Mielenkiintoisia faktoja yhteisistä murtoluvuista. Yleisten jakeiden historia

Murtolukuja pidetään yhtenä matematiikan vaikeimmista osista tähän päivään asti. Murtolukujen historialla on yli vuosituhat. Alueella syntyi kyky jakaa kokonaisuus osiin muinainen Egypti ja Babylon. Vuosien mittaan murtoluvuilla tehdyt leikkaukset monimutkaistuvat, niiden kirjaamisen muoto muuttui. Jokaisella oli omat ominaisuutensa "suhteessa" tähän matematiikan haaraan.

Mikä on murtoluku?

Kun oli tarpeen jakaa kokonaisuus osiin ilman tarpeetonta vaivaa, niin murto-osia ilmestyi. Murtolukujen historia liittyy erottamattomasti utilitarististen ongelmien ratkaisuun. Itse termillä "fraktio" on arabialaiset juuret ja se tulee sanasta, joka tarkoittaa "katkoa, jakaa". Muinaisista ajoista lähtien tässä mielessä vain vähän on muuttunut. Moderni määritelmä kuulostaa tältä: murto-osa on yksikön osa tai osien summa. Näin ollen esimerkit, joissa on murtoluvut, ovat peräkkäisiä suorituksia matemaattisia operaatioita lukujen murto-osien kanssa.

Nykyään on kaksi tapaa tallentaa ne. syntyivät eri aikoina: ensimmäiset ovat muinaisempia.

Tuli muinaisista ajoista

Ensimmäistä kertaa he alkoivat käyttää fraktioita Egyptin ja Babylonin alueella. Näiden kahden osavaltion matemaatikoiden lähestymistavassa oli merkittäviä eroja. Alku oli kuitenkin siellä täällä sama. Ensimmäinen murto-osa oli puolet tai 1/2. Sitten tuli neljännes, kolmas ja niin edelleen. Arkeologisten kaivausten mukaan fraktioiden syntyhistorialla on noin 5 tuhatta vuotta. Ensimmäistä kertaa luvun murto-osia löytyy egyptiläisistä papyruksista ja babylonialaisista savitauluista.

Muinainen Egypti

Erilaisia tavallisia murtolukuja nykyään ovat niin sanotut egyptiläiset. Ne ovat useiden muotoa 1/n olevien termien summa. Osoittaja on aina yksi ja nimittäjä luonnollinen luku. Tällaisia ​​fraktioita esiintyi muinaisessa Egyptissä, vaikka se on vaikea arvata. Kaikkia osuuksia laskettaessa he yrittivät kirjoittaa ne ylös sellaisina summina (esimerkiksi 1/2 + 1/4 + 1/8). Vain murto-osilla 2/3 ja 3/4 oli erilliset nimitykset, loput jaettiin termeiksi. Siellä oli erityisiä taulukoita, joissa luvun murto-osat esitettiin summana.

Vanhin tunnettu viittaus tällaiseen järjestelmään löytyy Rhindan matemaattisesta papyruksesta, joka on päivätty toisen vuosituhannen alkuun eKr. Se sisältää taulukon murtoluvuista ja matemaattisia ongelmia jossa ratkaisut ja vastaukset esitetään murtolukujen summina. Egyptiläiset osasivat laskea, jakaa ja kertoa luvun murto-osia. Niilin laakson murtoluvut kirjoitettiin hieroglyfeillä.

Muinaiselle Egyptille ominaista luvun murto-osan esittämistä muodon 1/n termien summana käyttivät matemaatikot paitsi tässä maassa. Keskiajalle asti egyptiläisiä fraktioita käytettiin Kreikassa ja muissa valtioissa.

Matematiikan kehitys Babylonissa

Matematiikka näytti erilaiselta Babylonin valtakunnassa. Murtolukujen syntyhistoria liittyy suoraan lukujärjestelmän ominaisuuksiin, jotka muinainen valtio peri edeltäjästään, sumerilais-akkadilaisesta sivilisaatiosta. Laskentatekniikka Babylonissa oli kätevämpi ja täydellisempi kuin Egyptissä. Matematiikka tässä maassa ratkaisi paljon laajemman joukon ongelmia.

Babylonilaisten nykypäivän saavutuksia voidaan arvioida säilyneiden savitaulujen perusteella, jotka on täynnä nuolenpääkirjoitusta. Materiaalin ominaisuuksien vuoksi ne ovat tulleet meille suurissa määrissä. Joidenkin Babylonissa olevien mukaan ennen Pythagorasta löydettiin tunnettu lause, joka epäilemättä todistaa tieteen kehityksestä tässä muinaisessa valtiossa.

Murtoluvut: murto-osien historia Babylonissa

Babylonin numerojärjestelmä oli seksagesimaalinen. Jokainen uusi luokka erosi edellisestä 60:llä. Tämä järjestelmä säilytettiin moderni maailma ilmaisemaan ajan ja kulmat. Murtoluvut olivat myös seksagesimaalisia. Tallennukseen käytettiin erityisiä kuvakkeita. Kuten Egyptissä, murto-esimerkit sisälsivät erilliset symbolit 1/2, 1/3 ja 2/3.

Babylonian järjestelmä ei kadonnut valtion mukana. Muinaiset ja arabialaiset tähtitieteilijät ja matemaatikot käyttivät 60. järjestelmässä kirjoitettuja murtolukuja.

Muinainen Kreikka

Tavallisten murtolukujen historiaa ei juurikaan rikastettu muinaisessa Kreikassa. Hellaksen asukkaat uskoivat, että matematiikan tulisi toimia vain kokonaisluvuilla. Siksi fraktioita sisältäviä ilmaisuja antiikin Kreikan tutkielmien sivuilla ei käytännössä esiintynyt. Pythagoralaiset antoivat kuitenkin tietyn panoksen tähän matematiikan haaraan. He ymmärsivät murtoluvut suhteina tai suhteina ja pitivät yksikköä myös jakamattomana. Pythagoras ja hänen oppilaansa rakensivat yleinen teoria murtolukuja, oppinut suorittamaan kaikki neljä aritmeettista operaatiota sekä vertailemaan murtolukuja saattamalla ne yhteiseen nimittäjään.

Rooman imperiumi

Roomalainen murtolukujärjestelmä yhdistettiin painomittaan, jota kutsutaan "perseeksi". Se jaettiin 12 osakkeeseen. 1/12 assaa kutsuttiin unssiksi. Murtoluvuilla oli 18 nimeä. Tässä muutama niistä:

puolikas - puolet assasta;

sextante — kuudes assasta;

puoli unssia - puoli unssia tai 1/24 persettä.

Tällaisen järjestelmän haittana oli mahdottomuus esittää lukua murto-osana, jonka nimittäjä on 10 tai 100. Roomalaiset matemaatikot voittivat vaikeuden käyttämällä prosenttiosuuksia.

Tavallisten murtolukujen kirjoittaminen

Jo antiikissa murtoluvut kirjoitettiin tutulla tavalla: yksi luku toisen päälle. Yksi merkittävä ero kuitenkin oli. Osoittaja oli nimittäjän alapuolella. Murtolukuja alettiin kirjoittaa tällä tavalla ensimmäistä kertaa muinaisessa Intiassa. Arabit alkoivat käyttää nykyaikaista tapaa meille. Mutta yksikään näistä kansoista ei käyttänyt vaakasuoraa viivaa osoittajan ja nimittäjän erottamiseen. Se esiintyy ensimmäisen kerran Leonardo of Pisalaisen, joka tunnetaan paremmin nimellä Fibonacci, kirjoituksissa vuonna 1202.

Kiina

Jos tavallisten murtolukujen syntyhistoria alkoi Egyptistä, desimaalit ilmestyivät ensin Kiinassa. Taivaallisessa valtakunnassa niitä alettiin käyttää noin 3. vuosisadalla eKr. Tarina desimaalilukuja aloitti kiinalainen matemaatikko Liu Hui, joka ehdotti niiden käyttöä neliöjuurien poimimiseen.

Kolmannella vuosisadalla jKr. Kiinassa alettiin käyttää desimaalilukuja painon ja tilavuuden laskemiseen. Vähitellen he alkoivat tunkeutua yhä syvemmälle matematiikkaan. Euroopassa desimaalit otettiin käyttöön kuitenkin paljon myöhemmin.

Al-Kashi Samarkandista

Kiinalaisista edeltäjistä huolimatta desimaalimurtoluvut löysi tähtitieteilijä al-Kashi muinainen kaupunki Samarkand. Hän asui ja työskenteli 1400-luvulla. Tiedemies esitti teoriansa vuonna 1427 julkaistussa tutkielmassa "Avain aritmetiikkaan". Al-Kashi ehdotti käyttöä uusi muoto murto-osien tietueet. Sekä kokonaisluku- että murto-osat kirjoitettiin nyt yhdelle riville. Samarkandin tähtitieteilijä ei käyttänyt pilkkua niiden erottamiseen. Hän kirjoitti kokoluvun ja murto-osan eri väreillä mustalla ja punaisella musteella. Joskus al-Kashi käytti myös pystyviivaa erottamaan ne.

Desimaalit Euroopassa

Euroopan matemaatikoiden teoksiin alkoi ilmestyä uudenlainen murtoluku 1200-luvulta lähtien. On huomattava, että he eivät tunteneet al-Kashin teoksia eivätkä kiinalaisten keksintöä. Desimaalimurtoluvut esiintyivät Jordan Nemorariuksen kirjoituksissa. Sitten niitä käytettiin jo 1500-luvulla Ranskalainen tiedemies kirjoitti matemaattisen kaanonin, joka sisälsi trigonometriset taulukot. Niissä Viet käytti desimaalilukuja. Kokonaisluvun ja murto-osien erottamiseksi tiedemies käytti pystyviivaa sekä erilaista kirjasinkokoa.

Nämä olivat kuitenkin vain tieteellisen käytön erikoistapauksia. Arjen ongelmien ratkaisemiseksi desimaalimurtolukuja alettiin Euroopassa käyttää jonkin verran myöhemmin. Tämä tapahtui hollantilaisen tiedemiehen Simon Stevinin ansiosta 1500-luvun lopulla. Hän julkaisi matemaattisen teoksen Kymmenennen vuonna 1585. Siinä tiedemies hahmotteli teorian desimaalilukujen käytöstä aritmetiikassa, rahajärjestelmässä sekä mittojen ja painojen määrittämisessä.

Piste, piste, pilkku

Stevin ei myöskään käyttänyt pilkkua. Hän erotti murto-osan kaksi osaa käyttämällä nollaympyröityä.

Ensimmäistä kertaa pilkku erotti kaksi desimaalimurto-osaa vasta vuonna 1592. Englannissa sen sijaan käytettiin pistettä. Yhdysvalloissa desimaalimurtoluvut kirjoitetaan edelleen tällä tavalla.

Skotlantilainen matemaatikko John Napier oli yksi aloittelijoista käyttää molempia välimerkkejä erottamaan kokonaisluku- ja murto-osia. Hän teki ehdotuksensa vuosina 1616-1617. Pilkkua käytti myös saksalainen tiedemies

Murtoluvut Venäjällä

Venäjän maaperällä ensimmäinen matemaatikko, joka hahmotteli kokonaisuuden jakautumisen osiin, oli Novgorodin munkki Kirik. Vuonna 1136 hän kirjoitti teoksen, jossa hän hahmotteli "vuosien laskentamenetelmän". Kirik käsitteli kronologian ja kalenterin kysymyksiä. Hän mainitsi työssään myös tunnin jakamisen osiin: viidesosiksi, kahdeskymmenesviidesosiksi ja niin edelleen.

Kokonaisuuden jakamista osiin käytettiin veron määrää laskettaessa XV-XVII vuosisatojen aikana. Käytettiin yhteen-, vähennys-, jako- ja kertolaskuoperaatioita murto-osilla.

Sana "fraktio" ilmestyi Venäjällä VIII vuosisadalla. Se tulee verbistä "murskaa, jakaa osiin". Esi-isämme käyttivät erikoissanoja murtolukujen nimeämiseen. Esimerkiksi 1/2 määritettiin puoliksi tai puoleksi, 1/4 - neljä, 1/8 - puoli tuntia, 1/16 - puoli tuntia ja niin edelleen.

Täydellinen murto-osien teoria, joka ei juuri eroa nykyisestä, esiteltiin ensimmäisessä aritmetiikkaoppikirjassa, jonka Leonty Filippovich Magnitsky kirjoitti vuonna 1701. "Aritmetiikka" koostui useista osista. Kirjoittaja puhuu murtoluvuista yksityiskohtaisesti osiossa "Katkoviivojen lukumäärästä tai murtoluvuista". Magnitsky antaa operaatioita "rikkinäisillä" numeroilla, niiden erilaisilla nimityksillä.

Nykyään murtoluvut ovat edelleen matematiikan vaikeimpia osia. Murtolukujen historia ei myöskään ollut yksinkertainen. Eri kansat, toisinaan toisistaan ​​riippumatta, ja joskus lainaten edeltäjiensä kokemusta, tulivat tarpeeseen ottaa käyttöön, hallita ja käyttää luvun murto-osia. Murtolukuoppi on aina kasvanut käytännön havainnoista ja kiireellisten ongelmien ansiosta. Oli tarpeen jakaa leipä, merkitä yhtä suuret tontit, laskea verot, mitata aikaa ja niin edelleen. Murtolukujen ja niillä suoritettavien matemaattisten operaatioiden käytön ominaisuudet riippuivat tilan lukujärjestelmästä ja yleinen taso matematiikan kehitystä. Tavalla tai toisella, yli tuhat vuotta voitettuaan, lukujen murto-osille omistettu algebran osa on muodostunut, kehittynyt ja sitä käytetään menestyksekkäästi nykyään erilaisiin tarpeisiin, sekä käytännön että teoreettisiin.

Kunnan budjettikoulutuslaitos

lukio №2

ESSEE

tieteenala: "Matematiikka"

tässä aiheessa: "Poikkeukselliset tavalliset murtoluvut"

Esitetty:

5. luokan oppilas

Frolova Natalia

Valvoja:

Društšenko E.A.

matematiikan opettaja

Strezhevoy, Tomskin alue

Johdanto

Tänä vuonna aloimme tutkia tavallisia murtolukuja. Erittäin epätavallisia numeroita alkaen niiden epätavallisesta merkinnästä ja päättyen monimutkaisiin sääntöihin niiden kanssa työskentelemiseen. Vaikka ensimmäisestä tutustumisesta heidän kanssaan oli selvää, että ilman niitä ei voi tulla toimeen edes sisällä tavallinen elämä, koska joka päivä joudumme käsittelemään kokonaisuuden jakamista osiin, ja jopa tietyllä hetkellä minusta tuntui, että meitä ei ympäröi enemmän kokonaislukuja, vaan murtolukuja. Heidän kanssaan maailma osoittautui vaikeammaksi, mutta samalla mielenkiintoisemmaksi. Minulla on joitakin kysymyksia. Ovatko murtoluvut tarpeellisia? Ovatko ne tärkeitä? Halusin tietää, mistä murtoluvut ovat peräisin, kuka keksi niiden kanssa työskentelyn säännöt. Vaikka keksitty sana ei luultavasti ole kovin sopiva, koska matematiikassa kaikki on tarkistettava, koska kaikki tieteet ja teollisuudenalat elämässämme perustuvat selkeisiin matemaattisiin lakeihin, joita sovelletaan kaikkialla maailmassa. Ei voi olla, että maassamme murto-osien lisääminen tapahtuu yhden säännön mukaan ja jossain Englannissa eri tavalla.

Abstraktia työskennellessäni jouduin kohtaamaan vaikeuksia: jouduin murtamaan päätäni uusien termien ja käsitteiden kanssa, ratkaisemaan ongelmia ja analysoimaan muinaisten tiedemiesten ehdottamaa ratkaisua. Myös kirjoittaessani törmäsin ensimmäisen kerran tarpeeseen tulostaa murto- ja murtolausekkeita.

Esseen tarkoitus: jäljittää tavallisen murtoluvun käsitteen kehityshistoriaa, osoittaa tavallisten murtolukujen käytön tarpeellisuus ja merkitys käytännön ongelmien ratkaisemisessa. Itselleni asettamani tehtävät: materiaalin kerääminen esseen aiheesta ja sen systematisointi, muinaisten ongelmien tutkiminen, käsitellyn aineiston yhteenveto, yleistetyn materiaalin suunnittelu, esityksen laatiminen, abstraktin esittäminen.

