Salapärane segadus: fraktalide ajalugu ja nende rakendused. Fraktaali ja fraktaalgeomeetria mõisted

Tere kõigile! Minu nimi on, Ribenek Valeria, Uljanovski ja täna postitan LCI veebisaidile mitu oma teaduslikku artiklit.

Minu esimene teaduslik artikkel selles ajaveebis on pühendatud sellele fraktalid. Ütlen kohe, et minu artiklid on mõeldud peaaegu igale publikule. Need. Loodan, et need pakuvad huvi nii koolilastele kui ka üliõpilastele.

Hiljuti õppisin tundma selliseid huvitavaid matemaatilise maailma objekte nagu fraktalid. Kuid need ei eksisteeri mitte ainult matemaatikas. Nad ümbritsevad meid kõikjal. Fraktalid on looduslikud. Selles artiklis räägin sellest, mis on fraktalid, fraktaalide tüüpidest, nende objektide näidetest ja nende kasutamisest. Alustuseks räägin teile lühidalt, mis on fraktal.

Fraktal(lat. fractus - purustatud, purustatud, katki) on keeruline geomeetriline kujund, millel on enesesarnasuse omadus, see tähendab, et see koosneb mitmest osast, millest igaüks on sarnane kogu figuuriga tervikuna. Laiemas tähenduses mõistetakse fraktaale eukleidilise ruumi punktide kogumina, millel on murdosa meetriline mõõde (Minkowski või Hausdorffi tähenduses) või mõni muu kui topoloogiline mõõde. Näiteks lisan pildi neljast erinevast fraktaalist.

Lubage mul rääkida teile veidi fraktalide ajaloost. 70ndate lõpus ilmunud fraktaalgeomeetria ja fraktaalgeomeetria kontseptsioonid on matemaatikute ja programmeerijate igapäevaellu kindlalt sisenenud alates 80ndate keskpaigast. Sõna "fraktal" võttis Benoit Mandelbrot kasutusele 1975. aastal, et viidata tema uuritud ebakorrapärastele, kuid isesarnastele struktuuridele. Fraktaalgeomeetria sündi seostatakse tavaliselt Mandelbroti raamatu "The Fractal Geometry of Nature" ilmumisega 1977. aastal. Tema töödes kasutati teiste aastatel 1875-1925 samal alal töötanud teadlaste (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff) teaduslikke tulemusi. Kuid ainult meie ajal oli nende töö võimalik ühendada ühtseks süsteemiks.

Näiteid fraktaalidest on palju, sest nagu ma ütlesin, ümbritsevad nad meid kõikjal. Minu arvates on isegi kogu meie universum üks tohutu fraktal. Lõppude lõpuks kordab kõik selles, alates aatomi struktuurist kuni universumi enda struktuurini, täpselt üksteist. Aga neid on muidugi rohkemgi konkreetseid näiteid fraktaalid erinevatest piirkondadest. Näiteks fraktalid esinevad keerulises dünaamikas. Seal esinevad nad loomulikult mittelineaarsete uurimisel dünaamilised süsteemid. Enim uuritud juhtum on see, kui dünaamilist süsteemi täpsustatakse iteratsioonidega polünoom või holomorfsed muutujate kompleksi funktsioon pinnal. Mõned seda tüüpi kuulsamad fraktalid on Julia komplekt, Mandelbroti komplekt ja Newtoni basseinid. Allolevatel piltidel on järjekorras kõik ülaltoodud fraktaalid.

Teine näide fraktalidest on fraktaalkõverad. Fraktaalkõverate näitel on kõige parem selgitada, kuidas luua fraktalit. Üks selline kõver on nn Kochi lumehelves. Fraktaalkõverate saamiseks tasapinnal on lihtne protseduur. Määratleme suvalise katkendjoone, millel on piiratud arv linke, mida nimetatakse generaatoriks. Järgmisena asendame iga segmendi selles generaatoriga (täpsemalt generaatoriga sarnase katkendjoonega). Saadud katkendjoonel asendame iga segmendi uuesti generaatoriga. Jätkates lõpmatuseni, saame piiris fraktaalkõvera. Allpool on näidatud Kochi lumehelves (või kõver).

Samuti on palju fraktaalkõveraid. Tuntuimad neist on juba mainitud Kochi lumehelves, samuti Levy kõver, Minkowski kõver, murtud draakon, klaverikõver ja Pythagorase puu. Arvan, et kui soovite, leiate Wikipediast hõlpsalt pildi nendest fraktalidest ja nende ajaloost.

Kolmas näide või liik fraktaalidest on stohhastilised fraktalid. Sellised fraktalid hõlmavad Browni liikumise trajektoori tasapinnal ja ruumis, Schramm-Löwneri evolutsioone, erinevat tüüpi randomiseeritud fraktale, st fraktale, mis on saadud rekursiivse protseduuri abil, mille igas etapis sisestatakse juhuslik parameeter.

On ka puhtmatemaatilisi fraktale. Need on näiteks Cantori komplekt, Mengeri käsn, Sierpinski kolmnurk jt.

Kuid võib-olla on kõige huvitavamad fraktalid looduslikud. Looduslikud fraktaalid on looduses esinevad objektid, millel on fraktaalomadused. Ja seal on juba suur nimekiri. Ma ei loetle kõike, sest ilmselt ei saa ma neid kõiki loetleda, kuid räägin mõnest. Näiteks eluslooduses kuuluvad selliste fraktaalide hulka meie vereringesüsteem ja kopsud. Ja ka puude võrasid ja lehti. Siia saate lisada ka meritähti, merisiilikuid, korallid, merekarpe, mõningaid taimi, näiteks kapsast või spargelkapsast. Allpool on selgelt näidatud mitmed sellised looduslikud fraktaalid elusloodusest.

Kui võtta arvesse elutut loodust, siis on palju huvitavamaid näiteid kui eluslooduses. Välk, lumehelbed, pilved, kõigile teada, mustrid akendel pakastel päevadel, kristallid, mäeahelikud - kõik need on näited elutust loodusest pärit looduslikest fraktaalidest.

Oleme käsitlenud fraktalide näiteid ja tüüpe. Mis puutub fraktaalide kasutusse, siis neid kasutatakse erinevates teadmiste valdkondades. Füüsikas tekivad fraktaalid loomulikult mittelineaarsete protsesside modelleerimisel, nagu turbulentsed vedelikuvoolud, keerulised difusioon-adsorptsiooniprotsessid, leegid, pilved jne. Fraktaale kasutatakse poorsete materjalide modelleerimisel, näiteks naftakeemias. Bioloogias kasutatakse neid populatsioonide modelleerimiseks ja siseorganite süsteemide (veresoonte süsteemi) kirjeldamiseks. Pärast Kochi kõvera loomist tehti ettepanek kasutada seda rannajoone pikkuse arvutamisel. Samuti kasutatakse fraktaale aktiivselt raadiotehnikas, arvutiteaduses ja arvutitehnoloogias, telekommunikatsioonis ja isegi majanduses. Ja loomulikult kasutatakse fraktaalnägemust aktiivselt kaasaegses kunstis ja arhitektuuris. Siin on üks näide fraktalmaalidest:

Ja nii, ma arvan sellega lõpetada oma loo sellisest ebatavalisest matemaatilisest nähtusest nagu fraktal. Täna saime teada, mis on fraktal, kuidas see tekkis, fraktaalide tüüpidest ja näidetest. Ja ma rääkisin ka nende rakendusest ja demonstreerisin mõnda fraktalit selgelt. Loodan, et teile meeldis see lühike ekskursioon hämmastavate ja lummavate fraktaalobjektide maailma.

Teaduse kõige geniaalsemad avastused võivad inimelu radikaalselt muuta. Leiutatud vaktsiin võib päästa miljoneid inimesi, relvade loomine, vastupidi, võtab need elud. Viimasel ajal (inimese evolutsiooni skaalal) oleme õppinud elektrit "taltsutama" - ja nüüd ei kujuta me elu ette ilma kõigi nende mugavate elektrit kasutavate seadmeteta. Kuid on ka avastusi, mida vähesed inimesed tähtsustavad, kuigi needki mõjutavad suuresti meie elu.

Üks neist "hoomamatutest" avastustest on fraktaalid. Tõenäoliselt olete seda meeldejäävat sõna kuulnud, kuid kas teate, mida see tähendab ja kui palju huvitavat selles terminis peitub?

Igal inimesel on loomupärane uudishimu, soov õppida tundma teda ümbritsevat maailma. Ja selles püüdluses püüab inimene hinnangutes loogikast kinni pidada. Analüüsides enda ümber toimuvaid protsesse, püüab ta leida toimuva loogikat ja tuletada välja mingi seaduspärasuse. Selle ülesandega on hõivatud planeedi suurimad mõtted. Jämedalt öeldes otsivad teadlased mustrit sealt, kus seda ei tohiks olla. Sellegipoolest võib isegi kaoses leida sündmuste vahel seost. Ja see seos on fraktal.

Meie väike tütar, nelja ja poole aastane, on nüüd selles imelises vanuses, kui küsimusi "Miks?" kordades suurem vastuste arv, mis täiskasvanutel on aega anda. Mitte nii kaua aega tagasi märkas mu tütar maast üles tõstetud oksa vaadates järsku, et see oks koos sõlmede ja okstega näeb ise välja nagu puu. Ja loomulikult järgnes tavapärane küsimus “Miks?”, millele vanemad pidid otsima lihtsat, lapsele arusaadavat seletust.

Lapse avastatud üksiku oksa sarnasus terve puuga on väga täpne tähelepanek, mis annab taas tunnistust rekursiivse enesesarnasuse põhimõttest looduses. Väga paljud orgaanilised ja anorgaanilised vormid looduses tekivad sarnaselt. Pilved, merekarbid, teo "maja", puude koor ja võra, vereringesüsteem ja nii edasi – kõigi nende objektide juhuslikke kujundeid saab kirjeldada fraktalalgoritmiga.

⇡ Benoit Mandelbrot: fraktaalgeomeetria isa

Sõna "fraktal" ilmus tänu geniaalsele teadlasele Benoît B. Mandelbrotile.

Ta lõi selle termini ise 1970. aastatel, laenates sõna fractus ladina keelest, kus see tähendab sõna-sõnalt "katki" või "purustatud". Mis see on? Tänapäeval kasutatakse sõna "fraktal" kõige sagedamini endaga sarnase struktuuri graafilise esituse all suuremas skaalas.

Fraktaliteooria tekkimise matemaatiline alus pandi paika palju aastaid enne Benoit Mandelbroti sündi, kuid see sai areneda alles arvutusseadmete tulekuga. Oma teadusliku karjääri alguses töötas Benoit aastal uurimiskeskus IBM ettevõte. Keskuse töötajad tegelesid sel ajal andmete kaugedastusega. Uurimistöö käigus seisid teadlased silmitsi mürahäiretest tulenevate suurte kadude probleemiga. Enne Benois seisis keeruline ja väga oluline ülesanne- mõistab, kuidas ennustada elektroonikalülitustes mürahäirete tekkimist, kui statistiline meetod on ebaefektiivne.

Müramõõtmiste tulemusi läbi vaadates juhtis Mandelbrot tähelepanu ühele kummalisele mustrile – eri skaalade müragraafikud nägid välja ühesugused. Täheldati identset mustrit sõltumata sellest, kas tegemist oli ühe päeva, nädala või tunni müraplaaniga. Tasus muuta graafiku mõõtkava ja pilt kordus iga kord.

Benoit Mandelbrot ütles oma eluajal korduvalt, et ta ei tegelenud vormelitega, vaid mängis lihtsalt piltidega. See mees mõtles väga piltlikult ja mis tahes algebraline probleem tõlgitud geomeetria valdkonda, kus tema sõnul on õige vastus alati ilmne.

Pole üllatav, et just nii rikkaliku ruumilise kujutlusvõimega mees sai fraktaalgeomeetria isaks. Fraktalide olemuse taipamine tuleb ju just siis, kui hakkate joonistusi uurima ja mõtlema kummaliste keerisemustrite tähendusele.

Fraktaalmustril ei ole identseid elemente, kuid sellel on sarnasus mis tahes skaalal. Ehitage see pilt koos kõrge aste käsitsi detailide koostamine oli varem lihtsalt võimatu, see nõudis tohutult arvutusi. Näiteks prantsuse matemaatik Pierre Joseph Louis Fatou kirjeldas seda komplekti rohkem kui seitsekümmend aastat enne Benoit Mandelbroti avastust. Kui rääkida enesesarnasuse põhimõtetest, siis neid mainiti Leibnizi ja Georg Cantori teostes.

Üks esimesi fraktalijoonistusi oli Mandelbroti komplekti graafiline tõlgendus, mis sündis Gaston Maurice Julia uurimistööst.

Gaston Julia (alati maskis – I maailmasõja vigastus)

See prantsuse matemaatik mõtles, kuidas näeks komplekt välja, kui see oleks koostatud lihtsast valemist, mida itereeriks tagasiside silmus. Kui seletada "sõrmedel", tähendab see, et konkreetse arvu jaoks leiame valemi abil uue väärtuse, mille järel asendame selle uuesti valemis ja saame uue väärtuse. Tulemuseks on suur numbrijada.

