Tutki homogeenisen järjestelmän ei-triviaalin ratkaisun olemassaoloa. Mikä on homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Lineaaristen järjestelmien ratkaisu algebralliset yhtälöt(SLAE) on epäilemättä tärkein aihe lineaarialgebran kurssilla. Suuri määrä Kaikkien matematiikan alojen ongelmat rajoittuvat järjestelmien ratkaisemiseen lineaariset yhtälöt. Nämä tekijät selittävät tämän artikkelin syyn. Artikkelin materiaali on valittu ja jäsennelty niin, että sen avulla voit

• valita optimaalinen menetelmä lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi,
• opiskella valitun menetelmän teoriaa,
• ratkaise lineaariyhtälöjärjestelmäsi harkitsemalla yksityiskohtaisia ​​ratkaisuja tyypillisiin esimerkkeihin ja ongelmiin.

Lyhyt kuvaus artikkelimateriaalista.

Ensin annamme kaikki tarvittavat määritelmät, käsitteet ja esittelemme merkinnät.

Seuraavaksi tarkastellaan menetelmiä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, joissa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä ja joilla on ainutlaatuinen ratkaisu. Ensinnäkin keskitymme Cramer-menetelmään, toiseksi näytämme matriisimenetelmän tällaisten yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi, kolmanneksi analysoimme Gaussin menetelmää (menetelmä peräkkäinen eliminointi tuntemattomat muuttujat). Teorian vahvistamiseksi ratkaisemme varmasti useita SLAE-ratkaisuja eri tavoilla.

Tämän jälkeen siirrytään ratkaisemaan yleismuotoisia lineaarisia algebrallisia yhtälöjärjestelmiä, joissa yhtälöiden lukumäärä ei ole sama kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä tai järjestelmän päämatriisi on singulaarinen. Muotoilkaamme Kronecker-Capelli-lause, jonka avulla voimme määrittää SLAE:n yhteensopivuuden. Analysoidaan järjestelmien ratkaisua (jos ne ovat yhteensopivia) konseptin avulla alaikäinen matriiseja. Tarkastellaan myös Gaussin menetelmää ja kuvataan yksityiskohtaisesti esimerkkien ratkaisut.

Pysähdymme ehdottomasti lineaaristen algebrallisten yhtälöiden homogeenisten ja epähomogeenisten järjestelmien yleisen ratkaisun rakenteeseen. Esitetään perusratkaisujärjestelmän käsite ja osoitetaan, kuinka SLAE:n yleinen ratkaisu kirjoitetaan käyttämällä perusratkaisujärjestelmän vektoreita. Paremman ymmärtämisen vuoksi katsotaanpa muutama esimerkki.

Lopuksi tarkastelemme yhtälöjärjestelmiä, jotka voidaan pelkistää lineaarisiksi, samoin kuin erilaisia ​​tehtäviä, joiden ratkaisussa SLAE syntyy.

Sivulla navigointi.

Määritelmät, käsitteet, nimitykset.

Tarkastellaan p lineaarisen algebrallisen yhtälön järjestelmiä, joissa on n tuntematonta muuttujaa (p voi olla yhtä suuri kuin n) muotoa

Tuntemattomat muuttujat, - kertoimet (jotkut reaali- tai kompleksiluvut), - vapaat termit (myös reaali- tai kompleksiluvut).

Tätä SLAE-tallennusmuotoa kutsutaan koordinoida.

SISÄÄN matriisimuoto tämän yhtälöjärjestelmän kirjoittamisella on muoto,
Missä - järjestelmän päämatriisi, - tuntemattomien muuttujien sarakematriisi, - vapaiden termien sarakematriisi.

Jos lisäämme matriisiin A (n+1) sarakkeena vapaiden termien matriisisarakkeen, saadaan ns. laajennettu matriisi lineaariset yhtälöt. Tyypillisesti laajennettu matriisi merkitään kirjaimella T, ja vapaiden termien sarake erotetaan pystyviivalla muista sarakkeista, eli

Lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen kutsutaan joukoksi tuntemattomien muuttujien arvoja, jotka muuttavat kaikki järjestelmän yhtälöt identiteeteiksi. Tuntemattomien muuttujien annetuille arvoille matriisiyhtälöstä tulee myös identiteetti.

Jos yhtälöjärjestelmällä on vähintään yksi ratkaisu, sitä kutsutaan liitos.

Jos yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja, sitä kutsutaan ei-nivel.

Jos SLAE:llä on ainutlaatuinen ratkaisu, sitä kutsutaan varma; jos ratkaisuja on useampi kuin yksi, niin epävarma.

Jos järjestelmän kaikkien yhtälöiden vapaat ehdot ovat nolla , niin järjestelmä kutsutaan homogeeninen, muuten - heterogeeninen.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden alkeisjärjestelmien ratkaiseminen.

Jos järjestelmän yhtälöiden määrä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien määrä ja sen päämatriisin determinantti ei ole nolla, tällaisia ​​SLAE:itä kutsutaan perus. Tällaisilla yhtälöjärjestelmillä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja homogeenisen järjestelmän tapauksessa kaikki tuntemattomat muuttujat ovat nollia.

Aloimme tutkia tällaisia ​​SLAE:ita vuonna lukio. Niitä ratkottaessa otimme yhden yhtälön, ilmaisimme yhden tuntemattoman muuttujan muilla ja korvasimme sen jäljellä olevilla yhtälöillä, otimme sitten seuraavan yhtälön, ilmaisimme seuraavan tuntemattoman muuttujan ja substituoimme sen muilla yhtälöillä ja niin edelleen. Tai he käyttivät summausmenetelmää, eli he lisäsivät kaksi tai useampia yhtälöitä joidenkin tuntemattomien muuttujien poistamiseksi. Emme käsittele näitä menetelmiä yksityiskohtaisesti, koska ne ovat olennaisesti Gaussin menetelmän muunnelmia.

Tärkeimmät menetelmät lineaaristen yhtälöiden alkeisjärjestelmien ratkaisemiseksi ovat Cramer-menetelmä, matriisimenetelmä ja Gaussin menetelmä. Selvitetään ne.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen Cramerin menetelmällä.

Oletetaan, että meidän on ratkaistava lineaarinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä

jossa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä ja järjestelmän päämatriisin determinantti on eri kuin nolla, eli .