Työni koostuu kolmesta luvusta. Olen tutkinut ja käsitellyt aineistoa 7 lähteestä, mukaan lukien koulutus-, tieteellinen ja tietosanakirjallisuus, Internet-sivusto. Olen suunnitellut sovelluksen, joka sisältää valikoiman tehtäviä muinaisista lähteistä, viihdyttäviä ongelmia tavallisten murtolukujen kanssa sekä Power Point -editorilla tehdyn esityksen.

minä. Tavallisten murtolukujen historiasta

1.1 Murtolukujen syntyminen

Lukuisat historialliset ja matemaattiset tutkimukset osoittavat, että murtoluvut ilmestyivät eri kansojen keskuuteen muinaisina aikoina pian luonnollisten lukujen jälkeen. Murtolukujen esiintyminen liittyy käytännön tarpeisiin: tehtävät, joissa on tarpeen jakaa osiin, olivat hyvin yleisiä. Lisäksi elämässä ihmisen piti paitsi laskea esineitä, myös mitata määriä. Ihmiset tapasivat pituuksien ja pinta-alojen mittauksia tontteja, tilavuudet, kappaleiden massat. Tässä tapauksessa tapahtui, että mittayksikkö ei mahtunut kokonaislukua mitattuun arvoon. Esimerkiksi mitattaessa osuuden pituutta askelein ihminen kohtasi seuraavan ilmiön: pituuteen mahtuu kymmenen askelta ja loppuosa oli alle yksi askel. Siksi toisena merkittävänä syynä murtolukujen esiintymiseen tulisi pitää suureiden mittaamista valitulla mittayksiköllä.

Siten kaikissa sivilisaatioissa murto-osan käsite syntyi prosessista, jossa kokonaisuus murskattiin yhtä suureksi osaksi. Venäjän termi "fraktio", kuten sen vastineet muilla kielillä, tulee latinasta. fractura, joka puolestaan ​​on käännös arabialaisesta termistä, jolla on sama merkitys: murtaa, murskata. Siksi luultavasti ensimmäiset murtoluvut kaikkialla olivat muodon 1/n murto-osia. Edelleen kehittäminen luonnollisesti menee siihen suuntaan, että näitä murtolukuja pidetään yksiköinä, joista murtoluvut m/n voidaan muodostaa - rationaalisia lukuja. Kaikki sivilisaatiot eivät kuitenkaan kulkeneet tätä polkua: esimerkiksi muinaisessa egyptiläisessä matematiikassa sitä ei koskaan toteutettu.

Ensimmäinen murto-osa, jonka ihmiset tapasivat, oli puolet. Vaikka kaikkien seuraavien murtolukujen nimet liittyvät niiden nimittäjien nimiin (kolme - "kolmas", neljä - "neljännes" jne.), tämä ei päde puoleen - sen nimellä ei ole kaikilla kielillä mitään liittyy sanaan "kaksi".

Murtolukujen kirjausjärjestelmä, niiden kanssa työskentelyn säännöt erosivat huomattavasti sekä eri kansojen välillä että eri aikoina samojen ihmisten kesken. Myös lukuisat ideoiden lainaukset eri sivilisaatioiden välisten kulttuurikontaktien aikana olivat tärkeitä.

1.2 Murto-osat muinaisessa Egyptissä

Muinaisessa Egyptissä käytettiin vain yksinkertaisimpia murtolukuja, joissa osoittaja on yhtä suuri kuin yksi (ne, joita kutsumme "osuuksiksi"). Matemaatikot kutsuvat tällaisia ​​murto-osia alikvooteiksi (latinasta aliquot - useita). Käytetään myös nimeä perusmurtoluku tai yksikkömurto.

(ep, "[yksi]" tai re, suu) numeron yläpuolella merkitsemään yksikkömurtolukua tavallisessa merkinnässä, ja pyhissä teksteissä he käyttivät riviä. Esimerkiksi:

suurin osa silmästä

1/2 (tai 32/64)

1/8 (tai 8/64)

pisara kyyneleitä (?)

1/32 (tai ²/64)

Wadgetiin sisältyvän kuuden merkin summa, joka on vähennetty yhteiseksi nimittäjäksi: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64

Näitä fraktioita käytettiin yhdessä muiden egyptiläisten fraktioiden kanssa jakamiseen helvetti, pääasiallinen tilavuuden mitta muinaisessa Egyptissä. Tätä yhdistettyä merkintää on käytetty myös viljan, leivän ja oluen tilavuuden mittaamiseen. Jos määrän kirjaamisen jälkeen Horuksen silmän murto-osan muodossa jäännöstä jäi jäljelle, se kirjattiin tavalliseen muotoon ro:n kerrannaisena, mittayksikkönä 1/320 hekatista.

Samaan aikaan "suu" asetettiin kaikkien hieroglyfien eteen.

Hekat ohra: 1/2 + 1/4 + 1/32 (eli 25/32 astiaa ohraa).

Hekat oli noin 4,785 litraa.

Egyptiläiset edustivat jokaista toista murto-osaa alikvoottiosien summana, esimerkiksi 9/16 = 1/2+1/16; 7/8=1/2+1/4+1/8 ja niin edelleen.

Se kirjoitettiin näin: /2 /16; /2 /4 /8.

Joissakin tapauksissa tämä näyttää riittävän yksinkertaiselta. Esimerkiksi 2/7 = 1/7 + 1/7. Mutta toinen egyptiläisten sääntö oli toistuvien lukujen puuttuminen murtolukusarjassa. Eli 2/7 heidän mielestään oli 1/4 + 1/28.

Nyt useiden alikvoottiosien summaa kutsutaan egyptiläiseksi jakeeksi. Toisin sanoen jokaisella summan murto-osalla on osoittaja, joka on yhtä suuri kuin yksi, ja nimittäjä, joka on luonnollinen luku.

Erilaisten laskelmien suorittaminen, joissa kaikki murtoluvut ilmaistaan ​​yksikköykkösten kautta, oli tietysti erittäin vaikeaa ja aikaa vievää. Siksi egyptiläiset tiedemiehet huolehtivat kirjurin työn helpottamisesta. He laativat erityisiä taulukoita murto-osien laajennuksista yksinkertaisiksi. Muinaisen Egyptin matemaattiset asiakirjat eivät ole matematiikan tieteellisiä tutkielmia, vaan käytännön oppikirjoja, joissa on esimerkkejä elämästä. Tehtäviä, joita kirjurikoulun opiskelijan oli ratkaistava, olivat navettojen kapasiteetin, korin tilavuuden ja pellon pinta-alan laskelmat sekä omaisuuden jakaminen perillisten kesken, ja muut. Kirjoittajan piti muistaa nämä kuviot ulkoa ja pystyä soveltamaan niitä nopeasti laskelmiin.

Yksi varhaisimmista tunnetuista viittauksista egyptiläisiin murtolukuihin on Rhindin matemaattinen papyrus. Kolme vanhempaa tekstiä, joissa mainitaan egyptiläiset murtoluvut, ovat Egyptin matemaattinen nahkakäärö, Moskovan matemaattinen papyrus ja Akhmim-puinen taulu.

Suurin osa muinainen muistomerkki Egyptiläinen matematiikka, niin kutsuttu "Moskovan papyrus" - asiakirja XIX vuosisadalta eKr. Sen osti vuonna 1893 muinaisten aarteiden kerääjä Golenishchev, ja vuonna 1912 siitä tuli Moskovan taidemuseon omaisuutta. Se sisälsi 25 erilaista tehtävää.

Se käsittelee esimerkiksi ongelmaa 37:n jakamisesta luvulla (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7). Kaksinkertaistamalla tämä murtoluku peräkkäin ja ilmaisemalla ero 37:n ja tapahtuneen välillä sekä käyttämällä menettelyä, joka on olennaisesti samanlainen kuin yhteisen nimittäjän löytäminen, saadaan vastaus: osamäärä on 16 + 1/56 + 1/679 + 1/ 776.

Suurimman matemaattisen asiakirjan - kirjuri Ahmesin laskelmien papyrusoppaan - löysi vuonna 1858 englantilainen keräilijä Rhind. Papyrus koottiin 1600-luvulla eKr. Se on 20 metriä pitkä ja 30 senttimetriä leveä. Se sisältää 84 matemaattista tehtävää, niiden ratkaisuja ja vastauksia egyptiläisinä murtolukuina.

Ahmesin papyrus alkaa taulukolla, jossa kaikki muodon 2\n murtoluvut 2/5 - 2/99 on kirjoitettu murto-osien summiksi. Egyptiläiset osasivat myös kertoa ja jakaa murto-osia. Mutta kertomista varten sinun piti kertoa murtoluvut murtoluvuilla ja sitten ehkä käyttää taulukkoa uudelleen. Jako oli vielä vaikeampaa. Esimerkiksi kuinka 5 jaettiin 21:llä:

Yleinen ongelma Ahmes Papyruksesta: "Olkoon teille sanottu: jaa 10 mittaa ohraa 10 ihmiselle; ero kunkin henkilön ja hänen naapurinsa välillä on 1/8 mittaa. Keskimääräinen osuus on yksi mitta. Vähennä yksi 10:stä; loput 9. Tasoita erosta puolet; se on 1/16. Ota se 9 kertaa. Levitä se keskitahdolle; vähennä 1/8 mittaa jokaisesta kasvosta, kunnes saavutat lopun."

Toinen ongelma Ahmesin papyruksesta, joka osoittaa alikvoottifraktioiden käytön: "Jakaa 7 leipää 8 hengelle."
Jos leikkaat jokaisen leivän 8 osaan, sinun on tehtävä 49 leikkausta.
Ja Egyptin kielellä tämä ongelma ratkaistiin näin. Murto-osa 7/8 kirjoitettiin osakkeiksi: 1/2 + 1/4 + 1/8. Tämä tarkoittaa, että jokaiselle on annettava puoli leipää, neljännes leipää ja kahdeksas leipä; Siksi leikkaamme neljä leipää puoliksi, kaksi leipää - 4 osaan ja yhden leivän - 8 osaan, minkä jälkeen annamme jokaisen osan siitä.

Egyptiläiset murtoluvut ja erilaiset babylonialaiset taulukot ovat vanhimpia meille tunnettuja keinoja helpottaa laskelmia.

Egyptiläisiä murtolukuja käytettiin edelleen muinaisessa Kreikassa ja myöhemmin matemaatikoissa kaikkialla maailmassa keskiajalle asti, huolimatta muinaisten matemaatikoiden huomautuksista. Esimerkiksi Claudius Ptolemaios puhui egyptiläisten murtolukujen käytön haitoista Babylonian järjestelmään (sijaintilukujärjestelmään) verrattuna. 1200-luvun matemaatikko Fibonacci suoritti tärkeän työn egyptiläisten murtolukujen tutkimisesta teoksessaan "Liber Abaci" - nämä ovat laskelmia desimaali- ja tavallisilla murtoluvuilla, jotka lopulta syrjäyttivät egyptiläiset murtoluvut. Fibonacci käytti murtoluvuille monimutkaista merkintää, mukaan lukien lukujen merkintä sekapohjalla ja merkintä murtolukujen summana, ja Egyptin murtolukuja käytettiin usein. Kirjassa annettiin myös algoritmeja tavallisten murtolukujen muuntamiseksi egyptiläisiksi.

1.3 Murto-osat muinaisessa Babylonissa.

Tiedetään, että muinaisessa Babylonissa he käyttivät seksagesimaalilukujärjestelmää. Tutkijat katsovat tämän tosiasian johtuvan siitä, että Babylonian raha- ja painoyksiköt jaettiin historiallisten olosuhteiden vuoksi 60 yhtä suureen osaan: 1 talentti = 60 min; 1 mina = 60 sekeliä. 60-luku oli yleistä babylonialaisten elämässä. Siksi he käyttivät seksagesimaalimurtolukuja, joiden nimittäjänä on aina numero 60 tai sen tehot: 60 2 \u003d 3600, 60 3 \u003d 216000 jne. Nämä ovat maailman ensimmäiset systemaattiset murtoluvut, ts. murtoluvut, joiden nimittäjät ovat saman luvun potenssit. Tällaisia ​​murtolukuja käyttämällä babylonialaisten täytyi kuvata monia murtolukuja likimäärin. Tämä on näiden fraktioiden haitta ja samalla etu. Näistä murtoluvuista tuli jatkuva tieteellisten laskelmien väline kreikkalaisille, sitten arabiankielisille ja keskiaikaisille eurooppalaisille tiedemiehille aina 1400-luvulle asti, kunnes ne väistyivät desimaalimurtoluvuilla. Mutta kaikkien kansojen tiedemiehet käyttivät kuusisimaalisia fraktioita tähtitiedessä aina XVII vuosisadalle asti ja kutsuivat niitä tähtitieteellisiksi jakeiksi.

Seksisimaalinen lukujärjestelmä määräsi ennalta suuren roolin Babylonin eri taulukoiden matematiikassa. Täydellisen babylonialaisen kertotaulukon tulisi sisältää tulot 1x1:stä 59x59:ään eli 1770 numeroa eikä 45:tä kertotaulunamme. Tällaista taulukkoa on lähes mahdotonta muistaa. Jopa kirjallisessa muodossa se olisi erittäin hankalaa. Siksi kertomista ja jakoa varten oli laaja valikoima erilaisia ​​taulukoita. Babylonian matematiikan jakooperaatiota voidaan kutsua "ongelmaksi numero yksi". Babylonialaiset vähensivät luvun m jaon luvulla n luvun m kertomiseen murtoluvulla 1 \\ n, eikä heillä ollut edes termiä "jakaa". Esimerkiksi kun lasketaan, mitä kirjoittaisimme muodossa x = m: n, he päättelivät aina näin: ota n:n käänteisluku, löydät 1 \ n, kerro m luvulla 1\ n, niin näet x. Tietenkin Babylonin asukkaat soittivat kirjaimiemme sijasta tiettyjä numeroita. Siten Babylonian matematiikassa tärkein rooli oli lukuisilla käänteistaulukoilla.

Lisäksi babylonialaiset laativat murtolukuja varten laajimmat taulukot, joissa perusmurtoluvut ilmaisivat seksagesimaalilukuina. Esimerkiksi:

1\16 = 3\60 + 45\60 2 , 1\54 = 1\60 + 6\60 2 + 40\60 3 .

Babylonilaiset tekivät murtolukujen yhteen- ja vähennyslaskuja samalla tavalla kuin vastaavat kokonaisluvut ja desimaalimurtotoiminnot paikkalukujärjestelmässämme. Mutta kuinka murto-osa kerrottiin murtoluvulla? Mittausgeometrian melko korkea kehitys (mittaus, alueiden mittaus) viittaa siihen, että babylonialaiset voittivat nämä vaikeudet geometrian avulla: lineaarisen asteikon 60-kertainen muutos muuttaa alueen mittakaavaa 60 × 60-kertaisesti. On huomattava, että Babylonissa luonnollisten lukujen valtakunnan laajentamista positiivisten rationaalilukujen valtakuntaan ei lopulta tapahtunut, koska babylonialaiset pitivät vain rajallisia seksagesimaalilukuja, joiden alueella jako ei aina ole mahdollista. Lisäksi babylonialaiset käyttivät murtolukuja 1\2,1\3,2\3,1\4,1\5,1\6,5\6, joille oli olemassa yksittäisiä merkkejä.

Jäljet ​​Babylonian seksagesimaalilukujärjestelmästä ovat säilyneet modernissa tieteessä ajan ja kulmien mittaamisessa. Tunnin jako 60 minuuttiin, minuutti 60 sekuntiin, ympyrä 360 asteeseen, aste 60 minuuttiin, minuutti 60 sekuntiin on säilynyt tähän päivään asti.

(pieni osa).

1.4. Murtoluvut muinaisessa Roomassa.

Roomalaiset käyttivät pääsääntöisesti vain konkreettisia jakeita, jotka korvasivat abstraktit osat käytettyjen mittojen alajaoilla. Tämä murtolukujärjestelmä perustui jakamiseen 12 osaan painoyksikköä, jota kutsuttiin perseeksi. Näin syntyivät roomalaiset duodesimaalimurtoluvut, ts. murtoluvut, joiden nimittäjä on aina 12. Ässän kahdestoistaosaa kutsuttiin unssiksi. Roomalaiset sanoivat 1/12 sijasta "yksi unssi", 5/12 - "viisi unssia" jne. Kolme unssia kutsuttiin neljännekseksi, neljä unssia kolmanneksi, kuusi unssia puoliksi.

