Lineaarvõrrandisüsteemid. kvalifikatsioonid

Olgu antud lineaarvõrrandisüsteem

Tundmatute koefitsiendid moodustavad ristkülikukujulise näo

helistas süsteemi maatriks. Koefitsiendi esimene indeks aij tähendab võrrandi arvu, teine ​​on tundmatu arv, mille juures see koefitsient seisab. Koefitsiendid b, , b gp kutsutakse süsteemivõrrandite vabad liikmed. Kui vabad liikmed on võrdsed nulliga, kutsutakse süsteem homogeenne, muidu - heterogeenne. Maatriks

helistas laiendatud maatrikssüsteem (2.1).

Süsteemi (2.1) lahendus on mis tahes järjestatud hulk (põrgu, X2 , ? ??, x p) alates P numbrid, asendades need vastavate tundmatute asemel süsteemi võrranditesse, muutub iga süsteemi võrrand identiteediks. Süsteemi, millel pole lahendust, nimetatakse mitteliigeste, või vastuoluline. Süsteemi, millel on vähemalt üks lahendus, nimetatakse liigend.

Liigeste süsteemid jagunevad teatud, millel on ainulaadne lahendus ja ebakindel, omamine suur hulk otsuseid. Homogeenne süsteem on alati järjekindel, kuna sellel on vähemalt nulllahendus x - X2 - ... = x n = 0.

Tundmatuid sisaldavad avaldised (valemid). x, x 2, ..., x n ja teatud hulk suvalisi konstante, millest saab suvaliste konstantide väärtuste sobiva valiku korral saada süsteemi mis tahes konkreetse lahenduse. üldine süsteemne lahendus, ja süsteemi iga konkreetne lahendus on tema privaatne lahendus. Kaks süsteemi samade tundmatutega samaväärne (samaväärne), kui ühe lahendus on teise lahendus või mõlemad süsteemid on vastuolus.

Tavaliselt tuleb süsteemi võrrandites läbi viia järgmised võrrandid: elementaarsed teisendused:

• 1) mis tahes võrrandi mõlema poole korrutamine nullist erineva arvuga;
• 2) ühele võrrandile teise liitmine (lahutamine), mis on korrutatud teatud arvuga;
• 3) võrrandite ümberpaigutamine;
• 4) 0-tüüpi võrrandite läbikriipsutamine X + 0 X2 + + 0 x n= 0, st. identiteedid 0 = 0;
• 5) võrrandisüsteemi tundmatute ümberpaigutamine.

Elementaarteisenduste tulemusena muudetakse süsteem samaväärseks. Üldine meetod Lahenduste leidmine põhineb tavaliselt järjestikusel üleminekul, kasutades elementaarseid teisendusi antud süsteemist samaväärsesse süsteemi, mille lahendust on lihtne leida. Üks selline viis on Tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod(Gaussi meetod). Selle meetodi algoritm on järgmine.

Oletame, et süsteemi (2.1) koefitsient ac erineb nullist. Seda on alati võimalik saavutada vajaduse korral süsteemi võrrandite või selles leiduvate tundmatute ümberkorraldamisega ja tundmatute numeratsiooni muutmisega. Korrutame esimese võrrandi arvuga A2 /ac ja lahutage teisest võrrandist, seejärel võrra a^/ac ja lahutada kolmandast võrrandist jne. Lõpuks korrutage esimene võrrand arvuga a m ja ja lahutage viimasest võrrandist. Selle tulemusena tundmatu X jäetakse välja kõigist võrranditest, välja arvatud esimene, ja süsteem on järgmisel kujul:

Süsteemis (2.2) tuleks 0-kujulised võrrandid välja jätta x + 0 X2 + ...+ +0 x n= 0, kui selline ilmnes. See lõpetab Gaussi meetodi esimese sammu. Elementi DC nimetatakse juhtiv element see samm.

Gaussi meetodi edasiliikumise järgmised sammud viiakse läbi sarnaselt. Niisiis, teises etapis, kui a 22^ 0 korrutame järjestikku teise võrrandi arvuga a" 32 /a 22 , A! A2/a! 22, ..., a" m2 fa 22 ja lahutage see 3., 4., ..., m-ndast võrrandist. Selle tulemusena tundmatu X2 välja arvatud kõigist võrranditest, välja arvatud 1. ja 2. Kolmas samm on teadmatus Idk välja arvatud kõigist võrranditest, välja arvatud kolm esimest jne.

Võimalik, et Gaussi meetodi edasiliikumise mõnel etapil kohtame võrrandit

Siis on vaadeldav süsteem ebajärjekindel ja selle edasine lahendus lakkab. Kui Gaussi meetodi edasikäigu sooritamisel vormi (2.3) võrrandeid ei kohta, muundatakse vaadeldav süsteem pärast mitte rohkem kui m edasiliikumise sammu samaväärseks vormiga süsteemiks.

