Mikä on kultainen suhde lyhyesti? Käyttöohje: Golden Ratio

Bibliografinen kuvaus: Maksimenko O. V., pastori V. S., Vorfolomeeva P. V., Mozikova K. A., Nikolaeva M. E., Shmeleva O. V. Kultaisen leikkeen käsitteeseen // Nuori tiedemies. 2016. Nro 6.1. s. 35-39..03.2019).



"Geometrialla on kaksi aarretta:

yksi heistä - Pythagoraan lause,

toinen on segmentin jako keskimääräiseen ja äärimmäiseen suhteeseen"

Johannes Kepler

Avainsanat: kultainen leikkaus, kultaiset mittasuhteet, tieteellinen ilmiö.

Työmme tarkoituksena on tutkia "kultaiseen osaan" liittyviä tietolähteitä eri tiedonaloilla, tunnistaa kaavoja ja löytää yhteyksiä tieteiden välillä, tunnistaa kultaisen leikkauksen käytännön merkitys.

Tämän tutkimuksen relevanssi määrää kultaisen leikkauksen käytön vuosisatoja vanha historia matematiikassa ja taiteessa. Se, mitä muinaiset ihmettelivät, on edelleen ajankohtainen ja herättää aikalaisten kiinnostusta.

Ihmiset ovat aina yrittäneet löytää malleja ympäröivästä maailmasta. He ympäröivät itsensä "oikean" muodon esineillä heidän näkökulmastaan. Vasta matematiikan kehittyessä ihmiset onnistuivat mittaamaan "kultaista suhdetta", joka myöhemmin tunnettiin nimellä " kultainen leikkaus».

kultainen leikkaus- harmoninen suhde

Kultainen leikkaus on segmentin suhteellinen jako epätasaisiin osiin, jossa koko segmentti liittyy suurempaan osaan sellaisenaan. suurin osa viittaa pienempään; eli toisin sanoen pienempi segmentti liittyy suurempaan, kuten suurempi on kokonaisuuteen (kuva 1).

a: b = b: c

Riisi. 1. Jakson jako kultaisten mittasuhteiden mukaan

Muistutetaan, mikä on kultainen leikkaus. Kattavin kultaisen leikkauksen määritelmä sanoo, että pienempi osa liittyy suurempaan, kun taas suurempi osa kokonaisuuteen. Sen likimääräinen arvo on 1,6180339887. Pyöristetyssä prosenttiarvossa kokonaisuuden osien suhteet vastaavat 62 % - 38 %. Tämä suhde toimii tilan ja ajan muodoissa.

Kultainen kolmio jasuorakulmio

Sen lisäksi, että segmentti jaetaan epätasaisiin osiin (kultainen suhde), otetaan huomioon kultainen kolmio ja kultainen suorakulmio.

Kultainen suorakulmio on suorakulmio, jonka sivujen pituudet ovat kultaisessa suhteessa (kuva 2).

Viisikulmaisen tähden jokainen pää edustaa kultaista kolmiota. Sen sivut muodostavat kärjessä 36° kulman, ja sivulle asetettu pohja jakaa sen kultaisen leikkauksen suhteessa (kuva 3).

Kuva 2. kultainen suorakulmio

Kuva 3 Kultainen kolmio

Pentacle

Tavallisessa viisisakaraisessa tähdessä kukin segmentti on jaettu segmentillä, joka leikkaa sen kultaisessa leikkauksessa, eli sinisen segmentin suhde vihreään, punaisen ja sinisen, vihreän ja violetin suhde on 1,618 (kuva 4).

Kuva 4. Pentagrammi-hygiea

Pythagoras väitti, että pentagrammi tai, kuten hän sitä kutsui, hygieia edustaa matemaattista täydellisyyttä, koska se kätkee kultaisen leikkauksen. Sinisen segmentin suhde vihreään, punaisen ja sinisen, vihreän ja violetin suhde on kultainen suhde.

Fibonacci sarja

Lukusarjat 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 jne. tunnetaan Fibonacci-sarjana. Numerosarjan erikoisuus on, että jokainen sen jäsen, alkaen kolmannesta, yhtä suuri kuin kahden edellisen summa, ja vierekkäisten lukujen suhde sarjassa lähestyy kultaisen jaon suhdetta.

Joten 21:34 = 0,617

34: 55 = 0,618.

Kultaisen leikkauksen historia

On yleisesti hyväksyttyä, että kultaisen jaon käsitteen otti tieteelliseen käyttöön Pythagoras, muinainen kreikkalainen filosofi ja matemaatikko (VI vuosisadalla eKr.). Oletetaan, että Pythagoras lainasi tietämyksensä kultaisesta jakautumisesta egyptiläisiltä ja babylonialaisilta. Itse asiassa Cheopsin pyramidin, temppelien, bareljeefien, taloustavaroiden ja korujen mittasuhteet Tutankhamonin haudasta osoittavat, että egyptiläiset käsityöläiset käyttivät kultaisen jaon suhteita luodessaan niitä.

Kultaiset mittasuhteet sisälläihmiskehon osia

Vuonna 1855 saksalainen kultaisen leikkauksen tutkija, professori Zeising, julkaisi teoksensa "Aesthetic Studies".

Zeising mittasi noin kaksituhatta ihmisruumista ja tuli siihen tulokseen, että kultainen leikkaus kuvaa keskimääräistä tilastollista lakia (kuva 5).

Kuva 5 Kultaiset mittasuhteet ihmiskehon osissa

Kultainen suhde sisäänvillieläimiä

On hämmästyttävää, kuinka vain yksi matemaattinen käsite löytyy monilta ihmistiedon aloilta. Se näyttää tunkeutuvan kaikkeen maailmassa yhdistäen harmonian ja kaaoksen, matematiikan ja taiteen.

SISÄÄN biologista tutkimusta osoitettiin, että viruksista ja kasveista alkaen ihmiskehoon asti kultainen osuus paljastuu kaikkialla, mikä luonnehtii niiden rakenteen suhteellisuutta ja harmoniaa. Kultainen leikkaus tunnustetaan elävien järjestelmien universaaliksi laiksi.

Ensi silmäyksellä liskon mittasuhteet ovat miellyttäviä silmillemme - sen hännän pituus on suhteessa muun kehon pituuteen 62-38 (kuva 6).

Kuva 6 Kultaiset mittasuhteet liskon ruumiinosissa

Kultainen suhde sisäänarkkitehtuuri

"Kultaista leikkausta" käsittelevistä kirjoista löytyy huomautus, että arkkitehtuurissa, kuten maalauksessa, kaikki riippuu tarkkailijan asennosta, ja jos rakennuksen jotkin mittasuhteet yhdeltä puolelta näyttävät muodostavan "kultaisen leikkauksen", niin muista näkökulmista ne näyttävät erilaisilta. "Golden Ratio" antaa rennoimman suhteen tiettyjen pituuksien kokoihin.

Yksi antiikin kreikkalaisen arkkitehtuurin kauneimmista teoksista on Parthenon (kuva 7). Rakennuksen korkeuden suhde sen pituuteen on 0,618. Jos jaamme Parthenonin "kultaisen osan" mukaan, saamme julkisivun tiettyjä ulkonemia.

Toinen esimerkki muinaisesta arkkitehtuurista on Cheopsin pyramidi (kuva 8).

Suuren pyramidin mittasuhteet ovat "kultaisessa suhteessa"

Muinaiset rakentajat onnistuivat pystyttämään tämän majesteettisen muistomerkin lähes täydellisellä teknisellä tarkkuudella ja symmetrialla.

Kuva 7. Parthenon

Kuva 8. Cheopsin pyramidi

Kultainen suhde sisäänveistos

"Kultaisen osan" mittasuhteet luovat vaikutelman kauneuden harmoniasta, minkä vuoksi kuvanveistäjät käyttivät niitä teoksissaan. Esimerkiksi kuuluisa Apollo Belvederen patsas koostuu kultasuhteiden mukaan jaetuista osista (kuva 9).

Kuva 9 Apollo Belvederen patsas

Kultainen suhde sisäänmaalaus

Siirryttäessä esimerkkeihin maalauksen "kultaisesta leikkauksesta", ei voi muuta kuin keskittyä Leonardo da Vincin työhön. Katsotaanpa huolellisesti maalausta "La Gioconda". Muotokuvan sommittelu on rakennettu kultaisiin kolmioihin (kuva 10).

Kuva 10 Leonardo da Vinci "La Gioconda"

Toinen esimerkki maalauksen kultaisesta leikkauksesta on Rafaelin maalaus "Syyttömien verilöyly" (kuva 11). Rafaelin valmistelevassa luonnoksessa piirretään punaisia ​​viivoja, jotka tulevat sävellyksen semanttisesta keskustasta. Jos yhdistät nämä osat luonnollisesti kaarevalla katkoviivalla, saat erittäin suurella tarkkuudella... kultaisen spiraalin!

