Maatriksi ruutvorm. Positiivsed kindlad ruutvormid

Ruutvormi mõiste. Ruutkujuline maatriks. Ruutvormi kanooniline vorm. Lagrange'i meetod. Ruutvormi normaalvorm. Ruutvormi aste, indeks ja signatuur. Positiivne kindel ruutvorm. Quadriks.

Ruutvormi mõiste: funktsioon vektorruumis, mis on antud vektori koordinaatides teise astme homogeense polünoomiga.

ruutvorm alates n teadmata nimetatakse summaks, mille iga liige on kas ühe neist tundmatutest ruut või kahe erineva tundmatu korrutis.

Ruutmaatriks: Maatriksit nimetatakse antud alusel ruutkuju maatriksiks. Kui välja tunnus ei ole võrdne 2-ga, võime eeldada, et ruutvormi maatriks on sümmeetriline, st .

Kirjutage ruutkujuline maatriks:

Järelikult

Vektormaatriksi kujul on ruutvorm järgmine:

A, kus

Ruutvormi kanooniline vorm: Ruutvormi nimetatakse kanooniliseks kui kõik st.

Iga ruutvormi saab taandada kanooniliseks vormiks, kasutades lineaarseid teisendusi. Praktikas kasutatakse tavaliselt järgmisi meetodeid.

Lagrange'i meetod : järjestikuste täisruutude valik. Näiteks kui

Seejärel tehakse sarnane protseduur ruutvormiga jne Kui ruutkujul kõik peale on siis pärast esialgset ümberkujundamist taandatakse asi käsitletavale menetlusele. Seega, kui näiteks siis seame

Ruutvormi tavavorm on: Tavaline ruutvorm on kanooniline ruutvorm, mille kõik koefitsiendid on võrdsed +1 või -1.

Ruutvormi järjestus, indeks ja signatuur: Ruutvormi aste AGA nimetatakse maatriksi auastmeks AGA. Ruutvormi aste ei muutu tundmatute mittedegeneratiivsete teisenduste korral.

Negatiivsete koefitsientide arvu nimetatakse negatiivse kujuindeksiks.

Positiivsete liikmete arvu kanoonilises vormis nimetatakse ruutvormi positiivseks inertsindeksiks, negatiivsete liikmete arvu negatiivseks indeksiks. Positiivsete ja negatiivsete indeksite erinevust nimetatakse ruutvormi signatuuriks

Positiivne kindel ruutvorm: Tõeline ruutvorm nimetatakse positiivseks-kindlaks (negatiivseks-kindlaks), kui muutujate mis tahes tegelike väärtuste korral, mis ei ole samaaegselt nullid,

. (36)

Sel juhul nimetatakse maatriksit ka positiivseks kindlaks (negatiivseks kindlaks).

Positiivsete-kindlate (negatiivsete-kindlate) vormide klass on osa mittenegatiivsete (vastavalt mittepositiivsete) vormide klassist.

Nelikrattad: ruudukujuline - n-mõõtmeline hüperpind sisse n+1-mõõtmeline ruum, defineeritud kui teise astme polünoomi nullide hulk. Kui sisestate koordinaadid ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (eukleidilises või afiinses ruumis), üldvõrrand nelinurksel on vorm

Selle võrrandi saab maatriksmärgistuses kompaktsemalt ümber kirjutada:

kus x = ( x 1 , x 2 , x n+1) on reavektor, x T on transponeeritud vektor, K on suuruse maatriks ( n+1)×( n+1) (eeldatakse, et vähemalt üks selle elementidest on nullist erinev), P on reavektor ja R on konstant. Enamasti käsitletakse nelinurki reaal- või kompleksarvude kohal. Definitsiooni saab laiendada nelinurksetele projektiivses ruumis, vt allpool.

Üldisemalt nimetatakse polünoomvõrrandisüsteemi nullide hulka algebraliseks variatsiooniks. Seega on nelinurk teise astme ja 1. kodimensioniga (afiinne või projektiivne) algebraline variatsioon.

Tasapinna ja ruumi teisendused.

Tasapinnalise teisenduse määratlus. Liikumise määratlus. liikumisomadused. Kahte tüüpi liigutusi: esimest tüüpi liikumine ja teist tüüpi liikumine. Liikumise näited. Liikumise analüütiline väljendus. Tasapinnaliste liikumiste klassifikatsioon (olenevalt fikseeritud punktide ja muutumatute joonte olemasolust). Tasapinnaliste liikumiste rühm.

Tasapinnalise teisenduse definitsioon: Definitsioon. Nimetatakse tasanditeisendust, mis säilitab punktidevahelise kauguse liikumine(või nihe). Tasapinnalist teisendust nimetatakse afiinne, kui see võtab mis tahes kolm samal sirgel asuvat punkti kolme punktini, mis asuvad samal sirgel, ja säilitab samal ajal kolme punkti lihtsa seose.

Liikumise määratlus: See on kujundi teisendus, mis säilitab punktidevahelised kaugused. Kui kaks kujundit on liikumise abil täpselt omavahel ühendatud, siis on need kujundid ühesugused, võrdsed.