Ja tapaa, aikaa ja muita määriä verrattiin visuaaliseen asiaan - painoon. Esimerkiksi roomalainen voisi sanoa, että hän käveli seitsemän unssia tietä tai luki viisi unssia kirjaa. Samaan aikaan ei tietenkään ollut kyse polun tai kirjan punnitsemisesta. Se tarkoitti, että 7/12 tiestä käytiin läpi tai 5/12 kirjasta oli luettu. Ja murto-osille, jotka saatiin vähentämällä murto-osia, joiden nimittäjä on 12, tai jakamalla kahdestoistaosat pienemmiksi, oli erityisiä nimiä. Yhteensä käytettiin 18 erilaista jakenimeä. Esimerkiksi seuraavat nimet olivat käytössä:

"scrupulus" - 1/288 assa,

"semis" - puoliperse,

"sextans" - sen kuudes osuus,

"seven unssia" - puoli unssia, ts. 1/24 perse jne.

Tällaisten murtolukujen kanssa työskentelyä varten oli tarpeen muistaa näiden murtolukujen yhteenlaskutaulukko ja kertotaulukko. Siksi roomalaiset kauppiaat tiesivät lujasti, että kun lisätään trieenit (1/3 perse) ja sekstanit, saadaan semis, ja kun demoni (2/3 perse) kerrotaan sescutionilla (2/3 unssia, eli 1/8). perse), saadaan unssi . Työn helpottamiseksi koottiin erityisiä taulukoita, joista osa on tullut meille.

Unssia merkittiin viivalla - half assa (6 unssia) - kirjaimella S (ensimmäinen latinalaisessa sanassa Semis on puoli). Näillä kahdella merkillä kirjoitettiin mikä tahansa kaksinkertainen desimaaliluku, joilla kullakin oli oma nimi. Esimerkiksi 7 \ 12 kirjoitettiin näin: S-.

Jo ensimmäisellä vuosisadalla eKr., erinomainen roomalainen puhuja ja kirjailija Cicero sanoi: "Ilman murtolukujen tuntemusta ketään ei voida tunnustaa tietäväksi aritmetiikkaa!".

Tunnusomaista on seuraava ote kuuluisan roomalaisen runoilijan 1. vuosisadalla eKr. Horatiuksen teoksesta, joka kertoo opettajan ja oppilaan välisestä keskustelusta yhdessä tuon aikakauden roomalaisista kouluista:

Opettaja: Sanokoon Albinin poika, kuinka paljon jää jäljelle, jos viidestä unssista otetaan pois yksi unssi!

Opiskelija: Kolmasosa.

Opettaja: Aivan oikein, tunnet murtoluvut hyvin ja pystyt säästämään omaisuutesi.

1.5. Murtoluvut muinaisessa Kreikassa.

Muinaisessa Kreikassa aritmetiikkaa tutkittiin yleiset ominaisuudet numerot - erotettuna logistiikasta - laskennan taidetta. Kreikkalaiset uskoivat, että murto-osia voidaan käyttää vain logistiikassa. Kreikkalaiset tekivät vapaasti kaikkia aritmeettisia operaatioita murtolukujen kanssa, mutta he eivät tunnistaneet niitä numeroiksi. Kreikkalaisissa matematiikan kirjoituksissa ei ollut murtolukuja. Kreikkalaiset tiedemiehet uskoivat, että matematiikan tulisi käsitellä vain kokonaislukuja. He tarjosivat murto-osia kauppiaille, käsityöläisille sekä tähtitieteilijöille, katsastajille, mekaanikoille ja muille "mustille ihmisille". "Jos haluat jakaa yksikön, matemaatikot pilkkaavat sinua eivätkä salli sinun tehdä tätä", kirjoitti Ateenan Akatemian perustaja Platon.

Mutta kaikki antiikin kreikkalaiset matemaatikot eivät olleet yhtä mieltä Platonin kanssa. Joten tutkielmassa "Ympyrän mittaamisesta" Archimedes käyttää murtolukuja. Aleksandrian Heron oli myös vapaa käsittelemään fraktioita. Hän, kuten egyptiläiset, jakaa murto-osan perusmurtolukujen summaksi. 12\13 sijasta hän kirjoittaa 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78, 5\12 sijaan hän kirjoittaa 1\3 + 1\12 jne. Jopa Pythagoras, joka kohteli luonnollisia lukuja pyhällä kunnioituksella luodessaan teoriaa musiikin asteikosta, yhdisti musiikin päävälit murtoluvuilla. Totta, Pythagoras ja hänen oppilaansa eivät käyttäneet murto-osan käsitettä. He sallivat itsensä puhua vain kokonaislukujen suhteista.

Koska kreikkalaiset käsittelivät murtolukuja vain satunnaisesti, he käyttivät erilaisia ​​merkintöjä. Heron ja Diophantus kirjoittivat murtoluvut aakkosjärjestyksessä, ja osoittaja oli nimittäjän alla. Joillekin murtoluvuille käytettiin erillisiä nimityksiä, esimerkiksi 1 \ 2 - L ′′, mutta yleensä niiden aakkosellinen numerointi tuskin mahdollisti murtolukujen merkitsemistä.

Yksikkömurtoluvuille käytettiin erityistä merkintää: murto-osan nimittäjään liittyi viiva oikealla, osoittajaa ei kirjoitettu. Esimerkiksi,
aakkosjärjestelmässä se tarkoitti 32:ta ja "- murtolukua 1\32. Tavallisista murtoluvuista on sellaisia ​​tietueita, joissa osoittaja ja kahdella vedolla otettu nimittäjä on kirjoitettu vierekkäin yhdelle riville. kuinka esimerkiksi Aleksandrian Heron kirjoitti muistiin murto-osan 3\4:
.

Murtolukujen kreikkalaisen merkintätavan puutteet johtuvat siitä, että kreikkalaiset ymmärsivät sanan "luku" yksiköiden joukkona, joten sen, mitä me nyt pidämme yhtenä rationaalilukuna - murtolukuna - kreikkalaiset ymmärsivät suhdelukuna. kahdesta kokonaisluvusta. Tämä selittää, miksi tavalliset murtoluvut olivat harvinaisia ​​kreikkalaisessa aritmetiikassa. Etusija annettiin joko fraktioille, joissa oli yksi osoittaja tai seksagesimaalimurtolukuja. Alue, jolla käytännön laskelmissa eniten tarve tarkkoja murtolukuja varten oli, oli tähtitiede, ja täällä babylonialainen perinne oli niin vahva, että sitä käyttivät kaikki kansat, myös Kreikka.

1.6. Murtoluvut Venäjällä

Ensimmäinen venäläinen matemaatikko, joka tunnetaan nimellämme, Novgorodin luostarin Kirik-munkki, käsitteli kronologian ja kalenterin kysymyksiä. Hänen käsinkirjoitetussa kirjassaan "Hänen opetus tietää ihmiselle kaikkien vuosien luvut" (1136), so. "Ohje, kuinka ihminen voi tietää vuosien lukumäärän" koskee tunnin jakamista viidesosiin, kahdeskymmenesviidesosaan jne. murto-osia, joita hän kutsui "murto-tunteiksi" tai "tunteiksi". Hän tulee seitsemänteen osatuntiin, joita on 937 500 päivässä tai yössä, ja hän sanoo, että seitsemännestä murto-osasta ei saada mitään.

Ensimmäisessä matematiikan oppikirjoissa (7. vuosisadalla) murtolukuja kutsuttiin murtoluvuiksi, myöhemmin "rikollisiksi luvuiksi". Venäjän kielessä sana murto-osa ilmestyi 800-luvulla, se tulee verbistä "murskaa" - murtaa, hajota paloiksi. Numeroa kirjoitettaessa käytettiin vaakaviivaa.

Vanhoissa käsikirjoissa on Venäjällä seuraavat murtonimet:

1/2 - puoli, puoli

1/3 - kolmas

1/4 - neljä

1/6 - puoli kolmasosaa

1/8 - puoli tuntia

1/12 - puoli kolmasosaa

16.1. - puoli kuusi

1/24 - puoli puolet kolmasosaa (pieni kolmasosa)

1/32 - puoli ja puoli ja puoli (pieni neljännes)

1/5 - viisi

1/7 - viikko

1/10 - kymmenykset.

Venäjällä käytettiin neljäsosaa ja sitä pienempiä maamittoja -

puoli neljäsosaa, jota kutsuttiin mustekalaksi. Nämä olivat erityisiä murto-osia, yksiköitä maan pinta-alan mittaamiseksi, mutta mustekala ei pystynyt mittaamaan aikaa tai nopeutta jne. Paljon myöhemmin mustekala alkoi tarkoittaa abstraktia murto-osaa 1/8, joka voi ilmaista mitä tahansa arvo.

Murtolukujen käytöstä Venäjällä 1600-luvulla voit lukea V. Bellustinin kirjasta "Kuinka vähitellen ihmiset tulivat oikeaan aritmetiikkaan": "1600-luvun käsikirjoituksessa. "Kaikki osakkeita koskeva numeerinen pykälä, asetus "alkaa suoraan murtolukujen kirjallisella merkinnällä sekä osoittajan ja nimittäjän ilmoittamisella. Murtolukuja lausuttaessa mielenkiintoisia ovat seuraavat ominaisuudet: neljättä osaa kutsuttiin neljännekseksi, kun taas osuudet, joiden nimittäjä on 5-11, ilmaistiin sanoilla päätteellä "ina", joten 1/7 on viikko, 1/5 on viisi, 1/10 on kymmenys; osuudet, joiden nimittäjä on suurempi kuin 10, lausuttiin sanoilla "varsat", esimerkiksi 5/13 - viisi kolmastoista erää. Murtolukujen numerointi lainattiin suoraan länsimaisista lähteistä... Osoittajaa kutsuttiin ylimmäksi numeroksi, nimittäjä alimmaksi.

Lankkutili on ollut Venäjällä erittäin suosittu 1500-luvulta lähtien - laskelmia venäläisten tilien prototyyppinä toimineella instrumentilla. Se mahdollisti monimutkaisten aritmeettisten operaatioiden nopean ja helpon suorittamisen. Lankkutili oli hyvin laajalle levinnyt kauppiaiden, Moskovan tilausten työntekijöiden, "mittaajien" - maanmittausmiehien, luostarien taloudenhoitajat jne.

Alkuperäisessä muodossaan taulujen määrä oli erityisesti sovitettu edistyneen aritmeettisen tekniikan tarpeisiin. Tämä on verotusjärjestelmä Venäjällä 1400-1600-luvuilla, jossa kokonaislukujen yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakamisoperaatioiden lisäksi oli tarpeen suorittaa samat toiminnot murtoluvuilla, koska verotuksen ehdollinen yksikkö - aura, jaettiin osiin.

Lankkutili koostui kahdesta taitettavasta laatikosta. Jokainen laatikko jaettiin kahteen osaan (myöhemmin vain alareunaan); toinen laatikko oli tarpeellinen rahatilin erityispiirteiden vuoksi. Laatikon sisällä luut oli pujotettu venytettyihin naruihin tai lankaan. Desimaalilukujärjestelmän mukaisesti kokonaislukujen riveillä oli 9 tai 10 luuta; Leikkaukset fraktioilla suoritettiin epätäydellisillä riveillä: kolmen luun rivistä tehtiin kolme kolmasosaa, neljän luun rivistä - neljä neljäsosaa (cheti). Alla oli rivejä, joissa oli yksi luu: jokainen luu edusti puolta siitä fraktiosta, jonka alla se sijaitsi (esimerkiksi kolmen luun rivin alla oleva luu oli puolet kolmannesta, sen alapuolella oleva luu oli puolet puolikkaasta kolmasosa jne.). Kahden identtisen ”samanlaisen” murto-osan yhteenlaskeminen antaa murto-osan lähimmästä korkeammasta kategoriasta, esimerkiksi 1/12+1/12=1/6 jne. Tileissä kahden tällaisen jakeen lisääminen vastaa siirtymistä lähimpään korkeampaan rystyyn.

Murtoluvut laskettiin yhteen ilman vähennystä yhteiseksi nimittäjäksi, esimerkiksi "neljännestoista ja puoli" (1/4 + 1/6 + 1/16). Joskus operaatioita murtoluvuilla suoritettiin kuten kokonaislukujen kanssa vertaamalla kokonaisuus (aura) tiettyyn rahamäärään. Jos esimerkiksi sokha = 48 rahayksikköä, yllä oleva murto-osa on 12 + 8 + 3 = 23 rahayksikköä.

Sosh-aritmetiikassa piti käsitellä pienempiä murtolukuja. Joissakin käsikirjoituksissa on piirustuksia ja kuvauksia "laskentalaatikoista", jotka ovat samankaltaisia ​​kuin juuri tarkastelut, mutta joissa on suuri määrä rivejä yhdellä luulla, jotta niihin voidaan varata jakeet 1/128 ja 1/96 asti. Epäilemättä tehtiin myös vastaavia laitteita. Laskimien mukavuuden vuoksi annettiin monia "Pienluukoodin" sääntöjä, ts. sosh-tilillä käytettyjen jakeiden lisäys, kuten: kolme neljäsosaa auraa ja puoli auraa ja puolitoista auraa jne. jopa puoli-puoli-puoli-puoli-puoli aura on aura ilman puoli-puoli-puoli-puoli-puoli neljäsosaa, ts. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128 jne.

Mutta murto-osista vain 1/2 ja 1/3 otettiin huomioon, samoin kuin ne, jotka saatiin niistä peräkkäisellä jaolla kahdella. Muiden sarjojen murto-osien operaatioissa "laudan lukumäärää" ei mukautettu. Niiden kanssa työskennellessä oli tarpeen viitata erityisiin taulukoihin, joissa annettiin tulokset eri fraktioiden yhdistelmistä.

AT 1703 Ensimmäinen venäläinen painettu matematiikan oppikirja "Aritmetiikka" julkaistaan. Kirjailija Magnitsky Leonty Filippovich. Tämän kirjan 2. osassa "Katkoviivojen numeroista tai osista" murtolukujen oppi kuvataan yksityiskohtaisesti.

Magnitskyssa se on lähes moderni luonne. Magnitsky käsittelee osakkeiden laskemista yksityiskohtaisemmin kuin nykyaikaiset oppikirjat. Magnitsky pitää murtolukuja nimettyinä lukuina (ei vain 1/2, vaan 1/2 ruplaa, poodia jne.), ja hän tutkii toimia murtolukujen kanssa ongelmien ratkaisuprosessissa. Että on rikkinäinen luku, Magnitski vastaa: "Rikkoutunut luku ei ole mitään muuta, vain osa asiasta, joka on ilmoitettu luvulla, eli puoli ruplaa kirjoitetaan, mutta se kirjoitetaan ruplalla, tai ruplalla, tai ruplaa, tai kaksi viidesosaa ja kaikenlaisia ​​asioita, jompikumpi osa ilmoitettuna numerona, eli katkenneena numerona. Magnitsky antaa kaikkien varsinaisten murtolukujen nimet nimittäjillä 2-10. Esimerkiksi murtoluvut, joiden nimittäjä on 6: yksi kuusitoista, kaksi kuusitoista, kolme kuusitoista, neljä kuusitoista, viisi kuusitoista.

Magnitsky käyttää nimen osoittajaa, nimittäjä, harkitsee vääriä murtolukuja, sekalukuja, kaikkien toimien lisäksi hän erottaa koko osan väärästä murtoluvusta.

Murtolukuoppi on aina pysynyt vaikeimpana aritmeettisena haarana, mutta samaan aikaan millä tahansa aikaisemmalla aikakaudella ihmiset tunnustivat murtolukujen opiskelun tärkeyden, ja jakeiden ja proosan opettajat yrittivät piristää oppilaitaan. L. Magnitsky kirjoitti:

Mutta aritmetiikkaa ei ole

Ijo koko syytettynä,

Ja näissä osakkeissa ei ole mitään,

Voit vastata.

syö sinusta iloitse,

Pystyy osissa.

1.7. Murtoluvut muinaisessa Kiinassa

Kiinassa lähes kaikki aritmeettiset operaatiot tavallisilla murtoluvuilla perustettiin jo 200-luvulla eKr. eKr e.; ne on kuvattu peruskoodissa matemaattista tietoa muinainen Kiina - "Matematiikka yhdeksässä kirjassa", jonka viimeinen painos kuuluu Zhang Tsangille. Laskenta perustuu sääntöön, joka on samanlainen kuin Euclid-algoritmi, (suurin yhteinen jakaja osoittaja ja nimittäjä), kiinalaiset matemaatikot pienensivät murtolukuja. Murtolukujen kertominen esitettiin suorakaiteen muotoisen tontin alueen löytämiseksi, jonka pituus ja leveys ilmaistaan murtolukuja. Jakoa pohdittiin jako-ajatuksen avulla, kun taas kiinalaiset matemaatikot eivät hämmentyneet, että jakoon osallistujamäärä voisi olla murto-osa, esimerkiksi 3⅓ henkilöä.

