Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteem ja selle lahendused. Leia süsteemi ja fsr üldlahendus

Antud maatriksid

Leidke: 1) aA - bB,

Lahendus: 1) Leiame selle järjestikku, kasutades maatriksi arvuga korrutamise ja maatriksite liitmise reegleid.

2. Leidke A*B, kui

Lahendus: Kasutame maatrikskorrutamise reeglit

Vastus:

3. Sest antud maatriks leida moll M 31 ja arvutada determinant.

Lahendus: Minor M 31 on maatriksi determinant, mis saadakse A-st

pärast rea 3 ja veeru 1 läbikriipsutamist. Leiame

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Teisendame maatriksi A ilma determinanti muutmata (teeme reas 1 nullid)

Nüüd arvutame maatriksi A determinandi laiendamise teel piki rida 1

Vastus: M 31 = 0, detA = 0

Lahendage Gaussi meetodil ja Crameri meetodil.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Lahendus: Kontrollime

Võite kasutada Crameri meetodit

Süsteemi lahendus: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Rakendame Gaussi meetodit.

Taandagem süsteemi laiendatud maatriks kolmnurkseks.

Arvutamise hõlbustamiseks vahetame read:

Korrutage 2. rida arvuga (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) ja lisage 3. kohale:

Korrutage esimene rida arvuga (k = -2 / 2 = -1 ) ja lisage teisele:

Nüüd saab algse süsteemi kirjutada järgmiselt:

x 1 = 1 – (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 – (6 x 3)

Alates 2. reast väljendame

Alates 1. reast väljendame

Lahendus on sama.

Vastus: (2; -5; 3)

Otsi ühine otsus süsteemid ja FSR

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11 x 1 – 2 x 2 + x 3 – 2 x 4 – 3 x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Lahendus: Rakendame Gaussi meetodit. Taandagem süsteemi laiendatud maatriks kolmnurkseks.

Korrutage 1. rida arvuga (-11). Korrutage 2. rida arvuga (13). Lisame 2. rea esimesele:

Korrutage 2. rida arvuga (-5). Korrutame 3. rea (11-ga). Liidame 3. rea teisele:

Korrutage 3. rida arvuga (-7). Korrutame 4. rea (5-ga). Liidame neljanda rea ​​kolmandale:

Teine võrrand on teiste lineaarne kombinatsioon

Leiame maatriksi auaste.

Valitud moll on kõrgeima järguga (võimalikest minoorsetest) ja nullist erinev (see võrdub tagurpidi diagonaalil olevate elementide korrutisega), seega rang(A) = 2.

See alaealine on elementaarne. See sisaldab tundmatute x 1, x 2 koefitsiente, mis tähendab, et tundmatud x 1, x 2 on sõltuvad (põhilised) ja x 3, x 4, x 5 on vabad.

Selle maatriksi koefitsientidega süsteem on samaväärne algse süsteemiga ja sellel on vorm:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Kasutades tundmatute kõrvaldamise meetodit, leiame ühine otsus:

x 2 = – 4/3 x 3 – x 4 – 3/2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Leiame fundamentaalse lahenduste süsteemi (FSD), mis koosneb (n-r) lahendustest. Meie puhul n = 5, r = 2, seega põhisüsteem Lahendused koosneb 3 lahendusest ja need lahendused peavad olema lineaarselt sõltumatud.

Et read oleksid lineaarselt sõltumatud, on vajalik ja piisav, et reaelementidest koosneva maatriksi aste oleks võrdne ridade arvuga ehk 3-ga.

Piisab, kui anda vabadele tundmatutele x 3 , x 4 , x 5 väärtused 3. järku determinandi ridadelt, mis ei ole null, ja arvutada x 1 , x 2 .

Lihtsaim nullist erinev determinant on identiteedimaatriks.

Aga siit on mugavam kaasa võtta

Leiame üldist lahendust kasutades:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

FSRi I otsus: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II FSR lahus: (0; -6; 0; 6;0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

FSR-i III otsus: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; -9; 0; 0;6)

6. Antud: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Leidke: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

Lahendus: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Vastus: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i

Lineaarvõrrandit nimetatakse homogeenne, kui selle vaba liige on võrdne nulliga ja muul juhul ebahomogeenne. Homogeensetest võrranditest koosnevat süsteemi nimetatakse homogeenseks ja sellel on üldine vorm:

On ilmne, et iga homogeenne süsteem on järjekindel ja sellel on null (triviaalne) lahendus. Seetõttu seoses homogeensete süsteemidega lineaarvõrrandid sageli tuleb otsida vastust nullist erineva lahenduste olemasolu küsimusele. Vastuse sellele küsimusele saab sõnastada järgmise teoreemina.

Teoreem . Homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil on nullist erinev lahend siis ja ainult siis, kui selle auaste on vähem numbrit teadmata .

Tõestus: Oletame, et süsteemil, mille auaste on võrdne, on nullist erinev lahend. Ilmselgelt see ei ületa. Juhul, kui süsteemil on unikaalne lahendus. Kuna homogeensete lineaarvõrrandite süsteemil on alati nulllahendus, siis nulllahendus on see ainulaadne lahendus. Seega on nullist erinevad lahendused võimalikud ainult .

Järeldus 1 : Homogeensel võrrandisüsteemil, milles võrrandite arv on väiksem kui tundmatute arv, on alati nullist erinev lahend.

Tõestus: Kui võrrandisüsteemil on , siis süsteemi aste ei ületa võrrandite arvu, s.t. . Seega on tingimus täidetud ja seetõttu on süsteemil nullist erinev lahendus.

