Leidke üldine lahendus näidetega. Diferentsiaalvõrrandi järjekord ja selle lahendused, Cauchy ülesanne

Esimest järku diferentsiaalvõrrandid. Lahendusnäited.
Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandid

Diferentsiaalvõrrandid (DE). Need kaks sõna hirmutavad tavalist võhikut. Diferentsiaalvõrrandid näivad olevat midagi ennekuulmatut ja paljude õpilaste jaoks raskesti omandatavad. Oooooo... diferentsiaalvõrrandid Kuidas ma saan seda kõike üle elada?

Selline arvamus ja selline suhtumine on põhimõtteliselt vale, sest tegelikult DIFERENTSIAALVÕRRADID ON LIHTSALT JA ISEGI LÕBUSAD. Mida on vaja teada ja õppida diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks? Difuuride edukaks õppimiseks peate oskama hästi integreerida ja eristada. Mida paremini teemasid õpitakse Ühe muutuja funktsiooni tuletis ja Määramatu integraal, seda lihtsam on diferentsiaalvõrranditest aru saada. Ütlen veel, kui sul on enam-vähem korralik lõimumisoskus, siis on teema praktiliselt läbitud! Mida rohkem integraale erinevat tüüpi sa tead, kuidas otsustada - seda parem. Miks? Peate palju integreerima. Ja eristada. Samuti väga soovitadaõppige leidma.

95% juhtudest sisse kontrolltööd Esimest järku diferentsiaalvõrrandeid on 3 tüüpi: eraldatavad võrrandid, mida selles õppetükis käsitleme; homogeensed võrrandid ja lineaarsed mittehomogeensed võrrandid. Algajatele difuusoreid uurima soovitan lugeda selles järjestuses olevaid õppetunde ja pärast kahe esimese artikli lugemist ei tee haiget oma oskusi täiendavas töötoas kinnistada - võrrandid, mis taandavad homogeenseks.

On olemas veelgi haruldasemaid diferentsiaalvõrrandi tüüpe: võrrandid summaarsetes diferentsiaalides, Bernoulli võrrandid ja mõned teised. Kahest viimasest tüübist on kõige olulisemad summaarsete diferentsiaalide võrrandid, kuna lisaks sellele DE-le kaalun uut materjali - osaline integratsioon.

Kui teil on jäänud vaid päev või kaks, siis ülikiireks valmistamiseks seal on välkkursus pdf formaadis.

Niisiis, maamärgid on seatud - lähme:

Meenutagem esmalt tavalisi algebralisi võrrandeid. Need sisaldavad muutujaid ja numbreid. Lihtsaim näide:. Mida tähendab tavalise võrrandi lahendamine? See tähendab leida numbrite komplekt mis seda võrrandit rahuldavad. On lihtne näha, et laste võrrandil on üks juur: . Lõbu pärast kontrollime, asendame leitud juur meie võrrandiga:

- saadakse õige võrdsus, mis tähendab, et lahendus leitakse õigesti.

Difuusid on paigutatud umbes samamoodi!

Diferentsiaalvõrrand esimene tellimusüldiselt sisaldab:
1) sõltumatu muutuja ;
2) sõltuv muutuja (funktsioon);
3) funktsiooni esimene tuletis: .

Mõnes esimest järku võrrandis ei pruugi olla "x" või (ja) "y", kuid see pole oluline - oluline nii et DU-s oli esimene tuletis ja ei olnud kõrgema järgu tuletised - , jne.

Mida tähendab ? Diferentsiaalvõrrandi lahendamine tähendab leidmist kõigi funktsioonide komplekt mis seda võrrandit rahuldavad. Sellisel funktsioonide komplektil on sageli vorm ( on suvaline konstant), mida nimetatakse diferentsiaalvõrrandi üldlahendus.

Näide 1

Lahendage diferentsiaalvõrrand

Täis laskemoon. Kust alustada lahendus?

Kõigepealt peate tuletise veidi teistsugusel kujul ümber kirjutama. Meenutame tülikat märkimist, mida paljud teist ilmselt pidasid naeruväärseks ja ebavajalikuks. See on see, mis valitseb hajutites!

Teises etapis vaatame, kas see on võimalik jagada muutujad? Mida tähendab muutujate eraldamine? Jämedalt öeldes, vasakul pool me peame lahkuma ainult "mängud", a paremal pool korraldada ainult x-id. Muutujate eraldamine toimub "kooli" manipulatsioonide abil: sulud, terminite ülekandmine osast osasse märgivahetusega, tegurite ülekandmine osast osasse vastavalt proportsioonireeglile jne.

Diferentsiaalid ja on täielikud kordistajad ja aktiivsed vaenutegevuses osalejad. Selles näites on muutujad kergesti eraldatavad ümberpööramisteguritega vastavalt proportsioonireeglile:

Muutujad on eraldatud. Vasakul pool - ainult "Mäng", paremal - ainult "X".

Järgmine etapp - diferentsiaalvõrrandi integreerimine. See on lihtne, me riputame integraalid mõlemale osale:

Muidugi tuleb võtta integraalid. Sel juhul on need tabelina:

Nagu mäletame, määratakse igale antiderivaadile konstant. Siin on kaks integraali, kuid konstandi kirjutamisest piisab üks kord (sest konstant + konstant on ikkagi võrdne teise konstandiga). Enamikul juhtudel asetatakse see paremale küljele.

Rangelt võttes loetakse diferentsiaalvõrrand pärast integraalide võtmist lahendatuks. Ainus asi on see, et meie "y" ei väljendata "x" kaudu, see tähendab, et lahendus on esitatud implitsiitses vormi. Diferentsiaalvõrrandi kaudset lahendit nimetatakse diferentsiaalvõrrandi üldintegraal. See tähendab, et see on üldine integraal.

Sellisel kujul vastus on üsna vastuvõetav, kuid kas on paremat võimalust? Proovime saada ühine otsus .

Palun, mäleta esimest tehnikat, on see väga levinud ja seda kasutatakse sageli praktilistes ülesannetes: kui pärast integreerimist ilmub paremale poole logaritm, siis on paljudel juhtudel (aga mitte mingil juhul alati!) soovitatav kirjutada ka konstant logaritmi alla.

See on, SELLE ASEMEL tavaliselt kirjutatakse protokolle .

Miks seda vaja on? Ja selleks, et "y" väljendamine oleks lihtsam. Kasutame logaritmide omadust . Sel juhul:

Nüüd saab logaritme ja mooduleid eemaldada:

Funktsioon on selgelt esitatud. See on üldine lahendus.

Vastus: ühine otsus: .

Paljude diferentsiaalvõrrandite vastuseid on üsna lihtne kontrollida. Meie puhul tehakse seda üsna lihtsalt, võtame leitud lahenduse ja eristame seda:

Seejärel asendame tuletise algse võrrandiga:

- saadakse õige võrdsus, mis tähendab, et üldlahend vastab võrrandile , mida oli vaja kontrollida.

Konstanti andmine erinevaid tähendusi, võite saada lõpmatult palju eraotsused diferentsiaalvõrrand. On selge, et mis tahes funktsioonid , jne. rahuldab diferentsiaalvõrrandi .

Mõnikord nimetatakse üldist lahendust funktsioonide perekond. Selles näites üldlahendus on lineaarsete funktsioonide perekond või õigemini otseste proportsionaalsuste perekond.

Pärast esimese näite üksikasjalikku arutamist on asjakohane vastata mõnele naiivsed küsimused diferentsiaalvõrrandite kohta:

1)Selles näites õnnestus meil muutujad eraldada. Kas seda on alati võimalik teha? Ei mitte alati. Ja veelgi sagedamini ei saa muutujaid eraldada. Näiteks sisse homogeensed esimest järku võrrandid tuleb esmalt välja vahetada. Teist tüüpi võrrandites, näiteks esimest järku lineaarses mittehomogeenses võrrandis, peate üldlahenduse leidmiseks kasutama erinevaid nippe ja meetodeid. Eraldatavad muutujavõrrandid, mida me esimeses õppetükis vaatleme, on − lihtsaim tüüp diferentsiaalvõrrandid.

2) Kas diferentsiaalvõrrandit on alati võimalik integreerida? Ei mitte alati. Väga lihtne on välja mõelda "väljamõeldud" võrrand, mida ei saa integreerida, lisaks on integraale, mida ei saa võtta. Kuid selliseid DE-sid saab ligikaudu lahendada spetsiaalsete meetodite abil. D'Alembert ja Cauchy garanteerivad... ...uh, lurkmore. Ma lugesin just praegu palju, lisasin peaaegu "teisest maailmast".

3) Selles näites oleme saanud lahenduse üldintegraali kujul . Kas üldintegraalist on alati võimalik leida üldlahendus ehk väljendada "y" eksplitsiitses vormis? Ei mitte alati. Näiteks: . Noh, kuidas ma saan siin "y" väljendada?! Sellistel juhtudel tuleks vastus kirjutada üldise integraalina. Lisaks on mõnikord võimalik leida üldine lahendus, kuid see on nii kohmakalt ja kohmakalt kirjutatud, et parem on jätta vastus üldise integraali kujul

4) ...ehk praeguseks piisab. Esimeses näites me kohtusime teine oluline punkt , kuid selleks, et mitte katta "mannekeenid" uue info laviiniga, jätan selle järgmise õppetunnini.

Ärme kiirusta. Veel üks lihtne kaugjuhtimispult ja teine ​​tüüpiline lahendus:

Näide 2

Leia diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus, mis rahuldab algtingimust

Lahendus: vastavalt tingimusele, mida on vaja leida eraotsus DE, mis vastab antud algtingimusele. Sellist küsitlemist nimetatakse ka Cauchy probleem.

Esiteks leiame üldise lahenduse. Võrrandis pole muutujat “x”, kuid see ei tohiks olla piinlik, peaasi, et sellel oleks esimene tuletis.

Kirjutame tuletise nõutud kujul ümber:

Ilmselgelt saab muutujaid jagada, poisid vasakule, tüdrukud paremale:

Integreerime võrrandi:

Üldine integraal saadakse. Siin joonistasin aktsenttähega konstandi, tõsiasi on see, et varsti muutub see teiseks konstandiks.

Nüüd proovime teisendada üldist integraali üldlahenduseks (väljendage "y" selgesõnaliselt). Meenutame vana, head kooli: . Sel juhul:

Indikaatori konstant tundub kuidagi mitte koššer, seetõttu langetatakse see tavaliselt taevast maa peale. Üksikasjalikult juhtub see nii. Kasutades kraadide omadust, kirjutame funktsiooni ümber järgmiselt:

Kui on konstant, siis on ka mõni konstant, määrake see ümber tähega :

Pidage meeles, et konstandi "lammutamine" on teine ​​tehnika, mida kasutatakse sageli diferentsiaalvõrrandite lahendamise käigus.

