Huvitavad faktid harilike murdude kohta. Harilike murdude ajalugu

Murrud peetakse tänapäevani üheks kõige raskemaks matemaatika osaks. Murdude ajaloos on rohkem kui üks aastatuhandet. Territooriumil tekkis oskus jagada tervik osadeks iidne Egiptus ja Babüloni. Aastatega muutusid murdosadega tehtavad toimingud keerulisemaks, muutus nende salvestamise vorm. Igal neist oli selle matemaatikaharu "suhtes" oma omadused.

Mis on murdosa?

Kui tekkis vajadus jagada tervik ilma tarbetute pingutusteta osadeks, tekkisid murrud. Murdude ajalugu on lahutamatult seotud utilitaarsete probleemide lahendamisega. Mõistel "fraktsioon" on araabia juured ja see pärineb sõnast, mis tähendab "murdma, jagama". Alates iidsetest aegadest on selles mõttes vähe muutunud. Kaasaegne määratlus kõlab nii: murd on ühiku osa või osade summa. Sellest lähtuvalt on murdudega näited järjestikune täitmine matemaatilised tehted arvude murdosadega.

Tänapäeval on nende salvestamiseks kaks võimalust. tekkisid eri aegadel: esimesed on iidsemad.

Tuli iidsetest aegadest

Esimest korda hakkasid nad fraktsioonidega opereerima Egiptuse ja Babüloni territooriumil. Kahe osariigi matemaatikute lähenemises oli olulisi erinevusi. Algus oli aga seal-seal sama. Esimene murd oli pool või 1/2. Siis tuli veerand, kolmandik jne. Arheoloogiliste väljakaevamiste kohaselt on fraktsioonide tekkimise ajalugu umbes 5 tuhat aastat. Esmakordselt leitakse arvu murdosasid Egiptuse papüürustest ja Babüloonia savitahvlitest.

Iidne Egiptus

Liigid tavalised murrud tänapäeval hõlmavad nn egiptlased. Need on mitme vormi 1/n liikme summa. Lugeja on alati üks ja nimetaja on naturaalarv. Sellised fraktsioonid ilmusid Vana-Egiptuses, ükskõik kui raske seda on arvata. Kõikide aktsiate arvutamisel üritati need selliste summadena (näiteks 1/2 + 1/4 + 1/8) alla kirjutada. Ainult murdudel 2/3 ja 3/4 olid eraldi tähised, ülejäänud jagunesid terminiteks. Seal olid spetsiaalsed tabelid, kus arvu murded esitati summana.

Vanim teadaolev viide sellisele süsteemile on leitud Rhinda matemaatilisest papüürusest, mis pärineb teise aastatuhande algusest eKr. See sisaldab murdude tabelit ja matemaatika ülesandeid lahenduste ja vastustega, mis esitatakse murdude summadena. Egiptlased teadsid, kuidas arvu murde liita, jagada ja korrutada. Murrud Niiluse orus kirjutati hieroglüüfide abil.

Muistsele Egiptusele iseloomulikku arvu murdosa esitamist terminite summana kujul 1/n kasutasid matemaatikud mitte ainult selles riigis. Kuni keskajani kasutati Kreekas ja teistes osariikides Egiptuse fraktsioone.

Matemaatika areng Babülonis

Matemaatika nägi Babüloonia kuningriigis välja teistsugune. Murdude tekkelugu on siin otseselt seotud numbrisüsteemi tunnustega, mille muistne riik pärandas oma eelkäijalt, Sumeri-Akadi tsivilisatsioonilt. Arvutustehnika oli Babülonis mugavam ja täiuslikum kui Egiptuses. Matemaatika lahendas siin riigis palju laiemaid probleeme.

Babüloonlaste saavutusi võib tänapäeval hinnata säilinud kiilkirjaga täidetud savitahvlite järgi. Tänu materjali omadustele on need meieni jõudnud suurel hulgal. Mõnede arvates avastati Babülonis enne Pythagorast tuntud teoreem, mis kahtlemata annab tunnistust teaduse arengust selles iidses riigis.

Murrud: murdude ajalugu Babülonis

Numbrisüsteem Babülonis oli seksagesiaalne. Iga uus kategooria erines eelmisest 60 võrra. See süsteem säilis aastal kaasaegne maailm aja ja nurkade näitamiseks. Murrud olid samuti seksagesimaalsed. Salvestamiseks kasutati spetsiaalseid ikoone. Nagu Egiptuses, sisaldasid murdnäidised 1/2, 1/3 ja 2/3 jaoks eraldi sümboleid.

Babüloonia süsteem ei kadunud koos riigiga. 60. süsteemis kirjutatud murde kasutasid iidsed ja araabia astronoomid ja matemaatikud.

Vana-Kreeka

Vana-Kreekas tavaliste murdude ajalugu eriti ei rikastatud. Hellase elanikud uskusid, et matemaatika peaks toimima ainult täisarvudega. Seetõttu murdosadega väljendeid Vana-Kreeka traktaatide lehtedel praktiliselt ei esinenud. Teatava panuse sellesse matemaatika harusse andsid aga pütagoorlased. Nad mõistsid murde suhet või proportsioone ning pidasid ka ühikut jagamatuks. Pythagoras ja tema õpilased ehitasid üldine teooria murde, õppis sooritama kõiki nelja aritmeetilist tehtet, samuti võrdlema murde, viies need ühise nimetajani.

Püha Rooma impeerium

Rooma murdude süsteemi seostati kaalumõõduga, mida kutsuti "perse". See jagunes 12 aktsiaks. 1/12 assat nimetati untsiks. Murdnimesid oli 18. Siin on mõned neist:

semis - pool assast;

sextante — kuues assa;

poolunts - pool untsi või 1/24 perset.

Sellise süsteemi ebamugavus seisnes selles, et arvu ei olnud võimalik esitada murdena, mille nimetaja on 10 või 100. Rooma matemaatikud said raskusest üle protsentide kasutamisega.

Harilike murdude kirjutamine

Antiikajal kirjutati murde juba tuttaval viisil: üks arv teise kohal. Siiski oli üks oluline erinevus. Lugeja oli nimetajast allpool. Esimest korda hakati murde sel viisil kirjutama Vana-Indias. Araablased hakkasid meie jaoks kasutama kaasaegset viisi. Kuid ükski neist rahvastest ei kasutanud lugeja ja nimetaja eraldamiseks horisontaalset joont. See ilmub esmakordselt Pisa Leonardo, paremini tuntud kui Fibonacci, kirjutistes 1202. aastal.

Hiina

Kui tavaliste murdude tekkimise ajalugu algas Egiptuses, siis kümnendkohad ilmusid esmakordselt Hiinas. Taevaimpeeriumis hakati neid kasutama umbes 3. sajandist eKr. Lugu kümnendmurrud alustas Hiina matemaatiku Liu Huiga, kes tegi ettepaneku kasutada neid ruutjuurte eraldamisel.

3. sajandil pKr hakati Hiinas kaalu ja mahu arvutamiseks kasutama kümnendmurde. Tasapisi hakkasid nad üha sügavamale matemaatikasse tungima. Euroopas hakati aga kümnendkohti kasutama palju hiljem.

Al-Kashi Samarkandist

Sõltumata Hiina eelkäijatest avastas kümnendmurrud astronoom al-Kashi alates iidne linn Samarkand. Ta elas ja töötas 15. sajandil. Teadlane kirjeldas oma teooriat traktaadis "Aritmeetika võti", mis avaldati 1427. aastal. Al-Kashi soovitas kasutada uus vorm murdosa rekordid. Nii täis- kui ka murdosa kirjutati nüüd ühele reale. Samarkandi astronoom ei kasutanud nende eraldamiseks koma. Ta kirjutas täisarvu ja murdosa erinevates värvides, kasutades musta ja punast tinti. Mõnikord kasutas al-Kashi nende eraldamiseks ka vertikaalset joont.

Euroopas kümnendkohad

Uut tüüpi murrud hakkasid Euroopa matemaatikute töödesse ilmuma alates 13. sajandist. Tuleb märkida, et nad ei tundnud al-Kashi teoseid ega ka hiinlaste leiutist. Jordan Nemorariuse kirjutistes ilmusid kümnendmurrud. Siis kasutati neid juba 16. sajandil.Prantsuse teadlane kirjutas matemaatilise kaanoni, mis sisaldas trigonomeetrilisi tabeleid. Neis kasutas Viet kümnendmurde. Täisarvu ja murdosa eraldamiseks kasutas teadlane vertikaalset joont, aga ka erinevat kirjasuurust.

Need olid aga vaid teadusliku kasutuse erijuhud. Igapäevaprobleemide lahendamiseks hakati Euroopas kümnendmurde kasutama mõnevõrra hiljem. See juhtus tänu Hollandi teadlasele Simon Stevinile 16. sajandi lõpus. Ta avaldas 1585. aastal matemaatilise töö "Kümnes". Selles kirjeldas teadlane kümnendmurdude kasutamise teooriat aritmeetikas, rahasüsteemis ning mõõtude ja kaalude määramisel.

Punkt, punkt, koma

Stevin ei kasutanud ka koma. Ta eraldas murdosa kaks osa, kasutades ringikujulist nulli.

Esimest korda eraldas koma kaks kümnendmurru osa alles 1592. aastal. Inglismaal kasutati aga hoopis punkti. Ameerika Ühendriikides kirjutatakse kümnendmurrud endiselt sellisel viisil.

Üheks algatajaks mõlema kirjavahemärgi kasutamisel täis- ja murdosa eraldamiseks oli Šoti matemaatik John Napier. Oma ettepaneku tegi ta 1616.–1617. Koma kasutas ka üks saksa teadlane

Murrud Venemaal

Venemaa pinnal oli esimene matemaatik, kes visandas terviku osadeks jagamise Novgorodi munk Kirik. Aastal 1136 kirjutas ta teose, milles kirjeldas "aastate arvutamise" meetodit. Kirik tegeles kronoloogia ja kalendri küsimustega. Oma töös tõi ta välja ka tunni jagamise osadeks: viiendikuteks, kahekümneviiendikuteks jne.

Terviku osadeks jagamist kasutati maksusumma arvutamisel XV-XVII sajandil. Kasutati liitmise, lahutamise, jagamise ja korrutamise tehteid murdosadega.

Sõna "fraktsioon" ilmus Venemaal VIII sajandil. See pärineb tegusõnast "purustama, osadeks jagama". Meie esivanemad kasutasid murdude nimetamiseks erisõnu. Näiteks 1/2 määrati pooleks või pooleks, 1/4 - neli, 1/8 - pool tundi, 1/16 - pool tundi ja nii edasi.

Täielik murdude teooria, mis ei erine palju tänapäevasest, esitati esimeses aritmeetikaõpikus, mille kirjutas 1701. aastal Leonti Filippovitš Magnitski. "Aritmeetika" koosnes mitmest osast. Murdudest räägib autor üksikasjalikult jaotises “Katkijoonte arvudest või murdudega”. Magnitski annab tehteid "katkiste" numbritega, nende erinevad tähised.

Tänapäeval on murrud endiselt matemaatika kõige raskemate osade hulgas. Ka murdude ajalugu polnud lihtne. Erinevad rahvad, mõnikord üksteisest sõltumatult ja mõnikord oma eelkäijate kogemusi laenates, jõudsid vajaduseni tutvustada, meisterdada ja kasutada arvu murde. Murdude õpetus on alati välja kasvanud praktilistest tähelepanekutest ja tänu pakiliste probleemidele. Oli vaja leiba jagada, võrdsed maatükid maha märkida, makse arvutada, aega mõõta jne. Murdude ja nendega tehtavate matemaatiliste toimingute kasutamise omadused sõltusid osariigi arvusüsteemist ja üldine tase matemaatika arendamine. Ühel või teisel viisil, olles ületanud rohkem kui tuhat aastat, on arvude murdudele pühendatud algebra osa moodustunud, arenenud ja seda kasutatakse tänapäeval edukalt mitmesuguste praktiliste ja teoreetiliste vajaduste jaoks.

Valla eelarveline õppeasutus

keskkool nr 2

ESSEE

distsipliin: "matemaatika"

sellel teemal: "Erakorralised tavalised murrud"

Esitatud:

5. klassi õpilane

Frolova Natalia

Juhendaja:

Društšenko E.A.

matemaatika õpetaja

Strezhevoy, Tomski piirkond

Sissejuhatus

Sel aastal alustasime harilike murdude uurimist. Väga ebatavalised numbrid, alustades nende ebatavalisest tähistusest ja lõpetades nendega töötamise keeruliste reeglitega. Kuigi juba esimesest tutvumisest nendega oli selge, et ilma nendeta ei saa isegi sees hakkama tavaline elu, kuna iga päev peame tegelema terviku osadeks jagamise probleemiga ja isegi teatud hetkel tundus mulle, et meid ümbritsevad rohkem mitte täisarvud, vaid murdarvud. Nendega osutus maailm keerulisemaks, kuid samas huvitavamaks. Mul on mõned küsimused. Kas murrud on vajalikud? Kas need on olulised? Tahtsin teada, kust murrud tulevad, kes mõtles välja nendega töötamise reeglid. Ehkki sõna leiutatud pole ilmselt eriti sobiv, sest matemaatikas tuleb kõike kontrollida, kuna kõik teadused ja tööstusharud meie elus põhinevad selgetel matemaatilistel seadustel, mis kehtivad kogu maailmas. Ei saa olla nii, et meil käib murdude liitmine ühe reegli järgi ja kuskil Inglismaal teistmoodi.

Abstrakti kallal töötamise käigus tuli mul silmitsi seista mõningate raskustega: uute terminite ja mõistetega tuli murda pead, probleeme lahendades ja antiikteadlaste pakutud lahendust analüüsides. Samuti puutusin tippimisel esimest korda kokku vajadusega trükkida murde ja murdosa avaldisi.

Minu essee eesmärk: jälgida hariliku murru mõiste kujunemislugu, näidata harilike murdude kasutamise vajalikkust ja olulisust praktiliste probleemide lahendamisel. Ülesanded, mille seadsin endale: essee teemalise materjali kogumine ja selle süstematiseerimine, vanade probleemide uurimine, töödeldud materjali kokkuvõtete tegemine, üldistatud materjali kujundamine, esitluse koostamine, referaadi esitamine.