Järeldus 2 : Tundmatutega homogeensel võrrandisüsteemil on nullist erinev lahend siis ja ainult siis, kui selle determinant on null.

Tõestus: Oletame, et lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemil, mille maatriks determinandiga , on nullist erinev lahend. Siis vastavalt tõestatud teoreemile ja see tähendab, et maatriks on ainsus, st. .

Homogeenne lineaarne süsteem algebralised võrrandid .

M lineaarvõrrandist koosnevat n muutujaga süsteemi nimetatakse lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemiks, kui kõik vabaliikmed on võrdsed 0-ga. Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteem on alati järjekindel, sest sellel on alati vähemalt nulllahendus. Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemil on nullist erinev lahend siis ja ainult siis, kui selle muutujate koefitsientide maatriksi aste on väiksem muutujate arvust, s.o. auastme jaoks A (n. Mis tahes lineaarne kombinatsioon

Lin süsteemi lahendused. homogeenne. ur-ii on ka selle süsteemi lahendus.

Lineaarsete sõltumatute lahendite e1, e2,...,еk süsteemi nimetatakse fundamentaalseks, kui süsteemi iga lahendus on lahenduste lineaarne kombinatsioon. Teoreem: kui lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi muutujate koefitsientide maatriksi aste r on väiksem kui muutujate arv n, siis koosneb iga süsteemi põhilahenduste süsteem n-r lahendusi. Seetõttu lineaarsüsteemi üldlahendus. üks päev ur-th on kujul: c1e1+c2e2+...+skek, kus e1, e2,..., ek on mis tahes põhilahenduste süsteem, c1, c2,...,ck on suvalised arvud ja k=n-r. M lineaarvõrrandisüsteemi n muutujaga üldlahend on võrdne summaga

sellele vastava süsteemi üldlahendusest on homogeenne. lineaarvõrrandid ja selle süsteemi suvaline konkreetne lahendus.

7. Lineaarsed ruumid. Alamruumid. Alus, mõõde. Lineaarne kest. Lineaarset ruumi nimetatakse n-mõõtmeline, kui see sisaldab lineaarselt sõltumatute vektorite süsteemi ja iga suurema arvu vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv. Numbrile helistatakse mõõde (mõõtmete arv) lineaarruum ja seda tähistatakse . Teisisõnu, ruumi mõõde on selle ruumi lineaarselt sõltumatute vektorite maksimaalne arv. Kui selline arv on olemas, siis nimetatakse ruumi lõplikuks mõõtmeliseks. Kui kellegi jaoks naturaalarv n ruumis on lineaarselt sõltumatutest vektoritest koosnev süsteem, siis nimetatakse sellist ruumi lõpmatumõõtmeliseks (kirjutatud: ). Kui pole öeldud teisiti, käsitletakse järgnevas lõplikke ruume.

N-mõõtmelise lineaarruumi aluseks on lineaarselt sõltumatute vektorite järjestatud kogum ( baasvektorid).

Teoreem 8.1 vektori laienemisest baasi järgi. Kui on n-mõõtmelise lineaarruumi alus, siis saab iga vektori esitada baasvektorite lineaarse kombinatsioonina:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+et
ja pealegi ainsal viisil, s.o. koefitsiendid määratakse üheselt. Teisisõnu, mis tahes ruumivektorit saab laiendada baasiks ja pealegi ainulaadsel viisil.

Tõepoolest, ruumi mõõde on . Vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu (see on alus). Pärast suvalise vektori baasile lisamist saame lineaarselt sõltuva süsteemi (kuna see süsteem koosneb n-mõõtmelise ruumi vektoritest). Kasutades 7 lineaarselt sõltuva ja lineaarselt sõltumatu vektori omadust, saame teoreemi järelduse.

Lineaaralgebra võrrandite (SLAE) süsteemide lahendamine on kahtlemata kõige olulisem teema lineaaralgebra kursusel. Suurepärane summa matemaatika kõigi harude ülesanded taandatakse lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisele. Need tegurid selgitavad selle artikli põhjust. Artikli materjal on valitud ja struktureeritud nii, et selle abiga saate

• valida oma lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks optimaalne meetod,
• uurida valitud meetodi teooriat,
• lahendage oma lineaarvõrrandisüsteem, kaaludes tüüpiliste näidete ja probleemide üksikasjalikke lahendusi.

Artikli materjali lühikirjeldus.

Esiteks anname kõik vajalikud definitsioonid, mõisted ja tutvustame tähistusi.

Järgmisena käsitleme meetodeid lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks, milles võrrandite arv on võrdne tundmatute muutujate arvuga ja millel on kordumatu lahendus. Esiteks keskendume Crameri meetodile, teiseks näitame maatriksmeetodit selliste võrrandisüsteemide lahendamiseks, kolmandaks analüüsime Gaussi meetodit (meetod järjestikune elimineerimine tundmatud muutujad). Teooria kinnistamiseks lahendame kindlasti mitu SLAE-d erineval viisil.

Seejärel liigume edasi lineaarsete algebraliste üldkujuliste võrrandite süsteemide lahendamise juurde, milles võrrandite arv ei lange kokku tundmatute muutujate arvuga või süsteemi põhimaatriks on singulaarne. Sõnastame Kroneckeri-Capelli teoreemi, mis võimaldab kindlaks teha SLAE-de ühilduvuse. Analüüsime süsteemide (kui need on ühilduvad) lahendust kontseptsiooni abil põhimoll maatriksid. Vaatleme ka Gaussi meetodit ja kirjeldame üksikasjalikult näidete lahendusi.

