Fraktaalelemendid. Fraktaalid algarvudes

Fraktal

Fraktal (lat. fractus- purustatud, purustatud, purustatud) on geomeetriline kujund, millel on enesesarnasuse omadus, see tähendab, et see koosneb mitmest osast, millest igaüks on sarnane kogu figuuriga. Matemaatikas mõistetakse fraktaale eukleidilise punktide kogumina ruum, millel on murdosa meetriline mõõde (Minkowski või Hausdorffi tähenduses) või topoloogilisest erinev meetriline mõõde. Fraktasm on iseseisev täppisteadus, mis uurib ja koostab fraktaleid.

Teisisõnu, fraktaalid on murdosalise mõõtmega geomeetrilised objektid. Näiteks joone mõõde on 1, pindala on 2 ja ruumala on 3. Fraktaali puhul võib mõõtme väärtus olla vahemikus 1 kuni 2 või vahemikus 2 kuni 3. Näiteks kortsutatud fraktaalmõõde paberipall on umbes 2,5. Matemaatikas on fraktaalide mõõtme arvutamiseks spetsiaalne kompleksvalem. Hingetoru torude oksad, lehed puudel, veenid käes, jõgi - need on fraktaalid. Lihtsamalt öeldes on fraktaal geomeetriline kujund, mille teatud osa kordub ikka ja jälle, muutudes suuruselt – see on enesesarnasuse printsiip. Fraktalid on iseendaga sarnased, nad on iseendaga sarnased kõigil tasanditel (s.t. mis tahes skaalal). Fraktaleid on palju erinevaid. Põhimõtteliselt võib väita, et kõik, mis reaalses maailmas eksisteerib, on fraktal, olgu see siis pilv või hapnikumolekul.

Sõna "kaos" paneb mõtlema millelegi ettearvamatule, kuid tegelikult on kaos üsna korrapärane ja järgib teatud seadusi. Kaose ja fraktaalide uurimise eesmärk on ennustada mustreid, mis esmapilgul võivad tunduda ettearvamatud ja täiesti kaootilised.

Teerajajaks selles teadmistevaldkonnas oli prantsuse-ameerika matemaatik, professor Benoit B. Mandelbrot. 1960. aastate keskel töötas ta välja fraktaalgeomeetria, mille eesmärk oli analüüsida purunenud, kortsus ja hägusaid kujundeid. Mandelbroti komplekt (näidatud joonisel) on esimene assotsiatsioon, mis tekib inimeses, kui ta kuuleb sõna “fraktal”. Muide, Mandelbrot tegi kindlaks, et Inglise rannajoone fraktaalmõõde on 1,25.

Fraktaleid kasutatakse teaduses üha enam. Need kirjeldavad tegelikku maailma isegi paremini kui traditsiooniline füüsika või matemaatika. Browni liikumine on näiteks vees hõljuvate tolmuosakeste juhuslik ja kaootiline liikumine. Seda tüüpi liikumine on võib-olla fraktaalgeomeetria aspekt, millel on kõige praktilisem kasutus. Juhuslikul Browni liikumisel on sageduskarakteristik, mida saab kasutada suurte andmemahtude ja statistikaga seotud nähtuste ennustamiseks. Näiteks ennustas Mandelbrot villahindade muutusi Browni liikumise abil.

Sõna "fraktal" ei saa kasutada ainult matemaatilise terminina. Ajakirjanduses ja populaarteaduslikus kirjanduses võib fraktaalit nimetada figuuriks, millel on mõni järgmistest omadustest:

Sellel on mittetriviaalne struktuur kõigil skaaladel. See on vastupidine tavakujudele (nagu ring, ellips, silefunktsiooni graafik): kui vaadelda tavakujundi väikest fragmenti väga suures skaalas, näeb see välja nagu sirge fragment. Fraktaali puhul ei too skaala suurendamine kaasa struktuuri lihtsustamist, kõigil skaaladel näeme ühtviisi keerulist pilti.

On enesesarnane või ligikaudu enesesarnane.

Sellel on murdosa meetriline mõõde või meetriline mõõde, mis ületab topoloogilist mõõdet.

Fraktaalide kõige kasulikum kasutus arvutitehnoloogias on fraktaaliandmete tihendamine. Samas tihendatakse pilte palju paremini, kui seda tehakse tavameetoditega – kuni 600:1. Fraktaalse tihenduse teine ​​eelis on see, et suurendamisel puudub piksliefekt, mis halvendab pilti dramaatiliselt. Pealegi näeb fraktaalselt tihendatud pilt pärast suurendamist sageli veelgi parem välja kui enne. Arvutiteadlased teavad ka, et lõpmatu keerukuse ja iluga fraktaleid saab genereerida lihtsate valemitega. Filmitööstus kasutab laialdaselt fraktaalgraafika tehnoloogiat, et luua realistlikke maastikuelemente (pilved, kivid ja varjud).

Voolude turbulentsi uurimine kohandub fraktaalidega väga hästi. See võimaldab meil paremini mõista keeruliste voogude dünaamikat. Fraktaalide abil saate simuleerida ka leeke. Poorsed materjalid on fraktaalkujul hästi esindatud, kuna neil on väga keeruline geomeetria. Andmete edastamiseks vahemaa tagant kasutatakse fraktaalkujuga antenne, mis vähendab oluliselt nende suurust ja kaalu. Fraktaale kasutatakse pindade kumeruse kirjeldamiseks. Ebatasast pinda iseloomustab kahe erineva fraktaali kombinatsioon.

Paljudel looduses leiduvatel objektidel on fraktaalomadused, näiteks rannikul, pilvedel, puuvõradel, lumehelvestel, inimeste või loomade vereringeel ja alveolaarsüsteemil.

Fraktalid, eriti lennukis, on populaarsed tänu ilu kombinatsioonile arvuti abil ehitamise lihtsusega.

Esimesed näited isesarnastest, ebatavaliste omadustega komplektidest ilmusid 19. sajandil (näiteks Bolzano funktsioon, Weierstrassi funktsioon, Cantori komplekt). Mõiste "fraktal" võttis kasutusele Benoit Mandelbrot 1975. aastal ja see saavutas laialdase populaarsuse oma raamatu "Fractal Geometry of Nature" avaldamisega 1977. aastal.

Vasakpoolsel pildil on lihtne näide Darer Pentagoni fraktalist, mis näeb välja nagu hunnik kokku surutud viisnurki. See moodustatakse tegelikult viisnurka kasutades initsiaatorina ja võrdhaarsed kolmnurgad, suurema ja väiksema külje suhe, milles on generaatorina täpselt võrdne nn kuldse lõikega (1,618033989 või 1/(2cos72°)). Need kolmnurgad lõigatakse iga viisnurga keskelt, mille tulemuseks on kuju, mis näeb välja nagu 5 väikest viisnurka, mis on liimitud ühe suure külge.

Kaoseteooria ütleb, et keerulised mittelineaarsed süsteemid on pärilikult ettearvamatud, kuid samas väidetakse, et viis selliste ettearvamatute süsteemide väljendamiseks osutub õigeks mitte täpsetes võrdsustes, vaid süsteemi käitumise esitustes – kummaliste graafikutes. atraktorid, mis on fraktaalide kujul. Seega osutub kaoseteooria, mida paljud arvavad kui ettearvamatust, ennustatavuse teaduseks ka kõige ebastabiilsemates süsteemides. Dünaamiliste süsteemide uurimine näitab, et lihtsad võrrandid võivad põhjustada kaootilist käitumist, mille puhul süsteem ei naase kunagi stabiilsesse olekusse ja mustrit ei ilmu. Sageli käituvad sellised süsteemid üsna normaalselt kuni võtmeparameetri teatud väärtuseni, seejärel kogevad üleminekut, kus edasiarendamiseks on kaks võimalust, seejärel neli ja lõpuks kaootiline võimaluste kogum.

Tehnilistes objektides toimuvate protsesside skeemidel on selgelt määratletud fraktaalstruktuur. Minimaalne struktuur tehniline süsteem(TS) tähendab kahte tüüpi protsesside - peamise ja toetavate - esinemist TS-is ning see jaotus on tingimuslik ja suhteline. Mis tahes protsess võib olla peamine tugiprotsesside suhtes ja mis tahes toetavaid protsesse võib pidada peamiseks "oma" toetavate protsesside suhtes. Diagrammil olevad ringid tähistavad füüsilisi efekte, mis tagavad nende protsesside toimumise, mille jaoks pole vaja spetsiaalselt “oma” sõidukeid luua. Need protsessid on ainete, väljade, ainete ja väljade vastastikmõju tulemus. Täpsustuseks võib öelda, et füüsiline efekt on sõiduk, mille tööpõhimõtet me mõjutada ei saa ja mille konstruktsiooni me ei taha ega ka võimalust segada.

Diagrammil näidatud põhiprotsessi kulgemise tagab kolme tugiprotsessi olemasolu, mis on neid genereerivate TS-de jaoks peamised. Ausalt öeldes märgime, et isegi minimaalse TS-i toimimiseks ei piisa selgelt kolmest protsessist, s.t. Skeem on väga-väga liialdatud.

Kõik pole kaugeltki nii lihtne, nagu diagrammil näidatud. Protsessi, mis on kasulik (inimesele vajalik), ei saa teostada sajaprotsendilise efektiivsusega. Hajuv energia kulub kahjulike protsesside tekitamiseks – küte, vibratsioon jne. Selle tulemusena tekivad paralleelselt kasuliku protsessiga kahjulikud. Alati ei ole võimalik "halba" protsessi asendada "heaga", mistõttu tuleb korraldada uusi protsesse, mille eesmärk on kompenseerida süsteemile kahjulikke tagajärgi. Tüüpiline näide on vajadus võidelda hõõrdumise vastu, mis sunnib korraldama geniaalseid määrimisskeeme, kasutama kalleid hõõrdumist takistavaid materjale või kulutama aega komponentide ja osade määrimisele või nende perioodilisele väljavahetamisele.

Muutuva keskkonna vältimatu mõju tõttu võib osutuda vajalikuks mõnda kasulikku protsessi juhtida. Juhtimine võib toimuda kas automaatsete seadmete abil või otse inimese poolt. Protsessi skeem on tegelikult spetsiaalsete käskude kogum, st. algoritm. Iga käsu olemus (kirjeldus) on ühe kasuliku protsessi, sellega kaasnevate kahjulike protsesside ja vajalike juhtimisprotsesside kogum. Sellises algoritmis on toetavate protsesside kogum tavaline alamprogramm – ja siin avastame ka fraktali. Veerand sajandit tagasi loodud R. Kolleri meetod võimaldab luua süsteeme, millel on üsna piiratud hulk vaid 12 funktsioonide (protsesside) paari.

Matemaatikas ebatavaliste omadustega isesarnased hulgad

Alates 19. sajandi lõpust on matemaatikas ilmunud näiteid enesesarnastest objektidest, mille omadused on klassikalise analüüsi seisukohalt patoloogilised. Nende hulka kuuluvad järgmised:

Cantori komplekt on mittekusagil tihe loendamatu täiuslik komplekt. Protseduuri muutes on võimalik saada ka mittekusagil tihe positiivse pikkusega komplekt.

Sierpinski kolmnurk (“laudlina”) ja Sierpinski vaip on lennukile seatud Cantori analoogid.

Mengeri käsn on analoog Cantorile, mis on seatud kolmemõõtmelisse ruumi;

näited Weierstrassist ja Van der Waerdenist ei ole kusagil eristatavad pidev funktsioon.

Kochi kõver on mitte-iselõikuv lõpmatu pikkusega pidevkõver, millel ei ole üheski punktis puutujat;

Peano kõver on pidev kõver, mis läbib ruudu kõiki punkte.

Browni osakese trajektoor ei ole ka tõenäosusega 1 kusagil diferentseeritav. Selle Hausdorffi mõõde on kaks

Rekursiivne protseduur fraktaalkõverate saamiseks

Kochi kõvera konstrueerimine

Fraktaalkõverate saamiseks tasapinnal on lihtne rekursiivne protseduur. Määratleme suvalise katkendjoone, millel on lõplik arv linke, mida nimetatakse generaatoriks. Järgmisena asendame iga segmendi selles generaatoriga (täpsemalt generaatoriga sarnase katkendjoonega). Saadud katkendjoonel asendame iga segmendi uuesti generaatoriga. Jätkates lõpmatuseni, saame piiris fraktaalkõvera. Parempoolne joonis näitab selle protseduuri nelja esimest etappi Kochi kõvera jaoks.

Selliste kõverate näited on:

draakoni kõver,

Kochi kõver (Kochi lumehelves),

Lewy kõver,

Minkowski kõver,

Hilberti kõver,

Draakoni murtud (kõver) (Harter-Haithway fraktal),

Peano kõver.

Sarnase protseduuri abil saadakse Pythagorase puu.

