Mis on vektori koordinaatide korrutis. Mannekeenide vektorid

Definitsioon Nimetatakse reaalarvude järjestatud kogum (x 1 , x 2 , ... , x n) n n-mõõtmeline vektor, ja arvud x i (i = ) - komponendid või koordinaadid,

Näide. Kui näiteks mõned autotehas peaks vahetuses tootma 50 sõiduautot, 100 veoautot, 10 bussi, 50 komplekti autode varuosi ning 150 komplekti veoautodele ja bussidele, siis tootmisprogramm selle taime saab kirjutada viie komponendiga vektorina (50, 100, 10, 50, 150).

Märge. Vektorid on tähistatud paksude väiketähtedega või tähtedega, mille ülaosas on riba või nool, näiteks a või. Neid kahte vektorit nimetatakse võrdne kui neil on sama arv komponente ja nende vastavad komponendid on võrdsed.

Vektori komponente ei saa omavahel vahetada, nt (3, 2, 5, 0, 1) ja (2, 3, 5, 0, 1) erinevad vektorid.
Tehted vektoritega. tööd x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) reaalarvuksλ nimetatakse vektoriksλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

summax= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ja y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) nimetatakse vektoriks x+y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... , x n + + y n).

Vektorite ruum. N -dimensiooniline vektorruum R n on defineeritud kui kõigi n-mõõtmeliste vektorite hulk, mille jaoks on määratletud reaalarvudega korrutamise ja liitmise toimingud.

Majanduslik illustratsioon. N-mõõtmelise vektorruumi majanduslik näide: kaupade ruum (kaubad). Under kaup me mõistame mõnda kaupa või teenust, mis tuli müüki teatud ajal kindlas kohas. Oletame, et saadaval on lõplik arv kaupu n; iga tarbija poolt ostetud koguseid iseloomustab kaubakomplekt

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

kus x i tähistab tarbija poolt ostetud i-nda kauba kogust. Eeldame, et kõigil kaupadel on suvalise jagavuse omadus, nii et neist saab osta iga mittenegatiivse koguse. Siis on kõik võimalikud kaubahulgad kaupade ruumi vektorid C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Lineaarne iseseisvus. Süsteem e 1 , e 2 , ... , e m n-mõõtmelist vektorit nimetatakse lineaarselt sõltuv kui selliseid numbreid onλ 1 , λ 2 , ... , λ m , millest vähemalt üks on nullist erinev, mis rahuldab võrdsustλ1 e 1 + λ2 e 2+...+λm e m = 0; muidu see süsteem vektoreid nimetatakse lineaarselt sõltumatu, see tähendab, et see võrdsus on võimalik ainult juhul, kui kõik . Vektorite lineaarse sõltuvuse geomeetriline tähendus in R 3, mida tõlgendatakse suunatud segmentidena, selgitage järgmisi teoreeme.

1. teoreem. Ühest vektorist koosnev süsteem on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui see vektor on null.

2. teoreem. Selleks, et kaks vektorit oleks lineaarselt sõltuvad, on vajalik ja piisav, et nad oleksid kollineaarsed (paralleelsed).

3. teoreem . Selleks, et kolm vektorit oleksid lineaarselt sõltuvad, on vajalik ja piisav, et need oleksid tasapinnalised (asuksid samas tasapinnas).

Vektorite vasak ja parem kolmik. Mitte-tasapinnaliste vektorite kolmik a, b, c helistas õige, kui nende ühise päritolu vaatleja möödub vektorite otstest a, b, c selles järjekorras näib käivat päripäeva. Muidu a, b, c -vasak kolmik. Kutsutakse kõiki parempoolseid (või vasakpoolseid) vektorite kolmikuid võrdselt orienteeritud.

Alus ja koordinaadid. Troika e 1, e 2 , e 3 mittetasatasandilist vektorit sisse R 3 helistas alus ja vektorid ise e 1, e 2 , e 3 - põhilised. Mis tahes vektor a saab unikaalsel viisil laiendada alusvektorite osas, st seda saab esitada kujul

a= x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

laienduses (1.1) olevaid arve x 1 , x 2 , x 3 nimetatakse koordinaadida alusel e 1, e 2 , e 3 ja on tähistatud a(x 1, x 2, x 3).

Ortonormaalne alus. Kui vektorid e 1, e 2 , e 3 on paarikaupa risti ja igaühe pikkus on võrdne ühega, siis nimetatakse alust ortonormaalne ja koordinaadid x 1 , x 2 , x 3 - ristkülikukujuline. Märgitakse ortonormaalse aluse baasvektorid i, j, k.

Eeldame seda kosmoses R 3 õige ristkülikukujuliste koordinaatide süsteem (0, i, j, k}.

Vektortoode. vektorkunst a vektori kohta b nimetatakse vektoriks c, mille määravad järgmised kolm tingimust:

1. Vektori pikkus c arvuliselt võrdne vektoritele ehitatud rööpküliku pindalaga a ja b, st.
c= |a||b| patt ( a^b).

2. Vektor c risti iga vektoriga a ja b.

3. Vektorid a, b ja c, selles järjekorras, moodustavad parempoolse kolmiku.

Vektorprodukti jaoks c tähistus võetakse kasutusele c=[ab] või
c = a × b.

Kui vektorid a ja b on kollineaarsed, siis sin( a^b) = 0 ja [ ab] = 0, eelkõige [ aa] = 0. Ortide vektorkorrutised: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Kui vektorid a ja b alusel antud i, j, k koordinaadid a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), siis

Segatööd. Kui kahe vektori ristkorrutis a ja b skalaar korrutatud kolmanda vektoriga c, siis nimetatakse sellist kolme vektori korrutist segatud toode ja seda tähistatakse sümboliga a eKr.

Kui vektorid a, b ja c alusel i, j, k määratud nende koordinaatidega
a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), siis

.

Segaproduktil on lihtne geomeetriline tõlgendus - see on skalaar, absoluutväärtuses võrdne kolmele antud vektorile ehitatud rööptahuka ruumalaga.

Kui vektorid moodustavad parempoolse kolmiku, siis nende segatud toode on positiivne arv, mis on võrdne määratud mahuga; kui kolm a, b, c - lahkus siis a b c<0 и V = - a b c, seega V =|a b c|.

Eeldatakse, et esimese peatüki ülesannetes esinevate vektorite koordinaadid on antud õige ortonormaalbaasi suhtes. Ühikvektor vektoriga kaassuunas a, tähistatud sümboliga a umbes. Sümbol r=OM tähistatakse punkti M raadiusvektoriga, sümbolitega a, AB või|a|, | AB |tähistatakse vektorite mooduleid a ja AB.

Näide 1.2. Leidke vektorite vaheline nurk a= 2m+4n ja b= m-n, kus m ja n-ühikvektorid ja nendevaheline nurk m ja n võrdne 120 o.