Kindlasti peatume ka lineaarsete algebraliste võrrandite homogeensete ja mittehomogeensete süsteemide üldlahenduse struktuuril. Toome välja fundamentaallahenduste süsteemi mõiste ja näitame, kuidas SLAE üldlahend kirjutatakse, kasutades põhilahenduste süsteemi vektoreid. Parema mõistmise huvides vaatame mõnda näidet.

Kokkuvõtteks vaatleme nii võrrandisüsteeme, mida saab taandada lineaarseteks, kui ka erinevaid ülesandeid, mille lahendamisel tekivad SLAE-d.

Leheküljel navigeerimine.

Definitsioonid, mõisted, tähistused.

Vaatleme p lineaarsete algebraliste võrrandite süsteeme n tundmatu muutujaga (p võib olla võrdne n) kujul

Tundmatud muutujad, - koefitsiendid (mõned reaal- või kompleksarvud), - vabad liikmed (ka reaal- või kompleksarvud).

Seda SLAE salvestamise vormi nimetatakse koordineerida.

IN maatriksvorm selle võrrandisüsteemi kirjutamisel on vorm,
Kus - süsteemi põhimaatriks, - tundmatute muutujate veerumaatriks, - vabade terminite veerumaatriks.

Kui maatriksile A lisada (n+1) veeruks vabade terminite maatriks-veerg, saame nn. laiendatud maatriks lineaarvõrrandisüsteemid. Tavaliselt tähistatakse laiendatud maatriksit tähega T ja vabade terminite veerg eraldatakse ülejäänud veergudest vertikaalse joonega, st

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamine Seda nimetatakse tundmatute muutujate väärtuste kogumiks, mis muudab kõik süsteemi võrrandid identiteetideks. Tundmatute muutujate antud väärtuste maatriksvõrrandist saab samuti identiteet.

Kui võrrandisüsteemil on vähemalt üks lahend, siis seda nimetatakse liigend.

Kui võrrandisüsteemil pole lahendeid, siis nimetatakse seda mitteliigeste.

Kui SLAE-l on ainulaadne lahendus, nimetatakse seda teatud; kui lahendusi on rohkem kui üks, siis – ebakindel.

Kui süsteemi kõigi võrrandite vabaliikmed on võrdsed nulliga , siis kutsutakse süsteem välja homogeenne, muidu - heterogeenne.

Lineaaralgebralise võrrandi elementaarsüsteemide lahendamine.

Kui süsteemi võrrandite arv on võrdne tundmatute muutujate arvuga ja selle põhimaatriksi determinant ei ole võrdne nulliga, siis nimetatakse selliseid SLAE-sid. elementaarne. Sellistel võrrandisüsteemidel on ainulaadne lahendus ja homogeense süsteemi korral on kõik tundmatud muutujad võrdsed nulliga.

Hakkasime selliseid SLAEsid uurima aastal Keskkool. Nende lahendamisel võtsime ühe võrrandi, väljendasime ühe tundmatu muutuja teistega ja asendasime selle ülejäänud võrranditega, seejärel võtsime järgmise võrrandi, väljendasime järgmise tundmatu muutuja ja asendasime selle teiste võrranditega jne. Või kasutasid nad liitmismeetodit, st lisasid kaks või enam võrrandit, et kõrvaldada mõned tundmatud muutujad. Me ei peatu nendel meetoditel üksikasjalikult, kuna need on sisuliselt Gaussi meetodi modifikatsioonid.

Lineaarvõrrandi elementaarsüsteemide lahendamise peamised meetodid on Crameri meetod, maatriksmeetod ja Gaussi meetod. Sorteerime need ära.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Crameri meetodil.

Oletame, et peame lahendama lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi

milles võrrandite arv võrdub tundmatute muutujate arvuga ja süsteemi põhimaatriksi determinant erineb nullist ehk .

Laskma olema süsteemi põhimaatriksi determinant ja - maatriksite determinandid, mis saadakse A-st asendamise teel 1., 2., …, n veerus vastavalt vabade liikmete veergu:

Selle tähise korral arvutatakse tundmatud muutujad, kasutades Crameri meetodi valemeid as . Nii leitakse Crameri meetodi abil lahendus lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemile.

Näide.

Crameri meetod .

Lahendus.

Süsteemi põhimaatriksil on vorm . Arvutame selle determinandi (vajadusel vaadake artiklit):

Kuna süsteemi põhimaatriksi determinant on nullist erinev, on süsteemil ainulaadne lahendus, mille saab leida Crameri meetodil.

Koostame ja arvutame välja vajalikud determinandid (determinandi saame, kui asendame maatriksi A esimese veeru vabade liikmete veeruga, determinandi, asendades teise veeru vabade liikmete veeruga ja maatriksi A kolmanda veeru asendades vabade liikmete veeruga) :

Tundmatute muutujate leidmine valemite abil :

Vastus:

Crameri meetodi peamiseks puuduseks (kui seda võib nimetada puuduseks) on determinantide arvutamise keerukus, kui võrrandite arv süsteemis on suurem kui kolm.

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamine maatriksmeetodil (pöördmaatriksi abil).

Olgu lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem antud maatriksi kujul, kus maatriksi A mõõtmed on n korda n ja selle determinant on nullist erinev.

Kuna Maatriks A on inverteeritav, see tähendab, et on olemas pöördmaatriks. Kui korrutada võrdsuse mõlemad pooled vasakpoolsega, saame valemi tundmatute muutujate maatriks-veeru leidmiseks. Nii saime maatriksmeetodil lahenduse lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemile.

Näide.

Lahendage lineaarvõrrandisüsteem maatriks meetod.

Lahendus.

