Kuidas leida kolmnurga pindala. Kuidas leida kolmnurga pindala

Juhised

Peod ja nurki peetakse põhielementideks A. Kolmnurk on täielikult määratletud mis tahes selle järgmiste põhielementidega: kas kolm külge või üks külg ja kaks nurka või kaks külge ja nendevaheline nurk. Olemasolu eest kolmnurk kui on antud kolm külge a, b, c, on vajalik ja piisav, et rahuldada ebavõrdsust, mida nimetatakse ebavõrdsusteks kolmnurk:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Ehitamiseks kolmnurk kolmele küljele a, b, c on vaja lõigu CB = a punktist C kompassi abil tõmmata ring raadiusega b. Seejärel tõmmake samamoodi punktist B ring, mille raadius on võrdne küljega c. Nende lõikepunkt A on soovitud kolmas tipp kolmnurk ABC, kus AB=c, CB=a, CA=b - küljed kolmnurk. Ülesanne on , kui küljed a, b, c rahuldavad ebavõrdsust kolmnurk 1. sammus määratletud.

Sel viisil ehitatud ala S kolmnurk ABC teadaolevate külgedega a, b, c arvutatakse Heroni valemi abil:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
kus a, b, c on küljed kolmnurk, p – poolperimeeter.
p = (a+b+c)/2

Kui kolmnurk on võrdkülgne, st selle kõik küljed on võrdsed (a=b=c). Pindala kolmnurk arvutatakse valemiga:
S=(a^2 v3)/4

Kui kolmnurk on täisnurkne, st üks selle nurkadest on 90° ja selle moodustavad küljed on jalad, on kolmas külg hüpotenuus. Sel juhul ruut võrdub jalgade korrutisega, mis on jagatud kahega.
S=ab/2

Leidma ruut kolmnurk, võite kasutada ühte paljudest valemistest. Valige valem sõltuvalt sellest, millised andmed on juba teada.

Sa vajad

kolmnurga pindala leidmise valemite tundmine

Juhised

Kui teate ühe külje suurust ja selle vastasnurgast sellele küljele langetatud kõrguse väärtust, saate pindala leida järgmiselt: S = a*h/2, kus S on pindala kolmnurgast a on kolmnurga üks külgedest ja h - kõrgus, külje a.

On teada meetod kolmnurga pindala määramiseks, kui selle kolm külge on teada. See on Heroni valem. Selle salvestamise lihtsustamiseks võetakse kasutusele vaheväärtus - poolperimeeter: p = (a+b+c)/2, kus a, b, c - . Siis on Heroni valem järgmine: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ astendamine.

Oletame, et tead kolmnurga ühte külge ja kolme nurka. Siis on lihtne leida kolmnurga pindala: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), kus β on külje a vastasnurk ning α ja γ on küljega külgnevad nurgad.

Video teemal

Märge

Kõige üldine valem, mis sobib kõikidel juhtudel on Heroni valem.

Allikad:

Vihje 3: kuidas leida kolmnurga pindala kolme külje põhjal

Kolmnurga pindala leidmine on üks levinumaid probleeme kooli planimeetria. Mis tahes kolmnurga pindala määramiseks piisab kolmnurga kolme külje tundmisest. Võrdkülgsete kolmnurkade erijuhtudel piisab vastavalt kahe ja ühe külje pikkuse teadmisest.

Sa vajad

kolmnurkade külgede pikkused, Heroni valem, koosinusteoreem

Juhised

Heroni valem kolmnurga pindala jaoks on järgmine: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Kui kirjutame poolperimeetri p, saame: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Kolmnurga pindala valemi saate tuletada kaalutluste põhjal, rakendades näiteks koosinusteoreemi.

Koosinusteoreemi järgi AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Kasutades kasutusele võetud tähistusi, saab need kirjutada ka kujul: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Seega cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Kolmnurga pindala leitakse ka valemiga S = a*c*sin(ABC)/2, kasutades kahte külge ja nende vahelist nurka. Nurga ABC siinust saab väljendada selle kaudu, kasutades põhilist trigonomeetriline identiteet: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Asendades siinuse pindala valemisse ja kirjutades selle välja, saate kolmnurga ABC pindala valemini.

