Proi tuletis. Kompleksfunktsiooni tuletis

Tuletis keeruline funktsioon. Näited lahendustest

Peal see õppetundõpime leidma kompleksfunktsiooni tuletis. Tund on tunni loogiline jätk Kuidas tuletist leida?, milles uurisime lihtsamaid tuletisi ning tutvusime ka diferentseerimise reeglitega ja mõningate tehniliste võtetega tuletisi leidmiseks. Seega, kui te pole funktsioonide tuletistega väga hea või mõned punktid selles artiklis pole täiesti selged, lugege esmalt ülaltoodud õppetund. Palun võtke tõsine tuju - materjal ei ole lihtne, kuid ma püüan selle siiski lihtsalt ja selgelt esitada.

Praktikas tuleb keerulise funktsiooni tuletisega tegeleda väga sageli, ma isegi ütleksin, et peaaegu alati, kui antakse ülesandeid tuletisi leidmiseks.

Tabelist vaatame reeglit (nr 5) keeruka funktsiooni eristamiseks:

Selgitame välja. Kõigepealt pöörame tähelepanu sisestusele. Siin on meil kaks funktsiooni - ja ning funktsioon piltlikult öeldes on pesastatud funktsiooni . Seda tüüpi funktsiooni (kui üks funktsioon on pesastatud teise sisse) nimetatakse kompleksfunktsiooniks.

Kutsun funktsiooni välja väline funktsioon ja funktsioon – sisemine (või pesastatud) funktsioon.

! Need määratlused ei ole teoreetilised ja ei tohiks esineda ülesannete lõplikus vormis. Kasutan mitteametlikke väljendeid "väline funktsioon", "sisemine" funktsioon ainult selleks, et teil oleks materjalist lihtsam aru saada.

Olukorra selgitamiseks kaaluge:

Näide 1

Leia funktsiooni tuletis

Siinuse all pole mitte ainult täht “X”, vaid terve avaldis, nii et tuletise tabelist kohe leidmine ei toimi. Samuti märkame, et siin on võimatu rakendada nelja esimest reeglit, näib olevat erinevus, kuid fakt on see, et siinust ei saa "tükkideks rebida":

Selles näites on minu selgitustest juba intuitiivselt selge, et funktsioon on kompleksfunktsioon ja polünoom on sisemine funktsioon (kinnitamine) ja väline funktsioon.

Esimene samm mida peate tegema keeruka funktsiooni tuletise leidmisel mõista, milline funktsioon on sisemine ja milline väline.

Lihtsate näidete puhul näib olevat selge, et siinuse alla on põimitud polünoom. Aga mis siis, kui kõik pole ilmselge? Kuidas täpselt kindlaks teha, milline funktsioon on väline ja milline sisemine? Selleks soovitan kasutada järgmist tehnikat, mida saab teha mõtteliselt või mustandis.

Kujutagem ette, et peame kalkulaatoris arvutama avaldise väärtuse at (ühe asemel võib olla suvaline arv).

Mida me kõigepealt arvutame? Esiteks tuleb teha järgmine tegevus: , seega on polünoom sisemine funktsioon:

Teiseks tuleb leida, nii et siinus on väline funktsioon:

Pärast meie VÄLJA MÜÜDUD Sisemiste ja väliste funktsioonide puhul on aeg rakendada keerukate funktsioonide eristamise reeglit.

Hakkame otsustama. Klassist Kuidas tuletist leida? mäletame, et mis tahes tuletise lahenduse kujundamine algab alati nii - paneme väljendi sulgudesse ja teeme joone paremasse ülaossa:

Esiteks leiame välisfunktsiooni tuletise (siinuse), vaatame elementaarfunktsioonide tuletisi tabelit ja paneme tähele, et . Kõik tabelivalemid on rakendatavad ka siis, kui “x” on asendatud kompleksavaldisega, sel juhul:

pane tähele seda sisemine funktsioon ei ole muutunud, me ei puuduta seda.

Noh, see on üsna ilmne

Valemi rakendamise lõpptulemus näeb välja selline:

Konstanttegur paigutatakse tavaliselt avaldise algusesse:

Kui tekib arusaamatus, kirjuta lahendus paberile ja loe selgitused uuesti läbi.

