X 7 otsus. Lihtsate lineaarvõrrandite lahendamine

Selles videos vaatame kogu komplekti. lineaarvõrrandid, mis on lahendatud sama algoritmiga – sellepärast nimetatakse neid kõige lihtsamateks.

Alustuseks defineerime: mis on lineaarvõrrand ja millist neist tuleks nimetada kõige lihtsamaks?

Lineaarvõrrand on selline, milles on ainult üks muutuja ja ainult esimesel astmel.

Lihtsaim võrrand tähendab konstruktsiooni:

Kõik muud lineaarsed võrrandid taandatakse algoritmi abil kõige lihtsamateks:

1. Avatud sulgud, kui need on olemas;
2. Liigutage muutujat sisaldavad terminid võrdusmärgi ühele küljele ja ilma muutujata terminid teisele poole;
3. Tooge sarnased terminid võrdusmärgist vasakule ja paremale;
4. Jagage saadud võrrand muutuja $x$ koefitsiendiga.

Loomulikult ei aita see algoritm alati. Fakt on see, et mõnikord osutub pärast kõiki neid mahhinatsioone muutuja $x$ koefitsient võrdseks nulliga. Sel juhul on kaks võimalust:

1. Võrrandil pole üldse lahendeid. Näiteks kui saate midagi sellist nagu $0\cdot x=8$, st. vasakul on null ja paremal on nullist erinev arv. Allolevas videos vaatleme mitmeid põhjuseid, miks selline olukord on võimalik.
2. Lahenduseks on kõik numbrid. Ainus juhtum, kui see on võimalik, taandatakse võrrand konstruktsiooniks $0\cdot x=0$. On täiesti loogiline, et ükskõik, millise $x$ me asendame, selgub ikkagi “null võrdub nulliga”, s.t. õige arvuline võrdsus.

Ja nüüd vaatame tegelike probleemide näitel, kuidas see kõik toimib.

Näited võrrandite lahendamisest

Tänapäeval käsitleme lineaarseid võrrandeid ja ainult kõige lihtsamaid. Üldiselt tähendab lineaarvõrrand mis tahes võrdsust, mis sisaldab täpselt ühte muutujat, ja see läheb ainult esimese astmeni.

Sellised konstruktsioonid lahendatakse ligikaudu samal viisil:

1. Kõigepealt peate avama sulud, kui need on olemas (nagu meie viimases näites);
2. Seejärel tooge sarnased
3. Lõpuks isoleeri muutuja, st. kõik, mis on muutujaga seotud - terminid, milles see sisaldub - kantakse üle ühele poole ja kõik, mis jääb ilma, kandub teisele poole.

Seejärel peate reeglina saadud võrdsuse mõlemale küljele tooma sarnased ja pärast seda jääb üle vaid jagada koefitsiendiga "x" ja saame lõpliku vastuse.

Teoreetiliselt tundub see kena ja lihtne, kuid praktikas võivad isegi kogenud keskkooliõpilased üsna lihtsates lineaarvõrrandites solvavaid vigu teha. Tavaliselt tehakse vigu kas sulgude avamisel või "plusside" ja "miinuste" lugemisel.

Lisaks juhtub, et lineaarvõrrandil pole lahendeid üldse või nii, et lahendiks on terve arvsirge, s.t. suvaline number. Analüüsime neid peensusi tänases õppetükis. Kuid me alustame, nagu te juba aru saite, kõigest lihtsaid ülesandeid.

Lihtsate lineaarvõrrandite lahendamise skeem

Alustuseks lubage mul veel kord kirjutada kogu skeem kõige lihtsamate lineaarvõrrandite lahendamiseks:

1. Laiendage sulgusid, kui neid on.
2. Eraldage muutujad, st. kõik, mis sisaldab "x", kantakse ühele poole ja ilma "x"ta - teisele poole.
3. Esitame sarnased terminid.
4. Jagame kõik koefitsiendiga "x".

Muidugi ei tööta see skeem alati, sellel on teatud peensused ja nipid ning nüüd õpime neid tundma.

Lihtsate lineaarvõrrandite reaalsete näidete lahendamine

Ülesanne nr 1

Esimeses etapis peame avama sulgud. Kuid need pole selles näites, seega jätame selle sammu vahele. Teises etapis peame muutujad isoleerima. Pange tähele: me räägime ainult üksikutest terminitest. Kirjutame:

Anname sarnased terminid vasakul ja paremal, kuid seda on siin juba tehtud. Seetõttu jätkame neljanda sammuga: jagage teguriga:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Siit saime vastuse.

