Lihtsate lineaarvõrrandite lahendamine. Lihtsate lineaarvõrrandite reaalsete näidete lahendamine

52. Rohkem keerulised näited võrrandid.
Näide 1.

5 / (x - 1) - 3 / (x + 1) \u003d 15 / (x 2 - 1)

Ühine nimetaja on x 2 - 1, kuna x 2 - 1 \u003d (x + 1) (x - 1). Korrutage selle võrrandi mõlemad pooled x 2 - 1-ga. Saame:

või pärast vähendamist

5 (x + 1) - 3 (x - 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

2x=7 ja x=3½

Mõelge veel ühele võrrandile:

5 / (x-1) - 3 / (x + 1) \u003d 4 (x 2 - 1)

Lahendades nagu ülal, saame:

5 (x + 1) - 3 (x - 1) = 4
5x + 5 - 3x - 3 = 4 või 2x = 2 ja x = 1.

Vaatame, kas meie võrdsused on õigustatud, kui asendame x igas vaadeldavas võrrandis leitud arvuga.

Esimese näite puhul saame:

Näeme, et siin pole ruumi kahtlusteks: oleme leidnud x jaoks sellise arvu, et nõutav võrdsus on õigustatud.

Teise näite puhul saame:

5/(1-1) - 3/2 = 15/(1-1) või 5/0 - 3/2 = 15/0

Siin tekivad kahtlused: me kohtume siin nulliga jagamisega, mis on võimatu. Kui edaspidi õnnestub sellele jaotusele anda kindel, ehkki kaudne tähendus, siis võime nõustuda, et leitud lahendus x - 1 rahuldab meie võrrandit. Kuni selle ajani peame tunnistama, et meie võrrandil pole üldse otsest tähendust omavat lahendit.

Sellised juhtumid võivad esineda siis, kui tundmatu sisaldub võrrandi murdude nimetajates ja osa nimetajatest kaob lahenduse leidmisel.

Näide 2 .

Kohe on näha, et sellel võrrandil on proportsiooni kuju: arvu x + 3 ja x - 1 suhe võrdub arvu 2x + 3 ja 2x - 2 suhtega. Seda asjaolu silmas pidades otsustage siinkohal rakendada, et vabastada võrrand proportsiooni põhiomadusest murrud (äärmuslike liikmete korrutis võrdub keskmiste korrutisega). Siis saab ta:

(x + 3) (2x - 2) = (2x + 3) (x - 1)

2x 2 + 6x - 2x - 6 = 2x 2 + 3x - 2x - 3.

Siin võib tekitada kartusi, et me ei tule selle võrrandiga toime, tõsiasi, et võrrand sisaldab termineid x 2 . Samas võime võrrandi mõlemalt poolelt lahutada 2x 2 – see võrrandit ei riku; siis liikmed x 2-ga hävitatakse ja saame:

6x - 2x - 6 = 3x - 2x - 3

Liigutame tundmatud terminid vasakule, teadaolevad paremale – saame:

3x=3 või x=1

Seda võrrandit meenutades

(x + 3)/(x - 1) = (2x + 3)/(2x - 2)

märkame kohe, et leitud väärtus x (x = 1) jaoks kaob iga murdosa nimetajad; me peame sellisest lahendusest loobuma seni, kuni oleme kaalunud nulliga jagamise küsimust.

Kui veel märkida, et proportsiooni omaduse rakendamisel on keerulised asjad ja lihtsama võrrandi saab, kui korrutada mõlemad antud osad ühise nimetajaga, nimelt 2(x - 1), siis 2x - 2 = 2 (x - 1) , siis saame:

2 (x + 3) = 2x - 3 või 2x + 6 = 2x - 3 või 6 = -3,

mis on võimatu.

See asjaolu viitab sellele, et sellel võrrandil pole otsese tähendusega lahendeid, mis ei muudaks selle võrrandi nimetajaid nulliks.
Lahendame nüüd võrrandi:

(3x + 5)/(x - 1) = (2x + 18)/(2x - 2)

Korrutame võrrandi mõlemad osad 2(x - 1), st ühise nimetajaga, saame:

6x + 10 = 2x + 18

Leitud lahendus ei tühista nimetajat ja sellel on otsene tähendus:

või 11 = 11

Kui keegi kasutaks mõlema osa korrutamise asemel 2(x - 1) proportsiooni omadust, saaks ta:

(3x + 5) (2x - 2) = (2x + 18) (x - 1) või
6x 2 + 4x - 10 = 2x 2 + 16x - 18.

Siin juba x 2-ga termineid ei hävitataks. Viides kõik tundmatud terminid vasakule ja teadaolevad paremale, saaksime

4x 2 - 12x = -8

x 2 - 3x = -2

Me ei saa seda võrrandit praegu lahendada. Edaspidi õpime selliseid võrrandeid lahendama ja leiame sellele kaks lahendit: 1) saame võtta x = 2 ja 2) saame võtta x = 1. Mõlemat lahendit on lihtne kontrollida:

1) 2 2 - 3 2 = -2 ja 2) 1 2 - 3 1 = -2

Kui me mäletame algvõrrandit

(3x + 5) / (x - 1) = (2x + 18) / (2x - 2),

näeme, et nüüd saame selle mõlemad lahendid: 1) x = 2 on lahend, millel on otsene tähendus ja mis ei muuda nimetajat nulliks, 2) x = 1 on lahend, mis muudab nimetaja nulliks ja teeb seda ei oma otsest tähendust.