Lahendus. Meil on: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4 + 2cos120 o = - 2 + 2 (-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, seega a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, seega b = . Lõpuks on meil: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Näide 1.3.Vektorite tundmine AB(-3,-2,6) ja eKr(-2,4,4), arvuta kolmnurga ABC kõrgus AD.

Lahendus. Tähistades kolmnurga ABC pindala tähega S, saame:
S = 1/2 eKr. Siis AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, seega vektor AC on koordinaadid
. .

Näide 1.4 . Antud kaks vektorit a(11,10,2) ja b(4,0,3). Leia ühikvektor c, vektoritega ortogonaalne a ja b ja suunatud nii, et vektorite järjestatud kolmik a, b, c oli õige.

Lahendus.Tähistame vektori koordinaate c antud õige ortonormaalse aluse suhtes x, y, z kaudu.

Kuna c ⊥ a, c ⊥b, siis ca= 0, cb= 0. Ülesande tingimuse järgi on nõutav, et c = 1 ja a b c >0.

Meil on võrrandisüsteem x,y,z leidmine: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Süsteemi esimesest ja teisest võrrandist saame z = -4/3 x, y = -5/6 x. Asendades y ja z kolmandas võrrandis, saame: x 2 = 36/125, kust
x=± . Kasutamise tingimus a b c > 0, saame ebavõrdsuse

Võttes arvesse z ja y avaldisi, kirjutame saadud võrratuse ümber kujul: 625/6 x > 0, millest järeldub, et x>0. Seega x =, y = -, z = -.

Lõpuks sain käed laiaulatuslikule ja kauaoodatud teemale analüütiline geomeetria. Esiteks natuke sellest kõrgema matemaatika osast…. Kindlasti meenus teile nüüd kooli geomeetriakursus koos arvukate teoreemide, nende tõestuste, jooniste jms. Mis seal salata, olulise osa õpilaste jaoks armastamatu ja sageli hämar teema. Kummalisel kombel võib analüütiline geomeetria tunduda huvitavam ja ligipääsetavam. Mida tähendab omadussõna "analüütiline"? Kohe meenuvad kaks tembeldatud matemaatilist pööret: “graafiline lahendusmeetod” ja “lahenduse analüütiline meetod”. Graafiline meetod, on muidugi seotud graafikute, jooniste konstrueerimisega. Analüütiline sama meetod hõlmab probleemide lahendamist valdavalt algebraliste operatsioonide kaudu. Sellega seoses on peaaegu kõigi analüütilise geomeetria probleemide lahendamise algoritm lihtne ja läbipaistev, sageli piisab vajalike valemite täpsest rakendamisest - ja vastus on valmis! Ei, loomulikult ei saa see ilma joonisteta üldse läbi, pealegi proovin materjali paremaks mõistmiseks tuua neid üle vajaduse.

Geomeetria tundide avatud kursus ei pretendeeri teoreetilisele terviklikkusele, see on keskendunud praktiliste ülesannete lahendamisele. Kaasan oma loengutesse ainult seda, mis minu seisukohast oluline on praktilises mõttes. Kui vajate mõne alajao kohta täielikumat viidet, soovitan järgmist üsna juurdepääsetavat kirjandust:

1) Asi, mis pole nali, on tuttav mitmele põlvkonnale: Geomeetria kooliõpik, autorid - L.S. Atanasyan ja ettevõte. See kooli riietusruumi riidepuu on vastu pidanud juba 20 (!) kordusväljaannet, mis muidugi pole piir.

2) Geomeetria 2 köites. Autorid L.S. Atanasjan, Bazylev V.T.. See on mõeldud kirjandus Keskkool, sa vajad esimene köide. Harva esinevad ülesanded võivad minu vaateväljast välja kukkuda ja õpetus pakub hindamatut abi.

Mõlemad raamatud on Internetist tasuta allalaaditavad. Lisaks saad kasutada minu arhiivi koos valmislahendustega, mille leiab lehelt Laadige alla kõrgema matemaatika näited.

Tööriistadest pakun jällegi enda arengut - tarkvarapakett analüütilise geomeetria kohta, mis lihtsustab oluliselt elu ja säästab palju aega.

Eeldatakse, et lugeja tunneb põhilisi geomeetrilisi mõisteid ja kujundeid: punkt, sirge, tasapind, kolmnurk, rööpkülik, rööptahukas, kuup jne. Soovitav on meeles pidada mõnda teoreemi, vähemalt Pythagorase teoreemi, tere kordajad)

Ja nüüd käsitleme järjestikku: vektori mõistet, toiminguid vektoritega, vektori koordinaate. Lisaks soovitan lugeda kõige olulisem artikkel Vektorite punktkorrutis, sama hästi kui Vektor ja vektorite segakorrutis. Kohalik ülesanne ei ole üleliigne - Segmendi jagamine selles osas. Ülaltoodud teabe põhjal saate tasapinna sirgjoone võrrand Koos lihtsamaid näiteid lahendustest, mis võimaldab õppida lahendama geomeetria ülesandeid. Abiks on ka järgmised artiklid: Tasapinna võrrand ruumis, Ruumi sirgjoone võrrandid, Põhiülesanded sirgel ja tasapinnal , muud analüütilise geomeetria lõigud. Loomulikult arvestatakse ka tavaülesannetega.

Vektori mõiste. vaba vektor

Kõigepealt kordame vektori koolimääratlust. Vektor helistas suunatud segment, mille algus ja lõpp on märgitud:

Sel juhul on lõigu algus punkt , lõigu lõpp punkt . Vektorit ennast tähistatakse . Suund on oluline, kui paigutate noole ümber segmendi teise otsa, saate vektori ja see on juba täiesti erinev vektor. Vektori mõistet on mugav identifitseerida liikumisega füüsiline keha: nõus, instituudi ustest sisse astuda või instituudi ustest lahkuda on täiesti erinevad asjad.

Tasapinna üksikuid punkte on mugav käsitleda, ruumi nn nullvektor. Sellisel vektoril on sama lõpp ja algus.

!!! Märge: Siin ja allpool võib eeldada, et vektorid asuvad samal tasapinnal või võib eeldada, et need asuvad ruumis – esitatava materjali olemus kehtib nii tasapinna kui ruumi kohta.

Nimetused: Paljud juhtisid kohe tähelepanu pulgale, mille tähistuses ei olnud noolt, ja ütlesid, et nad panid ka noole otsa! Täpselt nii, noolega võib kirjutada: , aga lubatav ja salvestus, mida kasutan hiljem. Miks? Ilmselt on selline harjumus välja kujunenud praktilistest kaalutlustest, minu tulistajad koolis ja ülikoolis osutusid liiga mitmekülgseteks ja karvalisteks. AT õppekirjandus mõnikord ei tegele nad kiilkirjaga üldse, vaid toovad esile paksus kirjas tähed: , andes sellega mõista, et tegemist on vektoriga.

See oli stiil ja nüüd vektorite kirjutamise viisidest:

1) Vektoreid saab kirjutada kahe suure ladina tähega:
ja nii edasi. Kuigi esimene täht tingimata tähistab vektori alguspunkti ja teine ​​täht tähistab vektori lõpp-punkti.