Ülesanne nr 2

Selles ülesandes saame jälgida sulgusid, seega laiendame neid:

Nii vasakul kui ka paremal näeme ligikaudu sama konstruktsiooni, kuid tegutseme algoritmi järgi, s.t. sekvesteeri muutujad:

Siin on mõned nagu:

Millistel juurtel see toimib? Vastus: igale. Seetõttu võime kirjutada, et $x$ on suvaline arv.

Ülesanne nr 3

Kolmas lineaarvõrrand on juba huvitavam:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Siin on mitu sulgu, kuid neid ei korruta mitte millegagi, vaid neil on erinevad märgid ees. Jagame need lahti:

Teostame meile juba teadaoleva teise sammu:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Arvutame:

Viime läbi viimase sammu - jagame kõik koefitsiendiga "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Asjad, mida lineaarvõrrandite lahendamisel meeles pidada

Kui ignoreerime liiga lihtsaid ülesandeid, siis tahaksin öelda järgmist:

• Nagu ma eespool ütlesin, ei ole igal lineaarvõrrandil lahendust – mõnikord pole lihtsalt juuri;
• Isegi kui juured on, võib nende sekka null sisse pääseda - selles pole midagi halba.

Null on sama number kui ülejäänud, te ei tohiks seda kuidagi eristada ega eeldada, et kui saate nulli, siis tegite midagi valesti.

Teine omadus on seotud sulgude laiendamisega. Pange tähele: kui nende ees on "miinus", eemaldame selle, kuid sulgudes muudame märgid vastupidine. Ja siis saame selle avada standardsete algoritmide järgi: saame selle, mida nägime ülaltoodud arvutustes.

Sellest aru saades lihtne fakt hoiab teid keskkoolis rumalaid ja haiget tekitavaid vigu tegemast, kui selliseid asju peetakse iseenesestmõistetavaks.

Keeruliste lineaarvõrrandite lahendamine

Liigume edasi keerulised võrrandid. Nüüd muutuvad konstruktsioonid keerulisemaks ja erinevate teisenduste tegemisel tekib ruutfunktsioon. Seda ei tasu aga karta, sest kui autori kavatsuse kohaselt lahendame lineaarvõrrandi, siis teisendusprotsessis redutseeritakse tingimata kõik ruutfunktsiooni sisaldavad monomid.

Näide nr 1

Ilmselt on esimene samm sulgude avamine. Teeme seda väga hoolikalt:

Võtame nüüd privaatsuse:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Siin on mõned nagu:

Ilmselgelt pole sellel võrrandil lahendusi, seega kirjutame vastuses järgmiselt:

\[\variety \]

või pole juuri.

Näide nr 2

Teeme samu samme. Esimene samm:

Liigutame kõik muutujaga vasakule ja ilma selleta paremale:

Siin on mõned nagu:

Ilmselgelt pole sellel lineaarsel võrrandil lahendust, seega kirjutame selle järgmiselt:

\[\varnothing\],

või pole juuri.

Lahenduse nüansid

Mõlemad võrrandid on täielikult lahendatud. Nende kahe avaldise näitel veendusime veel kord, et isegi kõige lihtsamates lineaarvõrrandites ei saa kõik olla nii lihtne: neid võib olla kas üks või mitte ükski või lõpmatult palju. Meie puhul käsitlesime kahte võrrandit, mõlemas lihtsalt pole juuri.

Kuid juhin teie tähelepanu veel ühele asjaolule: kuidas töötada sulgudega ja kuidas neid laiendada, kui nende ees on miinusmärk. Mõelge sellele väljendile:

Enne avamist peate kõik korrutama "x-ga". Pange tähele: korrutage iga üksiku terminiga. Sees on kaks terminit - vastavalt kaks terminit ja korrutatakse.

Ja alles pärast seda, kui need esmapilgul elementaarsed, kuid väga olulised ja ohtlikud transformatsioonid on lõpule viidud, saab sulgu avada sellest vaatenurgast, et selle järel on miinusmärk. Jah, jah: alles nüüd, kui teisendused on tehtud, meenub, et sulgude ees on miinusmärk, mis tähendab, et kõik allpool lihtsalt muudab märke. Samal ajal kaovad klambrid ise ja mis kõige tähtsam, kaob ka eesmine "miinus".

Teeme sama teise võrrandiga:

Pole juhus, et pööran neile väikestele, pealtnäha tähtsusetutele faktidele tähelepanu. Sest võrrandite lahendamine on alati elementaarsete teisenduste jada, kus suutmatus lihtsaid toiminguid selgelt ja asjatundlikult sooritada viib selleni, et minu juurde tulevad gümnasistid ja õpivad nii lihtsaid võrrandeid uuesti lahendama.

Muidugi tuleb päev, mil lihvite need oskused automatiseerimiseks. Te ei pea enam iga kord nii palju teisendusi sooritama, kirjutate kõik ühele reale. Kuid õppimise ajal peate iga toimingu eraldi kirjutama.

