Homogeense lineaarvõrrandisüsteemi üldlahenduse näited. Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemid

Et mõista, mis see on põhimõtteline otsustussüsteem klõpsates saate vaadata sama näite videoõpetust. Liigume nüüd kõigi vajalike tööde tegeliku kirjelduse juurde. See aitab teil selle probleemi olemust üksikasjalikumalt mõista.

Kuidas leida lineaarvõrrandi põhilahenduste süsteem?

Võtame selle süsteemi näitena lineaarvõrrandid:

Leiame sellele lineaarsele võrrandisüsteemile lahenduse. Alustuseks me peate välja kirjutama süsteemi koefitsientide maatriksi.

Teisendame selle maatriksi kolmnurkseks. Esimese rea kirjutame ümber ilma muudatusteta. Ja kõik elemendid, mis on alla $a_(11)$, tuleb nullida. Nulli tegemiseks elemendi $a_(21)$ asemel peate lahutama teisest reast esimese ja kirjutama erinevuse teisele reale. Nulli tegemiseks elemendi $a_(31)$ asemele tuleb lahutada esimene kolmandast realt ja kirjutada erinevus kolmandale reale. Nulli tegemiseks elemendi $a_(41)$ asemele tuleb neljandast realt lahutada esimene korrutatud 2-ga ja kirjutada erinevus neljandale reale. Elemendi $a_(31)$ asemel nulli tegemiseks peate viiendast realt lahutama esimese korrutatud 2-ga ja kirjutama erinevuse viiendale reale.

Esimese ja teise rea kirjutame ümber ilma muudatusteta. Ja kõik elemendid, mis on alla $a_(22)$, tuleb nullida. Nulli tegemiseks elemendi $a_(32)$ asemele tuleb kolmandast realt lahutada teine ​​korrutatud 2-ga ja kirjutada erinevus kolmandale reale. Nulli tegemiseks elemendi $a_(42)$ asemele tuleb neljandast realt lahutada teine ​​korrutatud 2-ga ja kirjutada erinevus neljandale reale. Nulli tegemiseks elemendi $a_(52)$ asemele tuleb viiendast realt lahutada teine ​​korrutatud 3-ga ja kirjutada erinevus viiendale reale.

Me näeme seda kolm viimast rida on samad, nii et kui lahutate neljandast ja viiendast kolmanda, muutuvad need nulliks.

Selle maatriksi järgi kirjutage uus võrrandisüsteem.

Näeme, et meil on ainult kolm lineaarselt sõltumatut võrrandit ja viis tundmatut, seega koosneb põhilahenduste süsteem kahest vektorist. Nii et meie peame nihutama kaks viimast tundmatut paremale.

Nüüd hakkame väljendama neid tundmatuid, mis on vasakul küljel, nende kaudu, mis on paremal pool. Alustame viimasest võrrandist, kõigepealt väljendame $x_3$, seejärel asendame saadud tulemuse teise võrrandiga ja väljendame $x_2$ ning seejärel esimese võrrandiga ja siin väljendame $x_1$. Seega väljendasime kõiki vasakul pool olevaid tundmatuid paremal pool asuvate tundmatute kaudu.

Siis saame $x_4$ ja $x_5$ asemel asendada mis tahes arvud ja leida $x_1$, $x_2$ ja $x_3$. Kõik viis neist numbritest on meie algse võrrandisüsteemi juured. Sellesse kaasatud vektorite leidmiseks FSR peame asendama $x_4$ asemel 1 ja $x_5$ asemel 0, leidma $x_1$, $x_2$ ja $x_3$ ning siis vastupidi $x_4=0$ ja $x_5=1$.

Süsteem m lineaarvõrrandid c n nimetatakse tundmatuteks lineaarne homogeenne süsteem võrrandid, kui kõik vabad liikmed on võrdsed nulliga. Selline süsteem näeb välja selline:

Kus ja ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - antud numbrid; x i- teadmata.

Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteem on alati järjepidev, kuna r(A) = r(). Sellel on alati vähemalt null ( triviaalne) lahus (0; 0; …; 0).

Mõelgem, millistel tingimustel on homogeensetel süsteemidel nullist erinevad lahendused.

1. teoreem. Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemil on nullist erinevad lahendid siis ja ainult siis, kui selle põhimaatriksi järk on r vähem numbrit teadmata n, st. r < n.

