Fourier' teisenduste paar. Signaali spektraalne tihedus

Vaatleme Fourier' integraali nn energiavormi. 5. peatükis olid antud valemid (7.15) ja (7.16), mis annavad ülemineku ajafunktsioonilt Fourier kujutisele ja tagasi. Kui mõned juhuslik funktsioon aeg x (s), siis selle jaoks saab need valemid kirjutada kujul

ja integreerida üle kõige

asenda avaldisega (11.54):

Suurus nurksulgudes (11,57), nagu on hästi näha, on aja algfunktsioon (11,55). Seetõttu saadakse nn Rayleigh' valem (Parsevali teoreem), mis vastab Fourier' integraali energiavormile:

(11.58) ja (11.39) parem pool tähistab kogust, mis on võrdeline vaadeldava protsessi energiaga. Näiteks kui arvestada voolu, mis voolab läbi teatud takisti takistusega K, siis on selles takistis aja jooksul vabanev energia

Valemid (11.58) ja (11.59) väljendavad Fourier’ integraali energiavormi.

Need valemid on aga ebamugavad, kuna enamiku protsesside puhul kipub energia ka lõpmatusse ajavahemikku. Seetõttu on mugavam tegeleda mitte energiaga, vaid protsessi keskmise võimsusega, mis saadakse, kui energia jagada vaatlusintervalliga. Siis saab valemit (11.58) esitada kui

Tutvustame nimetust

nimetatakse spektraaltiheduseks. Tähtis

Omal moel füüsiline tähendus spektraaltihedus on väärtus, mis on võrdeline protsessi keskmise võimsusega sagedusvahemikus co kuni co + d?co.

Mõnel juhul võetakse spektri tihedus arvesse ainult positiivsete sageduste puhul, kahekordistades seda, mida saab teha, kuna spektraalne tihedus on sageduse ühtlane funktsioon. Siis tuleks vormile kirjutada näiteks valem (11.62).

- positiivsete sageduste spektraaltihedus.

kuna sel juhul muutuvad valemid sümmeetrilisemaks.

Väga oluline asjaolu on see, et juhuslike protsesside spektraaltihedus ja korrelatsioonifunktsioon on vastastikused Fourier' teisendused, st need on seotud (11.54) ja (11.55) tüüpi integraalsõltuvustega. See omadus on antud ilma tõendita.

Seega saab kirjutada järgmised valemid:

Kuna spektraaltihedus ja korrelatsioonifunktsioon on isegi reaalfunktsioonid, esitatakse valemid (11,65) ja (11,66) mõnikord lihtsamal kujul;

)

See tuleneb asjaolust, et kehtivad järgmised võrdsused:

ja kujuteldavad osad saab pärast (11.65) ja (11.66) asendamist kõrvale jätta, kuna vasakul on reaalsed funktsioonid.

Asi on selles, et mida kitsam on spektraaltiheduse graafik (joonis 11.16a), st mida madalamad sagedused on spektritiheduses esindatud, seda aeglasemalt muutub x väärtus ajas. Vastupidi, mida laiem on spektraaltiheduse graafik (joon. 11.16, b), st mida kõrgemad sagedused on spektritiheduses esindatud, seda peenem on funktsiooni x(r) struktuur ja seda kiiremini toimuvad muutused ajas.

Nagu sellest kaalutlusest näha, on seos spektraaltiheduse tüübi ja ajafunktsiooni tüübi vahel pöördvõrdeline, kui võrrelda seost korrelatsioonifunktsiooni ja protsessi enda vahel (joonis 11.14). Sellest järeldub, et spektraaltiheduse laiem graafik peaks vastama korrelatsioonifunktsiooni kitsamale graafikule ja vastupidi.

Ja 8 (koos). Erinevalt 4. peatükis käsitletud impulssfunktsioonidest on need funktsioonid paarisarvulised. See tähendab, et funktsioon 8(m) paikneb sümmeetriliselt alguspunkti suhtes ja seda saab defineerida järgmiselt;

Sarnane määratlus kehtib ka funktsiooni 8 (co) kohta. Mõnikord võetakse arvesse normaliseeritud spektraaltihedust, mis on normaliseeritud korrelatsioonifunktsiooni Fourier kujutis (11.52):

ning seetõttu

kus O on dispersioon.

Ristspektri tihedus on ka kahe juhusliku muutuja vahelise seose mõõt. Side puudumisel on vastastikused spektraaltihedused võrdsed nulliga.

Vaatame mõnda näidet.

See funktsioon on näidatud joonisel fig. 11.17 a. Vastav Fourier pilt tabeli põhjal. 11.3 saab olema

Protsessi spekter koosneb ühest impulssfunktsiooni tüüpi tipust, mis asub koordinaatide alguspunktis (joon. 11.17, b).

See tähendab, et kogu kõnealuse protsessi jõud on koondunud kuulisagedusele, nagu arvata võiks.

See funktsioon on näidatud joonisel fig. 11.18, a, Vastavalt tabelile. 11,3 on spektraalne tihedus

3. Sest perioodiline funktsioon, laiendatav Fourier-seerias

lisaks perioodilisele osale sisaldab mitteperioodilist komponenti, siis selle funktsiooni spekter sisaldab koos impulssfunktsiooni tüüpi üksikute joontega ka pidevat osa (joonis 11.20). Üksikud piigid spektraaltiheduse graafikul näitavad varjatud mitterioodilisuse olemasolu uuritavas funktsioonis.

ei sisalda perioodilist osa, sellel on pidev spekter ilma väljendunud piikideta.

Vaatleme mõnda statsionaarset juhuslikku protsessi, mis on juhtimissüsteemide uurimisel olulised. Me käsitleme ainult tsentreeritud

Samal ajal keskmine ruut juhuslik muutuja on võrdne dispersiooniga:

juhtimissüsteemi pideva eelarvamuse arvestamine on elementaarne.

(joonis 11.21, a):

Sellise protsessi näide on takisti termiline müra, mis annab selle takisti kaootilise pinge spektraaltiheduse taseme

Absoluutne temperatuur.

