Lineaarvõrrandid: valemid ja näited. Ebavõrdsused ja nende lahendus

Olulised märkused!
1. Kui näete valemite asemel gobbledygooki, tühjendage vahemälu. Kuidas seda brauseris teha, on kirjutatud siin:
2. Enne artikli lugemise alustamist pöörake kõige rohkem tähelepanu meie navigaatorile kasulik ressurss Sest

Mis on "lineaarvõrrandid"

või suuliselt – kolmele sõbrale anti igaühele õunu selle alusel, et Vasjal olid kõik õunad, mis tal olid.

Ja nüüd olete juba otsustanud lineaarvõrrand
Nüüd anname sellele terminile matemaatilise määratluse.

Lineaarvõrrand - on algebraline võrrand, mille täielik kraad selle moodustavatest polünoomidest on võrdne. See näeb välja selline:

Kus ja on mingeid numbreid ja

Meie Vasya ja õunte juhtumi puhul kirjutame:

- "Kui Vasya annab kõigile kolmele sõbrale sama arvu õunu, ei jää tal enam õunu"

"Varjatud" lineaarvõrrandid ehk identiteedi teisenduste tähtsus

Hoolimata asjaolust, et esmapilgul on kõik äärmiselt lihtne, peate võrrandite lahendamisel olema ettevaatlik, sest lineaarvõrranditeks ei nimetata mitte ainult seda tüüpi võrrandeid, vaid ka kõiki võrrandeid, mida saab teisenduste ja lihtsustustega taandada. Näiteks:

Me näeme, mis on paremal, mis teoreetiliselt näitab juba, et võrrand ei ole lineaarne. Veelgi enam, kui avame sulud, saame veel kaks terminit, milles see on, kuid ärge kiirustage järeldustega! Enne kui otsustada, kas võrrand on lineaarne, on vaja teha kõik teisendused ja seega esialgset näidet lihtsustada. Sel juhul võivad transformatsioonid muutuda välimus, kuid mitte võrrandi olemus.

Teisisõnu peavad teisendusandmed olema identsed või samaväärne. Selliseid transformatsioone on ainult kaks, kuid neil on probleemide lahendamisel väga-VÄGA oluline roll. Vaatame mõlemat teisendust konkreetsete näidete abil.

Ülekanne vasakule - paremale.

Oletame, et peame lahendama järgmise võrrandi:

Samuti sisse Põhikool meile öeldi: "X-idega - vasakule, ilma X-ga - paremale." Milline avaldis X-iga on paremal? See on õige, aga mitte kuidas mitte. Ja see on oluline, sest kui sellest pealtnäha lihtsast küsimusest valesti aru saada, tuleb välja vale vastus. Milline X-ga avaldis on vasakul? Õige,.

Nüüd, kui oleme selle välja mõelnud, liigutame kõik tundmatutega terminid vasakule ja kõik, mis on teada, paremale, pidades meeles, et kui näiteks numbri ees pole märki, siis on arv positiivne , see tähendab, et selle ees on märk " "

Kas üle antud? Mis sa said?

Jääb vaid tuua sarnased tingimused. Esitleme:

Niisiis, oleme esimest identset teisendust edukalt analüüsinud, kuigi olen kindel, et teadsite seda ja kasutasite seda aktiivselt ilma minuta. Peamine on mitte unustada numbrimärke ja muuta need võrdusmärgi kaudu ülekandmisel vastupidisteks!

Korrutamine-jagamine.

Alustame kohe näitega

Vaatame ja mõelgem: mis meile selle näite juures ei meeldi? Tundmatu on kõik ühes osas, tuntud on teises, aga miski takistab meid... Ja see miski on neli, sest kui seda poleks olemas, oleks kõik täiuslik - x on võrdne arvuga - täpselt nagu vajame!

Kuidas sellest lahti saada? Me ei saa seda paremale liigutada, sest siis on vaja liigutada kogu kordajat (me ei saa seda võtta ja sealt ära rebida) ning ka kogu kordaja liigutamine pole mõtet...

On aeg meeles pidada jagamist, seega jagame kõik kahega! Kõik - see tähendab nii vasakut kui ka paremat külge. Nii ja ainult nii! Mida me teeme?

Siin on vastus.

Vaatame nüüd teist näidet:

Kas oskate arvata, mida sel juhul teha tuleb? See on õige, korrutage vasak ja parem külg arvuga! Millise vastuse sa said? Õige. .

Kindlasti teadsite identiteedimuutustest juba kõike. Mõelge, et oleme lihtsalt värskendanud neid teadmisi teie mälus ja on aeg millegi enama jaoks - Näiteks lahendada meie suur näide:

Nagu me varem ütlesime, ei saa te seda vaadates öelda, et see võrrand on lineaarne, kuid me peame avama sulud ja tegema identsed teisendused. Nii et alustame!

Alustuseks tuletame meelde lühendatud korrutamise valemeid, eelkõige summa ja erinevuse ruutu. Kui te ei mäleta, mis see on ja kuidas sulgud avatakse, soovitan tungivalt teemat lugeda, sest need oskused on teile kasulikud peaaegu kõigi eksamil ette tulnud näidete lahendamisel.
Ilmnes? Võrdleme:

Nüüd on aeg tuua sarnased terminid. Kas mäletate, kuidas me olime samas olukorras Põhikool kas nad ütlesid, et "me ei pane kärbseid kotlettidega"? Siin ma tuletan teile seda meelde. Lisame kõik eraldi – tegurid, millel on, tegurid, millel on, ja ülejäänud tegurid, millel pole tundmatuid. Sarnaste terminite toomisel liigutage kõik tundmatud vasakule ja kõik teadaolevad paremale. Mis sa said?

Nagu näha, on X-id väljakult kadunud ja näeme midagi täiesti tavalist. lineaarvõrrand. Jääb üle vaid see üles leida!

Ja lõpetuseks ütlen veel ühe väga olulise asja identiteedi teisenduste kohta - identiteedi teisendused on rakendatavad mitte ainult lineaarsete võrrandite, vaid ka ruut-, murdratsionaal- ja muude jaoks. Peate lihtsalt meeles pidama, et võrdusmärgi kaudu tegurite ülekandmisel muudame märgi vastupidiseks ja mõne arvuga jagades või korrutades korrutame/jagame võrrandi mõlemad pooled SAMA arvuga.

Mida sa sellest näitest veel välja võtsid? Et võrrandit vaadates ei ole alati võimalik otseselt ja täpselt kindlaks teha, kas see on lineaarne või mitte. Esmalt on vaja väljendit täielikult lihtsustada ja alles seejärel otsustada, mis see on.