Näide 2

Leia funktsiooni tuletis

Näide 3

Leia funktsiooni tuletis

Nagu alati, kirjutame üles:

Mõelgem välja, kus on meil väline funktsioon ja kus sisemine. Selleks proovime (mõtteliselt või mustandis) arvutada avaldise väärtuse . Mida peaksite kõigepealt tegema? Kõigepealt peate arvutama, millega alus on võrdne: seetõttu on polünoom sisemine funktsioon:

Ja alles siis tehakse astendamine, seega on võimsusfunktsioon väline funktsioon:

Valemi järgi tuleb esmalt leida välisfunktsiooni tuletis, antud juhul aste. Otsime tabelist vajaliku valemi: . Kordame uuesti: mis tahes tabelivalem ei kehti mitte ainult "X", vaid ka kompleksavaldise jaoks. Seega on kompleksfunktsiooni eristamise reegli rakendamise tulemus järgmine:

Rõhutan veel kord, et kui võtame välisfunktsiooni tuletise, siis meie sisemine funktsioon ei muutu:

Nüüd jääb üle vaid leida sisemise funktsiooni väga lihtne tuletis ja tulemust veidi muuta:

Näide 4

Leia funktsiooni tuletis

See on näide sõltumatu otsus(vastus tunni lõpus).

Kindlustamaks teie arusaama kompleksfunktsiooni tuletisest, toon näite ilma kommentaarideta, proovige see ise välja mõelda, põhjendage, kus on väline ja kus sisemine funktsioon, miks ülesandeid nii lahendatakse?

Näide 5

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni tuletis

Näide 6

Leia funktsiooni tuletis

Siin on meil juur ja juure eristamiseks tuleb seda esitada võimuna. Seega viime funktsiooni esmalt eristamiseks sobivasse vormi:

Funktsiooni analüüsides jõuame järeldusele, et kolme liikme summa on sisefunktsioon ja astmeni tõstmine on väline funktsioon. Rakendame keeruliste funktsioonide diferentseerimise reeglit:

Esitame astme taas radikaalina (juurena) ja sisefunktsiooni tuletise puhul rakendame summa eristamiseks lihtsat reeglit:

Valmis. Samuti saate avaldise taandada sulgudes olevale ühisnimetajale ja kirjutada kõik ühe murruna. See on muidugi ilus, kuid kui saate tülikaid pikki tuletisi, on parem seda mitte teha (lihtne on segadusse sattumine, tarbetu viga ja õpetajal on seda ebamugav kontrollida).

Näide 7

Leia funktsiooni tuletis

See on näide, mida saate ise lahendada (vastus tunni lõpus).

Huvitav on märkida, et mõnikord võite keeruka funktsiooni eristamise reegli asemel kasutada jagatise eristamise reeglit , kuid selline lahendus näeb välja nagu naljakas perverssus. Siin on tüüpiline näide:

Näide 8

Leia funktsiooni tuletis

Siin saab kasutada jagatise diferentseerimise reeglit , kuid palju tulusam on tuletise leidmine keeruka funktsiooni diferentseerimisreegli abil:

Valmistame funktsiooni diferentseerimiseks ette - viime miinuse tuletismärgist välja ja tõstame koosinuse lugejasse:

Koosinus on sisemine funktsioon, astendamine on väline funktsioon.
Kasutame oma reeglit:

Leiame sisemise funktsiooni tuletise ja lähtestame koosinuse allapoole:

Valmis. Vaadeldavas näites on oluline mitte märkides segadusse sattuda. Muide, proovige seda reegli abil lahendada , peavad vastused ühtima.

Näide 9

Leia funktsiooni tuletis

See on näide, mida saate ise lahendada (vastus tunni lõpus).

Siiani oleme vaadelnud juhtumeid, kus keerulises funktsioonis oli ainult üks pesa. Praktilistes ülesannetes võib sageli leida tuletisi, kus nagu pesitsevatel nukkudel üks teise sisse pesatakse korraga 3 või isegi 4-5 funktsiooni.

Näide 10

Leia funktsiooni tuletis

Mõistame selle funktsiooni manuseid. Proovime avaldist eksperimentaalse väärtuse abil arvutada. Kuidas me arvestaksime kalkulaatoriga?

Kõigepealt peate leidma , mis tähendab, et arcsiinus on sügavaim manustus:

See arsiinus ühest tuleks seejärel ruudustada:

Ja lõpuks tõstame seitse astmeni:

See tähendab, et selles näites on meil kolm erinevat funktsiooni ja kaks manustamist, samas kui sisemine funktsioon on arcsinus ja välimine funktsioon on eksponentsiaalne funktsioon.