□ 1). Olgu lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemil nullist erinev lahend. Kuna auaste ei saa ületada maatriksi suurust, siis ilmselgelt r ≤ n. Lase r = n. Siis üks väiksematest suurustest n n nullist erinev. Seetõttu on vastaval lineaarvõrrandisüsteemil ainulaadne lahendus: . See tähendab, et peale triviaalsete lahenduste pole muid lahendusi. Nii et kui on mittetriviaalne lahendus, See r < n.

2). Lase r < n. Siis on homogeenne süsteem, olles järjepidev, ebakindel. See tähendab, et sellel on lõpmatu arv lahendusi, s.t. on nullist erinevad lahendused. ■

Mõelge homogeensele süsteemile n lineaarvõrrandid c n teadmata:

(2)

2. teoreem. Homogeenne süsteem n lineaarvõrrandid c n Tundmatutel (2) on nullist erinevad lahendid siis ja ainult siis, kui selle determinant on võrdne nulliga: = 0.

□ Kui süsteemil (2) on nullist erinev lahend, siis = 0. Sest kui süsteemis on ainult üks nulllahendus. Kui = 0, siis auaste r süsteemi põhimaatriks on väiksem kui tundmatute arv, s.t. r < n. Ja seetõttu on süsteemil lõpmatu arv lahendusi, s.t. on nullist erinevad lahendused. ■

Tähistame süsteemi (1) lahendust X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n nöörina .

Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi lahendustel on järgmised omadused:

1. Kui rida on lahendus süsteemile (1), siis joon on lahendus süsteemile (1).

2. Kui read Ja - süsteemi (1) lahendused, siis mis tahes väärtuste jaoks Koos 1 ja Koos 2 nende lineaarne kombinatsioon on ka lahendus süsteemile (1).

Nende omaduste kehtivust saab kontrollida, asendades need otse süsteemi võrranditesse.

Sõnastatud omadustest järeldub, et iga lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi lahenduste lineaarne kombinatsioon on ka selle süsteemi lahendus.

Lineaarselt sõltumatute lahenduste süsteem e 1 , e 2 , …, e r helistas fundamentaalne, kui süsteemi (1) iga lahendus on nende lahenduste lineaarne kombinatsioon e 1 , e 2 , …, e r.

3. teoreem. Kui auaste r lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi (1) muutujate koefitsientide maatriksid on väiksemad kui muutujate arv n, siis koosneb mis tahes süsteemi (1) lahenduste põhisüsteem n–r otsuseid.

Sellepärast ühine otsus Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemil (1) on järgmine kuju:

Kus e 1 , e 2 , …, e r– süsteemi (9) mis tahes põhilahenduste süsteem, Koos 1 , Koos 2 , …, koos p- suvalised arvud, R = n–r.

4. teoreem. Süsteemi üldine lahendus m lineaarvõrrandid c n tundmatu võrdub vastava lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi (1) üldlahenduse ja selle süsteemi suvalise konkreetse lahendi (1) summaga.

Näide. Lahendage süsteem

Lahendus. Selle süsteemi jaoks m = n= 3. Determinant

teoreemi 2 järgi on süsteemil ainult triviaalne lahendus: x = y = z = 0.

Näide. 1) Leidke süsteemi üldised ja erilahendused

2) Leidke põhiline lahenduste süsteem.

Lahendus. 1) Selle süsteemi jaoks m = n= 3. Determinant

teoreemi 2 järgi on süsteemil nullist erinevad lahendid.

Kuna süsteemis on ainult üks sõltumatu võrrand

x + y – 4z = 0,

siis sellest me väljendame x =4z- y. Kust saame lõpmatu arvu lahendusi: (4 z- y, y, z) – see on süsteemi üldine lahendus.

Kell z= 1, y= -1, saame ühe kindla lahenduse: (5, -1, 1). Panek z= 3, y= 2, saame teise konkreetse lahendi: (10, 2, 3) jne.

2) Üldlahenduses (4 z- y, y, z) muutujad y Ja z on vabad ja muutuja X- sõltuvad neist. Lahenduste põhisüsteemi leidmiseks määrame vabadele muutujatele väärtused: esiteks y = 1, z= 0, siis y = 0, z= 1. Saame osalahendused (-1, 1, 0), (4, 0, 1), mis moodustavad põhilahenduste süsteemi.

