Tuletise definitsioon, selle geomeetriline tähendus. Mis on tuletis Tuletisfunktsiooni definitsioon ja tähendus

Teada saama geomeetriline väärtus tuletis, vaatleme funktsiooni y = f(x) graafikut. Võtame suvalise punkti M koordinaatidega (x, y) ja selle lähedal asuva punkti N (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Joonistame ordinaadid $\overline(M_(1) M)$ ja $\overline(N_(1) N)$ ning punktist M - OX-teljega paralleelse sirge.

Suhe $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ on nurga $\alpha $1 puutuja, mille moodustab sekant MN OX-telje positiivse suunaga. Kuna $\Delta $x kaldub nullile, läheneb punkt N punktile M ja sekandi MN piirasend on punktis M kõvera puutuja MT. Seega on tuletis f`(x) võrdne puutujaga nurga $\alpha $ puutuja poolt moodustatud kõvera punktis M (x, y) positiivse suunaga OX-telje suhtes – puutuja kalle (joon. 1).

Joonis 1. Funktsioonigraafik

Väärtuste arvutamisel valemite (1) abil on oluline mitte teha märkides vigu, sest juurdekasv võib olla ka negatiivne.

Kõveral asuv punkt N võib kalduda M-le igalt poolt. Seega, kui joonisel 1 on puutujale antud vastupidine suund, muutub nurk $\alpha $ summa $\pi $ võrra, mis mõjutab oluliselt nurga puutujat ja vastavalt ka nurkkoefitsienti.

Järeldus

Sellest järeldub, et tuletise olemasolu on seotud kõvera y = f(x) puutuja olemasoluga ja nurgakoefitsient - tg $\alpha $ = f`(x) on lõplik. Seetõttu ei tohiks puutuja olla paralleelne OY-teljega, vastasel juhul $\alpha $ = $\pi $/2 ja nurga puutuja on lõpmatu.

Mõnes punktis ei pruugi pideval kõveral puutuja olla või puutuja on paralleelne OY-teljega (joonis 2). Siis ei saa funktsioonil nendes väärtustes olla tuletist. Funktsioonikõveral võib olla suvaline arv sarnaseid punkte.

Joonis 2. Kõvera erandlikud punktid

Vaatleme joonist 2. Laske $\Delta $x nullida negatiivsetest või positiivsetest väärtustest:

\[\Delta x\to -0\begin(massiivi)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(massiivi)\]

Kui sel juhul on seostel (1) lõplik piir, tähistatakse seda järgmiselt:

Esimesel juhul on tuletis vasakul, teisel on tuletis paremal.

Piirmäära olemasolu näitab vasak- ja parempoolse tuletise samaväärsust ja võrdsust:

Kui vasak ja parem tuletis on ebavõrdsed, siis antud punktis on puutujad, mis ei ole paralleelsed OY-ga (punkt M1, joon. 2). Punktides M2, M3 seosed (1) kalduvad lõpmatuseni.

M2-st vasakul asuvate punktide N puhul $\Delta $x $

$M_2$ paremal, $\Delta $x $>$ 0, kuid avaldis on ka f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Vasakpoolse punkti $M_3$ jaoks $\Delta $x $$ 0 ja f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, s.o. avaldised (1) nii vasakul kui ka paremal on positiivsed ja kipuvad olema +$\infty $, kui $\Delta $x läheneb -0-le ja +0-le.

Tuletise puudumise juhtum sirge kindlates punktides (x = c) on toodud joonisel 3.

Joonis 3. Tuletised puuduvad

Näide 1

Joonisel 4 on kujutatud funktsiooni graafik ja graafiku puutuja abstsisspunktis $x_0$. Leia funktsiooni tuletise väärtus abstsissil.

Lahendus. Punkti tuletis on võrdne funktsiooni ja argumendi juurdekasvu suhtega. Valime kaks täisarvu koordinaatidega puutuja punkti. Olgu need näiteks punktid F (-3,2) ja C (-2,4).

Töö tüüp: 7

Seisund

Sirge y=3x+2 puutub funktsiooni y=-12x^2+bx-10 graafikuga. Leidke b, arvestades, et puutujapunkti abstsiss vähem kui null.

