Erinevate nimetajatega segatud harilike murdude liitmine. Kuidas lahutada erinevate nimetajatega murde

Murdväljendeid on lapsel raske mõista. Enamikul inimestel on raskusi. Uurides teemat "täisarvudega murdude lisamine", langeb laps stuuporisse ja tal on raske probleemi lahendada. Paljudes näidetes tuleb enne toimingu sooritamist teha arvutusi. Näiteks teisendage murde või tõlkige vale murdõigele.

Selgitagem seda lapsele selgelt. Võtame kolm õuna, millest kaks on terved, ja lõikame kolmanda neljaks osaks. Eraldage lõigatud õunast üks viil ja asetage ülejäänud kolm kahe terve puuvilja kõrvale. Ühelt poolt saame ¼ õuna ja teiselt poolt 2 ¾. Kui need kombineerida, saame kolm õuna. Proovime vähendada 2 ¾ õuna ¼ võrra, see tähendab, eemaldage veel üks viil, saame 2 2/4 õuna.

Vaatame lähemalt tehteid täisarve sisaldavate murdudega:

Kõigepealt meenutagem ühise nimetajaga murdavaldiste arvutusreeglit:

Esmapilgul on kõik lihtne ja lihtne. Kuid see kehtib ainult avaldiste kohta, mis ei vaja teisendamist.

Kuidas leida avaldise väärtust, kus nimetajad on erinevad

Mõnes ülesandes tuleb leida avaldise tähendus, kus nimetajad on erinevad. Vaatame konkreetset juhtumit:
3 2/7+6 1/3

Leiame selle avaldise väärtuse, leides kahele murrule ühise nimetaja.

Arvude 7 ja 3 puhul on see 21. Jätame täisarvu osad samaks ja viime murdosad 21-ni, selleks korrutame esimese murdosa 3-ga, teise 7-ga, saame:
21.06.+7.21., ärge unustage, et terveid osi ei saa teisendada. Selle tulemusena saame kaks sama nimetajaga murdosa ja arvutame nende summa:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Mis siis, kui liitmise tulemuseks on vale murd, millel on juba täisarvuline osa:
2 1/3+3 2/3
Sel juhul liidame täisarvud ja murdosad kokku, saame:
5 3/3, nagu teate, on 3/3 üks, mis tähendab 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Summa leidmine on selge, vaatame lahutamist:

Kõigest sellest, mis öeldi, tuleneb seganumbritega toimingute reegel:

Kui teil on vaja murdosa avaldisest lahutada täisarv, ei pea te teist arvu esitama murruna, piisab, kui sooritate toimingu ainult täisarvu osadega.

Proovime avaldiste tähenduse ise välja arvutada:

Teeme asja korda rohkem näidet tähe "m" all:

4 5/11-2 8/11, on esimese murru lugeja väiksem kui teises. Selleks laename esimesest murrust ühe täisarvu, saame,
3 5/11+11/11=3 tervet 16/11, lahutage esimesest murrust teine:
3 16/11-2 8/11=1 terve 8/11

Olge ülesande täitmisel ettevaatlik, ärge unustage valesid murde teisendada segamurdudeks, tuues esile kogu osa. Selleks peate jagama lugeja väärtuse nimetaja väärtusega, siis toimub kogu osa asemele, ülejäänud osa on lugeja, näiteks:

19/4=4 ¾, kontrollime: 4*4+3=19, nimetaja 4 jääb muutumatuks.

Kokkuvõte:

Enne murdudega seotud ülesandega alustamist tuleb analüüsida, mis laadi avaldisega on tegu, milliseid teisendusi tuleb murdel teha, et lahendus oleks õige. Otsige ratsionaalsemat lahendust. Ära mine rasket teed. Planeerige kõik toimingud, lahendage need esmalt mustandi kujul, seejärel kandke need oma kooli vihikusse.

Et vältida segadust murdavaldiste lahendamisel, peate järgima järjepidevuse reeglit. Otsustage kõike hoolikalt, kiirustamata.

Sarnaste nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine
Murdude liitmine ja lahutamine koos erinevad nimetajad
NOC kontseptsioon
Murdude taandamine samale nimetajale
Kuidas liita täisarvu ja murdosa

1 Sarnaste nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine

Samade nimetajatega murdude lisamiseks peate lisama nende lugejad, kuid jätma nimetaja samaks, näiteks:

Samade nimetajatega murdude lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja samaks, näiteks:

Segamurdude lisamiseks peate eraldi lisama nende terved osad ja seejärel lisama nende murdosad ning kirjutama tulemuse segamurruna,

Kui murdosade lisamisel tekib vale murd, valige sellest terve osa ja lisage see näiteks tervele osale:

2 Erinevate nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine

Erinevate nimetajatega murdude liitmiseks või lahutamiseks peate need esmalt taandama samale nimetajale ja seejärel jätkama selle artikli alguses näidatud viisil. Mitme murru ühisnimetaja on LCM (least common multiple). Iga murdosa lugeja jaoks leitakse täiendavad tegurid, jagades LCM selle murdosa nimetajaga. Vaatame näidet hiljem, kui oleme aru saanud, mis on NOC.

3 Vähim ühine kordne (LCM)

Kahe arvu vähim ühiskordne (LCM) on väikseim naturaalarv, mis jagub mõlema arvuga jääki jätmata. Mõnikord saab NOC-i valida suuliselt, kuid sagedamini, eriti sellega töötades suured numbrid, peate leidma LOC kirjalikult, kasutades järgmist algoritmi:

Mitme numbri LCM-i leidmiseks vajate:

Muutke need arvud algteguriteks
Võtke suurim laiendus ja kirjutage need numbrid tootena
Valige teistes dekompositsioonides arvud, mis ei esine suurimas lagunemises (või esinevad selles vähem kordi), ja lisage need tootele.
Korrutage kõik toote numbrid, see on LCM.

Näiteks leiame numbrite 28 ja 21 LCM-i:

4 Murdude taandamine samale nimetajale

Tuleme tagasi erinevate nimetajatega murdude liitmise juurde.

Kui vähendame murde samale nimetajale, mis on võrdne mõlema nimetaja LCM-iga, peame korrutama nende murdude lugejad täiendavad kordajad. Need leiate, kui jagate LCM-i vastava murdosa nimetajaga, näiteks:

Seega, et vähendada murde samale astendajale, peate esmalt leidma nende murdude nimetajate LCM-i (st väikseima arvu, mis jagub mõlema nimetajaga) ja seejärel lisama murdude lugejatele lisategurid. Need leiate, kui jagate ühisnimetaja (CLD) vastava murdosa nimetajaga. Seejärel peate iga murdosa lugeja korrutama lisateguriga ja määrama nimetajaks LCM.

5Kuidas liita täisarvu ja murru

Täisarvu ja murru liitmiseks tuleb see arv lihtsalt lisada murru ette, mille tulemuseks on näiteks segamurd.

