Tehtävien ratkaisu algebrallisesti. Matematiikan oppitunti "Ongelmien ratkaiseminen aritmeettisilla menetelmillä"

Analysoimalla näitä ongelmia, tarkkailemalla, mitä yhteisiä ongelmilla on matematiikan näkökulmasta, mitä eroja niillä on, löytää poikkeuksellinen tapa ratkaista ongelmia, luoda ongelmanratkaisutekniikoiden säästöpossu, oppia ratkaisemaan yksi ongelma eri tavoilla.Simulaattori tehtävistä, jotka on ryhmitelty samaan teemaan "Aritmeettiset menetelmät tehtävien ratkaisemiseen", tehtäviä ryhmätyöskentelyyn ja yksilöllistä työtä.

"tehtävät simulaattorin käsikirjaan"

Kouluttaja: "Aritmeettiset menetelmät tehtävien ratkaisemiseksi"

"Lukujen vertailu summan ja eron perusteella."

Kahdessa korissa on 80 tattisientä. Ensimmäinen kori sisältää 10 tatia vähemmän kuin toinen. Kuinka monta tattisientä on kussakin korissa?

SISÄÄN ompelu studio Denim- ja verhoja saapui 480 m. Denim-kangasta toimitettiin 140 m enemmän kuin verhoja. Kuinka monta metriä denimiä studio sai?

TV-tornimalli koostuu kahdesta lohkosta. Alempi lohko on 130 cm lyhyempi kuin ylempi. Mitkä ovat ylä- ja alakorttelin korkeudet, jos tornin korkeus on 4 m 70 cm?

Kahdessa laatikossa on 16 kg keksejä. Etsi kunkin laatikon keksien massa, jos yhdessä niistä on 4 kg enemmän keksejä.

Tehtävä L. N. Tolstoin "Aritmetiikasta".

a) Kahdella miehellä on 35 lammasta. Toisella on 9 lammasta enemmän kuin toisessa. Kuinka monta lammasta jokaisella ihmisellä on?

b) Kahdella miehellä on 40 lammasta ja yhdellä 6 lammasta vähemmän kuin toisella. Kuinka monta lammasta kullakin miehellä on?

Autotallissa oli 23 matkustajavaunut ja sivuvaunullisilla moottoripyörillä. Autoissa ja moottoripyörissä on 87 pyörää. Kuinka monta moottoripyörää autotallissa on, jos jokaisessa sivuvaunussa on varapyörä?

"Eulerian ympyrät".

Talossa on 120 asukasta, joista osalla on koiria ja kissoja. Kuvassa on ympyrä KANSSA kuvaa asukkaita koirien kanssa, ympyrä TO – asukkaat kissojen kanssa. Kuinka monella vuokralaisella on sekä koiria että kissoja? Kuinka monella vuokralaisella on vain koira? Kuinka monella vuokralaisella on vain kissoja? Kuinka monella vuokralaisella ei ole koiria eikä kissoja?

52 koululaisesta 23 pelaa lentopalloa ja 35 koripalloa ja 16 sekä lento- että koripalloa. Muut eivät harrasta mitään näistä lajeista. Kuinka moni koululainen ei harrasta mitään näistä lajeista?

Kuvassa on ympyrä A kuvaa kaikkia yliopiston työntekijöitä, jotka tietävät Englannin kieli, ympyrä N – jotka osaavat saksaa ja ympyrää F - Ranskan kieli. Kuinka moni yliopiston työntekijä osaa: a) 3 kieltä; b) englanti ja saksa; c) ranskaksi? Kuinka monta yliopiston työntekijää on? Kuinka moni heistä ei puhu ranskaa?

SISÄÄN kansainvälinen konferenssi 120 henkilöä osallistui. Näistä 60 puhuu venäjää, 48 puhuu englantia, 32 puhuu saksaa, 21 puhuu venäjää ja saksaa, 19 puhuu englantia ja saksaa, 15 puhuu venäjää ja englantia ja 10 henkilöä puhui kaikkia kolmea kieltä. Kuinka moni konferenssin osallistuja ei puhu mitään näistä kielistä?

82 opiskelijaa laulaa kuorossa ja harjoittelee tanssia. rytminen voimistelu Oppilaita on 32, ja kuorossa laulaa ja rytmistä voimistelua 78. Kuinka moni opiskelija laulaa kuorossa, tanssii ja harjoittelee rytmistä voimistelua erikseen, jos tiedetään, että jokainen oppilas tekee vain yhtä asiaa?

Jokainen talossamme asuva perhe tilaa joko sanomalehden tai aikakauslehden tai molempia. Lehden tilaa 75 perhettä ja aikakauslehteä 27 perhettä ja vain 13 perhettä sekä aikakauslehden että sanomalehden tilaajaa. Kuinka monta perhettä talossamme asuu?

"Tietojen oikaisumenetelmä".

Kolmessa pienessä ja neljässä suuressa kimpussa on 29 kukkaa ja viidessä pienessä ja neljässä suuressa kimpussa 35 kukkaa. Kuinka monta kukkaa on kussakin kimpussa erikseen?

2 suklaapatukka - iso ja pieni - massa on 120 g ja 3 isoa ja 2 pientä - 320 g. Mikä on kunkin patukan massa?

5 omenaa ja 3 päärynää painavat 810 g ja 3 omenaa ja 5 päärynää 870 g. Kuinka paljon yksi omena painaa? Yksi päärynä?

Neljä ankanpoikasta ja viisi hanhenpoikaa painavat 4 kg 100 g, viisi ankanpoikasta ja neljä hanhenpoikaa painavat 4 kg. Kuinka paljon yksi ankanpoikanen painaa?

Yhdelle hevoselle ja kahdelle lehmälle annetaan 34 kg heinää päivässä ja kahdelle hevoselle ja yhdelle lehmälle 35 kg heinää. Kuinka paljon heinää annetaan yhdelle hevoselle ja kuinka paljon yhdelle lehmälle?

3 punaista kuutiota ja 6 sinistä kuutiota maksavat 165 tengeruplaa. Lisäksi viisi punaista ovat 95 tengeä kalliimpia kuin kaksi sinistä. Paljonko kukin kuutio maksaa?

2 luonnoskirjaa ja 3 postimerkkialbumia yhdessä maksoivat 160 ruplaa ja 3 luonnoskirjaa 45 ruplaa. kalliimpia kuin kaksi postimerkkialbumia.

"Laskeet".

Seryozha päätti antaa äidilleen syntymäpäivälahjaksi kukkakimpun (ruusuja, tulppaaneja tai neilikoita) ja laittaa ne joko maljakkoon tai kannuun. Kuinka monella tavalla hän voi tehdä tämän?

Kuinka monta kolminumeroista lukua voidaan tehdä numeroista 0, 1, 3, 5, jos luvun numerot eivät toistu?

Keskiviikkona 5. luokalla on viisi oppituntia: matematiikka, liikunta, historia, venäjä ja luonnontieteet. Kuinka monta erilaisia ​​vaihtoehtoja Voitko tehdä aikataulun keskiviikolle?

"Muinainen tapa ratkaista ongelmia, jotka liittyvät aineiden sekoittamiseen."

Kuinka sekoittaa öljyt? Tietyllä henkilöllä oli myynnissä kahdenlaisia ​​öljyjä: yksi 10 grivnaa ämpäriltä, ​​toinen 6 grivnia ämpäriltä. Hän halusi valmistaa öljyä näistä kahdesta öljystä sekoittamalla niitä, maksoi 7 grivnia per ämpäri. Mitä osia näistä kahdesta öljystä sinun on otettava saadaksesi ämpäri öljyä, jonka arvo on 7 grivnaa?

Kuinka paljon karamellia pitää ottaa hintaan 260 tengeä 1 kg ja hintaan 190 tengeä 1 kg, jotta saadaan 21 kg seosta hintaan 210 tengeä kilolta?

Jollakin on kolme erilaista teetä - Ceylon 5 grivnaa paunalta, intialainen 8 grivnaa paunalta ja kiinalainen 12 grivnaa paunalta. Missä suhteissa näitä kolmea lajiketta tulisi sekoittaa, jotta teestä saadaan 6 grivnaa kilolta?

Jollakin on eri standardien hopeaa: yksi on 12. standardi, toinen on 10. standardi, kolmas on 6. standardi. Kuinka paljon hopeaa sinun tulee ottaa saadaksesi 1 punnan 9. vakiohopeaa?

Kauppias osti 138 arshinia mustaa ja sinistä kangasta 540 ruplalla. Kysymys kuuluu, kuinka monta arshinia hän osti molemmille, jos sininen maksoi 5 ruplaa? arshinille ja mustalle - 3 ruplaa?

Erilaisia ​​tehtäviä.

Uudenvuodenlahjoiksi ostimme 87 kg hedelmiä ja omenoita oli 17 kg enemmän kuin appelsiineja. Kuinka monta omenaa ja kuinka monta appelsiinia ostit?

Uudenvuoden puulla oli 3 kertaa enemmän lumihiutaleita lapsille karnevaaliasuissa kuin persiljapuvuissa. Kuinka monta lasta oli persilja-asuissa, jos heitä oli 12 vähemmän?

Masha sai 2 kertaa vähemmän uudenvuoden tervehdyksiä kuin Kolya. Kuinka monta onnittelua kukin sai, jos niitä oli yhteensä 27? (9 ja 18).

Uudenvuoden palkintoina ostettiin 28 kg makeisia. Karkit “Swallow” koostuivat 2 osasta, “Muse” - 3 osaa, “Romashka” - 2 osaa. Kuinka monta makeista kutakin tyyppiä ostit? (8, 8, 12).

Varastossa on 2004 kg jauhoja. Voiko sen laittaa pusseihin, jotka painavat 9 kg ja painavat 18 kg?

"Kaikki teelle" -kaupassa on 5 erilaista kuppia ja 3 erilaista lautasta Kuinka monella tavalla voit ostaa kupin ja lautasen?

Hevonen syö heinäsuovan 2 päivässä, lehmä 3:ssa, lammas 6:ssa. Kuinka monta päivää heillä menee heinäsuovan syömiseen, jos he syövät sen yhdessä?

Näytä asiakirjan sisältö
"tuntiyhteenveto arif sp"

"Aritmeettiset menetelmät sanatehtävien ratkaisemiseksi."

Matematiikan opiskelijalle on usein hyödyllisempää ratkaista sama ongelma kolmella eri tavalla kuin ratkaista kolme tai neljä erilaisia ​​tehtäviä. Ratkaisemalla yhden ongelman eri tavoilla saat vertaamalla selville, kumpi on lyhyempi ja tehokkaampi. Näin kokemus kehittyy.

W.W. Sawyer

Oppitunnin tarkoitus: käytä aiemmilla tunneilla hankittua tietoa, osoita mielikuvitusta, intuitiota, mielikuvitusta ja kekseliäisyyttä koetehtävien ratkaisemiseksi eri tavoin.

Oppitunnin tavoitteet: koulutus: analysoimalla näitä ongelmia, tarkkailemalla, mitä yhteisiä ongelmilla on matemaatikon näkökulmasta, mitä eroja niillä on, etsimällä poikkeuksellinen tapa ratkaista ongelmia, luomalla säästöpossu tekniikoita ongelmanratkaisuun, oppimalla ratkaisemaan yksi ongelma eri tavoin.

Kehittäviä: tuntee itsensä toteuttamisen tarvetta joutuessaan johonkin roolitilanteeseen.

Koulutuksellinen: kehittää henkilökohtaiset ominaisuudet, muodostavat kommunikatiivisen kulttuurin.

Koulutuskeinot: simulaattori tehtävistä, jotka on ryhmitelty samaan teemaan "Aritmeettiset menetelmät tehtävien ratkaisemiseksi", tehtäviä ryhmätyöskentelyyn ja yksilölliseen työhön.

TUTKIEN AIKANA.

minä Ajan järjestäminen

Hei kaverit. Istu alas. Tänään meillä on oppitunti aiheesta "Aritmeettiset menetelmät tekstitehtävien ratkaisemiseksi".

II. Tietojen päivittäminen.

Matematiikka on yksi vanhimmista ja tärkeistä tieteistä. Ihmiset käyttivät paljon matemaattista tietoa muinaisina aikoina - tuhansia vuosia sitten. Ne olivat välttämättömiä kauppiaille ja rakentajille, sotureille ja maanmittajille, papeille ja matkailijoille.

Ja nykyään yksikään ihminen ei pärjää elämässä ilman hyvää matematiikkaa. Hyvän matematiikan ymmärtämisen perusta on kyky laskea, ajatella, päätellä ja löytää onnistuneita ratkaisuja ongelmiin.

Tänään tarkastelemme aritmeettisia menetelmiä tekstitehtävien ratkaisemiseksi, analysoimme vanhoja ongelmia, jotka ovat tulleet meille eri maat ja ajat, tasoitustehtävät, vertailu summalla ja erolla ja muita.

Oppitunnin tarkoituksena on saada sinut mukaan ihmeellinen maailma kauneus, rikkaus ja monimuotoisuus – mielenkiintoisten haasteiden maailma. Ja siksi esittele sinulle joitain aritmeettisia menetelmiä, jotka johtavat erittäin tyylikkäisiin ja opettavaisiin ratkaisuihin.

Tehtävä on lähes aina etsintä, joidenkin ominaisuuksien ja suhteiden löytäminen ja sen ratkaisemisen keinot ovat intuitio ja arvelu, oppiminen ja matemaattisten menetelmien hallinta.

Matematiikan tärkeimmät ovat aritmeettiset ja algebralliset ongelmanratkaisumenetelmät.