Kirjutame võrrandisüsteemi ümber maatriksi kujul:

Sest

siis saab SLAE-d lahendada maatriksmeetodi abil. Kasutades pöördmaatriks selle süsteemi lahenduse võib leida järgmiselt .

Koostame maatriksi A elementide algebralistest liitmistest maatriksi abil pöördmaatriksi (vajadusel vaata artiklit):

Jääb üle arvutada tundmatute muutujate maatriks, korrutades pöördmaatriksi vabaliikmete maatriks-veerule (vajadusel vaadake artiklit):

Vastus:

või mõnes teises tähises x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Lineaaralgebraliste võrrandite süsteemidele maatriksmeetodi abil lahenduste leidmisel on põhiprobleemiks pöördmaatriksi leidmise keerukus, eriti ruutmaatriksid järjekord suurem kui kolmandik.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Gaussi meetodil.

Oletame, et peame leidma lahenduse n lineaarse võrrandi süsteemile, millel on n tundmatu muutuja
mille põhimaatriksi determinant erineb nullist.

Gaussi meetodi olemus koosneb tundmatute muutujate järjestikusest kõrvaldamisest: esiteks jäetakse süsteemi kõigist võrranditest välja x 1, alustades teisest, seejärel jäetakse x 2 kõigist võrranditest välja, alustades kolmandast jne, kuni jääb alles ainult tundmatu muutuja x n. viimases võrrandis. Seda süsteemivõrrandite teisendamise protsessi tundmatute muutujate järjestikuseks kõrvaldamiseks nimetatakse otsene Gaussi meetod. Pärast Gaussi meetodi ettepoole suunatud käigu lõpetamist leitakse x n viimasest võrrandist, kasutades seda eelviimase võrrandi väärtust, arvutatakse x n-1 ja nii edasi, leitakse x 1 esimesest võrrandist. Tundmatute muutujate arvutamise protsessi süsteemi viimaselt võrrandilt esimesele liikumisel nimetatakse Gaussi meetodi pöördvõrdeline.

Kirjeldame lühidalt tundmatute muutujate kõrvaldamise algoritmi.

Eeldame, et , kuna me saame selle alati saavutada süsteemi võrrandite ümberkorraldamisega. Eemaldame tundmatu muutuja x 1 kõigist süsteemi võrranditest, alustades teisest. Selleks liidame süsteemi teisele võrrandile esimese, korrutatuna -ga, kolmandale võrrandile liidame esimese, korrutatuna -ga ja nii edasi, n-ndale võrrandile liidame esimese, korrutatuna . Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju

kus ja .

Oleksime jõudnud samale tulemusele, kui oleksime x 1 väljendanud süsteemi esimeses võrrandis teiste tundmatute muutujate kaudu ja asendanud saadud avaldise kõigi teiste võrranditega. Seega jäetakse muutuja x 1 kõigist võrranditest välja, alates teisest.

Järgmisena jätkame sarnaselt, kuid ainult osaga saadud süsteemist, mis on joonisel märgitud

Selleks liidame süsteemi kolmandale võrrandile teise, korrutatuna -ga, neljandale võrrandile teise, korrutatuna -ga ja nii edasi, n-ndale võrrandile liidame teise, korrutatuna . Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju

kus ja . Seega jäetakse muutuja x 2 kõigist võrranditest välja, alates kolmandast.

Järgmisena jätkame tundmatu x 3 kõrvaldamisega, samal ajal toimime sarnaselt joonisel märgitud süsteemiosaga

Seega jätkame Gaussi meetodi otsest edenemist, kuni süsteem võtab kuju

Sellest hetkest alustame Gaussi meetodi vastupidist: arvutame x n viimasest võrrandist kui , kasutades saadud x n väärtust, leiame eelviimasest võrrandist x n-1 ja nii edasi, leiame esimesest võrrandist x 1 .

Näide.

Lahendage lineaarvõrrandisüsteem Gaussi meetod.

Lahendus.

Jätame süsteemi teisest ja kolmandast võrrandist välja tundmatu muutuja x 1. Selleks lisame teise ja kolmanda võrrandi mõlemale poolele esimese võrrandi vastavad osad, korrutatuna vastavalt ja:

Nüüd eemaldame x 2 kolmandast võrrandist, lisades selle vasakule ja paremale küljele teise võrrandi vasaku ja parema külje, korrutades:

See lõpetab Gaussi meetodi edasikäigu; alustame tagurpidikäiku.

Saadud võrrandisüsteemi viimasest võrrandist leiame x 3:

Teisest võrrandist saame .

Esimesest võrrandist leiame allesjäänud tundmatu muutuja ja lõpetame sellega Gaussi meetodi vastupidise variandi.

Vastus:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamine.

Üldiselt ei lange süsteemi p võrrandite arv kokku tundmatute muutujate arvuga n:

Sellistel SLAE-del ei pruugi olla lahendusi, neil võib olla üks lahendus või lõpmatult palju lahendusi. See väide kehtib ka võrrandisüsteemide kohta, mille põhimaatriks on ruut ja ainsus.

Kronecker-Capelli teoreem.

Enne lineaarvõrrandisüsteemi lahenduse leidmist on vaja kindlaks teha selle ühilduvus. Küsimusele, millal SLAE on ühilduv ja millal vastuoluline, annab vastuse Kronecker-Capelli teoreem:
Selleks, et n tundmatuga võrrandite süsteem p (p võib olla võrdne n) oleks järjekindel, on vajalik ja piisav, et süsteemi põhimaatriksi auaste oleks võrdne laiendatud maatriksi astmega, st. , Aste(A)=Aste(T).

Vaatleme näiteks Kroneckeri–Capelli teoreemi rakendamist lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvuse määramiseks.