Märkimise lihtsustamiseks süsteemis (2.4) jäetakse koefitsientide kohal olevad algarvud välja. Rohkem selles pole T võrrandid, st. r ^ m, kuna mõned võrrandid võivad olla taandatud kujule 0 = 0 ja läbi kriipsutatud, samuti on ilmne, et r ^ P.

Kell r = n süsteemil (2.4) on kolmnurkne kuju:

ja Gaussi meetodit on lihtne ümber pöörata. Selleks leiame selle süsteemi viimasest võrrandist tundmatu väärtuse x lk. Asendades selle eelviimasesse võrrandisse, leiame väärtuse.x n _i. Niimoodi jätkates määrame üheselt kõik tundmatud x, x2 , ..., x lk. Järelikult, kui Gaussi meetodi edasiliikumisega süsteem (2.1) taandada kolmnurkse kujuga süsteemiks, siis on selline süsteem kindel, s.t. on ainulaadne lahendus.

Kell g süsteem (2.4) on trapetsi kujuline. Selles on tundmatuid X, X2 , ..., x g peetakse peamisteks ja tundmatuteks x+, x g+ 2 , ..., x n- tasuta neile. Vabad tundmatud võivad omandada mis tahes fikseeritud väärtused. Uskudes x r+= 7 r +i, Xg+2 = b-+2 , , x n= 7 p, kus 7r+i, 7r+2? , 7п on suvalised konstandid ja Gaussi meetodi ümberpööramisel süsteemis saame valemid:

mis moodustavad süsteemi (2.1) üldlahenduse. Üldlahendusest (2.C) eriväärtuste 7r +i, 7r+2, , 7n korral saadakse süsteemi (2.1) konkreetsed lahendused. Kuna iga vaba tundmatu võib omandada lõpmatu arvu väärtusi, siis süsteem (2.1) koos g st. juhul, kui see on taandatud trapetsikujuliseks, on sellel lõpmatu arv lahendusi. See kehtib liigeste süsteemid milles on vähem võrrandeid kui tundmatuid, ja eriti homogeensete puhul, milles on vähem võrrandeid kui tundmatuid.

Praktikas rakendatakse Gaussi meetodit tavaliselt maatriksi kujul. Selleks kirjutage välja süsteemi laiendatud maatriks, milles mugavuse huvides eraldatakse vabade terminite veerg vertikaalse ribaga ja sellel maatriksil tehakse teisendusi, seejärel saadud maatriksil jne. Sel juhul loetakse samaväärseteks ka samaväärsete süsteemide maatriksid.

Näide 2.1. Lahendage võrrandisüsteem Gaussi meetodil

Lahendus. Süsteemi laiendatud maatriksisse jätmine

esimene rida muutmata ja lahutamata kolm korda esimene rida teisest, kahekordistades esimene rida kolmandast ja neljandast, jõuame ekvivalentmaatriksini

Lahutades selles maatriksis teise rea kolmandast ja jättes teised read muutmata, saame maatriksi

Kolmanda rea ​​siin maha kriipsutades jõuame maatriksini

mis vastab süsteemile

Siit, Gaussi meetodit ümber pöörates, leiame

Näide 2.2. Lahendage võrrandisüsteem Gaussi meetodil

Lahendus. Kui süsteemi laiendatud maatriksis

jäta esimene rida muutmata, lahuta kahekordistunud esimene rida teisest, kolmekordista esimene rida kolmandast, saame maatriksi

Rida (0 0 0 | - 5) vastab võrrandile 0 X + 0 x 2 + 0 Idk= -5. Sellise võrrandi olemasolu näitab vaadeldava süsteemi kokkusobimatust. ?

Näide 2.3. Lahendage võrrandisüsteem Gaussi meetodil

Lahendus. Gaussi meetodi põhiteisendused süsteemi laiendatud maatriksi ridade üle annavad järgmise ekvivalentmaatriksite ahela:

Selle ahela viimane maatriks vastab süsteemile

Siin uskudes Idk= 73 (77 on suvaline konstant) ja Gaussi meetodi ümberpööramisel saame üldlahenduse:

Gaussi meetodi efektiivsuse ja stabiilsuse suurendamiseks seda muudetakse erinevatel viisidel. Näiteks kasutatakse sageli skeemi, kus igas edasiliikumise etapis valitakse juhtiv koefitsient valitud võrrandis või töötavas alamsüsteemis tundmatute koefitsientide hulgas absoluutväärtuselt suurimaks. selles etapis.