Tehtävän ratkaiseminen aritmeettisella menetelmällä tarkoittaa vastauksen löytämistä tehtävän vaatimukseen suorittamalla aritmeettisia operaatioita luvuille.

Algebrallisella menetelmällä vastaus ongelman kysymykseen löydetään yhtälön muodostamisen ja ratkaisemisen tuloksena.

Ei ole mikään salaisuus, että henkilö, joka omistaa erilaisia ​​työkaluja ja käyttää niitä työn luonteen mukaan, saavuttaa huomattavasti parempia tuloksia kuin henkilö, joka omistaa vain yhden yleistyökalun.

On olemassa monia aritmeettisia menetelmiä ja epätyypillisiä tekniikoita tehtävien ratkaisemiseen. Tänään haluan esitellä sinulle joitain niistä.

1. Sanatehtävien ratkaisumenetelmä "Lukujen vertailu summan ja eron perusteella."

Tehtävä : Isoäiti syksyllä kesämökki keräsi 51 kg porkkanaa ja kaalia. Kaalia oli 15 kg enemmän kuin porkkanoita. Kuinka monta kiloa porkkanaa ja kuinka monta kiloa kaalia mummo keräsi?

Kysymykset, jotka vastaavat ongelmanratkaisualgoritmin kohtia tästä luokasta.

1. Selvitä, mistä määristä ongelmassa keskustellaan

Tietoja isoäidin keräämien porkkanoiden ja kaalin määrästä, yhdessä ja erikseen.

2. Ilmoita, minkä suureiden arvot on löydettävä tehtävästä.

Kuinka monta kiloa porkkanaa ja kuinka monta kiloa kaalia mummo keräsi?

3. Nimeä tehtävässä olevien määrien välinen suhde.

Ongelma puhuu määrien summasta ja erosta.

4. Nimeä määrien arvojen summa ja ero.

Summa – 51 kg, ero – 15 kg.

5. Tasoittamalla suureet, etsi kaksinkertainen arvo pienempi arvo (vähennä arvojen ero arvojen summasta).

51 – 15 = 36 (kg) – kaksinkertainen määrä porkkanoita.

6. Kun tiedät kaksinkertaisen arvon, etsi pienempi arvo (jaa kaksinkertainen arvo kahdella).

36: 2 = 18 (kg) – porkkanat.

7. Käytä suuren ja pienemmän määrän arvon välistä eroa, löydä suuremman suuren arvo.

18 + 15 = 33 (kg) – kaali. Vastaus: 18 kg, 33 kg. Tehtävä.Häkissä on fasaaneja ja kaneja. Niissä on yhteensä 6 päätä ja 20 jalkaa. Kuinka monta kania ja kuinka monta fasaania on häkissä ?
Menetelmä 1. Valintamenetelmä:
2 fasaania, 4 kania.
Tarkista: 2 + 4 = 6 (maalit); 4 4 + 2 2 = 20 (jalkaa).
Tämä on valintamenetelmä (sanasta "valita"). Tämän ratkaisumenetelmän edut ja haitat (vaikea valita, jos luvut ovat suuria) Siten on kannustin etsiä kätevämpiä ratkaisumenetelmiä.
Keskustelun tulokset: valintamenetelmä on kätevä pienillä luvuilla työskenneltäessä; kun arvot kasvavat, siitä tulee irrationaalista ja työvoimavaltaista.
Menetelmä 2. Täydellinen vaihtoehtojen haku.

Taulukko kootaan:

Vastaus: 4 kania, 2 fasaania.
Tämän menetelmän nimi on "täysi". Keskustelun tulokset: tyhjentävä hakumenetelmä on kätevä, mutta suurille arvoille se on melko työvoimavaltaista.
Menetelmä 3. Arvausmenetelmä.

Otetaanpa vanha kiinalainen ongelma:

Häkissä on tuntematon määrä fasaaneja ja kaneja. Tiedetään, että koko solu sisältää 35 päätä ja 94 jalkaa. Selvitä fasaanien ja kanien lukumäärä.(Ongelma kiinalaisesta matemaattisesta kirjasta "Kiu-Chang", laadittu 2600 eKr.).

Tässä on dialogi, joka löytyy matematiikan vanhoilta mestarilta. - Kuvittele, että laitamme porkkanan häkkiin, jossa fasaanit ja kanit istuvat. Kaikki kanit seisovat takajaloillaan päästäkseen porkkanaan. Kuinka monta jalkaa on maassa tällä hetkellä?

Mutta ongelmalauseessa on annettu 94 jalkaa, missä ovat loput?

Jäljellä olevia jalkoja ei lasketa - nämä ovat kanien etujalat.

Kuinka monta siellä on?

24 (94 – 70 = 24)

Kuinka monta kania siellä on?

12 (24: 2 = 12)

Entä fasaanit?

23 (35- 12 = 23)

Tämän menetelmän nimi on "puutteiden arvausmenetelmä". Yritä selittää tämä nimi itse (häkissä istuvilla on 2 tai 4 jalkaa, ja oletimme, että kaikilla on pienin näistä luvuista - 2 jalkaa).

Toinen tapa ratkaista sama ongelma. - Yritetään ratkaista tämä ongelma "ylijäämäoletusmenetelmällä": Kuvitellaan, että fasaaneilla on nyt kaksi jalkaa lisää, sitten on kaikki jalat 35 × 4 = 140.

Mutta ongelman ehtojen mukaan jalkaa on vain 94, ts. 140 – 94= 46 ylimääräistä jalkaa, ketkä ne ovat? Nämä ovat fasaanien jalkoja, heillä on ylimääräinen jalkapari. tarkoittaa, fasaanit tahtoa 46: 2 = 23, sitten kaneja 35 -23 = 12.
Keskustelun tulokset: oletusmenetelmällä on kaksi vaihtoehtoa- Tekijänä puute ja ylimäärä; Aiempiin menetelmiin verrattuna se on kätevämpi, koska se on vähemmän työvoimavaltaista.
Tehtävä. Aavikon halki kävelee hitaasti kamelien karavaani, niitä on yhteensä 40. Jos lasket näiden kamelien kaikki kyttyrät, saat 57 kyttyrää. Kuinka monta dromedaarikamelia tässä karavaanissa on?1 tapa. Ratkaise yhtälön avulla.

Kyhmyjen määrä henkilöä kohden Kamelien lukumäärä Kyhmyjen kokonaismäärä

2 x 2 x

1 40 - X 40 - X 57

2 x + 40 - X = 57

x + 40 = 57

X = 57 -40

X = 17

Menetelmä 2.

- Kuinka monta kyhmyä kameleilla voi olla?

(voi olla kaksi tai yksi)

Kiinnitetään kukka jokaiseen kamelin kyhmyyn.

- Kuinka monta kukkaa tarvitset? (40 kamelia - 40 kukkaa)

- Kuinka monta kohoa jää ilman kukkia?

(Sellaisia ​​tulee olemaan 57-40=17 . Tämä toinen kohouma Baktrian kamelit).

Kuinka monta Baktrian kamelit? (17)

Kuinka monta dromedaarikamelit? (40-17=23)

Mikä on vastaus ongelmaan? ( 17 ja 23 kamelit).

Tehtävä.Autotallissa oli sivuvaunullisia autoja ja moottoripyöriä, yhteensä 18. Autoissa ja moottoripyörissä oli 65 pyörää. Kuinka monta sivuvaunullista moottoripyörää oli autotallissa, jos autoissa on 4 pyörää ja moottoripyörissä 3 pyörää?

1 tapa. Käyttämällä yhtälöä:

Pyörien lukumäärä 1:lle Pyörien kokonaismäärä

Mash. 4x 4 x

Mot. 3 18 -X 3(18 - X ) 65

4 x + 3(18 - X ) = 65

4 x + 5 4 -3 X =65

X = 65 - 54

X = 11, 18 – 11 = 7.

Muotoillaan ongelma uudelleen : Ryöstäjät, jotka saapuivat autotalliin, jossa oli pysäköitynä 18 autoa ja moottoripyörää sivuvaunuineen, irrottivat jokaisesta autosta ja moottoripyörästä kolme pyörää ja veivät ne pois. Kuinka monta pyörää autotallissa on jäljellä, jos niitä olisi 65? kuuluvatko ne autoon vai moottoripyörään?

3×18=54 – niin monta pyörää rosvot veivät,

65-54 = 11 – niin monta pyörää jäljellä (autot autotallissa),

18-11 = 7 moottoripyörää.

Vastaus: 7 moottoripyörää.

Omillaan:

Autotallissa oli 23 sivuvaunullista autoa ja moottoripyörää. Autoissa ja moottoripyörissä on 87 pyörää. Kuinka monta moottoripyörää autotallissa on, jos jokaisessa sivuvaunussa on varapyörä?

- Kuinka monta pyörää autoilla ja moottoripyörillä on yhdessä? (4×23=92)

- Kuinka monta varapyörää laitoit kuhunkin vaunuun? (92 - 87 = 5)

- Kuinka monta autoa autotallissa on? (23 - 5 = 18).

Tehtävä.Luokassamme voit opiskella englantia tai ranskan kielet(valinnaisesti). Englantia opiskelee tiedossa 20 ja ranskaa 17. Kaikkiaan luokassa on 32 oppilasta. Kuinka moni opiskelija opiskelee sekä englantia että ranskaa?

Piirretään kaksi ympyrää. Yhdessä kirjaamme englantia opiskelevien koululaisten lukumäärän, toisessa - ranskaa opiskelevien koululaisten lukumäärän. Koska ongelman ehtojen mukaan siellä opiskelee opiskelijoitamolemmat kielet: englanti ja ranska, silloin ympyröillä on yhteinen osa. Tämän ongelman ehtoja ei ole niin helppo ymmärtää. Jos lisäät 20 ja 17, saat enemmän kuin 32. Tämä selittyy sillä, että laskemme tänne kaksi koululaista - nimittäin ne, jotka opiskelevat molempia kieliä: englantia ja ranskaa. Joten (20 + 17) – 32 = 5 Oppilaat oppivat molempia kieliä: englantia ja ranskaa.

Englanti Fran.

20 oppituntia 17 koulu

(20 + 17) – 32 = 5 (opiskelijat).

Matematiikassa kutsutaan samanlaisia ​​kaavioita kuin se, jota käytimme ongelman ratkaisemiseen Eulerin ympyrät (tai kaaviot). Leonhard Euler (1736) syntynyt Sveitsissä. Mutta pitkiä vuosia asunut ja työskennellyt Venäjällä.

Tehtävä.Jokainen talossamme asuva perhe tilaa joko sanomalehden tai aikakauslehden tai molempia. Lehden tilaa 75 perhettä ja aikakauslehteä 27 perhettä ja vain 13 perhettä sekä aikakauslehden että sanomalehden tilaajaa. Kuinka monta perhettä talossamme asuu?

Sanomalehdet aikakauslehdet

Kuvassa talossa asuu 89 perhettä.

Tehtävä.Kansainväliseen konferenssiin osallistui 120 henkilöä. Näistä 60 puhuu venäjää, 48 puhuu englantia, 32 puhuu saksaa, 21 puhuu venäjää ja saksaa, 19 puhuu englantia ja saksaa, 15 puhuu venäjää ja englantia ja 10 henkilöä puhui kaikkia kolmea kieltä. Kuinka moni konferenssin osallistuja ei puhu mitään näistä kielistä?

venäjä 15 englanti

21 10 19

Saksan kieli

Ratkaisu: 120 – (60 + 48 + 32 -21 – 19 – 15 + 10) = 25 (henkilöä).

Tehtävä. Kolme pentua ja kaksi pentua painavat 2 kg 600 g ja kaksi pentua ja kolme pentua painavat 2 kg 900 g Kuinka paljon pentu painaa?

3 pentua ja 2 pentua – 2kg 600 g

2 pentua ja 3 pentua – 2 kg 900 g.

Ehdosta seuraa, että 5 pentua ja 5 pentua painavat 5 kg 500 g eli 1 kissanpentu ja 1 pentu painavat 1 kg 100 g

2 kissaa ja 2 pentua. painaa 2kg 200g

Verrataan ehtoja -

2 pentua + 3 pentua = 2kg 900 g

2 pentua + 2 pentua = 2 kg 200 g, näemme, että pentu painaa 700 g.

Tehtävä.Yhdelle hevoselle ja kahdelle lehmälle annetaan 34 kg heinää päivässä ja kahdelle hevoselle ja yhdelle lehmälle 35 kg heinää. Kuinka paljon heinää annetaan yhdelle hevoselle ja kuinka paljon yhdelle lehmälle?

Kirjoita ongelmasta lyhyt kuvaus:

1 hevonen ja 2 lehmää -34kg.

2 hevosta ja 1 lehmä -35kg.

Onko mahdollista tietää kuinka paljon heinää tarvitaan 3 hevoselle ja 3 lehmälle?

(3 hevoselle ja 3 lehmälle – 34+35=69 kg)

Onko mahdollista saada selville kuinka paljon heinää tarvitaan yhdelle hevoselle ja yhdelle lehmälle? (69: 3 – 23 kg)

Kuinka paljon heinää yksi hevonen tarvitsee? (35-23 = 12 kg)

Kuinka paljon heinää yksi lehmä tarvitsee? (23 -13 = 11 kg)

Vastaus: 12kg ja 11kg.

Tehtävä.Madina päätti syödä aamiaisen koulun kahvilassa. Tutustu ruokalistaan ​​ja vastaa, kuinka monella tavalla hän voi valita juoman ja makeistuotteen?