Antaa olla determinantti päämatriisin järjestelmän, ja - A:sta korvaamalla saatujen matriisien determinantit 1., 2., …, n:s sarake vastaavasti vapaiden jäsenten sarakkeeseen:

Tällä merkinnällä tuntemattomat muuttujat lasketaan käyttämällä Cramerin menetelmän kaavoja as . Näin ratkaisu lineaariseen algebralliseen yhtälöjärjestelmään löydetään Cramerin menetelmällä.

Esimerkki.

Cramerin menetelmä .

Ratkaisu.

Järjestelmän päämatriisilla on muoto . Lasketaan sen determinantti (katso tarvittaessa artikkeli):

Koska järjestelmän päämatriisin determinantti ei ole nolla, järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka voidaan löytää Cramerin menetelmällä.

Tehdään ja lasketaan tarvittavat determinantit (saamme determinantin korvaamalla matriisin A ensimmäisen sarakkeen vapaiden termien sarakkeella, determinantin korvaamalla toisen sarakkeen vapaiden termien sarakkeella ja korvaamalla matriisin A kolmannen sarakkeen vapaiden termien sarakkeella) :

Tuntemattomien muuttujien etsiminen kaavoilla :

Vastaus:

Cramerin menetelmän suurin haittapuoli (jos sitä voidaan kutsua haitaksi) on determinanttien laskemisen monimutkaisuus, kun yhtälöiden lukumäärä järjestelmässä on enemmän kuin kolme.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen matriisimenetelmällä (käänteismatriisin avulla).

Olkoon lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä matriisimuodossa, jossa matriisin A mitat ovat n x n ja sen determinantti on nollasta poikkeava.

Koska , matriisi A on käänteinen, eli on olemassa käänteimatriisi. Jos kerromme yhtälön molemmat puolet vasemmalla, saadaan kaava tuntemattomien muuttujien matriisisarakkeen löytämiseksi. Näin saimme matriisimenetelmällä ratkaisun lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmään.

Esimerkki.

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä matriisimenetelmä.

Ratkaisu.

Kirjoitetaan yhtälöjärjestelmä uudelleen matriisimuotoon:

Koska

sitten SLAE voidaan ratkaista matriisimenetelmällä. Käyttämällä käänteinen matriisi ratkaisu tähän järjestelmään löytyy mm .

Muodostetaan käänteismatriisi käyttämällä matriisia matriisin A elementtien algebrallisista lisäyksistä (katso tarvittaessa artikkeli):

Jää vielä laskea tuntemattomien muuttujien matriisi kertomalla käänteismatriisi ilmaisten jäsenten matriisisarakkeeseen (katso tarvittaessa artikkeli):

Vastaus:

tai toisessa merkinnässä x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Suurin ongelma löydettäessä ratkaisuja lineaarisille algebrallisille yhtälöjärjestelmille matriisimenetelmällä on käänteismatriisin löytämisen monimutkaisuus, erityisesti neliömatriiseja tilaus korkeampi kuin kolmas.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen Gaussin menetelmällä.

Oletetaan, että meidän on löydettävä ratkaisu n lineaarisen yhtälön järjestelmälle, jossa on n tuntematonta muuttujaa
jonka päämatriisin determinantti on eri kuin nolla.

Gaussin menetelmän ydin koostuu tuntemattomien muuttujien peräkkäisestä eliminoimisesta: ensin x 1 jätetään pois kaikista järjestelmän yhtälöistä alkaen toisesta, sitten x 2 jätetään pois kaikista yhtälöistä alkaen kolmannesta ja niin edelleen, kunnes jäljellä on vain tuntematon muuttuja x n viimeisessä yhtälössä. Tätä järjestelmäyhtälöiden muunnosprosessia tuntemattomien muuttujien eliminoimiseksi peräkkäin kutsutaan suora Gaussin menetelmä. Gaussin menetelmän eteenpäinvedon suorittamisen jälkeen viimeisestä yhtälöstä löydetään x n, tätä toiseksi viimeistä yhtälöä käyttämällä lasketaan x n-1 ja niin edelleen, x 1 löydetään ensimmäisestä yhtälöstä. Tuntemattomien muuttujien laskentaprosessi siirryttäessä järjestelmän viimeisestä yhtälöstä ensimmäiseen on ns. Gaussin menetelmän käänteinen.

Kuvataanpa lyhyesti algoritmi tuntemattomien muuttujien eliminoimiseksi.

Oletetaan, että , koska voimme aina saavuttaa tämän järjestämällä järjestelmän yhtälöitä uudelleen. Poistetaan tuntematon muuttuja x 1 kaikista järjestelmän yhtälöistä alkaen toisesta. Tätä varten lisäämme järjestelmän toiseen yhtälöön ensimmäisen, kerrottuna : llä, kolmanteen yhtälöön lisäämme ensimmäisen, kerrottuna luvulla ja niin edelleen, n. yhtälöön lisäämme ensimmäisen kerrottuna . Yhtälöjärjestelmä tällaisten muunnosten jälkeen saa muodon

missä ja .

Olisimme päässeet samaan tulokseen, jos olisimme ilmaisseet x 1:n muilla tuntemattomilla muuttujilla järjestelmän ensimmäisessä yhtälössä ja vaihtaneet tuloksena olevan lausekkeen kaikkiin muihin yhtälöihin. Siten muuttuja x 1 jätetään pois kaikista yhtälöistä toisesta alkaen.

Seuraavaksi etenemme samalla tavalla, mutta vain osalla tuloksena olevaa järjestelmää, joka on merkitty kuvaan

Tätä varten lisäämme järjestelmän kolmanteen yhtälöön toisen, kerrottuna :llä, neljänteen yhtälöön lisäämme toisen, kerrottuna luvulla ja niin edelleen, n. yhtälöön lisäämme toisen, kerrottuna . Yhtälöjärjestelmä tällaisten muunnosten jälkeen saa muodon

missä ja . Siten muuttuja x 2 jätetään pois kaikista yhtälöistä kolmannesta alkaen.

Seuraavaksi siirrytään poistamaan tuntematon x 3, samalla kun toimimme samalla tavalla kuvassa merkityn järjestelmän osan kanssa

Jatkamme siis Gaussin menetelmän suoraa etenemistä, kunnes järjestelmä saa muodon

Tästä hetkestä lähtien aloitamme Gaussin menetelmän käänteisen: laskemme x n viimeisestä yhtälöstä kuten , käyttämällä saatua x n:n arvoa löydämme toiseksi viimeisestä yhtälöstä x n-1, ja niin edelleen, löydämme x 1 ensimmäisestä yhtälöstä .