Hakkame otsustama

Reegli järgi tuleb esmalt võtta välisfunktsiooni tuletis. Vaatame tuletiste tabelit ja leiame eksponentsiaalfunktsiooni tuletise: Ainus erinevus on see, et “x” asemel on meil kompleksavaldis, mis ei muuda selle valemi kehtivust. Seega on keeruka funktsiooni eristamise reegli rakendamise tulemus järgmine:

Löögi all on meil jälle keeruline funktsioon! Aga see on juba lihtsam. Lihtne on kontrollida, et sisemine funktsioon on arsiinus, välimine funktsioon on aste. Vastavalt kompleksfunktsiooni eristamise reeglile tuleb esmalt võtta astme tuletis.

Ja teoreem kompleksfunktsiooni tuletise kohta, mille sõnastus on järgmine:

Olgu 1) funktsioonil $u=\varphi (x)$ mingil hetkel $x_0$ tuletis $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) funktsioonil $y=f(u)$ omama vastavas punktis $u_0=\varphi (x_0)$ tuletist $y_(u)"=f"(u)$. Siis on kompleksfunktsioonil $y=f\left(\varphi (x) \right)$ nimetatud punktis samuti tuletis, mis võrdub funktsioonide $f(u)$ ja $\varphi () tuletiste korrutisega x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

või lühemalt: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Selle jaotise näidetes on kõik funktsioonid kujul $y=f(x)$ (st vaatleme ainult ühe muutuja $x$ funktsioone). Vastavalt sellele on kõikides näidetes võetud tuletis $y"$ muutuja $x$ suhtes. Rõhutamaks, et tuletis võetakse muutuja $x$ suhtes, kirjutatakse sageli $y asemel $y"_x$ "$.

Näited nr 1, nr 2 ja nr 3 kirjeldavad keerukate funktsioonide tuletise leidmise üksikasjalikku protsessi. Näide nr 4 on mõeldud tuletistabeli täielikumaks mõistmiseks ja sellega on mõttekas tutvuda.

Soovitav on pärast näidete nr 1-3 materjaliga tutvumist liikuda edasi näidete nr 5, nr 6 ja nr 7 iseseisva lahendamise juurde. Näited #5, #6 ja #7 sisaldavad lühilahendust, et lugeja saaks kontrollida oma tulemuse õigsust.

Näide nr 1

Leia funktsiooni $y=e^(\cos x)$ tuletis.

Peame leidma kompleksfunktsiooni $y"$ tuletise. Kuna $y=e^(\cos x)$, siis $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. leiame tuletise $ \left(e^(\cos x)\right)"$ kasutame tuletiste tabelist valemit nr 6. Valemi nr 6 kasutamiseks peame arvestama, et meie puhul $u=\cos x$. Edasine lahendus seisneb selles, et valemis nr 6 asendatakse lihtsalt avaldis $\cos x$, mitte $u$:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Nüüd tuleb leida avaldise $(\cos x)"$ väärtus. Pöördume uuesti tuletiste tabeli juurde, valides sealt valemi nr 10. Asendades $u=x$ valemiga nr 10, saame : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Jätkame nüüd võrdsust (1.1), täiendades seda leitud tulemusega:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Kuna $x"=1$, jätkame võrdsust (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Võrdusest (1.3) saame seega: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Tavaliselt jäetakse selgitused ja vahevõrdsused vahele, kirjutades tuletise leidu ühele reale, nagu võrdsuses ( 1.3) Niisiis, kompleksfunktsiooni tuletis on leitud, jääb üle vaid vastus kirja panna.

Vastus: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Näide nr 2

Leia funktsiooni $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ tuletis.

Peame arvutama tuletise $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Alustuseks märgime, et konstandi (st arvu 9) saab tuletismärgist välja võtta:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Pöördume nüüd avaldise $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ juurde. Et oleks lihtsam tuletisi tabelist soovitud valemit valida, esitan avaldise küsimuses järgmisel kujul: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Nüüd on selge, et on vaja kasutada valemit nr 2, s.t. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Asendame $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ ja $\alpha=12$ selles valemis:

Täiendades võrdsust (2.1) saadud tulemusega, saame:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Sellises olukorras tehakse sageli viga, kui lahendaja valib esimese sammuna valemi asemel valemi $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Asi on selles, et esikohal peab olema välisfunktsiooni tuletis. Et mõista, milline funktsioon jääb avaldisele $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, kujutage ette, et arvutate avaldise $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ mingis väärtuses $x$. Esmalt arvutate väärtuse $5^x$, seejärel korrutage tulemus 4-ga, saades $4\cdot 5^x$. Nüüd võtame sellest tulemusest arktangensi, saades $\arctg(4\cdot 5^x)$. Seejärel tõstame saadud arvu kaheteistkümnenda astmeni, saades $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Viimane tegevus, - st. 12 astmeni tõstmine on väline funktsioon. Ja sellest tulebki hakata leidma tuletist, mida tehti võrdsuses (2.2).