Illustratsioonid:

Riis. 1 Lineaarvõrrandisüsteemide klassifikatsioon

Riis. 2 Lineaarvõrrandisüsteemide uurimine

Esitlused:

· Lahendus SLAE_maatriksi meetod

· SLAE_Crameri meetodi lahendus

· Lahendus SLAE_Gaussi meetod

· Lahenduspaketid matemaatilisi probleeme Mathematica, MathCad: analüütiliste ja numbriliste lahenduste otsimine lineaarvõrrandisüsteemidele

Kontrollküsimused:

1. Defineerige lineaarvõrrand

2. Mis tüüpi süsteem see välja näeb? m lineaarvõrrandid n tundmatu?

3. Mida nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks?

4. Milliseid süsteeme nimetatakse ekvivalentseteks?

5. Millist süsteemi nimetatakse ühildumatuks?

6. Millist süsteemi nimetatakse liigendiks?

7. Millist süsteemi nimetatakse kindlaks?

8. Millist süsteemi nimetatakse määramatuks

9. Loetlege lineaarvõrrandisüsteemide elementaarteisendusi

10. Nimeta maatriksite elementaarteisendused

11. Sõnasta teoreem elementaarteisenduste rakendamisest lineaarvõrrandisüsteemis

12. Milliseid süsteeme saab lahendada maatriksmeetodil?

13. Milliseid süsteeme saab lahendada Crameri meetodiga?

14. Milliseid süsteeme saab lahendada Gaussi meetodil?

15. Loetle 3 võimalikku juhtumit, mis tekivad lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel Gaussi meetodil

16. Kirjeldage maatriksmeetodit lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks

17. Kirjeldage Crameri meetodit lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks

18. Kirjeldage Gaussi meetodit lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks

19. Milliseid süsteeme kasutades saab lahendada pöördmaatriks?

20. Loetle 3 võimalikku juhtumit, mis tekivad lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel Crameri meetodil

Kirjandus:

1. Kõrgmatemaatika majandusteadlastele: õpik ülikoolidele / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: ÜHTSUS, 2005. – 471 lk.

2. Kõrgema matemaatika üldkursus majandusteadlastele: Õpik. / Toim. IN JA. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 lk.

3. Kõrgema matemaatika ülesannete kogumik majandusteadlastele: Õpetus/ Toimetanud V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 lk.

4. Gmurman V. E. Tõenäosusteooria ja magmaatilise statistika probleemide lahendamise juhend. -M.: lõpetanud kool, 2005. – 400 lk.

5. Gmurman. V.E Tõenäosusteooria ja matemaatika statistika. - M.: Kõrgkool, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Koževnikova T.Ya. Kõrgem matemaatika harjutustes ja ülesannetes. 1. osa, 2. – M.: Oonüks 21. sajand: rahu ja haridus, 2005. – 304 lk. 1. osa; – 416 lk. 2. osa.

7. Matemaatika majanduses: Õpik: 2 osas / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Rahandus ja statistika, 2006.

8. Shipatšov V.S. Kõrgmatemaatika: Õpik õpilastele. ülikoolid - M.: Kõrgkool, 2007. - 479 lk.

Seotud Informatsioon.

Nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemi, milles kõik vabad liikmed on võrdsed nulliga homogeenne :

Iga homogeenne süsteem on alati järjepidev, kuna see on alati olnud null (triviaalne ) lahendus. Tekib küsimus, millistel tingimustel saab homogeensel süsteemil mittetriviaalne lahendus.

Teoreem 5.2.Homogeensel süsteemil on mittetriviaalne lahendus siis ja ainult siis, kui aluseks oleva maatriksi auaste on väiksem kui selle tundmatute arv.

Tagajärg. Ruudukujulisel homogeensel süsteemil on mittetriviaalne lahendus siis ja ainult siis, kui süsteemi põhimaatriksi determinant ei ole võrdne nulliga.

Näide 5.6. Määrake parameetri l väärtused, mille juures süsteemil on mittetriviaalsed lahendused, ja leidke need lahendused:

Lahendus. Sellel süsteemil on mittetriviaalne lahendus, kui põhimaatriksi determinant on võrdne nulliga:

Seega on süsteem mittetriviaalne, kui l=3 või l=2. Kui l=3 on süsteemi põhimaatriksi auaste 1. Jättes siis ainult ühe võrrandi ja eeldades, et y=a Ja z=b, saame x=b-a, st.