Seega on üldine lahendus: Selline tore eksponentsiaalfunktsioonide perekond.

Viimases etapis peate leidma konkreetse lahenduse, mis vastab antud algtingimusele. See on ka lihtne.

Mis on ülesanne? Vaja korjata selline konstandi väärtus tingimuse rahuldamiseks .

Saate seda korraldada erineval viisil, kuid võib-olla on see kõige arusaadavam. Üldlahenduses asendame “x” asemel nulli ja “y” asemel kaks:



See on,

Standardse disaini versioon:

Nüüd asendame konstandi leitud väärtuse üldlahendusega:
– see on konkreetne lahendus, mida me vajame.

Vastus: privaatne lahendus:

Teeme kontrolli. Konkreetse lahenduse kontrollimine hõlmab kahte etappi:

Esmalt tuleb kontrollida, kas leitud konkreetne lahendus tõesti rahuldab algtingimust? "x" asemel asendame nulliga ja vaatame, mis juhtub:
- jah, tõepoolest, saadi kaks, mis tähendab, et algtingimus on täidetud.

Teine etapp on juba tuttav. Võtame saadud konkreetse lahenduse ja leiame tuletise:

Asendage algses võrrandis:

- saavutatakse õige võrdsus.

Järeldus: konkreetne lahendus leitakse õigesti.

Liigume edasi sisukamate näidete juurde.

Näide 3

Lahendage diferentsiaalvõrrand

Lahendus: Kirjutame tuletise ümber meile vajalikul kujul:

Hinnatakse, kas muutujaid saab eraldada? Saab. Teise termini kanname märgivahetusega paremale:

Ja me pöörame tegurid vastavalt proportsioonireeglile:

Muutujad on eraldatud, integreerime mõlemad osad:

Ma pean teid hoiatama, et kohtupäev on tulemas. Kui te pole hästi õppinud määramata integraalid, lahendas vähe näiteid, siis pole enam kuhugi minna - need tuleb nüüd meisterdada.

Vasaku külje integraali on lihtne leida, kotangensi integraaliga tegeleme standardtehnikaga, mida tunnis käsitlesime Trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine Möödunud aastal:

Paremal pool on meil logaritm ja minu esimese tehnilise soovituse kohaselt tuleks logaritmi alla kirjutada ka konstant.

Nüüd proovime üldist integraali lihtsustada. Kuna meil on ainult logaritmid, siis on täiesti võimalik (ja vajalik) neist lahti saada. Kasutades tuntud omadused maksimaalselt "pakkida" logaritme. Kirjutan väga üksikasjalikult:

Pakend on täielik, et olla barbaarselt räbaldunud:

Kas on võimalik väljendada "y"? Saab. Mõlemad osad peavad olema ruudukujulised.

Aga sa ei pea.

Kolmandaks tehniline nõustamine: kui üldise lahenduse saamiseks peate tõstma võimu või juurduma, siis Enamikel juhtudel peaksite nendest tegevustest hoiduma ja jätma vastuse üldise integraali kujul. Fakt on see, et üldine lahendus näeb lihtsalt kohutav välja - suurte juurte, siltide ja muu prügiga.

Seetõttu kirjutame vastuse üldise integraalina. Heaks vormiks peetakse selle esitamist vormis, st paremale küljele jätke võimalusel ainult konstant. Seda pole vaja teha, kuid alati on kasulik professorile meeldida ;-)

Vastus:üldine integraal:

! Märge: mis tahes võrrandi üldintegraali saab kirjutada rohkem kui ühel viisil. Seega, kui teie tulemus ei langenud kokku varem teadaoleva vastusega, ei tähenda see, et lahendasite võrrandi valesti.

Üldintegraali kontrollitakse ka üsna lihtsalt, peaasi, et leiaks kaudselt defineeritud funktsiooni tuletis. Eristagem vastust:

Korrutame mõlemad terminid arvuga:

Ja me jagame:

Algne diferentsiaalvõrrand saadi täpselt, mis tähendab, et üldintegraal leiti õigesti.

Näide 4

Leia diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus, mis rahuldab algtingimust. Käivitage kontroll.

See on näide sõltumatu lahendus.

Tuletan teile meelde, et algoritm koosneb kahest etapist:
1) üldlahenduse leidmine;
2) vajaliku konkreetse lahenduse leidmine.

Kontroll viiakse läbi ka kahes etapis (vt näidist näites nr 2), vajate:
1) veenduma, et leitud lahendus vastab algtingimusele;
2) kontrollida, kas konkreetne lahendus üldiselt rahuldab diferentsiaalvõrrandit.

Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Näide 5

Leia diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus , mis vastab esialgsele tingimusele. Käivitage kontroll.

Lahendus: Esmalt leiame üldlahenduse See võrrand sisaldab juba valmis diferentsiaale ja , mis tähendab, et lahendus on lihtsustatud. Muutujate eraldamine:

Integreerime võrrandi:

Vasakpoolne integraal on tabelikujuline, parempoolne integraal on võetud diferentsiaali märgi all oleva funktsiooni summeerimise meetod:

Üldintegraal on saadud, kas üldlahendit on võimalik edukalt väljendada? Saab. Me riputame logaritmid mõlemale küljele. Kuna need on positiivsed, on moodulmärgid üleliigsed:

(Loodan, et kõik saavad transformatsioonist aru, selliseid asju peaks juba teadma)

Seega on üldine lahendus:

Leiame konkreetse lahenduse, mis vastab antud algtingimusele .
Üldlahenduses asendame "x" asemel nulliga ja "y" asemel kahe logaritmiga:

Tuntum disain:

Asendame konstandi leitud väärtuse üldlahendiga.

Vastus: privaatne lahendus:

Kontrollige: kõigepealt kontrollige, kas esialgne tingimus on täidetud:
- kõik on hästi.

Nüüd kontrollime, kas leitud konkreetne lahendus diferentsiaalvõrrandit üldse rahuldab. Leiame tuletise:

Vaatame algset võrrandit: – see esitatakse diferentsiaalidena. Kontrollimiseks on kaks võimalust. Diferentsiaali leitud tuletisest on võimalik väljendada:

Asendame leitud konkreetse lahenduse ja saadud diferentsiaali algsesse võrrandisse :

Kasutame põhilogaritmilist identiteeti:

Saavutatakse õige võrdsus, mis tähendab, et konkreetne lahendus leitakse õigesti.

Teine kontrolliviis on peegeldatud ja tuttavam: võrrandist väljendage tuletist, selleks jagame kõik tükid järgmisega:

Ja teisendatud DE-s asendame saadud konkreetse lahendi ja leitud tuletise . Lihtsustuste tulemusena tuleks saavutada ka õige võrdsus.

Näide 6

Lahendage diferentsiaalvõrrand. Väljendage vastust üldise integraalina.

See on näide iseseisvaks lahendamiseks, täislahenduseks ja vastuseks tunni lõpus.

Millised raskused ootavad ees eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandite lahendamisel?

1) Alati pole (eriti teekannu puhul) ilmne, et muutujaid saab eraldada. Vaatleme tingimuslikku näidet: . Siin peate tegurid sulgudest välja võtma ja eraldama juured:. Kuidas edasi minna, on selge.

2) Integratsiooni enda raskused. Integraalid tekivad sageli mitte kõige lihtsamad ja kui leidmise oskustes on vigu määramatu integraal, siis on see paljude difuusoritega keeruline. Lisaks on kogumike ja käsiraamatute koostajate seas populaarne loogika “kuna diferentsiaalvõrrand on lihtne, siis olgu integraalid keerulisemad”.

3) Teisendused konstandiga. Nagu kõik on märganud, saab diferentsiaalvõrrandite konstandiga üsna vabalt hakkama ja mõni teisendus pole algajale alati selge. Vaatame veel ühte hüpoteetilist näidet: . Selles on soovitatav kõik terminid korrutada 2-ga: . Saadud konstant on ka mingi konstant, mida saab tähistada järgmiselt: . Jah, ja kuna paremal küljel on logaritm, on soovitatav konstant teiseks konstandiks ümber kirjutada: .

Häda on selles , et sageli ei viitsita indeksitega ja kasutatakse sama tähte . Selle tulemusena on otsuse protokoll järgmisel kujul:

Mis ketserlus? Siin on vead! Rangelt võttes jah. Sisulisest küljest aga vigu pole, sest muutujakonstandi teisenduse tulemusena saadakse ikkagi muutuvkonstant.

Või teine ​​näide, oletame, et võrrandi lahendamise käigus saadakse üldine integraal. See vastus näeb kole välja, seetõttu on soovitatav iga termini märki muuta: . Vormiliselt on jälle viga - paremal peaks olema kirjutatud . Kuid mitteametlikult antakse mõista, et "miinus ce" on endiselt konstant ( mis võtab sama hästi mis tahes väärtused!), seega pole "miinuse" panemine mõttekas ja saab kasutada sama tähte.

Püüan vältida hoolimatut lähenemist ja panen konstantide teisendamisel siiski üles erinevad indeksid.

Näide 7

Lahendage diferentsiaalvõrrand. Käivitage kontroll.

Lahendus: See võrrand lubab muutujate eraldamist. Muutujate eraldamine:

Integreerime:

Siinset konstanti ei pea defineerima logaritmi all, sest sellest ei tule midagi head.

Vastus:üldine integraal:

Kontrollige: eristage vastust (kaudne funktsioon):

Vabaneme murdudest, selleks korrutame mõlemad terminid arvuga:

Saadud on algne diferentsiaalvõrrand, mis tähendab, et üldintegraal on leitud õigesti.

Näide 8

Leidke DE konkreetne lahendus.
,

See on tee-seda-ise näide. Ainus vihje on see, et siit saate üldise integraali ja õigemini peate leidma mitte konkreetse lahenduse, vaid privaatne integraal. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Tavaline diferentsiaalvõrrand nimetatakse võrrandiks, mis ühendab sõltumatu muutuja, selle muutuja tundmatu funktsiooni ja selle erinevat järku tuletisi (või diferentsiaale).

Diferentsiaalvõrrandi järjekord on selles sisalduva tuletise kõrgeima järg.

Lisaks tavalistele uuritakse ka osadiferentsiaalvõrrandeid. Need on võrrandid, mis seostavad sõltumatuid muutujaid, nende muutujate tundmatut funktsiooni ja selle osalisi tuletisi samade muutujate suhtes. Kuid me kaalume ainult tavalised diferentsiaalvõrrandid ja seetõttu jätame lühiduse mõttes sõna "tavaline".

