest matemaatilised teooriad või vastupidi.

Mis on "lõputu hotell"? Lõpmatu hotell on hotell, kus on alati ükskõik milline kogus vabad istmed, olenemata sellest, kui palju tube on hõivatud. Kui lõputus "külastajate" koridoris on kõik ruumid hõivatud, on veel üks lõputu koridor "külaliste" tubadega. Selliseid koridore saab olema lõpmatult palju. Veelgi enam, "lõpmatul hotellil" on lõpmatu arv korruseid lõpmatul arvul hoonetel lõpmatul arvul planeetidel lõpmatul arvul universumitel, mille on loonud lõpmatu arv jumalaid. Matemaatikud ei suuda distantseeruda banaalsetest igapäevaprobleemidest: alati on ainult üks Jumal-Allah-Buddha, on ainult üks hotell, on ainult üks koridor. Nii püüavad matemaatikud žongleerida hotellitubade seerianumbritega, veendes meid, et on võimalik "võimatut sisse lükata".

Näitan teile oma mõttekäigu loogikat lõpmatu naturaalarvude hulga näitel. Kõigepealt peate vastama väga lihtsale küsimusele: mitu naturaalarvude komplekti on olemas - üks või mitu? Sellele küsimusele pole õiget vastust, kuna me mõtlesime numbrid ise välja; looduses numbreid ei eksisteeri. Jah, loodus oskab suurepäraselt arvutada, kuid selleks kasutab ta muid matemaatilisi tööriistu, mis pole meile tuttavad. Ma räägin teile, mida loodus arvab teine kord. Kuna me leiutasime arvud, siis otsustame ise, kui palju naturaalarvude komplekte on. Vaatleme mõlemat võimalust, nagu päristeadlastele kohane.

Variant üks. "Andke meile" üks naturaalarvude komplekt, mis lebab rahulikult riiulil. Võtame selle komplekti riiulilt. See selleks, muid naturaalarve pole riiulile jäänud ja neid pole kuskilt võtta. Me ei saa seda komplekti lisada, kuna see on meil juba olemas. Mis siis, kui sa tõesti tahad? Pole probleemi. Võime ühe juba võetud komplektist võtta ja riiulisse tagasi viia. Pärast seda saame ühe riiulilt võtta ja lisada sellele, mis meil üle jääb. Selle tulemusena saame jälle lõpmatu hulga naturaalarvusid. Saate kõik meie manipulatsioonid üles kirjutada järgmiselt:

Salvestasin toimingud sisse algebraline süsteem noodikirjas ja hulgateoorias omaks võetud tähistussüsteemis koos hulga elementide üksikasjaliku loeteluga. Alamindeks näitab, et meil on üks ja ainus naturaalarvude komplekt. Selgub, et naturaalarvude hulk jääb muutumatuks vaid siis, kui sellest üks lahutada ja sama ühik juurde liita.

Variant kaks. Meie riiulil on palju erinevaid lõpmatuid naturaalarvude komplekte. Rõhutan – ERINEVAD, hoolimata sellest, et neid praktiliselt ei erista. Võtame ühe neist komplektidest. Seejärel võtame ühe teisest naturaalarvude hulgast ja lisame selle juba võetud hulgale. Saame isegi lisada kaks naturaalarvude komplekti. See on see, mida me saame:

Alamindeksid "üks" ja "kaks" näitavad, et need elemendid kuulusid erinevatesse kogumitesse. Jah, kui lisate ühe lõpmatusse hulka, on tulemuseks samuti lõpmatu hulk, kuid see ei ole sama, mis algne hulk. Kui lisada ühele lõpmatule hulgale veel üks lõpmatu hulk, on tulemuseks uus lõpmatu hulk, mis koosneb kahe esimese hulga elementidest.

Naturaalarvude komplekti kasutatakse loendamisel samamoodi nagu joonlauda mõõtmiseks. Kujutage nüüd ette, et lisasite joonlauale ühe sentimeetri. See on erinev rida, mis ei võrdu esialgsega.

