Tangentne pind ja pinna suhtes normaalne. Kuidas leida antud punktis puutujatasandi võrrandeid ja pinnanormaali

“Lame” See harjutus on tõhus vererõhu tasakaalustamiseks. Peaasi on jälgida mõõdukust. On olnud pretsedente, kui inimene alandas oma vererõhu poole tunniga 190-lt 90. Nii kiire muutus võib esile kutsuda negatiivseid reaktsioone, mistõttu on vaja

Mängivad puutujatasandid suur roll geomeetrias. Puutujate tasandite konstrueerimine on praktilise tähtsusega, kuna nende olemasolu võimaldab määrata normaalsuuna pinna kokkupuutepunktis. See ülesanne leiab lai rakendus inseneripraktikas. Puutetasandeid kasutatakse ka visandite koostamiseks. geomeetrilised kujundid, piiratud suletud pindadega. Teoreetiliselt kasutatakse pinnaga puutuvaid tasapindu diferentsiaalgeomeetrias, et uurida pinna omadusi kokkupuutepunkti piirkonnas.

Põhimõisted ja määratlused

Tasapinna puutujat tuleks käsitleda lõiketasandi piirasendina (analoogiliselt kõvera puutujaga, mis on samuti määratletud kui käände piirasend).

Pinna tasapinnaline puutuja pinna antud punktis on kõigi sirgjoonte kogum – antud punkti kaudu pinnale tõmmatud puutujad.

Diferentsiaalgeomeetrias on tõestatud, et kõik tavalises punktis tõmmatud pinna puutujad on tasapinnalised (kuuluvad samale tasapinnale).

Uurime välja, kuidas joonistada pinda puutuvat sirgjoont. Pinna β puutuja t pinnal määratud punktis M (joonis 203) tähistab kahes punktis (MM 1, MM 2, ..., MM n) pinda lõikuva sekandi l j piirasendit, kui ristumispunktid langevad kokku (M ≡ M n , l n ≡ l M). Ilmselgelt (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, kuna g ⊂ β. Ülaltoodust tuleneb järgmine määratlus: Pinna puutuja on pinda kuuluva mis tahes kõvera puutuja sirgjoon.

Kuna tasapind on defineeritud kahe ristuva sirgega, siis pinna puutuja tasandi määratlemiseks antud punktis piisab, kui tõmmata läbi selle punkti kaks pinnale kuuluvat suvalist (soovitavalt lihtsa kujuga) sirget ja konstrueerida sellele puutujad. igaüks neist nende joonte lõikepunktis . Konstrueeritud puutujad määravad üheselt puutujatasandi. Pinna β puutuja tasapinna α joonistamise visuaalne kujutis antud punktis M on toodud joonisel fig. 204. See joonis näitab ka normaalset n pinna β suhtes.

Pinna normaal antud punktis on puutujatasandiga risti ja puutepunkti läbiv sirgjoon.

Pinna ja normaalset läbiva tasapinna lõikejoont nimetatakse pinna normaallõikeks. Olenevalt pinna tüübist võib puutujatasandil olla kas üks või mitu punkti (joont) pinnaga. Puutejoon võib samal ajal olla ka pinna ja tasapinna lõikejoon.

On ka juhtumeid, kui pinnal on punkte, kuhu pole võimalik pinnale puutujat tõmmata; selliseid punkte nimetatakse ainsuseks. Ainsuse punktide näitena võib tuua punktid, mis kuuluvad torso pinna tagasiserva või pöördepinna meridiaani ja selle telje lõikepunkti, kui meridiaan ja telg ei ristu paremal. nurgad.

Puudutuste tüübid sõltuvad pinna kõveruse olemusest.

Pinna kumerus

Pinna kõveruse küsimusi uuris prantsuse matemaatik F. Dupin (1784-1873), kes pakkus välja visuaalse viisi pinna normaalsete lõikude kõveruse muutuste kujutamiseks.

Selleks asetatakse punktis M vaadeldava pinna puutuja tasapinnas (joonis 205, 206) segmendid, mis on võrdsed nende sektsioonide vastavate kõverusraadiuste väärtuste ruutjuurtega, puutujatele. tavalised lõigud selle punkti mõlemal küljel. Punktide komplekt - segmentide otsad määratlevad kõvera, mida nimetatakse Dupini indikaator. Dupini indikaatori (joonis 205) koostamise algoritmi saab kirjutada:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

kus R on kõverusraadius.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) on Dupini indikaator.

Kui pinna Dupini indikaator on ellips, siis punkti M nimetatakse elliptiliseks ja pinda elliptiliste punktidega pinnaks.(joonis 206). Sellisel juhul on puutujatasandil ainult üks ühine punkt pinnaga ja kõik pinnaga seotud sirged, mis ristuvad vaatlusaluses punktis, asuvad ühel pool puutujatasandit. Elliptiliste punktidega pindade näited on: pöördeparaboloid, pöördeellipsoid, kera (antud juhul on Dupini indikaator ring jne).

Torsopinna puutuja joonestamisel puudutab tasapind seda pinda mööda sirget generatriksit. Sellel sirgel olevaid punkte nimetatakse paraboolne ja pind on paraboolsete punktidega pind. Dupini indikaator on sel juhul kaks paralleelset sirget (joonis 207*).

Joonisel fig. 208 näitab pinda, mis koosneb punktidest, milles

* Teist järku kõver – parabool – võib teatud tingimustel jaguneda kaheks reaalseks paralleelseks sirgeks, kaheks mõtteliseks paralleelseks sirgeks, kaheks kokkulangevaks sirgeks. Joonisel fig. 207 on tegemist kahe reaalse paralleelse sirgega.

Iga puutujatasand lõikub pinda. Sellist pinda nimetatakse hüperboolne, ja selle juurde kuuluvad punktid on hüperboolsed punktid. Dupini indikaator on sel juhul hüperbool.

Pinnal, mille kõik punktid on hüperboolsed, on sadula kuju (kaldtasapind, üheleheline hüperboloid, nõgusad pöördepinnad jne).

Ühel pinnal võib olla punkte erinevad tüübid, näiteks torso pinna lähedal (joonis 209) on punkt M elliptiline; punkt N on paraboolne; punkt K on hüperboolne.

Diferentsiaalgeomeetria käigus on tõestatud, et normaallõikudel, mille kõverusväärtused K j = 1/ R j (kus R j on vaadeldava lõigu kõverusraadius), on äärmuslikud väärtused, mis asuvad kahel üksteisega risti asetseval tasapinnal.

Sellised kumerused K 1 = 1/R max. K 2 = 1/R min nimetatakse põhiväärtusteks ning väärtusi H = (K 1 + K 2)/2 ja K = K 1 K 2 on vastavalt pinna keskmine kumerus ja summaarne ( Gaussi) pinna kõverus kõnealuses punktis. Elliptiliste punktide K > 0 korral hüperboolsed punktid K

Pinna puutujatasandi määramine Monge diagrammil

Allpool konkreetsed näited Näitame elliptiliste (näide 1), paraboolsete (näide 2) ja hüperboolsete (näide 3) punktidega pinna puutuja tasapinna konstruktsiooni.

NÄIDE 1. Koostage elliptiliste punktidega pöörde β pinna puutuja α. Vaatleme selle ülesande lahendamiseks kahte võimalust: a) punkt M ∈ β ja b) punkt M ∉ β

Variant a (joonis 210).

Puutetasand määratakse kahe puutujaga t 1 ja t 2, mis on tõmmatud punktis M pinna β paralleelile ja meridiaanile.

Pinna β paralleelse h puutuja t 1 projektsioonid on t" 1 ⊥ (S"M") ja t" 1 || x telg Punkti M läbiva pinna β meridiaani d puutuja t" 2 horisontaalprojektsioon langeb kokku meridiaani horisontaalprojektsiooniga. Puutuja t" 2 frontaalprojektsiooni leidmiseks tuleb meridiaanitasand γ(γ ∋ M) viiakse asendisse γ, pöörates ümber pinna β 1 ​​telje paralleelselt tasapinnaga π 2. Sel juhul punkt M → M 1 (M" 1, M" 1). Puutuja t" 2 rarr projektsioon; t" 2 1 määratakse (M" 1 S"). Kui nüüd viia tasapind γ 1 tagasi algsesse asendisse, siis jääb punkt S" paigale (pöördtelje juurde kuuluvana) ning M" 1 → M" ja puutuja t" 2 frontaalprojektsioon olema määratud (M" S")

Kaks puutujat t 1 ja t 2, mis ristuvad punktis M ∈ β, määratlevad tasandi α, mis puutub pinnaga β.

Valik b (joonis 211)

Pinnale mittekuuluvat punkti läbiva pinna puutuja konstrueerimiseks tuleb lähtuda järgmistest kaalutlustest: pinnast väljapoole jääva punkti kaudu, mis koosneb elliptilistest punktidest, saab tõmmata palju pinnaga puutujaid. Nende pindade ümbris on kooniline pind. Seega, kui täiendavaid juhiseid pole, on probleemil palju lahendusi ja see taandub sel juhul täitmisele kooniline pindγ antud pinna puutuja β.

Joonisel fig. 211 näitab kera β puutuja koonilise pinna γ konstruktsiooni. Iga koonilise pinna γ puutuja tasapind α on pinna β puutuja.

Pinna γ projektsioonide konstrueerimiseks punktidest M" ja M" tõmbame ringidele h" ja f" puutujad - sfääri projektsioonid. Märkige puutepunktid 1 (1" ja 1"), 2 (2" ja 2"), 3 (3" ja 3") ja 4 (4" ja 4"). Ringjoone horisontaalprojektsioon – koonilise pinna ja sfääri puutejoon projitseeritakse [ 1"2"] Ellipsi punktide leidmiseks, millesse see ring projektsioonide esitasandile projitseeritakse, kasutame sfääri paralleelid.

Joonisel fig. 211 on sel viisil määratletud eesmised projektsioonid punktid E ja F (E" ja F"). Koonilise pinnaga γ konstrueerime sellele puutujatasandi α. Graafika olemus ja järjestus

Konstruktsioonid, mida selleks teha tuleb, on toodud järgmises näites.

NÄIDE 2 Koostage paraboolsete punktidega pinna β puutuja α

Nagu näites 1, käsitleme kahte lahendust: a) punkt N ∈ β; b) punkt N ∉ β

Variant a (joonis 212).

Koonilise pinna all mõeldakse paraboolsete punktidega pindu (vt. joon. 207.) Koonilise pinna puutuja tasapind puudutab seda piki sirgjoonelist generatriksit, mille konstrueerimiseks on vaja:

1) tõmmake läbi antud punkti N generaator SN (S"N" ja S"N");

2) märgi generatriksi (SN) lõikepunkt juhikuga d: (SN) ∩ d = A;

3) puhub ka puutujale t kuni d punktis A.

Geneatriks (SA) ja sellega lõikuv puutuja t määratlevad koonusepinna β puutuja tasandi α antud punktis N*.

Joonistada tasapind α, mis puutub koonilise pinnaga β ja läbib punkti N, ei kuulu

* Kuna pind β koosneb paraboolpunktidest (välja arvatud tipp S), on selle puutujatasandil α ühine mitte üks punkt N, vaid sirge (SN).

lõikamine antud pind, vajalik:

1) tõmmake läbi etteantud punkti N ja koonilise pinna β tipu S sirge a (a" ja a") ;

2) määrab selle sirge horisontaalse jälje H a;

3) tõmmake läbi H a kõvera h 0β puutujad t" 1 ja t" 2 - koonilise pinna horisontaalne jälg;

4) ühendage puutujapunktid A (A" ja A") ja B (B" ja B") koonilise pinna S (S" ja S" tipuga).

Lõikuvad sirged t 1, (AS) ja t 2, (BS) määravad kindlaks soovitud puutujatasandid α 1 ja α 2

NÄIDE 3. Koostage hüperboolsete punktidega pinna β puutuja α.

Punkt K (joon. 214) asub globoidi pinnal ( sisepind rõngad).

Puutujatasandi α asukoha määramiseks on vaja:

1) tõmmata paralleel pinnaga β h(h", h") läbi punkti K;

2) joonestada läbi punkti K" puutuja t" 1 (t" 1 ≡ h");

3) meridionaallõike puutuja projektsioonide suundade määramiseks on vaja tõmmata tasapind γ läbi punkti K ja pinna telje, horisontaalprojektsioon t" 2 langeb kokku h 0γ-ga; konstrueerida puutuja t" 2 frontaalprojektsioon, teisendame esmalt tasapinna γ, pöörates seda ümber pöörlemispinna telje asendisse γ 1 || π 2. Sel juhul joondub meridionaalne läbilõige tasapinnaga γ frontaalprojektsiooni vasakpoolse kontuurikaarega - poolring g".

Punkt K (K", K"), mis kuulub meridionaalse lõigu kõverale, liigub positsiooni K 1 (K" 1, K" 1). Läbi K" 1 joonistame puutuja t" 2 1 frontaalprojektsiooni, mis on kombineeritud tasapinnaga γ 1 || π 2 asendisse ja märkige selle lõikepunkt pöörlemistelje S" 1 frontaalprojektsiooniga. Viime tasapinna γ 1 tagasi algasendisse, punkt K" 1 → K" (punkt S" 1 ≡ S") . Puutuja t" 2 frontaalprojektsioon määratakse punktidega K" ja S".

Puutujad t 1 ja t 2 määravad soovitud puutujatasandi α, mis lõikub pinnaga β piki kõverat l.

NÄIDE 4. Koostage punktis K pinna β puutuja α. Punkt K asub ühelehelise pöördehüperboloidi pinnal (joonis 215).

Selle probleemi saab lahendada, järgides eelmises näites kasutatud algoritmi, kuid võttes arvesse, et ühelehelise pöörde hüperboloidi pind on reeglina pind, millel on kaks sirgjooneliste generaatorite perekonda ja igal generaatoril üks. perekond lõikub kõik teise perekonna generaatorid (vt § 32, joon. 138). Selle pinna iga punkti kaudu saab tõmmata kaks lõikuvat sirgjoont - generaatorid, mis on samaaegselt puutujad ühelehelise pöörde hüperboloidi pinnaga.

Need puutujad määravad puutujatasandi, see tähendab, et ühelehelise pöörde hüperboloidi pinna puutuja tasapind lõikub selle pinnaga piki kahte sirget g 1 ja g 2. Nende joonte projektsioonide koostamiseks piisab punkti K horisontaalprojektsiooni ja puutujate t" 1 ja t" 2 kandmisest horisontaaltasandile.

ringjoone d" 2 tal projektsioon - ühelehelise pöördehüperboloidi pinna neelus; määrake punktid 1" ja 2, kus t" 1 ja t" 2 lõikuvad ühte ning suunapinnad d 1. Alates 1" ja 2" leiame 1" ja 2", mis koos K" määravad vajalike joonte frontaalprojektsioonid.

Pinna määratletakse punktide kogumina, mille koordinaadid vastavad teatud tüüpi võrrandile:

Kui funktsioon F (x, y, z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)) on mingis punktis pidev ja sellel on pidevad osatuletised, millest vähemalt üks ei kao, siis selle punkti läheduses on võrrandiga (1) antud pind õiget pinda.

Lisaks eelnevale kaudne täpsustamise viis, saab pinda määratleda ilmselgelt, kui ühte muutujatest, näiteks z, saab väljendada teistega:

Rangemalt lihtne pind nimetatakse ühikruudu sisemuse homöomorfse kaardistuse (st üks-ühele ja vastastikku pideva kaardistamise) kujutiseks. Sellele määratlusele võib anda analüütilise väljendi.

Olgu ruut antud tasapinnal ristkülikukujulise koordinaatsüsteemiga u ja v, mille sisepunktide koordinaadid rahuldavad võrratuse 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Näide lihtne pind on poolkera. Kogu sfäär ei ole lihtne pind. See nõuab pinna mõiste edasist üldistamist.

Ruumi alamhulk, mille igal punktil on naabruskond, mis on lihtne pind, kutsus õiget pinda .

Pind diferentsiaalgeomeetrias

Helikoid

Katenoid

Mõõdik ei määra üheselt pinna kuju. Näiteks helikoidi ja katenoidi vastavalt parameetritega mõõdikud langevad kokku, see tähendab, et nende piirkondade vahel on vastavus, mis säilitab kõik pikkused (isomeetria). Nimetatakse omadusi, mis säilivad isomeetriliste teisenduste korral sisemine geomeetria pinnad. Sisegeomeetria ei sõltu pinna asendist ruumis ega muutu ka selle painutamisel ilma pinge ja surveta (näiteks silindri painutamisel koonuseks).

Meetrilised koefitsiendid E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G) määrata mitte ainult kõigi kõverate pikkused, vaid ka üldiselt kõigi pinnasiseste mõõtmiste tulemused (nurgad, pindalad, kumerus jne). Seetõttu viitab kõik, mis sõltub ainult meetrikast, sisemisest geomeetriast.

Tavaline ja tavaline lõik

Normaalvektorid pinnapunktides

Pinna üks peamisi omadusi on selle normaalne- ühikvektor, mis on antud punktis puutujatasandiga risti:

Normaali märk sõltub koordinaatide valikust.

Pinna läbilõige tasapinnaga, mis sisaldab pinnanormaali antud punktis, moodustab teatud kõvera, mida nimetatakse tavaline lõik pinnad. Normaalse lõigu põhinormaal langeb kokku pinnanormaaliga (märgini).

Kui pinnal olev kõver ei ole normaalne lõik, siis moodustab selle põhinormaal pinna normaaliga teatud nurga θ (\displaystyle \theta ). Siis kumerus k (\displaystyle k) kõverusega seotud kõver k n (\displaystyle k_(n)) normaallõik (sama puutujaga) Meunieri valemi järgi:

Tavalise ühiku vektori koordinaadid erinevatel viisidel Pinnaülesanded on toodud tabelis:

Siin D (y , z) D (u , v) = | y u ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z , x) D (u , v) = | z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmaatriks)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ algus(vmaatriks)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

Kõik tuletised võetakse punktis (x 0, y 0, z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).

Kumerus

Erinevate suundade jaoks antud pinnapunktis saadakse normaallõike erinev kumerus, mida nimetatakse normaalne kumerus; sellele omistatakse plussmärk, kui kõvera põhinormaal läheb pinna normaaliga samas suunas, või miinusmärk, kui normaalide suunad on vastupidised.

Üldiselt on pinna igas punktis kaks risti asetsevat suunda e 1 (\displaystyle e_(1)) Ja e 2 (\displaystyle e_(2)), milles normaalne kumerus võtab minimaalselt ja maksimaalne väärtus; neid suundi nimetatakse peamine. Erandiks on juhus, kui normaalkõverus kõikides suundades on sama (näiteks sfääri lähedal või pöördeellipsoidi lõpus), siis on kõik punkti suunad põhisuunad.

Negatiivse (vasakul), nulli (keskel) ja positiivse (paremal) kumerusega pinnad.

Tavalisi kumerusi põhisuundades nimetatakse peamised kumerused; määrame need κ 1 (\displaystyle \kappa _(1)) Ja κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). Suurus:

nimetatakse Gaussi kõveruseks, totaalseks kõveruseks või lihtsalt pinnakõveruseks. Seal on ka termin kõveruse skalaar, mis tähendab kõveruse tensori konvolutsiooni tulemust; sel juhul on kõveruse skalaar kaks korda suurem kui Gaussi kõverus.

Gaussi kõverust saab arvutada meetrika abil ja seetõttu on see pindade sisegeomeetria objekt (pange tähele, et peamised kõverused ei kuulu sisegeomeetria alla). Pinnapunkte saab klassifitseerida kõverusmärgi alusel (vt joonist). Tasapinna kõverus on null. Raadiusega R sfääri kõverus on kõikjal võrdne 1 R 2 (\displaystyle (\frac (1)(R^(2)))). Seal on ka pideva negatiivse kumerusega pind -

Olgu meil pind, mis on määratletud vormi võrrandiga

Tutvustame järgmist määratlust.

Definitsioon 1. Sirget nimetatakse pinna puutujaks mingil hetkel, kui see on nii

puutub mis tahes pinnal asuva ja punkti läbiva kõveraga.

Kuna punkti P läbib lõpmatu arv pinnal asetsevaid erinevaid kõveraid, siis üldiselt on seda punkti läbival pinnal lõpmatu arv puutujaid.

Tutvustame pinna ainsuse ja hariliku punkti mõistet

Kui punktis on kõik kolm tuletist võrdsed nulliga või vähemalt ühte neist tuletistest ei eksisteeri, nimetatakse punkti M pinna ainsuse punktiks. Kui punktis eksisteerivad ja on pidevad kõik kolm tuletist ning vähemalt üks neist erineb nullist, siis nimetatakse punkti M pinna tavaliseks punktiks.

Nüüd saame sõnastada järgmise teoreemi.

Teoreem. Kõik antud pinna (1) puutujad selle harilikus punktis P asuvad samal tasapinnal.

Tõestus. Vaatleme teatud sirget L pinnal (joonis 206), mis läbib pinna antud punkti P. Olgu vaadeldav kõver antud parameetriliste võrranditega

Kõvera puutuja on pinna puutuja. Selle puutuja võrranditel on vorm

Kui avaldised (2) asendada võrrandiga (1), muutub see võrrand t suhtes identiteediks, kuna kõver (2) asub pinnal (1). Eristades seda me saame

Selle vektori projektsioonid sõltuvad - punkti P koordinaatidest; Pange tähele, et kuna punkt P on tavaline, siis need projektsioonid punktis P ei kao korraga ja seetõttu

punkti P läbiva ja pinnal asetseva kõvera puutuja. Selle vektori projektsioonid arvutatakse võrrandite (2) alusel punktile P vastava parameetri t väärtuses.

Arvutame skalaarkorrutis vektorid N ja mis on võrdne samanimeliste projektsioonide korrutistega:

Võrdsuse (3) põhjal on parempoolne avaldis võrdne nulliga, seega

Viimasest võrratusest järeldub, et vektor LG ja kõvera (2) puutuja vektor punktis P on risti. Ülaltoodud arutluskäik kehtib mis tahes kõvera (2) kohta, mis läbib punkti P ja asub pinnal. Järelikult on iga pinna puutuja punktis P risti sama vektoriga N ja seetõttu asuvad kõik need puutujad samal tasapinnal, mis on risti vektoriga LG. Teoreem on tõestatud.

Definitsioon 2. Tasapinda, millel asuvad kõik selle antud punkti P läbiva pinna puutujajooned, nimetatakse pinna puutujatasandiks punktis P (joonis 207).

Pange tähele, et sisse erilised punktid Pinna puutujatasandit ei pruugi olla. Sellistes punktides ei pruugi pinna puutujajooned asuda samal tasapinnal. Näiteks koonilise pinna tipp on singulaarpunkt.

Koonilise pinna puutujad selles punktis ei asu samas tasapinnas (nad ise moodustavad koonilise pinna).

Kirjutame tavapunktis pinna (1) puutujatasandi võrrandi. Kuna see tasapind on risti vektoriga (4), on selle võrrandil kuju

Kui pinna võrrand on antud kujul või puutujatasandi võrrand võtab sel juhul kuju

Kommenteeri. Kui paneme valemisse (6), saab see valem kuju

selle parem pool on funktsiooni täielik diferentsiaal. Seega,. Seega on kahe muutuja funktsiooni summaarne diferentsiaal punktis, mis vastab sõltumatute muutujate x ja y juurdekasvule, võrdne pinna puutujatasandi rakenduste vastava juurdekasvuga, mis on selle funktsiooni graafik.

Definitsioon 3. Pinnale puutujatasandiga risti oleva punkti (1) kaudu tõmmatud sirgjoont nimetatakse pinna normaalseks (joonis 207).