Veelgi keerukamate lineaarvõrrandite lahendamine

Seda, mida me praegu lahendame, võib vaevalt nimetada kõige lihtsamaks ülesandeks, kuid tähendus jääb samaks.

Ülesanne nr 1

\[\vasak(7x+1 \parem)\vasak(3x-1 \parem)-21((x)^(2))=3\]

Korrutame kõik esimeses osas olevad elemendid:

Teeme retriiti:

Siin on mõned nagu:

Teeme viimase sammu:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Siin on meie lõplik vastus. Ja hoolimata asjaolust, et lahendamise käigus olid meil ruutfunktsiooniga koefitsiendid, tühistasid need siiski vastastikku, mis muudab võrrandi täpselt lineaarseks, mitte ruudukujuliseks.

Ülesanne nr 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Teeme esimese sammu ettevaatlikult: korrutage kõik esimeses sulus olevad elemendid iga teise elemendiga. Kokku tuleks pärast teisendusi saada neli uut terminit:

Ja nüüd tehke hoolikalt iga liikme korrutamine:

Liigutame terminid "x"-ga vasakule ja ilma - paremale:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Siin on sarnased terminid:

Oleme saanud lõpliku vastuse.

Lahenduse nüansid

Kõige olulisem märkus nende kahe võrrandi kohta on järgmine: niipea kui hakkame korrutama sulgusid, milles on rohkem kui liiget, tehakse seda järgmise reegli järgi: võtame esimese liikme esimesest ja korrutame iga elemendiga. teisest; siis võtame esimesest teise elemendi ja korrutame samamoodi iga teise elemendiga. Selle tulemusena saame neli terminit.

Algebralise summa kohta

Viimase näitega tahaksin õpilastele meelde tuletada, mis on algebraline summa. Klassikalises matemaatikas peame $1-7$ all silmas lihtsat konstruktsiooni: lahutame ühest seitse. Algebras peame selle all silmas järgmist: arvule "üks" lisame teise arvu, nimelt "miinus seitse". See algebraline summa erineb tavalisest aritmeetilisest summast.

Niipea, kui kõigi teisenduste, iga liitmise ja korrutamise sooritamisel hakkate nägema ülalkirjeldatutega sarnaseid konstruktsioone, pole polünoomide ja võrranditega töötamisel algebras probleeme.

Kokkuvõtteks vaatame veel paari näidet, mis on veelgi keerulisemad kui need, mida just vaatlesime, ja nende lahendamiseks peame oma standardset algoritmi veidi laiendama.

Võrrandite lahendamine murdosaga

Selliste ülesannete lahendamiseks tuleb meie algoritmile lisada veel üks samm. Kuid kõigepealt tuletan meelde meie algoritmi:

1. Avage sulgud.
2. Eraldi muutujad.
3. Too sarnased.
4. Jaga teguriga.

Kahjuks pole see suurepärane algoritm kogu oma tõhususe juures täiesti sobiv, kui meie ees on murded. Ja selles, mida me allpool näeme, on mõlemas võrrandis vasakul ja paremal murdosa.

Kuidas sel juhul töötada? Jah, see on väga lihtne! Selleks peate algoritmile lisama veel ühe sammu, mida saab teha nii enne esimest toimingut kui ka pärast seda, nimelt murdudest vabanemiseks. Seega on algoritm järgmine:

1. Vabane murdosadest.
2. Avage sulgud.
3. Eraldi muutujad.
4. Too sarnased.
5. Jaga teguriga.

Mida tähendab "murdudest vabanemine"? Ja miks on seda võimalik teha nii pärast kui ka enne esimest standardset sammu? Tegelikult on meie puhul kõik murrud nimetaja poolest numbrilised, st. kõikjal on nimetaja vaid arv. Seega, kui me korrutame mõlemad võrrandi osad selle arvuga, siis vabaneme murdudest.

Näide nr 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Vabaneme selle võrrandi murdudest:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Pange tähele: kõik korrutatakse “neljaga” üks kord, st. see, et teil on kaks sulud, ei tähenda, et peate need kõik korrutama "neljaga". Kirjutame:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Nüüd avame selle:

Teostame muutuja eraldamise:

Vähendame sarnaseid termineid:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Oleme saanud lõpplahenduse, liigume teise võrrandi juurde.

Näide nr 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Siin teostame kõik samad toimingud:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Probleem lahendatud.

See on tegelikult kõik, mida ma täna öelda tahtsin.

Võtmepunktid

Peamised leiud on järgmised:

• Teadma lineaarvõrrandite lahendamise algoritmi.
• Sulgude avamise võimalus.
• Ärge muretsege, kui teil kuskil on ruutfunktsioonid, tõenäoliselt vähendatakse neid edasiste ümberkujundamiste käigus.
• Lineaarvõrrandite juured, isegi kõige lihtsamad, on kolme tüüpi: üks juur, kogu arvurida on juur, juuri pole üldse.