2) Vektorid kirjutatakse ka väikeste ladina tähtedega:
Eelkõige saab meie vektori lühiduse huvides ümber nimetada väikese ladina tähega .

Pikkus või moodul nullist erinev vektor nimetatakse segmendi pikkuseks. Nullvektori pikkus on null. Loogiliselt.

Vektori pikkust tähistatakse mooduli märgiga: ,

Kuidas vektori pikkust leida, õpime (või kordame, kellele kuidas) veidi hiljem.

See oli elementaarne teave vektori kohta, mis oli kõigile koolilastele tuttav. Analüütilises geomeetrias nn vaba vektor.

Kui see on üsna lihtne - vektorit saab tõmmata mis tahes punktist:

Varem nimetasime selliseid vektoreid võrdseteks (võrdsete vektorite definitsioon antakse allpool), kuid puhtmatemaatilisest vaatenurgast on see SAMA VEKTOR või vaba vektor. Miks tasuta? Sest ülesannete lahendamise käigus saad “kinnitada” ühe või teise vektori IGASLE vajalikule tasapinna või ruumi punktile. See on väga lahe kinnisvara! Kujutage ette suvalise pikkuse ja suunaga vektorit – seda saab "kloonida" lõpmatu arv kordi ja suvalises ruumipunktis, tegelikult on see KÕIKJAL olemas. On selline üliõpilase vanasõna: Iga lektor f ** u vektoris. Lõppude lõpuks, mitte ainult vaimukas riim, kõik on matemaatiliselt õige - sinna saab ka vektori kinnitada. Kuid ärge kiirustage rõõmustama, õpilased ise kannatavad sagedamini =)

Niisiis, vaba vektor- see on palju identsed suunalised segmendid. kooli määratlus vektor, mis on antud lõigu alguses: "Suunatud segmenti nimetatakse vektoriks ...", tähendab spetsiifiline etteantud hulgast võetud suunatud lõik, mis kinnitub teatud punktile tasapinnas või ruumis.

Tuleb märkida, et füüsika seisukohast on vaba vektori mõiste üldiselt vale ja vektori rakenduspunkt on oluline. Tõepoolest, minu rumala näite arendamiseks piisab sama jõu otsesest löögist nina või otsaesisele, ja sellel on erinevad tagajärjed. Kuid, mitte vaba vektoreid leidub ka vyshmati käigus (ära mine sinna :)).

Toimingud vektoritega. Vektorite kollineaarsus

AT koolikursus geomeetria arvestab vektoritega mitmeid toiminguid ja reegleid: liitmine kolmnurga reegli järgi, liitmine rööpkülikureegli järgi, vektorite erinevuse reegel, vektori korrutamine arvuga, vektorite skalaarkorrutis jne. Seemnena kordame kahte reeglit, mis on eriti olulised analüütilise geomeetria ülesannete lahendamisel.

Vektorite liitmise reegel kolmnurkade reegli järgi

Vaatleme kahte suvalist nullist erinevat vektorit ja :

On vaja leida nende vektorite summa. Tulenevalt asjaolust, et kõiki vektoreid peetakse vabaks, lükkame vektori edasi lõpp vektor:

Vektorite summa on vektor . Reegli paremaks mõistmiseks on soovitatav sellesse investeerida füüsiline tähendus: lase mõnel kehal teha tee mööda vektorit ja seejärel mööda vektorit. Siis vektorite summa on saadud tee vektor, mis algab lähtepunktist ja lõpeb saabumispunktis. Sarnane reegel on sõnastatud suvalise arvu vektorite summa kohta. Nagu öeldakse, võib keha minna oma teed tugevalt siksakiliselt või võib-olla autopiloodil - mööda saadud summavektorit.

Muide, kui vektor lükatakse edasi alustada vektor , siis saame ekvivalendi rööpküliku reegel vektorite liitmine.

Esiteks vektorite kollineaarsuse kohta. Neid kahte vektorit nimetatakse kollineaarne kui need asuvad samal joonel või paralleelsetel joontel. Jämedalt öeldes räägime paralleelvektoritest. Kuid nendega seoses kasutatakse alati omadussõna "kollineaarne".

Kujutage ette kahte kollineaarset vektorit. Kui nende vektorite nooled on suunatud samas suunas, siis nimetatakse selliseid vektoreid kaassuunaline. Kui nooled vaatavad eri suundades, siis vektorid on vastupidiselt suunatud.

Nimetused: vektorite kollineaarsus kirjutatakse tavalise paralleelsuse ikooniga: , samas kui detailimine on võimalik: (vektorid on kaassuunatud) või (vektorid on suunatud vastupidi).

tööd nullist erineva vektori arvu järgi on vektor, mille pikkus on võrdne , ja vektorid ja on kaassuunatud ja vastupidiselt suunatud .

Vektori arvuga korrutamise reeglit on pildiga lihtsam mõista:

Mõistame üksikasjalikumalt:

1) Suund. Kui kordaja on negatiivne, siis vektor muudab suunda vastupidisele.

2) Pikkus. Kui tegur sisaldub või , siis vektori pikkus väheneb. Seega on vektori pikkus kaks korda väiksem kui vektori pikkus. Kui mooduli kordaja on suurem kui üks, siis vektori pikkus suurenebõigel ajal.

3) Pange tähele kõik vektorid on kollineaarsed, samas kui ühte vektorit väljendatakse teise kaudu, näiteks . Tõsi on ka vastupidine: kui ühte vektorit saab väljendada teisega, siis on sellised vektorid tingimata kollineaarsed. Sellel viisil: kui korrutame vektori arvuga, saame kollineaarseks(originaali suhtes) vektor.

4) Vektorid on kaassuunalised. Vektorid ja on samuti kaassuunalised. Iga esimese rühma vektor on vastupidine teise rühma mis tahes vektorile.

Millised vektorid on võrdsed?

Kaks vektorit on võrdsed, kui nad on samasuunalised ja on sama pikkusega. Pange tähele, et kaassuund tähendab, et vektorid on kollineaarsed. Määratlus on ebatäpne (ülearune), kui ütlete: "Kaks vektorit on võrdsed, kui need on kollineaarsed, kaassuunatud ja sama pikkusega."

Vaba vektori kontseptsiooni seisukohalt on võrdsed vektorid sama vektor, millest oli juttu juba eelmises lõigus.

Vektori koordinaadid tasapinnal ja ruumis

Esimene punkt on vaadelda vektoreid tasapinnal. Joonistage Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem ja jätke lähtepunktist kõrvale vallaline vektorid ja:

Vektorid ja ortogonaalne. Ortogonaalne = risti. Soovitan terminitega aeglaselt harjuda: paralleelsuse ja perpendikulaarsuse asemel kasutame vastavalt sõnu kollineaarsus ja ortogonaalsus.