Oletetaan, että Madina valitsee teen juomaksi. Minkä makeistuotteen hän voi valita teeksi? (tee - juustokakku, tee - keksit, tee - pulla)

Kuinka monella tavalla? (3)

Entä jos se on kompottia? (myös 3)

Kuinka saat selville, kuinka monta tapaa Madina voi valita lounaansa? (3+3+3=9)

Kyllä, olet oikeassa. Mutta jotta tämän ongelman ratkaiseminen olisi helpompaa, käytämme kaavioita. Sana "kaavio" tarkoittaa matematiikassa kuvaa, johon on piirretty useita pisteitä, joista osa on yhdistetty viivoilla. Nimetään juomat ja makeiset pisteitä ja yhdistä Madinan valitsemien ruokien parit.

teemaitokompotti

juustokakku keksejä pulla

Nyt lasketaan rivien määrä. Niitä on 9. Tämä tarkoittaa, että on 9 tapaa valita ruokia.

Tehtävä.Seryozha päätti antaa äidilleen syntymäpäivälahjaksi kukkakimpun (ruusuja, tulppaaneja tai neilikoita) ja laittaa ne joko maljakkoon tai kannuun. Kuinka monella tavalla hän voi tehdä tämän?

Kuinka monta tapaa ajattelet? (3)

Miksi? (3 väriä)

Joo. Mutta on myös erilaisia ​​astioita: joko maljakko tai kannu. Yritetään suorittaa tehtävä graafisesti.

maljakko kannu

ruusut tulppaanit neilikat

Laske rivit. Kuinka monta siellä on? (6)

Joten kuinka monta tapaa Seryozhan on valittava? (6)

Oppitunnin yhteenveto.

Tänään ratkaisimme useita ongelmia. Mutta työ ei ole valmis, sitä halutaan jatkaa, ja toivon, että tämä auttaa sinua ratkaisemaan tekstiongelmia onnistuneesti.

Tiedämme, että ongelmanratkaisu on käytännöllistä taidetta, kuten uinti tai pianonsoitto. Sen voi oppia vain matkimalla hyviä esimerkkejä, harjoittelee jatkuvasti.

Nämä ovat vain yksinkertaisimpia ongelmia; monimutkaiset jäävät jatkotutkimuksen aiheeksi. Mutta niitä on edelleen paljon enemmän kuin pystymme ratkaisemaan. Ja jos oppitunnin lopussa voit ratkaista ongelmia "oppimateriaalin sivujen takana", voimme katsoa, ​​että olen suorittanut tehtäväni.

Matematiikan tuntemus auttaa ratkaisemaan tiettyjä elämän ongelma. Elämässä sinun on ratkaistava säännöllisesti tiettyjä asioita, tätä varten sinun on kehitettävä älyllisiä kykyjä, joiden ansiosta kehittyy sisäinen potentiaali, kehittyy kyky ennakoida tilanne, tehdä ennusteita ja tehdä epätyypillisiä päätöksiä.

Haluan lopettaa oppitunnin sanoilla: "Jokainen hyvin ratkaistu matemaattinen ongelma tuottaa henkistä nautintoa." (G. Hesse).

Oletko samaa mieltä tästä?

Kotitehtävät .

Kotona annetaan seuraava tehtävä: Ratkaistujen tehtävien tekstejä mallina käyttäen ratkaistaan ​​tehtäviä nro 8, 17, 26 tutkimillamme menetelmillä.

Tehtävien ratkaiseminen aritmeettisilla menetelmillä

Matematiikan tunti 5. luokalla.

"Jos haluat oppia uimaan, mene rohkeasti veteen, ja jos haluat oppia ratkaisemaan ongelmia, ratkaise ne.".
D. Polya

Oppitunnin tavoitteet ja tavoitteet:

kehittää kykyä ratkaista ongelmia aritmeettisella menetelmällä;

kehitystä luovuus, kognitiivinen kiinnostus;

loogisen ajattelun kehittäminen;

rakkauden vaaliminen aihetta kohtaan;

matemaattisen ajattelun kulttuurin edistäminen.

Laitteet: signaalikortit numeroilla 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Tuntien aikana

I. Organisatorinen hetki (1 minuutti.)

Oppitunti on omistettu tehtävien ratkaisemiseen aritmeettisella menetelmällä. Tänään ratkaisemme erityyppisiä ongelmia, mutta ne kaikki ratkaistaan ​​ilman yhtälöiden apua.

II. Historiallinen viittaus (1 minuutti.)

Historiallisesti pitkään aikaan matemaattista tietoa sukupolvelta toiselle käytännön ongelmien luettelon ja niiden ratkaisujen muodossa. Muinaisina aikoina joku, joka osasi ratkaista tietyntyyppiset käytännössä kohtaamat ongelmat, katsottiin koulutetuksi.

III. Lämmitellä (tehtävien ratkaiseminen suullisesti - 6 min.)
a) Ongelmia korteissa.
Jokaiselle opiskelijalle annetaan tehtäväkortti, jonka hän ratkaisee suullisesti ja antaa vastauksen. Kaikki toiminnon 3 tehtävät - 1 = 2.

(Oppilaat ratkaisevat tehtävät oikein, jotkut eivät. Kaikki suullisesti. He nostavat kortit ja opettaja näkee kuka ratkaisi ongelman; korteissa tulee olla numero 2.)

b) Ongelmat jakeessa ja logiikka ongelmia. (Opettaja lukee tehtävän ääneen, oppilaat nostavat oikean vastauksen kortin.

Siili antoi ankanpojat
Kumpi miehistä vastaa?
Kahdeksan nahkasaappaat
Montako ankanpoikaa siellä oli?
(Neljä.)

Kaksi ketterää porsasta
He olivat niin kylmiä, että he tärisivät.
Laske ja sano:
Kuinka monta saappaa minun pitäisi ostaa?
(Kahdeksan.)

astuin sisään Pinery
Ja näin kärpäsen helttarin
Kaksi hunajasientä,
Kaksi morelia.
Kolme öljypurkkia,
Kaksi riviä...
Kenellä on vastaus valmiina:
Kuinka monta sientä löysin?
(Kymmenen.)

4. Kanat ja koirat kävelivät pihalla. Poika laski heidän tassut. Se osoittautui kymmeneksi. Kuinka monta kanaa ja kuinka monta koiraa voi olla? (Kaksi koiraa ja yksi kana, yksi koira ja kolme kanaa.)

5. Lääkärin määräyksen mukaan ostimme 10 tablettia apteekista. Lääkäri määräsi minulle 3 tablettia päivässä. Kuinka monta päivää tämä lääke kestää? (Täydet päivät.)

6. Veli on 7-vuotias ja sisko 5-vuotias. Kuinka vanha sisko on, kun veli on 10-vuotias?

7. Annetut luvut: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. kumpi on suurempi: niiden tulo vai summa?

8. Aitaa rakentaessaan puusepät asettivat 5 pylvästä suoraan linjaan. Pylväiden välinen etäisyys on 2 m. Mikä on aidan pituus?

IV. Ongelmanratkaisu

(Lasten tehtävät annetaan korteilla - 15 minuuttia. Lapset ratkaisevat tehtäviä taululla)
Tehtävät a) ja b) pyrkivät toistamaan suhteiden "... enemmän" ja "... vähemmän" välistä yhteyttä yhteen- ja vähennysoperaatioilla.

a) Sorvaajan oppipoika käänsi 120 osaa vuorossa ja sorvaaja 36 osaa enemmän. Kuinka monta osaa kääntäjä ja hänen oppilaansa käänsivät yhdessä?

b) Ensimmäinen joukkue keräsi 52 laitetta vuoron aikana, toinen? - 9 laitetta vähemmän kuin ensimmäinen ja kolmas - 12 laitetta enemmän kuin toinen. Kuinka monta laitetta kolme joukkuetta keräsivät vuoron aikana?

Tehtävän c) avulla opiskelijoille voidaan näyttää ongelman ratkaisu "käänteisesti".

c) Kolmessa luokassa on 44 tyttöä - tämä on 8 vähemmän kuin poikia. Kuinka monta poikaa on kolmella luokalla?

Tehtävässä d) opiskelijat voivat ehdottaa useita ratkaisuja.

d) Kolmelta sisarelta kysyttiin: ”Kuinka vanha kukin sisarista on?” Vera vastasi, että hän ja Nadya olivat 28-vuotiaita yhdessä, Nadya ja Lyuba olivat 23-vuotiaita yhdessä ja kaikki kolme olivat 38-vuotiaita. Kuinka vanhoja kukin sisaruksista on?

Tehtävän e) tarkoituksena on toistaa yhteys "enemmän sisään..." ja "vähemmän sisään..." välillä.

e) Vasyalla oli 46 pistettä. Vuoden aikana hänen kokoelmansa kasvoi 230 postimerkillä. Kuinka monta kertaa hänen kokoelmansa on kasvanut?

V. Liikuntaminuutti (2 minuuttia.)

Seiso yhdellä jalalla
Ihan kuin olisit vankkumaton sotilas.
Nosta vasen jalka.
Katso, älä pudota.
Seiso nyt vasemmalla,
Jos olet rohkea sotilas.

VI. Muinaisia, historiallisia ongelmia. Ongelmia satusisällön kanssa (10 min.)

Tehtävä e) löytää kaksi lukua niiden summan ja erotuksen perusteella.

e)(L.N. Tolstoin teoksesta "Aritmetiikka")

Kahdella miehellä on 35 lammasta. Toisessa on 9 enemmän kuin toisessa. Kuinka monta lammasta jokaisella ihmisellä on?

Liikuntatehtävä.

ja)(Vanha ongelma.)Kaksi junaa lähti Moskovasta Tveriin samaan aikaan. Ensimmäinen kulki nopeudella 39 verstaa tunnissa ja saapui Tveriin kaksi tuntia aikaisemmin kuin toinen, joka kulki 26 verstaa tunnissa. Kuinka monta mailia Moskovasta Tveriin?

(Vastaukseen on helpompi päästä yhtälön avulla. Opiskelijoita rohkaistaan ​​kuitenkin etsimään aritmeettista ratkaisua ongelmaan.)

1) 26 * 2 = 52 (verstiä) - toinen juna oli niin monta mailia jäljessä ensimmäistä;

2) 39 - 26 = 13 (verstiä) - niin monta mailia toinen juna oli 1 tunnin jäljessä ensimmäistä;

3) 52: 13 = 4 (h) - näin kauan ensimmäisen junan matka kesti;

4) 39 * 4 = 156 (verts) - etäisyys Moskovasta Tveriin.

Voit etsiä hakuteosista etäisyyden kilometreissä.

1 versta = 1 km 69 m.

Tehtävä on jaettu osiin.

h)Kikimoran tehtävä.Merman päätti mennä naimisiin kikimoren Ha-Ha:n kanssa. Hän istutti useita iilimatoja kikimore-hunnulleen ja kaksi kertaa niin monta viittaansa. Loman aikana iilimatoja putosi 15 ja jäljelle jäi vain 435. Kuinka monta iilimatoa oli kikimoran hunnulla?

(Tehtävä on annettu ratkaistavaksi yhtälön avulla, mutta ratkaisemme sen aritmeettisella tavalla)

VII. Eläviä numeroita (purkutauko - 4 min.)

Opettaja kutsuu taululle 10 oppilasta ja antaa heille numerot 1-10. Oppilaat saavat erilaisia ​​tehtäviä;

a) opettaja soittaa numeroihin; nimetyt ottavat askeleen eteenpäin (esim.: 5, 8, 1, 7);

b) vain nimetyn luvun naapurit tulevat ulos (esimerkiksi: numerot 6, 5 ja 7 tulevat ulos);

c) opettaja keksii esimerkkejä, ja vain se, jolla on vastaus tähän esimerkkiin tai ongelmaan, tulee ulos (esim.: 2 ´ 4; 160: 80; jne.);

d) opettaja tekee useita taputuksia ja näyttää myös numeron (yksi tai kaksi); tulee ulos opiskelija, jonka numero on kaikkien kuultujen ja nähtyjen lukujen summa (esim.: 3 taputusta, numero 5 ja numero 1.);

mikä luku on 4 suurempi kuin neljä?

Ajattelin luvun, vähennin siitä 3, sain 7. Mitä lukua ajattelin?

jos lisäät 2 tarkoitettuun numeroon, saat 8. Mikä on aiottu luku?

Tehtävät on pyrittävä valitsemaan niin, että samat numerot eivät toistu vastauksissa, jotta kaikki voivat osallistua aktiivisesti peliin.

VIII. Yhteenveto oppitunnista (2 minuuttia.)

- Mitä teimme luokassa tänään?

- Mitä tarkoittaa ongelman ratkaiseminen aritmetiikkaa käyttämällä?

- Meidän on muistettava, että ongelmaan löydetyn ratkaisun on täytettävä ongelman ehdot.

IX. Kotitehtävä. Arvostelu (2 minuuttia.)

№ 387 (ratkaise tehtäviä aritmeettisella menetelmällä), heikoille opiskelijoille. Keskimääräisille ja vahvoille opiskelijoille kotitehtävät annetaan korteilla.

1. Leipomossa oli 645 kg mustaa ja valkoista leipää. Myytyään 215 kg mustaa ja 287 kg vaaleaa leipää, molempia leipälajeja oli jäljellä yhtä paljon. Kuinka monta kiloa mustaa ja valkoista leipää oli leipomossa erikseen?

Veli ja sisko löysivät metsästä 25 sieniä. Veli löysi 7 sientä enemmän kuin sisarensa. Kuinka monta porcini-sientä veljesi löysi?

Täytteeksi otimme 6 osaa omenoita, 5 osaa päärynöitä ja 3 osaa sanoja. Kävi ilmi, että päärynät ja luumut veivät yhdessä 2 kg 400 g. Määritä otettujen omenoiden massa; kaikkien hedelmien massa.