Sellisest komplektist täieliku pildi saamiseks peate tegema tohutult arvutusi - sadu, tuhandeid, miljoneid. Seda oli lihtsalt võimatu käsitsi teha. Kuid kui matemaatikute käsutusse ilmusid võimsad arvutusseadmed, said nad heita uue pilgu valedele ja avaldistele, mis olid pikka aega huvi pakkunud. Mandelbrot oli esimene, kes kasutas klassikalise fraktaali arvutamiseks arvutit. Pärast suurest arvust väärtustest koosneva jada töötlemist kandis Benoit tulemused graafikule. Siin on see, mida ta sai.

Seejärel värviti see pilt värviliseks (näiteks üks värvimise viise on iteratsioonide arv) ja sellest sai üks populaarsemaid pilte, mille inimene on kunagi loonud.

Nagu ütleb iidne ütlus, mida omistati Efesose Herakleitusele: "Sa ei saa kaks korda samasse jõkke siseneda." See sobib kõige paremini fraktaalide geomeetria tõlgendamiseks. Ükskõik kui üksikasjalikult me ​​fraktaalpilti uurime, näeme alati sarnast mustrit.

Need, kes soovivad näha, kuidas Mandelbroti ruumi pilt mitmekordselt suurendatuna välja näeks, saavad seda teha, laadides üles animeeritud GIF-i.

⇡ Lauren Carpenter: looduse loodud kunst

Fraktaliteooria leidis peagi praktilise rakenduse. Kuna see on tihedalt seotud isesarnaste kujutiste visualiseerimisega, pole üllatav, et kunstnikud võtsid esimestena kasutusele ebatavaliste vormide konstrueerimise algoritmid ja põhimõtted.

Legendaarse Pixari stuudio tulevane kaasasutaja Loren C. Carpenter asus 1967. aastal tööle Boeing Computer Services, mis oli tuntud korporatsiooni üks uute lennukite arendamisega tegelevatest osakondadest.

1977. aastal koostas ta esitlusi lendavate mudelite prototüüpidega. Lauren vastutas kavandatava lennuki kujutiste väljatöötamise eest. Ta pidi looma pilte uutest mudelitest, näidates tulevasi lennukeid erinevate nurkade alt. Mingil hetkel tuli Pixar Animation Studiosi tulevane asutaja loomingulisele ideele kasutada taustana mägede kujutist. Tänapäeval saab sellise probleemi lahendada iga koolilaps, kuid eelmise sajandi seitsmekümnendate lõpus ei tulnud arvutid nii keeruliste arvutustega toime – puudusid graafilised toimetajad, rääkimata kolmemõõtmelise graafika rakendustest. 1978. aastal nägi Lauren kogemata poes Benoit Mandelbroti raamatut Fractals: Shape, Randomness and Dimension. Selles raamatus juhiti tema tähelepanu asjaolule, et Benoit tõi palju näiteid fraktaalvormide kohta päriselus ja tõestas, et neid saab kirjeldada matemaatilise avaldise abil.

Selle analoogia valis matemaatik mitte juhuslikult. Fakt on see, et niipea, kui ta oma uurimuse avaldas, pidi ta silmitsi seisma terve kriitikaga. Peamine, mida kolleegid talle ette heitsid, oli väljatöötatud teooria kasutu. "Jah," ütlesid nad, "need on ilusad pildid, aga ei midagi enamat. Fraktaliteoorial pole praktilist väärtust. Oli ka neid, kes üldiselt uskusid, et fraktaalimustrid on lihtsalt "kuradimasinate" töö kõrvalprodukt, mis seitsmekümnendate lõpus tundus paljudele liiga keerulist ja uurimatut, et seda täielikult usaldada. Mandelbrot püüdis leida fraktaliteooria ilmset rakendust, kuid üldiselt ei olnud tal seda vaja teha. Järgmise 25 aasta jooksul osutusid Benoit Mandelbroti järgijad sellisele "matemaatilisele uudishimule" suureks kasuks ja Lauren Carpenter oli üks esimesi, kes võttis fraktaalmeetodi ellu.

Olles raamatut uurinud, uuris tulevane animaator tõsiselt fraktaalgeomeetria põhimõtteid ja hakkas otsima viisi selle rakendamiseks arvutigraafikas. Vaid kolme tööpäevaga suutis Lauren visualiseerida oma arvutis realistliku pildi mägisüsteemist. Ehk siis valemite abil maalis ta täiesti äratuntava mägimaastiku.

Põhimõte, mida Lauren oma eesmärgi saavutamiseks kasutas, oli väga lihtne. See seisnes suurema geomeetrilise kujundi jagamises väikesteks elementideks ja need omakorda sarnasteks väiksemateks kujunditeks.

Suuremate kolmnurkade abil jagas Carpenter need neljaks väiksemaks ja kordas seda protseduuri ikka ja jälle, kuni sai realistliku mägimaastiku. Nii õnnestus tal saada esimeseks kunstnikuks, kes kasutas piltide koostamiseks arvutigraafikas fraktaalalgoritmi. Niipea, kui tehtud tööst teada sai, võtsid entusiastid üle maailma selle idee kinni ja hakkasid realistlike loodusvormide simuleerimiseks kasutama fraktalalgoritmi.

Üks esimesi fraktaalalgoritmi kasutavaid 3D-renderdusi

Vaid paar aastat hiljem sai Lauren Carpenter oma saavutusi palju suuremas projektis rakendada. Animaator põhines nende kaheminutilisel demol Vol Libre, mida näidati Siggraphis 1980. aastal. See video šokeeris kõiki, kes seda nägid ja Lauren sai Lucasfilmilt kutse.

Animatsioon renderdati Digital Equipment Corporationi VAX-11/780 arvutis taktsagedusel viis megahertsi ja iga kaadri joonistamiseks kulus umbes pool tundi.

Töötades ettevõttes Lucasfilm Limited, lõi animaator Star Treki saaga teise osa jaoks samad 3D-maastikud. Raamatus The Wrath of Khan suutis Carpenter luua terve planeedi, kasutades sama fraktaalpinna modelleerimise põhimõtet.

Praegu kasutavad kõik populaarsed 3D-maastike loomise rakendused sama loodusobjektide genereerimise põhimõtet. Terragen, Bryce, Vue ja teised 3D-redaktorid tuginevad fraktaalpinna ja tekstuuri modelleerimisalgoritmile.

⇡ Fraktaalantennid: vähem on parem, aga parem

Viimase poole sajandi jooksul on elu kiiresti muutunud. Enamik meist nõustub saavutustega kaasaegsed tehnoloogiad enesestmõistetav. Kõigega, mis teeb elu mugavamaks, harjub väga kiiresti. Harva esitab keegi küsimusi "Kust see tuli?" ja "Kuidas see töötab?". Mikrolaineahi soojendab hommikusöögi – tore, nutitelefon võimaldab teise inimesega rääkida – suurepärane. See tundub meile ilmselge võimalusena.

Aga elu võiks olla hoopis teistsugune, kui inimene ei otsiks toimuvatele sündmustele seletust. Võtame näiteks mobiiltelefonid. Kas mäletate esimeste mudelite ülestõmmatavaid antenne? Nad segasid, suurendasid seadme suurust, lõpuks läksid sageli katki. Usume, et nad on igaveseks unustusehõlma vajunud ja osalt selle ... fraktalite tõttu.

Fraktaalijoonistused lummavad oma mustritega. Need meenutavad kindlasti pilte kosmoseobjektidest – udukogudest, galaktikaparvedest jne. Seetõttu on täiesti loomulik, et kui Mandelbrot avaldas oma fraktaliteooriat, äratas tema uurimus astronoomiat uurijate seas suuremat huvi. Üks neist amatööridest nimega Nathan Cohen süttis pärast Benoit Mandelbroti loengus osalemist Budapestis ideest. praktilise rakendamise omandatud teadmisi. Tõsi, ta tegi seda intuitiivselt ja juhus mängis tema avastuses olulist rolli. Raadioamatöörina püüdis Nathan luua võimalikult suure tundlikkusega antenni.

Ainus võimalus antenni parameetreid parandada, mis tol ajal oli teada, oli selle geomeetriliste mõõtmete suurendamine. Nathani Bostoni kesklinna korteri omanik oli aga kategooriliselt suurte katuseseadmete paigaldamise vastu. Seejärel hakkas Nathan katsetama erinevat tüüpi antennidega, püüdes saada minimaalse suurusega maksimaalset tulemust. Fraktaalvormide ideest tulvil Cohen, nagu öeldakse, valmistas traadist juhuslikult ühe kuulsaima fraktaali - "Kochi lumehelbe". Rootsi matemaatik Helge von Koch tuli selle kõveraga välja 1904. aastal. See saadakse, jagades segmendi kolmeks osaks ja asendades keskmise segmendi võrdkülgse kolmnurgaga, mille külg ei lange kokku selle segmendiga. Definitsioon on pisut raskesti mõistetav, kuid joonis on selge ja lihtne.

"Kochi kõvera" sorte on ka teisi, kuid kõvera ligikaudne kuju jääb sarnaseks

Kui Nathan antenni raadiovastuvõtjaga ühendas, oli ta väga üllatunud – tundlikkus tõusis hüppeliselt. Pärast mitmeid katseid tulevane professor Bostoni ülikool mõistis, et fraktaalmustri järgi valmistatud antenn on kõrge kasuteguriga ja katab klassikaliste lahendustega võrreldes palju laiemat sagedusvahemikku. Lisaks võib antenni kuju fraktaalikõvera kujul oluliselt vähendada geomeetrilisi mõõtmeid. Nathan Cohen töötas välja isegi teoreemi, mis tõestab, et lairibaantenni loomiseks piisab, kui anda sellele isesarnase fraktaalikõvera kuju.

Autor patenteeris oma avastuse ja asutas firma Fractal Antenna Systems fraktaalantennide arendamiseks ja disainimiseks, uskudes õigustatult, et tänu tema avastusele saavad mobiiltelefonid tulevikus vabaneda mahukatest antennidest ja muutuda kompaktsemaks.

Põhimõtteliselt nii juhtuski. Tõsi, Nathan on tänaseni kohtuasjas suurkorporatsioonidega, kes kasutavad tema avastust ebaseaduslikult kompaktsete sideseadmete tootmiseks. Mõned tuntud mobiiliseadmete tootjad, näiteks Motorola, on fraktaalantenni leiutajaga juba rahuleppele jõudnud.

⇡ Fraktaalsed mõõtmed: mõistus ei saa aru

Benoit laenas selle küsimuse kuulsalt Ameerika teadlaselt Edward Kasnerilt.

Viimasele, nagu paljudele teistele kuulsatele matemaatikutele, meeldis väga lastega suhelda, neile küsimusi esitada ja ootamatuid vastuseid saada. Mõnikord viis see üllatavate tulemusteni. Nii mõtles näiteks Edward Kasneri üheksa-aastane vennapoeg välja nüüdseks tuntud sõna "googol", mis tähistab saja nulliga ühikut. Aga tagasi fraktaalide juurde. Ameerika matemaatikule meeldis küsida, kui pikk on USA rannajoon. Pärast vestluskaaslase arvamuse ärakuulamist ütles Edward ise õige vastuse. Kui mõõdate pikkust kaardil katkiste lõikudega, on tulemus ebatäpne, kuna rannajoonel on palju ebatasasusi. Ja mis juhtub, kui mõõta võimalikult täpselt? Peate arvestama iga ebatasasuse pikkusega – peate mõõtma iga neeme, iga lahte, kivi, kivise astangu pikkust, sellel asuvat kivi, liivatera, aatomit ja nii edasi. Kuna ebatasasuste arv kipub lõpmatuseni, suureneb rannajoone mõõdetud pikkus iga uue ebakorrapärasusega lõpmatuseni.

Mida väiksem on mõõtmisel mõõt, seda suurem on mõõdetud pikkus

Huvitaval kombel ütlesid lapsed Edwardi näpunäiteid järgides õige vastuse palju kiiremini kui täiskasvanud, samas kui viimastel oli raskusi sellise uskumatu vastuse vastuvõtmisega.

Kasutades seda probleemi näitena, soovitas Mandelbrot kasutada uus lähenemine mõõtudele. Kuna rannajoon on lähedane fraktaalikõverale, tähendab see, et sellele saab rakendada iseloomustavat parameetrit, nn fraktaalidimensiooni.

Mis on tavaline mõõde, on igaühele selge. Kui mõõde on võrdne ühega, saame sirge, kui kaks - lame figuur, kolm on helitugevus. Kuid selline arusaam dimensioonist matemaatikas ei tööta fraktaalkõverate puhul, kus sellel parameetril on murdosa väärtus. Fraktaalset mõõdet matemaatikas võib tinglikult pidada "kareduseks". Mida suurem on kõvera karedus, seda suurem on selle fraktaalmõõde. Kõveral, millel Mandelbroti järgi on topoloogilisest mõõtmest kõrgem fraktaalmõõde, on ligikaudne pikkus, mis ei sõltu mõõtmete arvust.

