Parameetriliselt määratletud pinna puutujatasand. Tasapinnaline puutuja pinnaga

Pinna määratletakse punktide kogumina, mille koordinaadid vastavad teatud tüüpi võrrandile:

Kui funktsioon F (x, y, z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)) on mingis punktis pidev ja sellel on pidevad osatuletised, millest vähemalt üks ei kao, siis selle punkti läheduses on võrrandiga (1) antud pind õiget pinda.

Lisaks eelnevale kaudne täpsustamise viis, saab pinda määratleda ilmselgelt, kui ühte muutujatest, näiteks z, saab väljendada teistega:

Rangemalt lihtne pind nimetatakse ühikruudu sisemuse homöomorfse kaardistuse (st üks-ühele ja vastastikku pideva kaardistamise) kujutiseks. Sellele määratlusele võib anda analüütilise väljendi.

Olgu ruut antud tasapinnal ristkülikukujulise koordinaatsüsteemiga u ja v, mille sisepunktide koordinaadid rahuldavad võrratuse 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Näide lihtne pind on poolkera. Kogu sfäär ei ole lihtne pind. See nõuab pinna mõiste edasist üldistamist.

Ruumi alamhulk, mille igal punktil on naabruskond, mis on lihtne pind, kutsus õiget pinda .

Pind diferentsiaalgeomeetrias

Helikoid

Katenoid

Mõõdik ei määra üheselt pinna kuju. Näiteks helikoidi ja katenoidi vastavalt parameetritega mõõdikud langevad kokku, see tähendab, et nende piirkondade vahel on vastavus, mis säilitab kõik pikkused (isomeetria). Nimetatakse omadusi, mis säilivad isomeetriliste teisenduste korral sisemine geomeetria pinnad. Sisegeomeetria ei sõltu pinna asendist ruumis ega muutu ka selle painutamisel ilma pinge ja surveta (näiteks silindri painutamisel koonuseks).

Meetrilised koefitsiendid E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G) määrata mitte ainult kõigi kõverate pikkused, vaid ka üldiselt kõigi pinnasiseste mõõtmiste tulemused (nurgad, pindalad, kumerus jne). Seetõttu viitab kõik, mis sõltub ainult meetrikast, sisemisest geomeetriast.

Tavaline ja tavaline lõik

Normaalvektorid pinnapunktides

Pinna üks peamisi omadusi on selle normaalne- ühikvektor, mis on antud punktis puutujatasandiga risti:

Normaali märk sõltub koordinaatide valikust.

Pinna läbilõige tasapinnaga, mis sisaldab pinnanormaali antud punktis, moodustab teatud kõvera, mida nimetatakse tavaline lõik pinnad. Normaalse lõigu põhinormaal langeb kokku pinnanormaaliga (märgini).

Kui pinnal olev kõver ei ole normaalne lõik, siis moodustab selle põhinormaal pinna normaaliga teatud nurga θ (\displaystyle \theta ). Siis kumerus k (\displaystyle k) kõverusega seotud kõver k n (\displaystyle k_(n)) normaallõik (sama puutujaga) Meunieri valemi järgi:

Tavalise ühiku vektori koordinaadid erinevatel viisidel Pinnaülesanded on toodud tabelis:

Siin D (y , z) D (u , v) = | y u ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z , x) D (u , v) = | z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmaatriks)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ algus(vmaatriks)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

Kõik tuletised võetakse punktis (x 0, y 0, z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).

Kumerus

Erinevate suundade jaoks antud pinnapunktis saadakse normaallõike erinev kumerus, mida nimetatakse normaalne kumerus; sellele omistatakse plussmärk, kui kõvera põhinormaal läheb pinna normaaliga samas suunas, või miinusmärk, kui normaalide suunad on vastupidised.

Üldiselt on pinna igas punktis kaks risti asetsevat suunda e 1 (\displaystyle e_(1)) Ja e 2 (\displaystyle e_(2)), milles normaalne kumerus võtab minimaalselt ja maksimaalne väärtus; neid suundi nimetatakse peamine. Erandiks on juhus, kui normaalkõverus kõikides suundades on sama (näiteks sfääri lähedal või pöördeellipsoidi lõpus), siis on kõik punkti suunad põhisuunad.