Kui l=2, on süsteemi põhimaatriksi auaste 2. Seejärel valides aluseks minoorse:

saame lihtsustatud süsteemi

Siit leiame selle x=z/4, y=z/2. Uskudes z=4a, saame

Homogeense süsteemi kõikide lahenduste hulgal on väga oluline lineaarne omadus : kui veerud X 1 ja X 2 - homogeense süsteemi lahendused AX = 0, siis nende mis tahes lineaarne kombinatsioon a X 1 + b X 2 on ka selle süsteemi lahendus. Tõepoolest, alates AX 1 = 0 Ja AX 2 = 0 , See A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Just selle omaduse tõttu, kui lineaarsüsteemil on rohkem kui üks lahend, siis on neid lahendeid lõpmatult palju.

Lineaarselt sõltumatud veerud E 1 , E 2 , Ek, mis on homogeense süsteemi lahendused, nimetatakse põhiline lahenduste süsteem homogeenne lineaarvõrrandisüsteem, kui selle süsteemi üldlahenduse saab kirjutada nende veergude lineaarse kombinatsioonina:

Kui homogeensel süsteemil on n muutujad ja süsteemi põhimaatriksi auaste on võrdne r, See k = n-r.

Näide 5.7. Leidke järgmise lineaarvõrrandisüsteemi põhilahenduste süsteem:

Lahendus. Leiame süsteemi põhimaatriksi auastme:

Seega moodustab selle võrrandisüsteemi lahenduste hulk dimensiooni lineaarse alamruumi n-r= 5 - 2 = 3. Valime aluseks minoorse

.

Seejärel, jättes alles ainult põhivõrrandid (ülejäänud on nende võrrandite lineaarne kombinatsioon) ja põhimuutujad (ülejäänud, nn vabad muutujad, nihutame paremale), saame lihtsustatud võrrandisüsteemi:

Uskudes x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, leiame

, .

Uskudes a= 1, b = c= 0, saame esimese põhilahendi; uskudes b= 1, a = c= 0, saame teise põhilahendi; uskudes c= 1, a = b= 0, saame kolmanda põhilahendi. Selle tulemusena kujuneb tavaline põhilahenduste süsteem

Põhisüsteemi kasutades saab homogeense süsteemi üldlahenduse kirjutada järgmiselt

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

Märgime mõned ebahomogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahenduste omadused AX=B ja nende seos vastava homogeense võrrandisüsteemiga AX = 0.

Ebahomogeense süsteemi üldlahenduson võrdne vastava homogeense süsteemi üldlahenduse AX = 0 ja ebahomogeense süsteemi suvalise erilahenduse summaga. Tõepoolest, las Y 0 on mittehomogeense süsteemi suvaline konkreetne lahendus, s.t. JAH 0 = B, Ja Y- heterogeense süsteemi üldlahendus, s.o. AY=B. Lahutades ühe võrdsuse teisest, saame
A(Y-Y 0) = 0, st. Y-Y 0 on vastava homogeense süsteemi üldlahend AX=0. Seega Y-Y 0 = X, või Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Olgu ebahomogeensel süsteemil vorm AX = B 1 + B 2 . Siis saab sellise süsteemi üldlahenduse kirjutada kujul X = X 1 + X 2 , kus AX 1 = B 1 ja AX 2 = B 2. See omadus väljendab mis tahes universaalset omadust lineaarsed süsteemid(algebraline, diferentsiaal, funktsionaalne jne). Füüsikas nimetatakse seda omadust superpositsiooni põhimõte, elektri- ja raadiotehnika alal - superpositsiooni põhimõte. Näiteks lineaarsete elektriahelate teoorias võib voolu mis tahes ahelas saada järgmiselt algebraline summa voolud, mis on põhjustatud igast energiaallikast eraldi.

Antud maatriksid

Leidke: 1) aA - bB,

Lahendus: 1) Leiame selle järjestikku, kasutades maatriksi arvuga korrutamise ja maatriksite liitmise reegleid.

2. Leidke A*B, kui

Lahendus: Kasutame maatrikskorrutamise reeglit

Vastus:

3. Sest antud maatriks leida moll M 31 ja arvutada determinant.

Lahendus: Minor M 31 on maatriksi determinant, mis saadakse A-st

pärast rea 3 ja veeru 1 läbikriipsutamist. Leiame

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Teisendame maatriksi A ilma determinanti muutmata (teeme reas 1 nullid)

Nüüd arvutame maatriksi A determinandi laiendamise teel piki rida 1

Vastus: M 31 = 0, detA = 0

Lahendage Gaussi meetodil ja Crameri meetodil.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Lahendus: Kontrollime

Võite kasutada Crameri meetodit

Süsteemi lahendus: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Rakendame Gaussi meetodit.