Video teemal

Remonditööde teostamiseks võib olla vajalik mõõta ruut seinad See muudab vajaliku värvi- või tapeedikoguse arvutamise lihtsamaks. Mõõtmiseks on kõige parem kasutada mõõdulint või mõõdulint. Mõõtmised tuleks teha pärast seinad olid tasandatud.

Sa vajad

-rulett;
-redel.

Juhised

Loendama ruut seinad, peate teadma lagede täpset kõrgust ja mõõtma ka pikkust mööda põrandat. Seda tehakse järgmiselt: võtke sentimeeter ja asetage see põrandaliistu kohale. Tavaliselt ei piisa kogu pikkuse jaoks sentimeetrist, nii et kinnitage see nurka, seejärel kerige see maksimaalse pikkuseni lahti. Siinkohal pange pliiatsiga märk, kirjutage saadud tulemus üles ja tehke edasised mõõtmised samamoodi, alustades viimasest mõõtmispunktist.

Standardlaed on olenevalt majast 2 meetrit 80 sentimeetrit, 3 meetrit ja 3 meetrit 20 sentimeetrit. Kui maja on ehitatud enne 50ndaid, siis suure tõenäosusega on tegelik kõrgus näidatust veidi väiksem. Kui te arvutate ruut remonditöödeks, siis väike varu ei tee paha - kaaluge standardi alusel. Kui teil on siiski vaja teada tegelikku pikkust, võtke mõõtmised. Põhimõte sarnaneb pikkuse mõõtmisega, kuid selleks on vaja astmeredelit.

Korrutage saadud näitajad - see on ruut sinu oma seinad. Tõsi, millal värvimistööd või selleks on vaja lahutada ruut ukse- ja aknaavad. Selleks asetage sentimeetrit piki ava. Kui me räägime uksest, mida kavatsete hiljem muuta, siis jätkake ukse lengi eemaldamisega, võttes arvesse ainult ruut otse avausse. Akna pindala arvutatakse piki selle raami perimeetrit. Pärast ruut arvutatud aken ja ukseava, lahutage tulemus ruumi kogupindalast.

Pange tähele, et ruumi pikkuse ja laiuse mõõtmist teostavad kaks inimest, see hõlbustab sentimeetri või mõõdulindi fikseerimist ja vastavalt täpsema tulemuse saamist. Mõõtke sama mõõtmist mitu korda, et veenduda saadud numbrite täpsuses.

Video teemal

Kolmnurga ruumala leidmine on tõesti mittetriviaalne ülesanne. Fakt on see, et kolmnurk on kahemõõtmeline kujund, st. see asub täielikult ühel tasapinnal, mis tähendab, et sellel lihtsalt pole helitugevust. Muidugi ei leia midagi, mida poleks olemas. Kuid ärgem andkem alla! Võime nõustuda järgmise eeldusega: kahemõõtmelise kujundi ruumala on selle pindala. Otsime kolmnurga pindala.

Sa vajad

paberileht, pliiats, joonlaud, kalkulaator

Juhised

Joonistage joonlaua ja pliiatsi abil paberile. Kolmnurka hoolikalt uurides saate veenduda, et sellel pole tõesti kolmnurka, kuna see on joonistatud tasapinnale. Märgistage kolmnurga küljed: olgu üks külg külg "a", teine külg "b" ja kolmas külg "c". Märgistage kolmnurga tipud tähtedega "A", "B" ja "C".

Mõõtke joonlauaga kolmnurga mis tahes külg ja kirjutage tulemus üles. Pärast seda taastage risti mõõdetud küljega selle vastas olevast tipust, selline rist on kolmnurga kõrgus. Joonisel kujutatud juhul taastatakse risti "h" tipust "A" küljele "c". Mõõtke saadud kõrgus joonlauaga ja kirjutage mõõtmistulemus üles.