Fraktalid kui tihenduskaardistuse fikseeritud punktid

Enesesarnasuse omadust saab matemaatiliselt väljendada rangelt järgmiselt. Olgu tasapinna kontraktiivne kaardistamine. Kaaluge järgmist kaardistamist tasapinna kõigi kompaktsete (suletud ja piiratud) alamhulkade hulgas:

Võib näidata, et kaardistamine on Hausdorffi meetrikaga kompaktide komplekti kokkutõmbumise kaardistamine. Seetõttu on Banachi teoreemi kohaselt sellel kaardistusel ainulaadne fikseeritud punkt. Sellest fikseeritud punktist saab meie fraktal.

Eespool kirjeldatud rekursiivne protseduur fraktaalkõverate saamiseks on selle konstruktsiooni erijuhtum. Kõik selles olevad vastendused on sarnasuse vastendused ja - generaatori linkide arv.

Sest Sierpinski kolmnurk ja kaart , on homoteetsed, mille keskpunktid on korrapärase kolmnurga tippudes ja koefitsient 1/2. On lihtne näha, et Sierpinski kolmnurk muutub kuvamisel iseendaks.

Juhul, kui vastendused on koefitsientidega sarnasusteisendused, saab võrrandi lahendusena välja arvutada fraktali mõõtme (mõnedel täiendavatel tehnilistel tingimustel). Seega saame Sierpinski kolmnurga jaoks .

Sama Banachi teoreemiga, alustades mis tahes kompaktsest hulgast ja rakendades sellele kaardi iteratsioone, saame kompaktsete hulkade jada, mis lähenevad (Hausdorffi meetrika tähenduses) meie fraktaalile.

Fraktalid keerulises dünaamikas

Julia komplekt

Veel üks Julia komplekt

Fraktalid tekivad loomulikult mittelineaarsete dünaamiliste süsteemide uurimisel. Enim uuritud juhtum on see, kui dünaamilist süsteemi täpsustatakse tasapinnal asuva kompleksmuutuja polünoomi või holomorfse funktsiooni iteratsioonidega. Esimesed uurimused selles vallas pärinevad 20. sajandi algusest ning on seotud Fatou ja Julia nimedega.

Lase F(z) – polünoom, z 0 on kompleksarv. Mõelge järgmisele järjestusele: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Meid huvitab selle jada käitumine, nagu see kaldub n lõpmatuseni. See jada võib:

püüdlema lõpmatuse poole,

püüdlema ülima piiri poole

piirangus tsükliline käitumine, näiteks: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

käituma kaootiliselt, st ära näita ühtki kolmest mainitud käitumistüübist.

Väärtuste kogumid z 0, mille puhul jada näitab ühte kindlat tüüpi käitumist, samuti mitut bifurkatsioonipunkti erinevate tüüpide vahel, on sageli fraktaalsete omadustega.

Seega on Julia hulk polünoomi hargnemispunktide kogum F(z)=z 2 +c(või muu sarnane funktsioon), st need väärtused z 0 mille puhul jada käitumine ( z n) võivad suvaliselt väikeste muudatustega dramaatiliselt muutuda z 0 .

Teine võimalus fraktaalhulkade saamiseks on sisestada polünoomi parameeter F(z) ja nende parameetrite väärtuste komplekti arvestamine, mille jaoks järjestus ( z n) ilmutab teatud kindlat käitumist z 0 . Seega on Mandelbroti hulk kõigi , mille jaoks ( z n) Sest F(z)=z 2 +c Ja z 0 ei lähe lõpmatuseni.

Teine tuntud näide on Newtoni basseinid.

Populaarne on luua ilusaid graafilisi kujutisi, mis põhinevad keerulisel dünaamikal, värvides tasapinna punkte sõltuvalt vastavate dünaamiliste süsteemide käitumisest. Näiteks Mandelbroti komplekti täiendamiseks saate punkte värvida sõltuvalt aspiratsiooni kiirusest ( z n) lõpmatuseni (määratletud näiteks väikseima arvuna n, mille juures | z n| ületab fikseeritud suure väärtuse A.

Biomorfid on keerulise dünaamika alusel ehitatud fraktalid, mis meenutavad elusorganisme.

Stohhastilised fraktalid

Juhuslik fraktal Julia komplekti põhjal

Loodusobjektidel on sageli fraktaalkuju. Nende modelleerimiseks saab kasutada stohhastilisi (juhuslikke) fraktaale. Näited stohhastilistest fraktaalidest:

Browni liikumise trajektoor tasapinnal ja ruumis;

Browni liikumise trajektoori piir tasapinnal. 2001. aastal tõestasid Lawler, Schramm ja Werner Mandelbroti hüpoteesi, et selle mõõde on 4/3.

Schramm-Löwneri evolutsioonid on konformselt invariantsed fraktaalkõverad, mis tekivad statistilise mehaanika kriitilistes kahemõõtmelistes mudelites, näiteks Isingi mudelis ja perkolatsioonis.

erinevat tüüpi randomiseeritud fraktaalid, st fraktalid, mis on saadud rekursiivse protseduuri abil, mille igas etapis sisestatakse juhuslik parameeter. Plasma on näide sellise fraktaali kasutamisest arvutigraafikas.

Looduses

Hingetoru ja bronhide eestvaade

Bronhipuu

Veresoonte võrgustik

Rakendus

Loodusteadused

Füüsikas tekivad fraktaalid loomulikult mittelineaarsete protsesside modelleerimisel, nagu turbulentsed vedelikuvoolud, keerulised difusioon-adsorptsiooniprotsessid, leegid, pilved jne. Fraktaale kasutatakse poorsete materjalide modelleerimisel, näiteks naftakeemias. Bioloogias kasutatakse neid populatsioonide modelleerimiseks ja siseorganisüsteemide (veresoonkonna süsteemi) kirjeldamiseks.

Raadiotehnika

Fraktaalantennid

Fraktaalgeomeetria kasutamist antenniseadmete projekteerimisel kasutas esmakordselt Ameerika insener Nathan Cohen, kes elas siis Bostoni kesklinnas, kus väliste antennide paigaldamine hoonetele oli keelatud. Nathan lõikas alumiiniumfooliumist välja Kochi kõvera kuju ja kleepis selle paberitükile ning kinnitas seejärel vastuvõtja külge. Cohen asutas oma ettevõtte ja alustas nende seeriatootmist.

Arvutiteadus

Pildi tihendamine

Peamine artikkel: Fraktaali tihendamise algoritm

Fraktaalipuu

Fraktaleid kasutavad pildi tihendamise algoritmid. Need põhinevad ideel, et pildi enda asemel saab salvestada tihenduskaarti, mille jaoks see pilt (või mõni lähedane) on fikseeritud punkt. Kasutati ühte selle algoritmi variantidest [ allikat pole täpsustatud 895 päeva] Microsofti poolt oma entsüklopeedia avaldamisel, kuid neid algoritme laialdaselt ei kasutatud.

Arvutigraafika

Veel üks fraktaalipuu

Fraktaleid kasutatakse arvutigraafikas laialdaselt loodusobjektide, näiteks puude, põõsaste, mägimaastike, merepindade jms kujutiste konstrueerimiseks. Fraktaalkujutiste genereerimiseks kasutatakse palju programme, vt Fractal Generator (programm).

Detsentraliseeritud võrgud

Netsukuku võrgu IP-aadressi määramise süsteem kasutab fraktaalinformatsiooni tihendamise põhimõtet, et kompaktselt salvestada teavet võrgusõlmede kohta. Iga Netsukuku võrgu sõlm salvestab ainult 4 KB teavet naabersõlmede oleku kohta, samas kui iga uus sõlm ühendub ühise võrguga, ilma et oleks vaja IP-aadresside jaotuse keskset reguleerimist, mis on näiteks tüüpiline Internet. Seega tagab fraktaalteabe tihendamise põhimõte täielikult detsentraliseeritud ja seega kogu võrgu kõige stabiilsema töö.

Mis on ühist puul, mererannal, pilvel või meie käes olevatel veresoontel? Esmapilgul võib tunduda, et kõigil neil objektidel pole midagi ühist. Kuid tegelikult on struktuuri üks omadus, mis on omane kõigile loetletud objektidele: nad on isesarnased. Oksalt nagu puutüvest ulatuvad välja väiksemad võrsed, neist veel väiksemad jne, ehk siis oks on terve puuga sarnane. See on korraldatud sarnaselt vereringe: arterioolid lahkuvad arteritest ja neist - väikseimad kapillaarid, mille kaudu hapnik siseneb elunditesse ja kudedesse. Vaatame mereranniku satelliidipilte: näeme lahtesid ja poolsaari; Vaatame seda, aga linnulennult: näeme lahtesid ja neeme; Kujutage nüüd ette, et seisame rannas ja vaatame oma jalgu: alati on veerisid, mis ulatuvad vette kaugemale kui ülejäänud. See tähendab, et rannajoon jääb sisse suumimisel endaga sarnaseks. Ameerika matemaatik (kuigi ta kasvas üles Prantsusmaal) Benoit Mandelbrot nimetas seda objektide omadust fraktaalsuseks ja selliseid objekte endid - fraktalid (ladina fractus - katki).

Sellel mõistel pole ranget määratlust. Seetõttu ei ole sõna "fraktal" matemaatiline termin. Tavaliselt nimetatakse fraktaliks geomeetriline kujund, mis vastab ühele või mitmele järgmistest omadustest: omab keerukat struktuuri iga mastaabi suurendamise korral (erinevalt näiteks sirgjoonest, mille mis tahes osa on kõige lihtsam geomeetriline kujund – segment). On (ligikaudu) enesesarnane. Sellel on murdosa Hausdorffi (fraktaal) mõõde, mis on suurem kui topoloogiline. Võib konstrueerida rekursiivsete protseduuride abil.

Geomeetria ja algebra

Fraktaalide õppimine 19. sajandi vahetus ja XX sajand oli pigem episoodiline kui süstemaatiline, sest varem uurisid matemaatikud peamiselt "häid" objekte, mida sai uurida üldiste meetodite ja teooriate abil. 1872. aastal konstrueeris saksa matemaatik Karl Weierstrass näite pidevast funktsioonist, mis ei ole kusagil diferentseeritav. Selle ülesehitus oli aga täiesti abstraktne ja raskesti mõistetav. Seetõttu mõtles rootslane Helge von Koch 1904. aastal välja pideva kõvera, millel pole kuskil puutujat ja mida on üsna lihtne joonistada. Selgus, et sellel on fraktali omadused. Selle kõvera ühte varianti nimetatakse "Kochi lumehelbeks".

Figuuride enesesarnasuse ideed noppis üles prantslane Paul Pierre Levy, Benoit Mandelbroti tulevane mentor. 1938. aastal ilmus tema artikkel “Tervikuga sarnastest osadest koosnevad tasapinnalised ja ruumilised kõverad ja pinnad”, mis kirjeldas teist fraktaali – Levy C-kõverat. Kõik need ülalloetletud fraktaalid võib tinglikult liigitada ühte konstruktiivsete (geomeetriliste) fraktaalide klassi.

Teine klass on dünaamilised (algebralised) fraktaalid, mis hõlmavad Mandelbroti komplekti. Esimesed sellesuunalised uurimused algasid 20. sajandi alguses ja on seotud prantsuse matemaatikute Gaston Julia ja Pierre Fatou nimedega. 1918. aastal avaldas Julia peaaegu kahesajaleheküljelise mälestusteraamatu keeruliste ratsionaalsete funktsioonide iteratsioonide kohta, milles kirjeldati Julia komplekte, tervet fraktaalide perekonda, mis on tihedalt seotud Mandelbroti hulgaga. See töö pälvis Prantsuse Akadeemia auhinna, kuid see ei sisaldanud ühtegi illustratsiooni, mistõttu oli võimatu hinnata avatud objektide ilu. Hoolimata asjaolust, et see töö tegi Julia tolleaegsete matemaatikute seas kuulsaks, unustati see kiiresti. Tähelepanu pööras sellele uuesti alles pool sajandit hiljem arvutite tulekuga: just nemad tegid nähtavaks fraktaalide maailma rikkuse ja ilu.