Taandagem süsteemi laiendatud maatriks kolmnurkseks.

Arvutamise hõlbustamiseks vahetame read:

Korrutage 2. rida arvuga (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) ja lisage 3. kohale:

Korrutage esimene rida arvuga (k = -2 / 2 = -1 ) ja lisage teisele:

Nüüd saab algse süsteemi kirjutada järgmiselt:

x 1 = 1 – (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 – (6 x 3)

Alates 2. reast väljendame

Alates 1. reast väljendame

Lahendus on sama.

Vastus: (2; -5; 3)

Leidke süsteemi ja FSRi üldine lahendus

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11 x 1 – 2 x 2 + x 3 – 2 x 4 – 3 x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Lahendus: Rakendame Gaussi meetodit. Taandagem süsteemi laiendatud maatriks kolmnurkseks.

Korrutage 1. rida arvuga (-11). Korrutame 2. rea (13-ga). Lisame 2. rea esimesele:

Korrutage 2. rida arvuga (-5). Korrutame 3. rea (11-ga). Liidame 3. rea teisele:

Korrutage 3. rida arvuga (-7). Korrutame 4. rea (5-ga). Liidame neljanda rea ​​kolmandale:

Teine võrrand on teiste lineaarne kombinatsioon

Leiame maatriksi auaste.

Esiletõstetud alaealisel on kõrgeim järjekord(võimalikest alaealistest) ja on nullist erinev (see võrdub tagurpidi diagonaali elementide korrutisega), seega rang(A) = 2.

See alaealine on elementaarne. See sisaldab tundmatute x 1 , x 2 koefitsiente, mis tähendab, et tundmatud x 1 , x 2 on sõltuvad (põhilised) ja x 3 , x 4 , x 5 on vabad.

Selle maatriksi koefitsientidega süsteem on samaväärne algse süsteemiga ja sellel on vorm:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Kasutades tundmatute kõrvaldamise meetodit, leiame ühine otsus:

x 2 = – 4/3 x 3 – x 4 – 3/2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Leiame fundamentaalse lahenduste süsteemi (FSD), mis koosneb (n-r) lahendustest. Meie puhul n=5, r=2, seega koosneb põhilahenduste süsteem 3 lahendist ja need lahendid peavad olema lineaarselt sõltumatud.

Et read oleksid lineaarselt sõltumatud, on vajalik ja piisav, et reaelementidest koosneva maatriksi aste oleks võrdne ridade arvuga ehk 3-ga.

Piisab, kui anda vabadele tundmatutele x 3 , x 4 , x 5 väärtused 3. järku determinandi ridadelt, mis ei ole null, ja arvutada x 1 , x 2 .

Lihtsaim nullist erinev determinant on identiteedimaatriks.

Aga siit on mugavam kaasa võtta

Leiame üldist lahendust kasutades:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

FSRi I otsus: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II FSR lahus: (0; -6; 0; 6;0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

FSR-i III otsus: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; -9; 0; 0;6)

6. Antud: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Leidke: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

Lahendus: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Vastus: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i

Lineaarsete algebraliste võrrandite homogeensed süsteemid

Osana õppetundidest Gaussi meetod Ja Ühise lahendusega ühildumatud süsteemid/süsteemid kaalusime ebahomogeensed lineaarvõrrandisüsteemid, Kus vaba liige(mis on tavaliselt paremal) vähemalt üks võrranditest erines nullist.
Ja nüüd, pärast head soojendust maatriksi auaste, jätkame tehnika lihvimist elementaarsed teisendused peal homogeenne lineaarvõrrandisüsteem.
Esimeste lõikude põhjal võib materjal tunduda igav ja keskpärane, kuid selline mulje on petlik. Lisaks tehnikate edasiarendamisele on palju uut teavet, seega proovige mitte jätta tähelepanuta käesolevas artiklis toodud näiteid.

Mis on homogeenne lineaarvõrrandisüsteem?

