Negatiivsed ratsionaalarvud. Ratsionaalarvude definitsioon ja näited

Kvartalid

Korralikkus. a Ja b on olemas reegel, mis võimaldab unikaalselt tuvastada ühe ja ainult ühe kolmest nendevahelisest seosest: "< », « >" või " = ". Seda reeglit nimetatakse tellimise reegel ja on sõnastatud järgmiselt: kaks mittenegatiivset arvu ja on seotud sama seosega nagu kaks täisarvu ja ; kaks mittepositiivset numbrit a Ja b on seotud sama seosega kui kaks mittenegatiivset arvu ja ; kui äkki a mittenegatiivne, aga b- negatiivne siis a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Murdude lisamine
Lisamise operatsioon. Mis tahes ratsionaalsete arvude jaoks a Ja b on olemas nn summeerimisreegel c. Pealegi number ise c helistas summa numbrid a Ja b ja seda tähistatakse , ning sellise arvu leidmise protsessi kutsutakse summeerimine. Summeerimisreeglil on järgmine vorm: .
Korrutamise operatsioon. Mis tahes ratsionaalsete arvude jaoks a Ja b on olemas nn korrutamisreegel, mis määrab neile mingi ratsionaalse numbri c. Pealegi number ise c helistas tööd numbrid a Ja b ja seda tähistatakse , ning sellise arvu leidmise protsessi nimetatakse ka korrutamine. Korrutamisreegel näeb välja selline: .
Tellimussuhte transitiivsus. Ratsionaalarvude mis tahes kolmiku korral a , b Ja c Kui a vähem b Ja b vähem c, See a vähem c, ja kui a võrdub b Ja b võrdub c, See a võrdub c. 6435">Liimise kommutatiivsus. Ratsionaalsete terminite kohtade muutmine ei muuda summat.
Lisamise assotsiatiivsus. Kolme ratsionaalarvu liitmise järjekord tulemust ei mõjuta.
Nulli olemasolu. On olemas ratsionaalarv 0, mis lisamisel säilitab kõik teised ratsionaalarvud.
Vastandarvude olemasolu. Igal ratsionaalarvul on vastupidine ratsionaalarv, mis lisamisel annab 0.
Korrutamise kommutatiivsus. Ratsionaalsete tegurite kohtade muutmine ei muuda toodet.
Korrutamise assotsiatiivsus. Kolme ratsionaalarvu korrutamise järjekord ei mõjuta tulemust.
Üksuse saadavus. On olemas ratsionaalarv 1, mis korrutatuna säilitab kõik teised ratsionaalarvud.
Vastastikuste arvude olemasolu. Igal ratsionaalarvul on pöördratsionaalarv, mis korrutatuna annab 1.
Korrutamise jaotus liitmise suhtes. Korrutustehte koordineeritakse liitmistehtega jaotusseaduse kaudu:
Tellimussuhte seos liitmise operatsiooniga. Sama ratsionaalarvu saab lisada ratsionaalse ebavõrdsuse vasakule ja paremale poolele. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Archimedese aksioom.Ükskõik milline ratsionaalne arv a, võite võtta nii palju ühikuid, et nende summa ületab a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Täiendavad omadused

Kõiki teisi ratsionaalarvudele omaseid omadusi põhilistena ei eristata, sest üldiselt ei põhine need enam otseselt täisarvude omadustel, vaid on tõestatavad antud põhiomaduste põhjal või otse mõne matemaatilise objekti definitsiooniga. . Sellised täiendavad omadused nii palju. Siin on mõttekas loetleda neist vaid mõned.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Komplekti loendatavus

Ratsionaalarvude nummerdamine

Lihtsaim neist algoritmidest näeb välja selline. Igaühe kohta koostatakse lõputu tavaliste murdude tabel i- igas rida j veerg, mille murd asub. Kindluse huvides eeldatakse, et selle tabeli read ja veerud on nummerdatud alates ühest. Tabeli lahtreid tähistatakse , kus i- tabelirea number, milles lahter asub, ja j- veeru number.

