Matemātiskā modeļa jēdziens. Matemātiskās modelēšanas posmi

Lekcija Nr.1

Ievads. Matemātisko modeļu un metožu jēdziens

1. sadaļa Ievads

2. Matemātisko modeļu konstruēšanas metodes. Sistemātiskas pieejas jēdziens. viens

3. Ekonomisko sistēmu matemātiskās modelēšanas pamatjēdzieni.. 4

4. Analītiskās, simulācijas un dabiskās modelēšanas metodes. 5

Drošības jautājumi... 6

1. Disciplīnas "Modelēšanas metodes" saturs, mērķi un uzdevumi

Šī disciplīna ir veltīta modelēšanas metožu izpētei un praktisks pielietojums iegūtās zināšanas. Disciplīnas mērķis ir iemācīt studentiem vispārīgus modelēšanas teorijas jautājumus, matemātisko modeļu konstruēšanas metodes un procesu un objektu formālu aprakstu, matemātisko modeļu izmantošanu skaitļošanas eksperimentu veikšanai un optimizācijas uzdevumu risināšanai, izmantojot modernus skaitļošanas rīkus.

Disciplīnas uzdevumi ietver:

Iepazīstināt studentus ar matemātiskās modelēšanas teorijas, sistēmu teorijas, līdzības teorijas, eksperimentu plānošanas teorijas un matemātisko modeļu veidošanai izmantojamo eksperimentālo datu apstrādes pamatjēdzieniem,

Sniegt studentiem prasmes modelēšanas problēmas iestatīšanas jomā, objektu / procesu / matemātiskā apraksta, skaitliskās metodes matemātisko modeļu ieviešanai datorā un optimizācijas uzdevumu risināšanā.

Disciplīnas apguves rezultātā studentam jāapgūst procesu un objektu matemātiskās modelēšanas metodes no problēmas formulēšanas līdz matemātisko modeļu ieviešanai datorā un modeļu izpētes rezultātu prezentēšanai.

Disciplīnas kurss paredzēts 12 lekcijām un 12 praktiskiem darbiem. Disciplīnas apguves rezultātā studentam jāapgūst matemātiskās modelēšanas metodes no problēmas formulēšanas līdz matemātisko modeļu ieviešanai datorā.

2. Matemātisko modeļu konstruēšanas metodes. Sistemātiskas pieejas jēdziens

5. Problēmas risinājums.

Operāciju izpētes metožu konsekventa izmantošana un to ieviešana mūsdienu informācijas un datortehnoloģijās ļauj pārvarēt subjektīvismu, izslēgt tā sauktos brīvprātīgos lēmumus, kas balstīti nevis uz stingru un precīzu objektīvu apstākļu izvērtēšanu, bet gan uz nejaušām emocijām un personīgo interesi. dažādu līmeņu vadītāji, kuri turklāt nespēj vienoties par šiem brīvprātīgajiem lēmumiem.

Sistēmas analīze ļauj ņemt vērā un izmantot pārvaldībā visu pieejamo informāciju par pārvaldāmo objektu, saskaņot pieņemtos lēmumus pēc objektīva, nevis subjektīva efektivitātes kritērija. Ietaupīt uz aprēķiniem braucot ir tas pats, kas taupīt uz tēmēšanu šaušanas laikā. Taču dators ne tikai dod iespēju ņemt vērā visu informāciju, bet arī paglābj vadītāju no nevajadzīgas informācijas, un ļauj visai nepieciešamajai informācijai apiet cilvēku, uzrādot viņam tikai vispārinātāko informāciju, kvintesenci. Sistēmiskā pieeja ekonomikā pati par sevi ir efektīva, neizmantojot datorus, kā pētniecības metode, savukārt tā nemaina iepriekš atklātos ekonomikas likumus, bet tikai māca tos labāk izmantot.

4. Analītiskās, simulācijas un dabiskās modelēšanas metodes

Simulācija ir spēcīgs paņēmiens zinātniskās zināšanas, kas pētāmo objektu aizstāj ar vienkāršāku objektu, ko sauc par modeli. Par galvenajām modelēšanas procesa šķirnēm var uzskatīt divus tā veidus - matemātisko un fizisko modelēšanu. Fizikālajā (dabiskajā) modelēšanā pētāmā sistēma tiek aizstāta ar citu tai atbilstošu materiālu sistēmu, kas reproducē pētāmās sistēmas īpašības, saglabājot to fizisko dabu. Šāda veida modelēšanas piemērs ir izmēģinājuma tīkls, ko izmanto, lai izpētītu pamata iespēju izveidot tīklu, pamatojoties uz noteiktiem datoriem, sakaru ierīcēm, operētājsistēmām un lietojumprogrammām.

Fiziskās modelēšanas iespējas ir diezgan ierobežotas. Tas ļauj atrisināt atsevišķas problēmas, norādot nelielu skaitu pētīto sistēmas parametru kombināciju. Patiešām, pilna mēroga datortīkla simulācijā ir gandrīz neiespējami pārbaudīt tā darbību, vai nav iespējams izmantot dažāda veida sakaru ierīces - maršrutētājus, slēdžus utt. Apmēram duci dažādu maršrutētāju veidu pārbaude praksē ir saistīta ne tikai ar lielu piepūli un laiku, bet arī ar ievērojamām materiālu izmaksām.

Bet pat gadījumos, kad tīkla optimizācija nemaina ierīču un operētājsistēmu veidus, bet tikai to parametrus, veicot eksperimentus reāllaikā milzīgs apjoms visas iespējamās šo parametru kombinācijas pārskatāmā nākotnē ir praktiski neiespējamas. Pat vienkārša maksimālā pakešu lieluma maiņa jebkurā protokolā prasa pārkonfigurēt operētājsistēmu simtiem tīkla datoru, kas prasa lielu darbu no tīkla administratora.

Tāpēc, optimizējot tīklus, daudzos gadījumos ir vēlams izmantot matemātisko modelēšanu. Matemātiskais modelis ir attiecību kopums (formulas, vienādojumi, nevienādības, loģiskie nosacījumi), kas nosaka sistēmas stāvokļa maiņas procesu atkarībā no tās parametriem, ieejas signāliem, sākuma nosacījumiem un laika.

Simulācijas modeļi ir īpaša matemātisko modeļu klase. Šādi modeļi ir datorprogramma, kas soli pa solim atveido notikumus, kas notiek reālā sistēmā. Attiecībā uz datortīkliem to simulācijas modeļi reproducē lietojumprogrammu ziņojumu ģenerēšanas procesus, ziņojumu sadalīšanu noteiktu protokolu paketēs un kadros, aizkaves, kas saistītas ar ziņojumu, pakešu un kadru apstrādi operētājsistēmā, piekļuves iegūšanas procesu datoru koplietojamā tīkla vidē, ienākošo pakešu apstrādes procesu ar maršrutētāju utt. Simulējot tīklu, nav jāiegādājas dārgas iekārtas – tās darbu imitē programmas, kas precīzi atveido visas tā galvenās funkcijas un parametrus. iekārtas.

Simulācijas modeļu priekšrocība ir iespēja notikumu maiņas procesu pētāmajā sistēmā reāllaikā aizstāt ar paātrinātu notikumu maiņas procesu programmas tempā. Rezultātā dažu minūšu laikā jūs varat reproducēt tīkla darbību vairākas dienas, kas ļauj novērtēt tīkla veiktspēju plašā mainīgo parametru diapazonā.

Simulācijas modeļa rezultāts ir notiekošo notikumu monitoringa laikā savāktie statistikas dati par tīkla svarīgākajiem raksturlielumiem: reakcijas laikiem, kanālu un mezglu izmantošanas rādītājiem, pakešu zuduma iespējamību utt.

Ir īpašas simulācijas valodas, kas atvieglo programmatūras modeļa izveides procesu, salīdzinot ar universālo programmēšanas valodu izmantošanu. Simulācijas valodu piemēri ir tādas valodas kā SIMULA, GPSS, SIMDIS.

Ir arī simulācijas modelēšanas sistēmas, kas koncentrējas uz šauru pētāmo sistēmu klasi un ļauj veidot modeļus bez programmēšanas.

testa jautājumi

4. LEKCIJA

Matemātiskās modelēšanas definīcija un mērķis

Zem modelis(no latīņu valodas modulis - mērs, paraugs, norma) mēs sapratīsim tādu materiāli vai garīgi attēlotu objektu, kas izziņas (pētījuma) procesā aizvieto sākotnējo objektu, saglabājot dažas no tā tipiskām iezīmēm, kas ir svarīgas šim pētījumam. . Modeļa veidošanas un izmantošanas procesu sauc par modelēšanu.

būtība matemātiskā modelēšana (MM) ietver pētāmā objekta (procesa) aizstāšanu ar atbilstošu matemātisko modeli un sekojošu šī modeļa īpašību izpēti, izmantojot vai nu analītiskās metodes, vai skaitļošanas eksperimentus.

Dažkārt stingras definīcijas vietā ir lietderīgāk aprakstīt konkrētu jēdzienu ar konkrētu piemēru. Tāpēc mēs ilustrējam iepriekš minētās MM definīcijas, izmantojot konkrētā impulsa aprēķināšanas problēmas piemēru. 60. gadu sākumā zinātnieki saskārās ar uzdevumu izstrādāt raķešu degvielu ar visaugstāko īpatnējo impulsu. Raķešu kustības princips ir šāds: šķidrā degviela un oksidētājs no raķešu tvertnēm tiek ievadīti dzinējā, kur tie tiek sadedzināti, un sadegšanas produkti tiek izvadīti atmosfērā. No impulsa saglabāšanas likuma izriet, ka šajā gadījumā raķete pārvietosies ar ātrumu.

Degvielas īpatnējais impulss ir iegūtais impulss, kas dalīts ar degvielas masu. Eksperimenti bija ļoti dārgi un noveda pie sistemātiskiem aprīkojuma bojājumiem. Izrādījās, ka vienkāršāk un lētāk ir aprēķināt ideālo gāzu termodinamiskās funkcijas, ar to palīdzību aprēķināt izdalīto gāzu sastāvu un plazmas temperatūru, un pēc tam īpatnējo impulsu. Tas ir, lai veiktu degvielas sadegšanas procesa MM.

Matemātiskās modelēšanas (MM) jēdziens mūsdienās ir viens no visizplatītākajiem zinātniskajā literatūrā. Lielākā daļa mūsdienu tēžu un disertāciju ir saistītas ar atbilstošu matemātisko modeļu izstrādi un izmantošanu. Datoru MM mūsdienās ir daudzu cilvēku darbības jomu (zinātnes, tehnoloģijas, ekonomika, socioloģija utt.) sastāvdaļa. Tas ir viens no iemesliem mūsdienu speciālistu trūkumam informācijas tehnoloģiju jomā.

Matemātiskās modelēšanas straujā izaugsme ir saistīta ar datortehnoloģiju straujo uzlabošanos. Ja vēl pirms 20 gadiem ar skaitliskiem aprēķiniem nodarbojās tikai neliels programmētāju skaits, tad šobrīd mūsdienu datoru atmiņas apjoms un ātrums, kas ļauj risināt matemātiskās modelēšanas uzdevumus, ir pieejams visiem speciālistiem, arī augstskolu studentiem.