§ 87. Murdude liitmine.

Murdude lisamisel on palju sarnasusi täisarvude liitmisega. Murdude liitmine on toiming, mis seisneb selles, et mitu antud arvu (terminit) liidetakse üheks arvuks (summaks), mis sisaldab kõiki terminite ühikute ühikuid ja murde.

Vaatleme järjestikku kolme juhtumit:

1. Sarnaste nimetajatega murdude liitmine.
2. Erinevate nimetajatega murdude liitmine.
3. Segaarvude liitmine.

1. Sarnaste nimetajatega murdude liitmine.

Vaatleme näidet: 1/5 + 2/5.

Võtame lõigu AB (joonis 17), võtame selle üheks ja jagame 5-ga võrdsetes osades, siis on selle segmendi osa AC võrdne 1/5 segmendiga AB ja osa samast segmendist CD on võrdne 2/5 AB-ga.

Jooniselt on selge, et kui võtame lõigu AD, võrdub see 3/5 AB; kuid segment AD on täpselt segmentide AC ja CD summa. Nii et võime kirjutada:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Arvestades neid termineid ja saadud summat, näeme, et summa lugeja saadi liikmete lugejate liitmisel ja nimetaja jäi muutumatuks.

Sellest saame järgmise reegli: Samade nimetajatega murdude liitmiseks tuleb lisada nende lugejad ja jätta sama nimetaja.

Vaatame näidet:

2. Erinevate nimetajatega murdude liitmine.

Liidame murrud: 3 / 4 + 3 / 8 Kõigepealt tuleb need taandada väikseima ühisnimetajani:

Vahelinki 6/8 + 3/8 ei saanud kirjutada; oleme selle selguse huvides siia kirjutanud.

Seega tuleb erinevate nimetajatega murdude liitmiseks need esmalt taandada väikseima ühisnimetajani, lisada nende lugejad ja märgistada ühisnimetaja.

Vaatleme näidet (vastavate murdude kohale kirjutame täiendavad tegurid):

3. Segaarvude liitmine.

Liidame numbrid kokku: 2 3/8 + 3 5/6.

Toome esmalt meie arvude murdosad ühise nimetaja juurde ja kirjutame need uuesti ümber:

Nüüd lisame järjestikku täisarvu ja murdosa:

§ 88. Murdude lahutamine.

Murdude lahutamine on defineeritud samamoodi nagu täisarvude lahutamine. See on toiming, mille abil leitakse kahe liikme ja neist ühe summa summast teine liige. Vaatleme kolme juhtumit järjest:

1. Sarnaste nimetajatega murdude lahutamine.
2. Erinevate nimetajatega murdude lahutamine.
3. Segaarvude lahutamine.

1. Sarnaste nimetajatega murdude lahutamine.

Vaatame näidet:

13 / 15 - 4 / 15

Võtame lõigu AB (joonis 18), võtame selle ühikuna ja jagame 15 võrdseks osaks; siis selle lõigu osa AC moodustab 1/15 AB-st ja sama segmendi osa AD vastab 13/15 AB-le. Jätame kõrvale teise lõigu ED, mis on võrdne 4/15 AB.

Peame 13/15-st lahutama murdosa 4/15. Joonisel tähendab see, et lõigust AD tuleb lahutada segment ED. Selle tulemusena jääb alles segment AE, mis moodustab 9/15 segmendist AB. Nii et võime kirjutada:

Meie tehtud näide näitab, et erinevuse lugeja saadi lugejate lahutamisel, kuid nimetaja jäi samaks.

Seetõttu peate sarnaste nimetajatega murdude lahutamiseks lahutama alaosa lugeja minuendi lugejast ja jätma sama nimetaja.

2. Erinevate nimetajatega murdude lahutamine.

Näide. 3/4 - 5/8

Esiteks vähendame need murded väikseima ühisnimetajani:

Vahetase 6 / 8 - 5 / 8 on siia kirjutatud selguse huvides, kuid selle võib hiljem vahele jätta.

Seega tuleb murdosast murdosa lahutamiseks need esmalt taandada väikseima ühisnimetajani, seejärel lahutada minuendi lugejast minuendi lugeja ja kirjutada nende erinevuse alla ühisnimetaja.

Vaatame näidet:

3. Segaarvude lahutamine.

Näide. 10 3/4 - 7 2/3.

Vähendame minuendi ja lahutamise murdosad väikseima ühisnimetajani:

Lahutasime tervikust terviku ja murdosast murdosa. Kuid on juhtumeid, kus alamjaotuse murdosa on suurem kui minulõpu murdosa. Sellistel juhtudel tuleb kogu minuendi osast võtta üks ühik, jagada see osadeks, milles väljendatakse murdosa, ja lisada see minuendi murdosale. Ja siis tehakse lahutamine samamoodi nagu eelmises näites:

§ 89. Murdude korrutamine.

Murru korrutamise uurimisel kaalume järgmisi küsimusi:

1. Murru korrutamine täisarvuga.
2. Antud arvu murdosa leidmine.
3. Täisarvu korrutamine murdosaga.
4. Murru korrutamine murdosaga.
5. Segaarvude korrutamine.
6. Huvi mõiste.
7. Antud arvu protsendi leidmine. Vaatleme neid järjestikku.

1. Murru korrutamine täisarvuga.

Murru korrutamisel täisarvuga on sama tähendus kui täisarvu korrutamisel täisarvuga. Murru (kordisti) korrutamine täisarvuga (teguriga) tähendab identsete liikmete summa loomist, milles iga liige on võrdne korrutisega ja liikmete arv on võrdne kordajaga.

See tähendab, et kui teil on vaja 1/9 korrutada 7-ga, saab seda teha järgmiselt:

Tulemuse saime hõlpsasti, kuna tegevus taandus samade nimetajatega murdude lisamisele. Seega

Selle toimingu arvessevõtmine näitab, et murdosa korrutamine täisarvuga võrdub selle murdosa suurendamisega nii mitu korda, kui täisarvus on ühikuid. Ja kuna murdosa suurendamine saavutatakse kas selle lugeja suurendamisega

või selle nimetaja vähendamisega , siis saame lugeja kas korrutada täisarvuga või jagada nimetaja sellega, kui selline jagamine on võimalik.

Siit saame reegli:

Murru korrutamiseks täisarvuga korrutage lugeja selle täisarvuga ja jätke nimetaja samaks või jagage nimetaja võimalusel selle arvuga, jättes lugeja muutmata.

Korrutamisel on võimalikud lühendid, näiteks:

2. Antud arvu murdosa leidmine. On palju probleeme, mille puhul peate leidma või arvutama antud arvu osa. Nende ülesannete erinevus teistest seisneb selles, et need annavad mõne objekti arvu või mõõtühikute arvu ja tuleb leida osa sellest numbrist, mida siin ka teatud murdosa tähistab. Mõistmise hõlbustamiseks toome esmalt selliste probleemide näiteid ja seejärel tutvustame nende lahendamise meetodit.