Näide.

Uurige, kas lineaarvõrrandisüsteemil on lahendusi.

Lahendus.

. Kasutame alaealiste piiritlemise meetodit. Teise järgu alaealine nullist erinev. Vaatame sellega piirnevaid kolmanda järgu alaealisi:

Kuna kõik kolmanda järgu piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, on põhimaatriksi auaste võrdne kahega.

Omakorda laiendatud maatriksi auaste on võrdne kolmega, kuna moll on kolmandat järku

nullist erinev.

Seega Vahemik (A), seega võime Kroneckeri-Capelli teoreemi kasutades järeldada, et algne lineaarvõrrandisüsteem on vastuoluline.

Vastus:

Süsteemil pole lahendusi.

Niisiis oleme õppinud tuvastama süsteemi ebakõla Kroneckeri-Capelli teoreemi abil.

Aga kuidas leida lahendus SLAE-le, kui selle ühilduvus on kindlaks tehtud?

Selleks vajame maatriksi alusmolli mõistet ja teoreemi maatriksi järgu kohta.

Alaealine kõrgeim järjekord nimetatakse nullist erinevat maatriksit A põhilised.

Põhimolli definitsioonist järeldub, et selle järjekord on võrdne maatriksi auastmega. Nullist erineva maatriksi A korral võib olla mitu põhimolli, alati on üks põhimoll.

Mõelge näiteks maatriksile .

Kõik selle maatriksi kolmandat järku minoorsed väärtused on võrdsed nulliga, kuna selle maatriksi kolmanda rea ​​elemendid on esimese ja teise rea vastavate elementide summa.

Järgmised teist järku alaealised on põhilised, kuna need on nullist erinevad

Alaealised ei ole põhilised, kuna need on võrdsed nulliga.

Maatriksjärgu teoreem.

Kui maatriksi järjestus p võrra n on võrdne r-ga, siis kõik maatriksi rea (ja veeru) elemendid, mis ei moodusta valitud põhimollori, väljendatakse lineaarselt vastavate rea (ja veeru) elementidena. alus alaealine.

Mida ütleb meile maatriksi auaste teoreem?

Kui oleme Kroneckeri–Capelli teoreemi järgi tuvastanud süsteemi ühilduvuse, siis valime süsteemi põhimaatriksist suvalise alusmolli (selle järjekord on võrdne r-ga) ja jätame süsteemist välja kõik võrrandid, mis seda teevad. ei moodusta valitud alusmolli. Sel viisil saadud SLAE on samaväärne esialgsega, kuna kõrvalejäetud võrrandid on endiselt üleliigsed (maatriksi järgu teoreemi järgi on need ülejäänud võrrandite lineaarne kombinatsioon).

Selle tulemusena on pärast süsteemi mittevajalike võrrandite kõrvalejätmist võimalik kaks juhtumit.

Kui saadud süsteemis on võrrandite arv r võrdne tundmatute muutujate arvuga, siis on see kindel ja ainsa lahenduse saab leida Crameri meetodil, maatriksmeetodil või Gaussi meetodil.

Näide.

.

Lahendus.

Süsteemi põhimaatriksi aste on võrdne kahega, kuna moll on teist järku nullist erinev. Laiendatud Matrix Rank on samuti võrdne kahega, kuna ainus kolmanda järgu moll on null

ja eespool käsitletud teist järku moll erineb nullist. Kroneckeri–Capelli teoreemi põhjal saame väita algse lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvust, kuna Rank(A)=Aste(T)=2.

Aluseks võtame molli . See moodustub esimese ja teise võrrandi koefitsientidest:


Süsteemi kolmas võrrand ei osale põhimolli moodustamisel, seega jätame selle maatriksi järgu teoreemi alusel süsteemist välja:


Nii saime lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi. Lahendame selle Crameri meetodil:


Vastus:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Kui saadud SLAE võrrandite arv r on väiksem kui tundmatute muutujate arv n, siis jätame võrrandite vasakule poolele baasi moodustavad liikmed minoorseks ja kanname ülejäänud liikmed üle parameetri paremale küljele. vastupidise märgiga süsteemi võrrandid.

Nimetatakse tundmatuid muutujaid (r neist), mis jäävad võrrandite vasakule küljele peamine.

Nimetatakse tundmatuid muutujaid (seal on n - r tükki), mis asuvad paremal pool tasuta.

Nüüd usume, et vabad tundmatud muutujad võivad võtta suvalisi väärtusi, samas kui r peamist tundmatut muutujat väljendatakse vabade tundmatute muutujate kaudu ainulaadsel viisil. Nende väljenduse saab leida, lahendades saadud SLAE, kasutades Crameri meetodit, maatriksmeetodit või Gaussi meetodit.

Vaatame seda näitega.

Näide.

Lahendage lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem .

Lahendus.

Leiame süsteemi põhimaatriksi auastme alaealiste piiritlemise meetodil. Võtame 1 1 = 1 kui nullist erinevat esimest järku minoori. Alustame selle molliga piirneva teist järku nullist erineva molli otsimist:


Nii leidsime teist järku nullist erineva molli. Hakkame otsima kolmandat järku nullist erineva piiriga molli:


Seega on põhimaatriksi auaste kolm. Laiendatud maatriksi auaste on samuti võrdne kolmega, see tähendab, et süsteem on järjekindel.

Võtame aluseks leitud kolmanda järgu nullist erineva molli.