Kirjallisuus

Vilenkin N., Zhokhov V., Chesnokov A.Matematiikka. 5. luokka. - M., "Mnemosyne", 2002.

Shevkin A.V.Tekstitehtävät koulun matematiikan kurssilla. - M.: Pedagoginen yliopisto "Syyskuun ensimmäinen", 2006.

Volina V.Numeroiden loma. - M.: Tieto, 1994.

Kokemuksen yleistäminen.

Tekstitehtävät koulun matematiikan kurssilla.

Aritmeettiset menetelmät tehtävien ratkaisemiseksi.

Soldatova Svetlana Anatolevna

ensimmäisen luokan matematiikan opettaja

Kunnan oppilaitos Uglichin fysiikan ja matematiikan lyseum

2017

"...kun yritämme yhdistää matematiikan opetusta elämään, meidän on vaikea tulla toimeen ilman tekstiongelmia - perinteistä matematiikan opetusmenetelmää venäläiselle metodologialle."

A.V.Shevkin

Arkielämässä kohtaamme jatkuvasti termin "tehtävä". Jokainen meistä ratkaisee tiettyjä ongelmia, joita kutsumme tehtäviksi. Sanan laajassa merkityksessä alleongelma ymmärretään tietyksi tilanteeksi, joka vaatii ihmisen tutkimusta ja ratkaisua .

Ongelmia, joissa objektit ovat matemaattisia (lauseiden todisteet, laskennalliset harjoitukset, tutkittavan matemaattisen käsitteen ominaisuudet ja attribuutit, geometrinen kuvio) kutsutaan usein ns.matemaattisia ongelmia . Matemaattisia ongelmia, joissa on ainakin yksi objekti, joka on todellinen subjekti, kutsutaan yleensäteksti. Perusmatematiikan opetuksessa tekstitehtävien rooli on suuri.

Ratkaisemalla tekstitehtäviä opiskelija hankkii uutta matemaattista tietoa ja valmistautuu käytännön toimintaan. Tehtävät auttavat kehittämään heidän loogista ajatteluaan.

Tekstitehtävien ratkaisemiseen on erilaisia ​​menetelmiä: aritmeettinen, algebrallinen, geometrinen, looginen, käytännöllinen jne. Jokainen menetelmä perustuu erityyppisiin matemaattisiin malleihin. Esimerkiksi milloinalgebrallinen menetelmä ongelman ratkaisemiseksi laaditaan yhtälöitä tai epäyhtälöitägeometrinen - kaavioita tai kaavioita rakennetaan. Ongelman ratkaisulooginen menetelmä alkaa algoritmin laatimisesta.

On syytä muistaa, että lähes kaikki valitun menetelmän ongelmat voidaan ratkaista erilaisilla malleilla. Siten algebrallista menetelmää käyttämällä voidaan saada vastaus saman tehtävän vaatimukseen muodostamalla ja ratkaisemalla täysin erilaisia ​​yhtälöitä loogisen menetelmän avulla - rakentamalla erilaisia ​​algoritmeja. On selvää, että näissä tapauksissa kyse on myös erilaisista menetelmistä tietyn ongelman ratkaisemiseksi, jota kutsunratkaisuja.

Ratkaise ongelma aritmeettinen menetelmä - tarkoittaa vastauksen löytämistä tehtävän vaatimukseen suorittamalla aritmeettisia operaatioita luvuille. Monissa tapauksissa sama ongelma voidaan ratkaista erilaisilla aritmeettisilla menetelmillä. Ongelma katsotaan monin eri tavoin ratkaistuksi, jos sen ratkaisut eroavat ratkaisujen perustana olevien tietojen ja haettujen välisten yhteyksien tai näiden yhteyksien järjestyksen osalta.

Perinteisessä venäläisessä matematiikan opetuksessa tekstitehtävät ovat aina olleet vallassa erityinen paikka. Toisaalta käytäntö käyttää sanatehtäviä oppimisprosessissa kaikissa sivistysmaissa on peräisin muinaisen Babylonin savitauluista ja muista muinaisista kirjallisista lähteistä, eli sillä on siihen liittyvät juuret. Toisaalta Venäjälle tyypillinen opettajien tarkkaavaisuus tekstitehtäviin on lähes yksinomaan venäläinen ilmiö.

Yksi syy ongelmiin kiinnitettyyn suureen huomioimiseen on se, että historiallisesti lasten aritmeettisen opetuksen tavoitteena on ollut pitkään hallita tietty määrä käytännön laskelmiin liittyviä laskennallisia taitoja. Samanaikaisesti aritmeettista päälinjaa - numeroviivaa - ei ollut vielä kehitetty, ja laskelmia opetettiin tehtävien kautta.

Toinen syy siihen, miksi Venäjällä on kiinnitetty enemmän huomiota sanatehtävien käyttöön, on se, että Venäjällä ei vain omaksuttu ja kehitetty ikivanhaa menetelmää matemaattisten tietojen ja päättelytekniikoiden välittämiseksi tekstitehtävien avulla, vaan myös oppinut muodostamaan tehtävien avulla. , tärkeät tekstianalyysiin liittyvät yleiskasvatustaidot , ongelman ja kysymyksen ehtojen korostaminen, ratkaisusuunnitelman laatiminen, kysymyksen esittäminen ja ehtojen etsiminen, joista saa vastauksen saatua tulosta tarkistamalla.

50-luvun puolivälissäXXV. sanatehtävät olivat hyvin systemaattisia,kehitetty tehtävien typologia, mukaan lukien osien ongelmat, kahden luvun löytäminen niiden summan ja eron perusteella, niiden suhteen ja summan (eron perusteella), murto-osien, prosenttiosuuksien, Työskennellä yhdessä, liuoksille ja seoksille, suoralle ja käänteiselle suhteelliselle jne.

Tähän mennessä metodologia niiden käyttöön opetusprosessissa oli kehittynyt hyvin, mutta uudistuksen aikana matematiikan koulutus 60-luvun lopulla asenteet heitä kohtaan muuttuivat. Tarkastellessaan aritmetiikan roolia ja paikkaa oppiainejärjestelmässä, yrittäessään lisätä matematiikan tieteellistä esittämistä yhtälöiden ja funktioiden aikaisemmalla käyttöönotolla, matemaatikot ja matemaattiset metodologit katsoivat, että aritmeettisten menetelmien opetukseen kului liikaa aikaa ongelmien ratkaisemiseksi.

Mutta sanatehtävät ja aritmeettiset menetelmät niiden ratkaisemiseksi valmistavat lasta algebran hallitsemiseen. Ja kun näin tapahtuu, algebra opettaa sinulle tapoja ratkaista joitakin (mutta ei kaikkia!) ongelmia, jotka ovat yksinkertaisempia kuin aritmeettinen. Muut aritmeettiset ratkaisutavat jäävät opiskelijan aktiivisiin matkatavaroihin. Esimerkiksi, jos opiskelija opetettiin jakamaan luku tietyssä suhteessa, niin hän ei edes lukiossa jaa lukua 15 suhteessa 2:3 yhtälön avulla, hän suorittaa aritmeettisia operaatioita:

1) ,

2) ,

3) 15 – 6 = 9.

Haluan huomauttaa, että edustan juuri sitä koululaisten sukupolvea, joka osallistui yllä olevaan uudistukseen. Kävin koulua vuonna 1968, ja ensimmäisen luokan oppikirjani oli Aritmetiikka. Osoittautuu, että olimme viimeiset, jotka opiskelivat sitä käyttäen. Toisella luokalla minulle oli yllättävää ja epätavallista, että ekaluokkalaisten ystävieni oppiaineen ja siten oppikirjan nimi oli "matematiikka". Kolmannella luokalla opiskelimme jo "matematiikkaa". Yläasteella ja vastaavasti lukiossa pääasiallinen tapa ratkaista tekstitehtävät oli algebrallinen. Tunnen 60-luvun lopun uudistuksen vaikutuksen tähän päivään asti, koska... osallistuville vanhemmille koulutusprosessi lapset, koska he ovat kehittäneet tietyn stereotypian, ovat muodostaneet käsityksen, että ongelmat on ratkaistava yhtälöiden avulla. Äidit ja isät, jotka eivät tiedä muita tekniikoita, yrittävät jatkuvasti selittää kotona omalla tavallaan, mikä ei aina ole hyödyllistä ja joskus jopa vaikeuttaa opettajan työtä.

Emme saa missään tapauksessa vähätellä algebrallisen ongelmien ratkaisumenetelmän arvoa, joka on universaali ja joskus ainoa monimutkaisempia ongelmia ratkaistaessa. Lisäksi melko usein yhtälö antaa vihjeen ratkaisun löytämiseen toimiin. Mutta käytäntö on osoittanut, että tämän lupaavan opetuksen jatkokäytön kannalta ongelmien ratkaisumenetelmän varhainen käyttö ilman riittävää valmistautumista on tehotonta.

Luokilla 5-6 on tarpeen kiinnittää mahdollisimman paljon huomiota aritmeettiseen sanatehtävien ratkaisumenetelmään eikä kiirehtiä siirtymään ongelmien ratkaisemiseen yhtälön avulla. Kun opiskelija on oppinut algebrallisen menetelmän, on lähes mahdotonta palauttaa häntä "toimien ratkaisuun". Kun yhtälö on laadittu, tärkeintä on ratkaista se oikein ja välttää laskentavirhe. Eikä sinun tarvitse ollenkaan miettiä, mitä aritmeettisia operaatioita ratkaisun aikana tehdään, mikä on kunkin toiminnon tulos. Ja jos seuraamme yhtälön ratkaisua askel askeleelta, näemme samat toimet kuin aritmeettisessa menetelmässä.

Hyvin usein voit nähdä, että lapsi ei ole valmis ratkaisemaan ongelmaa algebrallisesti, kun abstrakti muuttuja otetaan käyttöön ja ilmaus "anna x..." tulee näkyviin. Mistä tämä "X" on peräisin ja mitä sanoja tulisi kirjoittaa sen viereen, ei ole tässä vaiheessa selvää opiskelijalle. Ja tämä tapahtuu, koska tämän ikäisillä lapsilla on kehittynyt visuaalinen-figuratiivinen ajattelu. Ja yhtälö on abstrakti malli. Ja viidennen ja varhaisen kuudennen luokan lapsilla ei ole työkaluja yhtälöiden ratkaisemiseen. Historiallisesti ihmiset tulivat yhtälöiden käyttöön yleistämällä ratkaisuja ongelmiin, joissa heidän piti toimia sellaisilla käsitteillä kuin "osa", "kasa" jne. Lapsen on mentävä samalla tavalla!

Onnistuneen työskentelyn kannalta on tärkeää, että opettajalla on syvällinen ymmärrys tekstiongelmasta, sen rakenteesta ja hän osaa ratkaista ongelmat monin eri tavoin.

Monta vuotta sitten sain käsiini pitkään julkaistun käsikirjan 5-8 luokan opettajille. moderni koulu– 5-9 arvosanat) "Moskovan matemaattisten olympialaisten kokoelma (ratkaisuineen)" 1967, kirjoittaja Galina Ivanovna Zubelevich. Suurin osa sen ongelmista ratkaistaan ​​aritmeettisesti, mikä kiinnosti minua kovasti. Myöhemmin huomioni kiinnittivät kaksi oppikirjaa "Aritmetiikka, 6" ja "Aritmetiikka, 6", kirjoittanut A.V. Shevkin, ja saman kirjoittajan käsikirja opettajille "Opetus sanatehtävien ratkaisemiseen luokilla 5-6". Nämä lähteet aloittivat työskentelyni tämän aiheen parissa. Ehdotetut ideat vaikuttivat erittäin osuvilta ja sopusoinnussa esitetyn aiheen ymmärtämisen kanssa, nimittäin:

1) yhtälöiden käytön luopuminen oppimisen varhaisessa vaiheessa ja paluu lisää laaja sovellus aritmeettiset menetelmät ongelmien ratkaisemiseksi;

2) "historiallisten" ongelmien ja ikivanhojen ratkaisumenetelmien laajempi käyttö;

3) kieltäytyminen tarjoamasta kaoottisesti opiskelijoille tehtäviä eri aiheista ja pohditaan ongelmaketjua yksinkertaisimmista, kaikkien opiskelijoiden saatavilla olevista monimutkaisista ja erittäin monimutkaisista.

Tekstitehtävien tyypit ratkaisumenetelmien mukaan.

Sanatehtävät voidaan jakaa aritmeettisiin ja algebrallisiin. Tämä jako johtuu ratkaisumenetelmän valinnasta, joka on tyypillisempi (rationaalisempi) tietylle ongelmalle.

Aritmeettiset tehtävät sisältävät valtavia mahdollisuuksia opettaa koululaisia ​​ajattelemaan itsenäisesti analysoimalla ei-ilmeisiä elämäntilanteita. Aritmetiikka on lyhin tie luonnon ymmärtämiseen, koska se käsittelee yksinkertaisimpia, perustavanlaatuisimpia kokeellisia tosiasioita (esim.

kivet "riveissä" ja "pylväissä" johtaa aina yhteen

tulos):

5+5+5 = 3+3+3+3+3.

Katsotaanpa tietyntyyppisiä tehtäviä.

”Samalla summalla ostettiin kahta erilaista tavaraa, ensimmäinen tyyppi on puolet toisesta. Ne sekoitettiin ja puolet seoksesta myytiin korkeimman laatuluokan hintaan, loput alimman laadun hintaan. Kuinka monta prosenttia voitosta tai tappiosta syntyi myynnistä?"