Määramine: vektorite ortogonaalsus kirjutatakse tavalise ristimärgiga, näiteks: .

Vaadeldavaid vektoreid nimetatakse koordinaatvektorid või orts. Need vektorid moodustuvad alus pinnal. Mis on aluseks, on minu meelest paljudele, enamatele, intuitiivselt selge detailne info leiate artiklist Vektorite lineaarne (mitte)sõltuvus. Vektori alus.Lihtsate sõnadega, koordinaatide alus ja päritolu panevad paika kogu süsteemi – see on omamoodi vundament, millel keeb täisväärtuslik ja rikkalik geomeetriline elu.

Mõnikord nimetatakse konstrueeritud alust ortonormaalne tasandi alus: "orto" - kuna koordinaatvektorid on ortogonaalsed, tähendab omadussõna "normaliseeritud" ühikut, s.o. baasvektorite pikkused on võrdsed ühega.

Määramine: sulgudes kirjutatakse tavaliselt alus, mille sees ranges järjekorras alusvektorid on loetletud, näiteks: . Koordinaatide vektorid see on keelatud vahetage kohad.

Ükskõik milline tasapinnaline vektor ainus viis väljendatud järgmiselt:
, kus - numbrid, mida nimetatakse vektori koordinaadid sellel alusel. Aga väljend ise helistas vektori laguneminealus .

Serveeritud õhtusöök:

Alustame tähestiku esimesest tähest: . Jooniselt on selgelt näha, et vektori aluse osas lagundamisel kasutatakse just vaadeldud:
1) vektori arvuga korrutamise reegel: ja ;
2) vektorite liitmine kolmnurga reegli järgi: .

Nüüd lükake vektor vaimselt kõrvale igast teisest tasapinna punktist. On üsna ilmne, et tema korruptsioon "järeldab teda halastamatult". Siin see on, vektori vabadus – vektor "kannab kõike endaga kaasas". See omadus kehtib loomulikult iga vektori kohta. Naljakas, et baas(vaba)vektorid ise ei pea olema alguspunktist kõrvale jätnud, ühe saab joonistada näiteks all vasakule, teise aga üleval paremal ja sellest ei muutu midagi! Tõsi, te ei pea seda tegema, sest õpetaja näitab ka originaalsust ja tõmbab teile ootamatus kohas "passi".

Vektorid , illustreerivad täpselt vektori arvuga korrutamise reeglit, vektor on suunatud koos baasvektoriga , vektor on suunatud baasvektorile vastassuunas. Nende vektorite puhul on üks koordinaatidest võrdne nulliga, selle saab täpselt kirjutada järgmiselt:


Ja baasvektorid, muide, on sellised: (tegelikult väljenduvad nad iseenda kaudu).

Ja lõpuks: , . Muide, mis on vektorlahutamine ja miks ma ei rääkinud teile lahutamise reeglist? Kuskil lineaaralgebras, ma ei mäleta, kus, märkisin, et lahutamine on liitmise erijuht. Niisiis, vektorite "de" ja "e" laiendused on rahulikult kirjutatud summana: . Järjesta terminid kohati ümber ja järgi joonist, kui selgelt vana hea vektorite liitmine kolmnurga reegli järgi nendes olukordades töötab.

Arvestatud vormi lagunemine mida mõnikord nimetatakse vektori lagunemiseks süsteemis ort(ehk ühikvektorite süsteemis). Kuid see pole ainus viis vektori kirjutamiseks, tavaline on järgmine valik:

Või võrdusmärgiga:

Alusvektorid ise on kirjutatud järgmiselt: ja

See tähendab, et vektori koordinaadid on näidatud sulgudes. Praktilistes ülesannetes kasutatakse kõiki kolme salvestusvõimalust.

Kahtlesin, kas rääkida, aga ütlen siiski: vektori koordinaate ei saa ümber korraldada. Rangelt esikohal kirjuta üles koordinaat, mis vastab ühikuvektorile, rangelt teisel kohal pane kirja ühikvektorile vastav koordinaat . Tõepoolest, ja on kaks erinevat vektorit.

Leidsime lennuki koordinaadid. Nüüd kaaluge vektoreid kolmemõõtmelises ruumis, siin on kõik peaaegu sama! Lisatakse veel ainult üks koordinaat. Kolmemõõtmelisi jooniseid on raske teostada, seetõttu piirdun ühe vektoriga, mille lihtsuse huvides lükkan lähtepunktist edasi:

Ükskõik milline 3D ruumivektor ainus viis laiendada ortonormaalsel alusel:
, kus on antud baasis vektori (arvu) koordinaadid.

Näide pildilt: . Vaatame, kuidas vektortoimingu reeglid siin töötavad. Esiteks, vektori korrutamine arvuga: (punane nool), (roheline nool) ja (magenta nool). Teiseks on siin näide mitme, antud juhul kolme vektori liitmisest: . Summavektor algab lähtepunktist (vektori algusest) ja jõuab lõpp-punkti (vektori lõppu).

Kõik kolmemõõtmelise ruumi vektorid on loomulikult ka vabad, proovige vektorit mõtteliselt edasi lükata mis tahes muust punktist ja saate aru, et selle laienemine "jääb sellega".

Sarnaselt lennuki juhtumiga, lisaks kirjutamine laialdaselt kasutatakse sulgudega versioone: kas .

Kui laienduses puudub üks (või kaks) koordinaatvektorit, siis pannakse selle asemele nullid. Näited:
vektor (täpsemalt ) - Kirjuta üles ;
vektor (täpsemalt ) - Kirjuta üles ;
vektor (täpsemalt ) - Kirjuta üles .

Alusvektorid kirjutatakse järgmiselt:

Siin on ehk kõik minimaalsed teoreetilised teadmised, mis on vajalikud analüütilise geomeetria probleemide lahendamiseks. Võib-olla on termineid ja määratlusi liiga palju, seega soovitan mannekeenidel uuesti läbi lugeda ja aru saada see informatsioon uuesti. Ja igal lugejal on kasulik materjali paremaks assimilatsiooniks aeg-ajalt põhitunnile viidata. Kollineaarsus, ortogonaalsus, ortonormaalne alus, vektori lagunemine – neid ja teisi mõisteid kasutatakse edaspidi sageli. Märgin, et saidi materjalidest ei piisa teoreetilise testi, geomeetria kollokviumi läbimiseks, kuna ma krüpteerin hoolikalt kõik teoreemid (ja ilma tõenditeta) - selle kahjuks teaduslik stiil esitlus, kuid see on pluss teie arusaamisele teemast. Üksikasjaliku teoreetilise teabe saamiseks palun kummardada professor Atanasyani ees.