Esimerkki.

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmä.

Ratkaisu.

Jätetään tuntematon muuttuja x 1 pois järjestelmän toisesta ja kolmannesta yhtälöstä. Tätä varten lisäämme toisen ja kolmannen yhtälön molemmille puolille ensimmäisen yhtälön vastaavat osat kerrottuna ja vastaavasti:

Nyt poistamme x 2 kolmannesta yhtälöstä lisäämällä sen vasemmalle ja oikealle puolelle toisen yhtälön vasen ja oikea puoli kerrottuna:

Tämä päättää Gaussin menetelmän eteenpäin suuntautuvan iskun; aloitamme käänteisen iskun.

Tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän viimeisestä yhtälöstä löydämme x 3:

Toisesta yhtälöstä saamme .

Ensimmäisestä yhtälöstä löydämme jäljellä olevan tuntemattoman muuttujan ja täydennämme näin Gaussin menetelmän käänteistä.

Vastaus:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Yleismuotoisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen.

Yleensä järjestelmän p yhtälöiden lukumäärä ei ole sama kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä n:

Tällaisilla SLAE-ratkaisuilla ei voi olla ratkaisuja, niillä voi olla yksi ratkaisu tai niillä voi olla äärettömän monta ratkaisua. Tämä väite koskee myös yhtälöjärjestelmiä, joiden päämatriisi on neliö ja yksikkö.

Kronecker-Capellin lause.

Ennen kuin löytää ratkaisun lineaariyhtälöjärjestelmälle, on tarpeen selvittää sen yhteensopivuus. Vastauksen kysymykseen milloin SLAE on yhteensopiva ja milloin se on epäjohdonmukainen, antaa Kronecker-Capellin lause:
Jotta p-yhtälöjärjestelmä, jossa on n tuntematonta (p voi olla yhtä suuri kuin n), olisi johdonmukainen, on välttämätöntä ja riittävää, että järjestelmän päämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin arvo, eli , Sijoitus(A) = Sijoitus(T).

Tarkastellaanpa esimerkkinä Kronecker–Capelli-lauseen soveltamista lineaarisen yhtälöjärjestelmän yhteensopivuuden määrittämiseen.

Esimerkki.

Selvitä, onko lineaarisella yhtälöjärjestelmällä ratkaisuja.

Ratkaisu.

. Käytetään alaikäisten rajaamista. Toisen asteen alaikäinen eroaa nollasta. Katsotaanpa kolmannen asteen alaikäisiä, jotka reunustavat sitä:

Koska kaikki kolmannen asteen rajaavat alaikäiset ovat yhtä suuria kuin nolla, päämatriisin sijoitus on yhtä suuri kuin kaksi.

Puolestaan ​​laajennetun matriisin sijoitus on yhtä kuin kolme, koska molli on kolmannen asteen

eroaa nollasta.

Täten, Alue(A), joten Kronecker–Capellin lausetta käyttämällä voimme päätellä, että alkuperäinen lineaariyhtälöjärjestelmä on epäjohdonmukainen.

Vastaus:

Järjestelmässä ei ole ratkaisuja.

Olemme siis oppineet määrittämään järjestelmän epäjohdonmukaisuuden Kronecker-Capellin lauseella.

Mutta kuinka löytää ratkaisu SLAE:hen, jos sen yhteensopivuus on vahvistettu?

Tätä varten tarvitsemme matriisin kantamollin käsitteen ja lauseen matriisin arvosta.

Pieni korkein järjestys matriisia A, joka eroaa nollasta, kutsutaan perus.

Perus-mollin määritelmästä seuraa, että sen järjestys on yhtä suuri kuin matriisin järjestys. Nollasta poikkeavalla matriisilla A voi olla useita kanta-molleja, aina yksi kanta-molli.

Harkitse esimerkiksi matriisia .

Kaikki tämän matriisin kolmannen kertaluvun alamerkit ovat nollia, koska tämän matriisin kolmannen rivin elementit ovat ensimmäisen ja toisen rivin vastaavien elementtien summa.

Seuraavat toisen asteen alaikäiset ovat perusasioita, koska ne ovat nollasta poikkeavia

Alaikäiset eivät ole perus, koska ne ovat yhtä kuin nolla.

Matriisiarvolause.

Jos matriisin arvo, jonka kertaluku on p:llä n:llä, on yhtä suuri kuin r, niin kaikki matriisin rivi- (ja sarake)elementit, jotka eivät muodosta valittua kantamollista, ilmaistaan ​​lineaarisesti vastaavien rivi- (ja sarake)-elementtien muodossa. perustana alaikäinen.

Mitä matriisiluokkalause kertoo meille?

Jos olemme Kronecker-Capellin lauseen mukaan todenneet järjestelmän yhteensopivuuden, valitsemme järjestelmän päämatriisin minkä tahansa kantamollin (sen järjestys on yhtä suuri kuin r) ja suljemme pois järjestelmästä kaikki yhtälöt, jotka eivät muodosta valittua alamollista. Tällä tavalla saatu SLAE on ekvivalentti alkuperäisen kanssa, koska hylätyt yhtälöt ovat edelleen redundantteja (matriisiarvolauseen mukaan ne ovat lineaarinen yhdistelmä jäljellä olevista yhtälöistä).

Tämän seurauksena järjestelmän tarpeettomien yhtälöiden hylkäämisen jälkeen kaksi tapausta on mahdollista.

Jos yhtälöiden lukumäärä r tuloksena olevassa järjestelmässä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien määrä, niin se on määrätty ja ainoa ratkaisu löytyy Cramer-menetelmällä, matriisimenetelmällä tai Gaussin menetelmällä.

Esimerkki.

.

Ratkaisu.

Järjestelmän päämatriisin sijoitus on yhtä suuri kuin kaksi, koska molli on toisen asteen eroaa nollasta. Laajennettu Matrix Rank on myös yhtä kuin kaksi, koska ainoa kolmannen asteen molli on nolla

ja edellä käsitelty toisen asteen molli on eri kuin nolla. Kronecker–Capelli-lauseen perusteella voimme väittää alkuperäisen lineaariyhtälöjärjestelmän yhteensopivuuden, koska Rank(A)=Rank(T)=2.