Kuva 11. Raphael "Syyttömien verilöyly"

Kultainen suhde sisäänkirjallisia teoksia

Tilapäisen taiteen muodot omalla tavallaan osoittavat meille kultaisen jaon periaatteen. Kultaisen leikkauksen sääntö pätee myös venäläisen klassikon yksittäisissä teoksissa. Joten tarinassa " pata kuningatar"853 riviä, ja huipentuma tapahtuu rivillä 535 (853:535 = 1,6) - tämä on kultaisen leikkauksen piste.

Kultainen suhde sisäänelokuvia

Elokuvaohjaaja Sergei Eisenstein koordinoi tietoisesti elokuvansa "Battleship Potemkin" käsikirjoituksen kultaisen leikkauksen säännöllä jakaen elokuvan viiteen osaan.

Johtopäätös

Kultainen leikkaus tunnettiin jo vuonna muinainen Egypti ja Babylonissa Intiassa ja Kiinassa. Suuri Pythagoras loi salaisen koulun, jossa hän opiskeli mystinen olemus"kultainen leikkaus". Euclid käytti sitä luodessaan geometriaansa ja Phidias - kuolemattomia veistoksiaan. Platon sanoi, että maailmankaikkeus on järjestetty "kultaisen suhteen" mukaan. Ja Aristoteles löysi vastaavuuden "kultaisen leikkauksen" ja eettisen lain välillä. "Kultaisen leikkauksen" korkeinta harmoniaa saarnaavat Leonardo da Vinci ja Michelangelo, koska kauneus ja "kultainen leikkaus" ovat yksi ja sama asia. Ja kristityt mystikot piirtävät "kultaisen leikkauksen" pentagrammeja luostareidensa seinille pakeneessaan paholaista. Samaan aikaan tiedemiehet - Paciolista Einsteiniin - etsivät, mutta eivät koskaan löydä sen tarkkaa merkitystä. Loputon sarja desimaalipilkun jälkeen - 1.6180339887... Outo, salaperäinen, selittämätön asia: tämä jumalallinen mittasuhde seuraa mystisesti kaikkea elävää. Eloton luonto ei tiedä mikä "kultainen suhde" on. Mutta näet varmasti tämän osuuden simpukoiden kaarevissa ja kukkien muodossa ja kovakuoriaisten ulkonäössä ja kauniissa ihmiskehossa. Kaikki elävä ja kaikki kaunis - kaikki noudattaa jumalallista lakia, jonka nimi on "kultainen suhde". Joten mikä on "kultainen suhde"? Mikä on tämä täydellinen, jumalallinen yhdistelmä? Ehkä tämä on kauneuden laki? Vai onko hän vielä... mystinen salaisuus? Tieteellinen ilmiö vai eettinen periaate? Vastaus on edelleen tuntematon. Tarkemmin sanottuna - ei, se tiedetään. "Kultainen suhde" on molemmat ja kolmas. Ei vain erikseen, vaan samanaikaisesti... Ja tämä on hänen todellinen mysteerinsä, hänen suuri salaisuutensa.

Kirjallisuus:

1. Vilenkin N. Ya., Zhokhov V. I. ym. Matematiikka - 6. - M.: Mnemosyne, 2015
2. Korbalan F. Kultainen suhde. Kauneuden matemaattinen kieli. (World of Mathematics Vol.1). - M.: DeAgostini, 2014
3. Ajastin G. E. Kultainen suhde. - M.: Librocom, 2009

Avainsanat: kultainen leikkaus, kultaiset mittasuhteet, tieteellinen ilmiö.

Huomautus: Kultainen leikkaus on rakenteellisen harmonian universaali ilmentymä. Sitä löytyy luonnosta, tieteestä, taiteesta - kaikesta, minkä kanssa ihminen voi joutua kosketuksiin. Artikkelin kirjoittajat tutkivat kirjallisuutta, etsivät yhteyksiä kultaiseen suhteeseen liittyvien tieteiden välillä ja tunnistavat kultasuhteiden käytännön merkityksen.

Mitä yhteistä on egyptiläisillä pyramidilla, Leonardo da Vincin Mona Lisalla sekä Twitter- ja Pepsi-logoilla?

Älä viivyttele vastausta - ne kaikki luotiin kultaisen leikkauksen säännöllä. Kultainen suhde on kahden suuren a ja b suhde, jotka eivät ole keskenään yhtä suuria. Tämä osuus löytyy usein luonnosta, myös kultaisen leikkauksen sääntöä käytetään aktiivisesti kuvataiteet ja muotoilu - "jumalisilla mittasuhteilla" luodut sävellykset ovat tasapainoisia ja, kuten sanotaan, silmää miellyttäviä. Mutta mikä kultainen leikkaus oikein on ja voiko sitä käyttää nykyaikaisilla aloilla, esimerkiksi web-suunnittelussa? Selvitetään se.

Hieman MATEMIKAA

Oletetaan, että meillä on tietty jana AB, joka on jaettu kahtia pisteellä C. Janojen pituuksien suhde on: AC/BC = BC/AB. Toisin sanoen segmentti jaetaan epätasaisiin osiin siten, että segmentin suurempi osa muodostaa saman osuuden koko jakamattomasta segmentistä kuin pienempi segmentti suuremmassa.

Tätä epätasaista jakoa kutsutaan kultaiseksi leikkaukseksi. Kultainen leveys on merkitty symbolilla φ. φ:n arvo on 1,618 tai 1,62. Yleisesti ottaen hyvin yksinkertaisesti sanottuna tämä on segmentin tai minkä tahansa muun arvon jako suhteessa 62% ja 38%.

"Jumalallinen osuus" on ollut ihmisten tiedossa muinaisista ajoista lähtien; tätä sääntöä käytettiin Egyptin pyramidien ja Parthenonin rakentamisessa; kultainen leikkaus löytyy Sikstuksen kappelin maalauksesta ja Van Goghin maalauksista. Kultainen leikkaus on edelleen laajalti käytössä – esimerkkejä jatkuvasti silmiemme edessä ovat Twitter- ja Pepsi-logot.

Ihmisen aivot on suunniteltu siten, että ne pitävät kauniina kuvia tai esineitä, joista voidaan havaita epätasainen määrä osia. Kun sanomme jostakin, että "hän on oikeasuhteinen", tarkoitamme tietämättämme kultaista leikkausta.

Kultaista suhdetta voidaan soveltaa erilaisiin geometrisiin muotoihin. Jos otamme neliön ja kerromme sen toisen sivun luvulla 1,618, saamme suorakulmion.

Nyt, jos asetamme neliön tämän suorakulmion päälle, voimme nähdä kultaisen leikkauksen viivan:

Jos jatkamme tämän osuuden käyttöä ja jaamme suorakulmion pienempiin osiin, saamme seuraavan kuvan:

Ei ole vielä selvää, mihin tämä pirstoutuminen meidät vie geometriset kuviot. Vielä vähän ja kaikki selkenee. Jos piirrämme tasaisen viivan, joka vastaa neljäsosaa ympyrästä jokaiseen kaavion neliöön, saamme kultaisen spiraalin.

Tämä on epätavallinen kierre. Sitä kutsutaan joskus myös Fibonacci-spiraaliksi sen tiedemiehen kunniaksi, joka tutki sarjaa, jossa kukin luku on aikainen kahden edellisen summan suhteen. Asia on siinä, että tämä matemaattinen suhde, jonka näemme visuaalisesti spiraalina, löytyy kirjaimellisesti kaikkialta - auringonkukista, simpukoista, spiraaligalaksit ja taifuunit - kaikkialla on kultainen kierre.

MITEN VOISI KÄYTTÄÄ KULLAISTA SUHTETTA SUUNNITELMISSA?

Niin, teoreettinen osa valmis, siirrytään harjoituksiin. Onko kultaista leikkausta todella mahdollista käyttää suunnittelussa? Kyllä sinä voit. Esimerkiksi web-suunnittelussa. Ottaen huomioon tämä sääntö, voit saada asettelun sommitteluelementtien oikean suhteen. Tämän seurauksena kaikki suunnittelun osat, pienimpiin asti, yhdistetään harmonisesti keskenään.

Jos otamme tyypillisen asettelun, jonka leveys on 960 pikseliä ja käytämme siihen kultaista leikkausta, saamme tämän kuvan. Osien välinen suhde on jo tunnettu 1:1.618. Tuloksena on kaksisarainen asettelu, jossa on harmoninen yhdistelmä kahta elementtiä.

