Мистериозно разстройство: историята на фракталите и техните области на приложение. Концепции за фрактал и фрактална геометрия

Здравейте всички! Моето име е, Рибенек Валерия,Уляновск и днес ще публикувам няколко мои научни статии на уебсайта на LCI.

Първата ми научна статия в този блог ще бъде посветена на фрактали. Веднага ще кажа, че моите статии са предназначени за почти всяка аудитория. Тези. Надявам се, че ще бъдат интересни както за ученици, така и за студенти.

Наскоро научих за тези най-интересните обектиматематически свят като фрактали. Но те съществуват не само в математиката. Те ни заобикалят навсякъде. Фракталите са естествени. Ще говоря за това какво представляват фракталите, за видовете фрактали, за примери за тези обекти и техните приложения в тази статия. Като начало ще ви кажа накратко какво е фрактал.

фрактал(Латински fractus - смачкан, счупен, счупен) е сложна геометрична фигура, която има свойството на самоподобие, тоест съставена от няколко части, всяка от които е подобна на цялата фигура. В по-широк смисъл фракталите се разбират като набори от точки в евклидовото пространство, които имат дробно метрично измерение (по смисъла на Минковски или Хаусдорф) или метрично измерение, различно от топологичното. Като пример ще вмъкна картина, изобразяваща четири различни фрактала.

Ще ви разкажа малко за историята на фракталите. Концепциите за фрактал и фрактална геометрия, които се появиха в края на 70-те години, се наложиха твърдо сред математиците и програмистите от средата на 80-те години. Думата "фрактал" е измислена от Беноа Манделброт през 1975 г., за да се отнася до неправилните, но самоподобни структури, с които той се занимава. Раждането на фракталната геометрия обикновено се свързва с публикуването на книгата на Манделброт „Фракталната геометрия на природата“ през 1977 г. В трудовете му са използвани научните резултати на други учени, работили в периода 1875-1925 г. в същата област (Поанкаре, Фату, Юлия, Кантор, Хаусдорф). Но едва в наше време е възможно да се комбинира работата им в една система.

Има много примери за фрактали, защото, както казах, те ни заобикалят навсякъде. Според мен дори цялата ни Вселена е един огромен фрактал. В крайна сметка всичко в него, от структурата на атома до структурата на самата Вселена, точно се повтаря. Но има, разбира се, още конкретни примерифрактали от различни области. Фракталите, например, присъстват в сложна динамика. Там те естествено се появяват при изучаването на нелинейни динамични системи. Най-изследваният случай е, когато динамичната система се специфицира чрез итерации полиномили холоморфен функция на комплекс от променливина повърхността. Някои от най-известните фрактали от този тип са наборът на Джулия, наборът на Манделброт и басейните на Нютон. По-долу, в ред, снимките изобразяват всеки от горните фрактали.

Друг пример за фрактали са фракталните криви. Най-добре е да обясните как да конструирате фрактал, като използвате примера на фракталните криви. Една от тези криви е така наречената снежинка на Кох. Има проста процедура за получаване на фрактални криви на равнина. Нека дефинираме произволна начупена линия с краен брой връзки, наречена генератор. След това заместваме всеки сегмент в него с генератор (по-точно прекъсната линия, подобна на генератор). В получената прекъсната линия отново заместваме всеки сегмент с генератор. Продължавайки до безкрайност, в границата получаваме фрактална крива. По-долу е снежинката на Кох (или кривата).

Има и огромно разнообразие от фрактални криви. Най-известните от тях са вече споменатата снежинка на Кох, както и кривата на Леви, кривата на Минковски, начупената линия на Дракона, кривата на пиано и Питагоровото дърво. Мисля, че лесно можете да намерите изображение на тези фрактали и тяхната история в Уикипедия, ако желаете.

Третият пример или тип фрактали са стохастичните фрактали. Такива фрактали включват траекторията на брауновото движение в равнина и в пространството, еволюцията на Шрам-Льовнер, различни видове рандомизирани фрактали, тоест фрактали, получени с помощта на рекурсивна процедура, в която се въвежда случаен параметър на всяка стъпка.

Има и чисто математически фрактали. Това са например наборът на Кантор, гъбата на Менгер, триъгълникът на Серпински и други.

Но може би най-интересните фрактали са естествените. Естествените фрактали са обекти в природата, които имат фрактални свойства. И тук списъкът вече е голям. Няма да изброявам всичко, защото вероятно е невъзможно да ги изброя всички, но ще ви разкажа за някои. Например в живата природа такива фрактали включват нашата кръвоносна система и белите дробове. А също и короните и листата на дърветата. Това също може да включва морски звезди, морски таралежи, корали, морски миди, някои растения като зеле или броколи. Няколко такива естествени фрактала от живата природа са ясно показани по-долу.

Ако вземем предвид нежива природа, тогава там има много по-интересни примери, отколкото в реалния живот. Светкавици, снежинки, облаци, добре познати на всички, шарки на прозорци в мразовити дни, кристали, планински вериги - всичко това са примери за естествени фрактали от неживата природа.

Разгледахме примери и видове фрактали. Що се отнася до използването на фрактали, те се използват в различни области на знанието. Във физиката фракталите естествено възникват при моделиране на нелинейни процеси, като турбулентен флуиден поток, сложни процеси на дифузия-адсорбция, пламъци, облаци и др. Фракталите се използват при моделиране на порести материали, например в нефтохимията. В биологията те се използват за моделиране на популации и за описание на системи. вътрешни органи(система от кръвоносни съдове). След създаването на кривата на Кох беше предложено да се използва при изчисляване на дължината на бреговата линия. Фракталите се използват активно и в радиотехниката, информационните науки и компютърните технологии, телекомуникациите и дори икономиката. И, разбира се, фракталната визия се използва активно в съвременното изкуство и архитектура. Ето един пример за фрактални модели:

И така, с това мисля да завърша разказа си за такова необичайно математическо явление като фрактал. Днес научихме какво е фрактал, как се е появил, за видовете и примерите за фрактали. Говорих и за тяхното приложение и демонстрирах визуално някои от фракталите. Надявам се, че сте харесали тази малка екскурзия в света на невероятните и завладяващи фрактални обекти.

Най-гениалните открития в науката могат коренно да променят човешкия живот. Изобретената ваксина може да спаси милиони хора, а създаването на оръжия, напротив, отнема тези животи. Съвсем наскоро (в мащаба на човешката еволюция) се научихме да „опитомяваме“ електричеството - и сега не можем да си представим живота без всички тези удобни устройства, които използват електричество. Но има и открития, на които малко хора придават значение, въпреки че те също оказват голямо влияние върху живота ни.

Едно от тези „незабележими“ открития са фракталите. Вероятно вече сте чували тази закачлива дума, но знаете ли какво означава и колко интересна информация се крие в този термин?

Всеки човек има естествено любопитство, желание да разбере света около себе си. И в това начинание човек се опитва да се придържа към логиката в преценките. Анализирайки процесите, протичащи около него, той се опитва да намери логиката на случващото се и да извлече някакъв модел. Най-големите умове на планетата са заети с тази задача. Грубо казано, учените търсят модел там, където не трябва да има такъв. Въпреки това дори в хаоса е възможно да се намерят връзки между събитията. И тази връзка е фрактал.

Нашата малка дъщеричка, на четири години и половина, вече е в онази прекрасна възраст, когато броят на въпросите „Защо?” многократно надхвърля броя на отговорите, които възрастните успяват да дадат. Неотдавна, докато разглеждах клон, повдигнат от земята, дъщеря ми внезапно забеляза, че този клон, с клонките и клоните, сам по себе си прилича на дърво. И, разбира се, последва обичайният въпрос „Защо?“, на който родителите трябваше да потърсят простичко, разбираемо за детето обяснение.

Откритото от дете сходство на един клон с цяло дърво е много точно наблюдение, което още веднъж свидетелства за принципа на рекурсивното самоподобие в природата. Много органични и неорганични форми в природата се образуват по подобен начин. Облаци, морски раковини, „къща“ на охлюв, кората и короната на дърветата, кръвоносната система и така нататък – произволните форми на всички тези обекти могат да бъдат описани с фрактален алгоритъм.

⇡ Беноа Манделброт: баща на фракталната геометрия

Самата дума "фрактал" се появи благодарение на брилянтния учен Беноа Б. Манделброт.

Самият той измисля термина през 70-те години на миналия век, като заема думата fractus от латински, където буквално означава „счупен“ или „смачкан“. Какво е? Днес думата "фрактал" най-често означава графично представяне на структура, която в по-голям мащаб е подобна на себе си.

Математическата основа за възникването на теорията за фракталите е положена много години преди раждането на Беноа Манделброт, но тя може да се развие едва с появата на изчислителните устройства. В началото на своята научна дейностБеноа е работил в изследователски центъркомпания IBM. По това време служителите на центъра работят по предаване на данни на разстояние. По време на изследването учените се сблъскаха с проблема с големите загуби, произтичащи от шумови смущения. Беноа се изправи пред трудно и много важна задача— да разбере как да предвиди появата на шумови смущения в електронните схеми, когато статистическият метод се окаже неефективен.

Преглеждайки резултатите от измерванията на шума, Манделброт забеляза един странен модел - шумовите графики в различни мащаби изглеждаха еднакви. Наблюдава се идентичен модел, независимо дали е шумова графика за един ден, седмица или час. Беше необходимо да се промени мащабът на графиката и картината се повтаряше всеки път.

През живота си Беноа Манделброт многократно е казвал, че не е изучавал формули, а просто си е играл с картинки. Този човек мислеше много образно и всякакви алгебрична задачапреведен в областта на геометрията, където според него верният отговор винаги е очевиден.

Не е изненадващо, че именно човек с толкова богато пространствено въображение стана бащата на фракталната геометрия. В края на краищата, осъзнаването на същността на фракталите идва точно когато започнете да изучавате рисунките и да мислите за значението на странните вихрови модели.

Фракталният модел няма идентични елементи, но е подобен във всеки мащаб. Изградете такъв образ с висока степенръчното детайлизиране преди беше просто невъзможно; изискваше огромно количество изчисления. Например френският математик Пиер Жозеф Луи Фату описва този набор повече от седемдесет години преди откритието на Беноа Манделброт. Ако говорим за принципите на самоподобието, те са споменати в произведенията на Лайбниц и Георг Кантор.

Една от първите фрактални рисунки беше графична интерпретация на набора на Манделброт, която се роди благодарение на изследванията на Гастон Морис Юлия.

Гастон Джулия (винаги с маска - нараняване от Първата световна война)

Този френски математик се чудеше как би изглеждал набор, ако беше конструиран от проста формула, повторена чрез обратна връзка. Ако го обясним „на пръсти“, това означава, че за конкретно число намираме нова стойност с помощта на формулата, след което я заместваме отново във формулата и получаваме друга стойност. Резултатът е голяма последователност от числа.

За да получите пълна картина на такъв набор, трябва да направите огромен брой изчисления - стотици, хиляди, милиони. Просто беше невъзможно да се направи това ръчно. Но когато мощните изчислителни устройства станаха достъпни за математиците, те успяха да хвърлят нов поглед върху формулите и изразите, които отдавна представляват интерес. Манделброт е първият, който използва компютър за изчисляване на класически фрактал. След като обработи последователност, състояща се от голям брой стойности, Беноа начерта резултатите върху графика. Това е, което той получи.

Впоследствие това изображение е оцветено (например един от методите за оцветяване е чрез брой итерации) и се превръща в едно от най-популярните изображения, създавани някога от човека.

Както казва древната поговорка, приписвана на Хераклит от Ефес, „Не можете да влезете в една и съща река два пъти“. Той е идеално подходящ за интерпретиране на геометрията на фракталите. Без значение колко подробно разглеждаме фракталното изображение, винаги ще виждаме подобен модел.

Тези, които желаят да видят как би изглеждало изображение на пространството на Манделброт, когато се увеличи многократно, могат да го направят, като изтеглят анимирания GIF.

⇡ Лорън Карпентър: изкуство, създадено от природата

Теорията на фракталите скоро намери практическо приложение. Тъй като е тясно свързано с визуализацията на себеподобни изображения, не е изненадващо, че първите, които възприемат алгоритми и принципи за конструиране на необичайни форми, са художниците.

Бъдещият съосновател на легендарното студио Pixar, Лорен С. Карпентър, започва работа през 1967 г. в Boeing Computer Services, което е едно от подразделенията на известната корпорация, разработваща нови самолети.

През 1977 г. създава презентации с прототипи на летящи модели. Отговорностите на Лорен включват разработване на изображения на проектирания самолет. Той трябваше да създаде снимки на нови модели, показващи бъдещи самолети от различни ъгли. В един момент бъдещият основател на Pixar Animation Studios излезе с творческата идея да използва изображение на планини като фон. Днес всеки ученик може да реши такъв проблем, но в края на седемдесетте години на миналия век компютрите не можеха да се справят с толкова сложни изчисления - нямаше графични редактори, да не говорим за приложения за 3D графика. През 1978 г. Лорън случайно вижда в магазин книгата на Беноа Манделброт „Фрактали: форма, шанс и измерение“. Това, което привлече вниманието му в тази книга, беше, че Беноа даде много примери за фрактални форми в реалния живот и твърди, че те могат да бъдат описани с математически израз.

Тази аналогия не е избрана от математика случайно. Факт е, че веднага след като публикува изследването си, той трябваше да се сблъска с цял порой от критики. Основното нещо, за което колегите му го упрекнаха, беше безполезността на развиваната теория. „Да“, казаха те, „това са красиви снимки, но нищо повече. Теорията на фракталите няма практическа стойност. Имаше и такива, които като цяло вярваха, че фракталните модели са просто страничен продукт от работата на „дяволските машини“, които в края на седемдесетте изглеждаха на мнозина като нещо твърде сложно и неизследвано, за да му се вярва напълно. Манделброт се опита да намери очевидни приложения на теорията на фракталите, но в голямата схема на нещата не му трябваше. През следващите 25 години последователите на Беноа Манделброт доказаха огромните ползи от такова „математическо любопитство“, а Лорън Карпентър беше една от първите, които изпробваха фракталния метод на практика.

След като изучава книгата, бъдещият аниматор сериозно изучава принципите на фракталната геометрия и започва да търси начин да я приложи в компютърната графика. Само за три дни работа Лорън успя да направи реалистично изображение на планинската система на своя компютър. С други думи, той използва формули, за да нарисува напълно разпознаваем планински пейзаж.

Принципът, който Лорън използва, за да постигне целта си, беше много прост. Състоеше се от разделяне на по-голяма геометрична фигура на малки елементи, а те от своя страна бяха разделени на подобни фигури с по-малък размер.

Използвайки по-големи триъгълници, Карпентър ги разделя на четири по-малки и след това повтаря този процес отново и отново, докато получи реалистичен планински пейзаж. Така успява да стане първият художник, който използва фрактален алгоритъм за конструиране на изображения в компютърната графика. Веднага след като се разчу за работата, ентусиастите по целия свят подхванаха идеята и започнаха да използват фракталния алгоритъм за имитиране на реалистични природни форми.

Една от първите 3D визуализации, използващи фрактален алгоритъм

Само няколко години по-късно Лорън Карпентър успява да приложи своите разработки в много по-голям проект. От тях аниматорът създава двуминутно демо на Vol Libre, което е показано на Siggraph през 1980 г. Това видео шокира всички, които го видяха, а Лорън получи покана от Lucasfilm.

Анимацията беше изобразена на компютър VAX-11/780 от Digital Equipment Corporation с тактова честота от пет мегахерца и изобразяването на всеки кадър отне около половин час.

Работейки за Lucasfilm Limited, аниматорът създава 3D пейзажи, използвайки същата схема за втория пълнометражен филм от сагата Star Trek. В The Wrath of Khan Карпентър успя да създаде цяла планета, използвайки същия принцип на моделиране на фракталната повърхност.

В момента всички популярни приложения за създаване на 3D пейзажи използват подобен принцип за генериране на природни обекти. Terragen, Bryce, Vue и други 3D редактори разчитат на фрактален алгоритъм за моделиране на повърхности и текстури.

⇡ Фрактални антени: по-малкото е повече

През последния половин век животът бързо започна да се променя. Повечето от нас приемат постиженията модерни технологииза даденост. Много бързо свикваш с всичко, което прави живота по-комфортен. Рядко някой си задава въпроса "Откъде дойде това?" и „Как работи?“ Микровълнова печка затопля закуската - страхотно, смартфонът ви дава възможност да говорите с друг човек - страхотно. Това изглежда като очевидна възможност за нас.

Но животът можеше да бъде съвсем различен, ако човек не беше търсил обяснение за случващите се събития. Вземете например мобилните телефони. Помните ли прибиращите се антени на първите модели? Те пречеха, увеличаваха размера на устройството и в крайна сметка често се счупваха. Вярваме, че са потънали в забрава завинаги и част от причината за това са... фракталите.

Фракталните модели очароват със своите модели. Те определено приличат на изображения на космически обекти - мъглявини, галактически купове и т.н. Ето защо е съвсем естествено, че когато Манделброт изрази своята теория за фракталите, неговите изследвания предизвикаха повишен интерес сред тези, които изучават астрономия. Един от тези аматьори на име Нейтън Коен, след като присъства на лекция на Беноа Манделброт в Будапеща, схвана идеята практическо приложениепридобити знания. Вярно, той направи това интуитивно и случайността изигра важна роля в неговото откритие. Като радиолюбител Нейтън се стреми да създаде антена с възможно най-висока чувствителност.

Единственият начин да се подобрят параметрите на антената, която беше известна по това време, беше да се увеличат нейните геометрични размери. Собственикът на имота в центъра на Бостън, който Нейтън нае, обаче беше категорично против инсталирането на големи устройства на покрива. Тогава Нейтън започна да експериментира с различни форми на антената, опитвайки се да постигне максимален резултат минимални размери. Вдъхновен от идеята за фракталните форми, Коен, както се казва, на случаен принцип направи един от най-известните фрактали от тел - „снежинката на Кох“. Шведският математик Хелге фон Кох измисли тази крива през 1904 г. Получава се чрез разделяне на отсечка на три части и замяна на средната отсечка с равностранен триъгълник без страна, съвпадаща с тази отсечка. Определението е малко трудно за разбиране, но на фигурата всичко е ясно и просто.

Има и други варианти на кривата на Кох, но приблизителната форма на кривата остава подобна

Когато Нейтън свърза антената към радиоприемника, той беше много изненадан - чувствителността се увеличи драстично. След поредица от експерименти бъдещ професорБостънският университет осъзна, че антена, направена с помощта на фрактален модел, има висока ефективност и покрива много по-широк честотен диапазон в сравнение с класическите решения. В допълнение, формата на антената под формата на фрактална крива позволява значително намаляване на геометричните размери. Нейтън Коен дори излезе с теорема, която доказва, че за да се създаде широколентова антена, е достатъчно да й се придаде формата на самоподобна фрактална крива.

Авторът патентова откритието си и основа компания за разработване и проектиране на фрактални антени Fractal Antenna Systems, с право вярвайки, че в бъдеще, благодарение на неговото откритие, мобилните телефони ще могат да се отърват от обемистите антени и да станат по-компактни.

По принцип така и стана. Вярно е, че до ден днешен Нейтън е ангажиран в съдебна битка с големи корпорации, които незаконно използват откритието му за производство на компактни комуникационни устройства. Някои известни производители на мобилни устройства, като Motorola, вече са постигнали приятелско споразумение с изобретателя на фракталната антена.

⇡ Фрактални измерения: не можете да го разберете с ума си

Беноа заимства този въпрос от известния американски учен Едуард Каснер.

Последният, подобно на много други известни математици, обичаше да общува с деца, да им задава въпроси и да получава неочаквани отговори. Понякога това водеше до изненадващи последици. Например, деветгодишният племенник на Едуард Каснър излезе с вече добре познатата дума „googol“, което означава единица, последвана от сто нули. Но да се върнем на фракталите. Американският математик обичал да задава въпроса колко е дълга бреговата линия на САЩ. След като изслуша мнението на своя събеседник, самият Едуард каза правилния отговор. Ако измерите дължината на карта, като използвате прекъснати сегменти, резултатът ще бъде неточен, тъй като бреговата линия има голям бройнеравности. Какво се случва, ако измерваме възможно най-точно? Ще трябва да вземете под внимание дължината на всяка неравност - ще трябва да измерите всеки нос, всеки залив, скала, дължината на скален ръб, камък върху него, песъчинка, атом и т.н. Тъй като броят на нередностите клони към безкрайност, измерената дължина на бреговата линия ще се увеличава до безкрайност при измерване на всяка нова нередност.

Колкото по-малка е мярката при измерване, толкова по-голяма е измерената дължина

Интересното е, че следвайки указанията на Едуард, децата бяха много по-бързи от възрастните в казването на правилното решение, докато последните имаха проблеми с приемането на такъв невероятен отговор.

Използвайки този проблем като пример, Манделброт предложи да се използва нов подходкъм измерванията. Тъй като бреговата линия е близо до фрактална крива, това означава, че към нея може да се приложи характеризиращ параметър - така наречената фрактална размерност.

Какво е редовно измерение е ясно на всеки. Ако измерението е равно на едно, получаваме права линия, ако две - плоска фигура, тритомник. Това разбиране на измерението в математиката обаче не работи с фрактални криви, където този параметър има дробна стойност. Фракталното измерение в математиката може условно да се разглежда като „грапавост“. Колкото по-голяма е грапавостта на кривата, толкова по-голяма е нейната фрактална размерност. Крива, която според Манделброт има фрактална размерност, по-висока от нейната топологична размерност, има приблизителна дължина, която не зависи от броя на измеренията.

В момента учените намират все повече и повече области за прилагане на теорията на фракталите. Използвайки фрактали, можете да анализирате колебанията в борсовите цени, да изучавате всякакви естествени процеси, като например колебания в броя на видовете, или да симулирате динамиката на потоците. Фракталните алгоритми могат да се използват за компресиране на данни, като например компресиране на изображения. И между другото, за да получите красив фрактал на екрана на вашия компютър, не е нужно да имате докторска степен.

⇡ Фрактал в браузъра

Може би един от най-лесните начини да получите фрактален модел е да използвате онлайн векторен редактор от младия талантлив програмист Тоби Шахман. Инструментите на този прост графичен редактор се основават на същия принцип на самоподобие.

На ваше разположение има само две най-прости форми - четириъгълник и кръг. Можете да ги добавите към платното, да ги мащабирате (за да мащабирате по една от осите, задръжте натиснат клавиша Shift) и да ги завъртите. Припокривайки се според принципа на булевите операции на добавяне, тези най-прости елементи образуват нови, по-малко тривиални форми. След това тези нови форми могат да бъдат добавени към проекта и програмата ще повтаря генерирането на тези изображения ad infinitum. На всеки етап от работата върху фрактал можете да се върнете към всеки компонент от сложна форма и да редактирате неговата позиция и геометрия. Забавна дейност, особено като имате предвид, че единственият инструмент, който трябва да създадете, е браузър. Ако не разбирате принципа на работа с този рекурсивен векторен редактор, съветваме ви да гледате видеоклипа на официалния уебсайт на проекта, който показва подробно целия процес на създаване на фрактал.

⇡ XaoS: фрактали за всеки вкус

Много графични редактори имат вградени инструменти за създаване на фрактални модели. Тези инструменти обаче обикновено са вторични и не позволяват фина настройка на генерирания фрактален модел. В случаите, когато е необходимо да се изгради математически точен фрактал, кросплатформеният редактор XaoS ще дойде на помощ. Тази програма дава възможност не само за изграждане на самоподобно изображение, но и за извършване на различни манипулации с него. Например, в реално време можете да направите „разходка“ по фрактал, като промените неговия мащаб. Анимирано движение по фрактал може да бъде запазено като XAF файл и след това възпроизведено в самата програма.

XaoS може да зарежда произволен набор от параметри, а също така да използва различни филтри за последваща обработка на изображения - добавяне на ефект на замъглено движение, изглаждане на резки преходи между фрактални точки, симулиране на 3D изображение и т.н.

⇡ Fractal Zoomer: компактен генератор на фрактали

В сравнение с други генератори на фрактални изображения, той има няколко предимства. Първо, той е много малък по размер и не изисква инсталация. На второ място, той реализира възможността за определяне на цветовата палитра на картината. Можете да изберете нюанси в цветни модели RGB, CMYK, HVS и HSL.

Също така е много удобно да използвате опцията за произволен избор цветови нюансии функция за обръщане на всички цветове в картината. За да регулирате цвета, има функция за цикличен избор на нюанси - когато включите съответния режим, програмата анимира изображението, като циклично променя цветовете върху него.

Fractal Zoomer може да визуализира 85 различни фрактални функции, а формулите са ясно показани в менюто на програмата. В програмата има филтри за последваща обработка на изображения, макар и в малки количества. Всеки зададен филтър може да бъде отменен по всяко време.

⇡ Mandelbulb3D: 3D фрактален редактор

Когато се използва терминът "фрактал", той най-често се отнася до плоско, двуизмерно изображение. Фракталната геометрия обаче надхвърля 2D измерението. В природата можете да намерите както примери за плоски фрактални форми, да речем, геометрията на светкавицата, така и триизмерни обемни фигури. Фракталните повърхности могат да бъдат триизмерни и една от много ясните илюстрации на 3D фрактали в Ежедневието- глава зеле. Може би най-добрият начин да видите фрактали е в сорта Романеско, хибрид на карфиол и броколи.

Можете също да ядете този фрактал

Създавайте 3D обекти с подобна формаПрограмата Mandelbulb3D може да направи това. За да се получи 3D повърхност с помощта на фрактален алгоритъм, авторите на това приложение, Даниел Уайт и Пол Найландер, преобразуваха набора на Манделброт в сферични координати. Създадената от тях програма Mandelbulb3D е истински триизмерен редактор, който моделира фрактални повърхности с различни форми. Тъй като често наблюдаваме фрактални модели в природата, изкуствено създаден фрактален триизмерен обект изглежда невероятно реалистичен и дори „жив“.

Може да прилича на растение, може да прилича на странно животно, планета или нещо друго. Този ефект е подобрен от усъвършенстван алгоритъм за изобразяване, който прави възможно получаването на реалистични отражения, изчисляване на прозрачност и сенки, симулиране на ефекта на дълбочината на полето и т.н. Mandelbulb3D има огромен брой настройки и опции за изобразяване. Можете да контролирате нюансите на източниците на светлина, да изберете фона и нивото на детайлност на симулирания обект.

Редакторът на фрактали Incendia поддържа изглаждане на двойно изображение, съдържа библиотека от петдесет различни триизмерни фрактала и има отделен модул за редактиране на основни форми.

Приложението използва фрактален скрипт, с който можете независимо да описвате нови видове фрактален дизайн. Incendia разполага с редактори на текстури и материали, а механизмът за изобразяване ви позволява да използвате обемни ефекти на мъгла и различни шейдъри. Програмата реализира опцията за запазване на буфер по време на дългосрочно изобразяване и поддържа създаването на анимация.

Incendia ви позволява да експортирате фрактален модел в популярни 3D графични формати - OBJ и STL. Incendia включва малка помощна програма, наречена Geometrica, специален инструмент за настройка на експортирането на фрактална повърхност към 3D модел. С помощта на тази помощна програма можете да определите разделителната способност на 3D повърхност и да посочите броя на фракталните итерации. Експортираните модели могат да се използват в 3D проекти при работа с 3D редактори като Blender, 3ds max и други.

IN напоследъкработата по проекта Incendia се забави донякъде. На този моментавторът търси спонсори, които да му помогнат в развитието на програмата.

Ако нямате достатъчно въображение, за да нарисувате красив триизмерен фрактал в тази програма, няма значение. Използвайте библиотеката с параметри, която се намира в папката INCENDIA_EX\parameters. Използвайки PAR файлове, можете бързо да намерите най-необичайните фрактални форми, включително анимирани.

⇡ Аурал: как пеят фракталите

Обикновено не говорим за проекти, върху които току-що се работи, но в този случай трябва да направим изключение, тъй като това е много необичайно приложение. Проектът, наречен Aural, е измислен от същия човек, който създава Incendia. Този път обаче програмата не визуализира фракталния комплект, а го озвучава, превръщайки го в електронна музика. Идеята е много интересна, особено като се има предвид необичайни свойствафрактали. Aural е аудио редактор, който генерира мелодии с помощта на фрактални алгоритми, т.е. по същество това е аудио синтезатор-секвенсор.

Последователността от звуци, произведени от тази програма, е необичайна и... красива. Може да е полезно за писане на съвременни ритми и, както ни се струва, е особено подходящо за създаване аудио записикъм скрийнсейвъри на телевизионни и радио програми, както и „цикли“ на фонова музика към компютърни игри. Рамиро все още не е предоставил демонстрация на своята програма, но обещава, че когато го направи, за да работите с Aural, няма да е необходимо да изучавате фракталната теория - просто ще трябва да си поиграете с параметрите на алгоритъма за генериране на последователност от бележки. Чуйте как звучат фракталите и.

Фрактали: музикална пауза

Всъщност фракталите могат да ви помогнат да пишете музика дори без софтуер. Но това може да направи само някой, който наистина е проникнат от идеята за естествена хармония и който не се е превърнал в нещастен „маниак“. Има смисъл да вземем пример от музикант на име Джонатан Култън, който освен всичко друго пише композиции за списание Popular Science. И за разлика от други изпълнители, Колтън публикува всичките си произведения под лиценз Creative Commons Attribution-Noncommercial, който (когато се използва за некомерсиални цели) предоставя безплатно копиране, разпространение, прехвърляне на произведението на други, както и неговото модифициране ( създаване на производни произведения), така че да го адаптирате към вашите задачи.

Джонатан Колтън, разбира се, има песен за фракталите.

⇡ Заключение

Във всичко, което ни заобикаля, често виждаме хаос, но всъщност това не е случайност, а идеална форма, която фракталите ни помагат да различим. Природата е най-добрият архитект, идеалният строител и инженер. Тя е структурирана много логично и ако някъде не видим модел, това означава, че трябва да го търсим в различен мащаб. Хората разбират това все по-добре и по-добре, опитвайки се да имитират естествените форми по много начини. Инженерен дизайн Акустични системипод формата на черупка създават антени с геометрията на снежинки и т.н. Сигурни сме, че фракталите все още крият много тайни и много от тях все още не са открити от хората.

Какво е общото между едно дърво, морски бряг, облак или кръвоносните съдове в ръката ни? На пръв поглед може да изглежда, че всички тези обекти нямат нищо общо. Но всъщност има едно свойство на структурата, което е присъщо на всички изброени обекти: те са самоподобни. От клон, като от ствол на дърво, се простират по-малки издънки, от тях още по-малки и т.н., тоест клонът е подобен на цялото дърво. Кръвоносната система е структурирана по подобен начин: артериолите се отклоняват от артериите, а от тях - най-малките капиляри, през които кислородът навлиза в органите и тъканите. Да разгледаме сателитните снимки на морския бряг: ще видим заливи и полуострови; Да го погледнем, но от птичи поглед: ще видим заливи и носове; Сега си представете, че стоим на плажа и гледаме краката си: винаги ще има камъчета, които стърчат по-навътре във водата от останалите. Тоест бреговата линия, когато се увеличи, остава подобна на себе си. Американският математик (макар и израснал във Франция) Беноа Манделброт нарече това свойство на обектите фракталност, а самите такива обекти - фрактали (от лат. fractus - начупен).

Това понятие няма строго определение. Следователно думата "фрактал" не е математически термин. Обикновено фракталът е геометрична фигура, която отговаря на едно или повече от следните свойства: Има сложна структура при всяко увеличение на мащаба (за разлика например от права линия, всяка част от която е най-простата геометрична фигура - сегмент ). Е (приблизително) себеподобен. Има дробна хаусдорфова (фрактална) размерност, която е по-голяма от топологичната. Може да се конструира с помощта на рекурсивни процедури.

Геометрия и алгебра

Изучаване на фрактали началото на 19 веки XX век е по-скоро епизодичен, отколкото систематичен, тъй като преди това математиците са изучавали главно „добри“ обекти, които могат да бъдат изследвани с помощта на общи методи и теории. През 1872 г. немският математик Карл Вайерщрас конструира пример за непрекъсната функция, която никъде не може да бъде диференцирана. Конструкцията му обаче беше напълно абстрактна и трудна за разбиране. Затова през 1904 г. шведът Хелге фон Кох излезе с непрекъсната крива, която няма никъде допирателна и е доста лесна за начертаване. Оказа се, че има свойствата на фрактал. Един вариант на тази крива се нарича "снежинка на Кох".

Идеите за самоподобие на фигурите бяха възприети от французина Пол Пиер Леви, бъдещият наставник на Беноа Манделброт. През 1938 г. е публикувана неговата статия „Равнинни и пространствени криви и повърхности, състоящи се от части, подобни на цялото“, която описва друг фрактал - C-кривата на Леви. Всички тези фрактали, изброени по-горе, могат условно да бъдат класифицирани като един клас конструктивни (геометрични) фрактали.

Друг клас са динамичните (алгебрични) фрактали, които включват множеството на Манделброт. Първите изследвания в тази насока започват в началото на 20 век и се свързват с имената на френските математици Гастон Жюли и Пиер Фату. През 1918 г. Джулия публикува мемоари от почти двеста страници за итерации на сложни рационални функции, които описват множествата на Джулия, цяло семейство фрактали, тясно свързани с множеството на Манделброт. Тази работа беше наградена с награда от Френската академия, но не съдържаше нито една илюстрация, така че беше невъзможно да се оцени красотата на откритите обекти. Въпреки факта, че тази работа направи Джулия известна сред математиците от онова време, тя бързо беше забравена. Вниманието отново се насочи към него едва половин век по-късно с появата на компютрите: именно те направиха видимо богатството и красотата на света на фракталите.

Фрактални измерения

Както знаете, измерението (броят измерения) на геометрична фигура е броят на координатите, необходими за определяне на позицията на точка, разположена върху тази фигура.
Например позицията на точка върху крива се определя от една координата, върху повърхност (не непременно равнина) от две координати, а в тримерното пространство от три координати.
От по-обща математическа гледна точка може да се дефинира измерението по следния начин: увеличаване на линейните размери, да речем, с коефициент две, за едномерни (от топологична гледна точка) обекти (сегмент) води до увеличение на размера (дължината) с коефициент два, за двумерните (квадрат) същото увеличение на линейните размери води до увеличаване на размера (площта) с 4 пъти, за триизмерните (куб) - с 8 пъти. Тоест, „реалното“ (т.нар. Хаусдорфово) измерение може да се изчисли като съотношението на логаритъма на увеличението на „размера“ на даден обект към логаритъма на увеличението на неговия линеен размер. Тоест, за сегмент D=log (2)/log (2)=1, за равнина D=log (4)/log (2)=2, за обем D=log (8)/log (2 )=3.
Нека сега изчислим размерността на кривата на Кох, за да конструираме, че единичен сегмент се разделя на три равни части и средният интервал се заменя с равностранен триъгълник без този сегмент. Когато линейните размери на минималния сегмент се увеличат три пъти, дължината на кривата на Кох се увеличава с log (4)/log (3) ~ 1,26. Тоест, размерността на кривата на Кох е дробна!

Наука и изкуство

През 1982 г. излиза книгата на Манделброт „Фракталната геометрия на природата“, в която авторът събира и систематизира почти цялата налична по онова време информация за фракталите и я представя по лесен и достъпен начин. Манделброт поставя основния акцент в изложението си не върху тежките формули и математически конструкции, а върху геометричната интуиция на читателите. Благодарение на илюстрациите, получени с помощта на компютър и исторически истории, с които авторът умело разрежда научния компонент на монографията, книгата се превърна в бестселър, а фракталите станаха известни на широката публика. Техният успех сред нематематиците до голяма степен се дължи на факта, че с помощта на много прости конструкции и формули, които дори гимназист може да разбере, се получават изображения с удивителна сложност и красота. Когато персоналните компютри станаха достатъчно мощни, се появи дори цяла посока в изкуството - фрактална живопис, и почти всеки собственик на компютър можеше да го направи. Сега в интернет можете лесно да намерите много сайтове, посветени на тази тема.

Схема за получаване на кривата на Кох

Война и мир

Както беше отбелязано по-горе, един от природните обекти, които имат фрактални свойства, е бреговата линия. Има едно нещо, свързано с него, или по-точно с опита да се измери дължината му. интересна история, които са в основата научна статияМанделброт и е описано и в книгата му „Фрактална геометрия на природата“. Говорим за експеримент, извършен от Луис Ричардсън, много талантлив и ексцентричен математик, физик и метеоролог. Една от посоките на неговите изследвания беше опитът да се намери математическо описание на причините и вероятността от въоръжен конфликт между две държави. Сред параметрите, които той взе предвид, е дължината на общата граница на двете враждуващи страни. Когато събира данни за числени експерименти, той открива, че данните за общата граница на Испания и Португалия се различават значително от различни източници. Това го доведе до следното откритие: дължината на границите на една държава зависи от линийката, с която ги измерваме. Колкото по-малък е мащабът, толкова по-дълга е границата. Това се дължи на факта, че с по-голямо увеличение става възможно да се вземат предвид все повече и повече нови завои на брега, които преди това бяха игнорирани поради грубостта на измерванията. И ако с всяко увеличаване на мащаба се разкриват неотчетени преди това завои на линии, тогава се оказва, че дължината на границите е безкрайна! Вярно е, че това всъщност не се случва - точността на нашите измервания има крайна граница. Този парадокс се нарича ефект на Ричардсън.

Конструктивни (геометрични) фрактали

Алгоритъмът за конструиране на конструктивен фрактал в общия случай е следният. На първо място, имаме нужда от две подходящи геометрични фигури, нека ги наречем основа и фрагмент. На първия етап се изобразява основата на бъдещия фрактал. След това някои от неговите части се заменят с фрагмент, взет в подходящ мащаб - това е първата итерация на конструкцията. След това получената фигура отново променя някои части на фигури, подобни на фрагмента и т.н. Ако продължим този процес ad infinitum, тогава в границата ще получим фрактал.

Нека да разгледаме този процес, използвайки кривата на Кох като пример (вижте страничната лента на предишната страница). Всяка крива може да се вземе като основа за кривата на Кох (за „снежинката на Кох“ това е триъгълник). Но ние ще се ограничим до най-простия случай - сегмент. Фрагментът е прекъсната линия, показана в горната част на фигурата. След първата итерация на алгоритъма, в този случай оригиналният сегмент ще съвпадне с фрагмента, след което всеки от неговите съставни сегменти сам ще бъде заменен от прекъсната линия, подобна на фрагмента и т.н. Фигурата показва първите четири стъпки от това процес.

На езика на математиката: динамични (алгебрични) фрактали

Фрактали от този тип възникват при изучаване на нелинейни динамични системи (оттук и името). Поведението на такава система може да се опише чрез сложна нелинейна функция (полином) f (z). Нека вземем някаква начална точка z0 на комплексната равнина (вижте страничната лента). Сега разгледайте такава безкрайна последователност от числа на комплексната равнина, всяко следващо от които се получава от предишното: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn ). В зависимост от началната точка z0, такава последователност може да се държи различно: да клони към безкрайност като n -> ∞; сближават се до някаква крайна точка; циклично приемат поредица от фиксирани стойности; Възможни са и по-сложни варианти.

Комплексни числа

Комплексно число е число, състоящо се от две части - реална и имагинерна, тоест формалната сума x + iy (тук x и y са реални числа). аз съм т.нар имагинерна единица, т.е. число, което удовлетворява уравнението i^ 2 = -1. Дефинирани са основните математически операции върху комплексни числа: събиране, умножение, деление, изваждане (не е дефинирана само операцията за сравнение). За показване на комплексни числа често се използва геометрично представяне - на равнината (нарича се комплексно), реалната част се нанася по абсцисната ос, а имагинерната част се нанася по ординатната ос, а комплексното число ще съответства на точка с декартови координати x и y.

Така всяка точка z от комплексната равнина има собствено поведение по време на итерации на функцията f (z) и цялата равнина е разделена на части. Освен това точките, лежащи на границите на тези части, имат следното свойство: при произволно малко изместване естеството на тяхното поведение се променя рязко (такива точки се наричат ​​точки на бифуркация). И така, оказва се, че набори от точки, които имат един специфичен тип поведение, както и набори от бифуркационни точки, често имат фрактални свойства. Това са множествата на Джулия за функцията f (z).

Драконово семейство

Чрез промяна на основата и фрагмента можете да получите зашеметяващо разнообразие от конструктивни фрактали.
Освен това подобни операции могат да се извършват в триизмерно пространство. Примери за обемни фрактали включват „гъбата на Менгер“, „пирамидата на Серпински“ и други.
Драконовото семейство също се счита за конструктивен фрактал. Понякога те се наричат ​​​​на името на откривателите си "дракони Хеви-Хартър" (по своята форма те приличат на китайски дракони). Има няколко начина за изграждане на тази крива. Най-простият и визуален от тях е следният: трябва да вземете доста дълга лента хартия (колкото по-тънка е хартията, толкова по-добре) и да я огънете наполовина. След това го огънете отново наполовина в същата посока, както първия път. След няколко повторения (обикновено след пет или шест сгъвания лентата става твърде дебела, за да бъде леко огъната по-нататък), трябва да огънете лентата назад и да се опитате да създадете 90˚ ъгли в гънките. Тогава в профил ще получите извивката на дракон. Разбира се, това ще бъде само приблизително, както всички наши опити да изобразим фрактални обекти. Компютърът позволява да се изобразят още много стъпки от този процес, а резултатът е много красива фигура.

Наборът на Манделброт е конструиран малко по-различно. Да разгледаме функцията fc (z) = z 2 +c, където c е комплексно число. Нека построим последователност от тази функция с z0=0; в зависимост от параметъра c тя може да се отклони до безкрайност или да остане ограничена. Освен това всички стойности на c, за които тази последователност е ограничена, образуват множеството на Манделброт. Той е проучен подробно от самия Манделброт и други математици, които откриват много интересни свойства на това множество.

Може да се види, че дефинициите на множествата на Джулия и Манделброт са подобни една на друга. Всъщност тези два набора са тясно свързани. А именно, множеството на Манделброт е всички стойности на комплексния параметър c, за които множеството на Джулия fc (z) е свързано (множество се нарича свързано, ако не може да бъде разделено на две несвързани части, с някои допълнителни условия).

Фрактали и живот

В наши дни теорията за фракталите открива широко приложениев различни области на човешката дейност. В допълнение към чисто научен обект за изследване и вече споменатото фрактално рисуване, фракталите се използват в теорията на информацията за компресиране на графични данни (тук се използва главно свойството на фракталите за самоподобие - в крайна сметка, за да запомните малък фрагмент от картина и трансформациите, с които можете да получите останалите части, изискват много по-малко памет, отколкото за съхраняване на целия файл). Чрез добавяне на произволни смущения към формулите, които определят фрактала, можете да получите стохастични фрактали, които много правдоподобно предават някои реални обекти - релефни елементи, повърхността на резервоари, някои растения, което се използва успешно във физиката, географията и компютърната графика за постигане на по-големи сходство на симулирани обекти с реални. В радиоелектрониката през последното десетилетие започнаха да се произвеждат антени с фрактална форма. Заемайки малко място, те осигуряват висококачествено приемане на сигнала. Икономистите използват фрактали, за да опишат кривите на валутните колебания (това свойство е открито от Манделброт преди повече от 30 години). Това завършва тази кратка екскурзия в удивително красивия и разнообразен свят на фракталите.

Хаосът е ред, който трябва да бъде дешифриран.

Хосе Сарамаго, "Двойникът"

„За бъдещите поколения двадесети век ще бъде запомнен само със създаването на теориите за относителността, квантовата механика и хаоса... теорията на относителността разпръсна илюзиите на Нютон за абсолютното пространство-време, квантова механикаразсея мечтата за детерминизма на физическите събития и накрая хаосът развенча фантазията на Лаплас за пълната предопределеност на развитието на системите. Тези думи на известния американски историк и популяризатор на науката Джеймс Глейк отразяват огромната важност на проблема, който е само накратко засегнат в предоставената на вниманието на читателя статия. Нашият свят възникна от хаоса. Но ако хаосът не се подчиняваше на собствените си закони, ако в него нямаше специална логика, той не би могъл да генерира нищо.

Новото е добре забравено старо

Нека цитирам още един от Gleick:

Мисълта за вътрешната прилика, че голямото може да се вложи в малкото, отдавна е галила човешката душа... Според Лайбниц в една капка вода е целият свят, искрящ от цветове, където искрят водни пръски и живеят други непознати вселени . „Вижте света в песъчинка“, призова Блейк и някои учени се опитаха да последват заповедта му. Първите изследователи на семенната течност са склонни да виждат във всеки сперматозоид нещо като хомункулус, тоест малък, но напълно оформен човек.

Ретроспективата на подобни възгледи може да бъде обърната много по-навътре в историята. Един от основните принципи на магията - неразделна част от развитието на всяко общество - е постулатът: частта е подобна на цялото. Проявяваше се в такива действия като погребване на черепа на животно вместо цялото животно, модел на колесница вместо самата колесница и т.н. Запазвайки черепа на прародител, роднините вярваха, че той продължава да живее до тях и да участват в техните дела.

Дори древногръцкият философ Анаксагор разглежда първичните елементи на Вселената като частици, подобни на други частици от цялото и самото цяло, „безкрайно както в множеството, така и в малкото“. Аристотел характеризира елементите на Анаксагор с прилагателното „подобни на части“.

И нашият съвременник, американският кибернетик Рон Еглаш, изследвайки културата на африканските племена и южноамериканските индианци, направи откритие: от древни времена някои от тях са използвали фрактални принципи на конструкция в орнаменти, модели, прилагани върху дрехи и предмети от бита, в бижута , ритуални церемонии и дори в архитектурата. Така структурата на селата на някои африкански племена е кръг, в който има малки кръгове - къщи, вътре в които има още по-малки кръгове - къщи на духове. За други племена, вместо кръгове, други фигури служат като архитектурни елементи, но те също се повтарят в различни мащаби, подчинени на една структура. Освен това тези принципи на строителство не бяха просто имитиране на природата, а бяха в съответствие със съществуващия светоглед и социална организация.

Изглежда, че нашата цивилизация се е отдалечила далеч от примитивното съществуване. Ние обаче продължаваме да живеем в същия свят, все още сме заобиколени от природата, живееща според собствените си закони, въпреки всички човешки опити да я приспособи към нашите нужди. И самият човек (да не забравяме за това) остава част от тази природа.

Герт Айленбергер, немски физик, който започва да изучава нелинейността, веднъж отбеляза:

Защо силуетът на голо дърво, огънато под натиска на бурен вятър на фона на мрачно зимно небе, се възприема като красив, но очертанията на модерна многофункционална сграда, въпреки всички усилия на архитекта, не изглеждат така всичко? Струва ми се, че... чувството ни за красота се „подхранва“ от хармонична комбинация от ред и безпорядък, която може да се наблюдава в природните явления: облаци, дървета, планински веригиили снежинкови кристали. Всички подобни контури са замразени динамични процеси физически форми, като за тях е характерна комбинация от стабилност и хаос.

В началото на теорията за хаоса

Какво имаме предвид под хаос? Невъзможността да се предвиди поведението на системата, случайни скокове в различни посоки, които никога няма да се превърнат в подредена последователност.

Първият изследовател на хаоса е френският математик, физик и философ Анри Поанкаре. Още в края на 19 век. Докато изучаваше поведението на система с три гравитационно взаимодействащи тела, той забеляза, че може да има непериодични орбити, които постоянно нито се отдалечават от определена точка, нито се приближават към нея.

Традиционните методи на геометрията, широко използвани в естествените науки, се основават на приближаване на структурата на обекта, който се изследва геометрични форми, например линии, равнини, сфери, чиито метрични и топологични измерения са еднакви. В повечето случаи свойствата на изследвания обект и неговото взаимодействие с околната среда се описват с интегрални термодинамични характеристики, което води до загуба на значителна част от информацията за системата и нейното заместване с повече или по-малко адекватен модел. Най-често такова опростяване е напълно оправдано, но има много ситуации, при които използването на топологично неадекватни модели е неприемливо. Пример за подобно несъответствие беше даден в неговия докторска дисертация(сега доктор на химическите науки) Владимир Константинович Иванов: открива се чрез измерване на площта на развита (например пореста) повърхност твърди веществаизползване на сорбционни методи, които записват адсорбционни изотерми. Оказа се, че размерът на площта зависи от линейния размер на "измерващите" молекули не квадратично, което би се очаквало от най-прости геометрични съображения, а с степен, понякога много близка до три.

Прогнозата за времето е един от проблемите, с които човечеството се бори от древни времена. Има известен виц на тази тема, където прогнозата за времето се предава по верига от шаман - до еленовъд, след това до геолог, след това до редактор на радиопрограма и накрая кръгът се затваря тъй като се оказва, че шаманът е научил прогнозата от радиото. Описанието на такава сложна система като времето, с много променливи, не може да се сведе до прости модели. Този проблем постави началото на използването на компютри за моделиране на нелинейни динамични системи. Един от основателите на теорията на хаоса, американският метеоролог и математик Едуард Нортън Лоренц посвети много години на проблема с прогнозирането на времето. Още през 60-те години на миналия век, опитвайки се да разбере причините за ненадеждността на прогнозите за времето, той показа, че състоянието на сложна динамична система може до голяма степен да зависи от първоначалните условия: лека промяна в един от многото параметри може радикално да се промени очаквания резултат. Лоренц нарече тази зависимост ефект на пеперудата: „Пърхането на крилете на молец в Пекин днес може да предизвика ураган в Ню Йорк след месец.“ Работата му върху общата циркулация на атмосферата му донесе слава. Изучавайки системата от уравнения с три променливи, описващи процеса, Лоренц изобразява графично резултатите от своя анализ: линиите на графиката представляват координатите на точките, определени от решенията в пространството на тези променливи (фиг. 1). Получената двойна спирала, т.нар Лоренцов атрактор(или „странен атрактор“), изглеждаше като нещо безкрайно объркващо, но винаги намиращо се в определени граници и никога не повтарящо се. Движението в атрактора е абстрактно (променливите могат да бъдат скорост, плътност, температура и т.н.), но въпреки това предава характеристиките на реални физически явления, като движение на водно колело, конвекция в затворен контур, излъчване от едномодов лазер, разсейващ хармонични вибрации(чиито параметри играят ролята на съответни променливи).

От хилядите публикации, съставляващи специализираната литература по проблема за хаоса, едва ли някоя е била цитирана по-често от статията на Лоренц от 1963 г. „Детерминистичен непериодичен поток“. Въпреки че компютърното моделиране вече е превърнало прогнозирането на времето от „изкуство в наука“ по време на тази работа, дългосрочните прогнози все още са ненадеждни и ненадеждни. Причината за това беше същият ефект на пеперудата.

През същите 60-те години математикът Стивън Смаил от Калифорнийския университет събра изследователска група от млади съмишленици в Бъркли. Преди това той беше награден с медал на Филдс за своите изключителни изследвания в топологията. Смейл изучава динамични системи, по-специално нелинейни хаотични осцилатори. За да възпроизведе целия безпорядък на осцилатора на ван дер Пол във фазовото пространство, той създаде структура, известна като „подкова“ - пример за динамична система, която има хаотична динамика.

„Подкова“ (фиг. 2) е точен и видим образ на силна зависимост от началните условия: никога няма да познаете къде ще бъде началната точка след няколко итерации. Този пример беше тласък за изобретяването на „дифеоморфизмите на Аносов“ от руския математик, специалист по теория на динамичните системи и диференциални уравнения, диференциална геометрия и топология, Дмитрий Викторович Аносов. По-късно от тези две произведения израства теорията на хиперболичните динамични системи. Отне десетилетие, преди работата на Смейл да привлече вниманието на други дисциплини. „Когато това се случи, физиците разбраха, че Смаил е обърнал цял клон на математиката реалния свят» .

През 1972 г. математикът от Университета на Мериленд Джеймс Йорк прочита гореспоменатата статия на Лоренц и тя го изненадва. Йорк видя в статията жив физически модел и смяташе за свой свещен дълг да предаде на физиците това, което те не бяха видели в трудовете на Лоренц и Смаил. Той препрати копие от статията на Лоренц на Смаил. Той беше изумен да открие, че неизвестен метеоролог (Лоренц) десет години по-рано е открил разстройството, което той самият някога е смятал за математически невероятно, и е изпратил копия до всичките си колеги.

Биологът Робърт Мей, приятел на Йорк, изучаваше промените в животинските популации. Мей последва стъпките на Пиер Верхлюст, който през 1845 г. обърна внимание на непредсказуемостта на промените в броя на животните и стигна до извода, че темпът на нарастване на популацията не е постоянна стойност. С други думи, процесът се оказва нелинеен. Мей се опита да улови какво се случва с населението, когато колебанията в коефициента на растеж се доближат до определена критична точка (точка на бифуркация). Променяйки стойностите на този нелинеен параметър, той открива, че са възможни фундаментални промени в самата същност на системата: увеличаването на параметъра означава увеличаване на степента на нелинейност, което от своя страна променя не само количествената , но и качествените характеристики на резултата. Подобна операция повлия както на крайната стойност на размера на населението, което е в равновесие, така и на способността му да постигне като цяло последното. При определени условия периодичността отстъпи място на хаоса, колебанията, които никога не затихваха.

Йорк математически анализира описаните явления в своята работа, доказвайки, че във всяка едномерна система се случва следното: ако се появи редовен цикъл с три вълни (плавни покачвания и спадове в стойностите на всеки параметър), тогава в бъдеще системата ще започне да демонстрира как редовни цикли с всяка друга продължителност и напълно хаотични. (Както се оказа няколко години след публикуването на статията в международна конференцияв Източен Берлин съветският (украински) математик Александър Николаевич Шарковски е малко по-напред от Йорк в своите изследвания). Йорк написа статия за известното научно издание American Mathematical Monthly. Йорк обаче постигна нещо повече от просто математически резултат: той демонстрира на физиците, че хаосът е вездесъщ, стабилен и структуриран. Той даде основание да се смята, че сложните системи, традиционно описвани с трудни за решаване диференциални уравнения, могат да бъдат представени с помощта на визуални графики.

Мей се опита да привлече вниманието на биолозите към факта, че животинските популации преживяват повече от просто подредени цикли. По пътя към хаоса възниква цяла каскада от удвояване на периода. Именно в точките на бифуркация известно увеличение на плодовитостта на индивидите може да доведе например до промяна в четиригодишния популационен цикъл цигански молецосемгодишен. Американецът Мичъл Фейгенбаум реши да започне с изчисляване на точните стойности на параметъра, който е довел до такива промени. Неговите изчисления показаха, че няма значение каква е първоначалната популация - тя все още постоянно се приближава към атрактора. След това, с първото удвояване на периодите, атракторът, подобно на деляща се клетка, се раздвоява. Тогава се случи следващото умножение на периодите и всяка атракторна точка започна да се дели отново. Числото - инвариант, получен от Фейгенбаум - му позволява да предвиди кога точно ще се случи това. Ученият открива, че може да предвиди този ефект за най-сложния атрактор - на две, четири, осем точки... Говорейки на езика на екологията, той може да предвиди действителната численост, която се постига в популациите при годишните флуктуации. Така Фейгенбаум открива „каскадата на удвояване на периода“ през 1976 г., надграждайки работата на Мей и неговите изследвания върху турбулентността. Неговата теория отразява природен закон, който се прилага за всички системи, които преминават от подредено състояние към хаос. Йорк, Мей и Фейгенбаум бяха първите на Запад, които разбраха напълно важността на удвояването на периода и успяха да предадат тази идея на всички научна общност. Мей заяви, че хаосът трябва да се преподава.

Съветските математици и физици напредват в своите изследвания независимо от своите чуждестранни колеги. Изследването на хаоса започва с работата на А. Н. Колмогоров през 50-те години. Но идеите на чуждестранни колеги не останаха незабелязани. За пионери на теорията на хаоса се смятат съветските математици Андрей Николаевич Колмогоров и Владимир Игоревич Арнолд и немският математик Юрген Мозер, които изграждат теорията на хаоса, наречена КАМ (теория на Колмогоров-Арнолд-Мозер). Друг наш изключителен сънародник, блестящият физик и математик Яков Григориевич Синай, приложи съображения, подобни на „подковата на Малко“ в термодинамиката. Веднага след като западните физици се запознават с работата на Лоренц през 70-те години, тя става известна в СССР. През 1975 г., докато Йорк и Мей все още полагат значителни усилия да привлекат вниманието на своите колеги, Синай и неговите другари организират изследователска група в Горки, за да проучат този проблем.

През миналия век, когато тясната специализация и разделянето на различни дисциплини стана норма в науката, математици, физици, биолози, химици, физиолози и икономисти се бореха с подобни проблеми, без да се чуват. Идеите, които изискват промяна в обичайния мироглед, винаги трудно намират своя път. Постепенно обаче стана ясно, че такива неща като промени в животинските популации, колебания в пазарните цени, промени във времето, разпределение на небесните тела по размер и много, много повече, са обект на същите модели. „Осъзнаването на този факт принуди мениджърите да преразгледат отношението си към застраховането, астрономите - да погледнат слънчева система, политиците - да променят мнението си за причините за въоръжените конфликти."

До средата на 80-те години ситуацията се промени значително. Идеите на фракталната геометрия обединиха учени, които бяха озадачени от собствените си наблюдения и не знаеха как да ги интерпретират. За изследователите на хаоса математиката се превърна в експериментална наука и компютрите замениха лабораториите. Графичните изображения станаха от първостепенно значение. Новата наука даде на света специален език, нови понятия: фазов портрет, атрактор, бифуркация, разрез на фазовото пространство, фрактал...

Беноа Манделброт, опирайки се на идеите и работата на своите предшественици и съвременници, показа, че такива сложни процеси като растежа на едно дърво, образуването на облаци, вариациите в икономическите характеристики или размера на животинските популации се управляват от по същество подобни закони на природата . Това са определени модели, според които живее хаосът. От гледна точка на естествената самоорганизация те са много по-прости от познатите на цивилизованите хора изкуствени форми. Те могат да се считат за сложни само в контекста на евклидовата геометрия, тъй като фракталите се определят чрез определяне на алгоритъм и следователно могат да бъдат описани с помощта на малко количество информация.

Фрактална геометрия на природата

Нека се опитаме да разберем какво е фрактал и с какво се яде. И вие наистина можете да ядете някои от тях, като типичния представител, показан на снимката.

Слово фракталидва от латински фрактус -смачкан, счупен, натрошен на парчета. Фракталът е математическо множество, което има свойството на самоподобие, т.е. мащабна инвариантност.

Терминът "фрактал" е измислен от Манделброт през 1975 г. и придобива широка популярност с публикуването на книгата му от 1977 г. "Фракталната геометрия на природата". „Дайте на чудовището някакво уютно, родно име и ще се изненадате колко по-лесно ще бъде да го опитомите!“ - каза Манделброт. Това желание да се направят изследваните обекти (математически множества) близки и разбираеми доведе до раждането на нови математически термини, като напр. прах, извара, серум, ясно демонстриращи дълбоката им връзка с природните процеси.

Математическата концепция за фрактал идентифицира обекти, които имат структури от различни мащаби, както големи, така и малки, и по този начин отразява йерархичния принцип на организация. Разбира се, различни клони на едно дърво, например, не могат да бъдат точно подравнени един спрямо друг, но могат да се считат за подобни по статистически казано. По същия начин формите на облаците, очертанията на планините, линията на морския бряг, моделът на пламъците, съдовата система, дерета, светкавици, гледани в различни мащаби, изглеждат подобни. Въпреки че тази идеализация може да е опростяване на реалността, тя значително увеличава дълбочината на математическото описание на природата.

Манделброт въвежда концепцията за „естествен фрактал“, за да обозначи естествени структури, които могат да бъдат описани с помощта на фрактални множества. Тези природни обекти включват елемент на случайност. Теорията, създадена от Манделброт, дава възможност да се опишат количествено и качествено всички онези форми, които преди са били наричани заплетени, вълнообразни, груби и т.н.

Динамичните процеси, обсъдени по-горе, така наречените процеси на обратна връзка, възникват в различни физически и математически проблеми. Всички те имат едно общо нещо - съревнование между няколко центъра (наречени „привличащи“) за господство в равнината. Състоянието, в което се намира системата след определен брой итерации, зависи от нейното „начално място“. Следователно всеки атрактор съответства на определена област от начални състояния, от които системата задължително ще попадне в разглежданото крайно състояние. По този начин фазовото пространство на системата (абстрактното пространство от параметри, свързани с конкретна динамична система, точките, в които уникално характеризират всички нейни възможни състояния) се разделя на зони на привличанеатрактори. Има едно своеобразно връщане към динамиката на Аристотел, според която всяко тяло се стреми към определеното му място. Прости граници между " прилежащи територии" в резултат на такова съперничество рядко възникват. Именно в тази гранична зона се извършва преходът от една форма на съществуване към друга: от ред към хаос. Обща формаИзразът за динамичния закон е много прост: x n+1 → f x n C . Цялата трудност се крие в нелинейната връзка между първоначалната стойност и резултата. Ако стартирате итеративен процес от посочения тип от някаква произволна стойност \(x_0\), тогава неговият резултат ще бъде последователността \(x_1\), \(x_2\), ..., която или ще се сближи до някакво ограничаване стойност \(X\) , стремейки се към състояние на покой, той или ще стигне до определен цикъл от стойности, които ще се повтарят отново и отново, или ще се държи хаотично и непредсказуемо през цялото време. Именно такива процеси са изследвани от френските математици Гастон Юлия и Пиер Фато по време на Първата световна война.

Изучавайки наборите, които са открили, Манделброт през 1979 г. стига до изобразяване на изображение в сложната равнина, което е, както ще стане ясно от това, което следва, един вид съдържание на цял клас форми, наречени множества на Юлия. Множеството на Джулия е набор от точки, възникващи в резултат на итерация на квадратичната трансформация: x n → x n−1 2 + C, динамиката в близост до която е нестабилна по отношение на малки смущения на първоначалната позиция. Всяка следваща стойност на \(x\) се получава от предишната; се нарича комплексно число \(C\). контролен параметър. Поведението на поредицата от числа зависи от параметъра \(C\) и началната точка \(x_0\). Ако коригираме \(C\) и променим \(x_0\) в полето на комплексните числа, получаваме набора на Юлия. Ако фиксираме \(x_0\) = 0 и променим \(C\), получаваме множеството на Манделброт (\(M\)). Той ни казва какъв набор от Julia трябва да очакваме за определен избор на \(C\). Всяко комплексно число \(C\) или принадлежи към областта \(M\) (черно на фиг. 3), или не принадлежи. \(C\) принадлежи на \(M\) тогава и само ако "критичната точка" \(x_0\) = 0 не клони към безкрайност. Множеството \(M\) се състои от всички точки \(C\), които са асоциирани със свързани множества на Julia, но ако точка \(C\) лежи извън множеството \(M\), множеството на Julia, свързано с нея, е прекъснат. Границата на множеството \(M\) определя момента на математическия фазов преход за множествата на Джулия x n → x n−1 2 + C . Когато параметърът \(C\) напусне \(M\), множествата Julia губят своята свързаност, образно казано, експлодират и се превръщат в прах. Качественият скок, който се случва на границата \(M\), също засяга региона, съседен на границата. Сложната динамична структура на граничната област може да бъде приблизително показана чрез боядисване (условно) в различни цветове на зоните с едно и също време на "бягане до безкрайност на началната точка \(x_0\) = 0". Тези стойности на \(C\) (един нюанс), за които критичната точка изисква даден брой итерации да бъде извън кръга с радиус \(N\), запълват празнината между двете линии. С наближаването на границата \(M\), необходимият брой повторения се увеличава. Точката е все по-често принудена да се скита по криволичещи пътеки близо до снимачната площадка на Джулия. Комплектът Манделброт олицетворява процеса на преход от ред към хаос.

Интересно е да се проследи пътят, който Манделброт е извървял до своите открития. Беноа е роден във Варшава през 1924 г., през 1936 г. семейството емигрира в Париж. След като завършва Политехническото училище и след това университета в Париж, Манделброт се премества в САЩ, където учи и в Калифорнийския технологичен институт. През 1958 г. той започва работа в изследователския център на IBM в Йорктаун. Въпреки чисто приложната дейност на компанията, позицията му позволяваше да провежда изследвания в различни области. Работейки в областта на икономиката, младият специалист започва да изучава статистиката на цените на памука за дълъг период от време (повече от 100 години). Анализирайки симетрията на дългосрочните и краткосрочните колебания на цените, той забеляза, че тези колебания през деня изглеждат случайни и непредвидими, но последователността на тези промени не зависи от мащаба. За да реши този проблем, той първо използва своите разработки на бъдещата фрактална теория и графичен дисплейизследвани процеси.

Интересувайки се от различни области на науката, Манделброт се насочва към математическата лингвистика, след това идва ред на теорията на игрите. Той също така предложи свой собствен подход към икономиката, като посочи подредеността на мащаба в разпространението на малки и големи градове. Докато изучава малко известен труд на английския учен Луис Ричардсън, публикуван след смъртта на автора, Манделброт се сблъсква с феномена на бреговата линия. В статията "Колко дълга е бреговата линия на Обединеното кралство?" той подробно изследва този въпрос, над който малцина са се замисляли досега, и стига до неочаквани заключения: дължината на бреговата линия е... безкрайност! Колкото по-точно се опитвате да го измерите, толкова по-голяма става стойността му!

За да опише такива явления, Манделброт излезе с идеята за измерение. Фракталната размерност на даден обект служи като количествена характеристика на една от неговите характеристики, а именно запълването на пространството.

Дефиницията на концепцията за фрактално измерение датира от работата на Феликс Хаусдорф, публикувана през 1919 г., и окончателно е формулирана от Абрам Самойлович Бесикович. Фракталното измерение е мярка за детайлност, счупване и неравности на фрактален обект. В евклидовото пространство топологичната размерност винаги се определя от цяло число (размерността на точка е 0, права е 1, равнина е 2, обемно тяло е 3). Ако проследите например проекцията върху равнината на движение на браунова частица, която изглежда се състои от прави сегменти, т.е. има размерност 1, много скоро ще се окаже, че нейната следа запълва почти цялата равнина. Но размерността на равнината е 2. Несъответствието между тези количества ни дава право да класифицираме тази „крива“ като фрактал и да наречем нейното междинно (дробно) измерение фрактал. Ако вземем предвид хаотично движениечастици в обема, фракталното измерение на траекторията ще бъде по-голямо от 2, но по-малко от 3. Човешките артерии, например, имат фрактално измерение приблизително 2,7. Резултатите на Иванов, споменати в началото на статията, свързани с измерването на площта на порите на силикагела, които не могат да бъдат интерпретирани в рамките на конвенционалните евклидови концепции, намират разумно обяснение при използването на теорията на фракталите.

И така, от математическа гледна точка, фракталът е набор, за който измерението на Хаусдорф-Безикович е строго по-голямо от неговото топологично измерение и може да бъде (и най-често е) дробно.

Трябва специално да се подчертае, че фракталното измерение на даден обект не описва неговата форма и обекти, които имат едно и също измерение, но генерирани от различни механизми на образуване, често са напълно различни един от друг. Физическите фрактали са по-скоро статистически самоподобни.

Фракционното измерване позволява изчисляването на характеристики, които не могат да бъдат ясно определени по друг начин: степента на неравности, прекъсване, грапавост или нестабилност на даден обект. Например една криволичеща брегова ивица, въпреки неизмеримата си дължина, има грапавост, която е уникална за нея. Манделброт посочи начини за изчисляване на частични измервания на обекти в заобикалящата реалност. При създаването на своята геометрия той изложи закон за неподредените форми, които се срещат в природата. Законът гласеше: степента на нестабилност е постоянна в различни мащаби.

Специален вид фрактали са времеви фрактали. През 1962 г. Манделброт е изправен пред задачата да елиминира шума в телефонните линии, който причинява проблеми на компютърните модеми. Качеството на предаване на сигнала зависи от вероятността от възникване на грешки. Инженерите се бориха с проблема за намаляване на шума, измисляйки озадачаващи и скъпи техники, но не постигнаха впечатляващи резултати. Въз основа на работата на основателя на теорията на множествата Георг Кантор, Манделброт показа, че появата на шум - продукт на хаоса - не може да бъде избегната по принцип, следователно предложените методи за справяне с тях няма да донесат резултати. В търсене на модел в появата на шума, той получава „прах от Кантор“ - фрактална последователност от събития. Интересното е, че разпределението на звездите в Галактиката следва същите модели:

„Материята“, равномерно разпределена по протежение на инициатора (единичен сегмент от времевата ос), е изложена на центробежен вихър, който я „помита“ до крайните трети на интервала... Подсирванеможе да се нарече всяка каскада от нестабилни състояния, водеща в крайна сметка до удебеляване на материята, и терминът извараможе да определи обема, в който определена физическа характеристика става - в резултат на подсирването - изключително концентрирана.

Хаотични явления като атмосферна турбуленция, подвижност на земната кора и т.н. показват подобно поведение в различни времеви мащаби, точно както обекти с инвариантен мащаб показват подобни структурни модели в различни пространствени мащаби.

Като пример ще дадем няколко типични ситуации, в които е полезно да се използват идеи за фрактална структура. Професорът от Колумбийския университет Кристофър Шолц специализира в изучаването на формата и структурата на твърдата материя на Земята и изучава земетресенията. През 1978 г. той прочита книгата на Манделброт „Фрактали: форма, произволност и измерение“ » и се опита да приложи теорията към описанието, класификацията и измерването на геофизични обекти. Шолц установи, че фракталната геометрия предоставя на науката ефективен методописания на специфичния буст пейзаж на Земята. Фракталното измерение на ландшафта на планетата отваря вратата към разбирането на нейните най-важни характеристики. Металурзите са открили същото в друг мащаб - върху повърхностите на различни видове стомана. По-специално, фракталното измерение на метална повърхност често позволява да се прецени нейната здравина. Огромен брой фрактални обекти предизвикват явлението кристализация. Най-разпространеният тип фрактали, които възникват по време на растежа на кристалите, са дендритите, те са изключително широко разпространени в живата природа. Ансамбли от наночастици често демонстрират прилагането на "прах на Леви". Тези възли се комбинират с абсорбирания разтворител, за да образуват прозрачни компакти - стъкла на Lewy, потенциално важни фотонни материали.

Тъй като фракталите не се изразяват в първични геометрични форми, а в алгоритми, набори от математически процедури, ясно е, че тази област на математиката започва да се развива с големи скокове заедно с появата и развитието на мощни компютри. Хаосът от своя страна породи нови компютърни технологии, специална графична технология, която е способна да възпроизвежда удивителни структури с невероятна сложност, генерирани от определени видове безпорядък. В ерата на интернет и персоналните компютри това, което беше доста трудно по времето на Манделброт, стана лесно достъпно за всеки. Но най-важното нещо в неговата теория беше, разбира се, не сътворението красиви снимки, но заключението е, че този математически апарат е подходящ за описание на сложни природни явления и процеси, които досега изобщо не са били разглеждани в науката. Репертоарът от алгоритмични елементи е неизчерпаем.

След като овладеете езика на фракталите, можете да опишете формата на облак толкова ясно и просто, колкото архитектът описва сграда, използвайки чертежи, които използват езика на традиционната геометрия.<...>Изминаха само няколко десетилетия, откакто Беноа Манделброт заяви: „Геометрията на природата е фрактална!“ Днес вече можем да приемем много повече, а именно, че фракталността е основният принцип на изграждане на всички природни обекти без изключение.

В заключение, позволете ми да представя на вашето внимание набор от снимки, илюстриращи това заключение, и фрактали, конструирани с помощта на компютърна програма Изследовател на фрактали. Следващата ни статия ще бъде посветена на проблема с използването на фрактали във физиката на кристалите.

Post Scriptum

От 1994 г. до 2013 г. е публикуван уникален труд на местни учени „Атлас на времевите вариации в естествените антропогенни и социални процеси“ в пет тома - несравним източник на материали, който включва данни за мониторинг на космоса, биосферата, литосферата, атмосферата, хидросферата , социални и техногенни сфери и сфери, свързани със здравето и качеството на живот на човека. В текста се представят детайли на данните и резултатите от тяхната обработка и се сравняват характеристиките на динамиката на динамичните редове и техните фрагменти. Единното представяне на резултатите дава възможност за получаване на сравними резултати за идентифициране на общи и индивидуални характеристики на динамиката на процесите и причинно-следствените връзки между тях. Експерименталният материал показва, че процесите в различни области са, първо, сходни и второ, повече или по-малко свързани помежду си.

И така, атласът обобщава резултатите от интердисциплинарни изследвания и представя сравнителен анализ на напълно различни данни в широк диапазон от време и пространство. Книгата показва, че „процесите, протичащи в земните сфери, са причинени от Голям бройвзаимодействащи фактори, които предизвикват различни реакции в различни области (и по различно време), което говори за „необходимостта от интегриран подход към анализа на геодинамични, космически, социални, икономически и медицински наблюдения“. Остава да изразим надежда, че тази фундаментално важна работа ще бъде продължена.

Както стана ясно в последните десетилетия(във връзка с развитието на теорията за самоорганизацията), самоподобието се открива в голямо разнообразие от обекти и явления. Например, самоподобие може да се наблюдава в клоните на дърветата и храстите, при деленето на оплодена зигота, снежинки, ледени кристали, по време на развитието икономически системи, в структурата на планинските системи, облаци.

Всички изброени обекти и подобни на тях са фрактални по структура. Тоест, те имат свойствата на самоподобие или инвариантност на мащаба. Това означава, че някои фрагменти от структурата им се повтарят строго през определени пространствени интервали. Очевидно е, че тези обекти могат да бъдат от всякакво естество и техният вид и форма остават непроменени, независимо от мащаба. Както в природата, така и в обществото, самоповторението се среща в доста голям мащаб. Така облакът повтаря своята накъсана структура от 10 4 m (10 km) до 10 -4 m (0,1 mm). Разклоняването се повтаря при дървета от 10 -2 до 10 2 м. Срутените материали, които генерират пукнатини, също повтарят своето самоподобие в няколко мащаба. Снежинка, която падне върху ръката ти, се топи. В периода на топене, преход от една фаза към друга, снежинка-капка също е фрактал.

Фракталът е обект с безкрайна сложност, който ви позволява да видите не по-малко детайли отблизо, отколкото отдалеч. Класически пример за това е Земята. От космоса изглежда като топка. Докато го приближаваме, ще открием океани, континенти, брегови линии и планински вериги. По-късно ще се появят по-фини детайли: парче земя на повърхността на планината, толкова сложно и неравномерно, колкото самата планина. Тогава ще се появят малки частици почва, всяка от които сама по себе си е фрактален обект

Фракталът е нелинейна структура, която поддържа самоподобие, когато се увеличава или намалява безкрайно. Само при малки дължини нелинейността се трансформира в линейност. Това се проявява особено ясно в математическата процедура на диференциране.

По този начин можем да кажем, че фракталите като модели се използват в случаите, когато реален обект не може да бъде представен под формата на класически модели. Това означава, че имаме работа с нелинейни връзки и недетерминиран характер на данните. Нелинейността в идеологически смисъл означава многовариантност на пътищата на развитие, наличие на избор от алтернативни пътища и определен темп на еволюция, както и необратимост на еволюционните процеси. В математически смисъл нелинейността е определен вид математически уравнения (нелинейни диференциални уравнения), съдържащи желаните величини в степени по-големи от единица или коефициенти в зависимост от свойствата на средата. Тоест, когато прилагаме класически модели (например тренд, регресия и т.н.), казваме, че бъдещето на обекта е еднозначно определено. И ние можем да го предвидим, като знаем миналото на обекта (първоначални данни за моделиране). А фракталите се използват в случаите, когато даден обект има няколко възможности за развитие и състоянието на системата се определя от позицията, в която се намира в момента. Тоест, опитваме се да симулираме хаотично развитие.

Когато говорят за детерминизма на определена система, те имат предвид, че нейното поведение се характеризира с недвусмислена причинно-следствена връзка. Тоест, знаейки началните условия и закона за движение на системата, можете точно да предвидите нейното бъдеще. Именно тази идея за движение във Вселената е характерна за класическата, Нютонова динамика. Хаосът, напротив, предполага хаотичен, случаен процес, когато ходът на събитията не може нито да бъде предвиден, нито възпроизведен.

Хаосът се генерира от собствената динамика на нелинейна система - способността й експоненциално бързо да разделя произволно близки траектории. В резултат на това формата на траекториите зависи много от началните условия. При изучаване на системи, които на пръв поглед се развиват хаотично, често се използва теорията на фракталите, т.к. Именно този подход ни позволява да видим определена закономерност в появата на „случайни“ отклонения в развитието на системата.

Изследването на естествените фрактални структури ни дава възможност да разберем по-добре процесите на самоорганизация и развитие на нелинейните системи. Вече разбрахме, че естествените фрактали с различни криволичещи линии се срещат навсякъде около нас. Това е морският бряг, дърветата, облаците, светкавицата, металната конструкция, човешката нервна или съдова система. Тези сложни линии и грапави повърхности се появиха в полезрението научно изследване, защото природата ни показа напълно различно ниво на сложност, отколкото в идеалните геометрични системи. Изследваните структури се оказаха самоподобни в пространствено-времеви аспекти. Те безкрайно се самовъзпроизвеждат и повтарят в различна дължина и времеви мащаби. Всеки нелинеен процес в крайна сметка води до разклонение. В този случай системата в точката на разклонение избира един или друг път. Траекторията на развитие на системата ще изглежда като фрактал, тоест прекъсната линия, чиято форма може да се опише като разклонен, сложен път, който има своя собствена логика и модел.

Разклоняването на една система може да се сравни с разклоняването на дърво, където всеки клон съответства на една трета от цялата система. Разклоняването позволява на линейна структура да запълни обемно пространство, или по-точно казано: фракталната структура координира различни пространства. Фракталът може да расте, изпълвайки околното пространство, точно както кристалът расте в свръхнаситен разтвор. В този случай естеството на разклоняването ще бъде свързано не със случайност, а с определен модел.

Фракталната структура се повтаря самоподобно на други нива, на повече високо нивоорганизация на човешкия живот, например на ниво самоорганизация на група или екип. Самоорганизирането на мрежите и формите преминава от микро ниво към макро ниво. Взети заедно, те представляват цялостно единство, където цялото може да се съди по частта. Тази курсова работа разглежда фракталните свойства на социалните процеси като пример, което показва универсалността на теорията на фракталите и нейната лоялност към различни области на науката.

Направен е изводът, че фракталът е начин за организирано взаимодействие на пространства с различни измерения и природа. Към горното трябва да се добави, че не само пространствено, но и времево. Тогава дори човешки мозъкИ невронни мрежище представлява фрактална структура.

Природата обича фракталните форми. Фракталният обект има разпръскваща се разредена структура. Когато се наблюдават такива обекти с нарастващо увеличение, може да се види, че те показват модел, който се повтаря на различни нива. Вече казахме, че един фрактален обект може да изглежда абсолютно еднакво, независимо дали го наблюдаваме в метър, милиметър или микрон (1:1 000 000 части от метър мащаб). Свойството на симетрия на фракталните обекти се проявява в инвариантност по отношение на мащаба. Фракталите са симетрични спрямо центъра на разтягане или мащабиране, точно както кръглите тела са симетрични спрямо оста на въртене.

Любимо изображение на нелинейната динамика са фракталните структури, в които с промяна в мащаба описанието се изгражда по същото правило. В реалния живот прилагането на този принцип е възможно с леки вариации. Например във физиката, когато преминавате от ниво на ниво (от атомни към ядрени процеси, от ядрени към елементарни частици) шаблони, модели, методи за промяна на описанието. Наблюдаваме същото в биологията (нивото на популацията на организъм, тъкан, клетка и т.н.) Бъдещето на синергетиката зависи от степента, до която нелинейната наука може да помогне при описването на тази структурна хетерогенност и различни феномени на „между нивата“. В момента повечето научни дисциплини нямат надеждни фрактални концептуални модели.

Днес разработки в рамките на теорията на фракталите се извършват във всяка специална наука - физика, социология, психология, лингвистика и др. Тогава обществото, социалните институции, езикът и дори мисълта са фрактали.

В дискусиите, които се разгърнаха през последните години сред учени и философи около концепцията за фракталите, най-много спорен проблеме следното: може ли да се говори за универсалност на фракталите, че всеки природен обект съдържа фрактал или преминава през фрактален етап? Две групи учени се появиха, за да отговорят на въпроса този въпроспо точно обратния начин. Първата група („радикали”, новатори) поддържа тезата за универсалността на фракталите. Втората група („консерваторите“) отрича тази теза, но все още твърди, че не всеки обект от природата има фрактал, но във всяка област на природата може да се намери фрактал.

Съвременната наука доста успешно адаптира теорията на фракталите за различни области на знанието. Така в икономиката теорията на фракталите се използва в техническия анализ на съществуващите финансови пазари развити странисвят повече от сто години. За първи път е възможно да се предвиди бъдещото поведение на цените на акциите, ако е известна посоката им за някакъв скорошен период, отбеляза К. Дау. През 90-те години на 19-ти век, след като публикува редица статии, Доу отбелязва, че цените на акциите са подложени на циклични колебания: след дълго покачване има дълъг спад, след това отново покачване и спад.

В средата на 20-ти век, когато целият научен свят беше пленен от новопоявилата се теория за фракталите, друг известен американски финансист Р. Елиът предложи своята теория за поведението на цените на акциите, която се основаваше на използването на теорията за фрактали. Елиът изхожда от факта, че геометрията на фракталите се среща не само в живата природа, но и в социалните процеси. Той също така включи търговията с акции на фондовата борса като социален процес.

Основата на теорията е така наречената вълнова диаграма. Тази теория дава възможност да се предвиди по-нататъшното поведение на ценовия тренд, въз основа на познаването на фона на неговото поведение и следвайки правилата за развитие на масовото психологическо поведение.

Теорията на фракталите е намерила приложение и в биологията. Много, ако не всички, биологични структури и системи от растения, животни и хора имат фрактална природа, някакво подобие на нея: нервна система, белодробна система, кръвоносна и лимфна системи и др. Появиха се доказателства, че разработката злокачествен туморТой също така следва фракталния принцип. Като се вземе предвид принципът на самоафинитета и конгруентността на фрактала, могат да се обяснят редица неразрешими проблеми на еволюцията органичен свят. Фракталните обекти също се характеризират с такава характеристика като проявата на взаимно допълване. Допълването в биохимията е взаимното съответствие в химическата структура на две макромолекули, осигуряващо тяхното взаимодействие - сдвояване на две вериги на ДНК, свързване на ензим със субстрат, антиген с антитяло. Допълващите се структури се съчетават като ключ към ключалка (Енциклопедия на Кирил и Методий). Полинуклеотидните вериги на ДНК имат това свойство.

Някои от най-мощните приложения на фракталите се намират в компютърната графика. Първо, това е фрактална компресия на изображения, и второ, изграждане на пейзажи, дървета, растения и генериране на фрактални текстури. В същото време, за да се компресира и записва информация, е необходимо самоподобно увеличение на фрактала и съответно за неговото четене е необходимо самоподобно увеличение.

Предимствата на алгоритмите за фрактално компресиране на изображения са много малкият размер на пакетирания файл и краткото време за възстановяване на изображението. Фрактално пакетираните изображения могат да бъдат мащабирани, без да причиняват пикселизация. Но процесът на компресиране отнема много време и понякога продължава с часове. Алгоритъмът за фрактално пакетиране със загуби ви позволява да зададете нивото на компресия, подобно на jpeg формата. Алгоритъмът се основава на търсене големи частиизображения като някои малки части. И само информация за сходството на една част с друга се записва в изходния файл. При компресиране обикновено се използва квадратна решетка (парчетата са квадрати), което води до лека ъгловатост при възстановяване на изображението; шестоъгълната решетка няма този недостатък.

Между литературни произведениянамерете тези, които имат текстова, структурна или семантична фрактална природа. Текстовите фрактали потенциално повтарят елементи от текста за неопределено време. Текстовите фрактали включват неразклонено безкрайно дърво, идентично на себе си от всяка итерация („Свещеникът имаше куче...“, „Притчата за философа, който сънува, че той е пеперуда, която сънува, че тя е философ, който сънува ...”, „Твърдението е невярно, че твърдението е вярно, че твърдението е невярно...”); неразклоняващи се безкрайни текстове с вариации („Пеги имаше забавна гъска…“) и текстове с разширения („Къщата, която Джак построи“).

При структурните фрактали оформлението на текста е потенциално фрактално. Текстовете с такава структура са подредени по следните принципи: венец от сонети (15 стихотворения), венец от венци от сонети (211 стихотворения), венец от венци от сонети (2455 стихотворения); „разкази в разказа” („Книгата от хиляда и една нощ”, Й. Потоцки „Ръкопис, намерен в Сарагоса”); предговори, които крият авторството (У. Еко „Името на розата”).