Negatiivse (vasakul), nulli (keskel) ja positiivse (paremal) kumerusega pinnad.

Tavalisi kumerusi põhisuundades nimetatakse peamised kumerused; määrame need κ 1 (\displaystyle \kappa _(1)) Ja κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). Suurus:

nimetatakse Gaussi kõveruseks, totaalseks kõveruseks või lihtsalt pinnakõveruseks. Seal on ka termin kõveruse skalaar, mis tähendab kõveruse tensori konvolutsiooni tulemust; sel juhul on kõveruse skalaar kaks korda suurem kui Gaussi kõverus.

Gaussi kõverust saab arvutada meetrika abil ja seetõttu on see pindade sisegeomeetria objekt (pange tähele, et peamised kõverused ei kuulu sisegeomeetria alla). Pinnapunkte saab klassifitseerida kõverusmärgi alusel (vt joonist). Tasapinna kõverus on null. Raadiusega R sfääri kõverus on kõikjal võrdne 1 R 2 (\displaystyle (\frac (1)(R^(2)))). Seal on ka pideva negatiivse kumerusega pind -

Olgu meil pind, mis on määratletud vormi võrrandiga

Tutvustame järgmist määratlust.

Definitsioon 1. Sirget nimetatakse pinna puutujaks mingil hetkel, kui see on nii

puutub mis tahes pinnal asuva ja punkti läbiva kõveraga.

Kuna punkti P läbib lõpmatu arv pinnal asetsevaid erinevaid kõveraid, siis üldiselt on seda punkti läbival pinnal lõpmatu arv puutujaid.

Tutvustame pinna ainsuse ja hariliku punkti mõistet

Kui punktis on kõik kolm tuletist võrdsed nulliga või vähemalt ühte neist tuletistest ei eksisteeri, nimetatakse punkti M pinna ainsuse punktiks. Kui punktis eksisteerivad ja on pidevad kõik kolm tuletist ning vähemalt üks neist erineb nullist, siis nimetatakse punkti M pinna tavaliseks punktiks.

Nüüd saame sõnastada järgmise teoreemi.

Teoreem. Kõik antud pinna (1) puutujad selle harilikus punktis P asuvad samal tasapinnal.

Tõestus. Vaatleme teatud sirget L pinnal (joonis 206), mis läbib pinna antud punkti P. Olgu vaadeldav kõver antud parameetriliste võrranditega

Kõvera puutuja on pinna puutuja. Selle puutuja võrranditel on vorm

Kui avaldised (2) asendada võrrandiga (1), muutub see võrrand t suhtes identiteediks, kuna kõver (2) asub pinnal (1). Eristades seda me saame

Selle vektori projektsioonid sõltuvad - punkti P koordinaatidest; Pange tähele, et kuna punkt P on tavaline, siis need projektsioonid punktis P ei kao korraga ja seetõttu

punkti P läbiva ja pinnal asetseva kõvera puutuja. Selle vektori projektsioonid arvutatakse võrrandite (2) alusel punktile P vastava parameetri t väärtuses.

Arvutame skalaarkorrutis vektorid N ja mis on võrdne samanimeliste projektsioonide korrutistega:

Võrdsuse (3) põhjal on parempoolne avaldis võrdne nulliga, seega

Viimasest võrratusest järeldub, et vektor LG ja kõvera (2) puutuja vektor punktis P on risti. Ülaltoodud arutluskäik kehtib mis tahes kõvera (2) kohta, mis läbib punkti P ja asub pinnal. Järelikult on iga pinna puutuja punktis P risti sama vektoriga N ja seetõttu asuvad kõik need puutujad samal tasapinnal, mis on risti vektoriga LG. Teoreem on tõestatud.

Definitsioon 2. Tasapinda, millel asuvad kõik selle antud punkti P läbiva pinna puutujajooned, nimetatakse pinna puutujatasandiks punktis P (joonis 207).

Pange tähele, et sisse erilised punktid Pinna puutujatasandit ei pruugi olla. Sellistes punktides ei pruugi pinna puutujajooned asuda samal tasapinnal. Näiteks koonilise pinna tipp on singulaarpunkt.

Selles punktis olevad koonilise pinna puutujad ei asu samal tasapinnal (need ise moodustuvad kooniline pind).