Aluksi kiinalaiset käyttivät yksinkertaisimpia murtolukuja, jotka nimettiin käyttämällä bani-hieroglyfiä:

kylpyammeet ("puoli") -1 \ 2;

shao ban ("pieni puolisko") -1\3;

tai ban ("iso puolisko") -2 \ 3.

Seuraava askel oli murto-osien yleiskäsityksen kehittäminen ja sääntöjen muodostaminen niiden kanssa toimimiseen. Jos muinaisessa Egyptissä käytettiin vain alikvoottifraktioita, niin Kiinassa niitä, joita pidettiin fraktioina, pidettiin yhtenä jakeiden lajikkeena, eikä ainoana mahdollisena. Kiinalainen matematiikka on käsitellyt sekalaisia ​​numeroita. Varhaisin matemaattisista teksteistä, Zhou Bi Suan Jing (Canon of the Calculation of the Zhou Gnomon/Mathematical Trainise on the Gnomon), sisältää laskelmia, joissa luvut, kuten 247933/1460, nostetaan potenssiin.

"Ju zhang suan shu":ssa ("Yhdeksän osion laskentasäännöt") murtolukua pidetään osana kokonaisuutta, joka ilmaistaan ​​sen murtolukujen n:nnenä lukumääränä - fen - m (n

"Ju Zhang Suan Shun" ensimmäisessä osassa, joka on omistettu yleisesti kenttien mittaamiselle, murtolukujen vähentämis-, yhteen-, vähennys-, jakamis- ja kertolaskusäännöt sekä niiden vertailu ja "tasaus", ts. tällainen kolmen murtoluvun vertailu, jossa on tarpeen löytää niiden aritmeettinen keskiarvo (kirjassa ei anneta yksinkertaisempaa sääntöä kahden luvun aritmeettisen keskiarvon laskemiseksi).

Esimerkiksi tämän esseen murto-osien summan saamiseksi tarjotaan seuraava ohje: "Kerro (hu cheng) vuorotellen osoittajat nimittäjillä. Laske yhteen - tämä on osinko (shi). Kerro nimittäjät - tämä on jakaja (fa). Yhdistä osinko jakajalla yhdeksi (ja). Jos jäännös on, yhdistä se jakajan kanssa. Tämä ohje tarkoittaa, että jos useita murtolukuja lisätään, jokaisen murtoluvun osoittaja on kerrottava kaikkien muiden murtolukujen nimittäjillä. Kun osinko (sellaisen kertolaskujen tulosten summana) "yhdistetään" jakajan kanssa (kaikkien nimittäjien tulo), saadaan murto, jota tulee tarvittaessa pienentää ja josta koko osa erotetaan jakamalla. , niin "jäännös" on osoittaja ja pelkistetty jakaja on nimittäjä. Murtolukujoukon summa on sellaisen jaon tulos, joka koostuu kokonaisluvusta ja murtoluvusta. Käsky "kerrota nimittäjät" tarkoittaa itse asiassa murtolukujen tuomista suurimpaan yhteiseen nimittäjään.

Murtolukuvähennyssääntö Jiu Zhang Xuan Shussa sisältää algoritmin osoittajan ja nimittäjän suurimman yhteisen jakajan löytämiseksi, joka on sama kuin ns. Eukleideen algoritmi kahden luvun suurimman yhteisen jakajan löytämiseksi. Mutta jos jälkimmäinen, kuten tiedetään, annetaan "periaatteissa" geometrisessa muotoilussa, niin kiinalainen algoritmi esitetään puhtaasti aritmeettisesti. Kiinalainen algoritmi suurimman yhteisen jakajan löytämiseksi, nimeltään den shu ("sama luku"), on rakennettu pienemmän luvun peräkkäiseksi vähentämiseksi suuremmasta. Tämä on den shu:n lukumäärä, ja sitä on tarpeen vähentää. Esimerkiksi murto-osuutta 49\91 ehdotetaan pienennettäväksi. Suoritamme peräkkäisen vähennyksen: 91 - 49 \u003d 42; 49 - 42 = 7; 42 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 \u003d 0. Deng shu \u003d 7. Pienennämme murtolukua tällä numerolla. Saamme: 7 \ 13.

"Ju Zhang Xuan Shun" murto-osien jako eroaa nykyään hyväksytystä. Sääntö "ching fen" ("jakojärjestys") sanoo, että ennen murtolukujen jakamista ne tulee vähentää yhteiseksi nimittäjäksi. Näin ollen murtolukujen jakamismenettelyssä on tarpeeton vaihe: a/b: c/d = ad/bd: cb/bd = ad/cb. Vasta 500-luvulla Zhang Qiu-jian teoksessaan "Zhang Qiu-jian suan jing" ("Zhang Qiu-jianin laskentakaanoni") pääsi eroon siitä jakamalla murtoluvut tavallisen säännön mukaan: a/b: c/d = ad/cb .

Ehkä kiinalaisten matemaatikoiden pitkä sitoutuminen hienostuneeseen murtolukujen jakamisalgoritmiin johtui halusta säilyttää sen universaalisuus ja laskentataulun käytöstä. Itse asiassa se koostuu murto-osien jaon vähentämisestä kokonaislukujen jakoksi. Tämä algoritmi on voimassa, jos kokonaisluku on jaollinen sekaluvulla. Jaettaessa esimerkiksi 2922 luvulla 182 5/8, molemmat luvut kerrottiin ensin 8:lla, mikä mahdollisti kokonaislukujen jaon edelleen: 23376:1461= 16

1.8. Fraktiot muissa antiikin valtioissa ja keskiajassa.

Jakeen käsitettä kehitettiin edelleen Intiassa. Tämän maan matemaatikot pystyivät nopeasti siirtymään yksikkömurtoluvuista yleisen muodon murtolukuihin. Ensimmäistä kertaa tällaiset jakeet löytyvät Apastamban (VII-V vuosisata eKr.) "köyden säännöistä", jotka sisältävät geometrisia rakenteita ja joidenkin laskelmien tuloksia. Intiassa käytettiin kirjoitusjärjestelmää - ehkä kiinalaista ja mahdollisesti myöhäiskreikkalaista alkuperää - jossa murtoluvun osoittaja kirjoitettiin nimittäjän yläpuolelle - kuten meilläkin, mutta ilman murtoviivaa, mutta koko murtoluku sijoitettiin suorakaiteen muotoinen kehys. Joskus käytettiin myös "kolmikerroksista" lauseketta, jossa oli kolme numeroa yhdessä kehyksessä; kontekstista riippuen tämä voi tarkoittaa väärää murtolukua (a + b/c) tai kokonaisluvun a jakamista murto-osalla b/c.

Esimerkiksi murto-osa tallennettu nimellä

Intialaisen tiedemiehen Bramaguptan (VIII vuosisata) esittämät säännöt murtoluvuilla toimiville toimille eivät eronneet paljon nykyaikaisista. Kuten Kiinassa, Intiassa yhteiseksi nimittäjäksi vähentämiseksi kaikkien termien nimittäjät kerrottiin pitkään, mutta 800-luvulta lähtien. käytti pienintä yhteistä kerrannaista.

Keskiaikaiset arabit käyttivät murtolukujen kirjoittamiseen kolmea järjestelmää. Ensinnäkin intialaiseen tapaan nimittäjä kirjoittaminen osoittajan alle; murtoviiva ilmestyi 1100-luvun lopulla - 1200-luvun alussa. Toiseksi virkamiehet, maanmittaajat, kauppiaat käyttivät alikvoottimurtolukujen laskentaa, joka oli samanlainen kuin egyptiläinen, kun taas murto-osia, joiden nimittäjä oli enintään 10, käytettiin (arabian kielessä on erityisiä termejä vain sellaisille murtoluvuille); likimääräisiä arvoja käytettiin usein; Arabitutkijat pyrkivät parantamaan tätä laskelmaa. Kolmanneksi arabitutkijat perivät babylonialais-kreikkalaisen kuuden simaalijärjestelmän, jossa kreikkalaisten tavoin he käyttivät aakkosjärjestystä laajentaen sen kokonaisiin osiin.

Intialainen fraktioiden nimitys ja niiden kanssa työskentelysäännöt otettiin käyttöön 800-luvulla. muslimimaissa Khorezmin Muhammadin (al-Khwarizmi) ansiosta. Islamilaisten maiden kauppakäytännössä yksittäisiä murtolukuja käytettiin laajalti, tieteessä seksagesimaalimurtolukuja ja paljon vähemmässä määrin tavallisia murtolukuja. Al-Karaji (X-XI vuosisatoja), al-Khassar (XII vuosisata), al-Kalasadi (XV vuosisata) ja muut tutkijat esittelivät teoksissaan säännöt tavallisten murtolukujen esittämisestä yksikkömurtolukujen summina ja tuloina. Murto-osan tiedot on siirretty kohteeseen Länsi-Eurooppa Italialainen kauppias ja tiedemies Leonardo Fibonacci Pisasta (XIII vuosisata). Hän esitteli sanan murtoluku, alkoi käyttää murto-osan ominaisuutta (1202), antoi kaavoja murto-osien systemaattiselle jakamiselle perusosiksi. Nimet osoittaja ja nimittäjä otti käyttöön 1200-luvulla Maxim Planud, kreikkalainen munkki, tiedemies ja matemaatikko. N. Tartaglia ehdotti vuonna 1556 menetelmää murtolukujen vähentämiseksi yhteiseksi nimittäjäksi. Nykyaikainen tapa tavallisten murtolukujen lisäämiseksi löytyy vuodelta 1629. osoitteessa A. Girard.

II. Tavallisten jakeiden käyttö

2.1 Jakeet

Alikvoottifraktioiden käyttöön liittyvät ongelmat muodostavat laajan luokan epätyypillisiä ongelmia, mukaan lukien ne, jotka ovat peräisin muinaisista ajoista. Alikvoottifraktioita käytetään, kun jokin on jaettava useisiin osiin vähiten vaiheiden määrällä tätä varten. Muotoa 2/n ja 2/(2n + 1) olevien jakeiden hajoaminen kahdeksi alikvoottifraktioksi on systematisoitu kaavojen muodossa

Hajoaminen kolmeen, neljään, viiteen jne. alikvoottifraktioita voidaan tuottaa jakamalla yksi termeistä kahdeksi jakeeksi, seuraava termi kahdeksi lisäosaksi jne.

Jos haluat esittää minkä tahansa luvun murto-osien summana, sinun on joskus osoitettava poikkeuksellista kekseliäisyyttä. Oletetaan, että luku 2/43 ilmaistaan ​​näin: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. On erittäin hankalaa suorittaa aritmeettisia operaatioita luvuille jakamalla ne yhden murto-osien summaksi. Siksi prosessissa, jossa ratkaistaan ​​ongelmia alikvoottifraktioiden laajentamiseksi pienempien alikvoottiosien summana, syntyi ajatus systematisoida jakeiden laajentaminen kaavan muodossa. Tämä kaava pätee, jos alikvoottifraktio on laajennettava kahdeksi osaksi.

Kaava näyttää tältä:

1/n=1/(n+1) + 1/n (n+1)

Esimerkkejä fraktioiden laajentamisesta:

1/3=1/(3+1)+1/3 (3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5 (5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8 (8+1)=1/9+ 1/72.

Tämä kaava voidaan muuntaa ja saada seuraava hyödyllinen yhtälö: 1/n (n+1)=1/n -1/(n+1)

Esimerkiksi 1/6=1/(2 3)=1/2 -1/3

Toisin sanoen alikvootin murto-osa voidaan esittää kahden alikvootin murto-osan erotuksena tai kahden alikvootin murto-osan erotuksena, joiden nimittäjät ovat peräkkäisiä lukuja, jotka ovat yhtä suuret kuin niiden tulo.

Esimerkki. Esitä luku 1 eri alikvoottiosien summina

a) kolme termiä 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

b) neljä termiä

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

c) viisi termiä

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

2.2 Pienten osakkeiden sijaan suuret

Koneenrakennustehtaissa on erittäin jännittävä ammatti, sitä kutsutaan kirjoittajaksi. Piirtäjä merkitsee työkappaleeseen viivat, joita pitkin tätä työkappaletta tulee käsitellä, jotta se saa tarvittavan muodon.

Kirjoittajan on ratkaistava mielenkiintoisia ja joskus vaikeita geometrisia tehtäviä, suoritettava aritmeettisia laskutoimituksia jne.
"Täytyi jotenkin jakaa 7 identtistä suorakaiteen muotoista lautasta tasa-arvoisesti 12 osan kesken. He toivat nämä 7 lautasta merkkiin ja pyysivät häntä mahdollisuuksien mukaan merkitsemään levyt niin, ettei niitä tarvinnut murskata kovin pieniksi osiin. Yksinkertaisin ratkaisu on siis leikata jokainen levy 12 osaan yhtä suuret osat- Se ei ollut hyvä, koska siitä tuli paljon pieniä osakkeita. Kuinka olla?
Onko mahdollista jakaa nämä levyt suurempiin osiin? Skaalaaja ajatteli, teki aritmeettisia laskutoimituksia murtoluvuilla ja löysi kuitenkin edullisimman tavan jakaa nämä levyt.
Myöhemmin hän murskasi helposti 5 lautasta jakaakseen ne yhtä suuriin osuuksiin kuuteen osaan, 13 lautasta 12 osaan, 13 lautasta 36 osaan, 26 21 osaan jne.

Osoittautuu, että merkki edusti murto-osaa 7\12 yksikkömurtolukujen 1\3 + 1\4 summana. Joten jos seitsemästä annetusta levystä 4 leikataan kolmeen yhtä suureen osaan, niin saadaan 12 kolmasosaa, eli yksi kolmasosa jokaisesta osasta. Leikkaamme loput 3 levyä 4 yhtä suureen osaan, saamme 12 neljäsosaa, eli yksi neljäsosa jokaisesta osasta. Samoin käyttämällä murto-osien esityksiä yksikkömurtolukujen summana 5\6=1\2+1\3; 13\121\3+3\4; 13\36=1\4+1\9.

2.3 Väliseinät vaikeissa olosuhteissa

On tunnettu itämainen vertaus, jonka mukaan isä jätti pojilleen 17 kamelia ja käski heidät jakamaan keskenään: vanhempi puolisko, keskimmäinen - kolmasosa, nuorempi - yhdeksännen. Mutta 17 ei ole jaollinen kahdella, kolmella tai 9:llä. Pojat kääntyivät viisaan puoleen. Viisas tunsi murtoluvut ja osasi auttaa tässä vaikeassa tilanteessa.

Hän meni temppuun. Viisas lisäsi kamelinsa laumaan hetkeksi, sitten niitä oli 18. Jakamalla tämän luvun testamentin mukaan, viisas otti kamelin takaisin. Salaisuus on, että ne osat, joihin poikien oli testamentin mukaan tarkoitus jakaa lauma, eivät laske yhteen. Itse asiassa 1\2 + 1\3 + 1\9 = 17\18.

Tällaisia ​​tehtäviä on monia. Esimerkiksi tehtävä venäläisestä oppikirjasta 4 ystävästä, jotka löysivät lompakon, jossa oli 8 luottotietoa: yksi yhdelle, kolme, viisi ruplaa ja loput kymmenen ruplaa. Yhteisestä sopimuksesta haluttiin kolmas osa, toinen neljännes, kolmas-viides, neljäs-kuudes. He eivät kuitenkaan pystyneet siihen omin voimin: ohikulkija auttoi lisättyään ruplansa. Tämän ongelman ratkaisemiseksi ohikulkija lisäsi yksikkömurtoluvut 1\3 + 1\4 + 1\5 + 1\6 = 57\60, tyydyttääkseen ystävien pyynnöt ja ansaitaen itselleen 2 ruplaa.

III.Viihdyttäviä fraktioita

3.1 Domino

Domino on lautapeli, jota pelataan kaikkialla maailmassa. Dominopeli koostuu useimmiten 28 suorakaiteen muotoisesta laatta-noppaa. Domino on suorakaiteen muotoinen laatta etupuoli joka on jaettu viivalla kahteen neliön osaan. Jokainen osa sisältää nollasta kuuteen pistettä. Jos poistamme nopat, jotka eivät sisällä pisteitä vähintään toisella puoliskolla (blankhe), jäljelle jääneet noppaa voidaan pitää murtolukuina. Luut, joiden molemmat puolikkaat sisältävät saman määrän pisteitä (kaksioita), ovat vääriä murtolukuja, jotka ovat yhtä suuret kuin yksi. Jos poistat enemmän näitä luita, 15 luuta jää jäljelle. Ne voidaan sijoittaa eri tavoin ja saada mielenkiintoisia tuloksia.