Kui lahendate süsteeme "käsitsi" Gaussi meetodi abil, on keeruliste arvutuste vältimiseks soovitatav mõnikord Gaussi meetodi edasiliikumise etappide vaheaegadel või enne selle algust teha mõnede valemite võrrandites täiendavaid elementaarteisendusi. süsteem. Näiteks süsteemi "käsitsi" lahendamisel

Soovitav on kõigepealt lahutada süsteemi esimesest võrrandist kahekordne kolmas ja jätta ülejäänud muutmata. Siis saame süsteemi

milles Gaussi meetodit on juba lihtne teostada. Maatriksitel tehakse ka täiendavaid teisendusi.

Kokkuvõtteks märgime, et Gaussi meetod ja selle modifikatsioonid leiavad kõige rohkem lai rakendus arvutipraktikas. Selle rakendamiseks arvutis saate kasutada standardprogramme, mis sisalduvad peaaegu igas matemaatiliste ülesannete lahendamise tarkvarapaketis.

Gaussi meetod on lihtne! Miks? Kuulus saksa matemaatik Johann Carl Friedrich Gauss pälvis tunnustuse juba oma eluajal suurim matemaatik läbi aegade geenius ja isegi hüüdnimega "matemaatika kuningas". Ja kõik geniaalne on lihtne! Muuseas, Gaussi portree oli 10 Saksa marga pangatähel (enne euro kasutuselevõttu) ja Gauss naeratab sakslastele salapäraselt siiani tavalistelt postmarkidelt.

Gaussi meetod on selle poolest lihtne, et selle valdamiseks PIISAB VIIENDA KLASSI ÕPILASE TEADMISEST. Minoorid ja algebralised liitmised võid mõneks ajaks unustada! Peate teadma, kuidas liita ja korrutada! Pole juhus, et õpetajad kaaluvad koolimatemaatika valikainetes sageli tundmatute järjestikuse väljajätmise meetodit.

See on paradoks, kuid õpilaste arvates on Gaussi meetod kõige keerulisem. Pole midagi üllatavat - see kõik puudutab metoodikat ja me püüame rääkida meetodi algoritmist juurdepääsetaval kujul.

Esiteks süstematiseerime veidi teadmisi lineaarvõrrandisüsteemide kohta. Lineaarvõrrandisüsteem võib:

1) omage ainulaadset lahendust.

2) teil on lõpmatult palju lahendusi.

3) Sul pole lahendusi (olgu mitteliigeste).

Gaussi meetod on kõige võimsam ja universaalsem vahend lahenduse leidmiseks ükskõik milline lineaarvõrrandisüsteemid. Nagu me mäletame, Crameri reegel ja maatriksmeetod ei sobi juhtudel, kui süsteemil on lõpmatult palju lahendusi või see on ebaühtlane. Ja tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod Igatahes viib meid vastuseni! Peal see õppetund käsitleme taas Gaussi meetodit juhtumi nr 1 puhul (süsteemi ainuke lahendus), punktide nr 2-3 olukordadele on pühendatud artikkel Kokkusobimatud süsteemid ja üldlahendusega süsteemid. Pange tähele, et meetodi enda algoritm töötab kõigil kolmel juhul sama.

Pöördume tagasi kõige lihtsama süsteemi juurde

Ja lahendame selle Gaussi meetodil.

Esimeses etapis kirjutame nn laiendatud süsteemimaatriks:

Arvame, et igaüks näeb, mis põhimõttel koefitsiendid on kirjutatud.

Märge: Süsteemi laiendatud maatriks saadakse algsest maatriksist, kasutades “rea/veeru kasvatamise operatsiooni”. Sel juhul laiendati maatriksit algse võrrandisüsteemi vabaliikmete veeru tõttu.

Märge: Lisaks eelnevalt loetletud kuuele algebralisele operatsioonile maatriksitega ja suurendamistehtega on olemas ka rea/veeru kõrvalejätmise toiming. Kasutades näiteks "rea/veeru hülgamise operatsiooni", koostatakse alammaatriksid, mille determinandid on maatriksi elementide alaealised.

Maatriksi sees oleval vertikaalsel joonel ei ole matemaatilist tähendust – see on lihtsalt disainimise hõlbustamiseks esiletõstmise joon.

Definitsioon: Süsteemi maatriks on maatriks, mis koosneb ainult lineaarvõrrandisüsteemi tundmatute muutujate koefitsientidest.

Definitsioon: Laiendatud süsteemimaatriks on süsteemi maatriks, mida on paremale laiendatud vabade terminite veeru võrra.

Selles näites . on süsteemi maatriks ja- see on süsteemi laiendatud maatriks . Lühiduse huvides võib ükskõik millist neist nimetada lihtsalt maatriksiks.