Kirjutame tavapunktis pinna (1) puutujatasandi võrrandi. Kuna see tasapind on risti vektoriga (4), on selle võrrandil kuju

Kui pinna võrrand on antud kujul või puutujatasandi võrrand võtab sel juhul kuju

Kommenteeri. Kui paneme valemisse (6), saab see valem kuju

selle parem pool on funktsiooni täielik diferentsiaal. Seega,. Seega on kahe muutuja funktsiooni summaarne diferentsiaal punktis, mis vastab sõltumatute muutujate x ja y juurdekasvule, võrdne pinna puutujatasandi rakenduste vastava juurdekasvuga, mis on selle funktsiooni graafik.

Definitsioon 3. Pinnale puutujatasandiga risti oleva punkti (1) kaudu tõmmatud sirgjoont nimetatakse pinna normaalseks (joonis 207).

Just nimelt sellest, mida pealkirjas näed. Põhimõtteliselt on see "ruumiline analoog" tangensi probleemide leidmine Ja normaalsedühe muutuja funktsiooni graafikule ja seetõttu ei tohiks raskusi tekkida.

Alustame põhiküsimustega: MIS ON puutujatasand ja MIS ON normaalne? Paljud inimesed mõistavad neid mõisteid intuitsiooni tasemel. Kõige lihtne mudel Meenub pall, millel on õhuke lapik papitükk. Papp asub kerale võimalikult lähedal ja puudutab seda ühest punktist. Lisaks on see kokkupuutepunktis kinnitatud otse üles torgava nõelaga.

Teoreetiliselt on puutujatasandil üsna geniaalne definitsioon. Kujutage ette tasuta pinnale ja selle juurde kuuluv punkt. Ilmselgelt käib palju läbi punkti ruumilised jooned, mis kuuluvad sellele pinnale. Kellel millised ühendused on? =) ...isiklikult kujutasin ma ette kaheksajalga. Oletame, et igal sellisel real on ruumiline puutuja punktis .

Definitsioon 1: puutuja tasapind punktis pinnale – see on lennuk, mis sisaldab kõigi antud pinnale kuuluvate ja punkti läbivate kõverate puutujaid.

2. definitsioon: normaalne punktis pinnale – see on otse, mis läbib antud punkti, mis on puutujatasandiga risti.

Lihtne ja elegantne. Muide, et te materjali lihtsusest tüdimusse ei sureks, jagan veidi hiljem teiega üht elegantset saladust, mis võimaldab teil unustada erinevate määratluste KORDA JA KÕIKE toppimise.

Töövalemite ja lahendusalgoritmiga tutvume otse aadressil konkreetne näide. Enamiku probleemide puhul on vaja koostada nii puutujatasandi võrrand kui ka normaalvõrrand:

Näide 1

Lahendus:kui pind on antud võrrandiga (st kaudselt), siis saab punktis antud pinna puutujatasandi võrrandi leida järgmise valemi abil:

Pööran erilist tähelepanu ebatavalistele osatuletistele – nendele ei tohiks segi ajada Koos kaudselt määratletud funktsiooni osatuletised (kuigi pind on kaudselt täpsustatud). Nende tuletiste leidmisel tuleb juhinduda kolme muutuja funktsiooni eristamise reeglid, see tähendab, et mis tahes muutuja suhtes eristamisel peetakse ülejäänud kahte tähte konstantideks:

Kassa juurest lahkumata leiame osatuletise punktist:

Samamoodi:

See oli otsuse kõige ebameeldivam hetk, kus viga ilmneb, kui mitte lubatud, siis pidevalt. Siiski on tõhus tehnika kontrollige, millest ma tunnis rääkisin Suunatuletis ja gradient.

Kõik "koostisosad" on leitud ja nüüd tuleb hoolikalt asendada täiendavate lihtsustustega:

– üldvõrrand soovitud puutuja tasapind.

Soovitan tungivalt kontrollida ka seda lahendusetappi. Kõigepealt peate veenduma, et puutepunkti koordinaadid vastavad leitud võrrandile:

- tõeline võrdsus.