Saadud tabel läbitakse "madu" abil vastavalt järgmisele formaalsele algoritmile.

Neid reegleid otsitakse ülalt alla ja järgmine positsioon valitakse esimese vaste põhjal.

Sellise läbimise käigus seostatakse iga uus ratsionaalne arv teisega naturaalarv. See tähendab, et murd 1/1 omistatakse numbrile 1, murd 2/1 numbrile 2 jne. Tuleb märkida, et nummerdatakse ainult taandamatuid murde. Taastamatuse formaalne märk on see, et murru lugeja ja nimetaja suurim ühisjagaja on võrdne ühega.

Seda algoritmi järgides saame loetleda kõik positiivsed ratsionaalarvud. See tähendab, et positiivsete ratsionaalarvude hulk on loendatav. Positiivsete ja negatiivsete ratsionaalarvude hulkade vahel on lihtne määrata bijektsioon, määrates igale ratsionaalarvule lihtsalt selle vastandi. See. ka negatiivsete ratsionaalarvude hulk on loendatav. Nende liit on loendatav ka loendatavate hulkade omaduse järgi. Ratsionaalarvude hulk on loendatav ka loendatava hulga ja lõpliku hulga ühendusena.

Väide ratsionaalarvude hulga loendavuse kohta võib tekitada segadust, kuna esmapilgul tundub, et see on palju ulatuslikum kui naturaalarvude hulk. Tegelikult see nii ei ole ja naturaalarvusid on piisavalt, et loetleda kõik ratsionaalsed arvud.

Ratsionaalarvude puudumine

Sellise kolmnurga hüpotenuusi ei saa väljendada ühegi ratsionaalarvuga

Ratsionaalarvud kujul 1 / nüldiselt n mõõta suvaliselt väikseid koguseid. See asjaolu loob eksitava mulje, et ratsionaalseid numbreid saab kasutada mis tahes geomeetriliste vahemaade mõõtmiseks. On lihtne näidata, et see pole tõsi.

Märkmed

Kirjandus

I. Kushnir. Matemaatika käsiraamat koolilastele. - Kiiev: ASTARTA, 1998. - 520 lk.
P. S. Aleksandrov. Sissejuhatus hulgateooriasse ja üldisesse topoloogiasse. - M.: peatükk. toim. füüsika ja matemaatika valgustatud. toim. "Teadus", 1977
I. L. Hmelnitski. Sissejuhatus algebraliste süsteemide teooriasse

Lingid

Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.

Ratsionaalarvude hulk

Ratsionaalarvude hulk on tähistatud ja selle saab kirjutada järgmiselt:

Selgub, et erinevad tähistused võivad tähistada sama murdosa, näiteks ja , (kõik murded, mida saab üksteisest sama naturaalarvuga korrutades või jagades, tähistavad sama ratsionaalarvu). Kuna murru lugeja ja nimetaja jagamisel nende suurima ühisjagajaga saame ratsionaalarvu ühe taandamatu esituse, võime rääkida nende hulgast kui hulgast taandamatu murded vastastikku algtäisarvu lugeja ja loomuliku nimetajaga:

Siin on arvude ja suurim ühine jagaja.

Ratsionaalarvude hulk on täisarvude hulga loomulik üldistus. On lihtne mõista, et kui ratsionaalarvul on nimetaja , siis on see täisarv. Ratsionaalarvude hulk paikneb kõikjal tihedalt arvuteljel: mis tahes kahe erineva ratsionaalarvu vahel on vähemalt üks ratsionaalarv (ja seega lõpmatu hulk ratsionaalarvusid). Selgub aga, et ratsionaalarvude hulgal on loendatav kardinaalsus (st kõiki selle elemente saab ümber nummerdada). Märgime muuseas, et vanad kreeklased olid veendunud arvude olemasolus, mida ei saa murdena esitada (näiteks tõestasid nad, et pole olemas ratsionaalset arvu, mille ruut on 2).