Täpse risti taastamine võib olla keeruline. Sel juhul peaksite kasutama teist valemit. Mõõtke joonlauaga kolmnurga kõik küljed. Pärast seda arvutage kolmnurga "p" poolperimeeter, lisades saadud külgede pikkused ja jagades nende summa pooleks. Kui teie käsutuses on poolperimeetri väärtus, saate kasutada Heroni valemit. Selleks peate ekstraktima Ruutjuur järgmistest: p(p-a)(p-b)(p-c).

Olete saanud kolmnurga vajaliku pindala. Kolmnurga ruumala leidmise probleem pole lahendatud, kuid nagu eespool mainitud, ruumala mitte. Võite leida mahu, mis on sisuliselt kolmnurk kolmemõõtmelises maailmas. Kui kujutame ette, et meie algsest kolmnurgast on saanud kolmemõõtmeline püramiid, siis on sellise püramiidi ruumala selle aluse pikkuse ja saadud kolmnurga pindala korrutis.

Märge

Mida hoolikamalt mõõdate, seda täpsemad on teie arvutused.

Allikad:

Kalkulaator “Kõik kõigele” – võrdlusväärtuste portaal
kolmnurga maht 2019. aastal

Kolm punkti, mis määratlevad üheselt kolmnurga Descartes'i süsteem koordinaadid on selle tipud. Teades nende asukohta iga koordinaattelje suhtes, saate arvutada selle mis tahes parameetrid lame figuur, sealhulgas ja piiratud selle perimeetriga ruut. Seda saab teha mitmel viisil.

Juhised

Kasutage pindala arvutamiseks Heroni valemit kolmnurk. See hõlmab joonise kolme külje mõõtmeid, nii et alustage arvutusi . Iga külje pikkus peab olema võrdne selle koordinaattelgedele projektsioonide pikkuste ruutude summa juurega. Kui tähistame koordinaate A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) ja C(X3,Y3,Z3), saab nende külgede pikkused väljendada järgmiselt: AB = √((X₁- X₂)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √(( X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²).

Arvutuste lihtsustamiseks võtke kasutusele abimuutuja - poolperimeeter (P). Sellest, et see on pool kõikide külgede pikkuste summast: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X1-X2)² + (Y1-Y₂)² + (Z1- Z2)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).

Mõnikord tuleb elus ette olukordi, kus ammu unustatud kooliteadmiste otsimisel tuleb süveneda oma mällu. Näiteks peate määrama kolmnurkse maatüki pindala või on saabunud aeg korteris või eramajas uueks renoveerimiseks ja peate arvutama, kui palju materjali kulub pinna jaoks. kolmnurkne kuju. Oli aeg, mil saite sellise probleemi mõne minutiga lahendada, kuid nüüd proovite meeleheitlikult meeles pidada, kuidas kolmnurga pindala määrata?

Ära selle pärast muretse! On ju täiesti normaalne, kui inimese aju otsustab kaua kasutamata teadmised kuhugi kaugemasse nurka üle kanda, kust neid vahel nii lihtne välja tõmmata polegi. Selleks, et te ei peaks sellise probleemi lahendamiseks unustatud kooliteadmiste otsimisega vaeva nägema, sisaldab see artikkel erinevaid meetodeid, mis muudavad kolmnurga vajaliku ala leidmise lihtsaks.

On hästi teada, et kolmnurk on teatud tüüpi hulknurk, mis on piiratud minimaalse võimaliku külgede arvuga. Põhimõtteliselt saab iga hulknurga jagada mitmeks kolmnurgaks, ühendades selle tipud segmentidega, mis ei ristu selle külgi. Seetõttu saate kolmnurka teades arvutada peaaegu iga kujundi pindala.

Kõigi võimalike elus esinevate kolmnurkade hulgast saab eristada järgmisi konkreetseid tüüpe: ja ristkülikukujulised.