Fraktaali mõõtmed

Nagu teate, on geomeetrilise kujundi mõõde (mõõtmete arv) koordinaatide arv, mis on vajalik sellel joonisel asuva punkti asukoha määramiseks.
Näiteks punkti asukoht kõveral määratakse ühe koordinaadiga, pinnal (mitte tingimata tasapinnal) kahe koordinaadiga ja kolmemõõtmelises ruumis kolme koordinaadiga.
Üldisemast matemaatilisest vaatenurgast võib dimensiooni määratleda nii: lineaarsete mõõtmete suurenemine, näiteks kahekordne, ühemõõtmeliste (topoloogilisest vaatepunktist) objektide (segmendi) korral toob kaasa suuruse (pikkuse) suurenemine 2 korda, kahemõõtmeliste (ruut) korral põhjustab sama lineaarsete mõõtmete suurenemine suuruse (pindala) 4 korda, kolmemõõtmelise (kuubiku) korral - võrra 8 korda. See tähendab, et "tegelikku" (nn Hausdorffi) mõõdet saab arvutada objekti "suuruse" suurenemise logaritmi ja selle lineaarse suuruse suurenemise logaritmi suhtena. See tähendab, et segmendi jaoks D = log (2) / log (2) = 1, tasandi jaoks D = log (4) / log (2) = 2, ruumala jaoks D = log (8) / log (2) )=3.
Arvutame nüüd Kochi kõvera mõõtme, mille konstrueerimiseks jagatakse ühiklõik kolmeks võrdseks osaks ja keskmine intervall asendatakse ilma selle lõiguta võrdkülgse kolmnurgaga. Kui minimaalse segmendi lineaarmõõtmed suurenevad kolm korda, suureneb Kochi kõvera pikkus log (4)/log (3) ~ 1,26 võrra. See tähendab, et Kochi kõvera mõõde on murdosa!

Teadus ja kunst

1982. aastal ilmus Mandelbroti raamat “Fractal Geometry of Nature”, kuhu autor kogus ja süstematiseeris peaaegu kogu tol ajal kättesaadava teabe fraktalide kohta ning esitas selle lihtsalt ja arusaadavalt. Mandelbrot pani oma ettekandes põhirõhu mitte rasketele valemitele ja matemaatilistele konstruktsioonidele, vaid lugejate geomeetrilisele intuitsioonile. Tänu arvuti abil saadud illustratsioonidele ja ajaloolistele lugudele, millega autor monograafia teaduslikku komponenti oskuslikult lahjendas, sai raamatust bestseller ning fraktalid said laiemale avalikkusele tuntuks. Nende edu mittematemaatikute seas on suuresti tingitud sellest, et väga lihtsate, isegi keskkooliõpilasele mõistetavate konstruktsioonide ja valemite abil saadakse hämmastava keerukuse ja iluga pilte. Kui personaalarvutid said piisavalt võimsaks, ilmus kunstis isegi terve suund – fraktaalmaal ja sellega sai hakkama peaaegu iga arvutiomanik. Nüüd leiate Internetist hõlpsalt palju sellele teemale pühendatud saite.

Kochi kõvera saamise skeem

Sõda ja rahu

Nagu eespool märgitud, on üks fraktaalsete omadustega loodusobjekte rannajoon. Sellega, täpsemalt selle pikkuse mõõtmise katsega, on seotud üks asi. huvitav lugu, mis oli aluseks teaduslik artikkel Mandelbrot ja seda kirjeldatakse ka tema raamatus "Looduse fraktalgeomeetria". Jutt käib eksperimendist, mille viis läbi väga andekas ja ekstsentriline matemaatik, füüsik ja meteoroloog Lewis Richardson. Tema uurimistöö üheks suunaks oli katse leida matemaatiline kirjeldus kahe riigi vahelise relvakonflikti põhjuste ja tõenäosuse kohta. Parameetrite hulgas, mida ta arvesse võttis, oli kahe sõdiva riigi ühise piiri pikkus. Kui ta kogus andmeid arvulisteks katseteks, avastas ta, et Hispaania ja Portugali ühise piiri andmed erinevad suuresti erinevatest allikatest. See viis ta järgmise avastuseni: riigi piiride pikkus sõltub joonlauast, millega me neid mõõdame. Mida väiksem on skaala, seda pikem on piir. Põhjuseks on asjaolu, et suurema suurendusega on võimalik arvestada üha uute ja uute rannikukäänakutega, mis varem jäid mõõtmiste jämeduse tõttu tähelepanuta. Ja kui iga skaala suurendamisega ilmnevad varem arvestamata joonte kõverad, siis selgub, et piiride pikkus on lõpmatu! Tõsi, seda tegelikult ei juhtu – meie mõõtmiste täpsusel on piiratud piir. Seda paradoksi nimetatakse Richardsoni efektiks.

Konstruktiivsed (geomeetrilised) fraktaalid

Konstruktiivse fraktali konstrueerimise algoritm üldjuhul on järgmine. Kõigepealt vajame kahte sobivat geomeetrilist kujundit, nimetagem neid aluseks ja killuks. Esimeses etapis on kujutatud tulevase fraktali alus. Seejärel asendatakse mõned selle osad sobivas mõõtkavas võetud fragmendiga - see on konstruktsiooni esimene iteratsioon. Seejärel muudab saadud kujund jälle osad fragmendiga sarnasteks kujunditeks jne. Kui jätkame seda protsessi lõpmatuseni, siis limiiti saame fraktali.

Vaatame seda protsessi Kochi kõvera näitel (vt eelmise lehe külgriba). Kochi kõvera aluseks võib võtta mis tahes kõvera (“Kochi lumehelbe” puhul on see kolmnurk). Kuid piirdume kõige lihtsama juhtumiga - segmendiga. Fragment on katkendlik joon, mis on näidatud joonisel ülaosas. Pärast algoritmi esimest iteratsiooni kattub sel juhul algne segment fragmendiga, seejärel asendatakse kõik selle koostisosad fragmendiga sarnase katkendjoonega jne. Joonisel on näidatud selle neli esimest sammu. protsessi.

Matemaatika keeles: dünaamilised (algebralised) fraktaalid

Seda tüüpi fraktalid tekivad mittelineaarsete dünaamiliste süsteemide uurimisel (sellest ka nimi). Sellise süsteemi käitumist saab kirjeldada kompleksse mittelineaarse funktsiooniga (polünoomiga) f (z). Võtame komplekstasandi algpunkti z0 (vt külgriba). Vaatleme nüüd sellist lõpmatut arvujada komplekstasandil, millest iga järgmine on saadud eelmisest: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn ). Sõltuvalt algpunktist z0 võib selline jada käituda erinevalt: kalduda lõpmatuseni kui n -> ∞; lähenema mõnele lõpp-punktile; tsükliliselt võtta fikseeritud väärtuste jada; Võimalikud on ka keerulisemad variandid.

Keerulised numbrid

Kompleksarv on arv, mis koosneb kahest osast - reaal- ja imaginaarsest, see tähendab formaalsest summast x + iy (x ja y on siin reaalarvud). ma olen nn imaginaarne ühik, see tähendab võrrandit rahuldav arv i^ 2 = -1. Põhiarvud on määratletud kompleksarvude kohal. matemaatilised tehted— liitmine, korrutamine, jagamine, lahutamine (ainult võrdlustehte pole määratletud). Kompleksarvude kuvamiseks kasutatakse sageli geomeetrilist esitust - tasapinnal (seda nimetatakse kompleksiks) joonistatakse reaalosa piki abstsisstellge ja kujuteldav osa piki ordinaattelge ning punkt koos tahdiga vastab kompleksarv Descartes'i koordinaadid x ja y.

Seega on komplekstasandi mis tahes punktil z funktsiooni f (z) iteratsioonide ajal oma käitumine ja kogu tasapind jaguneb osadeks. Veelgi enam, nende osade piiridel asuvatel punktidel on järgmine omadus: meelevaldselt väikese nihke korral muutub nende käitumise olemus järsult (sellisi punkte nimetatakse bifurkatsioonipunktideks). Seega selgub, et punktide komplektidel, millel on üht kindlat tüüpi käitumist, nagu ka bifurkatsioonipunktide komplektidel, on sageli fraktaalsed omadused. Need on funktsiooni f (z) Julia hulgad.

Draakoni perekond

Alust ja fragmenti muutes saate hämmastavalt erinevaid konstruktiivseid fraktale.
Lisaks saab sarnaseid toiminguid teha ka kolmemõõtmelises ruumis. Volumeetriliste fraktaalide näideteks on "Mengeri käsn", "Sierpinski püramiid" ja teised.
Draakoni perekonda peetakse ka konstruktiivseks fraktaaliks. Mõnikord kutsutakse neid avastajate nimede järgi "Heavey-Harteri draakoniteks" (oma kuju poolest meenutavad nad Hiina draakoneid). Selle kõvera koostamiseks on mitu võimalust. Lihtsaim ja visuaalseim neist on järgmine: peate võtma üsna pika pabeririba (mida õhem paber, seda parem) ja painutada see pooleks. Seejärel painutage see uuesti pooleks samas suunas nagu esimesel korral. Pärast mitut kordust (tavaliselt pärast viit või kuut volti muutub riba liiga paksuks, et seda õrnalt edasi painutada), peate riba tagasi painutama ja proovima luua voltidele 90˚ nurgad. Siis näete profiilis draakoni kõverat. Loomulikult on see vaid ligikaudne, nagu kõik meie katsed kujutada fraktaalobjekte. Arvuti võimaldab kujutada veel palju selle protsessi etappe ja tulemuseks on väga ilus figuur.

Mandelbroti komplekt on konstrueeritud mõnevõrra erinevalt. Vaatleme funktsiooni fc (z) = z 2 +c, kus c on kompleksarv. Koostame selle funktsiooni jada z0=0, sõltuvalt parameetrist c võib see lõpmatuseni lahkneda või jääda piiratuks. Lisaks moodustavad kõik c väärtused, mille jaoks see jada on piiratud, Mandelbroti komplekti. Seda uurisid üksikasjalikult Mandelbrot ise ja teised matemaatikud, kes avastasid selle komplekti palju huvitavaid omadusi.

On näha, et Julia ja Mandelbroti hulga definitsioonid on üksteisega sarnased. Tegelikult on need kaks komplekti omavahel tihedalt seotud. Nimelt on Mandelbroti hulk kõik kompleksparameetri c väärtused, mille jaoks Julia hulk fc (z) on ühendatud (hulka nimetatakse ühendatuks, kui seda ei saa teatud lisatingimustega jagada kaheks mitteühendatud osaks).

Fraktalid ja elu

Tänapäeval leiab fraktaliteooria lai rakendus erinevates inimtegevuse valdkondades. Lisaks puhtteaduslikule uurimisobjektile ja juba mainitud fraktaalimaalile kasutatakse infoteoorias fraktaleid graafiliste andmete tihendamiseks (siin kasutatakse peamiselt fraktaalide enesesarnasuse omadust - ju ikka väikese pildifragmendi meeldejätmiseks ja teisendused, mille abil saate ülejäänud osad hankida, on vaja palju vähem mälu kui kogu faili salvestamiseks). Lisades fraktaali defineerivatesse valemitesse juhuslikud häired, saate stohhastilisi fraktale, mis annavad väga usutavalt edasi mõningaid reaalseid objekte - reljeefielemente, veehoidlate pinda, mõningaid taimi, mida kasutatakse edukalt füüsikas, geograafias ja arvutigraafikas suuremate eesmärkide saavutamiseks. simuleeritud objektide sarnasus reaalsega. Raadioelektroonikas eelmisel kümnendil hakkas tootma fraktaalkujuga antenne. Need võtavad vähe ruumi ja pakuvad kvaliteetset signaali vastuvõttu. Majandusteadlased kasutavad valuutakõikumiste kõverate kirjeldamiseks fraktaleid (selle omaduse avastas Mandelbrot rohkem kui 30 aastat tagasi). Sellega lõpeb lühike ekskursioon fraktaalide hämmastavalt kaunisse ja mitmekesisesse maailma.

70ndate lõpus ilmunud fraktaalgeomeetria ja fraktaalgeomeetria kontseptsioonid on matemaatikute ja programmeerijate seas kindlalt kinnistunud alates 80ndate keskpaigast. Sõna fraktal on tuletatud ladinakeelsest sõnast fractus ja tähendab fragmentidest koosnemist. Benoit Mandelbrot tegi 1975. aastal ettepaneku viidata ebakorrapärastele, kuid samalaadsetele struktuuridele, mille pärast ta mures oli. Fraktaalgeomeetria sündi seostatakse tavaliselt Mandelbroti raamatu “The Fractal Geometry of Nature” ilmumisega 1977. aastal. Tema töödes on kasutatud teiste aastatel 1875-1925 samal alal tegutsenud teadlaste teadustulemusi (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Kuid ainult meie ajal on olnud võimalik ühendada nende tööd ühtseks süsteemiks.
Fraktaalide roll arvutigraafikas on tänapäeval üsna suur. Need tulevad appi näiteks siis, kui on vaja mitut koefitsienti kasutades defineerida väga keerulise kujuga jooni ja pindu. Arvutigraafika seisukohalt on fraktaalgeomeetria tehispilvede, mägede ja merepindade tekitamisel asendamatu. Tegelikult on leitud viis, kuidas hõlpsasti kujutada keerulisi mitteeukleidilisi objekte, mille kujutised on väga sarnased looduslikele.
Fraktalide üks peamisi omadusi on enesesarnasus. Lihtsamal juhul sisaldab väike osa fraktalist teavet kogu fraktalist. Mandelbroti fraktali definitsioon on järgmine: "Fraktal on struktuur, mis koosneb osadest, mis on mõnes mõttes sarnased tervikuga."