Terminoloogia

Ametlik määratlus

Formaalselt on ratsionaalarvud määratletud kui paaride ekvivalentsusklasside kogum samaväärsuse seose suhtes kui. Sel juhul defineeritakse liitmise ja korrutamise toimingud järgmiselt:

Seotud määratlused

Õiged, sobimatud ja segafraktsioonid

Õige Murru, mille lugeja on nimetajast väiksem, nimetatakse murdarvuks. Täismurrud tähistavad ratsionaalarve, mille moodul on väiksem kui üks. Murd, mis ei ole õige, nimetatakse vale ja tähistab ratsionaalarvu, mis on suurem või võrdne mooduliga ühest.

Vale murdosa võib esitada täisarvu ja summana õige murdosa, kutsus segafraktsioon . Näiteks, . Sarnast tähistust (liitmismärgi puudumisel), kuigi seda kasutatakse elementaararitmeetikas, välditakse ranges matemaatikakirjanduses, kuna segamurru tähistus on sarnasus täisarvu ja murru korrutise tähistusega.

Laske kõrgus

Kõrgus harilik murd on selle murru lugeja ja nimetaja mooduli summa. Ratsionaalarvu kõrgus on sellele arvule vastava taandamatu hariliku murru lugeja mooduli ja nimetaja summa.

Näiteks murdosa kõrgus on . Vastava ratsionaalarvu kõrgus on võrdne , kuna murdosa saab vähendada võrra .

Kommentaar

Tähtaeg murdosa (murd) Mõnikord [ täpsustada] kasutatakse selle termini sünonüümina ratsionaalarv ja mõnikord mis tahes mittetäisarvu sünonüüm. Viimasel juhul on murd- ja ratsionaalarvud erinevad asjad, sest siis on mittetäisarvulised ratsionaalarvud lihtsalt erijuhtum murdosaline.

Omadused

Põhiomadused

Ratsionaalarvude hulk rahuldab kuueteistkümne põhiomaduse, mida saab hõlpsasti tuletada täisarvude omadustest.

Korralikkus. Kõigi ratsionaalarvude jaoks on olemas reegel, mis võimaldab teil unikaalselt tuvastada ühe ja ainult ühe nendevahelisest kolmest seosest: "", "" või "". Seda reeglit nimetatakse tellimise reegel ja on sõnastatud järgmiselt: kaks positiivset arvu ja on seotud sama suhtega nagu kaks täisarvu ja ; kaks mittepositiivset arvu ja on seotud sama seosega nagu kaks mittenegatiivset arvu ja ; kui äkki pole see negatiivne, vaid - negatiivne, siis .
Murdude lisamine
Lisamise operatsioon. summeerimisreegel summa numbrid ja ja tähistatakse , ning sellise arvu leidmise protsessi kutsutakse summeerimine. Summeerimisreeglil on järgmine vorm: .
Korrutamise operatsioon. Igasuguste ratsionaalsete arvude jaoks on olemas nn korrutamisreegel, mis paneb nad vastavusse mõne ratsionaalse arvuga. Sel juhul helistatakse numbrile endale tööd numbrid ja ja tähistatakse , ning sellise arvu leidmise protsessi nimetatakse ka korrutamine. Korrutamisreeglil on järgmine kuju: .
Tellimussuhte transitiivsus. Iga ratsionaalarvu kolmiku korral ja kui vähem ja vähem, siis vähem ja kui võrdsed ja võrdsed, siis võrdsed.
Liitmise kommutatiivsus. Ratsionaalsete terminite kohtade muutmine ei muuda summat.
Lisamise assotsiatiivsus. Kolme ratsionaalarvu liitmise järjekord tulemust ei mõjuta.
Nulli olemasolu. On olemas ratsionaalarv 0, mis lisamisel säilitab kõik teised ratsionaalarvud.
Vastandarvude olemasolu. Igal ratsionaalarvul on vastupidine ratsionaalarv, mis lisamisel annab 0.
Korrutamise kommutatiivsus. Ratsionaalsete tegurite kohtade muutmine ei muuda toodet.
Korrutamise assotsiatiivsus. Kolme ratsionaalarvu korrutamise järjekord ei mõjuta tulemust.
Üksuse saadavus. On olemas ratsionaalarv 1, mis korrutatuna säilitab kõik teised ratsionaalarvud.
Vastastikuste arvude olemasolu. Igal nullist erineval ratsionaalarvul on pöördratsionaalarv, mis korrutatuna annab 1.
Korrutamise jaotus liitmise suhtes. Korrutustehte koordineeritakse liitmistehtega jaotusseaduse kaudu:
Tellimussuhte seos liitmise operatsiooniga. Sama ratsionaalarvu saab lisada ratsionaalse ebavõrdsuse vasakule ja paremale poolele.
Seos järjekorra seose ja korrutustehte vahel. Ratsionaalse ebavõrdsuse vasaku ja parema külje saab korrutada sama positiivse ratsionaalarvuga.
Archimedese aksioom.Ükskõik milline on ratsionaalne arv, võite võtta nii palju ühikuid, et nende summa ületab.