Ülesanne 1. Mul oli 60 rubla; Kulutasin 1/3 sellest rahast raamatute ostmisele. Kui palju raamatud maksid?

2. ülesanne. Rong peab sõitma linnade A ja B vahel 300 km kaugusele. 2/3 sellest distantsist on ta juba läbinud. Mitu kilomeetrit see on?

3. ülesanne. Külas on 400 maja, neist 3/4 on telliskivi, ülejäänud puit. Mitu telliskivimaja on kokku?

Need on mõned paljudest probleemidest, millega me etteantud numbri osa leidmisel kokku puutume. Tavaliselt nimetatakse neid ülesanneteks antud arvu murdosa leidmiseks.

Probleemi lahendus 1. Alates 60 rubla. Kulutasin 1/3 raamatutele; See tähendab, et raamatute maksumuse leidmiseks peate jagama arvu 60 3-ga:

Probleemi lahendamine 2. Probleemi mõte on selles, et peate leidma 2/3 300 km-st. Arvutame esmalt 1/3 300-st; see saavutatakse 300 km jagamisel 3-ga:

300: 3 = 100 (see on 1/3 300-st).

Kahe kolmandiku 300 leidmiseks peate saadud jagatise kahekordistama, st korrutama 2-ga:

100 x 2 = 200 (see on 2/3 300-st).

Probleemi lahendamine 3. Siin peate määrama telliskivimajade arvu, mis moodustavad 3/4 400-st. Leiame kõigepealt 1/4 400-st,

400: 4 = 100 (see on 1/4 400-st).

Arvutada kolmveerand alates 400-st tuleb saadud jagatis kolmekordistada, st korrutada 3-ga:

100 x 3 = 300 (see on 3/4 400-st).

Nende probleemide lahenduse põhjal saame tuletada järgmise reegli:

Et leida antud arvust murdosa väärtus, tuleb see arv jagada murdosa nimetajaga ja korrutada saadud jagatis selle lugejaga.

3. Täisarvu korrutamine murdosaga.

Varem (§ 26) on kehtestatud, et täisarvude korrutamise all tuleb mõista identsete liikmete liitmist (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Selles lõigus (punkt 1) tehti kindlaks, et murdosa korrutamine täisarvuga tähendab selle murdosaga võrdsete liikmete summa leidmist.

Mõlemal juhul seisnes korrutamine identsete liikmete summa leidmises.

Nüüd jätkame täisarvu korrutamist murdosaga. Siin kohtame näiteks korrutamist: 9 2/3. On selge, et eelmine korrutamise definitsioon antud juhul ei kehti. See ilmneb sellest, et me ei saa sellist korrutamist asendada võrdsete arvude liitmisega.

Seetõttu peame andma korrutamise uue definitsiooni, st vastama küsimusele, mida tuleks mõista murdosaga korrutamise all, kuidas seda toimingut mõista.

Täisarvu murdosaga korrutamise tähendus on selge järgmisest määratlusest: täisarvu (korrutise) korrutamine murdosaga (korrutis) tähendab korrutis selle murdosa leidmist.

Nimelt tähendab 9 korrutamine 2/3-ga 2/3 leidmist üheksast ühikust. Eelmises lõigus sellised probleemid lahendati; seega on lihtne aru saada, et saame lõpuks 6.

Nüüd aga tekib huvitav ja oluline küsimus: miks nimetatakse selliseid pealtnäha erinevaid tehteid, nagu võrdsete arvude summa leidmine ja arvu murdosa leidmine, aritmeetikas sama sõnaga “korrutamine”?

See juhtub seetõttu, et eelmine toiming (arvu mitmekordne kordamine terminitega) ja uus tegevus (arvu murdosa leidmine) annavad vastused homogeensetele küsimustele. See tähendab, et lähtume siin kaalutlustest, et homogeensed küsimused või ülesanded lahendatakse ühe ja sama tegevusega.

Selle mõistmiseks kaaluge järgmist probleemi: "1 m riiet maksab 50 rubla. Kui palju maksab 4 m sellist riiet?

See probleem lahendatakse, korrutades rublade arvu (50) meetrite arvuga (4), st 50 x 4 = 200 (rubla).

Võtame sama probleemi, kuid selles väljendatakse riide kogust murdosana: "1 m riiet maksab 50 rubla. Kui palju maksab 3/4 m sellist riiet?

Ka see probleem tuleb lahendada, korrutades rublade arvu (50) meetrite arvuga (3/4).

Saate selles olevaid numbreid veel mitu korda muuta, ilma ülesande tähendust muutmata, näiteks võtta 9/10 m või 2 3/10 m jne.

Kuna need ülesanded on sama sisuga ja erinevad vaid numbrite poolest, nimetame nende lahendamisel kasutatavaid toiminguid sama sõnaga – korrutamine.

Kuidas korrutada täisarvu murdosaga?

Võtame viimases ülesandes esinenud numbrid:

Definitsiooni järgi peame leidma 3/4 50-st. Leiame esmalt 1/4 50-st ja seejärel 3/4.

1/4 50-st on 50/4;

3/4 arvust 50 on .

Seega.

Vaatleme teist näidet: 12 5 / 8 =?

1/8 arvust 12 on 12/8,

5/8 arvust 12 on .

Seega

Siit saame reegli:

Täisarvu korrutamiseks murdosaga peate korrutama täisarvu murru lugejaga ja muutma selle korrutise lugejaks ning nimetama selle murdosa nimetaja.

Kirjutame selle reegli tähtede abil:

Et see reegel oleks täiesti selge, tuleb meeles pidada, et murdosa võib pidada jagatiseks. Seetõttu on kasulik võrrelda leitud reeglit arvu jagatisega korrutamise reegliga, mis oli sätestatud §-s 38

Oluline on meeles pidada, et enne korrutamist peaksite tegema (võimaluse korral) vähendamised, Näiteks:

4. Murru korrutamine murdosaga. Murru korrutamisel murdosaga on sama tähendus, mis täisarvu korrutamisel murdosaga, st murdosa korrutamisel murdosaga tuleb leida murdosa, mis on teguris esimesest murrust (korrutis).

Nimelt tähendab 3/4 korrutamine 1/2-ga (poolega) poole 3/4 leidmist.

Kuidas korrutada murdosa murdosaga?

Võtame näite: 3/4 korrutatakse 5/7-ga. See tähendab, et peate leidma 5/7 3/4-st. Leiame esmalt 1/7 3/4-st ja seejärel 5/7

1/7 arvust 3/4 väljendatakse järgmiselt:

5/7 numbrid 3/4 väljendatakse järgmiselt:

Seega

Teine näide: 5/8 korrutatud 4/9-ga.