Sivustot, joissa on kaksi saraketta, ovat hyvin yleisiä, eikä tämä ole kaikkea muuta kuin sattumaa. Tässä on esimerkiksi National Geographic -verkkosivusto. Kaksi saraketta, kultaisen suhteen sääntö. Hyvä suunnittelu, järjestelmällinen, tasapainoinen ja visuaalisen hierarkian vaatimuksia kunnioittava.

Vielä yksi esimerkki. Designstudio Moodley on kehittänyt Bregenzin esittävän taiteen festivaaleille yritysidentiteetin. Kun suunnittelijat työskentelivät tapahtumajulisteen parissa, he käyttivät selkeästi kultaisen leikkauksen sääntöä määrittääkseen oikein kaikkien elementtien koon ja sijainnin ja saadakseen tuloksena ihanteellisen koostumuksen.

Lemon Graphic, joka loi visuaalisen identiteetin Terkaya Wealth Managementille, käytti myös suhdetta 1:1,618 ja kultaista spiraalia. Kolme sisustuselementtiä käyntikortti sopivat täydellisesti järjestelmään, minkä seurauksena kaikki osat sopivat hyvin yhteen

Ja tässä toinen mielenkiintoista käyttöä kultainen spiraali. Edessämme on jälleen National Geographic -verkkosivusto. Kun katsot suunnittelua tarkemmin, huomaat, että sivulla on toinen NG-logo, vain pienempi, joka sijaitsee lähempänä spiraalin keskustaa.

Tämä ei tietenkään ole sattumaa - suunnittelijat tiesivät erittäin hyvin, mitä he olivat tekemässä. Tämä täydellinen paikka, kopioidaksesi logon, koska silmämme sivua katsellessa siirtyy luonnollisesti sävellyksen keskelle. Näin alitajunta toimii ja tämä on otettava huomioon suunnittelua tehtäessä.

KULTASET YMPYRÄT

"Jumallista mittasuhdetta" voidaan soveltaa mihin tahansa geometriseen muotoon, mukaan lukien ympyrät. Jos piirrämme ympyrän neliöihin, joiden välinen suhde on 1:1,618, saadaan kultaisia ​​ympyröitä.

Tässä on Pepsi-logo. Kaikki on selvää ilman sanoja. Sekä suhde että tapa, jolla valkoisen logoelementin tasainen kaari saavutettiin.

Twitter-logon kanssa asiat ovat hieman monimutkaisempia, mutta tässäkin näkyy, että sen suunnittelu perustuu kultaisten ympyröiden käyttöön. Se ei noudata vähän "jumalallisen mittasuhteen" sääntöä, mutta suurimmalta osin kaikki sen elementit sopivat järjestelmään.

PÄÄTELMÄ

Kuten näette, huolimatta siitä, että kultaisen suhteen sääntö on ollut tiedossa ammoisista ajoista lähtien, se ei ole ollenkaan vanhentunut. Siksi sitä voidaan käyttää suunnittelussa. Ei ole välttämätöntä yrittää parhaansa mahtuakseen järjestelmään - suunnittelu on epätarkka kurinalaisuus. Mutta jos sinun on saavutettava harmoninen elementtien yhdistelmä, ei ole haittaa yrittää soveltaa kultaisen leikkauksen periaatteita.

Ihminen erottaa ympärillään olevat esineet niiden muodon perusteella. Kiinnostus esineen muotoa kohtaan voi johtua elintärkeästä välttämättömyydestä tai sen voi aiheuttaa muodon kauneus. Muoto, joka perustuu symmetrian ja kultaisen leikkauksen yhdistelmään, edistää parasta näköaisti ja kauneuden ja harmonian tunteen ilmaantuminen. Kokonaisuus koostuu aina osista, erikokoiset osat ovat tietyssä suhteessa toisiinsa ja kokonaisuuteen. Kultaisen leikkauksen periaate - korkein ilmentymä kokonaisuuden ja sen osien rakenteellinen ja toiminnallinen täydellisyys taiteessa, tieteessä, tekniikassa ja luonnossa.

Kultainen suhde - harmoninen osuus

Suora segmentti AB voidaan jakaa kahteen osaan seuraavilla tavoilla:

kahteen yhtä suureen osaan - AB : AC = AB : Aurinko;





kahteen eriarvoiseen osaan millään tavalla (sellaiset osat eivät muodosta mittasuhteita);





siis milloin AB : AC = AC : Aurinko.

Kultainen leikkaus on sellainen segmentin suhteellinen jako epätasaisiin osiin, jossa koko segmentti liittyy suurempaan osaan, kun suurempi osa itse on suhteessa pienempään; tai toisin sanoen pienempi segmentti on suurempi kuin suurempi on kokonaisuus

a : b = b : c tai Kanssa : b = b : A.

Riisi. 1. Geometrinen kuva kultaisesta leikkauksesta

Käytännön tutustuminen kultaiseen leikkaukseen alkaa jakamalla suora jana kultaiseen mittasuhteeseen kompassin ja viivaimen avulla.

Riisi. 2. Suoran janan jakaminen kultaisen leikkauksen avulla. B.C. = 1/2 AB; CD = B.C.

Kohdasta SISÄÄN puolet vastaava kohtisuora palautetaan AB. Vastaanotettu piste KANSSA yhdistetty viivalla pisteeseen A. Tuloksena olevalle suoralle piirretään jana Aurinko päättyy pisteeseen D. Jana ILMOITUS siirretty suoraan AB. Tuloksena oleva piste E jakaa segmentin AB kultaisessa suhteessa.

Kultaisen leikkauksen segmentit ilmaistaan ​​äärettömänä irrationaalisena murto-osana A.E.= 0,618..., jos AB ottaa yhtenä OLLA= 0,382... Käytännön tarkoituksiin käytetään usein likimääräisiä arvoja 0,62 ja 0,38. Jos segmentti AB otetaan 100 osaksi, niin segmentin suurempi osa on 62 ja pienempi osa 38 osaa.

Kultaisen leikkauksen ominaisuuksia kuvataan yhtälöllä:

x 2 - x - 1 = 0.

Ratkaisu tähän yhtälöön:

Kultaisen leikkauksen ominaisuudet ovat luoneet tämän numeron ympärille romanttisen mysteerin ja lähes mystisen palvonnan auran.

Toinen kultainen suhde

Tämä osuus löytyy arkkitehtuurista, ja se esiintyy myös rakennettaessa koostumuksia pitkänomaisen vaakamuodon kuvista.

Riisi. 3. Toisen kultaisen leikkauksen rakentaminen

Jako suoritetaan seuraavasti (katso kuva 3). Jana AB jaettuna kultaisen leikkauksen mukaan. Kohdasta KANSSA kohtisuora palautetaan CD. Säde AB on pointtia D, joka on yhdistetty viivalla pisteeseen A. Oikea kulma ACD on jaettu puoliksi. Kohdasta KANSSA viiva vedetään, kunnes se leikkaa viivan ILMOITUS. Piste E jakaa segmentin ILMOITUS suhteessa 56:44:ään.

Riisi. 4. Suorakulmion jakaminen toisen kultaisen leikkauksen viivalla

Kuvassa Kuvassa 4 näkyy toisen kultaisen leikkauksen viivan sijainti. Se sijaitsee kultaisen leikkauksen viivan ja suorakulmion keskiviivan puolivälissä.

Kultainen kolmio

Riisi. 5. Säännöllisen viisikulmion ja pentagrammin rakentaminen

Pentagrammin rakentamiseksi sinun on rakennettava tavallinen viisikulmio. Sen valmistusmenetelmän on kehittänyt saksalainen taidemaalari ja graafikko Albrecht Durer (1471...1528). Antaa O- ympyrän keskipiste, A- piste ympyrässä ja E- segmentin keskikohta OA. Säteeseen nähden kohtisuorassa OA, kunnostettu pisteessä NOIN, leikkaa ympyrän pisteessä D. Piirrä halkaisijalle segmentti kompassin avulla C.E. = ED. Ympyrään piirretyn säännöllisen viisikulmion sivun pituus on DC. Aseta segmentit ympyrän päälle DC ja saamme viisi pistettä säännöllisen viisikulmion piirtämisestä. Yhdistämme viisikulmion kulmat toistensa läpi diagonaaleilla ja saamme pentagrammin. Kaikki viisikulmion lävistäjät jakavat toisensa segmenteiksi, jotka on yhdistetty kultaisella leikkauksella.

Viisikulmaisen tähden jokainen pää edustaa kultaista kolmiota. Sen sivut muodostavat kärjessä 36° kulman, ja sivulle asetettu pohja jakaa sen kultaisen leikkauksen suhteessa.