Pärast süsteemi laiendatud maatriksi kirjutamist on vaja teha mõned uued algebralised tehted, mida Gaussi kerge käega ka nn. elementaarmaatriksiteisendused. Teisendusi nimetatakse elementaarne, sest on näidatud (me käsitleme seda definitsioonina), et

Definitsioon: Pärast iga elementaarne teisendus laiendatud maatriksiga saadakse täiesti erinev maatriks, kuid lahendusi selle uue lineaarvõrrandisüsteemi jaoks jäävad samaks kui algse maatriksi puhul.

On olemas järgmised elementaarsed teisendused:

1) Stringid maatriksid saab ümber korraldada mõnes kohas. Näiteks vaadeldavas maatriksis saate esimest ja teist rida valutult ümber korraldada:

2) Kui maatriks on (või on ilmunud) proportsionaalne (nagu erijuhtum– identsed) read, siis järgneb kustutada maatriksist kõik need read peale ühe.

Mõelge näiteks maatriksile . Selles maatriksis on kolm viimast rida proportsionaalsed, nii et piisab, kui jätta neist ainult üks:

.

3) Kui teisenduste käigus tekib maatriksisse nullrida, siis peaks see ka olema kustutada. Muidugi me ei tõmba, nulljoon on joon, milles kõik nullid.

4) Maatriksi rida võib olla korrutama (jagama) mis tahes numbrile nullist erinev. Vaatleme näiteks maatriksit . Siin on soovitatav esimene rida jagada –3-ga ja teine ​​rida 2-ga korrutada: . See toiming on väga kasulik, kuna see lihtsustab maatriksi edasisi teisendusi.

5) See transformatsioon tekitab kõige rohkem raskusi, kuid tegelikult pole ka midagi keerulist. Maatriksi reale saate lisage veel üks string, mis on korrutatud arvuga, erineb nullist.

Vaatame oma maatriksit praktilise näite põhjal: . Esiteks kirjeldame ümberkujundamist väga üksikasjalikult.

Korrutage esimene rida arvuga (-2): , Edasi lisage esimene rida teisele reale, jättes esimese muutmata: . Nüüd saab esimese rea “tagasi” jagada (–2): .

Nagu näete, rida, mis on LISATUD LI – pole muutunud. Alati muutub rida, MILLELE LISATAKSE TÜ.

Praktikas nad seda muidugi nii üksikasjalikult ei kirjuta, vaid kirjutavad lühidalt:

Veel kord: teisele reale lisati esimese rea korrutis (–2). Rida korrutatakse tavaliselt suuliselt või mustandil, kusjuures peast arvutamise protsess kulgeb umbes järgmiselt:

"Kirjutan maatriksi ümber ja kirjutan esimese rea ümber: »

"Esimene veerg. Allosas pean saama nulli. Seetõttu korrutan ülaosas oleva –2:ga ja esimese liidan teisele reale: 2 + (–2) = 0.

Kirjutan tulemuse teisele reale: »

"Nüüd teine ​​veerg. Ülaosas korrutan -1 -2-ga: ( -1∙(-2) = 2 ). Esimese lisan teisele reale: 1 + 2 = 3. Kirjutan tulemuse teisele reale:

»

"Ja kolmas veerg. Ülaosas korrutan -5 -2-ga: ( -5∙(-2) = 10 ). Lisan esimese teise reale:( –7 + 10 = 3 ). Kirjutan tulemuse teisele reale:

»

Palun mõistke seda näidet hoolikalt ja mõistke järjestikuse arvutuse algoritmi, kui saate sellest aru, on Gaussi meetod praktiliselt teie taskus. Kuid loomulikult me ​​töötame selle ümberkujundamise kallal endiselt.

Kordame: "Elementaarsed teisendused ei muuda süsteemi lahendust"

TÄHELEPANU!: kaalutletud manipulatsioonid n ei saa kasutada, kui teile pakutakse ülesannet, kus maatriksid antakse "iseenesest". Näiteks "klassikaline" tehted maatriksitega Mitte mingil juhul ei tohi maatriksite sees midagi ümber korraldada!

Tuleme tagasi oma süsteemi juurde. See on peaaegu lahendatud.

Mida Gauss küsib? Ta ütleb: "Kirjutage üles süsteemi laiendatud maatriks ja viige see elementaarsete teisenduste abil selle juurde astmeline vaade».

Sel juhul selleks

(1) Lisage teisele reale esimene rida, mis on korrutatud -2-ga. Muide, miks me korrutame esimese rea –2-ga? Selleks, et saada allosas null, mis tähendab teises reas ühest muutujast vabanemist.

(2) Jagage teine ​​rida 3-ga. Miks? Nii et teine ​​rida annab kohe teise muutuja väärtuse.

