Trapetsi pindala valem läbi keskmise. Kuidas leida trapetsi pindala

Trapets nimetatakse nelinurgaks, mille ainult kaks küljed on üksteisega paralleelsed.

Neid nimetatakse figuuri alusteks, ülejäänuid külgedeks. Paralleelogramme peetakse joonise erijuhtudeks. Samuti on kõver trapets, mis sisaldab funktsiooni graafikut. Trapetsi pindala valemid sisaldavad peaaegu kõiki selle elemente ja parim lahendus valitakse sõltuvalt antud väärtustest.
Peamised rollid trapetsis on määratud kõrgusele ja keskjoonele. keskmine joon- See on külgede keskpunkte ühendav joon. Kõrgus Trapets on joonistatud täisnurga all ülemisest nurgast aluse poole.
Trapetsi pindala läbi selle kõrguse võrdub poole aluste pikkuste summa korrutisega kõrgusega:

Kui keskmine joon on vastavalt tingimustele teada, on see valem oluliselt lihtsustatud, kuna see võrdub poolega aluste pikkuste summast:

Kui vastavalt tingimustele on antud kõigi külgede pikkused, siis võime kaaluda trapetsi pindala arvutamise näidet nende andmete abil:

Oletame, et meile on antud trapets, mille alused on a = 3 cm, b = 7 cm ja küljed c = 5 cm, d = 4 cm.

Võrdhaarse trapetsi pindala

Võrdhaarset trapetsi või, nagu seda nimetatakse ka, võrdhaarset trapetsi peetakse eraldi juhtumiks.
Erijuhtum on võrdhaarse (võrdkülgse) trapetsi pindala leidmine. Valem on tuletatud erinevatel viisidel– läbi diagonaalide, läbi aluse külgnevate nurkade ja sisse kirjutatud ringi raadiuse.
Kui diagonaalide pikkus on määratud vastavalt tingimustele ja nendevaheline nurk on teada, saate kasutada järgmist valemit:

Pidage meeles, et võrdhaarse trapetsi diagonaalid on üksteisega võrdsed!

See tähendab, et teades ühte nende alust, külge ja nurka, saate pindala hõlpsalt arvutada.

Kumera trapetsi pindala

Erijuhtum on kaarjas trapets. See asub koordinaatteljel ja on piiratud pideva positiivse funktsiooni graafikuga.

Selle alus asub X-teljel ja on piiratud kahe punktiga:
Integraalid aitavad pindala arvutada kaarjas trapets.
Valem on kirjutatud järgmiselt:

Vaatleme näidet kõvera trapetsi pindala arvutamisest. Valem nõuab teatud integraalidega töötamiseks teatud teadmisi. Kõigepealt vaatame kindla integraali väärtust:

Siin on F(a) antiderivatiivfunktsiooni f(x) väärtus punktis a, F(b) on sama funktsiooni f(x) väärtus punktis b.

Nüüd lahendame probleemi. Joonisel on kujutatud funktsiooniga piiratud kõverat trapetsi. Funktsioon
Peame leidma valitud joonise pindala, mis on kõverjooneline trapets, mida ülalt piirab graafik, paremal sirge x =(-8), vasakul sirge x =(-10 ) ja allpool olev OX-telg.
Arvutame selle joonise pindala järgmise valemi abil:

Probleemi tingimused annavad meile funktsiooni. Seda kasutades leiame igas punktis antiderivaadi väärtused:


Nüüd
Vastus: Antud kõvera trapetsi pindala on 4.

Selle väärtuse arvutamisel pole midagi keerulist. Ainus asi, mis on oluline, on äärmine ettevaatus arvutustes.

Mitmetahuline trapets... See võib olla meelevaldne, võrdhaarne või ristkülikukujuline. Ja igal juhul peate teadma, kuidas leida trapetsi pindala. Muidugi on lihtsaim viis põhivalemid meelde jätta. Kuid mõnikord on lihtsam kasutada seda, mis on tuletatud konkreetse geomeetrilise kujundi kõiki omadusi arvesse võttes.