Liikumise omadused: tasapinna iga orientatsiooni säilitav liikumine on kas paralleelne translatsioon või pöörlemine; tasapinna iga orientatsiooni muutev liikumine on kas teljesuunaline või libisev sümmeetria. Sirgel asetsevad punktid lähevad liikumisel üle sirgjoonel asuvateks punktideks ja säilib nende omavaheline paigutus. Liikumisel säilivad pooljoonte vahelised nurgad.

Kahte tüüpi liigutusi: esimest tüüpi liikumine ja teist tüüpi liikumine: Esimest tüüpi liigutused on need liigutused, mis säilitavad teatud figuuri aluste orientatsiooni. Neid saab realiseerida pidevate liigutustega.

Teist tüüpi liigutused on liigutused, mis muudavad aluste orientatsiooni vastupidiseks. Neid ei saa realiseerida pidevate liigutustega.

Esimest tüüpi liikumiste näideteks on translatsioon ja pöörlemine ümber sirgjoone ning teist tüüpi liigutused on kesksed ja peegelsümmeetriad.

Mis tahes arvu esimest tüüpi liikumiste koosseis on esimest tüüpi liikumine.

Teist liiki paaritu arvu liigutuste koosseis on 1. liigi liigutus ja paaritu arvu 2. tüüpi liigutuste koosseis on 2. liigi liigutus.

Liikumise näited:Paralleelne ülekanne. Olgu a antud vektor. Paralleelülekanne vektorile a on tasandi kaardistamine iseendaga, milles iga punkt M on kaardistatud punktiga M 1, et vektor MM 1 võrdub vektoriga a.

Paralleeltõlge on liikumine, sest see on tasapinna kaardistamine iseendaga, säilitades vahemaid. Visuaalselt saab seda liikumist kujutada kogu tasandi nihkena antud vektori a suunas selle pikkuse järgi.

Pöörake. Määrake punkt O tasapinnal ( pöördekeskus) ja seadke nurk α ( pöördenurk). Tasapinna pööramine ümber punkti O nurga α võrra on tasandi kaardistamine iseendaga, milles iga punkt M on kaardistatud punktiga M 1, et OM = OM 1 ja nurk MOM 1 võrdub α. Sel juhul jääb punkt O oma kohale, st kuvatakse see iseenesest ja kõik ülejäänud punktid pöörlevad ümber punkti O samas suunas - päri- või vastupäeva (joonis näitab vastupäeva).

Pööre on liikumine, sest see on tasapinna kaardistamine iseendaga, mis säilitab vahemaad.

Liikumise analüütiline väljendus: eelkujutise ja punkti kujutise koordinaatide vaheline analüütiline seos on kujul (1).

Tasapinnaliste liikumiste klassifikatsioon (olenevalt fikseeritud punktide ja muutumatute joonte olemasolust): Definitsioon:

Tasapinna punkt on muutumatu (fikseeritud), kui ta teiseneb antud teisenduse käigus iseendaks.

Näide: millal keskne sümmeetria sümmeetriakeskme punkt on muutumatu. Pööramisel on pöörlemiskeskme punkt muutumatu. Telgsümmeetria korral on joon muutumatu – sümmeetriatelg on muutumatute punktide joon.

Teoreem: Kui liikumisel ei ole muutumatut punkti, siis on sellel vähemalt üks muutumatu suund.

Näide: paralleelne ülekanne. Tõepoolest, selle suunaga paralleelsed jooned on tervikuna muutumatud, kuigi see ei koosne muutumatutest punktidest.

Teoreem: Kui mõni kiir liigub, siis kiir muundub iseendaks, siis on see liikumine kas identne teisendus või sümmeetria antud kiirt sisaldava sirge suhtes.

Seetõttu on muutumatute punktide või kujundite olemasolu järgi võimalik liigutusi klassifitseerida.

Lennuki liikumise rühm: Geomeetrias mängivad olulist rolli figuuride enesekokkulangevuse rühmad. Kui - mõni kujund tasapinnal (või ruumis), siis võime vaadelda kõigi nende tasandi (või ruumi) liikumiste kogumit, milles kujund läheb iseendasse.

See komplekt on rühm. Näiteks võrdkülgse kolmnurga puhul koosneb tasapinnaliste liikumiste rühm, mis võtab kolmnurga endasse, 6 elemendist: pöörded nurkade kaupa ümber punkti ja sümmeetriad kolme sirge suhtes.

Need on näidatud joonisel fig. 1 punaste joontega. Korrapärase kolmnurga enesekokkulangevusrühma elemente saab täpsustada ka muul viisil. Selle selgitamiseks nummerdame tavalise kolmnurga tipud numbritega 1, 2, 3. saab tinglikult sisestada ühe järgmistest sulgudest:

jne.

kus numbrid 1, 2, 3 tähistavad nende tippude numbreid, millesse vaadeldava liikumise tulemusena tipud 1, 2, 3 lähevad.

Projektiivsed ruumid ja nende mudelid.

Projektiivse ruumi kontseptsioon ja projektiivse ruumi mudel. Projektiivse geomeetria põhitõed. Punktis O tsentreeritud joonte hunnik on projektiivne tasapinna mudel. projektiivsed punktid. Laiendatud tasapind on projektiivse tasandi mudel. Laiendatud kolmemõõtmeline afiinne ehk eukleidiline ruum on projektiivne ruumimudel. Tasapinnaliste ja ruumiliste kujundite kujutised paralleelkujunduses.

Projektiivse ruumi kontseptsioon ja projektiivse ruumi mudel:

Projektiivne ruum üle välja on ruum, mis koosneb mingi lineaarruumi joontest (ühemõõtmelistest alamruumidest) antud välja kohal. Sirgeid ruume nimetatakse punktid projektiivne ruum. See määratlus sobib üldistamiseks suvaliseks kehaks

Kui sellel on dimensioon , siis projektiivse ruumi dimensiooni nimetatakse arvuks ning projektiivset ruumi ennast tähistatakse ja seostatakse sellega (selle näitamiseks võetakse tähistus kasutusele).

Üleminekut mõõtmete vektorruumist vastavasse projektiivsesse ruumi nimetatakse projektiviseerimine ruumid.

Punkte saab kirjeldada homogeensete koordinaatide abil.

Projektiivse geomeetria põhitõed: Projektiivne geomeetria on geomeetria haru, mis uurib projektiivseid tasapindu ja ruume. peamine omadus projektiivne geomeetria põhineb duaalsuse põhimõttel, mis lisab paljudele kujundustele graatsilist sümmeetriat. Projektiivset geomeetriat saab uurida nii puhtalt geomeetrilisest vaatenurgast kui ka analüütilisest (homogeensete koordinaatide abil) ja salgebralisest vaatenurgast, võttes projektiivset tasandit kui struktuuri üle välja. Sageli ja ajalooliselt käsitletakse tegelikku projektiivset tasapinda Eukleidilise tasapinnana, millele on lisatud "lõpmatuse joon".

Kusjuures figuuride omadused, millega eukleidiline geomeetria tegeleb, on meetriline(nurkade, lõikude, pindalade konkreetsed väärtused) ja jooniste samaväärsus on nendega samaväärne kongruentsus(st kui kujundeid saab liikumise abil üksteiseks tõlkida, säilitades samal ajal meetrilised omadused), on rohkem "sügavamal asuvaid" omadusi geomeetrilised kujundid, mis säilivad rohkem kui üldine tüüp kui liikumine. Projektiivne geomeetria uurib klassi all muutumatute kujundite omadusi projektiivsed teisendused, aga ka need teisendused ise.

Projektiivne geomeetria täiendab eukleidilist, pakkudes ilusaid ja lihtsaid lahendusi paljude probleemide jaoks, mis on keerulised paralleelsete joonte olemasolu tõttu. Eriti lihtne ja elegantne on koonuslõigete projektiivne teooria.

Projektiivsel geomeetrial on kolm peamist lähenemist: sõltumatu aksiomatiseerimine, eukleidilise geomeetria lisamine ja struktuur üle välja.

Aksiomatiseerimine

Projektiivset ruumi saab määratleda erineva aksioomikomplekti abil.

Coxeter pakub järgmist:

1. Seal on joon ja sellel pole punkti.

2. Igal real on vähemalt kolm punkti.

3. Läbi kahe punkti saab tõmmata täpselt ühe sirge.

4. Kui A, B, C ja D erinevad punktid ja AB ja CD ristuvad siis AC ja BD ristuvad.

5. Kui ABC on tasapind, siis on vähemalt üks punkt, mis ei ole tasapinnas ABC.

6. Kaks erinevaid lennukeid ristuvad vähemalt kaks punkti.

7. Tervikliku nelinurga kolm diagonaalpunkti ei ole kollineaarsed.

8. Kui sirgel on kolm punkti X X

Projektiivne tasapind (ilma kolmanda mõõtmeta) on määratletud mõnevõrra erinevate aksioomidega:

1. Läbi kahe punkti saab tõmmata täpselt ühe sirge.

2. Suvalised kaks sirget lõikuvad.

3. Punkte on neli, millest kolme kollineaarset pole.

4. Tervikliku nelinurga kolm diagonaalpunkti ei ole kollineaarsed.

5. Kui sirgel on kolm punkti X on φ projektiivsuse all muutumatud, siis kõik punktid on sisse lülitatud X on φ suhtes muutumatud.

6. Desarguesi teoreem: Kui kaks kolmnurka on perspektiivsed läbi punkti, siis on nad perspektiivid läbi sirge.

Kolmanda mõõtme olemasolul saab Desarguesi teoreemi tõestada ilma ideaalset punkti ja sirget tutvustamata.

Laiendatud tasapind – projektiivse tasapinna mudel: afiinses ruumis A3 võtta joonte kimp S(O), mille keskpunkt on O ja tasapind Π, mis ei läbi kimbu keskpunkti: O 6∈ Π. Joonte kimp afiinses ruumis on projektiivse tasandi mudel. Seadistame tasapinna Π punktide hulga vastendamise kimbu S joonte hulgaga (kurat, palun vabandust, kui sul see küsimus tekkis)

Laiendatud kolmemõõtmeline afiinne või eukleidiline ruum – projektiivne ruumimudel:

Selleks, et muuta kaardistamine surjektiivseks, kordame afiinse tasandi Π formaalset pikendamist projektiivsele tasapinnale Π, täiendades tasandit Π ebaõigete punktide komplektiga (M∞), nii et: ((M∞)) = P0(O). Kuna kaardistuses on tasandite kimbu S(O) iga tasandi pöördkujutis tasapinnal d olev sirge, on ilmne, et laiendatud tasandi kõigi valede punktide hulk: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), on laiendatud tasandi vale joon d∞, mis on ainsuse tasandi Π0 pöördkujutis: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Leppigem kokku, et siin ja allpool mõistame viimast võrdust P0(O) = Π0 punktihulkade võrdsuse tähenduses, kuid millel on erinevad struktuurid. Täiendades afiintasandit vale joonega, oleme taganud, et kaardistus (I.21) muutub laiendatud tasandi kõigi punktide hulgal bijektiivseks:

Paralleelkujunduses lamedate ja ruumiliste kujundite kujutised:

Stereomeetrias uuritakse ruumifiguure, joonisel aga kujutatakse neid kujul lamedad figuurid. Kuidas peaks siis ruumifiguuri tasapinnal kujutama? Tavaliselt kasutatakse geomeetrias selleks paralleelset disaini. Olgu p mingi lennuk, l- seda ristuv sirgjoon (joonis 1). Läbi suvalise punkti A, ei kuulu rida l tõmmake joonega paralleelne joon l. Selle sirge lõikepunkti tasapinnaga p nimetatakse punkti paralleelprojektsiooniks A tasapinnale p sirgjoone suunas l. Tähistame seda A". Kui punkt A kuulub rida l, siis paralleelprojektsioon A tasapinnale p loetakse sirge lõikepunktiks l lennukiga lk.

Seega iga punkt A ruum kaardistatakse selle projektsiooniga A" tasapinnale p. Seda vastavust nimetatakse paralleelprojektsiooniks tasapinnale p sirgjoone suunas l.

Projektiivsete teisenduste rühm. Rakendus probleemide lahendamiseks.

Tasapinna projektiivse teisenduse kontseptsioon. Projektiivse tasandi teisenduste näited. Projektiivsete teisenduste omadused. Homoloogia, homoloogia omadused. Projektiivsete teisenduste rühm.

Projektiivse tasandi teisenduse kontseptsioon: Projektiivse teisenduse mõiste üldistab keskse projektsiooni mõistet. Kui teostada tasandi α keskprojektsioon mingile tasapinnale α 1 , siis α 1 projektsioon α 2 , α 2 projektsioon α 3 , ... ja lõpuks mingile tasapinnale α n jällegi α 1 peal, siis on kõigi nende projektsioonide koosseis tasandi α projektiivne teisendus; selline ahel võib sisaldada paralleelseid projektsioone.

Projektiivse tasandi teisenduste näited: Laiendatud tasandi projektiivne teisendus on selle üks-ühele kaardistamine iseendaga, mis säilitab punktide kollineaarsuse ehk teisisõnu, mis tahes sirge kujutis on sirge. Iga projektiivne teisendus on tsentraalsete ja paralleelsete projektsioonide ahela kompositsioon. Afiinne teisendus on erijuhtum projektiivne, milles lõpmatuses olev joon läheb iseendasse.

Projektiivsete teisenduste omadused:

Projektiivse teisenduse korral vastendatakse kolm punkti, mis ei asu joonel, kolme punktiga, mis ei asu sirgel.

Projektiivse teisenduse korral läheb kaader üle raamile.

Projektiivse teisenduse korral läheb joon sirgeks, vits läheb vitsaks.

Homoloogia, homoloogia omadused:

Tasapinna projektiivset teisendust, millel on muutumatute punktide joon ja seega ka muutumatute joonte pliiats, nimetatakse homoloogiaks.

1. Vastavaid mittekattuvad homoloogiapunkte läbiv sirge on muutumatu sirge;

2. Vastavaid mittekattuvad homoloogiapunkte läbivad sirged kuuluvad samale pliiatsile, mille keskpunkt on muutumatu punkt.

3. Punkt, selle kujutis ja homoloogia kese asuvad samal sirgel.

Projektiivsete teisenduste rühm: vaatleme projektiivse tasandi P 2 projektiivset kaardistamist iseendaga, st selle tasandi projektiivset teisendust (P 2 ’ = P 2).

Nagu varemgi, on projektiivse tasandi P 2 projektiivsete teisenduste f 1 ja f 2 kompositsioon f teisenduste f 1 ja f 2 järjestikuse täitmise tulemus: f = f 2 °f 1 .

Teoreem 1: Projektiivtasandi P 2 kõigi projektiivsete teisenduste hulk H on projektiivsete teisenduste koosseisus olev rühm.

Ruutvormid

ruutvorm n muutuja f(x 1, x 2,..., x n) nimetatakse summaks, mille iga liige on kas ühe muutuja ruut või kahe erineva muutuja korrutis, mis on võetud teatud koefitsiendiga: f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Nendest kordajatest koosnevat maatriksit A ​​nimetatakse ruutvormi maatriksiks. See on alati sümmeetriline maatriks (st põhidiagonaali suhtes sümmeetriline maatriks, a ij = a ji).

Maatriksmärgistuses on ruutkujul kuju f(X) = X T AX, kus

Tõepoolest

Näiteks kirjutame ruutkuju maatrikskujul.

Selleks leiame ruutkujulise maatriksi. Selle diagonaalelemendid on võrdsed muutujate ruutude koefitsientidega ja ülejäänud elemendid on võrdsed poolega ruutvormi vastavatest kordajatest. Sellepärast

Olgu muutujate X maatriks-veerg saadud maatriks-veeru Y mittedegenereerunud lineaarse teisendusega, s.o. X = CY, kus C on mittedegenereerunud maatriks järku n. Siis ruutvorm
f(X) \u003d X T AX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (C T AC) Y.

Seega, mittemandunud lineaarteisendusel C saab ruutkuju maatriks kuju: A * = C T AC.

Näiteks leiame ruutkuju f(y 1, y 2) ruutvormist f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineaarteisendusega.

Ruutvormi nimetatakse kanooniline(Sellel on kanooniline vaade), kui kõik selle koefitsiendid a ij = 0 i ≠ j korral, s.o.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Selle maatriks on diagonaalne.

Teoreem(tõestust siin ei esitata). Mis tahes ruutvormi saab taandada kanooniliseks vormiks, kasutades mittedegenereerunud lineaarset teisendust.

Näiteks taandagem ruutkuju kanooniliseks vormiks
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Selleks valige esmalt muutuja x 1 täisruut:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2) ) 2-5x2 2-x2x3.

Nüüd valime muutuja x 2 jaoks täisruudu:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) – (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Seejärel toob mittedegenereerunud lineaarne teisendus y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 ja y 3 \u003d x 3 selle ruutvormi kanoonilisele vormile f (y 1 , y 2, y 3) = 2 a 1 2 - 5 a 2 2 - (1/20) y 3 2 .

Pange tähele, et ruutvormi kanooniline vorm on defineeritud mitmetähenduslikult (sama ruutvormi saab taandada kanooniliseks vormiks erinevatel viisidel). Siiski, erinevatel viisidel kanoonilistel vormidel on number ühised omadused. Eelkõige ei sõltu ruutvormi positiivsete (negatiivsete) koefitsientidega liikmete arv sellest, kuidas vorm sellele vormile taandatakse (näiteks vaadeldavas näites on alati kaks negatiivset ja üks positiivne koefitsient). Seda omadust nimetatakse ruutvormide inertsi seadus.

Kontrollime seda, taandades sama ruutvormi erineval viisil kanooniliseks vormiks. Alustame teisendust muutujaga x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3 a 1 2 -
-3 a 2 2 + 2 a 3 2, kus y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) ) x 3 ja y 3 = x 1 . Siin on positiivne koefitsient 2 y 3 juures ja kaks negatiivset koefitsienti (-3) y 1 ja y 2 juures (ja teist meetodit kasutades saime positiivse koefitsiendi 2 y 1 juures ja kaks negatiivset koefitsienti - (-5) y 2 juures ja (-1 /20) aasta 3 jaoks).

Samuti tuleb märkida, et ruutkujulise maatriksi auaste, nn ruutvormi aste, on võrdne kanoonilise vormi nullist erineva koefitsientide arvuga ja ei muutu lineaarsete teisenduste korral.

Nimetatakse ruutkuju f(X). positiivselt (negatiivne) teatud, kui kõigi muutujate väärtuste puhul, mis ei ole samaaegselt võrdsed nulliga, on see positiivne, st. f(X) > 0 (negatiivne, st.
f(X)< 0).

Näiteks ruutvorm f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 on positiivne kindel, sest on ruutude summa ja ruutvorm f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 on negatiivne kindel, sest tähistab seda saab esitada kui f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

Enamikus praktilistes olukordades on ruutvormi märgimääratluse tuvastamine mõnevõrra keerulisem, seetõttu kasutatakse selleks ühte järgmistest teoreemidest (sõnastame need ilma tõenditeta).

Teoreem. Ruutvorm on positiivne (negatiivne) kindel siis ja ainult siis, kui kõik omaväärtused selle maatriksid on positiivsed (negatiivsed).

Teoreem (Sylvesteri kriteerium). Ruutvorm on positiivne siis ja ainult siis, kui kõik selle vormi maatriksi peamollid on positiivsed.

Major (nurga)moll N-ndat järku maatriksi A k-ndat järku nimetatakse maatriksi determinandiks, mis koosneb maatriksi A () esimesest k reast ja veerust.

Pange tähele, et eitus-määratud ruutvormide puhul vahelduvad põhimollide märgid ja esimest järku moll peab olema eitav.

Näiteks uurime ruutkuju f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 märgimääratlust.

= (2–l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Seetõttu on ruutvorm positiivne kindel.

Meetod 2. Maatriksi esimest järku peamoll A D 1 = a 11 = 2 > 0. Teist järku peamoll D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Seega Sylvesteri kriteeriumi järgi ruutvorm on positiivne kindel.

Märgimääratluse jaoks uurime teist ruutvormi f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Meetod 1. Koostame ruutkujulise maatriksi А = . Iseloomulikul võrrandil on vorm = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 \u003d (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Seetõttu on ruutvorm negatiivne kindel.

Funktsioonide sisestamise reeglid:

Kaks korda pidevalt diferentseeruv funktsioon f(x) on kumer (nõgus) siis ja ainult siis Hesse maatriks funktsioon f(x) x-is on positiivselt (negatiivselt) poolkindel kõigi x-ide puhul (vt mitme muutuja funktsioonide lokaalse ekstreemi punktid).

Funktsiooni kriitilised punktid:

• kui Hesse on positiivselt defineeritud, siis x 0 on funktsiooni f(x) lokaalne miinimumpunkt,
• kui Hesse on negatiivne kindel, siis x 0 on funktsiooni f(x) lokaalne maksimumpunkt,
• kui Hessi keel ei ole märgiline (võtab nii positiivset kui ka negatiivsed väärtused) ja mittemandunud (det G(f) ≠ 0), siis x 0 on funktsiooni f(x) sadulapunkt.

Maatriksi kindluse kriteeriumid (Sylvesteri teoreem)

• kõik maatriksi diagonaalsed elemendid peavad olema positiivsed;
• kõik peamised peamised määrajad peavad olema positiivsed.

Positiivne poolmääratlus:

• kõik diagonaalsed elemendid on mittenegatiivsed;
• kõik peamised determinandid on mittenegatiivsed.

n järku ruudukujuline sümmeetriline maatriks, mille elemendid on teist järku sihtfunktsiooni osatuletised, nimetatakse Hesse maatriksiks ja on tähistatud:

Selleks, et sümmeetriline maatriks oleks positiivne kindel, on vajalik ja piisav, et kõik selle diagonaalsed minoorid oleksid positiivsed, s.t.


maatriksi jaoks A = (a ij) on positiivsed.

Negatiivne kindlus.
Et sümmeetriline maatriks oleks negatiivne kindel, on vajalik ja piisav, et toimuksid ebavõrdsused:
(-1) k D k > 0, k=1,..., n.
Teisisõnu selleks, et ruutvorm oleks negatiivne kindel, on vajalik ja piisav, et ruutvormi maatriksi nurkmollide märgid vahelduksid, alustades miinusmärgist. Näiteks kahe muutuja puhul D 1< 0, D 2 > 0.

Kui hessi keel on poolkindel, siis võib see olla ka käändepunkt. Vaja on täiendavaid uuringuid, mida saab läbi viia ühe järgmistest valikutest:

1. Üleminek madalamale versioonile. Muutujates tehakse muudatus. Näiteks kahe muutuja funktsiooni korral on see y=x , mille tulemusena saame ühe muutuja x funktsiooni. Järgmiseks uuritakse funktsiooni käitumist joontel y=x ja y=-x. Kui esimesel juhul on uuritava punkti funktsioonil miinimum ja teisel juhul maksimum (või vastupidi), siis on uuritavaks punktiks sadulapunkt.
2. Hessi omaväärtuste leidmine. Kui kõik väärtused on positiivsed, on uuritava punkti funktsioonil miinimum, kui kõik on negatiivsed, on maksimum.
3. Funktsiooni f(x) uurimine punkti ε naabruses. Muutujad x asendatakse x 0 +ε-ga. Lisaks on vaja tõestada, et ühe muutuja ε funktsioon f(x 0 + ε) on kas suurem kui null (siis on x 0 miinimumpunkt) või vähem kui null(siis on x 0 maksimumpunkt).

Märge. Leidma pöördhesseni piisab pöördmaatriksi leidmisest .

Näide nr 1. Millised järgmistest funktsioonidest on kumerad või nõgusad: f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2 .
Lahendus. 1. Leiame osatuletised.


2. Lahendame võrrandisüsteemi.
-4x1 +4x2 +2 = 0
4x1 -6x2 +6 = 0
Saame:
a) Väljendage x 1 esimesest võrrandist ja asendage see teise võrrandiga:
x2 = x2 + 1/2
-2x 2 +8 = 0
Kus x 2 \u003d 4
Need x 2 väärtused asendatakse avaldisega x 1 . Saame: x 1 \u003d 9/2
Kriitiliste punktide arv on 1.
M 1 (9/2 ;4)
3. Leia teist järku osatuletised.



4. Arvutage nende teist järku osatuletiste väärtus kriitilistes punktides M(x 0 ;y 0).
Arvutage punkti M 1 väärtused (9/2 ;4)



Ehitame Hesse maatriksi:

D 1 = a 11< 0, D 2 = 8 > 0
Kuna diagonaalmollidel on erinevad märgid, ei saa funktsiooni kumeruse või nõgususe kohta midagi öelda.

positiivne kindel ruutvormid

Definitsioon. Ruutvorm alates n tundmatu kutsutakse positiivne kindel, kui selle aste on võrdne positiivse inertsiindeksiga ja on võrdne tundmatute arvuga.

Teoreem. Ruutvorm on positiivne siis ja ainult siis, kui see võtab mis tahes nullist erineva väärtuste hulga korral positiivsed väärtused.

Tõestus. Olgu ruutvorm tundmatute mittemandunud lineaarne teisendus

normaliseerunud

.

Iga nullist erineva muutujaväärtuste komplekti puhul vähemalt üks arv nullist erinev, st. . Teoreemi vajalikkus on tõestatud.

Oletame, et ruutvorm saab positiivseid väärtusi mis tahes nullist erineval muutujate hulgal, kuid selle inertsusindeks on positiivne. Tundmatute mitte-degenereerunud lineaarse teisendusega

Toome selle tagasi normaalseks. Üldisust kaotamata võime eeldada, et sellel normaalkujul viimase muutuja ruut kas puudub või siseneb sellesse miinusmärgiga, s.t. , kus või . Oletame, et see on süsteemi lahendamise tulemusel saadud muutujate väärtuste nullist erinev kogum lineaarvõrrandid

Selles süsteemis võrdub võrrandite arv muutujate arvuga ja süsteemi determinant on nullist erinev. Crameri teoreemi järgi on süsteemil ainulaadne lahendus ja see on nullist erinev. Selle komplekti jaoks. Vastuolu tingimusega. Jõuame vastuoluni eeldusega, mis tõestab teoreemi piisavust.

Seda kriteeriumi kasutades ei ole kordajate põhjal võimalik määrata, kas ruutvorm on positiivne-kindel. Sellele küsimusele annab vastuse teine ​​teoreem, mille sõnastamiseks tutvustame veel üht mõistet. Peamised diagonaalmaatriksi alaealised kas alaealised asuvad selle vasakus ülanurgas:

, , , … , .

Teoreem.Ruutvorm on positiivne siis ja ainult siis, kui kõik selle põhidiagonaali minoorid on positiivsed.

Tõestus viime läbi täieliku meetodi matemaatiline induktsioon numbri järgi n ruutvormimuutujad f.

Induktsiooni hüpotees. Oletame, et vähemate muutujatega ruutvormide puhul n väide on õige.

Vaatleme ruutvormi alates n muutujad. Koguge ühte sulgu kõik terminid, mis sisaldavad . Ülejäänud terminid moodustavad muutujates ruutvormi. Induktsiooni hüpoteesi järgi on väide selle kohta tõene.

Oletame, et ruutvorm on positiivne kindel. Siis on ka ruutvorm positiivne kindel. Kui eeldame, et see nii ei ole, siis on muutujate väärtuste hulk, mis ei ole null , milleks ja vastavalt , mis on vastuolus asjaoluga, et ruutvorm on positiivne kindel. Induktsioonihüpoteesi järgi on kõik ruutvormi peadiagonaalmollid positiivsed, s.t. kõik ruutvormi esimesed põhimoorid f on positiivsed. Ruutvormi viimane põhimoll – on selle maatriksi determinant. See determinant on positiivne, kuna selle märk langeb kokku normaalkuju maatriksi märgiga, s.o. identiteedimaatriksi determinandi märgiga.

Olgu kõik ruutvormi peadiagonaalmollid positiivsed, siis kõik ruutvormi peadiagonaalmollid on võrdsest positiivsed . Induktsioonihüpoteesi kohaselt on ruutvorm positiivne kindel, seega toimub muutujate mittedegeneratiivne lineaarne teisendus, mis taandab vormi uute muutujate ruutude summaks. Seda lineaarset teisendust saab laiendada kõigi muutujate mittedegenereerunud lineaarsele teisendusele, seades . Ruutvorm väheneb selle teisendusega vormiks

ruutvorm n muutuja f(x 1, x 2,..., x n) nimetatakse summaks, mille iga liige on kas ühe muutuja ruut või kahe erineva muutuja korrutis, mis on võetud teatud koefitsiendiga: f(x 1, x 2, ...,х n) = (a ij =a ji).

Nendest kordajatest koosnevat maatriksit A ​​nimetatakse ruutvormi maatriksiks. See on alati sümmeetriline maatriks (st põhidiagonaali suhtes sümmeetriline maatriks, a ij = a ji).

Maatriksmärgistuses on ruutkujul kuju f(X) = X T AX, kus

Tõepoolest

Näiteks kirjutame ruutkuju maatrikskujul.

Selleks leiame ruutkujulise maatriksi. Selle diagonaalelemendid on võrdsed muutujate ruutude koefitsientidega ja ülejäänud elemendid on võrdsed poolega ruutvormi vastavatest kordajatest. Sellepärast

Olgu muutujate X maatriks-veerg saadud maatriks-veeru Y mittedegenereerunud lineaarse teisendusega, s.o. X = CY, kus C on mittedegenereerunud maatriks järku n. Siis ruutvorm f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Seega, mittedegenereerunud lineaarteisendusega C saab ruutkuju maatriks järgmise kuju: A * =C T AC.

Näiteks leiame ruutkuju f(y 1, y 2) ruutvormist f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineaarteisendusega.

Ruutvormi nimetatakse kanooniline(Sellel on kanooniline vaade), kui kõik selle koefitsiendid a ij \u003d 0 juures i≠j, st f (x 1, x 2,..., x n) \u003d a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Selle maatriks on diagonaalne.

Teoreem(tõestust siin ei esitata). Mis tahes ruutvormi saab taandada kanooniliseks vormiks, kasutades mittedegenereerunud lineaarset teisendust.

Näiteks toome kanoonilisele kujule ruutkuju f (x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Selleks valige esmalt muutuja x 1 täisruut:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2) ) 2-5x2 2-x2x3.

Nüüd valime muutuja x 2 jaoks täisruudu:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 \u003d \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Siis toob mittedegenereerunud lineaarne teisendus y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 ja y 3 \u003d x 3 selle ruutvormi kanoonilisele vormile f (y 1 , y 2, y 3) \u003d 2 a 1 2 - 5 a 2 2 - (1/20) a 3 2 .