Elementaarteisenduste eesmärk– vähendage maatriksi astmelisele kujule:

Ülesandevormis on see selgelt öeldud lihtsa pliiatsiga"trepid" ja ringlege ka numbritele, mis asuvad "astmetel". Mõiste "astmeline vaade" ise ei ole täiesti teoreetiline, teaduslikus ja õppekirjandus seda sageli nimetatakse trapetsikujuline vaade või kolmnurkne vaade.

Elementaarteisenduste tulemusena saadi võrrandisüsteem, samaväärne algne lineaarvõrrandisüsteem, mis võttis järgmise kuju:

Nüüd tuleb süsteem "lahti kerida" vastupidises suunas - seda protsessi nimetatakse alt üles Gaussi meetodi pöördvõrdeline.

Alumises võrrandis on meil juba valmis tulemus: . Vaatleme süsteemi esimest võrrandit ja asendame sellega juba teadaolev väärtus"Y":

Vastus:

Vaatleme kõige levinumat olukorda, kus Gaussi meetod nõuab kolme tundmatuga lineaarvõrrandi süsteemi lahendamist.

Näide 1

Lahendage võrrandisüsteem Gaussi meetodi abil:

Kirjutame süsteemi laiendatud maatriksi:

Nüüd joonistame kohe tulemuse, milleni lahenduse käigus jõuame:

.

Kordame, et meie eesmärk on viia maatriks elementaarteisenduste abil astmelisele kujule. Kust alustada?

Kõigepealt vaadake ülemist vasakpoolset numbrit:

.

Peaks peaaegu alati siin olema üksus. Üldjuhul toimib ka (–1) ja vahel ka teised numbrid, aga millegipärast on traditsiooniliselt juhtunud, et sinna pannakse tavaliselt üks. Kuidas üksust organiseerida? Vaatame esimest veergu - meil on valmis üksus! Esimene teisendus: vahetage esimene ja kolmas rida:

Nüüd jääb esimene rida muutumatuks kuni lahenduse lõpuni. Nüüd hästi.

Vasakpoolses ülanurgas asuv üksus on organiseeritud. Nüüd peate nendes kohtades saama nullid:

Nullid saame "keerulise" teisenduse abil. Kõigepealt tegeleme teise reaga (2, –1, 3, 13). Mida tuleb teha, et esikohale null saada? Vaja co lisage teine ​​rida esimesele reale, mis on korrutatud -2-ga. Korrutage esimene rida mõtteliselt või mustandi põhjal -2-ga: (-2, -4, 2, -18).

Ja järjepidevalt teostame (taas mõtteliselt või mustandi pealt) lisamist, st. teisele reale lisame esimese rea, mis on juba korrutatud -2-ga:

Kirjutame tulemuse teisele reale:

Kolmanda reaga tegeleme samamoodi (3, 2, –5, –1). Esimeses positsioonis nulli saamiseks peate kolmandale reale lisage esimene rida, mis on korrutatud -3-ga.

Korrutage esimene rida mõtteliselt või mustandi põhjal -3-ga: (-3, -6, 3, -27). JA kolmandale reale lisame esimese rea korrutatuna -3-ga:

Kirjutame tulemuse kolmandale reale:

Praktikas tehakse need toimingud tavaliselt suuliselt ja pannakse kirja ühes etapis:

Pole vaja kõike korraga ja samal ajal lugeda. Arvutuste järjekord ja tulemuste “sissekirjutamine”. järjekindel ja tavaliselt on see nii: kõigepealt kirjutame esimese rea ümber ja pahvime aeglaselt enda peale - Järjepidevalt ja TÄHELEPANU:

.

Ja arvutuste enda vaimset protsessi oleme juba eespool arutanud.

Selles näites on seda lihtne teha, jagame teise rea –5-ga (kuna kõik seal olevad arvud jaguvad 5-ga ilma jäägita). Samal ajal jagame kolmanda rea ​​–2-ga, sest mis vähem numbrit, need lihtsam lahendus:

Elementaarsete teisenduste viimases etapis peate siit saama veel ühe nulli:

Selle jaoks kolmandale reale lisame teise rea korrutatuna -2-ga:

Proovige see toiming ise välja mõelda – korrutage teine ​​rida mõtteliselt (–2)-ga ja tehke liitmine. Viimane toiming on tulemuse soeng; selleks jagage kolmas rida 3-ga.

Elementaarteisenduste tulemusena saadakse algse lineaarvõrrandisüsteemiga ekvivalentne süsteem:

Nüüd tuleb mängu Gaussi meetodi "tagurpidi liikumine". Võrrandid "kerivad lahti" alt üles.