On olemas suur hulk matemaatilisi objekte, mida nimetatakse fraktaalideks (Sierpinski kolmnurk, Kochi lumehelves, Peano kõver, Mandelbroti komplekt ja Lorentzi atraktorid). Fraktaleid kirjeldavad paljud väga täpselt füüsikalised nähtused ja haridus päris maailm: mäed, pilved, turbulentsed (keerised) hoovused, puude juured, oksad ja lehed, veresooned, mis ei vasta kaugeltki lihtsatele geomeetrilistele kujunditele. Esimest korda rääkis Benoit Mandelbrot meie maailma fraktaalloomusest oma põhjapanevas teoses “Looduse fraktaalgeomeetria”.
Mõiste fraktal võttis kasutusele Benoit Mandelbrot 1977. aastal oma põhiteoses Fractals, Form, Chaos and Dimension. Mandelbroti järgi pärineb sõna fraktal ladinakeelsetest sõnadest fractus - fractional ja frangere - murdma, mis peegeldab fraktali olemust "katkise", ebakorrapärase hulgana.

Fraktaalide klassifikatsioon.

Fraktaalide kogu mitmekesisuse tutvustamiseks on mugav kasutada nende üldtunnustatud klassifikatsiooni. Fraktaale on kolm klassi.

1. Geomeetrilised fraktaalid.

Selle klassi fraktalid on kõige visuaalsemad. Kahemõõtmelisel juhul saadakse need katkendliku joone (või kolmemõõtmelisel juhul pinna) abil, mida nimetatakse generaatoriks. Algoritmi ühes etapis asendatakse iga polüliini moodustav segment generaatori polüliiniga sobivas skaalas. Selle protseduuri lõputu kordamise tulemusena saadakse geomeetriline fraktal.

Vaatleme näidet ühest neist fraktaalobjektidest – triaadilisest Kochi kõverast.

Triaadilise Kochi kõvera konstrueerimine.

Võtame sirge lõigu pikkusega 1. Nimetame seda seeme. Jagame seemne kolmeks võrdseks 1/3 pikkuseks osaks, visake keskmine osa ära ja asendame selle kahest lülist koosneva 1/3 pikkuse katkendjoonega.

Saame 4-st lülist koosneva katkendjoone kogupikkusega 4/3 - nn esimene põlvkond.

Kochi kõvera järgmise põlvkonna juurde liikumiseks tuleb iga lingi keskosa ära visata ja asendada. Vastavalt sellele on teise põlvkonna pikkus 16/9, kolmanda - 64/27. kui jätkame seda protsessi lõpmatuseni, on tulemuseks triaadiline Kochi kõver.

Vaatleme nüüd triaadilise Kochi kõvera omadusi ja selgitame välja, miks fraktaale nimetati koletisteks.

Esiteks ei ole sellel kõveral pikkust – nagu nägime, kipub selle pikkus põlvkondade arvuga lõpmatuseni.

Teiseks on võimatu konstrueerida sellele kõverale puutujat – iga selle punkt on käändepunkt, milles tuletist ei eksisteeri – see kõver ei ole sile.

Pikkus ja siledus on kõverate põhiomadused, mida uuritakse nii eukleidilise geomeetria kui ka Lobatševski ja Riemanni geomeetriaga. Traditsioonilised geomeetrilise analüüsi meetodid osutusid triaadilise Kochi kõvera jaoks rakendamatuks, nii et Kochi kõver osutus koletiseks - traditsiooniliste geomeetriate siledate elanike seas "koletiseks".

Harter-Haithaway "draakoni" ehitamine.

Teise fraktaalobjekti saamiseks peate muutma ehitusreegleid. Olgu moodustav element kaks võrdset segmenti, mis on ühendatud täisnurga all. Nullpõlvkonnas asendame üksuse segmendi selle genereeriva elemendiga nii, et nurk on peal. Võime öelda, et sellise asendusega toimub lingi keskosa nihkumine. Järgmiste põlvkondade ehitamisel järgitakse reeglit: kõige esimene vasakpoolne lüli asendatakse moodustava elemendiga nii, et lingi keskosa nihutatakse liikumissuunast vasakule ja järgmiste lülide asendamisel lülide suunad. segmentide keskkohtade nihkumine peab vahelduma. Joonisel on kujutatud ülalkirjeldatud põhimõtte järgi ehitatud kõvera paar esimest põlvkonda ja 11. põlvkond. Kõverat, mille n kaldub lõpmatusse, nimetatakse Harter-Haithaway draakoniks.
Arvutigraafikas on puude ja põõsaste kujutiste saamisel vajalik geomeetriliste fraktaalide kasutamine. Kahemõõtmelisi geomeetrilisi fraktaleid kasutatakse kolmemõõtmeliste tekstuuride (mustrid objekti pinnal) loomiseks.

2. Algebralised fraktaalid

See on suurim fraktalide rühm. Need saadakse mittelineaarsete protsesside abil n-mõõtmelistes ruumides. Enim uuritakse kahemõõtmelisi protsesse. Mittelineaarse iteratiivse protsessi tõlgendamisel diskreetse dünaamilise süsteemina võib kasutada nende süsteemide teooria terminoloogiat: faasiportree, püsiseisundi protsess, atraktor jne.
On teada, et mittelineaarsetel dünaamilistel süsteemidel on mitu stabiilset olekut. Olek, millesse dünaamiline süsteem pärast teatud arvu iteratsioone satub, sõltub selle algolekust. Seetõttu on igal stabiilsel olekul (või, nagu öeldakse, atraktoril) teatud algolekute piirkond, millest süsteem langeb tingimata vaadeldavatesse lõppolekutesse. Seega on süsteemi faasiruum jagatud atraktorite külgetõmbealadeks. Kui faasiruum on kahemõõtmeline ruum, siis värvides tõmbealasid erinevate värvidega, saab sellest süsteemist saada värvifaasi portree (iteratiivne protsess). Värvivaliku algoritmi muutes saate keerukaid fraktaalmustreid koos veidrate mitmevärviliste mustritega. Üllatus matemaatikute jaoks oli võime genereerida primitiivsete algoritmide abil väga keerulisi mittetriviaalseid struktuure.

Mandelbroti komplekt.

Vaatleme näiteks Mandelbroti komplekti. Selle ehitamise algoritm on üsna lihtne ja põhineb lihtsal iteratiivsel avaldisel: Z = Z[i] * Z[i] + C, Kus Zi Ja C- komplekssed muutujad. Iga lähtepunkti iteratsioonid tehakse ristküliku- või ruudukujulisest piirkonnast – komplekstasandi alamhulgast. Iteratiivne protsess jätkub kuni Z[i] ei lähe kaugemale raadiusega 2 ringist, mille keskpunkt asub punktis (0,0), (see tähendab, et dünaamilise süsteemi atraktor on lõpmatuses) ega pärast piisavalt suurt arvu iteratsioone (näiteks , 200-500) Z[i] koondub ringi mingisse punkti. Olenevalt iteratsioonide arvust, mille jooksul Z[i] jäi ringi sisse, saate määrata punkti värvi C(Kui Z[i] jääb ringi sisse piisavalt suure arvu iteratsioonide jaoks, iteratsiooniprotsess peatub ja see rasterpunkt värvitakse mustaks).

3. Stohhastilised fraktalid

Teine tuntud fraktalide klass on stohhastilised fraktalid, mis saadakse siis, kui mõnda selle parameetreid muudetakse juhuslikult iteratiivse protsessi käigus. Sel juhul on saadud objektid väga sarnased looduslikele - asümmeetrilised puud, karmid rannajooned jne. Kahemõõtmelisi stohhastilisi fraktaale kasutatakse maastiku ja merepindade modelleerimisel.
Fraktale on ka teisi klassifikatsioone, näiteks fraktaalide jagamine deterministlikeks (algebralisteks ja geomeetrilisteks) ja mittedeterministlikeks (stohhastilisteks).

Fraktalide kasutamisest

Esiteks on fraktaalid hämmastava matemaatilise kunsti valdkond, kui kõige lihtsamate valemite ja algoritmide abil saadakse erakordse ilu ja keerukusega pilte! Ehitatud kujutiste kontuurides on sageli näha lehed, puud ja lilled.

Mõned fraktaalide võimsaimad rakendused peituvad arvutigraafikas. Esiteks on see piltide fraktaalne kokkusurumine ja teiseks maastike, puude, taimede konstrueerimine ja fraktaalsete tekstuuride genereerimine. Kaasaegne füüsika ja mehaanika alles hakkavad uurima fraktaalobjektide käitumist. Ja muidugi kasutatakse fraktaale otse matemaatikas endas.
Fraktaalkujutise pakkimisalgoritmide eelised on pakitud faili väga väike suurus ja lühike pildi taastamise aeg. Fraktaalpakitud pilte saab skaleerida ilma piksleerumist põhjustamata. Kuid tihendusprotsess võtab kaua aega ja kestab mõnikord tunde. Fractal kadudega pakkimisalgoritm võimaldab sarnaselt jpeg-vormingule määrata tihendustaseme. Algoritm põhineb pildi suurte tükkide otsimisel, mis sarnanevad mõne väikese osaga. Ja väljundfaili kirjutatakse ainult see, milline tükk on sarnane. Kokkusurumisel kasutatakse tavaliselt ruudustikku (tükid on ruudud), mis toob pildi taastamisel kaasa väikese nurga, kuusnurksel ruudustikul seda puudust pole.
Iterated on välja töötanud uue pildivormingu "Sting", mis ühendab fraktaali ja "laine" (näiteks jpeg) kadudeta pakkimise. Uus formaat võimaldab luua pilte hilisema kvaliteetse skaleerimise võimalusega ning graafiliste failide maht on 15-20% tihendamata piltide mahust.
Fraktalide kalduvust meenutada mägesid, lilli ja puid kasutavad ära mõned graafilised toimetajad, näiteks 3D-stuudio MAX fraktaalipilved, World Builderi fraktaalimäed. Fraktaalpuud, mäed ja terved maastikud on määratletud lihtsate valemitega, neid on lihtne programmeerida ning need ei lagune lähenemisel eraldi kolmnurkadeks ja kuubikuteks.
Ei saa ignoreerida fraktalide kasutamist matemaatikas. Hulgateoorias tõestab Cantori hulk täiuslike mitte-kuhugi tihedate hulkade olemasolu, mõõduteoorias on iseafiinne funktsioon "Cantori redel" hea näide ainsuse mõõtme jaotusfunktsioonist.
Mehaanikas ja füüsikas kasutatakse fraktaale tänu ainulaadne vara korrake paljude loodusobjektide piirjooni. Fraktalid võimaldavad teil puid, mäepindu ja pragusid ligikaudselt hinnata suurema täpsusega kui lähendused, kasutades segmentide või hulknurkade komplekte (sama hulga salvestatud andmetega). Fraktaalmudelitel, nagu ka loodusobjektidel, on “karedus” ja see omadus säilib ükskõik kuidas suur suurendus mudelid. Ühtse mõõdiku olemasolu fraktaalidel võimaldab rakendada integratsiooni, potentsiaali teooriat ja kasutada neid standardobjektide asemel juba uuritud võrrandites.
Fraktaalse lähenemise korral lakkab kaos olemast sinine häire ja omandab peene struktuuri. Fraktaalteadus on veel väga noor ja seda ootab ees suur tulevik. Fraktalite ilu pole veel kaugeltki ammendunud ja annab meile endiselt palju meistriteoseid – neid, mis pakuvad silmailu, ja neid, mis pakuvad tõelist meelt.

Fraktalide konstrueerimisest

Järjestikuse lähendamise meetod

Seda pilti vaadates ei ole raske aru saada, kuidas saab ehitada isesarnast fraktaali (antud juhul Sierpinski püramiidi). Peame võtma tavalise püramiidi (tetraeedri), seejärel lõikama välja selle keskmise (oktaeedri), mille tulemuseks on neli väikest püramiidi. Igaühega neist teeme sama toimingu jne. See on mõnevõrra naiivne, kuid selge seletus.

Vaatleme meetodi olemust rangemalt. Olgu siis mingi IFS süsteem, st. tihenduskaardistamise süsteem S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (näiteks meie püramiidi puhul on vastendused kujul S i (x)=1/2*x+o i, kus o i on tetraeedri tipud, i=1,...,4). Seejärel valime R n-s mingi kompaktse hulga A 1 (meie puhul valime tetraeedri). Ja defineerime induktsiooni abil hulkade jada A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). On teada, et hulgad A k koos suureneva k-ga lähendavad järjest paremini süsteemi soovitud atraktorit S.