Paar sõna trapetsi ja selle elementide kohta

Iga nelinurka, mille kaks külge on paralleelsed, võib nimetada trapetsiks. Üldiselt ei ole need võrdsed ja neid nimetatakse alusteks. Suurem on alumine ja teine ​​on ülemine.

Ülejäänud kaks külge osutuvad külgmiseks. Suvalises trapetsis on need erineva pikkusega. Kui need on võrdsed, muutub kujund võrdhaarseks.

Kui järsku osutub mis tahes külje ja aluse vaheline nurk 90 kraadiks, siis on trapets ristkülikukujuline.

Kõik need funktsioonid võivad aidata lahendada trapetsi pindala leidmise probleemi.

Joonise elementide hulgas, mis võivad probleemide lahendamisel hädavajalikud olla, võime esile tõsta järgmist:

• kõrgus, st segment, mis on risti mõlema aluse suhtes;
• keskjoon, mille otstes on külgmiste külgede keskpunktid.

Millise valemiga saab pindala arvutada, kui alus ja kõrgus on teada?

See avaldis on antud põhiavaldisena, sest enamasti saab need suurused ära tunda ka siis, kui neid pole selgesõnaliselt antud. Seega, et mõista, kuidas trapetsi pindala leida, peate lisama mõlemad alused ja jagama need kahega. Seejärel korrutage saadud väärtus kõrguse väärtusega.

Kui tähistame alused 1-ks ja 2-ks ning kõrguseks n, näeb ala valem välja järgmine:

S = ((a 1 + a 2)/2)*n.

Valem pindala arvutamiseks, kui on antud selle kõrgus ja keskjoon

Kui vaadata hoolikalt eelmist valemit, on lihtne märgata, et see sisaldab selgelt keskjoone väärtust. Nimelt aluste summa jagatud kahega. Olgu keskmine joon tähistatud tähega l, siis on ala valem:

S = l * n.

Võimalus leida ala diagonaalide abil

See meetod aitab, kui on teada nende moodustatud nurk. Oletame, et diagonaalid on tähistatud tähtedega d 1 ja d 2 ning nendevahelised nurgad on α ja β. Seejärel kirjutatakse trapetsi pindala leidmise valem järgmiselt:

S = ((d 1 * d 2)/2) * sin α.

Selles avaldises on lihtne α asendada β-ga. Tulemus ei muutu.

Kuidas pindala teada saada, kui kõik kujundi küljed on teada?

On ka olukordi, kus selle kujundi küljed on täpselt teada. See valem on tülikas ja seda on raske meeles pidada. Aga ilmselt. Olgu külgedel tähis: a 1 ja a 2, alus a 1 on suurem kui a 2. Seejärel on pindala valem järgmine:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + in 1 2 - in 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2).

Võrdhaarse trapetsi pindala arvutamise meetodid

Esimene on tingitud asjaolust, et sellesse saab kirjutada ringi. Ja teades selle raadiust (seda tähistatakse tähega r), samuti nurka aluses - γ, saate kasutada järgmist valemit:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Viimane üldvalem, mis põhineb joonise kõigi külgede tundmisel, on oluliselt lihtsustatud, kuna külgedel on sama tähendus:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Ristkülikukujulise trapetsi pindala arvutamise meetodid

On selge, et ükskõik milline ülaltoodust sobib igale figuurile. Kuid mõnikord on kasulik teada sellise trapetsi ühte omadust. See seisneb selles, et diagonaalide pikkuste ruutude vahe on võrdne aluste ruutude vahega.

Sageli unustatakse trapetsi valemid, ristküliku ja kolmnurga pindalade avaldised aga meeles. Seejärel saate kasutada lihtsat meetodit. Jagage trapets kaheks kujundiks, kui see on ristkülikukujuline, või kolmeks. Üks on kindlasti ristkülik ja teine ​​või ülejäänud kaks kolmnurgad. Pärast nende arvude pindalade arvutamist ei jää muud üle kui need kokku liita.