Kolmandas võrrandis on meil juba valmis tulemus:

Vaatame teist võrrandit: . Sõna "zet" tähendus on juba teada, seega:

Näide 3

Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime selle elementaarteisenduste abil astmelisele kujule:

Vaatame vasakpoolset ülemist "sammu". Meil peaks üks seal olema. Probleem on selles, et esimeses veerus pole ühikuid üldse, nii et ridade ümberpaigutamine ei lahenda midagi. Sellistel juhtudel tuleb üksus organiseerida elementaarse teisenduse abil. Tavaliselt saab seda teha mitmel viisil.

Teeme ära:

(1) Esimesele reale lisame teise rea, korrutatuna (–1). See tähendab, et me korrutasime mõtteliselt teise rea (–1)-ga ja lisasime esimese ja teise rea, samas kui teine ​​rida ei muutunud.

Nüüd üleval vasakul (–1), mis sobib meile päris hästi. Igaüks, kes soovib saada (+1), võib sooritada täiendava žesti: korrutage esimene rida (-1-ga), muutes selle märki. Seejärel töötab algoritm vastavalt rihveldatud rajale:

.

(2) Teisele reale lisati esimene rida, mis on korrutatud 5-ga. Kolmandale reale lisati esimene rida, mis on korrutatud 3-ga.

(3) Esimene rida korrutati (–1). Põhimõtteliselt on see ilu pärast. Muudeti ka kolmanda rea ​​märki ja viidi see teisele kohale, nii et teisel “sammul” oli meil vajalik ühik.

(4) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna 2-ga.

(5) Kolmas rida jagati 3-ga.

Maksame vastupidi, näidete kujundamisel ei kirjuta nad sageli süsteemi ennast ümber, vaid võrrandid on "võetud otse antud maatriksist". Tuletan teile meelde, et vastupidine löök töötab alt üles. Jah, siin on kingitus:

Vastus: .

Näide 4

Lahendage Gaussi meetodil lineaarvõrrandisüsteem

See on näide sõltumatu otsus, see on mõnevõrra keerulisem. Pole hullu, kui keegi segadusse läheb. Täislahendus ja näidiskujundus tunni lõpus. Teie lahendus võib meie lahendusest erineda.

The Interneti-kalkulaator leiab Gaussi meetodil lahenduse lineaarvõrrandisüsteemile (SLE). Antud üksikasjalik lahendus. Arvutamiseks valige muutujate arv ja võrrandite arv. Seejärel sisestage andmed lahtritesse ja klõpsake nuppu "Arvuta".

Numbri esitus:

Kohtade arv pärast kümnendkoha eraldajat

×

Hoiatus

Kas kustutada kõik lahtrid?

Sule Kustuta

Andmete sisestamise juhised. Arvud sisestatakse täisarvudena (näited: 487, 5, -7623 jne), kümnendkohtadena (nt 67., 102,54 jne) või murdudena. Murd tuleb sisestada kujul a/b, kus a ja b (b>0) on täis- või kümnendarvud. Näited 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 jne.

Gaussi meetod

Gaussi meetod on meetod üleminekuks algsest lineaarvõrrandisüsteemist (kasutades samaväärseid teisendusi) süsteemile, mida on lihtsam lahendada kui algset süsteemi.

Lineaarvõrrandisüsteemi samaväärsed teisendused on:

• kahe võrrandi vahetamine süsteemis,
• korrutades süsteemi mis tahes võrrandi nullist erineva reaalarvuga,
• ühele võrrandile lisades teise võrrandi, mis on korrutatud suvalise arvuga.

Mõelge lineaarsete võrrandite süsteemile:

Kirjutame süsteemi (1) maatriksi kujul:

(3)

A- nimetatakse süsteemi koefitsientide maatriksiks, b- piirangute parem pool, x− leiduvate muutujate vektor. Laske järjestada ( A)=lk.

Ekvivalentteisendused ei muuda süsteemi koefitsiendimaatriksi ja laiendatud maatriksi auastet. Süsteemi lahenduste hulk ei muutu ka samaväärsete teisenduste korral. Gaussi meetodi olemus on koefitsientide maatriksi vähendamine A diagonaaliks või astmeliseks.

Koostame süsteemi laiendatud maatriksi:

Järgmises etapis lähtestame kõik elemendi all oleva veeru 2 elemendid. Kui see element on null, vahetatakse see rida selle rea all oleva reaga, mille teises veerus on nullist erinev element. Järgmisena lähtestage juhtelemendi all oleva 2. veeru kõik elemendid a 22. Selleks lisage read 3, ... m stringi 2 korrutisega − a 32 /a 22 , ..., −a m2/ a 22 vastavalt. Protseduuri jätkates saame diagonaalse või astmelise kujuga maatriksi. Olgu saadud laiendatud maatriksil järgmine kuju:

Sest helinA=helin(A|b), siis lahenduste hulk (7) on ( n-p)− sort. Seega n-p tundmatuid saab suvaliselt valida. Ülejäänud tundmatud süsteemist (7) arvutatakse järgmiselt. Viimasest võrrandist, mida me väljendame x p läbi ülejäänud muutujad ja sisestada eelmistesse avaldistesse. Järgmisena väljendame eelviimasest võrrandist x p−1 läbi ülejäänud muutujad ja sisestada eelmistesse avaldistesse jne. Vaatame Gaussi meetodit konkreetsete näidete abil.

Näited lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisest Gaussi meetodil

Näide 1. Leidke Gaussi meetodi abil lineaarvõrrandisüsteemi üldine lahendus:

Tähistame tähisega a ij elemendid i-th rida ja j veerus.

Jätame välja elemendi all oleva maatriksi 1. veeru elemendid aüksteist . Selleks lisage read 2,3 reaga 1, korrutatuna vastavalt -2/3, -1/2:

Jagame maatriksi iga rea ​​vastava juhtelemendiga (kui juhtiv element on olemas):

Asendades ülemised avaldised alumistega, saame lahenduse.

Täna mõistame Gaussi meetodit lineaarsete süsteemide lahendamiseks algebralised võrrandid. Mida need süsteemid endast kujutavad, saate lugeda eelmisest artiklist, mis on pühendatud samade SLAE-de lahendamisele Crameri meetodil. Gaussi meetod ei nõua spetsiifilisi teadmisi, vaja on vaid tähelepanelikkust ja järjepidevust. Vaatamata sellele, et matemaatika seisukohalt piisab selle rakendamisest kooliks ettevalmistamine, õpilastel on selle meetodi valdamine sageli keeruline. Selles artiklis püüame neid nulli viia!

Gaussi meetod

M Gaussi meetod– kõige universaalsem meetod SLAE-de lahendamiseks (erandiks on väga suured süsteemid). Erinevalt varem käsitletust sobib see mitte ainult süsteemidele, millel on üks lahendus, vaid ka süsteemidele, millel on lõpmatu arv lahendusi. Siin on kolm võimalikku varianti.

1. Süsteemil on unikaalne lahendus (süsteemi põhimaatriksi determinant ei ole võrdne nulliga);
2. Süsteemil on lõpmatu arv lahendusi;
3. Lahendusi pole, süsteem ei ühildu.

Nii et meil on süsteem (olgu sellel üks lahendus) ja me lahendame selle Gaussi meetodil. Kuidas see töötab?

Gaussi meetod koosneb kahest etapist - edasi ja pöördvõrdeline.

Gaussi meetodi otselöök

Kõigepealt kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi. Sel eesmärgil sisse põhimaatriks lisage tasuta liikmete veerg.

Gaussi meetodi kogu olemus on viia see maatriks elementaarsete teisenduste kaudu astmelisele (või, nagu öeldakse ka kolmnurksele) kujule. Sellisel kujul peaksid maatriksi põhidiagonaali all (või üle selle) olema ainult nullid.

Mida sa saad teha:

1. Saate maatriksi ridu ümber paigutada;
2. Kui maatriksis on võrdsed (või proportsionaalsed) read, saate need kõik peale ühe eemaldada;
3. Saate stringi korrutada või jagada mis tahes arvuga (v.a null);
4. Nullread eemaldatakse;
5. Saate stringile lisada stringi, mis on korrutatud mõne muu arvuga kui null.

Vastupidine Gaussi meetod

Pärast süsteemi sellisel viisil muutmist on üks tundmatu Xn saab teada ja te leiate kõik ülejäänud tundmatud vastupidises järjekorras, asendades süsteemi võrrandites juba teadaolevad x-id kuni esimeseni.

Kui Internet on alati käepärast, saate võrrandisüsteemi lahendada Gaussi meetodil võrgus. Peate lihtsalt sisestama koefitsiendid veebikalkulaatorisse. Kuid tuleb tunnistada, et palju meeldivam on tõdeda, et näide pole lahendatud arvutiprogramm, aga oma ajuga.

Näide võrrandisüsteemi lahendamisest Gaussi meetodil

Ja nüüd - näide, et kõik saaks selgeks ja arusaadavaks. Olgu ette nähtud lineaarvõrrandi süsteem ja see tuleb lahendada Gaussi meetodi abil:

Kõigepealt kirjutame laiendatud maatriksi:

Nüüd teeme teisendusi. Peame meeles, et peame saavutama maatriksi kolmnurkse välimuse. Korrutame 1. rea (3-ga). Korrutage 2. rida arvuga (-1). Lisage 2. rida esimesele ja saate:

Seejärel korrutage 3. rida väärtusega (-1). Liidame 3. rea teisele:

Korrutame 1. rea (6-ga). Korrutame 2. rea (13-ga). Lisame 2. rea esimesele:

Voila - süsteem on taandatud sobiv tüüp. Jääb üle leida tundmatud:

Selle näite süsteemil on ainulaadne lahendus. Lõpmatu arvu lahendustega süsteemide lahendamist käsitleme eraldi artiklis. Võib-olla ei tea te alguses, kust maatriksi teisendamist alustada, kuid pärast asjakohast harjutamist saate sellest aru ja murrate SLAE-sid Gaussi meetodil nagu pähkleid. Ja kui satute ootamatult kokku SLA-ga, mis osutub liiga kõvaks pähkliks, võtke ühendust meie autoritega! saate jättes päringu kirjakontorisse. Koos lahendame kõik probleemid!