Täiendavad omadused

Kõiki teisi ratsionaalarvudele omaseid omadusi põhilistena ei eristata, sest üldiselt ei põhine need enam otseselt täisarvude omadustel, vaid on tõestatavad antud põhiomaduste põhjal või otse mõne matemaatilise objekti definitsiooniga. . Selliseid lisaomadusi on palju. Siin on mõttekas loetleda neist vaid mõned.

Komplekti loendatavus

Ratsionaalarvude arvu hindamiseks peate leidma nende hulga kardinaalsuse. Seda, et ratsionaalarvude hulk on loendatav, on lihtne tõestada. Selleks piisab, kui anda algoritm, mis loetleb ratsionaalarvud, s.t. loob bijektsiooni ratsionaal- ja naturaalarvude hulkade vahel. Sellise konstruktsiooni näide on järgmine lihtne algoritm. Koostatakse lõputu tavaliste murdude tabel, mille igas reas igas veerus murru asub. Kindluse huvides eeldatakse, et selle tabeli read ja veerud on nummerdatud alates ühest. Tabeli lahtrid on tähistatud , kus on tabeli rea number, milles lahter asub, ja veeru number.

Saadud tabel läbitakse "madu" abil vastavalt järgmisele formaalsele algoritmile.

Neid reegleid otsitakse ülalt alla ja järgmine positsioon valitakse esimese vaste põhjal.

Sellise läbimise käigus seostatakse iga uus ratsionaalne arv teise naturaalarvuga. See tähendab, et murdudele omistatakse number 1, murdudele number 2 jne. Tuleb märkida, et nummerdatakse ainult taandamatuid murde. Taastamatuse formaalne märk on see, et murru lugeja ja nimetaja suurim ühisjagaja on võrdne ühega.

Muidugi on ka teisi viise ratsionaalsete arvude loetlemiseks. Näiteks saate selleks kasutada selliseid struktuure nagu Kalkin-Wilfi puu, Stern-Broko puu või Farey seeria.

Ratsionaalarvude puudumine

Vaata ka


	Täisarvud

Ratsionaalarvud

Reaalarvud Keerulised numbrid Kvaternioonid

Märkmed

Kirjandus

I. Kushnir. Matemaatika käsiraamat koolilastele. - Kiiev: ASTARTA, 1998. - 520 lk.
P. S. Aleksandrov. Sissejuhatus hulgateooriasse ja üldisesse topoloogiasse. - M.: peatükk. toim. füüsika ja matemaatika valgustatud. toim. "Teadus", 1977
I. L. Hmelnitski. Sissejuhatus algebraliste süsteemide teooriasse

Ratsionaalarvude määratlus:

Ratsionaalarv on arv, mida saab esitada murdarvuna. Sellise murru lugeja kuulub täisarvude hulka ja nimetaja naturaalarvude hulka.

Miks nimetatakse numbreid ratsionaalseteks?

Ladina keeles tähendab suhe suhet. Ratsionaalarvusid saab esitada suhtena, s.t. teisisõnu murdosana.

Ratsionaalarvu näide

Arv 2/3 on ratsionaalne arv. Miks? Seda arvu kujutatakse murdosana, mille lugeja kuulub täisarvude hulka ja nimetaja naturaalarvude hulka.

Rohkem näiteid ratsionaalsete arvude kohta leiate artiklist.

Võrdsed ratsionaalarvud

Mitmesugused fraktsioonid võib esindada ühte ratsionaalset arvu.

Mõelge ratsionaalsele arvule 3/5. See ratsionaalne arv on võrdne

Vähendame lugejat ja nimetajat ühise teguri 2 võrra:

6	=	2 * 3	=	3
10	=	2 * 5	=	5

Saime murdosa 3/5, mis tähendab seda

Nagu juba nägime, naturaalarvude hulk

on liitmise ja korrutamise ning täisarvude hulga all suletud

suletud liitmise, korrutamise ja lahutamise all. Kuid kumbki neist komplektidest ei ole jagamisel suletud, kuna täisarvude jagamine võib põhjustada murde, nagu näiteks 4/3, 7/6, -2/5 jne puhul. Kõigi selliste murdude hulk moodustab ratsionaalarvude hulga. Seega ratsionaalne arv ( ratsionaalne murdosa) on arv, mida saab esitada kujul , kus a ja d on täisarvud ning d ei ole võrdne nulliga. Teeme selle määratluse kohta mõned kommentaarid.

1) Nõudsime, et d ei oleks nullist. See nõue (matemaatiliselt kirjutatud ebavõrdsusena) on vajalik, kuna siin on d jagaja. Mõelge järgmistele näidetele.

Juhtum 1.

Juhtum 2...

Juhul 1 on d jagaja eelmise peatüki tähenduses, st 7 on 21 täpne jagaja. 2 puhul on d ikkagi jagaja, kuid teises tähenduses, kuna 7 ei ole 25 täpne jagaja. .

Kui 25 nimetatakse dividendiks ja 7 jagajaks, saame jagatis 3 ja jääk 4. Seega kasutatakse sõna jagaja siin üldisemas tähenduses ja see kehtib suuremal arvul juhtudel kui peatükis. I. Kuid juhtudel, nagu juhtum 1, kasutatakse jagaja mõistet peatükis. I; seetõttu on see vajalik, nagu ptk. I, välistan võimaluse, et d = 0.

2) Pange tähele, et kuigi avaldised ratsionaalarv ja ratsionaalne murd on sünonüümid, kasutatakse sõna murdosa tähistamaks iga algebralist avaldist, mis koosneb lugejast ja nimetajast, näiteks

3) Ratsionaalarvu definitsioon sisaldab väljendit „arv, mida saab esitada kujul , kus a ja d on täisarvud ja . Miks ei saa seda asendada väljendiga "arv kujul , kus a ja d on täisarvud ja Selle põhjuseks on asjaolu, et ühe ja sama murru väljendamiseks on lõpmatult palju võimalusi (näiteks 2/3 saab kirjutada ka kui 4/6, 6 /9 või või 213/33, või jne) ja meie jaoks on soovitav, et meie ratsionaalarvu definitsioon ei sõltuks selle konkreetsest väljendamisviisist.

Murd defineeritakse nii, et selle väärtus ei muutu, kui lugeja ja nimetaja korrutada sama arvuga. Siiski ei ole alati võimalik pelgalt etteantud murdosa vaadates öelda, kas see on ratsionaalne või mitte. Mõelge näiteks numbritele

Ükski neist meie valitud kirjes ei ole kujul , kus a ja d on täisarvud.

Siiski saame teha esimese murru aritmeetilisi teisendusi ja saada

Seega jõuame murdarvuni, mis on võrdne algse murruga, mille puhul . Arv on seega ratsionaalne, kuid see poleks ratsionaalne, kui ratsionaalarvu määratlus eeldaks, et arv peab olema kujul a/b, kus a ja b on täisarvud. Murdarvu teisendamise korral

viia numbrini. Järgmistes peatükkides saame teada, et arvu ei saa esitada kahe täisarvu suhtena ja seetõttu ei ole see ratsionaalne või öeldakse, et see on irratsionaalne.

4) Pange tähele, et iga täisarv on ratsionaalne. Nagu äsja nägime, kehtib see arvu 2 puhul. Suvaliste täisarvude puhul võib sarnaselt määrata igaühele nimetaja 1 ja saada nende esituse ratsionaalsete murdudena.

Selles osas anname mitu ratsionaalarvude definitsiooni. Vaatamata sõnastuse erinevustele on kõigil neil määratlustel sama tähendus: ratsionaalarvud ühendavad täisarvud ja murdarvud, nii nagu täisarvud ühendavad naturaalarvud, nende vastandid ja arvu null. Teisisõnu, ratsionaalsed arvud üldistavad täis- ja murdarve.

Alustame sellest ratsionaalarvude määratlused, mida tajutakse kõige loomulikumalt.

Definitsioon.

Ratsionaalarvud on arvud, mida saab kirjutada positiivse murruna, negatiivse murruna või arvuna null.

Esitatud määratlusest järeldub, et ratsionaalne arv on:

Mis tahes naturaalarv n. Tõepoolest, saate esitada mis tahes naturaalarvu tavalise murdena, näiteks 3=3/1 .

· Suvaline täisarv, eriti number null. Tegelikult saab iga täisarvu kirjutada kas positiivseks, negatiivseks murruks või nulliks. Näiteks, 26=26/1 , .

· Mis tahes harilik murd (positiivne või negatiivne). Seda kinnitab otseselt ratsionaalarvude antud definitsioon.

· Iga seganumber. Tõepoolest, segaarvu saate alati esitada valemurruna. Näiteks ja.

· Iga lõplik kümnendmurd või lõpmatu perioodiline murd. Selle põhjuseks on asjaolu, et näidatud kümnendmurrud teisendatakse tavalisteks murdudeks. Näiteks a 0,(3)=1/3 .

Samuti on selge, et iga lõpmatu mitteperioodiline kümnendmurd EI OLE ratsionaalne arv, kuna seda ei saa esitada hariliku murruna.

Nüüd saame lihtsalt anda ratsionaalarvude näited. Numbrid 4 ,903 , 100 321 Need on ratsionaalsed arvud, kuna need on naturaalarvud. Täisarvud 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 on ka näited ratsionaalsetest arvudest. Harilikud murded 4/9 , 99/3 , on ka näited ratsionaalarvudest. Ratsionaalarvud on ka arvud.

Ülaltoodud näidetest on selge, et on olemas nii positiivsed kui ka negatiivsed ratsionaalarvud ning ratsionaalarv null ei ole positiivne ega negatiivne.

Ülaltoodud ratsionaalarvude definitsiooni saab sõnastada kokkuvõtlikumal kujul.

Definitsioon.

Ratsionaalarvud nimenumbrid, mida saab kirjutada murdudena z/n, Kus z on täisarv ja n- naturaalarv.

Tõestame, et see ratsionaalarvude definitsioon on samaväärne eelmise definitsiooniga. Teame, et jagamismärgiks võime vaadelda murdosa sirget, siis jagavate täisarvude omadustest ja täisarvude jagamise reeglitest järgneb järgnevate võrduste kehtivus. Seega on see tõestus.

Toome näiteid ratsionaalsete arvude kohta, mille põhjal see määratlus. Numbrid −5 , 0 , 3 , ja on ratsionaalarvud, kuna neid saab kirjutada murdudena, millel on vastavalt täisarvuline lugeja ja vormi loomulik nimetaja.

Ratsionaalarvude definitsiooni saab anda järgmises sõnastuses.

Definitsioon.

Ratsionaalarvud on arvud, mida saab kirjutada lõplike või lõpmatute perioodilistena kümnend.

See definitsioon on samaväärne ka esimese definitsiooniga, kuna iga harilik murd vastab lõplikule või perioodilisele kümnendmurrule ja vastupidi ning iga täisarvu saab seostada kümnendmurruga, mille pärast koma on nullid.

Näiteks numbrid 5 , 0 , −13 , on ratsionaalarvude näited, kuna neid saab kirjutada järgmiste kümnendmurdudena 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 Ja −7,(18) .

Lõpetame selle punkti teooria järgmiste väidetega:

· täisarvud ja murrud (positiivsed ja negatiivsed) moodustavad ratsionaalarvude hulga;

· iga ratsionaalarvu saab esitada murruna täisarvulise lugeja ja loomuliku nimetajaga ning iga selline murd esindab teatud ratsionaalarvu;

· iga ratsionaalarvu saab esitada lõpliku või lõpmatu perioodilise kümnendmurruna ja iga selline murd esindab teatud ratsionaalarvu.

Lehe ülaosa

Positiivsete ratsionaalarvude liitmine on kommutatiivne ja assotsiatiivne,

("a, b О Q +) a + b= b + a;

("a, b, c О Q +) (a + b) + c = a + (b+ c)

Enne positiivsete ratsionaalarvude korrutamise definitsiooni sõnastamist kaaluge järgmist ülesannet: on teada, et lõigu X pikkust väljendatakse murdarvuna pikkuseühikuga E ja ühikulise lõigu pikkust mõõdetakse ühikuga. E 1 ja seda väljendatakse murdarvuna. Kuidas leida arv, mis tähistab lõigu X pikkust, kui mõõdetakse pikkusühikuga E 1?

Kuna X = E, siis nX = mE ja sellest, et E = E 1, järeldub, et qE = pE 1. Korrutame saadud esimese võrrandi q-ga ja teise m-ga. Siis (nq)X = (mq)E ja (mq)E= (mp)E 1, kust (nq)X= (mp)E 1. See võrdus näitab, et väljendatakse lõigu x pikkusühiku pikkusega murruna, mis tähendab , =, s.t. murdude korrutamine hõlmab sama lõigu pikkuse mõõtmisel liikumist ühelt pikkusühikult teisele.

Definitsioon: Kui positiivne arv a on esitatud murdarvuna ja positiivne ratsionaalarv b on murd, siis nende korrutis on arv a b, mis on esindatud murdarvuga.

Positiivsete ratsionaalarvude korrutamine kommutatiivne, assotsiatiivne ja distributiivne liitmise ja lahutamise suhtes. Nende omaduste tõendamine põhineb positiivsete ratsionaalarvude korrutamise ja liitmise definitsioonil, samuti naturaalarvude vastavatel liitmise ja korrutamise omadustel.

46. Nagu teada lahutamine- See on lisamise vastand.

Kui a Ja b - positiivsed numbrid, siis arvu b lahutamine arvust a tähendab arvu c leidmist, mis arvule b liitmisel annab arvu a.
a - b = c või c + b = a
Lahutamise määratlus kehtib kõigi ratsionaalarvude kohta. See tähendab, et positiivsete ja negatiivsete arvude lahutamise saab asendada liitmisega.
Ühest arvust teise lahutamiseks peate lisama lahutatavale arvule vastupidise arvu.
Või muul viisil võime öelda, et arvu b lahutamine on sama, mis liitmine, kuid b-le vastupidise arvuga.
a - b = a + (- b)
Näide.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Näide.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Tasub meeles pidada allolevaid väljendeid.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Negatiivsete arvude lahutamise reeglid
Arvu b lahutamine on selle liitmine b vastupidise arvuga.
See reegel kehtib mitte ainult väiksema arvu lahutamisel suuremast arvust, vaid võimaldab teil lahutada ka väiksemast arvust suurem arv, see tähendab, et saate alati leida kahe numbri erinevuse.
Erinevus võib olla positiivne arv, negatiivne arv või number null.
Negatiivsete ja positiivsete arvude lahutamise näited.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Mugav on meeles pidada märgireeglit, mis võimaldab sulgude arvu vähendada.
Plussmärk ei muuda numbri märki, seega kui sulgude ees on pluss, siis sulgudes olev märk ei muutu.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Sulgude ees olev miinusmärk muudab sulgudes oleva numbri märgi ümber.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Võrdsustest on selge, et kui sulgude ees ja sees on identsed märgid, siis saame “+” ja kui märgid on erinevad, siis saame “-”.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Märkide reegel säilib ka siis, kui sulgudes pole mitte ühte numbrit, vaid algebraline summa numbrid.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Pange tähele, et kui sulgudes on mitu numbrit ja sulgude ees on miinusmärk, siis peavad nendes sulgudes kõigi numbrite ees olevad märgid muutuma.
Märkide reegli meeldejätmiseks saate luua arvu märkide määramise tabeli.
Märgireegel numbrite jaoks+ (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Või õppige lihtsat reeglit.
Kaks negatiivset teevad jaatava,
Pluss korda miinus võrdub miinusega.

Negatiivsete arvude jagamise reeglid.
Jagatise mooduli leidmiseks tuleb jagada dividendi moodul jagaja mooduliga.
Kahe samade märkidega numbri jagamiseks peate tegema järgmist:

· dividendi moodul jagatakse jagaja mooduliga;

· pane tulemuse ette “+” märk.

Näited arvude jagamiseks erinevad märgid:

Jagatismärgi määramiseks võite kasutada ka järgmist tabelit.
Jagamise märkide reegel
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

“Pikkade” avaldiste arvutamisel, milles esinevad ainult korrutamine ja jagamine, on väga mugav kasutada märgireeglit. Näiteks murdosa arvutamiseks
Pange tähele, et lugejal on 2 miinusmärki, mille korrutamisel saadakse pluss. Nimetajas on ka kolm miinusmärki, mille korrutamisel saadakse miinusmärk. Seetõttu selgub lõpuks tulemus miinusmärgiga.
Murru vähendamine (edasitoimingud arvumoodulitega) toimub samamoodi nagu varem:
Nulli jagatis muu arvuga kui null on null.
0: a = 0, a ≠ 0
Nulliga jagada EI SAA!
Ratsionaalarvude hulgale kehtivad ka kõik seni teadaolevad ühega jagamise reeglid.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, kus a on mis tahes ratsionaalarv.
Positiivsete arvude korral tuntud korrutamise ja jagamise tulemuste vahelised seosed jäävad kõigi ratsionaalarvude puhul samaks (välja arvatud null):
kui a × b = c; a = c: b; b = c: a;
kui a: b = c; a = c × b; b = a: c
Neid sõltuvusi kasutatakse tundmatu teguri, dividendi ja jagaja leidmiseks (võrrandite lahendamisel), samuti korrutamise ja jagamise tulemuste kontrollimiseks.
Näide tundmatu leidmisest.
x × (- 5) = 10
x = 10: (- 5)
x = -2

Seotud Informatsioon.