Loodan, et see õppetund aitab teil omandada lihtsa, kuid väga olulise teema kogu matemaatika edasiseks mõistmiseks. Kui midagi pole selge, minge saidile, lahendage seal esitatud näited. Püsige lainel, teid ootab veel palju huvitavat!

Juhend. Sest võrgulahendused on vaja valida võrrandi tüüp ja määrata vastavate maatriksite mõõde.

Näide nr 1. Harjutus. Leidke maatriksvõrrandi lahendus
Lahendus. Tähistage:
Seejärel kirjutatakse maatriksvõrrand kujul: A·X·B = C.
Maatriksi A determinant on detA=-1
Kuna A on mitteainsuse maatriks, on olemas pöördmaatriks A -1 . Korrutage vasakpoolse võrrandi mõlemad pooled A -1-ga: Korrutage selle võrrandi mõlemad pooled vasakul väärtusega A -1 ja paremal pool B -1: A -1 A X B B -1 = A -1 C B -1 . Kuna A A -1 = B B -1 = E ja E X = X E = X, siis X = A -1 C B -1

pöördmaatriks A-1:
Leidke pöördmaatriks B -1 .
Transponeeri maatriks B T:
Pöördmaatriks B -1:
Otsime maatriksit X valemiga: X = A -1 C B -1

Vastus:

Näide nr 2. Harjutus. Maatriksvõrrandi lahendamine
Lahendus. Tähistage:
Seejärel kirjutatakse maatriksvõrrand kujul: A X = B.
Maatriksi A determinant on detA=0
Kuna A on degenereerunud maatriks (determinant on 0), pole võrrandil lahendust.

Näide nr 3. Harjutus. Leidke maatriksvõrrandi lahendus
Lahendus. Tähistage:
Seejärel kirjutatakse maatriksvõrrand kujul: X·A = B.
Maatriksi A determinant on detA=-60
Kuna A on mitteainsuse maatriks, on olemas pöördmaatriks A -1 . Korrutage võrrandi mõlemal küljel paremal pool A -1: X A A -1 = B A -1 , millest leiame, et X = B A -1
Leidke pöördmaatriks A -1 .
Transponeeritud maatriks A T:
Pöördmaatriks A -1:
Otsime maatriksit X valemiga: X = B A -1


Vastus: >

Teie tähelepanu alla pakutud tasuta kalkulaatoril on rikkalik arsenal matemaatiliste arvutuste tegemiseks. See võimaldab teil kasutada veebikalkulaatorit erinevaid valdkondi tegevused: hariv, professionaalne Ja kaubanduslik. Loomulikult on veebikalkulaatori kasutamine eriti populaarne õpilased Ja koolilapsed, muudab see erinevate arvutuste tegemise palju lihtsamaks.

Samal ajal võib kalkulaator olla kasulik tööriist mõnes ärivaldkonnas ja inimeste jaoks. erinevad ametid. Loomulikult vajadus kasutada kalkulaatorit ettevõtluses või töötegevus määrab eelkõige tegevuse liik ise. Kui äri ja elukutse on seotud pidevate arvutuste ja arvutustega, siis tasub proovida elektroonilist kalkulaatorit ja hinnata selle kasulikkust konkreetse ettevõtte jaoks.

See veebikalkulaator saab

• Täitke standard õigesti matemaatilised funktsioonid, kirjutatud ühe reaga nagu - 12*3-(7/2) ja saab hakkama suuremate numbritega, kui me veebikalkulaatoris tohutuid numbreid loeme. Me isegi ei tea, kuidas sellisele numbrile õigesti helistada ( seal on 34 tähemärki ja see pole üldse piir).
• Välja arvatud puutuja, koosinus, sinus ja muud standardfunktsioonid – kalkulaator toetab arvutustoiminguid kaare puutuja, kaare puutuja ja teised.
• Saadaval arsenalis logaritmid, faktoriaalid ja muid lahedaid funktsioone
• See veebikalkulaator oskab graafikuid koostada!!!

Graafikute joonistamiseks kasutab teenus spetsiaalset nuppu (joonistatakse hall graafik) või selle funktsiooni sõnasõnalist esitust (Plot). Graafiku koostamiseks veebikalkulaatoris kirjutage lihtsalt funktsioon: plot(tan(x)),x=-360..360.

Võtsime puutuja jaoks lihtsaima graafiku ja pärast koma märkisime muutuja X vahemiku vahemikus -360 kuni 360.

Saate luua absoluutselt mis tahes funktsiooni, mis tahes arvu muutujatega, näiteks: graafik(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) Või isegi keerulisem, kui arvata oskate. Pöörame tähelepanu muutuja X käitumisele - intervall alates ja kuni näidatakse kahe punkti abil.

Ainus negatiivne (kuigi seda on raske negatiivseks nimetada) sellest Interneti-kalkulaator see on see, et ta ei tea, kuidas ehitada sfääre ja muid ruumilisi kujundeid - ainult tasapinda.

Kuidas töötada matemaatikakalkulaatoriga

1. Ekraan (kalkulaatori ekraan) kuvab sisestatud avaldise ja selle arvutamise tulemuse tavaliste tähtedega, nagu me paberile kirjutame. See väli on lihtsalt praeguse toimingu vaatamiseks. Kirje kuvatakse ekraanil, kui sisestate sisestusreale matemaatilise avaldise.

2. Avaldise sisendväli on mõeldud arvutatava avaldise kirjutamiseks. Siinkohal tuleb märkida, et aastal kasutatud matemaatilised sümbolid arvutiprogrammid, ei lange alati kokku nendega, mida me tavaliselt paberil kasutame. Kalkulaatori iga funktsiooni ülevaatest leiate konkreetsele toimingule õige nimetuse ja kalkulaatoris olevate arvutuste näiteid. Alloleval lehel on kalkulaatori kõigi võimalike toimingute loend, märkides ka nende õigekirja.

3. Tööriistariba on kalkulaatori nupud, mis asendavad käsitsi sisestamist matemaatilised sümbolid mis tähistab vastavat operatsiooni. Mõned kalkulaatori nupud (lisafunktsioonid, ühikute teisendaja, maatriksite ja võrrandite lahendus, graafikud) täiendavad tegumiriba uute väljadega, kuhu sisestatakse andmed konkreetse arvutuse jaoks. Väli "Ajalugu" sisaldab näiteid matemaatiliste avaldiste kirjutamise kohta, samuti teie viimast kuut kirjet.

Pange tähele, et kui vajutate lisafunktsioonide, väärtuste konverteri, maatriksite ja võrrandite lahendamise, graafikute väljakutsumise nuppe, liigub kogu kalkulaatori paneel üles, kattes osa ekraanist. Ekraani täissuuruses kuvamiseks täitke nõutud väljad ja vajutage klahvi "I" (joonisel punasega esile tõstetud).

4. Numbriklahvistik sisaldab numbreid ja aritmeetilisi märke. Nupp "C" kustutab avaldise sisestusväljalt kogu kirje. Tähemärkide ükshaaval kustutamiseks peate kasutama sisestusreast paremal olevat noolt.

Proovige väljendi lõpus alati sulud sulgeda. Enamiku toimingute puhul pole see kriitiline, veebikalkulaator arvutab kõik õigesti. Mõnel juhul on siiski võimalikud vead. Näiteks kui tõstetakse murdarvuni, põhjustavad sulgemata sulud astendaja murdosa nimetaja aluse nimetajaks. Ekraanil on sulgemisklamber tähistatud kahvatuhalliga, see tuleb sulgeda, kui salvestamine on lõppenud.

I. kirves 2 \u003d 0 – mittetäielik ruutvõrrand (b = 0, c = 0 ). Lahendus: x=0. Vastus: 0.

Lahenda võrrandid.

2x·(x+3)=6x-x 2.

Lahendus. Laiendage sulgusid korrutades 2x iga termini kohta sulgudes:

2x2 +6x=6x-x2 ; terminite liigutamine paremalt küljelt vasakule:

2x2 +6x-6x+x2=0; Siin on sarnased terminid:

3x2 =0, seega x=0.

Vastus: 0.

II. ax2+bx=0 –mittetäielik ruutvõrrand (s = 0 ). Lahendus: x (ax+b)=0 → x 1 =0 või ax+b=0 → x 2 =-b/a. Vastus: 0; -b/a.

5x2 -26x=0.

Lahendus. Võtke välja ühine tegur X sulgude jaoks:

x(5x-26)=0; iga tegur võib olla null:

x=0 või 5x-26 = 0→ 5x=26, jaga võrdsuse mõlemad pooled arvuga 5 ja saame: x \u003d 5.2.

Vastus: 0; 5,2.

Näide 3 64x+4x2=0.

Lahendus. Võtke välja ühine tegur 4x sulgude jaoks:

4x(16+x)=0. Meil on kolm tegurit, seega 4≠0 või x=0 või 16+x=0. Viimasest võrdsusest saame x=-16.

Vastus: -16; 0.

Näide 4(x-3) 2 + 5x = 9.