Lineaarvõrrandid. Näited.

Siin on veel paar näidet, mida saate ise harjutada – tehke kindlaks, kas võrrand on lineaarne, ja kui jah, siis leidke selle juured:

Vastused:

1. On.

2. Ei ole.

Avame sulud ja esitame sarnased terminid:

Teeme identse teisenduse - jagage vasak ja parem külg:

Näeme, et võrrand ei ole lineaarne, mistõttu pole vaja selle juuri otsida.

3. On.

Teeme identse teisenduse – nimetajast vabanemiseks korrutage vasak ja parem külg arvuga.

Mõelge, miks see nii oluline on? Kui tead vastust sellele küsimusele, liikuge võrrandi edasise lahendamise juurde, kui ei, siis vaadake kindlasti teemat, et keerulisemates näidetes mitte vigu teha. Muide, nagu näete, on olukord võimatu. Miks?
Niisiis, läheme edasi ja korraldame võrrandi ümber:

Kui saite kõigega raskusteta hakkama, räägime kahe muutujaga lineaarvõrranditest.

Lineaarvõrrandid kahes muutujas

Liigume nüüd veidi keerukama – kahe muutujaga lineaarvõrrandi juurde.

Lineaarvõrrandid kahe muutujaga on kujul:

Kus ja - mis tahes numbrid ja.

Nagu näete, on ainus erinevus selles, et võrrandile lisatakse veel üks muutuja. Ja nii on kõik endine – ei ole x ruudus, muutujaga jagamist jne. ja nii edasi.

Millise elunäite ma võin teile tuua... Võtame sama Vasja. Oletame, et ta otsustas, et annab igale kolmele sõbrale sama arvu õunu ja jätab õunad endale. Mitu õuna peab Vasya ostma, kui ta annab igale sõbrale ühe õuna? Kuidas oleks? Mis siis, kui poolt?

Sõltuvus õunte arvust, mille võrra iga inimene saab koguarvõunad, mida tuleb osta, väljendatakse võrrandiga:

• - õunte arv, mille inimene saab (, või, või);
• - õunte arv, mille Vasya endale võtab;
• - kui palju õunu peab Vasya ostma, võttes arvesse õunte arvu inimese kohta?

Seda ülesannet lahendades saame, et kui Vasya kingib ühele sõbrale õuna, siis on tal vaja tükke osta, kui õunu jne.

Ja üldiselt. Meil on kaks muutujat. Miks mitte joonistada see suhe graafikule? Ehitame ja märgime oma väärtuse ehk punktid koordinaatidega ja!

Nagu näete, sõltuvad nad üksteisest lineaarne, sellest ka võrrandite nimi - " lineaarne».

Abstraheerime õuntest ja vaatame erinevaid võrrandeid graafiliselt. Vaadake hoolikalt kahte koostatud graafikut - sirgjoont ja parabooli, mis on määratud suvaliste funktsioonidega:

Leia ja märgi mõlemalt pildilt vastavad punktid.
Mis sa said?

Seda näete esimese funktsiooni graafikul üksi vastab üks, see tähendab, et nad sõltuvad üksteisest ka lineaarselt, mida ei saa öelda teise funktsiooni kohta. Muidugi võite väita, et teises graafikus vastab ka x -, kuid see on ainult üks punkt, see on erijuhtum, sest võite siiski leida ühe, mis sobib rohkem kui ühega. Ja konstrueeritud graaf ei meenuta kuidagi sirget, vaid on parabool.

Kordan veel kord: lineaarvõrrandi graafik peab olema SIRGE.

Sellega, et võrrand ei ole lineaarne, kui läheme suvalisele kraadile - see on parabooli näitel selge, kuigi saate ehitada enda jaoks veel paar lihtsat graafikut, näiteks või. Kuid ma kinnitan teile – ükski neist ei ole SIRG.

Ei usu? Ehitage see üles ja võrrelge seda sellega, mis mul on:

Mis juhtub, kui jagame midagi näiteks mõne arvuga? Kas tekib lineaarne suhe ja? Ärme vaidle, vaid ehitame! Näiteks koostame funktsiooni graafiku.

Kuidagi ei tundu, et see on sirgjoonena konstrueeritud... vastavalt sellele pole võrrand lineaarne.
Teeme kokkuvõtte:

1. Lineaarvõrrand - on algebraline võrrand, milles seda moodustavate polünoomide koguaste on võrdne.
2. Lineaarvõrrandühe muutujaga on vorm:
   , kus ja on mis tahes numbrid;
   Lineaarvõrrand kahe muutujaga:
   , kus ja on mis tahes numbrid.
3. Alati ei ole võimalik kohe kindlaks teha, kas võrrand on lineaarne või mitte. Mõnikord on selle mõistmiseks vaja läbi viia identsed teisendused, nihutada sarnaseid termineid vasakule/paremale, unustamata muuta märki või korrutada/jagada võrrandi mõlemad pooled sama arvuga.

LINEAARSED VÕRDED. LÜHIDALT PEAMISEST

1. Lineaarvõrrand

See on algebraline võrrand, milles seda moodustavate polünoomide koguaste on võrdne.

2. Ühe muutujaga lineaarvõrrand on kujul:

Kus ja on mingeid numbreid;

3. Lineaarvõrrand kahe muutujaga on kujul:

Kus ja - mis tahes numbrid.

4. Identiteedi teisendused

Et teha kindlaks, kas võrrand on lineaarne või mitte, on vaja teha identsed teisendused:

• liigutage sarnaseid termineid vasakule/paremale, unustamata märki muuta;
• korrutage/jagage võrrandi mõlemad pooled sama arvuga.

Noh, teema on läbi. Kui loete neid ridu, tähendab see, et olete väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui sa loed lõpuni, siis oled selle 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooriast aru saanud. Ja kordan, see... see on lihtsalt super! Oled juba parem kui valdav enamus oma eakaaslasi.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

Milleks?

Sest edukas lõpetamineÜhtne riigieksam, eelarvega kolledžisse vastuvõtmiseks ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena sind milleski, ütlen vaid üht...

Hea hariduse saanud inimesed teenivad palju rohkem kui need, kes seda pole saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees on palju avatumat rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla ühtsel riigieksamil teistest parem ja lõpuks... õnnelikum?

SELLEL TEEMAL PROBLEEMIDE LAHENDAMISEGA VÕITA OMA KÄSI.

Eksami ajal teooriat ei küsita.

Sa vajad lahendada probleeme ajaga.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), teete kindlasti kuskil rumala vea või teil pole lihtsalt aega.