Jebkurā disciplīnā vispirms tiek sniegts kvalitatīvs parādību apraksts. Un tad - kvantitatīvs, formulēts likumu veidā, kas nosaka attiecības starp dažādiem lielumiem (lauka stiprums, izkliedes intensitāte, elektronu lādiņš, ...) matemātisko vienādojumu veidā. Tāpēc var teikt, ka katrā disciplīnā ir tik daudz zinātnes, cik tajā ir matemātiķu, un šis fakts ļauj veiksmīgi atrisināt daudzas problēmas, izmantojot matemātiskās modelēšanas metodes.

Šis kurss ir paredzēts lietišķās matemātikas studentiem, kuri gatavo diplomdarbus dažādu jomu vadošo zinātnieku uzraudzībā. Tāpēc šis kurss ir nepieciešams ne tikai kā mācību materiāls, bet arī kā gatavošanās diplomdarbam. Lai apgūtu šo kursu, mums būs nepieciešamas šādas matemātikas sadaļas:

1. Matemātiskās fizikas vienādojumi (Kantia mehānika, gāze un hidrodinamika)

2. Lineārā algebra (elastības teorija)

3. Skalārie un vektoru lauki (lauka teorija)

4. Varbūtību teorija ( kvantu mehānika, statistiskā fizika, fizikālā kinētika)

5. Īpašas iezīmes.

6. Tenzoru analīze (elastības teorija)

7. Matemātiskā analīze

MM dabaszinātnēs, inženierzinātnēs un ekonomikā

Vispirms apskatīsim dažādas dabaszinātņu, tehnoloģiju, ekonomikas nozares, kurās tiek izmantoti matemātiskie modeļi.

dabaszinātnes

Fizika, kas nosaka dabaszinātņu pamatlikumus, jau sen ir sadalīta teorētiskajā un eksperimentālajā. Vienādojumu atvasināšana, kas apraksta fiziskas parādības, kas nodarbojas ar teorētisko fiziku. Tādējādi teorētisko fiziku var uzskatīt arī par vienu no matemātiskās modelēšanas jomām. (Atgādinām, ka pirmās grāmatas par fiziku nosaukums - I.Ņūtona "Dabas filozofijas matemātiskie principi" mūsdienu valodā var tikt tulkots kā "Dabaszinātņu matemātiskie modeļi".) Pamatojoties uz iegūtajiem likumiem, tiek veikti inženiertehniskie aprēķini. kas tiek veikti dažādos institūtos, firmās, projektēšanas birojos. Šīs organizācijas izstrādā tehnoloģijas modernu produktu ražošanai, kas ir zinātniski ietilpīgi, līdz ar to zinātnes ietilpīgo tehnoloģiju jēdziens ietver aprēķinus, izmantojot atbilstošus matemātiskos modeļus.

Viena no plašākajām fizikas nozarēm - klasiskā mehānika(dažreiz šo sadaļu sauc par teorētisko vai analītisko mehāniku). Šī teorētiskās fizikas sadaļa pēta ķermeņu kustību un mijiedarbību. Aprēķini, izmantojot teorētiskās mehānikas formulas, nepieciešami, pētot ķermeņu rotāciju (aprēķinot inerces momentus, žirostatus - ierīces, kas notur griešanās asis nekustīgas), analizējot ķermeņa kustību vakuumā utt. Viena no sadaļām Teorētiskās mehānikas teoriju sauc par stabilitātes teoriju, un tā ir pamatā daudziem matemātiskiem modeļiem, kas apraksta lidmašīnu, kuģu, raķešu kustību. Praktiskās mehānikas sadaļas - kursi "Mašīnu un mehānismu teorija", "Mašīnu daļas", apgūst gandrīz visu tehnisko augstskolu (arī MGIU) studenti.

Elastības teorija- sadaļas daļa kontinuuma mehānika, kas pieņem, ka elastīga ķermeņa materiāls ir viendabīgs un nepārtraukti sadalīts visā ķermeņa tilpumā, tā ka mazākajam no ķermeņa izgrieztajam elementam ir tādas pašas fizikālās īpašības kā visam ķermenim. Elastības teorijas pielietojumu - kursu "materiālu stiprība" apgūst visu tehnisko augstskolu (arī MGIU) studenti. Šī sadaļa ir nepieciešama visiem stiprības aprēķiniem. Šeit ir kuģu, lidmašīnu, raķešu korpusu stiprības aprēķins, ēku tērauda un dzelzsbetona konstrukciju stiprības aprēķins un daudz kas cits.

Gāze un hidrodinamika, kā arī elastības teorija - sadaļas daļa kontinuuma mehānika, ņem vērā šķidruma un gāzes kustības likumus. Gāzes un hidrodinamikas vienādojumi ir nepieciešami, analizējot ķermeņu kustību šķidrā un gāzveida vidē (satelīti, zemūdenes, raķetes, čaulas, automašīnas), aprēķinot gāzes aizplūšanu no raķešu un lidmašīnu dzinēju sprauslām. Šķidruma dinamikas praktiskā pielietošana – hidraulika (bremzes, stūre,...)

Iepriekšējās mehānikas sadaļās tika aplūkota ķermeņu kustība makrokosmosā, un makrokosmosa fiziskie likumi nav piemērojami mikrokosmosā, kurā pārvietojas matērijas daļiņas - protoni, neitroni, elektroni. Šeit darbojas pavisam citi principi, un, lai aprakstītu mikropasauli, tas ir nepieciešams kvantu mehānika. Pamatvienādojums, kas apraksta mikrodaļiņu uzvedību, ir Šrēdingera vienādojums: . Šeit ir Hamiltona operators (Hamiltonian). Viendimensijas daļiņu kustības vienādojumam https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-potenciālā enerģija. Šī vienādojuma risinājums ir enerģijas īpašvērtību un īpašfunkciju kopa..gif" width="55" height="24 src=">– varbūtības blīvums. Kvantu mehāniskie aprēķini ir nepieciešami jaunu materiālu (mikroshēmu) izstrādei, lāzeru radīšanai, spektrālās analīzes metožu izstrādei utt.

Tiek atrisināts liels skaits uzdevumu kinētika aprakstot daļiņu kustību un mijiedarbību. Šeit un difūzija, siltuma pārnese, plazmas teorija - ceturtais matērijas stāvoklis.

statistiskā fizika uzskata daļiņu ansambļus, ļauj pateikt par ansambļa parametriem, pamatojoties uz atsevišķu daļiņu īpašībām. Ja ansamblis sastāv no gāzes molekulām, tad ar statistiskās fizikas metodēm atvasinātās ansambļa īpašības ir no vidusskolas labi zināmie gāzes stāvokļa vienādojumi: https://pandia.ru/text/78/009/images/ image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17">-gāzes molekulmasa. K ir Ridberga konstante. Statistiskās metodes izmanto arī metālu šķīdumu, kristālu un elektronu īpašību aprēķināšanai. Statistiskās fizikas MM ir termodinamikas teorētiskais pamats, kas ir dzinēju, siltumtīklu un staciju aprēķinu pamatā.

Lauka teorija apraksta ar MM metodēm vienu no galvenajām matērijas formām – lauku. Šajā gadījumā primārie ir elektromagnētiskie lauki. Vienādojumi elektromagnētiskais lauks(elektrodinamika) atvasināja Maksvels:, , , . Šeit un https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - lādiņa blīvums, - strāvas blīvums. Izplatīšanās aprēķinu pamatā ir elektrodinamiskie vienādojumi elektromagnētiskie viļņi nepieciešams aprakstīt radioviļņu izplatību (radio, televīzija, šūnu sakari), izskaidrot radara staciju darbību.

Ķīmiju var attēlot divos aspektos, izceļot aprakstošo ķīmiju - ķīmisko faktoru atklāšanu un to aprakstu - un teorētisko ķīmiju - teoriju izstrādi, kas ļauj vispārināt konstatētos faktorus un pasniegt tos konkrētas sistēmas veidā (L. Paulings) . Teorētisko ķīmiju sauc arī par fizikālo ķīmiju, un tā būtībā ir fizikas nozare, kas pēta vielas un to mijiedarbību. Tāpēc viss, kas teikts par fiziku, pilnībā attiecas uz ķīmiju. Fizikālās ķīmijas sadaļas būs termoķīmija, kas pēta reakciju termiskos efektus, ķīmisko kinētiku (reakcijas ātrumu), kvantu ķīmiju (molekulu uzbūvi). Tajā pašā laikā ķīmijas problēmas ir ārkārtīgi sarežģītas. Tā, piemēram, lai atrisinātu kvantu ķīmijas problēmas - zinātni par atomu un molekulu uzbūvi, tiek izmantotas programmas, kas pēc apjoma ir salīdzināmas ar valsts pretgaisa aizsardzības programmām. Piemēram, lai aprakstītu UCl4 molekulu, kas sastāv no 5 atomu kodoliem un +17 * 4) elektroniem, jāpieraksta kustības vienādojums - vienādojumi daļējos atvasinājumos.

Bioloģija

Matemātika bioloģijā īsti ienāca tikai 20. gadsimta otrajā pusē. Pirmie mēģinājumi matemātiski aprakstīt bioloģiskos procesus ir saistīti ar populācijas dinamikas modeļiem. Populācija ir vienas sugas indivīdu kopiena, kas uz Zemes aizņem noteiktu kosmosa apgabalu. Šī matemātiskās bioloģijas joma, kas pēta populācijas lieluma izmaiņas dažādos apstākļos (konkurējošu sugu klātbūtne, plēsēji, slimības utt.), turpināja kalpot par matemātisko izmēģinājumu poligonu, kurā tika "veikti" matemātiskie modeļi. dažādas bioloģijas jomas. Tostarp evolūcijas, mikrobioloģijas, imunoloģijas un citu ar šūnu populācijām saistītu jomu modeļi.
Pats pirmais slavens modelis, kas formulēts bioloģiskā vidē, ir slavenā Fibonači sērija (katrs nākamais skaitlis ir iepriekšējo divu summa), ko Leonardo no Pizas citē savos darbos 13. gadsimtā. Šī ir skaitļu sērija, kas raksturo trušu pāru skaitu, kas piedzimst katru mēnesi, ja truši sāk vairoties no otrā mēneša un katru mēnesi rada trušu pāri. Rinda attēlo skaitļu virkni: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

8, 13, …

Vēl viens piemērs ir jonu transmembrānu transporta procesu izpēte uz mākslīgās divslāņu membrānas. Šeit, lai izpētītu poru veidošanās likumus, caur kuriem jons caur membrānu nonāk šūnā, ir jāizveido eksperimentāli pētāma modeļa sistēma, kurai var izveidot labi izstrādātu fizisko aprakstu. lietots.

Klasisks MM piemērs ir arī Drosophila populācija. Vēl ērtāks modelis ir vīrusi, kurus var pavairot mēģenē. Modelēšanas metodes bioloģijā ir sistēmu dinamiskās teorijas metodes, un līdzekļi ir diferenciālvienādojumi un diferenciālvienādojumi, diferenciālvienādojumu kvalitatīvās teorijas metodes, simulācijas modelēšana.
Modelēšanas mērķi bioloģijā:
3. Sistēmas elementu mijiedarbības mehānismu noskaidrošana
4. Modeļa parametru identificēšana un pārbaude, izmantojot eksperimentālos datus.
5. Sistēmas (modeļa) stabilitātes novērtējums.