Lahendus

Olgu x_0 funktsiooni y=-12x^2+bx-10 graafikul oleva punkti abstsiss, mida selle graafiku puutuja läbib.

Tuletise väärtus punktis x_0 on võrdne puutuja kaldega, st y"(x_0)=-24x_0+b=3. Teisest küljest kuulub puutujapunkt samaaegselt mõlemale puutepunkti graafikule. funktsioon ja puutuja ehk -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Saame võrrandisüsteemi \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(juhtumid)

Selle süsteemi lahendamisel saame x_0^2=1, mis tähendab kas x_0=-1 või x_0=1. Abstsisstingimuse järgi on puutujapunktid väiksemad kui null, seega x_0=-1, siis b=3+24x_0=-21.

Vastus

Töö tüüp: 7
Teema: Tuletiste geomeetriline tähendus. Funktsiooni graafiku puutuja

Seisund

Sirge y=-3x+4 on paralleelne funktsiooni y=-x^2+5x-7 graafiku puutujaga. Leidke puutujapunkti abstsiss.

Lahendus

Funktsiooni y=-x^2+5x-7 graafiku sirge nurkkoefitsient suvalises punktis x_0 võrdub y"(x_0). Aga y"=-2x+5, mis tähendab y" (x_0)=-2x_0+5. Tingimuses määratud sirge y=-3x+4 koefitsient on nurk võrdne -3. Paralleeljoontel on samad kaldetegurid. Seetõttu leiame väärtuse x_0, et =- 2x_0 +5=-3.

Saame: x_0 = 4.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase" Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Töö tüüp: 7
Teema: Tuletiste geomeetriline tähendus. Funktsiooni graafiku puutuja

Seisund

Lahendus

Jooniselt määrame, et puutuja läbib punkte A(-6; 2) ja B(-1; 1). Tähistagem C(-6; 1) sirgete x=-6 ja y=1 lõikepunkti ning \alphaga nurk ABC (joonisel on näha, et see on terav). Siis moodustab sirge AB Hrja telje positiivse suunaga nurga \pi -\alpha, mis on nüri.

Nagu teada, on tg(\pi -\alpha) funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x_0. Märka seda tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Siit saame redutseerimisvalemeid kasutades: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Töö tüüp: 7
Teema: Tuletiste geomeetriline tähendus. Funktsiooni graafiku puutuja

Seisund

Sirge y=-2x-4 puutub funktsiooni y=16x^2+bx+12 graafikuga. Leidke b, arvestades, et puutujapunkti abstsiss on suurem kui null.

Lahendus

Olgu x_0 funktsiooni y=16x^2+bx+12 graafikul oleva punkti abstsiss, mille kaudu

on selle graafiku puutuja.

Tuletise väärtus punktis x_0 on võrdne puutuja kaldega, st y"(x_0)=32x_0+b=-2. Teisest küljest kuulub puutujapunkt samaaegselt mõlemale puutepunkti graafikule. funktsioon ja puutuja ehk 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Saame võrrandisüsteemi \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(juhtumid)

Süsteemi lahendades saame x_0^2=1, mis tähendab kas x_0=-1 või x_0=1. Abstsisstingimuse järgi on puutujapunktid suuremad kui null, seega x_0=1, siis b=-2-32x_0=-34.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Töö tüüp: 7
Teema: Tuletiste geomeetriline tähendus. Funktsiooni graafiku puutuja

Seisund

Joonisel on kujutatud intervallil (-2; 8) defineeritud funktsiooni y=f(x) graafik. Määrake punktide arv, milles funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne sirgega y=6.

Lahendus

Sirge y=6 on paralleelne Ox-teljega. Seetõttu leiame punktid, kus funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne Ox-teljega. Sellel diagrammil on sellised punktid äärmuspunktid (maksimaalsed või miinimumpunktid). Nagu näete, on 4 äärmuspunkti.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Töö tüüp: 7
Teema: Tuletiste geomeetriline tähendus. Funktsiooni graafiku puutuja

Seisund

Sirge y=4x-6 on paralleelne funktsiooni y=x^2-4x+9 graafiku puutujaga. Leidke puutujapunkti abstsiss.