Lihtsaim viis kolmnurga pindala arvutamiseks on siis, kui selle üks nurk on täisnurkne, st täisnurkse kolmnurga puhul. On lihtne näha, et see on pool ristkülikut. Seetõttu on selle pindala võrdne poolega nende külgede korrutisest, mis moodustavad üksteisega täisnurga.

Kui teame kolmnurga kõrgust, mis on langetatud selle ühest tipust vastasküljele, ja selle külje pikkust, mida nimetatakse aluseks, siis arvutatakse pindala poolena kõrguse ja aluse korrutisest. See on kirjutatud järgmise valemi abil:

S = 1/2*b*h, milles

S on kolmnurga nõutav pindala;

b, h - vastavalt kolmnurga kõrgus ja alus.

Võrdhaarse kolmnurga pindala on nii lihtne arvutada, kuna kõrgus poolitab vastaskülje ja seda saab hõlpsasti mõõta. Kui pindala on määratud, siis on mugav võtta kõrguseks ühe täisnurga moodustava külje pikkus.

Kõik see on muidugi hea, aga kuidas teha kindlaks, kas kolmnurga üks nurkadest on õige või mitte? Kui meie figuuri suurus on väike, siis saame kasutada konstruktsiooninurka, joonistuskolmnurka, postkaarti või mõnda muud ristkülikukujulist eset.

Aga mis siis, kui meil on kolmnurkne maatükk? Sel juhul toimige järgmiselt: loendage eeldatava tipust täisnurkühel küljel on kaugus 3-kordne (30 cm, 90 cm, 3 m) ja teisel pool mõõdetakse kaugust samas proportsioonis, mis on 4-kordne (40 cm, 160 cm, 4 m) . Nüüd peate mõõtma nende kahe segmendi lõpp-punktide vahelist kaugust. Kui tulemuseks on 5-kordne (50 cm, 250 cm, 5 m), siis võib öelda, et nurk on õige.

Kui meie joonise iga kolme külje pikkus on teada, saab kolmnurga pindala määrata Heroni valemi abil. Et sellel oleks lihtsam vorm, kasutatakse uut väärtust, mida nimetatakse poolperimeetriks. See on meie kolmnurga kõigi külgede summa, jagatud pooleks. Pärast poolperimeetri arvutamist saate ala määrata järgmise valemi abil:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), kus

sqrt - ruutjuur;

p - poolperimeetri väärtus (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - kolmnurga servad (küljed).

Aga mis siis, kui kolmnurgal on ebakorrapärane kuju? Siin on kaks võimalikku viisi. Esimene neist on püüda selline kujund jagada kaheks täisnurkseks kolmnurgaks, mille pindalade summa arvutatakse eraldi välja ja seejärel liidetakse. Või kui kahe külje vaheline nurk ja nende külgede suurus on teada, siis rakendage valemit:

S = 0,5 * ab * sinC, kus

a,b - kolmnurga küljed;

c on nende külgede vahelise nurga suurus.

Viimane juhtum on praktikas haruldane, kuid sellegipoolest on elus kõik võimalik, nii et ülaltoodud valem ei ole üleliigne. Edu teile arvutuste tegemisel!

Kolmnurga pindala määramiseks võite kasutada erinevaid valemeid. Kõigist meetoditest on kõige lihtsam ja sagedamini kasutatav kõrgus aluse pikkusega korrutada ja seejärel tulemus kahega jagada. Kuid seda meetodit kaugeltki mitte ainus. Altpoolt saate lugeda, kuidas leida kolmnurga pindala erinevate valemite abil.

Eraldi vaatleme võimalusi, kuidas arvutada teatud tüüpi kolmnurkade pindala - ristkülikukujulised, võrdhaarsed ja võrdkülgsed. Iga valemiga on kaasas lühike selgitus, mis aitab teil mõista selle olemust.

Universaalsed meetodid kolmnurga pindala leidmiseks

Alltoodud valemid kasutavad spetsiaalset tähistust. Me dešifreerime neist igaüks:

a, b, c – vaadeldava joonise kolme külje pikkused;
r on ringjoone raadius, mida saab kanda meie kolmnurka;
R on selle ümber kirjeldatava ringi raadius;
α on külgede b ja c moodustatud nurga suurus;
β on a ja c vahelise nurga suurus;
γ on külgede a ja b moodustatud nurga suurus;
h on meie kolmnurga kõrgus, langetatud nurgast α küljele a;
p – pool külgede a, b ja c summast.

On loogiliselt selge, miks saate sel viisil kolmnurga pindala leida. Kolmnurga saab hõlpsasti täiendada rööpkülikuks, milles kolmnurga üks külg toimib diagonaalina. Rööpküliku pindala leitakse, korrutades selle ühe külje pikkust sellele tõmmatud kõrguse väärtusega. Diagonaal jagab selle tingimusliku rööpküliku kaheks identseks kolmnurgaks. Seetõttu on üsna ilmne, et meie algse kolmnurga pindala peab olema võrdne poolega selle abi rööpküliku pindalast.

S=½ a b sin γ

Selle valemi järgi leitakse kolmnurga pindala, korrutades selle kahe külje pikkused, see tähendab a ja b, nende moodustatud nurga siinusega. See valem on loogiliselt tuletatud eelmisest. Kui alandame kõrgust nurgast β küljele b, siis vastavalt omadustele täisnurkne kolmnurk, kui korrutada külje a pikkust nurga γ siinusega, saame kolmnurga kõrguse ehk h.

Kõnealuse kujundi pindala leitakse, korrutades poole sellesse kantava ringi raadiusest selle ümbermõõduga. Teisisõnu leiame mainitud ringi poolperimeetri ja raadiuse korrutise.

S = a b c/4R

Selle valemi järgi saab meile vajaliku väärtuse leida, jagades joonise külgede korrutise selle ümber kirjeldatud ringi 4 raadiusega.

Need valemid on universaalsed, kuna need võimaldavad määrata mis tahes kolmnurga pindala (skaala, võrdhaarne, võrdkülgne, ristkülikukujuline). Seda saab teha keerukamate arvutuste abil, millel me üksikasjalikult ei peatu.

Konkreetsete omadustega kolmnurkade alad

Kuidas leida täisnurkse kolmnurga pindala? Selle figuuri eripära on see, et selle kaks külge on samaaegselt selle kõrgused. Kui a ja b on jalad ja c muutub hüpotenuusiks, siis leiame ala järgmiselt:

Kuidas leida võrdhaarse kolmnurga pindala? Sellel on kaks külge pikkusega a ja üks külg pikkusega b. Järelikult saab selle pindala määrata, jagades külje a ruudu korrutise nurga γ siinusega 2-ga.

Kuidas leida võrdkülgse kolmnurga pindala? Selles on kõigi külgede pikkus võrdne a-ga ja kõigi nurkade suurus on α. Selle kõrgus on võrdne poolega külje a pikkuse ja ruutjuure 3 korrutisest. Tavalise kolmnurga pindala leidmiseks tuleb külje a ruut korrutada ruutjuurega 3 ja jagada 4.

Nagu te mäletate kooli õppekava Geomeetria järgi on kolmnurk kujund, mis on moodustatud kolmest lõigust, mis on ühendatud kolme punktiga, mis ei asu samal sirgel. Kolmnurk moodustab kolm nurka, sellest ka joonise nimi. Määratlus võib olla erinev. Kolmnurka võib nimetada ka kolme nurgaga hulknurgaks, ka vastus on õige. Kolmnurgad jagatakse vastavalt võrdsete külgede arvule ja nurkade suurusele joonistel. Seega eristatakse kolmnurki võrdhaarsete, võrdkülgsete ja skaalana, samuti ristkülikukujuliste, teravate ja nürikujulistena.

Kolmnurga pindala arvutamiseks on palju valemeid. Valige, kuidas leida kolmnurga pindala, st. Millist valemit kasutada, on teie otsustada. Kuid väärib märkimist ainult mõned tähistused, mida kasutatakse paljudes kolmnurga pindala arvutamise valemites. Niisiis, pidage meeles:

S on kolmnurga pindala,

a, b, c on kolmnurga küljed,

h on kolmnurga kõrgus,

R on piiritletud ringi raadius,

p on poolperimeeter.

Siin on põhilised tähistused, mis võivad teile kasulikud olla, kui olete oma geomeetriakursuse täielikult unustanud. Allpool on kolmnurga tundmatu ja salapärase ala arvutamiseks kõige arusaadavad ja lihtsamad võimalused. See pole keeruline ja on kasulik nii teie majapidamisvajaduste jaoks kui ka teie laste abistamiseks. Pidagem meeles, kuidas kolmnurga pindala võimalikult lihtsalt arvutada:

Meie puhul on kolmnurga pindala: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 ruutcm. Pidage meeles, et pindala mõõdetakse ruutsentimeetrites (ruutmeetrites).

Täisnurkne kolmnurk ja selle pindala.

Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on võrdne 90 kraadiga (seega nimetatakse seda parempoolseks). Täisnurga moodustavad kaks risti asetsevat sirget (kolmnurga puhul kaks risti asetsevat lõiku). Täisnurkses kolmnurgas saab olla ainult üks täisnurk, sest... mis tahes kolmnurga kõigi nurkade summa on 180 kraadi. Selgub, et ülejäänud 90 kraadi peaksid jagama veel 2 nurka, näiteks 70 ja 20, 45 ja 45 jne. Niisiis, peate peamise meeles pidama, jääb üle vaid välja selgitada, kuidas leida täisnurkse kolmnurga pindala. Kujutagem ette, et meie ees on selline täisnurkne kolmnurk ja me peame leidma selle pindala S.

1. Lihtsaim viis täisnurkse kolmnurga pindala määramiseks arvutatakse järgmise valemi abil:

Meie puhul on täisnurkse kolmnurga pindala: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 ruutsentimeetrit.

Põhimõtteliselt pole enam vaja kolmnurga pindala muul viisil kontrollida, sest Ainult see on kasulik ja aitab igapäevaelus. Kuid on ka võimalusi kolmnurga pindala mõõtmiseks teravnurkade kaudu.

2. Teiste arvutusmeetodite jaoks peab teil olema koosinuste, siinuste ja puutujate tabel. Otsustage ise, siin on mõned võimalused täisnurkse kolmnurga pindala arvutamiseks, mida saab veel kasutada:

Otsustasime kasutada esimest valemit ja mõningate väiksemate märkustega (joonistasime selle vihikusse ja kasutasime vana rida ja nurgamõõtja), kuid saime õige arvutuse:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Saime järgmised tulemused: 3,6=3,7, kuid lahtrite nihkumist arvesse võttes võime selle nüansi andeks anda.

Võrdhaarne kolmnurk ja selle pindala.

Kui seisate silmitsi võrdhaarse kolmnurga valemi arvutamise ülesandega, on lihtsaim viis kasutada kolmnurga pindala põhivalemit ja seda, mida peetakse klassikaliseks.

Kuid kõigepealt, enne võrdhaarse kolmnurga pindala leidmist, uurime välja, mis kujuga see on. Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, mille kaks külge on ühepikkused. Neid kahte külge nimetatakse külgmiseks, kolmandaks aluseks. Ärge ajage segi võrdhaarset kolmnurka võrdkülgse kolmnurgaga, s.t. korrapärane kolmnurk, mille kõik kolm külge on võrdsed. Sellises kolmnurgas ei ole erilisi kalduvusi nurkadele, õigemini nende suurusele. Võrdhaarse kolmnurga aluse nurgad on aga võrdsed, kuid erinevad võrdsete külgede vahelisest nurgast. Niisiis, esiteks ja peamine valem sa juba tead, jääb üle välja selgitada, millised muud valemid võrdhaarse kolmnurga pindala määramiseks on teada:

Kolmnurk on üks levinumaid geomeetrilised kujundid, millega tutvume juba aastal Põhikool. Iga õpilane seisab silmitsi küsimusega, kuidas leida geomeetriatundides kolmnurga pindala. Niisiis, milliseid tunnuseid antud figuuri pindala leidmisel saab tuvastada? Selles artiklis vaatleme sellise ülesande täitmiseks vajalikke põhivalemeid ja analüüsime ka kolmnurkade tüüpe.

Kolmnurkade tüübid

Kolmnurga pindala leiate absoluutselt erinevatel viisidel, sest geomeetrias on rohkem kui ühte tüüpi kujundeid, mis sisaldavad kolme nurka. Need tüübid hõlmavad järgmist:

nüri.
Võrdkülgne (õige).
Täisnurkne kolmnurk.
Võrdhaarsed.

Vaatame lähemalt iga olemasolevat kolmnurga tüüpi.

Seda geomeetrilist kujundit peetakse geomeetriliste ülesannete lahendamisel kõige tavalisemaks. Kui tekib vajadus suvalise kolmnurga joonistamiseks, tuleb see valik appi.

Nagu nimigi ütleb, on terava kolmnurga kõik nurgad teravad ja kokku moodustavad 180°.

Seda tüüpi kolmnurgad on samuti väga levinud, kuid on mõnevõrra vähem levinud kui terav kolmnurk. Näiteks kolmnurkade lahendamisel (st selle mitmed küljed ja nurgad on teada ning ülejäänud elemendid on vaja leida) tuleb mõnikord kindlaks teha, kas nurk on nüri või mitte. Koosinus on negatiivne arv.

B, ühe nurga väärtus ületab 90°, seega võivad ülejäänud kaks nurka olla väikesed (näiteks 15° või isegi 3°).

Seda tüüpi kolmnurga pindala leidmiseks peate teadma mõningaid nüansse, millest räägime hiljem.

Korrapärased ja võrdhaarsed kolmnurgad

Regulaarne hulknurk on kujund, mis sisaldab n nurka ja mille küljed ja nurgad on kõik võrdsed. Selline on tavaline kolmnurk. Kuna kolmnurga kõigi nurkade summa on 180°, siis on kõik kolm nurka 60°.

Korrapärast kolmnurka nimetatakse selle omaduse tõttu ka võrdkülgseks kujundiks.

Samuti väärib märkimist, et korrapärasesse kolmnurka saab kirjutada ainult ühe ringi ja selle ümber saab kirjeldada ainult ühte ringi ning nende keskpunktid asuvad samas punktis.

Lisaks võrdkülgsele tüübile võib eristada ka sellest veidi erinevat võrdhaarset kolmnurka. Sellises kolmnurgas on kaks külge ja kaks nurka üksteisega võrdsed ning kolmas külg (millega külgnevad võrdsed nurgad) on alus.

Joonisel on kujutatud võrdhaarne kolmnurk DEF, mille nurgad D ja F on võrdsed ning DF on alus.

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkset kolmnurka nimetatakse selliseks, kuna selle üks nurk on täisnurkne, see tähendab 90°. Ülejäänud kaks nurka annavad kokku 90°.

Kõige suur pool sellise kolmnurga 90° nurga vastas asuv on hüpotenuus ja ülejäänud kaks külge on jalad. Seda tüüpi kolmnurga puhul kehtib Pythagorase teoreem:

Jalgade pikkuste ruutude summa võrdub hüpotenuusi pikkuse ruuduga.

Joonisel on kujutatud täisnurkne kolmnurk BAC hüpotenuusiga AC ning jalgadega AB ja BC.

Täisnurgaga kolmnurga pindala leidmiseks peate teadma arvväärtusi selle jalad.

Liigume edasi antud joonise pindala leidmise valemite juurde.

Põhivalemid ala leidmiseks

Geomeetrias saab eristada kahte valemit, mis sobivad enamiku kolmnurkade pindala leidmiseks, nimelt terava, nüri, korrapärase ja võrdhaarsed kolmnurgad. Vaatame igaüht neist.

Külje ja kõrguse järgi

See valem on universaalne vaadeldava joonise ala leidmiseks. Selleks piisab, kui on teada külje pikkus ja sellele tõmmatud kõrguse pikkus. Valem ise (pool aluse ja kõrguse korrutisest) on järgmine:

kus A on külg antud kolmnurk, ja H on kolmnurga kõrgus.

Näiteks terava kolmnurga ACB pindala leidmiseks peate korrutama selle külje AB kõrgusega CD ja jagama saadud väärtuse kahega.

Kuid sel viisil pole kolmnurga pindala alati lihtne leida. Näiteks selleks, et kasutada seda valemit nüri kolmnurga jaoks, peate selle ühte külge pikendama ja alles seejärel joonistama sellele kõrguse.

Praktikas kasutatakse seda valemit sagedamini kui teisi.

Mõlemal küljel ja nurgas

See valem, nagu ka eelmine, sobib enamiku kolmnurkade jaoks ja on oma tähenduses kolmnurga pindala ja kõrguse järgi leidmise valemi tagajärg. See tähendab, et kõnealust valemit saab eelmisest hõlpsasti tuletada. Selle koostis näeb välja selline:

S = ½*sinO*A*B,

kus A ja B on kolmnurga küljed ning O on nurk külgede A ja B vahel.

Meenutagem, et nurga siinust saab vaadelda spetsiaalses tabelis, mis on nime saanud väljapaistva nõukogude matemaatiku V. M. Bradise järgi.

Liigume nüüd edasi muude valemite juurde, mis sobivad ainult erakordset tüüpi kolmnurkade jaoks.

Täisnurkse kolmnurga pindala

Lisaks universaalsele valemile, mis sisaldab vajadust leida kolmnurga kõrgus merepinnast, saab selle jalgadelt leida täisnurka sisaldava kolmnurga pindala.

Seega on täisnurka sisaldava kolmnurga pindala pool selle jalgade korrutisest või:

kus a ja b on täisnurkse kolmnurga jalad.

Regulaarne kolmnurk

Seda tüüpi geomeetrilised kujundid erinevad selle poolest, et selle pindala võib leida ainult selle ühe külje näidatud väärtusega (kuna tavalise kolmnurga kõik küljed on võrdsed). Niisiis, kui seisate silmitsi ülesandega "leida kolmnurga pindala, kui küljed on võrdsed", peate kasutama järgmist valemit:

S = A 2 *√3/4,

kus A on võrdkülgse kolmnurga külg.

Heroni valem

Viimane võimalus kolmnurga pindala leidmiseks on Heroni valem. Selle kasutamiseks peate teadma joonise kolme külje pikkust. Heroni valem näeb välja selline:

S = √p·(p–a)·(p–b)·(p–c),

kus a, b ja c on antud kolmnurga küljed.

Mõnikord antakse probleem: "tavalise kolmnurga pindala on leida selle külje pikkus." Sel juhul peame tavalise kolmnurga pindala leidmiseks kasutama meile juba tuttavat valemit ja tuletama sellest külje (või selle ruudu) väärtuse:

A 2 = 4S / √3.

Eksamiülesanded

Matemaatikas on GIA ülesannetes palju valemeid. Lisaks on üsna sageli vaja ruudulisel paberil leida kolmnurga pindala.

Sel juhul on kõige mugavam joonistada joonise ühele küljele kõrgus, määrata selle pikkus lahtritest ja kasutada ala leidmiseks universaalset valemit:

Nii et pärast artiklis esitatud valemite uurimist pole teil probleeme mingisuguse kolmnurga pindala leidmisega.