6. Sistēmas uzvedības prognozēšana dažādās ārējās ietekmēs, dažādi veidi vadība un tā tālāk.
7. Optimāla sistēmas vadība atbilstoši izvēlētajam optimizācijas kritērijam.

Tehnika

Ar tehnoloģiju pilnveidošanu nodarbojas liels skaits speciālistu, kuri savā darbā balstās uz zinātnisko pētījumu rezultātiem. Tāpēc MM tehnoloģijā ir tādi paši kā MM dabaszinātnēs, kas tika apspriesti iepriekš.

Ekonomika un sociālie procesi

Ir vispāratzīts, ka matemātisko modelēšanu kā makroekonomisko procesu analīzes metodi pirmo reizi izmantoja karaļa Luija XV ārsts Dr. Fransuā Kvesnē, kurš 1758. gadā publicēja darbu "Saimnieciskā tabula". Šajā darbā pirmais mēģinājums kvantitatīvi raksturot tautsaimniecību. Un 1838. gadā grāmatā O. Kurno"Bagātības teorijas matemātisko principu izpēte" kvantitatīvās metodes vispirms tika izmantotas, lai analizētu konkurenci preču tirgū dažādās tirgus situācijās.

Plaši zināma ir arī Maltusa populācijas teorija, kurā viņš izvirzīja domu, ka iedzīvotāju skaita pieaugums ne vienmēr ir vēlams, turklāt šis pieaugums ir straujāks par pieaugošajām iespējām nodrošināt iedzīvotājus ar pārtiku. Šāda procesa matemātiskais modelis ir pavisam vienkāršs: Ļaujiet - iedzīvotāju skaita pieaugums laika gaitā https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> iedzīvotāju skaits bija vienāds ar . un ir koeficienti, ņemot vērā dzimstības un mirstības rādītājus (personas/gadā).

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Instrumentālās un matemātiskās metodes" href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="bookmark">matemātiskās analīzes metodes (piemēram, in pēdējās desmitgadēs humanitārajās zinātnēs parādījās kultūras attīstības matemātiskās teorijas, tika uzbūvēti un pētīti mobilizācijas matemātiskie modeļi, sociokulturālo procesu cikliskā attīstība, tautas un valdības mijiedarbības modelis, bruņošanās sacensību modelis u.c. ).

Vispārīgākajā izteiksmē sociāli ekonomisko procesu MM procesu nosacīti var iedalīt četros posmos:

hipotēžu sistēmas formulēšana un konceptuālā modeļa izstrāde; attīstību matemātiskais modelis; modeļu aprēķinu rezultātu analīze, kas ietver to salīdzināšanu ar praksi; jaunu hipotēžu formulēšana un modeļa pilnveidošana aprēķinu rezultātu un praktisko datu neatbilstības gadījumā.

Ņemiet vērā, ka matemātiskās modelēšanas process parasti ir ciklisks, jo pat pētot relatīvi vienkārši procesi reti ir iespējams izveidot adekvātu matemātisko modeli un izvēlēties tā precīzus parametrus no pirmā soļa.

Patlaban ekonomika tiek uzskatīta par kompleksu attīstošu sistēmu, kuras kvantitatīvai aprakstīšanai tiek izmantoti dažādas sarežģītības pakāpes dinamiskie matemātiskie modeļi. Viena no makroekonomiskās dinamikas izpētes jomām ir saistīta ar salīdzinoši vienkāršu nelineāru simulācijas modeļu konstruēšanu un analīzi, kas atspoguļo dažādu apakšsistēmu mijiedarbību - darba tirgus, preču tirgus, finanšu sistēma, dabas vide u.c.

Katastrofu teorija veiksmīgi attīstās. Šī teorija aplūko jautājumu par apstākļiem, kādos nelineāras sistēmas parametru izmaiņas izraisa fāzes telpas punkta, kas raksturo sistēmas stāvokli, pārvietošanos no pievilkšanās apgabala uz sākotnējo līdzsvara stāvokli uz pievilkšanas apgabalu. uz citu līdzsvara stāvokli. Pēdējais ir ļoti svarīgs ne tikai tehnisko sistēmu analīzei, bet arī sociāli ekonomisko procesu ilgtspējas izpratnei. Šajā sakarā secinājumi par nelineāro modeļu izpētes nozīmi pārvaldībā. 1990. gadā izdotajā grāmatā "Katastrofu teorija" viņš jo īpaši raksta: "... pašreizējā pārstrukturēšana lielā mērā ir saistīta ar to, ka ir sākuši darboties vismaz daži atgriezeniskās saites mehānismi (bailes no personas iznīcināšanas). ”.

(modeļa parametri)

Veidojot reālu objektu un parādību modeļus, bieži nākas saskarties ar informācijas trūkumu. Pētējamajam objektam īpašību sadalījums, ietekmes parametri un sākotnējais stāvoklis ir zināmi ar dažādu nenoteiktības pakāpi. Veidojot modeli, ir iespējamas šādas neskaidru parametru aprakstīšanas iespējas:

Matemātisko modeļu klasifikācija

(ieviešanas metodes)

MM ieviešanas metodes var klasificēt saskaņā ar tabulu zemāk.

Matemātiskās modelēšanas ietvaros šī vārda šaurā nozīmē viņi aprakstu saprot reālo fizikālo, ķīmisko, tehnoloģisko, bioloģisko, ekonomisko un citu procesu vienādojumu un nevienādību veidā. Lai izmantotu matemātiskās metodes dažādu procesu analīzei un sintēzei, ir jāprot šos procesus aprakstīt matemātikas valodā, tas ir, aprakstīt tos vienādojumu un nevienādību sistēmas veidā.

Matemātiskās metodes darbojas kā veids, kā iegūt jaunas zināšanas par objektu. Tas attiecas ne tikai uz sistēmām. Atskatoties pagātnē, pievēršoties zinātnes vēsturei, pētnieks redz, ka visa zinātnes dinamika ir skatāma kā nepārtraukts jaunu, progresīvāku un jaudīgāku modeļu veidošanas process. Ir iesakņojusies atziņa, ka “visas zināšanas ir simulācija” (N.Amosovs). Vispārējās sistēmu teorijas ietekmē notika pārdomāšana, pārvērtēšana un klasiskās idejas. Matemātiskās modelēšanas jēdzienu sāka interpretēt tik plaši, ka tas ietvēra visu zināšanu formalizāciju un matematizāciju. " Matemātiskais modelis ir tikai īpaša apraksta metode, kas ļauj analīzei izmantot matemātikas formālo loģisko aparātu."(Moisejevs N.N., 1973).

Taču sarežģītu un lielu sistēmu modeļi būtībā un kvalitatīvi ir kas cits. Ar analītisko, formāli-loģisko aparātu šeit vairs nepietiek. Šī darba ietvaros ar matemātisko modeli tiek saprasta jebkura matemātiska konstrukcija, kas ir liela un/vai sarežģīta dinamiska sistēma un kurai attiecībā pret pētāmo sistēmu (sākotnējo sistēmu) piemīt strukturāli funkcionāla izomorfisma īpašība.

Pastāv būtiska atšķirība starp modelēšanu un kvantitatīvā vai kvalitatīvā rezultāta iegūšanu ar matemātiskām metodēm. Matemātikas izmantošana kļūst iespējama, kad kļūst skaidrs, ko un kādam nolūkam noteikt, novērtēt, mērīt, ko un kā apstrādāt ar matemātiskām metodēm. Modelis nekalpo šiem mērķiem. Matemātiskā modelēšana nav matemātiska rīka pielietošana objektam, tā nav konkrētu problēmu risināšana ar matemātiskiem līdzekļiem. Tā ir pētāmajam objektam izofunkcionāla abstrakta objekta konstruēšana ar formālām metodēm un līdzekļiem turpmākai kvantitatīvās un kvalitatīvās analīzes matemātisko metožu pielietošanai. Tajā pašā laikā matemātikas kā valodas (metateorijas) izmantošana modelēšanā iegūtajiem secinājumiem piešķir liecības spēku. Ēkas modeļu darbība nepieder pie matemātikas un to veic (jāveic) nevis matemātiķi, bet gan konkrētas zināšanu jomas speciālisti.

Lai izveidotu sistēmas modeli, ir vajadzīgas tās jēgpilnas empīriskās idejas, tās aprakstošās zinātnes, kas ir pirms formalizētu zinātņu rašanās. Šie apraksti formalizētā zinātnē nav iekļauti komponentu veidā, bet tikai atvieglo formalizācijas procesu, bagātina formalizācijas heiristiskās iespējas. Modelim nav nepieciešams iepriekšējs modelētā objekta apraksts, jo tas pats par sevi ir apraksta forma.

Modeļa un realitātes attiecības atšķiras no realitātes attiecības un matemātiskā formula. Formula ir hieroglifs, realitātes zīme. Modelis ir pati realitāte. Var iebilst, ka fiziķis vai matemātiķis lieliski izjūt dinamiku, reālās attiecības, kas slēpjas aiz formulas, neuztver to kā hieroglifu, un turklāt mūsdienu matemātika ir tālu no vienkāršas un ne tikai formulas. Un tomēr zinātnieks nevar domāt ar formulām. Cita lieta ir modelis. Viņai ir dinamika, viņa dzīvo (ne tikai pārnestā nozīmē, dažreiz arī iekšā burtiski vārdi). Pētnieks var domāt modeļos, viņam rodas figurālās domāšanas iespēja. Modeļu pasaulē saplūst mākslinieciskā un loģiskā realitātes uztvere.

Matemātiskā modelēšana neizslēdz klasiskās matemātikas izmantošanu, turklāt kā daļa no modeļa matemātika saņem iespiešanās spēku un universālumu, kas tai tika liegts klasiskajā laikmetā.

Ja mēs aplūkojam kādu objektu kā veselumu, ko nosaka tā ārējās īpašības, mēs varam efektīvi izmantot analītiskās apraksta metodes procesiem, kas notiek ārpus šī veseluma. Bet, tiklīdz mēs izvirzām uzdevumu aprakstīt lielas un/vai sarežģītas sistēmas iekšējo aprakstu, aprakstot mijiedarbību starp tās daļām, elementiem un apakšsistēmām, izmantojot klasiskās matemātikas metodes, mēs uzreiz saskaramies ar nepārvaramām grūtībām.

No otras puses, mēģinājums aprakstīt noteiktu sistēmu ar procesuālām metodēm kopumā, neiekļūstot tās iekšējā struktūrā, struktūrā un elementu funkcijās, kā likums, nenovedīs pie būtiska rezultāta. Katrai metodei ir sava vieta.

Analītisko struktūru matemātikā mums vispirms ir jāsaprot un pēc tam jāapraksta. Modelēšanā, algoritmisko procesu matemātikā, pats vēl nesaprastā aprakstīšanas process bieži vien kļūst par izpratnes līdzekli.