Praegu leiavad teadlased üha rohkem valdkondi fraktaalteooria rakendamiseks. Fraktaalide abil saab analüüsida aktsiahindade kõikumisi, uurida kõikvõimalikke looduslikke protsesse, näiteks liikide arvukuse kõikumisi, või simuleerida voogude dünaamikat. Fraktalalgoritme saab kasutada andmete tihendamiseks, näiteks piltide tihendamiseks. Ja muide, et ilusat fraktaali arvutiekraanile saada, ei pea olema doktorikraadi.

⇡ Fractal brauseris

Võib-olla on üks lihtsamaid viise fraktaalmustri saamiseks kasutada noore andeka programmeerija Toby Schachmani veebivektoriredaktorit. Selle lihtsa graafikaredaktori tööriistakomplekt põhineb samal enesesarnasuse põhimõttel.

Teie käsutuses on ainult kaks lihtsat kujundit – ruut ja ring. Saate need lõuendile lisada, mõõta (ühele teljele skaleerimiseks hoidke all tõstuklahvi) ja pöörake. Boole'i ​​liitmistehte põhimõttel kattudes moodustavad need kõige lihtsamad elemendid uusi, vähem triviaalseid vorme. Lisaks saab neid uusi vorme projektile lisada ja programm kordab nende piltide genereerimist lõputult. Fraktaliga töötamise mis tahes etapis saate naasta mis tahes keeruka kujuga komponendi juurde ning muuta selle asukohta ja geomeetriat. See on väga lõbus, eriti kui arvate, et ainus loominguline tööriist on brauser. Kui te ei mõista selle rekursiivse vektorredaktoriga töötamise põhimõtet, soovitame teil vaadata projekti ametlikul veebisaidil olevat videot, mis näitab üksikasjalikult kogu fraktali loomise protsessi.

⇡ XaoS: fraktaalid igale maitsele

Paljudel graafilistel redaktoritel on sisseehitatud tööriistad fraktaalmustrite loomiseks. Need tööriistad on aga tavaliselt teisejärgulised ega võimalda genereeritud fraktaalimustrit peenhäälestada. Juhtudel, kui on vaja ehitada matemaatiliselt täpne fraktal, tuleb appi XaoS-i platvormideülene redaktor. See programm võimaldab mitte ainult luua endale sarnase pildi, vaid ka teha sellega erinevaid manipuleerimisi. Näiteks saate reaalajas fraktalist läbi kõndida, muutes selle skaalat. Animeeritud liikumist mööda fraktalit saab salvestada XAF-failina ja seejärel taasesitada programmis endas.

XaoS saab laadida juhuslikke parameetreid, samuti kasutada erinevaid pildi järeltöötluse filtreid – lisada udune liikumise efekti, siluda teravaid üleminekuid fraktaalpunktide vahel, simuleerida 3D-pilti jne.

⇡ Fractal Zoomer: kompaktne fraktaaligeneraator

Võrreldes teiste fraktaalkujutise generaatoritega on sellel mitmeid eeliseid. Esiteks on see üsna väike ega vaja paigaldamist. Teiseks rakendab see pildi värvipaleti määratlemise võimalust. Sisse saab valida toone värvi mudelid RGB, CMYK, HVS ja HSL.

Väga mugav on kasutada ka värvitoonide juhusliku valiku võimalust ja kõigi pildil olevate värvide ümberpööramise funktsiooni. Värvuse reguleerimiseks on varjundite tsüklilise valiku funktsioon - kui vastav režiim on sisse lülitatud, animeerib programm pilti, muutes sellel tsükliliselt värve.

Fractal Zoomer suudab visualiseerida 85 erinevat fraktaali funktsiooni ning valemid on programmimenüüs selgelt näidatud. Piltide järeltöötluseks on programmis filtreid, kuigi vähesel määral. Iga määratud filtrit saab igal ajal tühistada.

⇡ Mandelbulb3D: 3D fraktaaliredaktor

Kui kasutatakse terminit "fraktal", tähendab see enamasti tasast kahemõõtmelist kujutist. Fraktaalgeomeetria läheb aga 2D-mõõtmest kaugemale. Looduses võib leida nii lamedate fraktaalvormide näiteid, näiteks välgu geomeetria, kui ka kolmemõõtmelisi kolmemõõtmelisi kujundeid. Fraktaalipinnad võivad olla 3D-kujulised ja üks illustreerivaid 3D-fraktaalide illustratsioone. Igapäevane elu- kapsapea. Võib-olla on parim viis fraktaalide nägemiseks Romanesco, lillkapsa ja brokkoli hübriid.

Ja seda fraktaali võib süüa

Programm Mandelbulb3D suudab luua sarnase kujuga kolmemõõtmelisi objekte. Fraktalalgoritmi abil 3D-pinna saamiseks teisendasid selle rakenduse autorid Daniel White ja Paul Nylander Mandelbroti komplekti sfäärilisteks koordinaatideks. Nende loodud programm Mandelbulb3D on tõeline kolmemõõtmeline redaktor, mis modelleerib erineva kujuga fraktaalpindu. Kuna me jälgime looduses sageli fraktaalseid mustreid, tundub kunstlikult loodud kolmemõõtmeline fraktaalobjekt uskumatult realistlik ja isegi "elus".

See võib välja näha nagu taim, see võib meenutada kummalist looma, planeeti või midagi muud. Seda efekti täiustab täiustatud renderdusalgoritm, mis võimaldab saada realistlikke peegeldusi, arvutada läbipaistvust ja varje, simuleerida teravussügavuse mõju jne. Mandelbulb3D-l on tohutult palju sätteid ja renderdusvalikuid. Saate juhtida valgusallikate toone, valida modelleeritava objekti tausta ja detailsuse taset.

Incendia fraktaliredaktor toetab topeltkujutise silumist, sisaldab viiekümne erineva kolmemõõtmelise fraktalist koosnevat raamatukogu ja sellel on eraldi moodul põhikujude redigeerimiseks.

Rakendus kasutab fraktalskriptimist, millega saab iseseisvalt kirjeldada uut tüüpi fraktaltruktuure. Incendial on tekstuuri- ja materjaliredaktorid ning renderdusmootor, mis võimaldab kasutada mahulisi uduefekte ja erinevaid varjutajaid. Programmil on võimalus puhver pikaajalisel renderdamisel salvestada, animatsiooni loomine on toetatud.

Incendia võimaldab teil eksportida fraktaalmudeli populaarsetesse 3D-graafikavormingutesse - OBJ ja STL. Incendia sisaldab väikest utiliiti Geometrica - spetsiaalne tööriist fraktaalpinna ekspordi seadistamiseks kolmemõõtmelisse mudelisse. Selle utiliidi abil saate määrata 3D-pinna eraldusvõime, määrata fraktaali iteratsioonide arvu. Eksporditud mudeleid saab kasutada 3D-projektides, kui töötate 3D-redaktoritega nagu Blender, 3ds max ja teised.

Hiljuti on töö Incendia projektiga mõnevõrra aeglustunud. peal Sel hetkel autor otsib sponsoreid, kes aitaksid tal programmi arendada.

Kui teil pole piisavalt kujutlusvõimet, et selles programmis ilusat kolmemõõtmelist fraktaali joonistada, pole see oluline. Kasutage parameetriteeki, mis asub kaustas INCENDIA_EX\parameters. PAR-failide abil saate kiiresti leida kõige ebatavalisemad fraktaalikujundid, sealhulgas animeeritud.

⇡ Auraalne: kuidas fraktalid laulavad

Tavaliselt me ​​ei räägi projektidest, mille kallal alles töötatakse, kuid sel juhul peame tegema erandi, see on väga ebatavaline rakendus. Projekt nimega Aural tuli välja sama inimesega nagu Incendia. Tõsi, seekordne programm ei visualiseeri fraktaalikomplekti, vaid annab sellele hääle, muutes selle elektrooniliseks muusikaks. Idee on väga huvitav, eriti arvestades ebatavalised omadused fraktalid. Aural on heliredaktor, mis genereerib meloodiaid fraktaalalgoritmide abil, see tähendab, et tegelikult on see helisüntesaator-sekvenaator.

Selle programmi poolt välja antud helide jada on ebatavaline ja ... ilus. See võib tulla kasuks kaasaegsete rütmide kirjutamisel ja meie arvates sobib see eriti hästi loomiseks helirajad tele- ja raadioprogrammide ekraanisäästjatele, samuti arvutimängude taustamuusika "loopidele". Ramiro pole veel oma programmi demo esitanud, kuid lubab, et kui ta seda teeb, ei pea ta Auraliga töötamiseks fraktaliteooriat õppima – lihtsalt mängige noodijada genereerimise algoritmi parameetritega. . Kuulake, kuidas fraktalid kõlavad, ja.

Fraktalid: muusikaline paus

Tegelikult võivad fraktalid aidata muusikat kirjutada ka ilma tarkvara. Kuid seda saab teha ainult keegi, kes on tõeliselt läbi imbunud loomuliku harmoonia ideest ja pole samal ajal muutunud õnnetuks "nohikuks". Mõttekas on võtta näpunäide Jonathan Coultoni nimeliselt muusikult, kes muu hulgas kirjutab kompositsioone ajakirjale Popular Science. Ja erinevalt teistest kunstnikest avaldab Colton kõik oma teosed Creative Commonsi omistamis-mitteärilise litsentsi alusel, mis (mitteärilistel eesmärkidel kasutamisel) näeb ette teoste tasuta kopeerimise, levitamise, teistele üleandmise, samuti selle muutmise (loomise). tuletatud teosed), et kohandada seda teie vajadustega.

Jonathan Coltonil on muidugi laul fraktaalidest.

⇡ Järeldus

Kõiges, mis meid ümbritseb, näeme sageli kaost, kuid tegelikult pole see juhus, vaid ideaalne vorm, mida fraktalid aitavad meil eristada. Loodus on parim arhitekt, ideaalne ehitaja ja insener. See on paigutatud väga loogiliselt ja kui me kuskil mustreid ei näe, tähendab see, et peame seda otsima erineval skaalal. Inimesed mõistavad seda üha paremini, püüdes mitmel viisil jäljendada looduslikke vorme. Inseneride disain akustilised süsteemid kesta kujul looge lumehelveste geomeetriaga antennid ja nii edasi. Oleme kindlad, et fraktalid hoiavad endiselt palju saladusi ja paljud neist on inimesel veel avastamata.

Mis on ühist puul, mererannal, pilvel või meie käes olevatel veresoontel? Esmapilgul võib tunduda, et kõigil neil objektidel pole midagi ühist. Kuid tegelikult on struktuuril üks omadus, mis on omane kõigile loetletud objektidele: nad on isesarnased. Oksast, nagu ka puu tüvest, väljuvad väiksemad protsessid, neist - veelgi väiksemad jne, see tähendab, et oks sarnaneb kogu puuga. Vereringesüsteem on paigutatud sarnaselt: arterioolid väljuvad arteritest ja neist - väikseimad kapillaarid, mille kaudu hapnik siseneb elunditesse ja kudedesse. Vaatame mereranniku satelliidipilte: näeme lahtesid ja poolsaari; vaatame seda, aga linnulennult: näeme lahtesid ja neeme; kujutage nüüd ette, et me seisame rannas ja vaatame oma jalgu: alati on veerisid, mis ulatuvad kaugemale vette kui ülejäänud. See tähendab, et rannajoon jääb sisse suumimisel endaga sarnaseks. Ameerika matemaatik Benoit Mandelbrot (ehkki Prantsusmaal üles kasvanud) nimetas seda objektide omadust fraktaalsuseks ja selliseid objekte ise - fraktaalideks (ladina fractus - katki).

Sellel mõistel pole ranget määratlust. Seetõttu ei ole sõna "fraktal" matemaatiline termin. Tavaliselt on fraktaal geomeetriline kujund, mis rahuldab üht või mitut järgmistest omadustest: Sellel on keeruline struktuur mis tahes suurenduse korral (erinevalt näiteks sirgjoonest, mille mis tahes osa on kõige lihtsam geomeetriline kujund – segment). See on (ligikaudu) enesesarnane. Sellel on murdosa Hausdorffi (fraktaal) mõõde, mis on suurem kui topoloogiline. Saab ehitada rekursiivsete protseduuridega.

Geomeetria ja algebra

Fraktaalide uurimine XIX vahetus ja 20. sajand oli pigem episoodiline kui süstemaatiline, sest varasemad matemaatikud uurisid peamiselt “häid” objekte, mida sai uurida üldiste meetodite ja teooriate abil. 1872. aastal ehitas saksa matemaatik Karl Weierstrass näite pidevast funktsioonist, mis ei ole kusagil eristatav. Selle ülesehitus oli aga täiesti abstraktne ja raskesti mõistetav. Seetõttu mõtles rootslane Helge von Koch 1904. aastal välja pideva kõvera, millel pole kuskil puutujat ja mille joonistamine on üsna lihtne. Selgus, et sellel on fraktali omadused. Selle kõvera üht varianti nimetatakse Kochi lumehelbeks.