1. Järjestys 3 riviin, joiden murtolukujen summa on 2.

;
;

2. Järjestä kaikki 15 laattaa kolmeen riviin, joissa kussakin on 5 laatta, käyttämällä joitain dominolaattoja virheellisinä murtoina, kuten 4/3, 6/1, 3/2 jne., niin että kunkin murto-osien summa rivi oli yhtä suuri kuin 10.

1\3+6\1+3\4+5\3+5\4=10

2\1+5\1+2\6+6\3+4\6=10

4\1+2\3+4\2+5\2+5\6=10

3. Järjestys murtolukuriveihin, joiden summa on kokonaisluku (mutta erilainen eri riveillä).

3.2 Muinaisista ajoista lähtien.

"Hän tutki tätä asiaa tarkasti." Tämä tarkoittaa, että asiaa on tutkittu loppuun asti, ettei pienintäkään epäselvyyttä ole jäänyt. Ja outo sana "tuntevasti" tulee roomalaisesta nimestä 1/288 assa - "scrupulus".

"Menkää murtolukuihin." Tämä ilmaus tarkoittaa joutumista vaikeaan tilanteeseen.

"Ass" - massayksikkö farmakologiassa (apteekin punta).

"Unssi" - massayksikkö englantilaisessa mittajärjestelmässä, massayksikkö farmakologiassa ja kemiassa.

IV. Johtopäätös.

Murtolukuoppia pidettiin matematiikan vaikeimpana osa-alueena kaikkina aikoina ja kaikkien kansojen keskuudessa. Ne, jotka tunsivat murtoluvut, pidettiin suuressa arvossa. 1400-luvun vanhan slaavilaisen käsikirjoituksen kirjoittaja. kirjoittaa: "Ei ole yllättävää, että ... kokonaisuutena, mutta on kiitettävää, että osakkeina ...".

Tulin siihen tulokseen, että yhteisten jakeiden historia on mutkikas tie, jossa on monia esteitä ja vaikeuksia. Esseen parissa opin paljon uutta ja mielenkiintoista. Luen monia kirjoja ja osioita tietosanakirjoista. Tutustuin ensimmäisiin murtolukuihin, joita ihmiset operoivat, alikvootin murto-osuuden käsitteeseen, opin minulle uusia nimiä tutkijoista, jotka osallistuivat murto-opin kehittämiseen. Hän itse yritti ratkaista olympialaisia ​​ja viihdyttäviä ongelmia, valitsi itsenäisesti esimerkkejä tavallisten murtolukujen jakamisesta alikvoottimurtoiksi, analysoi teksteissä annettujen esimerkkien ja ongelmien ratkaisua. Vastaus kysymykseen, jonka esitin itselleni ennen esseen työskentelyä: tavalliset murtoluvut ovat välttämättömiä, ne ovat tärkeitä. Oli mielenkiintoista valmistella esitystä, jouduin kääntymään opettajan ja luokkatovereiden puoleen. Myös kirjoittaessani törmäsin ensimmäisen kerran tarpeeseen tulostaa murto- ja murtolausekkeita. Esitin tiivistelmäni koulukonferenssissa. Hän esiintyi myös luokkatovereidensa edessä. He kuuntelivat erittäin tarkasti ja mielestäni he olivat kiinnostuneita.

Luulen, että ne tehtävät, jotka asetin ennen abstraktin parissa työskentelyä, olen täyttänyt.

Kirjallisuus.

1. Borodin A.I. Aritmetiikan historiasta. Johtava kustantamo "Vishcha school" -K., 1986

2. Glazer G. I. Matematiikan historia koulussa: IV-VI luokka. Opas opettajille. – M.: Enlightenment, 1981.

3. Ignatiev E.I. Nerouden alalla. Kustantajan "Nauka", M., fyysisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos, 1978.

4. Kordemskoy G.A. Matemaattinen nerokkuus - 10. painos, tarkistettu. Ja muita - M .: Yunisam, MDS, 1994.

5. Stroyk D.Ya. Lyhyt essee matematiikan historiaa. Moskova: Nauka, 1990.

6. Tietosanakirja lapsille. Osa 11. Matematiikka. Moskova, "Avanta +", 1998.

7. /wiki Materiaali Wikipediasta - vapaasta tietosanakirjasta.

Liite 1.

Luonnollinen mittakaava

Kaikki tietävät, että Pythagoras oli tiedemies ja erityisesti kuuluisan lauseen kirjoittaja. Ja se tosiasia, että hän oli myös loistava muusikko, ei ole laajalti tiedossa. Näiden kykyjen yhdistelmä antoi hänelle mahdollisuuden arvata ensimmäisenä luonnollisen mittakaavan olemassaolosta. Meidän piti silti todistaa se. Pythagoras rakensi kokeitaan varten puoliinstrumentin puolilaitteen - "monokordin". Se oli pitkänomainen laatikko, jonka päälle oli venytetty naru. Pythagoras piirsi nauhan alle, laatikon yläkanteen, asteikon helpottaakseen nauhan visuaalista jakamista osiin. Pythagoras teki monia kokeita monokordin avulla ja lopulta kuvasi matemaattisesti kuulostavan kielen käyttäytymistä. Pythagoraan työ muodosti perustan tieteelle, jota nykyään kutsumme musiikilliseksi akustiikkaksi. Osoittautuu, että seitsemän ääntä oktaavin sisällä ovat musiikille yhtä luonnollisia kuin aritmetiikassa kymmenen sormea. Jo aivan ensimmäisen jousen jousen jousi, joka värähteli laukauksen jälkeen, antoi valmiiksi sen musiikillisen soundin, jota käytämme edelleen lähes muuttumattomina.

Fysiikan näkökulmasta jousinauha ja naru ovat yksi ja sama. Kyllä, ja mies teki narun kiinnittäen huomiota jousilangan ominaisuuksiin. Kuuluva merkkijono ei värähtele vain kokonaisuutena, vaan samanaikaisesti puolikkaina, teroina, neljänneksinä jne. Lähestytään nyt tätä ilmiötä aritmeettiselta puolelta. Puolet värisevät kaksi kertaa niin usein kuin koko merkkijono, kolmannekset - kolme kertaa, neljännekset - neljä kertaa. Sanalla sanoen kuinka monta kertaa värähtelevä osa merkkijonosta on pienempi, sen värähtelyjen taajuus on yhtä monta kertaa suurempi. Oletetaan, että koko merkkijono värähtelee 24 hertsin taajuudella. Laskemalla osakkeiden vaihtelut kuudestoistaosaan asti saadaan taulukossa näkyvä lukusarja. Tätä taajuuksien sarjaa kutsutaan luonnolliseksi, ts. luonnollinen, ääni.

Liite 2

Muinaiset ongelmat tavallisten murtolukujen avulla.

Eri maiden muinaisissa käsikirjoituksissa ja muinaisissa aritmeettisissa oppikirjoissa on monia mielenkiintoisia tehtäviä murtolukuihin. Jokaisen ongelman ratkaiseminen vaatii huomattavaa kekseliäisyyttä, kekseliäisyyttä ja järkeilykykyä.

1. Paimenen mukana tulee 70 härkää. Häneltä kysytään:

Kuinka monta sinä tuot ulos lukuisesta laumastasi?

Paimen vastaa:

Tuon kaksi kolmasosaa kolmannesta karjasta. Laske kuinka monta härkää laumassa on?

Ahmesin papyrus (Egypti, noin 2000 eaa.).

2. Joku otti 1/13 kassasta. Siitä mitä oli jäljellä, toinen otti 1/17. Hän jätti kassaan 192. Haluamme tietää, kuinka paljon kassassa oli alun perin

Akmim papyrus (VI c.)

3. Matkustaja! Tänne Diophantus hautaa tuhkat. Ja luvut voivat kertoa, voi ihme, kuinka pitkä hänen elämänsä oli.

Kuudes osa hänestä oli ihana lapsuus.

Toisen elämän kahdestoista osa kului - sitten leuka peittyi nukkaan.
Seitsemäs lapsettomassa avioliitossa oli Diophantos.

Viisi vuotta on kulunut; häntä siunattiin kauniin esikoisen pojan syntymällä.
Jolle kohtalo antoi vain puolet kauniista ja kirkkaasta elämästä maan päällä verrattuna isään.

Ja syvässä surussa maallisen kohtalon vanha mies hyväksyi lopun, kun hän oli selvinnyt neljä vuotta siitä, kun hän menetti poikansa.

Kerro minulle, kuinka monta elinvuotta tultuaan Diophantus hyväksyi kuoleman?

4. Joku kuoleva testamentti: "Jos vaimollani on poika, niin olkoon hänelle 2/3 omaisuudesta ja loput vaimosta. Jos tytär syntyy, niin hän on 1/3 ja vaimo 2/3. Syntyi kaksoset - poika ja tytär. Kuinka jakaa omaisuus?

Muinaisen Rooman tehtävä (II vuosisata)

Etsi kolme lukua siten, että suurin ylittää keskiarvon tietyllä murto-osalla pienimmistä, niin että keskiarvo ylittää pienimmän tietyllä murto-osalla suurimmasta ja niin, että pienin ylittää luvun 10 tietyllä murto-osalla keskiarvosta.

Diophantus Aleksandrialainen tutkielma "Aritmetiikka" (II - III vuosisatoja jKr.)

5. Villiankka lentää Etelämereltä Pohjanmerelle 7 päivän ajan. Villihanhi lentää pohjoiselta kaivokselta eteläiselle merelle 9 päivän ajan. Nyt ankka ja hanhi lentävät ulos yhtä aikaa. Kuinka monessa päivässä he tapaavat?

Kiina (2. vuosisadalla jKr.)

6. "Yksi kauppias kulki 3 kaupungin läpi, ja he keräsivät häneltä tulleja ensimmäisessä kaupungissa puolesta ja kolmanneksesta omaisuudesta ja toisessa kaupungissa puolesta ja kolmanneksesta jäljellä olevasta omaisuudesta ja kolmannessa kaupungista puolet ja kolmasosa jäljellä olevasta omaisuudesta. Ja kun hän saapui kotiin, hänellä oli 11 rahaa jäljellä. Selvitä, kuinka paljon rahaa kauppiaalla oli aluksi.

Anani Shirakatsi. Kokoelma "Kysymyksiä ja vastauksia" (VIIvuosisadalla jKr).

Siellä on kadamban kukka,

Yhdelle terälehdelle

Viidesosa mehiläisistä on pudonnut.

Kasvaa aivan vieressä

Kaikki kukkii Simengda,

Ja siihen mahtui kolmas osa.

Löydät niiden eron

Taita se kolme kertaa

Ja laita ne mehiläiset kutaille.

Vain kahta ei löytynyt.

Sinun paikkasi ei ole missään

Kaikki lensivät edestakaisin ja kaikkialle

Nauttii kukkien tuoksusta.

Soita minulle nyt

Laskeminen mielessäni

Kuinka monta mehiläistä on yhteensä?

Vanha Intian tehtävä (XI vuosisata).

8. "Etsi luku, tietäen, että jos vähennät siitä kolmanneksen ja neljänneksen, saat 10."

Muhammad ibn Musa al Khorezmi "Aritmetiikka" (IX vuosisata)

9. Yksi nainen meni puutarhaan poimimaan omenoita. Poistuakseen puutarhasta hänen täytyi mennä neljän oven läpi, joista jokaisessa oli vartija. Nainen antoi puolet poimimistaan ​​omenoista ensimmäisen oven vartijalle. Saavutettuaan toisen vartijan nainen antoi hänelle puolet lopuista. Hän teki samoin kolmannen vartijan kanssa, ja kun hän jakoi omenat neljännen vartijan kanssa, hänellä oli 10 omenaa jäljellä. Kuinka monta omenaa hän poimi puutarhasta?

"1001 yötä"

10. Vain "se" ja "se" ja puolet "tästä" ja "tästä" - kuinka paljon se on prosenttiosuus kolmesta neljäsosasta "tästä" ja "tästä".

Codex muinainen Venäjä(X-XI vuosisadat)

11. Kolme kasakkaa tuli paimenen luo ostamaan hevosia.

"Hyvä on, minä myyn sinulle hevosia", sanoi paimen, "minä myyn puolet laumasta ja toisen puolen hevosen ensimmäiselle, puolet jäljellä olevista hevosista ja toisen puolen hevosen toiselle, ja kolmas saa myös puolet jäljellä olevista hevosista puolikkaalla hevosella.

Jätän vain 5 hevosta itselleni."

Kasakat olivat yllättyneitä siitä, kuinka paimen jakoi hevoset osiin. Mutta hetken harkinnan jälkeen he rauhoittuivat ja kauppa meni läpi.

Kuinka monta hevosta paimen myi kullekin kasakalle?

12. Joku kysyi opettajalta: "Kerro minulle, kuinka monta oppilasta luokassasi on, koska haluan antaa poikani sinulle opettajaksi." Opettaja vastasi: "Jos lisää oppilaita tulee niin monta kuin minulla on, ja puolet vähemmän ja neljäsosa ja poikasi, niin minulla on 100 oppilasta." Kysymys kuuluu, kuinka monta oppilasta opettajalla oli?

L. F. Magnitsky "Aritmetiikka" (1703)

13. Matkustaja tavoitti toisen ja kysyi häneltä: "Onko kaukana edessä olevaan kylään?" Toinen matkustaja vastasi: ”Etäisyys kylästä, josta olet menossa, on yhtä kuin kolmasosa kylien välisestä kokonaisetäisyydestä. Ja jos kävelet vielä kaksi mailia, olet täsmälleen keskellä kylien väliä. Kuinka monta mailia on jäljellä ensimmäiseen matkustajaan?

L. F. Magnitsky "Aritmetiikka" (1703)

14. Talonpoikanainen myi munia torilla. Ensimmäinen asiakas osti häneltä puolet munista ja toinen puoli munaa, toinen puoli loput ja toinen puoli munaa ja kolmas viimeiset 10 munaa.

Kuinka monta munaa talonpoikainen toi markkinoille?

L. F. Magnitsky "Aritmetiikka" (1703)

15. Aviomies ja vaimo ottivat rahaa samasta laatikosta, eikä mitään jäänyt jäljelle. Mies otti 7/10 kaikista rahoista ja vaimo 690 ruplaa. Kuinka paljon kaikki rahat olivat?

L. N. Tolstoi "Aritmetiikka"

16. Yksi kahdeksasosa luvusta

Kun otat, lisäät siihen minkä tahansa

Puolet kolmesataa

Ja kahdeksan ylittää

Ei vähän - viisikymmentä

Kolme neljäsosaa. Tulen olemaan iloinen,

Jos se, joka tietää pisteet

Se kertoo minulle numeron.

Johann Hemeling, matematiikan opettaja (1800)

17. Kolme voitti rahaa. Ensimmäisen osuus oli 1/4 tästä määrästä, toisen osuus - 1/7 ja kolmannen osuus - 17 florinia. Kuinka suuria kaikki voitot ovat?

Adam Rize (Saksa, 1500-luku) 18. Päättäessään jakaa kaikki säästönsä tasan kaikkien poikiensa kesken, joku teki testamentin. "Vanhin pojistani saa 1000 ruplaa ja kahdeksasosa lopusta; seuraava - 2000 ruplaa ja kahdeksasosa uudesta saldosta; kolmas poika - 3000 ruplaa ja kahdeksasosa seuraavasta saldosta jne. Selvitä poikien lukumäärä ja testamentattujen säästöjen suuruus.

Leonhard Euler (1780)

19. Kolme ihmistä haluaa ostaa talon 24 000 liverilla. He sopivat, että ensimmäinen antaa puolet, toinen kolmanneksen ja kolmas loput. Kuinka paljon rahaa kolmas antaa?

Murtoluvut "," Tavallinen murto-osia". Peli "Mitä he voivat ... henkiseen laskemiseen." Tehtävät aiheeseen " Tavallinen murto-osia ja toimet niihin” 1. U... filosofi, kirjailija. B. Pascal oli erittäin lahjakas ja monipuolinen, hänen elämänsä oli...

Pavlikova E.V. (, MAOU Djatkovskajan lukio nro 5)

1. Anishchenko E. A. Luku matematiikan peruskäsitteenä. Mariupol, 2002.

2. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematiikka. Luokka 5: oppikirja oppilaitoksille. - 26. painos, Sr. - M.: Mnemosyne, 2009. - 280 s.

3. Geysir G.I. Matematiikan historia koulussa. Opas opettajille. – M.: Enlightenment, 1981. – 239 s.

4. Matematiikka. Luokka 5: yleissivistävän oppikirja. laitokset / S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin. 11. painos, tarkistettu. – M.: Enlightenment, 2016. – 272 s. - (MSU - koulu).