See on üsna lihtne viis ristkülikukujulise trapetsi pindala leidmiseks.

Mis siis, kui trapetsi tippude koordinaadid on teada?

Sel juhul peate kasutama avaldist, mis võimaldab teil määrata punktide vahelise kauguse. Seda saab peale kanda kolm korda: nii aluste kui ka ühe kõrguse väljaselgitamiseks. Ja siis lihtsalt rakendage esimest valemit, mida on kirjeldatud veidi kõrgemal.

Selle meetodi illustreerimiseks võib tuua järgmise näite. Antud tipud koordinaatidega A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Peate välja selgitama figuuri pindala.

Enne trapetsi pindala leidmist peate arvutama koordinaatide põhjal aluste pikkused. Teil on vaja järgmist valemit:

lõigu pikkus = √((punktide esimeste koordinaatide erinevus) 2 + (punktide teiste koordinaatide erinevus) 2 ).

Ülemine alus on tähistatud kui AB, mis tähendab, et selle pikkus on võrdne √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. Alumine on CD = √ ((10-1) 2 + (1-1) 2) = √81 = 9.

Nüüd peate joonistama kõrguse ülaosast aluseni. Olgu selle algus punktis A. Lõigu lõpp on koordinaatidega (5; 1) punktis alumisel alusel, olgu selleks punkt H. Lõigu AN pikkus võrdub √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Jääb vaid asendada saadud väärtused trapetsi pindala valemis:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Ülesanne lahendati ilma mõõtühikuteta, kuna koordinaatide ruudustiku mõõtkava ei olnud määratud. See võib olla kas millimeeter või meeter.

Näidisprobleemid

Nr 1. Seisukord. Suvalise trapetsi diagonaalide vaheline nurk on teada 30 kraadi. Väiksema diagonaali väärtus on 3 dm ja teine ​​on 2 korda suurem. On vaja arvutada trapetsi pindala.

Lahendus. Kõigepealt peate välja selgitama teise diagonaali pikkuse, sest ilma selleta pole vastust võimalik arvutada. Seda pole raske arvutada, 3 * 2 = 6 (dm).

Nüüd peate kasutama piirkonna jaoks sobivat valemit:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Probleem on lahendatud.

Vastus: Trapetsi pindala on 4,5 dm2.

Nr 2. Seisukord. Trapetsis ABCD on alusteks lõigud AD ja BC. Punkt E on SD-külje keskpunkt. Sellest tõmmatakse risti sirge AB, selle lõigu lõpp on tähistatud tähega H. On teada, et pikkused AB ja EH on vastavalt 5 ja 4 cm. Tuleb välja arvutada pindala trapets.

Lahendus. Kõigepealt peate tegema joonise. Kuna risti väärtus on väiksem kui külg, kuhu see on tõmmatud, pikeneb trapets veidi ülespoole. Nii et EH on figuuri sees.

Probleemi lahendamise edenemise selgeks nägemiseks peate tegema täiendavaid ehitustöid. Nimelt tõmmake sirge, mis on paralleelne küljega AB. Selle sirge lõikepunktid punktiga AD on P ja BC jätkuga X. Saadud joonis VHRA on rööpkülik. Pealegi on selle pindala võrdne nõutavaga. See on tingitud asjaolust, et lisaehituse käigus saadud kolmnurgad on võrdsed. See tuleneb külje ja kahe sellega külgneva nurga võrdsusest, millest üks on vertikaalne, teine ​​​​risti.

Rööpküliku pindala leiate valemiga, mis sisaldab külje ja sellele langetatud kõrguse korrutist.

Seega on trapetsi pindala 5 * 4 = 20 cm 2.

Vastus: S = 20 cm2.