Tämä on pohjimmiltaan tyypillinen ongelma, joka voidaan ratkaista ottamalla käyttöön mielivaltaisia ​​mittayksiköitä. Kuitenkin tässäkin tilanteessa ratkaisulle välttämättömien tuntemattomien suureiden toiminta ilmaistaan ​​selvästi tässä.algebrallinen merkki. Tämän ohella on usein ongelmia, joissa päinvastoin aritmeettinen ratkaisu on paljon yksinkertaisempi kuin algebrallinen ratkaisu. Tämä voi riippua kahdesta syystä. Joissakin tapauksissa siirtyminen tunnetusta tuntemattomaan on niin yksinkertaista, että yhtälöiden muodostaminen (siirtyminen tuntemattomasta tunnettuun) aiheuttaisi tarpeetonta hankalia, mikä hidastaisi ratkaisuprosessia. Esimerkiksi seuraava tehtävä:

”Eräänä päivänä paholainen tarjoutui ansaitsemaan rahaa Loaferille. "Heti kun ylität tämän sillan", hän sanoi, "raha kaksinkertaistuu." Voit ylittää sen niin monta kertaa kuin haluat, mutta anna minulle jokaisen siirtymän jälkeen 24 kopekkaa siitä. Laiskailija suostui ja... kolmannen siirtymän jälkeen hän jäi rahattomaksi. Kuinka paljon rahaa hänellä oli aluksi?

Toinen on klassinen ongelma, mielenkiintoinen ehdon paradoksaalisen muotoilun vuoksi. "Synteettisen" ratkaisun vaiheet avautuvat siinä, kuten edellisessäkin ongelmassa, päinvastaisessa järjestyksessä kuin kuvattujen tapahtumien kulku.

”Munamyyjä myi ensimmäiselle ostajalle puolet korissaan olevien munien kokonaismäärästä ja vielä puolet munista; toinen ostaja sai puolet lopusta ja toinen puoli munasta, kolmas ostaja sai puolet loppuosasta ja toinen puoli muna, minkä jälkeen hänellä ei ollut mitään jäljellä. Kuinka monta munaa oli alussa korissa?

Muissa tapauksissa yhtälön rakentaminen vaatii sellaista päättelyä, joka itsessään riittää tavoitteen saavuttamiseen. Nämä ovat aritmeettisia ongelmia sanan täydessä merkityksessä: niiden algebrallinen ratkaisu ei ole helpompaa, vaan vaikeampaa ja sisältää yleensä ylimääräisiä tuntemattomia, jotka on sitten eliminoitava jne.

Joten jos esimerkiksi ongelma"Tanya sanoi: Minulla on 3 veljeä enemmän kuin siskoja. Kuinka monta enemmän veljiä kuin sisaruksia Tanyan perheessä on?" merkitse veljien lukumäärä x:llä, sisarusten lukumäärä y:llä, niin yhtälö on x − (y − 1) = 3, mutta jos jo arvasimme, että meidän on kirjoitettava y−1 (sisko ei laskenut itseään ), silloin on jo selvää, että veljiä ei ole 3, vaan 2 enemmän kuin sisaruksia.

Annetaan vielä muutama esimerkki.

"Soutin vastavirtaan ja kulkiessani sillan alta menetin hattuni. 10 minuutin kuluttua huomasin tämän ja samalla voimalla käännettynä ja soutaen sain hatun kiinni 1 km sillan alapuolella. Mikä on joen nopeus?

Ratkaisu: 1 (60:(10+10))=3(km/h)

”Kun saavuin asemalle, he yleensä lähettivät auton hakemaan minut. Saapuessani päivää tuntia etuajassa menin kävellen ja vastaan ​​tulleen auton kanssa saavuin paikalle 10 minuuttia tavallista aikaisemmin. Kuinka monta kertaa nopeammin auto kulkee kuin minä kävelen?"

Katsotaanpa ratkaisua tähän ongelmaan vaihe vaiheelta:

1) 10:2=5 (min) – aika, joka on jäljellä auton saapumiseen asemalle ajoissa kohtaamispaikalta.

2) 60-5=55 (min) - aika, joka jalankulkijalta kesti kulkea saman matkan.

3) 55:5=11 (kertaa) auto kulkee nopeammin.

”Veneessä tietyn matkan purjehtiminen alavirtaan kestää kolme kertaa vähemmän aikaa kuin virtausta vastaan. Kuinka monta kertaa veneen nopeus on suurempi kuin virran nopeus?

Tässä tehtävässä sinun on arvattava, kuinka liikkua ajasta etäisyyksiin.

Nämä ovat erittäin hyviä aritmeettisia tehtäviä: ne edellyttävät selkeää ymmärrystä asiaankuuluvasta erityistilanteesta, eivät toimimista ulkoa olleiden muodollisten mallien mukaan.

Tässä on toinen esimerkki aritmeettisesta ongelmasta, jonka ratkaiseminen ei vaadi "toimia":

« Joku ilkikurinen kaatoi kärpäsen tervapullosta hunajapurkkiin. Hän sekoitti perusteellisesti ja kaatoi sitten saman lusikallisen seosta purkista tervapulloon. Sitten hän teki sen uudelleen. Mitä sait enemmän: hunajaa pullossa tervan kanssa vai tervapurkissa hunajalla? »

Ongelman ratkaisemiseksi riittää, kun kysyt itseltäsi kysymyksen: mihin hunajalla korvattu terva meni pullosta?

Tämä ei ole algebraa, samanlaisten termien tuomista, eikä "siirtämistä osasta toiseen päinvastaisella merkillä". Tämä on juuri se logiikka, joka liittyy kuvitteellisiin operaatioihin, joilla on erittäin todellista merkitystä tutkittavien suureiden alalla, joiden kehittäminen ja parantaminen kuuluu aritmeettisen suoriin tehtäviin.

Ero luonteeltaan aritmeettisten ja algebrallisten tehtävien välillä on hieman epäselvä, koska ne riippuvat kvantitatiivisista ominaisuuksista, joiden arviointi voi vaihdella, samoin kuin on mahdotonta vetää rajaa "useiden jyvien" ja "joukkonipun" välille. ”

Tarkastellaanpa tarkemmin tekstiongelmien tyyppejä ja tapoja ratkaista ne. Tarkastellaanpa niitä ongelmia, joita monilla on tapana ratkaista yhtälöitä käyttäen, mutta samalla heillä on yksinkertaisia ​​ja joskus hyvin kauniita ratkaisuja toimiin.

1. Ongelmien etsiminen niiden moninkertaisen suhteen ja summan tai erotuksen perusteella ("osiksi").

Tällaisiin ongelmiin tutustumisen tulisi alkaa niistä, joissa puhumme osista niiden puhtaassa muodossa. Niitä ratkaistaessa luodaan perusta kahden luvun löytämiseen niiden suhteen ja summan (eron) perusteella. Opiskelijan tulee oppia hyväksymään sopiva määrä yhdeksi osaksi, määrittämään kuinka monta tällaista osaa on toisessa suuressa ja niiden summa (ero).

a) Ota hilloa varten 2 osaa mansikoita ja 3 osaa sokeria. Kuinka paljon sokeria tarvitset 3 kiloon mansikoita?

b) Ostimme 2700 g kuivattuja hedelmiä. Omenat muodostavat 4 osaa, päärynöitä 3 osaa, luumut 2 osaa. Kuinka monta grammaa omenoita, päärynöitä ja luumuja erikseen?

c) Tyttö luki 3 kertaa vähemmän sivuja kuin oli jäljellä. Kuinka monta sivua kirjassa on, jos hän lukee 42 sivua vähemmän?

On suositeltavaa aloittaa tämän ongelman ratkaiseminen piirustuksella:

1) – 42 sivua.

2) – Osa 1 eli kuinka monta sivua tyttö luki.

3) – kirjassa.

Jatkossa opiskelijat pystyvät ratkaisemaan monimutkaisempia ongelmia.

c) Ongelma S.A. Rachinsky. Vietin vuoden Moskovassa, kylässä ja tiellä - ja lisäksi Moskovassa 8 kertaa enemmän aikaa kuin tiellä ja kylässä 8 kertaa enemmän aikaa kuin Moskovassa. Kuinka monta päivää vietin tiellä, Moskovassa ja maaseudulla?

d) Valtiontilalla sadonkorjuussa opiskelijat keräsivät 2 kertaa enemmän tomaatteja kuin kurkkuja ja 3 kertaa vähemmän kuin perunoita. Kuinka monta vihannesta oppilaat keräsivät yksitellen, jos he keräsivät 200 kg enemmän perunoita kuin tomaatteja?

e) Isoisä sanoo lastenlapsilleen: "Tässä on 130 pähkinää sinulle. Jaa ne kahteen osaan niin, että pienempi osa nelinkertaistettuna on yhtä suuri kuin isompi osa, jota on vähennetty 3 kertaa."

f) Kahden luvun summa on 37,75. Jos ensimmäistä termiä korotetaan 5 kertaa ja toista termiä 3 kertaa, uusi summa on 154,25. Etsi nämä numerot.

Numeronjakoongelmat ovat tämän tyyppisiä tässä suhteessa.

2. Kahden luvun löytäminen niiden summan ja erotuksen perusteella.

a) Kahdessa pakkauksessa on 50 muistikirjaa, ja ensimmäisessä paketissa on 8 muistikirjaa lisää. Kuinka monta muistikirjaa kussakin pakkauksessa on?

Aloitan tämän tyyppisten ongelmien ratkaisemisen aina piirustuksen avulla. Sitten ehdotan arvojen tasoittamista. Kaverit tarjoavat kaksi tapaa: poista se ensimmäisestä pakkauksesta tai lisää se toiseen. Näin määritetään kaksi päätapaa: kaksi kertaa pienempi luku tai kaksi kertaa suurempi luku.

Kun nämä menetelmät on kehitetty, on tarkoituksenmukaista näyttää "vanha" tapa ratkaista tämäntyyppisiä ongelmia. Kysymyksen "Kuinka voit tasoittaa muistikirjapinoja, ja samalla kaikki yhteensä muistikirjat eivät ole muuttuneet? Opiskelijat arvaavat, kuinka tämä tehdään, ja päättelevät: löytääksesi pienemmän luvun, sinun on vähennettävä puoliero puolisummasta, ja saadaksesi suuremman luvun, sinun on lisättävä puoliero puolisummaan. Vahvat opiskelijat voivat perustella tämän menetelmän muuntamalla kirjaimellisia ilmauksia:

Tällä menetelmällä seuraava ongelma ratkaistaan ​​yhdellä toimenpiteellä:

b) Kahden luvun aritmeettinen keskiarvo on 3 ja niiden puoliero on 1. Mikä on pienemmän luvun suuruus?

– pienempi määrä.

Tasoitustekniikkaa voidaan soveltaa myös ongelmaan:

c) 8 vasikkaa ja 5 lammasta söivät 835 kg rehua. Tänä aikana jokainen vasikka sai 28 kg enemmän rehua kuin lampaat. Kuinka paljon rehua kukin vasikka ja lammas söivät?

3. "Arvaus"-ongelmat.

Tämän tyyppiset tehtävät liittyvät aiottuihin toimiin kohteiden ja määrien kanssa. Perinteisessä metodologiassa tämän tyyppisillä ongelmilla oli myös muita nimiä tunnetuimpien ongelmien mukaan: "sininen ja punainen kangas", "seos ΙΙ-tyyppistä". Luulen, että tunnetuin "arvaus"-ongelmien joukossa on muinainen kiinalainen ongelma.

a) Fasaanit ja kanit istuvat häkissä. Heillä tiedetään olevan 35 päätä ja 94 jalkaa. Selvitä fasaanien ja kanien lukumäärä.

Kuvittele, että häkissä on vain fasaaneja. Kuinka monta jalkaa heillä on?

Miksi jalkoja on vähemmän? (Kaikki eivät ole fasaaneja; jotkut ovat kaneja). Montako jalkaa vielä?

Jos yksi fasaani korvataan kanilla, kuinka paljon jalkojen lukumäärä kasvaa? (päällä 2)

Voit valita toisen menetelmän kuvitellen, että kaikki ovat kaneja.

Toisen erittäin mielenkiintoisen perustelun esittivät matematiikan vanhat mestarit, ja se kiinnostaa suuresti lapsia.

- Kuvittele, että laitamme porkkanan sen häkin päälle, jossa fasaanit ja kanit istuvat. Kaikki kanit seisovat takajaloillaan päästäkseen porkkanaan. Kuinka monta jalkaa on maassa tällä hetkellä?
2 · 35 = 70 (n.)
- Mutta ongelmalauseessa on 94 jalkaa, missä ovat loput?

- Loput eivät lasketa - nämä ovat kanien etutassut.

- Kuinka monta siellä on?
94 - 70 = 24 (n.)
- Kuinka monta kania?
24:2 = 12
Entä fasaanit?
35 – 12 = 23

Hallittuaan päättelyalgoritmin lapset voivat helposti ratkaista seuraavat ongelmat:

b) Sekoitimme 135 kiloa kahden tyyppistä teetä, joiden kokonaiskustannukset olivat 540 ruplaa. Kuinka monta puntaa molemmista luokista otettiin erikseen, jos ensimmäisen luokan punta maksoi 5 ruplaa ja toisen luokan punta 3 ruplaa?

c) 94 ruplaa. osti 35 arshinia sinistä ja punaista kangasta. Arshin sinisestä kankaasta he maksoivat 2 ruplaa ja punaisen kankaan arshinista 4 ruplaa. Kuinka monta arshinia molemmista kankaista ostit erikseen?

d) Omistaja osti 112 pässiä, vanhoja ja nuoria, ja maksoi 49 ruplaa. 20 altyn. Vanhasta oinasta hän maksoi 15 altynia ja 4 puoliruplaa ja nuoresta oinasta 10 altynia. Kuinka monta ja millaisia ​​pässiä ostettiin? Altyn - 3 kopekkaa, polushka - neljäsosa kopekkaa.