5. Matematiikka tietosanakirja. - M., 1988.

6. Dragunsky V. Täytyy olla huumorintajua. – Käyttötila: http://peskarlib.ru/lib.phpid_sst=248.

7. Murtolukujen historiasta. Käyttötila: http://schools.keldysh.ru/sch1905/drobi/history.htm.

8. Materiaali Wikipediasta - vapaasta tietosanakirjasta. Käyttötila: http://ru.wikipedia.org/wiki.

9. Lainaukset. Käyttötila: http://citaty.socratify.net/lev-tolstoi/25013.

Murtolukujen tutkimista sanelee elämä itse. Kyky suorittaa erilaisia ​​laskelmia ja laskelmia on välttämätöntä jokaiselle ihmiselle, koska kohtaamme murto-osia Jokapäiväinen elämä. Halusin tietää, mistä näiden numeroiden nimi tuli; joka keksi nämä numerot, on koulussa opiskelemaansa aihe "Murtoluvut", joka on tarpeellinen elämässäni.

Tutkimuksen kohde: yhteisten murtolukujen historiaa.

Opintojen aihe: tavallisia murtolukuja.

Hypoteesi: jos murtolukuja ei olisi, voisiko matematiikka kehittyä?

Tavoite: suunnittelu "Matematiikka ympärillämme" -osaston matematiikan luokkahuoneessa mielenkiintoisia seikkoja noin murtoluvuista.

Tehtävät:

1. Tutkia murtolukujen syntyhistoriaa matematiikassa;

2. Valitse mielenkiintoisimmat faktat murtoluvuista, joita voidaan käyttää jalustan osien muodostamiseen.

3. Suunnittele teline matematiikan luokkahuoneeseen.

Eläessämme murto-osien ympäristössä emme aina huomaa niitä selvästi. Siitä huolimatta kohtaamme sen hyvin usein: kotona, kadulla, kaupassa. Aamulla herätessämme katsomme herätyskelloa ja tapaamme murtolukuja. Käytämme murtolukuja tavaroiden punnitsemisessa myymälässä. Mittauksissa lastin tilavuutta määritettäessä. Murto-osat ympäröivät meitä kaikkialla. Murtolukujen avulla voimme mitata pituuksia, jakaa kokonaisuuden osiin. Mutta kuinka mitata henkilön korkeus tai esineiden välinen etäisyys ilman murtolukuja? Ympärillä - murto-osia!

Merkityksellisyys: Moderni elämä tekee murto-osien ongelmat merkityksellisiksi, kun murtolukujen käytännön soveltamisalue laajenee.

Tutkimusmenetelmät:

1. Etsi tietoa murtoluvuista eri lähteistä: Internet, fiktiota, oppikirjoja.

2. Tiedon analysointi, vertailu, yleistäminen ja systematisointi.

Tavallisten murtolukujen historiasta

Murtolukujen syntyminen

Muinaisista ajoista lähtien ihmisten piti elintärkeiden käytännön asioiden ratkaisemiseksi laskea esineitä ja mitata määriä eli vastata kysymyksiin "Kuinka monta?": Kuinka monta lammasta on laumassa, kuinka monta mittaa viljaa kerätään. kentältä, kuinka monta mailia läänin keskustasta jne. Joten numerot ilmestyivät. Aina ei ollut mahdollista ilmaista mittaustulosta tai tavaran arvoa luonnollinen luku. Kun henkilön piti keksiä uusia - murtolukuja, murtoluvut ilmestyivät. Muinaisina aikoina kokonaislukuja ja murtolukuja käsiteltiin eri tavalla: mieltymykset olivat kokonaislukujen puolella. "Jos haluat jakaa yksikön, matemaatikot pilkkaavat sinua eivätkä salli sinun tehdä tätä", Platon, Ateenan Akatemian perustaja, kirjoitti.

Kaikissa sivilisaatioissa murto-osan käsite syntyi kokonaisuuden jakamisesta yhtä suuriin osiin. Venäjän termi "fraktio", kuten sen vastineet muilla kielillä, tulee latinasta. "fractura", joka puolestaan ​​on käännös arabialaisesta termistä, jolla on sama merkitys: murtaa, murskata. Siksi luultavasti ensimmäiset murtoluvut kaikkialla olivat muodon 1/n murto-osia. Jatkokehitys menee luonnollisesti siihen suuntaan, että näitä murtolukuja pidetään yksiköinä, joista voidaan muodostaa murtolukuja m/n - rationaalilukuja. Kaikki sivilisaatiot eivät kuitenkaan kulkeneet tätä polkua: esimerkiksi muinaisessa egyptiläisessä matematiikassa sitä ei koskaan toteutettu.

Ensimmäinen murto-osa, jonka ihmiset tapasivat, oli puolet. Vaikka kaikkien seuraavien murtolukujen nimet liittyvät niiden nimittäjien nimiin (kolme - "kolmas", neljä - "neljännes" jne.), tämä ei päde puoleen - sen nimellä ei ole kaikilla kielillä mitään liittyy sanaan "kaksi".

Murtolukujen tallennusjärjestelmä, niiden kanssa työskentelysäännöt erosivat huomattavasti sekä eri kansojen välillä että sisällä eri aikoina samoista ihmisistä. Myös lukuisat ideoiden lainaukset eri sivilisaatioiden välisten kulttuurikontaktien aikana olivat tärkeitä.

Murtoluvut Venäjällä

Venäjän kielessä sana "fraktio" ilmestyi VIII vuosisadalla, se tulee verbistä "murskaa" - murtaa, hajota paloiksi. Moderni nimitys fraktiot ovat peräisin muinainen Intia: Myös arabit alkoivat käyttää sitä.

Vanhoista käsikirjoista löydämme seuraavat Venäjällä olevien murto-osien nimet:

Slaavilaista numerointia käytettiin Venäjällä 1500-luvulle asti, sitten desimaalilukujärjestelmä alkoi vähitellen tunkeutua maahan. Lopulta hän korvasi slaavilaisen numeroinnin Pietari I:llä.

Maamitta käytettiin Venäjällä neljäsosaa ja pienempää - puoli neljäsosaa, jota kutsuttiin mustekalaksi. Nämä olivat erityisiä murto-osia, yksiköitä maan pinta-alan mittaamiseksi, mutta mustekala ei pystynyt mittaamaan aikaa tai nopeutta jne. Paljon myöhemmin mustekala alkoi tarkoittaa abstraktia murto-osaa 1/8, joka voi ilmaista mitä tahansa arvo. Murtolukujen käytöstä in Venäjä XVII V. Bellyustinin kirjasta "Kuinka ihmiset vähitellen pääsivät todelliseen aritmetiikkaan" voit lukea seuraavaa: "1600-luvun käsikirjoituksessa. "Asetuksen kaikkia osakkeita koskeva artikla "alkaa suoraan murtolukujen kirjallisella merkinnällä ja osoittajan ja nimittäjän ilmoittamisella. Murtolukuja lausuttaessa mielenkiintoisia ovat seuraavat ominaisuudet: neljättä osaa kutsuttiin neljännekseksi, kun taas osuudet, joiden nimittäjä on 5-11, ilmaistiin sanoilla päätteellä "ina", joten 1/7 on viikko, 1/5 on viisi, 1/10 on kymmenys; osuudet, joiden nimittäjä on suurempi kuin 10, lausuttiin sanoilla "varsat", esimerkiksi 5/13 - viisi kolmastoista erää. Murtolukujen numerointi on lainattu suoraan länsimaisista lähteistä. Osoittajaa kutsuttiin ylimmäksi numeroksi, nimittäjä alimmaksi numeroksi.

Murtoluvut muissa antiikin valtioissa

Kaikki muinaisten egyptiläisten laskentasäännöt perustuivat kykyyn lisätä ja vähentää, kaksinkertaistaa ja täydentää murtolukuja yhteen. Murtoluvuille oli erityisiä merkintöjä. Egyptiläiset käyttivät muodon 1/n murtolukuja, joissa n on luonnollinen luku. Tällaisia ​​fraktioita kutsutaan alikvooteiksi. Joskus m:n jakamisen sijaan he kertoivat m:n. n.

Tätä varten käytettiin erityisiä pöytiä. Minun on sanottava, että murtoluvuilla tehdyt toimet olivat egyptiläisen aritmeettisen ominaisuuden ominaisuus, jossa yksinkertaisimmat laskelmat muuttuivat joskus monimutkaisiksi ongelmiksi. (Sovellus).

Sovellus

Seiso "Matematiikka ympärillämme"

Taulukko "Merkeiden kirjaaminen Egyptissä"

Tämä taulukko auttoi tekemään monimutkaisia ​​aritmeettisia laskelmia hyväksyttyjen kanonien mukaisesti. Ilmeisesti kirjanoppineet oppivat sen ulkoa, aivan kuten koululaiset muistavat nyt kertotaulukon. Tämän taulukon avulla suoritettiin myös lukujen jako. Egyptiläiset osasivat myös kertoa ja jakaa murto-osia. Mutta kertomista varten sinun piti kertoa murtoluvut murtoluvuilla ja sitten ehkä käyttää taulukkoa uudelleen. Jako oli vielä vaikeampaa.

Egyptiläiset tiesivät jo muinaisina aikoina jakaa 2 omenaa kolmeen: tätä numeroa varten heillä oli jopa erityinen merkki. Muuten, tämä oli ainoa murto-osa egyptiläisten kirjanoppineiden jokapäiväisessä elämässä, jolla ei ollut yksikköä osoittajassa - kaikkien muiden murtolukujen osoittajassa oli varmasti 1 (ns. perusmurto): 1/2, 1/ 3, 1/17, ... ja jne. Tämä asenne murtolukuja kohtaan oli olemassa hyvin pitkään. Muinaisen Egyptin sivilisaatio on jo kerran tuhoutunut vihreä reuna nieli Saharan hiekan, ja kaikki jakeet laskettiin tärkeimpien yhteenlaskettuina - aina renessanssiin asti!

Kiinassa lähes kaikki aritmeettiset operaatiot tavallisilla murtoluvuilla perustettiin jo 200-luvulla eKr. eKr e.; ne on kuvattu muinaisen Kiinan matemaattisen tiedon peruskorpuksessa - "Matematiikkaa yhdeksässä kirjassa", jonka viimeinen painos kuuluu Zhang Tsangille. Kiinalaiset matemaatikot vähensivät murtolukuja laskemalla Euklidesin algoritmia vastaavan säännön (osoittimen ja nimittäjän suurin yhteinen jakaja) perusteella. Murtolukujen kertominen esitettiin suorakaiteen alueen löytämisenä tontti, jonka pituus ja leveys ilmaistaan ​​murtolukuina. Jakoa harkittiin käyttämällä jako-ajatusta, kun taas kiinalaiset matemaatikot eivät hämmentyneet sitä, että jaossa osallistujamäärä voisi olla murto-osa, esimerkiksi 3 1/2 henkilöä.

Aluksi kiinalaiset käyttivät yksinkertaisimpia murtolukuja, jotka nimettiin käyttämällä bani-hieroglyfiä:

Kielto ("puoli") -1 \ 2;

Shao ban ("pieni puolisko") -1\3;

Tai ban ("iso puoli") - 2 \ 3.

Mielenkiintoista on, että babylonialaiset pitivät parempana kiinteää nimittäjää (vastaa 60:tä, ilmeisesti siksi, että heidän lukujärjestelmänsä oli seksagesimaalinen).

Roomalaiset käyttivät myös vain yhtä nimittäjää, 12.

Jakeen käsitettä kehitettiin edelleen Intiassa. Tämän maan matemaatikot pystyivät nopeasti siirtymään yksikkömurtoluvuista yleisen muodon murtolukuihin. Ensimmäistä kertaa tällaiset jakeet löytyvät Apastamban (VII-V vuosisata eKr.) "köyden säännöistä", jotka sisältävät geometrisia rakenteita ja joidenkin laskelmien tuloksia. Intiassa käytettiin kirjoitusjärjestelmää - mahdollisesti kiinalaista ja mahdollisesti myöhäiskreikkalaista alkuperää - jossa murtoluvun osoittaja kirjoitettiin nimittäjän yläpuolelle - kuten meillä, mutta ilman murtoviivaa, mutta koko murto-osa sijoitettiin suorakaiteen muotoinen kehys.

Intialainen fraktioiden nimitys ja niiden kanssa työskentelysäännöt otettiin käyttöön 800-luvulla. muslimimaissa Khorezmin Muhammadin (al-Khwarizmi) ansiosta. Islamilaisten maiden kauppakäytännössä yksittäisiä murtolukuja käytettiin laajalti, tieteessä seksagesimaalimurtolukuja ja paljon vähemmässä määrin tavallisia murtolukuja.

Viihdyttäviä fraktioita

"Ilman murtolukuja ketään ei voida tunnistaa tietäväksi aritmetiikkaa!"

Aina kun ihmiset käyttävät rahaa, he kohtaavat aina murto-osia: keskiajalla 1 Englannin penni = 1/12 shillinkiä; tällä hetkellä Venäjän kopek = 1/100 ruplaa.

Mittausjärjestelmät kuljettavat murto-osia: 1 senttimetri \u003d 1/10 desimetri \u003d 1/100 metri.

Murtoluvut olivat milloin tahansa muodissa. Kolmen neljäsosan hihatyyli on aina ajankohtainen. Ja 7/8 lyhennetyt housut ovat loistava vaate.

Voit tavata murto-osia eri tunneilla. Esimerkiksi maantieteessä: "Neuvostoliiton olemassaolon aikana Venäjä miehitti kuudesosan maasta. Nyt Venäjällä on yhdeksäsosa maasta. AT kuvataiteet- kun kuvataan ihmishahmoa. Musiikissa - rytmi, musiikkikappaleen koko.

Ihminen kohtaa sanan "murto" elämässään:

Pienet lyijypallot ampumiseen metsästyskivääristä - ammuttu.

Toistuvia, katkonaisia ​​ääniä - rummutusta.

Merivoimissa joukkue "ampui!" - tulitauko.

Talon numerointi. Murtoluku on sijoitettu taloihin, jotka on numeroitu kahden risteävän kadun varrelle.

Tanssissa ammuttu. Venäläistä kansantanssia ei voi kuvitella ilman murtolukuja ja juoksua.

Murto-osan lyöminen hampaillasi - lyödä hampailla (väreet kylmästä, säikähdys).

Fiktiossa. Viktor Dragunskyn tarinan "Sinulla täytyy olla huumorintajua" sankari Deniska kysyi kerran ystävältään Mishalta ongelman: kuinka jakaa kaksi omenaa kolmeen tasaisesti? Ja kun Mishka lopulta luovutti, hän ilmoitti voitokkaasti vastauksen: "Keitä kompottia!" Bear ja Denis eivät olleet vielä käyneet läpi murtolukuja ja tiesivät varmasti, että 2:lla 3 ei ole jaollinen?

Tarkkaan ottaen "keittokompotti" on toimia murtolukujen kanssa. Leikataan omenat paloiksi ja lisätään ja vähennetään, kerrotaan ja jaetaan näiden osien määrät - kuka meidät estää? .. On vain tärkeää muistaa kuinka monta pientä palaa muodostaa kokonaisen omenan...

Mutta tämä ei ole ainoa ratkaisu tähän ongelmaan! Jokainen omena on jaettava kolmeen osaan ja jaettava kaikille kolmelle kaksi tällaista osaa.

Monien vuosisatojen ajan kansojen kielillä murto-osaa kutsuttiin katkenneeksi luvuksi. Sinun on esimerkiksi jaettava jotain tasapuolisesti, esimerkiksi karkki, omena, pala sokeria jne. Tätä varten pala sokeria on jaettava tai jaettava kahteen yhtä suureen puolikkaaseen. Samoin on numeroiden kanssa, jotta puolet saadaan, yksi yksikkö on jaettava tai "rikottava" kahteen osaan. Tästä johtuu nimi "rikkinäiset" numerot.

Murtolukuja on kolmen tyyppisiä:

1. Yksittäiset (alikvootit) tai jakeet (esimerkiksi 1/2, 1/3, 1/4 jne.).

2. Systemaattiset eli murtoluvut, joissa nimittäjä ilmaistaan ​​luvun potenssilla (esimerkiksi potenssilla 10 tai 60 jne.).

3. Yleisnäkymä, jonka osoittaja ja nimittäjä voivat olla mikä tahansa luku.

On murto-osia "false" - väärä ja "todellinen" - oikein.