Diferentsiaalvõrrandite näited:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Võrrand (1) on neljandat järku, võrrand (2) on kolmandat järku, võrrandid (3) ja (4) on teist järku, võrrand (5) on esimest järku.

Diferentsiaalvõrrand n järjestus ei pea selgesõnaliselt sisaldama funktsiooni, kõik selle tuletised algusest kuni n järk ja sõltumatu muutuja. See ei pruugi selgesõnaliselt sisaldada mõne järgu tuletisi, funktsiooni, sõltumatut muutujat.

Näiteks võrrandis (1) puuduvad selgelt kolmanda ja teise järgu tuletised, samuti funktsioonid; võrrandis (2) - teist järku tuletis ja funktsioon; võrrandis (4) - sõltumatu muutuja; võrrandis (5) - funktsioonid. Ainult võrrand (3) sisaldab selgesõnaliselt kõiki tuletisi, funktsiooni ja sõltumatut muutujat.

Diferentsiaalvõrrandi lahendamisega kutsutakse mis tahes funktsiooni y = f(x), asendades selle võrrandiga, muutub see identiteediks.

Diferentsiaalvõrrandi lahenduse leidmise protsessi nimetatakse selle protsessiks integratsiooni.

Näide 1 Leia diferentsiaalvõrrandi lahendus.

Lahendus. Kirjutame selle võrrandi kujul . Lahendus on leida funktsioon selle tuletise järgi. Algfunktsioon, nagu on teada integraalarvutusest, on antiderivaat jaoks, s.o.

Seda see on antud diferentsiaalvõrrandi lahendus . muutumas selles C, saame erinevaid lahendusi. Saime teada, et esimest järku diferentsiaalvõrrandil on lõpmatu arv lahendusi.

Diferentsiaalvõrrandi üldlahend n järjekord on selle lahendus, mis on sõnaselgelt väljendatud tundmatu funktsiooni suhtes ja sisaldab n sõltumatud suvalised konstandid, st.

Diferentsiaalvõrrandi lahendus näites 1 on üldine.

Diferentsiaalvõrrandi osalahend nimetatakse sellist lahendust, kus suvalised konstandid on antud spetsiifilised arvväärtusi.

Näide 2 Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahendus ja konkreetne lahendus .

Lahendus. Integreerime võrrandi mõlemad pooled nii palju kordi, et diferentsiaalvõrrandi järjekord on võrdne.

,

.

Selle tulemusena saime üldise lahenduse -

antud kolmandat järku diferentsiaalvõrrand.

Nüüd leiame konkreetse lahenduse kindlaksmääratud tingimustel. Selleks asendame suvaliste koefitsientide asemel nende väärtused ja saame

.

Kui lisaks diferentsiaalvõrrandile on algtingimus antud kujul , siis sellist ülesannet nn. Cauchy probleem . Väärtused ja asendatakse võrrandi üldlahendusega ja leitakse suvalise konstandi väärtus C, ja seejärel leitud väärtuse võrrandi konkreetne lahendus C. See on Cauchy probleemi lahendus.

Näide 3 Lahendage Cauchy ülesanne näite 1 diferentsiaalvõrrandi jaoks tingimusel .

Lahendus. Asendame üldlahendusse algtingimuse väärtused y = 3, x= 1. Saame

Kirjutame Cauchy ülesande lahenduse antud esimest järku diferentsiaalvõrrandile:

Diferentsiaalvõrrandite, ka kõige lihtsamate, lahendamine eeldab häid oskusi integreerida ja tuletisi võtta, sealhulgas keerulisi funktsioone. Seda võib näha järgmises näites.

Näide 4 Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend.

Lahendus. Võrrand on kirjutatud sellisel kujul, et mõlemad pooled saab kohe integreerida.

.

Rakendame integreerimise meetodit muutuja muutmisega (asendamine). Lase siis.

Kohustuslik võtta dx ja nüüd - tähelepanu - teeme seda kompleksfunktsiooni eristamise reeglite järgi, kuna x ja seal on keeruline funktsioon ("õun" - ekstrakt ruutjuur või, mis on sama, tõstmine astmeni "üks sekund" ja "hakkliha" on juure all olev väljend):

Leiame integraali:

Tulles tagasi muutuja juurde x, saame:

.

See on selle esimese astme diferentsiaalvõrrandi üldlahendus.

Diferentsiaalvõrrandite lahendamisel pole vaja mitte ainult kõrgema matemaatika eelmiste osade oskusi, vaid ka alg- ehk koolimatemaatika oskusi. Nagu juba mainitud, ei pruugi mis tahes järku diferentsiaalvõrrandis olla sõltumatut muutujat, see tähendab muutujat x. Seda probleemi aitavad lahendada teadmised proportsioonide kohta, mis pole koolipingist ununenud (samas on kellelgi nii). See on järgmine näide.

Tuletage meelde probleemi, millega me kindlate integraalide leidmisel kokku puutusime:

või dy = f(x)dx. Tema lahendus:

ja see taandub arvutamisele määramatu integraal. Praktikas on tavalisem raskem ülesanne: funktsiooni leidmine y, kui on teada, et see rahuldab vormi seost

See seos seob sõltumatu muutuja x, tundmatu funktsioon y ja selle tuletised kuni järjekorras n kaasa arvatud, nimetatakse .

Diferentsiaalvõrrand sisaldab funktsiooni ühe või teise järgu tuletiste (või diferentsiaalide) märgi all. Kõrgeima järgu nimetatakse järjestuseks (9.1) .

Diferentsiaalvõrrandid:

- esimene tellimus

teine ​​järjekord,

- viies järjekord jne.

Funktsiooni, mis rahuldab antud diferentsiaalvõrrandit, nimetatakse selle lahenduseks , või integraal . Selle lahendamine tähendab kõigi selle lahenduste leidmist. Kui soovitud funktsiooni jaoks yõnnestus saada valem, mis annab kõik lahendused, siis ütleme, et oleme leidnud selle üldlahenduse , või üldine integraal .

Ühine otsus sisaldab n suvalised konstandid ja näeb välja nagu

Kui saadakse seos, mis seostub x, y ja n suvalised konstandid kujul, mis ei ole lubatud y -

siis nimetatakse sellist seost võrrandi (9.1) üldintegraaliks.

Cauchy probleem

Iga konkreetset lahendust, st iga konkreetset funktsiooni, mis rahuldab antud diferentsiaalvõrrandit ja ei sõltu suvalistest konstantidest, nimetatakse konkreetseks lahenduseks , või privaatne integraal. Konkreetsete lahenduste (integraalide) saamiseks üldistest lahendustest on vaja konstantidele lisada konkreetsed arvväärtused.

Konkreetse lahenduse graafikut nimetatakse integraalkõveraks. Üldlahendus, mis sisaldab kõiki konkreetseid lahendusi, on integraalkõverate perekond. Esimest järku võrrandi puhul sõltub see perekond ühest suvalisest konstandist; võrrandi puhul n järjekord - alates n suvalised konstandid.

Cauchy ülesanne on leida võrrandile konkreetne lahendus n järjekord, rahuldav n algtingimused:

mis määravad n konstanti с 1 , с 2 ,..., c n.

1. järku diferentsiaalvõrrandid

Lahendamata tuletise puhul on esimest järku diferentsiaalvõrrand kujul

või lubatud suhteliselt

Näide 3.46. Leidke võrrandile üldine lahendus

Lahendus. Integreerimine, saame

kus C on suvaline konstant. Kui anname C-le konkreetsed arvväärtused, saame konkreetsed lahendused, näiteks

Näide 3.47. Võtke arvesse pangas hoiustatud raha suurenevat summat, millele lisandub 100 r liitintressi aastas. Olgu Yo esialgne rahasumma ja Yx pärast aegumist x aastat. Kui intresse arvutatakse kord aastas, saame

kus x = 0, 1, 2, 3,.... Kui intressi arvutatakse kaks korda aastas, saame

kus x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Intressi arvutamisel n kord aastas ja kui x võtab järjestikku väärtused 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., siis

Tähistage 1/n = h , siis näeb eelmine võrdsus välja selline:

Piiramatu suurendusega n(at ) limiidis jõuame rahasumma suurendamise protsessini koos pideva intressi kogumisega:

Seega on näha, et pideva muutusega x rahamassi muutumise seadust väljendatakse 1. järku diferentsiaalvõrrandiga. kus Y x on tundmatu funktsioon, x- sõltumatu muutuja, r- pidev. Lahendame selle võrrandi, kirjutame selle ümber järgmiselt:

kus , või , kus P tähistab e C .

Algtingimustest Y(0) = Yo leiame P: Yo = Pe o , kust Yo = P. Seetõttu näeb lahendus välja selline:

Mõelge teisele majandusprobleemile. Makromajanduslikke mudeleid kirjeldavad ka I järgu lineaarsed diferentsiaalvõrrandid, mis kirjeldavad tulu või toodangu Y muutust aja funktsioonina.

Näide 3.48. Las rahvatulu Y kasvab proportsionaalselt selle suurusega:

ja olgu, valitsemissektori kulutuste puudujääk on proportsionaalsuskoefitsiendiga otseselt võrdeline tuluga Y q. Kulude puudujääk toob kaasa riigivõla kasvu D:

Algtingimused Y = Yo ja D = Do, kui t = 0. Esimesest võrrandist Y= Yoe kt . Asendades Y saame dD/dt = qYoe kt . Üldlahendusel on vorm
D = (q/ k) Yoe kt +С, kus С = const, mis määratakse algtingimustest. Asendades algtingimused, saame Do = (q/k)Yo + C. Niisiis, lõpuks,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

see näitab, et riigivõlg kasvab sama suhtelise kiirusega k, mis on rahvatulu.

Mõelge lihtsaimatele diferentsiaalvõrranditele n järjekorras, need on vormi võrrandid

Selle üldise lahenduse saab kasutada kasutades n integratsiooni ajad.

Näide 3.49. Vaatleme näidet y """ = cos x.

Lahendus. Integreerimine, leiame

Üldlahendusel on vorm

Lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

Majanduses on neist palju kasu, mõelge selliste võrrandite lahendusele. Kui (9.1) on vorm:

siis nimetatakse seda lineaarseks, kus po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) - eelmääratletud funktsioonid. Kui f(x) = 0, siis (9.2) nimetatakse homogeenseks, vastasel juhul nimetatakse seda mittehomogeenseks. Võrrandi (9.2) üldlahend on võrdne selle mis tahes konkreetse lahendi summaga y(x) ja sellele vastava homogeense võrrandi üldlahend:

Kui koefitsiendid p o (x), p 1 (x),..., p n (x) on konstandid, siis (9.2)

(9.4) nimetatakse lineaarseks diferentsiaalvõrrandiks konstantsed koefitsiendid tellida n .