Nüüd peame leidma $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Kasutame tuletiste tabeli valemit nr 19, asendades sellega $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Lihtsustame saadud avaldist veidi, võttes arvesse $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Võrdsus (2.2) muutub nüüd:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Jääb üle leida $(4\cdot \ln x)"$. Võtame tuletismärgist välja konstandi (st 4): $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. $(\ln x)"$ leidmiseks kasutame valemit nr 8, asendades selle $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Kuna $x"=1$, siis $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ Asendades saadud tulemuse valemiga (2.3), saame:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Tuletan meelde, et kompleksfunktsiooni tuletis leidub kõige sagedamini ühel real, nagu on kirjutatud viimases võrduses. Seetõttu ei ole tüüparvutuste või kontrolltööde koostamisel lahendust üldse vaja nii detailselt kirjeldada.

Vastus: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Näide nr 3

Otsige funktsiooni $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ üles $y"$.

Esiteks teisendame veidi funktsiooni $y$, väljendades radikaali (juur) astmena: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \parem)^(\frac(3)(7))$. Nüüd alustame tuletise leidmist. Kuna $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, siis:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Kasutame tuletiste tabelist valemit nr 2, asendades sellesse $u=\sin(5\cdot 9^x)$ ja $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Jätkame võrdsust (3.1), kasutades saadud tulemust:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Nüüd peame leidma $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Selleks kasutame tuletiste tabelist valemit nr 9, asendades sellega $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Täiendades saadud tulemusega võrdsust (3.2), saame:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Jääb üle leida $(5\cdot 9^x)"$. Esmalt võtame konstant (arv $5$) väljaspool tuletismärki, st $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Tuletise $(9^x)"$ leidmiseks rakendage tuletiste tabeli valemit nr 5, asendades sellega $a=9$ ja $u=x$: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Kuna $x"=1$, siis $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Nüüd saame jätkata võrdsust (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Võime jälle naasta astmetelt radikaalide (st juurte) juurde, kirjutades $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ kujul $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$. Seejärel kirjutatakse tuletis järgmisel kujul:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Vastus: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

Näide nr 4

Näidake, et tuletiste tabeli valemid nr 3 ja nr 4 on erijuhtum selle tabeli valemid nr 2.

Tuletiste tabeli valem nr 2 sisaldab funktsiooni $u^\alpha$ tuletist. Asendades valemis nr 2 $\alpha=-1$, saame:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Kuna $u^(-1)=\frac(1)(u)$ ja $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, siis saab võrdsuse (4.1) ümber kirjutada järgmiselt: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. See on tuletisinstrumentide tabeli valem nr 3.

Pöördume uuesti tuletiste tabeli valemi nr 2 juurde. Asendame selle $\alpha=\frac(1)(2)$:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Kuna $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ ja $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, siis saab võrdsuse (4.2) ümber kirjutada järgmiselt:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Saadud võrdus $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ on tuletiste tabeli valem nr 4. Nagu näete, saadakse tuletise tabeli valemid nr 3 ja nr 4 valemist nr 2, asendades vastava $\alpha$ väärtuse.

Kuidas tuletist leida, kuidas tuletist võtta? Selles õppetükis õpime, kuidas leida funktsioonide tuletisi. Kuid enne selle lehe uurimist soovitan tungivalt tutvuda metoodilise materjaligaKuumad valemid koolikursus matemaatikud. Juhendi saab lehelt avada või alla laadida Matemaatilised valemid ja tabelid . Ka sealt läheb meil vajaTuletisinstrumentide tabel, on parem see välja printida; sageli peate sellele viitama mitte ainult praegu, vaid ka võrguühenduseta.

Sööma? Alustame. Mul on teile kaks uudist: hea ja väga hea. Hea uudis on järgmine: tuletisinstrumentide leidmise õppimiseks ei pea te teadma ega mõistma, mis tuletis on. Veelgi enam, funktsiooni tuletise määratlus, matemaatiline, füüsiline, geomeetriline tähendus Tuletist on otstarbekam hiljem seedida, kuna teooria kvaliteetne läbitöötamine eeldab minu arvates mitmete muude teemade uurimist ja ka mõningast praktilist kogemust.