Lahendus

Funktsiooni y=x^2-4x+9 graafiku puutuja kalle suvalises punktis x_0 võrdub y"(x_0). Aga y"=2x-4, mis tähendab y"(x_0)= 2x_0-4. Tingimuses määratud puutuja y =4x-7 kalle on võrdne 4. Paralleeljoontel on samad nurgakoefitsiendid. Seetõttu leiame väärtuse x_0 sellise, et 2x_0-4 = 4. saada: x_0 = 4.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Töö tüüp: 7
Teema: Tuletiste geomeetriline tähendus. Funktsiooni graafiku puutuja

Seisund

Joonisel on kujutatud funktsiooni y=f(x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x_0. Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x_0.

Lahendus

Jooniselt määrame, et puutuja läbib punkte A(1; 1) ja B(5; 4). Tähistagem C(5; 1) sirgete x=5 ja y=1 lõikepunkti ning \alphaga nurka BAC (joonisel on näha, et see on terav). Siis moodustab sirge AB Hrja telje positiivse suunaga nurga \alpha.

Loeng: Tuletisfunktsiooni mõiste, geomeetriline tähendus tuletis

Vaatleme mõnda funktsiooni f(x), mis on pidev kogu vaatlusvahemiku jooksul. Vaadeldaval intervallil valime punkti x 0, samuti funktsiooni väärtuse selles punktis.

Niisiis, vaatame graafikut, millele märgime oma punkti x 0, samuti punkti (x 0 + ∆x). Tuletage meelde, et ∆х on kahe valitud punkti vaheline kaugus (erinevus).

Samuti tasub mõista, et iga x vastab omaväärtus funktsioonid y.

Funktsiooni väärtuste erinevust punktides x 0 ja (x 0 + ∆x) nimetatakse selle funktsiooni juurdekasvuks: ∆у = f(x 0 + ∆x) - f(x 0).

Pöörame tähelepanu lisateabele, mis on graafikul saadaval - see on sekant, mida nimetatakse KL-ks, samuti kolmnurk, mille see moodustab intervallidega KN ja LN.

Nurka, mille all sekant asub, nimetatakse selle kaldenurgaks ja tähistatakse α-ga. Kergesti saab kindlaks teha, et nurga LKN kraadimõõt on samuti võrdne α-ga.

Nüüd meenutame suhtarvud täisnurkne kolmnurk tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.

See tähendab, et lõikenurga puutuja on võrdne funktsiooni ja argumendi juurdekasvu suhtega.

Ühel ajal on tuletis funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piir lõpmatu väikese intervalliga.

Tuletis määrab kiiruse, millega funktsioon teatud piirkonnas muutub.

Tuletise geomeetriline tähendus

Kui leiate teatud punktis mis tahes funktsiooni tuletise, saate määrata nurga, mille all antud voolus graafiku puutuja asub OX-telje suhtes. Pöörake tähelepanu graafikule - tangentsiaalne kaldenurk on tähistatud tähega φ ja määratakse koefitsiendiga k sirgjoone võrrandis: y = kx + b.

See tähendab, et võime järeldada, et tuletise geomeetriline tähendus on puutuja nurga puutuja funktsiooni mõnes punktis.

Mis on tuletis?
Tuletisfunktsiooni definitsioon ja tähendus

Paljusid üllatab selle artikli ootamatu paigutus minu autori kursusel ühe muutuja funktsiooni tuletise ja selle rakenduste kohta. Lõppude lõpuks, nagu see on olnud kooliajast: standardõpik annab ennekõike tuletise definitsiooni, selle geomeetrilise, mehaanilise tähenduse. Järgmisena leiavad õpilased funktsioonide tuletised definitsiooni järgi ja alles siis täiustavad nad diferentseerimistehnikat kasutades tuletis tabelid.

Aga minu seisukohalt on järgmine lähenemine pragmaatilisem: esiteks on soovitatav HÄSTI MÕISTA funktsiooni piir ja eriti lõpmatult väikesed kogused. Fakt on see, et tuletise definitsioon põhineb limiidi mõistel, mida on selles vähe arvesse võetud koolikursus. Seetõttu ei mõista märkimisväärne osa teadmiste graniidi noortest tarbijatest tuletise olemust. Seega, kui teil on vähe teadmisi diferentsiaalarvutusest või tark aju pikki aastaid sai sellest pagasist edukalt lahti, palun alusta sellest funktsioonide piirangud. Samal ajal meisterdage/jätke meelde nende lahendus.