Nüüd "eemaldame" koefitsiendid üldvõrrand tasapinnad ja kontrollige nende kokkulangevust või proportsionaalsust vastavate väärtustega. Sel juhul on need proportsionaalsed. Nagu mäletate analüütilise geomeetria kursus, - See normaalvektor puutuja tasapind, ja ta on ka juhtvektor tavaline sirgjoon. Koostame kanoonilised võrrandid normaalväärtused punkti- ja suunavektori järgi:

Põhimõtteliselt saab nimetajaid kahe võrra vähendada, kuid selleks pole erilist vajadust

Vastus:

Ei ole keelatud võrrandite tähistamine mõne tähega, aga jällegi, miks? Siin on juba väga selge, mis on mis.

Järgmised kaks näidet on mõeldud sõltumatu otsus. Väike "matemaatiline keeleväänaja":

Näide 2

Leidke punktis oleva pinna puutujatasandi võrrandid ja normaal.

Ja tehnilisest küljest huvitav ülesanne:

Näide 3

Kirjutage võrrandid punktis oleva pinna puutujatasandi ja normaalse kohta

Punktis.

On kõik võimalused mitte ainult segadusse sattuda, vaid ka salvestamisel raskustesse sattuda sirge kanoonilised võrrandid. Ja nagu te ilmselt aru saate, kirjutatakse tavalised võrrandid tavaliselt sellisel kujul. Kuigi mõne nüansi unustamise või teadmatuse tõttu on parameetriline vorm enam kui vastuvõetav.

Ligikaudsed näited lahenduste lõplikust teostamisest tunni lõpus.

Kas pinna mis tahes punktis on puutujatasapind? Üldiselt muidugi mitte. Klassikaline näide on kooniline pind ja punkt - puutujad selles punktis moodustavad otseselt koonilise pinna ja loomulikult ei asu samal tasapinnal. Analüütiliselt on lihtne kontrollida, kas midagi on valesti: .

Teine probleemide allikas on tõsiasi olematus mis tahes osatuletis punktis. See aga ei tähenda, et antud punktis poleks ühtki puutujat.

Kuid see oli pigem populaarteaduslik kui praktiliselt oluline teave ja me pöördume tagasi pakiliste küsimuste juurde:

Kuidas kirjutada võrrandid puutujatasandi ja normaalpunkti jaoks,
kui pind on määratud eksplitsiitse funktsiooniga?

Kirjutame selle kaudselt ümber:

Ja samu põhimõtteid kasutades leiame osatuletised:

Seega teisendatakse puutujatasandi valem järgmiseks võrrandiks:

Ja vastavalt kanoonilised normaalvõrrandid:

Nagu arvata võis, - need on juba "päris" kahe muutuja funktsiooni osatuletised punktis, mida me varem tähistasime tähega “z” ja leidsime 100500 korda.

Pange tähele, et selles artiklis piisab, kui meenutada kõige esimest valemit, millest on vajadusel lihtne tuletada kõik muu (loomulikult omades algtase ettevalmistus). See on lähenemine, mida tuleks õppimisel kasutada täppisteadused, st. minimaalse teabe põhjal peame püüdma "teha" maksimaalselt järeldusi ja tagajärgi. “Kaalutlus” ja olemasolevad teadmised aitavad! See põhimõte on kasulik ka seetõttu, et suure tõenäosusega päästab see sind kriitilises olukorras, kui tead väga vähe.

Töötame välja "muudetud" valemid paari näitega:

Näide 4

Kirjutage võrrandid pinna puutujatasandi ja normaalse kohta punktis .

Siin on tähistusega väike ülekate - nüüd tähistab täht punkti lennukis, aga mis teha - nii populaarne täht...

Lahendus: koostame soovitud puutujatasandi võrrandi valemi abil:

Arvutame funktsiooni väärtuse punktis:

Arvutame I järgu osatuletised sel hetkel:

Seega:

ettevaatlikult, ärge kiirustage:

Kirjutame punktis normaalväärtuse kanoonilised võrrandid:

Vastus:

Ja viimane näide teie enda lahenduse jaoks:

Näide 5

Kirjutage üles võrrandid punktis oleva pinna puutujatasandi ja normaalväärtuse jaoks.