Pange tähele, et ruutvormi kanooniline vorm on defineeritud mitmetähenduslikult (sama ruutvormi saab taandada kanooniliseks vormiks erineval viisil1). Erinevate meetoditega saadud kanoonilistel vormidel on aga mitmeid ühiseid omadusi. Eelkõige ei sõltu ruutvormi positiivsete (negatiivsete) koefitsientidega liikmete arv sellest, kuidas vorm sellele vormile taandatakse (näiteks vaadeldavas näites on alati kaks negatiivset ja üks positiivne koefitsient). Seda omadust nimetatakse ruutvormide inertsi seadus.

Kontrollime seda, taandades sama ruutvormi erineval viisil kanooniliseks vormiks. Alustame teisendust muutujaga x 2: f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d -3 (x 2 2 - - 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \u003d f (y 1, y 2, y 3) \u003d - 3 a 1 2 - -3 a 2 2 + 2 a 3 2, kus y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1 /6) x 3 ja y 3 = x 1 . Siin on positiivne koefitsient 2 y 3 juures ja kaks negatiivset koefitsienti (-3) y 1 ja y 2 juures).

Samuti tuleb märkida, et ruutkujulise maatriksi auaste, nn ruutvormi aste, on võrdne kanoonilise vormi nullist erineva koefitsientide arvuga ja ei muutu lineaarsete teisenduste korral.

Nimetatakse ruutkuju f(X). positiivselt(negatiivne)teatud, kui kõigi muutujate väärtuste puhul, mis ei ole samaaegselt võrdsed nulliga, on see positiivne, st f(X) > 0 (negatiivne, st f(X)< 0).

Näiteks ruutvorm f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 on positiivne kindel, sest on ruutude summa ja ruutvorm f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 on negatiivne kindel, sest tähistab seda saab esitada kui f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

Enamikus praktilistes olukordades on ruutvormi märgimääratluse tuvastamine mõnevõrra keerulisem, seetõttu kasutatakse selleks ühte järgmistest teoreemidest (sõnastame need ilma tõenditeta).

Teoreem. Ruutvorm on positiivne (negatiivne) kindel siis ja ainult siis, kui kõik selle maatriksi omaväärtused on positiivsed (negatiivsed).

Teoreem (Sylvesteri kriteerium). Ruutvorm on positiivne siis ja ainult siis, kui kõik selle vormi maatriksi peamollid on positiivsed.

Major (nurga)moll An-ndat järku maatriksi k-ndat järku nimetatakse maatriksi determinandiks, mis koosneb maatriksi A () esimesest k reast ja veerust.

Pange tähele, et eitus-määratud ruutvormide puhul vahelduvad põhimollide märgid ja esimest järku moll peab olema eitav.

Näiteks uurime ruutkuju f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 märgimääratlust.

= (2 -)* *(3 -) - 4 = (6 - 2- 3+ 2) - 4 = 2 - 5+ 2 = 0; D= 25 - 8 = 17; . Seetõttu on ruutvorm positiivne kindel.

Meetod 2. Maatriksi esimest järku peamoll A  1 = a 11 = 2 > 0. Teist järku peamoll  2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Seega Sylvesteri kriteeriumi järgi , ruutvorm on positiivne kindel.

Märgimääratluse jaoks uurime teist ruutvormi f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Meetod 1. Koostame ruutkujulise maatriksi А = . Iseloomulikul võrrandil on vorm = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0; D= 25-8 = 17 ; . Seetõttu on ruutvorm negatiivne kindel.

Meetod 2. Maatriksi esimest järku põhimoll A  1 \u003d a 11 \u003d \u003d -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Seetõttu on ruutvorm Sylvesteri kriteeriumi järgi negatiivne kindel (põhimollide märgid vahelduvad, alustades miinusest).

Ja teise näitena uurime ruutvormi f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 märgimääratluse jaoks.

Meetod 1. Koostame ruutkujulise maatriksi А = . Iseloomulikul võrrandil on vorm = (2 -)* *(-3 -) - 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) - 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Üks neist numbritest on negatiivne ja teine ​​positiivne. Omaväärtuste märgid on erinevad. Seetõttu ei saa ruutvorm olla ei negatiivne ega positiivne kindel, s.t. see ruutvorm ei ole märgiline (see võib võtta mis tahes märgi väärtusi).

Meetod 2. Maatriksi esimest järku peamoll A  1 = a 11 = 2 > 0. Teist järku peamoll  2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1 Vaadeldavat ruutvormi taandamise meetodit kanooniliseks vormiks on mugav kasutada, kui muutujate ruutude all on nullist erinevad koefitsiendid. Kui neid seal pole, on teisendus siiski võimalik, kuid tuleb kasutada muid nippe. Näiteks olgu f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

\u003d (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2 x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2; 4x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 - x 2) 2; f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 x 2 \u003d (1/2) * * (x 1) + x 2 ) 2 - (1/2) * (x 1 - x 2) 2 \u003d f (y 1, y 2) \u003d (1/2) y 1 2 - (1/2) y 2 2, kus y 1 \u003d x 1 + x 2, ay 2 \u003d x 1 - x 2.