Ja nüüd on meie ülesanne need samad tuletised tehniliselt valdada. Väga head uudised on see, et tuletiste võtmise õppimine pole nii keeruline, selle ülesande lahendamiseks (ja selgitamiseks) on üsna selge algoritm, näiteks integraale või piire on keerulisem hallata.

Soovitan teil teemat uurida järgmises järjekorras: esiteks, See artikkel. Siis peate lugema kõige olulisema õppetunni Kompleksfunktsiooni tuletis . Need kaks põhitundi parandavad teie oskusi täielik null. Järgmisena saate artiklis tutvuda keerukamate tuletistega Komplekssed tuletised.

Logaritmiline tuletis. Kui latt on liiga kõrge, lugege enne asja läbi Algloomad tüüpilised ülesanded tuletisega. Lisaks uuele materjalile käsitletakse tunnis muud, enamat lihtsad tüübid tuletisinstrumente ja on suurepärane võimalus oma diferentseerimistehnikat täiustada. Pealegi sisse testid Peaaegu alati on ülesandeid kaudselt või parameetriliselt määratud funktsioonide tuletiste leidmiseks. Seal on ka selline õppetund: Implitsiitsete ja parameetriliselt määratletud funktsioonide tuletised.

Püüan juurdepääsetaval kujul samm-sammult õpetada teile, kuidas leida funktsioonide tuletisi. Kogu teave on esitatud üksikasjalikult, lihtsate sõnadega.

Tegelikult vaatame kohe näidet: Näide 1

Leia funktsiooni tuletis Lahendus:

See lihtsaim näide, leiate selle elementaarfunktsioonide tuletiste tabelist. Vaatame nüüd lahendust ja analüüsime, mis juhtus? Ja juhtus järgmine asi:

meil oli funktsioon, mis lahenduse tulemusena muutus funktsiooniks.

Lihtsamalt öeldes, tuletise leidmiseks

funktsioone, mida vajate teatud reeglid muuta see teiseks funktsiooniks . Vaata veel kord tuletiste tabelit – seal muutuvad funktsioonid teisteks funktsioonideks. Ainus

erand on eksponentsiaalfunktsioon, mis

muutub iseendaks. Tuletise leidmise operatsiooni nimetatakseeristamist.

Märkus: tuletist tähistatakse või.

TÄHELEPANU, TÄHTIS! Kui unustate teha kriipsu (kus see on vajalik) või teha lisatõmmet (kus see pole vajalik), on RÕME VIGA! Funktsioon ja selle tuletis on kaks erinevat funktsiooni!

Pöördume tagasi meie tuletiste tabeli juurde. Sellest tabelist on soovitav meelde jätta: diferentseerimisreeglid ja mõne elementaarfunktsiooni tuletised, eriti:

konstandi tuletis:

Kus on konstantne arv; tuletis toitefunktsioon:

Eriti:,,.

Miks meeles pidada? Need teadmised on põhiteadmised tuletisinstrumentide kohta. Ja kui sa ei suuda vastata õpetaja küsimusele “Mis on arvu tuletis?”, siis võivad õpingud ülikoolis sinu jaoks lõppeda (tean isiklikult kahte tõelisi juhtumeid elust). Lisaks on need kõige levinumad valemid, mida peame kasutama peaaegu iga kord, kui tuletistega kokku puutume.

IN Tegelikkuses on lihtsad tabelinäited haruldased, tavaliselt kasutatakse tuletisi leidmisel esmalt diferentseerimisreegleid ja seejärel elementaarfunktsioonide tuletiste tabelit.

IN selle seose käsitlemist jätkamediferentseerimisreeglid:

1) Tuletismärgist saab (ja peakski) välja võtma konstantse arvu

Kus on konstantne arv (konstant) Näide 2

Leia funktsiooni tuletis

Vaatame tuletisinstrumentide tabelit. Koosinuse tuletis on olemas, kuid meil on .

On aeg reeglit kasutada, tuletise märgist võtame välja konstantse teguri:

Nüüd teisendame koosinuse vastavalt tabelile:

Noh, soovitav on tulemust veidi "kammida" - asetage miinusmärk esikohale, vabanedes samal ajal sulgudest:

2) Summa tuletis võrdub tuletiste summaga

Leia funktsiooni tuletis

Otsustame. Nagu olete ilmselt juba märganud, on tuletise leidmisel alati esimene samm see, et paneme kogu avaldise sulgudesse ja paneme paremasse ülaossa algarvu:

Rakendame teist reeglit:

Pange tähele, et eristamiseks tuleb kõik juured ja astmed esitada kujul , ja kui need on nimetajas, siis

liigutage neid üles. Kuidas seda teha, sellest on juttu minu õppematerjalides.