Võite minu arutluskäiguga nõustuda või mitte nõustuda – see on teie enda asi. Aga kui kunagi satute matemaatika ülesandeid, mõelge, kas te järgite matemaatikute põlvkondade tallatud valearutluskäiku. Matemaatika õppimine moodustab ju meis ennekõike stabiilse mõtlemise stereotüübi ja alles seejärel lisab meie vaimseid võimeid (või, vastupidi, jätab meid ilma vabamõtlemisest).

pozg.ru

Pühapäeval, 4. augustil 2019

Lõpetasin ühe artikli järelsõna ja nägin Vikipeedias seda imelist teksti:

Loeme: „... rikas teoreetiline alus Babüloni matemaatika ei olnud terviklik ja taandatud erinevateks tehnikateks, millel puudusid ühine süsteem ja tõendusbaas."

Vau! Kui targad me oleme ja kui hästi oskame näha teiste puudujääke. Kas meil on raske vaadata kaasaegset matemaatikat samas kontekstis? Ülaltoodud teksti veidi parafraseerides sain isiklikult järgmise:

Kaasaegse matemaatika rikkalik teoreetiline alus ei ole olemuselt terviklik ja taandub erinevateks osadeks, millel puudub ühine süsteem ja tõendusbaas.

Ma ei lähe kaugele, et oma sõnu kinnitada – sellel on keel ja tavad, mis erinevad keelest ja sümbolid paljud teised matemaatika harud. Samadel nimedel võib erinevates matemaatikaharudes olla erinev tähendus. Tahan pühendada terve rea publikatsioone kaasaegse matemaatika kõige ilmsematele vigadele. Varsti näeme.

Laupäeval, 3. augustil 2019

Kuidas jagada hulk alamhulkadeks? Selleks peate sisestama uue mõõtühiku, mis on mõnes valitud komplekti elemendis olemas. Vaatame näidet.

Olgu meil palju A koosneb neljast inimesest. See hulk on moodustatud “inimeste” baasil. Tähistame selle hulga elemente tähega A, näitab numbriga alaindeks iga selles komplektis oleva isiku seerianumbrit. Võtame kasutusele uue mõõtühiku "sugu" ja tähistame seda tähega b. Kuna seksuaalsed omadused on omased kõigile inimestele, korrutame komplekti iga elemendi A soo alusel b. Pange tähele, et meie "inimeste" hulgast on nüüdseks saanud "sootunnustega inimeste" kogum. Pärast seda saame seksuaalomadused jagada meesteks bm ja naiste omad bw seksuaalsed omadused. Nüüd saame rakendada matemaatilist filtrit: valime ühe nendest seksuaalomadustest, olenemata sellest, milline neist – mees või naine. Kui inimesel on, siis korrutame selle ühega, kui sellist märki pole, korrutame nulliga. Ja siis kasutame tavalist kooli matemaatika. Vaata, mis juhtus.

Pärast korrutamist, vähendamist ja ümberkorraldamist saime kaks alamhulka: meeste alamhulk Bm ja naiste alamhulk Bw. Matemaatikud arutlevad ligikaudu samal viisil, kui nad rakendavad hulgateooriat praktikas. Kuid nad ei räägi meile üksikasju, vaid annavad meile lõpptulemuse – "palju inimesi koosneb meeste ja naiste alamhulgast." Loomulikult võib teil tekkida küsimus: kui õigesti on matemaatikat ülaltoodud teisendustes rakendatud? Julgen kinnitada, et sisuliselt tehti kõik õigesti, piisab aritmeetika, Boole'i algebra ja teiste matemaatikaharude matemaatilise aluse tundmisest. Mis see on? Mõni teine kord räägin teile sellest.

Superkomplektide puhul saate ühendada kaks komplekti üheks superkomplektiks, valides nende kahe komplekti elementides oleva mõõtühiku.

Nagu näete, muudavad mõõtühikud ja tavaline matemaatika hulgateooriast mineviku jäänuk. Märk sellest, et hulgateooriaga pole kõik korras, on see, et matemaatikud on välja mõelnud oma keele ja tähistuse hulgateooria jaoks. Matemaatikud käitusid nagu kunagi šamaanid. Ainult šamaanid teavad, kuidas oma "teadmisi" "õigesti" rakendada. Nad õpetavad meile seda "teadmist".