Matematiikan murtoluku on matemaattisten suureiden esitysmuoto jakooperaatiolla, joka alun perin heijastaa ei-kokonaislukujen tai murtolukujen käsitettä. Yksinkertaisimmassa tapauksessa - numeerinen murtoluku - kahden luvun suhde

Murtoluvussa m / n (lue: "em nth") rivin yläpuolella olevaa lukua m kutsutaan osoittajaksi ja numeroa n rivin alapuolella nimittäjäksi. Nimittäjä näyttää kuinka moneen yhtä suureen osaan kokonaisuus on jaettu, ja osoittaja näyttää kuinka monta tällaista osaa on otettu. Murtoluvun viiva voidaan ymmärtää jaon merkkinä.

Ensimmäinen eurooppalainen tiedemies, joka alkoi käyttää ja levittää nykyaikaista murtolukurekisteriä, oli italialainen kauppias ja matkustaja, kaupungin virkailijan Fibbonaccin (Pisan Leonardo) poika.

Vuonna 1202 hän otti käyttöön sanan "fraktio".

Nimet osoittaja ja nimittäjä otti käyttöön 1200-luvulla Maxim Planud, kreikkalainen munkki, tiedemies ja matemaatikko.

Nykyaikainen murtolukujen kirjoitusjärjestelmä luotiin Intiassa. Vain siellä he kirjoittivat nimittäjän päälle ja osoittajan alaosaan, eivätkä kirjoittaneet murto-osaa. Ja kirjoita murtoluvut muistiin, koska arabit ovat nyt aloittaneet. Keskiajan murtolukuihin kohdistuvia toimia pidettiin matematiikan vaikeimpana osa-alueena. Tähän asti saksalaiset sanovat henkilöstä, joka on vaikeassa tilanteessa, että hän "pudottui murto-osiin".

Tavallisilla murtoluvuilla oli myös rooli musiikissa. Ja nyt tietyssä nuottikirjoituksessa pitkä nuotti - kokonaisuus - on jaettu puoliksi (kaksi kertaa lyhyemmäksi), neljänneksiksi, kuudestoistaosiksi ja kolmeksikymmeneksi sekunniksi. Siten minkä tahansa musiikkiteoksen rytminen kuvio, olipa se kuinka monimutkainen tahansa, määräytyy tavallisilla murtoluvuilla. Harmonia osoittautui läheisesti liittyväksi murtolukuihin, mikä vahvisti eurooppalaisten pääajatuksen: "Luku hallitsee maailmaa".

"Ihminen on kuin murto-osa: osoittaja on hän itse, ja nimittäjä on se, mitä hän ajattelee itsestään. Mitä suurempi nimittäjä, sitä pienempi murto-osa "(L.N. Tolstoi).

Tutkimuksen tärkeimmät tulokset

Murtolukuoppia pidettiin matematiikan vaikeimpana osa-alueena kaikkina aikoina ja kaikkien kansojen keskuudessa. Ne, jotka tunsivat murtoluvut, pidettiin suuressa arvossa. 1400-luvun vanhan slaavilaisen käsikirjoituksen kirjoittaja. kirjoittaa: "Ei ole yllättävää, että ... kokonaisuutena, mutta on kiitettävää, että osakkeina ...".

Työskennellessään opin paljon uutta ja mielenkiintoista. Luen monia kirjoja ja osioita tietosanakirjoista. Tutustuin ensimmäisiin murtolukuihin, joita ihmiset operoivat, alikvootin murto-osuuden käsitteeseen, opin minulle uusia nimiä tutkijoista, jotka osallistuivat murto-opin kehittämiseen. Työtä tehdessäni opin paljon uutta, uskon, että tästä tiedosta on hyötyä opinnoissani.

Johtopäätös: Murtolukujen tarve syntyi ihmisen kehityksen hyvin varhaisessa vaiheessa. Elämässä ihmisen ei tarvinnut vain laskea esineitä, vaan myös mitata määriä. Ihmiset mittasivat pituuksia, pinta-aloja, tilavuuksia, kappaleiden massoja, aikaa ja suorittivat maksuja ostetuista tai myydyistä tavaroista. Mittaustulosta tai tavaroiden hintaa ei aina voitu ilmaista luonnollisilla luvuilla. Näin syntyivät murtoluvut ja niiden käsittelysäännöt.

Työn käytännön merkitys

Hallitsen tekstieditorissa työskentelyn taidot ja työskentelin Internet-resurssien parissa. Valitsin materiaalin matematiikan luokkahuoneen "Matematiikka ympärillämme" -osaston suunnitteluun, jossa on mielenkiintoisia faktoja murtoluvuista (Liite). Ja suunnitteli jalustan (Liite).

Tutkimuksen tuloksena vahvistin hypoteesin: ihmiset eivät pärjää ilman murtolukuja, ilman murtolukuja - matematiikka ei voinut kehittyä.

Bibliografinen linkki

Teoksen teksti on sijoitettu ilman kuvia ja kaavoja.
Täysversio työ on saatavilla "Työtiedostot" -välilehdeltä PDF-muodossa

Johdanto

Murtolukujen tutkimista sanelee elämä itse. Kyky suorittaa erilaisia ​​laskelmia ja laskelmia on välttämätöntä jokaiselle ihmiselle, koska törmäämme arkielämässä murtolukuihin. Halusin tietää, mistä näiden numeroiden nimi tuli; joka keksi nämä numerot, on koulussa opiskelemaansa aihe "Murtoluvut", joka on tarpeellinen elämässäni.

Tutkimuksen kohde: yhteisten murtolukujen historiaa.

Opintojen aihe: tavallisia murtolukuja.

Hypoteesi: Jos murtolukuja ei olisi, voisiko matematiikka kehittyä?

Tavoite: Suunnittelemme matematiikan luokkahuoneessa ”Matematiikka ympärillämme” -telinettä, jossa on mielenkiintoisia faktoja murtoluvuista.

Tehtävät:

Tutkia murtolukujen esiintymisen historiaa matematiikassa;

Valitse mielenkiintoisimmat faktat murtoluvuista, joita voidaan käyttää jalustan osien muodostamiseen.

Perusta matematiikan luokkahuoneeseen koppi.

Eläessämme murto-osien ympäristössä emme aina huomaa niitä selvästi. Siitä huolimatta kohtaamme sen hyvin usein: kotona, kadulla, kaupassa. Aamulla herätessämme katsomme herätyskelloa ja tapaamme murtolukuja. Käytämme murtolukuja tavaroiden punnitsemisessa myymälässä. Mittauksissa lastin tilavuutta määritettäessä. Murto-osat ympäröivät meitä kaikkialla. Murtolukujen avulla voimme mitata pituuksia, jakaa kokonaisuuden osiin. Mutta kuinka mitata henkilön korkeus tai esineiden välinen etäisyys ilman murtolukuja? Ympärillä - murto-osia!

Merkityksellisyys: Nykyajan elämä tekee murto-osien ongelmista merkityksellisiä, koska murtolukujen käytännön soveltamisalue laajenee.

Tutkimusmenetelmät:

1. Etsi tietoa murtoluvuista eri lähteistä: Internetistä, kaunokirjallisuudesta, oppikirjoista.

2. Tiedon analysointi, vertailu, yleistäminen ja systematisointi.

1. Tavallisten murtolukujen historiasta

1.1. Murtolukujen syntyminen

Muinaisista ajoista lähtien ihmisten piti elintärkeiden käytännön asioiden ratkaisemiseksi laskea esineitä ja mitata määriä eli vastata kysymyksiin "Kuinka monta?": Kuinka monta lammasta on laumassa, kuinka monta mittaa viljaa kerätään. kentältä, kuinka monta mailia läänin keskustasta jne. Joten numerot ilmestyivät. Mittaustulosta tai tavaroiden hintaa ei aina voitu ilmaista luonnollisilla luvuilla. Kun henkilön piti keksiä uusia - murtolukuja, murtoluvut ilmestyivät. Muinaisina aikoina kokonaislukuja ja murtolukuja käsiteltiin eri tavalla: mieltymykset olivat kokonaislukujen puolella. "Jos haluat jakaa yksikön, matemaatikot pilkkaavat sinua eivätkä salli sinun tehdä tätä", Platon, Ateenan Akatemian perustaja, kirjoitti.

Kaikissa sivilisaatioissa murto-osan käsite syntyi kokonaisuuden jakamisesta yhtä suuriin osiin. Venäjän termi "fraktio", kuten sen vastineet muilla kielillä, tulee latinasta. "fractura", joka puolestaan ​​on käännös arabialaisesta termistä, jolla on sama merkitys: murtaa, murskata. Siksi luultavasti ensimmäiset murtoluvut kaikkialla olivat muodon 1/n murto-osia. Jatkokehitys menee luonnollisesti siihen suuntaan, että näitä murtolukuja pidetään yksiköinä, joista voidaan muodostaa murtolukuja m/n - rationaalilukuja. Kaikki sivilisaatiot eivät kuitenkaan kulkeneet tätä polkua: esimerkiksi muinaisessa egyptiläisessä matematiikassa sitä ei koskaan toteutettu.

Ensimmäinen murto-osa, jonka ihmiset tapasivat, oli puolet. Vaikka kaikkien seuraavien murtolukujen nimet liittyvät niiden nimittäjien nimiin (kolme - "kolmas", neljä - "neljännes" jne.), tämä ei päde puoleen - sen nimellä ei ole kaikilla kielillä mitään liittyy sanaan "kaksi".

Murtolukujen kirjausjärjestelmä, niiden kanssa työskentelyn säännöt erosivat huomattavasti sekä eri kansojen välillä että eri aikoina samojen ihmisten kesken. Myös lukuisat ideoiden lainaukset eri sivilisaatioiden välisten kulttuurikontaktien aikana olivat tärkeitä.

1.2. Murtoluvut Venäjällä

Venäjän kielessä sana "fraktio" ilmestyi VIII vuosisadalla, se tulee verbistä "murskaa" - murtaa, hajota paloiksi. Nykyaikainen fraktioiden nimitys on peräisin muinaisesta Intiasta: myös arabit alkoivat käyttää sitä.

Vanhoista käsikirjoista löydämme seuraavat Venäjällä olevien murto-osien nimet:

Slaavilaista numerointia käytettiin Venäjällä 1500-luvulle asti, sitten desimaalilukujärjestelmä alkoi vähitellen tunkeutua maahan. Lopulta hän korvasi slaavilaisen numeroinnin Pietari I:llä.

Maamitta käytettiin Venäjällä neljäsosaa ja pienempää - puoli neljäsosaa, jota kutsuttiin mustekalaksi. Nämä olivat erityisiä murto-osia, yksiköitä maan pinta-alan mittaamiseksi, mutta mustekala ei pystynyt mittaamaan aikaa tai nopeutta jne. Paljon myöhemmin mustekala alkoi tarkoittaa abstraktia murto-osaa 1/8, joka voi ilmaista mitä tahansa arvo. Murtolukujen käytöstä Venäjällä 1600-luvulla voidaan lukea seuraavaa V. Bellyustinin kirjasta ”Kuinka ihmiset vähitellen päätyivät oikeaan aritmetiikkaan”: ”1600-luvun käsikirjoituksessa. "Asetuksen kaikkia osakkeita koskeva artikla "alkaa suoraan murtolukujen kirjallisella merkinnällä ja osoittajan ja nimittäjän ilmoittamisella. Murtolukuja lausuttaessa mielenkiintoisia ovat seuraavat ominaisuudet: neljättä osaa kutsuttiin neljännekseksi, kun taas osuudet, joiden nimittäjä on 5-11, ilmaistiin sanoilla päätteellä "ina", joten 1/7 on viikko, 1/5 on viisi, 1/10 on kymmenys; osuudet, joiden nimittäjä on suurempi kuin 10, lausuttiin sanoilla "varsat", esimerkiksi 5/13 - viisi kolmastoista erää. Murtolukujen numerointi on lainattu suoraan länsimaisista lähteistä. Osoittajaa kutsuttiin ylimmäksi numeroksi, nimittäjä alimmaksi numeroksi.

1.3. Murtoluvut muissa antiikin valtioissa

Kaikki pisteytyssäännöt muinaiset egyptiläiset perustuu kykyyn lisätä ja vähentää, kaksinkertaistaa ja täydentää murtolukuja yhdeksi. Murtoluvuille oli erityisiä merkintöjä. Egyptiläiset käyttivät muodon 1/n murtolukuja, joissa n on luonnollinen luku. Tällaisia ​​murtolukuja kutsutaan alikvootti. Joskus m:n jakamisen sijaan he kertoivat m ∙ n:n.

Tätä varten käytettiin erityisiä pöytiä. Minun on sanottava, että murtoluvuilla tehdyt toimet olivat egyptiläisen aritmeettisen ominaisuuden ominaisuus, jossa yksinkertaisimmat laskelmat muuttuivat joskus monimutkaisiksi ongelmiksi. (Liite 3)

Tämä taulukko auttoi tekemään monimutkaisia ​​aritmeettisia laskelmia hyväksyttyjen kanonien mukaisesti. Ilmeisesti kirjanoppineet oppivat sen ulkoa, aivan kuten koululaiset muistavat nyt kertotaulukon. Tämän taulukon avulla suoritettiin myös lukujen jako. Egyptiläiset osasivat myös kertoa ja jakaa murto-osia. Mutta kertomista varten sinun piti kertoa murtoluvut murtoluvuilla ja sitten ehkä käyttää taulukkoa uudelleen. Jako oli vielä vaikeampaa.

Egyptiläiset tiesivät jo muinaisina aikoina jakaa 2 omenaa kolmeen: tätä numeroa varten heillä oli jopa erityinen merkki. Muuten, tämä oli ainoa murto-osa egyptiläisten kirjanoppineiden jokapäiväisessä elämässä, jolla ei ollut yksikköä osoittajassa - kaikkien muiden murtolukujen osoittajassa oli varmasti 1 (ns. perusmurto): 1/2, 1/ 3, 1/17, ... ja jne. Tämä asenne murtolukuja kohtaan oli olemassa hyvin pitkään. Muinaisen Egyptin sivilisaatio on jo menehtynyt, Saharan hiekka nielaisi aikoinaan vihreän maan, ja kaikki murto-osat laskettiin tärkeimpien osien summaan - aina renessanssiin asti!

Kiinassa lähes kaikki aritmeettiset operaatiot tavallisilla murtoluvuilla perustettiin 2. vuosisadalla eKr. eKr e.; ne on kuvattu muinaisen Kiinan matemaattisen tiedon peruskorpuksessa - "Matematiikkaa yhdeksässä kirjassa", jonka viimeinen painos kuuluu Zhang Tsangille. Kiinalaiset matemaatikot vähensivät murtolukuja laskemalla Euklidesin algoritmia vastaavan säännön (osoittimen ja nimittäjän suurin yhteinen jakaja) perusteella. Murtolukujen kertominen esitettiin suorakaiteen muotoisen tontin alueen löytämiseksi, jonka pituus ja leveys ilmaistaan ​​murtolukuina. Jakoa pohdittiin jako-ajatuksen avulla, kun taas kiinalaiset matemaatikot eivät hämmentyneet, että jakoon osallistujamäärä voisi olla murto-osa, esimerkiksi 3⅓ henkilöä.

Aluksi kiinalaiset käyttivät yksinkertaisimpia murtolukuja, jotka nimettiin käyttämällä bani-hieroglyfiä:

bani ("puoli") -12;

shao ban ("pieni puolisko") -13;

tai ban ("iso puoli") -23. Se on mielenkiintoista babylonialaiset mieluummin vakio nimittäjä (vastaa 60, koska ilmeisesti niiden numerojärjestelmä oli seksagesimaalinen).

roomalaiset käytti myös vain yhtä nimittäjää, joka on 12.

Tavallisen murto-osan käsitettä kehitettiin edelleen vuonna Intia. Tämän maan matemaatikot pystyivät nopeasti siirtymään yksikkömurtoluvuista yleisen muodon murtolukuihin. Ensimmäistä kertaa tällaiset jakeet löytyvät Apastamban (VII-V vuosisata eKr.) "köyden säännöistä", jotka sisältävät geometrisia rakenteita ja joidenkin laskelmien tuloksia. Intiassa käytettiin kirjoitusjärjestelmää - mahdollisesti kiinalaista ja mahdollisesti myöhäiskreikkalaista alkuperää - jossa murtoluvun osoittaja kirjoitettiin nimittäjän yläpuolelle - kuten meillä, mutta ilman murtoviivaa, mutta koko murto-osa sijoitettiin suorakaiteen muotoinen kehys.

Intialainen fraktioiden nimitys ja niiden kanssa työskentelysäännöt otettiin käyttöön 800-luvulla. muslimimaissa Khorezmin Muhammadin (al-Khwarizmi) ansiosta. Islamilaisten maiden kauppakäytännössä yksittäisiä murtolukuja käytettiin laajalti, tieteessä seksagesimaalimurtolukuja ja paljon vähemmässä määrin tavallisia murtolukuja.