(9.4) puhul on sellel järgmine vorm:

Saame seada ilma üldistuse kaotamata p o = 1 ja kirjutada (9.5) vormi

Otsime lahendit (9.6) kujul y = e kx , kus k on konstant. Meil on: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Asendage saadud avaldised (9.6), saame:

(9.7) on algebraline võrrand, tema tundmatu on k, nimetatakse seda iseloomulikuks. Iseloomulikul võrrandil on aste n ja n juured, mille hulgas võib olla nii mitut kui ka keerulist. Olgu siis k 1 , k 2 ,..., k n reaalne ja eristatav on erilahendused (9.7), samas kui üldine

Vaatleme konstantsete koefitsientidega teist järku lineaarset homogeenset diferentsiaalvõrrandit:

Selle iseloomulikul võrrandil on vorm

(9.9)

selle diskriminant D = p 2 - 4q, olenevalt D märgist on võimalikud kolm juhtumit.

1. Kui D>0, siis juured k 1 ja k 2 (9.9) on reaalsed ja erinevad ning üldlahend on kujul:

Lahendus. Iseloomulik võrrand: k 2 + 9 = 0, kust k = ± 3i, a = 0, b = 3, üldlahend on:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Teist järku lineaarseid diferentsiaalvõrrandeid kasutatakse kaubavarudega veebilaadse majandusmudeli uurimiseks, kus hinna P muutumise kiirus sõltub laoseisu suurusest (vt lõik 10). Kui nõudlus ja pakkumine on lineaarsed funktsioonid hinnad, see tähendab

a - on konstant, mis määrab reaktsioonikiiruse, siis hinnamuutuse protsessi kirjeldatakse diferentsiaalvõrrandiga:

Konkreetse lahenduse jaoks võite võtta konstanti

millel on tasakaaluhinna tähendus. Hälve rahuldab homogeenset võrrandit

(9.10)

Iseloomulik võrrand on järgmine:

Juhul, kui termin on positiivne. Tähistage . Karakteristiku võrrandi k 1,2 = ± i w juured, seega on üldlahend (9.10) järgmine:

kus C ja suvalised konstandid, määratakse need algtingimuste põhjal. Oleme saanud ajas hinnamuutuse seaduse:

I. Tavalised diferentsiaalvõrrandid

1.1. Põhimõisted ja määratlused

Diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis seob sõltumatu muutuja x, soovitud funktsioon y ja selle tuletised või diferentsiaalid.

Sümboolselt kirjutatakse diferentsiaalvõrrand järgmiselt:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0

Diferentsiaalvõrrandit nimetatakse tavaliseks, kui soovitud funktsioon sõltub ühest sõltumatust muutujast.

Diferentsiaalvõrrandi lahendamisega nimetatakse selliseks funktsiooniks, mis muudab selle võrrandi identiteediks.

Diferentsiaalvõrrandi järjekord on selle võrrandi kõrgeima tuletise järjekord

Näited.

1. Vaatleme esimest järku diferentsiaalvõrrandit

Selle võrrandi lahenduseks on funktsioon y = 5 ln x. Tõepoolest, asendades y" võrrandisse, saame - identiteedi.

Ja see tähendab, et funktsioon y = 5 ln x– on selle diferentsiaalvõrrandi lahendus.

2. Vaatleme teist järku diferentsiaalvõrrandit y" - 5a" + 6y = 0. Funktsioon on selle võrrandi lahendus.

Tõesti,.

Asendades need avaldised võrrandisse, saame: , - identiteedi.

Ja see tähendab, et funktsioon on selle diferentsiaalvõrrandi lahendus.

Diferentsiaalvõrrandite integreerimine on diferentsiaalvõrrandite lahenduste leidmise protsess.

Diferentsiaalvõrrandi üldlahend nimetatakse vormi funktsiooniks , mis sisaldab sama palju sõltumatuid suvalisi konstante kui võrrandi järjekord.

Diferentsiaalvõrrandi osalahend nimetatakse lahenduseks, mis saadakse suvaliste konstantide erinevate arvväärtuste üldlahendusest. Suvaliste konstantide väärtused leitakse argumendi ja funktsiooni teatud algväärtuste juures.

Diferentsiaalvõrrandi konkreetse lahendi graafikut nimetatakse integraalkõver.

Näited

1. Leidke esimest järku diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus

xdx + ydy = 0, kui y= 4 kl x = 3.

Lahendus. Integreerides võrrandi mõlemad pooled, saame

Kommenteeri. Integreerimise tulemusena saadud suvalist konstanti C saab esitada mis tahes kujul, mis sobib edasiste teisenduste jaoks. Sel juhul, võttes arvesse ringi kanoonilist võrrandit, on mugav esitada suvaline konstant С kujul .

on diferentsiaalvõrrandi üldlahend.

Võrrandi konkreetne lahendus, mis vastab algtingimustele y = 4 kl x = 3 leitakse üldisest, asendades üldlahendiga algtingimused: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Asendades üldlahendisse C=5, saame x2+y2 = 5 2 .

See on üldlahendist saadud diferentsiaalvõrrandi erilahendus antud algtingimustes.

2. Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend

Selle võrrandi lahendus on mis tahes funktsioon kujul , kus C on suvaline konstant. Tõepoolest, asendades võrrandid, saame: , .

Seetõttu on sellel diferentsiaalvõrrandil lõpmatu arv lahendusi, kuna konstandi C erinevate väärtuste korral määrab võrdus võrrandi erinevad lahendid.

Näiteks otsese asendamise abil saab kontrollida, kas funktsioonid toimivad on võrrandi lahendid.

Probleem, mille puhul on vaja leida võrrandile konkreetne lahendus y" = f(x, y) esialgset tingimust rahuldama y(x0) = y0, nimetatakse Cauchy probleemiks.

Võrrandi lahendus y" = f(x, y), mis rahuldab esialgset tingimust, y(x0) = y0, nimetatakse Cauchy probleemi lahenduseks.

Cauchy ülesande lahendusel on lihtne geomeetriline tähendus. Tõepoolest, nende määratluste kohaselt Cauchy probleemi lahendamiseks y" = f(x, y) tingimusel y(x0) = y0, tähendab võrrandi integraalkõvera leidmist y" = f(x, y) mis läbib antud punkt M0 (x0,y 0).

II. Esimest järku diferentsiaalvõrrandid

2.1. Põhimõisted

Esimest järku diferentsiaalvõrrand on vormi võrrand F(x,y,y") = 0.

Esimest järku diferentsiaalvõrrand sisaldab esimest tuletist ja ei hõlma kõrgemat järku tuletisi.

Võrrand y" = f(x, y) nimetatakse esimest järku võrrandiks, mis on lahendatud tuletise suhtes.

Esimest järku diferentsiaalvõrrandi üldlahendus on vormi funktsioon, mis sisaldab ühte suvalist konstanti.

Näide. Mõelge esimest järku diferentsiaalvõrrandile.

Selle võrrandi lahendus on funktsioon .

Tõepoolest, asendades selles võrrandis selle väärtusega, saame

see on 3x = 3x

Seetõttu on funktsioon mis tahes konstandi C võrrandi üldlahend.

Leidke sellele võrrandile konkreetne lahendus, mis rahuldab algtingimust y(1)=1 Algtingimuste asendamine x = 1, y = 1 võrrandi üldlahendisse , saame kust C=0.

Seega saame konkreetse lahenduse üldisest, asendades selle võrrandiga saadud väärtuse C=0 on isiklik otsus.

2.2. Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandid

Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrand on järgmise kujuga võrrand: y"=f(x)g(y) või diferentsiaalide kaudu, kus f(x) ja g(y) neile on antud funktsioone.

Nende jaoks y, mille jaoks võrrand y"=f(x)g(y) on võrdne võrrandiga milles muutuja y esineb ainult vasakul küljel ja muutuja x on ainult paremal küljel. Nad ütlevad: "võrrandis y"=f(x)g(y muutujate eraldamine.

Tüüpvõrrand nimetatakse eraldatud muutuja võrrandiks.

Pärast võrrandi mõlema osa integreerimist peal x, saame G(y) = F(x) + C on võrrandi üldlahend, kus G(y) ja F(x) on mõned antiderivaadid vastavalt funktsioonide ja f(x), C suvaline konstant.

Algoritm eraldatavate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks

Näide 1

lahendage võrrand y" = xy

Lahendus. Funktsiooni tuletis y" asendada

eraldame muutujad

Integreerime mõlemad võrdsuse osad:

Näide 2

2yy" = 1-3x2, kui y 0 = 3 juures x0 = 1

See on eraldatud muutuja võrrand. Esitame seda diferentsiaalides. Selleks kirjutame selle võrrandi ümber kujul Siit

Integreerides viimase võrdsuse mõlemad osad, leiame

Algväärtuste asendamine x 0 = 1, y 0 = 3 leida FROM 9=1-1+C, st. C = 9.

Seetõttu on soovitud osaline integraal või

Näide 3

Kirjutage võrrand punkti läbiva kõvera jaoks M(2;-3) ja millel on puutuja kaldega

Lahendus. Vastavalt seisundile

See on eraldatav muutuja võrrand. Jagades muutujad, saame:

Integreerides võrrandi mõlemad osad, saame:

Kasutades algtingimusi, x=2 ja y=-3 leida C:

Seetõttu on soovitud võrrandil vorm

2.3. Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

Esimest järku lineaarne diferentsiaalvõrrand on vormi võrrand y" = f(x)y + g(x)

kus f(x) ja g(x)- mõned antud funktsioonid.

Kui a g(x)=0 siis nimetatakse lineaarset diferentsiaalvõrrandit homogeenseks ja selle kuju on: y" = f(x)y

Kui siis võrrand y" = f(x)y + g(x) nimetatakse heterogeenseks.

Lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahendus y" = f(x)y antud valemiga: kus FROM on suvaline konstant.

Eelkõige siis, kui C \u003d 0, siis on lahendus y=0 Kui lineaarsel homogeensel võrrandil on vorm y" = ky kus k on mingi konstant, siis on selle üldlahend kujul: .

Lineaarse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahendus y" = f(x)y + g(x) antud valemiga ,

need. on võrdne vastava lineaarse homogeense võrrandi üldlahendi ja selle võrrandi konkreetse lahendi summaga.

Vormi lineaarse mittehomogeense võrrandi jaoks y" = kx + b,

kus k ja b- mõned arvud ja konkreetne lahendus on konstantne funktsioon . Seetõttu on üldlahendusel vorm .

Näide. lahendage võrrand y" + 2a +3 = 0

Lahendus. Esitame võrrandit kujul y" = -2y - 3 kus k = -2, b = -3Üldlahendus on antud valemiga .

Seetõttu kus C on suvaline konstant.

2.4. Esimest järku lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendamine Bernoulli meetodil

Üldise lahenduse leidmine esimest järku lineaarsele diferentsiaalvõrrandile y" = f(x)y + g(x) taandub kahe eraldatud muutujatega diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks, kasutades asendust y=uv, kus u ja v- tundmatud funktsioonid x. Seda lahendusmeetodit nimetatakse Bernoulli meetodiks.

Algoritm esimest järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks

y" = f(x)y + g(x)

1. Sisestage asendus y=uv.

2. Eristage seda võrdsust y"=u"v + uv"

3. Asendus y ja y" sellesse võrrandisse: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) või u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Rühmitage võrrandi liikmed nii, et u võtke see sulgudest välja:

5. Leia funktsioon sulust, võrdsustades selle nulliga

See on eraldatav võrrand:

Jagage muutujad ja saage:

Kus . .

6. Asendage saadud väärtus v võrrandisse (punktist 4):

ja leidke funktsioon See on eraldatav võrrand:

7. Kirjutage üldlahendus kujul: , st. .

Näide 1

Leidke võrrandile konkreetne lahendus y" = -2y +3 = 0 kui y=1 juures x=0

Lahendus. Lahendame selle asendamisega y=uv,.y"=u"v + uv"

Asendamine y ja y" sellesse võrrandisse saame

Rühmitades võrrandi vasakule küljele teise ja kolmanda liikme, võtame välja ühisteguri u sulgudest välja

Võrdsustame sulgudes oleva avaldise nulliga ja pärast saadud võrrandi lahendamist leiame funktsiooni v = v(x)

Saime eraldatud muutujatega võrrandi. Integreerime selle võrrandi mõlemad osad: Leia funktsioon v:

Asendage saadud väärtus v võrrandisse saame:

See on eraldatud muutuja võrrand. Integreerime võrrandi mõlemad osad: Leiame funktsiooni u = u(x,c) Leiame üldise lahenduse: Leiame võrrandi konkreetse lahendi, mis vastab algtingimustele y=1 juures x=0:

III. Kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandid

3.1. Põhimõisted ja määratlused

Teist järku diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis sisaldab tuletisi, mis ei ületa teist järku. Üldjuhul kirjutatakse teist järku diferentsiaalvõrrand järgmiselt: F(x,y,y,y") = 0

Teist järku diferentsiaalvõrrandi üldlahend on funktsioon vormist , mis sisaldab kahte suvalist konstanti C1 ja C2.

Teist järku diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus on mõne suvaliste konstantide väärtuste üldlahendusest saadud lahendus C1 ja C2.

3.2. Teist järku lineaarsed homogeensed diferentsiaalvõrrandid koos püsivad suhted.

Teist järku lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand konstantsete koefitsientidega nimetatakse vormi võrrandiks y" + py" + qy = 0, kus lk ja q on konstantsed väärtused.

Algoritm konstantsete koefitsientidega teist järku homogeensete diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks

1. Kirjutage diferentsiaalvõrrand kujul: y" + py" + qy = 0.

2. Koostage selle tunnusvõrrand, tähistades y" läbi r2, y" läbi r, y 1-s: r2 + pr +q = 0

Diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis sisaldab funktsiooni ja üht või mitut selle tuletist. Enamiku praktiliste probleemide puhul on funktsioonid füüsikalised kogused, vastavad tuletised nende suuruste muutumiskiirustele ja võrrand määrab nendevahelise seose.

Selles artiklis käsitletakse meetodeid teatud tüüpi tavaliste diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks, mille lahendused saab kirjutada kujul elementaarsed funktsioonid, st polünoom-, eksponentsiaal-, logaritmi- ja trigonomeetrilised funktsioonid, samuti nende pöördfunktsioonid. Paljud neist võrranditest on leitud päris elu, kuigi enamikku teisi diferentsiaalvõrrandeid ei saa nende meetoditega lahendada ja nende jaoks kirjutatakse vastus erifunktsioonide või astmeridadena või leitakse numbriliste meetoditega.

Selle artikli mõistmiseks peate teadma diferentsiaal- ja integraalarvutust ning omama mõningast arusaama osatuletistest. Samuti on soovitatav teada lineaaralgebra põhitõdesid diferentsiaalvõrrandite, eriti teist järku diferentsiaalvõrrandite puhul, kuigi nende lahendamiseks piisab ka diferentsiaal- ja integraalarvutuse teadmistest.

Eelinfo

• Diferentsiaalvõrranditel on ulatuslik klassifikatsioon. See artikkel räägib sellest tavalised diferentsiaalvõrrandid, see tähendab võrrandite kohta, mis sisaldavad ühe muutuja funktsiooni ja selle tuletisi. Tavalisi diferentsiaalvõrrandeid on palju lihtsam mõista ja lahendada kui osadiferentsiaalvõrrandid, mis sisaldavad mitme muutuja funktsioone. Selles artiklis ei käsitleta osalisi diferentsiaalvõrrandeid, kuna nende võrrandite lahendamise meetodid määratakse tavaliselt nende konkreetse vormi järgi.
  • Allpool on mõned näited tavalistest diferentsiaalvõrranditest.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Allpool on mõned näited osadiferentsiaalvõrranditest.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\partial y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Telli diferentsiaalvõrrand määratakse selles võrrandis sisalduva kõrgeima tuletise järjekorras. Esimene ülaltoodud tavalistest diferentsiaalvõrranditest on esimest, teine ​​aga teist järku. Kraad nimetatakse diferentsiaalvõrrandiks kõrgeim aste, millele tõstetakse üks selle võrrandi liikmetest.
  • Näiteks allolev võrrand on kolmandat järku ja teist astmet.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ parem)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Diferentsiaalvõrrand on lineaarne diferentsiaalvõrrand kui funktsioon ja kõik selle tuletised on esimeses astmes. Vastasel juhul on võrrand mittelineaarne diferentsiaalvõrrand. Lineaarsed diferentsiaalvõrrandid on tähelepanuväärsed selle poolest, et nende lahendustest saab teha lineaarseid kombinatsioone, mis on ka selle võrrandi lahendid.
  • Allpool on mõned näited lineaarsetest diferentsiaalvõrranditest.
  • Allpool on mõned näited mittelineaarsetest diferentsiaalvõrranditest. Esimene võrrand on siinusliikme tõttu mittelineaarne.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \teeta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Ühine otsus tavaline diferentsiaalvõrrand ei ole ainulaadne, see hõlmab integratsiooni suvalised konstandid. Enamasti on suvaliste konstantide arv võrdne võrrandi järjekorraga. Praktikas määratakse nende konstantide väärtused antud esialgsed tingimused, see tähendab funktsiooni ja selle tuletiste väärtuste järgi x = 0. (\displaystyle x=0.) Leidmiseks vajalike algtingimuste arv eraotsus diferentsiaalvõrrand, on enamikul juhtudel võrdne ka selle võrrandi järjekorraga.
  • Näiteks selles artiklis vaadeldakse alloleva võrrandi lahendamist. See on teist järku lineaarne diferentsiaalvõrrand. Selle üldlahend sisaldab kahte suvalist konstanti. Nende konstantide leidmiseks on vaja teada algtingimusi at x (0) (\displaystyle x(0)) ja x′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Tavaliselt antakse lähtetingimused punktis x = 0, (\displaystyle x=0,), kuigi see pole vajalik. Selles artiklis käsitletakse ka seda, kuidas leida konkreetseid lahendusi antud algtingimuste jaoks.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Sammud

1. osa

Selle teenuse kasutamisel võidakse osa teavet YouTube'i üle kanda.

1. Esimest järku lineaarvõrrandid. Selles jaotises käsitletakse esimest järku lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendamise meetodeid üldiselt ja erijuhtudel, kui mõned liikmed on võrdsed nulliga. Teeskleme seda y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) ja q (x) (\displaystyle q(x)) on funktsioonid x . (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x) = 0.)Ühe matemaatilise analüüsi põhiteoreemi järgi on funktsiooni tuletise integraal samuti funktsioon. Seega piisab selle lahenduse leidmiseks võrrandi lihtsalt integreerimisest. Sel juhul tuleb arvestada, et määramata integraali arvutamisel ilmneb suvaline konstant.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x) = 0.) Me kasutame meetodit muutujate eraldamine. Sel juhul kantakse erinevad muutujad võrrandi erinevatele külgedele. Näiteks saate kõik liikmed teisaldada y (\displaystyle y)üheks ja kõik liikmed koos x (\displaystyle x) võrrandi teisele poole. Liikmeid saab ka teisaldada d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) ja d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), mis sisalduvad tuletiste avaldistes, kuid tuleb meeles pidada, et need on õiglased sümbol, mida on mugav eristada keeruline funktsioon. Nende mõistete arutelu, mida nimetatakse diferentsiaalid, ei kuulu selle artikli reguleerimisalasse.

   • Esiteks peate liigutama muutujaid võrdusmärgi vastaskülgedel.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1) (y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Integreerime võrrandi mõlemad pooled. Pärast integreerimist ilmuvad mõlemale poole suvalised konstandid, mida saab võrrandi paremale poolele üle kanda.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Näide 1.1. Viimases etapis kasutasime reeglit e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) ja asendati e C (\displaystyle e^(C)) peal C (\displaystyle C), sest see on ka suvaline integratsioonikonstant.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1) (2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(joondatud)))

   P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)Üldise lahenduse leidmiseks tutvustasime integreeriv tegur funktsioonina x (\displaystyle x) et taandada vasak pool ühiseks tuletiseks ja lahendada seega võrrand.

   • Korrutage mõlemad pooled arvuga μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Vasaku külje taandamiseks ühiseks tuletiseks tuleb teha järgmised teisendused:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Viimane võrdsus tähendab seda d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). See on integreeriv tegur, mis on piisav mis tahes esimest järku lineaarvõrrandi lahendamiseks. Nüüd saame tuletada valemi selle võrrandi lahendamiseks suhtes µ , (\displaystyle \mu ,) kuigi treenimiseks on kasulik kõik vahearvutused ära teha.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Näide 1.2. Selles näites vaatleme, kuidas leida diferentsiaalvõrrandile konkreetne lahendus antud algtingimustega.
     • t d y d t + 2 y = t 2, y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(joonatud)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(joondatud)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4, C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Esimest järku lineaarvõrrandite lahendamine (salvestanud Intuit - National Open University).

2. Mittelineaarsed esimest järku võrrandid. Selles jaotises käsitletakse mõningate esimest järku mittelineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendamise meetodeid. Kuigi selliste võrrandite lahendamiseks pole üldist meetodit, saab mõnda neist lahendada allpool toodud meetodite abil.

   D y d x = f (x, y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Kui funktsioon f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) saab jagada ühe muutuja funktsioonideks, nimetatakse sellist võrrandit eraldatav diferentsiaalvõrrand. Sel juhul võite kasutada ülaltoodud meetodit:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • Näide 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\kuvastiil (\) algus(joondatud)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1) (2))y^(2)&=(\frac (1) (4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(joondatud)))

   D y d x = g (x, y) h (x, y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Teeskleme seda g (x, y) (\displaystyle g(x, y)) ja h (x , y) (\displaystyle h(x, y)) on funktsioonid x (\displaystyle x) ja y . (\displaystyle y.) Siis homogeenne diferentsiaalvõrrand on võrrand, milles g (\displaystyle g) ja h (\displaystyle h) on homogeensed funktsioonid sama kraad. See tähendab, et funktsioonid peavad tingimusele vastama g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) kus k (\displaystyle k) nimetatakse homogeensuse astmeks. Mis tahes homogeense diferentsiaalvõrrandi saab esitada sobiva väärtusega muutujate muutus (v = y / x (\displaystyle v=y/x) või v = x / y (\displaystyle v=x/y)), et teisendada eraldatavate muutujatega võrrandiks.

   • Näide 1.4.Ülaltoodud homogeensuse kirjeldus võib tunduda ebaselge. Vaatame seda kontseptsiooni näitega.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Alustuseks tuleb märkida, et see võrrand on suhtes mittelineaarne y . (\displaystyle y.) Samuti näeme, et sellisel juhul on muutujate eraldamine võimatu. See diferentsiaalvõrrand on aga homogeenne, kuna nii lugeja kui ka nimetaja on homogeensed astmega 3. Seetõttu saame muuta muutujaid v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Selle tulemusena on meil võrrand jaoks v (\displaystyle v) jagatud muutujatega.
     • v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) seda Bernoulli diferentsiaalvõrrand- eriliik esimese astme mittelineaarne võrrand, mille lahenduse saab kirjutada elementaarfunktsioonide abil.

   • Korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Kasutame vasakpoolset kompleksfunktsiooni diferentseerimise reeglit ja teisendame võrrandi järgmiseks lineaarvõrrand suhteliselt y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) mida saab lahendada ülaltoodud meetoditega.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) = 0.) seda kogu diferentsiaalvõrrand. Tuleb leida nn potentsiaalne funktsioon φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), mis vastab tingimusele d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Selle tingimuse täitmiseks on vaja kogutuletis. Kogutuletis arvestab sõltuvust teistest muutujatest. Kogutuletise arvutamiseks φ (\displaystyle \varphi) peal x , (\displaystyle x,) eeldame seda y (\displaystyle y) võib sõltuda ka x . (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Tingimuste võrdlemine annab meile M (x, y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) ja N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) See on tüüpiline tulemus mitme muutujaga võrrandite puhul, kus silefunktsioonide segatuletised on omavahel võrdsed. Mõnikord nimetatakse seda juhtumit Clairaut' teoreem. Sel juhul on diferentsiaalvõrrand summaarsete diferentsiaalide võrrand, kui on täidetud järgmine tingimus:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • Meetod võrrandite lahendamiseks summaarsetes diferentsiaalides on sarnane potentsiaalsete funktsioonide leidmisega mitme tuletise olemasolul, mida me lühidalt käsitleme. Kõigepealt integreerime M (\displaystyle M) peal x . (\displaystyle x.) Kuna M (\displaystyle M) on funktsioon ja x (\displaystyle x) ja y , (\displaystyle y,) integreerimisel saame mittetäieliku funktsiooni φ , (\displaystyle \varphi ,) märgistatud kui φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Tulemus sisaldab ka ülalpeetavat y (\displaystyle y) integratsiooni konstant.
     • φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Pärast seda, et saada c (y) (\displaystyle c(y)) võite võtta saadud funktsiooni osatuletise suhtes y , (\displaystyle y,) samastada tulemust N (x, y) (\displaystyle N(x, y)) ja integreerida. Esmalt võib ka integreerida N (\displaystyle N), ja seejärel võtta osatuletise suhtes x (\displaystyle x), mis võimaldab meil leida suvalise funktsiooni d(x). (\displaystyle d(x).) Mõlemad meetodid sobivad ja tavaliselt valitakse integreerimiseks lihtsam funktsioon.
     • N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ osaline (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Näide 1.5. Võite võtta osatuletised ja kontrollida, kas allolev võrrand on täielik diferentsiaalvõrrand.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x, y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(joonatud)\varphi) &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(joondatud)))
     • d c d y = 0, c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Kui diferentsiaalvõrrand ei ole täielik diferentsiaalvõrrand, võite mõnel juhul leida integreeriva teguri, mis võimaldab teil selle teisendada summaarseks diferentsiaalvõrrandiks. Selliseid võrrandeid kasutatakse praktikas siiski harva ja kuigi see on integreeriv tegur on olemas, leia, et see juhtub ei ole lihtne, seega neid võrrandeid selles artiklis ei käsitleta.

2. osa

1. Homogeensed lineaarsed diferentsiaalvõrrandid konstantsete koefitsientidega. Neid võrrandeid kasutatakse praktikas laialdaselt, seega on nende lahendamine ülimalt tähtis. Sel juhul ei räägita homogeensetest funktsioonidest, vaid sellest, et võrrandi paremal poolel on 0. Järgmises osas näitame, kuidas vastav. heterogeenne diferentsiaalvõrrandid. allpool a (\displaystyle a) ja b (\displaystyle b) on konstandid.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Iseloomulik võrrand. See diferentsiaalvõrrand on tähelepanuväärne selle poolest, et seda saab väga lihtsalt lahendada, kui pöörata tähelepanu sellele, millised omadused peaksid selle lahendustel olema. Võrrandist on näha, et y (\displaystyle y) ja selle tuletised on üksteisega võrdelised. Eelmistest näidetest, mida käsitleti esimest järku võrrandite osas, teame, et see omadus on ainult eksponentsiaalfunktsioonil. Seetõttu on võimalik esitada ansatz(haritud oletus) selle kohta, milline saab olema antud võrrandi lahendus.

   • Lahendus on eksponentsiaalfunktsiooni vormis e r x , (\displaystyle e^(rx),) kus r (\displaystyle r) on konstant, mille väärtust tuleb leida. Asendage see funktsioon võrrandis ja saate järgmise avaldise
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • See võrrand näitab, et eksponentsiaalfunktsiooni ja polünoomi korrutis peab olema null. On teada, et astendaja ei saa ühegi astme väärtuse korral olla võrdne nulliga. Sellest järeldame, et polünoom on võrdne nulliga. Seega oleme taandanud diferentsiaalvõrrandi lahendamise ülesande palju lihtsamaks algebralise võrrandi lahendamise ülesandeks, mida nimetatakse antud diferentsiaalvõrrandi karakteristikvõrrandiks.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Meil on kaks juurt. Kuna see diferentsiaalvõrrand on lineaarne, on selle üldlahendus osalahenduste lineaarne kombinatsioon. Kuna see on teist järku võrrand, teame, et see nii on tõestiüldine lahendus ja teisi pole. Selle rangem põhjendus peitub teoreemides lahenduse olemasolu ja kordumatuse kohta, mida võib leida õpikutest.
   • Kasulik viis kontrollida, kas kaks lahendust on lineaarselt sõltumatud, on arvutamine Wronskian. Wronskian W (\displaystyle W)- see on maatriksi determinant, mille veergudes on funktsioonid ja nende järjestikused tuletised. Lineaaralgebra teoreem ütleb, et Wronski funktsioonid on lineaarselt sõltuvad, kui Wronski on võrdne nulliga. Selles jaotises saame testida, kas kaks lahendit on lineaarselt sõltumatud, veendudes, et Wronskian ei ole null. Wronski on oluline konstantsete koefitsientidega mittehomogeensete diferentsiaalvõrrandite lahendamisel parameetrite variatsioonimeetodil.
     • w = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • Lineaaralgebra seisukohalt moodustab antud diferentsiaalvõrrandi kõigi lahendite hulk vektorruumi, mille mõõde on võrdne diferentsiaalvõrrandi järguga. Selles ruumis saab valida aluse lineaarselt sõltumatu otsuseid üksteiselt. See on võimalik tänu sellele, et funktsioon y (x) (\displaystyle y(x)) kehtiv lineaarne operaator. Tuletis on lineaarne operaator, kuna see muudab diferentseeruvate funktsioonide ruumi kõigi funktsioonide ruumiks. Võrrandeid nimetatakse homogeenseteks juhtudel, kui mõne jaoks lineaarne operaator L (\displaystyle L) võrrandile on vaja lahendus leida L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Vaatame nüüd mõnda konkreetseid näiteid. Karaktervõrrandi mitme juure juhtumit käsitletakse veidi hiljem, järjekorra vähendamise jaotises.

   Kui juured r ± (\displaystyle r_(\pm )) on erinevad reaalarvud, on diferentsiaalvõrrandil järgmine lahendus

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Kaks keerulist juurt. Algebra põhiteoreemist järeldub, et reaalkoefitsientidega polünoomvõrrandite lahenditel on juured, mis on reaalsed või moodustavad konjugeeritud paare. Seega, kui kompleksarv r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) on siis iseloomuliku võrrandi juur r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) on ka selle võrrandi juur. Seega saab lahenduse kirjutada vormile c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) see on aga kompleksarv ja praktiliste probleemide lahendamisel ebasoovitav.

   • Selle asemel võite kasutada Euleri valem e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), mis võimaldab lahenduse vormile kirjutada trigonomeetrilised funktsioonid:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − ic 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beeta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Nüüd saate pideva asemel c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) Kirjuta üles c 1 (\displaystyle c_(1)) ja väljend i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) asendatud c 2 . (\displaystyle c_(2).) Pärast seda saame järgmise lahenduse:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
   • Lahenduse kirjutamiseks amplituudi ja faasi järgi on veel üks võimalus, mis sobib paremini füüsiliste probleemide korral.
   • Näide 2.1. Leiame allpool toodud diferentsiaalvõrrandi lahenduse antud algtingimustega. Selleks on vaja võtta saadud lahus, samuti selle tuletis, ja asendage need algtingimustega, mis võimaldab meil määrata suvalised konstandid.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0, x (0) = 1, x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0, r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\sqrt (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\kuvastiil x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(joonatud)x"(t)&=-(\frac (3) (2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(joondatud)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2, c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0) = -1 =-(\frac (3) (2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   N-ndat järku diferentsiaalvõrrandite lahendamine konstantsete koefitsientidega (salvestanud Intuit - National Open University).

2. Alandamise tellimus. Järjearvu vähendamine on meetod diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks, kui on teada üks lineaarselt sõltumatu lahendus. See meetod seisneb võrrandi järjekorra langetamises ühe võrra, mis võimaldab võrrandit lahendada eelmises jaotises kirjeldatud meetodite abil. Lahendus olgu teada. Tellimuse alandamise põhiidee on lahenduse leidmine alloleval kujul, kus on vaja määratleda funktsioon v (x) (\displaystyle v(x)), asendades selle diferentsiaalvõrrandiga ja leides v(x). (\displaystyle v(x).) Mõelgem, kuidas saab järjestuse vähendamise abil lahendada konstantsete koefitsientide ja mitme juurega diferentsiaalvõrrandit.

   
   

   Mitu juurt konstantsete koefitsientidega homogeenne diferentsiaalvõrrand. Tuletame meelde, et teist järku võrrandil peab olema kaks lineaarselt sõltumatut lahendit. Kui karakteristikul võrrandil on mitu juurt, siis lahenduste hulk mitte moodustab ruumi, kuna need lahendused on lineaarselt sõltuvad. Sel juhul tuleb teise lineaarselt sõltumatu lahenduse leidmiseks kasutada järjekorra vähendamist.

   • Olgu tunnusvõrrandil mitu juurt r (\displaystyle r). Eeldame, et teise lahenduse saab kirjutada kujul y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), ja asendage see diferentsiaalvõrrandiga. Sel juhul enamik termineid, välja arvatud funktsiooni teise tuletisega termin v , (\displaystyle v,) vähendatakse.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Näide 2.2. Antud on järgmine võrrand, millel on mitu juurt r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Asendamisel enamik tingimusi tühistatakse.
     • d 2 a d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(joondatud)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(joondatud)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(joonatud) )v""e^(-4x)&-(\tühista (8v"e^(-4x)))+(\tühista (16ve^(-4x)))\\&+(\tühista (8v"e ^(-4x)))-(\tühista (32ve^(-4x)))+(\tühista (16ve^(-4x)))=0\end(joondatud)))
   • Nagu meie ansatz konstantsete koefitsientidega diferentsiaalvõrrandi jaoks, saab sel juhul ainult teine ​​tuletis olla võrdne nulliga. Integreerime kaks korda ja saame soovitud avaldise jaoks v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Siis saab konstantsete koefitsientidega diferentsiaalvõrrandi üldlahenduse, kui tunnusvõrrandil on mitu juurt, kirjutada järgmisel kujul. Mugavuse huvides võite meeles pidada, et lineaarse sõltumatuse saamiseks piisab teise liikme korrutamisest x (\displaystyle x). See lahenduste komplekt on lineaarselt sõltumatu ja seega oleme leidnud selle võrrandi kõik lahendused.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Tellimuse vähendamine on rakendatav, kui lahendus on teada y 1 (x) (\displaystyle y_ (1) (x)), mille leiate või leiate probleemipüstitusest.

   • Otsime lahendust vormis y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1) (x)) ja ühendage see selle võrrandiga:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Kuna y 1 (\displaystyle y_(1)) on diferentsiaalvõrrandi lahendus, kõik terminid koos v (\displaystyle v) kahanevad. Selle tulemusena jääb see alles esimest järku lineaarvõrrand. Selle selgemaks nägemiseks muutkem muutujaid w (x) = v' (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\parem)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Kui integraale saab arvutada, saame üldlahenduse elementaarfunktsioonide kombinatsioonina. Vastasel juhul võib lahenduse jätta terviklikule kujule.

3. Cauchy-Euleri võrrand. Cauchy-Euleri võrrand on näide teist järku diferentsiaalvõrrandist muutujad koefitsiendid, millel on täpsed lahendid. Seda võrrandit kasutatakse praktikas näiteks Laplace'i võrrandi lahendamisel sfäärilistes koordinaatides.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Iseloomulik võrrand. Nagu näete, sisaldab selles diferentsiaalvõrrandis iga liige võimsustegurit, mille aste on võrdne vastava tuletise järguga.

   • Seega võib püüda otsida lahendust vormis y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) kus määratleda n (\displaystyle n), nagu me otsisime lahendust konstantsete koefitsientidega lineaarse diferentsiaalvõrrandi jaoks eksponentsiaalfunktsiooni kujul. Pärast eristamist ja asendamist saame
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Karakteristiku võrrandi kasutamiseks peame eeldama, et x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Punkt x = 0 (\displaystyle x=0) helistas tavaline ainsuse punkt diferentsiaalvõrrand. Sellised punktid on olulised diferentsiaalvõrrandite lahendamisel astmeridade abil. Sellel võrrandil on kaks juurt, mis võivad olla erinevad ja reaalsed, mitmekordsed või keerukad konjugaad.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)))

   Kaks erinevat pärisjuurt. Kui juured n ± (\displaystyle n_(\pm )) on reaalsed ja erinevad, siis on diferentsiaalvõrrandi lahendus järgmine kuju:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Kaks keerulist juurt. Kui karakteristikul võrrandil on juured n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), on lahendus keeruline funktsioon.

   • Lahenduse muutmiseks reaalfunktsiooniks muudame muutujaid x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) see on t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) ja kasutage Euleri valemit. Sarnased toimingud tehti varem suvaliste konstantide määratlemisel.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beeta it)))
   • Siis saab üldlahenduse kirjutada kujul
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Mitu juurt. Teise lineaarselt sõltumatu lahenduse saamiseks on vaja järjekorda uuesti vähendada.

   • See nõuab üsna palju arvutamist, kuid põhimõte on sama: me asendame y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) võrrandisse, mille esimene lahend on y 1 (\displaystyle y_(1)). Pärast redutseerimist saadakse järgmine võrrand:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • See on esimest järku lineaarne võrrand suhtes v′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Tema lahendus on v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Seega saab lahenduse kirjutada järgmisel kujul. Seda on üsna lihtne meeles pidada – teise lineaarselt sõltumatu lahenduse saamiseks vajate lihtsalt lisaterminit ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Konstantsete koefitsientidega mittehomogeensed lineaarsed diferentsiaalvõrrandid. Mittehomogeensetel võrranditel on vorm L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) kus f (x) (\displaystyle f(x))- nn vaba liige. Diferentsiaalvõrrandite teooria kohaselt on selle võrrandi üldlahend superpositsioon eraotsus y p (x) (\displaystyle y_ (p) (x)) ja lisalahendus y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Konkreetne lahendus ei tähenda aga antud juhul algtingimustega antud lahendust, vaid pigem lahendust, mis on tingitud ebahomogeensuse olemasolust (vabaliige). Täiendav lahend on vastava homogeense võrrandi lahend, milles f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)Üldlahend on nende kahe lahenduse superpositsioon, sest L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), ja alates L [ y c ] = 0, (\displaystyle L=0,) selline superpositsioon on tõepoolest üldine lahendus.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   meetod ebakindlad koefitsiendid. Määramatute koefitsientide meetodit kasutatakse juhtudel, kui vaba liige on kombinatsioon eksponentsiaalsest, trigonomeetrilisest, hüperboolsest või toitefunktsioonid. Ainult nendel funktsioonidel on garanteeritud piiratud arv lineaarselt sõltumatuid tuletisi. Selles jaotises leiame võrrandile konkreetse lahenduse.

   • Võrrelge tingimusi f (x) (\displaystyle f(x)) konstantsete tegurite ignoreerimise terminitega. Võimalikud on kolm juhtumit.
     • Ühesuguseid liikmeid pole. Sel juhul konkreetne lahendus y p (\displaystyle y_(p)) on terminite lineaarne kombinatsioon y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) sisaldab liiget x n (\displaystyle x^(n)) ja liige alates y c , (\displaystyle y_(c),) kus n (\displaystyle n) on null või positiivne täisarv ja see liige vastab iseloomuliku võrrandi ühele juurele. Sel juhul y p (\displaystyle y_(p)) koosneb funktsioonide kombinatsioonist x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) selle lineaarselt sõltumatud tuletised, aga ka muud terminid f (x) (\displaystyle f(x)) ja nende lineaarselt sõltumatud tuletised.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) sisaldab liiget h (x) , (\displaystyle h(x),) mis on teos x n (\displaystyle x^(n)) ja liige alates y c , (\displaystyle y_(c),) kus n (\displaystyle n) on võrdne 0 või positiivse täisarvuga ja see termin vastab mitmekordne tunnusvõrrandi juur. Sel juhul y p (\displaystyle y_(p)) on funktsiooni lineaarne kombinatsioon x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(kus s (\displaystyle s)- juure kordsus) ja selle lineaarselt sõltumatud tuletised, aga ka funktsiooni teised liikmed f (x) (\displaystyle f(x)) ja selle lineaarselt sõltumatud tuletised.
   • Paneme kirja y p (\displaystyle y_(p))ülaltoodud terminite lineaarse kombinatsioonina. Tänu nendele koefitsientidele lineaarses kombinatsioonis seda meetodit nimetatakse määramatute koefitsientide meetodiks. Nende ilmumisel, mis sisalduvad y c (\displaystyle y_(c)) nende liikmed saab ära jätta suvaliste konstantide olemasolu tõttu y c . (\displaystyle y_(c).) Pärast seda asendame y p (\displaystyle y_(p)) võrrandisse ja võrdsustada sarnaseid termineid.
   • Määrame koefitsiendid. Selles etapis süsteem algebralised võrrandid, mida saab tavaliselt probleemideta lahendada. Selle süsteemi lahendus võimaldab saada y p (\displaystyle y_(p)) ja seeläbi võrrand lahendada.
   • Näide 2.3. Vaatleme ebahomogeenset diferentsiaalvõrrandit, mille vaba liige sisaldab piiratud arvu lineaarselt sõltumatuid tuletisi. Sellise võrrandi konkreetse lahenduse saab leida määramata koefitsientide meetodil.
     • d 2 a d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 Ae 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(joonitud)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(joondatud)))
     • ( 9 A + 6 A = 2, A = 2 15 - 25 B + 6 B = - 1, B = 1 19 - 25 C + 6 C = 0, C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A) =2,&A=(\dfrac (2) (15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1) (19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ lõpp (juhtumid)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Lagrange'i meetod. Lagrange'i meetod ehk suvaliste konstantide muutmise meetod on üldisem meetod ebahomogeensete diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks, eriti juhtudel, kui vaba liige ei sisalda lõplikku arvu lineaarselt sõltumatuid tuletisi. Näiteks tasuta liikmetega tan ⁡ x (\displaystyle \tan x) või x − n (\displaystyle x^(-n)) konkreetse lahenduse leidmiseks on vaja kasutada Lagrange'i meetodit. Lagrange'i meetodit saab kasutada isegi muutuvate koefitsientidega diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks, kuigi sel juhul, kui Cauchy-Euleri võrrand välja arvata, kasutatakse seda harvemini, kuna lisalahendit ei väljendata tavaliselt elementaarfunktsioonide kaudu.

   • Oletame, et lahendusel on järgmine kuju. Selle tuletis on antud teisel real.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\kuvastiil y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2) (x) y_ (2) (x))
     • y ′ = v 1 y 1 + v 1 y 1 + v 2 y 2 + v 2 y 2 (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Kuna pakutud lahendus sisaldab kaks teadmata kogused, on vaja kehtestada lisaks tingimus. Valime selle lisatingimuse järgmisel kujul:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2) = 0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Nüüd saame teise võrrandi. Pärast liikmete asendamist ja ümberjagamist saate liikmeid rühmitada v 1 (\displaystyle v_(1)) ja liikmed alates v 2 (\displaystyle v_(2)). Need tingimused tühistatakse, kuna y 1 (\displaystyle y_(1)) ja y 2 (\displaystyle y_(2)) on vastava homogeense võrrandi lahendid. Selle tulemusena saame järgmise võrrandisüsteemi
     • v 1 "y 1 + v 2" y 2 = 0 v 1 "y 1" + v 2 "y 2 " = f (x) (\displaystyle (\begin(joonatud)v_(1)"y_(1)+) v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(joondatud)))
   • Selle süsteemi saab teisendada vormi maatriksvõrrandiks A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) kelle lahendus on x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Maatriksi jaoks 2 × 2 (\displaystyle 2\ korda 2) pöördmaatriks leitakse determinandiga jagamisel, diagonaalsete elementide permuteerimisel ja diagonaaliväliste elementide märgi muutmisel. Tegelikult on selle maatriksi determinant Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmaatriks))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmaatriks)))
   • Väljendid jaoks v 1 (\displaystyle v_(1)) ja v 2 (\displaystyle v_(2)) on loetletud allpool. Nagu järjekorra vähendamise meetodil, ilmub sel juhul integreerimisel suvaline konstant, mis sisaldab lisalahendit diferentsiaalvõrrandi üldlahendis.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1) (x)=-\int (\frac (1) (W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2) (x)=\int (\frac (1) (W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   National Open University Intuit loeng pealkirjaga "N-ndat järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid konstantsete koefitsientidega".

Praktiline kasutamine

Diferentsiaalvõrrandid loovad seose funktsiooni ja selle ühe või mitme tuletise vahel. Kuna sellised seosed on nii tavalised, on diferentsiaalvõrrandid leidnud laialdast rakendust paljudes valdkondades ja kuna me elame neljamõõtmeliselt, on need võrrandid sageli diferentsiaalvõrrandid. privaatne derivaadid. Selles jaotises käsitletakse mõnda kõige olulisemat seda tüüpi võrrandit.

• Eksponentsiaalne kasv ja lagunemine. radioaktiivne lagunemine. Liitintress. Kiirus keemilised reaktsioonid. Ravimite kontsentratsioon veres. Piiramatu rahvastiku kasv. Newtoni-Richmanni seadus. Reaalses maailmas on palju süsteeme, mille kasvu- või kahanemiskiirus igal ajahetkel on proportsionaalne tolleaegse summaga või seda saab mudeli abil hästi lähendada. Seda seetõttu, et selle diferentsiaalvõrrandi lahendus, eksponentsiaalfunktsioon, on matemaatikas ja teistes teadustes üks olulisemaid funktsioone. Üldisemalt võib kontrollitud rahvastiku kasvu korral süsteem sisaldada täiendavaid termineid, mis piiravad kasvu. Allolevas võrrandis konstant k (\displaystyle k) võib olla suurem või väiksem kui null.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Harmoonilised vibratsioonid. Nii klassikalises kui ka kvantmehaanikas on harmooniline ostsillaator üks olulisemaid füüsilisi süsteeme oma lihtsuse ja laialdase rakenduse tõttu keerukamate süsteemide, näiteks lihtsa pendli, lähendamiseks. Klassikalises mehaanikas harmoonilised vibratsioonid kirjeldatakse võrrandiga, mis seostab asukohta materiaalne punkt selle kiirendusega Hooke'i seaduse järgi. Sellisel juhul võib arvesse võtta ka summutus- ja edasiviivaid jõude. Allolevas väljendis x ˙ (\displaystyle (\punkt (x)))- aja tuletis x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta) on parameeter, mis kirjeldab summutusjõudu, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- süsteemi nurksagedus, F (t) (\displaystyle F(t))- ajast sõltuv liikumapanev jõud. Harmooniline ostsillaator on olemas ka elektromagnetilistes võnkeahelates, kus seda saab rakendada suurema täpsusega kui mehaanilistes süsteemides.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\punkt (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Besseli võrrand. Besseli diferentsiaalvõrrandit kasutatakse paljudes füüsikavaldkondades, sealhulgas lahendamisel laine võrrand, Laplace'i võrrandid ja Schrödingeri võrrandid, eriti silindrilise või sfäärilise sümmeetria korral. See muutuvate koefitsientidega teist järku diferentsiaalvõrrand ei ole Cauchy-Euleri võrrand, mistõttu selle lahendeid ei saa kirjutada elementaarfunktsioonidena. Besseli võrrandi lahenditeks on Besseli funktsioonid, mis on hästi uuritud tänu sellele, et neid kasutatakse paljudes valdkondades. Allolevas väljendis α (\displaystyle \alpha ) on konstant, mis sobib tellida Besseli funktsioonid.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Maxwelli võrrandid. Maxwelli võrrandid koos Lorentzi jõuga moodustavad klassikalise elektrodünaamika aluse. Need on neli elektrilise osalist diferentsiaalvõrrandit E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) ja magnetiline B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) väljad. Allpool olevates väljendites ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- laengu tihedus, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t)) on voolutihedus ja ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) ja μ 0 (\displaystyle \mu _(0)) on vastavalt elektri- ja magnetkonstandid.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\c)\dotnabla(joondatud) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(joondatud)))
• Schrödingeri võrrand. Kvantmehaanikas on Schrödingeri võrrand liikumise põhivõrrand, mis kirjeldab osakeste liikumist vastavalt lainefunktsiooni muutumisele Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) ajaga. Liikumisvõrrandit kirjeldab käitumine Hamiltoni H ^ (\displaystyle (\hat(H))) - operaator, mis kirjeldab süsteemi energiat. Üks laialt levinud kuulsad näited Schrödingeri võrrand füüsikas on ühe mitterelativistliku osakese võrrand, mis on allutatud potentsiaalile V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Paljusid süsteeme kirjeldatakse ajast sõltuva Schrödingeri võrrandiga, kusjuures võrrand on vasakul E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) kus E (\displaystyle E) on osakese energia. Allpool olevates väljendites ℏ (\displaystyle \hbar ) on redutseeritud Plancki konstant.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• laine võrrand. Füüsikat ja tehnoloogiat on võimatu ette kujutada ilma laineteta, need on olemas igat tüüpi süsteemides. Üldiselt kirjeldatakse laineid alloleva võrrandiga, milles u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) on soovitud funktsioon ja c (\displaystyle c)- katseliselt määratud konstant. d'Alembert avastas esimesena, et ühemõõtmelise juhtumi puhul on lainevõrrandi lahendus ükskõik milline funktsioon argumendiga x − c t (\displaystyle x-ct), mis kirjeldab suvalist lainet, mis levib paremale. Ühemõõtmelise juhtumi üldine lahendus on selle funktsiooni lineaarne kombinatsioon teise argumendiga funktsiooniga x + c t (\displaystyle x+ct), mis kirjeldab vasakule levivat lainet. See lahendus on esitatud teisel real.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x, t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Navier-Stokesi võrrandid. Navier-Stokesi võrrandid kirjeldavad vedelike liikumist. Kuna vedelikke leidub peaaegu kõigis teaduse ja tehnoloogia valdkondades, on need võrrandid äärmiselt olulised ilmaennustuse, õhusõidukite disaini, ookeanihoovuste ja paljude muude rakenduste jaoks. Navier-Stokesi võrrandid on mittelineaarsed osadiferentsiaalvõrrandid ja enamasti on neid väga raske lahendada, kuna mittelineaarsus toob kaasa turbulentsi ning stabiilse lahenduse saamiseks numbriliste meetoditega on vaja jaotamine väga väikesteks rakkudeks, mis nõuab märkimisväärset arvutusvõimsust. Praktilistel eesmärkidel hüdrodünaamikas kasutatakse turbulentse voolu modelleerimiseks selliseid meetodeid nagu aja keskmistamine. Väljakutsed on veelgi põhiküsimused, näiteks mittelineaarsete osadiferentsiaalvõrrandite lahenduste olemasolu ja kordumatus ning Navier-Stokesi võrrandite kolmemõõtmelise lahenduse olemasolu ja kordumatuse tõestamine on üks matemaatika ülesandeid aastatuhandel. Allpool on kokkusurumatu vedeliku voolu võrrand ja pidevuse võrrand.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h, ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (u)bf (u)b )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Paljusid diferentsiaalvõrrandeid lihtsalt ei saa ülaltoodud meetoditega lahendada, eriti neid, mida mainiti viimases jaotises. See kehtib juhtudel, kui võrrand sisaldab muutuv koefitsient ja see ei ole Cauchy-Euleri võrrand või kui võrrand on mittelineaarne, välja arvatud mõnedel väga harvadel juhtudel. Ülaltoodud meetodid võimaldavad aga lahendada paljusid olulisi diferentsiaalvõrrandeid, mida erinevates teadusvaldkondades sageli kohtab.
• Erinevalt diferentseerimisest, mis võimaldab leida mis tahes funktsiooni tuletise, ei saa paljude avaldiste integraali elementaarfunktsioonides väljendada. Seetõttu ärge raisake aega integraali arvutamisele seal, kus see on võimatu. Vaata integraalide tabelit. Kui diferentsiaalvõrrandi lahendust ei saa elementaarfunktsioonidega väljendada, võib seda mõnikord esitada ka integraalkujul ja sel juhul pole vahet, kas seda integraali saab analüütiliselt arvutada.

Hoiatused

• Välimus diferentsiaalvõrrand võib olla eksitav. Näiteks allpool on kaks esimest järku diferentsiaalvõrrandit. Esimest võrrandit on lihtne lahendada käesolevas artiklis kirjeldatud meetodite abil. Esmapilgul väike muudatus y (\displaystyle y) peal y 2 (\displaystyle y^(2)) teises võrrandis muudab selle mittelineaarseks ja seda on väga raske lahendada.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))