Kokkuvõtteks tahan teile näidata, kuidas matemaatikud manipuleerivad
Oletame, et Achilleus jookseb kümme korda kiiremini kui kilpkonn ja on sellest tuhat sammu maas. Aja jooksul, mis kulub Achilleuse läbimiseks, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Kui Achilleus jookseb sada sammu, roomab kilpkonn veel kümme sammu jne. Protsess jätkub lõpmatuseni, Achilleus ei jõua kilpkonnale kunagi järele.

See arutluskäik sai loogiliseks šokiks kõigile järgnevatele põlvkondadele. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Nad kõik pidasid ühel või teisel viisil Zenoni apooriat. Šokk oli nii tugev, et " ...arutelud jätkuvad tänaseni, et jõuda ühisele arvamusele paradokside olemuse üle teadusringkond siiani pole see võimalik olnud... olime kaasatud teema uurimisse matemaatiline analüüs, hulgateooria, uued füüsikalised ja filosoofilised lähenemised; ükski neist ei saanud probleemi üldtunnustatud lahenduseks..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Kõik saavad aru, et neid lollitatakse, aga keegi ei saa aru, milles pettus seisneb.

Matemaatilisest vaatenurgast näitas Zenon oma apooriates selgelt üleminekut kvantiteedilt . See üleminek eeldab rakendust püsivate asemel. Minu arusaamist mööda pole muutuvate mõõtühikute kasutamise matemaatilist aparaati kas veel välja töötatud või pole seda Zenoni apooria puhul rakendatud. Meie tavapärase loogika rakendamine viib meid lõksu. Me rakendame mõtlemise inertsi tõttu vastastikusele väärtusele konstantseid ajaühikuid. Füüsilisest vaatenurgast näeb see välja nagu aeg aeglustub, kuni see täielikult peatub hetkel, mil Achilleus kilpkonnale järele jõuab. Kui aeg peatub, ei suuda Achilleus enam kilpkonnast üle joosta.

Kui pöörame oma tavapärase loogika ümber, loksub kõik paika. Achilleus jookseb ühtlase kiirusega. Tema tee iga järgmine lõik on kümme korda lühem kui eelmine. Sellest tulenevalt on selle ületamiseks kulunud aeg kümme korda väiksem kui eelmisel. Kui rakendame selles olukorras "lõpmatuse" mõistet, siis oleks õige öelda: "Achilleus jõuab kilpkonnale lõpmatult kiiresti järele."

Kuidas seda loogilist lõksu vältida? Jääge konstantsetesse ajaühikutesse ja ärge lülituge vastastikustele ühikutele. Zenoni keeles näeb see välja järgmine:

Aja jooksul, mis kulub Achilleuse tuhande sammu jooksmiseks, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Järgmise esimesega võrdse ajaintervalli jooksul jookseb Achilleus veel tuhat sammu ja kilpkonn roomab sada sammu. Nüüd on Achilleus kilpkonnast kaheksasada sammu ees.

See lähenemine kirjeldab adekvaatselt tegelikkust ilma loogiliste paradoksideta. Kuid see pole probleemi täielik lahendus. Einsteini väide valguse kiiruse vastupandamatusest on väga sarnane Zenoni apooriaga "Achilleus ja kilpkonn". Seda probleemi tuleb veel uurida, ümber mõelda ja lahendada. Ja lahendust ei tohi lõputult otsida suured numbrid, vaid mõõtühikutes.

Veel üks Zenoni huvitav apooria räägib lendavast noolest:

Lendav nool on liikumatu, kuna ta on igal ajahetkel puhkeolekus ja kuna ta on igal ajahetkel puhkab, siis on ta alati puhkeolekus.