Seesama praktiline meel ütleb, et see on kõigepealt kasulik õppige leidma tuletisi, kaasa arvatud keeruliste funktsioonide tuletised. Teooria on teooria, aga nagu öeldakse, tahad alati eristada. Sellega seoses on parem läbida loetletud põhitunnid ja võib-olla diferentseerimise meister mõistmata isegi oma tegude olemust.

Soovitan pärast artikli lugemist alustada selle lehe materjalidega. Lihtsamad ülesanded tuletisinstrumentidega, kus käsitletakse eelkõige funktsiooni graafiku puutuja probleemi. Aga sa võid oodata. Fakt on see, et paljud tuletise rakendused ei nõua selle mõistmist ja pole üllatav, et teoreetiline tund ilmus üsna hilja - kui mul oli vaja selgitada suurenevate/kahanevate intervallide ja äärmuste leidmine funktsioonid. Pealegi oli ta teemal päris kaua. Funktsioonid ja graafikud”, kuni lõpuks otsustasin selle varem panna.

Seetõttu, kallid teekannud, ärge kiirustage tuletise olemust imema nagu näljased loomad, sest küllastus on maitsetu ja puudulik.

Funktsiooni suurenemise, kahanemise, maksimumi, miinimumi mõiste

Palju õppevahendid viia tuletise mõisteni, kasutades mõningaid praktilisi probleeme, ja ka mina jõudsin selleni huvitav näide. Kujutage ette, et me reisime linna, kuhu on võimalik jõuda erineval viisil. Heidame kohe kõrvale kõverad käänulised teed ja arvestame ainult sirgeid kiirteid. Kuid ka sirgjoonelised suunad on erinevad: linna pääseb mööda lauget kiirteed. Või mööda künklikku kiirteed – üles-alla, üles-alla. Teine tee läheb ainult ülesmäge ja teine ​​kogu aeg allamäge. Äärmuslikud entusiastid valivad marsruudi läbi järsu kalju ja järsu tõusuga kuru.

Kuid olenemata teie eelistustest on soovitatav piirkonda teada või vähemalt selle asukoht kindlaks teha topograafiline kaart. Mis siis, kui selline teave puudub? Saab ju valida näiteks sileda tee, aga selle tulemusena komistada rõõmsate soomlastega suusanõlvale. Pole tõsiasi, et navigaator ja isegi satelliidipilt annab usaldusväärseid andmeid. Seetõttu oleks tore raja reljeef vormistada matemaatika abil.

Vaatame mõnda teed (külgvaade):

Igaks juhuks tuletan meelde elementaarset tõsiasja: reisimist juhtub vasakult paremale. Lihtsuse huvides eeldame, et funktsioon pidev vaadeldavas piirkonnas.

Millised on selle graafiku omadused?

Vaheaegadega funktsiooni suureneb, st selle iga järgmine väärtus rohkem eelmine. Jämedalt öeldes on ajakava paigas alla üles(ronime mäkke). Ja intervallil funktsioon väheneb– iga järgmine väärtus vähem eelmine ja meie ajakava on käimas ülevalt alla(läheme nõlvast alla).

Pöörame tähelepanu ka üksikud punktid. Punktis, kuhu jõuame maksimaalselt, see on on olemas selline teelõik, kus väärtus on suurim (kõrgeim). Samal hetkel saavutatakse see miinimum, Ja on olemas selle naabruskond, kus väärtus on väikseim (madalaim).

Vaatleme klassis rangemat terminoloogiat ja määratlusi. funktsiooni äärmuste kohta, kuid praegu uurime veel üht oluline omadus: intervallidega funktsioon suureneb, kuid see suureneb Koos erinevatel kiirustel . Ja esimene asi, mis sulle silma hakkab, on see, et graafik tõuseb intervalli jooksul palju lahedam, kui intervallil . Kas tee järsust on võimalik mõõta matemaatiliste vahenditega?