Figuuride enesesarnasuse ideed noppis üles prantslane Paul Pierre Levy, Benoit Mandelbroti tulevane mentor. 1938. aastal ilmus tema artikkel “Tervikuga sarnastest osadest koosnevad tasapinnalised ja ruumilised kõverad ja pinnad”, milles kirjeldatakse teist fraktalit – Lévy C-kõverat. Kõik need ülalloetletud fraktaalid võib tinglikult omistada ühte konstruktiivsete (geomeetriliste) fraktaalide klassi.

Teine klass on dünaamilised (algebralised) fraktaalid, mis hõlmavad Mandelbroti komplekti. Esimesed sellesuunalised uurimused algasid 20. sajandi alguses ja on seotud prantsuse matemaatikute Gaston Julia ja Pierre Fatou nimedega. 1918. aastal ilmus peaaegu kakssada lehekülge Julia mälestusteraamatut, mis oli pühendatud keeruliste ratsionaalsete funktsioonide iteratsioonidele, milles kirjeldatakse Julia komplekte – tervet fraktaalide perekonda, mis on tihedalt seotud Mandelbroti komplektiga. See töö pälvis Prantsuse Akadeemia auhinna, kuid see ei sisaldanud ühtegi illustratsiooni, mistõttu avastatud objektide ilu oli võimatu hinnata. Vaatamata sellele, et see töö tegi Julia kuulsaks tolleaegsete matemaatikute seas, unustati see kiiresti. Taas pöördus tähelepanu sellele alles pool sajandit hiljem arvutite tulekuga: just nemad tegid nähtavaks fraktaalide maailma rikkuse ja ilu.

Fraktaali mõõtmed

Nagu teate, on geomeetrilise kujundi mõõde (mõõtmiste arv) koordinaatide arv, mis on vajalik sellel joonisel asuva punkti asukoha määramiseks.
Näiteks punkti asukoht kõveral määratakse ühe koordinaadiga, pinnal (mitte tingimata tasapinnal) kahe koordinaadiga, kolmemõõtmelises ruumis kolme koordinaadiga.
Üldisemast matemaatilisest vaatepunktist võib dimensiooni defineerida järgmiselt: lineaarsete mõõtmete suurenemine, näiteks kaks korda, ühemõõtmeliste (topoloogilisest vaatepunktist) objektide (segmendi) korral toob kaasa suuruse (pikkuse) suurenemise. ) kahekordse teguriga, kahemõõtmelise (ruut) korral põhjustab sama lineaarsete mõõtmete suurenemine suuruse (pindala) 4 korda, kolmemõõtmelise (kuubiku) puhul 8 korda. See tähendab, et "tegelikku" (nn Hausdorffi) mõõdet saab arvutada objekti "suuruse" suurenemise logaritmi ja selle lineaarse suuruse suurenemise logaritmi suhtena. See tähendab, et segmendi jaoks D = log (2) / log (2) = 1, tasandi jaoks D = log (4) / log (2) = 2, ruumala jaoks D = log (8) / log (2) )=3.
Arvutame nüüd välja Kochi kõvera mõõtme, mille konstrueerimiseks jagatakse ühiklõik kolmeks võrdseks osaks ja keskmine intervall asendatakse ilma selle lõiguta võrdkülgse kolmnurgaga. Minimaalse segmendi lineaarsete mõõtmete kolmekordse suurenemisega suureneb Kochi kõvera pikkus log (4) / log (3) ~ 1,26. See tähendab, et Kochi kõvera mõõde on murdosa!

Teadus ja kunst

1982. aastal ilmus Mandelbroti raamat "Looduse fraktalgeomeetria", millesse autor kogus ja süstematiseeris peaaegu kogu tol ajal kättesaadava teabe fraktalide kohta ning esitas selle lihtsalt ja arusaadavalt. Mandelbrot ei asetanud oma ettekandes põhirõhu mitte kaalukatele valemitele ja matemaatilistele konstruktsioonidele, vaid lugejate geomeetrilisele intuitsioonile. Tänu arvutiga loodud illustratsioonidele ja ajaloolistele lugudele, millega autor monograafia teaduslikku komponenti oskuslikult lahjendas, sai raamatust bestseller ja fraktalid said laiemale avalikkusele tuntuks. Nende edu mittematemaatikute seas on suuresti tingitud sellest, et väga lihtsate, isegi keskkooliõpilasele mõistetavate konstruktsioonide ja valemite abil saadakse hämmastava keerukuse ja iluga pilte. Kui personaalarvutid said piisavalt võimsaks, ilmus kunstis isegi terve suundumus – fraktaalimaal ja sellega sai hakkama peaaegu iga arvutiomanik. Nüüd leiate Internetist hõlpsalt palju sellele teemale pühendatud saite.

Kochi kõvera saamise skeem

Sõda ja rahu

Nagu eespool märgitud, on üks fraktaalsete omadustega loodusobjekte rannajoon. Sellega, õigemini, katsega mõõta selle pikkust, üks huvitav lugu, mis oli aluseks Mandelbroti teaduslikule artiklile ja mida kirjeldatakse ka tema raamatus "Looduse fraktalgeomeetria". Me räägime eksperimendist, mille koostas Lewis Richardson, väga andekas ja ekstsentriline matemaatik, füüsik ja meteoroloog. Tema uurimistöö üheks suunaks oli katse leida matemaatiline kirjeldus kahe riigi vahelise relvakonflikti põhjuste ja tõenäosuse kohta. Parameetrite hulgas, mida ta arvesse võttis, oli kahe sõdiva riigi vahelise ühise piiri pikkus. Arvulisteks katseteks andmeid kogudes leidis ta, et erinevates allikates on Hispaania ja Portugali ühise piiri andmed väga erinevad. See viis ta järgmise avastuseni: riigi piiride pikkus sõltub joonlauast, millega me neid mõõdame. Mida väiksem on skaala, seda pikem on piir. Põhjuseks on asjaolu, et suurema suurenduse korral saab üha enam arvesse võtta ranniku käänakuid, mida varem mõõtmiste ebatasasuse tõttu eirati. Ja kui iga suumiga avatakse varem arvestamata joonte kõverad, siis selgub, et piiride pikkus on lõpmatu! Tõsi, tegelikult seda ei juhtu – meie mõõtmiste täpsusel on piiratud piir. Seda paradoksi nimetatakse Richardsoni efektiks.

Konstruktiivsed (geomeetrilised) fraktaalid

Konstruktiivse fraktali konstrueerimise algoritm üldjuhul on järgmine. Kõigepealt vajame kahte sobivat geomeetrilist kujundit, nimetagem neid aluseks ja killuks. Esimeses etapis on kujutatud tulevase fraktali alus. Seejärel asendatakse mõned selle osad sobivas mõõtkavas võetud fragmendiga - see on konstruktsiooni esimene iteratsioon. Seejärel muutuvad saadud joonisel mõned osad jällegi fragmendiga sarnasteks kujunditeks jne. Kui seda protsessi lõputult jätkata, siis limiiti saad fraktali.

Mõelge sellele protsessile Kochi kõvera näitel (vt eelmisel leheküljel külgriba). Kochi kõvera aluseks võib võtta mis tahes kõverat (Kochi lumehelbe puhul on see kolmnurk). Kuid me piirdume kõige lihtsama juhtumiga - segmendiga. Fragment on katkendlik joon, mis on näidatud joonise ülaosas. Algoritmi esimese iteratsiooni järel kattub antud juhul algne segment fragmendiga, seejärel asendatakse kõik selle koostisosad fragmendiga sarnase katkendjoonega jne. Joonisel on neli esimest selle protsessi etapid.

Matemaatika keel: dünaamilised (algebralised) fraktaalid

Seda tüüpi fraktalid tekivad mittelineaarsete dünaamiliste süsteemide uurimisel (sellest ka nimi). Sellise süsteemi käitumist saab kirjeldada kompleksse mittelineaarse funktsiooniga (polünoomiga) f (z). Võtame komplekstasandil mingi algpunkti z0 (vt külgriba). Vaatleme nüüd sellist lõpmatut arvujada komplekstasandil, millest igaüks on saadud eelmisest: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). Sõltuvalt algpunktist z0 võib selline jada käituda erinevalt: kalduda lõpmatuseni kui n -> ∞; lähenema mõnele lõpp-punktile; tsükliliselt võtta mitu fikseeritud väärtust; on võimalikud keerulisemad variandid.

Keerulised numbrid

Kompleksarv on arv, mis koosneb kahest osast - reaal- ja imaginaarsest, see tähendab formaalsest summast x + iy (x ja y on siin reaalarvud). ma olen nn. imaginaarne ühik, see tähendab võrrandit rahuldav arv i^ 2 = -1. Kompleksarvude kohal on defineeritud põhilised matemaatilised toimingud - liitmine, korrutamine, jagamine, lahutamine (ainult võrdlustehte pole määratletud). Kompleksarvude kuvamiseks kasutatakse sageli geomeetrilist esitust - tasapinnal (seda nimetatakse kompleksiks) joonistatakse reaalosa piki abstsisstellge ja imaginaarne osa piki ordinaattelge, kompleksarv aga vastab punktile. ristkoordinaatidega x ja y.

Seega on komplekstasandi mis tahes punktil z funktsiooni f (z) iteratsioonide ajal oma käitumise iseloom ja kogu tasapind jaguneb osadeks. Veelgi enam, nende osade piiridel asuvatel punktidel on järgmine omadus: suvaliselt väikese nihke korral muutub nende käitumise olemus dramaatiliselt (sellisi punkte nimetatakse bifurkatsioonipunktideks). Seega selgub, et punktide komplektidel, millel on üht kindlat tüüpi käitumist, nagu ka bifurkatsioonipunktide komplektidel, on sageli fraktaalsed omadused. Need on funktsiooni f(z) Julia hulgad.

draakoni perekond

Alust ja fragmenti muutes saate hämmastavalt erinevaid konstruktiivseid fraktale.
Lisaks saab sarnaseid toiminguid teha kolmemõõtmelises ruumis. Volumeetrilised fraktaalid on näiteks "Mengeri käsn", "Sierpinski püramiid" jt.
Draakonite perekonda nimetatakse ka konstruktiivseteks fraktaalideks. Mõnikord nimetatakse neid avastajate nimede järgi "Heiwei-Harteri draakoniteks" (oma kuju poolest meenutavad nad Hiina draakoneid). Selle kõvera koostamiseks on mitu võimalust. Lihtsaim ja ilmsem neist on järgmine: peate võtma piisavalt pika pabeririba (mida õhem paber, seda parem) ja painutage see pooleks. Seejärel painutage see uuesti pooleks samas suunas nagu esimesel korral. Pärast mitut kordust (tavaliselt pärast viit või kuut volti muutub riba liiga paksuks, et seda ettevaatlikult edasi painutada) tuleb riba tagasi sirutada ja püüda moodustada voltidele 90˚ nurgad. Siis muutub draakoni kõver profiilis välja. Loomulikult on see vaid ligikaudne, nagu kõik meie katsed kujutada fraktaalobjekte. Arvuti võimaldab selles protsessis kujutada veel palju samme ning tulemuseks on väga ilus figuur.

Mandelbroti komplekt on konstrueeritud mõnevõrra erinevalt. Vaatleme funktsiooni fc (z) = z 2 +c, kus c on kompleksarv. Koostame selle funktsiooni jada z0=0, sõltuvalt parameetrist c võib see lõpmatuseni lahkneda või jääda piirituks. Lisaks moodustavad kõik c väärtused, mille jaoks see jada on piiratud, Mandelbroti komplekti. Seda uurisid üksikasjalikult Mandelbrot ise ja teised matemaatikud, kes avastasid selle komplekti palju huvitavaid omadusi.

On näha, et Julia ja Mandelbroti hulga definitsioonid on üksteisega sarnased. Tegelikult on need kaks komplekti omavahel tihedalt seotud. Nimelt on Mandelbroti hulk kõik kompleksparameetri c väärtused, mille jaoks on ühendatud Julia hulk fc (z) (hulka nimetatakse ühendatuks, kui seda ei saa teatud lisatingimustega jagada kaheks mittelõikuvaks osaks).

fraktalid ja elu

Tänapäeval leiab fraktaaliteooria lai rakendus erinevates inimtegevuse valdkondades. Lisaks puhtteaduslikule uurimisobjektile ja juba mainitud fraktaalimaalile kasutatakse infoteoorias fraktaleid graafiliste andmete tihendamiseks (siin kasutatakse peamiselt fraktaalide enesesarnasuse omadust - ju ikka selleks, et väike fragment meelde jätta joonise ja teisenduste jaoks, mille abil saate ülejäänud osad, kulub palju vähem mälu kui kogu faili salvestamine). Lisades fraktaali defineerivatele valemitele juhuslikud häired, saab saada stohhastilisi fraktale, mis annavad väga usutavalt edasi mõningaid reaalseid objekte - reljeefielemente, veekogude pinda, mõnda taime, mida kasutatakse edukalt füüsikas, geograafias ja arvutigraafikas, et saavutada. simuleeritud objektide suurem sarnasus reaalsetega. Raadioelektroonikas hakati viimasel kümnendil tootma antenne, millel on fraktaalkuju. Võttes vähe ruumi, pakuvad nad üsna kvaliteetset signaali vastuvõttu. Majandusteadlased kasutavad valuutakõikumiste kõverate kirjeldamiseks fraktaleid (selle omaduse avastas Mandelbrot üle 30 aasta tagasi). Sellega lõpetame selle lühikese ekskursiooni fraktaalide maailma, mis on hämmastav ilu ja mitmekesisuse poolest.