Riisi. 6. Kultaisen kolmion rakentaminen

Suoritamme suoran AB. Kohdasta A aseta segmentti sen päälle kolme kertaa NOIN mielivaltainen arvo tuloksena olevan pisteen kautta R piirrä kohtisuora viivaan nähden AB, kohtisuorassa pisteen oikealle ja vasemmalle puolelle R aseta segmentit sivuun NOIN. Pisteitä saatu d Ja d 1 yhdistä suorilla viivoilla pisteeseen A. Jana dd laita 1 riville Ilmoitus 1, saan pisteen KANSSA. Hän jakoi linjan Ilmoitus 1 suhteessa kultaiseen leikkaukseen. Linjat Ilmoitus 1 ja dd 1 käytetään "kultaisen" suorakulmion rakentamiseen.

Kultaisen leikkauksen historia

Kreikkalaiset olivat taitavia geometrioita. He jopa opettivat aritmetiikkaa lapsilleen geometristen kuvioiden avulla. Pythagoraan neliö ja tämän neliön diagonaali olivat perusta dynaamisten suorakulmioiden rakentamiselle.

Riisi. 7. Dynaamiset suorakulmiot

Myös Platon (427...347 eKr.) tiesi kultaisesta jaosta. Hänen dialoginsa "Timaeus" on omistettu Pythagoraan koulukunnan matemaattisille ja esteettisille näkemyksille ja erityisesti kultaisen jaon kysymyksiin.

Muinaisen kreikkalaisen Parthenon-temppelin julkisivussa on kultaiset mittasuhteet. Sen kaivauksissa löydettiin kompasseja, joita käyttivät muinaisen maailman arkkitehdit ja kuvanveistäjät. Pompeian kompassi (museo Napolissa) sisältää myös kultaisen jaon mittasuhteet.

Riisi. 8. Antiikkinen kultainen suhde kompassi

Muinaisessa kirjallisuudessa, joka on tullut meille, kultainen jako mainittiin ensimmäisen kerran Eukleideen elementeissä. "Periaatteiden" 2. kirjassa esitetään kultaisen jaon geometrinen rakenne, Eukleideen jälkeen kultaista jakoa tutkivat Hypsicles (II vuosisata eKr.), Pappus (III vuosisata jKr.) ja muut. keskiaikainen Eurooppa Tutustuimme kultaiseen jakoon Eukleideen elementtien arabiankielisistä käännöksistä. Kääntäjä J. Campano Navarrasta (III vuosisata) kommentoi käännöstä. Kultaisen divisioonan salaisuuksia vartioitiin mustasukkaisesti ja pidettiin tiukasti salassa. Ne olivat vain vihittyjen tiedossa.

Renessanssin aikana kiinnostus kultaista jakoa kohtaan lisääntyi tiedemiesten ja taiteilijoiden keskuudessa, koska sitä käytettiin sekä geometriassa että taiteessa, erityisesti arkkitehtuurissa.Taiteilija ja tiedemies Leonardo da Vinci näki, että italialaisilla taiteilijoilla oli paljon empiiristä kokemusta, mutta vähän tietoa. Hän tuli raskaaksi ja alkoi kirjoittaa kirjaa geometriasta, mutta tuolloin ilmestyi munkki Luca Paciolin kirja, ja Leonardo hylkäsi ideansa. Aikalaisten ja tieteen historioitsijoiden mukaan Luca Pacioli oli todellinen valomies, suurin matemaatikko Italia Fibonaccin ja Galileon välisenä aikana. Luca Pacioli oli taiteilija Piero della Franceschin oppilas, joka kirjoitti kaksi kirjaa, joista toinen oli nimeltään "Perspektiivistä maalaukseen". Häntä pidetään kuvailevan geometrian luojana.

Luca Pacioli ymmärsi täydellisesti tieteen merkityksen taiteelle. Vuonna 1496 hän saapui Moreaun herttuan kutsusta Milanoon, jossa hän luennoi matematiikasta. Leonardo da Vinci työskenteli tuolloin myös Milanossa Moron hovissa. Vuonna 1509 Venetsiassa julkaistiin Luca Paciolin kirja "The Divine Proportion" upeasti toteutetuilla kuvituksilla, minkä vuoksi uskotaan, että ne ovat Leonardo da Vinci. Kirja oli innostunut hymni kultaiselle leikkaukselle. Kultaisen mittasuhteen monien etujen joukossa munkki Luca Pacioli ei jättänyt nimeämättä sen "jumalallista olemusta" ilmaisuksi jumalallisesta kolminaisuudesta - Jumala poika, Jumala isä ja Jumala pyhä henki (sen vihjattiin, että pieni segmentti on Jumalan pojan personifikaatio, suurempi segmentti - Isä Jumala ja koko segmentti - Pyhän Hengen Jumala).

Leonardo da Vinci kiinnitti myös paljon huomiota kultaisen divisioonan tutkimukseen. Hän teki osia stereometrisestä kappaleesta, joka muodostui säännöllisistä viisikulmioista, ja joka kerta hän sai suorakulmiot, joiden kuvasuhteet olivat kultaisessa jaossa. Siksi hän antoi tälle divisioonalle nimen kultainen leikkaus. Joten se on edelleen suosituin.

Samaan aikaan Pohjois-Euroopassa, Saksassa, Albrecht Dürer työskenteli samojen ongelmien parissa. Hän luonnostelee johdannon mittasuhteita käsittelevän traktaatin ensimmäiseen versioon. Dürer kirjoittaa. ”On välttämätöntä, että joku, joka osaa tehdä jotain, opettaa sitä muille, jotka sitä tarvitsevat. Tämä on se, mitä päätin tehdä."

Yhdestä Dürerin kirjeestä päätellen hän tapasi Luca Paciolin ollessaan Italiassa. Albrecht Durer kehittää yksityiskohtaisesti ihmiskehon mittasuhteiden teoriaa. Tärkeä paikka Suhdejärjestelmässään Dürer käytti kultaista leikkausta. Ihmisen pituus jaetaan kultaisissa mittasuhteissa vyön linjalla, samoin kuin alas laskettujen käsien keskisormien kärkien läpi, kasvojen alaosan suulla jne. Dürerin suhteellinen kompassi on hyvin tunnettu.

1500-luvun suuri tähtitieteilijä. Johannes Kepler kutsui kultaista leikkausta yhdeksi geometrian aarteista. Hän kiinnitti ensimmäisenä huomion kultaisen mittasuhteen merkitykseen kasvitieteen kannalta (kasvien kasvu ja rakenne).

Kepler soitti kultainen leikkaus jatkaa itseään: "Se on rakennettu siten", hän kirjoitti, "että tämän loputtoman osuuden kaksi nuorempaa termiä laskevat yhteen kolmannen termin ja mitkä tahansa kaksi viimeistä termiä, jos ne lisätään, antavat seuraavan termin ja saman osuuden säilyy loputtomiin."

Kultaisen mittasuhteen segmenttien sarjan rakentaminen voidaan tehdä sekä kasvun suuntaan (kasvava sarja) että laskusuunnassa (laskeva sarja).

Jos se on mielivaltaisen pituisella suoralla, aseta segmentti sivuun m, laita segmentti sen viereen M. Näiden kahden segmentin perusteella rakennamme nousevan ja laskevan sarjan kultaisen osuuden segmenttien asteikon

Riisi. 9. Kultaisten mittasuhteiden segmenttien asteikon rakentaminen

Seuraavina vuosisatoina kultaisen mittasuhteen sääntö muuttui akateemiseksi kaanoniksi, ja kun ajan mittaan taiteessa alkoi taistelu akateemista rutiinia vastaan, taistelun kuumuudessa "he heittivät vauvan kylpyveden mukana". Kultainen leikkaus ”löydettiin” uudelleen 1800-luvun puolivälissä. Vuonna 1855 saksalainen kultaisen leikkauksen tutkija, professori Zeising, julkaisi teoksensa "Aesthetic Studies". Zeisingille tapahtui juuri sitä, mitä väistämättä pitäisi tapahtua tutkijalle, joka pitää ilmiötä sellaisenaan ilman yhteyttä muihin ilmiöihin. Hän ehdotti kultaisen leikkauksen osuutta ja julisti sen universaaliksi kaikille luonnonilmiöille ja taiteelle. Zeisingillä oli lukuisia seuraajia, mutta oli myös vastustajia, jotka julistivat hänen mittasuhteiden oppinsa "matemaattiseksi estetiikaksi".