Funktsiooni muutumise kiirus

Idee on järgmine: võtame mingi väärtuse (loe "delta x"), mida me kutsume argumentide juurdekasv, ja hakkame seda proovima oma tee erinevates punktides:

1) Vaatame kõige vasakpoolsemat punkti: distantsi läbides ronime nõlval kõrgusele (roheline joon). Kogust nimetatakse funktsiooni juurdekasv, ja sel juhul on see juurdekasv positiivne (väärtuste erinevus piki telge on suurem kui null). Loome suhte, mis mõõdab meie tee järsust. On ilmne, et see on üsna konkreetne number, ja kuna mõlemad sammud on positiivsed, siis .

Tähelepanu! Nimetused on ÜKS sümbolit, see tähendab, et te ei saa "X"-st "deltat" maha rebida ja neid tähti eraldi käsitleda. Loomulikult puudutab kommentaar ka funktsiooni juurdekasvu sümbolit.

Uurime saadud murdosa olemust sisukamalt. Olgem esialgu 20 meetri kõrgusel (vasakul mustas punktis). Pärast meetrite vahemaa läbimist (vasak punane joon) leiame end 60 meetri kõrguselt. Siis on funktsiooni juurdekasv meetrit (roheline joon) ja: . Seega igal meetril sellel teelõigul kõrgus suureneb keskmine 4 meetri võrra...unustasid oma ronimisvarustuse? =) Teisisõnu, konstrueeritud seos iseloomustab funktsiooni KESKMISE MUUTUMIST (antud juhul kasvu).

Märge : arvväärtusi Vaadeldav näide vastab joonise proportsioonidele vaid ligikaudselt.

2) Nüüd läheme sama kaugele kõige parempoolsemast mustast punktist. Siin on tõus astmelisem, seega on juurdekasv (karmiinpunane joon) suhteliselt väike ja suhe võrreldes eelmise juhtumiga on väga tagasihoidlik. Suhteliselt öeldes meetrit ja funktsiooni kasvukiirus on . See tähendab, et siin on tee iga meetri kohta keskmine pool meetrit tõusu.

3) Väike seiklus mäeküljel. Vaatame ülemist musta punkti, mis asub ordinaatteljel. Oletame, et see on 50 meetri märk. Ületame taas distantsi, mille tulemusena leiame end madalamalt - 30 meetri tasemelt. Kuna liikumine viiakse läbi ülevalt alla(telje "vastupidises" suunas), siis finaal funktsiooni juurdekasv (kõrgus) on negatiivne: meetrit (joonisel pruun segment). Ja sel juhul me juba räägime vähenemise kiirus Funktsioonid: , see tähendab, et selle lõigu teekonna iga meetri kohta väheneb kõrgus keskmine 2 meetri võrra. Hoolitse oma riiete eest viiendas punktis.

Nüüd esitame endale küsimuse: millist “mõõtestandardi” väärtust on kõige parem kasutada? See on täiesti arusaadav, 10 meetrit on väga karm. Neile mahub kergesti peale kümmekond hummocki. Olenemata konarustest, all võib olla sügav kuristik ja mõne meetri pärast on selle teine ​​külg veelgi järsu tõusuga. Seega ei saa me kümnemeetrisega selliste teelõikude kohta arusaadavat kirjeldust läbi suhte .

Ülaltoodud arutelust järeldub järgmine järeldus: kuidas vähem väärtust , seda täpsemalt kirjeldame tee topograafiat. Lisaks on tõesed järgmised faktid:

– Kellelegi tõstepunktid saate valida väärtuse (isegi kui see on väga väike), mis mahub konkreetse tõusu piiridesse. See tähendab, et vastav kõrguse juurdekasv on garanteeritud positiivne ja ebavõrdsus näitab õigesti funktsiooni kasvu nende intervallide igas punktis.

- Samamoodi, iga kaldepunkt on väärtus, mis sobib sellele kaldele täielikult. Järelikult on vastav kõrguse kasv selgelt negatiivne ja ebavõrdsus näitab õigesti funktsiooni vähenemist antud intervalli igas punktis.

– Eriti huvitav juhtum on siis, kui funktsiooni muutumise kiirus on null: . Esiteks on nullkõrguse juurdekasv () märk sujuvast teest. Ja teiseks on ka teisi huvitavaid olukordi, mille näiteid näete joonisel. Kujutage ette, et saatus on toonud meid mäe tippu, kus kotkasid lendlevad, või oru põhja, kus on krooksuvad konnad. Kui teha väike samm suvalises suunas, on kõrguse muutus tühine ja võime öelda, et funktsiooni muutumise kiirus on tegelikult null. Täpselt sellist pilti vaadeldi punktides.