Liigume nüüd praktilise osa juurde:

Analüütilise geomeetria lihtsamad ülesanded.
Tegevused vektoritega koordinaatides

Ülesandeid, mida kaalutakse, on väga soovitav õppida, kuidas neid täielikult automaatselt lahendada, ja valemeid meelde jätta, ärge isegi meelega mäletage, nad mäletavad seda ise =) See on väga oluline, kuna muud analüütilise geomeetria probleemid põhinevad kõige lihtsamatel elementaarsetel näidetel ja etturite söömisele lisaaega kulutada on tüütu. Särgil pole vaja ülemisi nööpe kinnitada, paljud asjad on sulle koolist tuttavad.

Materjali esitlus kulgeb paralleelselt – nii tasapinna kui ruumi osas. Sel põhjusel, et kõik valemid ... näete ise.

Kuidas leida vektorit, millel on kaks punkti?

Kui on antud kaks tasandi punkti ja, siis on vektoril järgmised koordinaadid:

Kui on antud kaks punkti ruumis ja, siis on vektoril järgmised koordinaadid:

See on, vektori lõpu koordinaatidest peate lahutama vastavad koordinaadid vektori algus.

Harjutus: Samade punktide jaoks kirjuta üles valemid vektori koordinaatide leidmiseks. Valemid tunni lõpus.

Näide 1

Arvestades kaks punkti lennukis ja . Otsige vektori koordinaadid

Lahendus: vastavalt vastavale valemile:

Teise võimalusena võib kasutada järgmist tähistust:

Esteetid otsustavad järgmiselt:

Isiklikult olen harjunud plaadi esimese versiooniga.

Vastus:

Tingimuse kohaselt ei olnud vaja joonist koostada (mis on tüüpiline analüütilise geomeetria ülesannete jaoks), kuid selleks, et mannekeenidele mõnda punkti selgitada, ei ole ma liiga laisk:

Tuleb aru saada erinevus punktikoordinaatide ja vektorkoordinaatide vahel:

Punktide koordinaadid on tavalised koordinaadid ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Ma arvan, et kõik teavad, kuidas punkte koordinaattasandil joonistada alates 5.-6. Igal punktil on lennukis range koht ja neid ei saa kuhugi teisaldada.

Sama vektori koordinaadid on selle laiendamine aluse suhtes , antud juhul . Iga vektor on vaba, seetõttu saame seda vajadusel hõlpsalt mõnest teisest tasandi punktist edasi lükata. Huvitav on see, et vektorite jaoks ei saa te üldse ehitada telgi, ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi, vajate ainult alust, antud juhul tasapinna ortonormaalset alust.

Punktide koordinaatide ja vektorkoordinaatide kirjed tunduvad olevat sarnased: , ja koordinaatide tunnetamine absoluutselt erinev, ja peaksite sellest erinevusest hästi teadlik olema. See erinevus kehtib loomulikult ka ruumi kohta.

Daamid ja härrad, me täidame oma käed:

Näide 2

a) Arvestades punkte ja . Leia vektorid ja .
b) Punkte antakse ja . Leia vektorid ja .
c) Arvestades punkte ja . Leia vektorid ja .
d) Punkte antakse. Otsige vektoreid .

Võib-olla piisab. Need on näited sõltumatu otsus, proovi neid mitte hooletusse jätta, see tasub end ära ;-). Jooniseid ei nõuta. Lahendused ja vastused tunni lõpus.

Mis on oluline analüütilise geomeetria ülesannete lahendamisel? Oluline on olla ERITI ETTEVAATLIK, et vältida meisterlikku “kaks pluss kaks võrdub null” viga. Vabandan juba ette, kui eksisin =)

Kuidas leida lõigu pikkust?

Pikkus, nagu juba märgitud, on näidatud mooduli märgiga.

Kui on antud kaks tasandi punkti ja, saab segmendi pikkuse arvutada valemiga

Kui on antud kaks punkti ruumis ja, siis saab segmendi pikkuse arvutada valemiga

Märge: Valemid jäävad õigeks, kui vahetada vastavad koordinaadid: ja , kuid esimene variant on standardsem

Näide 3

Lahendus: vastavalt vastavale valemile:

Vastus:

Selguse huvides teen joonise

Joonelõik – see ei ole vektor, ja te ei saa seda muidugi kuhugi liigutada. Lisaks, kui täidate joonise mõõtkavas: 1 ühik. \u003d 1 cm (kaks tetradilahtrit), siis saab vastust kontrollida tavalise joonlauaga, mõõtes otseselt segmendi pikkust.

Jah, lahendus on lühike, kuid sellel on veel paar olulised punktid Tahaksin selgitada:

Esiteks määrame vastuses mõõtme: "ühikud". Seisundis pole kirjas, MIS see on, millimeetrites, sentimeetrites, meetrites või kilomeetrites. Seetõttu on üldine sõnastus matemaatiliselt pädev lahendus: "ühikud" - lühendatult "ühikud".

Teiseks kordame koolimaterjali, mis on kasulik mitte ainult käsitletava probleemi jaoks:

pööra tähelepanu oluline tehniline trikk – kordaja juure alt välja võtmine. Arvutuste tulemusena saime tulemuse ja hea matemaatiline stiil hõlmab teguri juure alt välja võtmist (kui võimalik). Protsess näeb üksikasjalikumalt välja järgmine: . Muidugi ei tee vastuse vormile jätmine viga – aga kindlasti on see viga ja kaalukas argument õpetaja näpunäideteks.

Siin on muud levinud juhtumid:

Sageli saadakse piisavalt suur arv näiteks juure alla. Kuidas sellistel juhtudel olla? Kalkulaatoris kontrollime, kas arv jagub 4-ga:. Jah, jagage täielikult, nii: . Või äkki saab arvu jälle 4-ga jagada? . Sellel viisil: . Arvu viimane number on paaritu, seega pole kolmandat korda 4-ga jagamine ilmselgelt võimalik. Proovin jagada üheksaga: . Tulemusena:
Valmis.

Järeldus: kui juure alla saame täisarvu, mida ei saa välja võtta, siis proovime juure alt välja võtta teguri - kalkulaatoris kontrollime, kas arv jagub arvuga: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , jne.

Otsuse tegemise ajal erinevaid ülesandeid juured on tavalised, proovi alati juure alt faktoreid välja tõmmata, et vältida väiksemat punktisummat ja tarbetuid probleeme oma lahenduste viimistlemisel vastavalt õpetaja märkusele.

Kordame samaaegselt juurte ja muude jõudude ruudustamist:

Kraadidega toimingute reeglid üldine vaade võib leida algebra kooliõpikust, aga arvan, et kõik või peaaegu kõik on juba toodud näidetest selge.

Iseseisva lahenduse ülesanne ruumisegmendiga:

Näide 4

Antud punktid ja . Leidke lõigu pikkus.

Lahendus ja vastus tunni lõpus.

Kuidas leida vektori pikkust?

Kui on antud tasapinnaline vektor, siis arvutatakse selle pikkus valemiga.

Kui ruumivektor on antud, arvutatakse selle pikkus valemiga .