Minu töö koosneb kolmest peatükist. Olen uurinud ja töödelnud materjale seitsmest allikast, sealhulgas õppe-, teadus- ja entsüklopeedilisest kirjandusest, veebisaidilt. Kujundasin rakenduse, mis sisaldab valikut iidsetest allikatest pärit ülesandeid, mõningaid meelelahutuslikke probleeme tavamurdudega ja Power Pointi redaktoris tehtud esitlust.

I. Harilike murdude ajaloost

1.1 Murdude tekkimine

Arvukad ajaloolised ja matemaatilised uuringud näitavad, et murdarvud tekkisid erinevate rahvaste seas iidsetel aegadel varsti pärast naturaalarvusid. Murdude ilmumist seostatakse praktiliste vajadustega: väga levinud olid ülesanded, kus on vaja osadeks jagada. Lisaks pidi inimene elus mitte ainult objekte loendama, vaid ka suurusi mõõtma. Inimesed kohtusid pikkuste, pindalade mõõtmisega maatükid, mahud, kehade massid. Sel juhul juhtus, et mõõtühik ei mahtunud mõõdetud väärtusesse täisarv korda. Näiteks lõigu pikkust sammudes mõõtes puutus inimene kokku järgmise nähtusega: pikkusesse mahub kümme sammu ja ülejäänu oli alla ühe sammu. Seetõttu tuleks murdarvude ilmumise teiseks oluliseks põhjuseks pidada suuruste mõõtmist valitud mõõtühiku abil.

Seega tekkis kõigis tsivilisatsioonides murdosa mõiste kogu võrdseteks osadeks purustamise protsessist. Venekeelne termin "fraktsioon", nagu ka selle vasted teistes keeltes, pärineb lati keelest. fractura, mis on omakorda tõlge araabiakeelsest terminist, millel on sama tähendus: purustama, purustama. Seetõttu olid ilmselt kõikjal esimesed murrud kujul 1/n. Edasine areng loomulikult suundub neid murde käsitlema ühikutena, millest saab moodustada murde m / n - ratsionaalsed arvud. Kuid seda teed ei läbinud kõik tsivilisatsioonid: näiteks Vana-Egiptuse matemaatikas ei realiseerunud seda kunagi.

Esimene murdosa, millega inimesed kohtusid, oli pool. Kuigi kõigi järgmiste murdude nimed on seotud nende nimetajate nimedega (kolm - "kolmas", neli - "veerand" jne), pole see poole puhul nii - selle nimel pole kõigis keeltes midagi sõnaga "kaks".

Murdude registreerimise süsteem, nendega töötamise reeglid erinesid märgatavalt nii erinevate rahvaste kui ka erinevatel aegadel samade inimeste vahel. Olulist rolli mängisid ka arvukad ideede laenamised erinevate tsivilisatsioonide vaheliste kultuurikontaktide käigus.

1.2 Murrud Vana-Egiptuses

Vana-Egiptuses kasutati ainult lihtsamaid murde, milles lugeja on võrdne ühega (need, mida me nimetame "aktsiateks"). Matemaatikud nimetavad selliseid murde alikvootideks (ladina keelest aliquot - mitu). Kasutatakse ka nimetust põhimurrud või ühikmurrud.

(ep, "[üks]" või re, suu) numbri kohal, et tähistada tavalistes tähistustes ühikmurdu, ja pühades tekstides kasutasid nad rida. Näiteks:

suurem osa silmast

1/2 (või 32/64)

1/8 (või 8/64)

tilk pisaraid (?)

1/32 (või ²/64)

Wadgetis sisalduva kuue märgi summa, mis on taandatud ühise nimetajani: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64

Neid fraktsioone kasutati jagamiseks koos teiste Egiptuse fraktsioonide vormidega paganama, Vana-Egiptuse peamine mahumõõtja. Seda kombineeritud tähistust on kasutatud ka teravilja, leiva ja õlle mahu mõõtmiseks. Kui pärast koguse registreerimist Horuse silma murdosa kujul jäi järele jääke, registreeriti see tavalisel kujul ro kordsena, mõõtühik, mis võrdub 1/320 hekatiga.

Samal ajal asetati "suu" kõigi hieroglüüfide ette.

Hekat oder: 1/2 + 1/4 + 1/32 (st 25/32 anumat otra).

Hekat oli ligikaudu 4,785 liitrit.

Egiptlased kujutasid iga teist murdosa alikvootmurdude summana, näiteks 9/16 = 1/2+1/16; 7/8=1/2+1/4+1/8 ja nii edasi.

Kirjutati nii: /2 /16; /2 /4 /8.

Mõnel juhul tundub see piisavalt lihtne. Näiteks 2/7 = 1/7 + 1/7. Kuid teine ​​egiptlaste reegel oli korduvate arvude puudumine murdosades. See tähendab, et 2/7 oli nende arvates 1/4 + 1/28.

Nüüd nimetatakse mitme alikvoodi murdude summat Egiptuse murdeks. Teisisõnu, igal summa murdosal on lugeja, mis on võrdne ühega, ja nimetaja, mis on naturaalarv.

Erinevate arvutuste tegemine, kõigi murdude väljendamine ühikuliste kaudu, oli loomulikult väga keeruline ja aeganõudev. Seetõttu hoolitsesid Egiptuse teadlased kirjatundja töö hõlbustamise eest. Nad koostasid spetsiaalsed tabelid murdude laiendustest lihtsateks tabeliteks. Vana-Egiptuse matemaatilised dokumendid pole mitte teaduslikud matemaatika traktaadid, vaid praktilised õpikud elust võetud näidetega. Ülesannete hulgas, mida kirjatundjate kooli õpilane pidi lahendama, olid lautade mahutavuse ja korvi mahu ja põllu pindala arvestused ning vara jagamine pärijate vahel ning teised. Kirjatundja pidi need mustrid pähe õppima ja oskama neid kiiresti arvutustes rakendada.

Üks varasemaid teadaolevaid viiteid Egiptuse murdudele on Rhindi matemaatiline papüürus. Kolm vanemat teksti, mis mainivad Egiptuse murde, on Egiptuse matemaatiline nahkrull, Moskva matemaatiline papüürus ja Akhmimi puidust tahvel.

Enamik iidne monument Egiptuse matemaatika, nn "Moskva papüürus" - XIX sajandi eKr dokument. Selle omandas 1893. aastal iidsete aarete koguja Goleništšev ja 1912. aastal läks see Moskva kaunite kunstide muuseumi omandusse. See sisaldas 25 erinevat ülesannet.

Näiteks käsitleb see probleemi 37 jagamisel arvuga (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7). Seda murdarvu järjestikku kahekordistades ning 37 ja juhtunu erinevust väljendades, samuti ühisnimetaja leidmisega sisuliselt analoogset protseduuri kasutades saadakse vastus: jagatis on 16 + 1/56 + 1/679 + 1/ 776.

Suurima matemaatilise dokumendi – kirjatundja Ahmesi papüürusjuhise arvutusteks – leidis 1858. aastal inglise kollektsionäär Rhind. Papüürus koostati 17. sajandil eKr. Selle pikkus on 20 meetrit ja laius 30 sentimeetrit. See sisaldab 84 matemaatikaülesannet, nende lahendusi ja vastuseid, mis on kirjutatud Egiptuse murdudena.

Ahmese papüürus algab tabeliga, kus kõik vormi 2\n murrud 2/5 kuni 2/99 on kirjutatud alikvootmurdude summadena. Egiptlased oskasid ka murde korrutada ja jagada. Kuid korrutamiseks tuli murdu murdosaga korrutada ja siis võib-olla uuesti tabelit kasutada. Jagamine oli veelgi raskem. Näiteks kuidas 5 jagati 21-ga:

Levinud probleem Ahmesi papüürusest: „Öelge teile: jagage 10 mõõtu otra 10 inimese vahel; erinevus iga inimese ja tema naabri vahel on 1/8 mõõdust. Keskmine osakaal on üks mõõt. 10-st lahutada üks; ülejäänud osa 9. Vahest pool tasa; see on 1/16. Võtke 9 korda. Kandke see keskmisele löögile; lahutage 1/8 iga näo mõõtmisest, kuni jõuate lõpuni."

Veel üks probleem Ahmesi papüürusest, mis näitab alikvootfraktsioonide kasutamist: "Et jagada 7 leiba 8 inimese vahel."
Kui lõikate iga leiva 8 tükiks, peate tegema 49 lõiget.
Ja egiptuse keeles lahendati see probleem nii. Osadeks kirjutati murdosa 7/8: 1/2 + 1/4 + 1/8. See tähendab, et igale inimesele tuleb anda pool pätsi, veerand pätsi ja kaheksas päts; Seetõttu lõikasime neli pätsi pooleks, kaks pätsi - 4 osaks ja ühe pätsi - 8 osaks, mille järel anname sellest iga osa.

Egiptuse murdude tabelid ja erinevad Babüloonia tabelid on meile teadaolevad vanimad arvutusi hõlbustavad vahendid.

Egiptuse murde kasutati Vana-Kreekas ja seejärel matemaatikud kogu maailmas kuni keskajani, hoolimata iidsete matemaatikute märkustest. Näiteks Claudius Ptolemaios rääkis Egiptuse murdude kasutamise ebamugavusest võrreldes Babüloonia süsteemiga (positsiooninumbrite süsteem). Olulise töö Egiptuse murdude uurimisel tegi 13. sajandi matemaatik Fibonacci oma töös "Liber Abaci" - need on arvutused kümnend- ja tavaliste murdude abil, mis lõpuks tõrjusid Egiptuse murded välja. Fibonacci kasutas murdude jaoks keerulist tähistust, sealhulgas segaalusega arvude märkimist ja murdude summade märkimist ning sageli kasutati Egiptuse murde. Ka raamatus anti algoritmid tavalistest murdudest Egiptuse murdudeks teisendamiseks.

1.3 Murrud Vana-Babülonis.

On teada, et iidses Babüloonias kasutati kuuekümnendarvu süsteemi. Teadlased põhjendavad seda asjaolu, et Babüloonia raha- ja kaaluühikud jagunesid ajalooliste tingimuste tõttu 60 võrdseks osaks: 1 talent = 60 min; 1 mina = 60 seeklit. Kuuekümnendad olid babüloonlaste elus tavalised. Seetõttu kasutasid nad seksagesimaalmurde, mille nimetajaks on alati arv 60 või selle astmed: 60 2 \u003d 3600, 60 3 \u003d 216000 jne. Need on maailma esimesed süstemaatilised murded, s.o. murrud, mille nimetajad on sama arvu astmed. Selliseid murde kasutades pidid babüloonlased kujutama paljusid murde ligikaudu. See on nende fraktsioonide miinus ja samal ajal eelis. Need murrud said Kreeka, seejärel araabia keelt kõnelevate ja keskaegsete Euroopa teadlaste pidevaks teaduslikuks vahendiks kuni 15. sajandini, kuni nad andsid teed kümnendmurdudele. Kuid kuni XVII sajandini kasutasid astronoomias seksagesimaalseid murde kõigi rahvaste teadlased, nimetades neid astronoomilisteks murdudeks.

Seksagesimaalne arvusüsteem määras Babüloni matemaatikas erinevate tabelite suure rolli. Täielik Babüloonia korrutustabel peaks sisaldama korruseid vahemikus 1x1 kuni 59x59, st 1770 numbrit, mitte 45, nagu meie korrutustabel. Sellist tabelit on peaaegu võimatu pähe õppida. Isegi kirjalikul kujul oleks see väga tülikas. Seetõttu oli nii korrutamiseks kui ka jagamiseks lai valik erinevaid tabeleid. Jagamistehet Babüloonia matemaatikas võib nimetada "probleemiks number üks". Arvu m jagamise arvuga n taandasid babüloonlased arvu m korrutamiseks murdarvuga 1 \\ n ja neil polnud isegi terminit "jaga". Näiteks arvutades, mida me kirjutaksime kujul x = m: n, arutlesid nad alati nii: võtke n-i pöördväärtus, leiate 1 \ n, korrutage m 1\ n-ga ja näete x. Loomulikult helistasid Babüloni elanikud meie tähtede asemel konkreetsetele numbritele. Seega mängisid Babüloonia matemaatikas kõige olulisemat rolli arvukad pöördarvude tabelid.

Lisaks koostasid babüloonlased murdarvudega arvutamiseks kõige ulatuslikumad tabelid, mis väljendasid põhimurde seksagesimaalsetes murdudes. Näiteks:

1\16 = 3\60 + 45\60 2 , 1\54 = 1\60 + 6\60 2 + 40\60 3 .

Murdude liitmine ja lahutamine babüloonlaste poolt toimus sarnaselt täisarvude ja kümnendmurdude vastavate toimingutega meie positsiooninumbrisüsteemis. Aga kuidas korrutati murd murdosaga? Mõõtmise geomeetria (mõõdistamine, alade mõõtmine) üsna kõrge areng viitab sellele, et babüloonlased said need raskused geomeetria abil üle: lineaarskaala 60-kordne muutus muudab pindala skaalat 60 × 60 korda. Tuleb märkida, et Babülonis naturaalarvude valdkonna laienemist positiivsete ratsionaalarvude valdkonda lõpuks ei toimunud, kuna babüloonlased pidasid ainult lõplikke seksagesimaalseid murde, mille jagamise piirkonnas ei ole alati võimalik. Lisaks kasutasid babüloonlased murde 1\2,1\3,2\3,1\4,1\5,1\6,5\6, mille kohta olid üksikud märgid.

Kaasaegses teaduses on aja ja nurkade mõõtmisel säilinud jäljed Babüloonia seksagesimaalarvusüsteemist. Tunni jagamine 60 minutiks, minuti 60 sekundiks, ring 360 kraadiks, kraadi 60 minutiks, minuti 60 sekundiks on säilinud tänapäevani.

(väike osa).

1.4. Murrud Vana-Roomas.

Roomlased kasutasid peamiselt ainult betoonfraktsioone, mis asendasid abstraktsed osad kasutatud mõõtude alajaotistega. See murdude süsteem põhines kaaluühiku jagamisel 12 osaks, mida nimetati perseiks. Nii tekkisid rooma kaksteistkümnendmurrud, s.o. murrud, mille nimetaja on alati 12. Ässa kaheteistkümnendikku nimetati untsiks. 1/12 asemel ütlesid roomlased "üks unts", 5/12 - "viis untsi" jne. Kolm untsi nimetati veerandiks, neli untsi kolmandikuks, kuus untsi pooleks.