Seega oleme jõudnud hämmastava võimaluseni funktsiooni muutumise kiiruse täiuslikuks iseloomustamiseks. Matemaatiline analüüs võimaldab ju suunata argumendi juurdekasvu nulli: st muuta see lõpmatult väike.

Selle tulemusena tekib teine loogiline küsimus: kas tee ja selle ajakava kohta on võimalik leida teine ​​funktsioon, mis annaks meile teada kõigi tasaste lõikude, tõusude, laskumiste, tippude, orgude ja ka kasvu/languse kiiruse kohta igas teekonna punktis?

Mis on tuletis? Tuletise definitsioon.
Tuletise ja diferentsiaali geomeetriline tähendus

Lugege hoolikalt ja mitte liiga kiiresti – materjal on lihtne ja kõigile kättesaadav! Pole hullu, kui mõnes kohas ei tundu midagi väga selget, võite alati hiljem artikli juurde naasta. Ütlen veel, kõigi punktide põhjalikuks mõistmiseks on kasulik teooriat mitu korda uurida (nõuanne on eriti oluline "tehniliste" õpilaste jaoks, kelle jaoks on kõrgmatemaatika õppeprotsessis oluline roll).

Loomulikult asendame tuletise definitsioonis selle punktis järgmisega:

Milleni me oleme jõudnud? Ja jõudsime järeldusele, et seadusejärgse funktsiooni jaoks pannakse vastavusse muu funktsioon, mida nimetatakse tuletisfunktsioon(või lihtsalt tuletis).

Tuletis iseloomustab muutuse kiirus funktsioonid Kuidas? Idee jookseb punase niidina artikli algusest peale. Mõelgem mõnele punktile määratluspiirkond funktsioonid Olgu funktsioon antud punktis diferentseeruv. Seejärel:

1) Kui , siis funktsioon suureneb punktis . Ja ilmselgelt on olemas intervall(isegi väga väike), mis sisaldab punkti, kus funktsioon kasvab, ja selle graafik läheb "alt üles".

2) Kui , siis funktsioon väheneb punktis . Ja seal on intervall, mis sisaldab punkti, kus funktsioon väheneb (graafik läheb "ülevalt alla").

3) Kui , siis lõpmatult lähedal punkti lähedal hoiab funktsioon oma kiirust konstantsena. See juhtub, nagu märgitud, püsiva funktsiooni ja funktsiooni kriitilistes punktides, eriti miinimum- ja maksimumpunktides.

Natuke semantikat. Mida tähendab tegusõna "erituma" laiemas tähenduses? Eristada tähendab tunnuse esiletõstmist. Funktsiooni eristamisega “isoleerime” selle muutumise kiiruse funktsiooni tuletise kujul. Mida, muide, tähendab sõna "tuletis"? Funktsioon juhtus funktsioonist.

Mõisteid tõlgendab väga edukalt tuletise mehaaniline tähendus :
Vaatleme keha koordinaatide muutumise seadust olenevalt ajast ja antud keha liikumiskiiruse funktsiooni. Funktsioon iseloomustab keha koordinaatide muutumise kiirust, seetõttu on see funktsiooni esimene tuletis aja suhtes: . Kui mõistet “keha liikumine” looduses ei eksisteeriks, siis seda ei oleks tuletis mõiste "keha kiirus".

Keha kiirendus on kiiruse muutumise kiirus, seega: . Kui algseid mõisteid “keha liikumine” ja “keha kiirus” looduses ei eksisteeriks, siis poleks neid olemaski tuletis"keha kiirenduse" mõiste.

Tunni eesmärgid:

Õpilased peaksid teadma:

• mida nimetatakse sirge kaldeks;
• nurk sirgjoone ja härja telje vahel;
• mis on tuletise geomeetriline tähendus;
• funktsiooni graafiku puutuja võrrand;
• meetod parabooli puutuja konstrueerimiseks;
• oskama teoreetilisi teadmisi praktikas rakendada.