Selguse huvides näitame elemente, mis moodustavad põhialuse:


Jätame süsteemivõrrandite vasakusse serva alusmolliga seotud terminid ja kanname ülejäänud vastasmärkidega paremale poole:


Anname vabadele tundmatutele muutujatele x 2 ja x 5 suvalised väärtused, st aktsepteerime , kus on suvalised arvud. Sel juhul võtab SLAE vormi


Lahendame saadud lineaarsete algebraliste võrrandite elementaarsüsteemi Crameri meetodi abil:


Seega,.

Ärge unustage oma vastuses märkida tasuta tundmatuid muutujaid.

Vastus:

Kus on suvalised arvud.

Tehke kokkuvõte.

Üldiste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks määrame kõigepealt kindlaks selle ühilduvuse Kroneckeri-Capelli teoreemi abil. Kui põhimaatriksi auaste ei ole võrdne laiendatud maatriksi auastmega, järeldame, et süsteem ei ühildu.

Kui põhimaatriksi auaste on võrdne laiendatud maatriksi auastmega, siis valime alus-molli ja jätame kõrvale süsteemi võrrandid, mis ei osale valitud alus-molli moodustamisel.

Kui alusmolli järjekord on võrdne tundmatute muutujate arvuga, siis on SLAE-l unikaalne lahendus, mille saab leida mistahes meile teadaoleva meetodiga.

Kui alusminoori järjekord on väiksem kui tundmatute muutujate arv, siis jätame süsteemivõrrandite vasakule poolele põhitundmatute muutujatega terminid, kanname ülejäänud liikmed paremale poole ja anname suvalised väärtused. vabad tundmatud muutujad. Saadud lineaarvõrrandisüsteemist leiame peamised tundmatud muutujad, kasutades Crameri meetodit, maatriksmeetodit või Gaussi meetodit.

Gaussi meetod üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks.

Gaussi meetodit saab kasutada mis tahes tüüpi lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks ilma nende järjepidevuse kontrollimiseta. Tundmatute muutujate järjestikuse kõrvaldamise protsess võimaldab teha järelduse nii SLAE ühilduvuse kui ka mittesobivuse kohta ning kui lahendus on olemas, siis see võimaldab seda leida.

Arvutuslikust seisukohast eelistatakse Gaussi meetodit.

Vaata ette Täpsem kirjeldus ja analüüsis artiklis näiteid Gaussi meetodist üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks.

Homogeensete ja ebahomogeensete lineaarsete algebrasüsteemide üldlahenduse kirjutamine, kasutades põhilahenduste süsteemi vektoreid.

Selles osas räägime samaaegsetest homogeensetest ja mittehomogeensetest lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemidest, millel on lõpmatu arv lahendeid.

Kõigepealt käsitleme homogeenseid süsteeme.

Fundamentaalne lahenduste süsteem n tundmatu muutujaga p lineaarsete algebraliste võrrandite homogeenne süsteem on selle süsteemi (n – r) lineaarselt sõltumatute lahendite kogum, kus r on süsteemi põhimaatriksi alusmolli järjekord.

Kui tähistame homogeense SLAE lineaarselt sõltumatuid lahendusi kui X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) on veerulised maatriksid mõõtmega n 1) , siis on selle homogeense süsteemi üldlahend kujutatud põhilahenduste süsteemi vektorite lineaarse kombinatsioonina suvalise konstantsed koefitsiendid C1, C2, ..., C (n-r), see tähendab.

Mida tähendab mõiste homogeense lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi (oroslau) üldlahend?

Tähendus on lihtne: valem määrab kõik võimalikud lahendused algne SLAE, teisisõnu, võttes suvaliste konstantide C 1, C 2, ..., C (n-r) väärtuste komplekti, saame valemi järgi ühe algse homogeense SLAE lahendustest.

Seega, kui leiame fundamentaalse lahenduste süsteemi, saame kõik selle homogeense SLAE lahendused defineerida kui .

Näidakem homogeense SLAE põhilahenduste süsteemi konstrueerimise protsessi.

Valime algse lineaarvõrrandisüsteemi alusmolli, jätame süsteemist välja kõik teised võrrandid ja kanname kõik vabu tundmatuid muutujaid sisaldavad liikmed vastasmärkidega süsteemivõrrandite paremale poole. Anname vabadele tundmatutele muutujatele väärtused 1,0,0,...,0 ja arvutame peamised tundmatud, lahendades saadud lineaarvõrrandi elementaarsüsteemi mis tahes viisil, näiteks Crameri meetodi abil. Selle tulemuseks on X (1) – põhisüsteemi esimene lahendus. Kui anname vabadele tundmatutele väärtused 0,1,0,0,…,0 ja arvutame peamised tundmatud, saame X (2) . Ja nii edasi. Kui omistame vabadele tundmatutele muutujatele väärtused 0,0,…,0,1 ja arvutame peamised tundmatud, saame X (n-r) . Sel viisil konstrueeritakse homogeense SLAE põhilahenduste süsteem ja selle üldlahenduse saab kirjutada kujul .

Lineaarsete algebraliste võrrandite ebahomogeensete süsteemide korral esitatakse üldlahend kujul , kus on vastava homogeense süsteemi üldlahend ja algse mittehomogeense SLAE konkreetne lahendus, mille saame vabadele tundmatutele väärtused andes. ​0,0,...,0 ja peamiste tundmatute väärtuste arvutamine.

Vaatame näiteid.

Näide.

Leia põhilahenduste süsteem ja homogeense lineaaralgebralise võrrandisüsteemi üldlahendus .

Lahendus.