Pange tähele, et kõik need iteratsioonid on atraktorid korduv korduvate funktsioonide süsteem(ingliskeelne termin Digraaf IFS, RIFS ja ka Graafikule suunatud IFS) ja seetõttu on neid meie programmi abil lihtne ehitada.

Punkt-punktilt ehk tõenäosuslik meetod

Seda meetodit on kõige lihtsam arvutis rakendada. Lihtsuse huvides vaatleme tasase iseseisva komplekti juhtumit. Nii et las (S

) – mingi afiinsete kontraktsioonide süsteem. Ekraan S

esindatav kui: S

Fikseeritud maatriksi suurus 2x2 ja o

Kahemõõtmeline vektori veerg.

• Võtame lähtepunktiks esimese kaardistuse S 1 fikseeritud punkti:
  x:= o1;
  Siin kasutame ära asjaolu, et kõik tihenduse fikseeritud punktid S 1 ,..,S m kuuluvad fraktalile. Algpunktiks saab valida suvalise punkti ja selle poolt genereeritud punktide jada joonistatakse fraktalile, kuid siis ilmub ekraanile mitu lisapunkti.
• Märgime ekraanile praeguse punkti x=(x 1 ,x 2):
  putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
• Valime juhuslikult arvu j vahemikus 1 kuni m ja arvutame ümber punkti x koordinaadid:
  j:=Juhuslik(m)+1;
  x:=S j (x);
• Liigume 2. sammu juurde või kui oleme teinud piisavalt palju iteratsioone, siis peatume.

Märge. Kui vastenduste S i tihendussuhted on erinevad, siis täitub fraktal punktidega ebaühtlaselt. Kui vastendused S i on sarnased, saab seda algoritmi veidi keerulisemaks muutes vältida. Selleks tuleb algoritmi 3. sammul valida arv j vahemikus 1 kuni m tõenäosustega p 1 =r 1 s,..,p m =r m s, kus r i tähistab vastenduste Si tihenduskoefitsiente ja arv s (nimetatakse sarnasusdimensiooniks) leitakse võrrandist r 1 s +...+r m s =1. Selle võrrandi lahenduse võib leida näiteks Newtoni meetodi abil.

Fraktaalidest ja nende algoritmidest

Fraktal pärineb ladina omadussõnast "fractus" ja tõlkes tähendab fragmentidest koosnemist ning vastav ladina verb "frangere" tähendab murdma, see tähendab ebakorrapäraste fragmentide tekitamist. 70ndate lõpus ilmunud fraktaalgeomeetria ja fraktaalgeomeetria kontseptsioonid on matemaatikute ja programmeerijate seas kindlalt kinnistunud alates 80ndate keskpaigast. Selle termini võttis kasutusele Benoit Mandelbrot 1975. aastal, et viidata ebakorrapärastele, kuid samalaadsetele struktuuridele, mille pärast ta mures oli. Fraktaalgeomeetria sündi seostatakse tavaliselt Mandelbroti raamatu “The Fractal Geometry of Nature” ilmumisega 1977. aastal. Tema töödes kasutati teiste aastatel 1875-1925 samal alal töötanud teadlaste (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff) teaduslikke tulemusi.

Kohandused

Lubage mul teha mõned muudatused H.-O. raamatus pakutud algoritmides. Peitgen ja P. H. Richter “Fraktalide ilu” M. 1993 puhtalt kirjavigade väljajuurimiseks ja protsesside mõistmise hõlbustamiseks, sest pärast nende uurimist jäi mulle paljugi mõistatuseks. Kahjuks juhivad need "arusaadavad" ja "lihtsad" algoritmid rokitavat elustiili.

Fraktaalide konstrueerimise aluseks on mingi tagasisidega kompleksprotsessi mittelineaarne funktsioon z => z 2 +c kuna z ja c on kompleksarvud, siis z = x + iy, c = p + iq on vaja see lagundada x-i ja y-sse, et minna realistlikumaks tavaline mees lennuk:

x(k+1)=x(k)2-y(k)2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Kõigist paaridest (x,y) koosnevat tasapinda võib vaadelda justkui fikseeritud väärtuste jaoks p ja q ja dünaamilistega. Esimesel juhul läbides seaduse järgi kõik tasapinna punktid (x, y) ja värvides need sõltuvalt iteratiivsest protsessist väljumiseks vajaliku funktsiooni korduste arvust või värvimata (must värv) kui lubatud korduste maksimum on ületatud, saame Julia komplekti kuva. Kui, vastupidi, määrame kindlaks esialgse väärtuste paari (x, y) ja jälgime selle koloristilist saatust parameetrite p ja q dünaamiliselt muutuvate väärtustega, saame pilte, mida nimetatakse Mandelbroti komplektideks.

Fraktalide värvimise algoritmide küsimuses.

Tavaliselt on komplekti keha kujutatud musta väljana, kuigi on ilmne, et musta värvi saab asendada mis tahes muuga, kuid see on ka veidi huvitav tulemus. Kõigis värvides värvitud komplekti pildi saamine on ülesanne, mida ei saa tsükliliste operatsioonide abil lahendada, sest keha moodustavate hulkade iteratsioonide arv on võrdne maksimaalse võimalikuga ja on alati sama. Hulka on võimalik värvida erinevates värvides, kasutades värvinumbrina tsükli väljumise tingimuse (z_magnitude) kontrollimise tulemust või midagi sarnast, kuid muude matemaatiliste tehtetega.

"Fraktaalmikroskoobi" rakendamine

piirinähtuste demonstreerimiseks.

Atraktorid on keskused, mis juhivad võitlust domineerimise pärast lennukis. Atraktorite vahele ilmub piir, mis kujutab endast heledat mustrit. Suurendades kaalutlusskaalat kogumi piires, võib saada mittetriviaalseid mustreid, mis peegeldavad deterministliku kaose seisundit - loodusmaailmas levinud nähtust.

Geograafide uuritud objektid moodustavad väga keeruliselt organiseeritud piiridega süsteemi ja seetõttu ei muutu nende tuvastamine lihtsaks praktiliseks ülesandeks. Looduslikud kompleksid neil on tüüpilised tuumad, mis toimivad atraktoritena, mis kaotavad oma mõju territooriumile, kui see eemaldub.

Mandelbroti ja Julia komplektide jaoks mõeldud fraktaalmikroskoopi kasutades saab kujundada ettekujutuse piirprotsessidest ja -nähtustest, mis on kaalutlemise ulatusest olenemata ühtviisi keerukad ning seeläbi valmistada spetsialisti ette dünaamilise ja pealtnäha kaootilise loodusobjektiga kohtumiseks. ruumis ja ajas, et mõista fraktaalgeomeetria olemust. Mitmevärvilised värvid ja fraktalmuusika jätavad õpilaste teadvusesse kindlasti sügava jälje.

Fraktalidele on pühendatud tuhandeid väljaandeid ja tohutuid Interneti-ressursse, kuid paljude arvutiteadusest kaugel olevate spetsialistide jaoks tundub see termin täiesti uus. Fraktalid kui erinevate teadmiste valdkondade spetsialistide huviobjektid peaksid saama informaatika kursustel korraliku koha.

Näited

SIEPINSKI RÕESTIK

See on üks fraktaalidest, millega Mandelbrot katsetas fraktaalimõõtmete ja iteratsioonide kontseptsioone. Suurema kolmnurga keskpunktide ühendamisel moodustatud kolmnurgad lõigatakse põhikolmnurgast välja, moodustades rohkemate aukudega kolmnurga. Sel juhul on initsiaatoriks suur kolmnurk ja malliks on suuremaga sarnaste kolmnurkade väljalõikamine. Kolmnurga kolmemõõtmelise versiooni saate ka kasutades tavalist tetraeedrit ja lõigates välja väikesed tetraeedrid. Sellise fraktaali mõõde on ln3/ln2 = 1,584962501. Et saada Sierpinski vaip, võtke ruut, jagage see üheksaks ruuduks ja lõigake keskmine välja. Sama teeme ka ülejäänud, väiksemate ruutudega. Lõpuks moodustub lame fraktaalivõre, millel pole pindala, kuid millel on lõpmatu ühendus. Oma ruumilisel kujul on Sierpinski käsn muudetud otsast lõpuni vormide süsteemiks, milles iga otsast lõpuni elementi asendatakse pidevalt omalaadse vastu. See struktuur on väga sarnane lõikega luukoe. Kunagi saavad sellised korduvad struktuurid ehituskonstruktsioonide elemendiks. Nende staatika ja dünaamika väärivad Mandelbroti arvates põhjalikku uurimist.

KOCH KÕVER

Kochi kõver on üks tüüpilisemaid deterministlikke fraktaale. Selle leiutas üheksateistkümnendal sajandil saksa matemaatik Helge von Koch, kes Georg Kontori ja Karl Weierstrasse loomingut uurides sattus kummaliste ja ebatavalise käitumisega kõverate kirjeldustele. Algataja on sirgjoon. Generaatoriks on võrdkülgne kolmnurk, mille küljed on võrdsed kolmandikuga suurema segmendi pikkusest. Need kolmnurgad lisatakse ikka ja jälle iga segmendi keskele. Oma uurimistöös katsetas Mandelbrot ulatuslikult Kochi kõveratega ja tootis selliseid kujundeid nagu Kochi saared, Kochi ristid, Kochi lumehelbed ja isegi Kochi kõvera kolmemõõtmelisi kujutisi, kasutades tetraeedrit ja lisades selle igale pinnale väiksemaid tetraeedreid. Kochi kõvera mõõtmed on ln4/ln3 = 1,261859507.

MANDELBROT FRAKTAL

See EI OLE Mandelbroti komplekt, mida näete üsna sageli. Mandelbroti komplekt põhineb mittelineaarsetel võrranditel ja on keeruline fraktal. See on ka Kochi kõvera variant, kuigi see objekt ei ole sellega sarnane. Ka initsiaator ja generaator erinevad Kochi kõvera põhimõttel fraktaalide loomisel kasutatavatest, kuid idee jääb samaks. Selle asemel, et ühendada võrdkülgsed kolmnurgad kõvera lõiguga, ühendatakse ruudud ruuduga. Kuna see fraktal hõivab igal iteratsioonil täpselt poole eraldatud ruumist, on selle lihtne fraktaali mõõde 3/2 = 1,5.

Komplekssed fraktalid

Tegelikult, kui suurendate mis tahes keerulise fraktaali väikest ala ja seejärel teete sama selle ala väikese alaga, erinevad need kaks suurendust üksteisest oluliselt. Need kaks pilti on üksikasjalikult väga sarnased, kuid nad ei ole täiesti identsed.

Joonis 1. Mandelbroti hulga lähendus

Võrrelge näiteks siin näidatud Mandelbroti komplekti pilte, millest üks saadi teise teatud ala suurendamise teel. Nagu näete, pole need absoluutselt identsed, kuigi mõlemal näeme musta ringi, millest leegitsevad kombitsad ulatuvad erinevatesse suundadesse. Neid elemente korratakse Mandelbroti komplektis lõputult kahanevas proportsioonis.

Deterministlikud fraktaalid on lineaarsed, samas kui komplekssed fraktalid ei ole. Kuna need on mittelineaarsed, genereeritakse need fraktaalid, mida Mandelbrot nimetas mittelineaarseks algebralised võrrandid. Hea näide on protsess Zn+1=ZnІ + C, mis on võrrand, mida kasutatakse teise astme Mandelbroti ja Julia hulga koostamiseks. Nende matemaatiliste võrrandite lahendamine hõlmab keerulisi ja kujuteldavaid numbreid. Kui võrrandit komplekstasandil graafiliselt tõlgendada, on tulemuseks kummaline kujund, kus sirged muutuvad kõverateks ja erinevatel skaalatasanditel ilmnevad enesesarnasuse efektid, ehkki mitte ilma deformatsioonideta. Samas on tervikpilt tervikuna ettearvamatu ja väga kaootiline.

Nagu pilte vaadates näha, on keerulised fraktaalid tõepoolest väga keerulised ja neid ei saa ilma arvuti abita luua. Värviliste tulemuste saamiseks peab sellel arvutil olema võimas matemaatiline kaasprotsessor ja monitor kõrgresolutsiooniga. Erinevalt deterministlikest fraktaalidest ei arvutata kompleksfraktaale 5-10 iteratsiooniga. Peaaegu iga punkt arvutiekraanil on nagu omaette fraktal. Matemaatilise töötluse käigus käsitletakse iga punkti eraldi joonisena. Iga punkt vastab kindlale väärtusele. Võrrand on iga punkti jaoks sisse ehitatud ja seda tehakse näiteks 1000 iteratsiooniga. Suhteliselt moonutamata pildi saamiseks koduarvutite jaoks vastuvõetava aja jooksul on võimalik ühe punkti kohta läbi viia 250 iteratsiooni.