Meenutagem nüüd esimest diferentseerimisreeglit - konstantsed tegurid (arvud) võtame tuletismärgist välja:

Tavaliselt rakendatakse lahenduse käigus neid kahte reeglit üheaegselt (et mitte uuesti pikka avaldist ümber kirjutada).

Kõik tõmmete all asuvad funktsioonid on elementaarsed tabelifunktsioonid; tabeli abil teostame teisenduse:

Võite jätta kõik nii nagu on, kuna lööke enam pole ja tuletis on leitud. Kuid sellised väljendid lihtsustavad tavaliselt:

Soovitav on esitada kõik vormi jõud uuesti juurte kujul,

aste c negatiivsed näitajad- lähtestage nimetaja. Kuigi te ei pea seda tegema, ei ole see viga.

Leia funktsiooni tuletis

Proovige seda näidet ise lahendada (vastake tunni lõpus).

3) Funktsioonide korrutise tuletis

Näib, et analoogia viitab valemile ...., kuid üllatus on see, et:

See on ebatavaline reegel(nagu tegelikult ka teised) tuleneb tuletisdefinitsioonid. Kuid jätame praegu teooria juurde – nüüd on olulisem õppida, kuidas lahendada:

Leia funktsiooni tuletis

Siin on kahe funktsiooni korrutis sõltuvalt . Kõigepealt rakendame oma kummalist reeglit ja seejärel teisendame funktsioonid tuletis tabeli abil:

Raske? Üldse mitte, üsna ligipääsetav isegi teekannu jaoks.

Leia funktsiooni tuletis

See funktsioon sisaldab kahe funktsiooni – ruuttrinoomi ja logaritmi – summat ja korrutist. Kooliajast mäletame, et korrutamine ja jagamine on liitmise ja lahutamise ees.

Siin on sama. ESITEKS kasutame toodete eristamise reeglit:

Nüüd kasutame sulu jaoks kahte esimest reeglit:

Löökide all oleva diferentseerimisreeglite rakendamise tulemusena jäävad meile ainult elementaarfunktsioonid, tuletise tabeli abil muudame need muudeks funktsioonideks:

Kuna tuletisinstrumentide leidmisel on mõningane kogemus, ei tundu lihtsaid tuletisi vajavat nii üksikasjalikult kirjeldada. Üldiselt otsustatakse need enamasti suuliselt ja see pannakse kohe kirja .

Leia funktsiooni tuletis See on näide, mille saate ise lahendada (vastus õppetunni lõpus)

4) Jagatisfunktsioonide tuletis

Luuk avanes laes, ärge kartke, see on tõrge. Kuid see on karm reaalsus:

Leia funktsiooni tuletis

Mis siin puudu on – summa, vahe, korrutis, murdosa…. Millest peaksin alustama?! Kahtlusi on, kahtlusi pole, kuid IGAL JUHUL joonistame kõigepealt sulud ja teeme paremasse ülaossa kriipsu:

Nüüd vaatame sulgudes olevat väljendit, kuidas seda lihtsustada? Sel juhul märkame tegurit, millest esimese reegli järgi on soovitav tuletise märk välja võtta:

Samal ajal vabaneme lugejas olevatest sulgudest, mida enam ei vajata. Üldiselt konstantsed tegurid tuletise leidmisel

Astumusfunktsiooni tuletise valemi tuletamine (x astmele a). Arvesse võetakse tuletisi x juurtest. Astmusfunktsiooni tuletise valem kõrgem järjekord. Näiteid tuletisinstrumentide arvutamisest.

x tuletis a astmega võrdub x x astmega miinus üks:
(1) .

x-i n-nda juure tuletis m-ndast astmest on:
(2) .

Pädevusfunktsiooni tuletise valemi tuletamine

Juhtum x > 0

Vaatleme muutuja x astmefunktsiooni eksponendiga a:
(3) .
Siin a on suvaline reaalarv. Esmalt kaalume juhtumit.

Funktsiooni (3) tuletise leidmiseks kasutame astmefunktsiooni omadusi ja teisendame selle järgmisele kujule:
.

Nüüd leiame tuletise, kasutades:
;
.
siin .

Vormel (1) on tõestatud.

Valemi tuletamine x-i n-astme juure astmeks m

Nüüd kaaluge funktsiooni, mis on järgmise vormi juur:
(4) .