Viihdyttäviä fraktioita

"Ilman murtolukuja ketään ei voida tunnistaa tietäväksi aritmetiikkaa!" (Cicero)

Aina kun ihmiset käyttävät rahaa, he kohtaavat aina murto-osia: keskiajalla 1 Englannin penni = 1/12 shillinkiä; tällä hetkellä Venäjän kopek = 1/100 ruplaa.

Mittausjärjestelmät kuljettavat murto-osia: 1 senttimetri \u003d 1/10 desimetri \u003d 1/100 metri.

Murtoluvut olivat milloin tahansa muodissa. Kolmen neljäsosan hihatyyli on aina ajankohtainen. Ja 7/8 lyhennetyt housut ovat loistava vaate.

Voit tavata murto-osia eri tunneilla. Esimerkiksi maantieteessä: "Neuvostoliiton olemassaolon aikana Venäjä miehitti kuudesosan maasta. Nyt Venäjällä on yhdeksäsosa maasta. Kuvataiteissa - kun kuvataan ihmishahmoa. Musiikissa - rytmi, musiikkikappaleen koko.

Ihminen kohtaa sanan "fraktio" elämässä:

Pienet lyijypallot ampumiseen metsästyskivääristä - ammuttu.

Toistuvia, katkonaisia ​​ääniä - rummutusta.

Merivoimissa joukkue "ampui!" - tulitauko.

Talon numerointi. Murtoluku on sijoitettu taloihin, jotka on numeroitu kahden risteävän kadun varrelle.

Tanssissa ammuttu. Venäläistä kansantanssia ei voi kuvitella ilman murtolukuja ja juoksua.

Murto-osan lyöminen hampaillasi - lyödä hampailla (väreet kylmästä, säikähdys).

Fiktiossa. Viktor Dragunskyn tarinan "Sinulla täytyy olla huumorintajua" sankari Deniska kysyi kerran ystävältään Mishalta ongelman: kuinka jakaa kaksi omenaa kolmeen tasaisesti? Ja kun Mishka lopulta luovutti, hän ilmoitti voitokkaasti vastauksen: "Keitä kompottia!" Bear ja Denis eivät olleet vielä käyneet läpi murtolukuja ja tiesivät varmasti, että 2:lla 3 ei ole jaollinen?

Tarkkaan ottaen "keittokompotti" on toimia murtolukujen kanssa. Leikataan omenat paloiksi ja lisätään ja vähennetään, kerrotaan ja jaetaan näiden osien määrät - kuka meidät estää? .. On vain tärkeää muistaa kuinka monta pientä palaa muodostaa kokonaisen omenan...

Mutta tämä ei ole ainoa ratkaisu tähän ongelmaan! Jokainen omena on jaettava kolmeen osaan ja jaettava kaikille kolmelle kaksi tällaista osaa.

Monien vuosisatojen ajan kansojen kielillä murto-osaa kutsuttiin katkenneeksi luvuksi. Sinun on esimerkiksi jaettava jotain tasapuolisesti, esimerkiksi karkki, omena, pala sokeria jne. Tätä varten pala sokeria on jaettava tai jaettava kahteen yhtä suureen puolikkaaseen. Sama pätee numeroihin, jotta puolet saadaan, yksi yksikkö täytyy jakaa tai "murtaa" kahteen osaan. Tästä johtuu nimi "rikkinäiset" numerot.

Murtolukuja on kolmen tyyppisiä:

Yksittäiset (alikvootit) tai jakeet (esim. 1/2, 1/3, 1/4 jne.).

Systemaattiset eli murtoluvut, joissa nimittäjä ilmaistaan ​​luvun potenssilla (esimerkiksi potenssilla 10 tai 60 jne.).

Yleinen muoto, jossa osoittaja ja nimittäjä voivat olla mikä tahansa luku.

On murto-osia "false" - väärä ja "todellinen" - oikein.

Murtoluku matematiikassa- matemaattisten suureiden esitysmuoto jakooperaatiolla, joka alun perin heijastaa ei-kokonaislukujen tai murtolukujen käsitettä. Yksinkertaisimmassa tapauksessa murto-osa on kahden luvun suhde.

m:n=m/n

Murto-osa m/ n (lue: “em n”) numero m viivan yläpuolella olevaa numeroa kutsutaan osoittajaksi ja viivan alapuolella olevaa lukua n nimittäjäksi. Nimittäjä näyttää kuinka moneen yhtä suureen osaan kokonaisuus on jaettu, ja osoittaja näyttää kuinka monta tällaista osaa on otettu. Murtoluvun viiva voidaan ymmärtää jaon merkkinä.

Ensimmäinen eurooppalainen tiedemies, joka alkoi käyttää ja levittää nykyaikaista murtolukurekisteriä, oli italialainen kauppias ja matkustaja, kaupungin virkailijan Fibbonaccin (Pisan Leonardo) poika.

Vuonna 1202 hän otti käyttöön sanan "fraktio".

Nimet osoittaja ja nimittäjä otti käyttöön 1200-luvulla Maxim Planud, kreikkalainen munkki, tiedemies ja matemaatikko.

Nykyaikainen murtolukujen kirjoitusjärjestelmä luotiin Intiassa. Vain siellä he kirjoittivat nimittäjän päälle ja osoittajan alaosaan, eivätkä kirjoittaneet murto-osaa. Ja kirjoita murtoluvut muistiin, koska arabit ovat nyt aloittaneet. Keskiajan murtolukuihin kohdistuvia toimia pidettiin matematiikan vaikeimpana osa-alueena. Tähän asti saksalaiset sanovat henkilöstä, joka on vaikeassa tilanteessa, että hän "pudottui murto-osiin".

Tavallisilla murtoluvuilla oli myös rooli musiikissa. Ja nyt tietyssä nuottikirjoituksessa pitkä nuotti - kokonaisuus - on jaettu puoliksi (puolet lyhyemmäksi), neljänneksiksi, kuudestoistaosiksi ja kolmeksikymmeneksi sekunniksi. Siten minkä tahansa musiikkiteoksen rytminen kuvio, olipa se kuinka monimutkainen tahansa, määräytyy tavallisilla murtoluvuilla. Harmonia osoittautui läheisesti liittyväksi murtolukuihin, mikä vahvisti eurooppalaisten pääajatuksen: "Luku hallitsee maailmaa".

"Ihminen on kuin murto-osa: osoittaja on hän itse, ja nimittäjä on se, mitä hän ajattelee itsestään. Mitä suurempi nimittäjä, sitä pienempi murto-osa "(L.N. Tolstoi).

Tutkimuksen tärkeimmät tulokset

Murtolukuoppia pidettiin matematiikan vaikeimpana osa-alueena kaikkina aikoina ja kaikkien kansojen keskuudessa. Ne, jotka tunsivat murtoluvut, pidettiin suuressa arvossa. 1400-luvun vanhan slaavilaisen käsikirjoituksen kirjoittaja. kirjoittaa: "Ei ole yllättävää, että ... kokonaisuutena, mutta on kiitettävää, että osakkeina ...".

Työskennellessään opin paljon uutta ja mielenkiintoista. Luen monia kirjoja ja osioita tietosanakirjoista. Tutustuin ensimmäisiin murtolukuihin, joita ihmiset operoivat, alikvootin murto-osuuden käsitteeseen, opin minulle uusia nimiä tutkijoista, jotka osallistuivat murto-opin kehittämiseen. Työtä tehdessäni opin paljon uutta, uskon, että tästä tiedosta on hyötyä opinnoissani.

Johtopäätös: Murtolukujen tarve syntyi ihmisen kehityksen varhaisessa vaiheessa. Elämässä ihmisen ei tarvinnut vain laskea esineitä, vaan myös mitata määriä. Ihmiset mittasivat pituuksia, pinta-aloja, tilavuuksia, kappaleiden massoja, aikaa ja suorittivat maksuja ostetuista tai myydyistä tavaroista. Mittaustulosta tai tavaroiden hintaa ei aina voitu ilmaista luonnollisilla luvuilla. Näin syntyivät murtoluvut ja niiden käsittelysäännöt.

Työn käytännön merkitys:

Hallitsen tekstieditorissa työskentelyn taidot ja työskentelin Internet-resurssien parissa. Valitsin materiaalin koristeluun osastolla "Matematiikka ympärillämme" matematiikan luokkahuoneessa mielenkiintoisia faktoja murtoluvuista (Liite 1). Ja suunnitteli jalustan (Liite).

Tutkimuksen tuloksena Vahvistin hypoteesin: ihmiset eivät tule toimeen ilman murtolukuja, ilman murtolukuja - matematiikka ei voinut kehittyä.

Bibliografia

Anishchenko EA Number matematiikan peruskäsitteenä. Mariupol, 2002.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematiikka. Luokka 5: oppikirja oppilaitoksille / - 26. painos, Sr. - M.: Mnemosyne, 2009. - 280 s.

Geysir G.I. Matematiikan historia koulussa. Opas opettajille. - M.: Enlightenment, 1981. - 239 s.

Matematiikka. Luokka 5: yleissivistävän oppikirja. toimielimiin. [CM. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin]. - 11. painos, tarkistettu. - M .: Koulutus, 2016. - 272 s. - (MSU - koulu).

Matemaattinen tietosanakirja. - M., 1988.

Elektroniset etäresurssit (Internet)

1. Dragunsky V. "Sinulla täytyy olla huumorintajua." Pääsytila : http://peskarlib.ru/lib.php?id_sst=248

   Murtolukujen historiasta. Käyttötila: http://schools.keldysh.ru/sch1905/drobi/history.htm -

3. Materiaali Wikipediasta - vapaasta tietosanakirjasta. Käyttötila: http://ru.wikipedia.org/wiki

Lainausmerkit. Käyttötila: http://citaty.socratify.net/lev-tolstoi/25013.

Sovellukset

Seiso "Matematiikka ympärillämme"

Taulukko "Merkeiden kirjaaminen Egyptissä"

» artikkeli ««. Artikkeli on vastaus lukijoidemme kysymykseen: ”Lapsemme on kiinnostunut matematiikasta. Mitä "murto-osien" aiheesta voidaan tarjota mielenkiintoista, hyödyllistä, epätavallista, kehittyvää. Emme pidä paloiksi leikatuista kakuista."

Murtolukujen visuaalinen symmetria on vastauksemme. Yleisesti ottaen matematiikka on tiedettä. Se kehitettiin alun perin tieteenä vuonna korkein aste konkreettinen, todellinen. Hänen aiheensa olivat todellisia esineitä, esineitä, esineitä. Mutta sitten, alkaen Pythagoras ja hänen kuuluisa neliö, matematiikka alkoi mennä abstrakti. Eli ei liity tosielämän todellisuuteen.

Tästä voi tietysti olla hyötyä laskettaessa erilaisia ​​korkeampia asioita. Mutta kun opettelet perusasiat matematiikka on parasta turvautua niin paljon kuin mahdollista materiaalia esimerkkejä.

Eli minimitoimintoja mielessä, maksimi toimia massojen kanssa.

Tämä toimii, vaikka opiskelija olisi 18-vuotias ja kaipaa kiireellisesti parantaa matematiikkaa. Ota vähän aikaa antaaksesi aiheen massa, olennaisuus - ja oppiminen sujuu paljon nopeammin.

Tästä näkökulmasta kakut ovat eniten sitä (paitsi hampaat eivät ehkä ole kovin hyviä 🙂). Mutta on paljon helpompaa ja paljon halvempaa käyttää oksia, tikkuja. Mitkä lapset voivat jakaa ITSENÄISESTI tarvittaviin osiin.

Tietysti aluksi se on vain risupuuta. Mutta vähitellen, vähitellen, voit päästä asiaan. Esimerkiksi murto-osien symmetriaan.

Joten olennaisuuden perusteella ja kysymyksen huomioon ottaen kuvataan materiaalia, jota koulussa ei yleensä oteta huomioon.

Murtolukujen visuaalinen symmetria on sekä tiedettä, estetiikkaa että kehitystä.

Metodologiset kysymykset

Kuvat perässä. Ilman pienintäkään kysymystä kuvien näyttäminen lapsille on käytännössä HYÖDYTTÄ. Parhaimmillaan he sanovat kohteliaasti "vau..." ja menevät pelaamaan tietokonetta.

Kuvien sijaan pitäisi olla aitoja, kovia esineitä . Esimerkiksi oksat, jotka hän rikkoi tarvittaviin osiin. Huomaa, että tästä lähtien murto-osia(sanasta "murskaa"), niin sinun ei pitäisi antaa tulitikkuja jne. ja pyydä luopumaan niistä. Sen on oltava jotain kokonaista, joka on jaettu tarpeellisiin osiin.

Jos istutat lapsen alas ja laitat oksat hänen eteensä alla ehdotetussa muodossa, hän saattaa jopa olla kiinnostunut. Mutta ei enempää. Ja jos pyydät häntä toistamaan näkemänsä viiden päivän kuluttua, hän ei pysty siihen. Toisin sanoen hän oli yksinkertaisesti yllättynyt, koska he ovat yllättyneitä hyödyttömistä, mutta hauskoista faktoista (kuten "jos laitat kaikki verisuonet samaan riviin, voit kääriä koko elefanttilauman paksuun koteloon").

Jos haluat lapselle etuja, niin hän SAM:n on lähdettävä esiin ja asetettava ulos alla ehdotetut säännöt. Kaikkea ei tietenkään tarvitse tehdä kerralla.

1. Pikkuhiljaa, tikku tikulta, valmis piirros.
2. Ole hyvä ja etsi malleja.
3. Aika "ajatella" - ehkä päivä ja ehkä viikko.
4. Kirjoita löydetty malli muistiin.
5. Tarkista malli käytännössä.

Tämän jälkeen voit siirtyä seuraavaan kuvioryhmään.

Itse asiassa murto-osien symmetria.

Kiinnitä huomiota piirustukseen.

On olemassa symmetria, joka muodostuu kokonaisuuden murto-osista. Symmetriaa on kahdessa muodossa:

• visuaalinen, kuvaannollinen
• visuaalinen, numeerinen.

Joten siitä ei tullut vain kaunis sileä käyrä. Numeerinen kuvio: ensin murto-osan yläosassa - yksi ja alaosassa numero pienenee yhdellä. Ja 1/2 jälkeen on toinen kuvio - sekä ylempi että alempi numero kasvaa yhdellä.

Itse asiassa filosofinen kysymys: miksi nimittäjän (tai osoittajan ja nimittäjän) lisääminen yhdellä antaa kauniin tasaisen käyrän?

Ehkä lapset löytävät vastauksen kysymykseen 🙂

Varsinkin jos noudatat ohjeiden vaiheita 1-5.

Nyt siirrytään toiseen murto-osien symmetriahetkeen. Sama piirros, mutta pienellä lisäyksellä:

Kuten näette, osoittajan ja nimittäjän muuttamisesta yksi on peilisymmetrinen.

Nyt seuraava symmetrian hetki. Leikkaa kaavio 4 osaan ja peilataan vasen yläkulma. Saat tämän kuvan:

Samaa mieltä, symmetriaa on enemmän. Mutta meillä on edelleen valkoinen täyttämätön keskus. Se on symmetrinen... Ehkä siinä on jokin kuvio? Tarkistetaan:

Niin kyllä! Sekä osoittaja että nimittäjä pienennetään yhdellä. Mutta ero osoittajan ja nimittäjän välillä on erilainen - 2 yksikköä.

Nyt on aika muistaa, että murtolukuja voidaan pienentää:

Se on mielenkiintoista, mutta myös tässä symmetria - osoittaja ja nimittäjä pienennetään yhdellä. Lisäksi niiden välinen ero on yksi.

Mutta meillä on edelleen tyhjiä soluja ... jotka ovat luultavasti myös luonnollisia:

Ja taas asiaan! Sama kuvio on vähennys yhdellä ja ero on yksi.

Tässä on mielenkiintoisia asioita murto-osien symmetriasta. Kun olet oppinut kuvion, voit löytää symmetrian mistä tahansa murtoluvusta millä tahansa tavalla.

Vinkki vanhemmille (tai jotain, mitä lapsen olisi mukava ymmärtää):

Säännöllinen muutos antaa symmetrisen kuvion.

Meidän tapauksessamme murtoluvut muuttuvat luonnollisesti. Mutta tämä koskee myös kaikkia muita ilmiöitä ympäröivässä maailmassa.

Etkö usko? Tarkista se! 🙂

Kirjoita palautteesi ja vinkkisi kommentteihin!