Otamme lähtökohtana sivuaineen . Se muodostuu ensimmäisen ja toisen yhtälön kertoimista:


Järjestelmän kolmas yhtälö ei osallistu kantamollin muodostukseen, joten jätämme sen pois systeemistä matriisin järjestyksen lauseen perusteella:


Näin saimme lineaaristen algebrallisten yhtälöiden alkeisjärjestelmän. Ratkaistaan ​​se Cramerin menetelmällä:


Vastaus:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Jos yhtälöiden lukumäärä r tuloksena olevassa SLAE:ssä pienempi numero tuntemattomat muuttujat n, niin yhtälöiden vasemmalle puolelle jätetään kantaosan muodostavat termit molliksi ja loput termit siirretään vastakkaisen merkin yhtälöiden oikealle puolelle.

Yhtälöiden vasemmalle puolelle jääviä tuntemattomia muuttujia (niistä r) kutsutaan pää.

Tuntemattomia muuttujia (on n - r kappaletta), jotka ovat oikealla puolella, kutsutaan vapaa.

Nyt uskomme, että vapaat tuntemattomat muuttujat voivat saada mielivaltaisia ​​arvoja, kun taas r tärkeintä tuntematonta muuttujaa ilmaistaan ​​vapaiden tuntemattomien muuttujien kautta ainutlaatuisella tavalla. Niiden ilmaisu voidaan löytää ratkaisemalla tuloksena oleva SLAE Cramer-, matriisi- tai Gauss-menetelmällä.

Katsotaanpa sitä esimerkin avulla.

Esimerkki.

Ratkaise lineaarinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä .

Ratkaisu.

Etsitään järjestelmän päämatriisin sijoitus alaikäisten rajaamismenetelmällä. Otetaan 1 1 = 1 ensimmäisen asteen nollasta poikkeavaksi molliksi. Aloitetaan etsimään nollasta poikkeavaa toissijaista mollia, joka rajautuu tähän molliin:


Näin löysimme toisen asteen nollasta poikkeavan mollin. Aloitetaan kolmannen asteen nollasta poikkeavan reunustavan molli etsiminen:


Siten päämatriisin sijoitus on kolme. Laajennetun matriisin sijoitus on myös kolme, eli järjestelmä on johdonmukainen.

Otamme perustaksi löydetyn kolmannen kertaluvun ei-nolla-mollin.

Selvyyden vuoksi näytämme elementit, jotka muodostavat perustan minor:


Jätämme kanta-molliin liittyvät termit systeemiyhtälöiden vasemmalle puolelle ja siirrämme loput vastakkaisilla etumerkeillä oikealle:


Annetaan vapaille tuntemattomille muuttujille x 2 ja x 5 mielivaltaiset arvot, eli hyväksytään , missä on mielivaltaisia ​​lukuja. Tässä tapauksessa SLAE ottaa muodon


Ratkaistaan ​​tuloksena oleva lineaaristen algebrallisten yhtälöiden alkeisjärjestelmä Cramerin menetelmällä:


Siksi,.

Älä unohda ilmoittaa vastauksessasi ilmaisia ​​tuntemattomia muuttujia.

Vastaus:

Missä on mielivaltaisia ​​numeroita.

Tee yhteenveto.

Yleisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän ratkaisemiseksi määritämme ensin sen yhteensopivuuden Kronecker-Capellin lauseen avulla. Jos päämatriisin sijoitus ei ole sama kuin laajennetun matriisin sijoitus, päätämme, että järjestelmä on yhteensopimaton.

Jos päämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin sijoitus, valitsemme kanta-mollin ja hylkäämme järjestelmän yhtälöt, jotka eivät osallistu valitun kanta-mollin muodostukseen.

Jos kantamollin järjestys on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä, niin SLAE:llä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka voidaan löytää millä tahansa tunnetulla menetelmällä.

Jos kantamollin järjestys on pienempi kuin tuntemattomien muuttujien määrä, niin järjestelmäyhtälöiden vasemmalle puolelle jätetään termit tärkeimpien tuntemattomien muuttujien kanssa, siirretään loput termit oikealle puolelle ja annetaan mielivaltaisia ​​arvoja. ilmaiset tuntemattomat muuttujat. Tuloksena olevasta lineaariyhtälöjärjestelmästä löydämme tärkeimmät tuntemattomat muuttujat Cramer-menetelmällä, matriisimenetelmällä tai Gaussin menetelmällä.

Gaussin menetelmä yleismuotoisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseen.

Gaussin menetelmää voidaan käyttää kaikenlaisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseen ilman, että niiden johdonmukaisuus on ensin testattu. Tuntemattomien muuttujien peräkkäinen eliminointiprosessi mahdollistaa johtopäätöksen sekä SLAE:n yhteensopivuudesta että yhteensopimattomuudesta, ja jos ratkaisu on olemassa, se mahdollistaa sen löytämisen.

Laskennallisesti Gaussin menetelmä on parempi.

Katso sitä Yksityiskohtainen kuvaus ja analysoinut artikkelissa esimerkkejä Gaussin menetelmästä yleismuotoisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseksi.

Kirjoitetaan yleinen ratkaisu homogeenisiin ja epähomogeenisiin lineaarisiin algebrallisiin järjestelmiin käyttäen perusratkaisujärjestelmän vektoreita.

Tässä osiossa puhumme samanaikaisista homogeenisista ja epähomogeenisista lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmistä, joilla on ääretön määrä ratkaisuja.

Käsittelemme ensin homogeenisia järjestelmiä.

Ratkaisujen perusjärjestelmä p lineaaristen algebrallisten yhtälöiden homogeeninen järjestelmä, jossa on n tuntematonta muuttujaa, on kokoelma (n – r) tämän järjestelmän lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja, missä r on järjestelmän päämatriisin kantamollin järjestys.

Jos merkitsemme homogeenisen SLAE:n lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ovat pylväsmatriiseja, joiden ulottuvuus on n 1) , niin tämän homogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu esitetään lineaarisena yhdistelmänä perusratkaisujärjestelmän vektoreista mielivaltaisilla vakiokertoimet C1, C2, ..., C (n-r), eli .

Mitä termi homogeenisen lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu (oroslau) tarkoittaa?

Merkitys on yksinkertainen: kaava asettaa kaiken mahdolliset ratkaisut alkuperäinen SLAE, toisin sanoen ottamalla mikä tahansa mielivaltaisten vakioiden C 1, C 2, ..., C (n-r) arvojen joukko, kaavan mukaan saamme yhden alkuperäisen homogeenisen SLAE:n ratkaisuista.