Vastus viitab iseenesest. Lineaarvõrrandisüsteem on homogeenne, kui vaba liige kõik süsteemi võrrand on null. Näiteks:

See on täiesti selge homogeenne süsteem on alati järjepidev st sellel on alati lahendus. Ja esiteks jääb silma nn triviaalne lahendus . Triviaalne, nende jaoks, kes omadussõna tähendusest üldse aru ei saa, tähendab ilma eputamist. Muidugi mitte akadeemiliselt, aga arusaadavalt =) ...Milleks peksa, uurime, kas sellel süsteemil on muid lahendusi:

Näide 1

Lahendus: homogeense süsteemi lahendamiseks on vaja kirjutada süsteemi maatriks ja viia see elementaarteisenduste abil astmelisele kujule. Pange tähele, et siin pole vaja vertikaalset riba ja vabade terminite nulli veergu üles kirjutada - lõppude lõpuks jäävad need nullideks, ükskõik mida te nullidega teete:

(1) Esimene rida liideti teisele reale, korrutatuna -2-ga. Esimene rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -3-ga.

(2) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -1-ga.

Kolmanda rea ​​3-ga jagamisel pole erilist mõtet.

Elementaarteisenduste tulemusena saadakse ekvivalentne homogeenne süsteem , ja kasutades Gaussi meetodi pöördväärtust, on lihtne kontrollida, kas lahendus on kordumatu.

Vastus:

Sõnastame ühe ilmse kriteeriumi: homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil on lihtsalt triviaalne lahendus, Kui süsteemimaatriksi auaste(antud juhul 3) on võrdne muutujate arvuga (antud juhul – 3 tükki).

Soojendame ja häälestame oma raadio elementaarsete teisenduste lainele:

Näide 2

Lahendage homogeenne lineaarvõrrandisüsteem

Artiklist Kuidas leida maatriksi auastet? Tuletagem meelde ratsionaalset tehnikat maatriksiarvude samaaegseks vähendamiseks. Vastasel juhul peate lõikama suuri ja sageli hammustavaid kalu. Ligikaudne näide ülesandest tunni lõpus.

Nullid on head ja mugavad, kuid praktikas on see juhtum palju tavalisem, kui süsteemimaatriksi read lineaarselt sõltuv. Ja siis on üldise lahenduse tekkimine vältimatu:

Näide 3

Lahendage homogeenne lineaarvõrrandisüsteem

Lahendus: kirjutame üles süsteemi maatriksi ja viime elementaarteisenduste abil astmelisele kujule. Esimese toimingu eesmärk on mitte ainult ühe väärtuse saamine, vaid ka esimeses veerus olevate numbrite vähendamine:

(1) Esimesele reale lisati kolmas rida, mis on korrutatud -1-ga. Kolmas rida lisati teisele reale, korrutatuna -2-ga. Vasakpoolses ülanurgas sain “miinusega” ühiku, mis on sageli palju mugavam edasiste teisenduste jaoks.

(2) Kaks esimest rida on samad, üks neist kustutati. Ausalt, ma ei surunud lahendust peale – see osutus nii. Kui teete teisendusi mallipõhiselt, siis lineaarne sõltuvus read oleks selgunud veidi hiljem.

(3) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna 3-ga.

(4) Esimese rea märk muudeti.

Elementaarsete teisenduste tulemusena saadi samaväärne süsteem:

Algoritm töötab täpselt samamoodi nagu selle jaoks heterogeensed süsteemid. Muutujad “istub astmetel” on põhilised, muutuja, mis “sammu” ei saanud, on vaba.

Väljendame põhimuutujaid vaba muutuja kaudu:

Vastus: ühine otsus:

Triviaalne lahendus on lisatud üldine valem, ja seda pole vaja eraldi üles kirjutada.

Kontrollimine toimub samuti tavapärase skeemi järgi: saadud üldlahend tuleb asendada süsteemi iga võrrandi vasakpoolsesse serva ja saada kõigi asenduste jaoks seaduslik null.

Seda oleks võimalik vaikselt ja rahulikult lõpetada, kuid homogeense võrrandisüsteemi lahendus vajab sageli esitamist vektori kujul kasutades põhiline lahenduste süsteem. Palun unusta see praegu analüütiline geomeetria, kuna nüüd räägime vektoritest üldises algebralises tähenduses, mida ma natuke avasin artiklis maatriksi auaste. Terminoloogiat pole vaja varjutada, kõik on üsna lihtne.