Tuletise leidmiseks teisendame juure astmefunktsiooniks:
.
Võrreldes valemiga (3) näeme, et
.
Siis
.

Kasutades valemit (1) leiame tuletise:
(1) ;
;
(2) .

Praktikas ei ole vaja valemit (2) pähe õppida. Palju mugavam on esmalt teisendada juured astmefunktsioonideks ja seejärel leida nende tuletised valemi (1) abil (vt näiteid lehe lõpus).

Juhtum x = 0

Kui , siis on võimsusfunktsioon defineeritud muutuja x = väärtuse jaoks 0 . Leiame funktsiooni (3) tuletise x = 0 . Selleks kasutame tuletise määratlust:
.

Asendame x = 0 :
.
Sel juhul peame tuletise all silmas parempoolset limiiti, mille puhul .

Niisiis leidsime:
.
Sellest on selge, et , .
Kell , .
Kell , .
See tulemus saadakse ka valemist (1):
(1) .
Seetõttu kehtib valem (1) ka x = korral 0 .

Juhtum x< 0

Mõelge uuesti funktsioonile (3):
(3) .
Konstandi a teatud väärtuste jaoks on see defineeritud ka jaoks negatiivsed väärtused muutuja x. Nimelt las olla ratsionaalarv. Siis saab seda esitada taandamatu murdena:
,
kus m ja n on täisarvud ilma ühine jagaja.

Kui n on paaritu, on võimsusfunktsioon määratletud ka muutuja x negatiivsete väärtuste jaoks. Näiteks kui n = 3 ja m = 1 meil on x-i kuupjuur:
.
See on määratletud ka muutuja x negatiivsete väärtuste jaoks.

Leiame võimsusfunktsiooni (3) tuletise konstandi a ratsionaalsetele väärtustele, mille jaoks see on defineeritud. Selleks esitame x järgmisel kujul:
.
Siis ,
.
Leiame tuletise, asetades konstandi tuletise märgist väljapoole ja rakendades kompleksfunktsiooni eristamise reeglit:

.
siin . Aga
.
Sellest ajast
.
Siis
.
See tähendab, et valem (1) kehtib ka:
(1) .

Kõrgemat järku tuletisväärtpaberid

Nüüd leiame võimsusfunktsiooni kõrgema järgu tuletised
(3) .
Oleme juba leidnud esimest järku tuletise:
.

Võttes konstandi a väljaspool tuletise märki, leiame teist järku tuletise:
.
Samamoodi leiame kolmanda ja neljanda järgu tuletised:
;

.

Sellest on selge, et suvalise n-nda järku tuletis sellel on järgmine vorm:
.

Märka seda kui a on naturaalarv , siis n-s tuletis on konstantne:
.
Siis on kõik järgnevad tuletised võrdsed nulliga:
,
aadressil .

Näiteid tuletisinstrumentide arvutamisest

Näide

Leia funktsiooni tuletis:
.

Lahendus

Teisendame juured astmeteks:
;
.
Seejärel võtab algfunktsioon järgmise kuju:
.

Võimude tuletiste leidmine:
;
.
Konstandi tuletis on null:
.

Definitsioon. Olgu funktsioon \(y = f(x)\) määratletud teatud intervallis, mis sisaldab punkti \(x_0\). Anname argumendile juurdekasvu \(\Delta x \), nii et see ei lahku sellest intervallist. Leiame funktsiooni \(\Delta y \) vastava juurdekasvu (punktist \(x_0 \) punktist \(x_0 + \Delta x \) liikudes) ja koostame seose \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Kui \(\Delta x \paremnool 0\) on selle suhte piirang, nimetatakse määratud piirmäära funktsiooni tuletis\(y=f(x) \) punktis \(x_0 \) ja tähistab \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Tuletise tähistamiseks kasutatakse sageli sümbolit y. Pange tähele, et y" = f(x) on uus funktsioon, kuid loomulikult seotud funktsiooniga y = f(x), mis on defineeritud kõigis punktides x, kus ülaltoodud piir on olemas. Seda funktsiooni nimetatakse järgmiselt: funktsiooni y = f(x) tuletis.

Tuletise geomeetriline tähendus on järgmine. Kui funktsiooni y = f(x) graafikule on võimalik joonestada puutuja punktis, mille abstsiss on x=a ja mis ei ole paralleelne y-teljega, siis f(a) väljendab puutuja kaldenurka. :
\(k = f"(a)\)

Kuna \(k = tg(a) \), siis on võrdus \(f"(a) = tan(a) \) tõene.