Näide 3.

Leiame selles võrrandis sisalduvate murdude ühisnimetaja, mille jaoks me faktoriseerime kõik nimetajad:

1) x 2 - 5x + 6 \u003d x 2 - 3x - 2x + 6 \u003d x (x - 3) - 2 (x - 3) \u003d (x - 3) (x - 2),

2) x 2 - x - 2 \u003d x 2 - 2x + x - 2 \u003d x (x - 2) + (x - 2) \u003d (x - 2) (x + 1),

3) x 2 - 2x - 3 \u003d x 2 - 3x + x - 3 \u003d x (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x + 1).

Ühine nimetaja on (x - 3) (x - 2) (x + 1).

Korrutage selle võrrandi mõlemad pooled (ja nüüd saame selle ümber kirjutada järgmiselt:

ühisele nimetajale (x - 3) (x - 2) (x + 1). Seejärel saame pärast iga fraktsiooni vähendamist:

3 (x + 1) - 2 (x - 3) = 2 (x - 2) või
3x + 3 - 2x + 6 = 2x - 4.

Siit saame:

–x = –13 ja x = 13.

Sellel lahendusel on otsene tähendus: see ei sea ühtegi nimetajat nulli.

Kui võtaksime võrrandi:

siis, toimides täpselt samamoodi nagu ülal, saaksime

3 (x + 1) - 2 (x - 3) = x - 2

3x + 3 - 2x + 6 = x - 2

3x - 2x - x = -3 - 6 - 2,

kust sa saaksid

mis on võimatu. See asjaolu näitab, et viimasele võrrandile, millel on otsene tähendus, on võimatu leida lahendust.

Kuidas õppida lahendama lihtsaid ja keerulisi võrrandeid

Kallid vanemad!

Ilma põhilise matemaatilise ettevalmistuseta on haridus võimatu kaasaegne inimene. Koolis on matemaatika paljude seotud erialade jaoks abiaine. Koolijärgses elus muutub see tõeliseks vajaduseks täiendõpe, mis eeldab ülekoolilist põhikoolitust, sh matemaatikat.

AT Põhikool Põhiteemadel mitte ainult ei panda teadmisi, vaid need ka arenevad loogiline mõtlemine, kujutlusvõimet ja ruumilisi kujutisi, samuti huvi selle teema vastu.

Järjepidevuse põhimõtet järgides keskendume kõige olulisemale teemale, milleks on "Tegevuskomponentide seos liitvõrrandite lahendamisel".

Kasutades see õppetund saate hõlpsalt õppida keerulisi võrrandeid lahendama. Selles õppetükis saate teada samm-sammult juhised keeruliste võrrandite lahendused.

Paljud vanemad on hämmingus küsimusest – kuidas panna lapsed õppima lahendama lihtsaid ja keerulisi võrrandeid. Kui võrrandid on lihtsad - see on ikkagi pool probleemist, kuid on ka keerulisi - näiteks integraalseid. Muide, teadmiseks on ka selliseid võrrandeid, mille lahendamisega nad vaeva näevad parimad meeled meie planeedist ja mille lahendamise eest antakse välja väga märkimisväärseid rahalisi auhindu. Näiteks kui mäletatePerelmanja mitme miljoni suurune väljanõudmata rahaline boonus.

Tuleme aga tagasi algusesse lihtsate matemaatiliste võrrandite juurde ja kordame üle võrrandite tüübid ja komponentide nimetused. Väike soojendus:

_________________________________________________________________________

ÜLES SOOJENEMA

Leidke igast veerust lisanumber:

2) Mis sõna on igas veerus puudu?

3) Ühendage esimese veeru sõnad 2. veeru sõnadega.

"Võrrand" "Võrdsus"

4) Kuidas seletate, mis on "võrdsus"?

5) Ja "võrrand"? Kas see on võrdsus? Mis on selles erilist?

tähtajaline summa

vähendatud erinevus

subtrahendi toode

faktorvõrdsus

dividend

võrrand

Järeldus: võrrand on võrdsus muutujaga, mille väärtus tuleb leida.

_______________________________________________________________________

Soovitan igal rühmal kirjutada võrrand viltpliiatsiga paberile: (tahvlile)

Üks rühmaliikmetest peaks lugema oma võrrandit matemaatilises keeles ja kommenteerima oma lahendust, st hääldama tehe teadaolevate tegevuskomponentidega (algoritm).

Järeldus: oskame algoritmi järgi lahendada igasuguseid lihtsaid võrrandeid, lugeda ja kirjutada sõnasõnalisi avaldisi.

Teen ettepaneku lahendada probleem, milles ilmnevad uut tüüpi võrrandid.

Järeldus: Tutvusime võrrandite lahendusega, mille ühes osas on arvuline avaldis, mille väärtus tuleb leida ja saada lihtne võrrand.

________________________________________________________________________

Vaatleme võrrandi teist versiooni, mille lahendus on taandatud lihtsate võrrandite ahela lahendamiseks. Siin on üks liitvõrrandite sissejuhatus.

Soovitan kõigil kirjutada matemaatilises keeles lause:

Arvude x ja 4 ning arvu 3 vahe korrutis on 15.

KOKKUVÕTE: probleemne olukord motiveerib tunni eesmärki: õppida lahendama võrrandeid, milles tundmatu komponent on avaldis. Sellised võrrandid on liitvõrrandid.