Kaos on kord, mida tuleb dešifreerida.

José Saramago, "Kahekordne"

"20. sajandit mäletavad tulevased põlvkonnad ainult tänu relatiivsusteooriate, kvantmehaanika ja kaose loomisele ... relatiivsusteooria on kaotanud Newtoni illusioonid absoluutse aegruumi kohta, kvantmehaanika hajutas unistuse füüsiliste sündmuste determinismist ja lõpuks lükkas kaos ümber Laplace'i fantaasia süsteemide arengu täielikust ettemääratusest. Need kuulsa Ameerika ajaloolase ja teaduse populariseerija James Gleicki sõnad peegeldavad teema suurt tähtsust, mida lugejale pakutavas artiklis vaid põgusalt käsitletakse. Meie maailm tekkis kaosest. Kui aga kaos ei allunud oma seadustele, kui selles poleks erilist loogikat, ei saaks see midagi genereerida.

Uus on hästi unustatud vana

Lubage mul veel üks tsitaat Gleickilt:

Mõte sisemisest sarnasusest, et pisiasjadesse saab investeerida suuri asju, on inimhinge paitanud juba ammu... Leibnizi sõnul kätkeb veetilk kogu maailma, särades värvilistes värvides, kus veepritsmed sädelevad. ja teised tundmatud universumid elavad. „Vaadake maailma liivaterana,” õhutas Blake ja mõned teadlased püüdsid tema ettekirjutust järgida. Esimesed seemnevedeliku uurijad kaldusid nägema igas spermatosoidis omamoodi homunkulit, see tähendab pisikest, kuid juba täielikult väljakujunenud väikest meest.

Selliste vaadete tagasivaate võib tõmmata palju kaugemale ajaloo sügavustesse. Maagia üks põhiprintsiipe – iga ühiskonna arengu lahutamatu etapp – on postulaat: osa on nagu tervik. See väljendus sellistes tegevustes nagu looma kolju matmine terve looma asemel, vankri makett vankri enda asemel jne. Säilitades esivanema kolju, uskusid sugulased, et ta jätkas nende kõrval elamist. ja nende asjadest osa võtta.

Isegi Vana-Kreeka filosoof Anaxagoras pidas universumi esmaseid elemente osakesteks, mis sarnanevad terviku teiste osakestega ja terviku endaga, "lõpmatuteks nii arvukuse kui ka väiksuse poolest". Aristoteles iseloomustas Anaxagorase elemente omadussõnaga "sarnased osad".

Ja meie kaasaegne, ameerika küberneetik Ron Eglash tegi Aafrika hõimude ja Lõuna-Ameerika indiaanlaste kultuuri uurides avastuse: osa neist on iidsetest aegadest saati kasutanud fraktaalide ehitusprintsiipe kaunistustes, riietele ja majapidamistarvetele kantud mustrites, ehted, rituaalsed tseremooniad ja isegi arhitektuuris. Niisiis on mõne Aafrika hõimu külade struktuur ring, milles on väikesed ringid - majad, mille sees on veelgi väiksemad ringid - vaimude majad. Teistes hõimudes toimivad arhitektuuri elementidena ringide asemel teised figuurid, kuid neid korratakse ka erinevatel skaalal, alludes ühele struktuurile. Pealegi polnud need ehituspõhimõtted lihtne looduse jäljendamine, vaid olid kooskõlas valitseva maailmavaate ja ühiskonnakorraldusega.

Näib, et meie tsivilisatsioon on primitiivsest olemasolust kaugele jõudnud. Kuid me elame jätkuvalt samas maailmas, oleme endiselt ümbritsetud loodusest, elades oma seaduste järgi, hoolimata inimese kõigist püüdlustest seda oma vajadustega kohandada. Ja mees ise (ärme seda unusta) jääb selle olemuse osaks.

Mittelineaarsust uurinud saksa füüsik Gert Eilenberger märkis kord:

Miks on alasti puu siluett tormituule survel sünge talvetaeva taustal painutatud kaunina, samas kui kaasaegse multifunktsionaalse hoone piirjooned, vaatamata arhitekti parimatele pingutustele, ei tundu nii. üleüldse? Mulle tundub, et ... meie ilumeelt "toidab" harmooniline korra ja korratuse kooslus, mida võib täheldada loodusnähtustes: pilvedes, puudes, mäeahelikes või lumehelbekristallides. Kõik sellised kontuurid on sisse külmunud dünaamilised protsessid füüsilised vormid, ning nende jaoks on tüüpiline stabiilsuse ja juhuslikkuse kombinatsioon.

Kaoseteooria päritolu

Mida me selle all mõtleme kaos? Suutmatus ennustada süsteemi käitumist, ebaühtlased hüpped eri suundades, mis ei muutu kunagi järjestatud jadaks.

Prantsuse matemaatikut, füüsikut ja filosoofi Henri Poincare’i peetakse esimeseks kaoseuurijaks. Isegi XIX sajandi lõpus. kolme gravitatsiooniliselt interakteeruva kehaga süsteemi käitumist uurides märkas ta, et võib esineda mitteperioodilisi orbiite, mis on pidevalt ja ei eemaldu kindlast punktist ega lähene sellele.

Loodusteadustes laialdaselt kasutatavad traditsioonilised geomeetria meetodid põhinevad uuritava objekti struktuuri lähendamisel geomeetriliste kujundite, näiteks joonte, tasapindade, sfääride abil, mille meetrilised ja topoloogilised mõõtmed on üksteisega võrdsed. . Enamasti kirjeldatakse uuritava objekti omadusi ja selle koostoimet keskkonnaga integreeritud termodünaamiliste karakteristikute abil, mis toob kaasa olulise osa süsteemi puudutava teabe kadumise ja selle asendamise enam-vähem adekvaatse mudeliga. Enamasti on selline lihtsustamine üsna õigustatud, kuid on palju olukordi, kus topoloogiliselt ebaadekvaatsete mudelite kasutamine on vastuvõetamatu. Sellise lahknevuse näide toodi tema omas Doktoritöö(nüüd keemiateaduste doktor) Vladimir Konstantinovitš Ivanov: see leitakse arenenud (näiteks poorse) pinna pindala mõõtmisel tahked ained kasutades sorptsioonimeetodeid, mis registreerivad adsorptsiooni isoterme. Selgus, et pindala suurus sõltub “mõõte” molekulide lineaarsest suurusest mitte ruutkeskmiselt, mida kõige lihtsamate geomeetriliste kaalutluste põhjal eeldaks, vaid kohati kolmele läheneva eksponendiga.

Ilmaennustamine on üks probleeme, millega inimkond on iidsetest aegadest saadik maadelnud. Sel teemal on tuntud anekdoot, kus ilmateade edastatakse mööda ketti šamaanist põhjapõdrakasvatajale, siis geoloogile, siis raadiosaate toimetajale ja lõpuks saab ring läbi, sest selgub, et šamaan sai ennustuse teada raadiost. Sellise keeruka süsteemi, nagu ilm, paljude muutujatega kirjeldust ei saa taandada lihtsateks mudeliteks. Selle ülesandega sai alguse arvutite kasutamine mittelineaarsete dünaamiliste süsteemide modelleerimiseks. Üks kaoseteooria rajajaid, Ameerika meteoroloog ja matemaatik Edward Norton Lorentz pühendas aastaid ilmaennustamise probleemile. Möödunud sajandi 60ndatel, püüdes mõista ilmaprognooside ebausaldusväärsuse põhjuseid, näitas ta, et keerulise dünaamilise süsteemi olek võib tugevalt sõltuda algtingimustest: ühe paljudest parameetritest väike muutus võib radikaalselt mõjutada. muuta oodatud tulemust. Lorenz nimetas seda sõltuvust liblikaefektiks: "Tänane ööliblika tiibade lehvitamine Pekingis võib kuu aja pärast põhjustada New Yorgis orkaani." Ta oli kuulus oma tööga atmosfääri üldise ringluse alal. Protsessi kirjeldava kolme muutujaga võrrandisüsteemi uurides esitas Lorenz graafiliselt oma analüüsi tulemused: graafiku jooned tähistavad nende muutujate ruumis olevate lahendustega määratud punktide koordinaate (joonis 1). Saadud topeltheeliks, nn Lorenzi atraktor(või "kummaline atraktor"), nägi välja nagu midagi lõpmatult keerulist, kuid asus alati teatud piirides ja ei kordu kunagi. Liikumine atraktoris on abstraktne (muutujad võivad olla kiirus, tihedus, temperatuur jne) ja ometi annab see edasi reaalsete füüsikaliste nähtuste tunnuseid, nagu vesiratta liikumine, konvektsioon suletud ahelas, ühemoodiline laser kiirgus, dissipatiivne harmoonilised vibratsioonid(mille parameetrid mängivad vastavate muutujate rolli).

Tuhandetest väljaannetest, mis on moodustanud kaoseprobleemi käsitleva erikirjanduse, ei ole peaaegu ühtegi tsiteeritud sagedamini kui Lorentzi 1963. aasta artiklit "Deterministlik mitteperioodiline voog". Kuigi selle töö tegemise ajal oli ilmaennustus arvutimodelleerimisega "kunstist teaduseks muudetud", olid pikaajalised prognoosid endiselt ebausaldusväärsed ja ebausaldusväärsed. Selle põhjuseks oli väga liblika efekt.

Samadel 1960. aastatel kogus matemaatik Stephen Smale California ülikoolist Berkeleysse noortest mõttekaaslastest koosneva uurimisrühma. Varem pälvis ta Fieldsi medali silmapaistvate topoloogiauuringute eest. Smale uuris dünaamilisi süsteeme, eriti mittelineaarseid kaootilisi ostsillaatoreid. Et reprodutseerida kogu van der Pol ostsillaatori häiret faasiruumis, lõi ta struktuuri, mida tuntakse kui "hobuseraua" - näide dünaamilisest süsteemist, millel on kaootiline dünaamika.

"Hobuseraud" (joonis 2) - täpne ja nähtav pilt tugevast sõltuvusest algtingimustest: te ei saa kunagi arvata, kus on alguspunkt pärast mitut iteratsiooni. See näide oli tõukeks vene matemaatiku, dünaamiliste süsteemide ja diferentsiaalvõrrandite teooria, diferentsiaalgeomeetria ja topoloogia spetsialisti Dmitri Viktorovitš Anosovi "Anosovi difeomorfismid" leiutisele. Hiljem kasvas neist kahest tööst välja hüperboolsete dünaamiliste süsteemide teooria. Möödus kümmekond aastat, enne kui Smale töö tõmbas teiste erialade tähelepanu. "Kui see juhtus, mõistsid füüsikud, et Smale oli pööranud terve matemaatika haru päris maailm» .

1972. aastal luges Marylandi ülikooli matemaatik James Yorke ülaltoodud Lorenzi artiklit, mis teda tabas. Yorke nägi artiklis elavat füüsilist mudelit ja pidas oma pühaks kohuseks füüsikutele edastada seda, mida nad Lorentzi ja Smale teostes ei näinud. Ta edastas Smale'le Lorenzi artikli koopia. Ta avastas hämmastusega, et ebaselge meteoroloog (Lorenz) avastas kümme aastat varem selle häire, mida ta ise kunagi pidas matemaatiliselt ebatõenäoliseks, ja saatis sellest koopiad kõigile oma kolleegidele.

Bioloog Robert May, Yorki sõber, uuris muutusi loomapopulatsioonides. May astus Pierre Verchlusti jälgedes, kes juba 1845. aastal juhtis tähelepanu loomade arvukuse muutuste ettearvamatusele ja jõudis järeldusele, et populatsiooni kasvutempo on muutuv väärtus. Teisisõnu, protsess on mittelineaarne. May püüdis tabada, mis juhtub populatsiooniga, kui kasvutempo kõikumine läheneb teatud kriitilisele punktile (bifurkatsioonipunktile). Selle mittelineaarse parameetri väärtusi muutes avastas ta, et süsteemi olemuses on võimalikud põhimõttelised muudatused: parameetri suurenemine tähendas mittelineaarsuse astme suurenemist, mis omakorda muutus. mitte ainult tulemuse kvantitatiivsed, vaid ka kvalitatiivsed omadused. Selline operatsioon mõjutas nii tasakaalus olnud populatsiooni lõplikku väärtust kui ka võimet selleni jõuda. Teatud tingimustel andis perioodilisus teed kaosele, kõikumisele, mis ei kustunud kunagi.