Jaotis 3. Numbrilised meetodid võrrandite lahendamiseks

Liigid matemaatilised mudelid(võrrandid) elektriahelate teoorias

1. - lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemid -

lineaarsed konstantse ja sinusoidse vahelduvahelad ( kompleksne meetod) voolu.

2 . - süsteemid mittelineaarsed algebralised või

transtsendentaalsed võrrandid – alalis- või siinusvoolu mittelineaarsed ahelad.

3. . – mittelineaarsed diferentsiaalsüsteemid

esimest järku võrrandid tavalistes tuletistes – siirdeprotsessid mittelineaarsetes ahelates.

Siin F Ja ψ – vektorfunktsioonid, s.o. on samaväärne kirjutamisega:

f 1 (X,b 1) = 0

f 2 (X, b 2) = 0

…………

f n (X, b n) = 0

A - sissekanded:

ψ 1 (dX/dt,X,b1,t) = 0

ψ 2 (dX/dt,X,b2,t) = 0

…………………..

ψ n (dX/dt,X,bn,t) = 0

Mõelgem kõige rohkem tõhusad meetodid nende võrrandite lahendused.

Numbrilised meetodid lineaarsete algebraliste võrrandite (LAE) lahendamiseks

Gaussi meetod (tundmatute kõrvaldamine)

LEA-de lahendamise meetodid on olemas oluline, kuna neid rakendatakse (iteratiivselt) keerukamate võrrandite lahendamiseks.

Olgu LAU süsteem antud kujul:

,

Kus - ruutmaatriks n– esimene järjekord nullist erineva diagonaaliga elementidega; - tundmatute vektor; - parempoolsete osade vektor.

Gaussi meetodi algoritm koosneb otsene Ja tagurpidi edusamme. Edasikäigu ajal elimineeritakse järjestikku tundmatud. Süsteem on järgmisel kujul:

Koefitsiendid arvutatakse ümber järgmise valemi abil:

, Kus i, j = k+1, …n erandiga k- teadmata.

Sel juhul on mugav pidada parempoolsete külgede veergu kui n+1 koefitsiendi maatriksi veerus, s.o. j = k+1, …n+1.

Vastupidine on tundmatute määramine, alustades viimasest võrrandist, kus üks tundmatu jääb alles x n. Vastuvõetud väärtus x n asendatakse eelmise võrrandiga ja määratakse x n -1 jne.

Suvalise eest x k saadakse järgmine valem:

Kus k = n, n -1,...1.

Gaussi meetodi keerukust hinnatakse tehtud aritmeetiliste toimingute arvu järgi:

.

Kuubikujuline sõltuvus probleemi mõõtmest piirab oluliselt analüüsitavate ahelate keerukust. Kui aga mõned koefitsiendid a ik maatriksis on võrdne nulliga, st. ta juhtub olema hõre, siis on võimalik töömahukust vähendada.

Hõreda maatriksi meetodi põhiidee on võtta arvutuste ja salvestamise ajal arvesse ainult nullist erineva maatriksi elemente. Maatriksi hõreduse astet iseloomustab täitmistegur:

Kus n nne– nullist erineva elementide arv.

Seal on koefitsientide maatriksid eritüüp: lint, kui nullist erinevad elemendid asuvad piki põhidiagonaali; ja plokk-diagonaal, kui nullist erinevad plokid asuvad piki põhidiagonaali. Samuti on ääristusega plokk-diagonaalid.

Näide ribamaatriksist Plokidiagonaalmaatriksi näide

Näide plokk-diagonaalmaatriksist ääristusega

Nende jaoks on välja töötatud spetsiaalsed tõhusad lahendusmeetodid. Diagonaalmeetodi jaoks jookseb. Plokkvõrrand jaguneb plokkides eraldi võrrandirühmadeks, mis lahendatakse Gaussi meetodil. Piirdega plokidiagonaalide jaoks on olemas diakoptilised lahendusmeetodid.

Diakoptika– lähenemine keeruliste süsteemide uurimisele, mis seisneb süsteemi osadeks jagamises ja osade kaupa analüüsimises, võttes arvesse kõiki seoseid valitud osade vahel.