Pidin I.V:n artikkelin ongelman mielenkiintoisena. Arnold "Aritmeettisten tehtävien valinnan ja koostumuksen periaatteet" (1946) autoista:

d)”Ajaessani aseman ohi huomasin asemalla seisovan 31 auton tavarajunan ja kuulin voitelulaitteen ja kytkimen välisen keskustelun. Ensimmäinen sanoi: "Yhteensä 105 akselia piti tarkastaa." Toinen huomasi, että junassa oli paljon neliakselisia autoja – kolme kertaa enemmän kuin kaksiakselisia, loput olivat kolmiakselisia. Seuraavalla osuudella halusin, koska minulla ei ollut muuta tekemistä, laskea kuinka monta vaunua tässä junassa oli. Kuinka tehdä se?"

Aritmeettinen ratkaisu on yksinkertaisempi kuin algebrallinen ratkaisu ja vaatii selkeän käsityksen, että kaksi- ja neliakseliset autot sisältyvät (kvantitatiivisesti) tiettyihin ryhmiin (4 autoa kummassakin). Kaikkien autojen kuvitteellinen "korvaaminen" kolmiakselisilla autoilla on yleinen ja opiskelijoiden jo tuttu tekniikka.

Apuväline voi ollagraafinen lineaarinen tehtävän ehtojen näyttö.

4. Liikuntatehtävät.

Nämä tehtävät ovat perinteisesti vaikeita. Opiskelijoiden tulee ymmärtää hyvin käsitteet, kuten lähestymisnopeus ja poiston nopeus. Kun opiskelijat oppivat ratkaisemaan tällaisia ​​ongelmia yhtälön avulla, heidän on paljon helpompi saada vastaus. Mutta helpompi ei tarkoita terveellisempää. Monta vuotta sitten eräs matematiikassa varsin vahva oppilaistani etsi tunnilla innokkaasti aritmeettista tapaa ratkaista ongelma, kun koko luokka ratkaisi sitä yhtälön avulla. Muistan hänen sanansa hyvin, hyvin selkeästi minulle: "En ole kiinnostunut yhtälöistä."

Annan ehdot ja ratkaisut useisiin ongelmiin.

a) Vanha ongelma. Kaksi junaa lähti Moskovasta Tveriin samaan aikaan. Ensimmäinen kulki kello 39 versta ja saapui Tveriin kaksi tuntia aikaisemmin kuin toinen, joka kulki kello 26 versta. Kuinka monta mailia Moskovasta Tveriin?

Ratkaisu:

1) Sen verran jäljessä toinen juna oli.

2) – poistoaste.

3) Ensimmäinen juna oli matkalla.

4) etäisyys Moskovasta Tveriin.

b) Kaksi konetta nousi samanaikaisesti Moskovasta samaan suuntaan: toinen nopeudella 350 km/h, toinen nopeudella 280 km/h. Kaksi tuntia myöhemmin ensimmäinen laski nopeuden 230 km/h. Millä etäisyydellä Moskovasta toinen kone saavuttaa ensimmäisen?

Ratkaisu:

1) poistonopeus.

2) – Toinen kone oli niin kaukana.

3) lähestymisnopeus.

4) Näin kauan kestää, että toinen kone saavuttaa ensimmäisen.

5) (km) - tällä etäisyydellä Moskovaan toinen kone saavuttaa ensimmäisen.

c) Kaksi autoa lähti kahdesta kaupungista, joiden välinen etäisyys on 560 km, toisiaan kohti ja kohtasi 4 tunnin kuluttua. Jos ensimmäisen auton nopeutta vähennetään 15 % ja toisen nopeutta lisätään 20 %, tapaaminen tapahtuu myös 4 tunnin kuluttua. Etsi jokaisen auton nopeus.

Ratkaisu:

Otetaan ensimmäisen auton nopeus 100 % tai 1.

1) lähestymisnopeus.

2) – toisen nopeus on yhtä suuri kuin ensimmäisen nopeus.

3) selittää lähestymisnopeuden.

4) ensimmäisen auton nopeus.

5) toisen auton nopeus.

d) Juna ohittaa lennätinpylvään neljännesminuutissa ja 0,7 km pituisen sillan 50 sekunnissa. Laskea keskinopeus junan liike ja pituus.

Ratkaisu: Tätä ongelmaa ratkaiseessaan opiskelijoiden on ymmärrettävä, että sillan ylittäminen on polun kävelyä yhtä pitkä kuin pituus silta ja junan pituus, mene lennätinpylvään ohi - kävele polkua, joka on yhtä pitkä kuin juna.

1) juna kulkee sillan pituutta vastaavan matkan.

2) – junan nopeus.

3) junan pituus.

e) Höyrylaiva tarvitsee 40 minuuttia enemmän matkustaakseen kahden laiturin välillä kuin vene. Veneen nopeus on 40 km/h ja höyrylaivan nopeus 30 km/h. Etsi laiturien välinen etäisyys.

Ratkaisu: 40 min h

1) höyrylaivan viive.

2) – poistoaste

2) – matkalla oli vene.

3) laiturien välinen etäisyys.

Nämä ovat vain muutamia liiketehtäviä valtavasta valikoimasta. Halusin heidän esimerkillään näyttää, kuinka voit pärjätä ilman yhtälöitä, kunnes opiskelijat ovat kehittäneet kykynsä ratkaista niitä. Luonnollisesti vahvat opiskelijat voivat tehdä tällaisia ​​tehtäviä, mutta tämä hieno mahdollisuus heidän matemaattinen kehitys.

5. Ongelmia "altaissa".

Tämä on toisenlainen tehtävä, joka aiheuttaa sekä mielenkiintoa että vaikeuksia lapsille. Sitä voidaan kutsua myös yhteisen työn tehtäviksi, johon kuuluu myös joitain liikkumiseen liittyviä tehtäviä.

Tämän tyypin nimi tulee hyvin tunnetusta muinaisesta ongelmasta:

A) Ateenan kaupungissa oli säiliö, johon laskettiin 3 putkea. Toinen putkista täyttää altaan 1 tunnissa, toinen, ohuempi, 2 tunnissa ja kolmas, vielä ohuempi, 3 tunnissa. Ota siis selvää, missä tunnissa kaikki kolme putkea yhdessä täyttävät altaan?

Ratkaisu:

1) (v./h) – täyttönopeus ΙΙ putkiputken läpi.

2) (v./h) – täyttönopeus ΙΙΙ-putken läpi.

3) (v./h) – kokonaisnopeus.

4) (h) – 3 putkea täyttää säiliön.

Voit tarjota lapsille toisen mielenkiintoisen ratkaisun:

Kuudessa tunnissa 6 säiliötä täytetään Ι-putken kautta, 3 säiliötä ΙΙ-putken kautta ja 2 säiliötä ΙΙ-putken kautta. Kaikki putket täyttävät 11 säiliötä 6 tunnissa, vastaavasti yhden säiliön täyttäminen kestää h.

Seuraavalla ongelmalla on samanlainen ratkaisu:

b) Leijona söi lampaat yhdessä tunnissa, susi söi lampaat kahdessa tunnissa ja koira söi lampaat kolmessa tunnissa. Ei väliä kuinka pian he, kaikki kolme - leijona, susi ja koira - söivät tuon lampaan, laske ne. (1600-luvun matemaattiset käsikirjoitukset).

c) Yksi mies juo kadin 14 päivässä, ja vaimonsa kanssa hän juo saman kadin 10 päivässä, ja tiedetään kuinka monta päivää hänen vaimonsa juo saman kadin. (Magnitskin "Aritmetiikasta")

Ratkaisu:

1) (h) – juoda päivä yhdessä.

) (h) – mies juo päivässä.

3) (h) – vaimo juo päivässä.

4) (d.) – vaimo tarvitsee sitä juodakseen juomaa.

d) Vanha ongelma. Villi ankka etelämereltä Pohjanmeri lentää 7 päivää. Villihanhi lentää Pohjanmereltä Etelämerelle 9 päivässä. Nyt ankka ja villihanhi lentävät ulos yhtä aikaa. Kuinka monessa päivässä he tapaavat? (samanlainen ratkaisu)

e) Kaksi jalankulkijaa lähti pisteistä A ja B samaan aikaan toisiaan kohti. He tapasivat 40 minuuttia lähdön jälkeen ja 32 minuuttia tapaamisen jälkeen ensimmäinen tuli B:lle. Kuinka monta tuntia B:stä lähdön jälkeen toinen tuli A:lle? (h) - työskentelee yhdessä.

7) – on purettava proomu.

6. Newtonin ongelma.

Lapsia kiinnostaa erityisesti ruohoa syövien lehmien ongelma.Ongelma julkaistiin ensimmäisen kerran General AritmeticissaI. Newton, mutta sen jälkeen se ei ole menettänyt merkitystään ja on yksiyksi kauniista aritmeettisista ongelmista, joka, vaikka se voidaan ratkaista muodostamalla yhtälö, on paljon kauniimpi - tehdä se johdonmukaisella päättelyllä. Minun piti seurata, kuinka lukiolaiset ymmärsivät sitä, esittelivät useita muuttujia, ja samalla viidesluokkalaiset ymmärsivät helposti ratkaisun, jos heille annettiin idea ratkaisuun.

7) (s.) - syödään päivässä, ja tämä on lehmien lukumäärä.

Vastaus: 20 lehmää.

Tämä työ tarjoaa esimerkkejä ja tarkastelee vain muutamia lukuisista tekstitehtävistä.

Lopuksi haluan todeta, että on välttämätöntä suhtautua myönteisesti erilaisiin tapoihin ratkaista ongelmia. Tarkalleenongelmanratkaisu eri tavoilla– erittäin jännittävä aktiviteetti eri ikäisille opiskelijoille. Kiinnostus, uteliaisuus, luovuus, halu menestyä - nämä ovat toiminnan houkuttelevia puolia.Jos opiskelija selviytyy matematiikan tunneilla tekstitehtävistä, eli hän pystyy jäljittämään ja selittämään ratkaisunsa loogisen ketjun, antamaan kuvauksen kaikista suureista, niin hän osaa myös menestyksekkäästi ratkaista fysiikan ja kemian tehtäviä, vertailla ja analysoida. , muuttaa tietoja kaikista akateemiset aineet koulun kurssi.

Kirjallisuus.

1. Arnold I.V. Aritmeettisten tehtävien valinnan ja valmistelun periaatteet // RSFSR:n pedagogisten tieteiden akatemian Izvestia. 1946. - Numero. 6 - s. 8-28.

2. Zubelevich G.I. Moskovan matemaattisten olympialaisten tehtäväkokoelma. – M.: Koulutus, 1971.

3. Shevkin A.V. Sanatehtävien ratkaisun opettaminen luokilla 5-6. – M.: Gals plus, 1998.

4 . Shevkin A.V. Kurssin materiaalit "Tekstitehtävät koulun matematiikan kurssilla": Luennot 1-4. – M.: Pedagoginen yliopisto "Syyskuun ensimmäinen", 2006. 88 s.

Etäopetus opettajille liittovaltion koulutusstandardin mukaisesti edulliseen hintaan

Webinaarit, jatkokoulutukset, ammatillinen uudelleenkoulutus ja ammatillinen koulutus. Matalat hinnat. Yli 7900 koulutusohjelmia. Valtion tutkintotodistus kursseista, uudelleenkoulutuksesta ja ammatillisesta koulutuksesta. Todistus webinaareihin osallistumisesta. Ilmaiset webinaarit. Lisenssi.

Päättää matemaattinen ongelma - tämä tarkoittaa sellaisen sekvenssin löytämistä yleisiä määräyksiä matematiikka, jota soveltamalla ongelman ehtoihin saamme sen, mitä tarvitsemme - vastauksen.

Tärkeimmät menetelmät tekstiongelmien ratkaisemiseksi ovat aritmeettisia ja algebrallisia menetelmiä sekä yhdistettyjä.

Ratkaise ongelma aritmeettinen menetelmä - tarkoittaa vastauksen löytämistä tehtävän vaatimukseen suorittamalla aritmeettisia operaatioita tehtävässä annetuille luvuille. Sama ongelma voidaan ratkaista eri aritmeettisilla tavoilla. Ne eroavat toisistaan ​​päättelylogiikassa ongelmanratkaisuprosessissa.

Ratkaise ongelma algebrallinen menetelmä - tarkoittaa vastauksen löytämistä ongelman vaatimukseen muodostamalla ja ratkaisemalla yhtälö tai yhtälöjärjestelmä.

Ratkaise käyttämällä algebrallista menetelmää seuraavan kaavion mukaisesti:

1) tunnistaa ongelman tekstissä käsitellyt suureet ja selvittää niiden välinen suhde;

2) esittele muuttujia (merkitse tuntemattomia määriä kirjaimilla);

3) syötettyjen muuttujien ja tietojen avulla tehtävät muodostavat yhtälön tai yhtälöjärjestelmän;

4) ratkaista tuloksena oleva yhtälö tai järjestelmä;

5) tarkista löydetyt arvot tehtävän ehtojen mukaisesti ja kirjoita vastaus muistiin.

Yhdistetty ratkaisumenetelmä sisältää sekä aritmeettisia että algebrallisia ratkaisumenetelmiä.