Selles apoorias ületatakse loogiline paradoks väga lihtsalt - piisab, kui selgitada, et igal ajahetkel on lendav nool paigal erinevates ruumipunktides, mis tegelikult on liikumine. Siin tuleb märkida veel üks punkt. Ühe maanteel oleva auto foto järgi on võimatu kindlaks teha ei selle liikumise fakti ega kaugust selleni. Et teha kindlaks, kas auto liigub, vajate kahte fotot, mis on tehtud ühest ja samast punktist erinevatel ajahetkedel, kuid te ei saa määrata nende kaugust. Auto kauguse määramiseks vajate kahte fotot, mis on tehtud erinevad punktid ruumi ühel ajahetkel, kuid nende järgi on võimatu kindlaks teha liikumise fakti (loomulikult on arvutusteks siiski vaja lisaandmeid, abiks on trigonomeetria). Erilist tähelepanu tahan juhtida asjaolule, et kaks ajapunkti ja kaks punkti ruumis on erinevad asjad, mida ei tohiks segi ajada, sest need annavad erinevaid võimalusi uurimistöö jaoks.
Näitan teile protsessi näitega. Valime "punase tahke vistrikus" - see on meie "tervik". Samas näeme, et need asjad on vibuga ja on ilma vibuta. Pärast seda valime osa "tervikust" ja moodustame komplekti "vibuga". Nii saavad šamaanid endale toitu, sidudes oma hulgateooria tegelikkusega.

Teeme nüüd väikese triki. Võtame “tahke vibuga vistrikuga” ja kombineerime need “tervikud” värvi järgi, valides punased elemendid. Saime palju "punast". Nüüd viimane küsimus: kas saadud komplektid "kaabuga" ja "punane" on sama komplekt või kaks erinevad komplektid? Ainult šamaanid teavad vastust. Täpsemalt ei tea nad ise midagi, aga nagu nad ütlevad, nii see jääbki.

See lihtne näide näitab, et hulgateooria on tegelikkuses täiesti kasutu. Mis on saladus? Moodustasime komplekti "punane tahke vistriku ja vibuga". Moodustamine toimus neljas erinevas mõõtühikus: värvus (punane), tugevus (solid), karedus (pimply), kaunistus (kaabuga). Ainult mõõtühikute kogum võimaldab meil matemaatika keeles adekvaatselt kirjeldada reaalseid objekte. See näeb välja selline.

Erinevate indeksitega täht "a" tähistab erinevaid mõõtühikuid. Sulgudes on esile tõstetud mõõtühikud, mille järgi “tervik” eelstaadiumis eristatakse. Mõõtühik, mille järgi komplekt moodustatakse, võetakse sulgudest välja. Viimane rida näitab lõpptulemust – komplekti elementi. Nagu näete, kui me kasutame hulga moodustamiseks mõõtühikuid, siis tulemus ei sõltu meie tegevuste järjekorrast. Ja see on matemaatika, mitte šamaanide tantsimine tamburiinidega. Šamaanid võivad "intuitiivselt" jõuda samale tulemusele, väites, et see on "ilmne", sest mõõtühikud ei kuulu nende "teaduslikusse" arsenali.

Mõõtühikuid kasutades on väga lihtne ühte komplekti jagada või mitu komplekti üheks superkomplektiks kombineerida. Vaatame selle protsessi algebrat lähemalt.

Kolmnurga pindala teoreem

1. teoreem

Kolmnurga pindala on võrdne poolega kahe külje ja nende külgede vahelise nurga siinuse korrutisest.

Tõestus.

Olgu meile antud suvaline kolmnurk $ABC$. Tähistame selle kolmnurga külgede pikkusteks $BC=a$, $AC=b$. Tutvustame Descartes'i koordinaatsüsteemi, nii et punkt $C=(0,0)$, punkt $B$ asub paremal poolteljel $Ox$ ja punkt $A$ asub esimeses koordinaatkvadrandis. Joonistame punktist $A$ kõrguse $h$ (joonis 1).

Joonis 1. 1. teoreemi illustratsioon

Kõrgus $h$ on seega võrdne punkti $A$ ordinaadiga

Siinuste teoreem

2. teoreem

Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega.

Tõestus.

Olgu meile antud suvaline kolmnurk $ABC$. Tähistame selle kolmnurga külgede pikkused $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (joonis 2).

Joonis 2.

Tõestame seda

1. teoreemi järgi on meil

Võrdledes need paarikaupa, saame selle

Koosinusteoreem

3. teoreem

Kolmnurga külje ruut on võrdne kolmnurga kahe teise külje ruutude summaga, ilma nende külgede kahekordse korrutuseta nende külgede vahelise nurga koosinusega.

Tõestus.

Olgu meile antud suvaline kolmnurk $ABC$. Tähistame selle külgede pikkused $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Tutvustame Descartes'i koordinaatsüsteemi, nii et punkt $A=(0,0)$, punkt $B$ asub positiivsel poolteljel $Ox$ ja punkt $C$ asub esimeses koordinaatkvadrandis (joonis 1). 3).