Lahendus. Rakendades kahe avaldise erinevuse ruudu valemit, avage sulud:

x 2 -6x+9+5x=9; teisenda kujule: x 2 -6x+9+5x-9=0; Siin on sarnased terminid:

x2-x=0; taluma X väljaspool sulgusid saame: x (x-1)=0. Siit või x=0 või x-1 = 0→ x=1.

Vastus: 0; 1.

III. ax2+c=0 –mittetäielik ruutvõrrand (b = 0 ); Lahendus: ax 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.

Kui (-c/a)<0 , siis pole päris juuri. Kui (-s/a)>0

Näide 5 x 2 -49 = 0.

Lahendus.

x 2 \u003d 49, siit x=±7. Vastus:-7; 7.

Näide 6 9x2-4=0.

Lahendus.

Tihti tuleb leida ruutvõrrandi juurte ruutude summa (x 1 2 + x 2 2) või kuubikute summa (x 1 3 + x 2 3), harvem - ruutvõrrandi pöördarvude summa. juurte ruudud või ruutvõrrandi juurtest aritmeetiliste ruutjuurte summa:

Vieta teoreem võib selles aidata:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Ekspress läbi lk Ja q:

1) võrrandi juurte ruutude summa x2+px+q=0;

2) võrrandi juurte kuubikute summa x2+px+q=0.

Lahendus.

1) Väljendus x 1 2 + x 2 2 mis saadakse võrrandi mõlema poole ruudustamisel x 1 + x 2 \u003d-p;

(x 1 + x 2) 2 \u003d (-p) 2; avage sulud: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; väljendame soovitud summat: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q. Meil on kasulik võrrand: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.

2) Väljendus x 1 3 + x 2 3 esitage kuubikute summa valemiga kujul:

(x 1 3 + x 2 3)=(x 1 + x 2) (x 1 2 -x 1 x 2 + x 2 2)=-p (p 2 -2q-q)=-p (p 2 -3 q) ).

Veel üks kasulik võrrand: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q).

Näited.

3) x 2 -3x-4 = 0. Ilma võrrandit lahendamata arvutage avaldise väärtus x 1 2 + x 2 2.

Lahendus.

x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 3, ja töö x 1 ∙x 2 \u003d q \u003dnäites 1) võrdsus:

x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q. Meil on -lk=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Siis x 1 2 + x 2 2 =9-2 (-4)=9+8=17.

Vastus: x 1 2 + x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4 = 0. Arvutage: x 1 3 +x 2 3 .

Lahendus.

Vieta teoreemi järgi selle redutseeritud ruutvõrrandi juurte summa x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 2, ja töö x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-4. Rakendagem seda, mida oleme saanud ( näites 2) võrdsus: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 - 3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4)) = 2 (4+12) = 2 16 = 32.

Vastus: x 1 3 + x 2 3 =32.

Küsimus: mis siis, kui meile antakse taandamata ruutvõrrand? Vastus: seda saab alati “vähendada”, jagades termini kaupa esimese koefitsiendiga.

5) 2x2 -5x-7 = 0. Ilma lahendamata arvutage: x 1 2 + x 2 2.

Lahendus. Meile on antud täielik ruutvõrrand. Jagage võrrandi mõlemad pooled 2-ga (esimene koefitsient) ja saate järgmise ruutvõrrandi: x 2 -2,5x-3,5 \u003d 0.

Vieta teoreemi järgi on juurte summa 2,5 ; juurte toode on -3,5 .

Lahendame samamoodi nagu näites 3) kasutades võrdsust: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.

x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Vastus: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x2 -5x-2 = 0. Leia:

Teisendame seda võrdsust ja asendame juurte summa Vieta teoreemi järgi, -lk, ja toote juured läbi q, saame veel ühe kasuliku valemi. Valemi tuletamisel kasutasime võrdsust 1): x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.

Meie näites x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-2. Asendage need väärtused saadud valemis:

7) x 2 -13x+36=0. Leia:

Teisendame selle summa ja saame valemi, mille abil on võimalik ruutvõrrandi juurtest leida aritmeetiliste ruutjuurte summa.

Meil on x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙ x 2 \u003d q \u003d 36. Asendage need väärtused tuletatud valemis:

Nõuanne : kontrolli alati ruutvõrrandi juurte sobival viisil leidmise võimalust, sest 4 üle vaadatud kasulikud valemid võimaldab teil ülesande kiiresti täita, esiteks juhtudel, kui diskrimineerijaks on "ebamugav" number. Kõigil lihtsatel juhtudel otsige üles juured ja opereerige neid. Näiteks viimases näites valime juured Vieta teoreemi abil: juurte summa peaks olema võrdne 13 , ja juurte toode 36 . Mis need numbrid on? kindlasti, 4 ja 9. Nüüd arvutage nende arvude ruutjuurte summa: 2+3=5. See on kõik!