York analüüsis kirjeldatud nähtusi oma töös matemaatiliselt, tõestades, et igas ühemõõtmelises süsteemis juhtub järgmist: kui tekib regulaarne kolme lainega tsükkel (mis tahes parameetri väärtuste sujuv tõus ja langus), siis tulevikus süsteem hakkab näitama, kuidas õiged tsüklid muu kestusega ja täiesti kaootiline. (Nagu selgus mõni aasta pärast artikli avaldamist rahvusvaheline konverents Ida-Berliinis oli Nõukogude (Ukraina) matemaatik Aleksandr Nikolajevitš Sharkovskii oma uurimistöös Yorkist mõnevõrra ees). York kirjutas artikli tuntud teadusväljaandele American Mathematical Monthly. York saavutas aga rohkem kui lihtsalt matemaatilise tulemuse: ta demonstreeris füüsikutele, et kaos on kõikjal esinev, stabiilne ja struktureeritud. Ta andis alust arvata, et keerukaid süsteeme, mida traditsiooniliselt kirjeldatakse raskesti lahendatavate diferentsiaalvõrranditega, saab kujutada visuaalsete graafikute abil.

May püüdis juhtida bioloogide tähelepanu tõsiasjale, et loomapopulatsioonid kogevad enamat kui lihtsalt korrapärased tsüklid. Teel kaosesse on terve kaskaad kahekordistusperioode. Just hargnemispunktides võib isendite viljakuse teatav kasv kaasa tuua näiteks populatsiooni nelja-aastase tsükli muutumise. mustlasmutt kaheksa aastat vana. Ameeriklane Mitchel Feigenbaum otsustas alustada selliste muutuste tekitanud parameetri täpsete väärtuste loendamisega. Tema arvutused näitasid, et pole vahet, milline oli esialgne populatsioon – see lähenes ikka järjekindlalt atraktorile. Seejärel, kui esimene periood kahekordistub, jagunes atraktor nagu jagunev rakk kaheks. Seejärel toimus järgmine perioodide korrutamine ja iga atraktori punkt hakkas uuesti jagunema. Arv, muutumatu Feigenbaumi saadud arv, võimaldas tal täpselt ennustada, millal see juhtub. Teadlane avastas, et suudab ennustada seda efekti kõige keerulisema atraktori puhul – kahe, nelja, kaheksa punkti juures... Ökoloogia keeles võib ta ennustada tegelikku arvu, mis populatsioonides iga-aastaste kõikumiste käigus saavutatakse. Nii avastas Feigenbaum 1976. aastal May töö ja tema turbulentsiuuringute põhjal "perioodi kahekordistamise kaskaadi". Tema teooria peegeldas loodusseadust, mis kehtib kõigi süsteemide kohta, mis läbivad üleminekut korrast kaosesse. York, May ja Feigenbaum mõistsid esimestena läänes täielikult perioodi kahekordistamise tähtsust ja suutsid selle idee edastada kogu teadlaskonnale. May nentis, et kaost on vaja õpetada.

Nõukogude matemaatikud ja füüsikud edenesid oma uurimistöös välismaistest kolleegidest sõltumatult. Kaose uurimine sai alguse A. N. Kolmogorovi töödest 1950. aastatel. Kuid väliskolleegide ideed ei jäänud nende tähelepanuta. Kaoseteooria pioneerid on nõukogude matemaatikud Andrei Nikolajevitš Kolmogorov ja Vladimir Igorevitš Arnold ning saksa matemaatik Jurgen Moser, kes ehitas kaoseteooria, mida nimetatakse KAM-iks (Kolmogorov-Arnold-Moser teooria). Teine meie silmapaistev kaasmaalane, geniaalne füüsik ja matemaatik Yakov Grigorjevitš Sinai, rakendas termodünaamika kaalutlustes sarnaselt Smale hobuserauaga. Niipea, kui lääne füüsikud 1970. aastatel Lorentzi loominguga tutvusid, sai see tuntuks ka NSV Liidus. 1975. aastal, kui York ja May tegid veel suuri jõupingutusi oma kolleegide tähelepanu võitmiseks, organiseerisid Sinai ja tema kaaslased Gorkis selle probleemi uurimiseks uurimisrühma.

Eelmisel sajandil, kui kitsas spetsialiseerumine ja eri distsipliinide lahknevus muutus loodusteadustes normiks, võitlesid matemaatikud, füüsikud, bioloogid, keemikud, füsioloogid ja majandusteadlased üksteise kuulmata sarnaste probleemide üle. Ideed, mis nõuavad harjumuspärase maailmapildi muutmist, näevad alati vaeva, et oma teed saavutada. Tasapisi sai aga selgeks, et sellised asjad nagu loomapopulatsioonide muutumine, turuhindade kõikumine, ilmamuutused, taevakehade jaotus suuruse järgi ja palju-palju muud järgivad samu mustreid. "Selle fakti teadvustamine on sundinud juhte oma suhtumist kindlustusse ümber vaatama, astronoome vaatama päikesesüsteemi teise nurga alt, poliitikuid muutma oma meelt relvakonfliktide põhjuste osas."

1980. aastate keskpaigaks oli olukord dramaatiliselt muutunud. Fraktaalgeomeetria ideed ühendasid teadlasi, kes olid omaenda tähelepanekutest hämmingus ega teadnud, kuidas neid tõlgendada. Kaose uurijate jaoks on matemaatikast saanud eksperimentaalteadus, arvutid on asendanud laboreid. Graafilised pildid on muutunud ülimalt tähtsaks. Uus teadus andis maailmale erilise keele, uued mõisted: faasiportree, atraktor, bifurkatsioon, faasiruumi osa, fraktaal...

Benoit Mandelbrot, tuginedes oma eelkäijate ja kaasaegsete ideedele ja tööle, näitas, et selliseid keerulisi protsesse nagu puu kasv, pilvede teke, majanduslikud omadused või loomapopulatsioonide suurus reguleerivad olemuselt sarnased loodusseadused. . Need on teatud mustrid, mille järgi kaos elab. Loomuliku iseorganiseerumise seisukohalt on need palju lihtsamad kui tsiviliseeritud inimesele tuttavad tehisvormid. Neid saab tunnistada keerukateks ainult eukleidilise geomeetria kontekstis, kuna fraktalid on määratletud algoritmi määramise teel ja seetõttu saab neid kirjeldada väikese teabekoguse abil.

Looduse fraktaalgeomeetria

Proovime aru saada, mis on fraktal ja "millega seda süüakse". Ja mõnda neist saab tõesti süüa, nagu näiteks fotol näidatud tüüpiline esindaja.

Sõna fraktal tuleb ladina keelest fraktus- purustatud, purustatud, tükkideks purustatud. Fraktal on matemaatiline hulk, millel on enesesarnasuse omadus, st skaala muutumatus.

Mõiste "fraktal" võttis kasutusele Mandelbrot 1975. aastal ja see saavutas laialdase populaarsuse, kui 1977. aastal ilmus tema raamat The Fractal Geometry of Nature. "Andke koletisele mõni hubane ja kodune nimi ja olete üllatunud, kui palju lihtsam on teda taltsutada!" ütles Mandelbrot. See soov teha uuritavad objektid (matemaatikahulgad) lähedaseks ja arusaadavaks tõi kaasa uute matemaatiliste terminite sünni, nagu nt. tolm, kodujuust, seerum, mis näitab selgelt nende sügavat seost looduslike protsessidega.

Fraktaali matemaatiline kontseptsioon eristab objekte, millel on erineva ulatusega struktuurid, nii suured kui ka väikesed, ja peegeldab seega organiseerimise hierarhilist põhimõtet. Muidugi ei saa näiteks puu erinevaid oksi täpselt üksteisega joondada, kuid neid võib statistilises mõttes pidada sarnasteks. Samamoodi näevad erinevas mõõtkavas vaadatuna sarnased välja pilvede kujud, mägede piirjooned, mereranniku joon, leekide muster, veresoonkond, kuristik, välk. Kuigi see idealiseerimine võib osutuda tegelikkuse lihtsustamiseks, suurendab see oluliselt looduse matemaatilise kirjeldamise sügavust.

Mõiste "looduslik fraktal" võttis kasutusele Mandelbrot, et tähistada looduslikke struktuure, mida saab kirjeldada fraktaalikomplektide abil. Need loodusobjektid sisaldavad juhuse elementi. Mandelbroti loodud teooria võimaldab kvantitatiivselt ja kvalitatiivselt kirjeldada kõiki neid vorme, mida varem nimetati sassis, laineliseks, karedaks jne.

Eespool käsitletud dünaamilised protsessid, nn tagasisideprotsessid, tekivad erinevates füüsikalistes ja matemaatilistes probleemides. Neid kõiki ühendab üks joon – mitme keskuse (nimetatakse "atraktoriteks") konkurents domineerimise pärast lennukis. Seisund, millesse süsteem pärast teatud arvu iteratsioone sattus, sõltub selle "lähtekohast". Seetõttu vastab iga atraktor teatud algolekute alale, millest süsteem langeb tingimata vaadeldavasse lõppolekusse. Seega jagatakse süsteemi faasiruum (konkreetse dünaamilise süsteemiga seotud parameetrite abstraktne ruum, punktid, milles iseloomustavad üheselt kõiki selle võimalikke olekuid) tõmbepiirkonnad atraktorid. Toimub omamoodi tagasipöördumine Aristotelese dünaamika juurde, mille kohaselt iga keha kaldub oma ettenähtud kohta. Lihtsad piirid "külgnevate territooriumide" vahel tekivad sellise rivaalitsemise tulemusena harva. Just sellel piirialal toimub üleminek ühelt eksistentsivormilt teisele: korrast kaosesse. Üldine vorm Dünaamilise seaduse avaldis on väga lihtne: x n+1 → f x n C . Kogu keerukus seisneb algväärtuse ja tulemuse vahelises mittelineaarses seoses. Kui käivitate kindlaksmääratud tüüpi iteratiivse protsessi mingist suvalisest väärtusest \(x_0 \), on selle tulemuseks jada \(x_1 \), \(x_2 \), ..., mis kas koondub mingi piirini väärtus \(X \) , püüdes puhkeolekusse, jõuab teatud väärtuste tsüklini, mis kordub ikka ja jälle, või käitub kogu aeg juhuslikult ja ettearvamatult. Just selliseid protsesse uurisid Esimese maailmasõja ajal prantsuse matemaatikud Gaston Julia ja Pierre Fato.

Nende avastatud komplekte uurides jõudis Mandelbrot 1979. aastal kujutise komplekstasandil oleva kujutiseni, mis, nagu järgnevast selgub, on omamoodi sisukord tervele vormide klassile, mida nimetatakse Julia komplektideks. Julia hulk on ruutteisenduste iteratsioonist tulenev punktide kogum: х n → х n−1 2 + C , mille naabruses olev dünaamika on algpositsiooni väikeste häirete suhtes ebastabiilne. Iga järjestikune väärtus \(x\) tuletatakse eelmisest; kutsutakse kompleksarvu \(C\). juhtimisparameeter. Numbrijada käitumine sõltub parameetrist \(C \) ja alguspunktist \(x_0 \). Kui kompleksarvude väljal fikseerime \(C \) ja muudame \(x_0 \), saame Julia komplekti. Kui parandame \(x_0 \) = 0 ja muudame \(C \), saame Mandelbroti komplekti (\(M \)). See ütleb meile, millist Julia komplekti peaksime konkreetse valiku \(C\) puhul ootama. Iga kompleksarv \(C \) kas kuulub piirkonda \(M \) (joonisel 3 must) või ei kuulu. \(C \) kuulub rühma \(M \) siis ja ainult siis, kui "kriitiline punkt" \(x_0 \) = 0 ei kaldu lõpmatuseni. Hulk \(M \) koosneb kõigist punktidest \(C \), mis on seotud ühendatud Julia hulgaga, kuid kui punkt \(C \) asub väljaspool hulka \(M \), on seotud Julia hulk katkestatud. Hulga \(M \) piir määrab Julia hulkade x n → x n−1 2 + C matemaatilise faasisiirde hetke. Kui parameeter \(C \) lahkub väärtusest \(M \), kaotavad Julia komplektid ühenduvuse, piltlikult öeldes plahvatavad ja muutuvad tolmuks. Piiril \(M\) toimuv kvalitatiivne hüpe mõjutab ka piiriga külgnevat ala. Piirpiirkonna keerulist dünaamilist struktuuri saab ligikaudselt näidata, värvides (tinglikult) erinevate värvidega tsoonid, millel on sama aeg "alguspunkti lõpmatuseni \(x_0 \) = 0". Need väärtused \(C \) (üks toon), mis nõuavad etteantud arvu iteratsioone, et kriitiline punkt oleks väljaspool raadiuse ringi \(N \), täidavad kahe joone vahelise tühimiku. Piirile \(M \) lähenedes suureneb vajalik iteratsioonide arv. Punkt on sunnitud aina rohkem tiirlema ​​mööda looklevaid radu Julia setti lähedal. Mandelbroti komplekt kehastab korrast kaosesse ülemineku protsessi.

Huvitav on jälgida teed, mida Mandelbrot läks oma avastusteni. Benois sündis 1924. aastal Varssavis, 1936. aastal emigreerus perekond Pariisi. Pärast polütehnilise kooli ja seejärel Pariisi ülikooli lõpetamist kolis Mandelbrot USA-sse, kus ta õppis ka California Tehnoloogiainstituudis. 1958. aastal asus ta tööle Yorktowni IBMi uurimiskeskusesse. Vaatamata ettevõtte puhtrakenduslikule tegevusele võimaldas tema ametikoht tal teha teadusuuringuid erinevates valdkondades. Majandusvaldkonnas töötades asus noor spetsialist pikema aja (üle 100 aasta) puuvillahindade statistikat uurima. Analüüsides pika- ja lühiajaliste hinnakõikumiste sümmeetriat, märkas ta, et need kõikumised päevasel ajal tundusid juhuslikud ja ettearvamatud, kuid selliste muutuste järjestus ei sõltunud skaalast. Selle probleemi lahendamiseks kasutas ta esmalt oma edasiarendusi tulevase fraktaalteooria ja graafiline ekraan uuritud protsessid.

Olles huvitatud erinevatest teadusvaldkondadest, pöördus Mandelbrot matemaatilise lingvistika poole, seejärel tuli mänguteooria pööre. Ta pakkus välja ka omapoolse lähenemise majandusele, tuues välja mastaapide järjestamise väikeste ja suurte linnade levikul. Uurides inglise teadlase Lewis Richardsoni vähetuntud teost, mis avaldati pärast autori surma, puutus Mandelbrot kokku rannajoone fenomeniga. Artiklis "Mis on Ühendkuningriigi rannajoone pikkus?" ta uurib seda teemat üksikasjalikult, millele enne teda mõtlesid vähesed, ja jõuab ootamatute järeldusteni: rannajoone pikkus on ... lõpmatus! Mida täpsemalt proovite seda mõõta, seda suurem on selle väärtus!

Selliste nähtuste kirjeldamiseks tuli Mandelbrotile pähe alustada dimensiooni ideest. Objekti fraktaalne mõõde on selle ühe tunnuse, nimelt ruumi täitmise kvantitatiivne tunnus.

Fraktaaldimensiooni mõiste definitsioon ulatub tagasi Felix Hausdorffi 1919. aastal avaldatud töösse ja selle sõnastas lõpuks Abram Samoilovich Besikovich. Fraktaalne mõõde – fraktaalobjekti detaili, purunemise, ebatasasuse mõõt. Eukleidilises ruumis on topoloogiline mõõde alati määratud täisarvuga (punkti mõõde on 0, sirge 1, tasapinna 2, tahke 3). Kui jälgida näiteks Browni osakese projektsiooni liikumistasandile, mis väidetavalt peaks koosnema joonlõikudest, st omama 1. mõõtmeid, selgub üsna pea, et selle jälg täidab peaaegu kogu tasapinna. Kuid tasandi mõõde on 2. Nende väärtuste lahknevus annab meile õiguse omistada see "kõver" fraktalidele ja nimetada selle vahepealset (fraktsioonilist) mõõdet fraktaaliks. Kui arvestada osakese kaootilist liikumist mahus, on trajektoori fraktaalmõõde suurem kui 2, kuid väiksem kui 3. Näiteks inimese arterite fraktaalmõõde on ligikaudu 2,7. Artikli alguses mainitud Ivanovi tulemused, mis on seotud silikageeli pooride pindala mõõtmisega, mida ei saa tõlgendada tavaliste eukleidiliste ideede raames, leiavad fraktaliteooriat kasutades mõistliku seletuse.

Seega on matemaatilisest vaatenurgast fraktal hulk, mille puhul Hausdorffi - Besikovitši mõõde on rangelt suurem kui selle topoloogiline mõõde ja võib olla (ja enamasti on) murdosaline.

Tuleb rõhutada, et objekti fraktaalmõõde ei kirjelda selle kuju ning objektid, millel on sama mõõde, kuid mis on genereeritud erinevate moodustamismehhanismide abil, ei sarnane sageli üksteisega üldse. Füüsikalistel fraktaalidel on pigem statistiline enesesarnasus.

Murdmõõtmine võimaldab arvutada karakteristikuid, mida ei saa muul viisil selgelt määratleda: objekti ebatasasuse, katkestuse, kareduse või ebastabiilsuse aste. Näiteks käänulisel rannajoonel on oma pikkuse mõõtmatusest hoolimata ainult talle omane karedus. Mandelbrot tõi välja võimalused ümbritseva reaalsuse objektide murdosa mõõtmiste arvutamiseks. Oma geomeetriat luues esitas ta looduses esinevate korrapäratute vormide seaduse. Seadus ütles: ebastabiilsuse aste on erinevatel skaaladel konstantne.

Fraktaalide eriliik on aja fraktaalid. 1962. aastal seisis Mandelbrot silmitsi väljakutsega kõrvaldada telefoniliinidelt arvutimodemitele probleeme tekitav müra. Signaali edastamise kvaliteet sõltub vigade tõenäosusest. Insenerid võitlesid müra vähendamise probleemiga, mõeldes välja mõistatuslikke ja kalleid nippe, kuid ei saavutanud muljetavaldavaid tulemusi. Tuginedes hulgateooria rajaja Georg Cantori tööle, näitas Mandelbrot, et müra tekkimist - kaose tekkimist - pole põhimõtteliselt võimalik vältida, mistõttu väljapakutud meetodid nendega toimetulemiseks tulemusi ei too. Müra esinemise mustreid otsides saab ta "Cantori tolmu" - sündmuste fraktaaljada. Huvitav on see, et tähtede jaotus galaktikas järgib samu seadusi:

Mööda initsiaatorit (üks ajatelje segment) ühtlaselt jaotunud "aine" allutatakse tsentrifugaalpöörisele, mis "pühkib" selle intervalli äärmuslikesse kolmandikkudesse... kalgendamine võib nimetada mis tahes ebastabiilsete olekute kaskaadiks, mis lõpuks viib aine paksenemiseni, ja terminit kodujuust suudab määrata mahu, mille piires teatud füüsikalised omadused muutuvad kalgendamisel äärmiselt kontsentreerituks.

Kaootilised nähtused, nagu atmosfääri turbulents, maakoore liikuvus jne, käituvad erinevatel ajaskaaladel sarnaselt, nii nagu mastaabis muutumatud objektid näitavad erinevatel ruumilistel skaalal sarnaseid struktuurimustreid.

Näitena toome välja mitu tüüpilist olukorda, kus on kasulik kasutada fraktaalstruktuuri mõisteid. Columbia ülikooli professor Christopher Scholz oli spetsialiseerunud Maa tahke aine kuju ja struktuuri uurimisele, ta uuris maavärinaid. 1978. aastal luges ta Mandelbroti teost Fractals: Shape, Randomness and Dimension. » ja püüdis teooriat rakendada geofüüsikaliste objektide kirjeldamisel, klassifitseerimisel ja mõõtmisel. Scholz leidis, et fraktaalgeomeetria pakub teadust tõhus meetod Maa spetsiifilise künkliku maastiku kirjeldused. Planeedi maastike fraktaalne mõõde avab ukse selle kõige olulisemate omaduste mõistmiseks. Metallurgid on avastanud sama asja erineval skaalal – rakendatud erinevat tüüpi terase pindadele. Eelkõige võimaldab metallpinna fraktaalne mõõtmine sageli hinnata selle tugevust. Suur hulk fraktaalobjekte tekitab kristalliseerumise nähtuse. Kristallide kasvu käigus tekkivate fraktaalide levinuim tüüp on dendriidid, need on looduses äärmiselt laialt levinud. Nanoosakeste ansamblid demonstreerivad sageli "Lewy tolmu" rakendamist. Need komplektid moodustavad koos imendunud lahustiga läbipaistvad tihendid – Levy klaasid, mis on potentsiaalselt olulised fotoonika materjalid.

Kuna fraktaale ei väljendata primaarses geomeetrilised kujundid, ja algoritmides, matemaatiliste protseduuride komplektides, on selge, et selline matemaatika valdkond hakkas hüppeliselt arenema koos võimsate arvutite tuleku ja arenguga. Kaos omakorda tõi kaasa uued arvutitehnoloogiad, spetsiaalsed graafilised tehnikad, mis on võimelised reprodutseerima hämmastavaid, uskumatu keerukusega struktuure, mis on loodud erinevat tüüpi häirete tõttu. Interneti ja personaalarvutite ajastul on see, mis oli Mandelbroti ajal suuri raskusi, muutunud kõigile hõlpsasti kättesaadavaks. Kuid tema teoorias ei olnud kõige tähtsam muidugi looming ilusaid pilte, ja järeldus on, et see matemaatiline aparaat sobib kirjeldama keerulisi loodusnähtusi ja protsesse, mida varem teaduses üldse ei käsitletud. Algoritmiliste elementide repertuaar on ammendamatu.

Fraktaalide keelt valdades saab kirjeldada pilve kuju sama selgelt ja lihtsalt, nagu arhitekt kirjeldab hoonet traditsioonilise geomeetria keelt kasutavate jooniste abil.<...>Vaid mõnikümmend aastat on möödas sellest, kui Benoit Mandelbrot väitis: “Looduse geomeetria on fraktaalne!” Tänapäeval võime eeldada juba palju enamat, nimelt on fraktalsus eranditult kõigi loodusobjektide konstrueerimisel esmane printsiip.

Kokkuvõtteks lubage mul tutvustada teie tähelepanu seda järeldust illustreerivate fotode komplekti ja arvutiprogrammi abil ehitatud fraktale fraktaalide uurija. Ja meie järgmine artikkel on pühendatud fraktaalide kasutamise probleemile kristallfüüsikas.

Post Scriptum

Aastatel 1994–2013 ilmus viies köites Vene teadlaste ainulaadne teos "Looduslike antropogeensete ja sotsiaalsete protsesside ajaliste variatsioonide atlas" - võrreldamatu materjaliallikas, mis sisaldab kosmose, biosfääri, litosfääri, atmosfääri, hüdrosfääri, sotsiaalsete seireandmeid. tehnogeensed ja inimeste tervise ja elukvaliteediga seotud sfäärid. Tekst täpsustab andmeid ja nende töötlemise tulemusi, võrdleb aegridade ja nende fragmentide dünaamika tunnuseid. Tulemuste ühtne esitus võimaldab saada võrreldavaid tulemusi, et tuvastada protsesside dünaamika ühiseid ja individuaalseid tunnuseid ning nendevahelisi põhjus-tagajärg seoseid. Katsematerjalist selgub, et erinevates valdkondades toimuvad protsessid on esiteks sarnased, teiseks aga suuremal või vähemal määral üksteisega seotud.

Niisiis võttis atlas kokku interdistsiplinaarsete uuringute tulemused ja esitas täiesti erinevate andmete võrdleva analüüsi kõige laiemas ajas ja ruumis. Raamat näitab, et "maapealsetes sfäärides toimuvad protsessid on tingitud suurest hulgast vastastikku mõjutavatest teguritest, mis erinevates piirkondades (ja erinevatel aegadel) põhjustavad erinevaid reaktsioone", mis viitab "vajadusele integreeritud lähenemisviisi järele geodünaamilise analüüsi analüüsimisel". , ruum, sotsiaalsed, majanduslikud ja meditsiinilised tähelepanekud". Jääb vaid avaldada lootust, et need põhimõtteliselt olulised tööd leiavad jätku.

Nagu viimastel aastakümnetel on selgunud (seoses iseorganiseerumisteooria arenguga), esineb enesesarnasust väga erinevatel objektidel ja nähtustel. Näiteks võib enesesarnasust täheldada puude ja põõsaste okstel, viljastatud sügootide, lumehelveste, jääkristallide jagunemisel, arengu ajal. majandussüsteemid, mägisüsteemide, pilvede struktuuris.

Kõik loetletud objektid ja teised oma struktuurilt sarnased objektid on fraktaal. See tähendab, et neil on enesesarnasuse ehk skaala invariantsi omadused. Ja see tähendab, et osa nende struktuuri fragmente korratakse rangelt teatud ruumiliste intervallidega. Ilmselgelt võivad need objektid olla mis tahes laadi ning nende välimus ja kuju jäävad mastaabist sõltumata muutumatuks. Nii looduses kui ka ühiskonnas esineb enesekordamist piisavalt suures mahus. Niisiis kordab pilv oma räsitud struktuuri vahemikus 10 4 m (10 km) kuni 10–4 m (0,1 mm). Puudel kordub hargnemine 10 -2 kuni 10 2 m. Ka varisevad materjalid, mis tekitavad pragusid, kordavad oma enesesarnasust mitmel skaalal. Käele langev lumehelves sulab. Sulamisperioodil, üleminekul ühest faasist teise, on lumehelves-tilk samuti fraktal.

Fraktal on lõpmatu keerukusega objekt, mis võimaldab näha mitte vähem detaile lähedalt kui kaugelt. Selle klassikaline näide on Maa. Kosmosest vaadates näeb see välja nagu pall. Sellele lähenedes leiame ookeane, mandreid, rannikuid ja mäeahelikke. Hiljem ilmnevad väiksemad detailid: tükk maad mäe pinnal, sama keeruline ja ebatasane kui mägi ise. Siis ilmuvad väikesed mullaosakesed, millest igaüks on ise fraktaalobjekt.

Fraktal on mittelineaarne struktuur, mis säilitab enesesarnasuse, kui seda lõpmatult üles või alla skaleerida. Ainult väikeste pikkuste korral muutub mittelineaarsus lineaarsuseks. See on eriti ilmne diferentseerimise matemaatilises protseduuris.

Seega võib öelda, et fraktaleid mudelitena kasutatakse siis, kui reaalset objekti ei saa esitada klassikaliste mudelite kujul. Ja see tähendab, et meil on tegemist mittelineaarsete seoste ja andmete mittedeterministliku olemusega. Mittelineaarsus ideoloogilises mõttes tähendab arenguteede mitmekülgsust, alternatiivsete teede valikuvõimalust ja teatud evolutsioonitempot, aga ka evolutsiooniprotsesside pöördumatust. Matemaatilises mõttes on mittelineaarsus teatud tüüpi matemaatilised võrrandid (mittelineaarsed diferentsiaalvõrrandid), mis sisaldavad soovitud koguseid ühest suuremates astmetes või koefitsiente, mis sõltuvad keskkonna omadustest. See tähendab, et kui rakendame klassikalisi mudeleid (näiteks trend, regressioon jne), siis ütleme, et objekti tulevik on üheselt määratud. Ja me saame seda ennustada, teades objekti minevikku (algandmed modelleerimiseks). Ja fraktaleid kasutatakse juhul, kui objektil on mitu arendusvõimalust ja süsteemi oleku määrab asukoht, milles see parasjagu asub. See tähendab, et me püüame simuleerida kaootilist arengut.

Kui nad räägivad teatud süsteemi determinismist, siis mõeldakse selle all, et selle käitumist iseloomustab ühemõtteline põhjuslik seos. See tähendab, et teades süsteemi algtingimusi ja liikumisseadust, on võimalik täpselt ennustada selle tulevikku. Just see universumi liikumise idee on iseloomulik klassikalisele Newtoni dünaamikale. Kaos, vastupidi, tähendab kaootilist, juhuslikku protsessi, kui sündmuste kulgu ei ole võimalik ennustada ega taasesitada.

Kaose tekitab mittelineaarse süsteemi sisemine dünaamika – selle omadus eraldada eksponentsiaalselt kiiresti meelevaldselt lähedasi trajektoore. Sellest tulenevalt sõltub trajektooride kuju väga tugevalt algtingimustest. Esmapilgul kaootiliselt arenevate süsteemide uurimisel kasutavad nad sageli fraktaliteooriat, sest Just selline lähenemine võimaldab näha süsteemi arengus "juhuslike" kõrvalekallete esinemises teatud mustrit.

Looduslike fraktaalstruktuuride uurimine annab meile võimaluse paremini mõista mittelineaarsete süsteemide iseorganiseerumise ja arengu protsesse. Oleme juba avastanud, et kõige erinevamate, looklevate joontega looduslikke fraktaale leidub kõikjal meie ümber. See on mererand, puud, pilved, pikselahendus, metallkonstruktsioon, inimese närvi- või veresoonkond. Need keerulised jooned ja karedad pinnad tulid nähtavale teaduslikud uuringud, sest loodus näitas meile täiesti erinevat keerukuse taset kui ideaalsetes geomeetrilistes süsteemides. Uuritavad struktuurid osutusid aja-ruumilises suhtes enesesarnasteks. Nad kordasid end lõputult ja kordasid end erinevatel pikkuse ja aja skaalal. Iga mittelineaarne protsess viib lõpuks kahvlini. Süsteem valib sel juhul hargnemispunktis ühe või teise tee. Süsteemi arengu trajektoor näeb välja nagu fraktal, see tähendab katkendlik joon, mille kuju võib kirjeldada kui hargnevat, keerulist rada, millel on oma loogika ja muster.

Süsteemi hargnemist võib võrrelda puu hargnemisega, kus igale harule vastab kolmandik kogu süsteemist. Hargnemine võimaldab lineaarsel struktuuril täita kolmemõõtmelist ruumi või täpsemalt: fraktaalstruktuur koordineerib erinevaid ruume. Fraktal võib kasvada, täites ümbritsevat ruumi, täpselt nagu kristall kasvab üleküllastunud lahuses. Sel juhul seostatakse hargnemise olemust mitte juhusega, vaid teatud mustriga.

Fraktaalstruktuur kordab end sarnaselt ka teistel tasanditel, kõrgemal inimelu korraldamise tasandil, näiteks kollektiivi või meeskonna iseorganiseerumise tasandil. Võrgustike ja vormide iseorganiseerumine liigub mikrotasandilt makrotasandile. Kollektiivselt esindavad nad terviklikku ühtsust, kus saab hinnata tervikut osa järgi. Selles kursusetöös on näitena käsitletud sotsiaalsete protsesside fraktaalomadusi, mis viitab fraktaaliteooria universaalsusele ja lojaalsusele erinevatele teadusvaldkondadele.

Järeldatakse, et fraktal on viis erineva mõõtme ja olemusega ruumide organiseeritud interaktsiooniks. Eelnevale tuleks lisada, et mitte ainult ruumiline, vaid ka ajaline. Siis isegi inimese aju ja närvivõrgud saab olema fraktalstruktuur.

Loodus armastab väga fraktaalvorme. Fraktaalobjektil on laialivalguv, haruldane struktuur. Selliseid objekte suureneva suurendusega vaadeldes on näha, et neil on erinevatel tasanditel korduv muster. Oleme juba öelnud, et fraktaalobjekt võib välja näha täpselt sama, olenemata sellest, kas me vaatleme seda meetrites, millimeetrites või mikronites (1:1 000 000 meetri mõõtkavas). Fraktaalobjektide sümmeetria omadus avaldub muutumatus mastaabi suhtes. Fraktalid on sümmeetrilised venitamise või skaleerimise keskpunkti suhtes, nii nagu ümarad kehad on sümmeetrilised pöörlemistelje suhtes.

Mittelineaarse dünaamika jumaldatud kujund on fraktalstruktuurid, milles skaala muutumisel on kirjeldus üles ehitatud sama reegli järgi. Reaalses elus on selle põhimõtte rakendamine väikeste variatsioonidega võimalik. Näiteks füüsikas tasandilt tasemele liikumisel (aatomiprotsessidelt tuumani, tuumalt elementaarosakesed) seaduspärasused, mudelid, kirjeldamise meetodid muutuvad. Sama näeme ka bioloogias (organismi, koe, raku jne populatsiooni tase) Sünergeetika tulevik sõltub sellest, mil määral suudab mittelineaarne teadus aidata kirjeldada seda struktuurilist heterogeensust ja mitmesugused "tasanditevahelised" nähtused. Praegu ei ole enamikul teadusharudel usaldusväärseid fraktaalide kontseptuaalseid mudeleid.

Tänapäeval toimub fraktaliteooria raames arendusi igas konkreetses teaduses - füüsikas, sotsioloogias, psühholoogias, lingvistikas jne. Siis on ühiskond ja sotsiaalsed institutsioonid, keel ja isegi mõte fraktalid.

Viimastel aastatel teadlaste ja filosoofide seas fraktaalide kontseptsiooni ümber puhkenud diskussioonides on kõige vastuolulisem küsimus: kas saab rääkida fraktalide universaalsusest, et iga loodusobjekt sisaldab fraktaale või läbib selle fraktaalstaadium? Sellele vastasid kaks teadlaste rühma see küsimus täpselt vastupidisel viisil. Esimene rühm ("radikaalid", uuendajad) toetab väitekirja fraktalide universaalsusest. Teine rühm ("konservatiivid") eitab seda teesi, kuid väidab siiski, et igal loodusobjektil pole fraktale, kuid fraktale võib leida igast looduse piirkonnast.

Kaasaegne teadus on fraktaalide teooriat üsna edukalt kohandanud erinevate teadmiste valdkondade jaoks. Seega kasutatakse majandusteaduses fraktaalide teooriat olemasolevate finantsturgude tehnilises analüüsis arenenud riigid maailmas sadu aastaid. Esmakordselt märkis C. Dow võimaluse ennustada aktsiate hinna edasist käitumist, kui on teada selle suund mõneks viimaseks perioodiks. 1990. aastatel märkas Dow pärast mitmete artiklite avaldamist, et aktsiahinnad alluvad tsüklilistele kõikumistele: pärast pikka tõusu järgneb pikk langus, seejärel jälle tõus ja langus.

20. sajandi keskel, kui kogu teadusmaailm oli lummatud äsja esile kerkivast fraktaliteooriast, pakkus teine ​​tuntud Ameerika rahastaja R. Elliot välja oma aktsiahindade käitumise teooria, mis põhines fraktaalide kasutamisel. teooria. Elliot lähtus sellest, et fraktaalide geomeetria ei toimu mitte ainult eluslooduses, vaid ka ühiskondlikes protsessides. Ühiskondlike protsesside arvele omistas ta aktsiatega kauplemise börsil.

Teooria aluseks on nn lainediagramm. See teooria võimaldab ennustada hinnatrendi edasist käitumist, tuginedes selle käitumise ajaloo tundmisele ja järgides massipsühholoogilise käitumise kujunemise reegleid.

Fraktaliteooria on leidnud rakendust ka bioloogias. Paljudel, kui mitte kõigil taimede, loomade ja inimeste bioloogilistel struktuuridel ja süsteemidel on fraktaalne olemus, sellega mõningane sarnasus: närvisüsteem, kopsusüsteem, vereringe- ja lümfisüsteem jne. On tõendeid selle kohta, et areng pahaloomuline kasvaja sama kehtib ka fraktaalprintsiibi kohta. Võttes arvesse fraktali eneseafiinsuse ja kongruentsuse põhimõtet, saab seletada mitmeid lahendamatuid orgaanilise maailma evolutsiooni probleeme. Fraktaalobjekte iseloomustab ka selline tunnus nagu komplementaarsuse ilming. Komplementaarsus biokeemias on vastastikune vastavus kahe makromolekuli keemilises struktuuris, mis tagab nende interaktsiooni - kahe DNA ahela sidumine, ensüümi seos substraadiga, antigeeni seos antikehaga. Täiendavad struktuurid sobivad kokku nagu luku võti (Cyrili ja Methodiuse entsüklopeedia). See omadus on DNA polünukleotiidahelatel.

Fraktalite üks võimsamaid rakendusi peitub arvutigraafikas. Esiteks on see piltide fraktaalne kokkusurumine ja teiseks maastike, puude, taimede konstrueerimine ja fraktaalsete tekstuuride genereerimine. Samal ajal on teabe tihendamiseks, salvestamiseks vajalik fraktaali isesarnane suurenemine ja selle lugemiseks vastavalt enesesarnane suurenemine.

Fraktaalkujutise pakkimisalgoritmide eelised on pakitud faili väga väike suurus ja lühike pildi taastamise aeg. Fraktaalselt pakitud pilte saab skaleerida ilma piksliteta. Kuid tihendusprotsess võtab kaua aega ja kestab mõnikord tunde. Kadudega fraktaali pakkimisalgoritm võimaldab sarnaselt jpeg-vormingule määrata tihendustaseme. Algoritm põhineb pildi suurte osade leidmisel, mis sarnanevad mõne väikese osaga. Ja väljundfaili kirjutatakse ainult teave ühe osa sarnasuse kohta teisega. Kokkusurumisel kasutatakse tavaliselt ruutvõrku (tükid on ruudud), mis toob pildi taastamisel kaasa väikese nurga, kuusnurksel ruudustikul selline puudus puudub.

hulgas kirjandusteosed leida need, millel on tekstiline, struktuurne või semantiline fraktaal. Tekstifraktalites korratakse tekstielemente potentsiaalselt lõputult. Tekstilised fraktaalid hõlmavad hargnemata lõpmatut puud, mis on igast iteratsioonist endaga identne (“Preestril oli koer…”, “Tähendamissõna filosoofist, kes unistab, et ta on liblikas, kes unistab, et ta on filosoof, kes unistab…”, "Väide on vale, et väide on tõene, et väide on vale ..."); mittehargnevad lõputud tekstid variatsioonidega ("Peggyl oli lõbus hani...") ja laiendustega tekstid ("Maja, mille Jack ehitas").

Struktuursetes fraktaalides on tekstiskeem potentsiaalselt fraktal. Sellise ülesehitusega tekstid on järjestatud järgmiste põhimõtete järgi: sonettidest pärg (15 luuletust), sonetipärgadest pärg (211 luuletust), sonetipärgade pärg (2455 luuletust); "lood loos" ("Tuhande ja ühe öö raamat", Ya. Pototsky "Saragossast leitud käsikiri"); eessõnad varjavad autorlust (W. Eco "Roosi nimi").