Riisi. 10. Kultaiset mittasuhteet ihmiskehon osissa

Zeising teki loistavaa työtä. Hän mittasi noin kaksituhatta ihmisruumista ja tuli siihen tulokseen, että kultainen leikkaus kuvaa keskimääräistä tilastollista lakia. Kehon jakautuminen napapisteen mukaan on kultaisen leikkauksen tärkein indikaattori. Miehen vartalon mittasuhteet vaihtelevat keskimääräisen suhteen 13:8 = 1,625 sisällä ja ovat jonkin verran lähempänä kultaista leikkausta kuin naisen ruumiin mittasuhteet, joihin nähden osuuden keskiarvo ilmaistaan ​​suhteessa 8: 5 = 1,6. Vastasyntyneellä suhde on 1:1, 13-vuotiaana se on 1,6 ja 21-vuotiaana sama kuin miehen. Kultaisen leikkauksen mittasuhteet näkyvät myös suhteessa muihin kehon osiin - olkapään, kyynärvarren ja käden pituuteen, käsiin ja sormiin jne.

Riisi. yksitoista. Kultaiset mittasuhteet ihmishahmossa

Zeising testasi teoriansa pätevyyttä kreikkalaisilla patsailla. Hän kehitti Apollo Belvederen mittasuhteet mahdollisimman yksityiskohtaisesti. Kreikan maljakoita ja arkkitehtonisia rakenteita tutkittiin eri aikakausilta, kasvit, eläimet, linnunmunat, musiikilliset äänet, runolliset mittarit. Zeising antoi määritelmän kultaiselle leikkaukselle ja osoitti, kuinka se ilmaistaan ​​suorina janoina ja numeroina. Kun osien pituuksia ilmaisevat luvut saatiin, Zeising näki niiden muodostavan Fibonacci-sarjan, jota voitiin jatkaa loputtomiin suuntaan tai toiseen. Hänen seuraava kirjansa oli nimeltään "Kultainen jako luonnon ja taiteen morfologisena peruslakina". Vuonna 1876 Venäjällä julkaistiin pieni kirja, melkein esite, joka esitteli tätä Zeisingin työtä. Kirjoittaja turvautui nimikirjaimiin Yu.F.V. Tässä painoksessa ei mainita yhtäkään maalausteosta.

SISÄÄN myöhään XIX- 1900-luvun alku Kultaisen leikkauksen käytöstä taideteoksissa ja arkkitehtuurissa ilmestyi monia puhtaasti formalistisia teorioita. Muotoilun ja teknisen estetiikan kehittyessä kultaisen leikkauksen laki ulottui autojen, huonekalujen jne. suunnitteluun.

Fibonacci sarja

Numerosarja 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 jne. tunnetaan Fibonacci-sarjana. Numerosarjan erikoisuus on, että jokainen sen jäsen kolmannesta alkaen on yhtä suuri kuin kahden edellisen summa 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 jne., ja vierekkäisten lukujen suhde sarjassa lähestyy kultaisen jaon suhdetta. Joten 21:34 = 0,617 ja 34: 55 = 0,618. Tämä suhde on merkitty symbolilla F. Vain tämä suhde - 0,618: 0,382 - antaa suoran janan jatkuvan jaon kultaisessa suhteessa, kasvattaen tai vähentäen sitä äärettömyyteen, kun pienempi segmentti liittyy suurempaan samaan kuin suurempi kokonaisuuteen.

Fibonacci käsitteli myös kaupan käytännön tarpeita: mikä on pienin painojen määrä, jolla tuotetta voidaan punnita? Fibonacci todistaa, että optimaalinen painojärjestelmä on: 1, 2, 4, 8, 16...

Yleistetty kultainen suhde

Tiedemiehet jatkoivat aktiivisesti Fibonacci-lukujen ja kultaisen leikkauksen teorian kehittämistä. Yu. Matiyasevitš ratkaisee Hilbertin 10. tehtävän käyttämällä Fibonacci-lukuja. Tyylikkäitä menetelmiä on syntymässä useiden kyberneettisten ongelmien (hakuteoria, pelit, ohjelmointi) ratkaisemiseen Fibonacci-lukujen ja kultaisen leikkauksen avulla. Yhdysvaltoihin ollaan perustamassa jopa Mathematical Fibonacci Associationia, joka on julkaissut erikoislehteä vuodesta 1963 lähtien.

Yksi tämän alan saavutuksista on yleistettyjen Fibonacci-lukujen ja yleistettyjen kultaisten suhteiden löytäminen.

Fibonacci-sarjat (1, 1, 2, 3, 5, 8) ja hänen löytämänsä "binaariset" painosarjat 1, 2, 4, 8, 16... ensi silmäyksellä ovat täysin erilaisia. Mutta niiden rakentamisalgoritmit ovat hyvin samankaltaisia ​​keskenään: ensimmäisessä tapauksessa jokainen luku on edellisen luvun summa itsensä kanssa 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., toisessa se on kahden edellisen luvun summa 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Onko mahdollista löytää summa matemaattinen kaava, josta sekä "binääri"- että Fibonacci-sarja saadaan? Tai ehkä tämä kaava antaa meille uusia numeerisia joukkoja, joilla on uusia ainutlaatuisia ominaisuuksia?

Todellakin, asetetaan numeerinen parametri S, joka voi saada mitä tahansa arvoa: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Tarkastellaan numerosarjaa, S jonka ensimmäisistä termeistä + 1 on yksikköä ja jokainen seuraava on yhtä suuri kuin edellisen kahden termin summa ja erotetaan edellisestä S askeleet. Jos n Merkitsemme tämän sarjan th termiä φ S ( n), sitten saamme yleinen kaavaφ S ( n) = φ S ( n- 1) + φ S ( n - S - 1).

On selvää, että milloin S= 0 tästä kaavasta saadaan "binääri" sarja, jossa S= 1 - Fibonacci-sarja, jossa S= 2, 3, 4. uudet numerosarjat, joita kutsutaan S-Fibonaccin numerot.

SISÄÄN yleisnäkymä kultainen S-suhde on kultaisen yhtälön positiivinen juuri S-osuudet x S+1 - x S - 1 = 0.

Se on helppo näyttää milloin S= 0, segmentti jaetaan puoliksi ja milloin S= 1 - tuttu klassinen kultainen suhde.

Naapureiden väliset suhteet S- Fibonaccin luvut osuvat yhteen absoluuttisen matemaattisen tarkkuuden kanssa kullan rajassa S-suhteet! Tällaisissa tapauksissa matemaatikot sanovat, että kulta S-osat ovat numeerisia invariantteja S-Fibonaccin numerot.

Faktat, jotka vahvistavat kullan olemassaolon S-osioita luonnossa, lainaa valkovenäläinen tiedemies E.M. Soroko kirjassa "Järjestelmien rakenneharmonia" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Osoittautuu esimerkiksi, että hyvin tutkituilla binääriseoksilla on erityisiä, korostuneita toiminnallisia ominaisuuksia (lämpöstabiili, kova, kulutusta kestävä, hapettumista kestävä jne.) vain, jos tietty painovoima alkuperäiset komponentit on yhdistetty toisiinsa kullalla S-suhteet. Tämän ansiosta kirjoittaja pystyi esittämään hypoteesin, että kulta S-osuudet ovat itseorganisoituvien järjestelmien numeerisia invariantteja. Kun tämä hypoteesi on vahvistettu kokeellisesti, sillä voi olla perustavanlaatuinen merkitys synergiikan kehitykselle - uusi alue tiede, joka tutkii itseorganisoituvien järjestelmien prosesseja.

Kultakoodien käyttö S-osuudet voidaan ilmaista millä tahansa reaaliluvulla kullan potenssien summana S-suhteet kokonaislukukertoimilla.

Perimmäinen ero tämän numerokoodausmenetelmän välillä on se, että uusien koodien perusteet, jotka ovat kultaisia S-suhteet, kanssa S> 0 ovat irrationaalisia lukuja. Siten uudet numerojärjestelmät, joilla on irrationaalinen perusta, näyttävät nostavan historiallisesti vakiintuneen rationaalisten ja irrationaalisten lukujen välisten suhteiden hierarkian "päästä jalkaan". Tosiasia on, että luonnolliset luvut "löydettiin" ensin; silloin niiden suhteet ovat rationaalilukuja. Ja vasta myöhemmin - sen jälkeen, kun pythagoralaiset löysivät suhteettomia segmenttejä - syntyi irrationaalisia lukuja. Esimerkiksi desimaali-, kvinaari-, binääri- ja muissa klassisissa paikkalukujärjestelmissä luonnolliset luvut valittiin eräänlaiseksi perusperiaatteeksi - 10, 5, 2 - joista tietyt säännöt kaikki muut luonnolliset luvut, samoin kuin rationaaliset ja irrationaaliset luvut, rakennettiin.

Eräänlainen vaihtoehto olemassa oleville merkintämenetelmille on perusperiaatteena uusi irrationaalinen järjestelmä, jonka alku on irrationaaliluku (joka muistaakseni on kultaisen leikkauksen yhtälön juuri); muut reaaliluvut ilmaistaan ​​jo sen kautta.