1/9/5/8 on ,

4/9 arvust 5/8 on .

Seega

Nendest näidetest saab järeldada järgmise reegli:

Murru korrutamiseks murdosaga peate korrutama lugeja lugejaga ja nimetaja nimetajaga ning muutma esimese korrutise lugejaks ja teise korrutise korrutise nimetajaks.

See on reegel üldine vaade võib kirjutada nii:

Korrutamisel on vaja (võimalusel) teha vähendusi. Vaatame näiteid:

5. Segaarvude korrutamine. Kuna segaarvusid saab kergesti asendada valede murdudega, kasutatakse seda asjaolu tavaliselt segaarvude korrutamisel. See tähendab, et juhtudel, kui kordaja, kordaja või mõlemad tegurid on väljendatud segaarvudena, asendatakse need valede murdudega. Korrutame näiteks segaarvud: 2 1/2 ja 3 1/5. Muutkem igaüks neist valeks murdeks ja seejärel korrutame saadud murrud vastavalt reeglile murdosa korrutamiseks:

Reegel. Segaarvude korrutamiseks peate need esmalt teisendama valedeks murdudeks ja seejärel korrutama vastavalt murdude murdude korrutamise reeglile.

Märge. Kui üks teguritest on täisarv, saab jaotusseaduse alusel korrutada järgmiselt:

6. Huvi mõiste.Ülesannete lahendamisel ja erinevate praktiliste arvutuste tegemisel kasutame kõikvõimalikke murde. Kuid tuleb meeles pidada, et paljud kogused võimaldavad nende jaoks mitte suvalist, vaid loomulikku jaotust. Näiteks võite võtta ühe sajandiku (1/100) rubla, see on kopikas, kaks sajandikku on 2 kopikat, kolm sajandikku on 3 kopikat. Võite võtta 1/10 rubla, see on "10 kopikat ehk kümnekopikaline tükk. Võite võtta veerand rubla, s.o 25 kopikat, pool rubla, s.o 50 kopikat (viiskümmend kopikat). Aga nad praktiliselt ei võta seda näiteks 2/7 rubla, sest rubla ei jagune seitsmendikuteks.

Kaaluühik ehk kilogramm võimaldab eelkõige kümnendjagamist, näiteks 1/10 kg või 100 g. Ja sellised kilogrammi murdosad nagu 1/6, 1/11, 1/13 pole levinud.

Üldiselt on meie (meetrilised) mõõdud kümnendkohad ja võimaldavad kümnendjagamist.

Siiski tuleb märkida, et väga erinevatel juhtudel on äärmiselt kasulik ja mugav kasutada sama (ühtset) koguste osadeks jagamise meetodit. Paljude aastate kogemused on näidanud, et selline hästi põhjendatud jaotus on “sajas” jaotus. Vaatleme mitmeid näiteid, mis on seotud inimtegevuse kõige erinevamate valdkondadega.

1. Raamatute hind on langenud 12/100 varasemast hinnast.

Näide. Raamatu eelmine hind oli 10 rubla. See vähenes 1 rubla võrra. 20 kopikat

2. Hoiupangad maksavad hoiustajatele aasta jooksul säästmiseks hoiustatud summast 2/100.

Näide. Kassasse kantakse 500 rubla, aasta tulu sellest summast on 10 rubla.

3. Ühe kooli lõpetajate arv oli 5/100 õpilaste üldarvust.

NÄIDE Koolis õppis vaid 1200 õpilast, kellest 60 lõpetas.

Arvu sajandat osa nimetatakse protsendiks.

Sõna "protsent" on laenatud ladina keel ja selle tüvi "sent" tähendab sada. Koos eessõnaga (pro centum) tähendab see sõna "saja eest". Sellise väljendi tähendus tuleneb sellest, et algselt in Vana-Rooma intress oli raha, mille võlgnik maksis laenuandjale iga saja eest. Sõna "sent" kuuleb sellistes tuttavates sõnades: sentimeeter (sada kilogrammi), sentimeeter (ütleme sentimeeter).

Näiteks selle asemel, et öelda, et viimase kuu jooksul tootis tehas 1/100 kõigist tema toodetud toodetest oli defektne, ütleme nii: viimase kuu jooksul tootis tehas ühe protsendi defektidest. Selle asemel, et öelda: tehas tootis 4/100 toodet rohkem kui kehtestatud plaan, ütleme: tehas ületas plaani 4 protsendiga.

Ülaltoodud näiteid saab väljendada erinevalt:

1. Raamatute hind on langenud 12 protsenti varasemast hinnast.

2. Hoiupangad maksavad hoiustajatele hoiustesse hoiustatud summalt 2 protsenti aastas.

3. Ühe kooli lõpetajate arv oli 5 protsenti kõigist kooliõpilastest.

Tähe lühendamiseks on tavaks kirjutada sõna “protsent” asemel sümbol %.

Siiski tuleb meeles pidada, et arvutustes % märki tavaliselt ei kirjutata, selle saab kirjutada ülesandepüstitusse ja lõpptulemusesse. Arvutuste tegemisel peate selle sümboliga täisarvu asemel kirjutama murdosa, mille nimetaja on 100.

Peate suutma asendada täisarvu näidatud ikooniga murdosaga, mille nimetaja on 100:

Ja vastupidi, peate harjuma täisarvu kirjutama näidatud sümboliga, mitte murdosa, mille nimetaja on 100:

7. Antud arvu protsendi leidmine.

Ülesanne 1. Kool sai 200 kuupmeetrit. m küttepuid, millest 30% moodustab kaseküttepuid. Kui palju kaseküttepuid oli?

Selle probleemi mõte seisneb selles, et kaseküttepuud moodustasid vaid osa kooli tarnitud küttepuudest ja seda osa väljendatakse murdarvus 30/100. See tähendab, et meil on ülesanne leida arvu murd. Selle lahendamiseks peame korrutama 200 30/100-ga (arvu murdosa leidmise ülesanded lahendatakse arvu korrutamisel murdosaga.).

See tähendab, et 30% 200-st võrdub 60-ga.

Selles ülesandes esinevat murdosa 30/100 saab vähendada 10 võrra. Seda vähendamist oleks võimalik teha algusest peale; probleemi lahendus poleks muutunud.

2. ülesanne. Laagris oli 300 erinevas vanuses last. 11-aastased lapsed moodustasid 21%, 12-aastased lapsed 61% ja lõpuks 13-aastased lapsed 18%. Mitu last igas vanuses laagris oli?

Selles ülesandes peate tegema kolm arvutust, st leidma järjestikku 11-aastaste, seejärel 12-aastaste ja lõpuks 13-aastaste laste arvu.

See tähendab, et siin peate leidma arvu murdosa kolm korda. Teeme seda:

1) Mitu 11-aastast last oli seal?

2) Mitu 12-aastast last seal oli?

3) Mitu 13-aastast last seal oli?

Pärast ülesande lahendamist on kasulik leitud numbrid liita; nende summa peaks olema 300:

63 + 183 + 54 = 300

Samuti tuleb märkida, et ülesandepüstituses antud protsentide summa on 100:

21% + 61% + 18% = 100%

See viitab sellele koguarv lapsed laagris võeti 100%.

3 ja d a h a 3. Tööline sai 1200 rubla kuus. Sellest 65% kulutas ta toidule, 6% korteritele ja küttele, 4% gaasile, elektrile ja raadiole, 10% kultuurivajadustele ja 15% säästmisele. Kui palju raha kulus ülesandes märgitud vajadustele?

Selle ülesande lahendamiseks peate leidma 5-kordse murdosa 1200. Teeme nii.

1) Kui palju raha kulus toidule? Probleem ütleb, et see kulu on 65% kogutulust, st 65/100 arvust 1200. Teeme arvutuse:

2) Kui palju raha maksite küttega korteri eest? Põhjendades sarnaselt eelmisele, jõuame järgmise arvutuseni:

3) Kui palju raha maksite gaasi, elektri ja raadio eest?

4) Kui palju raha kulus kultuurivajadustele?

5) Kui palju töötaja raha säästis?

Kontrollimiseks on kasulik nendes 5 küsimuses leitud numbrid kokku liita. Summa peaks olema 1200 rubla. Kõik sissetulekud on 100%, mida on lihtne kontrollida, liites kokku probleemiavalduses toodud protsentuaalsed numbrid.

Lahendasime kolm probleemi. Hoolimata sellest, et need probleemid käsitlesid erinevaid asju (küttepuude koolile tarnimine, erinevas vanuses laste arv, töömehe kulud), lahenesid need ühtemoodi. See juhtus seetõttu, et kõigi ülesannete puhul oli vaja leida mitu protsenti etteantud arvudest.

§ 90. Murdude jagamine.

Murdude jagamist uurides kaalume järgmisi küsimusi:

1. Jagage täisarv täisarvuga.
2. Murru jagamine täisarvuga
3. Täisarvu jagamine murdosaga.
4. Murru jagamine murdosaga.
5. Segaarvude jagamine.
6. Arvu leidmine selle etteantud murdarvust.
7. Arvu leidmine selle protsendi järgi.

Vaatleme neid järjestikku.

1. Jagage täisarv täisarvuga.

Nagu täisarvude osakonnas märgitud, on jagamine toiming, mis seisneb selles, et kahe teguri (dividend) ja ühe neist teguritest (jagaja) korrutises leitakse teine tegur.

Vaatasime täisarvude jagamist täisarvudega. Seal kohtasime kahte jagamise juhtumit: jagamine ilma jäägita ehk "täielikult" (150: 10 = 15) ja jagamine jäägiga (100: 9 = 11 ja 1 jääk). Seega võime öelda, et täisarvude valdkonnas ei ole alati täpne jagamine võimalik, sest dividend ei ole alati jagaja korrutis täisarvuga. Pärast murdosaga korrutamise kasutuselevõttu võime pidada võimalikuks kõiki täisarvude jagamise juhtumeid (ainult nulliga jagamine on välistatud).

Näiteks 7 jagamine 12-ga tähendab sellise arvu leidmist, mille korrutis 12-ga oleks võrdne 7-ga. Selline arv on murd 7/12, sest 7/12 12 = 7. Teine näide: 14: 25 = 14/25, sest 14/25 25 = 14.

Seega tuleb täisarvu jagamiseks täisarvuga luua murd, mille lugeja on võrdne dividendiga ja nimetaja jagajaga.

2. Murru jagamine täisarvuga.

Jagage murd 6/7 3-ga. Vastavalt ülaltoodud jagamise definitsioonile on siin korrutis (6/7) ja üks teguritest (3); peate leidma teise teguri, mille 3-ga korrutades annaks see töö 6/7. Ilmselgelt peaks see olema kolm korda väiksem kui see toode. See tähendab, et meie ees oli ülesanne vähendada murdosa 6/7 3 korda.

Teame juba, et murdosa saab vähendada kas selle lugejat vähendades või nimetajat suurendades. Seetõttu võite kirjutada:

Sel juhul jagub lugeja 6 3-ga, seega tuleks lugejat 3 korda vähendada.

Võtame veel ühe näite: 5/8 jagatud 2-ga. Siin lugeja 5 ei jagu 2-ga, mis tähendab, et nimetaja tuleb selle arvuga korrutada:

Selle põhjal saab koostada reegli: Murru jagamiseks täisarvuga peate jagama murdosa lugeja selle täisarvuga.(kui võimalik), jättes sama nimetaja või korrutage murdosa nimetaja selle arvuga, jättes sama lugeja.

3. Täisarvu jagamine murdosaga.

Olgu vaja jagada 5 1/2-ga, st leida arv, mis pärast 1/2-ga korrutamist annab korrutiseks 5. Ilmselgelt peab see arv olema suurem kui 5, kuna 1/2 on õige murd , ja arvu korrutamisel peab õige murru korrutis olema väiksem kui korrutatav korrutis. Selle selgemaks muutmiseks kirjutame oma toimingud järgmiselt: 5: 1 / 2 = X , mis tähendab x 1/2 = 5.

Peame sellise numbri leidma X , mis korrutades 1/2-ga annaks 5. Kuna teatud arvu korrutamine 1/2-ga tähendab 1/2 leidmist sellest arvust, siis seega 1/2 tundmatust arvust X on võrdne 5 ja täisarvuga X kaks korda rohkem, st 5 2 = 10.

Seega 5: 1/2 = 5 2 = 10

Kontrollime:

Vaatame teist näidet. Oletame, et soovite 6 jagada 2/3-ga. Proovime esmalt leida soovitud tulemust kasutades joonist (joonis 19).

Joonis 19

Joonistame lõigu AB, mis on võrdne 6 ühikuga, ja jagame iga ühiku 3 võrdseks osaks. Igas üksuses on kolm kolmandikku (3/3) kogu segmendist AB 6 korda suurem, s.o. e. 18/3. Väikeste sulgude abil ühendame 18 saadud segmenti 2; Seal on ainult 9 segmenti. See tähendab, et murdosa 2/3 sisaldub 6 ühikus 9 korda ehk teisisõnu, murdosa 2/3 on 9 korda väiksem kui 6 täisühikut. Seega

Kuidas saada see tulemus ilma jooniseta, kasutades ainult arvutusi? Arutleme nii: peame jagama 6 2/3-ga, st vastama küsimusele, mitu korda 2/3 sisaldub 6-s. Uurime kõigepealt välja: mitu korda 6 sisaldab 1/3? Terves üksuses on 3 kolmandikku ja 6 ühikus 6 korda rohkem, s.o 18 kolmandikku; selle arvu leidmiseks peame korrutama 6 3-ga. See tähendab, et 1/3 sisaldub b ühikus 18 korda ja 2/3 sisaldub b ühikus mitte 18 korda, vaid poole vähem, st 18: 2 = 9 Seetõttu oleme 6 jagades 2/3-ga lõpetanud järgmised toimingud:

Siit saame reegli täisarvu murdosaga jagamiseks. Täisarvu jagamiseks murdosaga peate selle täisarvu korrutama antud murru nimetajaga ja muutes selle korrutise lugejaks, jagama selle antud murru lugejaga.

Kirjutame reegli tähtede abil:

Et see reegel oleks täiesti selge, tuleb meeles pidada, et murdosa võib pidada jagatiseks. Seetõttu on kasulik võrrelda leitud reeglit arvu jagatisega jagamise reegliga, mis oli sätestatud §-s 38. Pange tähele, et seal saadi sama valem.

Jagamisel on võimalikud lühendid, näiteks:

4. Murru jagamine murdosaga.

Oletame, et peame jagama 3/4 3/8-ga. Mida tähendab jagamisel saadud arv? See vastab küsimusele, mitu korda sisaldub murdosa 3/8 murdosas 3/4. Selle probleemi mõistmiseks teeme joonise (joonis 20).

Võtame lõigu AB, võtame selle üheks, jagame 4 võrdseks osaks ja märgime 3 sellist osa. Segment AC on võrdne 3/4 segmendist AB. Jagame nüüd kõik neli algset lõiku pooleks, siis segment AB jagatakse 8 võrdseks osaks ja iga selline osa on võrdne 1/8 lõigust AB. Ühendagem 3 sellist lõiku kaaredega, siis on iga segment AD ja DC võrdne 3/8 segmendiga AB. Joonis näitab, et segment, mis võrdub 3/8, sisaldub segmendis, mis on võrdne 3/4 täpselt 2 korda; See tähendab, et jagamise tulemuse saab kirjutada järgmiselt:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Vaatame teist näidet. Oletame, et peame jagama 15/16 3/32-ga:

Võime arutleda järgmiselt: peame leidma arvu, mis pärast 3/32-ga korrutamist annab korrutise 15/16. Kirjutame arvutused järgmiselt:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 tundmatu number X on 15/16

1/32 tundmatust numbrist X on ,

32/32 numbrid X meik .

Seega

Seega, murdosa jagamiseks murdosaga peate korrutama esimese murru lugeja teise nimetajaga ja korrutama esimese murru nimetaja teise lugejaga ning muutma lugejaks esimese korrutise, ja teine nimetaja.

Kirjutame reegli tähtede abil:

Jagamisel on võimalikud lühendid, näiteks:

5. Segaarvude jagamine.

Segaarvude jagamisel tuleb need esmalt teisendada ebaõigeteks murdudeks ja seejärel jagada saadud murrud vastavalt murdude jagamise reeglitele. Vaatame näidet:

Teisendame segaarvud valedeks murdudeks:

Nüüd jagame:

Seega peate segaarvude jagamiseks teisendama need valedeks murdudeks ja seejärel jagama, kasutades murdude jagamise reeglit.

6. Arvu leidmine selle etteantud murdarvust.

hulgas erinevaid ülesandeid murdude kohta on mõnikord selliseid, kus on antud mõne tundmatu arvu murdosa väärtus ja peate selle numbri leidma. Seda tüüpi ülesanne on antud arvu murdosa leidmise ülesande pöördväärtus; seal anti arv ja nõuti selle arvu murdosa leidmist, siin anti murdosa arvust ja nõuti selle arvu enda leidmist. See mõte saab veelgi selgemaks, kui asume seda tüüpi probleemide lahendamisele.

Ülesanne 1. Esimesel päeval lasid klaasijad 50 akent, mis on 1/3 kõigist ehitatud maja akendest. Mitu akent sellel majal on?

Lahendus. Probleem ütleb, et 50 klaasitud akent moodustavad 1/3 kõigist maja akendest, mis tähendab, et aknaid on kokku 3 korda rohkem, st.

Majal oli 150 akent.

2. ülesanne. Poes müüdi 1500 kg jahu, mis moodustab 3/8 kogu poe jahuvarust. Milline oli poe esialgne jahuvaru?

Lahendus. Probleemi tingimustest selgub, et 1500 kg müüdud jahu moodustab 3/8 koguvarust; See tähendab, et 1/8 sellest reservist on 3 korda väiksem, st selle arvutamiseks peate 1500 vähendama 3 korda:

1500: 3 = 500 (see on 1/8 reservist).

Ilmselgelt on kogu pakkumine 8 korda suurem. Seega

500 8 = 4000 (kg).

Jahu esialgne varu poes oli 4000 kg.

Selle probleemi kaalumisel võib tuletada järgmise reegli.

Arvu leidmiseks selle murru antud väärtusest piisab, kui jagada see väärtus murru lugejaga ja korrutada tulemus murdosa nimetajaga.

Arvu leidmisel, võttes arvesse selle murdosa, lahendasime kaks ülesannet. Sellised probleemid, nagu viimasest eriti selgelt näha, lahendatakse kahe toiminguga: jagamine (kui leitakse üks osa) ja korrutamine (kui leitakse täisarv).

Kuid pärast seda, kui oleme õppinud murdude jagamist, saab ülaltoodud ülesandeid lahendada ühe toiminguga, nimelt: murdosaga jagamine.

Näiteks saab viimase ülesande lahendada ühe toiminguga järgmiselt:

Tulevikus lahendame selle murdosast arvu leidmise ülesanded ühe toiminguga - jagamisega.

7. Arvu leidmine selle protsendi järgi.

Nende ülesannete puhul peate leidma numbri, mis teab sellest arvust mõnda protsenti.

Ülesanne 1. Esiteks praegune aasta Hoiukassast sain 60 rubla. tulu summast, mille ma aasta tagasi säästudesse panin. Kui palju raha olen hoiukassasse pannud? (Kassad annavad hoiustajatele 2% tulu aastas.)

Probleemi mõte on selles, et panin teatud summa raha hoiukassasse ja jäin sinna aastaks. Aasta pärast sain temalt 60 rubla. sissetulekust, mis on 2/100 rahast, mille ma sisse panin. Kui palju raha ma sisse panin?

Järelikult, teades osa sellest rahast, väljendatuna kahel viisil (rublades ja murdosades), peame leidma kogu seni teadmata summa. See on tavaline probleem arvu leidmisel, arvestades selle murdosa. Järgmised probleemid lahendatakse jagamise teel:

See tähendab, et hoiukassasse pandi 3000 rubla.

2. ülesanne. Kalurid täitsid kuuplaani kahe nädalaga 64%, saades 512 tonni kala. Mis oli nende plaan?

Probleemi tingimustest on teada, et kalurid täitsid osa plaanist. See osa võrdub 512 tonniga, mis on 64% plaanist. Me ei tea, mitu tonni kala tuleb plaani järgi ette valmistada. Selle numbri leidmine on probleemi lahendus.

Sellised probleemid lahendatakse jagamise teel:

See tähendab, et plaani järgi on vaja ette valmistada 800 tonni kala.

3. ülesanne. Rong sõitis Riiast Moskvasse. Kui ta 276. kilomeetrit läbis, küsis üks sõitjatest mööduvalt konduktorilt, kui suure osa teekonnast on nad juba läbinud. Selle peale vastas dirigent: "Me oleme juba läbinud 30% kogu teekonnast." Kui kaugel on Riia Moskvast?

Probleemoludest selgub, et 30% marsruudist Riiast Moskvasse on 276 km. Peame leidma kogu nende linnade vahelise kauguse, st selle osa jaoks leidma terviku:

§ 91. Vastastikused numbrid. Jagamise asendamine korrutamisega.

Võtame murdosa 2/3 ja asendame nimetaja asemel lugeja, saame 3/2. Saime selle murru pöördväärtuse.

Et saada murdosa, mis on antud murru pöördvõrdeline, peate nimetaja asemele panema selle lugeja ja lugeja asemel nimetaja. Sel viisil saame mis tahes murru pöördarvu. Näiteks:

3/4, tagurpidi 4/3; 5/6, tagurpidi 6/5

Nimetatakse kahte murdu, millel on omadus, et esimese lugeja on teise nimetaja ja esimese nimetaja on teise lugeja. vastastikku pöördvõrdeline.

Nüüd mõtleme, milline murdosa on 1/2 pöördväärtus. Ilmselgelt on see 2/1 või lihtsalt 2. Otsides antud pöördmurdu, saime täisarvu. Ja see juhtum ei ole üksik; vastupidi, kõigi murdude puhul, mille lugeja on 1 (üks), on pöördarvud täisarvud, näiteks:

1/3, tagurpidi 3; 1/5, tagurpidi 5

Kuna pöördmurdude leidmisel kohtasime ka täisarve, siis edaspidi räägime mitte pöördmurdudest, vaid pöördarvudest.

Mõelgem välja, kuidas kirjutada täisarvu pöördväärtust. Murdude puhul saab selle lihtsalt lahendada: lugeja asemele tuleb panna nimetaja. Samamoodi saate täisarvu pöördväärtuse, kuna iga täisarvu nimetaja võib olla 1. See tähendab, et 7 pöördväärtus on 1/7, sest 7 = 7/1; arvu 10 puhul on pöördväärtus 1/10, kuna 10 = 10/1

Seda ideed saab väljendada erinevalt: antud arvu pöördväärtus saadakse ühe jagamisel antud arvuga. See väide kehtib mitte ainult täisarvude, vaid ka murdude kohta. Tegelikult, kui meil on vaja kirjutada murdosa 5/9 pöördväärtus, siis võime võtta 1 ja jagada selle 5/9-ga, s.t.

Nüüd juhime tähelepanu ühele asjale vara vastastikused numbrid, mis on meile kasulikud: pöördarvude korrutis on võrdne ühega. Tõepoolest:

Seda omadust kasutades saame pöördarvud leida järgmisel viisil. Oletame, et peame leidma 8 pöördväärtuse.

Tähistame seda tähega X , siis 8 X = 1, seega X = 1/8. Leiame veel ühe arvu, mis on 7/12 pöördväärtus, ja tähistame seda tähega X , siis 12.07 X = 1, seega X = 1:7/12 või X = 12 / 7 .

Tutvustame siin pöördarvude mõistet, et veidi täiendada teavet murdude jagamise kohta.

Kui jagame arvu 6 3/5-ga, teeme järgmist:

Pöörake erilist tähelepanu väljendile ja võrrelge seda antud väljendiga: .

Kui võtta avaldis eraldi, ilma seoseta eelmisega, siis on võimatu lahendada küsimust, kust see tuli: 6 jagamisest 3/5-ga või 6 korrutamisest 5/3-ga. Mõlemal juhul juhtub sama. Seetõttu võime öelda et ühe arvu jagamise teisega saab asendada dividendi korrutamisega jagaja pöördarvuga.

Allpool toodud näited kinnitavad seda järeldust täielikult.

Nagu matemaatikast teame, koosneb murdarv lugejast ja nimetajast. Lugeja on ülaosas ja nimetaja all.

Sama nimetajaga murdarvude liitmise või lahutamise matemaatilisi toiminguid on üsna lihtne teha. Peate lihtsalt suutma lugejas olevaid numbreid liita või lahutada (ülal) ja sama alumine arv jääb muutumatuks.

Võtame näiteks murdarvu 7/9, siin:

number "seitse" ülal on lugeja;
allolev number "üheksa" on nimetaja.

Näide 1. Täiendus:

5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.

Näide 2. Lahutamine:

6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.

Lihtsate murdarvude lahutamine, millel on erinevad nimetajad

Erinevate nimetajatega suuruste lahutamise matemaatilise toimingu tegemiseks peate need esmalt taandama ühele nimetajale. Selle ülesande täitmisel tuleb kinni pidada reeglist, et see ühisnimetaja peab olema kõigist väikseim võimalikud variandid.

Näide 3

Antud on kaks erineva nimetajaga lihtsat suurust (madalamad numbrid): 7/8 ja 2/9.

Esimesest väärtusest on vaja lahutada teine.

Lahendus koosneb mitmest etapist:

1. Leia ühine väiksem arv, s.o. midagi, mis jagub nii esimese kui ka teise murru väiksema väärtusega. See on number 72, kuna see on arvude kaheksa ja üheksa kordne.

2. Iga murru alumine number on suurenenud:

arv “kaheksa” murdosas 7/8 on üheksakordseks kasvanud - 8*9=72;
arv “üheksa” murrus 2/9 on kaheksakordistunud - 9*8=72.

3. Kui nimetaja (alumine number) on muutunud, siis peab muutuma ka lugeja (ülemine number). Olemasoleva matemaatilise reegli järgi tuleb ülemist arvu suurendada täpselt sama palju kui alumist. See on:

lugeja "seitse" esimeses murrus (7/8) korrutatakse arvuga "üheksa" - 7*9=63;
Korrutame teises murrus (2/9) oleva lugeja "kaks" arvuga "kaheksa" - 2*8=16.

4. Oma tegude tulemusena saime kaks uut kogust, mis on aga identsed algsetega.

esimene: 7/8 = 7*9 / 8*9 = 63/72;
teine: 2/9 = 2*8 / 9*8 = 16/72.

5. Nüüd on võimalik lahutada üks murdarv teisest:

7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?

6. Seda toimingut sooritades pöördume tagasi samade väiksemate numbritega (nimetajatega) murdude lahutamise teema juurde. See tähendab, et lahutamise toiming viiakse läbi ülal, lugejas ja alumine number kantakse üle ilma muudatusteta.

63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.

7/8−2/9 = 47/72.

Näide 4

Teeme ülesande keerulisemaks, võttes lahendamiseks mitu erineva, kuid mitme numbriga murru allosas.

Antud väärtused on: 5/6; 1/3; 1/12; 7/24.

Need tuleb selles järjestuses üksteisest ära võtta.

1. Toome murrud ülaltoodud meetodil ühise nimetajani, milleks on arv “24”:

5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.

7/24 - jätame selle viimase väärtuse muutmata, kuna nimetaja on koguarv “24”.

2. Lahutame kõik kogused:

20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.

3. Kuna saadud murru lugeja ja nimetaja jagavad ühe arvuga, saab neid vähendada, jagades arvuga "kolm":

3:3 / 24:3 = 1/8.

4. Kirjutame vastuse järgmiselt:

5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.

Näide 5

On antud kolm mittemitmekordse nimetajaga murdu: 3/4; 2/7; 1/13.

Peate leidma erinevuse.

1. Toome kaks esimest numbrit ühise nimetaja juurde, see on arv "28":

¾ = 3*7 / 4*7 = 21/28;
2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.

2. Lahutage teineteisest kaks esimest murdu:

¾−2/7 = 21/28−8/28 = (21−8) / 28 = 13/28.

3. Lahutage saadud väärtusest kolmas antud murd:

4. Toome arvud ühisele nimetajale. Kui sama nimetajat pole võimalik lihtsamalt valida, siis tuleb lihtsalt toimingud läbi viia, korrutades kõik nimetajad järjestikku, unustamata lugeja väärtust sama arvu võrra suurendada. Selles näites teeme järgmist:

13/28 = 13*13 / 28*13 = 169/364, kus 13 on 5/13 alumine number;
5/13 = 5*28 / 13*28 = 140/364, kus 28 on 13/28 väiksem arv.

5. Lahutage saadud murrud:

13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.

Vastus: ¾−2/7−5/13 = 29/364.

Segafraktsioonid

Eespool käsitletud näidetes kasutati ainult õigeid fraktsioone.

Näiteks:

8/9 on õige murd;
9/8 on vale.

Ebaõiget murdu on võimatu õigeks murdeks muuta, kuid seda on võimalik muuta segatud. Miks jagate ülemise arvu (lugeja) alumisega (nimetaja), et saada jäägiga arv? Jagamisel saadud täisarv kirjutatakse üles nii, jääk kirjutatakse üleval olevasse lugejasse ja nimetaja all jääb samaks. Et see oleks selgem, kaalume konkreetne näide:

Näide 6

Teisendage vale murd 9/8 õigeks.

Selleks jagage arv "üheksa" "kaheksaga", mille tulemuseks on täisarvu ja jäägiga segamurd:

9: 8 = 1 ja 1/8 (seda saab kirjutada erinevalt kui 1+1/8), kus:

number 1 on jagamisel saadud täisarv;
teine number 1 on jääk;
number 8 on nimetaja, mis jääb muutumatuks.

Täisarvu nimetatakse ka naturaalarvuks.

Jääk ja nimetaja on uus, kuid õige murd.

Arvu 1 kirjutamisel kirjutatakse see õige murru 1/8 ette.

Erinevate nimetajatega segaarvude lahutamine

Ülaltoodu põhjal anname segatud murdarvu määratluse: "Sega number - see on suurus, mis võrdub täisarvu ja korraliku hariliku murru summaga. Sel juhul nimetatakse kogu osa naturaalarv , ja allesjäänud number on tema murdosa».

Näide 7

Antud: kaks segatud murdarvu, mis koosnevad täisarvust ja õige murdosa:

esimene väärtus on 9 ja 4/7, see tähendab (9+4/7);
teine väärtus on 3 ja 5/21, see tähendab (3+5/21).

On vaja leida nende koguste erinevus.

1. 3+5/21 lahutamiseks 9+4/7-st peate esmalt lahutama üksteisest täisarvud:

4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.

3. Kahe segaarvu erinevuse tulemus koosneb naturaalarvust (täisarvust) 6 ja õigest murrust 7/21 = 1/3:

(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.

Kõikide maade matemaatikud on kokku leppinud, et segakoguste kirjutamisel võib “+” märgi ära jätta ja ilma ühegi märgita murru ette jätta ainult täisarv.

Teie laps tõi kodutöö koolist ja sa ei tea, kuidas seda lahendada? Siis on see minitund sulle!

Kuidas lisada kümnendkohti

Mugavam on lisada veerus kümnendmurrud. Lisamise teostamiseks kümnendkohad, peate järgima ühte lihtsat reeglit:

Koht peab olema koha all, koma koma all.

Nagu näites näha, paiknevad terved ühikud üksteise all, kümnendiku ja sajandiku numbrid asuvad üksteise all. Nüüd lisame numbrid, ignoreerides koma. Mida teha komaga? Koma liigutatakse kohta, kus see täisarvude kategoorias oli.

Võrdsete nimetajatega murdude liitmine

Ühise nimetajaga liitmiseks peate hoidma nimetaja muutmata, leidma lugejate summa ja saama murdosa, mis on kogusumma.

Erinevate nimetajatega murdude liitmine ühiskordaja meetodil

Esimene asi, millele peate tähelepanu pöörama, on nimetajad. Nimetajad on erinevad, kas nad pole omavahel jagatavad, eks algarvud. Kõigepealt peame selle ühe ühise nimetaja juurde viima; selleks on mitu võimalust:

1/3 + 3/4 = 13/12, selle näite lahendamiseks peame leidma vähima ühiskordse (LCM), mis jagub 2 nimetajaga. A ja b väikseima kordse tähistamiseks – LCM (a;b). Selles näites LCM (3;4) = 12. Kontrollime: 12:3=4; 12:4=3.
Korrutame tegurid ja lisame saadud arvud, saame 13/12 - vale murd.

Vale murru teisendamiseks õigeks jagage lugeja nimetajaga, saame täisarvu 1, jääk 1 on lugeja ja 12 on nimetaja.

Murdude liitmine ristkorrutamise meetodil

Erinevate nimetajatega murdude lisamiseks on veel üks meetod, mis kasutab valemit "rist ristiks". See on garanteeritud viis nimetajate võrdsustamiseks, selleks tuleb lugejad korrutada ühe murdosa nimetajaga ja vastupidi. Kui olete just peal esialgne etapp murdude uurimisel, siis on see meetod erinevate nimetajatega murdude liitmisel kõige lihtsam ja täpsem viis õige tulemuse saamiseks.