Tunni eesmärgid:

Hariduslik: luua õpilastele tingimused teadmiste, oskuste ja oskuste süsteemi valdamiseks tuletise mehaanilise ja geomeetrilise tähenduse mõistetega.

Hariduslik: kujundada õpilastes teaduslik maailmavaade.

Arendav: arendada õpilaste kognitiivset huvi, loovust, tahet, mälu, kõnet, tähelepanu, kujutlusvõimet, taju.

Õppe- ja tunnetustegevuse korraldamise meetodid:

• visuaalne;
• praktiline;
• vaimse tegevuse järgi: induktiivne;
• materjali assimilatsiooni järgi: osaliselt otsimine, paljunemine;
• iseseisvuse astme järgi: laboritööd;
• stimuleeriv: julgustamine;
• kontroll: suuline frontaaluuring.

Tunniplaan

1. Suulised harjutused (leia tuletis)
2. Õpilassõnum teemal „Põhjused matemaatiline analüüs”.
3. Uue materjali õppimine
4. Phys. Üks minut.
5. Ülesannete lahendamine.
6. Laboratoorsed tööd.
7. Õppetunni kokkuvõte.
8. Kodutööde kommenteerimine.

Varustus: multimeediaprojektor (esitlus), kaardid ( laboritööd).

"Inimene saavutab midagi ainult seal, kus ta usub oma jõududesse"

L. Feuerbach

Tunni organiseeritus kogu tunni vältel, õpilaste valmisolek tunniks, kord ja distsipliin.

Õpieesmärkide seadmine õpilastele nii kogu tunniks kui ka selle üksikuteks etappideks.

Määrake õpitava materjali olulisus nii selles teemas kui ka kogu kursuses.

Sõnaline loendamine

1. Leidke tuletised:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Loogika test.

a) Sisesta puuduv avaldis.

Teaduse arengu üldise suuna määravad lõppkokkuvõttes inimtegevuse praktika nõuded. Kompleksse hierarhilise juhtimissüsteemiga iidsete osariikide olemasolu oleks olnud võimatu ilma aritmeetika ja algebra piisava arendamiseta, sest maksude kogumine, armee varude korraldamine, paleede ja püramiidide ehitamine ning niisutussüsteemide loomine nõudis keerukaid arvutusi. Renessansiajal laienesid sidemed keskaegse maailma eri osade vahel, arenes kaubandus ja käsitöö. Algab kiire tootmistehnilise taseme tõus ning tööstuslikult võetakse kasutusele uued energiaallikad, mis ei ole seotud inimeste ega loomade lihaste pingutustega. XI-XII sajandil ilmusid täis- ja kudumismasinad ning XV keskel - trükipress. Seoses ühiskondliku tootmise kiire arengu vajadusega sel perioodil muutus iidsetest aegadest kirjeldavate loodusteaduste olemus. Loodusteaduse eesmärk on loodusprotsesside, mitte objektide süvendatud uurimine. Matemaatika, mis opereeris konstantsete suurustega, vastas antiikaja kirjeldavale loodusteadusele. Oli vaja luua matemaatiline aparaat, mis kirjeldaks mitte protsessi tulemust, vaid selle kulgemise olemust ja omaseid mustreid. Selle tulemusena lõpetasid 12. sajandi lõpuks Newton Inglismaal ja Leibniz Saksamaal matemaatilise analüüsi loomise esimese etapi. Mis on "matemaatiline analüüs"? Kuidas saab iseloomustada ja ennustada mis tahes protsessi omadusi? Kas kasutada neid funktsioone? Süveneda sügavamale konkreetse nähtuse olemusse?

Lähme Newtoni ja Leibnizi teed ning vaatame, kuidas saame protsessi analüüsida, pidades seda aja funktsiooniks.

Tutvustame mitmeid mõisteid, mis aitavad meid edasi.

Lineaarfunktsiooni y=kx+ b graafik on sirge, kutsutakse arv k sirgjoone kalle. k=tg, kus on sirge nurk, see tähendab nurk selle sirge ja Ox-telje positiivse suuna vahel.

Pilt 1

Vaatleme funktsiooni y=f(x) graafikut. Joonistame ristmiku läbi mis tahes kahe punkti, näiteks sekant AM. (Joon.2)

Sekandi nurgakoefitsient k=tg. Täisnurkses kolmnurgas AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Joonis 2

Joonis 3

Mõiste “kiirus” ise iseloomustab ühe suuruse muutumise sõltuvust teise suuruse muutusest ja viimane ei pea tingimata olema aeg.