See on nagu spordis – seda on vaja mitu korda korrata, et kindlalt võita.

Leidke kollektsioon kust iganes soovite, tingimata lahendustega, üksikasjalik analüüs ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (valikuline) ja me loomulikult soovitame neid.

Meie ülesannete paremaks kasutamiseks peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage kõik selles artiklis peidetud toimingud -
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpiku 99 artiklis - Osta õpik - 499 RUR

Jah, meie õpikus on 99 sellist artiklit ja ligipääs kõikidele ülesannetele ja kõikidele nendes olevatele peidetud tekstidele saab kohe avada.

Juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele on tagatud saidi KOGU eluea jooksul.

Kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt peatuge teoorial.

“Arusaadav” ja “ma oskan lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.

Leia probleemid ja lahenda need!

Kõigepealt peate mõistma, mis see on.

Seal on lihtne määratlus lineaarvõrrand, mis on antud tavakoolis: "võrrand, milles muutuja esineb ainult esimeses astmes." Kuid see pole täiesti õige: võrrand ei ole lineaarne, see isegi ei taanda selleni, vaid taandub ruutkeskseks.

Täpsem määratlus on järgmine: lineaarvõrrand on võrrand, mida kasutades samaväärsed teisendused saab taandada kujule , kus title="a,b in bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

Selleks et mõista, kas võrrand on lineaarne või mitte, tuleb seda kõigepealt lihtsustada, st viia vormile, kus selle klassifikatsioon on üheselt mõistetav. Pidage meeles, et võrrandiga saate teha mida iganes, kui see ei muuda oma juuri – nii see on. samaväärne teisendus. Lihtsaimate samaväärsete teisenduste hulka kuuluvad:

1. avasulud
2. sarnast toomine
3. võrrandi mõlema poole korrutamine ja/või jagamine nullist erineva arvuga
4. sama arvu või avaldise mõlemalt poolt liitmine ja/või lahutamine*

Näide 1:
(avame sulgud)
(lisada mõlemale osale ja lahutada/üle kanda, muutes numbri märki vasakule ja muutujaid paremale)
(anname sarnaseid)
(jaga võrrandi mõlemad pooled 3-ga)

Nii saame võrrandi, millel on samad juured kui algsel. Tuletagem seda lugejale meelde "lahendage võrrand"- tähendab kõigi selle juurte leidmist ja tõestamist, et teisi pole, ja "võrrandi juur"- see on arv, mis kui asendada tundmatuga, muudab võrrandi tõeliseks võrdsuseks. Noh, viimases võrrandis on sellise arvu leidmine, mis muudab võrrandi tõeliseks võrduseks, väga lihtne - see on arv. Ükski teine ​​arv ei anna selle võrrandi alusel identiteeti. Vastus:

Näide 2:
(korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga , olles veendunud, et me ei korruta : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(avame sulgud)
(liigendame tingimusi)
(anname sarnaseid)
(jagame mõlemad osad arvuga )

Umbes nii lahendatakse kõik lineaarvõrrandid. Noorematele lugejatele tundus see selgitus tõenäoliselt keeruline, seega pakume välja versiooni "lineaarvõrrandid 5. klassi jaoks"

Jne on loogiline tutvuda teist tüüpi võrranditega. Järgmised on järjekorras lineaarvõrrandid, mille sihipärane õpe algab algebratundides 7. klassis.

On selge, et kõigepealt peate selgitama, mis on lineaarvõrrand, andma lineaarvõrrandi definitsiooni, selle koefitsiendid, näitama seda üldine vorm. Seejärel saate aru saada, mitu lahendust lineaarvõrrandil on sõltuvalt koefitsientide väärtustest ja kuidas juured leitakse. See võimaldab teil liikuda näidete lahendamise juurde ja seeläbi õpitud teooriat kinnistada. Selles artiklis teeme seda: käsitleme üksikasjalikult kõiki lineaarvõrrandite ja nende lahendustega seotud teoreetilisi ja praktilisi punkte.

Ütleme kohe, et siin käsitleme ainult ühe muutujaga lineaarseid võrrandeid ja eraldi artiklis uurime lahenduspõhimõtteid kahe muutujaga lineaarvõrrandid.

Leheküljel navigeerimine.

Mis on lineaarvõrrand?

Lineaarvõrrandi definitsiooni annab selle kirjutamisviis. Veelgi enam, erinevates matemaatika- ja algebraõpikutes on lineaarvõrrandite definitsioonide sõnastustes mõningaid erinevusi, mis ei mõjuta probleemi olemust.

Näiteks Yu. N. Makarychevi jt algebraõpikus 7. klassile on lineaarvõrrand defineeritud järgmiselt:

Definitsioon.

Vormi võrrand a x=b, kus x on muutuja, a ja b on mõned arvud, kutsutakse ühe muutujaga lineaarvõrrand.

Toome näiteid antud definitsioonile vastavatest lineaarvõrranditest. Näiteks 5 x = 10 on lineaarvõrrand ühe muutujaga x, siin on koefitsient a 5 ja arv b on 10. Teine näide: −2.3·y=0 on samuti lineaarne võrrand, kuid muutujaga y, milles a=−2.3 ja b=0. Ja lineaarsetes võrrandites x=-2 ja -x=3,33 a ei esine eksplitsiitselt ja on vastavalt 1 ja -1, samas kui esimeses võrrandis b=-2 ja teises - b=3,33.

Ja aasta varem, N. Ya. Vilenkini matemaatikaõpikus, käsitleti ühe tundmatuga lineaarvõrrandeid lisaks võrranditele kujul a x = b ka võrrandeid, mida saab sellesse vormi viia terminite ühest osast ülekandmisega. võrrandi teisendamiseks vastupidise märgiga, samuti taandades sarnaseid termineid. Selle definitsiooni järgi võrrandid kujul 5 x = 2 x + 6 jne. ka lineaarne.

A. G. Mordkovichi 7. klassi algebraõpikus on omakorda antud järgmine määratlus:

Definitsioon.

Lineaarvõrrand ühe muutujaga x on võrrand kujul a·x+b=0, kus a ja b on mõned arvud, mida nimetatakse lineaarvõrrandi kordajateks.

Näiteks seda tüüpi lineaarvõrrandid on 2 x−12=0, siin on koefitsient a 2 ja b võrdne −12 ning 0,2 y+4,6=0 koefitsientidega a=0,2 ja b =4,6. Kuid samas on näiteid lineaarvõrranditest, mille kuju on mitte a·x+b=0, vaid a·x=b, näiteks 3·x=12.