Tällaisessa numerojärjestelmässä mikä tahansa luonnollinen luku aina esitettävissä äärellisenä - eikä äärettömänä, kuten aiemmin ajateltiin! - minkä tahansa kullan asteiden summa S-suhteet. Tämä on yksi syy siihen, miksi "irrationaalinen" aritmetiikka, jolla on hämmästyttävä matemaattinen yksinkertaisuus ja tyylikkyys, näyttää imeytyneen parhaat ominaisuudet klassinen binääri ja Fibonacci-aritmetiikka.

Luonnon muodostumisen periaatteet

Kuori on kierretty spiraaliksi. Jos avaat sen, saat hieman lyhyemmän pituuden kuin käärmeen pituus. Pienessä kymmenen senttimetrin kuoressa on 35 cm pitkä spiraali, joka on luonnossa hyvin yleistä. Kultaisen leikkauksen idea on epätäydellinen puhumattakaan spiraalista.

Riisi. 12. Archimedes-spiraali

Spiraalimaisesti kiertyneen kuoren muoto herätti Archimedesin huomion. Hän tutki sitä ja keksi yhtälön spiraalille. Tämän yhtälön mukaan piirrettyä spiraalia kutsutaan hänen nimellä. Hänen askeleen nousu on aina tasaista. Tällä hetkellä Archimedes-spiraalia käytetään laajalti tekniikassa.

Goethe korosti myös luonnon taipumusta spiraalisuuteen. Lehtien kierteinen ja kierteinen asettuminen puiden oksiin havaittiin jo kauan sitten. Spiraali näkyi auringonkukansiementen, käpyjen, ananasten, kaktusten jne. Yhteistyö Kasvitieteilijät ja matemaatikot valaisevat näitä hämmästyttäviä luonnonilmiöitä. Kävi ilmi, että Fibonacci-sarja ilmenee lehtien asettamisessa oksalle (phylotaksis), auringonkukansiemenissä ja käpyissä, ja siksi kultaisen suhteen laki ilmenee. Hämähäkki kutoo verkkonsa spiraalimaisesti. Hurrikaani pyörii kuin spiraali. Pelästynyt lauma poro spiraalit pois. DNA-molekyyli on kierretty kaksoiskierteeksi. Goethe kutsui spiraalia "elämän kaareksi".

Tienvarsien yrttien joukossa kasvaa huomaamaton kasvi - sikuri. Katsotaanpa sitä tarkemmin. Päävarresta on muodostunut verso. Ensimmäinen lehti oli juuri siellä.

Riisi. 13. Sikuri

Verso heittää voimakkaan avaruuteen, pysähtyy, irrottaa lehden, mutta tällä kertaa se on lyhyempi kuin ensimmäinen, heittää taas avaruuteen, mutta pienemmällä voimalla, vapauttaa vielä pienemmän lehden ja sinkoutuu uudelleen . Jos ensimmäinen päästö on 100 yksikköä, toinen on 62 yksikköä, kolmas - 38, neljäs - 24 jne. Terälehtien pituus riippuu myös kultaisesta suhteesta. Kasvaessaan ja valloittaessaan tilaa kasvi säilytti tietyt mittasuhteet. Sen kasvun impulssit vähenivät vähitellen suhteessa kultaiseen leikkaukseen.

Riisi. 14. Elävä lisko

Ensi silmäyksellä liskolla on silmillemme miellyttävät mittasuhteet - sen hännän pituus on suhteessa muun kehon pituuteen 62-38.

Sekä kasvi- että eläinmaailmassa luonnon muodostava taipumus murtautuu jatkuvasti läpi - symmetria kasvu- ja liikesuunnan suhteen. Tässä kultainen suhde näkyy kasvusuuntaan nähden kohtisuorassa olevien osien suhteissa.

Luonto on jakanut symmetrisiin osiin ja kultaisiin mittasuhteisiin. Osat paljastavat kokonaisuuden rakenteen toiston.

Riisi. 15. linnun muna

Suuri Goethe, runoilija, luonnontieteilijä ja taiteilija (hän ​​piirsi ja maalasi vesiväreillä), haaveili yhtenäisen opin luomisesta orgaanisten ruumiiden muodosta, muodostumisesta ja muuttamisesta. Hän otti termin morfologia käyttöön tieteellisessä käytössä.

Pierre Curie muotoili tämän vuosisadan alussa useita syvällisiä ajatuksia symmetriasta. Hän väitti, ettei minkään kappaleen symmetriaa voida tarkastella ottamatta huomioon ympäristön symmetriaa.

"Kultaisen" symmetrian kuviot ilmenevät energiasiirtymissä alkuainehiukkasia, joidenkin rakenteessa kemialliset yhdisteet, planeetta- ja avaruusjärjestelmissä, elävien organismien geenirakenteissa. Nämä kuviot, kuten edellä mainittiin, esiintyvät yksittäisten ihmiselinten rakenteessa ja koko kehossa, ja ne ilmenevät myös aivojen biorytmeissä ja toiminnassa sekä visuaalisessa havainnoissa.

Kultainen suhde ja symmetria

Kultainen jako ei ole epäsymmetrian ilmentymä, symmetrian vastakohta, vaan nykyajan käsityksen mukaan kultainen jako on epäsymmetrinen symmetria. Symmetriatiede sisältää sellaiset käsitteet kuin staattinen Ja dynaaminen symmetria. Staattinen symmetria luonnehtii rauhaa ja tasapainoa, kun taas dynaaminen symmetria luonnehtii liikettä ja kasvua. Siten luonnossa staattista symmetriaa edustaa kiteiden rakenne ja taiteessa se luonnehtii rauhaa, tasapainoa ja liikkumattomuutta. Dynaaminen symmetria ilmaisee aktiivisuutta, luonnehtii liikettä, kehitystä, rytmiä, se on todiste elämästä. Staattiselle symmetrialle on tunnusomaista yhtäläiset segmentit, samat arvot. Dynaamiselle symmetrialle on ominaista segmenttien lisääntyminen tai niiden väheneminen, ja se ilmaistaan ​​kasvavan tai laskevan sarjan kultaisen leikkauksen arvoina.

Ihminen erottaa ympärillään olevat esineet niiden muodon perusteella. Kiinnostus esineen muotoa kohtaan voi johtua elintärkeästä välttämättömyydestä tai sen voi aiheuttaa muodon kauneus. Muoto, jonka rakenne perustuu symmetrian ja kultaisen leikkauksen yhdistelmään, edistää parhaan visuaalisen havainnoinnin sekä kauneuden ja harmonian tunteen ilmaantumista. Kokonaisuus koostuu aina osista, erikokoiset osat ovat tietyssä suhteessa toisiinsa ja kokonaisuuteen. Kultaisen leikkauksen periaate on korkein ilmentymä kokonaisuuden ja sen osien rakenteellisesta ja toiminnallisesta täydellisyydestä taiteessa, tieteessä, tekniikassa ja luonnossa.

Kultainen suhde - harmoninen osuus

Matematiikassa suhteessa(lat. proportio) kutsuvat kahden suhteen yhtäläisyyttä:

a : b = c : d.

Suora segmentti AB voidaan jakaa kahteen osaan seuraavilla tavoilla:

• kahteen yhtä suureen osaan - AB : A.C. = AB : B.C.;
• kahteen eriarvoiseen osaan millään tavalla (sellaiset osat eivät muodosta mittasuhteita);
• siis milloin AB : A.C. = A.C. : B.C..

Jälkimmäinen on segmentin kultainen jako tai jako äärimmäisessä ja keskimääräisessä suhteessa.

Kultainen leikkaus on sellainen segmentin suhteellinen jako epätasaisiin osiin, jossa koko segmentti liittyy suurempaan osaan, kun suurempi osa itse on suhteessa pienempään; tai toisin sanoen, pienempi segmentti on suurempi kuin suurempi on kokonaisuus:

a : b = b : c
tai
c : b = b : a.

Riisi. 1. Geometrinen kuva kultaisesta leikkauksesta

Käytännön tutustuminen kultaiseen leikkaukseen alkaa jakamalla suora jana kultaiseen mittasuhteeseen kompassin ja viivaimen avulla.

Riisi. 2.B.C. = 1/2 AB; CD = B.C.

Kohdasta B puolet vastaava kohtisuora palautetaan AB. Vastaanotettu piste C yhdistetty viivalla pisteeseen A. Tuloksena olevalle suoralle piirretään jana B.C. päättyy pisteeseen D. Jana ILMOITUS siirretty suoraan AB. Tuloksena oleva piste E jakaa segmentin AB kultaisessa suhteessa.