Homogeensete lineaarvõrrandisüsteemide põhimaatriksi järg on alati võrdne laiendatud maatriksi astmega. Leiame alaealiste ääristamise meetodil põhimaatriksi auaste. Esimest järku nullist erineva minoorina võtame süsteemi põhimaatriksi elemendi a 1 1 = 9. Leiame teist järku piirneva nullist erineva molli:

Leiti nullist erinev teist järku moll. Vaatame nullist erinevat otsides läbi sellega piirnevad kolmanda järgu alaealised:

Kõik kolmandat järku piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, seetõttu on põhi- ja laiendatud maatriksi auaste võrdne kahega. Võtame . Selguse huvides märgime selle moodustava süsteemi elemendid:

Algse SLAE kolmas võrrand ei osale põhimolli moodustamisel, seetõttu võib selle välistada:

Peamisi tundmatuid sisaldavad terminid jätame võrrandite paremale poolele ja vabade tundmatutega terminid kanname paremale poole:

Koostagem algse homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahenduste põhisüsteem. Selle SLAE põhilahenduste süsteem koosneb kahest lahendusest, kuna algne SLAE sisaldab nelja tundmatut muutujat ja selle põhimollide järjekord on võrdne kahega. X (1) leidmiseks anname vabadele tundmatutele muutujatele väärtused x 2 = 1, x 4 = 0, seejärel leiame võrrandisüsteemist peamised tundmatud
.

Jätkame oma tehnoloogia lihvimist elementaarsed teisendused peal homogeenne lineaarvõrrandisüsteem.
Esimeste lõikude põhjal võib materjal tunduda igav ja keskpärane, kuid selline mulje on petlik. Lisaks tehnikate edasiarendamisele tuleb palju uut teavet, seega proovige mitte jätta tähelepanuta käesolevas artiklis toodud näiteid.

Mis on homogeenne lineaarvõrrandisüsteem?

Vastus viitab iseenesest. Lineaarvõrrandisüsteem on homogeenne, kui vaba liige kõik süsteemi võrrand on null. Näiteks:

See on täiesti selge homogeenne süsteem on alati järjepidev st sellel on alati lahendus. Ja esiteks jääb silma nn triviaalne lahendus . Triviaalne, nende jaoks, kes omadussõna tähendusest üldse aru ei saa, tähendab ilma eputamist. Mitte muidugi akadeemiliselt, aga arusaadavalt =) ...Milleks peksa, uurime, kas sellel süsteemil on muid lahendusi:

Näide 1

Lahendus: homogeense süsteemi lahendamiseks on vaja kirjutada süsteemi maatriks ja viia see elementaarteisenduste abil astmelisele kujule. Pange tähele, et siin pole vaja vertikaalset riba ja vabade terminite nulli veergu üles kirjutada - lõppude lõpuks jäävad need nullideks, ükskõik mida te nullidega teete:

(1) Esimene rida liideti teisele reale, korrutatuna -2-ga. Esimene rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -3-ga.

(2) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -1-ga.

Kolmanda rea ​​3-ga jagamisel pole erilist mõtet.

Elementaarteisenduste tulemusena saadakse ekvivalentne homogeenne süsteem , ja kasutades Gaussi meetodi pöördväärtust, on lihtne kontrollida, kas lahendus on unikaalne.

Vastus:

Sõnastame ühe ilmse kriteeriumi: homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil on lihtsalt triviaalne lahendus, Kui süsteemimaatriksi auaste(antud juhul 3) on võrdne muutujate arvuga (antud juhul – 3 tükki).

Soojendame ja häälestame oma raadio elementaarsete teisenduste lainele:

Näide 2

Lahendage homogeenne lineaarvõrrandisüsteem

Algoritmi lõplikuks konsolideerimiseks analüüsime viimast ülesannet:

Näide 7

Lahendage homogeenne süsteem, kirjutage vastus vektorkujul.

Lahendus: kirjutame üles süsteemi maatriksi ja viime elementaarsete teisenduste abil astmelisele kujule:

(1) Esimese rea märk on muudetud. Veelkord juhin tähelepanu korduvalt kohatud tehnikale, mis võimaldab järgmist tegevust oluliselt lihtsustada.

(1) 2. ja 3. reale lisati esimene rida. Esimene rida, mis on korrutatud 2-ga, lisati 4. reale.

(3) Viimased kolm rida on proportsionaalsed, kaks neist on eemaldatud.

Selle tulemusena saadakse standardne astmemaatriks ja lahendus jätkub piki rihveldatud rada:

– põhimuutujad;
- vabad muutujad.

Väljendame põhimuutujaid vabade muutujatena. 2. võrrandist:

- asendage 1. võrrand:

Seega on üldine lahendus:

Kuna vaadeldavas näites on kolm vaba muutujat, sisaldab põhisüsteem kolme vektorit.

Asendame kolmikväärtusi üldlahendisse ja saada vektor, mille koordinaadid rahuldavad homogeense süsteemi iga võrrandi. Ja veel kord kordan, et on väga soovitatav kontrollida iga vastuvõetud vektorit - see ei võta palju aega, kuid see kaitseb teid täielikult vigade eest.

Väärtuste kolmiku eest leida vektor

Ja lõpuks kolmele saame kolmanda vektori:

Vastus: , Kus

Need, kes soovivad vältida murdosa väärtusi, võivad kaaluda kolmikuid ja saada vastus samaväärsel kujul:

Rääkides murdosadest. Vaatame ülesandes saadud maatriksit ja küsigem endalt: kas edasist lahendust on võimalik lihtsustada? Lõppude lõpuks väljendasime siin kõigepealt põhimuutujat murdude kaudu, seejärel murdude kaudu põhimuutujat ja pean ütlema, et see protsess ei olnud kõige lihtsam ja mitte kõige meeldivam.