Nüüd tõlgendame tuletise definitsiooni ligikaudsete võrduste seisukohast. Olgu funktsioonil \(y = f(x)\) tuletis kindlas punktis \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
See tähendab, et punkti x lähedal on ligikaudne võrdsus \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), st \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Saadud ligikaudse võrdsuse tähenduslik tähendus on järgmine: funktsiooni juurdekasv on "peaaegu proportsionaalne" argumendi juurdekasvuga ja proportsionaalsuskoefitsient on tuletise väärtus antud punkt X. Näiteks funktsiooni \(y = x^2\) puhul kehtib ligikaudne võrdus \(\Delta y \umbes 2x \cdot \Delta x \). Kui tuletise definitsiooni hoolikalt analüüsime, leiame, et see sisaldab selle leidmise algoritmi.

Sõnastame selle.

Kuidas leida funktsiooni y = f(x) tuletist?

1. Parandage \(x\) väärtus, leidke \(f(x)\)
2. Andke argumendile \(x\) juurdekasv \(\Delta x\), minge uude punkti \(x+ \Delta x \), leidke \(f(x+ \Delta x) \)
3. Leidke funktsiooni juurdekasv: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Looge seos \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Arvutage $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
See piirväärtus on funktsiooni tuletis punktis x.

Kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x, siis nimetatakse seda punktis x diferentseeruvaks. Kutsutakse välja funktsiooni y = f(x) tuletise leidmise protseduur eristamist funktsioonid y = f(x).

Arutleme järgmise küsimuse üle: kuidas on funktsiooni pidevus ja diferentseeritavus mingis punktis omavahel seotud?

Olgu funktsioon y = f(x) punktis x diferentseeruv. Seejärel saab funktsiooni graafikule punktis M(x; f(x)) tõmmata puutuja ja meenutades, puutuja nurkkoefitsient on võrdne f "(x). Selline graafik ei saa "katkeneda" punktis M, st funktsioon peab punktis x olema pidev.

Need olid "käelised" argumendid. Esitagem rangem põhjendus. Kui funktsioon y = f(x) on punktis x diferentseeruv, siis kehtib ligikaudne võrdus \(\Delta y \umbes f"(x) \cdot \Delta x \). Kui selles võrratuses \(\Delta x) \) kipub olema null, siis \(\Delta y \) kipub olema null ja see on funktsiooni järjepidevuse tingimus punktis.

Niisiis, kui funktsioon on punktis x diferentseeruv, siis on see selles punktis pidev.

Vastupidine väide ei vasta tõele. Näiteks: funktsioon y = |x| on pidev kõikjal, eriti punktis x = 0, kuid funktsiooni graafiku puutujat ristmikul (0; 0) ei eksisteeri. Kui mingil hetkel ei saa funktsiooni graafikule puutujat tõmmata, siis tuletist selles punktis ei eksisteeri.

Üks näide veel. Funktsioon \(y=\sqrt(x)\) on pidev kogu arvujoonel, kaasa arvatud punktis x = 0. Ja funktsiooni graafiku puutuja eksisteerib igas punktis, sealhulgas punktis x = 0 Kuid selles punktis puutuja ühtib y-teljega, st on abstsissteljega risti, selle võrrandi kuju on x = 0. Sellisel sirgel ei ole nurgakoefitsienti, mis tähendab, et \(f "(0)\) pole olemas.

Niisiis tutvusime funktsiooni uue omadusega - diferentseeritavusega. Kuidas saab funktsiooni graafikust järeldada, et see on diferentseeruv?

Vastus on tegelikult antud eespool. Kui mingil hetkel on võimalik joonestada funktsiooni graafikule puutuja, mis ei ole risti abstsissteljega, siis selles punktis on funktsioon diferentseeritav. Kui mingil hetkel funktsiooni graafiku puutujat ei eksisteeri või see on risti abstsissteljega, siis selles punktis funktsioon ei ole diferentseeritav.

Eristamise reeglid

Tuletise leidmise operatsiooni nimetatakse eristamist. Selle toimingu tegemisel peate sageli töötama jagatistega, summade, funktsioonide korrutistega, aga ka "funktsioonide funktsioonidega", see tähendab keerukate funktsioonidega. Tuletise definitsiooni põhjal saame tuletada diferentseerimisreeglid, mis muudavad selle töö lihtsamaks. Kui C on konstantne arv ja f=f(x), g=g(x) on mõned diferentseeruvad funktsioonid, siis on tõesed järgmised diferentseerimisreeglid:

Mõnede funktsioonide tuletiste tabel