Siten, jos löydämme perustavanlaatuisen ratkaisujärjestelmän, voimme määritellä tämän homogeenisen SLAE:n kaikki ratkaisut muodossa .

Esitetään prosessi, jossa rakennetaan perusratkaisujärjestelmä homogeeniselle SLAE:lle.

Valitaan alkuperäisen lineaariyhtälöjärjestelmän kantamolli, jätetään kaikki muut yhtälöt pois järjestelmästä ja siirretään kaikki vapaita tuntemattomia muuttujia sisältävät termit vastakkaisten etumerkkien järjestelmäyhtälöiden oikealle puolelle. Annetaan vapaille tuntemattomille muuttujille arvot 1,0,0,...,0 ja lasketaan tärkeimmät tuntemattomat ratkaisemalla tuloksena oleva lineaariyhtälön alkeisjärjestelmä millä tahansa tavalla, esimerkiksi Cramer-menetelmällä. Tämä johtaa X (1) - perusjärjestelmän ensimmäiseen ratkaisuun. Jos annamme vapaille tuntemattomille arvot 0,1,0,0,…,0 ja laskemme tärkeimmät tuntemattomat, saadaan X (2) . Ja niin edelleen. Jos annamme vapaille tuntemattomille muuttujille arvot 0,0,…,0,1 ja laskemme tärkeimmät tuntemattomat, saadaan X (n-r) . Näin se rakennetaan perusjärjestelmä homogeenisen SLAE:n ja sen yleisratkaisun ratkaisut voidaan kirjoittaa muotoon .

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden epähomogeenisille järjestelmille yleinen ratkaisu esitetään muodossa , jossa on vastaavan homogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu, ja se on alkuperäisen epähomogeenisen SLAE:n erityinen ratkaisu, jonka saamme antamalla vapaille tuntemattomille arvot. ​0,0,…,0 ja tärkeimpien tuntemattomien arvojen laskeminen.

Katsotaanpa esimerkkejä.

Esimerkki.

Etsi perusratkaisujärjestelmä ja homogeenisen lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu .

Ratkaisu.

Homogeenisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien päämatriisin järjestys on aina yhtä suuri kuin laajennetun matriisin arvo. Etsitään päämatriisin sijoitus alaikäisten rajausmenetelmällä. Ensimmäisen kertaluvun nollasta poikkeavaksi molliksi otetaan järjestelmän päämatriisin alkio a 1 1 = 9. Etsitään toisen asteen reunustava nollasta poikkeava molli:

Toisen asteen molli, joka poikkeaa nollasta, on löydetty. Käydään läpi sitä rajaavat kolmannen asteen alaikäiset etsimään nollasta poikkeavaa ykköstä:

Kaikki kolmannen asteen rajaavat alaikäiset ovat yhtä suuria kuin nolla, joten pää- ja laajennetun matriisin sijoitus on yhtä suuri kuin kaksi. Otetaan . Huomioikaa selvyyden vuoksi sen muodostavat järjestelmän elementit:

Alkuperäisen SLAE:n kolmas yhtälö ei osallistu kanta-mollin muodostamiseen, joten se voidaan sulkea pois:

Jätämme tärkeimmät tuntemattomat sisältävät termit yhtälöiden oikealle puolelle ja siirrämme termit vapailla tuntemattomilla oikealle:

Rakentakaamme perusratkaisujärjestelmä alkuperäiselle homogeeniselle lineaariyhtälöjärjestelmälle. Tämän SLAE:n perusratkaisujärjestelmä koostuu kahdesta ratkaisusta, koska alkuperäinen SLAE sisältää neljä tuntematonta muuttujaa ja sen base minorin järjestys on yhtä suuri kuin kaksi. Löytääksesi X (1), annamme vapaille tuntemattomille muuttujille arvot x 2 = 1, x 4 = 0, sitten löydämme yhtälöjärjestelmästä tärkeimmät tuntemattomat
.

Ymmärtääkseen mitä se on perustavanlaatuinen päätösjärjestelmä voit katsoa opetusvideon samasta esimerkistä napsauttamalla. Siirrytään nyt kaikkien tarvittavien töiden varsinaiseen kuvaukseen. Tämä auttaa sinua ymmärtämään tämän ongelman olemuksen yksityiskohtaisemmin.

Kuinka löytää perusratkaisujärjestelmä lineaariseen yhtälöön?

Otetaan esimerkiksi seuraava lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

Etsitään tähän ratkaisu lineaarinen järjestelmä yhtälöt Aluksi me sinun on kirjoitettava järjestelmän kerroinmatriisi.

Muunnetaan tämä matriisi kolmiomaiseksi. Kirjoitamme ensimmäisen rivin uudelleen ilman muutoksia. Ja kaikki alkiot, jotka ovat alle $a_(11)$, on tehtävä nollia. Jos haluat tehdä nollan elementin $a_(21)$ tilalle, sinun on vähennettävä ensimmäinen toiselta riviltä ja kirjoitettava erotus toiselle riville. Jos haluat tehdä nollan elementin $a_(31)$ tilalle, sinun on vähennettävä ensimmäinen kolmannesta rivistä ja kirjoitettava erotus kolmanteen riviin. Jos haluat tehdä nollan elementin $a_(41)$ tilalle, sinun on vähennettävä neljännestä rivistä ensimmäinen kerrottuna kahdella ja kirjoitettava erotus neljännelle riville. Jos haluat tehdä nollan elementin $a_(31)$ tilalle, sinun on vähennettävä viidenneltä riviltä ensimmäinen kerrottuna kahdella ja kirjoitettava ero viidennelle riville.

Kirjoitamme ensimmäisen ja toisen rivin uudelleen ilman muutoksia. Ja kaikki alkiot, jotka ovat alle $a_(22)$, on tehtävä nollia. Jos haluat tehdä nollan elementin $a_(32)$ tilalle, sinun on vähennettävä kolmannelta riviltä toinen kerrottuna kahdella ja kirjoitettava erotus kolmanteen riviin. Jos haluat tehdä nollan elementin $a_(42)$ tilalle, sinun on vähennettävä neljännestä rivistä toinen kerrottuna kahdella ja kirjoitettava ero neljännelle riville. Jos haluat tehdä nollan elementin $a_(52)$ tilalle, sinun on vähennettävä viidenneltä riviltä toinen kerrottuna 3:lla ja kirjoitettava ero viidennelle riville.