SISÄÄN ala-aste tehtävät jaetaan toimien lukumäärällä kun ratkaistaan ​​yksinkertaisia ​​ja monimutkaisia. Ongelmia, joissa kysymykseen vastaamiseksi on suoritettava vain yksi toimenpide, kutsutaan yksinkertainen. Jos tehtävän kysymykseen vastaamiseksi sinun on suoritettava kaksi tai useampia toimintoja, tällaisia ​​tehtäviä kutsutaan yhdiste.

Yhdistelmäongelma, kuten yksinkertainenkin, voidaan ratkaista useilla menetelmillä.

Tehtävä. Kalastaja sai 10 kalaa. Näistä 3 lahnaa, 4 ahventa ja loput haukea. Kuinka monta haukea kalastaja sai?

Käytännöllinen tapa.

Merkitään jokainen kala ympyrällä. Piirretään 10 ympyröitä ja nimeä pyydetyt kalat.

L L L O O O O O

Vastataksesi ongelman kysymykseen sinun ei tarvitse suorittaa aritmeettisia operaatioita, koska pyydettyjen haukien määrä vastaa merkitsemättömiä ympyröitä - niitä on kolme .

Aritmeettinen menetelmä.

1) 3+4=7(p) - pyydetty kala;

2) 10 - 7 = 3(p) - pyydetty hauki.

Algebrallinen menetelmä.

Olkoon x pyydetyt hauet. Sitten kaikkien kalojen lukumäärä voidaan kirjoittaa seuraavasti: 3 + 4 + x. Ongelman olosuhteiden mukaan kalastajan tiedetään saaneen vain 10 kalaa. Tämä tarkoittaa: 3 + 4 + x = 10. Kun tämä yhtälö on ratkaistu, saadaan x = 3 ja siten vastataan ongelman kysymykseen.

Graafinen menetelmä.

lahna ahven hauki

Tämä menetelmä, samoin kuin käytännöllinen, antaa sinun vastata ongelman kysymykseen suorittamatta aritmeettisia operaatioita.

Seuraava on yleisesti hyväksytty matematiikassa ongelmanratkaisuprosessin jako :

1) ongelman tekstin analyysi, ongelman kaavamainen tallentaminen, ongelman tutkimus;

2) ongelman ratkaisutavan löytäminen ja ratkaisusuunnitelman laatiminen;

3) löydetyn suunnitelman toteuttaminen;

4) ongelmaan löydetyn ratkaisun analysointi, todentaminen.

Menetelmiä ongelman ratkaisun löytämiseksi voidaan kutsua seuraavasti:

1) Analyysi: a) kun päättely siirtyy etsitystä ongelman dataan; b) kun kokonaisuus on jaettu osiin;

2) Synteesi: a) siirryttäessä tehtävätiedoista vaadittuihin;
b) kun elementit yhdistetään kokonaisuudeksi;

3) Ongelman uudelleenmuotoilu (muotoile selkeästi välitehtävät, jotka syntyvät ratkaisun etsimisen aikana);

4) Induktiivinen menetelmä ongelman ratkaisemiseksi: määritä tarkan piirustuksen perusteella kuvion ominaisuudet, tee johtopäätökset ja todista ne;

5) Analogian soveltaminen (muista samanlainen tehtävä);

6) Ennustaminen - ennakoida tulokset, joihin haku voi johtaa.

Katsotaanpa tarkemmin ongelmanratkaisuprosessi:

Liikuntatehtävä. Vene kulki jokea pitkin kahden laiturin välisen matkan 6 tunnissa ja takaisin 8 tunnissa. Kuinka kauan jokeen lasketulla lautalla kestää kulkea laitureiden välinen matka?

Tehtävän analyysi. Ongelma koskee kahta esinettä: venettä ja lautta. Veneellä on oma nopeus, ja lautalla ja joella, jota pitkin vene ja lautta kelluvat, on tietty virtausnopeus. Siksi vene kulkee jokea pitkin lyhyemmässä ajassa (6h) kuin virtaa vastaan (8h). Mutta näitä nopeuksia ei ole annettu ongelmassa, samoin kuin laiturien välinen etäisyys on tuntematon. Näitä tuntemattomia ei kuitenkaan tarvitse löytää, vaan aika, jonka aikana lautta kulkee tämän matkan.

Kaavamainen merkintä:

Vene 6 tuntia

lautta vene

8

Löytää tapa ratkaista ongelma. Meidän on löydettävä aika, joka kuluu lautalta kulkeakseen laiturien välinen etäisyys A ja B. Löytääksesi tämän ajan, sinun on tiedettävä etäisyys AB ja joen virtauksen nopeus. Molemmat ovat tuntemattomia, joten merkitään etäisyys AB kirjaimella S (km), ja nykyinen nopeus ja km/h. Jotta voit yhdistää nämä tuntemattomat ongelmatietoihin, sinun on tiedettävä veneen oma nopeus. Se on myös tuntematon, oletetaan, että se on yhtä suuri V km/h. Tästä syntyy ratkaisusuunnitelma, joka koostuu yhtälöjärjestelmän muodostamisesta käyttöönotettaville tuntemattomille.

Ongelmanratkaisun toteutus. Olkoon etäisyys S (km), joen virtausnopeus ja km/h, veneen oma nopeus V km/h, ja lautan vaadittu liikeaika on yhtä suuri x h.

Sitten veneen nopeus jokea pitkin on (V+a) km/h. Takana 6h tällä nopeudella liikkuva vene kulki matkan S (km). Siksi 6( V + a) =S(1). Tämä vene ajaa virtaa vastaan ​​nopeudella ( V - a)km/h ja hän kulkee tämän polun 8 tuntia siis 8( V - a) =S(2). Lautta kelluu joen nopeudella ja km/h, ui matkaa S (km) takana x h, siten, vai niin =S (3).

Tuloksena olevat yhtälöt muodostavat yhtälöjärjestelmän tuntemattomille a, x, S, V. Koska sinun tarvitsee vain löytää X, yritämme sulkea pois loput tuntemattomat.

Tätä varten yhtälöistä (1) ja (2) löydämme: V + a = , V - a = . Vähentämällä toinen ensimmäisestä yhtälöstä, saamme: 2 A= - . Täältä a = . Korvataan löydetty lauseke yhtälöön (3): x = . Missä x= 48 .

Ratkaisun tarkistaminen. Havaitsimme, että lautta kattaa laiturien välisen etäisyyden 48 tunnissa, joten sen nopeus yhtä suuri kuin nopeus joen virtaus on yhtä suuri kuin . Veneen nopeus jokea pitkin on yhtä suuri km/h, ja virtaa vastaan km/h Ratkaisun oikeellisuuden tarkistamiseksi riittää tarkistaa, ovatko veneen omat nopeudet kahdella tavalla samat: + Ja
- . Tehtyään laskelmat saadaan oikea yhtälö: = . Tämä tarkoittaa, että ongelma on ratkaistu oikein.

Vastaus: Lautta kulkee laiturien välisen matkan 48 tunnissa.

Ratkaisuanalyysi. Olemme pelkistäneet tämän ongelman ratkaisun kolmen yhtälön järjestelmän ratkaisemiseen neljässä tuntemattomassa. Yksi tuntematon piti kuitenkin löytää. Siksi herää ajatus, että tämä ratkaisu ei ole menestynein, vaikka se on yksinkertainen. Voimme tarjota toisen ratkaisun.

Kun tiedämme, että vene kulki etäisyyden AB jokea pitkin 6 tunnissa ja virtausta vastaan ​​8 tunnissa, havaitsemme, että 1 tunnissa vene kulkee joen virtauksen mukana osan tästä matkasta ja virtausta vastaan. Silloin niiden välinen ero - = on kaksinkertainen etäisyydelle AB, jonka lauta on ajanut 1 tunnissa. Keinot. Lautta kattaa osan matkasta AB 1 tunnissa, joten se kulkee koko matkan AB 48 tunnissa.

Tällä ratkaisulla meidän ei tarvinnut luoda yhtälöjärjestelmää. Tämä ratkaisu on kuitenkin monimutkaisempi kuin edellä esitetty (kaikki eivät voi selvittää veneen nopeuseroa alavirtaan ja joen virtausta vastaan).

Harjoituksia itsenäiseen työskentelyyn

1. Turisti, joka oli purjehtinut jokea pitkin lautalla 12 km, palasi takaisin veneellä, jonka nopeus tyynessä vedessä on 5 km/h, viettäen koko matkalla 10 tuntia. Selvitä joen nopeus.

2. Yhden työpajan tulee ommella 810 pukua, toisessa - 900 pukua samana aikana. Ensimmäiset valmiit tilaukset 3 päivää ja toinen 6 päivää ennen määräaikaa. Kuinka monta pukua jokainen työpaja ompeli päivässä, jos toinen ompeli 4 pukua enemmän päivässä kuin ensimmäinen?

3. Kaksi junaa lähtee toisiaan kohti kahdelta asemalta, joiden välinen etäisyys on 400 km. 4 tunnin kuluttua niiden välinen etäisyys pieneni 40 kilometriin. Jos toinen junista lähti tunnin aikaisemmin kuin toinen, he tapasivat matkan puolivälissä. Määritä junien nopeus.

4. Yhdessä varastossa on 500 tonnia hiiltä ja toisessa - 600 tonnia. Ensimmäinen varasto toimittaa 9 tonnia hiiltä päivittäin ja toinen - 11 tonnia hiiltä. Kuinka monessa päivässä varastoissa on yhtä paljon hiiltä?

5. Tallettaja otti säästöpankista 25 % rahoistaan ​​ja sitten 64 000 ruplaa. Tämän jälkeen tilille jäi 35 % kaikista rahoista. Mikä oli panos?

6. Työ kaksinumeroinen numero ja sen numeroiden summa on 144. Etsi tämä luku, jos sen toinen numero on 2 enemmän kuin ensimmäinen.

7. Ratkaise seuraavat tehtävät aritmeettisella menetelmällä:

a) Moottorivene matkasi jokea alaspäin 6 tuntia ja paluumatkalla 10 tuntia Veneen nopeus tyynessä vedessä on 16 km/h. Mikä on joen virtausnopeus?

c) Suorakulmaisen pellon pituus on 1536 m ja leveys 625 m. Yksi traktorinkuljettaja pystyy kyntämään tämän pellon 16 päivässä ja toinen 12 päivässä. Kuinka paljon aluetta molemmat traktorinkuljettajat kyntävät työskennellessään 5 päivää?

"...kun yritämme yhdistää matematiikan opetusta elämään, meidän on vaikea tulla toimeen ilman tekstiongelmia - perinteistä matematiikan opetusmenetelmää venäläiselle metodologialle."

A.V.Shevkin

Sanatehtävien ratkaisukyky on yksi tärkeimmistä oppilaiden matemaattisen kehityksen mittareista, oppimateriaalin omaksumisen syvyydestä, päättelyn selkeydestä ja eri asioiden loogisten näkökohtien ymmärtämisestä.

Sanatehtävät ovat vaikeita useimmille koululaisille, ja siksi niitä ei rakastettu koulutusmateriaalia. Kuitenkin koulun matematiikan kurssilla hänet annetaan hyvin tärkeä, koska tehtävät edistävät ennen kaikkea loogisen ajattelun, tilamielityksen kehittymistä ja matemaattisen tiedon käytännön soveltamista ihmisen toiminnassa.

Ongelmanratkaisuprosessissa opiskelija saa kokemusta työskentelystä määrien kanssa, ymmärtää niiden väliset suhteet sekä kokemusta matematiikan soveltamisesta tosielämän ongelmien ratkaisemiseen.Sanatehtävien ratkaiseminen kehittää loogista kulttuuria, herättäen kiinnostusta ensin ongelman ratkaisun etsintäprosessiin ja sitten opittavaan aiheeseen.

Perinteinen venäläinen koulu on aina kiinnittänyt erityistä huomiotaopettaa lapsia ratkaisemaan sanatehtäviä. Historiallisesti matemaattinen tieto siirtyi melko pitkän ajan sukupolvelta toiselle tekstitehtävien ja ratkaisujen muodossa. Niiden merkitys oli myös niiden soveltavassa merkityksessä, sillä sisällöltään ne olivat käytännön tehtäviä (pankkitoiminta, kauppa, maalaskelmat jne.). Venäjällä koulutetun ihmisen katsottiin olevan joku, joka osasi ratkaista nämä tyypilliset, jokapäiväisessä elämässä erittäin tärkeät ongelmat.

On huomattava, että käytännön ongelmien ratkaisemisen oppiminen ei ollut helppoa. Usein havaittiin ratkaisumenetelmän muistamista ilman tietoista tilan ymmärtämistä. Tärkeintä on määrittää ongelman tyyppi ja löytää sääntö sen ratkaisemiseksi, ymmärtäminen ei ollut tärkeää.

Keskelle päinXXvuosisadalla kehitettiin hyvä tekniikka ongelmanratkaisukoulutusta. Mutta valitettavasti opettajien havaittiin usein valmentavan opiskelijoita ratkaisemaan tyypillisiä tehtäviä, oppii ulkoa vakiotekniikat. Mutta on mahdotonta oppia ratkaisemaan ongelmia ulkoa otetun mallin avulla.

1960-luvun lopulla koulumatematiikan opetuksen uudistus sisälsi yhtälöiden varhaisen käyttöönoton, jotta ongelmanratkaisun opetus järjestettiin uudella tavalla. Algebrallisen menetelmän rooli sanatehtävien ratkaisemisessa luokilla 5-6 oli kuitenkin liioiteltu juuri siksi, että koulun opetussuunnitelma Aritmeettiset menetelmät on poistettu. Ja käytäntö on osoittanut, että ilman riittävää opiskelijoiden ajattelun valmistautumista ongelmien ratkaiseminen yhtälöiden avulla on epäkäytännöllistä. Opiskelijan tulee pystyä päättelemään ja kuvittelemaan esineiden kanssa tapahtuvia toimia.

Luokilla 5-6 on tarpeen kiinnittää riittävästi huomiota aritmeettiseen sanatehtävien ratkaisumenetelmään eikä kiirehtiä siirtymään algebralliseen menetelmään - ongelmien ratkaisemiseen yhtälön avulla. Kun opiskelija on oppinut algebrallisen menetelmän, on lähes mahdotonta palauttaa häntä "toimien ratkaisuun". Kun yhtälö on laadittu, tärkeintä on ratkaista se oikein ja välttää laskentavirhe. Eikä sinun tarvitse miettiä ollenkaan, mitä aritmeettisia operaatioita ratkaisun aikana tehdään ja mihin ne johtavat. Ja jos seuraamme yhtälön ratkaisua askel askeleelta, näemme samat toimet kuin aritmeettisessa menetelmässä. Vain opiskelija tuskin ajattelee tätä.

Hyvin usein havaitsemme, että lapsi ei ole valmis ratkaisemaan ongelmaa algebrallisesti, kun otamme käyttöön abstraktin muuttujan ja ilmaisu "anna x..." tulee näkyviin. Mistä tämä "X" on peräisin ja mitä sanoja tulisi kirjoittaa sen viereen, ei ole tässä vaiheessa selvää opiskelijalle. Ja tämä tapahtuu, koska se on otettava huomioon ikäominaisuudet lapset, jotka ovat tällä hetkellä kehittäneet visuaalista ja kuvallista ajattelua. He eivät vielä pysty abstrakteihin malleihin.

Mitä tarkoitamme vaatimuksella - ratkaista ongelma. Tämä tarkoittaa toimintosarjan löytämistä, joka tilan analysoinnin tuloksena johtaa vastaukseen ongelmassa esitettyyn kysymykseen. Vastauksen saamiseksi sinun on mentävä pitkä matka, alkaen siitä hetkestä, kun ymmärrät tekstin, pystyä korostamaan tärkeintä, "kääntämään" ongelma matematiikan kielelle korvaamalla sanat "nopeammin", " hitaammin "vähemmän" tai "enemmän", laatia graafinen malli tai taulukko, jonka avulla on helpompi ymmärtää ongelman olosuhteet, vertailla arvoja, määrittääloogiset suhteet ehdon mukaisten tietojen ja vaadittujen välillä. Ja tämä on erittäin vaikeaa lapsille.

On tärkeää huomata, että tehtävien tekstit on laadittava siten, että lapsi ymmärtää ja kuvittelee, mistä keskustellaan. Usein ennen ongelmanratkaisun aloittamista kuluu paljon aikaa kunnon analysointiin, jolloin opiskelijoiden on selitettävä, mikä on valurauta-aihio, miten se eroaa osasta, sekä teräsbetonituki, automaattikone, asuintilaa jne. Tehtävän tekstin on vastattava hänen havainnon tasoa. Ongelman tekstiä on tietysti lähennettävä oikea elämä niin näet käytännön käyttöä tämä malli.

Kun aloitetaan ongelman ratkaiseminen, on välttämätöntä paitsi kuvitella kyseinen tilanne, myös kuvata se piirustuksessa, kaaviossa tai taulukossa. On mahdotonta ratkaista ongelmaa laadullisesti ilman lyhyttä tallennetta tilasta. Juuri ehdon kaaviollinen piirtäminen mahdollistaa ratkaisusta keskusteltaessa kaikkien toimenpiteiden tunnistamisen, jotka on suoritettava ongelman kysymykseen vastaamiseksi.

Katsotaanpa joitain esimerkkejä tekstitehtävien ratkaisemisesta

Liikuntatehtävät

Tämän tyyppiset ongelmat ovat yleisiä koulujen matematiikan kursseilla. He ottavat yhteyttä eri tyyppejä liikkeet: kohti, vastakkaisiin suuntiin, samaan suuntaan (toinen tavoittaa toista).

Näiden tehtävien ymmärtämiseksi on kätevää piirtää kaavio. Mutta jos opiskelija tekee pöydän, häntä ei tarvitse vakuuttaa siitä tätä menetelmää Lyhyt kuvaus olosuhteista ei ole kovin hyvä. Koemme tiedon eri tavalla. Ehkä lapsi "näkee" tehtävän paremmin tässä näytössä.

Esimerkki 1. Kaksi pyöräilijää ajoi samanaikaisesti toisiaan kohti kahdesta kylästä ja tapasivat 3 tuntia myöhemmin. Ensimmäinen pyöräilijä kulki nopeudella 12 km/h ja toinen 14 km/h. Kuinka kaukana kylät ovat?

Tehdään ongelmalle kaavio, joka heijastaa tilannetta riittävästi (liikesuunnat, pyöräilijöiden nopeudet, matka-aika kokoukseen on merkitty, kysymys on selvä):

Tarkastellaan kahta tapaa ratkaista tämä ongelma:

1 tapa:

Perinteisesti haluamme ratkaista nämä ongelmat ottamalla käyttöön "sulkemisnopeuden" käsitteen ja löytämään sen liikkeen osallistujien nopeuksien summana (tai erotuksena). Liikkuessamme toisiaan kohti laskemme nopeudet yhteen:

1)12 + 14 = 26 (km/h) – lähestymisnopeus

Tietäen, että liikeaika on sama, toinen toimenpide sallii polkukaavan (S = vt) laske tarvittava etäisyys ja vastaa tehtävässä esitettyyn kysymykseen.

2) 26 3 = 78 (km)

Tehdään ilmaus:

3 (12 + 14) = 78 (km)

Vastaus : 78 km.

Mutta kaikki lapset eivät ymmärrä, mikä tämä abstrakti määrä on - lähestymisnopeus. Miksi kahden eri tienkäyttäjän nopeudet voidaan laskea yhteen tai vähentää niitä yhdistämällä? yleinen nimi. Jos oppilaasi ratkaisevat tämän ongelman eri tavalla, älä yritä saada heitä puolellesi. Joillekin ei ole vielä aika ymmärtää tätä, ja toisille ensimmäinen menetelmä ei ole koskaan saatavilla.

Tapa 2:

1)12 3 = 36 (km) – ensimmäisen pyöräilijän polku tapaamiseen

2)14 3 = 42 (km) – toisen pyöräilijän etäisyys kohtaamiseen

3)36 + 42 = 78 (km) – kylien välinen etäisyys

Tehdään ilmaus:

12 3 + 14 3 = 78 (km)

Vastaus : 78 km.

Vähitellen, kun lapsi oppii ymmärtämään tällaisia ​​ongelmia, vertaamalla numeerisia lausekkeita, on mahdollista osoittaa, että molemmat menetelmät ovat yhteydessä toisiinsa, ja samalla muistaa kertolaskujen jakautumisominaisuus:

12 3 + 14 3 = 3(12 + 14) = 78

Esimerkki 2. Kahdessa pakkauksessa oli 54 muistikirjaa. Kun ensimmäisestä pakkauksesta poistettiin 10 vihkoa ja toisesta 14 vihkoa, molemmissa pakkauksissa oli yhtä paljon vihkoja. Kuinka monta muistikirjaa kussakin paketissa oli alun perin?

Kuinka voin näyttää tilan?

1. Tee pöytä:

Poistettu

Se tuli

1 pakkaus - ? 54 tet.

2 pakkausta - ?

10 tet.

14 tet.

yhtä

2. Piirrä piirustus

He ottivat 14 kappaletta.

He ottivat 10 kappaletta.

Yhtä

Yhteensä 54 kpl.

Analysoidaan ongelman ratkaisu kiinnittäen huomiota siihen, mihin kysymyksiin vastaamme suorittaessamme jokaista aritmeettista operaatiota:

1) Kuinka monta muistikirjaa poistettiin molemmista pakkauksista?

10 + 14 = 24 (kpl);

2) Kuinka monta muistikirjaa kahdessa paketissa on?

– 24 = 30 (kpl);

3) Kuinka monta on kussakin muistikirjapakkauksessa?

30: 2 = 15 (kpl);

4) Kuinka monta muistikirjaa ensimmäisessä paketissa oli alun perin?

10 = 25 (kpl);

5) Kuinka monta muistikirjaa toisessa paketissa oli alun perin?

54 – 25 = 29 (kpl.).

Viidennellä luokalla opiskelija valitsee todennäköisesti juuri tämän menetelmän ongelman ratkaisemiseksi. Pyydä häntä ratkaisemaan tämä ongelma 6. tai 7. luokalla. Ehkä tilanne muuttuu ja opiskelija ratkaisee sen yhtälön avulla. Suorittamalla samat toiminnot hän ei ajattele lukuisia kysymyksiä. Kun valitset yhtälön ongelman ratkaisukeinoksi, tulet hyvin nopeasti samaan vastaukseen.

Miltä ratkaisu sitten näyttäisi?

Olkoon jokaisessa paketissa x muistikirjaa uudelleenjärjestelyn jälkeen,

sitten (x + 10) muistikirjaa oli alun perin ensimmäisessä paketissa ja

(x + 14) muistikirjaa oli alun perin toisessa paketissa.

Kun tiedämme, että kahdessa pakkauksessa oli 54 muistikirjaa, voimme luoda yhtälön:

x + 10 + x + 14 = 54

Yhtälö jäljittää kaikki samat toiminnot, jotka suoritetaan aritmeettisessa ongelmanratkaisumenetelmässä.

x + x + (10 + 14) = 54; (1 aritmeettisen menetelmän operaatio)

2x = 54 - 24; (toiminto 2)

x = 30:2; (toiminto 3)

15 + 10 = 25 (kpl.) (4 toimintoa)

15 + 14 = 29 (kpl.) (5 toimintoa)

Vastaus: 25 muistikirjaa, 29 muistikirjaa.

Mutta kukaan ei kysy mitään siitä, mitä löydämme suorittaessamme jokaisen vaiheen.

Näytän aina oppilailleni, että 5. tai 9. luokan tehtävätekstit ovat usein sisällöltään samanlaisia. Ja käytäntö osoittaa, että viidesluokkalaiset pystyvät selvittämään ehdot 9. luokan ongelmakirjasta ja jopa luomaan yhtälön. Tietenkään ei vieläkään ole tarpeeksi tietoa tällaisen yhtälön ratkaisemiseksi. Mutta samaan aikaan joka yhdeksäsluokkalainen ei onnistu ratkaisemaan 5. luokan tehtävää aritmeettisella menetelmällä.

Koululaiset valitsevat yleensä algebrallisen menetelmän tekstitehtävien ratkaisuun, he eivät juuri koskaan palaa aritmetiikkaan. He yksinkertaisesti lakkaavat näkemästä tätä menetelmää, vaan innostuvat muuttujien käyttöönotosta ja yhtälöiden muodostamisesta.

Miksi arvostamme aritmeettista menetelmää tekstitehtävien ratkaisemisessa? Ensimmäinen ja tärkein asia on, että jokaista aritmeettista operaatiota tehdessään opiskelija miettii kysymystä: "Mitä löysin tuloksena?" Hän kuvittelee, mistä ongelmassa on kyse, koska jokaisella toiminnalla on selkeä ja täsmällinen tulkinta. Tämän seurauksena se kehittyy aktiivisesti looginen ajattelu. Laskelmien, mittausten ja ratkaisujen etsimisen aikana opiskelija kehittää kognitiivista universaalia oppimistoimintaa, jonka muodostuminen ontärkein tehtävä moderni järjestelmä yleissivistävä peruskoulutus.

Sanatehtäviä opiskellaan koko koulun matematiikan kurssin ajan. Mutta on välttämätöntä opettaa ongelmien ymmärtämistä, olosuhteiden analysointia, päättelyä ja rationaalisten ratkaisujen löytämistä luokilla 5-6, kun niiden monimutkaisuusaste on alhainen ja itse ongelma on yksi tärkeimmistä kategorioista. Vaikea voidaan ymmärtää helpolla.

Aritmeettisten menetelmien käyttö ongelmien ratkaisussa kehittää kekseliäisyyttä ja älykkyyttä, kykyä esittää kysymyksiä ja vastata niihin, eli kehittää luonnollista kieltä ja valmistaa koululaisia ​​jatkokoulutukseen.

Aritmeettisten menetelmien avulla voit rakentaa ratkaisusuunnitelman, joka ottaa huomioon tunnettujen ja tuntemattomien suureiden väliset suhteet (ottaen huomioon ongelman tyypin), tulkita jokaisen toimenpiteen tulosta ongelman ehtojen puitteissa, tarkistaa oikein ratkaisun käänteisongelman laatimalla ja ratkaisemalla eli muodostamalla ja kehittämällä tärkeitä yleissivistävää taitoa.

Jos opiskelija selviytyy matematiikan tunneilla tekstitehtävistä, eli hän osaa jäljittää ja selittää ratkaisunsa loogisen ketjun, karakterisoida kaikki suureet, niin hän osaa myös menestyksekkäästi ratkaista fysiikan ja kemian tehtäviä, vertailla ja analysoida, muuntaa tietoa kaikissa akateemisissa aineissa koulukurssi.

Suuri D. Polya sanoi: "Jos haluat oppia uimaan, mene rohkeasti veteen, ja jos haluat oppia ratkaisemaan ongelmia, ratkaise ne."Jos opetamme lapsia ratkaisemaan ongelmia, emme vain lisää kiinnostusta itse aiheeseen, vaan vaikutamme merkittävästi heidän matemaattisen ajattelunsa muodostumiseen, mikä edistää uuden tiedon onnistunutta kehittämistä muilla aloilla.