Nr 3. Seisukord. Elemendid võrdhaarne trapets on järgmised väärtused: alumine alus - 14 cm, ülemine - 4 cm, teravnurk - 45º. Peate arvutama selle pindala.

Lahendus. Olgu väiksem alus tähistatud BC. Punktist B tõmmatud kõrgust nimetatakse VH-ks. Kuna nurk on 45º, on kolmnurk ABH ristkülikukujuline ja võrdhaarne. Seega AN=VN. Pealegi on AN-i väga lihtne leida. See võrdub poolega aluste erinevusest. See tähendab (14–4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Alused on teada, kõrgused arvutatud. Võite kasutada esimest valemit, mida siin käsitleti suvalise trapetsi jaoks.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).

Vastus: Vajalik pindala on 45 cm 2.

Nr 4. Seisukord. Seal on suvaline trapets ABCD. Punktid O ja E on võetud selle külgmistelt külgedelt, nii et OE on paralleelne punkti AD alusega. AOED trapetsi pindala on viis korda suurem kui OVSE oma. Arvutage OE väärtus, kui aluste pikkused on teada.

Lahendus. Peate joonistama kaks paralleelset sirget AB: esimene läbi punkti C, selle ristumiskoht OE-ga - punkt T; teine ​​läbi E ja lõikepunktiks AD on M.

Olgu tundmatu OE=x. Väiksema trapetsi OVSE kõrgus on n 1, suurema AOED on n 2.

Kuna nende kahe trapetsi pindalad on seotud 1 kuni 5, saame kirjutada järgmise võrdsuse:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Kolmnurkade kõrgused ja küljed on ehituselt võrdelised. Seetõttu võime kirjutada veel ühe võrdsuse:

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a ​​1 - x).

Kahes viimased sissekanded vasakul küljel on võrdsed väärtused, mis tähendab, et saame kirjutada, et (x + a 1) / (5(x + a 2)) on võrdne (x - a 2) / (a ​​​​1 - x).

Siin on vaja mitmeid teisendusi. Kõigepealt korrutage risti. Ruudude erinevust tähistavad sulud, pärast selle valemi rakendamist saate lühikese võrrandi.

Selles peate avama sulud ja liigutama kõik terminid tundmatu “x-ga” vasakule ning seejärel eraldama ruutjuure.

Vastus: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

Trapetsi pindala leidmiseks on palju võimalusi. Tavaliselt teab matemaatikaõpetaja mitut arvutamismeetodit, vaatame neid üksikasjalikumalt:
1) , kus AD ja BC on alused ning BH on trapetsi kõrgus. Tõestus: tõmmake diagonaal BD ja väljendage kolmnurkade ABD ja CDB pindalad nende aluste ja kõrguste poolkorrutise kaudu:

, kus DP on väliskõrgus in

Liidame need võrdsused termini haaval kokku ja võttes arvesse, et kõrgused BH ja DP on võrdsed, saame:

Paneme selle sulgudest välja

Q.E.D.

Trapetsi pindala valemi järeldus:
Kuna aluste poolsumma on võrdne trapetsi keskjoonega MN, siis

2) Nelinurga pindala üldvalemi rakendamine.
Nelinurga pindala on võrdne poolega diagonaalide korrutisest, mis on korrutatud nendevahelise nurga siinusega
Selle tõestamiseks piisab, kui jagada trapets 4 kolmnurgaks, väljendada igaühe pindala "poole diagonaalide ja nendevahelise nurga siinuse korrutis" (võetuna nurgana, lisage saadud summa avaldised, võtke need sulust välja ja faktoritage see sulg rühmitusmeetodi abil, et saada selle võrdsus avaldisega

3) Diagonaalnihke meetod
See on minu nimi. Matemaatikaõpetaja kooliõpikutes sellist rubriiki ei kohta. Tehnika kirjelduse leiate ainult täiendavast õpikud näitena probleemi lahendamisest. Märgin, et enamik huvitavaid ja kasulikke fakte planimeetria matemaatika juhendajad paljastavad õpilastele esinemise käigus praktiline töö. See on äärmiselt ebaoptimaalne, sest õpilane peab need eraldama eraldi teoreemideks ja nimetama neid "suurteks nimedeks". Üks neist on "diagonaalne nihe". Millest see räägib? Joonestame AC-ga paralleelse sirge läbi tipu B, kuni see lõikub alumise alusega punktis E. Sel juhul on nelinurk EBCA (definitsiooni järgi) rööpkülik ja seega BC=EA ja EB=AC. Esimene võrdsus on meile praegu oluline. Meil on:

Pange tähele, et kolmnurgal BED, mille pindala on võrdne trapetsi pindalaga, on veel mitu tähelepanuväärset omadust:
1) Selle pindala on võrdne trapetsi pindalaga
2) selle võrdhaarne esineb samaaegselt trapetsi enda võrdhaarsetega
3) Selle ülemine nurk tipus B on võrdne trapetsi diagonaalide vahelise nurgaga (mida kasutatakse ülesannetes väga sageli)
4) Selle mediaan BK on võrdne kaugusega QS trapetsi aluste keskpunktide vahel. Selle omaduse kasutamisega puutusin hiljuti kokku Moskva Riikliku Ülikooli mehaanika ja matemaatika üliõpilase ettevalmistamisel, kasutades Tkachuki õpiku 1973. aasta versiooni (ülesanne on toodud lehe allosas).

Eritehnikad matemaatikaõpetajale.

Mõnikord pakun välja probleeme, kasutades väga keerulist viisi trapetsi pindala leidmiseks. Ma liigitan selle eritehnikaks, sest praktikas kasutab juhendaja neid üliharva. Kui vajate ettevalmistust matemaatika ühtseks riigieksamiks ainult B osas, ei pea te nende kohta lugema. Teiste jaoks räägin edasi. Selgub, et trapetsi pindala on kahekordistunud rohkem ala kolmnurk, mille tipud on ühe külje otstes ja teise külje keskel, st ABS-kolmnurk joonisel:
Tõestus: joonistage kolmnurkadesse BCS ja ADS kõrgused SM ja SN ning väljendage nende kolmnurkade pindalade summa:

Kuna punkt S on CD keskpunkt, siis (tõesta see ise) leidke kolmnurkade pindalade summa:

Kuna see summa osutus pooleks trapetsi pindalast, siis selle teine ​​pool. Jne.

Lisaksin juhendaja eritehnikate kogusse võrdhaarse trapetsi pindala arvutamise vormi piki selle külgi: kus p on trapetsi poolperimeeter. Ma ei anna tõestust. Muidu jääb su matemaatikaõpetaja ilma tööta :). Tule klassi!

Probleemid trapetsi piirkonnas:

Matemaatika juhendaja märkus: Allolev nimekiri ei ole metoodiline tugi Teema jaoks on see vaid väike valik huvitavaid probleeme, kasutades ülalpool käsitletud tehnikaid.

1) Võrdhaarse trapetsi alumine alus on 13 ja ülemine 5. Leidke trapetsi pindala, kui selle diagonaal on küljega risti.
2) Leidke trapetsi pindala, kui selle põhjad on 2 cm ja 5 cm ning küljed on 2 cm ja 3 cm.
3) Võrdhaarse trapetsi puhul on suurem alus 11, külg on 5 ja diagonaal on Leia trapetsi pindala.
4) Võrdhaarse trapetsi diagonaal on 5 ja keskjoon on 4. Leia pindala.
5) Võrdhaarse trapetsi alused on 12 ja 20 ning diagonaalid on üksteisega risti. Arvutage trapetsi pindala
6) Võrdhaarse trapetsi diagonaal moodustab oma alumise alusega nurga. Leidke trapetsi pindala, kui selle kõrgus on 6 cm.
7) Trapetsi pindala on 20 ja selle üks külg on 4 cm. Leidke kaugus selleni vastaskülje keskelt.
8) Võrdhaarse trapetsi diagonaal jagab selle kolmnurkadeks pindalaga 6 ja 14. Leia kõrgus, kui külgkülg on 4.
9) Trapetsi diagonaalid on 3 ja 5 ning aluste keskpunkte ühendav segment on võrdne 2-ga. Leidke trapetsi pindala (Mekhmat MSU, 1970).

Valisin mitte just kõige raskemad ülesanded (ärge kartke mehaanikat ja matemaatikat!) lootusega, et need on võimalikud sõltumatu otsus. Otsustage oma tervise nimel! Kui vajate ettevalmistust matemaatika ühtseks riigieksamiks, siis ilma trapetsi pindala valemi selles protsessis osalemiseta võivad tõsised probleemid tekkida isegi ülesande B6 ja veelgi enam C4 puhul. Ära alusta teemat ja raskuste korral küsi abi. Matemaatikaõpetaja aitab teid alati hea meelega.

Kolpakov A.N.
Matemaatika juhendaja Moskvas, ettevalmistus ühtseks riigieksamiks Strogino linnas.

JA . Nüüd saame hakata kaaluma küsimust, kuidas leida trapetsi pindala. See ülesanne tekib igapäevaelus väga harva, kuid mõnikord osutub vajalikuks näiteks ruumi pindala leidmine trapetsikujulise kujuga, mida kasutatakse üha enam kaasaegsete korterite ehitamisel või projekteerida renoveerimisprojekte.

Trapets on geomeetriline kujund, mille moodustavad neli lõikuvat lõiku, millest kaks on üksteisega paralleelsed ja mida nimetatakse trapetsi alusteks. Ülejäänud kahte segmenti nimetatakse trapetsi külgedeks. Lisaks vajame hiljem teist määratlust. See on trapetsi keskjoon, mis on külgede keskpunkte ja trapetsi kõrgust ühendav segment, mis on võrdne aluste vahelise kaugusega.
Nagu kolmnurkadel, on ka trapetsil eritüübid võrdhaarse (võrdkülgse) trapetsi kujul, mille külgede pikkused on samad, ja ristkülikukujulise trapetsi kujul, mille üks külgedest moodustab alustega täisnurga.

Trapetsil on mõned huvitavad omadused:

1. Trapetsi keskjoon on võrdne poolega aluste summast ja on nendega paralleelne.
   
2. Võrdhaarsetel trapetsidel on võrdsed küljed ja nurgad, mille nad moodustavad alustega.
   
3. Trapetsi diagonaalide keskpunktid ja selle diagonaalide lõikepunkt on samal sirgel.
   
4. Kui trapetsi külgede summa on võrdne aluste summaga, siis saab sellesse kirjutada ringi
   
5. Kui trapetsi külgede poolt moodustatud nurkade summa mis tahes selle aluse juures on 90, siis on aluste keskpunkte ühendava lõigu pikkus võrdne nende poolvahega.
   
6. Võrdhaarset trapetsi saab kirjeldada ringiga. Ja vastupidi. Kui trapets mahub ringi, siis on see võrdhaarne.
   
7. Võrdhaarse trapetsi aluste keskpunkte läbiv segment on selle alustega risti ja tähistab sümmeetriatelge.
   

Kuidas leida trapetsi pindala.

Trapetsi pindala võrdub poolega selle aluste summast, mis on korrutatud selle kõrgusega. Valemi kujul kirjutatakse see avaldisena:

kus S on trapetsi pindala, a, b on trapetsi iga aluse pikkus, h on trapetsi kõrgus.

Samuti saate mis tahes trapetsi jagada lihtsamateks kujunditeks: ristkülikuks ja üheks või kaheks kolmnurgaks ning kui see on teile lihtsam, siis leidke trapetsi pindala selle moodustavate kujundite pindalade summana.

Selle pindala arvutamiseks on veel üks lihtne valem. Selle järgi võrdub trapetsi pindala selle keskjoone korrutisega trapetsi kõrgusega ja kirjutatakse kujul: S = m*h, kus S on pindala, m on trapetsi pikkus. keskjoon, h on trapetsi kõrgus. See valem sobib paremini matemaatikaülesannete kui igapäevaste ülesannete jaoks, kuna reaalsetes tingimustes ei tea te keskjoone pikkust ilma eelnevate arvutusteta. Ja teate ainult aluste ja külgede pikkusi.

Sel juhul saab trapetsi pindala leida järgmise valemi abil:

S = ((a+b)/2)*√c 2-((b-a) 2 +c 2-d 2 /2(b-a)) 2

kus S on pindala, a, b on alused, c, d on trapetsi küljed.

Trapetsi pindala leidmiseks on veel mitmeid viise. Kuid need on umbes sama ebamugavad kui viimane valem, mis tähendab, et neil pole mõtet peatuda. Seetõttu soovitame teil kasutada artikli esimest valemit ja soovime, et saaksite alati täpseid tulemusi.

Matemaatikas tuntakse mitut tüüpi nelinurki: ruut, ristkülik, romb, rööpkülik. Nende hulgas on trapets - kumerate nelinurkade tüüp, mille kaks külge on paralleelsed ja ülejäänud kaks mitte. Paralleelseid vastaskülgi nimetatakse alusteks ja kahte ülejäänud trapetsi külgkülgedeks. Segmenti, mis ühendab külgede keskpunkte, nimetatakse keskjooneks. Trapetse on mitut tüüpi: võrdhaarsed, ristkülikukujulised, kõverjoonelised. Iga trapetsitüübi jaoks on olemas valemid ala leidmiseks.

Trapetsi pindala

Trapetsi pindala leidmiseks peate teadma selle aluste pikkust ja kõrgust. Trapetsi kõrgus on segment risti alustega. Olgu ülemine alus a, alumine alus b ja kõrgus h. Seejärel saate arvutada pindala S järgmise valemi abil:

S = ½ * (a+b) * h

need. võtke pool aluste summast, mis on korrutatud kõrgusega.

Samuti on võimalik arvutada trapetsi pindala, kui kõrgus ja keskjoon on teada. Tähistame keskmist joont - m. Siis

Lahendame keerulisema ülesande: on teada trapetsi nelja külje pikkused - a, b, c, d. Seejärel leitakse ala järgmise valemi abil:

Kui diagonaalide pikkused ja nendevaheline nurk on teada, siis otsitakse ala järgmiselt:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

kus d indeksitega 1 ja 2 on diagonaalid. Selles valemis on arvutuses antud nurga siinus.

Arvestades aluste a ja b teadaolevaid pikkusi ning alumise aluse kahte nurka, arvutatakse pindala järgmiselt:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin (α + β))

Võrdhaarse trapetsi pindala

Võrdhaarne trapets on erijuhtum trapetsid. Selle erinevus seisneb selles, et selline trapets on kumer nelinurk, mille sümmeetriatelg läbib kahe vastaskülje keskpunkte. Selle küljed on võrdsed.

Võrdhaarse trapetsi pindala leidmiseks on mitu võimalust.

• Läbi kolme külje pikkuse. Sel juhul kattuvad külgede pikkused, seetõttu tähistatakse neid ühe väärtusega - c ning a ja b - aluste pikkusega:

• Kui on teada ülemise aluse pikkus, külg ja nurk alumise aluse juures, arvutatakse pindala järgmiselt:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

kus a on ülemine alus, c on külg.

• Kui ülemise aluse asemel on teada alumise pikkus - b, arvutatakse pindala järgmise valemi abil:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Kui kaks alust ja alumise aluse nurk on teada, arvutatakse pindala nurga puutuja kaudu:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

• Pindala arvutatakse ka diagonaalide ja nendevahelise nurga kaudu. Sel juhul on diagonaalid võrdse pikkusega, seega tähistame neid iga d-tähega ilma alaindeksiteta:

S = ½ * d2 * sin α

• Arvutame trapetsi pindala, teades külje pikkust, keskjoont ja nurka põhjas.

Olgu külgkülg c, keskjoon m ja nurk a, siis:

S = m * c * sin α

Mõnikord saab võrdkülgse trapetsi sisse kirjutada ringi, mille raadius on r.

On teada, et ringi saab kirjutada igasse trapetsi, kui aluste pikkuste summa on võrdne selle külgede pikkuste summaga. Siis saab pindala leida läbi sisse kirjutatud ringi raadiuse ja nurga alumises aluses:

S = 4r2 / sin α

Sama arvutus tehakse sisse kirjutatud ringi D läbimõõduga (muide, see langeb kokku trapetsi kõrgusega):

Teades alust ja nurka, arvutatakse võrdhaarse trapetsi pindala järgmiselt:

S = a * b / sin α

(see ja järgnevad valemid kehtivad ainult sisse kirjutatud ringiga trapetsidele).

Kasutades ringi aluseid ja raadiust, leitakse ala järgmiselt:

Kui on teada ainult alused, arvutatakse pindala järgmise valemi abil:

Läbi aluste ja külgjoone arvutatakse trapetsi pindala koos sisse kirjutatud ringiga ning läbi aluste ja keskjoone - m järgmiselt:

Ristkülikukujulise trapetsi pindala

Trapetsi nimetatakse ristkülikukujuliseks, kui üks selle külgedest on alusega risti. Sel juhul langeb külje pikkus kokku trapetsi kõrgusega.

Ristkülikukujuline trapets koosneb ruudust ja kolmnurgast. Olles leidnud iga figuuri pindala, liidage tulemused ja saate kogupindala arvud.

Sobib ka ristkülikukujulise trapetsi pindala arvutamiseks üldvalemid trapetsi pindala arvutamiseks.

• Kui aluste pikkused ja kõrgus (või risti asetsev külgkülg) on ​​teada, arvutatakse pindala järgmise valemi abil:

S = (a + b) * h / 2

Külgkülg c võib toimida kui h (kõrgus). Siis näeb valem välja selline:

S = (a + b) * c / 2

• Teine võimalus pindala arvutamiseks on keskjoone pikkuse korrutamine kõrgusega:

või külgmise risti oleva külje pikkuse järgi:

• Järgmine arvutamisviis on pool diagonaalide ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Kui diagonaalid on risti, siis lihtsustub valem järgmiselt:

S = ½ * d1 * d2

• Teine võimalus arvutamiseks on poolperimeeter (kahe vastaskülje pikkuste summa) ja sisse kirjutatud ringi raadius.

See valem kehtib aluste jaoks. Kui võtame külgede pikkused, võrdub üks neist kahekordse raadiusega. Valem näeb välja selline:

S = (2r + c) * r

• Kui trapetsis on ringjoon, arvutatakse pindala samal viisil:

kus m on keskjoone pikkus.

Kumera trapetsi pindala

Kumer trapets on lame figuur, mis on piiratud mittenegatiivse graafikuga pidev funktsioon y = f(x), mis on defineeritud lõigul , abstsissteljel ja sirgtel x = a, x = b. Sisuliselt on selle kaks külge paralleelsed (alused), kolmas külg on alustega risti ja neljas on funktsiooni graafikule vastav kõver.

Kõverjoonelise trapetsi pindala otsitakse integraali kaudu Newtoni-Leibnizi valemi abil:

Nii arvutatakse pindalad erinevat tüüpi trapetsikujuline. Kuid lisaks külgede omadustele on trapetsidel samad nurkade omadused. Nagu kõigi olemasolevate nelinurkade puhul, on ka trapetsi sisenurkade summa 360 kraadi. Ja küljega külgnevate nurkade summa on 180 kraadi.