Et meil edaspidi lahknevusi ei tekiks, peame ühe muutujaga x ja koefitsientide a ja b lineaarvõrrandi all silmas võrrandit kujul a x + b = 0. Seda tüüpi lineaarvõrrandid näivad olevat kõige õigustatud, kuna lineaarvõrrandid on nii algebralised võrrandid esimene kraad. Ja kõiki teisi ülalnimetatud võrrandeid, samuti võrrandeid, mis samaväärsete teisenduste abil taandatakse kujule a x + b = 0, kutsume esile võrrandid, mis taanduvad lineaarseteks võrranditeks. Selle lähenemisviisi korral on võrrand 2 x+6=0 lineaarne võrrand ja 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12 jne. - Need on võrrandid, mis taanduvad lineaarseteks.

Kuidas lahendada lineaarvõrrandeid?

Nüüd on aeg välja mõelda, kuidas lahendatakse lineaarvõrrandid a·x+b=0. Teisisõnu, on aeg välja selgitada, kas lineaarvõrrandil on juured ja kui on, siis kui palju neid ja kuidas neid leida.

Lineaarvõrrandi juurte olemasolu sõltub koefitsientide a ja b väärtustest. Sel juhul on lineaarvõrrand a x+b=0

• ainus juur väärtusele a≠0,
• ei oma juure a=0 ja b≠0,
• a=0 ja b=0 korral on lõpmatult palju juuri, sel juhul on mis tahes arv lineaarvõrrandi juur.

Selgitame, kuidas need tulemused saadi.

Teame, et võrrandite lahendamiseks saame liikuda algsest võrrandist samaväärsetele võrranditele, st samade juurtega võrranditele või, nagu algne, ilma juurteta. Selleks saate kasutada järgmisi samaväärseid teisendusi:

• termini ülekandmine võrrandi ühelt küljelt teisele vastupidise märgiga,
• samuti võrrandi mõlema poole korrutamine või jagamine sama nullist erineva arvuga.

Seega saame lineaarvõrrandis ühe muutujaga kujul a·x+b=0 nihutada termini b vasakult küljelt vastupidise märgiga paremale poole. Sel juhul on võrrand kujul a·x=−b.

Ja siis tekib küsimus võrrandi mõlema poole jagamisest arvuga a. Kuid on üks asi: arv a võib olla võrdne nulliga, sel juhul on selline jagamine võimatu. Selle probleemi lahendamiseks eeldame esmalt, et arv a ei ole null, ja nulliga võrdse olendi juhtumit käsitleme veidi hiljem eraldi.

Seega, kui a ei ole võrdne nulliga, saame võrrandi a·x=−b mõlemad pooled jagada a-ga, mille järel see teisendatakse kujule x=(−b):a, selle tulemuse saab kirjutatud kasutades murdkriipsu as.

Seega on a≠0 korral lineaarvõrrand a·x+b=0 ekvivalentne võrrandiga, millest on näha selle juur.

Seda on lihtne näidata, et see juur on ainulaadne, see tähendab, et lineaarvõrrandil pole muid juuri. See võimaldab teil teha vastupidist meetodit.

Tähistame juurt kui x 1. Oletame, et lineaarvõrrandil on veel üks juur, mida tähistame kui x 2 ja x 2 ≠x 1, mis tulenevalt võrdsete arvude määramine erinevuse kaudu on samaväärne tingimusega x 1 −x 2 ≠0. Kuna x 1 ja x 2 on lineaarvõrrandi a·x+b=0 juured, siis kehtivad arvulised võrrandid a·x 1 +b=0 ja a·x 2 +b=0. Nende võrrandite vastavad osad saame lahutada, mida arvuliste võrrandite omadused võimaldavad, saame a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, millest a·(x 1 −x 2)+(b−b)=0 ja siis a·(x 1 −x 2)=0 . Kuid see võrdsus on võimatu, kuna nii a≠0 kui ka x 1 − x 2 ≠0. Seega jõudsime vastuoluni, mis tõestab lineaarvõrrandi a·x+b=0 juure unikaalsust a≠0 korral.

Seega lahendasime lineaarvõrrandi a·x+b=0, kui a≠0. Selle lõigu alguses antud esimene tulemus on põhjendatud. Järele on jäänud veel kaks, mis vastavad tingimusele a=0.

Kui a=0, on lineaarvõrrand a·x+b=0 kujul 0·x+b=0. Sellest võrrandist ja arvude nulliga korrutamise omadusest järeldub, et olenemata sellest, millist arvu me x-iks võtame, saadakse selle võrrandisse 0 x + b=0 asendamisel arvuline võrdus b=0. See võrdsus on tõene, kui b=0, ja muudel juhtudel, kui b≠0, on see võrdsus väär.

Seetõttu on a=0 ja b=0 korral suvaline arv lineaarvõrrandi a·x+b=0 juur, kuna nendel tingimustel annab suvalise arvu asendamine x-ga õige arvulise võrrandi 0=0. Ja kui a=0 ja b≠0, pole lineaarvõrrandil a·x+b=0 juuri, kuna nendes tingimustes viib suvalise arvu asendamine x asemel vale numbrilise võrrandini b=0.

Antud põhjendused võimaldavad sõnastada tegevuste jada, mis võimaldab lahendada mis tahes lineaarvõrrandi. Niisiis, algoritm lineaarvõrrandi lahendamiseks on:

• Esiteks, kirjutades lineaarse võrrandi, leiame koefitsientide a ja b väärtused.
• Kui a=0 ja b=0, siis sellel võrrandil on lõpmatult palju juuri, nimelt on suvaline arv selle lineaarvõrrandi juur.
• Kui a ei ole null, siis
• koefitsient b kantakse üle vastupidise märgiga paremale ja lineaarvõrrand teisendatakse kujule a·x=-b,
• mille järel saadud võrrandi mõlemad pooled jagatakse nullist erineva arvuga a, mis annab algse lineaarvõrrandi soovitud juure.

Kirjalik algoritm on põhjalik vastus küsimusele, kuidas lahendada lineaarvõrrandeid.

Selle punkti lõpetuseks tasub öelda, et sarnast algoritmi kasutatakse võrrandite lahendamiseks kujul a·x=b. Selle erinevus seisneb selles, et kui a≠0, jagatakse võrrandi mõlemad pooled kohe selle arvuga, siin on b juba võrrandi vajalikus osas ja seda pole vaja üle kanda.

Vorm a x = b võrrandite lahendamiseks kasutatakse järgmist algoritmi:

• Kui a=0 ja b=0, siis on võrrandil lõpmatult palju juuri, mis on suvalised arvud.
• Kui a=0 ja b≠0, siis algsel võrrandil pole juuri.
• Kui a on nullist erinev, siis jagatakse võrrandi mõlemad pooled nullist erineva arvuga a, millest leitakse võrrandi ainus juur, mis on võrdne b/a-ga.

Näited lineaarvõrrandite lahendamisest

Liigume edasi praktika juurde. Vaatame, kuidas kasutatakse lineaarvõrrandite lahendamise algoritmi. Anname lahendused tüüpilistele näidetele, mis vastavad erinevad tähendused lineaarvõrrandite koefitsiendid.

Näide.

Lahendage lineaarvõrrand 0·x−0=0.

Lahendus.

Selles lineaarses võrrandis on a=0 ja b=−0, mis on sama, mis b=0 . Seetõttu on sellel võrrandil lõpmatult palju juuri; iga arv on selle võrrandi juur.

Vastus:

x – suvaline arv.

Näide.

Kas lineaarvõrrandil 0 x + 2,7 = 0 on lahendused?

Lahendus.

Sel juhul on koefitsient a võrdne nulliga ja selle lineaarvõrrandi koefitsient b on võrdne 2,7, st erineb nullist. Seetõttu pole lineaarvõrrandil juuri.

Selles videos analüüsime tervet rida lineaarvõrrandeid, mis lahendatakse sama algoritmi abil – seepärast nimetatakse neid ka kõige lihtsamateks.

Kõigepealt defineerime: mis on lineaarvõrrand ja millist nimetatakse kõige lihtsamaks?

Lineaarvõrrand on selline, milles on ainult üks muutuja ja ainult esimese astmeni.

Lihtsaim võrrand tähendab konstruktsiooni:

Kõik muud lineaarvõrrandid taandatakse algoritmi abil lihtsaimaks:

1. Laiendage sulgusid, kui need on olemas;
2. Liigutage muutujat sisaldavad terminid võrdusmärgi ühele küljele ja ilma muutujata terminid teisele poole;
3. Andke võrdusmärgist vasakule ja paremale sarnased terminid;
4. Jagage saadud võrrand muutuja $x$ koefitsiendiga.

Loomulikult ei aita see algoritm alati. Fakt on see, et mõnikord osutub pärast kõiki neid mahhinatsioone muutuja $x$ koefitsient võrdseks nulliga. Sel juhul on kaks võimalust:

1. Võrrandil pole üldse lahendeid. Näiteks kui midagi sellist nagu $0\cdot x=8$ selgub, s.t. vasakul on null ja paremal on nullist erinev arv. Allolevas videos vaatleme mitmeid põhjuseid, miks selline olukord on võimalik.
2. Lahenduseks on kõik numbrid. Ainus juhtum, kui see on võimalik, taandatakse võrrand konstruktsiooniks $0\cdot x=0$. On täiesti loogiline, et ükskõik, millise $x$ me asendame, selgub ikkagi “null võrdub nulliga”, s.t. õige arvuline võrdsus.

Nüüd vaatame, kuidas see kõik toimib, kasutades reaalseid näiteid.

Näited võrrandite lahendamisest

Tänapäeval käsitleme lineaarseid võrrandeid ja ainult kõige lihtsamaid. Üldiselt tähendab lineaarvõrrand mis tahes võrdsust, mis sisaldab täpselt ühte muutujat, ja see läheb ainult esimese astmeni.

Sellised konstruktsioonid lahendatakse ligikaudu samal viisil:

1. Kõigepealt peate laiendama sulgusid, kui neid on (nagu meie viimases näites);
2. Seejärel ühendage sarnased
3. Lõpuks isoleeri muutuja, st. liigutage kõik muutujaga seonduv – selle sisalduvad terminid – ühele poole ja kõik, mis jääb ilma muutujata, teisele poole.

Siis tuleb reeglina saadud võrdsust mõlemale poole tuua sarnased ja pärast seda jääb üle vaid jagada koefitsiendiga “x” ja saame lõpliku vastuse.

Teoreetiliselt tundub see kena ja lihtne, kuid praktikas võivad isegi kogenud keskkooliõpilased üsna lihtsates lineaarvõrrandites solvavaid vigu teha. Tavaliselt tehakse vigu kas sulgude avamisel või plusside ja miinuste arvutamisel.

Lisaks juhtub, et lineaarvõrrandil pole lahendeid üldse või on lahendiks terve arvsirge, s.t. suvaline number. Vaatleme neid peensusi tänases õppetükis. Kuid me alustame, nagu te juba aru saite, kõigest lihtsaid ülesandeid.

Lihtsamate lineaarvõrrandite lahendamise skeem

Esiteks lubage mul veel kord kirjutada kogu skeem kõige lihtsamate lineaarvõrrandite lahendamiseks:

1. Laiendage sulgusid, kui need on olemas.
2. Isoleerime muutujad, st. Me liigutame kõik, mis sisaldab X-i, ühele poole ja kõik ilma X-ita teisele poole.
3. Esitame sarnased terminid.
4. Jagame kõik koefitsiendiga “x”.

Muidugi ei tööta see skeem alati, selles on teatud peensusi ja nippe ning nüüd õpime neid tundma.

Lihtsate lineaarvõrrandite reaalsete näidete lahendamine

Ülesanne nr 1

Esimene samm nõuab sulgude avamist. Kuid need pole selles näites, seega jätame selle sammu vahele. Teises etapis peame muutujad isoleerima. Pange tähele: me räägime ainult üksikutest terminitest. Paneme selle kirja:

Esitame sarnaseid termineid vasakul ja paremal, kuid seda on siin juba tehtud. Seetõttu liigume edasi neljanda sammu juurde: jagage koefitsiendiga:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Nii et saime vastuse.

Ülesanne nr 2

Näeme selles ülesandes sulgusid, seega laiendame neid:

Nii vasakul kui ka paremal näeme ligikaudu sama kujundust, kuid tegutseme algoritmi järgi, s.t. muutujate eraldamine:

Siin on mõned sarnased:

Millistel juurtel see toimib? Vastus: igale. Seetõttu võime kirjutada, et $x$ on suvaline arv.

Ülesanne nr 3

Kolmas lineaarvõrrand on huvitavam:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Siin on mitu sulgu, kuid neid ei korruta mitte millegagi, neile lihtsalt eelnevad erinevad märgid. Jagame need lahti:

Teostame meile juba teadaoleva teise sammu:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Teeme matemaatika:

Viime läbi viimase sammu - jagame kõik koefitsiendiga “x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Asjad, mida lineaarvõrrandite lahendamisel meeles pidada

Kui ignoreerime liiga lihtsaid ülesandeid, tahaksin öelda järgmist:

• Nagu ma eespool ütlesin, ei ole igal lineaarvõrrandil lahendust – mõnikord pole lihtsalt juuri;
• Isegi kui juured on olemas, võib nende hulgas olla null - selles pole midagi halba.

Null on sama number kui teised; te ei tohiks seda mingil viisil diskrimineerida ega eeldada, et kui saate nulli, siis tegite midagi valesti.

Teine omadus on seotud sulgude avamisega. Pange tähele: kui nende ees on "miinus", eemaldame selle, kuid sulgudes muudame märgid vastupidine. Ja siis saame selle avada standardsete algoritmide abil: saame selle, mida nägime ülaltoodud arvutustes.

Sellest aru saades lihtne fakt võimaldab teil vältida rumalaid ja solvavaid vigu keskkoolis, kui selliseid tegusid peetakse iseenesestmõistetavaks.

Keeruliste lineaarvõrrandite lahendamine

Liigume edasi keerukamate võrrandite juurde. Nüüd muutuvad konstruktsioonid keerukamaks ja erinevate teisenduste tegemisel tekib ruutfunktsioon. Seda ei tasu aga karta, sest kui autori plaani kohaselt lahendame lineaarvõrrandit, siis teisendusprotsessi käigus tühistatakse kindlasti kõik ruutfunktsiooni sisaldavad monoomid.

Näide nr 1

Ilmselt on esimene samm sulgude avamine. Teeme seda väga hoolikalt:

Vaatame nüüd privaatsust:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Siin on mõned sarnased:

Ilmselgelt pole sellel võrrandil lahendusi, seega kirjutame vastusesse selle:

\[\varnothing\]

või pole juuri.

Näide nr 2

Teeme samu toiminguid. Esimene samm:

Liigutame kõik muutujaga vasakule ja ilma selleta paremale:

Siin on mõned sarnased:

Ilmselgelt pole sellel lineaarsel võrrandil lahendust, seega kirjutame selle järgmiselt:

\[\varnothing\],

või pole juuri.

Lahenduse nüansid

Mõlemad võrrandid on täielikult lahendatud. Neid kahte avaldist näitena kasutades veendusime taas, et isegi kõige lihtsamates lineaarvõrrandites ei pruugi kõik nii lihtne olla: juuri võib olla kas üks või mitte ükski või lõpmatult palju juuri. Meie puhul käsitlesime kahte võrrandit, mõlemal lihtsalt pole juuri.

Kuid juhin teie tähelepanu veel ühele asjaolule: kuidas töötada sulgudega ja kuidas neid avada, kui nende ees on miinusmärk. Mõelge sellele väljendile:

Enne avamist peate kõik korrutama X-ga. Pange tähele: korrutab iga üksiku terminiga. Sees on kaks terminit - vastavalt kaks terminit ja korrutatud.

Ja alles pärast seda, kui need näiliselt elementaarsed, kuid väga olulised ja ohtlikud teisendused on lõpule viidud, saate avada sulg selle seisukohast, et selle järel on miinusmärk. Jah, jah: alles nüüd, kui teisendused on lõpetatud, meenub, et sulgude ees on miinusmärk, mis tähendab, et kõik allpool lihtsalt muudab märke. Samal ajal kaovad klambrid ise ja mis kõige tähtsam, kaob ka eesmine "miinus".

Teeme sama teise võrrandiga:

Pole juhus, et ma pööran neile väikestele, pealtnäha tähtsusetutele faktidele tähelepanu. Sest võrrandite lahendamine on alati elementaarsete teisenduste jada, kus suutmatus lihtsaid toiminguid selgelt ja asjatundlikult sooritada viib selleni, et minu juurde tulevad gümnasistid ja õpivad jälle nii lihtsaid võrrandeid lahendama.

Muidugi tuleb päev, mil lihvid need oskused automaatsuseni. Enam ei pea te iga kord nii palju teisendusi tegema, vaid kirjutate kõik ühele reale. Kuid õppimise ajal peate iga toimingu eraldi kirjutama.

Veelgi keerukamate lineaarvõrrandite lahendamine

Seda, mida me praegu lahendame, võib vaevalt nimetada kõige lihtsamaks ülesandeks, kuid tähendus jääb samaks.

Ülesanne nr 1

\[\vasak(7x+1 \parem)\vasak(3x-1 \parem)-21((x)^(2))=3\]

Korrutame kõik esimeses osas olevad elemendid:

Teeme natuke privaatsust:

Siin on mõned sarnased:

Lõpetame viimase sammu:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Siin on meie lõplik vastus. Ja hoolimata asjaolust, et lahendamise käigus olid meil ruutfunktsiooniga koefitsiendid, tühistasid need üksteist, mis muudab võrrandi lineaarseks, mitte ruutkeskseks.

Ülesanne nr 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Teeme esimese sammu hoolikalt läbi: korrutage iga element esimesest sulust iga teise elemendiga. Pärast teisendusi peaks olema kokku neli uut terminit:

Nüüd tehkem hoolikalt iga liikme korrutamist:

Liigutame terminid "X"-ga vasakule ja ilma - paremale:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Siin on sarnased terminid:

Taaskord oleme saanud lõpliku vastuse.

Lahenduse nüansid

Kõige olulisem märkus nende kahe võrrandi kohta on järgmine: niipea kui hakkame korrutama sulgusid, mis sisaldavad rohkem kui ühte liiget, tehakse seda järgmise reegli järgi: võtame esimese liikme esimesest ja korrutame iga elemendiga alates teine; siis võtame esimesest teise elemendi ja korrutame samamoodi iga teise elemendiga. Selle tulemusena on meil neli ametiaega.

Algebralise summa kohta

Selle viimase näitega tahaksin õpilastele meelde tuletada, mida algebraline summa. Klassikalises matemaatikas peame 1–7 $ all silmas lihtsat konstruktsiooni: lahutada ühest seitse. Algebras peame selle all silmas järgmist: arvule “üks” lisame veel ühe arvu, nimelt “miinus seitse”. Nii erineb algebraline summa tavalisest aritmeetilisest summast.

Niipea, kui kõigi teisenduste, iga liitmise ja korrutamise sooritamisel hakkate nägema ülalkirjeldatutega sarnaseid konstruktsioone, pole polünoomide ja võrranditega töötamisel algebras probleeme.

Lõpuks vaatame veel paari näidet, mis on veelgi keerukamad kui need, mida just vaatlesime, ja nende lahendamiseks peame oma standardset algoritmi veidi laiendama.

Võrrandite lahendamine murdarvudega

Selliste ülesannete lahendamiseks peame oma algoritmile lisama veel ühe sammu. Kuid kõigepealt tuletan teile meelde meie algoritmi:

1. Avage klambrid.
2. Eraldi muutujad.
3. Tooge sarnased.
4. Jagage suhtega.

Kahjuks ei osutu see imeline algoritm kogu oma tõhususe juures täiesti sobivaks, kui meie ees on murded. Ja selles, mida me allpool näeme, on mõlemas võrrandis nii vasakul kui ka paremal murdosa.

Kuidas sel juhul töötada? Jah, see on väga lihtne! Selleks tuleb algoritmile lisada veel üks samm, mida saab teha nii enne kui ka pärast esimest toimingut, nimelt murdudest vabanemist. Nii et algoritm on järgmine:

1. Vabane murdosadest.
2. Avage klambrid.
3. Eraldi muutujad.
4. Tooge sarnased.
5. Jagage suhtega.

Mida tähendab "murdudest vabanemine"? Ja miks saab seda teha nii pärast kui ka enne esimest standardset sammu? Tegelikult on meie puhul kõik murrud oma nimetajas numbrilised, s.t. Kõikjal on nimetaja vaid number. Seega, kui me korrutame võrrandi mõlemad pooled selle arvuga, vabaneme murdosadest.

Näide nr 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Vabaneme selle võrrandi murdudest:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Pange tähele: kõik korrutatakse “neljaga” üks kord, st. see, et sul on kaks sulgu, ei tähenda, et pead kumbki korrutama "neljaga". Paneme kirja:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Nüüd laiendame:

Eraldame muutuja:

Vähendame sarnaseid termineid:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Saime lõpplahenduse kätte, liigume edasi teise võrrandi juurde.

Näide nr 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Siin teostame kõik samad toimingud:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Probleem on lahendatud.

See on tegelikult kõik, mida ma teile täna öelda tahtsin.

Võtmepunktid

Peamised leiud on järgmised:

• Teadma lineaarvõrrandite lahendamise algoritmi.
• Sulgude avamise võimalus.
• Ärge muretsege, kui näete ruutfunktsioonid, tõenäoliselt vähenevad need edasiste transformatsioonide käigus.
• Lineaarvõrrandites on kolme tüüpi juuri, isegi kõige lihtsamates: üks juur, kogu arvurida on juur ja mitte ühtegi juurt.

Loodan, et see õppetund aitab teil omandada lihtsa, kuid väga olulise teema kogu matemaatika edasiseks mõistmiseks. Kui midagi pole selge, minge saidile ja lahendage seal esitatud näited. Püsige lainel, palju muud huvitavat ootab teid!

Lineaarvõrrandid. Lahendus, näited.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")

Lineaarvõrrandid.

Lineaarvõrrandid pole kõige keerulisem teema koolimatemaatika. Kuid seal on mõned nipid, mis võivad isegi koolitatud õpilast mõistatada. Mõtleme selle välja?)

Tavaliselt määratletakse lineaarvõrrand järgmise vormi võrrandina:

kirves + b = 0 Kus a ja b- suvalised numbrid.

2x + 7 = 0. Siin a = 2, b = 7

0,1x - 2,3 = 0 siin a = 0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 Siin a = 12, b = 1/2

Pole midagi keerulist, eks? Eriti kui te ei märka sõnu: "kus a ja b on suvalised arvud"... Ja kui märkad ja hoolimatult mõtled?) Lõppude lõpuks, kui a=0, b = 0(kõik numbrid on võimalikud?), siis saame naljaka väljendi:

Kuid see pole veel kõik! Kui ütleme, a=0, A b = 5, See osutub millekski täiesti ebatavaliseks:

Mis on tüütu ja õõnestab usaldust matemaatika vastu, jah...) Eriti eksamite ajal. Kuid nende kummaliste väljendite hulgast tuleb leida ka X! Mida pole üldse olemas. Ja üllataval kombel on seda X-i väga lihtne leida. Õpime seda tegema. Selles õppetükis.

Kuidas lineaarvõrrandit välimuse järgi ära tunda? Oleneb välimusest.) Nipp seisneb selles, et lineaarvõrrandid ei ole ainult vormi võrrandid. kirves + b = 0 , aga ka mis tahes võrrandeid, mida saab teisenduste ja lihtsustustega sellisele kujule taandada. Ja kes teab, kas see tuleb alla või mitte?)

Lineaarvõrrandi saab mõnel juhul selgelt ära tunda. Oletame, et kui meil on võrrand, milles on ainult esimese astme tundmatud ja arvud. Ja võrrandis pole seda murrud jagatud teadmata , see on tähtis! Ja jagamine number, või murdosa – see on teretulnud! Näiteks:

See on lineaarne võrrand. Siin on murrud, kuid ruudus, kuubis jne pole x-i ja nimetajates pole x-i, s.t. Ei jagamine x-ga. Ja siin on võrrand

lineaarseks nimetada ei saa. Siin on X-id kõik esimesel astmel, kuid neid on jagamine avaldisega x-iga. Pärast lihtsustusi ja teisendusi saate lineaarvõrrandi, ruutvõrrandi või midagi, mis teile meeldib.

Selgub, et lineaarvõrrandit on mõnes keerulises näites võimatu ära tunda enne, kui olete selle peaaegu lahendanud. See on häiriv. Kuid ülesannetes reeglina ei küsita võrrandi vormi kohta, eks? Ülesanded nõuavad võrrandeid otsustama. See teeb mind õnnelikuks.)

Lineaarvõrrandite lahendamine. Näited.

Kogu lineaarvõrrandite lahendus koosneb võrrandite identsetest teisendustest. Muide, need teisendused (neist kaks!) on lahenduste aluseks kõik matemaatika võrrandid. Teisisõnu, lahendus ükskõik milline võrrand algab just nende teisendustega. Lineaarvõrrandite puhul põhineb see (lahend) neil teisendustel ja lõpeb täieliku vastusega. Mõttekas on jälgida linki, eks?) Pealegi on seal ka näiteid lineaarvõrrandite lahendamisest.

Esiteks vaatame kõige lihtsamat näidet. Ilma igasuguste lõksudeta. Oletame, et peame selle võrrandi lahendama.

x - 3 = 2 - 4x

See on lineaarne võrrand. X-d on kõik esimeses astmes, X-ga jagamist ei ole. Kuid tegelikult pole meie jaoks oluline, mis tüüpi võrrand see on. Peame selle lahendama. Siinne skeem on lihtne. Koguge võrrandi vasakus servas kõik, millel on X-id, paremal kõik, millel pole X-i (arvud).

Selleks peate üle kandma - 4x vasakule poole, märgivahetusega muidugi ja - 3 - paremale. Muide, see on võrrandite esimene identne teisendus.üllatunud? See tähendab, et te ei järginud linki, kuid asjata...) Saame:

x + 4x = 2 + 3

Siin on sarnased, kaalume:

Mida me vajame täielikuks õnneks? Jah, et vasakul oleks puhas X! Viis on teel. Viiest vabanemine abiga võrrandite teine ​​identne teisendus. Nimelt jagame võrrandi mõlemad pooled 5-ga. Saame valmis vastuse:

Elementaarne näide muidugi. See on soojenduseks.) Ei ole väga selge, miks mulle meenusid siin identsed teisendused? OKEI. Võtame härjal sarvist.) Otsustame midagi soliidsemat.

Näiteks siin on võrrand:

Kust me alustame? X-ga - vasakule, ilma X-ga - paremale? Võiks nii olla. Väikeste sammudega pikk tee. Või saate seda teha kohe, universaalselt ja võimsalt. Kui teie arsenalis on muidugi identsed võrrandite teisendused.

Esitan teile võtmeküsimuse: Mis sulle selle võrrandi juures kõige rohkem ei meeldi?

95 inimest 100-st vastavad: fraktsioonid ! Vastus on õige. Nii et laseme neist lahti. Seetõttu alustame kohe sellest teine ​​identiteedi transformatsioon. Mida on vaja vasakpoolse murru korrutamiseks, et nimetaja täielikult väheneks? See on õige, kell 3. Ja paremal? 4-ga. Kuid matemaatika võimaldab meil mõlemat poolt korrutada sama number. Kuidas me saame välja? Korrutame mõlemad pooled 12-ga! Need. ühisele nimetajale. Siis vähenevad nii kolm kui ka neli. Ärge unustage, et peate iga osa korrutama täielikult. Esimene samm näeb välja järgmine:

Sulgude laiendamine:

Märge! Lugeja (x+2) Panin sulgudesse! Seda seetõttu, et murdude korrutamisel korrutatakse kogu lugeja! Nüüd saate murde vähendada:

Laiendage ülejäänud sulud:

Mitte näide, vaid puhas rõõm!) Nüüd meenutagem loitsu alates nooremad klassid: X-ga - vasakule, ilma X-ga - paremale! Ja rakendage seda teisendust:

Siin on mõned sarnased:

Ja jaga mõlemad osad 25-ga, st. rakendage teist teisendust uuesti:

See on kõik. Vastus: X=0,16

Pange tähele: algse segase võrrandi kena vormi viimiseks kasutasime kahte (ainult kahte!) identiteedi transformatsioonid– tõlkimine vasakule-paremale koos märgi muutmise ja võrrandi sama arvuga korrutamise-jagamisega. See universaalne meetod! Töötame sel viisil koos ükskõik milline võrrandid! Absoluutselt ükskõik kes. Sellepärast kordan ma tüütult neid identseid teisendusi kogu aeg.)

Nagu näete, on lineaarvõrrandite lahendamise põhimõte lihtne. Võtame võrrandi ja lihtsustame seda identiteedi transformatsioonid enne vastuse saamist. Peamised probleemid on siin arvutustes, mitte lahenduse põhimõttes.

Aga... Kõige elementaarsemate lineaarvõrrandite lahendamise käigus on niisuguseid üllatusi, et need võivad sind tugevasse stuuporisse ajada...) Õnneks saab selliseid üllatusi olla vaid kaks. Nimetagem neid erijuhtumiteks.

Erijuhud lineaarvõrrandite lahendamisel.

Esimene üllatus.

Oletame, et kohtate väga lihtsat võrrandit, näiteks:

2x+3=5x+5 - 3x -2

Pisut igavledes liigutame selle X-ga vasakule, ilma X-ita - paremale... Märgivahetusega on kõik ideaalne... Saame:

2x-5x+3x=5-2-3

Loeme ja... oeh!!! Saame:

See võrdsus iseenesest ei ole taunitav. Null on tõesti null. Aga X on puudu! Ja me peame vastusesse kirjutama, millega x on võrdne? Muidu lahendus ei loe, eks...) Ummik?

Rahune! Sellistel kahtlastel juhtudel päästavad teid kõige üldisemad reeglid. Kuidas võrrandeid lahendada? Mida tähendab võrrandi lahendamine? See tähendab, leidke kõik x väärtused, mis algsesse võrrandisse asendatuna annavad meile õige võrdsuse.

Kuid meil on tõeline võrdsus juba juhtus! 0=0, kui palju täpsem?! Jääb üle välja mõelda, millistel x-del see juhtub. Milliste X väärtustega saab asendada originaal võrrand, kui need x-id kas need ikka nullitakse? Ole nüüd?)

Jah!!! X-d saab asendada ükskõik milline! Milliseid sa tahad? Vähemalt 5, vähemalt 0,05, vähemalt -220. Need kahanevad ikkagi. Kui te mind ei usu, saate seda kontrollida.) Asendage X mis tahes väärtused originaal võrrand ja arvutada. Kogu aeg saate puhta tõe: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 ja nii edasi.

Siin on teie vastus: x - suvaline arv.

Vastuse saab kirjutada erinevate matemaatiliste sümbolitega, olemus ei muutu. See on täiesti õige ja täielik vastus.

Teine üllatus.

Võtame sama elementaarlineaarvõrrandi ja muudame selles ainult ühte arvu. Selle otsustame:

2x+1=5x+5–3x–2

Pärast samu identseid teisendusi saame midagi intrigeerivat:

Nagu nii. Lahendasime lineaarvõrrandi ja saime kummalise võrrandi. Matemaatilises mõttes saime vale võrdsus. Ja rääkides lihtsas keeles, see ei ole tõsi. Märatsema. Kuid sellegipoolest on see jama väga hea põhjus võrrandi õigeks lahendamiseks.)

Jällegi mõtleme lähtuvalt üldreeglid. Mis x-id algsesse võrrandisse asendades meile annab tõsi võrdsus? Jah, mitte ühtegi! Selliseid X-e pole. Ükskõik, mida paned, kõik väheneb, jääb ainult jama.)

Siin on teie vastus: lahendusi pole.

See on ka täiesti täielik vastus. Matemaatikas leidub selliseid vastuseid sageli.

Nagu nii. Nüüd ma loodan, et X-ide kadumine mis tahes (mitte ainult lineaarse) võrrandi lahendamise protsessis ei aja teid üldse segadusse. See on juba tuttav asi.)

Nüüd, kui oleme käsitlenud kõiki lineaarvõrrandite lõkse, on mõttekas need lahendada.

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.