Selles õppetükis vaatleme veel kahte vektoritega tehtavat toimingut: vektorite ristkorrutis ja vektorite segakorrutis (vahetu link neile, kes seda vajavad). Pole hullu, vahel juhtub, et täielikuks õnneks lisaks vektorite punktkorrutis, on vaja rohkem ja rohkem. Selline on vektorsõltuvus. Võib jääda mulje, et oleme sattumas analüütilise geomeetria džunglisse. See ei ole tõsi. Kõrgema matemaatika selles osas on küttepuid üldiselt vähe, välja arvatud ehk piisavalt Pinocchio jaoks. Tegelikult on materjal väga levinud ja lihtne – vaevalt raskem kui sama skalaarkorrutis, isegi tüüpilised ülesanded jääb vähemaks. Peamine asi analüütilises geomeetrias, nagu paljud näevad või on juba näinud, on MITTE VEDA ARVUTUSTES. Korrake nagu loitsu ja olete õnnelik =)

Kui vektorid sädelevad kusagil kaugel, nagu välk silmapiiril, siis pole vahet, alusta õppetunniga Mannekeenide vektorid taastada või omandada algteadmised vektorite kohta. Ettevalmistumad lugejad saavad infoga tutvuda valikuliselt, püüdsin kokku koguda võimalikult tervikliku näitekogu, mida sageli leidub praktiline töö

Mis teeb sind õnnelikuks? Kui olin väike, oskasin kahe ja isegi kolme palliga žongleerida. See tuli hästi välja. Nüüd pole üldse vaja žongleerida, kuna me kaalume ainult ruumivektorid, ja kahe koordinaadiga lamevektorid jäetakse välja. Miks? Nii need tegevused sündisid – vektor ja vektorite segakorrutis on defineeritud ja toimivad kolmemõõtmelises ruumis. Juba lihtsam!

Selles toimingus, samamoodi nagu skalaarkorrutis, kaks vektorit. Olgu need kadumatud tähed.

Tegevus ise tähistatud järgmisel viisil: . On ka teisi võimalusi, aga ma olen harjunud vektorite ristkorrutist niimoodi tähistama, nurksulgudes koos ristiga.

Ja kohe küsimus: kui sisse vektorite punktkorrutis kaasatud on kaks vektorit ja siin korrutatakse ka kaks vektorit, siis mis vahe on? Selge erinevus, esiteks TULEMUSES:

Vektorite skalaarkorrutise tulemus on ARV:

Vektorite ristkorrutise tulemus on VEKTOR: , ehk siis korrutame vektorid ja saame uuesti vektori. Suletud klubi. Tegelikult sellest ka operatsiooni nimi. Erinevas õppekirjanduses võivad tähistused samuti erineda, kasutan tähte .

Ristkorrutise määratlus

Kõigepealt tuleb pildiga definitsioon, seejärel kommentaarid.

Definitsioon: risttoode mittekollineaarne vektorid, võetud selles järjekorras, nimetatakse VECTORiks, pikkus mis on arvuliselt võrdne rööpküliku pindalaga, ehitatud nendele vektoritele; vektor vektoritega ortogonaalne, ja on suunatud nii, et alus oleks õiges suunas:

Analüüsime definitsiooni luude kaupa, seal on palju huvitavat!

Seega võime esile tõsta järgmisi olulisi punkte:

1) Lähtevektorid, definitsiooni järgi tähistatud punaste nooltega mitte kollineaarne. Kollineaarsete vektorite juhtumit on asjakohane käsitleda veidi hiljem.

2) Võetud vektorid ranges järjekorras: – "a" korrutatakse arvuga "olla", mitte "olema" asemel "a". Vektori korrutamise tulemus on VECTOR , mis on tähistatud sinisega. Kui vektoreid korrutada vastupidises järjekorras, siis saame vektori, mis on võrdne pikkusega ja vastassuunas (karmiinpunane). See tähendab võrdsust .

3) Nüüd tutvume vektorkorrutise geomeetrilise tähendusega. See on väga oluline punkt! Sinise vektori (ja seega ka karmiinpunase vektori ) PIKKUS on arvuliselt võrdne vektoritele ehitatud rööpküliku PIIRKONNAga. Joonisel on see rööpkülik mustaks varjutatud.

Märge : joonis on skemaatiline ja loomulikult ei võrdu ristkorrutise nimipikkus rööpküliku pindalaga.

Tuletame meelde ühte geomeetrilistest valemitest: rööpküliku pindala on võrdne külgnevate külgede ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega. Seetõttu kehtib eelneva põhjal vektorkorrutise PIKKUSE arvutamise valem:

Rõhutan, et valemis räägime vektori PIKKUSEST, mitte vektorist endast. Mis on praktiline tähendus? Ja tähendus on selline, et analüütilise geomeetria probleemide korral leitakse rööpküliku pindala sageli vektorkorrutise kontseptsiooni kaudu:

Saame teise olulise valemi. Rööpküliku diagonaal (punane punktiirjoon) jagab selle kaheks võrdne kolmnurk. Seetõttu saab vektoritele ehitatud kolmnurga pindala (punane varjutus) leida valemiga:

4) Mitte vähem kui oluline fakt on see, et vektor on vektoritega ortogonaalne, see tähendab, . Muidugi on ka vastupidise suunaga vektor (karmiinpunane nool) ortogonaalne algsete vektoritega .

5) Vektor on suunatud nii alus Sellel on õige orientatsiooni. Õppetunnis umbes üleminek uuele alusele Olen sellest üksikasjalikult rääkinud tasapinnaline orientatsioon, ja nüüd selgitame välja, mis on ruumi orientatsioon. Ma selgitan teile sõrmedel parem käsi . Vaimselt kombineerida nimetissõrm vektoriga ja keskmine sõrm vektoriga. Sõrmuse sõrm ja väike sõrm suruge peopessa. Tulemusena pöial - vektorkorrutis otsib üles. See on paremale suunatud alus (see on joonisel). Nüüd vaheta vektorid ( nimetis- ja keskmised sõrmed) mõnes kohas pöördub selle tulemusena pöial ümber ja vektorkorrutis vaatab juba alla. See on ka paremale suunatud alus. Võib-olla on teil küsimus: mis alusel on vasakpoolne orientatsioon? "Määrake" samad sõrmed vasak käsi vektorid ja saate vasakpoolse baasi ja vasakpoolse ruumi orientatsiooni (sel juhul asub pöial alumise vektori suunas). Piltlikult öeldes “väänavad” või orienteerivad need alused ruumi eri suundades. Ja seda kontseptsiooni ei tohiks pidada millekski kaugeks või abstraktseks - näiteks muudab kõige tavalisem peegel ruumi orientatsiooni ja kui "tõmbate peegeldunud objekti peeglist välja", siis üldiselt pole see võimalik ühendage see "originaaliga". Muide, tooge kolm sõrme peegli juurde ja analüüsige peegeldust ;-)

... kui hea on see, et sa sellest nüüd tead paremale ja vasakule orienteeritud alused, sest osade õppejõudude väited orientatsiooni muutumise kohta on kohutavad =)

Kollineaarsete vektorite vektorkorrutis

Definitsioon on üksikasjalikult välja töötatud, jääb üle välja selgitada, mis juhtub, kui vektorid on kollineaarsed. Kui vektorid on kollineaarsed, siis saab need asetada ühele sirgele ja ka meie rööpkülik “voldib” üheks sirgeks. Selliste ala, nagu matemaatikud ütlevad, degenereerunud rööpkülik on null. Sama tuleneb valemist - nulli ehk 180 kraadi siinus võrdub nulliga, mis tähendab, et pindala on null

Seega, kui , siis . Rangelt võttes on ristkorrutis ise võrdne nullvektoriga, kuid praktikas jäetakse see sageli tähelepanuta ja kirjutatakse, et see on lihtsalt võrdne nulliga.

erijuhtum on vektori ja iseenda ristkorrutis:

Ristkorrutist kasutades saab kontrollida kolmemõõtmeliste vektorite kollineaarsust ning analüüsime muuhulgas ka seda probleemi.

Praktiliste näidete lahendamiseks võib see osutuda vajalikuks trigonomeetriline tabel siit siinuste väärtuste leidmiseks.

Noh, teeme tuld:

Näide 1

a) Leia vektorite vektorkorrutise pikkus, kui

b) Leidke vektoritele ehitatud rööpküliku pindala, kui

Lahendus: Ei, see pole kirjaviga, muutsin tingimuse üksuste lähteandmed tahtlikult samaks. Sest lahenduste kujundus on erinev!

a) Vastavalt tingimusele on vaja leida pikkus vektor (vektori korrutis). Vastavalt vastavale valemile:

Vastus:

Kuna küsiti pikkuse kohta, siis vastuses märgime mõõtme - ühikud.

b) Vastavalt tingimusele on vaja leida ruut vektoritele ehitatud rööpkülik . Selle rööpküliku pindala on arvuliselt võrdne ristkorrutise pikkusega:

Vastus:

Pange tähele, et vektorkorrutise vastuses pole üldse juttu, meilt küsiti selle kohta figuuri piirkond, mõõde on vastavalt ruutühikud.

Vaatame alati, MIDA tingimus peab leidma, ja selle põhjal sõnastame selge vastama. See võib tunduda sõnasõnalisusena, kuid õpetajate hulgas on piisavalt literaliste ja suure tõenäosusega ülesanne tagastatakse ülevaatamiseks. Kuigi tegemist ei ole eriti pingutatud näpunäidetega – kui vastus on vale, siis jääb mulje, et inimene ei saa lihtsatest asjadest aru ja/või pole ülesande olemusse süvenenud. Seda hetke tuleks alati kontrolli all hoida, lahendades mis tahes ülesandeid kõrgemas matemaatikas ja ka teistes ainetes.

Kuhu kadus suur "en" täht? Põhimõtteliselt võiks selle täiendavalt lahenduse külge kinni jääda, aga rekordi lühendamiseks ma seda ei teinud. Loodan, et kõik saavad sellest aru ja tähistavad sama asja.

Populaarne näide isetegemise lahendusest:

Näide 2

Leidke vektoritele ehitatud kolmnurga pindala, kui

Vektorkorrutise kaudu kolmnurga pindala leidmise valem on toodud definitsiooni kommentaarides. Lahendus ja vastus tunni lõpus.

Praktikas on ülesanne tõesti väga levinud, kolmnurki saab üldiselt piinata.

Muude probleemide lahendamiseks vajame:

Vektorite ristkorrutise omadused

Oleme juba vaaginud mõnda vektorprodukti omadust, kuid lisan need sellesse loendisse.

Suvaliste vektorite ja suvalise arvu korral kehtivad järgmised omadused:

1) Teistes teabeallikates seda elementi omadustes tavaliselt ei eristata, kuid see on praktilises mõttes väga oluline. Nii et las olla.

2) - vara on ka ülalpool juttu, vahel nimetatakse antikommutatiivsus. Teisisõnu, vektorite järjekord on oluline.

3) - kombinatsioon või assotsiatiivne vektorkorrutise seadused. Konstandid on kergesti eemaldatavad vektorkorrutise piiridest. Tõesti, mida nad seal teevad?

4) - levitamine või levitamine vektorkorrutise seadused. Ka sulgude avamisega pole probleeme.

Näitena kaaluge lühikest näidet:

Näide 3

Leia, kui

Lahendus: Tingimuse järgi on jällegi vaja leida vektorkorrutise pikkus. Maalime oma miniatuuri:

(1) Vastavalt assotsiatiivsetele seadustele võtame konstandid välja vektorkorrutise piiridest.

(2) Me võtame moodulist välja konstandi, samal ajal kui moodul “sööb” miinusmärgi. Pikkus ei saa olla negatiivne.

(3) Järgnev on selge.

Vastus:

On aeg puid tulle visata:

Näide 4

Arvutage vektoritele ehitatud kolmnurga pindala, kui

Lahendus: leidke valemi abil kolmnurga pindala . Probleem seisneb selles, et vektorid "ce" ja "te" on ise esitatud vektorite summadena. Siinne algoritm on standardne ja meenutab mõneti tunni näiteid nr 3 ja 4. Vektorite punktkorrutis. Selguse huvides jagame selle kolmeks etapiks:

1) Esimeses etapis väljendame vektorprodukti vektorkorrutise kaudu, tegelikult väljendada vektorit vektori kaudu. Pikkuse kohta pole veel sõnagi!

(1) Asendame vektorite avaldised.

(2) Kasutades distributsiooniseadusi, avame sulud polünoomide korrutamise reegli järgi.

(3) Kasutades assotsiatiivseid seadusi, võtame välja kõik konstandid väljaspool vektorkorrutisi. Vähese kogemuse korral saab toiminguid 2 ja 3 teha samaaegselt.

(4) Esimene ja viimane liige on meeldiva omaduse tõttu võrdsed nulliga (nullvektor). Teises terminis kasutame vektori korrutise antikommutatiivsuse omadust:

(5) Esitame sarnased terminid.

Selle tulemusel selgus, et vektor oli väljendatud vektori kaudu, mis oli see, mida oli vaja saavutada:

2) Teises etapis leiame meile vajaliku vektorkorrutise pikkuse. See toiming sarnaneb näitega 3:

3) Leidke soovitud kolmnurga pindala:

Lahenduse etapid 2-3 võiks olla paigutatud ühele reale.

Vastus:

Vaadeldav probleem on üsna levinud kontrolltööd, siin on näide isetegemise lahendusest:

Näide 5

Leia, kui

Lühilahendus ja vastus tunni lõpus. Vaatame, kui tähelepanelik sa eelmisi näiteid uurides olid ;-)

Vektorite ristkorrutis koordinaatides

Valem on tõesti lihtne: kirjutame koordinaatvektorid determinandi ülemisele reale, "pakime" vektorite koordinaadid teisele ja kolmandale reale ja paneme ranges järjekorras- esiteks vektori "ve" koordinaadid, seejärel vektori "double-ve" koordinaadid. Kui vektoreid on vaja korrutada teises järjekorras, tuleb ka read vahetada:

Näide 10

Kontrollige, kas järgmised ruumivektorid on kollineaarsed:
a)
b)

Lahendus: Ühel väitel põhinev kinnitamine see õppetund: kui vektorid on kollineaarsed, siis on nende vektorkorrutis null (nullvektor): .

a) Leidke vektorkorrutis:

Seega ei ole vektorid kollineaarsed.

b) Leidke vektorkorrutis:

Vastus a) mitte kollineaarne, b)

Siin on võib-olla kogu põhiteave vektorite vektorkorrutise kohta.

See jaotis ei ole väga suur, kuna vektorite segakorrutise kasutamisel on vähe probleeme. Tegelikult sõltub kõik määratlusest, geomeetriline tunne ja paar töövalemit.

Vektorite segakorrutis on kolme vektori korrutis:

Nii rivistusid nad nagu rong ja ootavad, nad ei jõua ära oodata, kuni välja arvutatakse.

Kõigepealt jälle definitsioon ja pilt:

Definitsioon: Segatoode mitte-tasapinnaline vektorid, võetud selles järjekorras, kutsutakse rööptahuka maht, mis on ehitatud nendele vektoritele, varustatud märgiga "+", kui alus on õige, ja märgiga "-", kui alus on vasakpoolne.

Teeme joonistamise. Meile nähtamatud jooned on joonistatud punktiirjoonega:

Sukeldume määratlusse:

2) Võetud vektorid kindlas järjekorras, see tähendab, et vektorite permutatsioon korrutises, nagu võite arvata, ei jää tagajärgedeta.

3) Enne geomeetrilise tähenduse kommenteerimist märgin ilmne fakt: vektorite segakorrutis on ARV: . Õppekirjanduses võib kujundus olla mõnevõrra erinev, varem tähistasin segatoodet läbi ja arvutuste tulemust tähega "pe".

Definitsiooni järgi segaprodukt on rööptahuka ruumala, ehitatud vektoritele (joonis on joonistatud punaste vektorite ja mustade joontega). See tähendab, et arv on võrdne antud rööptahuka helitugevusega.

Märge : Joonis on skemaatiline.

4) Ärme hakka jälle vaeva nägema aluse ja ruumi orientatsiooni mõistega. Lõpuosa tähendus on see, et helitugevusele saab lisada miinusmärgi. Lihtsamalt öeldes võib segatoode olla negatiivne: .

Definitsioonist tuleneb otseselt vektoritele ehitatud rööptahuka ruumala arvutamise valem.

Ühiku vektor- see on vektor, mille absoluutväärtus (moodul) on võrdne ühega. Ühikvektori tähistamiseks kasutame alamindeksit e. Seega, kui vektor on antud a, siis on selle ühikvektor vektor a e. See ühikvektor osutab vektoriga samas suunas a, ja selle moodul on võrdne ühega, see tähendab a e \u003d 1.

Ilmselgelt a= a a e (a - vektori moodul a). See tuleneb reeglist, mille järgi operatsioon tehakse skalaari korrutamine vektoriga.

Ühikvektorid sageli seostatakse koordinaatsüsteemi koordinaattelgedega (eriti Descartes'i koordinaatsüsteemi telgedega). Nende juhised vektoridühtivad vastavate telgede suundadega ja nende alguspunkte kombineeritakse sageli koordinaatsüsteemi alguspunktiga.

Lubage mul seda teile meelde tuletada Descartes'i koordinaatsüsteem ruumis nimetatakse traditsiooniliselt vastastikku risti asetsevate telgede kolmikuks, mis lõikuvad punktis, mida nimetatakse alguspunktiks. Koordinaatide telgi tähistatakse tavaliselt tähtedega X, Y, Z ja neid nimetatakse vastavalt abstsissteljeks, ordinaatteljeks ja rakendusteljeks. Descartes ise kasutas ainult ühte telge, millele olid joonistatud abstsissid. kasutuse väärtus süsteemid kirved kuulub tema õpilastele. Seetõttu fraas Descartes'i süsteem koordinaadid ajalooliselt vale. Räägi parem ristkülikukujuline koordinaatsüsteem või ortogonaalne koordinaatsüsteem. Sellegipoolest me traditsioone ei muuda ja edaspidi eeldame, et Descartes'i ja ristkülikukujulised (ristkülikukujulised) koordinaatide süsteemid on üks ja seesama.

Ühiku vektor, mis on suunatud piki X-telge, on tähistatud i, ühikvektor, mis on suunatud piki Y-telge, on tähistatud j, a ühikvektor, mis on suunatud piki Z-telge, on tähistatud k. Vektorid i, j, k helistas orts(joon. 12, vasakul), on neil üksikud moodulid, st
i = 1, j = 1, k = 1.

teljed ja orts ristkülikukujuline koordinaatsüsteem mõnel juhul on neil muud nimed ja tähistused. Niisiis võib abstsisstellge X nimetada puutujateljeks ja selle ühikvektorit tähistatakse τ (Kreeka väike täht tau), y-telg on normaaltelg, selle ühikvektor on tähistatud n, on rakendustelg binormaali telg, selle ühikvektor on tähistatud b. Milleks muuta nimesid, kui olemus jääb samaks?

Fakt on see, et näiteks mehaanikas kasutatakse kehade liikumise uurimisel väga sageli ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi. Seega, kui koordinaatsüsteem ise on liikumatu ja selles liikumatus süsteemis jälgitakse liikuva objekti koordinaatide muutust, siis tavaliselt tähistavad teljed X, Y, Z ja nende orts vastavalt i, j, k.

Kuid sageli, kui objekt liigub mööda mingit kõverjoonelist trajektoori (näiteks mööda ringi), on mugavam arvestada mehaanilisi protsesse koordinaatsüsteemis, mis liigub koos selle objektiga. Just sellise liikuva koordinaatsüsteemi puhul kasutatakse telgede teisi nimetusi ja nende ühikuvektoreid. See on lihtsalt aktsepteeritud. Sel juhul on X-telg suunatud tangentsiaalselt trajektoorile punktis, kus Sel hetkel see objekt asub. Ja siis ei nimetata seda telge enam X-teljeks, vaid puutujateljeks ja selle ühikvektorit enam ei tähistata i, a τ . Y-telg on suunatud piki trajektoori kõverusraadiust (ringikujulise liikumise korral - ringi keskpunkti). Ja kuna raadius on puutujaga risti, nimetatakse telge normaalteljeks (risti ja normaal on sama asi). Selle telje ort ei ole enam tähistatud j, a n. Kolmas telg (endine Z) on risti kahe eelmise teljega. See on vektoriga binormaal b(Joonis 12, paremal). Muide, antud juhul ristkülikukujuline koordinaatsüsteem sageli nimetatakse seda "looduslikuks" või looduslikuks.