Kultaisen leikkauksen segmentit ilmaistaan ​​äärettömänä irrationaalisena murto-osana A.E.= 0,618..., jos AB ottaa yhtenä OLLA= 0,382... Käytännön tarkoituksiin käytetään usein likimääräisiä arvoja 0,62 ja 0,38. Jos segmentti AB otetaan 100 osaksi, niin segmentin suurempi osa on 62 ja pienempi osa 38 osaa.

Kultaisen leikkauksen ominaisuuksia kuvataan yhtälöllä:

x 2 – x – 1 = 0.

Ratkaisu tähän yhtälöön:

Kultaisen leikkauksen ominaisuudet ovat luoneet tämän numeron ympärille romanttisen mysteerin ja lähes mystisen palvonnan auran.

Toinen kultainen suhde

Bulgarialainen aikakauslehti "Isänmaa" (nro 10, 1983) julkaisi Tsvetan Tsekov-Karandashin artikkelin "Toisesta kultaleikkauksesta", joka seuraa pääosiosta ja antaa toisen suhteen 44:56.

Tämä osuus löytyy arkkitehtuurista, ja se esiintyy myös rakennettaessa koostumuksia pitkänomaisen vaakamuodon kuvista.

Riisi. 3.

Jako suoritetaan seuraavasti. Jana AB jaettuna kultaisen leikkauksen mukaan. Kohdasta C kohtisuora palautetaan CD. Säde AB on pointtia D, joka on yhdistetty viivalla pisteeseen A. Oikea kulma ACD on jaettu puoliksi. Kohdasta C viiva vedetään, kunnes se leikkaa viivan ILMOITUS. Piste E jakaa segmentin ILMOITUS suhteessa 56:44:ään.

Riisi. 4.

Kuvassa näkyy toisen kultaisen leikkauksen viivan sijainti. Se sijaitsee kultaisen leikkauksen viivan ja suorakulmion keskiviivan puolivälissä.

Kultainen kolmio

Voit etsiä nousevan ja laskevan sarjan kultaisen osuuden segmenttejä käyttämällä pentagrammi.

Riisi. 5. Säännöllisen viisikulmion ja pentagrammin rakentaminen

Pentagrammin rakentamiseksi sinun on rakennettava tavallinen viisikulmio. Sen valmistusmenetelmän on kehittänyt saksalainen taidemaalari ja graafikko Albrecht Durer (1471...1528). Antaa O- ympyrän keskipiste, A– piste ympyrässä ja E– segmentin keskikohta O.A.. Säteeseen nähden kohtisuorassa O.A., kunnostettu pisteessä O, leikkaa ympyrän pisteessä D. Piirrä halkaisijalle segmentti kompassin avulla C.E. = ED. Ympyrään piirretyn säännöllisen viisikulmion sivun pituus on DC. Aseta segmentit ympyrän päälle DC ja saamme viisi pistettä säännöllisen viisikulmion piirtämisestä. Yhdistämme viisikulmion kulmat toistensa läpi diagonaaleilla ja saamme pentagrammin. Kaikki viisikulmion lävistäjät jakavat toisensa segmenteiksi, jotka on yhdistetty kultaisella leikkauksella.

Viisikulmaisen tähden jokainen pää edustaa kultaista kolmiota. Sen sivut muodostavat kärjessä 36° kulman, ja sivulle asetettu pohja jakaa sen kultaisen leikkauksen suhteessa.

Riisi. 6. Kultaisen kolmion rakentaminen

Suoritamme suoran AB. Kohdasta A aseta segmentti sen päälle kolme kertaa O mielivaltainen arvo tuloksena olevan pisteen kautta P piirrä kohtisuora viivaan nähden AB, kohtisuorassa pisteen oikealle ja vasemmalle puolelle P aseta segmentit sivuun O. Pisteitä saatu d Ja d 1 yhdistä suorilla viivoilla pisteeseen A. Jana dd laita 1 riville Ilmoitus 1, saan pisteen C. Hän jakoi linjan Ilmoitus 1 suhteessa kultaiseen leikkaukseen. Linjat Ilmoitus 1 ja dd 1 käytetään "kultaisen" suorakulmion rakentamiseen.

Kultaisen leikkauksen historia

On yleisesti hyväksyttyä, että kultaisen jaon käsitteen otti tieteelliseen käyttöön Pythagoras, muinainen kreikkalainen filosofi ja matemaatikko (VI vuosisadalla eKr.). Oletetaan, että Pythagoras lainasi tietämyksensä kultaisesta jakautumisesta egyptiläisiltä ja babylonialaisilta. Itse asiassa Cheopsin pyramidin, temppelien, bareljeefien, taloustavaroiden ja haudan koristeiden mittasuhteet osoittavat, että egyptiläiset käsityöläiset käyttivät kultaisen jaon suhteita luodessaan niitä. Ranskalainen arkkitehti Le Corbusier havaitsi, että Abydoksen farao Seti I:n temppelin kohokuviossa ja farao Ramsesta kuvaavassa reliefissä hahmojen mittasuhteet vastaavat kultaisen divisioonan arvoja. Arkkitehti Khesira, joka on kuvattu hänen mukaansa nimetystä haudasta peräisin olevan puulevyn reliefillä, pitää käsissään mittalaitteita, joihin on kirjattu kultaisen jaon mittasuhteet.

Kreikkalaiset olivat taitavia geometrioita. He jopa opettivat aritmetiikkaa lapsilleen geometristen kuvioiden avulla. Pythagoraan neliö ja tämän neliön diagonaali olivat perusta dynaamisten suorakulmioiden rakentamiselle.

Riisi. 7. Dynaamiset suorakulmiot

Myös Platon (427...347 eKr.) tiesi kultaisesta jaosta. Hänen dialoginsa "Timaeus" on omistettu Pythagoraan koulukunnan matemaattisille ja esteettisille näkemyksille ja erityisesti kultaisen jaon kysymyksiin.

Muinaisen kreikkalaisen Parthenon-temppelin julkisivussa on kultaiset mittasuhteet. Sen kaivauksissa löydettiin kompasseja, joita käyttivät muinaisen maailman arkkitehdit ja kuvanveistäjät. Pompeian kompassi (museo Napolissa) sisältää myös kultaisen jaon mittasuhteet.

Riisi. 8.

Muinaisessa kirjallisuudessa, joka on tullut meille, kultainen jako mainittiin ensimmäisen kerran Eukleideen elementeissä. Elementtien toisessa kirjassa on esitetty kultaisen jaon geometrinen rakenne. Eukleideen jälkeen kultaista jakoa tutkivat Hypsicles (2. vuosisadalla eKr.), Pappus (3. vuosisadalla jKr.) ja muut. Keskiaikaisessa Euroopassa he tutustuivat kultaiseen jakoon Eukleideen elementtien arabiankielisten käännösten kautta. Kääntäjä J. Campano Navarrasta (III vuosisata) kommentoi käännöstä. Kultaisen divisioonan salaisuuksia vartioitiin mustasukkaisesti ja pidettiin tiukasti salassa. Ne olivat vain vihittyjen tiedossa.

Renessanssin aikana kiinnostus kultaista jakoa kohtaan lisääntyi tiedemiesten ja taiteilijoiden keskuudessa, koska sitä käytettiin sekä geometriassa että taiteessa, erityisesti arkkitehtuurissa.Taiteilija ja tiedemies Leonardo da Vinci näki, että italialaisilla taiteilijoilla oli paljon empiiristä kokemusta, mutta vähän tietoa. Hän tuli raskaaksi ja alkoi kirjoittaa kirjaa geometriasta, mutta tuolloin ilmestyi munkki Luca Paciolin kirja, ja Leonardo hylkäsi ideansa. Aikalaisten ja tieteen historioitsijoiden mukaan Luca Pacioli oli todellinen valomies, Italian suurin matemaatikko Fibonaccin ja Galileon välisenä aikana. Luca Pacioli oli taidemaalari Piero della Francescan oppilas, joka kirjoitti kaksi kirjaa, joista toinen oli nimeltään "Perspective in Painting". Häntä pidetään kuvailevan geometrian luojana.

Luca Pacioli ymmärsi täydellisesti tieteen merkityksen taiteelle. Vuonna 1496 hän tuli herttua Moreaun kutsusta Milanoon, jossa hän piti luentoja matematiikasta. Leonardo da Vinci työskenteli tuolloin myös Milanossa Moron hovissa. Vuonna 1509 Venetsiassa julkaistiin Luca Paciolin kirja "The Divine Proportion" upeasti toteutetuilla kuvituksilla, minkä vuoksi uskotaan, että ne ovat Leonardo da Vinci. Kirja oli innostunut hymni kultaiselle leikkaukselle. Kultaisen mittasuhteen monien etujen joukossa munkki Luca Pacioli ei jättänyt nimeämättä sen "jumalallista olemusta" jumalallisen kolminaisuuden ilmaisuksi - Jumala Isä, Jumala Poika ja Jumala Pyhä Henki (vihjettiin, että pieni segmentti on Jumalan Pojan personifikaatio, suurempi segmentti on Isä Jumala ja koko segmentti - Jumala Pyhä Henki).