I. Vieta teoreem redutseeritud ruutvõrrandi jaoks.

Redutseeritud ruutvõrrandi juurte summa x 2 +px+q=0 on võrdne teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga, ja juurte korrutis võrdub vaba liikmega:

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Leia antud ruutvõrrandi juured Vieta teoreemi abil.

Näide 1) x 2 -x-30 = 0. See on taandatud ruutvõrrand ( x 2 +px+q=0), teine ​​koefitsient p = -1, ja vaba tähtaeg q = -30. Esiteks veenduge, et antud võrrandil on juured ja et juured (kui neid on) väljendatakse täisarvudena. Selleks piisab, kui diskriminant on täisarvu täisruut.

Diskriminandi leidmine D=b 2–4ac=(-1) 2 –4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Nüüd peab Vieta teoreemi järgi juurte summa olema võrdne teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga, s.t. ( -lk) ja toode on võrdne vaba terminiga, st. ( q). Seejärel:

x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Peame valima sellised kaks arvu, et nende korrutis oleks võrdne -30 , ja summa on üksus. Need on numbrid -5 Ja 6 . Vastus: -5; 6.

Näide 2) x 2 +6x+8=0. Meil on teise koefitsiendiga redutseeritud ruutvõrrand p=6 ja vabaliige q = 8. Veenduge, et oleks täisarvu juured. Leiame diskrimineerija D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminant D 1 on arvu täiuslik ruut 1 , seega on selle võrrandi juurteks täisarvud. Juured valime Vieta teoreemi järgi: juurte summa võrdub –p=-6, ja juurte korrutis on q = 8. Need on numbrid -4 Ja -2 .

Tegelikult: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Vastus: -4; -2.

Näide 3) x 2 +2x-4=0. Selles vähendatud ruutvõrrandis on teine ​​koefitsient p=2, ja vaba tähtaeg q = -4. Leiame diskrimineerija D1, kuna teine ​​koefitsient on paarisarv. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminant ei ole arvu täiuslik ruut, nii et me teeme seda järeldus: selle võrrandi juured ei ole täisarvud ja neid ei saa leida Vieta teoreemi abil. Niisiis, me lahendame selle võrrandi, nagu tavaliselt, valemite järgi (antud juhul valemite järgi). Saame:

Näide 4). Kirjutage ruutvõrrand, kasutades selle juuri, kui x 1 \u003d -7, x 2 = 4.

Lahendus. Soovitud võrrand kirjutatakse järgmisel kujul: x 2 +px+q=0, pealegi tuginedes Vieta teoreemile –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q = x 1 ∙ x 2=-7∙4=-28 . Siis saab võrrand järgmise kuju: x2 +3x-28=0.

Näide 5). Kirjutage ruutvõrrand selle juurtega, kui:

II. Vieta teoreem täieliku ruutvõrrandi jaoks ax2+bx+c=0.

Juurte summa on miinus b jagatuna A, juurte korrutis on Koos jagatuna V:

x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.

Näide 6). Leia ruutvõrrandi juurte summa 2x2 -7x-11 = 0.

Lahendus.

Oleme veendunud, et sellel võrrandil on juured. Selleks piisab, kui kirjutada diskriminandi jaoks avaldis ja ilma seda arvutamata lihtsalt veenduda, et diskriminant on suurem kui null. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Ja nüüd kasutame teoreem Vieta täielike ruutvõrrandite jaoks.

x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Näide 7). Leia ruutvõrrandi juurte korrutis 3x2 +8x-21=0.

Lahendus.

Leiame diskrimineerija D1, alates teisest koefitsiendist ( 8 ) on paarisarv. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Ruutvõrrandil on 2 juur, Vieta teoreemi järgi juurte korrutis x 1 ∙ x 2 \u003d c: a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0 on üldine ruutvõrrand

Diskrimineeriv D=b 2-4ac.

Kui D>0, siis on meil kaks tegelikku juurt:

Kui D = 0, siis on meil üks juur (või kaks võrdset juurt) x=-b/(2a).

Kui D<0, то действительных корней нет.

Näide 1) 2x2 +5x-3=0.

Lahendus. a=2; b=5; c=-3.

D=b 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 tõelist juurt.

4x2 +21x+5=0.

Lahendus. a=4; b=21; c=5.

D=b 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5 = 441-80 = 361 = 19 2 > 0; 2 tõelist juurt.

II. ax2+bx+c=0 – spetsiaalne ruutvõrrand paariks sekundiks

koefitsient b

Näide 3) 3x2 -10x+3=0.

Lahendus. a=3; b\u003d -10 (paarisarv); c=3.

Näide 4) 5x2-14x-3 = 0.

Lahendus. a=5; b= -14 (paarisarv); c=-3.

Näide 5) 71x2 +144x+4=0.

Lahendus. a=71; b=144 (paarisarv); c=4.

Näide 6) 9x2 -30x+25=0.

Lahendus. a=9; b\u003d -30 (paarisarv); c=25.

III. ax2+bx+c=0 – ruutvõrrand eratüüp, tingimusel: a-b+c=0.

Esimene juur on alati miinus üks ja teine ​​juur on miinus Koos jagatuna A:

x 1 \u003d -1, x 2 \u003d - c / a.

Näide 7) 2x2+9x+7=0.

Lahendus. a=2; b=9; c=7. Kontrollime võrdsust: a-b+c=0. Saame: 2-9+7=0 .

Siis x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -c / a = -7 / 2 = -3,5. Vastus: -1; -3,5.

IV. ax2+bx+c=0 – konkreetse vormi ruutvõrrand tingimuse all : a+b+c=0.

Esimene juur on alati võrdne ühega ja teine ​​juur on võrdne Koos jagatuna A:

x 1 \u003d 1, x 2 = c / a.

Näide 8) 2x2 -9x+7=0.

Lahendus. a=2; b=-9; c=7. Kontrollime võrdsust: a+b+c=0. Saame: 2-9+7=0 .

Siis x 1 = 1, x 2 = c / a = 7/2 \u003d 3,5. Vastus: 1; 3,5.

1. lehekülg 1-st 1

1. Süsteemi lahendamine asendusmeetodil.
2. Süsteemi lahendamine süsteemi võrrandite liigendite kaupa liitmise (lahutamise) teel.

Selleks, et lahendada võrrandisüsteemi asendusmeetod peate järgima lihtsat algoritmi:
1. Me väljendame. Mis tahes võrrandist väljendame ühte muutujat.
2. Asendus. Asendame väljendatud muutuja asemel teise võrrandiga saadud väärtuse.
3. Lahendame saadud võrrandi ühe muutujaga. Leiame süsteemile lahenduse.

Lahendada süsteem termini kaupa liitmise (lahutamise) teel vaja:
1. Vali muutuja, millele teeme samad koefitsiendid.
2. Liidame või lahutame võrrandid, mille tulemusena saame ühe muutujaga võrrandi.
3. Lahendame saadud lineaarvõrrandi. Leiame süsteemile lahenduse.

Süsteemi lahenduseks on funktsiooni graafikute lõikepunktid.

Vaatleme üksikasjalikult näidete abil süsteemide lahendust.

Näide nr 1:

Lahendame asendusmeetodil

2x+5y=1 (1 võrrand)
x-10y = 3 (2. võrrand)

1. Ekspress
On näha, et teises võrrandis on muutuja x koefitsiendiga 1, seega selgub, et muutujat x on kõige lihtsam väljendada teisest võrrandist.
x=3+10 a

2. Pärast väljendamist asendame esimeses võrrandis muutuja x asemel 3 + 10y.
2(3+10a)+5a=1

3. Lahendame saadud võrrandi ühe muutujaga.
2 (3 + 10 a) + 5 a = 1 (avatud sulud)
6+20a+5a=1
25a = 1-6
25 a = -5 |: (25)
y = -5:25
y = -0,2

Võrrandisüsteemi lahenduseks on graafikute lõikepunktid, seepärast tuleb leida x ja y, kuna lõikepunkt koosneb x ja y. Leiame x, esimeses lõigus, kus väljendasime, asendame seal y.
x=3+10 a
x=3+10*(-0,2)=1

Tavapäraselt kirjutatakse esimesele kohale punktid, muutuja x ja teiseks muutuja y.
Vastus: (1; -0,2)

Näide nr 2:

Lahendame termini kaupa liitmise (lahutamise) teel.

3x-2y=1 (1 võrrand)
2x-3y = -10 (2. võrrand)

1. Valige muutuja, oletame, et valime x. Esimeses võrrandis on muutuja x koefitsient 3, teises - 2. Peame muutma koefitsiendid samaks, selleks on meil õigus võrrandid korrutada või jagada mis tahes arvuga. Korrutame esimese võrrandi 2-ga ja teise 3-ga ning saame koefitsiendiks 6.

3x-2a=1 |*2
6x-4a = 2

2x-3a = -10 |*3
6x-9a = -30

2. Esimesest võrrandist lahutage teine, et vabaneda muutujast x. Lahendage lineaarvõrrand.
__6x-4a = 2

5a=32 | :5
y = 6,4

3. Leidke x. Asendame leitud y mis tahes võrrandis, oletame, et esimeses võrrandis.
3x-2a = 1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Lõikepunkt on x=4,6; y = 6,4
Vastus: (4,6; 6,4)

Kas soovite eksamiteks valmistuda tasuta? Juhendaja võrgus tasuta. Ilma naljata.