Niisiis, sekandi kaldenurga puutuja tg = .

Meid huvitab koguste muutuste sõltuvus lühema aja jooksul. Suuname argumendi juurdekasvu nulli. Siis valemi parem pool on funktsiooni tuletis punktis A (selgitage, miks). Kui x -> 0, siis liigub punkt M mööda graafikut punkti A, mis tähendab, et sirge AM läheneb mingile sirgele AB, mis on funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja punktis A. (Joon.3)

Sekandi kaldenurk kaldub puutuja kaldenurgale.

Tuletise geomeetriline tähendus seisneb selles, et tuletise väärtus punktis on võrdne punktis oleva funktsiooni graafiku puutuja kaldega.

Tuletise mehaaniline tähendus.

Puutenurga puutuja on väärtus, mis näitab funktsiooni hetkelist muutumise kiirust antud punktis, st uuritava protsessi uut tunnust. Leibniz nimetas seda suurust tuletis, ja Newton ütles, et tuletist ennast nimetatakse hetkeliseks kiirust.

nr 91 lg 1 lk 91 – näidata tahvlil.

Kõvera puutuja f(x) = x 3 nurkkoefitsient punktis x 0 – 1 on selle funktsiooni tuletise väärtus x = 1. f’(1) = 3x 2 ; f’(1) = 3.

Nr 91 (3.5) – diktaat.

nr 92(1) – soovi korral tahvlil.

nr 92 (3) – iseseisvalt suulise testimisega.

nr 92 (5) – juhatuse juures.

Vastused: 45 0, 135 0, 1,5 e 2.

Eesmärk: arendada välja mõiste "tuletise mehaaniline tähendus".

Tuletisinstrumentide rakendused mehaanikas.

Punkti x = x(t), t sirgjoonelise liikumise seadus on antud.

1. Keskmine liikumiskiirus kindlaksmääratud aja jooksul;
2. Kiirus ja kiirendus ajahetkel t 04
3. Peatushetked; kas punkt pärast peatumishetke jätkab liikumist samas suunas või hakkab liikuma vastassuunas;
4. Suurim kiirus liikumised kindlaksmääratud aja jooksul.

Tööd tehakse 12 variandi järgi, ülesanded on eristatud raskusastme järgi (esimene variant on madalaim raskusaste).

Enne tööle asumist vestlus järgmistel küsimustel:

1. Mida füüsiline tähendus nihke tuletis? (Kiirus).
2. Kas kiiruse tuletist on võimalik leida? Kas seda suurust kasutatakse füüsikas? Kuidas seda nimetatakse? (Kiirendus).
3. Hetkeline kiirus võrdne nulliga. Mida saab öelda keha liikumise kohta praegusel hetkel? (See on peatumise hetk).
4. Mis on järgmiste väidete füüsikaline tähendus: liikumise tuletis on punktis t 0 võrdne nulliga; kas tuletis muudab märki punkti t 0 läbimisel? (Keha peatub; liikumise suund muutub vastupidiseks).

Näidis õpilastöödest.

x(t) = t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.

Joonis 4

Vastupidises suunas.

Joonistame kiiruse skemaatilise diagrammi. Suurim kiirus saavutatakse punktis

t = 10, v (10) = 3 · 10 2 -4 · 10 = 300-40 = 260

Joonis 5

1) Mis on tuletise geomeetriline tähendus?
2) Mis on tuletise mehaaniline tähendus?
3) Tee oma töö kohta järeldus.

lk 90. nr 91(2,4,6), nr 92(2,4,6,), lk 92 nr 112.

Kasutatud Raamatud

• Õpik Algebra ja analüüsi algus.
  Autorid: Yu.M. Koljagin, M.V. Tkatšova, N.E. Fedorova, M.I. Šabunina.
  Toimetanud A. B. Žižtšenko.
• Algebra 11. klass. Tunniplaanid Sh. A. Alimovi, Yu. M. Koljagini, Yu. V. Sidorovi õpiku järgi. 1. osa.
• Interneti-ressursid: