Salaperäinen sotku: Fraktaalien ja niiden sovellusten historia. Fraktaali- ja fraktaaligeometrian käsitteet

Hei kaikki! Nimeni on, Ribenek Valeriya, Uljanovski ja tänään julkaisen useita tieteellisiä artikkeleitani LCI:n verkkosivuilla.

Ensimmäinen tieteellinen artikkelini tässä blogissa on omistettu fraktaaleja. Sanon heti, että artikkelini on suunniteltu melkein kaikille yleisöille. Nuo. Toivon, että ne kiinnostavat sekä koululaisia ​​että opiskelijoita.

Äskettäin opin sellaisista mielenkiintoisista matemaattisen maailman esineistä kuin fraktaalit. Mutta niitä ei ole vain matematiikassa. Ne ympäröivät meitä kaikkialla. Fraktaalit ovat luonnollisia. Kerron tässä artikkelissa siitä, mitä fraktaalit ovat, fraktaalityypeistä, esimerkeistä näistä objekteista ja niiden sovelluksesta. Aluksi kerron lyhyesti, mikä fraktaali on.

Fraktaali(lat. fractus - murskattu, rikki, rikki) on monimutkainen geometrinen hahmo, jolla on samankaltaisuuden ominaisuus, eli se koostuu useista osista, joista jokainen on samanlainen kuin koko hahmo kokonaisuutena. Laajemmassa merkityksessä fraktaalit ymmärretään euklidisen avaruuden pisteiden ryhmiksi, joilla on murto-osa metriset ulottuvuudet (Minkowskin tai Hausdorffin merkityksessä) tai jokin muu metrinen ulottuvuus kuin topologinen. Lisään esimerkiksi kuvan neljästä erilaisesta fraktaalista.

Kerron teille hieman fraktaalien historiasta. Fraktaali- ja fraktaaligeometrian käsitteet, jotka ilmestyivät 70-luvun lopulla, ovat tulleet lujasti matemaatikoiden ja ohjelmoijien arkeen 80-luvun puolivälistä lähtien. Sanan "fraktaali" otti Benoit Mandelbrot käyttöön vuonna 1975 viittaamaan hänen tutkimiinsa epäsäännöllisiin, mutta samankaltaisiin rakenteisiin. Fraktaaligeometrian synty liittyy yleensä Mandelbrotin kirjan The Fractal Geometry of Nature julkaisuun vuonna 1977. Hänen töissään käytettiin muiden samalla alalla vuosina 1875-1925 työskennelleiden tiedemiesten (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff) tieteellisiä tuloksia. Mutta vain meidän aikanamme oli mahdollista yhdistää heidän työnsä yhdeksi järjestelmäksi.

Fraktaaleista on monia esimerkkejä, koska, kuten sanoin, ne ympäröivät meitä kaikkialla. Mielestäni jopa koko universumimme on yksi valtava fraktaali. Loppujen lopuksi kaikki siinä, atomin rakenteesta itse universumin rakenteeseen, toistaa tarkasti toisiaan. Mutta niitä on tietysti enemmänkin konkreettisia esimerkkejä fraktaalit eri alueilta. Esimerkiksi fraktaalit ovat läsnä monimutkaisessa dynamiikassa. Siellä ne luonnollisesti esiintyvät epälineaarisen tutkimuksessa dynaamiset järjestelmät. Tutkituin tapaus on, kun dynaaminen järjestelmä määritellään iteraatioilla polynomi tai holomorfinen muuttujakompleksin funktio pinnalla. Jotkut tämän tyyppisistä tunnetuimmista fraktaaleista ovat Julia-sarja, Mandelbrot-sarja ja Newton-altaat. Alla olevissa kuvissa on järjestyksessä kukin yllä olevista fraktaaleista.

Toinen esimerkki fraktaaleista ovat fraktaalikäyrät. Fraktaalin rakentaminen on parasta selittää fraktaalikäyrien esimerkillä. Yksi tällainen käyrä on niin kutsuttu Kochin lumihiutale. Fraktaalikäyrien saamiseksi tasossa on yksinkertainen menetelmä. Määrittelemme mielivaltaisen katkoviivan, jossa on äärellinen määrä linkkejä ja jota kutsutaan generaattoriksi. Seuraavaksi korvaamme jokaisen siinä olevan segmentin generaattorilla (tarkemmin sanottuna generaattorin kaltaisella katkoviivalla). Tuloksena olevassa katkoviivassa korvaamme jokaisen segmentin jälleen generaattorilla. Jatketaan äärettömään, rajassa saadaan fraktaalikäyrä. Alla on Kochin lumihiutale (tai käyrä).

Fraktaalikäyriä on myös paljon. Tunnetuimpia niistä ovat jo mainittu Kochin lumihiutale sekä Levy-käyrä, Minkowski-käyrä, murtunut lohikäärme, pianokäyrä ja Pythagoraan puu. Luulen, että voit halutessasi löytää kuvan näistä fraktaaleista ja niiden historiasta helposti Wikipediasta.

Kolmas esimerkki tai fraktaalien laji ovat stokastiset fraktaalit. Tällaisia ​​fraktaaleja ovat mm. Brownin liikkeen liikerata tasossa ja avaruudessa, Schramm-Löwner-evoluutiot, erilaiset satunnaistetut fraktaalit, eli fraktaalit, jotka on saatu rekursiivisella menettelyllä, jossa jokaisessa vaiheessa otetaan käyttöön satunnaisparametri.

On myös puhtaasti matemaattisia fraktaaleja. Näitä ovat esimerkiksi Cantor-setti, Menger-sieni, Sierpinskin kolmio ja muut.

Mutta ehkä mielenkiintoisimmat fraktaalit ovat luonnollisia. Luonnolliset fraktaalit ovat luonnon esineitä, joilla on fraktaaliominaisuuksia. Ja siellä on jo iso lista. En luettele kaikkea, koska luultavasti en voi luetella kaikkia, mutta kerron joistakin. Esimerkiksi elävässä luonnossa tällaisia ​​fraktaaleja ovat verenkiertojärjestelmämme ja keuhkot. Ja myös puiden kruunut ja lehdet. Täällä voit myös sisältää meritähtiä, merisiilejä, korallia, simpukoita, joitain kasveja, kuten kaalia tai parsakaalia. Alla on esitetty selkeästi useita tällaisia ​​luonnonfraktaaleja villieläimistä.

Jos tarkastelemme elotonta luontoa, niin siellä on paljon mielenkiintoisempia esimerkkejä kuin elävässä luonnossa. Salama, lumihiutaleet, pilvet, kaikkien tiedossa, kuviot ikkunoissa pakkaspäivinä, kiteet, vuoristot - kaikki nämä ovat esimerkkejä luonnollisista fraktaaleista elottomasta luonnosta.

Olemme tarkastelleet esimerkkejä ja tyyppejä fraktaaleista. Mitä tulee fraktaalien käyttöön, niitä käytetään useilla tiedon aloilla. Fraktaaleja syntyy luonnostaan ​​fysiikassa mallinnettaessa epälineaarisia prosesseja, kuten turbulenttia nestevirtausta, monimutkaisia ​​diffuusio-adsorptioprosesseja, liekkejä, pilviä jne. Fraktaaleja käytetään mallinnettaessa huokoisia materiaaleja esimerkiksi petrokemiassa. Biologiassa niitä käytetään populaatioiden mallintamiseen ja sisäelinten järjestelmien kuvaamiseen (verisuonijärjestelmä). Kochin käyrän luomisen jälkeen ehdotettiin sen käyttämistä rantaviivan pituuden laskennassa. Fraktaaleja käytetään myös aktiivisesti radiotekniikassa, tietotekniikassa ja tietotekniikassa, tietoliikenteessä ja jopa taloudessa. Ja tietysti fraktaalinäköä käytetään aktiivisesti nykytaiteessa ja arkkitehtuurissa. Tässä yksi esimerkki fraktaalimaalauksista:

Ja niin, aion täydentää tämän tarinani sellaisesta epätavallisesta matemaattisesta ilmiöstä kuin fraktaali. Tänään opimme mitä fraktaali on, miten se ilmestyi, fraktaalien tyypeistä ja esimerkkeistä. Ja puhuin myös niiden sovelluksesta ja esitin joitain fraktaaleja selvästi. Toivottavasti pidit tästä lyhyestä retkestä hämmästyttävien ja lumoavien fraktaaliesineiden maailmaan.

Tieteen nerokkaimmat löydöt voivat muuttaa ihmisen elämän radikaalisti. Keksitty rokote voi pelastaa miljoonia ihmisiä, aseiden luominen päinvastoin vie nämä ihmishenkiä. Viime aikoina (ihmisen evoluution mittakaavassa) olemme oppineet "kesyttämään" sähköä - ja nyt emme voi kuvitella elämää ilman kaikkia näitä käteviä sähköä käyttäviä laitteita. Mutta on myös löytöjä, joita harva pitää tärkeänä, vaikka ne vaikuttavat myös suuresti elämäämme.

Yksi näistä "näkemättömistä" löydöistä on fraktaalit. Olet luultavasti kuullut tämän tarttuvan sanan, mutta tiedätkö mitä se tarkoittaa ja kuinka monia mielenkiintoisia asioita tähän termiin piilotetaan?

Jokaisella ihmisellä on luontainen uteliaisuus, halu oppia ympäröivästä maailmasta. Ja tässä pyrkimyksessä henkilö yrittää noudattaa logiikkaa tuomioissa. Analysoidessaan ympärillään tapahtuvia prosesseja hän yrittää löytää tapahtumien logiikan ja päätellä jonkinlaista säännönmukaisuutta. Planeetan suurimmat mielet ovat kiireisiä tämän tehtävän parissa. Karkeasti sanottuna tiedemiehet etsivät mallia, jossa sen ei pitäisi olla. Silti kaaoksessakin voi löytää yhteyden tapahtumien välillä. Ja tämä yhteys on fraktaali.

Pikkutyttäremme, neljä ja puoli vuotta vanha, on nyt siinä ihanassa iässä, kun kysymysten määrä "Miksi?" monta kertaa suurempi määrä vastauksia kuin aikuisilla on aikaa antaa. Ei niin kauan sitten, katsoessaan maasta nostettua oksaa, tyttäreni huomasi yhtäkkiä, että tämä oksa, jossa oli solmuja ja oksia, näytti itse puulta. Ja tietysti seurasi tavallinen kysymys ”Miksi?”, jolle vanhempien piti etsiä yksinkertainen, lapsen ymmärtämä selitys.

Yhden oksan samankaltaisuus lapsen löytämän koko puun kanssa on erittäin tarkka havainto, joka jälleen kerran todistaa rekursiivisen itsesamankaltaisuuden periaatteesta luonnossa. Hyvin monet orgaaniset ja epäorgaaniset muodot luonnossa muodostuvat samalla tavalla. Pilvet, simpukat, etanan "talo", puiden kuori ja latvu, verenkiertojärjestelmä ja niin edelleen - kaikkien näiden esineiden satunnaiset muodot voidaan kuvata fraktaalialgoritmilla.

⇡ Benoit Mandelbrot: fraktaaligeometrian isä

Sana "fraktaali" ilmestyi loistavan tiedemiehen Benoît B. Mandelbrotin ansiosta.

Hän loi termin itse 1970-luvulla lainaten sanan fractus latinasta, jossa se tarkoittaa kirjaimellisesti "rikki" tai "murskattu". Mikä se on? Nykyään sanaa "fraktaali" käytetään useimmiten tarkoittamaan graafista esitystä rakenteesta, joka on samanlainen kuin itseään suuremmassa mittakaavassa.

Matemaattinen perusta fraktaaliteorian syntymiselle luotiin monta vuotta ennen Benoit Mandelbrotin syntymää, mutta se saattoi kehittyä vasta laskentalaitteiden myötä. Tieteellisen uransa alussa Benoit työskenteli mm tutkimuskeskus IBM yritys. Tuolloin keskuksen työntekijät työskentelivät tiedonsiirron parissa etänä. Tutkimuksen aikana tutkijat kohtasivat meluhäiriöiden aiheuttamien suurten häviöiden ongelman. Ennen Benoisia oli monimutkainen ja hyvin tärkeä tehtävä- ymmärtää kuinka ennustaa kohinan esiintyminen elektroniikkapiireissä, kun tilastollinen menetelmä on tehoton.

Melumittausten tuloksia tarkasteltaessa Mandelbrot kiinnitti huomion yhteen oudoon kuvioon - eri mittakaavojen kohinakaaviot näyttivät samalta. Havaittiin identtinen kuvio riippumatta siitä, oliko kyseessä yhden päivän, viikon vai tunnin melukuvaus. Kaavion mittakaavaa kannatti vaihtaa, ja kuva toistui joka kerta.

Benoit Mandelbrot sanoi elämänsä aikana toistuvasti, ettei hän käsitellyt kaavoja, vaan leikki vain kuvilla. Tämä mies ajatteli hyvin kuvaannollisesti, ja mitä tahansa algebrallinen ongelma käännetty geometrian alalle, jossa hänen mukaansa oikea vastaus on aina ilmeinen.

Ei ole yllättävää, että fraktaaligeometrian isä tuli miehestä, jolla oli niin rikas avaruudellinen mielikuvitus. Loppujen lopuksi fraktaalien olemuksen ymmärtäminen tulee juuri silloin, kun alat tutkia piirustuksia ja miettiä outojen pyörrekuvioiden merkitystä.

Fraktaalikuviossa ei ole identtisiä elementtejä, mutta sillä on samankaltaisuutta missä tahansa mittakaavassa. Rakenna tämä kuva korkea tutkinto manuaalinen yksityiskohta oli aiemmin yksinkertaisesti mahdotonta, se vaati valtavan määrän laskelmia. Esimerkiksi ranskalainen matemaatikko Pierre Joseph Louis Fatou kuvaili tätä sarjaa yli seitsemänkymmentä vuotta ennen Benoit Mandelbrotin löytöä. Jos puhumme itsensä samankaltaisuuden periaatteista, ne mainittiin Leibnizin ja Georg Cantorin teoksissa.

Yksi ensimmäisistä fraktaalin piirroksista oli graafinen tulkinta Mandelbrotin sarjasta, joka syntyi Gaston Maurice Julian tutkimuksesta.

Gaston Julia (aina naamioitunut - ensimmäisen maailmansodan vamma)

Tämä ranskalainen matemaatikko pohti, miltä joukko näyttäisi, jos se rakennettaisiin yksinkertaisesta kaavasta, jota iteroidaan takaisinkytkentäsilmukalla. Jos selitetään "sormilla", tämä tarkoittaa, että tietylle numerolle löydämme uuden arvon kaavan avulla, minkä jälkeen korvaamme sen uudelleen kaavaan ja saamme toisen arvon. Tuloksena on suuri numerosarja.

Saadaksesi täydellisen kuvan tällaisesta sarjasta, sinun on tehtävä valtava määrä laskelmia - satoja, tuhansia, miljoonia. Sen tekeminen käsin oli yksinkertaisesti mahdotonta. Mutta kun tehokkaat laskentalaitteet ilmestyivät matemaatikoiden käyttöön, he pystyivät katsomaan uudella tavalla kaavoja ja lausekkeita, jotka olivat kiinnostaneet pitkään. Mandelbrot oli ensimmäinen, joka käytti tietokonetta klassisen fraktaalin laskemiseen. Käsiteltyään suuresta määrästä arvoja koostuvan sekvenssin Benoit siirsi tulokset kaavioon. Tässä on mitä hän sai.

Myöhemmin tämä kuva väritettiin (esimerkiksi yksi väritystavoista on iteraatioiden lukumäärä) ja siitä tuli yksi suosituimmista ihmisen koskaan luomista kuvista.

Kuten Efesoksen Herakleitoksen muinainen sanonta sanoo: "Et voi mennä samaan jokeen kahdesti." Se soveltuu parhaiten fraktaalien geometrian tulkintaan. Riippumatta siitä, kuinka yksityiskohtaisesti tarkastelemme fraktaalikuvaa, näemme aina samanlaisen kuvion.

Ne, jotka haluavat nähdä, miltä Mandelbrot-avaruuden kuva näyttäisi moninkertaisesti suurennettuna, voivat tehdä sen lataamalla animoidun GIF-tiedoston.

⇡ Lauren Carpenter: luonnon luomaa taidetta

Fraktaalien teoria löysi pian käytännön sovelluksen. Koska se liittyy läheisesti itsekaltaisten kuvien visualisointiin, ei ole yllättävää, että ensimmäiset algoritmit ja periaatteet epätavallisten muotojen rakentamiseen omaksuivat taiteilijat.

Legendaarisen Pixar-studion tuleva perustaja Loren C. Carpenter aloitti työskentelyn vuonna 1967 Boeing Computer Servicesissä, joka oli yksi tunnetun uusien lentokoneiden kehitystä harjoittavan yrityksen osastoista.

Vuonna 1977 hän loi esityksiä lentävien mallien prototyypeistä. Lauren vastasi kuvien kehittämisestä suunnitellusta lentokoneesta. Hänen täytyi luoda kuvia uusista malleista, jotka esittivät tulevaisuuden lentokoneita eri näkökulmista. Jossain vaiheessa Pixar Animation Studiosin tuleva perustaja sai luovan idean käyttää vuoristokuvaa taustana. Nykyään jokainen koululainen voi ratkaista tällaisen ongelman, mutta viime vuosisadan 70-luvun lopulla tietokoneet eivät pystyneet selviytymään niin monimutkaisista laskelmista - ei ollut graafisia editoijia, puhumattakaan kolmiulotteisen grafiikan sovelluksista. Vuonna 1978 Lauren näki vahingossa Benoit Mandelbrotin kirjan Fractals: Form, Randomness and Dimension kaupassa. Tässä kirjassa hänen huomionsa kiinnitettiin siihen, että Benoit antoi paljon esimerkkejä fraktaalimuodoista tosielämässä ja osoitti, että ne voidaan kuvata matemaattisella lausekkeella.

Matemaatikko valitsi tämän analogian ei sattumalta. Tosiasia on, että heti kun hän julkaisi tutkimuksensa, hän joutui kohtaamaan koko kritiikin. Pääasia, mitä hänen kollegansa moittivat häntä, oli kehitetyn teorian hyödyttömyys. "Kyllä", he sanoivat, "nämä ovat kauniita kuvia, mutta ei mitään muuta. Fraktaalien teorialla ei ole käytännön arvoa." Oli myös niitä, jotka yleisesti uskoivat, että fraktaalikuviot olivat yksinkertaisesti "paholaisen koneiden" työn sivutuote, joka 1970-luvun lopulla näytti monien mielestä liian monimutkaiselta ja tutkimattomalta, jotta siihen voitaisiin täysin luottaa. Mandelbrot yritti löytää ilmeisen sovelluksen fraktaaliteorialle, mutta yleisesti ottaen hänen ei tarvinnut tehdä sitä. Benoit Mandelbrotin seuraajat seuraavan 25 vuoden aikana osoittautuivat suureksi hyödyksi tällaisesta "matemaattisesta uteliaisuudesta", ja Lauren Carpenter oli yksi ensimmäisistä, joka otti fraktaalimenetelmän käytäntöön.

Opiskeltuaan kirjaa tuleva animaattori tutki vakavasti fraktaaligeometrian periaatteita ja alkoi etsiä tapaa toteuttaa se tietokonegrafiikassa. Vain kolmen työpäivän aikana Lauren pystyi visualisoimaan realistisen kuvan vuoristojärjestelmästä tietokoneellaan. Toisin sanoen hän maalasi kaavojen avulla täysin tunnistettavan vuoristomaiseman.

Periaate, jota Lauren käytti saavuttaakseen tavoitteensa, oli hyvin yksinkertainen. Se koostui suuremman geometrisen hahmon jakamisesta pieniin elementteihin, ja nämä puolestaan ​​​​jaettiin samanlaisiksi, pienempikokoisiksi hahmoiksi.

Käyttämällä suurempia kolmioita, Carpenter jakoi ne neljään pienempään ja toisti tämän toimenpiteen uudestaan ​​​​ja uudestaan, kunnes hän sai realistisen vuoristomaiseman. Näin hän onnistui olemaan ensimmäinen taiteilija, joka käytti fraktaalialgoritmia tietokonegrafiikassa kuvien rakentamiseen. Heti kun tehdystä työstä tuli tunnetuksi, harrastajat ympäri maailmaa ottivat tämän idean vastaan ​​ja alkoivat käyttää fraktaalialgoritmia realististen luonnonmuotojen simulointiin.

Yksi ensimmäisistä fraktaalialgoritmia käyttävistä 3D-muodostuksista

Vain muutama vuosi myöhemmin Lauren Carpenter pystyi soveltamaan saavutuksiaan paljon suuremmassa projektissa. Animaattori perustui kahden minuutin demoon, Vol Libre, joka esitettiin Siggraphissa vuonna 1980. Tämä video järkytti kaikkia sen nähneitä, ja Lauren sai kutsun Lucasfilmiltä.

Animaatio renderöitiin Digital Equipment Corporationin VAX-11/780-tietokoneella viiden megahertsin kellotaajuudella, ja jokaisen ruudun piirtämiseen kului noin puoli tuntia.

Lucasfilm Limitedille työskennellyt animaattori loi samat 3D-maisemat Star Trek -sagan toiselle osalle. The Wrath of Khanissa Carpenter pystyi luomaan kokonaisen planeetan käyttämällä samaa fraktaalipintamallinnuksen periaatetta.

Tällä hetkellä kaikki suositut 3D-maisemien luomissovellukset käyttävät samaa luonnonobjektien luomisperiaatetta. Terragen, Bryce, Vue ja muut 3D-editorit luottavat fraktaalipinnan ja tekstuurin mallinnusalgoritmiin.

⇡ Fraktaaliantennit: vähemmän on parempi, mutta parempi

Viimeisen puolen vuosisadan aikana elämä on muuttunut nopeasti. Useimmat meistä hyväksyvät saavutukset nykyaikaiset tekniikat itsestäänselvyytenä. Kaikkeen, mikä tekee elämästä mukavampaa, tottuu hyvin nopeasti. Harvoin kukaan kysyy "Mistä tämä tuli?" ja "Kuinka se toimii?". Mikroaaltouuni lämmittää aamiaisen – hienoa, älypuhelimella voit puhua toiselle ihmiselle – hienoa. Tämä näyttää meille ilmeiseltä mahdollisuudelta.

Mutta elämä voisi olla täysin erilaista, jos ihminen ei etsi selitystä tapahtuville tapahtumille. Otetaan esimerkiksi matkapuhelimet. Muistatko sisäänvedettävät antennit ensimmäisissä malleissa? Ne häiritsivät, lisäsivät laitteen kokoa, lopulta rikkoutuivat usein. Uskomme, että ne ovat vaipuneet unohduksiin ikuisiksi ajoiksi, ja osittain tämän... fraktaalien takia.

Fraktaalipiirustukset kiehtovat kuvioillaan. Ne muistuttavat ehdottomasti kuvia avaruusobjekteista - sumuista, galaksiklustereista ja niin edelleen. Siksi on aivan luonnollista, että kun Mandelbrot esitti fraktaaliteoriansa, hänen tutkimuksensa herätti lisääntynyttä kiinnostusta tähtitiedettä opiskelevien keskuudessa. Yksi näistä amatööreistä nimeltä Nathan Cohen, käytyään Benoit Mandelbrotin luennolle Budapestissa, syttyi tuleen ajatuksesta. käytännön sovellus hankittua tietoa. Totta, hän teki sen intuitiivisesti, ja sattumalla oli tärkeä rooli hänen löydöessään. Radioamatöörina Nathan pyrki luomaan antennin, jolla on mahdollisimman herkkä.

Ainoa tapa parantaa antennin parametreja, joka oli tuolloin tunnettu, oli kasvattaa sen geometrisia mittoja. Nathanin Bostonin keskustassa sijaitsevan asunnon omistaja kuitenkin vastusti jyrkästi suurten kattolaitteiden asentamista. Sitten Nathan alkoi kokeilla erilaisia ​​antennimuotoja yrittäen saada maksimaalisen tuloksen pienimmällä koolla. Fraktaalimuotojen ideasta syttynyt Cohen, kuten he sanovat, teki sattumanvaraisesti lankasta yhden kuuluisimmista fraktaaleista - "Koch-lumihiutaleen". Ruotsalainen matemaatikko Helge von Koch keksi tämän käyrän vuonna 1904. Se saadaan jakamalla segmentti kolmeen osaan ja korvaamalla keskisegmentti tasasivuisella kolmiolla ilman, että sivu osuu yhteen tämän segmentin kanssa. Määritelmä on hieman vaikea ymmärtää, mutta kuva on selkeä ja yksinkertainen.

"Koch-käyrästä" on myös muita lajikkeita, mutta käyrän likimääräinen muoto pysyy samana

Kun Nathan liitti antennin radiovastaanottimeen, hän oli hyvin yllättynyt - herkkyys kasvoi dramaattisesti. Kokeilusarjan jälkeen tuleva professori Bostonin yliopisto ymmärsi, että fraktaalikuvion mukaan tehdyllä antennilla on korkea hyötysuhde ja se kattaa paljon laajemman taajuusalueen verrattuna klassisiin ratkaisuihin. Lisäksi antennin muoto fraktaalikäyrän muodossa voi merkittävästi pienentää geometrisia mittoja. Nathan Cohen kehitti jopa lauseen, joka todistaa, että laajakaista-antennin luomiseksi riittää, että sille annetaan itsekaltaisen fraktaalikäyrän muoto.

Kirjoittaja patentoi löytönsä ja perusti yrityksen fraktaaliantennien kehittämiseen ja suunnitteluun Fractal Antenna Systems, uskoen oikeutetusti, että hänen löytönsä ansiosta matkapuhelimet pystyvät tulevaisuudessa pääsemään eroon isoista antenneista ja niistä tulee kompakteja.

Periaatteessa näin tapahtui. Totta, tähän päivään asti Nathan on oikeudenkäynnissä suurten yritysten kanssa, jotka käyttävät hänen löytöään laittomasti kompaktien viestintälaitteiden tuottamiseen. Jotkut tunnetut mobiililaitteiden valmistajat, kuten Motorola, ovat jo tehneet rauhansopimuksen fraktaaliantennin keksijän kanssa.

⇡ Fraktaalimitat: mieli ei ymmärrä

Benoit lainasi tämän kysymyksen kuuluisalta amerikkalaiselta tiedemieheltä Edward Kasnerilta.

Jälkimmäinen, kuten monet muut kuuluisat matemaatikot, piti kovasti kommunikoida lasten kanssa, kysyä heiltä kysymyksiä ja saada odottamattomia vastauksia. Joskus tämä johti yllättäviin tuloksiin. Joten esimerkiksi Edward Kasnerin yhdeksänvuotias veljenpoika keksi nyt tunnetun sanan "googol", joka tarkoittaa yksikköä, jossa on sata nollaa. Mutta takaisin fraktaaleihin. Amerikkalainen matemaatikko halusi kysyä, kuinka pitkä Yhdysvaltain rannikko on. Kuultuaan keskustelukumppanin mielipiteen Edward itse puhui oikean vastauksen. Jos mittaat kartan pituuden katkenneilla osilla, tulos on epätarkka, koska rannikolla on paljon epäsäännöllisyyksiä. Ja mitä tapahtuu, jos mittaat mahdollisimman tarkasti? Sinun on otettava huomioon jokaisen epätasaisuuden pituus - sinun on mitattava jokainen nieme, jokainen lahti, kallio, kivireunuksen pituus, kivi sen päällä, hiekkajyvä, atomi ja niin edelleen. Koska epäsäännöllisyyksien määrä pyrkii äärettömään, rantaviivan mitattu pituus kasvaa äärettömään jokaisen uuden epäsäännöllisyyden myötä.

Mitä pienempi mitta mitatessa, sitä suurempi on mitattu pituus

Mielenkiintoista on, että Edwardin kehotteita seuraten lapset sanoivat oikean vastauksen paljon nopeammin kuin aikuiset, kun taas jälkimmäisten oli vaikea hyväksyä tällaista uskomatonta vastausta.

Käyttämällä tätä ongelmaa esimerkkinä Mandelbrot ehdotti käyttämistä uusi lähestymistapa mittoihin. Koska rantaviiva on lähellä fraktaalikäyrää, se tarkoittaa, että siihen voidaan soveltaa karakterisoivaa parametria, ns. fraktaalidimensiota.

Mikä on tavallinen ulottuvuus, on selvää kenelle tahansa. Jos mitta on yhtä suuri kuin yksi, saamme suoran, jos kaksi - litteä figuuri, kolme on äänenvoimakkuus. Tällainen ulottuvuuden ymmärtäminen matematiikassa ei kuitenkaan toimi fraktaalikäyrien kanssa, joissa tällä parametrilla on murto-arvo. Fraktaaliulottuvuutta matematiikassa voidaan pitää ehdollisesti "karkeutena". Mitä suurempi käyrän karheus on, sitä suurempi on sen fraktaalimitta. Käyrällä, jolla Mandelbrotin mukaan fraktaalimitta on suurempi kuin sen topologinen ulottuvuus, on likimääräinen pituus, joka ei riipu dimensioiden lukumäärästä.

Tällä hetkellä tutkijat löytävät yhä enemmän alueita fraktaaliteorian soveltamiselle. Fraktaalien avulla voit analysoida osakekurssien vaihteluita, tutkia kaikenlaisia ​​luonnollisia prosesseja, kuten lajien määrän vaihteluita, tai simuloida virtojen dynamiikkaa. Fraktaalialgoritmeja voidaan käyttää tiedon pakkaamiseen, esimerkiksi kuvan pakkaamiseen. Ja muuten, saadaksesi kauniin fraktaalin tietokoneen näytölle, sinulla ei tarvitse olla tohtorin tutkintoa.

⇡ Fractal selaimessa

Ehkä yksi helpoimmista tavoista saada fraktaalikuvio on käyttää nuoren lahjakkaan ohjelmoijan Toby Schachmanin online-vektorieditoria. Tämän yksinkertaisen graafisen editorin työkalupakki perustuu samaan samankaltaisuuden periaatteeseen.

Käytössäsi on vain kaksi yksinkertaista muotoa - neliö ja ympyrä. Voit lisätä ne kankaalle, skaalata (skaalaaksesi jotakin akselia pitkin pitämällä Shift-näppäintä painettuna) ja kiertää. Boolen summausoperaatioiden periaatteella päällekkäin nämä yksinkertaisimmat elementit muodostavat uusia, vähemmän triviaaleja muotoja. Lisäksi nämä uudet lomakkeet voidaan lisätä projektiin, ja ohjelma toistaa näiden kuvien luomisen loputtomiin. Fraktaalin käsittelyn missä tahansa vaiheessa voit palata mihin tahansa monimutkaisen muodon komponenttiin ja muokata sen sijaintia ja geometriaa. Se on hauskaa, varsinkin kun ottaa huomioon, että ainoa luova työkalu on selain. Jos et ymmärrä tämän rekursiivisen vektorieditorin kanssa työskentelyn periaatetta, suosittelemme katsomaan videon projektin viralliselta verkkosivustolta, joka näyttää yksityiskohtaisesti koko fraktaalin luomisprosessin.

⇡ XaoS: fraktaaleja jokaiseen makuun

Monissa graafisissa muokkausohjelmissa on sisäänrakennetut työkalut fraktaalikuvioiden luomiseen. Nämä työkalut ovat kuitenkin yleensä toissijaisia ​​eivätkä anna sinun hienosäätää luotua fraktaalikuviota. Tapauksissa, joissa on tarpeen rakentaa matemaattisesti tarkka fraktaali, XaoS-alustojen välinen editori tulee apuun. Tämän ohjelman avulla on mahdollista paitsi rakentaa itsenäinen kuva, myös suorittaa erilaisia ​​​​käsittelyjä sen kanssa. Voit esimerkiksi "kävellä" reaaliajassa fraktaalin läpi muuttamalla sen mittakaavaa. Animoitu liike fraktaaleja pitkin voidaan tallentaa XAF-tiedostona ja toistaa sitten itse ohjelmassa.

XaoS voi ladata satunnaisen joukon parametreja sekä käyttää erilaisia ​​kuvan jälkikäsittelysuodattimia - lisätä sumeaa liiketehostetta, tasoittaa teräviä siirtymiä fraktaalipisteiden välillä, simuloida 3D-kuvaa ja niin edelleen.

⇡ Fractal Zoomer: kompakti fraktaaligeneraattori

Muihin fraktaalikuvageneraattoreihin verrattuna sillä on useita etuja. Ensinnäkin se on kooltaan melko pieni eikä vaadi asennusta. Toiseksi se toteuttaa mahdollisuuden määritellä kuvan väripaletti. Voit valita sävyjä sisään värillisiä malleja RGB, CMYK, HVS ja HSL.

On myös erittäin kätevää käyttää satunnaista värisävyjen valintaa ja toimintoa kääntää kaikki kuvan värit. Värin säätämiseksi on olemassa syklinen sävyjen valinta - kun vastaava tila on päällä, ohjelma animoi kuvan vaihtaen sen värejä syklisesti.

Fractal Zoomer pystyy visualisoimaan 85 erilaista fraktaalifunktiota, ja kaavat näkyvät selkeästi ohjelmavalikossa. Ohjelmassa on suodattimia kuvien jälkikäsittelyyn, vaikkakin pieni määrä. Jokainen määritetty suodatin voidaan peruuttaa milloin tahansa.

⇡ Mandelbulb3D: 3D-fraktaalieditori

Kun termiä "fraktaali" käytetään, se tarkoittaa useimmiten litteää kaksiulotteista kuvaa. Fraktaaligeometria kuitenkin ylittää 2D-ulottuvuuden. Luonnosta löytyy sekä esimerkkejä litteistä fraktaalimuodoista, esimerkiksi salaman geometriasta, että kolmiulotteisia kolmiulotteisia hahmoja. Fraktaalipinnat voivat olla 3D-muotoisia ja yksi havainnollisimmista kuvista 3D-fraktaaleista Jokapäiväinen elämä- kaalin pää. Ehkä paras tapa nähdä fraktaalit on Romanesco, kukkakaalin ja parsakaalin hybridi.

Ja tämä fraktaali voidaan syödä

Mandelbulb3D-ohjelmalla voidaan luoda samanmuotoisia kolmiulotteisia objekteja. Saadakseen 3D-pinnan käyttämällä fraktaalialgoritmia tämän sovelluksen kirjoittajat Daniel White ja Paul Nylander muunsivat Mandelbrot-joukon pallokoordinaateiksi. Heidän luomansa Mandelbulb3D-ohjelma on todellinen kolmiulotteinen editori, joka mallintaa erimuotoisia fraktaalipintoja. Koska havaitsemme usein fraktaalikuvioita luonnossa, keinotekoisesti luotu kolmiulotteinen fraktaaliobjekti näyttää uskomattoman realistiselta ja jopa "elävältä".

Se voi näyttää kasvilta, se voi muistuttaa outoa eläintä, planeettaa tai jotain muuta. Tätä tehostetta parantaa kehittynyt renderöintialgoritmi, jonka avulla voit saada realistisia heijastuksia, laskea läpinäkyvyyttä ja varjoja, simuloida syväterävyyden vaikutusta ja niin edelleen. Mandelbulb3D:ssä on valtava määrä asetuksia ja renderöintivaihtoehtoja. Voit hallita valonlähteiden sävyjä, valita mallinnetun kohteen taustan ja yksityiskohtien tason.

Incendia-fraktaalieditori tukee kaksoiskuvan tasoitusta, sisältää viidenkymmenen eri kolmiulotteisen fraktaalin kirjaston ja siinä on erillinen moduuli perusmuotojen muokkaamiseen.

Sovellus käyttää fraktaalikomentosarjaa, jolla voit itsenäisesti kuvata uudentyyppisiä fraktaalirakenteita. Incendiassa on tekstuuri- ja materiaalieditorit sekä renderöintimoottori, jonka avulla voit käyttää volyymitehosteita ja erilaisia ​​varjostimia. Ohjelmassa on mahdollisuus tallentaa puskuri pitkän aikavälin renderöinnin aikana, animaatioiden luonti on tuettu.

Incendia antaa sinun viedä fraktaalimallin suosittuihin 3D-grafiikkamuotoihin - OBJ ja STL. Incendia sisältää pienen Geometrica-apuohjelman - erikoistyökalun, jolla määritetään fraktaalipinnan vienti kolmiulotteiseksi malliksi. Tämän apuohjelman avulla voit määrittää 3D-pinnan resoluution, määrittää fraktaaliiteraatioiden lukumäärän. Vietyjä malleja voidaan käyttää 3D-projekteissa työskennellessäsi 3D-editorien, kuten Blender, 3ds max ja muiden kanssa.

Viime aikoina työ Incendia-projektin parissa on hidastunut jonkin verran. Päällä Tämä hetki kirjoittaja etsii sponsoreita auttamaan häntä kehittämään ohjelmaa.

Jos sinulla ei ole tarpeeksi mielikuvitusta piirtääksesi kauniin kolmiulotteisen fraktaalin tässä ohjelmassa, sillä ei ole väliä. Käytä INCENDIA_EX\parameters-kansiossa olevaa parametrikirjastoa. PAR-tiedostojen avulla löydät nopeasti epätavallisimmat fraktaalimuodot, myös animoidut.

⇡ Äänentoisto: kuinka fraktaalit laulavat

Emme yleensä puhu projekteista, joita vasta työstetään, mutta tässä tapauksessa meidän on tehtävä poikkeus, tämä on hyvin epätavallinen sovellus. Aural-niminen projekti keksi saman henkilön kuin Incendia. Totta, tällä kertaa ohjelma ei visualisoi fraktaalisarjaa, vaan äänittää sen ja muuttaa sen elektroniseksi musiikiksi. Ajatus on erittäin mielenkiintoinen, varsinkin kun ottaa huomioon epätavallisia ominaisuuksia fraktaaleja. Aural on äänieditori, joka tuottaa melodioita fraktaalialgoritmeilla, eli se on itse asiassa äänisyntetisaattori-sekvenssori.

Tämän ohjelman antama äänisarja on epätavallinen ja ... kaunis. Se voi olla hyödyllinen nykyaikaisten rytmien kirjoittamiseen ja sopii mielestämme erityisen hyvin luomiseen ääniraitoja televisio- ja radio-ohjelmien näytönsäästäjiin sekä tietokonepelien taustamusiikin "silmukoihin". Ramiro ei ole vielä toimittanut demoa ohjelmastaan, mutta lupaa, että kun hän tekee, hänen ei tarvitse opetella fraktaalien teoriaa voidakseen työskennellä Auralin kanssa - vain leikkiä algoritmin parametreilla luodakseen sekvenssin muistiinpanoja. Kuuntele kuinka fraktaalit kuulostavat ja.

Fraktaalit: musiikillinen tauko

Itse asiassa fraktaalit voivat auttaa musiikin kirjoittamisessa jopa ilman ohjelmisto. Mutta tämän voi tehdä vain joku, joka on todella täynnä ajatusta luonnollisesta harmoniasta ja joka ei ole samalla muuttunut valitettavaksi "nörttiksi". On järkevää ottaa esimerkkiä Jonathan Coulton-nimisestä muusikosta, joka muun muassa kirjoittaa sävellyksiä Popular Science -lehteen. Ja toisin kuin muut taiteilijat, Colton julkaisee kaikki teoksensa Creative Commons Attribution-Noncommercial -lisenssillä, joka (kun sitä käytetään ei-kaupallisiin tarkoituksiin) mahdollistaa teoksen ilmaisen kopioinnin, jakelun, siirtämisen muille sekä sen muokkaamisen (luomisen) johdannaisteoksia) mukauttaaksesi sen tarpeisiisi.

Jonathan Coltonilla on tietysti kappale fraktaaleista.

⇡ Johtopäätös

Kaikessa meitä ympäröivässä näemme usein kaaosta, mutta itse asiassa tämä ei ole sattumaa, vaan ihannemuoto, jonka fraktaalit auttavat meitä havaitsemaan. Luonto on paras arkkitehti, ihanteellinen rakentaja ja insinööri. Se on järjestetty hyvin loogisesti, ja jos jossain emme näe kuvioita, tämä tarkoittaa, että meidän on etsittävä sitä eri mittakaavassa. Ihmiset ymmärtävät tämän yhä paremmin ja yrittävät jäljitellä luonnollisia muotoja monin tavoin. Insinöörien suunnittelu Akustiset järjestelmät luo kuoren muodossa antenneja lumihiutaleiden geometrialla ja niin edelleen. Olemme varmoja, että fraktaalit pitävät edelleen paljon salaisuuksia, ja monet niistä ovat vielä ihmisen löytämättä.

Mitä yhteistä on puulla, merenrannalla, pilvellä tai käsissämme olevilla verisuonilla? Ensi silmäyksellä saattaa tuntua, että kaikilla näillä esineillä ei ole mitään yhteistä. Itse asiassa rakenteessa on kuitenkin yksi ominaisuus, joka on luontainen kaikille luetelluille objekteille: ne ovat itse samankaltaisia. Oksasta, samoin kuin puun rungosta, lähtevät pienemmät prosessit, niistä - jopa pienemmät jne., eli oksa on samanlainen kuin koko puu. Verenkiertojärjestelmä on järjestetty samalla tavalla: valtimot lähtevät valtimoista ja niistä - pienimmät kapillaarit, joiden kautta happi pääsee elimiin ja kudoksiin. Katsotaanpa satelliittikuvia meren rannikolta: näemme lahtia ja niemimaita; katsotaanpa sitä, mutta lintuperspektiivistä: näemme lahtia ja niemiä; kuvittele nyt, että seisomme rannalla ja katsomme jalkojamme: aina tulee kiviä, jotka työntyvät kauemmaksi veteen kuin muut. Toisin sanoen rantaviiva pysyy samanlaisena kuin itse, kun se zoomataan. Amerikkalainen matemaatikko Benoit Mandelbrot kutsui tätä esineiden ominaisuutta fraktaaliseksi ja itse tällaisia ​​esineitä - fraktaaleiksi (latinasta fractus - rikki).

Tällä käsitteellä ei ole tiukkaa määritelmää. Siksi sana "fraktaali" ei ole matemaattinen termi. Yleensä fraktaali on geometrinen kuvio, joka täyttää yhden tai useamman seuraavista ominaisuuksista: Sillä on monimutkainen rakenne millä tahansa suurennuksella (toisin kuin esimerkiksi suoralla viivalla, jonka mikä tahansa osa on yksinkertaisin geometrinen kuvio - segmentti). Se on (suunnilleen) samankaltainen. Sillä on murto-osa Hausdorffin (fraktaali) ulottuvuus, joka on suurempi kuin topologinen. Voidaan rakentaa rekursiivisilla menetelmillä.

Geometria ja algebra

Fraktaalien tutkimus päällä XIX vuoro ja 1900-luku oli enemmän episodinen kuin systemaattinen, koska aikaisemmat matemaatikot tutkivat pääasiassa "hyviä" esineitä, joita voitiin tutkia yleisillä menetelmillä ja teorioilla. Vuonna 1872 saksalainen matemaatikko Karl Weierstrass rakensi esimerkin jatkuvasta funktiosta, joka ei ole missään erotettavissa. Sen rakenne oli kuitenkin täysin abstrakti ja vaikeasti ymmärrettävä. Siksi ruotsalainen Helge von Koch keksi vuonna 1904 jatkuvan käyrän, jolla ei ole tangenttia missään, ja sen piirtäminen on melko helppoa. Kävi ilmi, että sillä on fraktaalin ominaisuuksia. Tämän käyrän yhtä muunnelmaa kutsutaan Kochin lumihiutaleeksi.

Figuurien samankaltaisuuden ideat poimi ranskalainen Paul Pierre Levy, Benoit Mandelbrotin tuleva mentori. Vuonna 1938 julkaistiin hänen artikkelinsa "Taso- ja spatiaaliset käyrät ja pinnat, jotka koostuvat kokonaisuuden kaltaisista osista", jossa kuvataan toinen fraktaali - Lévyn C-käyrä. Kaikki nämä edellä luetellut fraktaalit voidaan ehdollisesti katsoa kuuluvan yhteen konstruktiivisten (geometristen) fraktaalien luokkaan.

Toinen luokka on dynaamiset (algebralliset) fraktaalit, jotka sisältävät Mandelbrot-joukon. Ensimmäinen tutkimus tähän suuntaan alkoi 1900-luvun alussa ja se liittyy ranskalaisten matemaatikoiden Gaston Julian ja Pierre Fatoun nimiin. Vuonna 1918 Julia julkaisi lähes kaksisataasivuisen muistelman, joka oli omistettu monimutkaisten rationaalisten funktioiden iteraatioille ja jossa kuvataan Julia-joukkoja - koko fraktaaleja, jotka liittyvät läheisesti Mandelbrotin joukkoon. Tämä teos palkittiin Ranskan Akatemian palkinnolla, mutta se ei sisältänyt yhtään kuvitusta, joten löydettyjen esineiden kauneutta oli mahdotonta arvostaa. Huolimatta siitä, että tämä työ teki Juliasta kuuluisan aikansa matemaatikoiden keskuudessa, se unohdettiin nopeasti. Jälleen huomio kääntyi siihen vasta puoli vuosisataa myöhemmin tietokoneiden ilmaantumisen myötä: juuri ne tekivät näkyväksi fraktaalien maailman rikkauden ja kauneuden.

Fraktaalimitat

Kuten tiedät, geometrisen kuvion mitta (mittausten lukumäärä) on koordinaattien määrä, joka tarvitaan määrittämään tässä kuviossa olevan pisteen sijainti.
Esimerkiksi pisteen sijainti käyrällä määräytyy yhdellä koordinaatilla, pinnalla (ei välttämättä tasolla) kahdella koordinaatilla, kolmiulotteisessa avaruudessa kolmella koordinaatilla.
Yleisemmästä matemaattisesta näkökulmasta ulottuvuus voidaan määritellä näin: lineaaristen mittojen kasvu, esimerkiksi kaksinkertainen, yksiulotteisten (topologisesta näkökulmasta) objektien (segmentin) osalta johtaa koon kasvuun. (pituus) kertoimella kaksi, kaksiulotteisessa (neliö ) sama lineaaristen mittojen lisäys johtaa koon (pinta-alan) kasvuun 4-kertaiseksi, kolmiulotteisen (kuutio) - 8-kertaiseen. Toisin sanoen "todellinen" (ns. Hausdorffin) ulottuvuus voidaan laskea objektin "koon" kasvun logaritmin ja sen lineaarisen koon kasvun logaritmin suhteena. Eli segmentille D=log (2)/log (2)=1, tasolle D=log (4)/log (2)=2, tilavuudelle D=log (8)/log (2) )=3.
Lasketaan nyt Koch-käyrän ulottuvuus, jonka rakentamista varten yksikkösegmentti jaetaan kolmeen yhtä suureen osaan ja keskiväli korvataan tasasivuisella kolmiolla ilman tätä segmenttiä. Kun minimisegmentin lineaariset mitat kasvavat kolme kertaa, Koch-käyrän pituus kasvaa log (4) / log (3) ~ 1,26. Toisin sanoen Koch-käyrän ulottuvuus on murto-osa!

Tiede ja taide

Vuonna 1982 julkaistiin Mandelbrotin kirja "Luonnon fraktaaligeometria", johon kirjailija keräsi ja systematisoi lähes kaiken tuolloin saatavilla olevan tiedon fraktaaleista ja esitti sen helposti ja helposti saatavilla olevalla tavalla. Mandelbrot ei painottanut esityksessään raskaita kaavoja ja matemaattisia rakenteita, vaan lukijoiden geometristä intuitiota. Tietokoneella luotujen kuvitusten ja historiallisten tarinoiden ansiosta, joilla kirjailija laimensi taitavasti monografian tieteellistä osaa, kirjasta tuli bestseller ja fraktaalit tulivat suuren yleisön tunnetuiksi. Heidän menestys ei-matemaatikoiden keskuudessa johtuu suurelta osin siitä, että hyvin yksinkertaisten rakenteiden ja kaavojen avulla, joita lukiolainenkin ymmärtää, saadaan kuvia hämmästyttävästä monimutkaisuudesta ja kauneudesta. Kun henkilökohtaisista tietokoneista tuli tarpeeksi tehokkaita, ilmestyi jopa koko taiteen suuntaus - fraktaalimaalaus, ja melkein kuka tahansa tietokoneen omistaja pystyi siihen. Nyt Internetistä löydät helposti monia tälle aiheelle omistettuja sivustoja.

Kaavio Koch-käyrän saamiseksi

Sota ja rauha

Kuten edellä todettiin, yksi luonnon esineistä, joilla on fraktaaliominaisuuksia, on rannikko. Sen kanssa tai pikemminkin yritettäessä mitata sen pituus, yksi mielenkiintoinen tarina, joka muodosti perustan Mandelbrotin tieteelliselle artikkelille, ja se kuvataan myös hänen kirjassaan "The Fractal Geometry of Nature". Puhumme Lewis Richardsonin, erittäin lahjakkaan ja eksentrinen matemaatikko, fyysikko ja meteorologin, tekemästä kokeesta. Yksi hänen tutkimuksensa suunnasta oli yritys löytää matemaattinen kuvaus kahden maan välisen aseellisen konfliktin syistä ja todennäköisyydestä. Hänen huomioimiensa parametrien joukossa oli kahden taistelevan maan välisen yhteisen rajan pituus. Kun hän keräsi tietoja numeerisia kokeita varten, hän havaitsi, että eri lähteissä tiedot Espanjan ja Portugalin yhteisestä rajasta vaihtelevat suuresti. Tämä johti hänet seuraavaan havaintoon: maan rajojen pituus riippuu viivaimesta, jolla ne mitataan. Mitä pienempi mittakaava, sitä pidempi raja on. Tämä johtuu siitä, että suuremmalla suurennuksella on mahdollista ottaa huomioon yhä useampia rannikon mutkia, jotka aiemmin jätettiin huomiotta mittausten epätasaisuuden vuoksi. Ja jos jokaisella zoomauksella avataan aiemmin huomioimattomia viivojen mutkia, niin käy ilmi, että rajojen pituus on ääretön! Totta, itse asiassa näin ei tapahdu - mittaustemme tarkkuudella on rajallinen raja. Tätä paradoksia kutsutaan Richardsonin efektiksi.

Konstruktiiviset (geometriset) fraktaalit

Algoritmi konstruktiivisen fraktaalin muodostamiseksi yleisessä tapauksessa on seuraava. Ensinnäkin tarvitsemme kaksi sopivaa geometrista muotoa, kutsutaan niitä pohjaksi ja fragmentiksi. Ensimmäisessä vaiheessa kuvataan tulevan fraktaalin perusta. Sitten jotkut sen osista korvataan sopivassa mittakaavassa otetulla fragmentilla - tämä on rakenteen ensimmäinen iteraatio. Sitten tuloksena olevassa kuviossa jotkin osat muuttuvat taas fragmentin kaltaisiksi hahmoiksi jne. Jos jatkamme tätä prosessia loputtomiin, niin rajassa saadaan fraktaali.

Harkitse tätä prosessia käyttämällä esimerkkiä Koch-käyrästä (katso sivupalkki edellisellä sivulla). Mikä tahansa käyrä voidaan ottaa Koch-käyrän perustaksi (Kochin lumihiutaleelle tämä on kolmio). Mutta rajoitamme itsemme yksinkertaisimpaan tapaukseen - segmenttiin. Fragmentti on katkoviiva, joka näkyy kuvan yläosassa. Algoritmin ensimmäisen iteraation jälkeen tässä tapauksessa alkuperäinen segmentti osuu yhteen fragmentin kanssa, sitten jokainen sen muodostava segmentti korvataan itse katkeavalla viivalla, joka on samanlainen kuin fragmentti, ja niin edelleen. Kuvassa on neljä ensimmäistä tämän prosessin vaiheet.

Matematiikan kieli: dynaamiset (algebralliset) fraktaalit

Tämän tyyppiset fraktaalit syntyvät epälineaaristen dynaamisten järjestelmien tutkimuksessa (tästä nimi). Tällaisen järjestelmän käyttäytymistä voidaan kuvata kompleksisella epälineaarisella funktiolla (polynomilla) f(z). Otetaan jokin alkupiste z0 kompleksitasolla (katso sivupalkki). Tarkastellaan nyt sellaista ääretöntä lukujonoa kompleksitasolla, joista jokainen saadaan edellisestä: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). Alkupisteestä z0 riippuen tällainen sekvenssi voi käyttäytyä eri tavalla: taipumus äärettömyyteen muodossa n -> ∞; lähentyä johonkin päätepisteeseen; ottaa syklisesti useita kiinteitä arvoja; monimutkaisemmat vaihtoehdot ovat mahdollisia.

Monimutkaiset luvut

Kompleksiluku on luku, joka koostuu kahdesta osasta - reaalista ja imaginaarisesta, eli muodollisesta summasta x + iy (x ja y ovat tässä reaalilukuja). minä olen ns. imaginaarinen yksikkö, eli luku, joka täyttää yhtälön minä^ 2 = -1. Kompleksilukujen päälle määritellään matemaattiset perusoperaatiot - yhteenlasku, kertolasku, jako, vähennys (vain vertailuoperaatiota ei ole määritelty). Kompleksilukujen näyttämiseen käytetään usein geometristä esitystapaa - tasossa (jota kutsutaan kompleksiksi), reaaliosa piirretään abskissa-akselia pitkin ja imaginaariosa ordinaattista akselia pitkin, kun taas kompleksiluku vastaa pistettä suorakulmaisilla koordinaateilla x ja y.

Siten millä tahansa kompleksitason pisteellä z on oma käyttäytymisensä funktion f (z) iteraatioiden aikana, ja koko taso on jaettu osiin. Lisäksi näiden osien rajoilla sijaitsevilla pisteillä on seuraava ominaisuus: mielivaltaisen pienellä siirtymällä niiden käyttäytymisen luonne muuttuu dramaattisesti (tällaisia ​​pisteitä kutsutaan bifurkaatiopisteiksi). Joten käy ilmi, että pistejoukoilla, joilla on tietyntyyppinen käyttäytyminen, samoin kuin bifurkaatiopisteiden joukot, on usein fraktaaliominaisuuksia. Nämä ovat Julia-joukot funktiolle f(z).

lohikäärme perhe

Vaihtelemalla pohjaa ja fragmenttia saat upean valikoiman rakentavia fraktaaleja.
Lisäksi samanlaisia ​​operaatioita voidaan suorittaa kolmiulotteisessa avaruudessa. Esimerkkejä tilavuusfraktaaleista ovat "Mengerin sieni", "Sierpinskin pyramidi" ja muut.
Lohikäärmeiden perhettä kutsutaan myös rakentaviksi fraktaaleiksi. Niitä kutsutaan joskus löytäjien nimellä "Heiwei-Harterin lohikäärmeiksi" (ne muistuttavat muodoltaan kiinalaisia ​​lohikäärmeitä). On olemassa useita tapoja rakentaa tämä käyrä. Yksinkertaisin ja ilmeisin niistä on tämä: sinun on otettava riittävän pitkä paperinauha (mitä ohuempi paperi, sitä parempi) ja taivutettava se puoliksi. Taivuta se sitten jälleen kahtia samaan suuntaan kuin ensimmäistä kertaa. Useiden toistojen jälkeen (yleensä viiden tai kuuden taitoksen jälkeen nauhasta tulee liian paksu, jotta sitä ei voida varovasti taivuttaa), sinun on suoristettava nauha taaksepäin ja yritettävä muodostaa 90˚ kulmia taitteisiin. Sitten lohikäärmeen käyrä kääntyy profiilissa. Tämä on tietysti vain likimääräinen arvio, kuten kaikki yrityksemme kuvata fraktaaliobjekteja. Tietokoneen avulla voit kuvata monia muita vaiheita tässä prosessissa, ja tuloksena on erittäin kaunis hahmo.

Mandelbrot-sarja on rakennettu hieman eri tavalla. Tarkastellaan funktiota fc (z) = z 2 +c, missä c on kompleksiluku. Muodostetaan tämän funktion sekvenssi, jossa z0=0, parametrista c riippuen se voi poiketa äärettömään tai pysyä rajoitettuna. Lisäksi kaikki c:n arvot, joille tämä sekvenssi on rajoitettu, muodostavat Mandelbrot-joukon. Mandelbrot itse ja muut matemaatikot tutkivat sitä yksityiskohtaisesti, jotka löysivät tämän joukon monia mielenkiintoisia ominaisuuksia.

Voidaan nähdä, että Julia- ja Mandelbrot-joukkojen määritelmät ovat samanlaisia. Itse asiassa nämä kaksi sarjaa liittyvät läheisesti toisiinsa. Nimittäin Mandelbrot-joukko on kaikki kompleksiparametrin c arvot, joille Julia-joukko fc (z) on kytketty (joukkoa kutsutaan yhdistetyksi, jos sitä ei voida jakaa kahteen ei-leikkaavaan osaan muutamilla lisäehdoilla).

fraktaalit ja elämä

Nykyään fraktaaliteoria löytää laaja sovellus ihmistoiminnan eri aloilla. Puhtaasti tieteellisen tutkimuskohteen ja jo mainitun fraktaalimaalauksen lisäksi fraktaaleja käytetään informaatioteoriassa graafisen datan pakkaamiseen (tässä käytetään pääasiassa fraktaalien itsesamankaltaisuusominaisuutta - loppujen lopuksi pienen fragmentin muistamiseksi piirustuksen ja muunnosten, joilla saat loput osat, se vie paljon vähemmän muistia kuin koko tiedoston tallentaminen). Lisäämällä fraktaalia määrittäviin kaavoihin satunnaisia ​​häiriöitä saadaan stokastisia fraktaaleja, jotka välittävät erittäin uskottavalla tavalla joitain todellisia esineitä - kohokuvioelementtejä, vesistöjen pintaa, joitain kasveja, joita käytetään menestyksekkäästi fysiikassa, maantiedossa ja tietokonegrafiikassa saavuttamaan simuloitujen objektien suurempi samankaltaisuus todellisten kohteiden kanssa. Radioelektroniikassa viime vuosikymmenellä alettiin valmistaa antenneja, joilla on fraktaalimuoto. Vievät vähän tilaa ja tarjoavat varsin laadukkaan signaalin vastaanoton. Taloustieteilijät käyttävät fraktaaleja kuvaamaan valuuttakurssien vaihtelukäyriä (tämän ominaisuuden löysi Mandelbrot yli 30 vuotta sitten). Tämä päättää tämän lyhyen retken kauneudeltaan ja monimuotoisuudeltaan hämmästyttävän fraktaalien maailmaan.

Kaaos on järjestys, joka on tulkittava.

José Saramago, "The Double"

"Tulevat sukupolvet muistavat 1900-luvun vain suhteellisuusteorioiden, kvanttimekaniikan ja kaaoksen luomisen ansiosta... suhteellisuusteoria on poistanut Newtonin illuusion absoluuttisesta aika-avaruudesta, kvanttimekaniikka karkoitti unelman fyysisten tapahtumien determinismistä ja lopulta kaaos kumosi Laplacen fantasian järjestelmien kehityksen täydellisestä ennaltamääräyksestä. Nämä kuuluisan amerikkalaisen historioitsijan ja tieteen popularisoijan James Gleickin sanat heijastelevat asian suurta merkitystä, jota käsitellään vain lyhyesti lukijan huomiolle tarjottavassa artikkelissa. Maailmamme syntyi kaaoksesta. Kuitenkin, jos kaaos ei tottele omia lakejaan, jos siinä ei olisi erityistä logiikkaa, se ei voisi tuottaa mitään.

Uusi on hyvin unohdettu vanha

Sallikaa minun vielä yksi lainaus Gleickistä:

Ajatus sisäisestä samankaltaisuudesta, että suuria asioita voidaan sijoittaa pieniin asioihin, on hyväili pitkään ihmisen sielua... Leibnizin mukaan vesipisara sisältää koko maailman värikkäillä väreillä loistaen, jossa vesiroiskeet kimaltelevat ja muut tuntemattomat universumit elävät. "Katso maailma hiekanjyvänä", Blake kehotti, ja jotkut tiedemiehet yrittivät noudattaa hänen käskyään. Ensimmäiset siemennesteen tutkijat olivat taipuvaisia ​​näkemään jokaisessa siittiössä eräänlaisen homunkuluksen, eli pienen, mutta jo täysin muodostuneen pienen ihmisen.

Tällaisten näkemysten retrospektiivi voidaan vetää paljon syvemmälle historian syvyyksiin. Yksi taikuuden perusperiaatteista - olennainen vaihe minkä tahansa yhteiskunnan kehityksessä - on postulaatti: osa on kuin kokonaisuus. Se ilmeni sellaisina toimina kuin eläimen kallon hautaaminen koko eläimen sijasta, vaunumalli itse vaunun sijaan jne. Säilyttämällä esi-isän kallon sukulaiset uskoivat hänen jatkavan elämäänsä heidän vierellään. ja osallistua heidän asioihinsa.

Jopa antiikin kreikkalainen filosofi Anaxagoras piti maailmankaikkeuden ensisijaisia ​​elementtejä hiukkasina, jotka olivat samankaltaisia ​​kuin muut kokonaisuuden hiukkaset ja itse kokonaisuus, "äärettöminä sekä joukoittain että pieninä". Aristoteles luonnehti Anaxagoraan elementtejä adjektiivilla "samankaltaiset osat".

Ja aikakautemme, amerikkalainen kyberneetikko Ron Eglash, teki afrikkalaisten heimojen ja Etelä-Amerikan intiaanien kulttuuria tutkiessaan löydön: osa heistä on muinaisista ajoista lähtien käyttänyt fraktaalirakennusperiaatteita koristeissa, vaatteissa ja kodin esineissä sovelletuissa kuvioissa. koruissa, rituaaliseremonioissa ja jopa arkkitehtuurissa. Joten joidenkin afrikkalaisten heimojen kylien rakenne on ympyrä, jossa on pieniä ympyröitä - taloja, joiden sisällä on vielä pienempiä ympyröitä - henkien taloja. Muissa heimoissa ympyröiden sijasta muut hahmot toimivat arkkitehtuurin elementteinä, mutta ne toistuvat myös eri mittakaavassa yhden rakenteen alaisina. Lisäksi nämä rakennusperiaatteet eivät olleet pelkkä luonnon jäljitelmä, vaan sopusoinnussa vallitsevan maailmankuvan ja yhteiskunnallisen järjestyksen kanssa.

Näyttäisi siltä, ​​että sivilisaatiomme on mennyt kauas primitiivisestä olemassaolosta. Elämme kuitenkin edelleen samassa maailmassa, olemme edelleen luonnon ympäröimänä, eläen omien lakiensa mukaan, huolimatta kaikista ihmisen yrityksistä mukauttaa se tarpeisiinsa. Ja ihminen itse (älkäämme unohtako sitä) jää osaksi tätä luontoa.

Gert Eilenberger, saksalainen fyysikko, joka tutki epälineaarisuutta, huomautti kerran:

Miksi alaston puun siluetti on taipunut myrskytuulen paineen alla synkän talvitaivaan taustalla koetaan kauniiksi, kun taas modernin monitoimirakennuksen ääriviivat arkkitehdin parhaista ponnisteluista huolimatta eivät näytä siltä. ollenkaan? Minusta näyttää siltä, ​​että ... kauneustunteemme "ruokkii" harmonista järjestyksen ja epäjärjestyksen yhdistelmää, joka voidaan havaita luonnonilmiöissä: pilvissä, puissa, vuoristoissa tai lumihiutalekiteissä. Kaikki tällaiset ääriviivat ovat dynaamisia prosesseja, jotka on jäädytetty sisään fyysisiä muotoja, ja niille on tyypillistä vakauden ja satunnaisuuden yhdistelmä.

Kaaosteorian alkuperässä

Mitä me tarkoitamme kaaos? Kyvyttömyys ennustaa järjestelmän käyttäytymistä, satunnaisia ​​hyppyjä eri suuntiin, jotka eivät koskaan muutu järjestetyksi sekvenssiksi.

Ranskalaista matemaatikkoa, fyysikkoa ja filosofia Henri Poincarea pidetään ensimmäisenä kaaoksen tutkijana. Jopa XIX vuosisadan lopussa. tutkiessaan kolmen painovoimaisesti vuorovaikuttavan kappaleen järjestelmän käyttäytymistä hän huomasi, että voi olla ei-jaksollisia kiertoradoja, jotka ovat jatkuvasti eivätkä liiku pois tietystä pisteestä eivätkä lähesty sitä.

Perinteiset, luonnontieteissä laajalti käytetyt geometrian menetelmät perustuvat tutkittavan kohteen rakenteen lähentämiseen geometrisilla kuvioilla, esimerkiksi viivoilla, tasoilla, palloilla, joiden metriset ja topologiset mitat ovat keskenään yhtä suuret. . Useimmissa tapauksissa tutkittavan kohteen ominaisuuksia ja sen vuorovaikutusta ympäristön kanssa kuvaavat integroidut termodynaamiset ominaisuudet, mikä johtaa merkittävän osan järjestelmää koskevasta tiedosta menetykseen ja sen korvaamiseen enemmän tai vähemmän riittävällä mallilla. Useimmiten tällainen yksinkertaistaminen on varsin perusteltua, mutta on lukuisia tilanteita, joissa topologisesti riittämättömien mallien käyttöä ei voida hyväksyä. Hänen kirjoituksessaan annettiin esimerkki tällaisesta erosta tohtorin väitöskirja(nykyisin kemian tohtori) Vladimir Konstantinovich Ivanov: se löytyy mitattaessa kehittyneen (esimerkiksi huokoisen) pinnan pinta-alaa kiinteät aineet käyttämällä sorptiomenetelmiä, jotka tallentavat adsorptioisotermejä. Kävi ilmi, että alueen koko ei riipu neliöllisesti "mittavien" molekyylien lineaarisesta koosta, mikä olisi odotettavissa yksinkertaisimmilla geometrisilla näkökohdilla, vaan eksponentti, joskus hyvin lähellä kolmea.

Sään ennustaminen on yksi niistä ongelmista, joiden kanssa ihmiskunta on kamppaillut muinaisista ajoista lähtien. Aiheesta on tunnettu anekdootti, jossa sääennuste välittyy ketjua pitkin shamaanista poronhoitajalle, sitten geologille, sitten radio-ohjelman toimittajalle ja lopulta ympyrä on valmis, koska käy ilmi, että shamaani oppi ennusteen radiosta. Sellaisen monimutkaisen järjestelmän, kuten sää, kuvausta, jossa on monia muuttujia, ei voida pelkistää yksinkertaisiksi malleiksi. Tämän tehtävän myötä alkoi tietokoneiden käyttö epälineaaristen dynaamisten järjestelmien mallintamiseen. Yksi kaaosteorian perustajista, amerikkalainen meteorologi ja matemaatikko Edward Norton Lorentz omistautui monta vuotta sääennusteen ongelmalle. Viime vuosisadan 60-luvulla yrittäessään ymmärtää sääennusteiden epäluotettavuuden syitä hän osoitti, että monimutkaisen dynaamisen järjestelmän tila voi riippua voimakkaasti alkuolosuhteista: pieni muutos yhdessä monista parametreista voi radikaalisti. muuttaa odotettua tulosta. Lorenz kutsui tätä riippuvuutta perhosefektiksi: "Tämänpäiväinen koin siipien räpyttely Pekingissä voi aiheuttaa hurrikaanin New Yorkissa kuukaudessa." Hän oli kuuluisa työstään ilmakehän yleiseen kiertoon. Tutkiessaan prosessia kuvaavaa yhtälöjärjestelmää, jossa on kolme muuttujaa, Lorenz esitti graafisesti analyysinsä tulokset: kaavion viivat edustavat näiden muuttujien avaruudessa olevien ratkaisujen määrittämien pisteiden koordinaatteja (kuva 1). Tuloksena oleva kaksoiskierre, ns Lorenzin houkutin(tai "outo houkuttelija"), näytti joltakin äärettömän monimutkaiselta, mutta aina tiettyjen rajojen sisällä eikä koskaan toistu. Liike attraktorissa on abstraktia (muuttujia voivat olla nopeus, tiheys, lämpötila jne.), mutta silti se välittää todellisten fysikaalisten ilmiöiden piirteitä, kuten vesipyörän liikettä, konvektiota suljetussa silmukassa, yksimuotolaser. säteily, dissipatiivinen harmonisia värähtelyjä(jonka parametrit toimivat vastaavien muuttujien roolissa).

Niistä tuhansista julkaisuista, jotka ovat muodostaneet kaaoksen ongelman erikoiskirjallisuuden, tuskin yhtäkään on siteerattu useammin kuin Lorentzin vuoden 1963 artikkelissa "Deterministinen ei-jaksollinen virtaus". Vaikka sääennusteet "muutettiin taiteesta tieteeksi" tietokonemallinnuksella tämän työn tekohetkellä, pitkän aikavälin ennusteet olivat edelleen epäluotettavia ja epäluotettavia. Syynä tähän oli perhosefekti.

Samalla 1960-luvulla matemaatikko Stephen Smale Kalifornian yliopistosta kokosi tutkimusryhmän nuoria samanmielisiä ihmisiä Berkeleyyn. Hänelle on aiemmin myönnetty Fields-mitali erinomaisesta topologian tutkimuksesta. Smale tutki dynaamisia järjestelmiä, erityisesti epälineaarisia kaoottisia oskillaattoreita. Toistaakseen koko van der Pol -oskillaattorin häiriön vaiheavaruudessa hän loi rakenteen, joka tunnetaan nimellä "hevoskenkä" - esimerkki dynaamisesta järjestelmästä, jolla on kaoottinen dynamiikka.

"Hevoskenkä" (kuva 2) - tarkka ja näkyvä kuva vahvasta riippuvuudesta alkuolosuhteista: et voi koskaan arvata, missä aloituspiste on useiden iteraatioiden jälkeen. Tämä esimerkki oli venäläisen matemaatikon, dynaamisten järjestelmien ja differentiaaliyhtälöiden teorian, differentiaaligeometrian ja topologian asiantuntija Dmitri Viktorovich Anosov "Anosovin diffeomorfismit" keksinnölle. Myöhemmin näistä kahdesta teoksesta kasvoi hyperbolisten dynaamisten järjestelmien teoria. Kului vuosikymmen, ennen kuin Smalen työ kiinnitti muiden tieteenalojen huomion. "Kun se tapahtui, fyysikot ymmärsivät, että Smale oli kääntänyt kokonaisen matematiikan haaran todellista maailmaa» .

Vuonna 1972 Marylandin yliopiston matemaatikko James Yorke luki yllä olevan Lorenzin paperin, joka hämmästytti häntä. Yorke näki artikkelissa elävän fyysisen mallin ja piti pyhänä velvollisuutenaan välittää fyysikoille se, mitä he eivät nähneet Lorentzin ja Smalen teoksista. Hän välitti kopion Lorenzin artikkelista Smalelle. Hän oli hämmästynyt huomatessaan, että epäselvä meteorologi (Lorenz) oli havainnut kymmenen vuotta aiemmin häiriön, jota hän itse piti kerran matemaattisesti epätodennäköisenä, ja lähetti kopiot kaikille kollegoilleen.

Biologi Robert May, Yorkin ystävä, tutki muutoksia eläinpopulaatioissa. May seurasi Pierre Verchlustin jalanjälkiä, joka jo vuonna 1845 kiinnitti huomiota eläinten lukumäärän muutosten arvaamattomuuteen ja tuli siihen tulokseen, että populaation kasvuvauhti on muuttuva arvo. Toisin sanoen prosessi on epälineaarinen. May yritti vangita, mitä väestölle tapahtuu, kun kasvunopeuden vaihtelut lähestyvät tiettyä kriittistä pistettä (haarautumispistettä). Vaihtelemalla tämän epälineaarisen parametrin arvoja hän havaitsi, että perustavanlaatuiset muutokset ovat mahdollisia järjestelmän olemuksessa: parametrin lisäys merkitsi epälineaarisuuden asteen kasvua, joka puolestaan ​​​​muutti. ei vain tuloksen määrällisiä, vaan myös laadullisia ominaisuuksia. Tällainen operaatio vaikutti sekä tasapainossa olevan populaation lopulliseen arvoon että sen kykyyn ylipäätään saavuttaa jälkimmäinen. Tietyissä olosuhteissa jaksollisuus väistyi kaaokselle, heilahteluille, jotka eivät koskaan sammuneet.

York analysoi kuvatut ilmiöt työssään matemaattisesti osoittaen, että seuraavaa tapahtuu missä tahansa yksiulotteisessa järjestelmässä: jos syntyy säännöllinen sykli, jossa on kolme aaltoa (tasaisia ​​nousuja ja laskuja minkä tahansa parametrin arvoissa), niin tulevaisuudessa järjestelmä alkaa havainnollistaa, kuinka oikeat syklit minkä tahansa muun keston , ja täysin kaoottinen. (Kuten kävi ilmi muutama vuosi artikkelin julkaisemisen jälkeen kansainvälinen konferenssi Itä-Berliinissä Neuvostoliiton (ukrainalainen) matemaatikko Aleksandr Nikolajevitš Sharkovskii oli tutkimuksessaan jonkin verran Yorkia edellä). York kirjoitti artikkelin tunnettuun tieteelliseen julkaisuun American Mathematical Monthly. York saavutti kuitenkin enemmän kuin vain matemaattisen tuloksen: hän osoitti fyysikoille, että kaaos on kaikkialla läsnä oleva, vakaa ja jäsennelty. Hän antoi aiheen uskoa, että monimutkaiset järjestelmät, joita perinteisesti kuvataan vaikeasti ratkaistavilla differentiaaliyhtälöillä, voidaan esittää visuaalisten graafien avulla.

May yritti kiinnittää biologien huomion siihen, että eläinpopulaatiot kokevat muutakin kuin vain säännöllisiä kiertoja. Matkalla kaaokseen on kokonainen kaksinkertaistumisjaksojen sarja. Juuri haarautumispisteissä yksilöiden hedelmällisyyden tietty lisääntyminen voi johtaa esimerkiksi muutokseen populaation neljän vuoden syklissä. mustalaiskoi kahdeksan vuotta vanha. Amerikkalainen Mitchel Feigenbaum päätti aloittaa laskemalla sellaiset muutokset aiheuttaneen parametrin tarkat arvot. Hänen laskelmansa osoittivat, että sillä ei ollut väliä mikä alkuperäinen populaatio oli - se oli edelleen tasaisesti lähestymässä houkuttelijaa. Sitten ensimmäisen jakson kaksinkertaistuessa attraktori, kuten jakautuva solu, jakautuu kahtia. Sitten tapahtui seuraava jaksojen kertolasku, ja jokainen attraktorin piste alkoi jakaa uudelleen. Luku, Feigenbaumin saama muuttumaton, antoi hänelle mahdollisuuden ennustaa tarkalleen, milloin tämä tapahtuisi. Tiedemies havaitsi, että hän pystyi ennustamaan tämän vaikutuksen monimutkaisimmalle houkuttimelle - kahdessa, neljässä, kahdeksassa pisteessä ... Ekologian kielellä hän pystyi ennustamaan todellisen määrän, joka saavutetaan populaatioissa vuosivaihteluiden aikana. Joten Feigenbaum löysi vuonna 1976 "jakson kaksinkertaistuvan kaskadin", joka perustui Mayn työhön ja hänen turbulenssitutkimukseensa. Hänen teoriansa heijasteli luonnonlakia, joka koskee kaikkia järjestelmiä, jotka ovat siirtymässä järjestyksestä kaaokseen. York, May ja Feigenbaum ymmärsivät lännessä ensimmäisinä täysin ajanjakson kaksinkertaistamisen merkityksen ja pystyivät välittämään tämän ajatuksen koko tiedeyhteisölle. May sanoi, että kaaosta oli opetettava.

Neuvostoliiton matemaatikot ja fyysikot edistyivät tutkimuksessaan ulkomaisista kollegoistaan ​​riippumatta. Kaaoksen tutkimus alkoi A. N. Kolmogorovin työstä 1950-luvulla. Mutta ulkomaisten kollegoiden ideat eivät jääneet ilman heidän huomiotaan. Kaaosteorian pioneereja pidetään Neuvostoliiton matemaatikoina Andrei Nikolajevitš Kolmogorov ja Vladimir Igorevitš Arnold sekä saksalainen matemaatikko Jurgen Moser, jotka rakensivat kaaosteorian nimeltä KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser teoria). Toinen erinomaisista maanmiehistämme, loistava fyysikko ja matemaatikko Yakov Grigorievich Sinai, sovelsi Smale-hevosenkengän kaltaisia ​​termodynamiikan näkökohtia. Heti kun länsimaiset fyysikot tutustuivat Lorentzin työhön 1970-luvulla, siitä tuli kuuluisa myös Neuvostoliitossa. Vuonna 1975, kun York ja May yrittivät vielä saada kollegoidensa huomion, Sinai ja hänen toverinsa järjestivät Gorkiin tutkimusryhmän tutkimaan tätä ongelmaa.

Viime vuosisadalla, jolloin kapea erikoistuminen ja eri tieteenalojen välinen ero tuli normiksi tieteessä, matemaatikot, fyysikot, biologit, kemistit, fysiologit ja taloustieteilijät taistelivat samankaltaisista ongelmista kuulematta toisiaan. Ideat, jotka vaativat muutosta tavanomaiseen maailmankuvaan, kamppailevat aina saavuttaakseen tiensä. Vähitellen kuitenkin kävi selväksi, että sellaiset asiat kuin muuttuvat eläinpopulaatiot, markkinahintojen vaihtelut, sään muutokset, taivaankappaleiden koon jakautuminen ja paljon, paljon muuta noudattavat samoja kaavoja. "Tämän tosiasian ymmärtäminen on pakottanut johtajat harkitsemaan suhtautumistaan ​​vakuutuksiin, tähtitieteilijät katsomaan aurinkokuntaa eri näkökulmasta, poliitikot muuttamaan mieltään aseellisten konfliktien syistä."

1980-luvun puoliväliin mennessä tilanne oli muuttunut dramaattisesti. Fraktaaligeometrian ideat yhdistivät tiedemiehiä, jotka olivat ymmällään omista havainnoistaan ​​eivätkä tienneet miten niitä tulkita. Kaaoksen tutkijoille matematiikasta on tullut kokeellinen tiede, tietokoneet ovat korvanneet laboratoriot. Graafisista kuvista on tullut ensiarvoisen tärkeitä. Uusi tiede antoi maailmalle erityisen kielen, uusia käsitteitä: vaihemuotokuva, attraktori, bifurkaatio, faasiavaruusleikkaus, fraktaali...

Benoit Mandelbrot, tukeutuen edeltäjiensä ja aikalaistensa ideoihin ja työhön, osoitti, että sellaisia ​​monimutkaisia ​​prosesseja kuin puun kasvu, pilvien muodostuminen, taloudellisten ominaisuuksien vaihtelu tai eläinpopulaatioiden koko säätelevät olennaisesti samanlaiset luonnonlait. . Nämä ovat tiettyjä malleja, joiden mukaan kaaos elää. Luonnollisen itseorganisoitumisen näkökulmasta ne ovat paljon yksinkertaisempia kuin sivistyneelle ihmiselle tutut keinotekoiset muodot. Ne voidaan tunnistaa monimutkaisiksi vain euklidisen geometrian kontekstissa, koska fraktaalit määritellään määrittämällä algoritmi, ja siksi niitä voidaan kuvata pienellä informaatiomäärällä.

Luonnon fraktaaligeometria

Yritetään selvittää, mikä fraktaali on ja "millä sitä syödään". Ja voit todella syödä joitain niistä, kuten esimerkiksi kuvassa näkyvä tyypillinen edustaja.

Sana fraktaali tulee latinasta fractus- murskattu, rikki, murskattu palasiksi. Fraktaali on matemaattinen joukko, jolla on itsensä samankaltaisuuden ominaisuus eli asteikkoinvarianssi.

Mandelbrot loi termin "fraktaali" vuonna 1975, ja se saavutti laajan suosion vuonna 1977 julkaistulla kirjallaan The Fractal Geometry of Nature. "Anna hirviölle kodikas, kodikas nimi ja yllätyt kuinka paljon helpompaa sen kesyttäminen on!" Mandelbrot sanoi. Tämä halu tehdä tutkittavat kohteet (matemaattiset joukot) läheisiä ja ymmärrettäviä johti uusien matemaattisten termien syntymiseen, kuten esim. pöly, raejuusto, seerumi, jotka osoittavat selvästi niiden syvän yhteyden luonnollisiin prosesseihin.

Fraktaalin matemaattinen käsite erottaa esineet, joilla on eri mittakaavaisia ​​rakenteita, sekä suuria että pieniä, ja heijastelee siten organisaation hierarkkista periaatetta. Tietenkään esimerkiksi puun eri oksat eivät voi olla täsmälleen kohdakkain toistensa kanssa, mutta niitä voidaan pitää tilastollisessa mielessä samanlaisina. Samalla tavalla pilvien muodot, vuorten ääriviivat, meren rannikon viiva, liekkien kuvio, verisuonijärjestelmä, rotkot, salamat näyttävät eri mittakaavassa samanlaisilta. Vaikka tämä idealisointi saattaa osoittautua todellisuuden yksinkertaistamiseksi, se lisää merkittävästi luonnon matemaattisen kuvauksen syvyyttä.

Mandelbrot esitteli "luonnollisen fraktaalin" käsitteen tarkoittamaan luonnollisia rakenteita, jotka voidaan kuvata fraktaalijoukkojen avulla. Näihin luonnon esineisiin sisältyy sattuman elementti. Mandelbrotin luoman teorian avulla on mahdollista kuvata kvantitatiivisesti ja laadullisesti kaikkia niitä muotoja, joita aiemmin kutsuttiin sotkeutuneiksi, aaltoileviksi, karkeiksi jne.

Edellä käsitellyt dynaamiset prosessit, niin sanotut takaisinkytkentäprosessit, syntyvät erilaisissa fysikaalisissa ja matemaattisissa ongelmissa. Kaikilla niillä on yksi yhteinen piirre - useiden keskusten (jota kutsutaan "houkuttelijoiksi") kilpailu hallitsevasta asemasta koneessa. Tila, johon järjestelmä joutui tietyn iteraatiomäärän jälkeen, riippuu sen "aloituspaikasta". Siksi jokainen attraktori vastaa tiettyä aloitustilojen aluetta, josta järjestelmä välttämättä putoaa harkittuun lopulliseen tilaan. Siten järjestelmän vaiheavaruus (abstrakti tiettyyn dynaamiseen järjestelmään liittyvien parametrien avaruus, pisteet, joissa yksiselitteisesti luonnehtivat sen kaikkia mahdollisia tiloja) jaetaan vetovoimaalueita houkuttimet. On eräänlainen paluu Aristoteleen dynamiikkaan, jonka mukaan jokainen ruumis pyrkii sille tarkoitettuun paikkaan. Yksinkertaisia ​​rajoja "vierekkäisten alueiden" välille syntyy harvoin tällaisen kilpailun seurauksena. Juuri tällä raja-alueella tapahtuu siirtyminen olemassaolon muodosta toiseen: järjestyksestä kaaokseen. Yleinen muoto Dynaamisen lain lauseke on hyvin yksinkertainen: x n+1 → f x n C . Koko monimutkaisuus piilee epälineaarisessa suhteessa alkuarvon ja tuloksen välillä. Jos aloitat määritetyn tyyppisen iteratiivisen prosessin jostakin mielivaltaisesta arvosta \(x_0 \), sen tuloksena on jono \(x_1 \), \(x_2 \), ..., joka joko konvergoi johonkin rajaan arvo \(X \) , joka pyrkii lepotilaan, joko saavuttaa tietyn arvojen syklin, joka toistuu uudestaan ​​​​ja uudestaan, tai käyttäytyy satunnaisesti ja arvaamattomasti koko ajan. Juuri tällaisia ​​prosesseja tutkivat ensimmäisen maailmansodan aikana ranskalaiset matemaatikot Gaston Julia ja Pierre Fato.

Tutkiessaan heidän löytämiään joukkoja Mandelbrot vuonna 1979 päätyi kuvan monimutkaisella tasolla olevaan kuvaan, joka, kuten seuraavasta ilmenee, on eräänlainen sisällysluettelo kokonaiselle muotoluokalle nimeltä Julia-joukko. Juliajoukko on pistejoukko, joka syntyy toisen asteen muunnoksen iteraatiosta: х n → х n−1 2 + C , jonka dynamiikka on epävakaa suhteessa alkuaseman pieniin häiriöihin. Jokainen peräkkäinen arvo \(x\) johdetaan edellisestä; kutsutaan kompleksilukua \(C\). ohjausparametri. Numerosarjan käyttäytyminen riippuu parametrista \(C \) ja aloituspisteestä \(x_0 \). Jos korjaamme \(C \) ja muutamme \(x_0 \) kompleksilukujen kentässä, saamme Julia-joukon. Jos korjaamme \(x_0 \) = 0 ja muutamme \(C \), saamme Mandelbrot-joukon (\(M \)). Se kertoo meille, millaista Julia-joukkoa meidän pitäisi odottaa tietyllä \(C\) valinnalla. Jokainen kompleksiluku \(C \) joko kuuluu alueeseen \(M \) (musta kuvassa 3) tai ei. \(C \) kuuluu ryhmään \(M \) jos ja vain jos "kriittinen piste" \(x_0 \) = 0 ei pyri äärettömyyteen. Joukko \(M \) koostuu kaikista pisteistä \(C \), jotka liittyvät yhdistettyihin Julia-joukkoon, mutta jos piste \(C \) on joukon \(M \) ulkopuolella, siihen liittyvä Juliajoukko katkeaa. Joukon \(M \) raja määrittää Julia-joukoille x n → x n−1 2 + C matemaattisen vaihesiirtymän hetken. Kun parametri \(C \) lähtee kohdasta \(M \), Julia-joukot menettävät liitettävyytensä, kuvaannollisesti sanottuna ne räjähtävät ja muuttuvat pölyksi. Rajalla \(M\) tapahtuva laadullinen hyppy vaikuttaa myös rajan viereiseen alueeseen. Raja-alueen monimutkainen dynaaminen rakenne voidaan likimäärin osoittaa värjäämällä (ehdollisesti) eri väreillä vyöhykkeet, joilla on sama "aloituspisteen äärettömyyteen juokseminen \(x_0 \) = 0". Arvot \(C \) (yksi sävy), jotka vaativat tietyn määrän iteraatioita, jotta kriittinen piste on säteen \(N \) ulkopuolella, täyttävät kahden viivan välisen raon. Kun lähestymme rajaa \(M \), vaadittu iteraatioiden määrä kasvaa. Piste pakotetaan vaeltamaan yhä enemmän mutkaisia ​​polkuja pitkin Julia-sarjan lähellä. Mandelbrot-sarja ilmentää siirtymäprosessia järjestyksestä kaaokseen.

On mielenkiintoista jäljittää polku, jota Mandelbrot seurasi löytöihinsä. Benois syntyi Varsovassa vuonna 1924, vuonna 1936 perhe muutti Pariisiin. Valmistuttuaan ammattikorkeakoulusta ja sitten Pariisin yliopistosta Mandelbrot muutti Yhdysvaltoihin, jossa hän opiskeli myös Kalifornian teknologiainstituutissa. Vuonna 1958 hän työskenteli IBM Research Centerissä Yorktownissa. Yrityksen puhtaasti sovelletusta toiminnasta huolimatta hänen asemansa antoi hänelle mahdollisuuden tehdä tutkimusta eri aloilla. Taloustieteen alalla työskentelevä nuori asiantuntija alkoi tutkia puuvillan hintatilastoja pitkän ajan (yli 100 vuoden) aikana. Pitkän ja lyhyen aikavälin hintavaihteluiden symmetriaa analysoidessaan hän huomasi, että nämä vaihtelut päivän aikana tuntuivat sattumanvaraisilta ja arvaamattomilta, mutta tällaisten muutosten järjestys ei riipunut mittakaavasta. Tämän ongelman ratkaisemiseksi hän käytti ensin tulevan fraktaaliteorian kehitystä ja graafinen näyttö tutkittuja prosesseja.

Eri tieteenaloista kiinnostuneena Mandelbrot kääntyi matemaattisen lingvistin puoleen, minkä jälkeen tuli peliteorian vuoro. Hän ehdotti myös omaa lähestymistapaansa talouteen, jossa hän toi esiin asteikkojen järjestyksen pienten ja suurten kaupunkien leviämisessä. Tutkiessaan englantilaisen tiedemiehen Lewis Richardsonin vähän tunnettua työtä, joka julkaistiin kirjoittajan kuoleman jälkeen, Mandelbrot kohtasi rannikon ilmiön. Artikkelissa "Mikä on Yhdistyneen kuningaskunnan rannikon pituus?" hän tutkii tätä kysymystä yksityiskohtaisesti, jota harvat ihmiset ajattelivat ennen häntä, ja tekee odottamattomia johtopäätöksiä: rantaviivan pituus on ... ääretön! Mitä tarkemmin yrität mitata sitä, sitä suurempi on sen arvo!

Tällaisten ilmiöiden kuvaamiseksi Mandelbrotille tuli mieleen lähteä ulottuvuuden ajatuksesta. Esineen fraktaaliulottuvuus toimii kvantitatiivisena ominaisuutena yhdelle sen ominaisuudesta, nimittäin sen tilan täytöstä.

Fraktaaliulottuvuuden käsitteen määritelmä juontaa juurensa Felix Hausdorffin vuonna 1919 julkaistuun työhön, jonka lopulta muotoili Abram Samoilovich Besikovich. Fraktaaliulottuvuus - fraktaaliobjektin yksityiskohtien, murtumien, epätasaisuuden mitta. Euklidisessa avaruudessa topologisen ulottuvuuden määrittää aina kokonaisluku (pisteen mitta on 0, suoran 1, tason 2, solidin 3). Jos jäljitetään esimerkiksi Brownin hiukkasen projektio liiketasolle, jonka oletetaan koostuvan suoran viivan segmenteistä, ts. sillä on oltava mitta 1, niin hyvin pian käy ilmi, että sen jälki täyttää lähes koko tason . Mutta tason ulottuvuus on 2. Näiden arvojen välinen ero antaa meille oikeuden liittää tämä "käyrä" fraktaaleihin ja kutsua sen väliulottuvuutta (murto-osaa) fraktaaliksi. Jos tarkastellaan hiukkasen kaoottista liikettä tilavuudessa, lentoradan fraktaalimitta on suurempi kuin 2, mutta pienempi kuin 3. Esimerkiksi ihmisen valtimoiden fraktaalimitta on noin 2,7. Artikkelin alussa mainitut Ivanovin tulokset, jotka liittyvät silikageelin huokospinta-alan mittaamiseen, joita ei voida tulkita tavallisten euklidisten ideoiden puitteissa, löytävät järkevän selityksen fraktaaliteoriaa käytettäessä.

Joten matemaattisesta näkökulmasta katsottuna fraktaali on joukko, jonka Hausdorff - Besikovich-mitta on tiukasti suurempi kuin sen topologinen ulottuvuus ja voi olla (ja useimmiten on) murtoluku.

On syytä korostaa, että esineen fraktaaliulottuvuus ei kuvaa sen muotoa, ja objektit, joilla on sama ulottuvuus, mutta jotka ovat synnyttäneet eri muodostumismekanismeja, eivät useinkaan muistuta toisiaan ollenkaan. Fyysiset fraktaalit ovat melko tilastollisesti samankaltaisia.

Murtolukumittauksella voit laskea ominaisuuksia, joita ei voi selvästi määritellä millään muulla tavalla: kohteen epätasaisuuksien, epäjatkuvuuden, karkeuden tai epävakauden aste. Esimerkiksi mutkaisella rannikolla on pituuden mittaamattomuudesta huolimatta vain sille ominaista epätasaisuutta. Mandelbrot osoitti tapoja laskea esineiden murto-osia ympäröivässä todellisuudessa. Luodessaan geometriansa hän esitti luonnossa esiintyvien epäjärjestettyjen muotojen lain. Laki sanoi: epävakauden aste on vakio eri asteikoilla.

Erityinen fraktaalilaji on aikafraktaaleja. Vuonna 1962 Mandelbrot kohtasi haasteen poistaa puhelinlinjoista melu, joka aiheutti ongelmia tietokonemodeemeille. Signaalin lähetyksen laatu riippuu virheiden todennäköisyydestä. Insinöörit kamppailivat melunvaimennusongelman kanssa ja keksivät hämmentäviä ja kalliita temppuja, mutta eivät saaneet vaikuttavia tuloksia. Joukkoteorian perustajan Georg Cantorin työhön perustuen Mandelbrot osoitti, että kohinan esiintymistä - kaaoksen syntymistä - ei periaatteessa voida välttää, joten ehdotetut menetelmät niiden käsittelemiseksi eivät tuota tuloksia. Etsiessään malleja melun esiintymisestä hän saa "Cantor-pölyn" - tapahtumasarjan. On mielenkiintoista, että tähtien jakautuminen galaksissa noudattaa samoja lakeja:

Initiaattoria pitkin tasaisesti jakautunut "aine" (aika-akselin yksittäinen segmentti) altistetaan keskipakopyörteen vaikutukselle, joka "pyyhkäisee" sen intervallin äärimmäisiin kolmanneksiin... juoksevaa voidaan kutsua mille tahansa epävakaiden tilojen kaskadiksi, joka lopulta johtaa aineen paksuuntumiseen, ja termi raejuusto voi määrittää tilavuuden, jossa tietty fyysinen ominaisuus muuttuu - juokseutumisen seurauksena - erittäin keskittyneeksi.

Kaoottiset ilmiöt, kuten ilmakehän turbulenssi, maankuoren liikkuvuus jne., osoittavat samanlaista käyttäytymistä eri aikaskaaloilla, aivan kuten mittakaavaltaan muuttumattomilla esineillä on samanlaisia ​​rakenteellisia kuvioita eri tila-asteikoissa.

Esimerkkinä annetaan useita tunnusomaisia ​​tilanteita, joissa on hyödyllistä käyttää fraktaalin rakenteen käsitettä. Columbian yliopiston professori Christopher Scholz erikoistui Maan kiinteän aineen muodon ja rakenteen tutkimukseen, hän tutki maanjäristyksiä. Vuonna 1978 hän luki Mandelbrotin Fractals: Shape, Randomness and Dimension. » ja yritti soveltaa teoriaa geofysikaalisten kohteiden kuvaamiseen, luokitukseen ja mittaamiseen. Scholz havaitsi, että fraktaaligeometria tarjosi tiedettä tehokas menetelmä kuvaukset maapallon erityisistä mäkistä maisemista. Planeetan maisemien fraktaaliulottuvuus avaa oven sen tärkeimpien ominaisuuksien ymmärtämiseen. Metallurgit ovat havainneet saman asian eri mittakaavassa - levitettynä erityyppisten terästen pinnoille. Erityisesti metallipinnan fraktaalimittaus mahdollistaa usein sen lujuuden arvioimisen. Valtava määrä fraktaaliesineitä tuottaa kiteytymisilmiön. Yleisin kiteiden kasvun aikana syntyvä fraktaalityyppi on dendriitit, jotka ovat luonnossa erittäin laajalle levinneitä. Nanohiukkasten yhdistelmät osoittavat usein "Lewy-pölyn" toteutusta. Nämä kokoonpanot yhdessä imeytyneen liuottimen kanssa muodostavat läpinäkyviä tiivisteitä - Levy-laseja, mahdollisesti tärkeitä materiaaleja fotoniikassa.

Koska fraktaaleja ei ilmaista ensisijaisesti geometriset kuviot, ja algoritmeissa, matemaattisten menettelyjen sarjoissa, on selvää, että tällainen matematiikan ala alkoi kehittyä harppauksin yhdessä tehokkaiden tietokoneiden tulon ja kehityksen kanssa. Kaaos puolestaan ​​synnytti uusia tietokoneteknologioita, erityisiä graafisia tekniikoita, jotka pystyvät toistamaan uskomattoman monimutkaisia ​​uskomattoman monimutkaisia ​​rakenteita, joita erityyppiset häiriöt synnyttävät. Internetin ja henkilökohtaisten tietokoneiden aikakaudella Mandelbrotin aikana suuria vaikeuksia aiheuttanut asia on tullut helposti kenen tahansa ulottuville. Mutta tärkein asia hänen teoriassaan ei tietenkään ollut luominen kauniita kuvia, ja johtopäätös on, että tämä matemaattinen laitteisto soveltuu kuvaamaan monimutkaisia ​​luonnonilmiöitä ja prosesseja, joita tieteessä ei aiemmin käsitelty ollenkaan. Algoritmien elementtien valikoima on ehtymätön.

Fraktaalien kielen hallinnassa voit kuvata pilven muotoa yhtä selkeästi ja yksinkertaisesti kuin arkkitehti kuvaa rakennusta piirustuksilla, joissa käytetään perinteisen geometrian kieltä.<...>Vain muutama vuosikymmen on kulunut siitä, kun Benoit Mandelbrot totesi: "Luonnon geometria on fraktaali!" Nykyään voimme olettaa jo paljon enemmän, nimittäin, että fraktiteetti on ensisijainen periaate poikkeuksetta kaikkien luonnonobjektien rakentamisessa.

Lopuksi haluan esitellä teille joukon valokuvia, jotka havainnollistavat tätä johtopäätöstä, ja fraktaaleja, jotka on rakennettu tietokoneohjelmalla fraktaalitutkija. Ja seuraava artikkelimme on omistettu fraktaalien käytön ongelmalle kristallifysiikassa.

Jälkikirjoitus

Vuodesta 1994 vuoteen 2013 julkaistiin venäläisten tutkijoiden ainutlaatuinen teos "Luonnollisten antropogeenisten ja sosiaalisten prosessien ajallisten vaihtelujen atlas" - vertaansa vailla oleva materiaalilähde, joka sisältää tietoja avaruuden, biosfäärin, litosfäärin, ilmakehän, hydrosfäärin ja sosiaalisen tilan seurannasta. sekä teknogeeniset ja ihmisten terveyteen ja elämänlaatuun liittyvät alat. Tekstissä käsitellään tietoja ja niiden käsittelyn tuloksia, verrataan aikasarjojen ja niiden fragmenttien dynamiikan piirteitä. Tulosten yhtenäinen esittäminen mahdollistaa vertailukelpoisten tulosten saamisen prosessien dynamiikan yhteisten ja yksittäisten piirteiden ja niiden välisten syy-seuraussuhteiden tunnistamiseksi. Kokeellinen aineisto osoittaa, että eri alueiden prosessit ovat ensinnäkin samanlaisia ​​ja toisaalta enemmän tai vähemmän yhteydessä toisiinsa.

Atlas tiivisti siis tieteidenvälisen tutkimuksen tulokset ja esitteli vertailevan analyysin täysin erilaisista tiedoista laajimmassa ajassa ja tilassa. Kirja osoittaa, että "maan sfääreillä tapahtuvat prosessit johtuvat suuresta määrästä vuorovaikutuksessa olevia tekijöitä, jotka eri alueilla (ja eri aikoina) aiheuttavat erilaisia ​​reaktioita", mikä osoittaa "tarpeen integroidulle lähestymistavalle geodynaamisen analyysiin". , avaruus, sosiaaliset, taloudelliset ja lääketieteelliset havainnot". On vielä toivottava, että näitä pohjimmiltaan merkittäviä töitä jatketaan.

Kuten viime vuosikymmeninä on käynyt selväksi (itseorganisaatioteorian kehityksen yhteydessä), itsesamankaltaisuutta esiintyy monenlaisissa esineissä ja ilmiöissä. Itsesamankaltaisuutta voidaan havaita esimerkiksi puiden ja pensaiden oksissa, hedelmöittyneen tsygootin jakautumisen aikana, lumihiutaleissa, jääkiteissä, kehityksen aikana talousjärjestelmät, vuoristojärjestelmien, pilvien rakenteessa.

Kaikki luetellut objektit ja muut niiden kaltaiset rakenteeltaan ovat fraktaaleja. Toisin sanoen niillä on itsesamankaltaisuuden eli asteikkoinvarianssin ominaisuudet. Ja tämä tarkoittaa, että jotkin niiden rakenteen fragmentit toistuvat tiukasti tietyin tilavälein. On selvää, että nämä esineet voivat olla luonteeltaan mitä tahansa, ja niiden ulkonäkö ja muoto pysyvät muuttumattomina mittakaavasta riippumatta. Sekä luonnossa että yhteiskunnassa itsensä toistoa tapahtuu riittävän laajasti. Joten pilvi toistaa repaleisen rakenteensa 10 4 metristä (10 km) 10 -4 metriin (0,1 mm). Haaroittuminen toistuu puissa 10 -2 - 10 2 m. Myös halkeamia synnyttävät sortuvat materiaalit toistavat samankaltaisuuttaan useassa mittakaavassa. Käsille putoava lumihiutale sulaa. Sulamisjakson aikana vaiheesta toiseen siirtymisen aikana lumihiutale-pisara on myös fraktaali.

Fraktaali on äärettömän monimutkainen esine, jonka avulla voit nähdä yhtä paljon yksityiskohtia läheltä kuin kaukaa. Klassinen esimerkki tästä on Maa. Avaruudesta katsottuna se näyttää pallolta. Lähestyessämme sitä löydämme valtameret, maanosat, rannikot ja vuoristot. Myöhemmin näkyviin tulee pienempiä yksityiskohtia: maapala vuoren pinnalla, yhtä monimutkainen ja epätasainen kuin itse vuori. Sitten ilmaantuu pieniä maa-ainehiukkasia, joista jokainen on itse fraktaalikohde.

Fraktaali on epälineaarinen rakenne, joka säilyttää itsensä samankaltaisuuden, kun sitä skaalataan ylös tai alas äärettömästi. Vain pienillä pituuksilla epälineaarisuus muuttuu lineaariseksi. Tämä on erityisen ilmeistä matemaattisessa differentiaatioprosessissa.

Voidaan siis sanoa, että fraktaaleja käytetään malleina silloin, kun todellista kohdetta ei voida esittää klassisten mallien muodossa. Ja tämä tarkoittaa, että käsittelemme epälineaarisia suhteita ja datan epädeterminististä luonnetta. Epälineaarisuus ideologisessa mielessä tarkoittaa kehityspolkujen monimuotoisuutta, vaihtoehtoisten polkujen valinnan saatavuutta ja tiettyä kehitystahtia sekä evoluutioprosessien peruuttamattomuutta. Matemaattisessa mielessä epälineaarisuus on tietyntyyppisiä matemaattisia yhtälöitä (epälineaarisia differentiaaliyhtälöitä), jotka sisältävät halutut suureet yhtä suurempina potenssiina tai kertoimia, jotka riippuvat väliaineen ominaisuuksista. Eli kun käytämme klassisia malleja (esimerkiksi trendiä, regressiota jne.), sanomme, että kohteen tulevaisuus on yksilöllisesti määrätty. Ja voimme ennustaa sen, kun tiedämme kohteen menneisyyden (alkutiedot mallintamista varten). Ja fraktaaleja käytetään siinä tapauksessa, että objektilla on useita kehitysvaihtoehtoja ja järjestelmän tila määräytyy sen sijainnin mukaan, jossa se tällä hetkellä sijaitsee. Eli yritämme simuloida kaoottista kehitystä.

Kun he puhuvat tietyn järjestelmän determinismistä, he tarkoittavat, että sen käyttäytymiselle on ominaista yksiselitteinen syy-yhteys. Eli tietäen järjestelmän alkuehdot ja liikelain, on mahdollista ennustaa tarkasti sen tulevaisuus. Juuri tämä ajatus liikkeestä universumissa on ominaista klassiselle, newtonilaiselle dynamiikalle. Kaaos päinvastoin merkitsee kaoottista, satunnaista prosessia, jolloin tapahtumien kulkua ei voida ennustaa eikä toistaa.

Kaaoksen synnyttää epälineaarisen järjestelmän luontainen dynamiikka - sen ominaisuus erottaa eksponentiaalisesti nopeasti mielivaltaisen läheiset lentoradat. Tämän seurauksena lentoratojen muoto riippuu erittäin voimakkaasti alkuolosuhteista. Tutkiessaan järjestelmiä, jotka ensi silmäyksellä kehittyvät kaoottisesti, he käyttävät usein fraktaalien teoriaa, koska Juuri tämä lähestymistapa mahdollistaa tietyn mallin havaitsemisen "satunnaisten" poikkeamien esiintymisessä järjestelmän kehityksessä.

Luonnollisten fraktaalirakenteiden tutkiminen antaa meille mahdollisuuden ymmärtää paremmin epälineaaristen järjestelmien itseorganisoitumisen ja kehityksen prosesseja. Olemme jo havainneet, että luonnonfraktaaleja, joilla on mitä monimuotoisimpia, mutkittelevia linjoja löytyy ympäriltämme. Tämä on merenranta, puut, pilvet, salamapurkaus, metallirakenne, ihmisen hermo- tai verisuonijärjestelmä. Nämä monimutkaiset linjat ja karkeat pinnat tulivat näkyviin tieteellinen tutkimus, koska luonto osoitti meille täysin erilaisen monimutkaisuuden kuin ihanteellisissa geometrisissä järjestelmissä. Tutkittavat rakenteet osoittautuivat aika-tilasuhteessa itsekaltaisiksi. He toistivat itseään loputtomasti ja toistivat itseään eri pituuden ja ajan mittakaavassa. Mikä tahansa epälineaarinen prosessi johtaa lopulta haarukkaan. Tässä tapauksessa järjestelmä valitsee haarapisteessä yhden tai toisen polun. Järjestelmän kehityksen liikerata näyttää fraktaalilta, eli katkoviivalta, jonka muotoa voidaan kuvata haarautuvaksi, monimutkaiseksi poluksi, jolla on oma logiikkansa ja kuvionsa.

Järjestelmän haaroittumista voidaan verrata puun haarautumiseen, jossa jokainen haara vastaa kolmannesta koko järjestelmästä. Haaroittuminen mahdollistaa lineaarisen rakenteen täyttämisen kolmiulotteisen tilan, tai tarkemmin sanottuna: fraktaalirakenne koordinoi eri tiloja. Fraktaali voi kasvaa ja täyttää ympäröivän tilan, aivan kuten kide kasvaa ylikyllästetyssä liuoksessa. Tässä tapauksessa haaroittumisen luonne ei liity sattumaan, vaan tiettyyn malliin.

Fraktaalirakenne toistaa itseään samalla tavalla muillakin tasoilla, korkeammalla ihmiselämän organisoinnin tasolla, esimerkiksi kollektiivin tai tiimin itseorganisoitumisen tasolla. Verkostojen ja muotojen itseorganisoituminen siirtyy mikrotasolta makrotasolle. Yhdessä ne edustavat kokonaisvaltaista yhtenäisyyttä, jossa kokonaisuutta voidaan arvioida osan perusteella. Tässä kurssityössä tarkastellaan yhteiskunnallisten prosessien fraktaaliominaisuuksia esimerkkinä, mikä osoittaa fraktaaliteorian universaalisuuden ja uskollisuuden eri tieteenaloihin.

Johtopäätöksenä on, että fraktaali on tapa organisoida eri ulottuvuuksien ja luonteen tilojen vuorovaikutusta. Yllä olevaan on lisättävä, että ei vain tilallinen, vaan myös ajallinen. Sitten jopa ihmisaivot Ja neuroverkot tulee olemaan fraktaalirakenne.

Luonto pitää kovasti fraktaalimuodoista. Fraktaaliobjektilla on rönsyilevä, harvinainen rakenne. Tarkasteltaessa tällaisia ​​kohteita kasvavalla suurennuksella, voidaan nähdä, että niissä on eri tasoilla toistuva kuvio. Olemme jo sanoneet, että fraktaaliobjekti voi näyttää täsmälleen samalta riippumatta siitä, tarkkailemmeko sitä metreinä, millimetreinä vai mikroneina (1:1 000 000 metrin mittakaavassa). Fraktaaliobjektien symmetrian ominaisuus ilmenee invarianssina mittakaavan suhteen. Fraktaalit ovat symmetrisiä venytyksen tai skaalauksen keskuksen suhteen, aivan kuten pyöreät kappaleet ovat symmetrisiä pyörimisakselin suhteen.

Epälineaarisen dynamiikan ihailtu kuva on fraktaalirakenteet, joissa kuvaus rakennetaan mittakaavan muutoksella saman säännön mukaan. Tosielämässä tämän periaatteen toteuttaminen on mahdollista pienin vaihteluin. Esimerkiksi fysiikassa siirryttäessä tasolta tasolle (atomiprosesseista ydinvoimaan, ydinprosesseista alkuainehiukkasia) säännönmukaisuudet, mallit, kuvaustavat muuttuvat. Havaitsemme saman asian biologiassa (eliön, kudoksen, solun populaation taso jne.) Synergiikan tulevaisuus riippuu siitä, missä määrin epälineaarinen tiede pystyy auttamaan kuvaamaan tätä rakenteellista heterogeenisyyttä ja erilaisia ​​"tasojen välisiä" ilmiöitä. Tällä hetkellä useimmilla tieteenaloilla ei ole luotettavia fraktaalikäsitemalleja.

Nykyään fraktaalien teorian puitteissa kehitetään missä tahansa tieteessä - fysiikassa, sosiologiassa, psykologiassa, lingvistiikassa jne. Silloin yhteiskunta ja sosiaaliset instituutiot, kieli ja jopa ajatus ovat fraktaaleja.

Viime vuosina tiedemiesten ja filosofien keskusteluissa fraktaalien käsitteestä kiistanalaisin kysymys on seuraava: voidaanko fraktaalien universaalisuudesta puhua, että jokainen luonnon esine sisältää fraktaalin tai käy läpi fraktaalivaihe? Kaksi tutkijaryhmää vastasi Tämä kysymys juuri päinvastoin. Ensimmäinen ryhmä ("radikaalit", innovaattorit) tukee väitettä fraktaalien universaalisuudesta. Toinen ryhmä ("konservatiivit") kiistää tämän teesin, mutta väittää silti, että jokaisella luonnon esineellä ei ole fraktaalia, mutta fraktaali löytyy jokaiselta luonnon alueelta.

Nykyaikainen tiede on varsin menestyksekkäästi mukauttanut fraktaalien teoriaa eri tietoalueille. Joten taloustieteessä fraktaalien teoriaa käytetään olemassa olevien rahoitusmarkkinoiden teknisessä analyysissä kehitysmaat maailmaa satoja vuosia. C. Dow totesi ensimmäistä kertaa kyvyn ennustaa osakekurssien tulevaa kehitystä, jos sen suunta jollekin viime kaudelle tiedetään. 1990-luvulla, julkaistuaan useita artikkeleita, Dow huomasi, että osakekurssit olivat alttiina suhdannevaihteluille: pitkän nousun jälkeen seuraa pitkä lasku, sitten taas nousu ja lasku.

1900-luvun puolivälissä, kun koko tiedemaailma kiehtoi äskettäin esiin noussut fraktaaliteoria, toinen tunnettu amerikkalainen rahoittaja, R. Elliot, esitti teoriansa osakekurssikäyttäytymisestä, joka perustui fraktaalien käyttöön. teoria. Elliot lähti siitä, että fraktaalien geometria ei tapahdu vain elävässä luonnossa, vaan myös sosiaalisissa prosesseissa. Hän piti myös osakekaupankäyntiä pörssissä sosiaalisten prosessien syynä.

Teorian perustana on ns. aaltokaavio. Tämä teoria mahdollistaa hintatrendin jatkokäyttäytymisen ennustamisen perustuen sen käyttäytymisen esihistorian tuntemiseen ja noudattamalla massapsykologisen käyttäytymisen kehittymisen sääntöjä.

Fraktaalien teoria on löytänyt sovelluksen myös biologiassa. Monilla, ellei kaikilla, kasvien, eläinten ja ihmisten biologisilla rakenteilla ja järjestelmillä on fraktaaliluonne, jossain määrin samankaltaisuutta sen kanssa: hermosto, keuhkojärjestelmä, verenkierto- ja imukudosjärjestelmät jne. On näyttöä siitä, että kehitystä pahanlaatuinen kasvain sama pätee fraktaaliperiaatteeseen. Fraktaalin itseaffiniteetin ja kongruenssin periaate huomioon ottaen voidaan selittää useita orgaanisen maailman evoluution ratkaisemattomia ongelmia. Fraktaaliobjekteille on ominaista myös sellainen ominaisuus kuin komplementaarisuuden ilmentymä. Täydentävyys biokemiassa on kahden makromolekyylin kemiallisen rakenteen keskinäinen vastaavuus, joka varmistaa niiden vuorovaikutuksen - kahden DNA-säikeen pariutumisen, entsyymin yhdistämisen substraattiin, antigeenin ja vasta-aineen. Täydentävät rakenteet sopivat yhteen kuin lukon avain (Encyclopedia of Cyril and Methodius). Tämä ominaisuus on DNA-polynukleotidiketjuilla.

Yksi fraktaalien tehokkaimmista sovelluksista on tietokonegrafiikassa. Ensinnäkin se on kuvien fraktaalikompressiota ja toiseksi maisemien, puiden, kasvien rakentamista ja fraktaalitekstuurien luomista. Samaan aikaan tiedon pakkaamiseen, tallentamiseen tarvitaan itsekaltainen fraktaalin lisäys ja vastaavasti sen lukemiseen vastaava lisäys.

Fraktaalikuvan pakkausalgoritmien etuja ovat pakatun tiedoston erittäin pieni koko ja lyhyt kuvan palautusaika. Fraktaalipakatut kuvat voidaan skaalata ilman pikseloitumista. Mutta pakkausprosessi kestää kauan ja kestää joskus tunteja. Häviöllisen fraktaalipakkausalgoritmin avulla voit asettaa pakkaustason, joka on samanlainen kuin jpeg-muodossa. Algoritmi perustuu siihen, että suuret osat kuvasta ovat samanlaisia ​​kuin joitain pieniä osia. Ja vain tiedot yhden osan samankaltaisuudesta toiseen kirjoitetaan tulostiedostoon. Pakkauksessa käytetään yleensä neliöruudukkoa (palat ovat neliöitä), mikä johtaa pieneen kulmaan kuvaa palautettaessa, kuusikulmaisessa ruudukossa ei ole tällaista haittaa.

Joukossa kirjallisia teoksia löytää ne, jotka ovat luonteeltaan tekstillisiä, rakenteellisia tai semanttisia fraktaaleja. Tekstifraktaaleissa tekstielementit toistuvat mahdollisesti loputtomasti. Tekstifraktaalit sisältävät haaroittumattoman äärettömän puun, joka on identtinen itsensä kanssa mistä tahansa iteraatiosta ("Papilla oli koira...", "Vertaus filosofista, joka haaveilee olevansa perhonen, joka haaveilee olevansa filosofi, joka haaveilee...", "Väite on väärä, että väite on totta, että väite on väärä..."); ei-haarautuvia loputtomia tekstejä muunnelmilla ("Peggyllä oli iloinen hanhi...") ja tekstit, joissa on laajennuksia ("Talo, jonka Jack rakensi").

Rakenteellisissa fraktaaleissa tekstikaavio on mahdollisesti fraktaali. Tällaisen rakenteen omaavat tekstit on järjestetty seuraavien periaatteiden mukaan: sonettiseppele (15 runoa), seppele sonetteista (211 runoa), seppele sonettiseppeleestä (2455 runoa); "tarinoita tarinassa" ("Tuhannen ja yhden yön kirja", Ya. Pototsky "Saragossasta löydetty käsikirjoitus"); esipuheet piilottavat tekijän (W. Eco "Ruusun nimi").