Näemme sen kolme viimeistä riviä ovat samat, joten jos vähennät kolmannen neljännestä ja viidennestä, niistä tulee nolla.

Tämän matriisin mukaan kirjoittaa uusi yhtälöjärjestelmä.

Näemme, että meillä on vain kolme lineaarisesti riippumatonta yhtälöä ja viisi tuntematonta, joten perusratkaisujärjestelmä koostuu kahdesta vektorista. Joten me meidän on siirrettävä kaksi viimeistä tuntematonta oikealle.

Nyt alamme ilmaista niitä tuntemattomia, jotka ovat vasemmalla puolella niiden kautta, jotka ovat oikealla puolella. Aloitamme viimeisestä yhtälöstä, ensin ilmaisemme $x_3$, sitten korvaamme tuloksen toiseen yhtälöön ja ilmaisemme $x_2$ ja sitten ensimmäiseen yhtälöön ja tässä ilmaisemme $x_1$. Siten ilmaisimme kaikki vasemmalla puolella olevat tuntemattomat oikealla puolella olevien tuntemattomien kautta.

Sitten $x_4$ ja $x_5$ sijasta voimme korvata mitä tahansa lukuja ja löytää $x_1$, $x_2$ ja $x_3$. Jokainen näistä viidestä numerosta on alkuperäisen yhtälöjärjestelmämme juuret. Löytääksesi vektorit, jotka sisältyvät FSR meidän täytyy korvata 1 $x_4$ sijasta ja 0 $x_5$ sijaan, löytää $x_1$, $x_2$ ja $x_3$, ja sitten päinvastoin $x_4=0$ ja $x_5=1$.

Homogeeniset lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmät

Osana oppitunteja Gaussin menetelmä Ja Yhteensopimattomat järjestelmät/järjestelmät, joilla on yhteinen ratkaisu mietimme epähomogeeniset lineaariyhtälöjärjestelmät, Missä vapaa jäsen(joka on yleensä oikealla) ainakin yksi yhtälöistä erosi nollasta.
Ja nyt, hyvän lämmittelyn jälkeen matriisin arvo, jatkamme tekniikan hiomista alkeellisia muunnoksia päällä homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä.
Ensimmäisten kappaleiden perusteella materiaali saattaa tuntua tylsältä ja keskinkertaiselta, mutta tämä vaikutelma on petollinen. Tekniikkojen jatkokehityksen lisäksi tulee paljon uutta tietoa, joten yritä olla laiminlyömättä tämän artikkelin esimerkkejä.

Mikä on homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä?

Vastaus ehdottaa itseään. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä on homogeeninen, jos vapaa termi kaikille järjestelmän yhtälö on nolla. Esimerkiksi:

Se on täysin selvää homogeeninen järjestelmä on aina johdonmukainen eli siihen on aina ratkaisu. Ja ennen kaikkea, mikä pistää silmään, on ns triviaali ratkaisu . Triviaali, niille, jotka eivät ymmärrä adjektiivin merkitystä ollenkaan, tarkoittaa ilman esittelyä. Ei tietenkään akateemisesti, mutta ymmärrettävästi =) ...Miksi ryöstää, katsotaan onko tällä järjestelmällä muita ratkaisuja:

Esimerkki 1

Ratkaisu: homogeenisen järjestelmän ratkaisemiseksi on tarpeen kirjoittaa järjestelmämatriisi ja tuoda se vaiheittaiseen muotoon alkeismuunnosten avulla. Huomaa, että täällä ei tarvitse kirjoittaa ylös pystypalkkia ja vapaiden termien nollasaraketta - loppujen lopuksi riippumatta siitä, mitä teet nollien kanssa, ne pysyvät nollina:

(1) Ensimmäinen rivi lisättiin toiselle riville kerrottuna -2:lla. Ensimmäinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -3:lla.

(2) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -1:llä.

Kolmannen rivin jakaminen kolmella ei ole kovin järkevää.

Alkuainemuunnosten tuloksena saadaan ekvivalentti homogeeninen järjestelmä , ja Gaussin menetelmän käänteistä käyttämällä on helppo varmistaa, että ratkaisu on ainutlaatuinen.

Vastaus:

Muotoilkaamme ilmeinen kriteeri: homogeenisella lineaariyhtälöjärjestelmällä on pelkkä triviaali ratkaisu, Jos järjestelmämatriisin arvo(tässä tapauksessa 3) on yhtä suuri kuin muuttujien lukumäärä (tässä tapauksessa - 3 kappaletta).

Lämmitetään ja viritetään radiomme alkeismuutosten aaltoon:

Esimerkki 2

Ratkaise homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Artikkelista Kuinka löytää matriisin sijoitus? Muistakaamme rationaalinen tekniikka, jossa matriisilukuja pienennetään samanaikaisesti. Muuten joudut leikkaamaan suuria ja usein purevia kaloja. Likimääräinen esimerkki tehtävästä oppitunnin lopussa.

Nollat ​​ovat hyviä ja käteviä, mutta käytännössä tapaus on paljon yleisempi, kun järjestelmämatriisin rivit lineaarisesti riippuvainen. Ja sitten yleisen ratkaisun syntyminen on väistämätöntä:

Esimerkki 3

Ratkaise homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Ratkaisu: kirjoitetaan järjestelmän matriisi ja viedään se alkeismuunnoksilla vaiheittaiseen muotoon. Ensimmäisen toimenpiteen tarkoituksena ei ole vain yhden arvon saaminen, vaan myös ensimmäisen sarakkeen numeroiden vähentäminen:

(1) Kolmas rivi lisättiin ensimmäiselle riville kerrottuna -1:llä. Kolmas rivi lisättiin toiselle riville kerrottuna -2:lla. Vasemmassa yläkulmassa sain yksikön, jossa on "miinus", joka on usein paljon kätevämpi jatkomuunnoksille.

(2) Kaksi ensimmäistä riviä ovat samat, yksi niistä on poistettu. Rehellisesti sanottuna en painostanut ratkaisua - se osoittautui sellaiseksi. Jos teet muunnoksia mallipohjaisesti, niin lineaarinen riippuvuus rivit olisivat paljastuneet hieman myöhemmin.

(3) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna 3:lla.

(4) Ensimmäisen rivin merkki muutettiin.

Alkuainemuunnosten tuloksena saatiin vastaava järjestelmä:

Algoritmi toimii täsmälleen samalla tavalla kuin heterogeeniset järjestelmät. Muuttujat "istuu portailla" ovat tärkeimmät, muuttuja, joka ei saanut "askelta", on vapaa.

Ilmaistaan ​​perusmuuttujat vapaalla muuttujalla:

Vastaus: yhteinen päätös:

Triviaali ratkaisu on mukana yleinen kaava, ja sitä ei tarvitse kirjoittaa erikseen.

Tarkastus suoritetaan myös tavanomaisen kaavion mukaisesti: tuloksena oleva yleinen ratkaisu on substituoitava järjestelmän kunkin yhtälön vasempaan puolelle ja kaikille substituutioille on saatava laillinen nolla.

Tämä olisi mahdollista tehdä hiljaa ja rauhallisesti, mutta homogeenisen yhtälöjärjestelmän ratkaisu on usein esitettävä vektorimuodossa käyttämällä perustavanlaatuinen ratkaisujärjestelmä. Ole hyvä ja unohda se toistaiseksi analyyttinen geometria, koska nyt puhumme vektoreista yleisessä algebrallisessa mielessä, jota avasin hieman artikkelissa matriisin arvo. Terminologiaa ei tarvitse peitellä, kaikki on melko yksinkertaista.

Jatkamme teknologiamme hiomista alkeellisia muunnoksia päällä homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä.
Ensimmäisten kappaleiden perusteella materiaali saattaa tuntua tylsältä ja keskinkertaiselta, mutta tämä vaikutelma on petollinen. Tekniikkojen jatkokehityksen lisäksi tulee paljon uutta tietoa, joten yritä olla laiminlyömättä tämän artikkelin esimerkkejä.

Mikä on homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä?

Vastaus ehdottaa itseään. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä on homogeeninen, jos vapaa termi kaikille järjestelmän yhtälö on nolla. Esimerkiksi:

Se on täysin selvää homogeeninen järjestelmä on aina johdonmukainen eli siihen on aina ratkaisu. Ja ennen kaikkea, mikä pistää silmään, on ns triviaali ratkaisu . Triviaali, niille, jotka eivät ymmärrä adjektiivin merkitystä ollenkaan, tarkoittaa ilman esittelyä. Ei tietenkään akateemisesti, mutta ymmärrettävästi =) ...Miksi ryöstää, katsotaan onko tällä järjestelmällä muita ratkaisuja:

Esimerkki 1

Ratkaisu: homogeenisen järjestelmän ratkaisemiseksi on tarpeen kirjoittaa järjestelmämatriisi ja tuoda se vaiheittaiseen muotoon alkeismuunnosten avulla. Huomaa, että täällä ei tarvitse kirjoittaa ylös pystypalkkia ja vapaiden termien nollasaraketta - loppujen lopuksi riippumatta siitä, mitä teet nollien kanssa, ne pysyvät nollina:

(1) Ensimmäinen rivi lisättiin toiselle riville kerrottuna -2:lla. Ensimmäinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -3:lla.

(2) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -1:llä.

Kolmannen rivin jakaminen kolmella ei ole kovin järkevää.

Alkuainemuunnosten tuloksena saadaan ekvivalentti homogeeninen järjestelmä , ja Gaussin menetelmän käänteistä käyttämällä on helppo varmistaa, että ratkaisu on ainutlaatuinen.

Vastaus:

Muotoilkaamme ilmeinen kriteeri: homogeenisella lineaariyhtälöjärjestelmällä on pelkkä triviaali ratkaisu, Jos järjestelmämatriisin arvo(tässä tapauksessa 3) on yhtä suuri kuin muuttujien lukumäärä (tässä tapauksessa - 3 kappaletta).

Lämmitetään ja viritetään radiomme alkeismuutosten aaltoon:

Esimerkki 2

Ratkaise homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Algoritmin vahvistamiseksi lopuksi analysoidaan lopullinen tehtävä:

Esimerkki 7

Ratkaise homogeeninen järjestelmä, kirjoita vastaus vektorimuodossa.

Ratkaisu: kirjoitetaan järjestelmän matriisi ja viedään se alkeismuunnoksilla vaiheittaiseen muotoon:

(1) Ensimmäisen rivin merkki on muutettu. Jälleen kerran kiinnitän huomion monta kertaa kohdattuun tekniikkaan, jonka avulla voit yksinkertaistaa huomattavasti seuraavaa toimintaa.

(1) Ensimmäinen rivi lisättiin 2. ja 3. riville. Ensimmäinen rivi, kerrottuna kahdella, lisättiin 4. riville.

(3) Kolme viimeistä riviä ovat suhteellisia, kaksi niistä on poistettu.

Tuloksena saadaan standardi askelmatriisi, ja ratkaisu jatkuu uurrettua rataa pitkin:

– perusmuuttujat;
- vapaat muuttujat.

Ilmaistaan ​​perusmuuttujat vapailla muuttujilla. Toisesta yhtälöstä:

– korvaa 1. yhtälö:

Joten yleinen ratkaisu on:

Koska tarkasteltavassa esimerkissä on kolme vapaata muuttujaa, perusjärjestelmä sisältää kolme vektoria.

Korvataan kolminkertaiset arvot yleisratkaisuun ja saada vektori, jonka koordinaatit täyttävät jokaisen homogeenisen järjestelmän yhtälön. Ja taas toistan, että on erittäin suositeltavaa tarkistaa jokainen vastaanotettu vektori - se ei vie paljon aikaa, mutta se suojaa sinua täysin virheiltä.

Kolmen arvojen puolesta etsi vektori

Ja lopuksi kolmelle saamme kolmannen vektorin:

Vastaus: , Missä

Ne, jotka haluavat välttää murto-osia, voivat harkita kolmosia ja saat vastauksen vastaavassa muodossa:

Murtoluvuista puheen ollen. Katsotaanpa tehtävässä saatua matriisia ja kysykäämme itseltämme: onko mahdollista yksinkertaistaa lisäratkaisua? Loppujen lopuksi täällä ilmaistiin ensin perusmuuttuja murtolukujen kautta, sitten murto-osien kautta perusmuuttuja, ja minun on sanottava, että tämä prosessi ei ollut yksinkertaisin eikä miellyttävin.

Toinen ratkaisu:

Ideana on kokeilla valitse muut perusmuuttujat. Katsotaanpa matriisia ja huomataan kaksi matriisia kolmannessa sarakkeessa. Joten miksi ei olisi nolla yläosassa? Suoritetaan vielä yksi perusmuunnos:

Lineaarista yhtälöä kutsutaan homogeeninen, jos sen vapaa termi on nolla, ja muuten epähomogeeninen. Järjestelmä, joka koostuu homogeeniset yhtälöt, kutsutaan homogeeniseksi ja sillä on yleinen muoto:

On selvää, että jokainen homogeeninen järjestelmä on johdonmukainen ja sillä on nolla (triviaali) ratkaisu. Siksi homogeenisiin lineaarisiin yhtälöjärjestelmiin sovellettaessa on usein etsittävä vastaus kysymykseen nollasta poikkeavien ratkaisujen olemassaolosta. Vastaus tähän kysymykseen voidaan muotoilla seuraavalla lauseella.

Lause . Homogeenisella lineaariyhtälöjärjestelmällä on nollasta poikkeava ratkaisu silloin ja vain, jos sen järjestys on pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä .

Todiste: Oletetaan, että järjestelmällä, jonka arvo on yhtä suuri, on nollasta poikkeava ratkaisu. Ilmeisesti se ei ylitä. Jos järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu. Koska homogeenisten lineaaristen yhtälöiden järjestelmässä on aina nollaratkaisu, niin nollaratkaisu on tämä ainutlaatuinen ratkaisu. Siten nollasta poikkeavat ratkaisut ovat mahdollisia vain .

Seuraus 1 : Homogeenisella yhtälöjärjestelmällä, jossa yhtälöiden lukumäärä on pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä, on aina nollasta poikkeava ratkaisu.

Todiste: Jos yhtälöjärjestelmässä on , niin järjestelmän järjestys ei ylitä yhtälöiden määrää, ts. . Siten ehto täyttyy ja siksi järjestelmällä on nollasta poikkeava ratkaisu.

Seuraus 2 : Homogeenisella yhtälöjärjestelmällä, jossa on tuntemattomia, on nollasta poikkeava ratkaisu silloin ja vain, jos sen determinantti on nolla.

Todiste: Oletetaan, että lineaarisella homogeenisella yhtälöjärjestelmällä, jonka matriisilla on determinantti , on nollasta poikkeava ratkaisu. Sitten, todistetun lauseen mukaan, ja tämä tarkoittaa, että matriisi on singulaarinen, ts. .

Homogeeninen lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä.

M lineaarista yhtälöjärjestelmää, jossa on n muuttujaa, kutsutaan lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmäksi, jos kaikki vapaat termit ovat yhtä suuria kuin 0. Lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmä on aina johdonmukainen, koska siinä on aina vähintään nollaratkaisu. Lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmällä on nollasta poikkeava ratkaisu silloin ja vain, jos sen muuttujien kerroinmatriisin järjestys on pienempi kuin muuttujien lukumäärä, ts. arvolle A (n. Mikä tahansa lineaarinen yhdistelmä

Lin-järjestelmäratkaisut. homogeeninen. ur-ii on myös ratkaisu tähän järjestelmään.

Lineaaristen itsenäisten ratkaisujen järjestelmää e1, e2,...,еk kutsutaan perusperiaatteeksi, jos jokainen järjestelmän ratkaisu on ratkaisujen lineaarinen yhdistelmä. Lause: jos lineaarisen homogeenisen yhtälöjärjestelmän muuttujien kerroinmatriisin arvo r on pienempi kuin muuttujien lukumäärä n, niin jokainen järjestelmän perusratkaisujärjestelmä koostuu n-r ratkaisuja. Siksi lineaarisen järjestelmän yleinen ratkaisu. yksi päivä ur-th on muotoa: c1e1+c2e2+...+skek, missä e1, e2,..., ek on mikä tahansa perusratkaisujärjestelmä, c1, c2,...,ck ovat mielivaltaisia ​​lukuja ja k=n-r. M lineaarisen yhtälöjärjestelmän, jossa on n muuttujaa, yleinen ratkaisu on yhtä suuri kuin summa

sitä vastaavan järjestelmän yleisratkaisusta on homogeeninen. lineaariset yhtälöt ja tämän järjestelmän mielivaltainen tietty ratkaisu.

7. Lineaariset välilyönnit. Alitilat. Pohja, ulottuvuus. Lineaarinen kuori. Lineaarista avaruutta kutsutaan n-ulotteinen, jos se sisältää lineaarisesti riippumattomien vektoreiden järjestelmän ja mikä tahansa järjestelmä, jossa on suurempi määrä vektoreita, on lineaarisesti riippuvainen. Numeroon soitetaan mitta (mittojen lukumäärä) lineaarista avaruutta ja on merkitty . Toisin sanoen avaruuden ulottuvuus on tämän avaruuden lineaarisesti riippumattomien vektorien enimmäismäärä. Jos tällainen luku on olemassa, avaruutta kutsutaan äärellisulotteiseksi. Jos jollekin luonnollinen luku n avaruudessa on lineaarisesti riippumattomista vektoreista koostuva järjestelmä, jolloin sellaista avaruutta kutsutaan äärettömäksi (kirjoitettu: ). Ellei toisin mainita, seuraavassa tarkastellaan äärellisulotteisia avaruuksia.

N-ulotteisen lineaariavaruuden perusta on lineaarisesti riippumattomien vektoreiden järjestynyt kokoelma ( kantavektorit).

Lause 8.1 vektorin laajennuksesta kantaan. Jos on n-ulotteisen lineaariavaruuden kanta, niin mikä tahansa vektori voidaan esittää kantavektoreiden lineaarisena yhdistelmänä:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
ja lisäksi ainoalla tavalla, ts. kertoimet määritetään yksiselitteisesti. Toisin sanoen mikä tahansa avaruuden vektori voidaan laajentaa perustaksi ja lisäksi ainutlaatuisella tavalla.

Itse asiassa avaruuden ulottuvuus on. Vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton (tämä on perusta). Kun on lisätty mikä tahansa vektori kantaan, saadaan lineaarisesti riippuvainen järjestelmä (koska tämä järjestelmä koostuu n-ulotteisen avaruuden vektoreista). Käyttämällä 7 lineaarisesti riippuvan ja lineaarisesti riippumattoman vektorin ominaisuutta saadaan lauseen johtopäätös.