(11.68) põhjal vastab spektraaltihedus (11.71) korrelatsioonifunktsioonile

juhusliku suuruse x järgnevate ja eelmiste väärtuste vahel puudub korrelatsioon.

ja seetõttu lõpmatult suurem jõud.

Füüsiliselt reaalse protsessi saamiseks on mugav kasutusele võtta piiratud spektraaltihedusega valge müra mõiste (joonis 11.21, b):

Spektritiheduse ribalaius.

See protsess vastab korrelatsioonifunktsioonile

Juhusliku suuruse ruutkeskmine väärtus on võrdeline sagedusriba ruutjuurega:

Sageli on mugavam lähendada sõltuvust (11,73) sujuva kõveraga. Selleks võite kasutada näiteks väljendit

Koefitsient, mis määrab sagedusriba laiuse.

Protsess läheneb valgele mürale, nii et

mis puudutab neid sagedusi

Kõigi sageduste integreerimine (11.77) võimaldab määrata dispersiooni:

Seetõttu saab spektraaltiheduse (11,77) kirjutada teisel kujul:

Selle protsessi korrelatsioonifunktsioon

Korrelatsioonifunktsioon on näidatud ka joonisel fig. 11.21, kl.

Üleminek ühelt väärtuselt teisele toimub koheselt. Ajavahemikud järgivad Poissoni jaotuse seadust (11.4).

Seda tüüpi graafik saadakse näiteks esimese lähendusena liikuva sihtmärgi jälgimisel radariga. Püsikiiruse väärtus vastab sirgjooneliselt liikuvale sihtmärgile. Kiiruse märgi või suuruse muutus vastab sihtmanöövrile.

See on selle ajaintervalli keskmine väärtus, mille jooksul nurkkiirus jääb konstantseks. Seoses radariga on see väärtus sihtmärgi sirgjoonelise liikumise keskmine aeg.

Korrelatsioonifunktsiooni määramiseks on vaja leida toote keskmine väärtus

Selle töö leidmisel võib olla kaks juhtumit.

kuuluvad samasse intervalli. Seejärel toote keskmine väärtus nurkkiirused on võrdne nurkkiiruse või dispersiooni keskmise ruuduga:

kuuluvad erinevatesse intervallidesse. Siis on kiiruste korrutise keskmine väärtus võrdne kuuliga:

kuna tooted positiivse ja negatiivsed märgid on sama tõenäoline. Korrelatsioonifunktsioon on võrdne

Nende leidmise tõenäosus erinevate intervallidega.

Puudumise tõenäosus

Ajavahemikuks

kuna need sündmused on sõltumatud.

Selle tulemusena saame lõpliku intervalli At korral

Mooduli märk m-le on antud tänu sellele, et avaldis (11.80) peab vastama paarisfunktsioonile. Korrelatsioonifunktsiooni avaldis langeb kokku (11.79). Seetõttu peab vaadeldava protsessi spektraalne tihedus ühtima (11.78):

Pange tähele, et erinevalt (11.78) on spektraaltiheduse valem (11.81) kirjutatud protsessi nurkkiiruse jaoks (joonis 11.22). Kui liigume nurkkiiruselt nurgale, saame mittestatsionaarse juhusliku protsessi, mille dispersioon kaldub lõpmatuseni. Kuid enamikul juhtudel on servosüsteemil, mille sisendis see protsess töötab, esimese ja kõrgema järgu astatism. Seetõttu on jälgimissüsteemi esimene veakoefitsient c0 null ja selle vea määravad ainult sisendkiirus ja kõrgema järgu tuletised, mille suhtes protsess on paigal. See võimaldab jälgimissüsteemi dünaamilise vea arvutamisel kasutada spektraalset tihedust (11,81).

3. Ebaregulaarne kangutamine. Mõned objektid, nagu laevad, lennukid ja teised, mis on ebaregulaarsete häirete (ebakorrapärased lained, atmosfäärihäired jne) mõjul, liiguvad, kuid juhuslik seadus Kuna objektidel endil on teatud iseloomulik võnkesagedus, on neil omadus rõhutada neid häiresagedusi, mis on lähedased nende enda vibratsioonisagedusele. Sellest tulenevat objekti juhuslikku liikumist nimetatakse ebaregulaarseks liikumiseks, erinevalt korrapärasest liikumisest, mis on perioodiline liikumine.

Tüüpiline ebakorrapärase liikumise graafik on näidatud joonisel fig. 11.23. Selle graafiku uurimisel on selge, et hoolimata juhuslikkusest on see

liikumine on üsna lähedane perioodilisusele.

Praktikas on ebakorrapärase liikumise korrelatsioonifunktsiooni sageli ligikaudne avaldis

Dispersioon.

leitakse tavaliselt katseandmete töötlemisel (täismahulised testid).

Korrelatsioonifunktsioon (11.82) vastab spektraaltihedusele (vt tabel 11.3)

Lähenduse (11.82) ebamugavus seisneb selles, et see valem võib kirjeldada mis tahes ebakorrapärase liikumise (nurk, nurkkiirus või nurkkiirendus) käitumist. Sel juhul vastab väärtus O nurga, kiiruse või nurga dispersioonile kiirendus.

Kui näiteks kirjutada nurga jaoks valem (11.82), siis see protsess vastab ebakorrapärasele kivile, mille nurkkiiruste dispersioon on lõpmatuseni, st see on füüsiliselt ebareaalne protsess.

Mugavam valem kaldenurga lähendamiseks

Kuid see lähendus vastab ka füüsiliselt ebareaalsele protsessile, kuna nurkkiirenduse hajumine kipub lõpmatuseni.

Nurkkiirenduse lõpliku dispersiooni saamiseks on vaja veelgi keerukamaid lähendusvalemeid, mida siin ei ole antud.

Ebakorrapärase liikumise korrelatsioonifunktsiooni ja spektraaltiheduse tüüpilised kõverad on näidatud joonisel fig. 11.24.