Matemātiskā modelēšana kā zinātnisko pētījumu metodoloģija apvieno dažādu zinātņu nozaru pieredzi par dabu un sabiedrību, lietišķo matemātiku, datorzinātni un sistēmu programmēšanu fundamentālu problēmu risināšanai. Sarežģītas dabas objektu matemātiskā modelēšana - viens pilnīgs izstrādes cikls no fundamentālie pētījumi problēmas konkrētiem objekta darbības rādītāju skaitliskiem aprēķiniem. Izstrādes rezultāts ir matemātisko modeļu sistēma, kas apraksta kvalitatīvi neviendabīgus objekta funkcionēšanas modeļus un tā evolūciju kopumā kā sarežģītas sistēmas dažādos apstākļos. Skaitļošanas eksperimenti ar matemātiskajiem modeļiem sniedz sākotnējos datus objekta veiktspējas rādītāju novērtēšanai. Tāpēc matemātiskā modelēšana kā galveno problēmu zinātniskās ekspertīzes organizēšanas metodika ir neaizstājama tautsaimniecības risinājumu izstrādē. (Pirmkārt, tas attiecas uz ekonomisko sistēmu modelēšanu). Pamatā matemātiskā modelēšana ir metode jaunu sarežģītu problēmu risināšanai, tāpēc matemātiskās modelēšanas pētījumiem vajadzētu būt priekšā. Iepriekš nepieciešams izstrādāt jaunas metodes, apmācīt personālu, kas prot šīs metodes pielietot ar zināšanām jaunu praktisku problēmu risināšanā. Matemātiskais modelis var rasties trīs veidos:1. Reālā procesa tiešas izpētes rezultātā. Tādus modeļus sauc par fenomenoloģiskiem.2. Dedukcijas procesa rezultātā. Jauns modelis ir kāda vispārīga modeļa īpašs gadījums. Tādus modeļus sauc par asimptotiskiem.3. Indukcijas procesa rezultātā. Jaunais modelis ir elementāru modeļu vispārinājums. Šādus modeļus sauc par ansambļa modeļiem. Modelēšanas process sākas ar vienkāršota procesa modelēšanu, kas, no vienas puses, atspoguļo galvenās kvalitatīvās parādības, un, no otras puses, ļauj veikt diezgan vienkāršu matemātisku aprakstu. Pētījumiem padziļinoties, tiek veidoti jauni modeļi, kas šo fenomenu apraksta sīkāk. Faktori, kas šajā posmā tiek uzskatīti par sekundāriem, tiek izmesti. Tomēr turpmākajos pētījuma posmos, jo modelis kļūst sarežģītāks, tos var iekļaut apsvērumā. Atkarībā no pētījuma mērķa vienu un to pašu faktoru var uzskatīt par galveno vai sekundāro faktoru Matemātiskais modelis un reālais process nav identiski. Parasti matemātiskais modelis tiek veidots ar zināmu vienkāršošanu un idealizāciju. Tas tikai aptuveni atspoguļo reālo pētījuma objektu, un reāla objekta izpētes rezultāti ar matemātiskām metodēm ir aptuveni. Pētījuma precizitāte ir atkarīga no modeļa un objekta atbilstības pakāpes un no pielietoto skaitļošanas matemātikas metožu precizitātes. Matemātisko modeļu konstruēšanas shēma ir šāda:1. Izpētāmā parametra vai funkcijas izvēle.2. Likuma izvēle, kurai šī vērtība pakļaujas.3. Jomas izvēle, kurā vēlaties pētīt šo parādību.

Teorētiskā disciplīna kļūst eksaktā zinātne kad tas darbojas ar kvantitatīviem raksturlielumiem. Modeļa kvalitatīvajam aprakstam seko otrā abstrakcijas fāze - modeļa kvantitatīvais apraksts. Pat Galileo Galilejs teica, ka dabas grāmata ir uzrakstīta matemātikas valodā. Imanuels Kants pasludināja, ka "jebkurā zinātnē ir tikpat daudz patiesības, cik tajā ir matemātikas". Un Deividam Hilbertam pieder vārdi: “Matemātika − visu eksakto dabaszinātņu pamatā.

Matemātiskā modelēšana ir teorētiska un eksperimentāla kognitīvās un radošās darbības metode, tā ir parādību, procesu un sistēmu (oriģinālo objektu) izpētes un skaidrošanas metode, kuras pamatā ir jaunu objektu - matemātisko modeļu radīšana.

Matemātiskais modelis parasti tiek saprasts kā attiecību kopums (vienādojumi, nevienādības, loģiski nosacījumi, operatori utt.), kas nosaka modelēšanas objekta stāvokļu īpašības un caur tiem izejas vērtības - reakcijas atkarībā no oriģinālā objekta parametri, ievades darbības , sākuma un robežnosacījumi un laiks.

Matemātiskais modelis, kā likums, ņem vērā tikai tās sākotnējā objekta īpašības (atribūti), kas atspoguļo, nosaka un interesē no konkrēta pētījuma mērķu un uzdevumu viedokļa. Tāpēc atkarībā no modelēšanas mērķiem, aplūkojot vienu un to pašu oriģinālo objektu no dažādiem skatu punktiem un dažādos aspektos, pēdējam var būt dažādi matemātiskie apraksti un rezultātā tie var tikt attēloti ar dažādiem matemātiskajiem modeļiem.

Ņemot vērā iepriekš minēto, mēs sniegsim vispārīgāko, bet tajā pašā laikā stingrāko matemātiskā modeļa konstruktīvo definīciju, ko formulējis P.J. Koens.

Definīcija 4.1. Matemātiskais modelis ir formāla sistēma, kas ir ierobežots simbolu kopums un ir pilnībā stingri noteikumi darbība ar šiem simboliem saistībā ar konkrēta objekta īpašību interpretāciju ar dažām relācijām, simboliem vai konstantēm.

Kā izriet no iepriekš minētās definīcijas, galīgā simbolu kolekcija (alfabēts) un pilnīgi stingri noteikumi šo simbolu darbībai (matemātisko izteiksmju "gramatika" un "sintakse") noved pie abstraktu matemātisko objektu (AMO) veidošanās. Tikai interpretācija padara šo abstrakto objektu par matemātisko modeli.

Matemātiskais modelis ir abstraktu ideju kvantitatīva formalizācija par pētāmo parādību vai objektu.

Matemātiskos modeļus var attēlot ar dažādiem matemātiskiem līdzekļiem:

· reāli vai sarežģīti daudzumi;

· vektori, matricas;

· ģeometriski attēli;

· nevienlīdzība;

· funkcijas un funkcionalitātes;

· kopas, dažādi vienādojumi;

· varbūtību sadalījuma funkcijas, statistika u.c.

"Fizikā − Tompsons rakstīja, − jebkura objekta izpētē pirmais un būtiskākais solis ir atrast skaitliskās novērtēšanas principus un praktiskas metodes, kā mērīt kādu šim objektam raksturīgu daudzumu.

Pāreja no pirmās uz otro abstrakcijas fāzi, t.i. no fiziskā modeļa uz matemātisko modeli bieži vien atbrīvo modeli no specifiskajām iezīmēm, kas raksturīgas konkrētai pētāmai parādībai vai objektam. Ļoti daudzi matemātiskie modeļi, zaudējuši savu fizisko vai tehnisko apvalku, iegūst universālumu, t.i. spēja kvantitatīvi aprakstīt procesus, kas atšķiras pēc savas fiziskās būtības vai atbilstoši objektu tehniskajam mērķim. Tas izpaužas kā viena no svarīgākajām pētījuma priekšmeta matemātiskās formalizācijas īpašībām, kuras dēļ, uzstādot un risinot lietišķās problēmas, vairumā gadījumu nav nepieciešams izveidot jaunu matemātisko aparātu, bet var izmantot esošo. , ar konkrētai situācijai nepieciešamo uzlabojumu un interpretāciju. Tādējādi vienu matemātisko modeli var izmantot, lai atrisinātu lielu skaitu konkrētu, specifisku problēmu, un šajā ziņā tas izsaka vienu no galvenajiem teorijas praktiskiem mērķiem.

Protams, fiziskā modeļa konstruēšana bieži ir nesaraujami saistīta ar matemātiskā modeļa konstruēšanu, un abi šie procesi ir viena abstrakcijas procesa divas puses.

Mūs ieskauj komplekss cilvēka radītie tehniskie objekti (tehniskās sistēmas).. Jaunas tehniskās sistēmas projektēšanas vai esošās tehniskās sistēmas modernizācijas procesā tiek risināti parametru aprēķināšanas un procesu izpētes uzdevumi šajā sistēmā. Veicot daudzfaktoru aprēķinus, reālā sistēma tiek aizstāta ar modeli. Plašā nozīmē modelis tiek definēts kā objekta svarīgāko īpašību atspoguļojums.

4. definīcija.2 . Tehniskā objekta matemātiskais modelis ir matemātisko objektu un attiecību kopums starp tiem, kas adekvāti atspoguļo pētāmā objekta īpašības, kas interesē pētnieku (inženieri).

Modeli var attēlot dažādos veidos.

Modeļu skata veidlapas

· invariants - modeļa attiecību fiksēšana, izmantojot tradicionālo matemātisko valodu, neatkarīgi no modeļa vienādojumu risināšanas metodes;

· analītisks - modeļa ieraksts modeļa sākotnējo vienādojumu analītiskā risinājuma rezultāta veidā;

· algoritmisks - modeļa un izvēlētās skaitliskās risinājuma metodes attiecību fiksēšana algoritma veidā;

· shematisks (grafisks) - modeļa attēlojums kādā grafiskā valodā (piemēram, grafiku valoda, ekvivalentas shēmas, diagrammas utt.);

· fiziska;

· analogs;

Matemātiskā modelēšana ir visuniversālākais procesu apraksts.

Matemātiskās modelēšanas jēdziens dažreiz ietver problēmas risināšanas procesu datorā (kas principā nav pilnīgi taisnība, jo problēmas risināšana datorā cita starpā ietver algoritmiskā un programmatūras modeļa izveidi, kas īsteno aprēķinu saskaņā ar matemātisko modeli).

Definīcija 4.3.MM ir pētāmā objekta attēls, kas ar noteiktu formālu (matemātisko) sistēmu palīdzību radīts subjekta-pētnieka prātā, lai pētītu (novērtētu) noteiktas šī objekta īpašības.

Ļaujiet kādam iebilst J ir kāds mūs interesējošs īpašums C 0 .

Lai iegūtu matemātisko modeli, kas apraksta šo īpašību, ir nepieciešams:

1. Nosakiet šīs īpašības rādītāju(tie. noteikt īpašuma mēru kādā mērīšanas sistēmā).

2. Iestatiet īpašumu sarakstu C 1 , ..., ~ m, ar kuru īpašumsNO 0 saistītas ar dažām attiecībām (tās var būt objekta iekšējās īpašības un īpašības ārējā vide kas ietekmē objektu).

3. Aprakstiet ārējās vides īpašības izvēlētajā formātu sistēmā kā ārējos faktorus х 1 , ..., x n , kas ietekmē vēlamo indikatoruY,objekta iekšējās īpašības kā z parametri 1 , ..., z r , un neuzskaitītie rekvizīti tiek piešķirti neuzskaitīto faktoru grupai .

4. Ja iespējams, noskaidrojiet attiecības starpYun visus ņemtos faktorus un parametrus, un sastāda matemātisko aprakstu(modelis).

Reālu objektu raksturo šādas funkcionālas attiecības starp tā īpašību rādītājiem:

Tomēr modelis parāda tikai tos sākotnējā objekta faktorus un parametrus, kas ir būtiski pētāmās problēmas risināšanai. Turklāt nozīmīgu faktoru un parametru mērījumos gandrīz vienmēr ir kļūdas, ko izraisa mērinstrumentu neprecizitāte un dažu faktoru nezināšana. Šī iemesla dēļ MM ir tikai aptuvens pētāmā objekta īpašību apraksts.

Matemātisko modeli var definēt arī kā abstrakcija mācījās reāli entītijām.

Modeļi parasti atšķiras no oriģināliem pēc to iekšējo parametru būtības. Līdzība slēpjas reakcijas piemērotībā Y modelis un oriģināls, lai mainītu ārējos faktorus. Tāpēc vispārīgā gadījumā matemātiskais modelis ir funkcija

kur ir modeļa iekšējie parametri, kas atbilst oriģināla parametriem.

Atkarībā no pielietotajām pētāmo objektu (parādību, procesu) matemātiskā apraksta metodēm MM var būt analītiski, loģiski, grafiski, automātiski utt.

Matemātiskās modelēšanas galvenais jautājums ir jautājums par to, cik precīzi sastādītā MM atspoguļo saistību starp ņemtajiem faktoriem, parametriem un rādītāju. Y reāla objekta novērtētā īpašība, t.i. kā precīzi vienādojums (4.2) atbilst vienādojumam (4.1). Dažreiz vienādojumu (4.2) var iegūt uzreiz izteiktā formā, piemēram, diferenciālvienādojumu sistēmas veidā vai citu skaidru matemātisko sakarību veidā.

Sarežģītākos gadījumos vienādojuma (4.2) forma nav zināma, un pētnieka uzdevums, pirmkārt, ir atrast šo vienādojumu. Tajā pašā laikā starp mainīgajiem parametriem visi tiek uzskatīti par ārējiem faktoriem un pētāmā objekta parametriem, un starp vēlamajiem parametriem ir iekļauti modeļa iekšējie parametri, sasaistes faktori ar indikatoru. Y"visticamākā sakarība. Eksperimenta teorija nodarbojas ar šīs problēmas risinājumu. Šīs teorijas būtība ir tāda, ka, pamatojoties uz selektīviem parametru vērtību mērījumiem, un indikators Y", atrodiet parametrus, kuriem funkcija (4.2) visprecīzāk atspoguļo reālo likumsakarību (4.1).

Modeļa un simulācijas jēdziens.

Modelis plašā nozīmē- tas ir jebkura apjoma, procesa vai parādības jebkurš attēls, garīga vai iedibināta attēla analogs, apraksts, diagramma, zīmējums, karte utt., ko izmanto kā tā aizstājēju vai pārstāvi. Pats objekts, process vai parādība tiek saukta par šī modeļa oriģinālu.

Modelēšana - tā ir jebkura objekta vai objektu sistēmas izpēte, veidojot un pētot to modeļus. Tā ir modeļu izmantošana, lai noteiktu vai pilnveidotu raksturlielumus un racionalizētu jaunbūvētu objektu konstruēšanas veidus.

Jebkuras zinātniskās izpētes metodes pamatā ir modelēšanas ideja, savukārt teorētiskās metodes izmanto dažāda veida simboliskus, abstraktus modeļus, savukārt eksperimentālās metodes izmanto priekšmetu modeļus.

Sarežģītas reālas parādības izpētē tas tiek aizstāts ar kādu vienkāršotu kopiju vai shēmu, dažreiz šāda kopija kalpo tikai atcerei un nākamajā tikšanās reizē, lai noskaidrotu vēlamo parādību. Dažkārt konstruētā shēma atspoguļo dažas būtiskas iezīmes, ļauj izprast parādības mehānismu, ļauj prognozēt tās izmaiņas. Vienai un tai pašai parādībai var atbilst dažādi modeļi.

Pētnieka uzdevums ir paredzēt parādības būtību un procesa gaitu.

Reizēm gadās, ka kāds objekts ir pieejams, bet eksperimenti ar to izmaksā dārgi vai rada nopietnas vides sekas. Zināšanas par šādiem procesiem tiek iegūtas ar modeļu palīdzību.

Svarīgi ir tas, ka zinātnes būtība ietver nevis vienas konkrētas parādības izpēti, bet gan plašu saistītu parādību klasi. Tas nozīmē, ka ir jāformulē daži vispārīgi kategoriski apgalvojumi, kurus sauc par likumiem. Protams, ar šādu formulējumu daudzas detaļas tiek atstātas novārtā. Lai skaidrāk identificētu modeli, viņi apzināti iet uz rupjību, idealizāciju, shematiskumu, tas ir, viņi pēta nevis pašu parādību, bet gan vairāk vai mazāk precīzu tās kopiju vai modeli. Visi likumi ir likumi par modeļiem, un tāpēc nav pārsteidzoši, ka laika gaitā dažas zinātniskās teorijas tiek atzītas par neizmantojamām. Tas neizraisa zinātnes sabrukumu, jo viens modelis ir aizstāts ar citu. modernāks.

Zinātnē īpašu lomu spēlē matemātiskie modeļi, šo modeļu būvmateriāls un instrumenti - matemātiskie jēdzieni. Tie ir uzkrājušies un pilnveidojušies tūkstošiem gadu. Mūsdienu matemātika nodrošina ārkārtīgi spēcīgus un universālus pētniecības līdzekļus. Gandrīz katrs matemātikas jēdziens, katrs matemātisks objekts, sākot no skaitļa jēdziena, ir matemātisks modelis. Veidojot pētāmā objekta vai parādības matemātisko modeli, tiek izdalītas tās pazīmes, pazīmes un detaļas, kas, no vienas puses, satur vairāk vai mazāk pilnīgu informāciju par objektu, un, no otras puses, ļauj. matemātiskā formalizācija. Matemātiskā formalizācija nozīmē, ka objekta īpašības un detaļas var saskaņot ar piemērotu adekvātu matemātiskie jēdzieni: skaitļi, funkcijas, matricas un tā tālāk. Tad pētāmajā objektā atrastās un pieņemtās sakarības un sakarības starp tā atsevišķām daļām un komponentēm var uzrakstīt, izmantojot matemātiskās sakarības: vienādības, nevienādības, vienādojumus. Rezultāts ir pētāmā procesa vai parādības matemātisks apraksts, tas ir, tā matemātiskais modelis.

Matemātiskā modeļa izpēte vienmēr ir saistīta ar dažiem darbības noteikumiem attiecībā uz pētāmajiem objektiem. Šie noteikumi atspoguļo attiecības starp cēloņiem un sekām.

Matemātiskā modeļa izveide ir jebkuras sistēmas izpētes vai projektēšanas centrālais posms. Visa turpmākā objekta analīze ir atkarīga no modeļa kvalitātes. Modeļa veidošana nav oficiāla procedūra. Tas ir ļoti atkarīgs no pētnieka, viņa pieredzes un gaumes, vienmēr paļaujas uz noteiktu eksperimentālo materiālu. Modelim jābūt pietiekami precīzam, adekvātam un ērtam lietošanai.

Matemātiskā modelēšana.

Matemātisko modeļu klasifikācija.

Matemātiskie modeļi var būtnoteikts un stohastisks .

Deterministisks modelis un - tie ir modeļi, kuros tiek noteikta atbilstība viens pret vienu starp mainīgajiem, kas apraksta objektu vai parādību.

Šīs pieejas pamatā ir zināšanas par objektu funkcionēšanas mehānismu. Modelējamais objekts bieži ir sarežģīts, un tā mehānisma atšifrēšana var būt ļoti darbietilpīga un laikietilpīga. Šajā gadījumā tie notiek šādi: tiek veikti eksperimenti ar oriģinālu, rezultāti tiek apstrādāti un, neiedziļinoties modelētā objekta mehānismā un teorijā, izmantojot matemātiskās statistikas un varbūtību teorijas metodes, tiek noteiktas attiecības starp mainīgie, kas apraksta objektu. Šajā gadījumā iegūstietstohastisks modelis . AT stohastisks modelis, attiecības starp mainīgajiem ir nejaušas, dažreiz tas notiek fundamentāli. Daudzu faktoru ietekme, to kombinācija noved pie nejaušas mainīgo kopas, kas apraksta objektu vai parādību. Pēc režīmu būtības modelis irstatistikas un dinamisks.

Statistikasmodelisietver aprakstu par attiecībām starp simulētā objekta galvenajiem mainīgajiem lielumiem līdzsvara stāvoklī, neņemot vērā parametru izmaiņas laika gaitā.

AT dinamisksmodeļiemapraksta attiecības starp simulētā objekta galvenajiem mainīgajiem, pārejot no viena režīma uz otru.

Modeļi ir diskrēts un nepārtraukts, kā arī sajaukts veids. AT nepārtraukts mainīgie ņem vērtības no noteikta intervāla, indiskrētsmainīgie ņem izolētas vērtības.

Lineārie modeļi- visas funkcijas un attiecības, kas apraksta modeli, ir lineāri atkarīgas no mainīgajiem unnav lineārscitādi.

Matemātiskā modelēšana.

Prasības , prezentēts uz modeļiem.

1. Daudzpusība- raksturo attēlojuma pilnīgumu ar reālā objekta pētīto īpašību modeli.

1. Atbilstība - spēja atspoguļot vēlamās objekta īpašības ar kļūdu, kas nav lielāka par norādīto.
2. Precizitāte - tiek novērtēta pēc reāla objekta raksturlielumu vērtību sakritības pakāpes un šo raksturlielumu vērtībām, kas iegūtas, izmantojot modeļus.
3. ekonomika - nosaka datora atmiņas resursu izmaksas un laiks tās ieviešanai un darbībai.

Matemātiskā modelēšana.

Galvenie modelēšanas posmi.

1. Problēmas izklāsts.

Noteikt analīzes mērķi un veidus, kā to sasniegt, un izstrādāt vienotu pieeju pētāmajai problēmai. Šajā posmā ir nepieciešama dziļa izpratne par uzdevuma būtību. Dažreiz pareizi uzstādīt uzdevumu nav mazāk grūti nekā to atrisināt. Iestudēšana nav formāls process, vispārīgie noteikumi Nē.

2. Teorētisko pamatu izpēte un informācijas vākšana par oriģināla objektu.

Šajā posmā tiek izvēlēta vai izstrādāta piemērota teorija. Ja tā nav, starp mainīgajiem, kas apraksta objektu, tiek noteiktas cēloņsakarības. Tiek noteikti ievades un izvades dati, izdarīti vienkāršojoši pieņēmumi.

3. Formalizēšana.

Tas sastāv no simbolu sistēmas izvēles un to izmantošanas, lai pierakstītu attiecības starp objekta komponentiem matemātisku izteiksmju veidā. Tiek izveidota uzdevumu klase, uz kuru var attiecināt iegūto objekta matemātisko modeli. Dažu parametru vērtības šajā posmā vēl var nebūt norādītas.

4. Risinājuma metodes izvēle.

Šajā posmā tiek noteikti modeļu galīgie parametri, ņemot vērā objekta darbības nosacījumus. Iegūtajam matemātiskajam uzdevumam tiek izvēlēta risinājuma metode vai izstrādāta īpaša metode. Izvēloties metodi, tiek ņemtas vērā lietotāja zināšanas, viņa vēlmes, kā arī izstrādātāja vēlmes.

5. Modeļa ieviešana.

Izstrādājot algoritmu, tiek uzrakstīta programma, kas tiek atkļūdota, pārbaudīta un iegūts vēlamās problēmas risinājums.

6. Saņemtās informācijas analīze.

Tiek salīdzināts saņemtais un sagaidāmais risinājums, kontrolēta modelēšanas kļūda.

7. Reāla objekta atbilstības pārbaude.

Modeļa iegūtie rezultāti tiek salīdzinātivai nu ar pieejamo informāciju par objektu, vai arī tiek veikts eksperiments un tā rezultāti tiek salīdzināti ar aprēķinātajiem.

Modelēšanas process ir iteratīvs. Neapmierinošu posmu rezultātu gadījumā 6. vai 7. tiek veikta atgriešanās vienā no sākuma stadijām, kas var novest pie neveiksmīga modeļa izstrādes. Šis posms un visi turpmākie posmi tiek pilnveidoti, un šāda modeļa pilnveidošana notiek, līdz tiek iegūti pieņemami rezultāti.

Matemātiskais modelis ir aptuvens jebkuras reālās pasaules parādību vai objektu klases apraksts matemātikas valodā. Modelēšanas galvenais mērķis ir izpētīt šos objektus un paredzēt turpmāko novērojumu rezultātus. Taču modelēšana ir arī apkārtējās pasaules izziņas metode, kas ļauj to kontrolēt.

Matemātiskā modelēšana un ar to saistītais datoreksperiments ir neaizstājams gadījumos, kad pilna mēroga eksperiments viena vai otra iemesla dēļ nav iespējams vai sarežģīts. Piemēram, nav iespējams izveidot pilna mēroga eksperimentu vēsturē, lai pārbaudītu, “kas notiktu, ja...” Nav iespējams pārbaudīt šīs vai citas kosmoloģiskās teorijas pareizību. Principā ir iespējams, bet diez vai saprātīgi, izveidot eksperimentu par kādas slimības, piemēram, mēra izplatību, vai veikt kodolsprādziens lai izpētītu tās sekas. Taču to visu var izdarīt datorā, iepriekš izveidojot pētāmo parādību matemātiskos modeļus.

1.1.2 2. Matemātiskās modelēšanas galvenie posmi

1) Modeļu veidošana. Šajā posmā tiek precizēts kāds "ne matemātisks" objekts - dabas parādība, būvniecība, ekonomiskais plāns, ražošanas process utt. Šajā gadījumā, kā likums, ir grūti skaidri aprakstīt situāciju. Pirmkārt, tiek identificētas galvenās parādības iezīmes un attiecības starp tām kvalitatīvā līmenī. Tad atrastās kvalitatīvās atkarības tiek formulētas matemātikas valodā, tas ir, uzbūvēts matemātiskais modelis. Šī ir visgrūtākā modelēšanas daļa.

2) Matemātiskās problēmas risināšana, pie kuras modelis noved. Šajā posmā liela uzmanība tiek pievērsta algoritmu un skaitlisko metožu izstrādei problēmas risināšanai datorā, ar kuru palīdzību ar nepieciešamo precizitāti un pieļaujamajā laikā var atrast rezultātu.

3) Iegūto seku interpretācija no matemātiskā modeļa.No modeļa izrietošās sekas matemātikas valodā tiek interpretētas šajā jomā pieņemtajā valodā.

4) Modeļa atbilstības pārbaude.Šajā posmā tiek noskaidrots, vai eksperimenta rezultāti noteiktā precizitātē saskan ar teorētiskajām sekām no modeļa.

5) Modeļa modifikācija.Šajā posmā modelis vai nu kļūst sarežģītāks, lai tas atbilstu realitātei, vai arī tiek vienkāršots, lai panāktu praktiski pieņemamu risinājumu.

1.1.3 3. Modeļu klasifikācija

Modeļus var klasificēt pēc dažādiem kritērijiem. Piemēram, pēc risināmo problēmu rakstura modeļus var iedalīt funkcionālajos un strukturālajos. Pirmajā gadījumā visi lielumi, kas raksturo parādību vai objektu, tiek izteikti kvantitatīvi. Tajā pašā laikā daži no tiem tiek uzskatīti par neatkarīgiem mainīgajiem, bet citi tiek uzskatīti par šo lielumu funkcijām. Matemātiskais modelis parasti ir dažāda veida vienādojumu sistēma (diferenciālais, algebriskais utt.), kas nosaka kvantitatīvās attiecības starp aplūkotajiem lielumiem. Otrajā gadījumā modelis raksturo kompleksa objekta struktūru, kas sastāv no atsevišķām daļām, starp kurām ir noteiktas saiknes. Parasti šīs attiecības nav kvantitatīvi nosakāmas. Lai izveidotu šādus modeļus, ir ērti izmantot grafu teoriju. Grafs ir matemātisks objekts, kas ir plaknes vai telpas punktu (virsotņu) kopums, no kuriem daži ir savienoti ar līnijām (malām).

Pēc sākotnējo datu un prognožu rezultātu būtības modeļus var iedalīt deterministiskajos un varbūtības-statistiskajos. Pirmā tipa modeļi sniedz noteiktas, nepārprotamas prognozes. Otrā tipa modeļi ir balstīti uz statistisko informāciju, un ar to palīdzību iegūtajām prognozēm ir varbūtības raksturs.

MATEMĀTISKĀ MODELĒŠANA UN VISPĀRĒJI DATORIZĀCIJAS VAI SIMULĀCIJAS MODEĻI

Tagad, kad valstī notiek teju universāla datorizācija, no dažādu profesiju speciālistu puses var dzirdēt izteikumus: "Ieviesīsim mūsu valstī datoru, tad visi uzdevumi tiks atrisināti uzreiz." Šis viedoklis ir pilnīgi nepareizs, paši datori bez atsevišķu procesu matemātiskajiem modeļiem neko nevar, un par universālu datorizāciju var tikai sapņot.

Pamatojot iepriekš minēto, mēs centīsimies pamatot modelēšanas, tajā skaitā matemātiskās modelēšanas, nepieciešamību, atklāt tās priekšrocības cilvēka ārējās pasaules zināšanā un pārveidošanā, identificēt esošos trūkumus un doties ... uz simulācijas modelēšanu, t.i. modelēšana, izmantojot datorus. Bet viss ir kārtībā.

Vispirms atbildēsim uz jautājumu: kas ir modelis?

Modelis ir materiāls vai garīgi attēlots objekts, kas izziņas (pētījuma) procesā aizvieto oriģinālo, saglabājot dažas tipiskas, šim pētījumam svarīgas īpašības.

Labi uzbūvēts modelis ir pieejamāks pētniecībai nekā reāls objekts. Piemēram, eksperimenti ar valsts ekonomiku in izglītības nolūkos, modelis šeit ir neaizstājams.

Apkopojot teikto, varam atbildēt uz jautājumu: kam domāti modeļi? Uz

• saprast, kā objekts darbojas (tā uzbūve, īpašības, attīstības likumi, mijiedarbība ar ārpasauli).
• iemācīties vadīt objektu (procesu) un noteikt labākās stratēģijas
• prognozēt ietekmes sekas uz objektu.

Kas ir pozitīvs jebkurā modelī? Tas ļauj iegūt jaunas zināšanas par objektu, bet, diemžēl, tas nav pilnīgs vienā vai otrā pakāpē.

Modelisformulēts matemātikas valodā, izmantojot matemātiskās metodes, sauc par matemātisko modeli.

Tā būvniecības sākumpunkts parasti ir kāds uzdevums, piemēram, ekonomisks. Plaši izplatīta, gan aprakstošā, gan optimizācijas matemātiskā, raksturojot dažādas ekonomiskie procesi un tādi pasākumi kā:

• resursu piešķiršana
• racionāla griešana
• transportēšana
• uzņēmumu konsolidācija
• tīkla plānošana.

Kā tiek izveidots matemātiskais modelis?

• Pirmkārt, tiek formulēts pētījuma mērķis un priekšmets.
• Otrkārt, visvairāk svarīgas īpašības piemērots šim nolūkam.
• Treškārt, verbāli tiek aprakstītas attiecības starp modeļa elementiem.
• Tālāk attiecības tiek formalizētas.
• Un aprēķins tiek veikts pēc matemātiskā modeļa un iegūtā risinājuma analīzes.

Izmantojot šo algoritmu, var atrisināt jebkuru optimizācijas problēmu, arī daudzkritēriju, t.i. tādu, kurā tiek sasniegts nevis viens, bet vairāki mērķi, arī pretrunīgi.

Ņemsim piemēru. Rindas teorija - rindas problēma. Ir jāsabalansē divi faktori – apkalpošanas ierīču uzturēšanas izmaksas un rindas uzturēšanas izmaksas. Izveidojot formālu modeļa aprakstu, tiek veikti aprēķini, izmantojot analītiskās un skaitļošanas metodes. Ja modelis ir labs, tad ar tā palīdzību atrastās atbildes ir adekvātas modelēšanas sistēmai, ja slikts, tad tas ir jāuzlabo un jānomaina. Atbilstības kritērijs ir prakse.

Optimizācijas modeļiem, tostarp daudzkritēriju modeļiem, ir kopīga īpašība - ir zināms mērķis (vai vairāki mērķi), kura sasniegšanai bieži vien nākas saskarties ar sarežģītām sistēmām, kur runa nav tik daudz par optimizācijas problēmu risināšanu, bet gan ar stāvokļu izpēti un prognozēšanu. atkarībā no izvēlētajām kontroles stratēģijām. Un šeit mēs saskaramies ar grūtībām, īstenojot iepriekšējo plānu. Tie ir šādi:

• sarežģīta sistēma satur daudz savienojumu starp elementiem
• reālo sistēmu ietekmē nejauši faktori, tos nav iespējams analītiski ņemt vērā
• iespēja salīdzināt oriģinālu ar modeli pastāv tikai sākumā un pēc matemātiskā aparāta pielietošanas, jo starprezultātiem var nebūt analogu reālā sistēmā.

Saistībā ar uzskaitītajām grūtībām, kas rodas, pētot sarežģītas sistēmas, praksē bija nepieciešama elastīgāka metode, un tā parādījās - simulācijas modelēšana "Simulācijas modelēšana".

Parasti ar simulācijas modeli saprot datorprogrammu kopumu, kas apraksta atsevišķu sistēmu bloku darbību un to savstarpējās mijiedarbības noteikumus. Lietošana nejaušie mainīgie rada nepieciešamību veikt atkārtotus eksperimentus ar simulācijas sistēmu (datorā) un pēc tam iegūto rezultātu statistisko analīzi. Ļoti izplatīts simulācijas modeļu izmantošanas piemērs ir rindas problēmas risinājums ar MONTE CARLO metodi.

Tādējādi darbs ar simulācijas sistēmu ir eksperiments, kas tiek veikts datorā. Kādi ir ieguvumi?

– Lielāks tuvums reālajai sistēmai nekā matemātiskie modeļi;

– Bloku princips ļauj pārbaudīt katru bloku, pirms tas tiek iekļauts kopējā sistēmā;

– Sarežģītāka rakstura atkarību izmantošana, ko neapraksta vienkāršas matemātiskas attiecības.

Uzskaitītās priekšrocības nosaka trūkumus

– izveidot simulācijas modeli ir ilgāk, grūtāk un dārgāk;

– lai strādātu ar simulācijas sistēmu, jābūt nodarbībai piemērotam datoram;

– mijiedarbība starp lietotāju un simulācijas modeli (interfeisu) nedrīkst būt pārāk sarežģīta, ērta un labi zināma;

- simulācijas modeļa uzbūve prasa dziļāku reālā procesa izpēti nekā matemātiskā modelēšana.

Rodas jautājums: vai simulācijas modelēšana var aizstāt optimizācijas metodes? Nē, bet ērti tos papildina. Simulācijas modelis ir programma, kas realizē kādu algoritmu, kura vadīšanas optimizēšanai vispirms tiek atrisināta optimizācijas problēma.

Tātad ne dators, ne matemātiskais modelis, ne algoritms tā izpētei atsevišķi nevar atrisināt diezgan sarežģītu problēmu. Bet kopā viņi pārstāv spēku, kas ļauj jums uzzināt pasaule, pārvaldiet to cilvēka interesēs.

1.2 Modeļu klasifikācija

Tehniskā objekta matemātiskais modelis ir matemātisko objektu un attiecību kopums starp tiem, kas adekvāti atspoguļo pētāmā objekta īpašības, kas interesē pētnieku (inženieri).

Modeli var attēlot dažādos veidos.

Attēlojuma veidlapas:

invariants - modeļu attiecību ierakstīšana, izmantojot tradicionālo matemātisko valodu, neatkarīgi no modeļa vienādojumu risināšanas metodes;

analītisks - modeļa ierakstīšana modeļa sākotnējo vienādojumu analītiskā risinājuma rezultāta veidā;

algoritmisks - modeļa un izvēlētās skaitliskās risinājuma metodes attiecību fiksēšana algoritma veidā.

shematisks (grafisks) - modeļa attēlojums kādā grafiskā valodā (piemēram, grafiku valoda, ekvivalentas shēmas, diagrammas utt.);

fiziskais

analogs

Universālākais ir procesu matemātiskais apraksts – matemātiskā modelēšana.

Matemātiskās modelēšanas jēdziens ietver arī problēmas risināšanas procesu datorā.

Vispārināts matemātiskais modelis

Matemātiskais modelis apraksta saistību starp sākotnējiem datiem un vēlamajām vērtībām.

Vispārinātā matemātiskā modeļa elementi ir (1. att.): ievaddatu (mainīgo) kopa X,Y;

X - mainīgo mainīgo kopa; Y - neatkarīgi mainīgie (konstante);

matemātiskais operators L, kas definē darbības ar šiem datiem; kas tiek saprasta kā pilnīga matemātisko operāciju sistēma, kas apraksta skaitliskas vai loģiskas attiecības starp ievades un izejas datu (mainīgo) kopām;

izvaddatu (mainīgo) kopa G(X,Y); ir kritērija funkciju kopums, ieskaitot (ja nepieciešams) mērķa funkciju.

Matemātiskais modelis ir projektētā objekta matemātisks analogs. Tā objekta atbilstības pakāpi nosaka projektēšanas problēmas risinājumu formulējums un pareizība.

Mainīgo parametru (mainīgo) kopa X veido mainīgo parametru telpu Rx (meklēšanas telpa), kas ir metriska ar dimensiju n, kas vienāda ar mainīgo parametru skaitu.

Neatkarīgo mainīgo kopa Y veido ievaddatu Ry metrisko telpu. Gadījumā, ja katra telpas Ry komponente tiek dota ar iespējamo vērtību diapazonu, neatkarīgo mainīgo kopa tiek kartēta uz kādu ierobežotu telpas Ry apakštelpu.

Neatkarīgo mainīgo kopa Y nosaka vidi objekta darbībai, t.i. ārējie apstākļi, kādos darbosies projektētais objekts

Tā var būt:

• - tehniskās specifikācijas objekts, kas projektēšanas procesā nav pakļauts izmaiņām;
• - vides, ar kuru mijiedarbojas dizaina objekts, fiziskas perturbācijas;
• - taktiskie parametri, kas dizaina objektam jāsasniedz.

Aplūkotā vispārinātā modeļa izejas dati veido kritēriju rādītāju RG metrisko telpu.

Matemātiskā modeļa izmantošanas shēma datorizētās projektēšanas sistēmā parādīta 2. att.

Prasības matemātiskajam modelim

Galvenās prasības matemātiskajiem modeļiem ir atbilstības, universāluma un ekonomiskuma prasības.

Atbilstība. Modelis tiek uzskatīts par atbilstošu, ja tas ar pieņemamu precizitāti atspoguļo dotās īpašības. Precizitāte tiek definēta kā sakritības pakāpe starp modeļa un objekta izvades parametru vērtībām.

Modeļa precizitāte ir atšķirīga dažādos objekta funkcionēšanas apstākļos. Šos apstākļus raksturo ārējie parametri. Ārējo parametru zonā atlasiet modeļa atbilstības reģionu, kurā kļūda ir mazāka par norādīto maksimāli pieļaujamo kļūdu. Modeļa atbilstības apgabala noteikšana ir sarežģīta procedūra, kas prasa lielas skaitļošanas izmaksas, kas strauji aug, palielinoties ārējo parametru telpas dimensijai. Šis uzdevums apjomā var ievērojami pārsniegt paša modeļa parametriskās optimizācijas uzdevumu, tāpēc jaunprojektētiem objektiem tas var nebūt atrisināts.

Universālisms - nosaka galvenokārt modelī ņemto ārējo un izejas parametru skaits un sastāvs.

Modeļa ekonomiju raksturo tā ieviešanas skaitļošanas resursu izmaksas - datora laika un atmiņas izmaksas.

Prasību neatbilstība modelim plaša teritorija atbilstība, augsta universāluma pakāpe un augsta izmaksu efektivitāte nosaka vairāku modeļu izmantošanu viena veida objektiem.

Modeļu izguves metodes

Modeļu iegūšana vispārīgā gadījumā ir neformalizēta procedūra. Galvenos lēmumus par matemātisko attiecību veida izvēli, izmantoto mainīgo un parametru raksturu pieņem projektētājs. Tajā pašā laikā tādas darbības kā modeļa parametru skaitlisko vērtību aprēķināšana, atbilstības apgabalu noteikšana un citas tiek algoritmizētas un atrisinātas datorā. Tāpēc projektētās sistēmas elementu modelēšanu parasti veic specifisku tehnisko nozaru speciālisti, izmantojot tradicionālos eksperimentālos pētījumus.

Elementu funkcionālo modeļu iegūšanas metodes tiek iedalītas teorētiskajās un eksperimentālajās.

Teorētiskās metodes balstās uz objektā notiekošo procesu fizikālo likumsakarību izpēti, šīm likumsakarībām atbilstošā matemātiskā apraksta noteikšanu, vienkāršojošu pieņēmumu pamatošanu un pieņemšanu, nepieciešamo aprēķinu veikšanu un rezultāta nogādāšanu pieņemtajā modeļa attēlojuma formā.

Eksperimentālās metodes ir balstītas uz objekta īpašību ārējo izpausmju izmantošanu, kas fiksētas viena veida objektu darbības laikā vai mērķtiecīgu eksperimentu laikā.

Neskatoties uz daudzu darbību heiristisko raksturu, modelēšanai ir vairāki noteikumi un paņēmieni, kas ir kopīgi dažādu objektu modeļu iegūšanai. Pietiekami vispārējs raksturs ir

makro modelēšanas tehnika,

matemātiskās metodes eksperimentu plānošanai,

algoritmi formalizētām operācijām parametru skaitlisko vērtību aprēķināšanai un atbilstības apgabalu noteikšanai.

Matemātisko modeļu izmantošana

Mūsdienu datoru skaitļošanas jauda apvienojumā ar visu sistēmas resursu nodrošināšanu lietotājam, interaktīvā režīma iespēju, risinot problēmu un analizējot rezultātus, ļauj samazināt problēmas risināšanas laiku.

Sastādot matemātisko modeli, pētniekam ir:

izpētīt pētāmā objekta īpašības;

spēja nodalīt galvenās objekta īpašības no sekundārajām;

novērtēt izdarītos pieņēmumus.

Modelis apraksta saistību starp ievades datiem un vēlamajām vērtībām. Darbību secību, kas jāveic, lai pārietu no sākotnējiem datiem uz vēlamajām vērtībām, sauc par algoritmu.

Algoritms problēmas risināšanai datorā ir saistīts ar skaitliskās metodes izvēli. Atkarībā no matemātiskā modeļa attēlojuma formas (algebriskā vai diferenciālforma) tiek izmantotas dažādas skaitliskās metodes.

Ekonomiskās un matemātiskās modelēšanas būtība slēpjas sociāli ekonomisko sistēmu un procesu aprakstā ekonomisko un matemātisko modeļu veidā.

Apskatīsim ekonomisko un matemātisko metožu klasifikācijas jautājumus. Šīs metodes, kā minēts iepriekš, ir ekonomikas un matemātikas disciplīnu komplekss, kas ir ekonomikas, matemātikas un kibernētikas sakausējums.

Tāpēc ekonomisko un matemātisko metožu klasifikācija tiek reducēta līdz to sastāvā iekļauto zinātnes disciplīnu klasifikācijai. Lai gan vispārpieņemtā šo disciplīnu klasifikācija vēl nav izstrādāta, ar zināmu tuvināšanas pakāpi ekonomisko un matemātisko metožu sastāvā var izdalīt šādas sadaļas:

• * ekonomiskā kibernētika: ekonomikas sistēmu analīze, ekonomiskās informācijas teorija un kontroles sistēmu teorija;
• * matemātiskā statistika: šīs disciplīnas ekonomiskie pielietojumi - izlases metode, dispersijas analīze, korelācijas analīze, regresijas analīze, daudzfaktoru statistiskā analīze, faktoru analīze, indeksu teorija utt.;
• * Matemātiskā ekonomika un ekonometrija, kas pēta vienus un tos pašus jautājumus no kvantitatīvā viedokļa: ekonomiskās izaugsmes teorija, ražošanas funkciju teorija, starpnozaru bilances, nacionālie konti, pieprasījuma un patēriņa analīze, reģionālā un telpiskā analīze, globālā modelēšana utt. .;
• * metodes optimālu lēmumu pieņemšanai, tai skaitā, pētot darbību ekonomikā. Šī ir apjomīgākā sadaļa, kurā iekļautas šādas disciplīnas un metodes: optimālā (matemātiskā) programmēšana, ieskaitot zaru un piesaistītās metodes, tīkla plānošanas un kontroles metodes, uz programmu mērķētas plānošanas un kontroles metodes, krājumu pārvaldības teorija un metodes, rindu teorija, spēļu teorija, lēmumu teorija un metodes, plānošanas teorija. Optimālā (matemātiskā) programmēšana, savukārt, ietver lineāro programmēšanu, nelineāro programmēšanu, dinamisko programmēšanu, diskrēto (veselo) programmēšanu, daļēju lineāro programmēšanu, parametrisko programmēšanu, separējamo programmēšanu, stohastisko programmēšanu, ģeometrisko programmēšanu;
• * Metodes un disciplīnas, kas raksturīgas gan centralizēti plānveida ekonomikai, gan tirgus (konkurētspējīgai) ekonomikai. Pirmie ietver ekonomikas optimālas funkcionēšanas teoriju, optimālo plānošanu, optimālo cenu teoriju, loģistikas modeļus uc Otrās ietver metodes, kas ļauj izstrādāt brīvas konkurences modeļus, kapitālisma cikla modeļus, monopola modeļus, modeļus. indikatīvā plānošana, uzņēmuma teorijas modeļi utt.