Enamik fraktaleid, mida me täna näeme, on kaunilt värvitud. Võib-olla omandavad fraktaalipildid nii suure esteetilise tähtsuse just nende värvilahenduste tõttu. Pärast võrrandi arvutamist analüüsib arvuti tulemusi. Kui tulemused jäävad stabiilseks või kõiguvad teatud väärtuse ümber, muutub punkt tavaliselt mustaks. Kui väärtus ühel või teisel sammul kipub lõpmatuseni, värvitakse punkt erinevat värvi, võib-olla sinise või punasega. Selle protsessi käigus määrab arvuti kõikidele liikumiskiirustele värvid.

Tavaliselt värvitakse kiiresti liikuvad punktid punaseks, aeglasemad aga kollaseks ja nii edasi. Tumedad laigud on ilmselt kõige stabiilsemad.

Komplekssed fraktaalid erinevad deterministlikest fraktaalidest selle poolest, et nad on lõpmata keerulised, kuid neid saab siiski luua väga lihtsa valemiga. Deterministlikud fraktaalid ei nõua valemeid ega võrrandeid. Võtke lihtsalt joonistuspaber ja saate ilma raskusteta ehitada kuni 3 või 4 iteratsiooniga Sierpinski sõela. Proovige seda koos paljude Juliaga! Lihtsam on minna Inglismaa rannajoone pikkust mõõtma!

MANDELBROT KOMPLEKT

Joonis 2. Mandelbroti komplekt

Mandelbroti ja Julia komplektid on ilmselt kaks kõige levinumat kompleksfraktaalide seas. Neid võib leida paljudest teadusajakirjadest, raamatukaantest, postkaartidest ja arvuti ekraanisäästjatest. Mandelbroti komplekt, mille koostas Benoit Mandelbrot, on tõenäoliselt esimene assotsiatsioon, mis inimestel tekib sõna fraktaal kuuldes. See fraktal, mis meenutab kraasimismasinat, mille külge on kinnitatud leegitsevad puutaolised ja ringikujulised alad, genereeritakse lihtsa valemiga Zn+1=Zna+C, kus Z ja C on kompleksarvud ning a on positiivne arv.

Mandelbroti hulk, mida võib kõige sagedamini näha, on 2. astme Mandelbroti hulk, st a = 2. See, et Mandelbroti hulk ei ole ainult Zn+1=ZnІ+C, vaid fraktal, mille valemis võib indikaatoriks olla ükskõik milline positiivne arv, on paljusid eksitanud. Sellel lehel näete Mandelbroti komplekti näidet erinevad tähendused indikaator a.
Joonis 3. Mullide ilmumine a=3,5 juures

Populaarne on ka protsess Z=Z*tg(Z+C). Puutujafunktsiooni kaasamisega on tulemuseks Mandelbroti komplekt, mida ümbritseb õuna meenutav ala. Koosinusfunktsiooni kasutamisel saadakse õhumullide efektid. Lühidalt öeldes on Mandelbroti komplekti konfigureerimiseks erinevaid kauneid pilte tootmiseks lõpmatu arv võimalusi.

PALJU JULIAt

Üllataval kombel on Julia komplektid moodustatud sama valemi järgi nagu Mandelbroti komplekt. Julia komplekti mõtles välja prantsuse matemaatik Gaston Julia, kelle järgi komplekt ka oma nime sai. Esimene küsimus, mis tekib pärast Mandelbroti ja Julia komplektidega visuaalset tutvumist, on "kui mõlemad fraktalid on genereeritud sama valemi järgi, siis miks nad on nii erinevad?" Kõigepealt vaadake pilte Julia komplektist. Kummalisel kombel on Julia komplekte erinevat tüüpi. Fraktali joonistamisel erinevaid lähtepunkte kasutades (iteratsiooniprotsessi alustamiseks) genereeritakse erinevad kujutised. See kehtib ainult Julia komplekti kohta.

Joonis 4. Julia komplekt

Kuigi seda pildil näha ei ole, on Mandelbroti fraktal tegelikult palju omavahel ühendatud Julia fraktale. Mandelbroti hulga iga punkt (või koordinaat) vastab Julia fraktalile. Julia komplekte saab genereerida, kasutades neid punkte algväärtustena võrrandis Z=ZI+C. Kuid see ei tähenda, et kui valite Mandelbroti fraktalil punkti ja suurendate seda, saate Julia fraktali. Need kaks punkti on identsed, kuid ainult matemaatilises mõttes. Kui võtate selle punkti ja arvutate selle selle valemi abil, saate Julia fraktali, mis vastab Mandelbroti fraktali teatud punktile.

Teaduse kõige geniaalsemad avastused võivad inimelu radikaalselt muuta. Leiutatud vaktsiin võib päästa miljoneid inimesi, relvade loomine, vastupidi, võtab need elud ära. Viimasel ajal (inimese evolutsiooni skaalal) oleme õppinud elektrit "taltsutama" - ja nüüd ei kujuta me elu ette ilma kõigi nende mugavate elektrit kasutavate seadmeteta. Kuid on ka avastusi, mida vähesed inimesed tähtsustavad, kuigi needki mõjutavad meie elu suuresti.

Üks neist "silmapaistmatutest" avastustest on fraktaalid. Tõenäoliselt olete seda meeldejäävat sõna varem kuulnud, kuid kas teate, mida see tähendab ja kui palju huvitavat teavet see termin peidus on?

Igal inimesel on loomupärane uudishimu, soov mõista ümbritsevat maailma. Ja selles ettevõtmises püüab inimene hinnangutes loogikast kinni pidada. Analüüsides enda ümber toimuvaid protsesse, püüab ta leida toimuva loogikat ja tuletada mingit mustrit. Selle ülesandega on hõivatud planeedi suurimad meeled. Jämedalt öeldes otsivad teadlased mustrit, kus seda ei tohiks olla. Sellegipoolest on ka kaoses võimalik sündmuste vahel seoseid leida. Ja see seos on fraktal.

Meie väike tütar, nelja ja poole aastane, on nüüd selles imelises vanuses, kui küsimusi "Miks?" ületab mitu korda vastuste arvu, mida täiskasvanud suudavad anda. Mitte kaua aega tagasi märkas mu tütar maast üles tõstetud oksa uurides ühtäkki, et see oks oma okste ja okstega näeb ise välja nagu puu. Ja loomulikult järgnes tavapärane küsimus “Miks?”, millele vanemad pidid otsima lihtsat, lapsele arusaadavat seletust.

Lapse avastatud üksiku oksa sarnasus terve puuga on väga täpne tähelepanek, mis annab taas tunnistust rekursiivse enesesarnasuse põhimõttest looduses. Paljud looduses esinevad orgaanilised ja anorgaanilised vormid tekivad sarnaselt. Pilved, merekarbid, teo "maja", puude koor ja võra, vereringesüsteem ja nii edasi – kõigi nende objektide juhuslikke kujundeid saab kirjeldada fraktalalgoritmiga.

⇡ Benoit Mandelbrot: fraktaalgeomeetria isa

Sõna "fraktal" ise ilmus tänu geniaalsele teadlasele Benoit B. Mandelbrotile.

Ta ise lõi selle termini 1970. aastatel, laenates sõna fractus ladina keelest, kus see tähendab sõna-sõnalt "katki" või "purustatud". Mis see on? Tänapäeval tähendab sõna "fraktal" kõige sagedamini graafiline pilt struktuurid, mis on endaga sarnased suuremas plaanis.

Fraktaliteooria tekkimise matemaatiline alus pandi paika palju aastaid enne Benoit Mandelbroti sündi, kuid see sai areneda alles arvutusseadmete tulekuga. Selle alguses teaduslik tegevus Benoit töötas uurimiskeskus IBM ettevõte. Keskuse töötajad tegelesid sel ajal andmete kaugedastusega. Uurimise käigus seisid teadlased silmitsi mürahäiretest tulenevate suurte kadude probleemiga. Benoit seisis silmitsi raske ja väga oluline ülesanne— mõistma, kuidas ennustada elektroonikalülitustes mürahäireid, kui statistiline meetod osutub ebaefektiivseks.

Müramõõtmiste tulemusi läbi vaadates märkas Mandelbrot üht kummalist mustrit – erinevatel mõõtkavadel olevad müragraafikud nägid ühesugused välja. Täheldati identset mustrit sõltumata sellest, kas tegemist oli ühe päeva, nädala või tunni müragraafikuga. Graafiku mõõtkava oli vaja muuta ja pilt kordus iga kord.

Benoit Mandelbrot ütles oma eluajal korduvalt, et ta ei uurinud valemeid, vaid mängis lihtsalt piltidega. See mees mõtles väga piltlikult ja tõlkis igasuguse algebralise ülesande geomeetria valdkonda, kus tema sõnul on õige vastus alati ilmne.

Pole üllatav, et just nii rikkaliku ruumilise kujutlusvõimega mees sai fraktaalgeomeetria isaks. Fraktalide olemuse teadvustamine tuleb ju just siis, kui hakkate jooniseid uurima ja mõtlema kummaliste keerisemustrite tähendusele.

Fraktaalmustril ei ole identseid elemente, kuid see on sarnane mis tahes skaalal. Ehitage selline pilt koos kõrge aste käsitsi detailide koostamine oli varem lihtsalt võimatu, see nõudis tohutul hulgal arvutusi. Näiteks prantsuse matemaatik Pierre Joseph Louis Fatou kirjeldas seda komplekti rohkem kui seitsekümmend aastat enne Benoit Mandelbroti avastust. Kui rääkida enesesarnasuse põhimõtetest, siis neid mainiti Leibnizi ja Georg Cantori teostes.

Üks esimesi fraktaalijoonistusi oli Mandelbroti komplekti graafiline tõlgendus, mis sündis tänu Gaston Maurice Julia uurimistööle.

Gaston Julia (kandes alati maski - I maailmasõja vigastus)

See prantsuse matemaatik mõtles, kuidas näeks komplekt välja, kui see oleks ehitatud lihtsast valemist, mida itereeritakse läbi tsükli tagasisidet. Kui seletate seda "näpuga", tähendab see seda konkreetne number Leiame valemi abil uue väärtuse, mille järel asendame selle uuesti valemiga ja saame uue väärtuse. Tulemuseks on suur numbrijada.

Sellisest komplektist täieliku pildi saamiseks peate tegema tohutul hulgal arvutusi - sadu, tuhandeid, miljoneid. Seda oli lihtsalt võimatu käsitsi teha. Kui aga matemaatikute käsutusse jõudsid võimsad arvutusseadmed, said nad heita uue pilgu valemitele ja avaldistele, mis olid pikka aega huvi pakkunud. Mandelbrot oli esimene, kes kasutas klassikalise fraktaali arvutamiseks arvutit. Pärast suurest arvust väärtustest koosneva jada töötlemist joonistas Benoit tulemused graafikule. Seda ta saigi.

Seejärel värviti see pilt (näiteks üks värvimismeetodeid on iteratsioonide arv) ja sellest sai üks populaarsemaid pilte, mille inimene on kunagi loonud.

Nagu ütleb iidne ütlus, mida omistati Efesose Herakleitusele: "Sa ei saa kaks korda samasse jõkke astuda." See sobib suurepäraselt fraktaalide geomeetria tõlgendamiseks. Ükskõik kui üksikasjalikult me ​​fraktaalipilti ka ei vaataks, näeme alati sarnast mustrit.

Need, kes soovivad näha, kuidas Mandelbroti kosmosepilt mitu korda sisse suumituna välja näeks, saavad seda teha, laadides alla animeeritud GIF-i.

⇡ Lauren Carpenter: looduse loodud kunst

Fraktaliteooria leidis peagi praktilise rakenduse. Kuna see on tihedalt seotud isesarnaste piltide visualiseerimisega, pole üllatav, et esimene, kes võttis kasutusele algoritmid ja ehituspõhimõtted ebatavalised kujundid, seal olid kunstnikud.

Legendaarse Pixari stuudio tulevane kaasasutaja Loren C. Carpenter asus 1967. aastal tööle Boeing Computer Services, mis oli uusi lennukeid arendava kuulsa korporatsiooni üks osakondadest.

1977. aastal koostas ta esitlusi lendavate mudelite prototüüpidega. Loreni kohustuste hulka kuulus projekteeritava lennuki kujutiste väljatöötamine. Ta pidi looma pilte uutest mudelitest, näidates tulevasi lennukeid erinevate nurkade alt. Mingil hetkel tuli Pixar Animation Studiosi tulevane asutaja loomingulise idee kasutada taustana mägede pilti. Tänapäeval saab sellise probleemi lahendada iga koolilaps, kuid eelmise sajandi seitsmekümnendate lõpus ei saanud arvutid nii keeruliste arvutustega toime – puudusid graafilised redaktorid, rääkimata 3D-graafika rakendustest. 1978. aastal nägi Lauren poes kogemata Benoit Mandelbroti raamatut Fractals: Form, Chance and Dimension. Selles raamatus köitis tema tähelepanu asjaolu, et Benoit tõi palju näiteid fraktaalvormide kohta päris elu ja väitis, et neid saab kirjeldada matemaatilise avaldise abil.