Lõplik – kuna olen praktiliselt kõik tehnilised punktid lahti seletanud ja midagi erilist lisada pole. Isegi selles ülesandes pakutud funktsioonid ise on tuhmid ja monotoonsed - praktikas on peaaegu garanteeritud, et kohtate "polünoomi" ja selles mõttes näeb näide nr 2 eksponendiga välja nagu "must lammas". Muide, palju tõenäolisem on kohata võrrandiga määratletud pinda ja see on veel üks põhjus, miks funktsioon lisati artiklisse numbrina kaks.

Ja lõpuks lubatud saladus: kuidas siis vältida definitsioonide tuupimist? (Ma ei pea muidugi silmas olukorda, kui tudeng enne eksamit palavikuliselt midagi topib)

Mis tahes mõiste/nähtuse/objekti definitsioon annab ennekõike vastuse järgmisele küsimusele: MIS SEE ON? (kes/sellised/sellised/on). Teadlikult vastates see küsimus, peaksite proovima peegeldada märkimisväärne märgid, kindlasti konkreetse mõiste/nähtuse/objekti tuvastamine. Jah, algul osutub see kuidagi keeletuks, ebatäpseks ja üleliigseks (õpetaja küll parandab =)), kuid aja jooksul kujuneb välja päris korralik teaduskõne.

Harjutage näiteks kõige abstraktsematel objektidel, vastake küsimusele: kes on Cheburashka? See pole nii lihtne;-) See on "muinasjutu tegelane suured kõrvad, silmad ja pruun karv"? Kaugel ja väga kaugel määratlusest – iial ei tea, et selliste omadustega tegelasi leidub... Kuid see on määratlusele palju lähemal: “Tšeburaška on kirjanik Eduard Uspenski 1966. aastal välja mõeldud tegelane, kes ... (peamiste loetelu eristavad tunnused)» . Pange tähele, kui hästi see algas

Mingil hetkel ja sellel on pidevad osatuletised, millest vähemalt üks ei kao, siis selle punkti läheduses on võrrandiga (1) määratletud pind õiget pinda.

Lisaks eelnevale kaudne täpsustamise viis pinda saab määratleda ilmselgelt, kui ühte muutujatest, näiteks z, saab väljendada teistega:

On olemas ka parameetriline määramise viis. Sel juhul määratakse pind võrrandisüsteemiga:

Lihtsa pinna kontseptsioon

Täpsemalt, lihtne pind nimetatakse ühikruudu sisemuse homöomorfse kaardistuse (st üks-ühele ja vastastikku pideva kaardistamise) kujutiseks. Sellele määratlusele võib anda analüütilise väljendi.

Olgu ruut antud tasapinnal ristkülikukujulise koordinaatsüsteemiga u ja v, mille sisepunktide koordinaadid rahuldavad võrratuse 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Näide lihtne pind on poolkera. Kogu sfäär ei ole lihtne pind. See nõuab pinna mõiste edasist üldistamist.

Ruumi alamhulk, mille igal punktil on naabruskond, mis on lihtne pind, kutsus õiget pinda .

Pind diferentsiaalgeomeetrias

Helikoid

Katenoid

Mõõdik ei määra üheselt pinna kuju. Näiteks helikoidi ja katenoidi vastavalt parameetritega mõõdik langeb kokku, see tähendab, et nende piirkondade vahel on vastavus, mis säilitab kõik pikkused (isomeetria). Nimetatakse omadusi, mis säilivad isomeetriliste teisenduste korral sisemine geomeetria pinnad. Sisegeomeetria ei sõltu pinna asendist ruumis ega muutu ka selle painutamisel ilma pinge ja surveta (näiteks silindri painutamisel koonuseks).

Meetrilised koefitsiendid määravad mitte ainult kõigi kõverate pikkuste, vaid üldiselt ka kõigi pinnasiseste mõõtmiste tulemused (nurgad, pindalad, kõverus jne). Seetõttu viitab kõik, mis sõltub ainult meetrikast, sisemisest geomeetriast.

Tavaline ja tavaline lõik

Normaalvektorid pinnapunktides

Pinna üks peamisi omadusi on selle normaalne- ühikvektor, mis on antud punktis puutujatasandiga risti:

Normaali märk sõltub koordinaatide valikust.