Teine lahendus:

Mõte on proovida vali muud baasmuutujad. Vaatame maatriksit ja märkame kolmandas veerus kahte. Miks siis mitte olla ülaosas null? Teeme veel ühe elementaarse teisenduse:

Lase M 0 – homogeense lineaarvõrrandisüsteemi (4) lahenduste hulk.

Definitsioon 6.12. Vektorid Koos 1 ,Koos 2 , …, koos p, mis on homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahendid, nimetatakse põhiline lahenduste kogum(lühendatult FNR), kui

1) vektorid Koos 1 ,Koos 2 , …, koos p lineaarselt sõltumatud (st ühtki neist ei saa väljendada teistega);

2) mis tahes muud homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahendit saab väljendada lahenditena Koos 1 ,Koos 2 , …, koos p.

Pange tähele, et kui Koos 1 ,Koos 2 , …, koos p– suvaline f.n.r., siis väljend k 1× Koos 1 + k 2× Koos 2 + … + k p× koos p saate kirjeldada kogu komplekti M 0 lahendusi süsteemile (4), nii nimetatakse seda süsteemilahenduse üldvaade (4).

Teoreem 6.6. Igal määramatul homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil on põhiline lahenduste komplekt.

Põhilahenduste komplekti leidmise viis on järgmine:

Leia homogeense lineaarvõrrandisüsteemi üldlahendus;

Ehita ( n – r) selle süsteemi osalahendused, samas kui vabade tundmatute väärtused peavad moodustama identiteedimaatriksi;

Kirjutage üles sisalduva lahenduse üldine vorm M 0 .

Näide 6.5. Leidke põhilahenduste komplekt järgmisele süsteemile:

Lahendus. Leiame sellele süsteemile üldise lahenduse.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Selles süsteemis on viis tundmatut ( n= 5), millest on kaks peamist tundmatut ( r= 2), on kolm vaba tundmatut ( n – r), see tähendab, et põhilahenduste hulk sisaldab kolme lahendusvektorit. Ehitame need üles. Meil on x 1 ja x 3 – peamised tundmatud, x 2 , x 4 , x 5 – vabad tundmatud

Vabade tundmatute väärtused x 2 , x 4 , x 5 moodustavad identiteedimaatriksi E kolmas järjekord. Sain need vektorid kätte Koos 1 ,Koos 2 , Koos 3 vorm f.n.r. sellest süsteemist. Siis on selle homogeense süsteemi lahenduste hulk M 0 = {k 1× Koos 1 + k 2× Koos 2 + k 3× Koos 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Uurime nüüd homogeense lineaarvõrrandisüsteemi nullist mittevastavate lahendite olemasolu tingimusi ehk teisisõnu fundamentaalse lahendite hulga olemasolu tingimusi.

Homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil on nullist erinevad lahendid, see tähendab, et pole kindel, kas

1) süsteemi põhimaatriksi aste on väiksem kui tundmatute arv;

2) homogeenses lineaarvõrrandisüsteemis on võrrandite arv väiksem kui tundmatute arv;

3) kui homogeenses lineaarvõrrandisüsteemis võrdub võrrandite arv tundmatute arvuga ja põhimaatriksi determinant on võrdne nulliga (st | A| = 0).

Näide 6.6. Millise parameetri väärtusega a homogeenne lineaarvõrrandisüsteem on nullist erinevad lahendused?

Lahendus. Koostame selle süsteemi põhimaatriksi ja leiame selle determinandi: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Selle maatriksi determinant on võrdne nulliga a = –4.

Vastus: –4.

7. Aritmeetika n-mõõtmeline vektorruum

Põhimõisted

Eelmistes osades oleme juba kohanud mõistet teatud järjekorras paigutatud reaalarvude hulk. See on reamaatriks (või veerumaatriks) ja lineaarvõrrandisüsteemi lahendus n teadmata. Selle teabe võib kokku võtta.

Definitsioon 7.1. n-dimensiooniline aritmeetiline vektor nimetatakse tellitud komplektiks n reaalarvud.

Tähendab A= (a 1 , a 2 , …, a n), kus a iО R, i = 1, 2, …, n– vektori üldvaade. Number n helistas dimensioon vektorid ja arvud a i nimetatakse temaks koordinaadid.

Näiteks: A= (1, –8, 7, 4, ) – viiemõõtmeline vektor.

Kõik seatud n-mõõtmelisi vektoreid tähistatakse tavaliselt kui Rn.

Definitsioon 7.2. Kaks vektorit A= (a 1 , a 2 , …, a n) Ja b= (b 1 , b 2 , …, b n) sama mõõtmega võrdne siis ja ainult siis, kui nende vastavad koordinaadid on võrdsed, st a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Definitsioon 7.3.Summa kaks n-mõõtmelised vektorid A= (a 1 , a 2 , …, a n) Ja b= (b 1 , b 2 , …, b n) nimetatakse vektoriks a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).

Definitsioon 7.4. Töö tegelik arv k vektorile A= (a 1 , a 2 , …, a n) nimetatakse vektoriks k× A = (k×a 1, k×a 2, …, k×a n)

Definitsioon 7.5. Vektor O= (0, 0, …, 0) kutsutakse null(või nullvektor).

Lihtne on kontrollida, kas vektorite liitmise ja reaalarvuga korrutamise toimingutel (toimingutel) on järgmised omadused: " a, b, c Î Rn, " k, lО R:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + O = a;

4) a+ (–a) = O;

5) 1× a = a, 1 О R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Definitsioon 7.6. Trobikond Rn nimetatakse vektorite liitmise ja sellel antud reaalarvuga korrutamise operatsioonidega aritmeetiline n-mõõtmeline vektorruum.