Need protsessid ei ole omavahel kuidagi seotud (statistiliselt sõltumatud), siis

Rxy(τ) = 0

6.3 Juhusliku protsessi spektraaltihedus

Spektritiheduse mõiste on seotud statsionaarse juhusliku protsessi laienemisega harmoonilisteks komponentideks, sarnaselt tavalise laienemisega Fourier' seerias. See võimaldab automaatsete süsteemide arvutamisel kasutada sagedusanalüüsi meetodeid.

Spektri tihedus Juhusliku protsessi S x (ω) x(t) iseloomustab juhusliku suuruse spektraalset (sageduslikku) koostist ja esindab sagedusfunktsiooni ruudus harmooniliste amplituudide keskmiste väärtuste jaoks, milleks juhuslikku protsessi saab lagundada.

Statsionaarse juhusliku protsessi korral võib spektraaltiheduse S x (ω) saada korrelatsioonifunktsiooni R x (τ) Fourier' kujutisena.

Sx (ω )= ∫ Rx (τ )å− j ωτ dτ

Kasutades Fourier' pöördteisendust, saate määrata korrelatsioonifunktsiooni spektri tiheduse järgi

Joonisel 6.3 on kujutatud korrelatsioonifunktsiooni R x (τ) graafikud (vt joonis 6.2) ja vastavad spektraaltiheduse S(ω) graafikud. See seos on sarnane süsteemi siirde- ja sageduskarakteristiku vahelisele suhtele: mida pikem on siirdeprotsess, seda kitsam on selle sageduskarakteristik. Juhuslike protsesside puhul: mida laiem on korrelatsioonifunktsiooni graafik (kõverad 3, 4), seda kitsam on spektraaltiheduse graafik ja vastupidi.

Joonis 6. 3 – Tsentreeritud statsionaarsete protsesside korrelatsioonifunktsioonid ja vastavad spektraaltihedused

Piiraval juhul, kui juhuslik suurus x(t) on konstantne väärtus ja korrelatsioonifunktsioon on samuti konstantne ja võrdne D x = a 2

(sirge 1), siis eksisteerib spektraalne tihedus ainult nullsagedusel ja on võrdne

Sx (ω ) = 2π a2 δ (ω )

Teisel piiraval juhul, kui juhuslik suurus x(t) on absoluutselt juhuslik protsess (valge müra), siis korrelatsioonifunktsioon eksisteerib ainult τ = 0 juures (rida 2). Sellise juhusliku protsessi spektraalne tihedus jaotub ühtlaselt kõikidele sagedustele ja on võrdne

Sx (ω ) = C2

Mitteperioodilise juhusliku protsessi (kõverad 3, 4) korral lähendatakse korrelatsioonifunktsiooni R (τ )= D x å − α τ , seejärel määratakse spektraaltihedus

Sx (ω )= 2D x α

α 2+ ω 2

Kui juhuslikul suurusel x(t) on perioodiline komponent ω = ω0 juures, siis on spektraaltihedusel sagedustel ω = + ω0 ja ω = - ω0 vastavad tipud (kõver 5). Sellise juhtumi korrelatsioonifunktsioon

Süsteemi juhusliku mõju all töötamise üks peamisi parameetreid on standardhälve, mis iseloomustab juhusliku suuruse hälvet selle keskmisest väärtusest. Kui signaali S(ω) spektraalne tihedus on teada, siis τ = 0 korral saab dispersiooni määrata

Siis standardhälve (RMS)

σ x = Dx = Rx (0)

Saadud juhusliku protsessi põhikarakteristikute põhjal viiakse läbi automaatse süsteemi uuring töö statistilise täpsuse jaoks

V järgmine järjestus:

- antud juhusliku protsessi põhjal määratakse selle korrelatsioon

funktsioon R x (τ);

- korrelatsioonifunktsiooni järgi R x (τ) määrab signaali spektraaltiheduse süsteemi S x sisendis (ω);

- vastavalt süsteemi teadaolevale sagedusülekande funktsioonile W(jω) määrab spektri tiheduse süsteemi S y (ω) väljundis;

- mis põhineb süsteemi väljundis saadud spektraaltihedusel S y (ω) määrab väljundsignaali R y (τ) korrelatsioonifunktsiooni;

Väljundsignaali R y (τ) korrelatsioonifunktsioonist määratakse dispersioon D y = R y (0) ja juhitava muutuja standardhälve.

6.4 Lineaarse süsteemi täpsuse analüüs juhusliku mõju all

Kui lineaarsele süsteemile rakendatav sisendtoiming on juhuslik statsionaarne protsess x(t), siis on ka väljundväärtus y(t) juhuslik statsionaarne protsess. Eeldatakse, et vaadeldav süsteem on stabiilne. On selge, et nendes tingimustes on vaja hinnata süsteemi töö täpsust mitte väljundsuuruse hetkeväärtuste, vaid mõne keskmiste väärtuste järgi, mis arvutatakse väljundsignaali S y spektraaltihedusest ( ω).

Olgu sisendsignaali spektri tihedus S x (ω), siis määratakse väljundsignaali spektri tihedus S y (ω) (ilma väljundita)

S y (ω ) = W (j ω )2 S x (ω )

Automaatsüsteemi väljundsignaali spektraalne tihedus võrdub sisendsignaali spektraaltihedusega, mis on korrutatud uuritava süsteemi sageduskarakteristiku mooduli ruuduga.

Juhusliku suuruse jaotuse seadus selle läbimisel automaatne süsteemüldiselt võib see erineda. Aga kui lineaarse süsteemi sisendis on jaotusseadus normaalne, siis süsteemi väljundis võib eeldada normaaljaotust.

Olgu statsionaarse protsessi matemaatiline ootus m x x(t), sisse

lineaarse süsteemi sisend ei ole võrdne nulliga, siis saab lineaarsete süsteemide superpositsiooni põhimõttest lähtudes kujutada seda juhuslikku protsessi süsteemi sisendis

x1 (t) = mx + xo c (t),

kus x o (t) on tsentreeritud juhuslik protsess süsteemi sisendis.

Sel juhul määratakse matemaatiline ootus süsteemi väljundis m y, kui m x korrutatakse sageduse ülekandefunktsiooniga, kui ω = 0

minu = W(0) mx

Kui süsteemi mõjutavad samaaegselt juhuslik juhtsignaal x a (t) ja juhuslik häiresignaal x n (t), siis määratakse juhtimisvea S osh (ω) spektraalne tihedus.

Sîø (ω )= Wa (jω )2 Sa (ω )+ Wn (jω )2 Sn (ω ),

kus S a (ω) on juhtsignaali spektraalne tihedus S n (ω) on häiresignaali spektraalne tihedus;

W a (jω) - juhtimisvea ülekandefunktsioon W n (jω) - häire ülekandefunktsioon.

Juhtvea D y dispersioon ja selle kogu ruutkeskväärtus σ y määratakse valemitega

Dy = 1 / 2π ∞ ∫ [ Wa (jω )2 Sa (ω )+ Wn (jω )2 Sn (ω )] dω,

Juhusliku juhtimise ja häiresignaalide rakendamisel süsteemi sisendile määratakse kogu keskmine ruutviga Pythagorase teoreemi abil, mis põhineb juhtimise standardhälbel ja häire standardhälbel.

Märgime ära süsteemi täpsuse regulatsiooni ruutkeskmise vea (RMS) järgi hindamise eelised ja puudused. MSE abil saate hinnata vea esinemise tõenäosust ülalt. See hindab vea keskmist statistilist väärtust, mitte vea hetkeväärtuse suurust. Seetõttu kasutatakse süsteemide puhul, kus suured vead (ehkki lühiajalised) on vastuvõetamatud, teistsugust arvutusmeetodit. Lisaks kehtib saadud standardhälve pikka aega (T → ∞ juures) ja lühiajalise siirdeprotsessiga seotud vigu praktiliselt ei võeta arvesse.

Kui spektraaltihedused ja sageduse ülekandefunktsioonid on antud kujul murdosalised ratsionaalsed funktsioonidω-st, siis saab kohe määrata väljundsignaali D y hajuvuse, piltlikult öeldes, minnes mööda väljundsignaali definitsioonidest S y (ω) ja väljundsignaali R y (τ). Väljundsignaali dispersiooniväärtus määratakse tabeliintegraaliga J n sõltuvalt süsteemi tunnusvõrrandi järjekorrast. Selleks taandatakse integrandi avaldis tabelikujuliseks

kus G(ω )= b0 ω 2n − 2 + b1 ω 2n − 4 + ...+ bn − 1 ; H(jω )= a0 (jω )n + a1 (jω )n − 1 + ...+ an.

Näitame ülekandefunktsiooni koefitsientide alusel tabeliintegraali arvutamise valemeid

Lisateabe saamiseks kõrge aste iseloomuliku võrrandi korral muutub nende tabeliintegraalide arvutamine tülikaks. Seetõttu kasutatakse muid statistilise analüüsi meetodeid.

Standardhälbe minimeerimise kriteeriumi järgi valitud süsteemi parameetreid tuleb nende tehniliseks teostuseks võimaluse piires hinnata ning lisaks hinnata süsteemi muutunud dünaamilisi omadusi.

Näide 6.1 – Standardhälbe minimeerimise kriteeriumi alusel määrake antud lineaarse jälgimissüsteemi jaoks võimendusteguri K y optimaalne väärtus (joonis 6.4). Juhuslik signaal võetakse vastu süsteemi sisendisse, juhtseadmesse

mille spektraaltihedus on S α = (2 D γ α ) . Samal ajal sisend

α 2+ ω 2

juhuslik müra võetakse vastu valge müra kujul spektri tihedusega S n (ω) = C 2

4 Saadud integrand vastab tabeliintegraalile J 2

6 Juhusliku valge müra kujul esinevatest häiretest tingitud juhtimisvea dispersioon

7 Saadud integrand vastab tabeliintegraalile J 1

10 K y optimaalse väärtuse määramiseks, mille juures koguviga on minimaalne, joonistame graafikud D osh , D pom, D summa sõltuvalt K y-st (joonis 6.5).

D oshD helpD kokku

D kokku

D pom

D osh

Et optk

Joonis 6.5 – K y optimaalse väärtuse graafiline määramine näiteks 6.1

Graafikud näitavad, et K y suurenemisega väheneb juhtimisvea D osh dispersioon ja häirest D pom tingitud vea dispersioon suureneb. Suurema võimenduse korral läbivad häired süsteemi vabamalt. Sõltuvalt juhtsignaali määramatuse astmest (koefitsient α) ja häirete intensiivsusest (koefitsient C2) on võimalik saada erinevaid K y optimaalseid väärtusi.

6.5 Juhusliku protsessi arvutamise tunnused mittelineaarses süsteemis

Kui juhuslik signaal läbib mittelineaarset lüli, siis muutub sellise süsteemi arvutamine oluliselt keerulisemaks võrreldes juhusliku signaali läbimise lineaarse lingi arvutamisega. Joonisel 6.6 on kujutatud juhusliku signaali läbimine F(x) küllastusega mittelineaarsest elemendist.

b a

Joonis 6.6 – Juhusliku signaali läbimine läbi mittelineaarse elemendi

Selles näites ei läbi juhuslik signaal küllastussektsiooni tõttu täielikult mittelineaarset elementi ja selle tulemusel on väljundsignaali või “koridori”, milles väljundsignaal asub, hajumine väiksem. Joonis 6.6 näitab, et osa juhuslikust sisendsignaalist langes küllastustsooni ega läbinud mittelineaarset linki. See tõi kaasa muutuse väljundsignaali hajuvuses (see väheneb) ja selle keskmise väärtuse vähenemiseni. Selgitame, et väljund juhusliku signaali nende parameetrite vähenemine ei toimunud mitte võimendusteguri, vaid elemendi omaduste mittelineaarsuse tõttu küllastusvööndi kujul.

Vaatleme kõigepealt plokkskeemi lineaarne juhtimissüsteem(Joonis 6.7), mille sisendisse suunatakse juhuslik signaal

x(t) = mx (t)+ xo (t)

kus m x on sisendsignaali matemaatiline ootus;

x ° (t) - sisendsignaali häired ja müra, mida iseloomustab dispersioon (D x ).

Selles lineaarses süsteemis on superpositsiooni printsiipi kasutades võimalik eraldi ja üksteisest sõltumatult määrata väärtuse matemaatiline ootus.

jooksusignaal m

minu(t)

yt (t)

x°(t)

y°(t)

y q (t) - tegelik väljund

y t (t) - teoreetiliselt arvutatud väljundsignaal

Joonis 6.7 – Juhusliku signaali läbimine lineaarne süsteem juhtimine

ym(t)

K1 (mx , σx )W(p)

Joonis 6.8 – Juhusliku signaali läbimine mittelineaarse lingi kaudu

(vt 6.7). See arvutus on näidatud alajaotises 6.4 ja näites 6.1.

Kui sama juhuslik signaal suunatakse mittelineaarsesse juhtimissüsteemi (joonis 6.8), siis süsteemi väljundis olev matemaatiline ootus sõltub dispersiooni muutusest ja dispersiooni muutus sõltub muutusest. matemaatiline ootus. Need kaks juhusliku protsessi omadust on omavahel seotud. Tähistame K 0 (m x , σ x ) seda matemaatilise ootuse vastastikust sõltuvust sisendsignaali D x dispersioonist. . Arvutamisel on dispersiooni D x asemel mugavam kasutada standardhälvet σ x.

Vastavalt sellele tähistame K 1 (m x, σ x) seost standardhälbe vahel matemaatilisest ootusest. Siis

ym (t) = minu + yo (t) = K0 mx + K1 xo (t)

Nende koefitsientide K 0 ja K 1 leidmiseks signaali läbimise arvutamisel mittelineaarse lingi kaudu kasutatakse statistilist meetodit

mittelineaarse elemendi staatiline lineariseerimine

Statistilise lineariseerimise meetod põhineb mittelineaarse elemendi asendamisel statistiliselt samaväärse lineariseeritud elemendiga.

See statistiline lineariseerimismeetod on üldidees sarnane harmoonilise lineariseerimismeetodiga.

Laske signaali s(t) on määratud mitteperioodilise funktsioonina ja see eksisteerib ainult intervallis ( t 1 ,t 2) (näide - üksikimpulss). Valime suvalise ajavahemiku T, sealhulgas intervall ( t 1 ,t 2) (vt joonis 1).

Tähistame perioodilist signaali, mis on saadud s(t), nagu ( t). Siis saame kirjutada selle jaoks Fourier' seeria

Funktsiooni juurde minemiseks s(t) järgneb avaldisele ( t) suunab perioodi lõpmatusse. Sel juhul sagedustega harmooniliste komponentide arv w=n 2lk/T on lõpmatult suur, nende vaheline kaugus kipub olema null (lõpmatu väikese väärtuseni:

komponentide amplituudid on samuti lõpmata väikesed. Seetõttu ei saa enam rääkida sellise signaali spektrist, kuna spekter muutub pidevaks.

Sisemine integraal on sageduse funktsioon. Seda nimetatakse signaali spektraaltiheduseks ehk signaali sageduskarakteristikuks ja tähistatakse st.

Üldistuseks võib integreerimise piirid seada lõpmatuks, kuna see kõik on sama, kus s(t) on võrdne nulliga ja integraal on võrdne nulliga.

Spektritiheduse avaldist nimetatakse otseseks Fourier' teisenduseks. Fourier' pöördteisendus määrab signaali ajafunktsiooni selle spektraaltiheduse järgi

Otsest (*) ja pöörd (**) Fourier' teisendust nimetatakse koos Fourier' teisenduste paariks. Spektritiheduse moodul

määrab signaali amplituud-sagedusreaktsiooni (AFC) ja selle argumendi nimetatakse signaali faasisagedusreaktsiooniks (PFC). Signaali sagedusreaktsioon on paarisfunktsioon ja faasireaktsioon on paaritu.

Mooduli tähendus S(w) on määratletud kui signaali (voolu või pinge) amplituud 1 Hz kohta lõpmata kitsas sagedusribas, mis hõlmab kõnealust sagedust. w. Selle mõõde on [signaal/sagedus].

Signaali energiaspekter. Kui funktsioonil s(t) on Fourier' signaali võimsustihedus ( signaali energia spektraalne tihedus) määratakse avaldisega:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

Võimsusspekter W()-reaalne mittenegatiivne ühtlane funktsioon, mida tavaliselt nimetatakse energiaspektriks. Võimsusspekter kui signaali spektraaltiheduse mooduli ruut ei sisalda faasiteavet selle sageduskomponentide kohta ja seetõttu on signaali rekonstrueerimine võimsusspektrist võimatu. See tähendab ka seda, et erinevate faasiomadustega signaalidel võivad olla samad võimsusspektrid. Eelkõige ei kajastu signaali nihe selle võimsusspektris. Viimane võimaldab saada energiaspektri avaldise otse avaldistest (5.2.7). Piirväärtuses kaldub identsete signaalide u(t) ja v(t) korral nihkega t 0 spektri mõtteline osa Wuv () nullväärtustele ja reaalosa spektri mooduli väärtustele. . Täieliku ajalise signaalide kombinatsiooniga on meil:

need. signaali energia on võrdne selle sagedusspektri ruudumooduli integraaliga - selle sageduskomponentide energia summaga ja on alati tegelik väärtus.

Suvalise signaali s(t) korral on võrdsus

tavaliselt nimetatakse seda Parsevali võrdsuseks (matemaatikas - Planchereli teoreem, füüsikas - Rayleighi valem). Võrdsus on ilmne, kuna koordinaatide ja sageduste esitused on sisuliselt vaid sama signaali erinevad matemaatilised esitused. Samamoodi kahe signaali interaktsiooni energia kohta:

Parsevali võrdsusest järeldub, et signaalide ja normi skalaarkorrutis Fourier' teisenduse suhtes on muutumatu:

Paljude signaalide salvestamise ja edastamise puhtpraktiliste probleemide puhul on signaali energiaspekter väga oluline. Perioodilised signaalid tõlgitakse spektripiirkonda Fourier' jada kujul. Kirjutame perioodilise signaali perioodiga T Fourier' jada kujul komplekssel kujul:

Intervall 0-T sisaldab kõigi integrandi eksponentide täisarvu perioodide arvu ja on võrdne nulliga, välja arvatud eksponentsiaal, kus k = -m, mille puhul integraal on võrdne T-ga. perioodiline signaal on võrdne selle Fourier' seeria koefitsientide ruutude moodulite summaga:

Signaali energiaspekter – see on mitteharmoonilise signaali moodustavate põhisignaalide energia jaotus sagedusteljel. Matemaatiliselt võrdub signaali energiaspekter spektraalfunktsiooni mooduli ruuduga:

Vastavalt sellele näitab amplituud-sagedusspekter põhisignaalide komponentide amplituudide komplekti sagedusteljel ja faasisagedusspekter näitab faaside kogumit.

Sageli nimetatakse spektraalfunktsiooni moodulit amplituudi spekter, ja selle argument on faasispekter.

Lisaks on Fourier' pöördteisendus, mis võimaldab taastada algse signaali, teades selle spektraalset funktsiooni:

Näiteks võtke ristkülikukujuline impulss:

Veel üks näide spektritest:

Nyquisti sagedus, Kotelnikovi teoreem .

Nyquisti sagedus - digitaalse signaalitöötluse korral sagedus, mis on võrdne poole diskreetimissagedusest. Nimetatud Harry Nyquisti järgi. Kotelnikovi teoreemist järeldub, et analoogsignaali diskreetimisel ei kao informatsiooni ainult siis, kui signaali spekter (spektritihedus) on võrdne Nyquisti sagedusega või sellest väiksem. Vastasel juhul tekivad analoogsignaali taastamisel spektraalsete "sabade" kattumine (sageduse asendus, sageduse maskeerimine) ja taastatud signaali kuju moondub. Kui signaali spektril pole ühtegi komponenti, mis ületaks Nyquisti sagedust, siis saab selle (teoreetiliselt) diskreedi võtta ja seejärel moonutusteta rekonstrueerida. Tegelikult on signaali "digiteerimine" (analoogsignaali muutmine digitaalseks) seotud valimite kvantiseerimisega - iga proov kirjutatakse piiratud bitisügavusega digitaalse koodi kujul, mille tulemusena valimitele lisatakse kvantimise (ümardamise) vead, mida teatud tingimustel peetakse kvantimismüraks.

Piiratud kestusega reaalsetel signaalidel on alati lõpmatu arv lai valik, mis väheneb sageduse suurenedes enam-vähem kiiresti. Seetõttu põhjustab signaali diskreetimine alati informatsiooni kadu (signaali kuju moonutamine diskreetimis- ja rekonstrueerimisel), olenemata sellest, kui kõrge on diskreetimissagedus. Valitud diskreetimissageduse korral saab moonutusi vähendada, surudes alla analoogsignaali spektrikomponente (enne diskreetimist), mis asuvad Nyquisti sagedusest kõrgemal, mis nõuab väga kõrget filtrit. kõrge järjekord et vältida "sabade" kattumist. Sellise filtri praktiline rakendamine on väga keeruline, kuna filtrite amplituud-sageduskarakteristikud ei ole ristkülikukujulised, vaid sujuvad ning pääsuriba ja summutusriba vahele moodustub teatud üleminekusagedusriba. Seetõttu valitakse diskreetimissagedus varuga, näiteks audio-CD-del kasutatakse diskreetimissagedust 44 100 Hz, samas kui kõrgeimaks sageduseks helisignaalide spektris loetakse 20 000 Hz. Nyquisti sagedusvaru 44100 / 2 - 20000 = 2050 Hz võimaldab vältida sageduse asendamist rakendatud madala astme filtri kasutamisel.

Kotelnikovi teoreem

Algse pideva signaali taastamiseks diskreetselt väikeste moonutustega (vigadega), on vaja diskreetimissamm ratsionaalselt valida. Seetõttu tekib analoogsignaali diskreetseks teisendamisel tingimata küsimus diskreetse sammu suuruse kohta. Kui analoogsignaalil on madalsagedusspekter, mis on piiratud teatud ülemise sagedusega Fe (st funktsioon u(t) on sujuvalt muutuva kõvera kujul, ilma järskude amplituudimuutusteta), siis on ebatõenäoline, et see funktsioon suudab mõne väikese diskreetimisaja amplituudi jooksul oluliselt muutuda. On üsna ilmne, et selle valimite jada põhjal analoogsignaali rekonstrueerimise täpsus sõltub diskreetimisintervalli suurusest, mida lühem see on, seda vähem erineb funktsioon u(t) proovi läbivast sujuvast kõverast punktid. Kui aga proovivõtu intervall väheneb, suureneb oluliselt töötlemisseadmete keerukus ja maht. Kui diskreetimisintervall on piisavalt suur, suureneb analoogsignaali rekonstrueerimisel teabe moonutamise või kadumise tõenäosus. Valimivahemiku optimaalne väärtus määratakse Kotelnikovi teoreemiga (teised nimetused on diskreemi teoreem, K. Shannoni teoreem, X. Nyquisti teoreem: teoreem avastati esmalt O. Cauchy matemaatikas ja seejärel kirjeldas uuesti D. Carson ja R. Hartley), mille ta tõestas 1933. aastal V. A. Kotelnikovi teoreemil on olulised teoreetilised ja praktiline tähtsus: võimaldab analoogsignaali õigesti diskreetida ja määrab optimaalse viisi selle taastamiseks vastuvõtuotsas näidisväärtuste põhjal.

Vastavalt Kotelnikovi teoreemi ühele kuulsamale ja lihtsamale tõlgendusele saab suvalise signaali u(t), mille spekter on piiratud teatud sagedusega Fe, täielikult rekonstrueerida selle võrdlusväärtuste jadast, järgides aega. intervall

Diskreetimise intervalli ja sagedust Fe(1) nimetatakse raadiotehnikas sageli vastavalt intervalliks ja Nyquisti sageduseks. Analüütiliselt esitatakse kõrval Kotelnikovi teoreem

kus k on proovi number; - signaali väärtus võrdluspunktides - signaali spektri ülemine sagedus.

Diskreetsete signaalide sagedusesitus .

Enamikku signaale saab esitada Fourier' seeriatena:

Impulsi perioodiline jätkumine. Signaali spektraaltiheduse mõiste. Signaali spektraaltiheduse olemasolu Seos impulsi kestuse ja selle spektri laiuse vahel. Energiaspekter Signaalide korrelatsioonianalüüs.

Loengu eesmärk:

Fourier' jada üldistamise abil saate mitteperioodiliste (impulss) signaalide spektraalkarakteristikud. Määrake raadioseadme ribalaiuse nõuded. Esitage signaale nende spektraaltiheduse järgi. Kasutage energiaspektrit erinevate tehniliste hinnangute saamiseks. Mõista, kuidas tekib vajadus spetsiaalselt valitud omadustega signaalide järele.

Olgu s (t) piiratud kestusega üksikimpulsssignaal. Olles seda vaimselt täiendanud samade signaalidega, järgides perioodiliselt teatud ajavahemikku T, saame eelnevalt uuritud perioodilise jada S per (t), mida saab kujutada kompleksse Fourier' seeriana

(12.1) koefitsientidega . (12.2)

Ühe impulsssignaali juurde naasmiseks suunake kordusperiood lõpmatusse T. See on ilmselge:

a) naaberharmoonikute nω 1 ja (n+ l)ω 1 sagedused on suvaliselt lähedased, nii et valemites (12.1) ja (12.2) saab diskreetse muutuja nω 1 asendada pideva muutujaga ω - voolusagedus;

b) amplituudikoefitsiendid C n muutuvad väärtuse T olemasolu tõttu valemi (12.2) nimetajas piiramatult väikeseks.

Meie ülesanne on nüüd leida äärmuslik vorm valemid (12.1) kui T→∞.

Vaatleme väikest sagedusvahemikku Δω, mis moodustab mõne valitud sageduse väärtuse ω 0 naabruse. Selle intervalli sees on N=Δω/ω 1 = ΔωT/(2π) üksikuid spektraalkomponentide paare, mille sagedused erinevad nii vähe kui soovitakse. Seetõttu saab komponente lisada järgmiselt: nagu oleks neil kõigil sama sagedus ja neid iseloomustavad samad komplekssed amplituudid

Selle tulemusena leiame ekvivalendi kompleksi amplituudi harmooniline signaal, mis kuvab kõigi intervallis Δω sisalduvate spektraalkomponentide panuse

. (12.3)

Funktsioon (12.4)

kutsutakse spektraalne tihedus signaal s(t). Valem (12.4) rakendab Fourier' teisendus sellest signaalist.

Lahendagem signaalide spektriteooria pöördülesanne: leiame signaali selle spektri tiheduse järgi, mida loeme antud.

Kuna piirväärtuses vähendatakse kõrvuti asetsevate harmooniliste vahelisi sagedusvahemikke lõputult, tuleks viimane summa asendada integraaliga

. (12.5)

Seda olulist valemit nimetatakse Fourier pöördteisendus signaali s(t) jaoks.

Sõnastame lõpuks põhitulemuse: signaali s(t) ja selle spektraalne tihedus S(ω) on üks-ühele seotud Fourier' otse- ja pöördteisendustega

, (12.6)

.

Signaalide spektraalne esitus avab otsese tee signaalide läbimise analüüsimiseks läbi laia klassi raadioahelate, seadmete ja süsteemide.

Signaali s(t) saab seostada selle spektraaltihedusega s(ω), kui see signaal on täielikult integreerida, st on olemas integraal

See tingimus kitsendab oluliselt vastuvõetavate signaalide klassi. Seega on näidatud klassikalises tähenduses võimatu rääkida harmoonilise signaali spektraaltihedusest Ja(t) =U m cosω 0 t , eksisteerivad piki kogu lõpmatut ajatelge.

Oluline kaasavõtt: Mida lühem on impulsi kestus, seda laiem on selle spekter.

Spektri laiuse all mõistetakse sagedusvahemikku, mille piires spektri tiheduse moodul ei ole väiksem kui teatud etteantud tase, näiteks varieerub |S| max , kuni 0,1|S| max.

Impulsi spektri laiuse ja selle kestuse korrutis on konstantne arv, olenevalt ainult impulsi kujust ja reeglina ühtsuse järjekorras: Mida lühem on impulsi kestus, seda laiem peaks olema vastava võimendi ribalaius. Lühike impulsshäire on laia spektriga ja võib seetõttu halvendada raadiovastuvõtutingimusi suurel sagedusribal.

Matemaatilised mudelid Paljud raadiotehnikas laialdaselt kasutatavad signaalid ei vasta absoluutse integreeritavuse tingimusele, seetõttu ei ole Fourier' teisendusmeetod selle tavapärasel kujul neile rakendatav. Küll aga saame rääkida selliste signaalide spektraaltihedustest, kui eeldame, et neid tihedusi kirjeldavad üldistatud funktsioonid.

Anna kaks signaali ja (t) Ja v(t),üldjuhul kompleksväärtuslikud, mis on määratletud nende pöörd-Fourieri teisendustega.

Me leiame skalaarkorrutis neid signaale, väljendades näiteks üht neist v(t), spektraaltiheduse kaudu

Saadud seos on üldistatud Rayleighi valem. Selle valemi kergesti meeldejääv tõlgendus on järgmine: kahe signaali skalaarkorrutis kuni koefitsiendini on võrdeline nende spektraaltiheduse skalaarkorrutisega. Kui signaalid langevad identselt kokku, muutub skalaarkorrutis võrdne energiaga

. (12.7)

Helistame vastastikune energiaspekter tõelised signaalid u(t) ja v t) funktsioon

, (12.8)

selline, et

. (4.9)

On lihtne näha, et Re W uv(ω)-paaris ja Im W uv(ω) on sageduse paaritu funktsioon. Ainult reaalosa panustab integraali (12.9), seega

. (12.10)

Viimane valem võimaldab analüüsida signaalidevahelise seose “peenstruktuuri”.