E-kirjat:

• Mario Livio.

20.05.2017

Kultainen leikkaus on asia, josta jokaisen suunnittelijan pitäisi tietää. Selitämme, mikä se on ja kuinka voit käyttää sitä.

Luonnosta löytyy yleinen matemaattinen suhde, jota voidaan käyttää suunnittelussa luomaan miellyttäviä, luonnollisen näköisiä koostumuksia. Sitä kutsutaan kultaiseksi suhteeksi tai kreikkalaiseksi kirjaimeksi "phi". Jos olet kuvittaja, taidejohtaja tai graafinen suunnittelija, sinun tulee ehdottomasti käyttää kultaista suhdetta jokaisessa projektissa.

Tässä artikkelissa selitämme, kuinka sitä käytetään, ja jaamme myös hyviä työkaluja lisäinspiraatiota ja -oppimista varten.

Kultainen suhde, joka liittyy läheisesti Fibonacci-sekvenssiin, jonka saatat muistaa matematiikan tunnilta tai Dan Brownin Da Vinci -koodista, kuvaa täysin symmetristä suhdetta kahden mittasuhteen välillä.

Kultaista suhdetta, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin suhde 1:1,61, voidaan kuvata kultaisena suorakulmiona: suuri suorakulmio, joka sisältää neliön (jonka sivut ovat yhtä suuret kuin suorakulmion lyhimmän sivun pituus) ja pienemmän suorakulmion.

Jos poistat neliön suorakulmiosta, sinulle jää toinen, pieni kultainen suorakulmio. Tämä prosessi voi jatkua loputtomiin, aivan kuten Fibonacci-luvut, jotka toimivat päinvastoin. (Lisätään neliö sivuilla yhtä pitkä kuin pituus suorakulmion pisin sivu tuo sinut lähemmäksi kultaista suorakulmiota ja kultaista suhdetta.)

Kultainen suhde toiminnassa

Kultaista suhdetta uskotaan olleen noin 4000 vuoden ajan taiteessa ja muotoilussa. Monet ihmiset ovat kuitenkin samaa mieltä siitä, että myös Egyptin pyramidien rakentamisessa käytettiin tätä periaatetta.

Enemmässä nykyaika tämä sääntö näkyy ympärillämme olevassa musiikissa, taiteessa ja muotoilussa. Käyttämällä samankaltaista työskentelymenetelmää voit tuoda samat suunnitteluominaisuudet työhösi. Katsotaanpa joitain inspiroivia esimerkkejä.

Kreikkalainen arkkitehtuuri

Antiikin kreikkalaisessa arkkitehtuurissa kultaista suhdetta käytettiin määrittämään miellyttävä tilasuhde rakennuksen leveyden ja korkeuden, porticon koon ja jopa rakennetta tukevien pylväiden sijainnin välillä.

Tuloksena on täysin oikeasuhteinen rakenne. Myös uusklassinen arkkitehtuuriliike käytti näitä periaatteita.

viimeinen ehtoollinen

Leonardo Da Vinci, kuten monet muut menneet taiteilijat, käytti usein kultaista suhdetta luodakseen miellyttäviä sävellyksiä.

Viimeisellä ehtoollisella hahmot sijaitsevat alemmassa kahdessa kolmasosassa (suurempi kultaisen suhteen kahdesta osasta), ja Jeesus on luonnosteltu täydellisesti kultaisten suorakulmioiden väliin.

Kultainen suhde luonnossa

Luonnossa on monia esimerkkejä kultaisesta suhteesta - voit löytää niitä ympäriltäsi. Kukat, simpukankuoret, ananakset ja jopa hunajakennot osoittavat samaa suhdetta.

Kuinka laskea kultainen suhde

Kultaisen suhteen laskenta on melko yksinkertaista ja alkaa yksinkertaisella neliöllä:

01. Piirrä neliö

Se muodostaa suorakulmion lyhyen sivun pituuden.

02. Jaa neliö

Jaa neliö puoliksi pystysuoralla viivalla, jolloin muodostuu kaksi suorakulmiota.

03. Piirrä diagonaali

Piirrä yhteen suorakulmioista viiva kulmasta vastakkaiseen.

04. Käänny

Kierrä tätä viivaa niin, että se on vaakasuorassa suhteessa ensimmäiseen suorakulmioon.

05. Luo uusi suorakulmio

Luo suorakulmio käyttämällä uutta vaakaviivaa ja ensimmäistä suorakulmiota.

Kuinka käyttää kultaista suhdetta

Tämän periaatteen käyttäminen on helpompaa kuin luulet. Voit käyttää asetteluissasi muutamia nopeita temppuja tai käyttää hieman enemmän aikaa ja täydentää konseptia.

Nopea tapa

Jos olet joskus törmännyt kolmossääntöön, tunnet ajatuksen tilan jakamisesta yhtä suuriin kolmanneksiin pysty- ja vaakasuunnassa, jossa viivat leikkaavat kohtia luonnollisten pisteiden luomiseksi esineille.

Valokuvaaja sijoittaa avainkohteen yhdelle näistä leikkaavista viivoista luodakseen miellyttävän sommitelman. Tätä periaatetta voidaan käyttää myös sivun ulkoasussa ja julistesuunnittelussa.

Kolmossääntöä voidaan soveltaa mihin tahansa muotoon, mutta jos käytät sitä suorakulmioon, jonka mittasuhteet ovat noin 1:1,6, päädyt hyvin lähelle kultaista suorakulmiota, mikä tekee koostumuksesta miellyttävämmän silmää.

Täysi toteutus

Jos haluat ottaa Golden Ration kokonaan käyttöön suunnittelussasi, järjestä yksinkertaisesti pääsisältö ja sivupalkki (verkkosuunnittelussa) suhteessa 1:1,61.

Voit pyöristää arvoja alaspäin tai isompi puoli: jos sisältöalue on 640 pikseliä ja sivupalkki 400 pikseliä, tämä merkintä on varsin sopiva kultaiselle suhteelle.

Tietysti voit myös jakaa sisältö- ja sivupalkin alueet samaan suhteeseen, ja myös verkkosivun otsikon, sisältöalueen, alatunnisteen ja navigoinnin välinen suhde voidaan suunnitella samalla periaatteella.

Hyödyllisiä työkaluja

Tässä on joitain työkaluja, joiden avulla voit käyttää kultaista suhdetta suunnittelussa ja luoda suhteellisia malleja.

GoldenRATIO on sovellus, jolla luodaan Golden Ratioon soveltuvia verkkosivusuunnitelmia, käyttöliittymiä ja malleja. Saatavilla Mac App Storesta hintaan 2,99 dollaria. Sisältää visuaalisen Golden Ratio -laskimen.

Sovelluksessa on myös "Suosikit"-toiminto, joka tallentaa asetukset toistuvia tehtäviä varten, ja "Click-thru"-modi, jonka avulla voit minimoida sovelluksen Photoshopissa.

Tämä Pearsonifiedin Golden Ratio -laskin auttaa sinua luomaan täydellisen typografian verkkosivustollesi. Syötä kirjasinkoko, säilön leveys kenttään ja napsauta painiketta Aseta tyyppini! Jos sinun on optimoitava kirjainten määrä riviä kohti, voit lisäksi syöttää CPL-arvon.

Tämä yksinkertainen, hyödyllinen ja ilmainen sovellus on saatavana Macille ja PC:lle. Syötä mikä tahansa numero ja sovellus laskee toisen numeron kultaisen suhteen periaatteen mukaisesti.

Tämän sovelluksen avulla voit suunnitella kultaisia ​​mittasuhteita, mikä säästää paljon aikaa laskelmissa.

Voit muuttaa muotoja ja kokoja keskittyäksesi projektiisi. Pysyvä lisenssi maksaa 49 dollaria, mutta voit ladata ilmaisen version kuukauden ajan.

Kultaisen osan koulutus

Tässä on joitain hyödyllisiä opetusohjelmia kultaisesta suhteesta (englanniksi):

Tässä Digital Arts -opetusohjelmassa Roberto Marras näyttää, kuinka voit käyttää kultaista suhdetta taiteellisessa työssäsi.

Tuts+:n opetusohjelma, jossa näytetään, kuinka kultaisia ​​periaatteita käytetään web-suunnitteluprojekteissa.

Smashing Magazinen opetusohjelma mittasuhteista ja kolmasosien säännöstä.