Seda analoogiat ei valinud matemaatik juhuslikult. Fakt on see, et niipea, kui ta oma uurimuse avaldas, pidi ta silmitsi seisma terve kriitikatulvaga. Peamine, mida kolleegid talle ette heitsid, oli arendatava teooria kasutu. "Jah," ütlesid nad, "see on ilusaid pilte, aga mitte rohkem. Fraktaliteoorial pole praktilist väärtust. Leidus ka neid, kes üldiselt uskusid, et fraktaalimustrid on lihtsalt “kuratlike masinate” töö kõrvalsaadus, mis seitsmekümnendate lõpus tundus paljudele liiga keeruka ja uurimatuna, et seda täielikult usaldada. Mandelbrot püüdis leida ilmseid rakendusi fraktaaliteooriale, kuid asjade suures plaanis polnud tal seda vaja. Järgmise 25 aasta jooksul tõestasid Benoit Mandelbroti järgijad sellise "matemaatilise uudishimu" tohutuid eeliseid ja Lauren Carpenter oli üks esimesi, kes proovis fraktaalmeetodit praktikas.

Pärast raamatuga tutvumist uuris tulevane animaator tõsiselt fraktaalgeomeetria põhimõtteid ja hakkas otsima viisi selle rakendamiseks arvutigraafikas. Vaid kolme tööpäevaga suutis Lauren oma arvutis mäesüsteemist realistliku pildi renderdada. Teisisõnu maalis ta valemitega täiesti äratuntava mägimaastiku.

Põhimõte, mida Lauren oma eesmärgi saavutamiseks kasutas, oli väga lihtne. See seisnes suurema geomeetrilise kujundi jagamises väikesteks elementideks, mis omakorda jagati sarnasteks väiksemateks kujunditeks.

Kasutades suuremaid kolmnurki, jagas Carpenter need neljaks väiksemaks ja kordas seda protsessi siis ikka ja jälle, kuni sai realistliku mägimaastiku. Nii õnnestus tal saada esimene kunstnik, kes kasutas arvutigraafikas piltide konstrueerimiseks fraktaalgoritmi. Niipea, kui teosest kuulda sai, võtsid entusiastid üle maailma selle idee kasutusele ja hakkasid realistlike looduskujude jäljendamiseks kasutama fraktalalgoritmi.

Üks esimesi fraktaalalgoritmi kasutavaid 3D-visualisatsioone

Vaid paar aastat hiljem sai Lauren Carpenter oma arendusi palju suuremas projektis rakendada. Animaator lõi neist kaheminutilise Vol Libre demo, mida näidati Siggraphis 1980. aastal. See video šokeeris kõiki, kes seda nägid, ja Lauren sai Lucasfilmilt kutse.

Animatsioon renderdati Digital Equipment Corporationi VAX-11/780 arvutis taktsagedusega viis megahertsi ja iga kaadri renderdamiseks kulus umbes pool tundi.

Töötades ettevõttes Lucasfilm Limited, lõi animaator 3D-maastikke, kasutades sama skeemi Star Treki saaga teise täispika filmi jaoks. Raamatus The Wrath of Khan suutis Carpenter luua terve planeedi, kasutades sama fraktaalpinna modelleerimise põhimõtet.

Praegu kasutavad kõik populaarsed 3D-maastike loomise rakendused loodusobjektide genereerimiseks sarnast põhimõtet. Terragen, Bryce, Vue ja teised 3D-redaktorid toetuvad pindade ja tekstuuride modelleerimiseks fraktaalalgoritmile.

⇡ Fraktaalantennid: vähem on rohkem

Viimase poole sajandi jooksul on elu hakanud kiiresti muutuma. Enamik meist nõustub saavutustega kaasaegsed tehnoloogiad enesestmõistetav. Kõigega, mis elu mugavamaks teeb, harjud väga kiiresti. Harva esitab keegi küsimusi "Kust see tuli?" ja "Kuidas see töötab?" Mikrolaineahi soojendab hommikusööki – suurepärane, nutitelefon annab võimaluse teise inimesega rääkida – suurepärane. See tundub meile ilmselge võimalusena.

Aga elu oleks võinud olla hoopis teistsugune, kui inimene poleks otsinud toimuvatele sündmustele seletust. Võtke näiteks mobiiltelefonid. Kas mäletate esimeste mudelite ülestõmmatavaid antenne? Need segasid, suurendasid seadme suurust ja lõpuks läksid sageli katki. Usume, et nad on igaveseks unustusehõlma vajunud ja osa selle põhjuseks on... fraktalid.

Fraktaalmustrid lummavad oma mustritega. Need meenutavad kindlasti kujutisi kosmilistest objektidest – udukogudest, galaktikaparvedest jne. Seetõttu on täiesti loomulik, et kui Mandelbrot avaldas oma fraktaliteooriat, äratas tema uurimus astronoomiat uurijate seas suuremat huvi. Üks neist amatööridest, nimega Nathan Cohen, sai selle idee pärast Benoit Mandelbroti loengus osalemist Budapestis. praktilise rakendamise omandatud teadmisi. Tõsi, ta tegi seda intuitiivselt ja juhus mängis tema avastuses olulist rolli. Raadioamatöörina püüdis Nathan luua võimalikult suure tundlikkusega antenni.

Ainus võimalus antenni parameetreid parandada, mis tol ajal oli teada, oli selle geomeetriliste mõõtmete suurendamine. Bostoni kesklinnas asuva kinnisvara omanik, mille Nathan rentis, oli aga kategooriliselt suurte seadmete katusele paigaldamise vastu. Siis hakkas Nathan katsetama erinevaid vorme antennid, püüdes saada minimaalse suurusega maksimaalset tulemust. Inspireerituna fraktaalvormide ideest, valmistas Cohen, nagu öeldakse, juhuslikult traadist ühe kuulsaima fraktaali - "Kochi lumehelbe". Rootsi matemaatik Helge von Koch tuli selle kõveraga välja 1904. aastal. See saadakse lõigu jagamisel kolmeks osaks ja keskmise segmendi asendamisel võrdkülgse kolmnurgaga, mille külg ei lange kokku selle segmendiga. Definitsioon on pisut raskesti mõistetav, kuid joonisel on kõik selge ja lihtne.

Kochi kõveral on ka teisi variatsioone, kuid kõvera ligikaudne kuju jääb sarnaseks

Kui Nathan antenni raadiovastuvõtjaga ühendas, oli ta väga üllatunud – tundlikkus tõusis hüppeliselt. Pärast mitmeid katseid tulevane professor Bostoni ülikool mõistis, et fraktaalmustrit kasutades valmistatud antenn on kõrge kasuteguriga ja katab klassikaliste lahendustega võrreldes palju laiemat sagedusvahemikku. Lisaks võimaldab antenni kuju fraktaalkõvera kujul oluliselt vähendada geomeetrilisi mõõtmeid. Nathan Cohen tuli isegi välja teoreemiga, mis tõestab, et lairibaantenni loomiseks piisab, kui anda sellele isesarnase fraktaalikõvera kuju.

Autor patenteeris oma avastuse ja asutas ettevõtte fraktaalantennide arendamiseks ja disainimiseks Fractal Antenna Systems, uskudes õigustatult, et tulevikus suudavad mobiiltelefonid tänu tema avastusele vabaneda mahukatest antennidest ja muutuda kompaktsemaks.

Põhimõtteliselt juhtus nii. Tõsi, Nathan peab tänaseni juriidilist võitlust suurkorporatsioonidega, kes kasutavad tema avastust ebaseaduslikult kompaktsete sideseadmete tootmiseks. Mõned tuntud mobiiliseadmete tootjad, näiteks Motorola, on fraktaalantenni leiutajaga juba sõbralikule kokkuleppele jõudnud.

⇡ Fraktaalimõõtmed: te ei saa sellest oma mõistusega aru

Benoit laenas selle küsimuse kuulsalt Ameerika teadlaselt Edward Kasnerilt.

Viimane, nagu paljud teisedki kuulsad matemaatikud, armastas lastega suhelda, neilt küsimusi esitada ja ootamatuid vastuseid saada. Mõnikord viis see üllatavate tagajärgedeni. Näiteks Edward Kasneri üheksa-aastane vennapoeg mõtles välja nüüdseks tuntud sõna “googol”, mis tähendab ühte, millele järgneb sada nulli. Aga tuleme tagasi fraktaalide juurde. Ameerika matemaatikule meeldis küsida, kui pikk on USA rannajoon. Olles kuulanud vestluskaaslase arvamust, ütles Edward ise õige vastuse. Kui mõõdate pikkust kaardil katkiste lõikude abil, on tulemus ebatäpne, kuna rannajoonel on palju ebatasasusi. Mis juhtub, kui mõõdame võimalikult täpselt? Peate arvestama iga ebatasasuse pikkusega - peate mõõtma iga neeme, iga lahte, kivi, kivise astangu pikkust, sellel asuvat kivi, liivatera, aatomit jne. Kuna ebatasasuste arv kipub lõpmatuseni, siis iga uue ebakorrapärasuse mõõtmisel suureneb rannajoone mõõdetud pikkus lõpmatuseni.

Mida väiksem on mõõt mõõtmisel, seda pikem on mõõdetud pikkus

Huvitaval kombel ütlesid lapsed Edwardi näpunäiteid järgides õiget lahendust palju kiiremini kui täiskasvanud, samas kui viimastel oli raskusi sellise uskumatu vastuse vastuvõtmisega.

Kasutades seda probleemi näitena, soovitas Mandelbrot kasutada uus lähenemine mõõtudele. Kuna rannajoon on lähedane fraktaalikõverale, tähendab see, et sellele saab rakendada iseloomustavat parameetrit - nn fraktaalmõõdet.

Mis on tavamõõde, on igaühele selge. Kui mõõde on võrdne ühega, saame sirge, kui kaks - lame figuur, kolm - maht. Kuid selline arusaam dimensioonist matemaatikas ei tööta fraktaalkõverate puhul, kus sellel parameetril on murdosa väärtus. Fraktaalmõõdet matemaatikas võib tinglikult pidada "kareduseks". Mida suurem on kõvera karedus, seda suurem on selle fraktaalmõõde. Kõveral, millel Mandelbroti järgi on topoloogilisest mõõtmest suurem fraktaalmõõde, on ligikaudne pikkus, mis ei sõltu mõõtmete arvust.

Praegu leiavad teadlased üha rohkem valdkondi, kus fraktaliteooriat rakendada. Fraktaalide abil saab analüüsida börsihindade kõikumist, uurida kõikvõimalikke looduslikke protsesse, näiteks liikide arvu kõikumisi, või simuleerida voogude dünaamikat. Fraktalalgoritme saab kasutada andmete tihendamiseks, näiteks piltide tihendamiseks. Ja muide, selleks, et arvutiekraanile ilus fraktaali saada, ei pea sul olema doktorikraadi.

⇡ Fractal brauseris

Võib-olla üks kõige enam lihtsaid viise hankige fraktalmuster - kasutage noore andeka programmeerija Toby Schachmani veebivektoriredaktorit. Selle lihtsa graafilise redaktori tööriistad põhinevad samal enesesarnasuse põhimõttel.

Teie käsutuses on ainult kaks kõige lihtsamat kuju - nelinurk ja ring. Saate need lõuendile lisada, neid skaleerida (piki üht telge skaleerimiseks hoidke all tõstuklahvi) ja pöörake. Kattuvad Boole'i ​​liitmistehte põhimõttel, moodustavad need kõige lihtsamad elemendid uusi, vähem triviaalseid vorme. Need uued kujundid saab seejärel projekti lisada ja programm kordab nende piltide loomist lõputult. Fraktaliga töötamise mis tahes etapis saate naasta mis tahes keeruka kujuga komponendi juurde ning muuta selle asukohta ja geomeetriat. Lõbus tegevus, eriti kui arvate, et ainus tööriist, mida peate looma, on brauser. Kui te ei mõista selle rekursiivse vektorredaktoriga töötamise põhimõtet, soovitame teil vaadata projekti ametlikul veebisaidil olevat videot, mis näitab üksikasjalikult kogu fraktali loomise protsessi.

⇡ XaoS: fraktaalid igale maitsele

Paljudel graafilistel redaktoritel on sisseehitatud tööriistad fraktaalmustrite loomiseks. Need tööriistad on aga tavaliselt teisejärgulised ega võimalda genereeritud fraktaalmustri peenhäälestamist. Juhtudel, kui on vaja konstrueerida matemaatiliselt täpne fraktal, tuleb appi platvormideülene redaktor XaoS. See programm võimaldab mitte ainult luua endale sarnase pildi, vaid ka teha sellega erinevaid manipuleerimisi. Näiteks saate reaalajas "jalutada" mööda fraktalit, muutes selle skaalat. Animeeritud liikumist mööda fraktalit saab salvestada XAF-failina ja seejärel programmis endas reprodutseerida.

XaoS suudab laadida suvalise komplekti parameetreid ning kasutada ka erinevaid pildi järeltöötlusfiltreid – lisada udune liikumise efekti, siluda teravaid üleminekuid fraktaalpunktide vahel, simuleerida 3D-pilti jne.

⇡ Fractal Zoomer: kompaktne fraktaaligeneraator

Võrreldes teiste fraktaalkujutise generaatoritega on sellel mitmeid eeliseid. Esiteks on see väga väike ega vaja paigaldamist. Teiseks rakendab see võime määrata pildi värvipaleti. Sisse saab valida toone värvi mudelid RGB, CMYK, HVS ja HSL.

Väga mugav on kasutada ka juhusliku valiku võimalust värvitoonid ja funktsioon kõigi pildi värvide ümberpööramiseks. Värvuse reguleerimiseks on varjundite tsüklilise valiku funktsioon – vastava režiimi sisselülitamisel animeerib programm pilti, muutes sellel tsükliliselt värve.

Fractal Zoomer suudab visualiseerida 85 erinevat fraktaali funktsiooni ning valemid on programmimenüüs selgelt näidatud. Piltide järeltöötluseks on programmis filtrid olemas, kuigi väikestes kogustes. Iga määratud filtrit saab igal ajal tühistada.

⇡ Mandelbulb3D: 3D fraktaaliredaktor

Kui kasutatakse terminit "fraktal", viitab see kõige sagedamini tasasele kahemõõtmelisele kujutisele. Fraktaalgeomeetria läheb aga 2D-mõõtmest kaugemale. Looduses võib leida nii lamedate fraktaalvormide näiteid, näiteks välgu geomeetria, kui ka kolmemõõtmelisi mahulisi kujundeid. Fraktaalipinnad võivad olla kolmemõõtmelised ja üks väga selge näide 3D-fraktaalidest igapäevaelus on kapsapea. Võib-olla on parim viis fraktaalide nägemiseks Romanesco sort, lillkapsa ja brokoli hübriid.

Seda fraktaali saab ka süüa

Looge 3D-objekte sarnane kuju Programm Mandelbulb3D saab seda teha. Fraktalalgoritmi abil 3D-pinna saamiseks teisendasid selle rakenduse autorid Daniel White ja Paul Nylander Mandelbroti komplekti sfäärilisteks koordinaatideks. Nende loodud programm Mandelbulb3D on tõeline kolmemõõtmeline redaktor, mis modelleerib fraktaalpindu erinevad vormid. Kuna me jälgime looduses sageli fraktaalseid mustreid, tundub kunstlikult loodud kolmemõõtmeline fraktaalobjekt uskumatult realistlik ja isegi "elus".

See võib meenutada taime, see võib meenutada kummalist looma, planeeti või midagi muud. Seda efekti täiustab täiustatud renderdusalgoritm, mis võimaldab saada realistlikke peegeldusi, arvutada läbipaistvust ja varje, simuleerida teravussügavuse mõju jne. Mandelbulb3D-l on tohutult palju sätteid ja renderdusvalikuid. Saate juhtida valgusallikate toone, valida simuleeritud objekti tausta ja detailsuse taset.

Incendia fraktaaliredaktor toetab topeltkujutise silumist, sisaldab viiekümne erineva kolmemõõtmelise fraktalist koosnevat teeki ja sellel on eraldi moodul põhikujude redigeerimiseks.

Rakendus kasutab fraktaalide skriptimist, mille abil saate iseseisvalt kirjeldada uut tüüpi fraktaalkujundusi. Incendial on tekstuuri- ja materjaliredaktorid ning renderdusmootor võimaldab kasutada mahulisi uduefekte ja erinevaid varjutajaid. Programm rakendab pikaajalisel renderdamisel puhvri salvestamise võimalust ja toetab animatsiooni loomist.

Incendia võimaldab teil eksportida fraktaalmudeli populaarsetesse 3D-graafikavormingutesse - OBJ ja STL. Incendia sisaldab väikest utiliiti nimega Geometrica, mis on spetsiaalne tööriist fraktaalpinna 3D-mudelisse eksportimise seadistamiseks. Selle utiliidi abil saate määrata 3D-pinna eraldusvõime ja määrata fraktaali iteratsioonide arvu. Eksporditud mudeleid saab kasutada 3D-projektides, kui töötate 3D-redaktoritega nagu Blender, 3ds max ja teised.

Hiljuti on töö Incendia projektiga mõnevõrra aeglustunud. Peal Sel hetkel autor otsib sponsoreid, kes aitaksid tal programmi arendada.

Kui teil pole piisavalt kujutlusvõimet, et selles programmis ilusat kolmemõõtmelist fraktaali joonistada, pole see oluline. Kasutage parameetrite teeki, mis asub kaustas INCENDIA_EX\parameters. PAR-failide abil saate kiiresti leida kõige ebatavalisemad fraktaalikujud, sealhulgas animeeritud.

⇡ Auraalne: kuidas fraktalid laulavad

Tavaliselt me ​​ei räägi projektidest, mille kallal alles töötatakse, kuid sel juhul peame tegema erandi, kuna tegemist on väga ebatavalise rakendusega. Projekti nimega Aural leiutas sama inimene, kes lõi Incendia. Seekordne programm aga ei visualiseeri fraktaalikomplekti, vaid kõlab seda, muutes selle elektrooniliseks muusikaks. Idee on väga huvitav, eriti arvestades ebatavalised omadused fraktalid. Aural on heliredaktor, mis genereerib meloodiaid fraktaalalgoritmide abil ehk sisuliselt on tegemist helisüntesaatori-sekvenaatoriga.

Selle programmi tekitatud helide jada on ebatavaline ja... ilus. See võib olla kasulik kaasaegsete rütmide kirjutamisel ja meile tundub, et see sobib eriti hästi loomiseks helirajad tele- ja raadiosaadete ekraanisäästjatele, samuti taustamuusika "silmustele". Arvutimängud. Ramiro ei ole veel oma programmi demo esitanud, kuid lubab, et kui ta seda teeb, ei pea te Auraliga töötamiseks õppima fraktaaliteooriat – peate lihtsalt mängima jada genereerimise algoritmi parameetritega. märkmetest. Kuulake, kuidas fraktalid kõlavad, ja.

Fraktalid: muusikaline paus

Tegelikult võivad fraktalid aidata teil muusikat kirjutada ka ilma tarkvara. Kuid seda saab teha ainult keegi, kes on tõeliselt läbi imbunud loomuliku harmoonia ideest ja kes pole muutunud õnnetuks "nohikuks". Mõttekas on eeskuju võtta muusikult nimega Jonathan Coulton, kes muu hulgas kirjutab kompositsioone ajakirjale Popular Science. Ja erinevalt teistest esinejatest avaldab Colton kõik oma teosed Creative Commonsi mitteärilistel eesmärkidel omistamise litsentsi alusel, mis (mitteärilistel eesmärkidel kasutamisel) näeb ette teose tasuta kopeerimise, levitamise, teistele üleandmise, samuti selle muutmise ( tuletatud teoste loomine), et kohandada seda oma ülesannetega.

Jonathan Coltonil on muidugi laul fraktaalidest.

⇡ Järeldus

Kõiges, mis meid ümbritseb, näeme sageli kaost, kuid tegelikult pole see juhus, vaid ideaalne vorm, mida fraktalid aitavad meil eristada. Loodus on parim arhitekt, ideaalne ehitaja ja insener. See on üles ehitatud väga loogiliselt ja kui me kuskil mustrit ei näe, tähendab see, et peame seda otsima erinevalt. Inimesed mõistavad seda üha paremini, püüdes mitmel viisil jäljendada looduslikke vorme. Inseneride disain Akustilised süsteemid kesta kujul loovad nad lumehelveste geomeetriaga antenne ja nii edasi. Oleme kindlad, et fraktalid sisaldavad endiselt palju saladusi ja paljud neist on inimestel veel avastamata.

Fraktaale on tuntud peaaegu sajand, nad on hästi uuritud ja neil on elus palju rakendusi. See nähtus põhineb väga lihtsal ideel: suhteliselt lihtsate kujunduste abil on võimalik saada lõpmatu arv ilusaid ja mitmekesiseid kujundeid, kasutades vaid kahte toimingut – kopeerimist ja skaleerimist.

Sellel mõistel pole ranget määratlust. Seetõttu ei ole sõna "fraktal" matemaatiline termin. Tavaliselt nimetatakse seda geomeetrilist kujundit, mis vastab ühele või mitmele järgmistest omadustest:

• on keerulise struktuuriga mis tahes suurendusega;
• on (ligikaudselt) enesesarnane;
• omab murdosa Hausdorffi (fraktaal) dimensiooni, mis on suurem topoloogilisest;
• saab konstrueerida rekursiivsete protseduuride abil.

19. ja 20. sajandi vahetusel oli fraktaalide uurimine pigem episoodiline kui süstemaatiline, sest varem uurisid matemaatikud peamiselt “häid” objekte, mida sai uurida üldiste meetodite ja teooriate abil. 1872. aastal konstrueeris saksa matemaatik Karl Weierstrass näite pidevast funktsioonist, mis ei ole kusagil diferentseeritav. Selle ülesehitus oli aga täiesti abstraktne ja raskesti mõistetav. Seetõttu mõtles rootslane Helge von Koch 1904. aastal välja pideva kõvera, millel pole kuskil puutujat ja mida on üsna lihtne joonistada. Selgus, et sellel on fraktali omadused. Selle kõvera ühte varianti nimetatakse "Kochi lumehelbeks".

Figuuride enesesarnasuse ideed noppis üles prantslane Paul Pierre Levy, Benoit Mandelbroti tulevane mentor. 1938. aastal ilmus tema artikkel “Tervikuga sarnastest osadest koosnevad tasapinnalised ja ruumilised kõverad ja pinnad”, mis kirjeldas teist fraktaali – Lévy C-kõverat. Kõik need ülalloetletud fraktaalid võib tinglikult liigitada ühte konstruktiivsete (geomeetriliste) fraktaalide klassi.

Teine klass on dünaamilised (algebralised) fraktaalid, mis hõlmavad Mandelbroti komplekti. Esimesed sellesuunalised uurimused pärinevad 20. sajandi algusest ja on seotud prantsuse matemaatikute Gaston Julia ja Pierre Fatou nimedega. 1918. aastal avaldas Julia peaaegu kahesajaleheküljelise töö keeruliste ratsionaalsete funktsioonide iteratsioonide kohta, milles kirjeldati Julia komplekte – tervet fraktaalide perekonda, mis on tihedalt seotud Mandelbroti hulgaga. See töö pälvis Prantsuse Akadeemia auhinna, kuid see ei sisaldanud ühtegi illustratsiooni, mistõttu oli võimatu hinnata avatud objektide ilu. Hoolimata asjaolust, et see töö tegi Julia tolleaegsete matemaatikute seas kuulsaks, unustati see kiiresti.

Tähelepanu Julia ja Fatou loomingule pöördus uuesti alles pool sajandit hiljem, arvutite tulekuga: just nemad tegid nähtavaks fraktaalide maailma rikkuse ja ilu. Fatou ei saanud ju kunagi vaadata pilte, mida me praegu tunneme Mandelbroti komplekti kujutistena, sest vajalikku arvu arvutusi ei saa käsitsi teha. Esimene inimene, kes selleks arvutit kasutas, oli Benoit Mandelbrot.

1982. aastal ilmus Mandelbroti raamat “Fractal Geometry of Nature”, kuhu autor kogus ja süstematiseeris peaaegu kogu tol ajal kättesaadava teabe fraktalide kohta ning esitas selle lihtsalt ja arusaadavalt. Mandelbrot pani oma ettekandes põhirõhu mitte rasketele valemitele ja matemaatilistele konstruktsioonidele, vaid lugejate geomeetrilisele intuitsioonile. Tänu arvuti abil saadud illustratsioonidele ja ajaloolistele lugudele, millega autor monograafia teaduslikku komponenti oskuslikult lahjendas, sai raamatust bestseller ning fraktalid said laiemale avalikkusele tuntuks. Nende edu mittematemaatikute seas on suuresti tingitud sellest, et väga lihtsate, isegi keskkooliõpilasele mõistetavate konstruktsioonide ja valemite abil saadakse hämmastava keerukuse ja iluga pilte. Kui personaalarvutid said piisavalt võimsaks, ilmus kunstis isegi terve suund – fraktaalmaal ja sellega sai hakkama peaaegu iga arvutiomanik. Nüüd leiate Internetist hõlpsalt palju sellele teemale pühendatud saite.