__________________________________________________________________________

Või äkki aitavad meid juba uuritud võrranditüübid? (algoritmid)

Milline teadaolevatest võrranditest on meie võrrandiga sarnane? X * a = sisse

VÄGA OLULINE KÜSIMUS: Mis on avaldis vasakul küljel – summa, vahe, korrutis või jagatis?

(x - 4) * 3 = 15 (toode)

Miks? (kuna viimane toiming on korrutamine)

Järeldus:Selliseid võrrandeid pole veel arvesse võetud. Aga me saame otsustada, kas väljendx - 4asetage peale kaart (y - y) ja saate võrrandi, mida saab hõlpsasti lahendada tundmatu komponendi leidmise lihtsa algoritmi abil.

Liitvõrrandite lahendamisel on vaja igal sammul valida tegevus automatiseeritud tasemel, kommenteerides, nimetades tegevuse komponente.

(y - 5) * 4 = 28
y - 5 = 28: 4
y - 5 = 7
y = 5 +7
y = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (ja)

Järeldus:Erineva taustaga klassides saab seda tööd erinevalt korraldada. Enam ettevalmistatud tundides saab ka esmaseks fikseerimiseks kasutada väljendeid, milles mitte kaks, vaid kolm või enam tegevust, kuid nende lahendamine eeldab rohkem sammud, mille iga samm lihtsustab võrrandit, kuni saadakse lihtne võrrand. Ja iga kord saate jälgida, kuidas toimingute tundmatu komponent muutub.

_____________________________________________________________________________

KOKKUVÕTE:

Kui tegemist on millegi väga lihtsa, arusaadava asjaga, siis ütleme sageli: "Asi on selge, nagu kaks korda kaks – neli!".

Aga enne kui mõelda sellele, et kaks korda kaks on neli, pidid inimesed õppima palju-palju tuhandeid aastaid.

Vanad kreeklased teadsid paljusid aritmeetika ja geomeetria kooliõpikute reegleid rohkem kui kaks tuhat aastat tagasi.

Kõikjal, kus peate midagi loendama, mõõtma, võrdlema, ei saa te ilma matemaatikata hakkama.

Raske on ette kujutada, kuidas inimesed elaksid, kui nad ei teaks, kuidas lugeda, mõõta, võrrelda. Matemaatika õpetab seda.

Olete täna sukeldunud kooliellu, olnud õpilaste rollis ja soovitan teil, kallid lapsevanemad, oma oskusi skaalal hinnata.

Elus on hetki, mil teie ette ilmub lootusetuna näiv olukord – või probleem, mille iga lahendus tõotab mitte teie kasuks tulla. Ärge kiirustage oma unistuste elluviimisest loobuma, oma eesmärki saavutama ega paanikasse sattuma. Üks vanaaja tark mees ütles: "Valige mõtlemiseks aeg - see on jõu allikas." Noh, temaga on raske mitte nõustuda, sest mõistus - võimas relv. Ka kõige keerulisemal probleemil on kümneid lahendusi ja see jääb silmist välja vaid seetõttu, et inimesed on harjunud mõtlema teatud raamides. Keerulise probleemi lahendamiseks on vaja teadvuse ja alateadvuse tööd koordineerida – see avardab teie "horisonti" ja võimaldab näha uusi võimalusi.

Tehnika "100 ideed"

100 Idee tehnika valdamiseks vajate vaid 1-2 tundi vaba aega, mugavat isiklikku nurgakest, kus keegi teid ei sega, samuti paberit ja pliiatsit. Paluge sugulastel ja sõpradel teid “meditatsiooni” ajal mitte kaasata, lülitage telefon välja ja lihtsalt lõõgastuge. Sõnastage ja kirjutage paberilehe ülaossa oma küsimus või dilemma. Nummerdage loend ühest sajani ja alustage ideede genereerimist.

Algul tulevad ideed üksteise järel, kuigi paraku pole need uued – kirjeldate kõiki oma "trumpe", sealhulgas oskusi, tutvusi, sidemeid, rahalisi ressursse, aega, mille saate probleemi lahendamisele pühendada. Siis tundub ikka uskumatu sada vastust leida ja kui 20-30 punkti juures peatuda, tekib tühi tunne. Teid ootab ees väike tõrge, mis tekib loomulikult siis, kui nõiaringis liikuv teadvus on ammendanud enda käsutuses olevad võimalused ja läbinud kõik, mida ta on isiklikus kogemuses juba kohanud.

Teie alateadvuse teekonna teine ​​faas on veel 40 punkti, kus te kasutate endiselt oma teadvust, kuid oma varjatud jõudärkama ja avama teise tuule. Selles etapis tekib pilt teie mõtlemisest. Märkad, et sinu ideed hakkavad korduma ning neis leidub igasuguseid klišeesid ja hoiakuid. Sinu eesmärk ei ole neid kõrvale heita, vaid need hoolikalt paberile üles kirjutada, ja miks: just need templid on need raamid, millest ei saa kaugemale minna ja ringi vaadata. See võib olla avalik arvamus, rahulolematus võimudega, enesekindluse puudumine ja muud psüühika “murrud”. Samal ajal saate avastada oma varjatud probleemid või hirmud, mis ei lase sul edasi liikuda. See etapp nõuab teilt kõige suuremat vastupidavust - pole ju sugugi lihtne esimesed kolmkümmend selgelt teie mugavustsoonis olevat punkti kõrvale heita ja võtta kasutusele uusi, tundmatuid ja seetõttu mõnikord hirmutavaid ideid - see on normaalne, peamine on mitte alla anda. Lisaks aitab see sisemine võitlus ainult rännaku kolmandasse faasi edasi liikuda.

Just viimased 30 punkti avavad sinu ees Pandora laeka, sest number 100 ei valitud juhuslikult. Just see võimaldab teie intuitsioonil täielikult avaneda ja üllatada end ootamatute "ülevaates" - teie ärkava alateadvuse eksprompt, kust ideed ilmuvad ilma igasuguse mõistuse töötlemise ja filtreerimiseta. Olete oma otsingutes juba hüljanud loogika, märgates, kui kandiline see tegelikult on, ja mõistate, et teie mõtteviis on ainult ühes tasapinnas - ja maailm, selgub, on kolmemõõtmeline (aega mitte arvestada). Nüüd, kui mõistus lakkab teile dikteerimast, mis on “võimalik” ja mis “mitte”, paiskub alateadvuse uks lahti. Kergesti võib välja mõelda midagi ebatavalist ja esmapilgul täiesti absurdset. Sulle võib isegi tunduda, et sa ei peaks endale ilmselgelt sobimatut ideed kirja panema, pole selge, millised kujundid su peas tekkisid. Rafineerimata teemantideks võivad aga osutuda just imelikud, kohati rumalad fraasid. Pidage meeles, kuidas inimesed pidasid Maad lapikuks ja kartsid selle servalt alla kukkuda ning kuidas kunagi nimetati ideed, et planeet on ümmargune ja pöörleb, ketserluseks. Hullud ideed ei pruugi teile alguses selged olla, kuid tunnete, et neis on midagi - see on õlekõrs, mis ütleb teile õige suuna.

Võib ka juhtuda, et pärast nii paljude ideede väljapanekut mõistate järsku, et see polnud üldse probleem – või nägite ainult jäämäe tippu, nii et peate koostama uue loendi, et vastata täiesti erinevale küsimusele.

Selle tehnikaga töötamisel tuleb järgida veel mõnda reeglit. Esiteks tuleb nimekiri koostada ühe hooga, ilma katkestusteta – muidu jäävad su uinunud geniaalsed ideed igapäevase mõtlemise raskuse all soiku. Töötamise ajal ärge lugege loendit uuesti ja hinnake, kui palju on juba tehtud ja kui palju punkte on jäänud - see hajutab teie tähelepanu ja takistab teie mõtete loomulikku kordumist - ega võimalda seetõttu näha oma komistuskive. Häälestage kohe: hindate ja kritiseerite oma ideid pärast kõigi sadade punktide koostamist - ja protsessi käigus peate kõik mõtted kirja panema (lõppude lõpuks pole te kohustatud seda paberit kellelegi näitama, kui sa ei taha). Kui töö on täies hoos, lühendage sõnu, peaasi, et saate siis lugeda, mida mõtlesite. Muidugi võite pliiatsi ja paberi asemel kasutada sülearvutit, kuid pidage meeles: allikas elektromagnetlained, vähemalt teoreetiliselt, ei lase su ajul, aural ja soovi korral ka tšakratel ühenduda universaalse meelega – ja üldiselt on tal suurepärane toimida. Kuid see on isikliku äranägemise järgi.

“100 Idee” tehnika “maitsvad” boonused ei seisne mitte ainult võimaluses sügavalt endasse vaadata ja oma keerulistele olukordadele originaalseid lahendusi leida, vaid ka selles, et sellega saad areneda mitmekülgselt ja planeerida oma tulevikku, leida uusi stiimuleid. enesearendamiseks ja endast kõrgemaks kasvamiseks . Selleks mõelge oma vabal ajal vastuste üle järgmistele (ja mis tahes enda) teemadele:

• Kuidas ennast harida
• Kuidas suhteid parandada
• Kuidas oma elu paremaks muuta
• Kuidas raha teenida
• Kuidas äri parandada
• Kuidas inimesi aidata
• Kuidas suurendada isiklikku efektiivsust
• Kuidas saada tervemaks
• Asjad, mida lükkan homsesse
• Asjad, mida ma kõige paremini oskan
• Asjad, mis mind demotiveerivad
• Omadused, mida soovin endas arendada
• Küsimused, millele pean vastused leidma
• Väärtused, millesse ma usun
• Asjad, mida ma elus hindan
• Elukutsed, milles tahan end proovile panna
• Asjad (inimesed), mis pidurdavad mind eesmärgi saavutamisel
• Asjad, mis mind rõõmustavad
• Järeldused, mida elu on mulle õpetanud
• Asjad, millest lahti saada
• Kohad, mida tahaksin külastada
• Vead, mille ma endale (teistele) andestan
• Võimalusi loovamalt mõelda

Selles videos vaatame kogu komplekti. lineaarvõrrandid, mis on lahendatud sama algoritmiga – sellepärast nimetatakse neid kõige lihtsamateks.

Alustuseks defineerime: mis on lineaarvõrrand ja millist neist tuleks nimetada kõige lihtsamaks?

Lineaarvõrrand on selline, milles on ainult üks muutuja ja ainult esimesel astmel.

Lihtsaim võrrand tähendab konstruktsiooni:

Kõik muud lineaarsed võrrandid taandatakse algoritmi abil kõige lihtsamateks:

1. Avatud sulgud, kui need on olemas;
2. Liigutage muutujat sisaldavad terminid võrdusmärgi ühele küljele ja ilma muutujata terminid teisele poole;
3. Tooge sarnased terminid võrdusmärgist vasakule ja paremale;
4. Jagage saadud võrrand muutuja $x$ koefitsiendiga.

Loomulikult ei aita see algoritm alati. Fakt on see, et mõnikord osutub pärast kõiki neid mahhinatsioone muutuja $x$ koefitsient võrdseks nulliga. Sel juhul on kaks võimalust:

1. Võrrandil pole üldse lahendeid. Näiteks kui saate midagi sellist nagu $0\cdot x=8$, st. vasakul on null ja paremal on nullist erinev arv. Allolevas videos vaatleme mitmeid põhjuseid, miks selline olukord on võimalik.
2. Lahenduseks on kõik numbrid. Ainus juhtum, kui see on võimalik, taandatakse võrrand konstruktsiooniks $0\cdot x=0$. On täiesti loogiline, et ükskõik, millise $x$ me asendame, selgub ikkagi “null võrdub nulliga”, s.t. õige arvuline võrdsus.

Ja nüüd vaatame tegelike probleemide näitel, kuidas see kõik toimib.

Näited võrrandite lahendamisest

Tänapäeval käsitleme lineaarseid võrrandeid ja ainult kõige lihtsamaid. Üldiselt tähendab lineaarvõrrand mis tahes võrdsust, mis sisaldab täpselt ühte muutujat, ja see läheb ainult esimese astmeni.

Sellised konstruktsioonid lahendatakse ligikaudu samal viisil:

1. Kõigepealt peate avama sulud, kui need on olemas (nagu meie viimases näites);
2. Seejärel tooge sarnased
3. Lõpuks isoleeri muutuja, st. kõik, mis on muutujaga seotud - terminid, milles see sisaldub - kantakse üle ühele poole ja kõik, mis jääb ilma, kandub teisele poole.

Seejärel peate reeglina saadud võrdsuse mõlemale küljele tooma sarnased ja pärast seda jääb üle vaid jagada koefitsiendiga "x" ja saame lõpliku vastuse.

Teoreetiliselt tundub see kena ja lihtne, kuid praktikas võivad isegi kogenud keskkooliõpilased üsna lihtsates lineaarvõrrandites solvavaid vigu teha. Tavaliselt tehakse vigu kas sulgude avamisel või "plusside" ja "miinuste" lugemisel.

Lisaks juhtub, et lineaarvõrrandil pole lahendeid üldse või nii, et lahendiks on terve arvsirge, s.t. suvaline number. Analüüsime neid peensusi tänases õppetükis. Kuid me alustame, nagu te juba aru saite, kõigest lihtsaid ülesandeid.

Lihtsamate lineaarvõrrandite lahendamise skeem

Alustuseks lubage mul veel kord kirjutada kogu skeem kõige lihtsamate lineaarvõrrandite lahendamiseks:

1. Laiendage sulgusid, kui neid on.
2. Eraldage muutujad, st. kõik, mis sisaldab "x", kantakse ühele poole ja ilma "x"ta - teisele poole.
3. Esitame sarnased terminid.
4. Jagame kõik koefitsiendiga "x".

Muidugi ei tööta see skeem alati, sellel on teatud peensused ja nipid ning nüüd õpime neid tundma.

Lihtsate lineaarvõrrandite reaalsete näidete lahendamine

Ülesanne nr 1

Esimeses etapis peame avama sulgud. Kuid need pole selles näites, seega jätame selle sammu vahele. Teises etapis peame muutujad isoleerima. Pange tähele: me räägime ainult üksikutest terminitest. Kirjutame:

Anname sarnased terminid vasakul ja paremal, kuid seda on siin juba tehtud. Seetõttu jätkame neljanda sammuga: jagage teguriga:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Siit saime vastuse.

Ülesanne nr 2

Selles ülesandes saame jälgida sulgusid, seega laiendame neid:

Nii vasakul kui ka paremal näeme ligikaudu sama konstruktsiooni, kuid tegutseme algoritmi järgi, s.t. sekvesteeri muutujad:

Siin on mõned nagu:

Millistel juurtel see toimib? Vastus: igale. Seetõttu võime kirjutada, et $x$ on suvaline arv.

Ülesanne nr 3

Kolmas lineaarvõrrand on juba huvitavam:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Siin on mitu sulgu, kuid neid ei korruta mitte millegagi, vaid neil on erinevad märgid ees. Jagame need lahti:

Teostame meile juba teadaoleva teise sammu:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Arvutame:

Viime läbi viimase sammu - jagame kõik koefitsiendiga "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Asjad, mida lineaarvõrrandite lahendamisel meeles pidada

Kui ignoreerime liiga lihtsaid ülesandeid, siis tahaksin öelda järgmist:

• Nagu ma eespool ütlesin, ei ole igal lineaarvõrrandil lahendust – mõnikord pole lihtsalt juuri;
• Isegi kui juured on, võib nende sekka null sisse pääseda - selles pole midagi halba.

Null on sama number kui ülejäänud, te ei tohiks seda kuidagi eristada ega eeldada, et kui saate nulli, siis tegite midagi valesti.

Teine omadus on seotud sulgude laiendamisega. Pange tähele: kui nende ees on "miinus", eemaldame selle, kuid sulgudes muudame märgid vastupidine. Ja siis saame selle avada standardsete algoritmide järgi: saame selle, mida nägime ülaltoodud arvutustes.

Sellest aru saades lihtne fakt hoiab teid keskkoolis rumalaid ja haiget tekitavaid vigu tegemast, kui selliseid asju peetakse iseenesestmõistetavaks.

Keeruliste lineaarvõrrandite lahendamine

Liigume edasi keerukamate võrrandite juurde. Nüüd muutuvad konstruktsioonid keerulisemaks ja erinevate teisenduste tegemisel tekib ruutfunktsioon. Seda ei tasu aga karta, sest kui autori kavatsuse kohaselt lahendame lineaarvõrrandi, siis teisendusprotsessis redutseeritakse tingimata kõik ruutfunktsiooni sisaldavad monomid.

Näide nr 1

Ilmselt on esimene samm sulgude avamine. Teeme seda väga hoolikalt:

Võtame nüüd privaatsuse:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Siin on mõned nagu:

Ilmselgelt pole sellel võrrandil lahendusi, seega kirjutame vastuses järgmiselt:

\[\variety \]

või pole juuri.

Näide nr 2

Teeme samu samme. Esimene samm:

Liigutame kõik muutujaga vasakule ja ilma selleta paremale:

Siin on mõned nagu:

Ilmselgelt pole sellel lineaarsel võrrandil lahendust, seega kirjutame selle järgmiselt:

\[\varnothing\],

või pole juuri.

Lahenduse nüansid

Mõlemad võrrandid on täielikult lahendatud. Nende kahe avaldise näitel veendusime veel kord, et isegi kõige lihtsamates lineaarvõrrandites ei saa kõik olla nii lihtne: neid võib olla kas üks või mitte ükski või lõpmatult palju. Meie puhul käsitlesime kahte võrrandit, mõlemas lihtsalt pole juuri.

Kuid juhin teie tähelepanu veel ühele asjaolule: kuidas töötada sulgudega ja kuidas neid laiendada, kui nende ees on miinusmärk. Mõelge sellele väljendile:

Enne avamist peate kõik korrutama "x-ga". Pange tähele: korrutage iga üksiku terminiga. Sees on kaks terminit - vastavalt kaks terminit ja korrutatakse.

Ja alles pärast seda, kui need esmapilgul elementaarsed, kuid väga olulised ja ohtlikud transformatsioonid on lõpule viidud, saab sulgu avada sellest vaatenurgast, et selle järel on miinusmärk. Jah, jah: alles nüüd, kui teisendused on tehtud, meenub, et sulgude ees on miinusmärk, mis tähendab, et kõik allpool lihtsalt muudab märke. Samal ajal kaovad klambrid ise ja mis kõige tähtsam, kaob ka eesmine "miinus".

Teeme sama teise võrrandiga:

Pole juhus, et pööran neile väikestele, pealtnäha tähtsusetutele faktidele tähelepanu. Sest võrrandite lahendamine on alati elementaarsete teisenduste jada, kus suutmatus lihtsaid toiminguid selgelt ja asjatundlikult sooritada viib selleni, et minu juurde tulevad gümnasistid ja õpivad nii lihtsaid võrrandeid uuesti lahendama.

Muidugi tuleb päev, mil lihvite need oskused automatiseerimiseks. Te ei pea enam iga kord nii palju teisendusi sooritama, kirjutate kõik ühele reale. Kuid õppimise ajal peate iga toimingu eraldi kirjutama.

Veelgi keerukamate lineaarvõrrandite lahendamine

Seda, mida me praegu lahendame, võib vaevalt nimetada kõige lihtsamaks ülesandeks, kuid tähendus jääb samaks.

Ülesanne nr 1

\[\vasak(7x+1 \parem)\vasak(3x-1 \parem)-21((x)^(2))=3\]

Korrutame kõik esimeses osas olevad elemendid:

Teeme retriiti:

Siin on mõned nagu:

Teeme viimase sammu:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Siin on meie lõplik vastus. Ja hoolimata asjaolust, et lahendamise käigus olid meil ruutfunktsiooniga koefitsiendid, tühistasid need siiski vastastikku, mis muudab võrrandi täpselt lineaarseks, mitte ruudukujuliseks.

Ülesanne nr 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Teeme esimese sammu ettevaatlikult: korrutage kõik esimeses sulus olevad elemendid iga teise elemendiga. Kokku tuleks pärast teisendusi saada neli uut terminit:

Ja nüüd tehke hoolikalt iga liikme korrutamine:

Liigutame terminid "x"-ga vasakule ja ilma - paremale:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Siin on sarnased terminid:

Oleme saanud lõpliku vastuse.

Lahenduse nüansid

Kõige olulisem märkus nende kahe võrrandi kohta on järgmine: niipea kui hakkame korrutama sulgusid, milles on rohkem kui liiget, tehakse seda järgmise reegli järgi: võtame esimese liikme esimesest ja korrutame iga elemendiga. teisest; siis võtame esimesest teise elemendi ja korrutame samamoodi iga teise elemendiga. Selle tulemusena saame neli terminit.

Algebralise summa kohta

Viimase näitega tahaksin õpilastele meelde tuletada, mis on algebraline summa. Klassikalises matemaatikas peame $1-7$ all silmas lihtsat konstruktsiooni: lahutame ühest seitse. Algebras peame selle all silmas järgmist: arvule "üks" lisame teise arvu, nimelt "miinus seitse". See algebraline summa erineb tavalisest aritmeetilisest summast.

Niipea, kui kõigi teisenduste, iga liitmise ja korrutamise sooritamisel hakkate nägema ülalkirjeldatutega sarnaseid konstruktsioone, pole polünoomide ja võrranditega töötamisel algebras probleeme.

Kokkuvõtteks vaatame veel paari näidet, mis on veelgi keerulisemad kui need, mida just vaatlesime, ja nende lahendamiseks peame oma standardset algoritmi veidi laiendama.

Võrrandite lahendamine murdosaga

Selliste ülesannete lahendamiseks tuleb meie algoritmile lisada veel üks samm. Kuid kõigepealt tuletan meelde meie algoritmi:

1. Avage sulgud.
2. Eraldi muutujad.
3. Too sarnased.
4. Jaga teguriga.

Kahjuks pole see suurepärane algoritm kogu oma tõhususe juures täiesti sobiv, kui meie ees on murded. Ja selles, mida me allpool näeme, on mõlemas võrrandis vasakul ja paremal murdosa.

Kuidas sel juhul töötada? Jah, see on väga lihtne! Selleks peate algoritmile lisama veel ühe sammu, mida saab teha nii enne esimest toimingut kui ka pärast seda, nimelt murdudest vabanemiseks. Seega on algoritm järgmine:

1. Vabane murdosadest.
2. Avage sulgud.
3. Eraldi muutujad.
4. Too sarnased.
5. Jaga teguriga.

Mida tähendab "murdudest vabanemine"? Ja miks on seda võimalik teha nii pärast kui ka enne esimest standardset sammu? Tegelikult on meie puhul kõik murrud nimetaja poolest numbrilised, st. kõikjal on nimetaja vaid arv. Seega, kui me korrutame mõlemad võrrandi osad selle arvuga, siis vabaneme murdudest.

Näide nr 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Vabaneme selle võrrandi murdudest:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot neli\]

Pange tähele: kõik korrutatakse “neljaga” üks kord, st. see, et teil on kaks sulud, ei tähenda, et peate need kõik korrutama "neljaga". Kirjutame:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Nüüd avame selle:

Teostame muutuja eraldamise:

Vähendame sarnaseid termineid:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Oleme saanud lõpplahenduse, liigume teise võrrandi juurde.

Näide nr 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Siin teostame kõik samad toimingud:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Probleem lahendatud.

See on tegelikult kõik, mida ma täna öelda tahtsin.

Võtmepunktid

Peamised leiud on järgmised:

• Teadma lineaarvõrrandite lahendamise algoritmi.
• Sulgude avamise võimalus.
• Ärge muretsege, kui teil kuskil on ruutfunktsioonid, tõenäoliselt vähendatakse neid edasiste ümberkujundamiste käigus.
• Lineaarvõrrandite juured, isegi kõige lihtsamad, on kolme tüüpi: üks juur, kogu arvurida on juur, juuri pole üldse.

Loodan, et see õppetund aitab teil omandada lihtsa, kuid väga olulise teema kogu matemaatika edasiseks mõistmiseks. Kui midagi pole selge, minge saidile, lahendage seal esitatud näited. Püsige lainel, teid ootab veel palju huvitavat!

Teadlased on uurinud ajutegevuse rütme ja tuvastanud selle, mis sobib kõige paremini loominguliseks ülevaateks ja otsinguks kasulikke ideid

Teadlased on uurinud ajutegevuse rütme ja tuvastanud selle, mis sobib kõige paremini loominguliseks taipamiseks ja kasulike ideede otsimiseks.

Seal on. Magama. Probleeme lahendama. Korda. Tõenäoliselt veedate peale ööune enamus aega mitmesuguste probleemide lahendamiseks – eriti tööl.

Mitte et see halb oleks olnud. Paljud parimad ettevõtjad maailm Sarah Blakelyst Richard Bransonini võlgneb oma edu võimele tuvastada probleeme (antud juhul rahuldamata tarbijate vajadusi) ja leida lahendusi.

Aga mis iganes oluline osa meie elu ei ole olnud probleemide lahendamine, see on ikkagi stress ja mõned inimesed saavad sellega paremini hakkama kui teised.

Seetõttu saavad need, kes soovivad selles mängus edukamaks saada, proovida midagi uut: unes lahendusi otsima. Sõna otseses mõttes. Seda nimetatakse "Catch Your Theta Rhythm". Ei, see ei puuduta enesehüpnoosi ega meditatsiooni: see on puhas teadus ja see toimib.

Kuid kõigepealt mõistame:

Mis on aju rütmid?

Nagu professor Ned Herrmann selgitab, on see nii rütmid, mis kontrollivad aju elektrilist aktiivsust. Sõltuvalt teie aktiivsuse tasemest eristada saab nelja erinevat rütmi. Loetleme need lainesageduse vähenemise järjekorras.

• Maksimaalse aktiivsuse perioodidel (näiteks olulisel tööintervjuul) töötab teie aju sisse beeta rütm.
• Kui olete lõdvestunud – näiteks just lõpetanud suur projekt ja lõpuks saad välja hingata – aju lülitub sisse alfa rütm.
• Nüüd hüppame edasi: neljandat rütmi tähistatakse tähega "delta" ja on fikseeritud, kui olete sügavas unes.

Kolmas etapp, teetarütm, jätsime vahele, sest see sobib probleemide lahendamiseks kõige paremini. Herrmann ütleb:

“Inimestel, kes veedavad palju aega rooli taga, tulevad neil teeta-rütmis olles sageli head ideed... See võib juhtuda duši all või vannis ning isegi juukseid raseerides või kammides. See on seisund, kus probleemide lahendamine muutub nii automaatseks, et saate sellest vaimselt lahti võtta. Teetarütmi puhul tundub sageli, et mõtete voolu ei piira mitte miski – ei sisemine tsensuur ega süütunne.

Aju jõuab sellesse seisundisse, sealhulgas uinumisel või ärkamisel, kui balansseerite ärkveloleku ja sügava une vahel. Herrmann selgitab:

"Ärkamise ajal suudab aju hoida teeta rütmi pikka aega, näiteks 5-15 minutit, ja seda aega saab kasutada eilsete sündmuste või uue päeva tegemiste üle mõtisklemiseks. See periood võib olla väga produktiivne ning tuua kaasa palju sisukaid ja loovaid ideid.

Kas on tõendeid selle toimimise kohta?

Püüdke hetk, mil teie aju on valmis teile andma parimad ideed, - tehnika, mis edukad inimesed on kestnud juba sadu aastaid.

Kunstnikud, kirjanikud ja suured mõtlejad on juba ammu märganud, et need hetked, mil me "noogutame" – st täpselt siis, kui ajus valitseb teeta rütm – parim aeg loovuse äratamiseks.

Albert Einsteinil ja Thomas Edisonil oli kombeks lahendada keerulisi probleeme poolunes. Kiire, loov meel on üles ehitatud probleemide lahendamiseks, mistõttu võib kasvõi põgus järelemõtlemine uue päeva ülesannete üle varahommikul veel selles seisundis (või isegi öösel, kui hakkate magama jääma) tuua. hämmastavad tulemused. See, mis töötas Einsteini jaoks, võib teie jaoks sobida – kuigi me ei luba, et sinust saab autor. uus teooria suhtelisus.

Kuidas oma teeta rütmi kasutada?

See võtab natuke aega. Kuid kui te seda praktikat regulaarselt järgite, saate seda teha hea harjumus mis tõstab teie tootlikkust uus tase. Selleks vajate järgmist.

1. Valige ülesanne

Hommikul, kui olete juba ärkama hakanud, kuid silmad on endiselt suletud ja aju veel pooleldi uinunud, mõelge kõige pakilisemale probleemile või ülesandele, millega täna silmitsi seisate. Võib-olla on see keeruline vestlus, olulised läbirääkimised kliendiga, aruande kirjutamine või uue turunduskampaania väljatöötamine. Kuid ükskõik kui palju ülesandeid teie peas hõljub, peate valima ühe ja laskma oma ajul sellega töötada.

Ärge püüdke oma mõtteid mingil moel suunata ega piirata, vaid veenduge, et need ei läheks liiga kaugele antud teema. Tõenäoliselt hakkab teie aju alateadlikult lahendust otsima.

Sageli saate selle tulemusena paar kasulikku ideed. Mõnikord – isegi geniaalne taipamine. Tõenäoliselt unustate alguses seda meetodit iga päev kasutada, kuid aja jooksul saab sellest järjekordne harjumus, osa teie hommikustest rituaalidest.

2. Tehke märkmeid

Võib-olla on Theta Rhythmiga probleemide lahendamise kõige masendavam osa see, et unustate need inspireeritud ideed kohe, kui pea padjalt lahkub. Piinate oma aju duši all, püüdes sellest välja tõmmata hiilgavat kolmepunktiplaani, mille just vaimselt visandasite. Seetõttu peaksite oma otsused kirja panema kohe, kui olete piisavalt ärkvel, et oma silmad avada.

Haara oma nutitelefon (peab ikka laeb, eks?) ja salvesta kohe oma mõtted – tekstina või diktofoni. Ära raiska aega. Piirduge märksõnade, kirjelduste ja fraasidega, mis käivitavad teie mälu hiljem, kui olete valmis teavet kasutama.

Täiendav eelis: sinine tuli telefoni ekraanil aitab teil ärgata. Ja kui soovite sama meetodit kasutada õhtul, uinumisprotsessis, on parem kasutada pliiatsit ja paberit - nii ei häiri kunstlik valgus teie und.

3. Analüüsige kogemusi

Pea oma "teeta-mõtete" päevikut - aja jooksul aitab see teil leida tüüpilised lahendused ja nende kasutusvaldkonnad. Võite avastada, et see meetod on teie jaoks kõige tõhusam loominguliste probleemide lahendamisel, või võite avastada, et see annab teile eelise inimestega suhtlemisel või planeerimisel. See aitab teil mõista, milliseid ülesandeid tuleks tulevikus teeta-rütmi kasutades lahendada.

Inspiratsioon võib tulla kõikjalt.

Kuid sama kehtib ka takistuste kohta.

Teeta mõtlemine kasutab aju universaalset võimet lahendada probleeme, et saaksite need lahendused meelde jätta ja neid kasutada. Tihti aitab see mõnest muust takistusest mööda hiilida või ületada lõhet pooliku idee ja tõeliselt kasuliku lahenduse vahel ning miks mitte seda ära kasutada? Selleks ei pea te isegi voodist tõusma! avaldatud