Pinnalõige normaalset sisaldava tasapinna järgi (antud punktis) moodustab pinnale teatud kõvera, mida nimetatakse tavaline lõik pinnad. Normaalse lõigu põhinormaal langeb kokku pinnanormaaliga (märgini).

Kui pinnal olev kõver ei ole normaallõik, siis moodustab selle põhinormaal pinna normaaliga teatud nurga θ. Siis kumerus k kõverusega seotud kõver k n normaallõik (sama puutujaga) Meunieri valemi järgi:

Tavalise ühikvektori koordinaadid erinevate pinna määratlemise meetodite jaoks on toodud tabelis:

	Tavalised koordinaadid pinnapunktis
kaudne määramine
selge ülesanne
parameetriline spetsifikatsioon

Kumerus

Erinevate suundade jaoks antud pinnapunktis saadakse normaallõike erinev kumerus, mida nimetatakse normaalne kumerus; sellele omistatakse plussmärk, kui kõvera põhinormaal läheb pinna normaaliga samas suunas, või miinusmärk, kui normaalide suunad on vastupidised.

Üldiselt on pinna igas punktis kaks risti asetsevat suunda e 1 ja e 2, kus normaalne kõverus võtab minimaalse ja maksimaalse väärtuse; neid suundi nimetatakse peamine. Erandiks on juhus, kui normaalkõverus kõikides suundades on sama (näiteks sfääri lähedal või pöördeellipsoidi lõpus), siis on kõik punkti suunad põhisuunad.

Negatiivse (vasakul), nulli (keskel) ja positiivse (paremal) kumerusega pinnad.

Tavalisi kumerusi põhisuundades nimetatakse peamised kumerused; tähistame neid κ 1 ja κ 2. Suurus:

helistas Gaussi kõverus, täielik kumerus või lihtsalt kumerus pinnad. Seal on ka termin kõveruse skalaar, mis tähendab kõveruse tensori konvolutsiooni tulemust; sel juhul on kõveruse skalaar kaks korda suurem kui Gaussi kõverus.

Gaussi kõverust saab arvutada meetrika abil ja seetõttu on see pindade sisegeomeetria objekt (pange tähele, et peamised kõverused ei kuulu sisegeomeetria alla). Pinnapunkte saab klassifitseerida kõverusmärgi alusel (vt joonist). Tasapinna kõverus on null. Raadiusega R sfääri kõverus on kõikjal võrdne. Samuti on olemas pideva negatiivse kumerusega pind – pseudosfäär.

Geodeetilised jooned, geodeetiline kõverus

Pinnal olevat kõverat nimetatakse geodeetiline liin või lihtsalt geodeetiline, kui kõigis selle punktides langeb kõvera põhinormaal kokku pinnanormaaliga. Näide: tasapinnal on geodeesia sirgjooned ja sirgjoonte lõigud, sfääril suured ringid ja nende lõigud.

Ekvivalentne definitsioon: geodeetilise sirge korral on selle põhinormaali projektsioon võnketasandile nullvektor. Kui kõver ei ole geodeetiline, on määratud projektsioon nullist erinev; selle pikkust nimetatakse geodeetiline kõverus k g kõver pinnal. On suhe:

Kus k- selle kõvera kõverus, k n- selle normaallõike kõverus sama puutujaga.

Geodeetilised jooned viitavad sisegeomeetriale. Loetleme nende peamised omadused.

• Läbi antud pinnapunkti antud suunas läbib üks ja ainult üks geodeetiline.
• Piisavalt väikesel pinnal saab geodeetiliselt alati ühendada kaks punkti ja pealegi ainult ühe. Selgitus: sfääril on vastaspoolused ühendatud lõpmatu arvu meridiaanidega ja kahte lähedast punkti saab ühendada mitte ainult lõiguga suur ring, aga ka selle täiendusega täisringile, nii et ainulaadsus säiliks vaid väikeses.
• Geodeetiline tee on lühim tee. Täpsemalt: väikesel pinnatükil lühim tee vahel antud punktid asub piki geodeetilist.

Ruut

Pinna teine ​​oluline atribuut on selle ruut, mis arvutatakse järgmise valemiga:

Koordinaatides saame:

	selge ülesanne	parameetriline spetsifikatsioon
ala väljendus