Daudzas no centralizēti plānveida ekonomikai izstrādātajām metodēm var būt noderīgas arī ekonomiskajā un matemātiskajā modelēšanā tirgus ekonomikā;

* ekonomisko parādību eksperimentālās izpētes metodes. Tie parasti ietver matemātiskās analīzes un ekonomisko eksperimentu plānošanas metodes, mašīnu simulācijas (simulācijas) metodes, biznesa spēles. Tas ietver arī ekspertu novērtējuma metodes, kas izstrādātas, lai novērtētu parādības, kuras nevar tieši izmērīt.

Tagad pievērsīsimies jautājumiem par ekonomisko un matemātisko modeļu, citiem vārdiem sakot, sociāli ekonomisko sistēmu un procesu matemātisko modeļu klasifikāciju.

Arī vienotas klasifikācijas sistēmas šādiem modeļiem pašlaik nav, tomēr parasti tiek izdalītas vairāk nekā desmit galvenās to klasifikācijas pazīmes jeb klasifikācijas virsraksti. Apskatīsim dažas no šīm sadaļām.

Atbilstoši vispārējam mērķim ekonomiskie un matemātiskie modeļi tiek iedalīti teorētiskajos un analītiskajos, kurus izmanto ekonomisko procesu vispārējo īpašību un modeļu izpētē, un pielietojami, risinot specifiskas ekonomikas analīzes, prognozēšanas un vadības problēmas. Šajā apmācībā ir apskatīti dažādi pielietoto ekonomisko un matemātisko modeļu veidi.

Pēc modelēšanas objektu agregācijas pakāpes modeļus iedala makroekonomiskajos un mikroekonomiskajos. Lai gan starp tiem nav skaidras atšķirības, pirmais no tiem ietver modeļus, kas atspoguļo ekonomikas darbību kopumā, savukārt mikroekonomikas modeļi parasti tiek saistīti ar tādām ekonomikas daļām kā uzņēmumi un firmas.

Atbilstoši konkrētam mērķim, t.i., pēc izveides un pielietošanas mērķa, izšķir bilances modeļus, izsakot prasību, lai resursu pieejamība atbilstu to izmantošanai; tendenču modeļi, kuros modelētās ekonomiskās sistēmas attīstība tiek atspoguļota caur tās galveno rādītāju tendenci (ilgtermiņa tendenci); optimizācijas modeļi, kas izstrādāti, lai izvēlētos labāko variantu no noteikta skaita ražošanas, izplatīšanas vai patēriņa iespēju; simulācijas modeļi, kas paredzēti izmantošanai pētāmo sistēmu vai procesu mašīnas simulācijas procesā utt.

Atbilstoši modelī izmantotās informācijas veidam ekonomiski matemātiskie modeļi tiek iedalīti analītiskajos, kas balstīti uz a priori informāciju, un identificējamos, kas balstīti uz a posteriori informāciju.

Ņemot vērā laika faktoru, modeļi tiek sadalīti statiskajos, kuros visas atkarības ir saistītas ar vienu laika punktu, un dinamiskajos, kas raksturo ekonomiskās sistēmas attīstībā.

Ņemot vērā nenoteiktības faktoru, modeļus iedala deterministiskajos, ja tajos izvades rezultātus unikāli nosaka kontroles darbības, un stohastiskajos (varbūtiskajos), ja modeļa ieejā ir norādīta noteikta vērtību kopa. , tā izvade var radīt dažādus rezultātus atkarībā no nejauša faktora darbības.

Ekonomiskos un matemātiskos modeļus var klasificēt arī pēc modelī iekļauto matemātisko objektu īpašībām, citiem vārdiem sakot, pēc modelī izmantotā matemātiskā aparāta veida. Pamatojoties uz to, matricu modeļi, lineāri un nelineāri programmēšanas modeļi, korelācijas-regresijas modeļi,

Rindas teorijas modeļa, tīkla plānošanas un vadības modeļa, spēļu teorijas modeļa u.c. matemātiskās modelēšanas pamatjēdzieni.

Visbeidzot, pēc pieejas veida pētāmajām sociālekonomiskajām sistēmām tiek izdalīti aprakstošie un normatīvie modeļi. Ar aprakstošo (aprakstošo) pieeju tiek iegūti modeļi, kas paredzēti, lai aprakstītu un izskaidrotu faktiski novērotās parādības vai prognozētu šīs parādības; Kā piemēru aprakstošiem modeļiem varam minēt iepriekš nosauktos līdzsvara un tendenču modeļus. Normatīvā pieejā interesē nevis tas, kā tiek organizēta un attīstās ekonomiskā sistēma, bet gan par to, kā tai būtu jāsakārto un kā tai jādarbojas noteiktu kritēriju izpratnē. Jo īpaši visi optimizācijas modeļi ir normatīvā tipa; Kā vēl viens piemērs var kalpot normatīvie dzīves līmeņa modeļi.

Kā piemēru aplūkosim ieejas-izejas bilances (EMM IOB) ekonomiski matemātisko modeli. Ņemot vērā iepriekš minētos klasifikācijas virsrakstus, šis ir lietišķs, makroekonomiskais, analītiskais, aprakstošais, deterministiskais, līdzsvara, matricas modelis; Ir gan statiskās, gan dinamiskās metodes.

Lineārā programmēšana ir īpaša optimālās programmēšanas nozare. Savukārt optimālā (matemātiskā) programmēšana ir lietišķās matemātikas nozare, kas pēta nosacītās optimizācijas problēmas. Ekonomikā šādas problēmas rodas, praktiski īstenojot optimāluma principu plānošanā un vadībā.

Nepieciešams nosacījums optimālas plānošanas un vadības pieejas (optimalitātes principa) izmantošanai ir elastība, ražošanas alternatīva un ekonomiskās situācijas, kurās jāpieņem plānošanas un vadības lēmumi. Tieši šīs situācijas, kā likums, veido saimnieciskās vienības ikdienas praksi (izvēli ražošanas programma, pievienošana piegādātājiem, maršrutēšana, materiālu griešana, maisījumu sagatavošana utt.).

Optimalitātes principa būtība ir vēlme izvēlēties tādu plānošanas un vadības lēmumu X = (xi, X2 xn), kur Xu, (y = 1. x) - tā sastāvdaļas, kas vislabāk ņemtu vērā iekšējās iespējas. un saimnieciskās vienības ražošanas darbības ārējie apstākļi.

Vārdi "labākajā veidā" šeit nozīmē kāda optimitātes kritērija izvēli, t.i. kāds ekonomisks rādītājs, kas ļauj salīdzināt noteiktu plānošanas un vadības lēmumu efektivitāti. Tradicionālie optimizācijas kritēriji: "maksimālā peļņa", "minimālās izmaksas", "maksimālā rentabilitāte" utt. Vārdi "ņemtu vērā ražošanas darbības iekšējās iespējas un ārējos apstākļus" nozīmē, ka izvēlei tiek izvirzīti vairāki nosacījumi. plānošanas un vadības lēmums (uzvedība), t.e. X izvēle tiek veikta no noteikta iespējamo (pieļaujamo) risinājumu apgabala D; šo apgabalu sauc arī par problēmas definīcijas apgabalu. vispārēja optimālas (matemātiskās) programmēšanas problēma, citādi optimālas programmēšanas problēmas matemātiskais modelis, kura konstruēšana (izstrādāšana) balstās uz optimitātes un konsekvences principiem.

Vektoru X (kontroles mainīgo kopa Xj, j = 1, n) sauc par iespējamu risinājumu vai optimālu programmēšanas problēmas plānu, ja tas apmierina ierobežojumu sistēmu. Un plānu X (pieļaujamais risinājums), kas nodrošina mērķa funkcijas f(xi, *2, ..., xn) maksimumu vai minimumu, sauc par optimālās programmēšanas problēmas optimālo plānu (optimālo uzvedību vai vienkārši risinājumu).

Tādējādi optimālas vadības uzvedības izvēle konkrētā ražošanas situācijā ir saistīta ar ekonomiskās un matemātiskās modelēšanas veikšanu no konsekvences un optimāluma viedokļa un optimālas programmēšanas problēmas risināšanu. Optimālas programmēšanas problēmas visvairāk vispārējs skats klasificēti saskaņā ar šādiem kritērijiem.

• 1. Pēc attiecību rakstura starp mainīgajiem lielumiem --
• a) lineāri
• b) nelineārs.

Gadījumā a) visi funkcionālie savienojumi ierobežojumu sistēmā un mērķa funkcija ir lineāras funkcijas; nelinearitātes klātbūtne vismaz vienā no minētajiem elementiem noved pie gadījuma b).

• 2. Pēc mainīgo lielumu izmaiņu rakstura --
• a) nepārtraukts
• b) diskrēts.

Gadījumā a) katra kontroles mainīgā vērtības var pilnībā aizpildīt noteiktu reālo skaitļu apgabalu; b) gadījumā visiem vai vismaz vienam mainīgajam var būt tikai veselas vērtības.

• 3. Ņemot vērā laika faktoru -
• a) statisks
• b) dinamisks.

Uzdevumos a) modelēšana un lēmumu pieņemšana tiek veikta, pieņemot, ka modeļa elementi ir neatkarīgi no laika laika periodā, par kuru tiek pieņemts plānošanas un vadības lēmums. Gadījumā b) šāds pieņēmums nav pieņemams, un ir jāņem vērā laika faktors.

• 4. Pēc informācijas pieejamības par mainīgajiem lielumiem --
• a) uzdevumi pilnīgas noteiktības apstākļos (deterministiski),
• b) uzdevumi nepilnīgas informācijas apstākļos,
• c) uzdevumi nenoteiktības apstākļos.

Problēmā b) atsevišķi elementi ir varbūtības lielumi, bet ir zināmi to sadalījuma likumi vai var izveidot papildu statistiskos pētījumus. Gadījumā c) var izdarīt pieņēmumu par nejaušības elementu iespējamiem iznākumiem, bet nav iespējams izdarīt secinājumu par iznākumu varbūtību.

• 5. Pēc alternatīvu vērtēšanas kritēriju skaita -
• a) vienkāršus, viena kritērija uzdevumus,
• b) sarežģīti, daudzkritēriju uzdevumi.

Uzdevumos a) ir ekonomiski pieņemami izmantot vienu optimizācijas kritēriju vai tas ir iespējams ar īpašām procedūrām (piemēram, "prioritātes svēršana").