Joonis 3.

Tõestame seda

Selles koordinaatsüsteemis saame selle

Leidke punktidevahelise kauguse valemi abil külje $BC$ pikkus

Näide probleemist nende teoreemide kasutamisel

Näide 1

Tõesta, et suvalise kolmnurga piiritletud ringi läbimõõt on võrdne kolmnurga mis tahes külje ja selle külje vastasnurga siinuse suhtega.

Lahendus.

Olgu meile antud suvaline kolmnurk $ABC$. $R$ on piiritletud ringi raadius. Joonistame läbimõõdu $BD$ (joonis 4).

Saab leida, teades alust ja kõrgust. Diagrammi kogu lihtsus seisneb selles, et kõrgus jagab aluse a kaheks osaks a 1 ja a 2 ning kolmnurga enda kaheks täisnurkseks kolmnurgaks, mille pindala on ja. Siis on kogu kolmnurga pindala kahe näidatud pindala summa ja kui me võtame sulust ühe sekundi kõrgusest välja, siis summana saame aluse tagasi:

Keerulisem arvutusmeetod on Heroni valem, mille jaoks peate teadma kõiki kolme poolt. Selle valemi jaoks peate esmalt arvutama kolmnurga poolperimeetri: Heroni valem ise eeldab poolperimeetri ruutjuurt, mis korrutatakse omakorda selle erinevusega mõlemal küljel.

Järgmine meetod, mis on asjakohane ka iga kolmnurga jaoks, võimaldab teil leida kolmnurga pindala läbi kahe külje ja nendevahelise nurga. Selle tõestuseks on valem kõrgusega - me tõmbame kõrguse ükskõik millisele teadaolevale küljele ja läbi nurga α siinuse saame, et h=a⋅sinα. Pindala arvutamiseks korrutage pool kõrgusest teise küljega.

Teine võimalus on leida kolmnurga pindala, teades 2 nurka ja nende vahelist külge. Selle valemi tõestus on üsna lihtne ja on diagrammil selgelt näha.

Alandame kõrguse kolmanda nurga tipust teadaolevale küljele ja kutsume saadud lõigud vastavalt x. Alates täisnurksed kolmnurgad on selge, et esimene segment x võrdub korrutisega

Kolmnurga pindala on võrdne poolega selle külgede ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest.

Tõestus:

Vaatleme suvalist kolmnurka ABC. Olgu külg BC = a, külg CA = b ja S selle kolmnurga pindala. Seda on vaja tõestada S = (1/2)*a*b*sin(C).

Alustuseks võtame kasutusele ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi ja asetame koordinaatide alguspunkti punkti C. Positsioneerime oma koordinaatide süsteemi nii, et punkt B asub Cx-telje positiivsel suunal ja punktil A on positiivne ordinaat.

Kui kõik on õigesti tehtud, peaksite saama järgmise joonise.

Antud kolmnurga pindala saab arvutada järgmise valemi abil: S = (1/2)*a*h, kus h on kolmnurga kõrgus. Meie puhul on kolmnurga h kõrgus võrdne punkti A ordinaadiga, st h = b*sin(C).

Saadud tulemusi arvesse võttes saab kolmnurga pindala valemi ümber kirjutada järgmiselt: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

Probleemi lahendamine

Ülesanne 1. Leidke piirkond kolmnurk ABC, kui a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, nurk A = 60 kraadi b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, nurk B = 45 kraadi c) AC = 14 cm, CB = 7 cm, nurk C = 48 kraadi.

Vastavalt ülaltoodud teoreemile on kolmnurga ABC pindala S võrdne:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Teeme arvutused:

a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.

c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.

Arvutame nurga siinuse väärtuse kalkulaatoris või kasutame väärtusi trigonomeetriliste nurkade väärtuste tabelist. Vastus:

a) 12*√6 cm^2.

c) ligikaudu 36,41 cm^2.

Ülesanne 2. Kolmnurga ABC pindala on 60 cm^2. Leidke külg AB, kui AC = 15 cm, nurk A = 30˚.

Olgu S kolmnurga ABC pindala. Kolmnurga pindala teoreemi järgi saame:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).