Ja viisi, aega ja muid koguseid võrreldi visuaalse asjaga - kaaluga. Näiteks võis roomlane öelda, et kõndis seitse untsi teed või luges viis untsi raamatut. Samas polnud see muidugi ka raja või raamatu kaalumises. See tähendas, et 7/12 teest sai läbi või 5/12 raamatust loetud. Ja murdude jaoks, mis saadi murdude taandamisel nimetajaga 12 või jagades kaheteistkümnendikud väiksemateks, olid spetsiaalsed nimetused. Kokku kasutati 18 erinevat murdnimetust. Näiteks olid kasutusel järgmised nimed:

"scrupulus" - 1/288 assa,

"poolperse" - poolperse,

"sextans" - selle kuues aktsia,

"seven untsi" - pool untsi, st. 1/24 perset jne.

Selliste murdudega töötamiseks oli vaja meeles pidada nende murdude liitmistabelit ja korrutustabelit. Seetõttu teadsid Rooma kaupmehed kindlalt, et trieeni (1/3 perse) ja sekstanide liitmisel saadakse semis ning deemoni (2/3 perse) korrutamisel sescutsiooniga (2/3 untsi, s.o 1/ 8 perse), saadakse unts . Töö hõlbustamiseks koostati spetsiaalsed tabelid, millest osa on meieni jõudnud.

Untsi tähistati mõttekriipsuga – pool assa (6 untsi) – tähega S (esimene ladinakeelses sõnas Semis on pool). Need kaks märki olid mõeldud mis tahes kaheteistkümnendmurru kirjutamiseks, millest igaühel oli oma nimi. Näiteks 7 \ 12 kirjutati nii: S-.

Isegi esimesel sajandil eKr ütles silmapaistev Rooma kõneleja ja kirjanik Cicero: "Ilma murdude tundmiseta ei saa kedagi tunnistada aritmeetikat tundvaks!".

Iseloomulik on järgmine väljavõte 1. sajandi eKr kuulsa Rooma poeedi Horatiuse teosest, mis räägib õpetaja ja õpilase vestlusest ühes tolle ajastu Rooma koolidest:

Õpetaja: Las Albini poeg ütleb, kui palju jääb alles, kui viiest untsist üks unts ära võetakse!

Õpilane: Üks kolmandik.

Õpetaja: Täpselt nii, sa tead hästi murde ja suudad oma vara päästa.

1.5. Murrud Vana-Kreekas.

Vana-Kreekas uuriti aritmeetikat üldised omadused numbrid - logistikast eraldatud - arvutamise kunst. Kreeklased uskusid, et murde saab kasutada ainult logistikas. Kreeklased kasutasid vabalt kõiki aritmeetilisi tehteid murdarvudega, kuid nad ei tunnistanud neid arvudena. Kreeka matemaatikateemalistes kirjutistes polnud murde. Kreeka teadlased uskusid, et matemaatika peaks tegelema ainult täisarvudega. Nad varustasid murdosaga kaupmehi, käsitöölisi, aga ka astronome, geodeete, mehaanikuid ja teisi "mustaid inimesi". "Kui soovite ühikut jagada, naeruvääristavad matemaatikud teid ega luba teil seda teha," kirjutas Ateena Akadeemia asutaja Platon.

Kuid mitte kõik Vana-Kreeka matemaatikud ei nõustunud Platoniga. Nii et traktaadis "Ringi mõõtmise kohta" kasutab Archimedes murde. Aleksandria heron võis vabalt ka murdosasid käsitleda. Tema, nagu egiptlased, jagab murdosa põhimurdude summaks. 12\13 asemel kirjutab ta 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78, 5\12 asemel 1\3 + 1\12 jne. Isegi Pythagoras, kes suhtus naturaalarvudesse püha aukartusega, ühendas muusikalise skaala teooriat luues peamised muusikalised intervallid murdosadega. Tõsi, Pythagoras ja tema õpilased ei kasutanud murdosa mõistet. Nad lubasid endal rääkida ainult täisarvude suhetest.

Kuna kreeklased tegelesid murdudega vaid juhuslikult, kasutasid nad erinevaid tähistusi. Heron ja Diophantus kirjutasid murde tähestikulises vormis, nimetaja all oli lugeja. Mõnede murdude jaoks kasutati eraldi tähistusi, näiteks 1 \ 2 - L ′′, kuid üldiselt ei võimaldanud nende tähestikuline nummerdamine murdude tähistamist.

Ühikumurdude puhul kasutati spetsiaalset tähistust: murru nimetajale kaasnes kriips paremal, lugejat ei kirjutatud. Näiteks,
tähestikulises süsteemis tähendas 32 ja "- murd 1\32. Tavamurdudest on selliseid kirjeid, kus ühele reale kirjutatakse kõrvuti joonega lugeja ja kahe joonega kaks korda võetud nimetaja. Siin on, kuidas Aleksandria Heron pani kirja murdosa 3\4, näiteks:
.

Murdarvude kreeka tähistuse puudused tulenevad asjaolust, et kreeklased mõistsid sõna "arv" ühikute kogumina, seetõttu mõistsid kreeklased seda, mida me praegu peame üheks ratsionaalarvuks - murdarvuks - suhtena. kahest täisarvust. See seletab, miks harilikud murrud olid kreeka aritmeetikas haruldased. Eelistati kas ühe lugejaga murde või seksagesimaalseid murde. Valdkond, kus praktilistel arvutustel oli kõige suurem vajadus täpsete murdude järele, oli astronoomia ja siin oli Babüloonia traditsioon nii tugev, et seda kasutasid kõik rahvad, sealhulgas Kreeka.

1.6. Murrud Venemaal

Esimene vene matemaatik, meile nimepidi tuntud Novgorodi kloostri munk Kirik, tegeles kronoloogia ja kalendri küsimustega. Tema käsitsi kirjutatud raamatus “Tema õpetus inimeste kõigi aastate numbreid tundmaõppimiseks” (1136), s.o. “Juhend, kuidas inimene saab teada aastate arvu” rakendab tunni jagamist viiendikuteks, kahekümneviiendikuteks jne. murdosad, mida ta nimetas "murrutundideks" või "tundideks". Ta jõuab seitsmenda murdtunnini, millest päevas või öös on 937 500, ja ta ütleb, et seitsmendast murdtunnist ei saada midagi.

Esimestes matemaatikaõpikutes (7. sajand) nimetati murde murdudeks, hiljem "katkearvudeks". Vene keeles ilmus sõna murd 8. sajandil, see tuleb verbist "purustama" - murdma, tükkideks murdma. Numbri kirjutamisel kasutati horisontaalset joont.

Vanades juhendites on Venemaal järgmised murdude nimed:

1/2 - pool, pool

1/3 - kolmas

1/4 - neli

1/6 - pool kolmandikku

1/8 - poolteist tundi

1/12 - pool kolmandikku

1/16 - pool 16

1/24 - pool-pool kolmandik (väike kolmandik)

1/32 - pool ja pool ja pool (väike veerand)

1/5 - viis

1/7 - nädal

1/10 - kümnis.

Venemaal kasutati veerand ja väiksem maamõõt -

pool neljandikku, mida kutsuti kaheksajalaks. Need olid konkreetsed murrud, ühikud Maa pindala mõõtmiseks, kuid kaheksajalg ei saanud mõõta aega ega kiirust jne. Palju hiljem hakkas kaheksajalg tähendama abstraktset murdosa 1/8, mis võib väljendada mis tahes väärtus.

Murdude kasutamisest Venemaal 17. sajandil saab lugeda V. Bellustini raamatust “Kuidas järk-järgult jõuti reaalse aritmeetikani” järgmist: “17. sajandi käsikirjas. "Kõigi aktsiate arvuline artikkel, dekreet "algab vahetult murdude kirjaliku tähistamisega ning lugeja ja nimetaja märkimisega. Murdude hääldamisel on huvitavad järgmised tunnused: neljandat osa nimetati veerandiks, samas kui nimetajaga 5 kuni 11 osad väljendati sõnadega lõpuga “ina”, seega 1/7 on nädal, 1/5 on viis, 1/10 on kümnis; aktsiad, mille nimetaja oli suurem kui 10, hääldati sõnadega "varsad", näiteks 5/13 - viis kolmeteistkümnendat partiid. Murdude numeratsioon laenati otse lääne allikatest ... Lugejat nimetati ülemiseks numbriks, nimetajat alumiseks.

Alates 16. sajandist on plankkonto Venemaal olnud väga populaarne – arvutused Vene arvete prototüübiks olnud instrumendi abil. See võimaldas kiiresti ja lihtsalt sooritada keerulisi aritmeetilisi tehteid. Plangukonto oli väga levinud kaupmeeste, Moskva ordude töötajate, "mõõtjate" - maamõõtjate, kloostri kojameeste jne seas.

Algsel kujul oli tahvlite arv spetsiaalselt kohandatud arenenud aritmeetika vajadustele. See on maksustamissüsteem Venemaal 15.–17. sajandil, kus koos täisarvude liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamisega tuli teha samad toimingud murdosadega, kuna maksustamise tingimuslik ühik - ader, jagati osadeks.

Plangukonto koosnes kahest kokkupandavast kastist. Iga kast oli jagatud kaheks (hiljem ainult põhja); teine ​​kast oli vajalik rahakonto iseärasuste tõttu. Kasti sees olid kondid nööritud venitatud nööride või traadi külge. Kümnendarvude süsteemi kohaselt oli täisarvude ridadel 9 või 10 luud; toimingud murdosadega tehti mittetäielikel ridadel: kolmest luust koosnev rida moodustas kolm kolmandikku, neljast luust koosnev rida - neli neljandikku (cheti). Allpool olid read, milles oli üks luu: iga luu esindas poolt fraktsioonist, mille all see asus (näiteks kolme luu rea all asuv luu oli pool kolmandikust, selle all olev luu pool ühest poolest kolmandikust jne). Kahe identse "sarnase" murru liitmine annab murdosa lähimast kõrgemast kategooriast, näiteks 1/12+1/12=1/6 jne. Kontodel vastab kahe sellise fraktsiooni lisamine üleminekule lähima kõrgemale näpule.

Murrud summeeriti ilma taandamata ühise nimetajani, näiteks "veerand ja pool ja pool" (1/4 + 1/6 + 1/16). Mõnikord tehti murdudega tehteid nagu täisarvudega, võrdsustades kogu (ader) teatud rahasummaga. Näiteks kui sokha = 48 rahaühikut, on ülaltoodud murd 12 + 8 + 3 = 23 rahaühikut.

Sosh-aritmeetikas tuli tegeleda väiksemate murdudega. Mõnes käsikirjas on joonised ja kirjeldused "arvutuskastide" kohta, mis on sarnased just vaadeldud, kuid millel on palju ühe luuga ridu, nii et nendele saab kõrvale jätta fraktsioonid kuni 1/128 ja 1/96. Kahtlemata tehti ka vastavaid seadmeid. Kalkulaatorite mugavuse huvides anti palju "Väikeste luude koodeksi" reegleid, st. sosh kontol kasutatavate fraktsioonide lisamine, nagu: kolmveerand adra ja pool adra ja poolteist adra jne. kuni pool-pool-pool-pool ader on ader ilma pool-pool-pool-poolveerandita, s.o. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128 jne.

Kuid murdudest võeti arvesse ainult 1/2 ja 1/3, samuti neid, mis saadi neist järjestikuse 2-ga jagamise teel. "Tahvlite loendust" ei kohandatud muude seeriate murdosadega toimingute jaoks. Nendega opereerides tuli viidata spetsiaalsetele tabelitele, milles olid toodud erinevate murdude kombinatsioonide tulemused.

AT 1703 Ilmub esimene vene trükitud matemaatikaõpik "Aritmeetika". Autor Magnitski Leonty Filippovitš. Selle raamatu 2. osas „Katkestatud joonte arvudest või osadest” kirjeldatakse murdude õpetust üksikasjalikult.

Magnitski puhul on sellel peaaegu kaasaegne iseloom. Magnitski peatub aktsiate arvutamisel põhjalikumalt kui tänapäevased õpikud. Magnitski peab murde nimelisteks arvudeks (mitte ainult 1/2, vaid 1/2 rubla, pood jne) ja ta uurib ülesannete lahendamise protsessis toiminguid murdosadega. Et on katkine arv, vastab Magnitski: “Katkine arv pole midagi muud, ainult numbriga deklareeritud asja osa ehk kirjutatakse pool rubla, aga kirjutatakse rublas ehk rublas või rubla ehk kaks viiendikku ja igasugu asju kas osa deklareeritud arvuna ehk siis katkine arv. Magnitski annab kõikide õigete murdude nimed nimetajatega 2 kuni 10. Näiteks murded, mille nimetaja on 6: üks kuusteist, kaks kuusteist, kolm kuusteist, neli kuusteist, viis kuusteist.

Magnitsky kasutab nimelugejat, nimetajat, arvestab valede murdudega, segaarvudega, lisaks kõikidele toimingutele eristab ta valest murdest terve osa.

Murdude õpetus on alati jäänud aritmeetika kõige keerulisemaks osaks, kuid samal ajal mõistsid inimesed igal varasemal ajastul murdude uurimise olulisust ning salmi- ja proosaõpetajad püüdsid oma õpilasi rõõmustada. L. Magnitski kirjutas:

Aga aritmeetikat pole

Ijo terves süüdistatavas,

Ja nendes aktsiates pole midagi,

Saate vastata.

söö sinust rõõmusta,

Oskab osade kaupa.

1.7. Murrud iidses Hiinas

Hiinas kehtestati peaaegu kõik aritmeetilised tehted harilike murdudega juba 2. sajandil eKr. eKr e.; neid kirjeldatakse põhikoodis matemaatilisi teadmisi iidne Hiina - "Matemaatika üheksas raamatus", mille viimane väljaanne kuulub Zhang Tsangile. Arvutus, mis põhineb reeglil, mis sarnaneb Eukleidese algoritmiga (suurim ühine jagaja lugeja ja nimetaja), Hiina matemaatikud vähendasid murde. Murdude korrutamine esitati ristkülikukujulise maatüki pindala leidmisena, mille pikkus ja laius on väljendatud murdarvud. Jagamist kaaluti jagamise ideed kasutades, samas kui Hiina matemaatikud ei häbenenud, et jagamises osalejate arv võis olla murdosa, näiteks 3⅓ inimest.

Algselt kasutasid hiinlased lihtsamaid murde, mis said nime bani hieroglüüfi abil:

vannid ("pool") -1 \ 2;

shao keeld ("väike pool") -1\3;

tai keeld ("suur pool") -2 \ 3.

Järgmine samm oli murdude üldise idee väljatöötamine ja nendega töötamise reeglite kujundamine. Kui Vana-Egiptuses kasutati ainult alikvootseid fraktsioone, siis Hiinas peeti neid fraktsioonideks peetavateks fraktsioonideks, mitte aga ainsateks võimalikeks. Hiina matemaatika on tegelenud seganumbrid. Varaseim matemaatiline tekst, Zhou bi suan jing (The Canon of Calculation of the Zhou Gnomon/Mathematical Traktatis on the Gnomon), sisaldab arvutusi, milles arvud nagu 247933/1460 tõstetakse astmeni.

Teoses "Ju zhang suan shu" ("Üheksa jaotise loendamise reeglid") käsitletakse murdosa terviku osana, mis on väljendatud selle murdude n-ndas arvus - fen - m (n

"Ju Zhang Suan Shu" esimeses osas, mis on üldiselt pühendatud väljade mõõtmisele, on eraldi välja toodud murdude vähendamise, liitmise, lahutamise, jagamise ja korrutamise reeglid, samuti nende võrdlemine ja "võrdsustamine", s.o. selline kolme murru võrdlus, milles on vaja leida nende aritmeetiline keskmine (lihtsamat reeglit kahe arvu aritmeetilise keskmise arvutamiseks raamatus ei ole toodud).

Näiteks selles essees olevate murdude summa saamiseks pakutakse järgmist juhist: „Korrutage (hu cheng) lugejad vaheldumisi nimetajatega. Liida kokku – see on dividend (shi). Korrutage nimetajad - see on jagaja (fa). Kombineerige dividend jagajaga üheks (ja). Kui on jääk, siis seosta see jagajaga. See käsk tähendab, et kui liita mitu murru, siis tuleb iga murru lugeja korrutada kõigi teiste murdude nimetajatega. Dividendi (kui sellise korrutamise tulemuste summa) “kombineerimisel” jagajaga (kõikide nimetajate korrutis) saadakse murd, mida tuleks vajadusel vähendada ja millest kogu osa jagamisega eraldada. , siis on "ülejääk" lugeja ja vähendatud jagaja on nimetaja. Murdude hulga summa on sellise jagamise tulemus, mis koosneb täisarvust pluss murdosast. Käsk "nimetajate korrutamine" tähendab tegelikult murdude viimist suurima ühisnimetajani.

Murdarvu vähendamise reegel Jiu Zhang Xuan Shu sisaldab algoritmi lugeja ja nimetaja suurima ühisjagaja leidmiseks, mis on sama, mis nn Eukleidese algoritm kahe arvu suurima ühisjagaja leidmiseks. Aga kui viimane, nagu teada, on "Põhimõttes" antud geomeetrilises sõnastuses, siis hiina algoritm esitatakse puhtalt aritmeetiliselt. Hiina algoritm suurima ühise jagaja leidmiseks, mida nimetatakse den shu-ks ("sama arv"), on üles ehitatud väiksema arvu järjestikuse lahutamisena suuremast. See on den shu arv ja seda on vaja vähendada. Näiteks tehakse ettepanek vähendada murdosa 49\91. Viime läbi järjestikuse lahutamise: 91 - 49 \u003d 42; 49 - 42 = 7; 42 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 \u003d 0. Deng shu \u003d 7. Vähendame murdosa selle arvu võrra. Saame: 7 \ 13.

"Ju Zhang Xuan Shu" murdude jaotus erineb tänapäeval aktsepteeritavast. Reegel "ching fen" ("jagamise järjekord") ütleb, et enne murdude jagamist tuleks need taandada ühiseks nimetajaks. Seega on murdude jagamise protseduuril tarbetu samm: a/b: c/d = ad/bd: cb/bd = ad/cb. Alles 5. sajandil Zhang Qiu-jian sai teoses “Zhang Qiu-jian suan jing” (“Zhang Qiu-jiani loendamiskaanon”) sellest lahti, jagades murde tavapärase reegli järgi: a/b: c/d = ad/cb. .

Võib-olla oli Hiina matemaatikute pikaajaline pühendumine keerukale murdude jagamise algoritmile tingitud soovist säilitada selle universaalsus ja loenduslaua kasutamine. Tegelikult seisneb see murdude jagamise taandamises täisarvude jagamiseks. See algoritm kehtib, kui täisarv jagub segaarvuga. Näiteks jagades 2922 arvuga 182 5/8, korrutati mõlemad arvud kõigepealt 8-ga, mis võimaldas täisarvu edasist jagamist: 23376:1461= 16

1.8. Murrud teistes antiikseisundites ja keskajal.

Hariliku murdosa kontseptsiooni edasiarendamine saavutati Indias. Selle riigi matemaatikud suutsid kiiresti liikuda ühikmurdudelt üldkuju murdude juurde. Esimest korda leidub selliseid murde Apastamba (VII-V sajand eKr) "Nöörireeglites", mis sisaldavad geomeetrilisi konstruktsioone ja mõningate arvutuste tulemusi. Indias kasutati kirjasüsteemi – võib-olla hiina ja võib-olla hiliskreeka päritolu –, kus nimetaja kohale kirjutati murdu lugeja – nagu meilgi, kuid ilma murdejooneta, kuid kogu murd pandi ristkülikukujuline raam. Mõnikord kasutati ka "kolmekorruselist" väljendit, kus ühes kaadris oli kolm numbrit; olenevalt kontekstist võib see tähendada vale murdosa (a + b/c) või täisarvu a jagamist murdosaga b/c.

Näiteks murdosa salvestatud kui

India teadlase Bramagupta (VIII sajand) kehtestatud murdosadega toimingute reeglid ei erinenud palju tänapäevastest. Nagu Hiinas, nii ka Indias korrutati ühisnimetajaks taandamiseks pikka aega kõikide mõistete nimetajaid, kuid alates 9. sajandist. kasutas vähimat ühiskorda.

Keskaegsed araablased kasutasid murdude kirjutamiseks kolme süsteemi. Esiteks, india moodi, nimetaja kirjutamine lugeja alla; murdjoon tekkis 12. sajandi lõpus - 13. sajandi alguses. Teiseks kasutasid ametnikud, maamõõtjad, kaupmehed alikvoodi murdude arvutamist sarnaselt egiptuse omaga, samas kui murde, mille nimetaja ei ületanud 10 (araabia keeles on eriterminid ainult selliste murdude kohta); sageli kasutati ligikaudseid väärtusi; Araabia teadlased töötasid selle arvutuse parandamiseks. Kolmandaks pärisid araabia teadlased Babüloonia-Kreeka kuuekümnendsüsteemi, milles sarnaselt kreeklastega kasutasid nad tähestikulist tähistust, laiendades seda tervetele osadele.

India murdude tähistus ja nendega töötamise reeglid assimileeriti 9. sajandil. moslemimaades tänu Khorezmi Muhamedile (al-Khwarizmi). Islamimaade kaubanduspraktikas olid laialdaselt kasutusel üksikmurrud, teaduses kuueaastamurrud ja palju vähemal määral tavamurrud. Al-Karaji (X-XI sajand), al-Khassar (XII sajand), al-Kalasadi (XV sajand) ja teised teadlased esitasid oma töödes reeglid tavaliste murdude esitamiseks ühikuliste murdude summade ja korrutiste kujul. Murdteave on teisaldatud asukohta Lääne-Euroopa Itaalia kaupmees ja teadlane Leonardo Fibonacci Pisast (XIII sajand). Ta võttis kasutusele sõna murd, hakkas kasutama murru tunnust (1202), andis valemid murdude süstemaatiliseks jaotamiseks põhilisteks. Nimed lugeja ja nimetaja võttis 13. sajandil kasutusele kreeka munk, teadlane ja matemaatik Maxim Planud. Meetodi murdude ühiseks nimetajaks taandamiseks pakkus 1556. aastal välja N. Tartaglia. Kaasaegne tavaliste murdude liitmise skeem on leitud 1629. aastast. A. Girardi juures.

II. Tavaliste murdude kasutamine

2.1 Alikvoodifraktsioonid

Alikvootfraktsioonide kasutamisega seotud probleemid moodustavad ulatusliku mittestandardsete probleemide klassi, sealhulgas need, mis on pärit iidsetest aegadest. Alikvootfraktsioone kasutatakse siis, kui midagi on vaja jagada mitmeks osaks, mille jaoks on vaja kõige vähem samme. Vormi 2/n ja 2/(2n + 1) murdude lagunemine kaheks alikvoodiks on süstematiseeritud valemite kujul

Lagundamine kolmeks, neljaks, viieks jne. alikvoodifraktsioone saab valmistada, jagades ühe terminitest kaheks, järgmise fraktsiooni veel kaheks alikvoodifraktsiooniks jne.

Mis tahes arvu esitamiseks alikvoodi murdude summana peate mõnikord üles näitama erakordset leidlikkust. Oletame, et arvu 2/43 väljendatakse järgmiselt: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. Väga ebamugav on teha arvudega aritmeetilisi tehteid, lagundades need ühe murdude summaks. Seetõttu tekkis alikvoodimurdude kui väiksemate alikvoodimurdude summana alikvoodimurdude paisutamise ülesannete lahendamisel mõte süstematiseerida murdude laiendamine valemi kujul. See valem kehtib, kui on vaja alikvoodifraktsiooni laiendada kaheks alikvoodifraktsiooniks.

Valem näeb välja selline:

1/n=1/(n+1) + 1/n (n+1)

Näited fraktsioonide laiendamise kohta:

1/3=1/(3+1)+1/3 (3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5 (5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8 (8+1)=1/9+ 1/72.

Seda valemit saab teisendada ja saada järgmise kasuliku võrdsuse: 1/n (n+1)=1/n -1/(n+1)

Näiteks 1/6=1/(2 3)=1/2 -1/3

See tähendab, et alikvoodi murdosa saab esitada kahe alikvoodi murru erinevuse või kahe alikvoodi murru erinevusena, mille nimetajad on järjestikused arvud, mis on võrdsed nende korrutisega.

Näide. Esitage arv 1 erinevate alikvoodi murdude summadena

a) kolm liiget 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

b) neli terminit

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

c) viis terminit

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

2.2 Väikeste aktsiate asemel suured

Masinaehitustehastes on väga põnev elukutse, seda kutsutakse kirjutajaks. Kirjutaja märgib toorikule jooned, mida mööda töödeldavat detaili tuleb töödelda, et anda sellele vajalik kuju.

Kirjutaja peab lahendama huvitavaid ja kohati keerulisi geomeetrilisi ülesandeid, sooritama aritmeetilisi arvutusi jne.
"Oli vaja kuidagi jaotada 7 ühesugust ristkülikukujulist plaati võrdsetes osades 12 osa vahel. Nad tõid need 7 plaati markeri juurde ja palusid tal võimalusel plaadid märgistada nii, et ühtegi neist ei peaks väga väikesteks osadeks purustama. Niisiis, kõige lihtsam lahendus lõigatakse iga plaat 12-ks võrdsetes osades- see ei olnud hea, sest selgus palju väikeseid aktsiaid. Kuidas olla?
Kas neid plaate on võimalik suuremateks osadeks jagada? Skaleerija mõtles, tegi murdarvudega aritmeetilisi arvutusi ja leidis siiski kõige ökonoomsema viisi nende plaatide jagamiseks.
Seejärel purustas ta hõlpsalt 5 plaati, et jagada need võrdsetes osades kuue osa vahel, 13 plaati 12 osa jaoks, 13 plaati 36 osa jaoks, 26 plaati 21 jaoks jne.

Selgub, et marker kujutas murdosa 7\12 ühikuliste murdude 1\3 + 1\4 summana. Seega, kui 7 antud plaadist lõigatakse 4 kolmeks võrdseks osaks, saame 12 kolmandikku, see tähendab ühe kolmandiku iga osa kohta. Ülejäänud 3 plaati lõikasime 4 võrdseks osaks, saame 12 veerandit, see tähendab iga osa jaoks veerandi. Samamoodi kasutades murdude esitusi ühikuliste murdude summana 5\6=1\2+1\3; 13\121\3+3\4; 13\36=1\4+1\9.

2.3 Vaheseinad rasketes oludes

On tuntud idamaine tähendamissõna, et isa jättis oma poegadele 17 kaamelit ja käskis neil omavahel jagada: vanem pool, keskmine - kolmandik, noorem - üheksandik. Kuid 17 ei jagu 2, 3 ega 9-ga. Pojad pöördusid targa poole. Tark tundis murdosasid ja oskas selles keerulises olukorras aidata.

Ta läks triki peale. Tark lisas oma kaameli mõneks ajaks karja, siis oli neid 18. Jagades selle arvu, nagu testamendis kirjas, võttis tark oma kaameli tagasi. Saladus seisneb selles, et osad, kuhu tahte järgi pidid pojad karja jagama, ei anna kokku 1. Tõepoolest, 1\2 + 1\3 + 1\9 = 17\18.

Selliseid ülesandeid on palju. Näiteks ülesanne venekeelsest õpikust 4 sõbra kohta, kes leidsid rahakoti 8 kreeditarvega: üks ühe, kolm, viis rubla ja ülejäänud kümme rubla. Vastastikusel kokkuleppel sooviti kolmandat osa, teist veerandit, kolmandat-viiendat, neljandat-kuuendat. Omal jõul nad aga hakkama ei saanud: üks mööduja aitas, pärast oma rubla lisamist. Selle raskuse lahendamiseks lisas mööduja ühikumurrud 1\3 + 1\4 + 1\5 + 1\6 = 57\60, rahuldades sõprade palved ja teenides endale 2 rubla.

III.Meelelahutuslikud fraktsioonid

3.1 Doomino

Doomino on lauamäng, mida mängitakse kõikjal maailmas. Doominomäng koosneb enamasti 28 ristkülikukujulisest kivist-täringust. Doomino on ristkülikukujuline plaat esikülg mis on jagatud joonega kaheks ruudukujuliseks osaks. Iga osa sisaldab nullist kuue punktini. Kui eemaldada täringud, mis ei sisalda punkte vähemalt ühel poolel (blankhe), siis võib ülejäänud täringut lugeda murdudena. Luud, mille mõlemad pooled sisaldavad sama arvu punkte (kahekordseid), on ühega võrdsed valemurrud. Kui neid luid rohkem eemaldada, jääb alles 15 luud. Neid saab paigutada erinevalt ja saada huvitavaid tulemusi.

1. Paigutus 3 rida, millest igaühe murdude summa on 2.

;
;

2. Paigutage kõik 15 plaati kolmes reas, millest igaühes on 5 paani, kasutades mõnda doominoplaati sobimatute murdudena, nagu 4/3, 6/1, 3/2 jne, nii et iga murdude summa rida oli võrdne 10-ga.

1\3+6\1+3\4+5\3+5\4=10

2\1+5\1+2\6+6\3+4\6=10

4\1+2\3+4\2+5\2+5\6=10

3. Paigutus murdude ridadesse, mille summaks saab täisarv (kuid erinevates ridades erinev).

3.2 Juba ammusest ajast.

"Ta uuris seda küsimust põhjalikult." See tähendab, et teemaga on lõpuni uuritud, et vähimatki ebaselgust pole jäänud. Ja kummaline sõna “skrupuluslikult” pärineb roomakeelsest nimest 1/288 assa - “scrupulus”.

"Saage murdosadesse." See väljend tähendab raskesse olukorda sattumist.

"Ass" - massiühik farmakoloogias (apteekri nael).

"Unts" - massiühik inglise mõõdusüsteemis, massiühik farmakoloogias ja keemias.

IV. Järeldus.

Murdude õpetust peeti matemaatika kõige raskemaks osaks kõigil aegadel ja kõigi rahvaste seas. Neid, kes murdsid tundsid, peeti väga lugu. Vana 15. sajandi slaavi käsikirja autor. kirjutab: "Ei ole üllatav, et ... tervikuna, aga kiiduväärt on see, et aktsiates ...".

Järeldasin, et harilike murdude ajalugu on käänuline tee, millel on palju takistusi ja raskusi. Essee kallal töötades sain teada palju uut ja huvitavat. Lugesin palju raamatuid ja entsüklopeediate rubriike. Tutvusin esimeste murdudega, millega inimesed opereerisid, alikvootmurru mõistega, sain teada uusi nimetusi teadlastele, kes aitasid kaasa murdude õpetuse väljatöötamisele. Ta püüdis ise lahendada olümpiaadi- ja meelelahutusülesandeid, valis iseseisvalt näiteid harilike murdude alikvootmurrudeks lagundamisest, analüüsis tekstides toodud näidete ja ülesannete lahendusi. Vastus küsimusele, mille esitasin endale enne essee kallal töötamist: tavalised murrud on vajalikud, need on olulised. Ettekande koostamine oli huvitav, pidin abi saamiseks pöörduma õpetaja ja klassikaaslaste poole. Samuti puutusin tippimisel esimest korda kokku vajadusega trükkida murde ja murdosa avaldisi. Esitlesin oma kokkuvõtet koolikonverentsil. Ta esines ka klassikaaslaste ees. Nad kuulasid väga tähelepanelikult ja minu arvates olid nad huvitatud.

Arvan, et ülesanded, mille seadsin enne abstraktse kallal töötamist, on minu poolt täidetud.

Kirjandus.

1. Borodin A.I. Aritmeetika ajaloost. Juhtiv kirjastus "Vishcha kool" -K., 1986

2. Glazer G. I. Matemaatika ajalugu koolis: IV-VI kl. Juhend õpetajatele. – M.: Valgustus, 1981.

3. Ignatiev E.I. Leidlikkuse vallas. Kirjastuse "Nauka" füüsikalise ja matemaatilise kirjanduse põhiväljaanne, M., 1978.

4. Kordemskoy G.A. Matemaatiline leidlikkus. – 10. väljaanne, läbivaadatud. Ja täiendav - M .: Yunisam, MDS, 1994.

5. Stroyk D.Ya. Lühike essee matemaatika ajalugu. Moskva: Nauka, 1990.

6. Entsüklopeedia lastele. Köide 11. Matemaatika. Moskva, "Avanta +", 1998.

7. /wiki Materjal Wikipediast – vabast entsüklopeediast.

Lisa 1.

Looduslik skaala

Kõik teavad, et Pythagoras oli teadlane ja eriti kuulsa teoreemi autor. Ja see, et ta oli ka geniaalne muusik, pole laialt teada. Nende annete kombinatsioon võimaldas tal olla esimene, kes aimab loodusliku skaala olemasolu. Pidime seda veel tõestama. Pythagoras ehitas oma katsete jaoks poolinstrumendi-poolseadme – "monokordi". See oli piklik karp, mille peale oli tõmmatud nöör. Nööri alla, karbi ülemisele kaanele, joonistas Pythagoras skaala, et oleks lihtsam nööri visuaalselt osadeks jagada. Pythagoras tegi palju katseid monokordiga ja lõpuks kirjeldas ta matemaatiliselt kõlava stringi käitumist. Pythagorase looming moodustas aluse teadusele, mida praegu nimetame muusikaakustikaks. Selgub, et seitse heli oktavis on muusika jaoks sama loomulikud kui kümme sõrme aritmeetikas. Juba esimese poogna vibunöör, mis pärast lasku võngus, andis valmis selle muusikalise helistiku, mida kasutame siiani peaaegu muutumatuna.

Füüsika seisukohalt on vibunöör ja nöör üks ja seesama. Jah, ja mees tegi nööri, pöörates tähelepanu vibunööri omadustele. Kõlav keel ei võngu mitte ainult tervikuna, vaid samaaegselt pooleks, tertsiks, veerandiks jne. Lähenegem nüüd sellele nähtusele aritmeetilisest küljest. Pooled vibreerivad kaks korda sagedamini kui terve string, kolmandikud - kolm korda, veerandid - neli korda. Ühesõnaga, mitu korda on nööri vibreeriv osa väiksem, sama palju kordi suurem on selle vibratsioonide sagedus. Oletame, et kogu string vibreerib sagedusega 24 hertsi. Arvutades aktsiate kõikumised kuni kuueteistkümnendikuni, saame tabelis näidatud arvude jada. Seda sageduste jada nimetatakse loomulikuks, s.t. loomulik, heli.

2. lisa

Muistsed ülesanded tavaliste murdude kasutamisel.

Erinevate maade iidsetes käsikirjades ja iidsetes aritmeetikaõpikutes on palju huvitavaid ülesandeid murdude kohta. Kõigi nende probleemide lahendamine nõuab märkimisväärset leidlikkust, leidlikkust ja arutlusvõimet.

1. Karjane tuleb 70 pulliga. Temalt küsitakse:

Kui palju sa oma arvukast karjast välja tood?

Karjane vastab:

Toon kaks kolmandikku kolmandikust veistest. Loendage, mitu pulli on karjas?

Ahmese papüürus (Egiptus, umbes 2000 eKr).

2. Keegi võttis riigikassast 1/13. Sellest, mis üle jäi, võttis teine ​​1/17. Ta jättis riigikassasse 192. Tahame teada, kui palju oli riigikassas algselt

Akmim papüürus (VI c.)

3. Reisija! Siia matab tuha Diophantus. Ja numbrid võivad öelda, oh imet, kui pikk oli tema eluiga.

Tema kuues osa oli imeline lapsepõlv.

Möödus kaheteistkümnes osa teisest elust – siis oli lõug kohevaga kaetud.
Seitsmes lastetu abielu oli Diophantosel.

Viis aastat on möödunud; teda õnnistati kauni esmasündinu poja sünniga.
Kellele saatus kinkis isaga võrreldes vaid poole ilusast ja helgest elust maa peal.

Ja sügavas kurbuses võttis maise saatuse vanamees lõpuga vastu, olles poja kaotamisest neli aastat üle elanud.

Ütle mulle, mitu eluaastat võttis Diophantos surma vastu?

4. Keegi suremas pärandas: “Kui mu naisel on poeg, siis jäägu talle 2/3 pärandvarast, ülejäänud naisele. Kui sünnib tütar, on ta 1/3 ja naine 2/3. Sündisid kaksikud – poeg ja tütar. Kuidas pärandvara jagada?

Vana-Rooma ülesanne (II sajand)

Leidke kolm arvu nii, et suurim ületaks keskmist väikseima etteantud murdosa võrra, nii et keskmine ületaks väikseimat suurimast antud murdosa võrra ja nii et väikseim ületaks 10 keskmise antud murdosa võrra.

Aleksandria Diophantose traktaat "Aritmeetika" (II-III sajand pKr)

5. Metspart lendab Lõunamerest Põhjamerre 7 päevaks. Metshani lendab põhjakaevandusest lõunamerre 9 päevaks. Nüüd lendavad part ja hani korraga välja. Mitme päeva pärast nad kohtuvad?

Hiina (2. sajand pKr)

6. “Üks kaupmees käis läbi 3 linna ja nad kogusid temalt tollimakse esimeses linnas poole ja kolmandiku vara eest ning teises linnas poole ja kolmandiku ülejäänud vara eest ning kolmandas linnas pool ja kolmandik ülejäänud varast. Ja kui ta koju jõudis, jäi tal 11 raha alles. Uurige, kui palju raha kaupmehel alguses oli.

Anani Shirakatsi. Kogumik "Küsimused ja vastused" (VIIsajandil pKr).

Seal on kadamba lill,

Ühe kroonlehe jaoks

Viiendik mesilastest on langenud.

Kasvab kohe selle kõrval

Kõik õitses Simengda,

Ja sellele mahtus kolmas osa.

Leiad nende erinevuse

Voldi see kolm korda kokku

Ja pange need mesilased kutai peale.

Ainult kahte ei leitud.

Sinu koht pole kuskil

Kõik lendasid edasi-tagasi ja igal pool

Nautis lillede lõhna.

Helista mulle kohe

Loen mõtetes

Mitu mesilast kokku on?

Vana-India ülesanne (XI sajand).

8. "Leidke arv, teades, et kui lahutate sellest kolmandiku ja veerandi, saate 10."

Muhammad ibn Musa al Khorezmi "Aritmeetika" (IX sajand)

9. Üks naine läks aeda õunu korjama. Aiast lahkumiseks pidi ta läbima nelja ukse, millest igaühel oli valvur. Naine andis pooled korjatud õuntest esimese ukse juures valvurile. Jõudnud teise valvuri juurde, andis naine talle poole ülejäänutest. Ta tegi sama ka kolmanda valvuriga ja kui ta jagas õunu neljanda valvuriga, jäi tal alles 10 õuna. Mitu õuna ta aias korjas?

"1001 ööd"

10. Ainult “see” ja “see” ning pool “sellest” ja “sellest” – kui palju on see protsent kolmveerandist “sellest” ja “sellest”.

Codex iidne Venemaa(X-XI sajand)

11. Kolm kasakat tulid karjapoisi juurde hobuseid ostma.

"Olgu, ma müün teile hobused," ütles karjapoiss, "ma müün esimesele poole karja ja veel pool hobust, teisele pooled ülejäänud hobused ja teisele poole hobuse ja kolmas. saada ka pooled ülejäänud hobused poole hobusega.

Ma jätan endale ainult 5 hobust."

Kasakad olid üllatunud, kuidas karjapoiss hobused osadeks jagab. Kuid pärast mõningast mõtlemist nad rahunesid ja tehing läks läbi.

Mitu hobust müüs karjapoiss igale kasakale?

12. Keegi küsis õpetajalt: "Ütle mulle, mitu õpilast teil klassis on, sest ma tahan anda teile oma poja õpetama." Õpetaja vastas: "Kui tuleb rohkem õpilasi kui mul on ja poole vähem ja neljas ja teie poeg, siis on mul 100 õpilast." Küsimus on selles, mitu õpilast õpetajal oli?

L. F. Magnitski "Aritmeetika" (1703)

13. Rändur, jõudes teisele järele, küsis temalt: "Kas see on kaugel eesolevast külast?" Teine reisija vastas: "Kaugus külast, kust te lähete, on võrdne kolmandikuga külade vahelisest kogukaugusest. Ja kui kõnnid veel kaks miili, oled täpselt külade vahel. Mitu miili on jäänud esimese reisijani minna?

L. F. Magnitski "Aritmeetika" (1703)

14. Taluperenaine müüs turul mune. Esimene klient ostis temalt pooled munad ja teine ​​pool muna, teine ​​pool ülejäänud ja teine ​​pool muna ning kolmas viimased 10 muna.

Mitu muna talunaine turule tõi?

L. F. Magnitski "Aritmeetika" (1703)

15. Mees ja naine võtsid samast laekast raha ja midagi ei jäänud järgi. Abikaasa võttis 7/10 kogu rahast ja naine 690 rubla. Kui palju kogu raha oli?

L.N. Tolstoi "Aritmeetika"

16. Üks kaheksandik arvust

Võttes lisate sellele mis tahes

Pool kolmesajast

Ja kaheksa ületab

Mitte vähe – viiskümmend

Kolmveerand. mul on hea meel,

Kui see, kes skoori teab

See ütleb mulle numbri.

Johann Hemeling, matemaatikaõpetaja (1800)

17. Kolm võitsid natuke raha. Esimese osa moodustas sellest summast 1/4, teise osa - 1/7 ja kolmanda osa - 17 floriini. Kui suured on kõik võidud?

Adam Rize (Saksamaa, 16. sajand) 18. Otsustades jagada kõik oma säästud võrdselt kõigi poegade vahel, tegi keegi testamendi. „Minu vanim poegadest peaks saama 1000 rubla ja kaheksandiku ülejäänud osast; järgmine - 2000 rubla ja kaheksandik uuest saldost; kolmas poeg - 3000 rubla ja kaheksandik järgmisest saldost jne. ” Määrake poegade arv ja pärandatud säästude suurus.

Leonhard Euler (1780)

19. Kolm inimest tahavad osta maja 24 000 liivri eest. Nad leppisid kokku, et esimene annab poole, teine ​​kolmandiku ja kolmas ülejäänud. Kui palju raha annab kolmas?

Murrud "," Tavaline fraktsioonid". Mäng "Sellest, mida nad suudavad ... vaimseks loendamiseks". Ülesanded teemale " Tavaline fraktsioonid ja tegevus nende peal” 1. U... filosoof, kirjanik. B. Pascal oli erakordselt andekas ja mitmekülgne, tema elu oli...

Pavlikova E.V. (, MAOU Djatkovskaja keskkool nr. 5)

1. Aništšenko E. A. Arv kui matemaatika põhimõiste. Mariupol, 2002.

2. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemaatika. 5. klass: õpik õppeasutustele. - 26. väljaanne, Sr. - M.: Mnemosyne, 2009. - 280 lk.

3. Geiser G.I. Matemaatika ajalugu koolis. Juhend õpetajatele. – M.: Valgustus, 1981. – 239 lk.

4. Matemaatika. 5. klass: üldhariduse õpik. institutsioonid / S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Ševkin. 11. väljaanne, parandatud. – M.: Valgustus, 2016. – 272 lk. - (MSU - kool).

5. Matemaatika entsüklopeediline sõnaraamat. - M., 1988.

6. Dragunsky V. Huumorisoon peab olema. – Juurdepääsurežiim: http://peskarlib.ru/lib.phpid_sst=248.

7. Murdude ajaloost. Juurdepääsurežiim: http://schools.keldysh.ru/sch1905/drobi/history.htm.

8. Materjal Wikipediast – vaba entsüklopeedia. Juurdepääsurežiim: http://ru.wikipedia.org/wiki.

9. Tsitaadid. Juurdepääsurežiim: http://citaty.socratify.net/lev-tolstoi/25013.

Murdude uurimist dikteerib elu ise. Oskus teha erinevaid arvutusi ja arvutusi on vajalik iga inimese jaoks, kuna kohtame murdosasid Igapäevane elu. Tahtsin teada, kust nende numbrite nimi tuli; kes need numbrid välja mõtles, on minu elus vajalik teema “Murrud”, mida koolis õpime.

Õppeobjekt: harilike murdude ajalugu.

Õppeaine: tavalised murrud.

Hüpotees: kui murdu poleks, kas matemaatika saaks areneda?

Eesmärk: kujundus stendi "Matemaatika meie ümber" matemaatikaklassis huvitavaid fakte murdude kohta.

Ülesanded:

1. Uurida murdude tekkelugu matemaatikas;

2. Valige kõige huvitavamad faktid murdude kohta, mida saab kasutada stendi lõikude koostamiseks.

3. Kujunda matemaatikaklassi stend.

Elades murdarvude keskkonnas, ei märka me neid alati selgelt. Sellegipoolest kohtame seda väga sageli: kodus, tänaval, poes. Hommikul ärgates vaatame äratuskella ja kohtume murdarvudega. Murrud kasutame kaupade kaalumisel poes. Mõõtmisel, lasti mahu määramisel. Murrud ümbritsevad meid kõikjal. Murdude abil saame mõõta pikkusi, jagada terviku osadeks. Kuidas aga mõõta inimese pikkust või objektide vahelist kaugust ilma murde teadmata? Ümberringi – murrud!

Asjakohasus: Kaasaegne elu muudab murdude probleemid oluliseks, kuna murrude praktilise kasutamise ulatus laieneb.

Uurimismeetodid:

1. Otsige teavet murdude kohta erinevatest allikatest: Internetist, ilukirjandus, õpikud.

2. Teabe analüüs, võrdlemine, üldistamine ja süstematiseerimine.

Harilike murdude ajaloost

Murdude tekkimine

Juba iidsetest aegadest tuli eluliste praktiliste küsimuste lahendamiseks esemeid loendada ja koguseid mõõta ehk vastata küsimustele “Kui palju?”: Kui palju lambaid on karjas, mitu mõõtu vilja kogutakse. põllult, mitu miili maakonnakeskusest jne Nii ilmusid numbrid. Mõõtmistulemust ega kauba väärtust ei olnud alati võimalik väljendada naturaalarv. Kui inimesel oli vaja välja mõelda uued – murdarvud, siis tekkisid murdarvud. Iidsetel aegadel käsitleti täis- ja murdarve erinevalt: eelistused olid täisarvude poolel. "Kui soovite ühikut jagada, naeruvääristavad matemaatikud teid ega luba teil seda teha," kirjutas Ateena Akadeemia asutaja Platon.

Kõigis tsivilisatsioonides tekkis murdosa mõiste kogu võrdseteks osadeks jagamise protsessist. Venekeelne termin "fraktsioon", nagu ka selle vasted teistes keeltes, pärineb lati keelest. "fractura", mis on omakorda tõlge araabiakeelsest terminist, millel on sama tähendus: purustama, purustama. Seetõttu olid ilmselt kõikjal esimesed murrud kujul 1/n. Edasine areng läheb loomulikult selles suunas, et neid murde käsitletakse ühikutena, millest saab moodustada murde m / n - ratsionaalarvud. Kuid seda teed ei läbinud kõik tsivilisatsioonid: näiteks Vana-Egiptuse matemaatikas ei realiseerunud seda kunagi.

Esimene murdosa, millega inimesed kohtusid, oli pool. Kuigi kõigi järgmiste murdude nimed on seotud nende nimetajate nimedega (kolm - "kolmas", neli - "veerand" jne), pole see poole puhul nii - selle nimel pole kõigis keeltes midagi sõnaga "kaks".

Murdude registreerimise süsteem, nendega töötamise reeglid erinesid märgatavalt nii erinevate rahvaste kui ka sees erinevad ajad samadelt inimestelt. Olulist rolli mängisid ka arvukad ideede laenamised erinevate tsivilisatsioonide vaheliste kultuurikontaktide käigus.

Murrud Venemaal

Vene keeles ilmus sõna "fraktsioon" VIII sajandil, see pärineb tegusõnast "purustama" - purustama, tükkideks murdma. Kaasaegne tähistus fraktsioonid pärinevad iidne India: Ka araablased hakkasid seda kasutama.

Vanadest juhenditest leiame Venemaal järgmised murdude nimed:

Slaavi numeratsiooni kasutati Venemaal kuni 16. sajandini, seejärel hakkas järk-järgult riiki tungima kümnendkohanumbrite süsteem. Lõpuks asendas ta Peeter I all slaavi numeratsiooni.

Maamõõtu kasutati Venemaal veerand ja väiksem - pool neljandikku, mida kutsuti kaheksajalaks. Need olid konkreetsed murrud, ühikud Maa pindala mõõtmiseks, kuid kaheksajalg ei saanud mõõta aega ega kiirust jne. Palju hiljem hakkas kaheksajalg tähendama abstraktset murdosa 1/8, mis võib väljendada mis tahes väärtus. Murdude kasutamise kohta in Venemaa XVII sajandil, saate V. Bellyustini raamatust “Kuidas inimesed järk-järgult jõudsid pärisaritmeetikani” lugeda järgmist: “17. sajandi käsikirjas. "Artikkel dekreedi kõigi osade kohta "algab vahetult murdude kirjaliku tähistamisega ning lugeja ja nimetaja märkimisega. Murdude hääldamisel on huvitavad järgmised tunnused: neljandat osa nimetati veerandiks, samas kui nimetajaga 5 kuni 11 osad väljendati sõnadega lõpuga “ina”, seega 1/7 on nädal, 1/5 on viis, 1/10 on kümnis; aktsiad, mille nimetaja oli suurem kui 10, hääldati sõnadega "koltsid", näiteks 5/13 - viis kolmeteistkümnendat osa. Murdude numeratsioon laenati otse lääne allikatest. Lugejat nimetati ülemiseks numbriks, nimetajat alumiseks numbriks.

Murrud teistes antiikseisundites

Kõik iidsete egiptlaste loendusreeglid põhinesid võimel liita ja lahutada, kahekordistada ja täiendada murde ühega. Murdude jaoks olid erimärgid. Egiptlased kasutasid murde kujul 1/n, kus n on naturaalarv. Selliseid fraktsioone nimetatakse alikvootideks. Mõnikord korrutasid nad m:n jagamise asemel m. n.

Selleks kasutati spetsiaalseid tabeleid. Pean ütlema, et toimingud murdarvudega olid Egiptuse aritmeetika tunnusjoon, kus kõige lihtsamad arvutused muutusid mõnikord keerukateks ülesanneteks. (Rakendus).

Rakendus

Seis "Matemaatika meie ümber"

Tabel "Murdude registreerimine Egiptuses"

See tabel aitas teha keerukaid aritmeetilisi arvutusi kooskõlas aktsepteeritud kaanonitega. Ilmselt õppisid kirjatundjad selle pähe, nii nagu koolilapsed õpivad praegu pähe korrutustabelit. Selle tabeli abil viidi läbi ka arvude jagamine. Egiptlased oskasid ka murde korrutada ja jagada. Kuid korrutamiseks tuli murdu murdosaga korrutada ja siis võib-olla uuesti tabelit kasutada. Jagamine oli veelgi raskem.

Egiptlased teadsid juba iidsetel aegadel jagada 2 õuna kolmeks: selle numbri jaoks oli neil isegi spetsiaalne märk. Muide, see oli Egiptuse kirjatundjate igapäevaelus ainuke murd, mille lugejas ei olnud ühikut - kindlasti oli kõigi teiste murdude lugejas 1 (nn põhimurrud): 1/2, 1/ 3, 1/17, ... jne. Selline suhtumine murdudesse püsis väga pikka aega. Vana-Egiptuse tsivilisatsioon on juba korra hukkunud roheline serv neelas Sahara liivad alla ja kõik fraktsioonid pandi põhisummade summana - kuni renessansi ajani!

Hiinas kehtestati peaaegu kõik aritmeetilised tehted harilike murdudega juba 2. sajandil eKr. eKr e.; neid kirjeldatakse Vana-Hiina matemaatikateadmiste fundamentaalses korpuses – "Matemaatika üheksas raamatus", mille viimane väljaanne kuulub Zhang Tsangile. Eukleidese algoritmiga sarnase reegli (lugeja ja nimetaja suurim ühine jagaja) alusel arvutades vähendasid Hiina matemaatikud murde. Murdude korrutamine esitati ristküliku pindala leidmisena maatükk, mille pikkus ja laius on väljendatud murdarvudena. Jagamist kaaluti jagamise ideed kasutades, samas kui Hiina matemaatikud ei häbenenud, et jagamises osalejate arv võis olla murdosa, näiteks 3 1/2 inimest.

Algselt kasutasid hiinlased lihtsamaid murde, mis said nime bani hieroglüüfi abil:

Keela ("pool") -1 \ 2;

Shao keeld ("väike pool") -1\3;

Tai keeld ("suur pool") - 2 \ 3.

Huvitav on see, et babüloonlased eelistasid konstantset nimetajat (võrdub 60-ga, ilmselt seetõttu, et nende arvusüsteem oli seksagesimaalne).

Ka roomlased kasutasid ainult ühte nimetajat, 12.

Hariliku murdosa kontseptsiooni edasiarendamine saavutati Indias. Selle riigi matemaatikud suutsid kiiresti liikuda ühikmurdudelt üldkuju murdude juurde. Esimest korda leidub selliseid murde Apastamba (VII-V sajand eKr) "Nöörireeglites", mis sisaldavad geomeetrilisi konstruktsioone ja mõningate arvutuste tulemusi. Indias kasutati kirjasüsteemi – võib-olla hiina ja võib-olla hiliskreeka päritolu –, kus nimetaja kohale kirjutati murdu lugeja – nagu meilgi, kuid ilma murdejooneta, kuid kogu murd pandi ristkülikukujuline raam.

India murdude tähistus ja nendega töötamise reeglid assimileeriti 9. sajandil. moslemimaades tänu Khorezmi Muhamedile (al-Khwarizmi). Islamimaade kaubanduspraktikas olid laialdaselt kasutusel üksikmurrud, teaduses kuueaastamurrud ja palju vähemal määral tavamurrud.

Meelelahutuslikud fraktsioonid

"Ilma murdude tundmiseta ei saa kedagi aritmeetikat tundvaks tunnistada!"

Alati, kui inimesed raha kasutavad, kohtavad nad alati murde: keskajal 1 inglise penn = 1/12 šillingit; praegu vene kopek = 1/100 rubla.

Mõõtesüsteemid kannavad murdosasid: 1 sentimeeter \u003d 1/10 detsimeeter \u003d 1/100 meeter.

Igal ajal olid murrud moes. Kolmveerandvarruka stiil on alati asjakohane. Ja 7/8 kärbitud püksid on suurepärane riideese.

Murrudega saab kohtuda erinevates õppetundides. Näiteks geograafias: “NSVL eksisteerimise ajal okupeeris Venemaa kuuendiku maast. Nüüd on Venemaa enda valduses üheksandik maast. AT kaunid kunstid- inimfiguuri kujutamisel. Muusikas – rütm, muusikapala suurus.

Inimene kohtab elus sõna "fraktsioon":

Väikesed pliikuulid jahipüssist laskmiseks – lask.

Sagedased, katkendlikud helid – trummimäng.

Mereväes meeskond "tulistas!" - relvarahu.

Majade numeratsioon. Murru läbiv arv on paigutatud kahe ristuva tänava äärde nummerdatud majade juurde.

Tuli tantsus. Vene rahvatantsu ei saa ette kujutada ilma murdude ja jooksuta.

Hammastega murdosa välja lüüa - hammastega koputada (külmavärin, ehmatus).

Ilukirjanduses. Viktor Dragunski loo "Sul peab olema huumorimeel" kangelane Deniska esitas kord oma sõbrale Mishkale probleemi: kuidas jagada kaks õuna võrdselt kolmeks? Ja kui Mishka lõpuks alla andis, teatas ta võidukalt vastuse: "Keeda kompotti!" Karu ja Denis polnud veel murde läbinud ja teadsid kindlalt, et 2 kolmega ei jagu?

Rangelt võttes on “kokkkompott” toimingud murdosadega. Lõikame õunad tükkideks ja liidame ja lahutame, korrutame ja jagame nende tükkide arvud - kes meid peatab? .. Meile on oluline ainult meeles pidada, kui palju väikeseid tükke moodustavad terve õuna ...

Kuid see pole ainus lahendus sellele probleemile! Iga õun tuleb jagada kolmeks osaks ja jagada neile kolmele kaks sellist osa.

Paljude sajandite jooksul nimetati rahvaste keeltes murdosa murdarvuks. Näiteks tuleb midagi võrdselt jagada, näiteks komm, õun, tükk suhkrut vms. Selleks tuleb tükk suhkrut poolitada või kaheks võrdseks pooleks murda. Sama on numbritega, poole saamiseks tuleb üks ühik jagada või “lõhkuda” kaheks osaks. Sellest ka nimi "katkised" numbrid.

On kolme tüüpi murde:

1. Üksik (alikvoodid) või fraktsioonid (näiteks 1/2, 1/3, 1/4 jne).

2. Süstemaatika, s.o murrud, milles nimetaja on väljendatud arvu astmega (näiteks astmega 10 või 60 jne).

3. Üldvaade, mille lugejaks ja nimetajaks võib olla mis tahes arv.

On murrud "vale" - vale ja "päris" - õige.

Murd on matemaatikas matemaatiliste suuruste esitusviis jagamistehte abil, mis algselt peegeldab mittetäisarvude või murdude kontseptsiooni. Lihtsamal juhul - numbriline murd - kahe arvu suhe

Murrus m / n (loe: “em nth”) nimetatakse rea kohal olevat arvu m lugejaks ja rea ​​all olevat arvu n nimetajaks. Nimetaja näitab, mitmeks võrdseks osaks tervik jagati ja lugeja näitab, kui palju selliseid osi võeti. Murru joont võib mõista jagamise märgina.

Esimene Euroopa teadlane, kes hakkas kasutama ja levitama kaasaegset murdarvude registreerimist, oli Itaalia kaupmees ja rändur, linnaametniku Fibbonacci (Pisa Leonardo) poeg.

Aastal 1202 võttis ta kasutusele sõna "fraktsioon".

Nimed lugeja ja nimetaja võttis 13. sajandil kasutusele kreeka munk, teadlane ja matemaatik Maxim Planud.

Kaasaegne murdude kirjutamise süsteem loodi Indias. Ainult seal kirjutasid nad nimetaja üles ja lugeja alla ega kirjutanud murdrida. Ja kirjutage murrud üles, nagu araablased on nüüd alustanud. Keskajal tehtud toiminguid murdudega peeti matemaatika kõige keerulisemaks valdkonnaks. Seni ütlevad sakslased raskes olukorras oleva inimese kohta, et ta "vajus murdosadeks".

Muusikas mängisid rolli ka tavalised murrud. Ja nüüd on teatud noodikirjas pikk noot – tervik – jagatud pooleks (kaks korda lühem), veeranditeks, kuueteistkümnendikuteks ja kolmekümnesekunditeks. Seega määravad iga muusikateose rütmimustri, ükskõik kui keeruline see ka poleks, tavamurrud. Harmoonia osutus tihedalt seotud murdosadega, mis kinnitas eurooplaste põhiideed: "Arv valitseb maailma."

"Inimene on nagu murdosa: lugeja on tema ise ja nimetaja on see, mida ta endast arvab. Mida suurem on nimetaja, seda väiksem on murd "(L.N. Tolstoi).

Uuringu peamised tulemused

Murdude õpetust peeti matemaatika kõige raskemaks osaks kõigil aegadel ja kõigi rahvaste seas. Neid, kes murdsid tundsid, peeti väga lugu. Vana 15. sajandi slaavi käsikirja autor. kirjutab: "Ei ole üllatav, et ... tervikuna, aga kiiduväärt on see, et aktsiates ...".

Töötades õppisin palju uut ja huvitavat. Lugesin palju raamatuid ja entsüklopeediate rubriike. Tutvusin esimeste murdudega, millega inimesed opereerisid, alikvootmurru mõistega, sain teada uusi nimetusi teadlastele, kes aitasid kaasa murdude õpetuse väljatöötamisele. Töö tegemise käigus sain palju uut teada, arvan, et need teadmised tulevad õppetöös kasuks.

Järeldus: vajadus murdude järele tekkis inimese arengu väga varases staadiumis. Elus pidi inimene mitte ainult objekte loendama, vaid ka suurusi mõõtma. Inimesed mõõtsid pikkusi, maa-alasid, mahtusid, kehamassi, aega ja maksid ostetud või müüdud kaupade eest. Mõõtmistulemust või kauba maksumust ei olnud alati võimalik naturaalarvudes väljendada. Nii tekkisid murrud ja nende käsitlemise reeglid.

Töö praktiline tähendus

Omandasin tekstiredaktoris töötamise oskusi ja töötasin internetiressurssidega. Materjali valisin matemaatikaklassi stendi “Matemaatika meie ümber” kujundamiseks huvitavate faktidega murdude kohta (Lisa). Ja kujundas stendi (lisa).

Uuringu tulemusena kinnitasin hüpoteesi: inimesed ei saanud hakkama ilma murdudeta, ilma murdudeta - matemaatika ei saanud areneda.

Bibliograafiline link

Töö tekst on paigutatud ilma kujutiste ja valemiteta.
Täisversioon töö on PDF-vormingus saadaval vahekaardil "Tööfailid".

Sissejuhatus

Murdude uurimist dikteerib elu ise. Erinevate arvutuste ja arvutuste tegemise oskus on vajalik iga inimese jaoks, kuna igapäevaelus kohtame murdosasid. Tahtsin teada, kust nende numbrite nimi tuli; kes need numbrid välja mõtles, on minu elus vajalik teema “Murrud”, mida koolis õpime.

Õppeobjekt: harilike murdude ajalugu.

Õppeaine: tavalised murrud.

Hüpotees: Kui murde poleks, kas matemaatika saaks areneda?

Eesmärk: matemaatikaklassi stendi “Matemaatika meie ümber” kujundamine huvitavate faktidega murdude kohta.

Ülesanded:

Uurida murdude ilmumise ajalugu matemaatikas;

Valige kõige huvitavamad faktid murdude kohta, mida saab kasutada stendi osade koostamiseks.

Seadke matemaatikaklassis kabiin.

Elades murdarvude keskkonnas, ei märka me neid alati selgelt. Sellegipoolest kohtame seda väga sageli: kodus, tänaval, poes. Hommikul ärgates vaatame äratuskella ja kohtume murdarvudega. Murrud kasutame kaupade kaalumisel poes. Mõõtmisel, lasti mahu määramisel. Murrud ümbritsevad meid kõikjal. Murdude abil saame mõõta pikkusi, jagada terviku osadeks. Kuidas aga mõõta inimese pikkust või objektide vahelist kaugust ilma murde teadmata? Ümberringi – murrud!

Asjakohasus: Tänapäeva elu muudab murrudega seotud probleemid aktuaalseks, kuna murdude praktilise kasutamise ulatus laieneb.

Uurimismeetodid:

1. Otsige teavet murdude kohta erinevatest allikatest: Internetist, ilukirjandusest, õpikutest.

2. Teabe analüüs, võrdlemine, üldistamine ja süstematiseerimine.

1. Harilike murdude ajaloost

1.1. Murdude tekkimine

Juba iidsetest aegadest tuli eluliste praktiliste küsimuste lahendamiseks esemeid loendada ja koguseid mõõta ehk vastata küsimustele “Kui palju?”: Kui palju lambaid on karjas, mitu mõõtu vilja kogutakse. põllult, mitu miili maakonnakeskusest jne Nii ilmusid numbrid. Mõõtmistulemust või kauba maksumust ei olnud alati võimalik naturaalarvudes väljendada. Kui inimesel oli vaja välja mõelda uued – murdarvud, siis tekkisid murdarvud. Iidsetel aegadel käsitleti täis- ja murdarve erinevalt: eelistused olid täisarvude poolel. "Kui soovite ühikut jagada, naeruvääristavad matemaatikud teid ega luba teil seda teha," kirjutas Ateena Akadeemia asutaja Platon.

Kõigis tsivilisatsioonides tekkis murdosa mõiste kogu võrdseteks osadeks jagamise protsessist. Venekeelne termin "fraktsioon", nagu ka selle vasted teistes keeltes, pärineb lati keelest. "fractura", mis on omakorda tõlge araabiakeelsest terminist, millel on sama tähendus: purustama, purustama. Seetõttu olid ilmselt kõikjal esimesed murrud kujul 1/n. Edasine areng läheb loomulikult selles suunas, et neid murde käsitletakse ühikutena, millest saab moodustada murde m / n - ratsionaalarvud. Kuid seda teed ei läbinud kõik tsivilisatsioonid: näiteks Vana-Egiptuse matemaatikas ei realiseerunud seda kunagi.

Esimene murdosa, millega inimesed kohtusid, oli pool. Kuigi kõigi järgmiste murdude nimed on seotud nende nimetajate nimedega (kolm - "kolmas", neli - "veerand" jne), pole see poole puhul nii - selle nimel pole kõigis keeltes midagi sõnaga "kaks".

Murdude registreerimise süsteem, nendega töötamise reeglid erinesid märgatavalt nii erinevate rahvaste kui ka erinevatel aegadel samade inimeste vahel. Olulist rolli mängisid ka arvukad ideede laenamised erinevate tsivilisatsioonide vaheliste kultuurikontaktide käigus.

1.2. Murrud Venemaal

Vene keeles ilmus sõna "fraktsioon" VIII sajandil, see pärineb tegusõnast "purustama" - purustama, tükkideks murdma. Tänapäevane fraktsioonide tähistus pärineb iidsest Indiast: seda hakkasid kasutama ka araablased.

Vanadest juhenditest leiame Venemaal järgmised murdude nimed:

Slaavi numeratsiooni kasutati Venemaal kuni 16. sajandini, seejärel hakkas järk-järgult riiki tungima kümnendkohanumbrite süsteem. Lõpuks asendas ta Peeter I all slaavi numeratsiooni.

Maamõõtu kasutati Venemaal veerand ja väiksem - pool neljandikku, mida kutsuti kaheksajalaks. Need olid konkreetsed murrud, ühikud Maa pindala mõõtmiseks, kuid kaheksajalg ei saanud mõõta aega ega kiirust jne. Palju hiljem hakkas kaheksajalg tähendama abstraktset murdosa 1/8, mis võib väljendada mis tahes väärtus. Murdude kasutamisest Venemaal 17. sajandil saab lugeda V. Belljustini raamatust “Kuidas inimesed tasapisi pärisaritmeetikani jõudsid”: “17. sajandi käsikirjas. "Artikkel dekreedi kõigi osade kohta "algab vahetult murdude kirjaliku tähistamisega ning lugeja ja nimetaja märkimisega. Murdude hääldamisel on huvitavad järgmised tunnused: neljandat osa nimetati veerandiks, samas kui nimetajaga 5 kuni 11 osad väljendati sõnadega lõpuga “ina”, seega 1/7 on nädal, 1/5 on viis, 1/10 on kümnis; aktsiad, mille nimetaja oli suurem kui 10, hääldati sõnadega "koltsid", näiteks 5/13 - viis kolmeteistkümnendat osa. Murdude numeratsioon laenati otse lääne allikatest. Lugejat nimetati ülemiseks numbriks, nimetajat alumiseks numbriks.

1.3. Murrud teistes antiikseisundites

Kõik punktiarvestuse reeglid iidsed egiptlased põhineb oskusel liita ja lahutada, kahekordistada ja täiendada murde ühega. Murdude jaoks olid erimärgid. Egiptlased kasutasid murde kujul 1/n, kus n on naturaalarv. Selliseid murde nimetatakse alikvoot. Mõnikord korrutasid nad m:n jagamise asemel m ∙ n.

Selleks kasutati spetsiaalseid tabeleid. Pean ütlema, et toimingud murdarvudega olid Egiptuse aritmeetika tunnusjoon, kus kõige lihtsamad arvutused muutusid mõnikord keerukateks ülesanneteks. (3. lisa)

See tabel aitas teha keerukaid aritmeetilisi arvutusi kooskõlas aktsepteeritud kaanonitega. Ilmselt õppisid kirjatundjad selle pähe, nii nagu koolilapsed õpivad praegu pähe korrutustabelit. Selle tabeli abil viidi läbi ka arvude jagamine. Egiptlased oskasid ka murde korrutada ja jagada. Kuid korrutamiseks tuli murdu murdosaga korrutada ja siis võib-olla uuesti tabelit kasutada. Jagamine oli veelgi raskem.

Egiptlased teadsid juba iidsetel aegadel jagada 2 õuna kolmeks: selle numbri jaoks oli neil isegi spetsiaalne märk. Muide, see oli Egiptuse kirjatundjate igapäevaelus ainuke murd, mille lugejas ei olnud ühikut - kindlasti oli kõigi teiste murdude lugejas 1 (nn põhimurrud): 1/2, 1/ 3, 1/17, ... jne. Selline suhtumine murdudesse püsis väga pikka aega. Vana-Egiptuse tsivilisatsioon on juba hukkunud, kunagise rohelise maa neelas Sahara liiv ja kõik fraktsioonid pandi põhisummade summasse - kuni renessansi ajani!

Hiinas peaaegu kõik aritmeetilised tehted harilike murdudega kehtestati 2. sajandiks eKr. eKr e.; neid kirjeldatakse Vana-Hiina matemaatikateadmiste fundamentaalses korpuses – "Matemaatika üheksas raamatus", mille viimane väljaanne kuulub Zhang Tsangile. Eukleidese algoritmiga sarnase reegli (lugeja ja nimetaja suurim ühine jagaja) alusel arvutades vähendasid Hiina matemaatikud murde. Murdude korrutamine esitati ristkülikukujulise maatüki pindala leidmisena, mille pikkus ja laius on väljendatud murdarvudes. Jagamist kaaluti jagamise ideed kasutades, samas kui Hiina matemaatikud ei häbenenud, et jagamises osalejate arv võis olla murdosa, näiteks 3⅓ inimest.

Algselt kasutasid hiinlased lihtsamaid murde, mis said nime bani hieroglüüfi abil:

bani ("pool") -12;

shao keeld ("väike pool") -13;

tai keeld ("suur pool") -23. See on huvitav babüloonlased eelistas konstantset nimetajat (võrdub 60-ga, sest ilmselt oli nende arvusüsteem seksagesimaalne).

roomlased kasutas ka ainult ühte nimetajat, mis võrdub 12-ga.

Hariliku murru kontseptsiooni edasiarendamine saavutati aastal India. Selle riigi matemaatikud suutsid kiiresti liikuda ühikmurdudelt üldkuju murdude juurde. Esimest korda leidub selliseid murde Apastamba (VII-V sajand eKr) "Nöörireeglites", mis sisaldavad geomeetrilisi konstruktsioone ja mõningate arvutuste tulemusi. Indias kasutati kirjasüsteemi – võib-olla hiina ja võib-olla hiliskreeka päritolu –, kus nimetaja kohale kirjutati murdu lugeja – nagu meilgi, kuid ilma murdejooneta, kuid kogu murd pandi ristkülikukujuline raam.

India murdude tähistus ja nendega töötamise reeglid assimileeriti 9. sajandil. moslemimaades tänu Khorezmi Muhamedile (al-Khwarizmi). Islamimaade kaubanduspraktikas olid laialdaselt kasutusel üksikmurrud, teaduses kuueaastamurrud ja palju vähemal määral tavamurrud.

Meelelahutuslikud fraktsioonid

"Ilma murdude tundmiseta ei saa kedagi aritmeetikat tundvaks tunnistada!" (Cicero)

Alati, kui inimesed raha kasutavad, kohtavad nad alati murde: keskajal 1 inglise penn = 1/12 šillingit; praegu vene kopek = 1/100 rubla.

Mõõtesüsteemid kannavad murdosasid: 1 sentimeeter \u003d 1/10 detsimeeter \u003d 1/100 meeter.

Igal ajal olid murrud moes. Kolmveerandvarruka stiil on alati asjakohane. Ja 7/8 kärbitud püksid on suurepärane riideese.

Võite kohata murde erinevates tundides. Näiteks geograafias: “NSVL eksisteerimise ajal okupeeris Venemaa kuuendiku maast. Nüüd on Venemaa enda valduses üheksandik maast. Kujutavas kunstis – inimfiguuri kujutamisel. Muusikas – rütm, muusikapala suurus.

Inimene kohtub sõnaga "fraktsioon" elus:

Väikesed pliikuulid jahipüssist laskmiseks – lask.

Sagedased, katkendlikud helid – trummimäng.

Mereväes meeskond "tulistas!" - relvarahu.

Majade numeratsioon. Murru läbiv arv on paigutatud kahe ristuva tänava äärde nummerdatud majade juurde.

Tuli tantsus. Vene rahvatantsu ei saa ette kujutada ilma murdude ja jooksuta.

Hammastega murdosa välja lüüa - hammastega koputada (külmavärin, ehmatus).

Ilukirjanduses. Viktor Dragunski loo "Sul peab olema huumorimeel" kangelane Deniska esitas kord oma sõbrale Mishkale probleemi: kuidas jagada kaks õuna võrdselt kolmeks? Ja kui Mishka lõpuks alla andis, teatas ta võidukalt vastuse: "Keeda kompotti!" Karu ja Denis polnud veel murde läbinud ja teadsid kindlalt, et 2 kolmega ei jagu?

Rangelt võttes on “kokkkompott” toimingud murdosadega. Lõikame õunad tükkideks ja liidame ja lahutame, korrutame ja jagame nende tükkide arvud - kes meid peatab? .. Meile on oluline ainult meeles pidada, kui palju väikeseid tükke moodustavad terve õuna ...

Kuid see pole ainus lahendus sellele probleemile! Iga õun tuleb jagada kolmeks osaks ja jagada neile kolmele kaks sellist osa.

Paljude sajandite jooksul nimetati rahvaste keeltes murdosa murdarvuks. Näiteks tuleb midagi võrdselt jagada, näiteks komm, õun, tükk suhkrut vms. Selleks tuleb tükk suhkrut poolitada või kaheks võrdseks pooleks murda. Sama on numbritega, poole saamiseks tuleb üks ühik jagada või "lõhkuda" kaheks osaks. Sellest ka nimi "katkised" numbrid.

On kolme tüüpi murde:

Üksikud (alikvoodid) või fraktsioonid (nt 1/2, 1/3, 1/4 jne).

Süstemaatilised, s.o murrud, milles nimetajat väljendatakse arvu astmega (näiteks astmega 10 või 60 jne).

Üldvorm, milles lugejaks ja nimetajaks võib olla mis tahes arv.

On murrud "vale" - vale ja "päris" - õige.

Murd matemaatikas- matemaatiliste suuruste esitusviis, kasutades jagamistehte, mis algselt kajastab mittetäisarvude või murdude kontseptsiooni. Lihtsamal juhul on arvuline murd kahe arvu suhe.

m:n=m/n

Murdsõnaliselt m/ n (loe: “em n”) number m rea kohal asuvat numbrit nimetatakse lugejaks ja joone all olevat arvu n nimetajaks. Nimetaja näitab, mitmeks võrdseks osaks tervik jagati ja lugeja näitab, kui palju selliseid osi võeti. Murru joont võib mõista jagamise märgina.

Esimene Euroopa teadlane, kes hakkas kasutama ja levitama kaasaegset murdarvude registreerimist, oli Itaalia kaupmees ja rändur, linnaametniku Fibbonacci (Pisa Leonardo) poeg.

Aastal 1202 võttis ta kasutusele sõna "fraktsioon".

Nimed lugeja ja nimetaja võttis 13. sajandil kasutusele kreeka munk, teadlane ja matemaatik Maxim Planud.

Kaasaegne murdude kirjutamise süsteem loodi Indias. Ainult seal kirjutasid nad nimetaja üles ja lugeja alla ega kirjutanud murdrida. Ja kirjutage murrud üles, nagu araablased on nüüd alustanud. Keskajal tehtud toiminguid murdudega peeti matemaatika kõige keerulisemaks valdkonnaks. Seni ütlevad sakslased raskes olukorras oleva inimese kohta, et ta "vajus murdosadeks".

Muusikas mängisid rolli ka tavalised murrud. Ja nüüd on teatud noodikirjas pikk noot – tervik – jagatud pooleks (poole lühem), veeranditeks, kuueteistkümnendikuteks ja kolmekümnesekunditeks. Seega määravad iga muusikateose rütmimustri, ükskõik kui keeruline see ka poleks, tavamurrud. Harmoonia osutus tihedalt seotud murdosadega, mis kinnitas eurooplaste põhiideed: "Arv valitseb maailma."

"Inimene on nagu murdosa: lugeja on tema ise ja nimetaja on see, mida ta endast arvab. Mida suurem on nimetaja, seda väiksem on murd "(L.N. Tolstoi).

Uuringu peamised tulemused

Murdude õpetust peeti matemaatika kõige raskemaks osaks kõigil aegadel ja kõigi rahvaste seas. Neid, kes murdsid tundsid, peeti väga lugu. Vana 15. sajandi slaavi käsikirja autor. kirjutab: "Ei ole üllatav, et ... tervikuna, aga kiiduväärt on see, et aktsiates ...".

Töötades õppisin palju uut ja huvitavat. Lugesin palju raamatuid ja entsüklopeediate rubriike. Tutvusin esimeste murdudega, millega inimesed opereerisid, alikvootmurru mõistega, sain teada uusi nimetusi teadlastele, kes aitasid kaasa murdude õpetuse väljatöötamisele. Töö tegemise käigus sain palju uut teada, arvan, et need teadmised tulevad õppetöös kasuks.

Järeldus: Vajadus murdude järele tekkis inimese arengu väga varases staadiumis. Elus pidi inimene mitte ainult objekte loendama, vaid ka suurusi mõõtma. Inimesed mõõtsid pikkusi, maa-alasid, mahtusid, kehamassi, aega ja maksid ostetud või müüdud kaupade eest. Mõõtmistulemust või kauba maksumust ei olnud alati võimalik naturaalarvudes väljendada. Nii tekkisid murrud ja nende käsitlemise reeglid.

Töö praktiline tähtsus:

Omandasin tekstiredaktoris töötamise oskusi ja töötasin internetiressurssidega. Kaunistamiseks valisin materjali stendi "Matemaatika meie ümber" matemaatika kabinetis huvitavate faktidega murdude kohta (lisa 1). Ja kujundas stendi (lisa).

Uuringu tulemusena Kinnitasin hüpoteesi: inimesed ei saanud hakkama ilma murdudeta, ilma murdudeta – matemaatika ei saanud areneda.

Bibliograafia

Anishchenko EA Number kui matemaatika põhikontseptsioon. Mariupol, 2002.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemaatika. 5. klass: õpik õppeasutustele / - 26. tr., Sr. - M.: Mnemosyne, 2009. - 280 lk.

Geiser G.I. Matemaatika ajalugu koolis. Juhend õpetajatele. - M.: Valgustus, 1981. - 239 lk.

Matemaatika. 5. klass: üldhariduse õpik. institutsioonid. [CM. Nikolski, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Ševkin]. - 11. väljaanne, muudetud. - M .: Haridus, 2016. - 272 lk. - (MSU - kool).

Matemaatiline entsüklopeediline sõnaraamat. - M., 1988.

Kaugjuurdepääsu elektroonilised ressursid (Internet)

1. Dragunsky V. "Sul peab olema huumorimeel." Juurdepääsurežiim : http://peskarlib.ru/lib.php?id_sst=248

   Murdude ajaloost. Juurdepääsurežiim: http://schools.keldysh.ru/sch1905/drobi/history.htm -

3. Materjal Wikipediast – vaba entsüklopeedia. Juurdepääsurežiim: http://ru.wikipedia.org/wiki

Tsitaat. Juurdepääsurežiim: http://citaty.socratify.net/lev-tolstoi/25013.

Rakendused

Seis "Matemaatika meie ümber"

Tabel "Murdude registreerimine Egiptuses"

» artikkel ««. Artikkel on vastus meie lugejate küsimusele: “Meie last huvitab matemaatika. Mida saab "fraktsioonide" teemal pakkuda huvitavat, kasulikku, ebatavalist, arendavat. Meile ei meeldi tükkideks lõigatud koogid."

Meie vastus on murdude visuaalne sümmeetria. Üldiselt on matemaatika teadus. Algselt töötati see teadusena välja aastal kõrgeim aste konkreetne, päris. Tema subjektid olid reaalsed objektid, objektid, asjad. Kuid siis, alustades Pythagorasest ja tema kuulsast väljakust, hakkas matemaatika minema abstraktseks. See tähendab, et see pole seotud tegeliku reaalsusega.

Sellest võib muidugi kasu olla erinevate kõrgemate asjade arvutamisel. Aga põhitõdede õppimisel matemaatikat on kõige parem kasutada nii palju kui võimalik materjalist näiteid.

See tähendab, et minimaalselt tegusid meeles, maksimaalselt massidega.

See toimib ka siis, kui õpilane on 18-aastane ja vajab kiiresti matemaatikat täiendamist. Võtke veidi aega, et anda aine mass, materiaalsus – ja õppimine läheb palju kiiremini.

Sellest vaatevinklist on kõige rohkem koogid (va hambad ei pruugi väga head olla 🙂). Kuid palju lihtsam ja palju odavam on kasutada oksi, pulgakesi. Milliseid lapsed saavad ISESEISEVULT vajalikeks osadeks jagada.

Muidugi on see alguses lihtsalt võsa. Kuid järk-järgult, järk-järgult võite jõuda asjani. Näiteks murdude sümmeetriale.

Niisiis kirjeldame olulisusest lähtuvalt ja küsimust arvesse võttes materjali, millega koolis tavaliselt ei arvestata.

Murdude visuaalne sümmeetria on nii teadus, esteetika kui ka areng.

Metoodilised küsimused

Järgnevad pildid. Ilma vähimategi küsimusteta on lastele piltide näitamine praktiliselt KASUTATUD. Parimal juhul ütlevad nad viisakalt "vau ..." ja lähevad arvutit mängima.

Piltide asemel peaksid olema tõelised, kõvad esemed . Näiteks tema poolt vajalikeks osadeks murtud oksad. Pange tähele, et alates sellest fraktsioonid(sõnast "purustama"), siis ei tohi anda tikke jne. ja paluda neist välja panna. See peab olema midagi terviklikku, mis on jagatud vajalikeks osadeks.

Kui istutate lapse maha ja asetate oksad tema ette allpool soovitatud kujul, siis võib ta isegi olla huvitatud. Aga mitte rohkem. Ja kui palud tal viie päeva pärast nähtut korrata, siis ta ei saa seda teha. See tähendab, et ta oli lihtsalt üllatunud, kuna nad on üllatunud asjatute, kuid lõbusate faktide üle (näiteks "kui paned kõik veresooned ühte ritta, võite terve karja elevante paksu kookonisse mähkida").

Kui tahad lapsele hüvesid, siis tema SAM peab välja murdma ja välja panema allpool soovitatud reeglid. Muidugi ei pea kõike korraga tegema.

1. Järk-järgult, pulga haaval, valmis joonis.
2. Palun otsige mustreid.
3. Aeg "mõtlemiseks" - võib-olla päev ja võib-olla nädal.
4. Palun kirjutage leitud muster üles.
5. Palun kontrollige mustrit praktikas.

Pärast seda saate liikuda järgmise mustrite rühma juurde.

Tegelikult murdude sümmeetria.

Pöörake tähelepanu joonisele.

Tekib sümmeetria, mille moodustavad terviku murdosad. Sümmeetriat on kahel kujul:

• visuaalne, kujundlik
• visuaalne, numbriline.

Niisiis, see ei osutus lihtsalt ilusaks siledaks kõveraks. Numbriline muster: esiteks, murdosa ülaosas - üks ja allosas väheneb arv ühe võrra. Ja pärast 1/2 on veel üks muster - nii ülemine kui ka alumine arv suurenevad ühe võrra.

Tegelikult filosoofiline küsimus: miks annab nimetaja (või lugeja ja nimetaja) ühe võrra suurendamine ilusa sujuva kõvera?

Ehk leiavad lapsed küsimusele vastuse 🙂

Eriti kui järgite juhiste samme 1–5.

Nüüd liigume teise murdude sümmeetriamomendi juurde. Sama joonis, kuid väikese täiendusega:

Nagu näete, on lugeja ja nimetaja ühe võrra muutmise muster peegelsümmeetriline.

Nüüd järgmine sümmeetriahetk. Lõikame diagrammi neljaks osaks ja peegeldame vasakut ülanurka. Saate selle pildi:

Nõus, sümmeetriat on rohkem. Kuid meil on endiselt valge täitmata keskus. See on sümmeetriline ... Äkki on selles mingi muster? Kontrollime:

Nii et jah! Nii lugejat kui ka nimetajat vähendatakse ühe võrra. Kuid lugeja ja nimetaja erinevus on erinev - 2 ühikut.

Nüüd on aeg meeles pidada, et murde saab vähendada:

See on huvitav, kuid ka siin on sümmeetria - lugejat ja nimetajat vähendatakse ühe võrra. Samuti on nende erinevus üks.

Kuid meil on endiselt tühje rakke ... Mis on ilmselt ka loomulikud:

Ja jälle asja juurde! Sama muster on ühe võrra vähenemine ja erinevus on üks.

Siin on mõned huvitavad asjad murdude sümmeetria kohta. Pärast mustri õppimist saate sümmeetria leida mis tahes murdudest mis tahes viisil.

Vihje vanematele (või midagi sellist, millest oleks tore lapsel aru saada):

Regulaarne vahetus annab sümmeetrilise mustri.

Meie puhul muutuvad murrud loomulikult. Kuid see kehtib ka kõigi teiste nähtuste kohta ümbritsevas maailmas.

Ei usu? Vaata järgi! 🙂

Kirjutage oma tagasiside ja näpunäited kommentaaridesse!