Veelgi enam, üldistatud Rayleighi valem, mis on esitatud kujul (12.10), näitab põhimõttelist viisi kahe signaali vahelise sidestuse määra vähendamiseks, saavutades piirides nende ortogonaalsuse. Selleks tuleb üht signaali töödelda spetsiaalses füüsilises süsteemis nn sagedusfilter. Sellele filtrile kehtib nõue: mitte üle minna sagedusvahemikus asuvatele väljundspektrikomponentidele, kus vastastikuse energiaspektri reaalosa on suur. Sellise ülekandeteguri sagedussõltuvus ortogonaliseeriv filter on määratud sagedusvahemikus selgelt väljendunud miinimum.

Signaali energia spektraalse esituse saab hõlpsasti saada üldistatud Rayleighi valemist, kui selles olevad signaalid ja (t) Ja v(t) samaks peetud. Valem (12.8), mis väljendab spektraalset energiatihedust, võtab kuju

Suurust W u (ω) nimetatakse spektraalne energiatihedus signaal u(t), või lühidalt tema energia spekter. Valem (3.2) kirjutatakse järgmiselt

. (12.12)

Suhe (4.12) on tuntud kui Rayleighi valem(kitsas tähenduses), mis ütleb järgmist: mis tahes signaali energia on sagedustelje erinevate intervallide panuste liitmise tulemus.

Uurides signaali selle energiaspektri abil, kaotame paratamatult signaali faasispektris sisalduva teabe, kuna valemi (4.11) kohaselt on energiaspekter spektri tiheduse mooduli ruut ega sõltu sellest. selle faasis.

Pöördume impulssradari töö lihtsustatud idee poole, mis on mõeldud sihtmärgi ulatuse mõõtmiseks. Siin sisaldub teave mõõteobjekti kohta väärtuses τ - viivitus sondeerimise ja vastuvõetud signaalide vahel. Kujundite uurimine Ja(t) ja vastu võetud Ja(t-τ) signaalid on iga viivituse korral samad. Kauguse mõõtmiseks mõeldud radari signaalitöötlusseadme plokkskeem võib välja näha selline, nagu on näidatud joonisel 12.1.

Joonis 12.1 – Seade signaali viivitusaja mõõtmiseks

Statistilises raadiotehnikas ja füüsikas kasutatakse deterministlike signaalide ja juhuslike protsesside uurimisel laialdaselt nende spektraalset esitust spektritiheduse kujul, mis põhineb Fourier' teisendusel.

Kui protsessil on lõplik energia ja see on ruutintegreeritav (ja see on mittestatsionaarne protsess), siis protsessi ühe teostuse puhul saab Fourier' teisenduse defineerida juhuslikuna keeruline funktsioon sagedused:

See osutub aga ansambli kirjeldamisel peaaegu kasutuks. Väljapääs sellest olukorrast on jätta kõrvale mõned spektriparameetrid, nimelt faasispekter, ja konstrueerida funktsioon, mis iseloomustab protsessi energiajaotust piki sagedustelge. Siis Parsevali teoreemi kohaselt energia

Funktsioon S x (f) = | X (f) | 2 (\displaystyle S_(x)(f)=|X(f)|^(2)) iseloomustab seega teostusenergia jaotust piki sagedustelge ja seda nimetatakse teostuse spektraaltiheduseks. Selle funktsiooni kõigi rakenduste keskmistamisega saab saada protsessi spektraalse tiheduse.

Pöördugem nüüd statsionaarse, laiemas mõttes tsentreeritud juhusliku protsessi juurde x (t) (\displaystyle x(t)), mille realisatsioonidel tõenäosusega 1 on lõpmatu energia ja seetõttu puudub neil Fourier' teisendus. Sellise protsessi võimsusspektri tiheduse saab leida Wiener-Khinchini teoreemi põhjal korrelatsioonifunktsiooni Fourier' teisendusena:

Kui on otseteisendus, siis on ka Fourier pöördteisendus, mis teadaolevast vaatenurgast määrab k x (τ) (\displaystyle k_(x)(\tau)):

Kui eeldame vastavalt valemites (3) ja (4). f = 0 (\displaystyle f=0) Ja τ = 0 (\displaystyle \tau =0), meil on

Valem (6), võttes arvesse punkti (2), näitab, et dispersioon määrab statsionaarse juhusliku protsessi koguenergia, mis on võrdne spektraaltiheduse kõvera aluse pindalaga. Mõõtmete väärtus S x (f) d f (\displaystyle S_(x) (f) df) võib tõlgendada kui energia osa, mis on koondunud väikesesse sagedusvahemikku alates f − d f / 2 (\displaystyle f-df/2) enne f + d f / 2 (\displaystyle f+df/2). Kui me mõtleme selle all x (t) (\displaystyle x(t)) juhuslik (kõikumine) vool või pinge, seejärel väärtus S x (f) (\displaystyle S_(x)(f)) on energiamõõde [V 2 /Hz] = [V 2 s]. Sellepärast S x (f) (\displaystyle S_(x)(f)) mõnikord kutsutakse energia spekter. Kirjandusest leiate sageli teise tõlgenduse: σ x 2 (\displaystyle \sigma _(x)^(2))– loetakse keskmiseks võimsuseks, mis vabaneb voolust või pingest 1-oomilise takistuse juures. Samal ajal väärtus S x (f) (\displaystyle S_(x)(f)) helistas võimsusspekter juhuslik protsess.

Spektri tiheduse omadused

• Statsionaarse protsessi (materjali või kompleksi) energiaspekter on mittenegatiivne suurus:

• Reaalse, statsionaarse, laiemas mõttes juhusliku protsessi energiaspekter on sageduse reaalne ja ühtlane funktsioon: